9

IARITMÈTICAI ÀLGEBRA

T ot el que es pot conèixer té un nombre. Sense elnombre no coneixem ni comprenem res.

Filolau (pitagòric, segle v aC)

Pren el que necessitis, opera com cal i obtindràs elque desitges.

Leibnitz (1646-1716)

10

JC

NOTES HISTÒRIQUES. ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

Amb l’inici de l’agricultura, sorgeixen problemes com comptar lesestacions, calcular superfícies de terrenys, etc. Això va fer que fosprecís donar nom als nombres i comptar més enllà d’«un» i «molts».En comptar, es van descobrir relacions entre els números i es vanestablir gradualment certes lleis generals que permeten i faciliten elcàlcul (aritmètica significa «art de calcular»).L’àlgebra va iniciar el seu camí en paral·lel amb l’aritmètica ele-mental. Ben aviat es va alliberar dels seus orígens i es va desenvo-lupar en dues direccions bàsiques: la substitució dels nombres perlletres, i el pas del càlcul de fórmules a la solució d’equacions.

6000

4000600

Sorgimentde Sumer

Invencióde la

balançaNeixen el budisme, el taoisme

i el judaismeDescobriment

del coure

Fundaciód’UrTales de

Milet

Primera persecuciómassiva de cristians

Els fenicisa Eivissa

Els xinesosinventen la pólvora

Guifréel Pilós

Jaume I elConqueridor

Dioclecià

Els gotsenvaeixen

l’imperi Romà

Incorporació del zero al sistema

de numeració

Apogeu delfeudalisme

La civilització sumèria (Meso-potàmia) idea un sistema po-sicional, és a dir, amb nomésalguns símbols eren capaçosde representar qualsevol nú-mero.

1

Els pitagòrics es troben ambels nombres irracionals.Aquests nombres van plante-jar, tant a ells mateixos comals matemàtics d’èpoquesposteriors, importants proble-mes que no van ser resoltsfins al segle XIX.

2

1

Primer sistemade numeració

posicional1

Pitàgores2

Diofant3

Escola deTraductorsde Toledo

5

Desenvolupamentde la ciència àrab

4

L’àlgebra del període grec anticassoleix el punt culminant ambDiofant. En la seva obra Lesaritmètiques, va introduir uncert simbolisme per poder do-mesticar els problemes aritmè-tics. Així va començar a sorgirel llenguatge algebraic.

3

500

200

300

800

900

1200

11

1600

1700

Invencióde la falç

Introducciódel regadiu

MarcoPolo

Carles I

Batalla deLepant

Felip II

Primera circumnavegacióterrestre a càrrec d’El Kano

Lluís XIV:El rei Sol

Guerra dels Segadors

Newton

A l’Escola de Traductors deToledo es tradueixen totes lesgrans obres de la ciència àrabal llatí. Això permet introduira Europa la seva àlgebra, elseu sistema de numeraciódecimal (provinent de l’Índia iusat actualment), etc.

5

Sorgeix l’àlgebra pròpiamentdita de mans dels àrabs (se-gle IX).

4

En el Renaixement, el desenvo-lupament de l’àlgebra va conduira la introducció dels nombresnegatius, tan xocants en aque-lla època que el propi Descar-tes, en el segle XVII, els va con-siderar nombres falsos.

7

Leonardo de Pisa, matemàtic ita-lià més conegut com a Fibo-nacci, amb la seva obra Liberabaci va contribuir a introduirel sistema de numeració deci-mal que havia après dels àrabsen els seus viatges comercialspel nord d’Àfrica.

6

L’àlgebra assoleix la seva majo-ria d’edat a Itàlia i França (se-gles XVI i XVII): mètodes per a laresolució general d’equacionsde diferents tipus, consecuciód’una simbologia adequada (Car-dano, Tartaglia, Viète), arribantal seu punt culminant amb Des-cartes (segle XVII).

8

Cardano,Tartaglia,

Viète8

Introducciódels números

negatius

7

Descartes8

5000

Fibonacci6

1300 1500

NOMBRES REALSI NOMBRES COMPLEXOS1

12

Els grecs pitagòrics (segle v aC) creien que tot l’uni-vers es regia pels nombres naturals i les seves re-

lacions (fraccions). Formaven una mena de sectamística i matemàtica, el símbol de la qual era una es-trella de cinc puntes (pentàgon estrellat).

Quan van descobrir que la relació entre el costat del pentàgon estre-llat i el costat del pentàgon convex corresponent no es pot expressarcom a quocient de dos nombres naturals, les seves creences van so-frir una enorme commoció. L’existència d’una relació així els va sem-blar tan contrària a la lògica que al nombre corresponent el van ano-menar irracional (contrari a la raó).

Des d’aleshores han passat molts segles. Actualment, els irracionalssón nombres tan raonables que, juntament amb els racionals, for-men l’anomenat conjunt dels nombres reals.

E ls algebristes dels segles XV i XVI, en resoldre equacions de segongrau del tipus x2 – 4x + 13 = 0 i arribar a l’expressió x = 2 ± ,

deien: «No és possible extreure l’arrel quadrada d’un nombre negatiu.Per tant, l’equació no té solució».

Però en algun moment els algebristes es van decidir a operar ambaquestes expressions com si es tractés de nombres reals:

2 ± = 2 ± · = 2 ± 3 ·

I seguien operant amb com si es tractés d’un nombre real.

Leibnitz, en el segle XVII, deia que és una espècie d’amfibi en-tre el ser i el no res. Va ser l’any 1777 quan Euler va denominar a

el nombre de i (per imaginari).

El nombre imaginari i, operat elementalment amb els reals, va donarlloc als nombres complexos. La seva representació gràfica, passant dela recta real al pla complex (Gauss, finals del segle XVIII), va acabar dedonar-los l’entitat necessària per tal que fossin plenament acceptats.

√–1

√–1

√–1

√–1√–1√9√–9

√–9

REFLEXIONA I RESOL

El pas de Z a Qn Imaginem que només es coneguessin els nombres

enters, Z. Sense utilitzar cap altre tipus de núme-ros, intenta resoldre les equacions següents:

a) 3x = 15 b) –2x = 18 c) 11x = –341 d) 4x = 34

Les tres primeres es poden resoldre en Z, ja queles seves solucions són nombres enters.

Per poder resoldre la quarta, necessitem els nom-bres racionals.

Perquè les equacions del tipus ax = b tinguin sem-pre solució, inventem el conjunt dels nombres ra-cionals, Q:

Si a i b són racionals i a ≠ 0, llavors x = és

racional.

n Digues quines de les equacions següents es podenresoldre en Z i per a quines és necessari el conjuntdels nombres racionals, Q.

a) –5x = 60 b) –7x = 22 c) 2x + 1 = 15

d) 6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6

ba

13

UNITAT 1

Revisió d’eines numèriques

n Intervals. Sovint hem de referir-nos al conjuntde tots els nombres que hi ha en un tram de rec-ta. En recordarem la nomenclatura i l’ús.

n Arrels i logaritmes. La potenciació té dues ope-racions inverses:

an = b

n La radicació. Recordarem les propietats dels ra-dicals i en repassarem l’ús.

n Els logaritmes. Aprendrem una nova operació:Quin és l’exponent al qual cal elevar per obtenirb? S’anomena logaritme, i el seu ús és molt inte-ressant perquè permet transformar productes iquocients en sumes i restes, la qual cosa, en oca-sions, resulta molt avantatjós.

n Recordarem els diferents tipus de nombres icom es representen en la recta.

n El desig de disposar d’un conjunt numèric en elqual qualsevol equació de segon grau tingui so-lució ens porta a una nova ampliació del campnumèric. El nou conjunt es designa Ç i els seuselements s’anomenen nombres complexos.Veurem com es generen operant adequadamentamb els nombres reals i amb «la nova adquisició»,

.√–1

a =n√—

b Arrel n-èssima

n = loga b Logaritme

EN AQUESTA UNITAT VEURÀS

El pas de Q a Án Intenta resoldre, sense sortir de Q, les equacions

següents:

a) 3x2 – 12 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0

c) 2x2 + x – 1 = 0 d) x2 – 2 = 0

Les tres primeres tenen solucions racionals, però laquarta, no, ja que no hi ha cap nombre racional elquadrat del qual sigui 2. Aquesta equació sí que espot resoldre en el conjunt Á dels nombres reals.

n Resol, ara, les equacions següents:

a) x2 – 9 = 0 b) 5x2 – 15 = 0

c) x2 – 3x – 4 = 0 d) 2x2 – 5x + 1 = 0

e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0

Quines equacions es poden resoldre en Q?

Per a quines equacions és necessari el conjunt delsnombres reals, Á?

Á encara no és suficient

n Intenta resoldre en Á les equacions següents:

a) x2 – 2 = 0 b) 2x2 – 5x + 1 = 0

c) 5x2 – x – 2 = 0 d) x2 + 1 = 0

e) x2 – 2x + 5 = 0 f ) 5x2 + 10 = 0

Les tres primeres han pogut resoldre’s, però lestres últimes, no, ja que s’arriba a expressions comara:

, ,

La nova ampliació numèrica haurà de donar vali-desa a aquestes expressions.

n Resol les tres últimes equacions, d), e) i f), utilit-zant per a les solucions nombres reals i l’expressió

.

Observa que:

= = 4

= √–1√2√–2

√–1√16 · (–1)√–16

√–1

√–2√–16√–1

–3

1,3

π

Φ7

52

2

)Á Q

N

Z

14

1.1 ELS NOMBRES REALS. LA RECTA REAL

Els nombres racionals són els que es poden posar com a quocient dedos nombres enters. Entre ells hi ha els nombres enters (positius –natu-rals– i negatius). Els nombres racionals es poden expressar mitjançantdecimals exactes o periòdics. El conjunt de tots els nombres racionals esdesigna per Q. En situar-los sobre la recta numèrica l’ocupen densa-ment. Això vol dir que:

— entre dos nombres racionals hi ha altres infinits nombres racionals.

— si prenem un punt qualsevol de la recta numèrica, hi ha infinitsnombres racionals tan a prop d’aquest com vulguem.

Tanmateix, en la recta numèrica hi ha infinits punts no ocupats per nom-bres racionals. A cada un d’aquests punts li correspon un nombre irra-cional.

Els nombres irracionals no es poden posar com a quocient de dosnombres enters. Per exemple, , , , Φ (nombre auri), π, etc.L’expressió decimal d’un nombre irracional té infinites xifres no periò-diques.

Tant els nombres racionals com els irracionals s’anomenen nombresreals. El conjunt de tots els nombres reals es designa Á.

Els nombres reals omplen la recta numèrica. És a dir, si s’assenyala enla recta un origen, 0, i se situa el punt corresponent al número 1 (és adir, es concreta quina és la longitud unitat), a cada nombre real li corres-pon un punt de la recta i a cada punt de la recta li correspon un nom-bre real. Per això, a la recta numèrica se l’anomena recta real.

Els punts de la recta i els nombres reals estan en correspondènciabinumèrica: a cada punt li correspon un nombre i a cada nombre, unpunt.

0 1

3√10√3√2

LLENGUATGE MATEMÀTIC

Que el conjunt dels nombres reals estàformat pels racionals i els irracionals espot expressar, en matemàtiques, així:

Á = Q <<

El símbol < es llegeix «unió».Que tots els nombres racionals són realss’expressa, simbòlicament, així:

Q ,, Á o bé Á .. Q, es llegeix «està contingut en».. es llegeix «conté a».

EXERCICIS PROPOSATS

1. Situa els nombres següents en el diagrama:

; 5; –2; 4,5; 7,)3; – , , ,

2. Situa els nombres de l’exercici anterior en les case-lles següents. Cada nombre pot estar en més d’un.

Afegeix un nombre més (que t’inventis) a cadacasella.

√–83√–27√643√6√3

C

B

D

E

A

F

ÁQ

NZ

N és el conjunt dels nombres naturals (en-ters positius).

Z és el conjunt de tots els nombres enters.

Q és el conjunt dels racionals.

Á és el conjunt dels reals.

RECORDA

Hi ha operacions el resultat de les qualsno és un nombre real. Per exemple:

, , 4√–8√–5√–4

ATENCIÓ

NATURALS, N

ENTERS, Z

RACIONALS, Q

REALS, Á

NO REALS

Intervals i semirectes

Ara recordem com es designen alguns trams de la recta real:

15

UNITAT 1

NOM

INTERVAL

OBERT

SÍMBOL

(a, b)

SIGNIFICAT REPRESENTACIÓ

x / a < x < b Nombres compresos

entre a i b, aquests no inclosos.

LLENGUATGE MATEMÀTIC

Quan definim un conjunt indicant comsón els seus elements, ho fem escrivint-loentre claus: ….El símbol / es llegeix «tal que».

LLENGUATGE MATEMÀTIC

Quan volem referir-nos a un conjunt depunts format per dos o més d’aquestsintervals, recorrem altra vegada al sig-ne < (unió). Per exemple,

[3, 4) < (5, + ∞)

a b

INTERVAL

TANCAT[a, b] x / a ≤ x ≤ b

Nombres compresosentre a i b, aquests

inclosos.a b

INTERVAL

SEMIOBERT

(a, b ] x / a < x ≤ b Nombres compresos

entre a i b; a noinclòs, b inclòs.

a b

SEMIRECTA

(– ∞, a) x / x < aNombres menors que a, aquest no

inclòs.a

(– ∞, a] x / x ≤ aNombres menors que a i a mateix.

a

(a, + ∞) x / a < xNombres majors que a, aquest

no inclòs.a

[a, + ∞) x / a ≤ xNombres majors que a i a mateix. a

[a, b) x / a ≤ x < b Nombres compresosentre a i b; a inclòs,

b no inclòs.a b

a) (3, + ∞)

b) [2, 5)

c) [3, 7]

d) (– ∞, 0) < (0, 1)

e) (–∞, –2] < [2, + ∞)

1. Representa els conjuntsnumèrics següents:

a) Nombres majors que 3.

b) x / 2 ≤ x < 5c) x / 3 ≤ x ≤ 7 d) Nombres menors que 1

excloent-hi el 0.

e) x / x2 ≥ 4 = = x / x ≤ –2 < x / x ≥ 2

EXERCICIS RESOLTS

0 73

10

20 5

0 3

–2 20

EXERCICIS PROPOSATS

3. Representa els conjunts següents:

a) (–3, –1) b) [4, + ∞)

c) (3, 9] d) (–∞, 0)

4. Representa els conjunts següents:

a) x / –2 ≤ x < 5 b) [–2, 5) < (5, 7]

c) (–∞, 0) < (3, +∞) d) (–∞, 1) < (1, + ∞)

16

1.2 VALOR ABSOLUT D’UN NOMBRE REAL

El valor absolut d’un nombre real ens dóna «la grandària» d’aquest nom-bre. Per exemple, –8 i 8 tenen el mateix valor absolut: 8.

El valor absolut d’un nombre real, a, és el mateix nombre a, si éspositiu, o el seu oposat, –a, si és negatiu:

|a|= a si a ≥ 0–a si a < 0

El valor absolut d’un nombre és la sevadistància respecte al 0.

VALOR ABSOLUT

–6 60

|–6| = 6 |6| = 6

a) |7,4| = 7,4

b) |0| = 0

c) |– 5,87| = 5,87

d) Les arrels quadrades de 9 són 3 i –3. El valor absolut d’ambdues és 3.

e) |1 – | = – 1, perquè és més gran que 1.√3√3√3

a) |x| = 3 ⇔ x = 3 o x = –3

b) |x| = 0 ⇔ x = 0

c) |x| = ⇔ x = o x = –√3√3√3

a) |x| < 3 ⇔ –3 < x < 3 ⇔ x ∈ (–3, 3)

b) |x| ≥ 3 ⇔ x ≤ –3 o x ≥ 3

c) |x – 2| ≤ 3 ⇔ –3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔

⇔ –3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2 ⇔ –1 ≤ x ≤ 5

1. Calcula el valor absolut de:

a) |7,4| b) |0| c) |–5,87|

d) arrels quadrades de 9

e) |1 – |√3

2. Per a quins valors de x escompleixen les igualtatssegüents?

a) |x| = 3

b) |x| = 0

c) |x| = √3

3. Per a quins valors de x escompleixen les desigualtatssegüents?

a) |x| < 3

b) |x| ≥ 3

c) |x – 2| ≤ 3

EXERCICIS RESOLTS

–3 30

3 3

0– 3 3

33

–3 30

|x| < 3

–3 30

–1 50

|x – 2| ≤ 3

2

EXERCICIS PROPOSATS

5. Troba els valors absoluts següents:

a) |–11| b) |π| c) |– |

d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |

g) |1 – | h) | – | i) |7 – |

6. Esbrina per a quins valors de x s’acompleixen lesrelacions següents:

a) |x| = 5 b) |x| ≤ 5 c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| ≤ 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5√50√3√2√2

√2

√5

17

UNITAT 1

1.3 RADICALS. PROPIETATS

n Si a ≥ 0, existeix qualsevol que sigui a.

n Si a < 0, només existeix per a valors imparells de n.

Forma exponencial dels radicals

n = a , perquè (a )n = a = a

n = a , perquè = (am) = a m · = a

Propietats dels radicals. Potències i arrels

1 = , perquè = a p/np = a1/n =

Aquesta propietat és útil per:

— Simplificar radicals: = = ; = =

— Aconseguir que dos o més radicals tinguin el mateix índex (reduira índex comú).

2 ( ) p = , perquè (a1/n)p = a(1/n) ·p = (ap)1/n =

Aquesta propietat només és vàlida quan hi ha els radicals i

Per exemple, no podem suposar que ( )4 = = 25, perquè elprimer radical no té significat numèric.

3m√— = , perquè (a1/n)1/m = a(1/n) · (1/m) = a1/mn =

mn√amn√a

n√a

√(–5)4√–5

n√apn√a

n√apn√apn√a

3√26√226√4√3

4√324√9

n√anp√a pn√a

np√a p

mn

1n

1n

n√ammn

n√am

nn

1n

1n

n√a

n√a

n√a

Recordem que = b ⇔ a = bn, on n és un nombre natural ma-jor que 1, i a i b són números reals.

s’anomena radical, a radicand i n índex de l’arrel.n√a

n√a

= = Veiem que <

= = 6√106486√223√22

√223√103

6√106096√10323√103

a) = = b) ( )6 = (a2)2 = a4

c) √— = d)3√—=

6√a√a6√a3√a

3√a24√x33·4√x3·312√x9

1. Compara i

reduint-los a índex comú.

√223√103

2. Simplifica: a) b) ( )6c)

√— d) 3√—√a

3√a

3√a212√x9

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

7. Simplifica:

a) b) c)

d) e) f)

8. Quin és més gran, o ?

9. Redueix a índex comú:

a) i b) i

10. Simplifica:

a) (√—√—)8 b)5√—3√— c)

3√—( )6√xx10√k

9√132650

3√51

18√a7

12√a5

3√13

4√31

8√81

9√64

6√8

5√y1012

√x812√x9

18

Propietats del producte i del quocient de radicals

4 = · , perquè = (a · b)1/n = a1/n · b1/n = ·

Per exemple: = · · ; = · = 2

Aquesta propietat té les aplicacions següents:

— Treure un factor fora de l’arrel. Per exemple:

= = · = 2 · ; = · = 3 ·

— Al contrari, ajuntar diversos radicals en un de sol: · =

5 = , perquè ( ) =

Per exemple: = ; = =

Aquesta propietat, juntament amb les propietats 1 i 4 , serveix per po-

sar productes i quocients de radicals sota una mateixa arrel. Per exemple:

= = = =

Suma de radicalsDos radicals diferents no poden sumar-se si no és obtenint-ne les expres-sions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics.

Per exemple, + o + només poden realitzar-se de mane-ra aproximada o deixant-les indicades.

Sí que poden simplificar-se: 7 + 11 – = 17

Hi ha casos en els quals la possibilitat de simplificar una suma de radi-cals no és evident. Per exemple:

+ + = + + = 2 + 3 + 5 = 10√2√2√2√24√22 · 54√32 · 2√234√2500√18√8

√5√5√5√5

3√7√7√2√3

6√186√2 · 32

6

E 33 · 24

23 · 3

6√–33 · 6√–42

6√–23·3

√–3 · 3√–4

6√–24

3√x5

2

3√x5

3√8

3

E x5

8

√3√x3E 3

x3

a1/n

b1/n

1na

b

n√an√b

n

E ab

√300√20√15

√2√2√9√183√4

3√43√8

3√8 · 43√32

5√x5√x

5√325√32x√y√x2√3√3x2y

n√bn√a

n√a · bn√bn√a

n√a · b

EXERCICIS PROPOSATS

11. Redueix:

a) · b) ·

c) · · d) ·

12. Simplifica:

a) b)

c) d)

13. Redueix:

a) b) c) d)

14. Suma i simplifica:

a) 5 + 3 + 2 b) + –

c) + – –

d) – + +

e) – √18a√50a

√8√12√50√27

√8√2√50√18

√2√25 · 2√9 · 2√x√x√x

4√729

√3

5√16

√2

√–93√–3

3√32

√3

4√––a3 · b5 · c

√––a · b3 · c3

6√a3

3√a2

√–a · b3√–a · b

5√x3√x

3√44√8

8√24√2√2

6√33√9

5√23√2

19

UNITAT 1

Racionalització de denominadorsDe vegades convé suprimir els radicals que hi ha en un denominador.Per fer-ho, cal multiplicar-lo per l’expressió adequada. Naturalment, elnumerador també es multiplicarà per aquesta expressió.

Vegem els procediments per suprimir arrels del denominador en els ca-sos més freqüents:

n Per suprimir una arrel quadrada, només cal multiplicar-la per la mateixa arrel.

Per exemple: = =

n Per suprimir una arrel n-èsima, es multiplica per una altra arrel n-èsimaperquè es completi en el radicand una potència n-èsima.

Per exemple: = = = =

n En una suma d’arrels quadrades, + , se suprimeixen els radicals

multiplicant per la diferència d’aquests, – , i recíprocament..

Per exemple:

= = =

=

= = = =

= 3 – √–7

2 (3 – √–7)

2

2 (3 – √–7)

32 – (√–7)22 (3 – √

–7)

(3 + √–7) (3 – √

–7)

2

3 + √–7

7 (√–5 + √–3)

2

7 (√–5 + √–3)

(√–5)2 – (√–3)27 (√–5 + √

–3)

(√–5– √–3) (√–5 + √

–3)

7

√–5 – √–3

√b√a

√b√a

3√55

3√53√53

3√53√–52 ·

3√–51

3√52

13√25

7√–22

7 · √–2√–2 · √

–2

7

√2

«Suma per diferència»és igual a

«diferència de quadrats»:(a + b) (a – b) = a2 – b2

RECORDA

EXERCICIS PROPOSATS

15. Racionalitza denominadors i simplifica quan pu-guis:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i ) j)

16. Racionalitza denominadors i simplifica quanpuguis:

23√—100

33√—36

13√—40

23√—25

4

√18

3

√50

1

√a3E 72

33

√—4

5

√7 a) b) x + y

√–x + √–y

1

√–2 + 1

c) d) √–x + √–y√–x – √–y

a – 1

√–a – 1

e) f) 3√–2 + 2√–33√–2 – 2√–3

1

2√–3 – √–5

g) + +1

√–2 + 1

1

√–2 – 1

1

√–2

h) +1

√–x + √–y1

√–x – √–y

20

1.4 NOMBRES APROXIMATS. NOTACIÓ CIENTÍFICA

Aproximacions i errorsEn les aplicacions pràctiques se solen usar nombres aproximats.Recordem alguns conceptes i procediments amb els quals se’n controlal’ús.

Per exemple, si en mesurar la capacitat d’una piscina s’obté 718 900 l, se-ria més raonable dir que té 719 m3, usant només 3 xifres significatives.Però si la mesura no és gaire exacta, el millor seria dir 720 m3 o, millor,72 desenes de m3.

En l’exemple anterior (capacitat de la piscina: 719 m3), l’última xifra sig-nificativa (el 9) designa unitats de m3. L’error absolut és menor que migmetre cúbic (error < 0,5 m3).

En l’exemple, l’error relatiu és menor que < 0,0007

Notació científicaEls nombres 3,845 · 1015 i 9,8 · 10–11 estan en notació científica perquè:

— Estan descrits mitjançant dos factors, un nombre decimal i una potèn-cia de 10.

— El nombre decimal és major o igual que 1 i menor que 10.

— La potència de 10 és d’exponent enter.

El primer, 3,845 · 1015 = 3845000000000000, és un número «gran».

El segon, 9,8 · 10–11 = 0,000000000098, és un número «petit».

L’exponent serveix per interpretar com de gran o de petit és el número,ja que ens dóna la quantitat total de xifres que té.

0,5719

a) 34 m té 2 xifres significatives.b) 0,0863 hm3 té 3 xifres significatives.c) 53 000 g té 2 xifres significatives, ja

que els zeros del final només serveixenper designar el número. Millor seria quees posés 53 milers de grams, o bé,53 kg.

OBSERVA

Els errors relatius de les medicionsanteriors són:a) E.r.: < 0,5/34 < 0,015b) E.r.: < 0,00005/0,0863 < 0,0006c) E.r.: < 500/53 000 < 0,0095 < 0,01

OBSERVA

a)Mesura: 34 m

Error absolut: < 0,5 m

Mesura: 0,0863 hm3

b) Error absolut: < 0,00005 hm3

És a dir, error absolut: < 50 m3

c)Mesura: 53 000 gError absolut: < 500 g

OBSERVA

S’anomenen xifres significatives les que s’usen per expressar unnombre aproximat. Només s’han d’utilitzar aquelles l’exactitud de lesquals ens consti i de manera que siguin destacables per al que es voltransmetre.

Error absolut d’una mida aproximada és la diferència entre el valorreal i el valor aproximat.

Error absolut = Valor real – Valor aproximat

El valor exacte, generalment, és desconegut. Per tant, també es des-coneix l’error absolut. L’important és poder acotar-lo: l’error absolutés menor que... Una cota de l’error absolut s’obté a partir de l’últimaxifra significativa utilitzada.

Error relatiu és el quocient entre l’error absolut i el valor real. Commés xifres significatives s’usen menor és.

21

UNITAT 1

1. a) Pot ser raonable que aquesta quantitat es doni amb tanta precisió,ja que els assistents a un museu paguen una entrada que, lògica-ment, es comptabilitza. Suposem que aquest nombre, 183 594, ésel d’entrades venudes.

Tanmateix, per a cert tipus de comunicacions podria simplificar-sela xifra: «quasi bé dos-cents mil», «més de cent vuitanta mil» són va-loracions adequades.

b) És impossible que ningú hagi comptat els manifestants amb tantaprecisió. Encara que la xifra no estigui «inflada» o «desinflada» perraons sectàries, no es pot concretar tant en aquestes valoracions.Seria raonable dir, per exemple, «més de dos-cents mil» o bé «entredos-cents mil i dos-cents cinquanta mil».

c), d) i e) El que aquest tipus de quantitats permet concretar és una o,a tot estirar, dues xifres significatives:

c) tres-cents milions de bacteris (o 30 desenes de milions).

d) 15 desenes de milers de milions de gotes.

e) 12 milions de grans.

2. a) Si diem que el nombre de visitants és 180 mil (o millor, 18 desenesde milers), cometem un error absolut de 183 594 – 180 000 = 3 594persones. Ho sabem amb precisió perquè coneixem la quantitatexacta. No obstant això, qui rebi la informació (18 desenes de mi-lers) haurà d’entendre que hi pot haver un error de fins a 5 unitatsde la primera xifra no usada: 5 000 persones. És a dir:

180 mil persones, amb un error menor que 5 000.

Error relatiu: < 5000/180 000 < 0,028 < 0,03 → E.r. < 0,03

b) Valoració: 200 000

Error absolut: 50 000

Error relatiu: < 50 000/200 000 = 0,25

c) Valoració: tres-cents milions = 300 milions

Error absolut: < 0,5 desenes de milions = 5 milions

Error relatiu: < 5/300 < 0,017 < 0,02 → E.r. < 0,02

d) Valoració: 15 desenes de milers de milions

Error absolut: < 0,5 desenes de milers de milions

Error relatiu: < 0,5/15 < 0,034 < 0,04 → E.r. < 0,04

e) Valoració: 12 milions de grans

Error absolut: < 0,5 milions de grans

Error relatiu: < 0,5/12 < 0,042 < 0,05 → E.r. < 0,05

1. Expressa amb un nombreraonable de xifres significativesles quantitats següents:

a) Visitants en un any a unapinacoteca: 183 594.

b) Assistents a unamanifestació: 234 590.

c) Nombre de bacteris en 1 dm3 d’un preparatdeterminat: 302 593 847.

d) Nombre de gotes d’aigua enuna piscina:147 253 892 000.

e) Nombre de grans en un sacd’arròs: 11 892 583 grans.

2. Dóna una quota de l’errorabsolut i una quota de l’errorrelatiu comès en cada una deles valoracions que s’han donaten les quantitats de l’exercicianterior.

Observa que prenem elsquocients per excés ambl’objectiu de mantenir lacadena de desigualtats:

... < ... < ... < ...

EXERCICIS RESOLTS

22

3. a) 1 200 milions = 1,2 · 109

b) Es tracta, òbviament, d’un número aproximat, ja que és impossiblede calcular amb tota precisió una quantitat tan enorme, tan disper-sa i tan canviant.

c) i d) Quan ens diuen 1 200 milions se suposa que les dues primeresxifres estan controlades. Però és possible que algun dels zeros quevénen a continuació també estiguin controlats.

— Si en la mesura només es controlessin les dues primeres xifres:

Mesura: 12 cents de milions de persones.

Error absolut: < 0,5 cents de milions = 50 000 000

Error relatiu: < 0,5/12 < 0,042

— Si en la mesura es controla el primer zero de la quantitat:

Mesura: 120 desenes de milions de persones. En aquest cas,es pot posar en notació científica així: 1,20 · 109.Observa que la presència del 0 darrere de la comadecimal significa que aquesta xifra està controlada.

Error absolut: < 0,5 desenes de milions = 5 000 000

Error relatiu: < 0,5/120 < 0,0042

— Si diguéssim que la població de la Xina era 1,200 · 109 habi-tants, estaríem donant la quantitat amb quatre xifres significati-ves.

4. a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6) = 33,28 · 105 – 6 = 3,328 · 10 · 10–1 = 3,328

b) (2,52 · 104) : (4 · 10–6) = 0,63 · 104 – (–6) = 6,3 · 10–1 · 1010 = 6,3 · 109

c) (7,92 · 106) + (3,58 · 107) = 7,92 · 106 + 35,8 · 106 = (7,92 + 35,8) · 106 == 43,72 · 106 = 4,372 · 10 · 106 = 4,372 · 107

d) (6,43 · 1010) + (8,113 · 1012) – (8 · 1011) == 6,43 · 1010 + 811,3 · 1010 – 80 · 1010 = (6,43 · 811,3 – 80) · 1010 == 737,73 · 1010 = 7,3773 · 1012

EXERCICIS PROPOSATS

17. Pren 3,14 com a valor aproximat de π.

Dóna una quota de l’error absolut i una altra del’error relatiu d’aquest número irracional.

18. Dóna el valor de 100 Φ (recorda que Φ és elnombre d’or) amb 6 xifres significatives i acotal’error absolut i l’error relatiu que es comet.

19. La distància de la Terra al Sol és 149000 000 km.

a) Expressa-la en notació científica.

b) Expressa-la en cm amb dues xifres significati-ves.

c) Acota els errors absolut i relatiu en els doscasos anteriors.

3. Ens diuen que la població de laXina és de 1200 milionsd’habitants.

a) Expressa la quantitat ennotació científica.

b) És una quantitat exacta oaproximada?

c) Dóna una quota de l’errorabsolut tenint en comptecom es dóna la dada.

d) Dóna una quota de l’errorrelatiu.

4. Efectua les operacionssegüents. Repassa-les desprésamb la calculadora:

a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6)

b) (2,52 · 104) : (4 · 10–6)

c) 7,92 · 106 + 3,58 · 107

d) 6,43 · 1010 + 8,113 · 1012

– 8 · 1011

23

UNITAT 1

Si a > 0 i a ≠ 1, s’anomena logaritme en base a de P, i es designaloga P, a l’exponent al qual cal elevar a la base a per obtenir P.

loga P = x ⇔ ax = P

1.5 LOGARITMES. PROPIETATS

Per exemple:

log2 8 = 3 perquè 8 = 23, log2 = –3 perquè = = 2–3

log5 25 = 2 perquè 25 = 52, log5 = –2 perquè = = 5–2

log10 10 000 = 4 perquè 10 000 = 104

log10 0,0001 = –4 perquè 0,0001 = 10–4

Propietats dels logaritmes

1 Dos nombres diferents tenen logaritmes diferents. És a dir:

Si P ≠ Q, llavors loga P ≠ loga Q

A més, si a > 1 i P < Q, loga P < loga Q

2 El logaritme de la base és 1: loga a = 1, perquè a1 = a

3 El logaritme d’1 és 0, qualsevol que sigui la base: loga 1 = 0,perquè a0 = 1

4 El logaritme d’un producte és igual a la suma dels logaritmes delsfactors:

loga (P · Q ) = loga P + loga Q

5 El logaritme d’un quocient és igual al logaritme del numeradormenys el del denominador:

loga ( ) = loga P – loga Q

6 El logaritme d’una potència és igual a l’exponent pel logaritme dela base de la potència:

loga Pn = n log a P

7 El logaritme d’una arrel és igual al logaritme del radicand dividitper l’índex:

loga =

8 Canvi de base. El logaritme en base a d’un nombre es pot obtenir apartir de logaritmes en una altra base:

loga P = logb P

logb a

loga Pn

n√P

PQ

152

125

125

123

18

18

Els nombres que són potències exactesde la base tenen logaritmes enters.Els altres tenen logaritmes amb partdecimal.Per exemple:

El log2 11 és un número decimal la partentera del qual és 3.

LOGARITMESDE POTÈNCIES EXACTES

16… 11… 8log2 log2 log2

43,… 3

24

EXERCICIS RESOLTS

Logaritmes decimals

Els logaritmes en base 10 s’anomenen logaritmes decimals i, en llocde designar-se mitjançant log 10, es designen simplement així: log

log K = log10 K

La tecla ¬ de la calculadora serveix per calcular el logaritme decimalde qualsevol nombre. Gràcies a la propietat 8 anterior, podem obtenir,amb l’ajuda de la calculadora, el logaritme d’un nombre en qualsevolbase.

loga P = → ¬ P / ¬ a = s’obté loga P

Per exemple:

log2 11 = → ¬ 11 / ¬ 2 = «…¢∞£¢«‘\“

Logaritmes neperians

S’anomenen així els logaritmes la base dels quals és el nombre e, i esdesignen mitjançant ln:

ln K = loge K

es llegeix logaritme neperià de K

El seu nom prové del seu inventor, Neper o Napier.

La tecla l de la calculadora serveix per calcular logaritmes neperians.Aquests logaritmes, a més del seu interès històric, són enormement im-portants en matemàtiques superiors.

log 11

log 2

log P

log a

La preocupació per trobar recursos quefacilitessin les operacions aritmètiquesenormes va fer que els logaritmes fossindescoberts quasi simultàniament per dosmatemàtics al principi del segle XVII:

NAPIER (Neper), escocès, el 1614 iBÜRGUI, suís, el 1620.

NOTA HISTÒRICA

a) 81 = 34. Per tant, log3 81 = 4

b) 0,01 = 10–2. Per tant, log 0,01 = log10 0,01 = –2

c) 0,2 = = 5–1. Per tant, log5 0,2 = –115

a) 26 = 64, 27 = 128; 26 < 100 < 27. Per tant, 6 < log2 100 < 7

És a dir, log2 100 = 6,…

b) 100 < 650 < 1 000. Per tant 2 < log 650 < 3

És a dir, log 650 = 2,…

1. Troba els logaritmes següentsreconeixent la potènciacorresponent:

a) log3 81 b) log 0,01

c) log5 0,2 d) log2 0,125

2. Troba la part entera delslogaritmes següents:

a) log2 100 b) log 650

d) 0,125 = = = 2–3. Per tant, log2 0,125 = –3123

18

John Napier.

25

UNITAT 1

a) log2 ( ) = log2 A + log2 B – log2 4 = 3,5 – 1,4 – 2 = 0,1

= 1 + log2 A1/2 – log2 B3 = 1 + log2 A – 3 log2 B =

= 1 + · 3,5 – 3 · (–1,4) = 6,9512

12

A · B4

a) log5 80 = = 2,7227

La seqüència de tecles és la següent:

¬ 80 / ¬ 5 = “…|““|≠\“«“

b) log12 100 = = 1,8533

La seqüència de tecles és la següent:

¬ 100 / ¬ 12 = ‘…°∞«“∞\°

log 100log 12

log 80log 5

ln y = ln ex + ln 7, ja que x = ln ex

ln y = ln (ex · 7) → y = ex · 7

La relació entre x i y és y = 7ex

3. Sabent que

log2 A = 3,5 i log2 B = –1,4

calcula:

a) log2A · B

4

4. Esbrina la relació que hi haentre x i y, sabent que esverifica:

ln y = x + ln 7

5. Troba amb la calculadora:

a) log5 80

b) log12 100

Dóna la solució amb quatrexifres decimals.

EXERCICIS PROPOSATS

20. Troba:

a) log2 16 b) log2 0,25

c) log9 1 d) log10 0,1

e) log4 64 f) log7 49

g) ln e4 h) ln e –1/4

i ) log5 0,04 j ) log6 ( )21. Troba la part sencera de:

a) log2 60 b) log5 700

c) log10 43 000 d) log10 0,084

e) log9 60 f) ln e

22. Aplica la propietat 8 per obtenir els logaritmessegüents amb l’ajuda de la calculadora:

a) log2 1500 b) log5 200

c) log100 200 d) log100 40

En cada cas, comprova el resultat usant la poten-ciació.

23. Sabent que log5 A = 1,8 i log5 B = 2,4, calcula:

a) log5

3

b) log5

24. Esbrina la relació que hi ha entre x i y, sabentque es verifica:

ln y = 2x – ln 5

5√A3

B2E A2

25B

1216

b) log2 ( ) = log2 2 + log2 – log2 B3 =√A2√AB3

b) log22√AB3

26

1.6 EN QUÈ CONSISTEIXEN ELS NOMBRES COMPLEXOS?

Necessitat d’una ampliació del camp numèric

En resoldre x2 – 6x + 13 = 0, obtenim 3 + 2 i 3 – 2 , solucions

que no tenen sentit perquè no és un nombre real.

Els nombres complexos neixen del desig de donar validesa a aquestes ex-

pressions. Per a això cal admetre com a nombres vàlids i tots els que

s’obtinguin en operar-hi com si es tractés d’un nombre més.

Per exemple, 3 + 2i, – + 5i, 0 + 2i = 2i, 7 + 0i = 7 són nombres

complexos. Els seus components són:

Els complexos: 3 + 0i, + 0i, + 0i són reals.

L’oposat de z = 2 – 5i és –z = –2 + 5i. El seu conjugat és –z = 2 + 5i

23

√5

√3

√–1

√–1

√–1√–1

• Unitat imaginària. S’anomena així el nou nombre . Es designaper la lletra i.

i = ; i2 = –1 (el nom i ve d’imaginari).• Nombres complexos. Són les expressions a + bi, on a i b són

nombres reals.

• Components. L’expressió a + bi es denomina forma binòmicad’un nombre complex perquè té dos components: a → component real b → component imaginariTambé s’anomenen part real i part imaginària.

• Igualtat. Dos nombres complexos són iguals només quan tenen elmateix component real i el mateix component imaginari.

• El conjunt de tots els nombres complexos es designa per Ç:Ç = a + bi / a, b ∈ Á

• Els nombres reals són complexos, Á ⊂ Ç. Els reals són nombrescomplexos el component imaginari dels quals és zero: a + 0i = a

• Nombres imaginaris són els nombres complexos el componentimaginari dels quals no és zero.Per tant, un nombre complex o bé és real o bé és imaginari.

• Nombres imaginaris purs són els imaginaris el component realdels quals és zero.

• Els nombres complexos a + bi i –a – bi es diuen oposats.

• Els complexos z = a + bi i –z = a – bi es diuen conjugats.

√–1

√–1

3 + 2i – + 5i√3 2i 7

COMPONENT REAL

COMPONENT IMAGINARI

3 –√3 0 7

2 5 2 0

COMPLEXOS, Ç (a + bi )

REALS, Á (b = 0)

7

IMAGINARIS (b ≠ 0)

3 + 2i √—3 – i

IMAGINARIS PURS(a = 0 , b ≠ 0)

3i – i

√—3 i

23

23

3

√—2

– 23

EL CONJUNT Ç

3 + 5i , –2 + i, i, i són imaginaris.√323

27

UNITAT 1

Representació gràfica dels nombres complexosLes successives categories de nombres (naturals, sencers, racionals...) espoden representar sobre la recta. Els reals l’omplen per complet, de ma-nera que a cada nombre real li correspon un punt a la recta i a cadapunt, un nombre real. Per això parlem de recta real.

Per representar els nombres complexos hem de sortir de la recta i om-plir el pla, passant així de la recta real al pla complex.

Els nombres complexos es representen en uns eixos cartesians. L’eixX es diu eix real i el Y, eix imaginari. El nombre complex a + bies representa mitjançant el punt (a, b), que es diu el seu afix, o mit-jançant un vector (fletxa) d’origen (0, 0) i extrem (a, b).

Els afixos dels nombres reals se situen sobre l’eix real, i els imaginarispurs sobre l’eix imaginari.

Qualsevol equació de segon grau amb coeficients reals que no tinguisolució real té dues solucions imaginàries que són nombres comple-xos conjugats.

Perquè dos complexos siguin iguals, els seus components han de serrespectivament iguals:

És a dir, x = – 4, y = 3

3 = y

x = – 4

x = = =

L’equació té dues arrels imaginàries:

2 + 3i, 2 – 3i

4 ± √—36 · √—–12

4 ± √—–362

4 ± √——16 – 4 · 13

2

De la mateixa manera que en aquest darrer exercici, es compleix,en general, que:

1. Troba el valor que han de tenirx i y perquè es compleixi:

3 + xi = y – 4i

2. Obtén la solució de l’equaciósegüent i representa-laen el pla complex:

x2 – 4x + 13 = 0

EXERCICIS RESOLTS

2 + 3i

2 – 3i

EXERCICIS PROPOSATS

25. Representa gràficament els nombres complexossegüents i digues quins són reals, quins imagi-naris i, d’aquests, quins són imaginaris purs:

5 – 3i; + i; –5i; 7; i; 0; –1 – i; –7; 4i

26. Obtén les solucions de les equacions següents irepresenta-les:

a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 6x + 10 = 0

c) 3x2 + 27 = 0 d) 3x2 – 27 = 0

27. Representa gràficament l’oposat i el conjugatde:

a) 3 – 5i b) 5 + 2i

c) –1 – 2i d) –2 + 3i

e) 5 f) 0

g) 2i h) –5i

28. Sabem que i2 = –1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20,i21, i22, i23. Dóna un criteri per simplificar po-tències de i d’exponent natural.

√354

12

–4 + 6i EIXIMAGINARI

EIXREAL

–5 – 3i 4 – 3i–4i

6 + 2i

3

–6i

28

Operacions amb nombres complexos

La suma, la resta i la multiplicació de nombres complexos es realitzenseguint les regles de les operacions dels nombres reals i tenint en comp-te que i2 = –1.

Per exemple:

• (3 + 2i ) + (5 + 6i ) = 3 + 5 + 2i + 6i = 8 + 8i

• (6 – 5i ) – (4 – 7i ) = 6 – 4 – 5i + 7i = 2 + 2i

• (3 + 4i ) · (2 – 5i ) = 3 · (2 – 5i ) + 4i · (2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i – 20i2 =

= 6 – 15i + 8i + 20 = 6 + 20 – 15i + 8i = 26 – 7i

• (4 – i ) · ( – i ) = 4 – 4i – i + i2 =

= 4 – 4i – i – =

= (4 – ) + (–4 – )i• (5 + 3i ) · (5 – 3i ) = 25 – 15i + 15i – 9i2 = 25 + 9 = 34

En el darrer exemple podem veure com multiplicant un nombrecomplex pel seu conjugat s’obté un nombre real. Aquest resultatserà molt útil per dividir nombres complexos: multiplicarem numeradori denominador pel conjugat d’aquest darrer, aconseguint així que en eldenominador quedi un nombre real.

Per exemple:

= = = 20 – 10i – 12i + 6i2

16 – 8i + 8i – 4i2(5 – 3i) (4 – 2i)(4 + 2i) (4 – 2i)

5 – 3i4 + 2i

√6√3√2

√3√6√2

√3√2√3√2√2√3

El resultat de sumar, restar, multiplicar o dividir dos nombres comple-xos és un altre nombre complex que s’obté de la manera següent:

Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Resta: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Multiplicació: (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

El producte d’un nombre complex c + di, pel seuconjugat, c – di és, sempre, un nombre real:

(c + di) · (c – di) = c2 – cdi + cdi + d2 = c2 + d2

Divisió: =(*)

= + i

(*) Es multiplica i es divideix pel conjugat del denominador i s’hiopera.

No es pot dividir per 0.

bc – adc2 + d2

ac + bdc2 + d2

(a + bi) (c – di)(c + di) (c – di)

a + bic + di

El complex resultant de sumar uns altresdos nombres és la diagonal delparal·lelogram format pels sumands.La diferència de dos nombres complexosés la suma del minuend amb l’oposatdel subtrahend.Més endavant s’aprendrà a interpretargràficament el producte i el quocient decomplexos.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA

c + di(a + c) + (b + d)i

a + bi

= = – i = 0,7 – 1,1i2220

1420

20 – 6 – 10i – 12i16 + 4

29

UNITAT 1

Propietats de les operacions amb nombrescomplexos

u La suma de nombres complexos compleix les propietats associati-va i commutativa.

u El 0 és l’element neutre de la suma.

u Tots els nombres complexos tenen un oposat.

u La multiplicació de nombres complexos és, també, associativa icommutativa.

u L’1 és l’element neutre del producte.

u Tots els nombres complexos, a + bi, llevat del 0, tenen un invers,1/(a + bi).

u A més, la multiplicació és distributiva respecte de la suma.

A la pràctica, totes aquestes propietats signifiquen que podem operaramb els nombres complexos de la mateixa manera que amb els reals.

Procedim així:

[x – (5 – 2i)] [x – (5 + 2i)] = [(x – 5) + 2i ] [(x – 5) – 2i ] == (x – 5)2 – (2i)2 = x2 – 10x + 25 + 4 = x2 – 10x + 29

(2 + xi)2 = 4 + 4xi – x2 = (4 – x2) + 4xi

Perquè aquest complex sigui imaginari pur, la seva part real ha de ser zero:

4 – x2 = 0 → x2 = 4 → x = ± 2

Ha de ser x = 2 o x = –2.

1. Obtén un polinomi de segongrau les arrels del qual siguin 5 – 2i i 5 + 2i.

2. Quant ha de valer x, real,perquè (2 + xi)2 siguiimaginari pur?

EXERCICIS RESOLTS

EXERCICIS PROPOSATS

29. Efectua les operacions següents i simplifica’n elresultat:

a) (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i)

b) (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i)

c) (3 + 2i) (4 – 2i)

d) (2 + 3i) (5 – 6i)

e) (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i)

f) g) h)

l) 6 – 3(5 + i) m)

30. Obtén polinomis les arrels dels quals siguin:

a) 2 + i i 2 – i

b) –3i i 3i

c) 1 + 2i i 3 – 4i

(Observa que tan sols quan les dues arrels sónconjugades, el polinomi té coeficients reals.)

31. Quant ha de valer x, real, perquè (25 – xi)2

sigui imaginari pur?

32. Representa gràficament z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i,z1 + z2. Comprova que z1 + z2 és una diago-nal del paral·lelogram de costats z1 i z2.

√3√3

(–3i)2 (1 – 2i)2 + 2i

25

4 + 4i–3 + 5i

1 – 4i3 + i

2 + 4i4 – 2i

12

i) j ) k) 4 – 2i

i1 + 5i3 + 4i

5 + i–2 – i

30

1.7 NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR

El nombre complex 4 + 3i es representa mitjançant un vector de longi-tud 5 unitats i que forma un angle de 36º 52' amb l’eix real. Direm queel seu mòdul és 5 i el seu argument és 36º 52'.

Estudiarem la relació que hi ha entre els components, a i b, d’un nom-bre complex, el seu mòdul i el seu argument.

Mòdul i argument d’un nombre complex

Observa que un nombre complex admet infinits arguments:

rα = r360º + α = r720º + α = r1080º + α = ...

D’entre tots, solament un d’aquests es troba entre 0º i 360º.

No té sentit posar el nombre complex 0 en forma polar.

Pas de forma binòmica a forma polar

• El mòdul d’un nombre complex z és la longitud del vector mit-jançant el qual aquest nombre es representa. Es designa per |z|.

• L’argument d’un nombre complex diferent de zero és l’angle queforma el vector amb l’eix real. Es designa per arg (z).

• Si |z| = r i arg (z) = α, el nombre complex es pot designar així:z = rα

Aquesta és la forma moduloargumental o polar d’escriure un nom-bre complex.

Si coneixem un nombre complex z = a + bi en forma binòmica, lesrelacions següents, que són molt clares, permeten passar-lo a la formapolar, rα:

r = |z| = tg α = ba

√a2 + b2

Representem z1 per visualitzar la seva situació.

Mòdul: |z1| = = = 4

Argument: tg α = = – → α = 120º

Per tant: z1 = 4120º o bé z1 = 4(2π/3) rad

(–√–3 és la tangent de 120º i de 300º, però observant la representació gràfica de z1 veiem queel seu argument està entre 90º i 180º i que, per tant, és 120º).

L’expressió polar dels altres dos és immediata ino requereix càlculs:

z2 = i = 190º z3 = –2 = 2180º

√–32 √–3–2

1. Passa a forma polar els nombrescomplexos següents:

z1 = –2 + 2 i

z2 = i

z3 = –2

√3

EXERCICIS RESOLTS

α

–2

32z1

z2

z3

36° 52'

5

arg (z) = α

z = r

α

z = rb b

a

√(–2)2 + (2 )2√–3 √4 + 12

31

UNITAT 1

Pas de la forma polar a la forma binòmica

Si coneixem un nombre complex z = rα en forma polar, les relacionssegüents permeten passar-lo a forma binòmica:

a = r cos α b = r sin α

Segons aquestes igualtats, el nombre complex pot posar-se així:

z = r cos α + (r sin α) i = r (cos α + i sin α)

Aquesta expressió, z = r (cos α + i sin α), es diu forma trigonomètri-ca i serveix per passar de forma polar a forma binòmica.

a) a = 5cos 225º = 5(– ) = –

z1 = 5225º = – – i

b) i c) L’expressió binòmica dels altres dos és immediata i no requereixcàlculs:

z2 = 4 + 0i = 4

z3 = 0 – 3i = –3i

5√–2 2

5√–2 2

5√–2 2

√–2 2

1. Passa a forma binòmicaels nombres complexossegüents:

a) z1 = 5225º

b) z2 = 40º

c) z3 = 3270º

EXERCICIS RESOLTS

5

225°

z1

z2

z3

EXERCICIS PROPOSATS

33. Escriu en forma polar els nombres complexossegüents:

a) 1 + i b) + i c) –1 + i

d) 5 – 12i e) 3i f) –5

34. Escriu en forma binòmica els nombres comple-xos següents:

a) 5(π/6) rad b) 2135º c) 2495º

d) 3240º e) 5180º f) 490º

35. Expressa en forma polar l’oposat i el conjugatdel nombre complex z = rα .

36. Escriu en forma binòmica i en forma polar elcomplex:

z = 8(cos 30º + i sin 30º)

37. Siguin els nombres complexos z1 = 460º iz2 = 3210º.

a) Expressa z1 i z2 en forma binòmica.

b) Troba z1 · z2 i z2/z1 i passa els resultats aforma polar.

c) Compara els mòduls i els arguments dez1 · z2 i z2/z1 amb els de z1 i z2 i inten-ta-hi trobar relacions.

√3√3

α

rb b

a

b = 5sin 225º = 5(– ) = –5√–2 2

√–2 2

32

Conjunt de nombres

Classifica els nombres se-güents i indica a quins delsconjunts N, Z, Q i Á perta-nyen:

5; –7; 0,23; ; ;E 182

54

Tenint en compte la relació d’inclusió entre els conjunts numèrics, si unnombre és natural, també és enter, racional i real. La classificació és lasegüent:

N: 5, = 3

Q: 5; –7; 0,23; ; ; 4,7)

Á: Són tots excepte √–4

E 182

54

E 182

1

Potències

Efectua les operacions se-güents, fent servir les potènciesi les seves propietats.

a)

b) (0,125)1/3 · (0,25)–1/2

c)

d) · · E 1a

4

√a– 23

√a2

25 · 6–3 · (–3)8

18–2 · (–12)3

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

a) = = = =

c) Descomponem 6, 12 i 18 en factors primers:

= = =

= =

d) = = a2/3 – 1/2 – 1/2 = a–1/3 = E3 1

aa2/3 · a–1/2

a1/2

3

√a2 · √1/a

4

√a2

–2–2 · 3636

–22

22 · 35

–24 · 3–125 · 2–3 · 3–3 · 38

2–2 · 3–4 · (–26) · 3325 · (2 · 3)–3 · (–3)8

(2 · 32)–2 · (–22 · 3)3

815

16 · 152 · 225

16—2252—15

1 1— – —9 251 1— – —3 5

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

2

–7

5

0,23

45

2π

– 3218

3

–5

4,7)

–

NZ

QÁ

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Z: 5, –7, E 182

b) (0,125) · (0,25)–

= · = · = 1105

510

1

E 25100

E3 1251000

12

13

– ; ; – ; 4,7); √–4π

2

3

√–5√3

Notació científica

Efectua les operacions se-güents:

a)

b) 4 · 1013 – 7 · 1016 + + 5,3 · 1015

i expressa el resultat en nota-ció científica.

5,12 · 103 · 4,2 · 10 7

1,8 · 1015

a) • Sense calculadora: · 103+7–15 = 11,94)6 · 10–5

Passem aquest resultat a notació científica multiplicant i dividint per10, per expressar la part entera com una sola xifra:

11,94)6 · 10–5 =

• Amb la calculadora ho fem directament amb la tecla P:

5.12 P 3 * 4.2 P 7 / 1.8 P 15 = 1.1946 · 10–4

b) Manualment, faríem: 1013 (4 – 7 · 103 + 5,3 · 102) = 1013 (–6 .466) =

=

• Amb la calculadora 4 P 13 - 7 P 16 + 5.3 P 15 = –6.466 · 1016

–6,466 · 1016

1,194)6 · 10–4

5,12 · 4,21,8

3

33

Valor absolut

Explica quins són els nombresque compleixen cada unad’aquestes expressions:

a)x = 5

b) x + 1 = 3

c) x ≤ 4

a) Si x = 5 b) Si x + 1 = 3

c) x ≤ 4 x pot ser qualsevol nombre comprès entre –4 i 4, ambdósinclosos.

És a dir, –4 ≤ x ≤ 4, o bé x és de l’interval [–4, 4].

x + 1 = 3 → x = 2x + 1 = –3 → x = –4

x = 5x = –5

5

Radicals

Opera i simplifica:

a) – +

b) · 3

√a2 b√8ab

5

√18

√502

√32

a) Simplifiquem els radicals i racionalitzem el tercer terme:

= = 4 = = 5

4 – + = (4 – + ) = =

b) Reduïm els radicals a índex comú:

m.c.m. (2, 3) = 6 → = ; =

· = = = 2a 6

√23ab56

√29a7b56

√83a3b3a4b23

√a2b√8ab

6

√(a2b)23

√a2b6

√(8ab)3√8ab

√273

√2146

√256

52

5 √26

5 √22

√2

√2√2 · 52√50√2√25√32

7

Valor absolut i intervals

Expressa, mitjançant intervals,els valors que pot prendre x encada cas:

a) x – 2 < 5

b) x + 3 ≥ 7

a) x – 2 < 5 → –5 < x – 2 < 5 → –3 < x < 7 →

x + 3 ≥ 7 → x ≥ 4b) x + 3 ≥ 7

x + 3 ≤ –7 → x ≤ –10

Solució: x ∈ (–∞, –10] < [4, +∞)

x ∈ (–3, 7)

6

–3 0 7

4

–10

= = 3 → = = 5 √26

5

3 √2

5

√18√2√2 · 32√18

1

Entorns

S’anomena entorn de centre ai radi r a l’interval següent:(a – r, a + r).

a) Descriu com a entorn els in-tervals següents:

I1 = (–3, 5); I2 = (–6; – 4,4)

b) Expressa com a interval l’en-torn de centre 2 i de radi 0,1.

4

a) El centre de l’entorn és el punt mitjà de l’interval:

a = = 1

El radi és la meitat de la distància entre els extrems

r = = = 4

• I1 és un entorn de centre 1 i de radi 4.

Centre d’I2: a = = –5,2

Radi d’I2: r = –4,4 – (–6)

= 0,8

• I2 és un entorn de centre –5,2 i radi 0,8.

b) I = (a – r, a + r) = (2 – 0,1; 2 + 0,1) = (1,9; 2,1)

(–6) + (–4,4)2

8

25 – (–3)

2

–3 + 52

2

34

Radicals

Racionalitza i simplifica:

a)

b) +1 – √

–5

3 + √–5

112 √

–5 + 3

24

√5

a) Multipliquem el numerador i el denominador per :

= = =

b) Racionalitzem cada fracció:

= = = 2 – 3√511(2√–5 – 3)11

11(2√–5 – 3)(2√–5 + 3) (2√–5 – 3)

11

2√–5 + 3

24√–53

5

24√–53

4√–54

24√–53

4√–5 4√–53

24

√5

4

√53

8

= = = 2 – √58 – 4√–54

(1 – √–5) (3 – √–5)(3 + √–5) (3 – √–5)

1 – √–53 + √–5

Sumem: 2 – 3 + 2 – = √–5 – 1√5√5

Logaritmes

Troba amb la calculadora i com-prova’n els resultats:

a) log7 123 b) log1/2 77

a) log7 123 = ≈ 2,473 → 72,473 ≈ 123log 123log 7

9

Logaritmes

Troba sense fer servir la calcu-ladora:

a) log5 625 b) log 0,001

c) ln d) log2 0,251

√e

a) log5 625 = log5 54 =

c) ln = ln e–1/2 = –12

1

√e

4

10

Logaritmes

Calcula el valor de x en cada unad’aquestes expressions:

a) log7 x = –2

b) logx 16 = 2

c) log 5x = 12

d) 3x = 173

a) Apliquem la definició: log7 x = –2 → x = 7–2 =

b) Apliquem la definició: logx 16 = 2 → x2 = 16

log pn = n log pc) log 5x = 12 → x log 5 = 12 →

d) Prenem els logaritmes:log 3x = log 173 → x log 3 = log 173 → x = log 173/log 3 ≈ 4,69

x = 12/log 5 ≈ 17,17

149

11

Logaritmes

Expressa amb un sol logaritmel’expressió:

ln b + 2 ln c – ln d

2 ln c = ln c2 (propietat 6 )

ln b + ln c2 = ln (b · c2) (propietat 4 ) ln b + 2 ln c – ln d = ln

ln (b · c2) – ln d = ln (propietat 5 ) bc2

d

bc2

d

12

b) log1/2 77 = ≈ –6,267 → ( ) –6,267≈ 771

2log 77

log (1/2)

b) log 0,001 = log = log 10–3 = –311 000

d) log2 0,25 = log2 = log2 2–2 = –214

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS 1

x = 4

x = –4 No val

35

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS 1

PER PRACTICAR

Nombres racionals i irracionals38. Expressa com a fracció cada decimal i opera:

0,)12 – 5,

)6 – 0,23

)+ 3,1

* Recorda que 5,6)

= ; 0,23)

= .

39. Demostra que el producte 4,0)9 · 1,3

)9 és un

decimal exacte.

* Comprova, passant a fracció, que els dos factorssón decimals exactes.

40. Calcula: a) b)

41. Indica, de cada parell de nombres, el major:

a) i b) 0,52)6 i 0,

)526

c) 4,)89 i 2 d) –2,098 i –2,1

42. Observa com hem representat alguns nombresirracionals:

En el triangle OAB, = 1, = 1 i

= = .

Per tant, el punt D representa a .

Quins nombres representen els punts F i H ?Justifica’n la resposta.

43. Quins són els nombres racionals a, b, c, d repre-sentats en aquesta gràfica?

Potències

44. Troba sense calculadora: ( – )–2 ( – )–1 + 4

45. Simplifica, fent servir les propietats de les po-tències:

a) b)

c) d)

* Mira, en EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS, el núm. 2 c).

46. Expressa els radicals següents, per mitjà de po-tències d’exponent fraccionari i simplifica:

a) · b) c)

47. Resol, sense utilitzar la calculadora:

a) b) c)

d) e) f)

48. Expressa com a potència de base 2:

a) b) (–32)1/5 c) ( )4

49. Calcula fent servir potències de base 2, 3 i 5:

a) 4 · · (– )3 b) (– )4 · ( )–1·

50. Expressa en forma de potència, efectua les ope-racions i simplifica:

a) b) 161/4 · ·

51. Justifica les igualtats que són vertaderes. Escriuel resultat correcte en les falses:

a) = 1 b) (3–2)–3 ( )2 = 1

52. Demostra, fent servir potències, que:

a) (0,125)1/3 = 2–1 b) (0,25)–1/2 = 2

127

a2 · b–2

a–2 · b2

16√4

E3 14

4√a3 · a–1

a √a

18

29

12

32

13

8√21

√2

3√0,0013√84√0,25

4√6253√343

5√32

14√a3

3√x2

√x√a

5√a2

a–3 b–4 c7

a–5 b2 c–1152 · 8–1

63 · 102

34 · 16 · 9–1

5–1 · 3536 · 25 · 52

93 · 43 · 5

79

13

34

32

√2

√2√12 + 12OA

ABOB

√6

√214099

E 1,3)

3√1,

)7

23 – 290

56 – 59

m és un segmentqualsevol

m

m

m

m

m

m

m

m

a b c

d

1

0

0 1 DB

H

GECA

F 2 3

1

2

c) d) (–30)–1 · 152

103(–5)3 (–8)3 (–9)2

152 · 204

c) = d) ( )–2– (–3)–2 =

809

13

815

3–2 – 5–2

3–1 – 5–1

36

EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS

Radicals

53. Introdueix els factors dins de cada arrel i simplifica:

a) 2 b) 4 c)

d) e) 2 f)

54. Treu de l’arrel el factor que puguis:

a) b) 4 c)

55. Simplifica:

a) b) c)4

56. Simplifica els radicals següents:

a) b) c)

d) e) :

57. Redueix a índex comú i ordena de menor amajor:

a) , , b) ,

c) , d) , ,

58. Realitza l’operació i simplifica si és possible:

a) 4 · 5 b) 2 · c) ·

d) ( )2 e) ( )3 f) :

59. Efectua i simplifica, si és possible:

a) · b) · ·

* A b) i c) pots expressar els radicals com a potènciesde bases a i 2, respectivament.

60. Expressa com una sola arrel:

a)4E—3√—

b)3E—2

4√—c) ( · ) :

61. Racionalitza els denominadors i simplifica:

a) b) c)

62. Calcula i simplifica:

63. Simplifica al màxim les expressions següents:

a) 3 – 2 + 5 – 4

c) 7 – 2 +

64. Efectua i simplifica:

a) ( + )2 – ( – )2

d) (2 – 3 )2 e) ( – 1) ( + 1)

65. Racionalitza i simplifica:

a) b) c)

66. Efectua i simplifica:

a) – 2

√–3 + √–23

√–3 – √–2

1

2(√–3 – √–5)2√–3 + √–2

√–12

2√–3 – √–2√–18

√3√2√2√2√5

√2√3√2√3

3√–3a5

3√3a43√81a

3√23√54

3√2503√16

√2 – 1

√2

23√2

2√3

√18

√a5√a44√a384

√aE3 1a

3√a√33√2

3√33√24

6√323√12

E 18

√2E 278E 4

3√6√27

6√1003√9

4√725√10

4√6

3√4√6√23√3

4√4

4√258√625

12√64y3

3√–1086√27

3√24

9E 1+ —16

8√0,00166√0,027

√1000√83√16

3√1515

4√435

E 3x8

2x

E3 14

3√3

g) h) i) a aE — + —9 16

√4a2 + 4E 16a3

d) e) f)1 1E — + —4 9E 125a2

16b

3√8a5

c) ( )3 d) : √ 3√4

3√2 √3

6√32

√8

d) e) √72 + 3√–32 – √–8√–8

3

3 + √3

a) 5 + 6 – 7 + √8032

√20√45√125

b) + 2 – – 3√25021

53√54

3√23√16

c) + – – √24√45√54√125

d) ( + ) ( – 1)√6√3√2

b) – 4 + E 845

13E 18

125E 2

5

b) ( + )2 c) ( – ) ( + )√6√5√6√5√2√5√6

d) e) f) 3√–6 + 2√–23√–3 + 2

11

–2√–5 + 3

3

√–5 – 2

b) – √–7 + √–5√–7 – √–5

√–7 – √–5√–7 + √–5

E3 259

37

UNI-1

67. Opera i simplifica:

+

Notació científica68. Efectua i dóna el resultat en notació científica

amb tres xifres significatives:

a)

c)

69. Ordena de major a menor els nombres de cadaapartat. Per a això, passa a notació científica elsque no ho estiguin:

a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011

b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12

70. Efectua:

71. Expressa en notació científica i calcula:

72. Considera els nombres:

A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 104 i C = 2,01 · 105

Calcula:

73. Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011

i D = 6,2 · 10–6, calcula ( + C ) · D

Intervals i valor absolut74. Expressa com a desigualtat i com a interval, i

representa’ls:

a) x és menor que –5.

b) 3 és menor o igual que x.

c) x està comprès entre –5 i 1.

d) x està entre –2 i 0, ambdós inclosos.

75. Representa gràficament i expressa com a inter-vals aquestes desigualtats:

a) –3 ≤ x ≤ 2 b) 5 < x c) x ≥ –2

d) –2 ≤ x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f) –3 ≤ x

76. Escriu la desigualtat que verifica qualsevol nom-bre x que pertany a aquests intervals:

a) [–2, 7] b) [13, +∞) c) (–∞, 0)

d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (–∞, +∞)

77. Expressa com a interval la part comuna de cadaparell d’intervals (A > B) i (I > J ):

a) A = [–3, 2] B = [0, 5]

b) I = [2, +∞) J = (0, 10)

78. Escriu en forma d’intervals els nombres queverifiquen aquestes desigualtats:

a) x < 3 o x ≥ 5 b) x > 0 i x < 4

c) x ≤ –1 o x > 1 d) x < 3 i x ≤ –2

* Representa’ls gràficament, i si són dos intervalsseparats, com en a), escriu: (– ∞, 3) < [5, +∞)

79. Expressa, en forma d’interval, els nombres queacompleixen cada una d’aquestes expressions:

a) |x| < 7 b) |x| ≥ 5 c) |2x| < 8

d) |x – 1| ≤ 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| ≥ 1

80. Esbrina quins valors de x acompleixen:

a) |x – 2| = 5 b) |x – 4| ≤ 7 c) |x + 3| ≥ 6

81. Escriu, per mitjà d’intervals, els valors que pottenir x perquè es pugui calcular l’arrel en cadacas:

a) b) c)

82. Troba la distància entre les parelles de númerossegüents:

a) 7 i 3 b) 5 i 11 c) –3 i –9 d) –3 i 4

83. Expressa com un únic interval:

a) (1, 6] < [2, 5) b) [–1, 3) < (0, 3]

c) (1, 6] > [2, 7) d) [–1, 3) > (0, 4)

√–x√2x + 1√x – 4AB

B + CA

600003 · 0,000024

1002 · 72 000 000 · 0,00025

2 · 10–7 – 3 · 10–5

4 · 106 + 105

5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102

8,2 · 10–3 – 2 · 10–4

(3,12 · 10–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108

4,32 · 103

1

√—31 + —

1 – √—3

1

√—31 – —

1 + √—3

b) (12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)9,2 · 106

d) e) f) E 1 + x2

√–x – 1√3 – 2x

38

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

84. Escriu en forma d’intervals els entorns següents:

a) Centre –1 i radi 2

b) Centre 2,5 i radi 2,01

c) Centre 2 i radi 1/3

85. Descriu com si fossim entorns els intervals següents:

a) (–1, 2) b) (1,3; 2,9)

c) (–2,2; 0,2) d) (–4; –2,8)

86. Comprova si és vertadera o falsa cada una de lesexpressions següents:

a) |a| < b equival a –b < a < b

b) |–a| = –|a| c) |a + b| = |a| + |b|

d) |a · b| = |a| · |b|

Logaritmes87. Calcula:

a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2

d) log 3 e) log3 f ) log2

88. Calcula, fent servir la definició de logaritme:

a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2

b) log2 + log3 – log2 1

89. Calcula la base d’aquests logaritmes:

a) logx 125 = 3 b) logx = –2

90. Calcula el valor de x en aquestes igualtats:

a) log 3x = 2 b) log x2 = –2

c) 7x = 115 d) 5–x = 3

91. Troba amb la calculadora i comprova el resultatde la potenciació.

a) log b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)

d) log3 42,9 e) log5 1,95 f) log2 0,034

92. Calcula’n la base en cada cas:

a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2

c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2

* Aplica la definició de logaritme i les propietats deles potències per aïllar x.

En c) , x –2 = 0,04 ⇔ = .

93. Troba el valor de x en aquestes expressions,aplicant-hi les propietats dels logaritmes:

a) ln x = ln 17 + ln 13

b) log x = log 36 – log 9

c) ln x = 3 ln 5

d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6

e) ln x = 4 ln 2 – ln 25

* a) Per logaritme d’un producte: ln x = ln (17 · 13)

94. Sabent que log 3 = 0,477, calcula el logaritmedecimal de 30; 300; 3 000; 0,3; 0,03; 0,003.

95. Sabent que log k = 14,4, calcula el valor de lesexpressions següents:

a) log b) log 0,1 k2

c) log 3

d) (log k)1/2

96. Sabent que ln k = 0,45, calcula el valor de:

a) ln b) ln c) ln

97. Calcula x perquè s’acompleixi:

a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 32+ x = 172

98. Si log k = x, escriu en funció de x:

a) log k2 b) log c) log

99.

√10kk

100

e2

k

3

√kke

k100

12

4100

1

x2

√148

19

127

132

√214

√8√3√3

164

g) log1/2 h) logπ 11

√2

Comprova que = –

(sent a ≠ 1).

16

1log — + log √—a

alog a3

E 1k

39

1

Nombres complexos en forma binòmica

100. Calcula:

a) (3 + 2i) (2 – i) – (1 – i) (2 – 3i)

b) 3 + 2i(–1 + i) – (5 – 4i)

c) –2i – (4 – i)5i

d) (4 – 3i) (4 + 3i) – (4 – 3i)2

101. Calcula en forma binòmica:

a) b)

c) (1 – i) d) +

102. Aquests nombres complexos són els resultats deles operacions que els segueixen. Opera idigues qui correspon a qui:

2i, 20, – i, –2, – i

a) (1 – i) (4 – 2i) (1 + 3i)

b) (2 + i) + (2 – i)

d)

103. Calcula: a) i37 b) i126 c) i87 d) i64 e) i–216

104. Donat el nombre complex z = – + i ,prova que:

a) 1 + z + z2 = 0 b) = z2

Igualtat de nombres complexos105. Calcula m i n perquè es verifiqui la igualtat

(2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i.

106. Determina k perquè el quocient siguiigual a 2 – i.

107. Calcula a i b de manera que es verifiqui:

(a + bi)2 = 3 + 4i

* Desenvolupa el quadrat; iguala la part real a 3, i la part imaginària a 4.

108. Donats els complexos 2 – ai i 3 – bi, troba ai b perquè el seu producte sigui igual a 8 + 4i.

109. Calcula el valor de a i b perquè es verifiqui:

a – 3i =

110. Troba el valor de b perquè el producte(3 – 6i) (4 + bi) sigui un nombre:

a) Imaginari pur b) Real

111. Determina a perquè (a – 2i)2 sigui un nom-bre imaginari pur.

112. Calcula x perquè el resultat del producte (x + 2 + ix) (x – i) sigui un nombre real.

Nombres complexos en forma polar113. Representa aquests nombres complexos, els seus

oposats i els seus conjugats. Expressa’ls en formapolar.

a) 1 – i b) –1 + i c) + i d) – – i

114. Escriu en forma binòmica els següents nombrescomplexos:

a) 245º b) 3(π/6) c) 180º d) 170º

e) 1(π/2) f) 5270º g) 1150º h) 4100º

Equacions en Ç115. Resol les equacions següents i expressa les solu-

cions en forma binòmica:

a) z2 + 4 = 0 b) z2 + z + 4 = 0

c) z2 + 3z + 7 = 0 d) z2 – z + 1 = 0

116. Resol les equacions següents en Ç :

a) z2 + 4 = 0 b) z2 – 2z + 5 = 0

c) 2z2 + 10 = 0 d) z4 + 13z2 + 36 = 0

√2

√3√3

2 + bi5 – 3i

k + i1 + i

1z

√32

12

(2 + i)2 + (1 – i)2

1 – (3/2)i

1 – 2i2 + i

1 + 2i2 – i

17 5

1 5

1 5

1 5

–3 – 2i1 + 3i

1 + i2 – i

2 + 5i3 – 2i

–2 + 3i(4 + 2i) (–1 + i)

(3 + 3i) (4 – 2i)2 – 2i

c) – ( )1 + 8i1 + 3i

15

2 – i3 – i

e) + 3 – 5i2 – i

2 – 2ii

e) – 4 f ) 2i g) – i h) 2 + 2 i√334

40

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS

PER RESOLDRE

117. En 18 g d’aigua hi ha 6,02 · 1023 molècules d’a-quest compost. Quina és la massa, en grams,d’una molècula d’aigua?

118. Tenim un fil de coure de 3 mm de diàmetre.Quina longitud n’hem de prendre perquè laresistència sigui de 20 ohms?

Resistibilitat del coure: ρ = 1,7 · 10–8 Ω · m

* La resistència ve donada per la fórmula R = ,on l és la longitud i s és la secció del fil.

119. La velocitat mínima que ha de portar un cos per-què pugui fugir del camp gravitatori terrestre és

v = on G és la constant de gravitació

universal, M la massa de la Terra i R el radi de laTerra. Calcula v, sabent que:

G = 6,67 · 10–11 N m2/kg2, M = 5,98 · 1024 kg iR = 6,37 · 106 m.

120. Comprova que √—6 + √—

27 · √—6 – √—

27 és unnombre enter.

121. Efectua les operacions següents i simplifica:

a) – 2a + 3a –

c) ( + ) ( – 1)

122. Efectua les operacions següents i simplifica:

a) –

c) + –

QÜESTIONS TEÒRIQUES

123. Explica si aquestes frases són certes o falses:

a) Tots els nombres enters són racionals.

b) Hi ha nombres irracionals que són enters.

c) Tots els nombres irracionals són reals.

d) Alguns nombres enters són naturals.

e) Hi ha nombres decimals que no poden serexpressats com una fracció.

f) Tots els nombres decimals són racionals.

g) Entre dos nombres enters sempre hi ha un altrenombre enter.

h) Entre dos nombres racionals sempre hi hainfinits nombres racionals.

i) Entre dos nombres racionals hi ha infinitsnombres irracionals.

j) Els nombres racionals omplen la recta.

124. Si x ∈ Á, explica si és certa o falsa cada unad’aquestes afirmacions:

a) x2 és sempre positiu o nul.

b) x3 és sempre positiu o nul.

c) solament existeix si x≥ 0.

d) x–1 és negatiu si ho és x.

125. Quina és la resposta correcta?

a) (–27) b) 4–

126. Entre quins nombres enters es troba el logaritmedecimal de 348?

* 102 < 348 < 103. Pren-ne logaritmes.

127. Si log x = a, quin és el valor de log ?

128. Quines d’aquestes igualtats són certes? Explicaper què.

a) log m + log n = log (m + n)

b) log m + log n = log (m · n)

c) log m – log n =

e) log x2 = log x + log x

f ) log (a2 – b2) = log (a + b ) + log (a – b )

log mlog n

1x

12

3

–3

–9

13

3√x

4 √–2√–3

2

√–6 + 3√–25

√–6

1

√–2 + 1

1

√–2 – 1

√6√3√2

8

√a126

√a34

√a2√a3

E 2 GMR

ρ ls

1/

2–1

–2

√2

b) · 30√3√–98 – √–18

√–96

b) – + 1

2 – √–31

√–3 – √–27

3 – √–2

d) log m – log n = log mn

41

1

PER APROFUNDIR

129. Si n ≠ 0 és natural, determina per a quins valorsde n els nombres següents pertanyen a Z:

a) b) c) n – 5 d) n + e)

130. Si log a = 1 + log b, quina relació hi ha entrea i b ?

131. Si log a + log b = 0, quina relació hi ha entrea i b ?

132. Siguin m i n dos nombres racionals. Què potsdir del signe de m i n en cada un dels casossegüents?

a) m · n > 0 i m + n > 0

b) m · n > 0 i m + n < 0

c) m · n < 0 i m – n > 0

d) m · n < 0 i m – n < 0

133. Demostra que el logaritme d’un producte ésigual a la suma dels logaritmes dels factors.

* Per demostrar que loga (P · Q) = loga P + loga Q,fem:

loga P = p → P = ap

⇒ P · Q = ap + q

loga Q = q → Q = aq

Pren logaritmes de base a en aquesta igualtat i subs-titueix p i q.

134. Demostra que el logaritme d’un quocient ésigual al logaritme del dividend menys el loga-ritme del divisor. (Repeteix el procedimentanterior dividint les igualtats).

135. Demostra que el logaritme d’una potència ésigual a l’exponent multiplicat pel logaritme dela base.

* Cal demostrar que loga Pn = n · loga P. Fes logaP = p → ap = P , eleva a n tots dos membres de laigualtat i pren loga .

136. Demostra que el logaritme d’una arrel és igualal logaritme del radicand dividit per l’índex del’arrel.

* Recorda que = p1/n i repeteix el procés de

l’exercici anterior.

137. Demostra que loga P = log P / log a.

* Fes loga P = p → ap = P. Pren logaritmes deci-mals i després aïlla p.

138. Si x ∈ N i x > 1, ordena aquests nombres:

; x ; ; – ;

139. Ordena de més petits a més grans els nombres a, a2,

, en aquests dos casos:

I) Si a > 1 II) Si 0 < a < 1

PER PENSAR UNA MICA MÉS

140. Les mides estàndard de paper es denominen A0, A1,A2, A3, A4, A5… Cada una d’aquestes dimensions ésla meitat de l’anterior i semblant a aquesta.

I Tenint en compte l’anterior, i sabent que lasuperfície de A0 és 1 m2, calcula les dimen-sions d’un full A4 (que és el d’ús més fre-qüent) arrodonint fins als mil·límetres. Com-prova el resultat mesurant un full A4 quetinguis a mà.

II Demostra que qualsevol dels fulls anteriorscompleix el següent:

Si hi afegim un quadrat, el rectangle que sen’obté, MNPQ, té la peculiaritat que, en su-primir-ne dos quadrats, dóna lloc a un altrerectangle, MRSQ, semblant a aquest (MNPQsemblant a MRSQ).

141. Per numerar les pàgines d’un llibre, un tipògrafha emprat 2993 dígits. Quantes pàgines té el lli-bre? (El 0, l’1, el 2... són dígits. El nombre 525s’escriu amb tres dígits.)

√a1a

1–x – 1

1x

1x

1x + 1

n√p

√n12

3n

n2

per definició de logaritme

multiplica aquestes igualtats

A0

A2

A3A4

A5

A1

M N

PQ

M R

SQ

A3