aritmetic..

CONTENIDO: I - BIMESTRE :

• UNIDAD 1: Teoría de Conjuntos.

• UNIDAD 2: Operaciones con Conjuntos.

II – BIMESTRE :

• UNIDAD 3: Numeración

• UNIDAD 4: Cuatro Operaciones

PROF.: LUIS DAVILA ESPINOZA

CONTENIDO: I - BIMESTRE :

• UNIDAD 1: Teoría de Conjuntos.

• UNIDAD 2: Operaciones con Conjuntos.

II – BIMESTRE :

• UNIDAD 3: Numeración

• UNIDAD 4: Cuatro Operaciones

PROF.: LUIS DAVILA ESPINOZA

1 AÑO DE SECUNDARIA

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ARITMÈTICA 1 de Secundaria

UNIDAD 1:

I.E.P “VIRGEN DE GUADALUPE” Página 2

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:Diferencia las nociones de conjunto, elemento, pertenencia e inclusión.Diferenciar grupos d objetos reales o abstractos.Identificar los conjuntos particulares.Operar con todo tipo de conjuntos.

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:Diferencia las nociones de conjunto, elemento, pertenencia e inclusión.Diferenciar grupos d objetos reales o abstractos.Identificar los conjuntos particulares.Operar con todo tipo de conjuntos.

Hace unos siglos, el nombre no sabía tanto como sabe ahora, ni conocía tanta ciencia (creemos) ni tanta técnica como en nuestros días. Y estamos seguros..... muy pronto sabremos poco, comparado con lo que sabrán nuestros hijos y/o nietos. Y eso ocurre porque todo está en movimiento permanente y tendiendo al cambio.

El ser humano fue aprendiendo de poco

Hace unos siglos, el nombre no sabía tanto como sabe ahora, ni conocía tanta ciencia (creemos) ni tanta técnica como en nuestros días. Y estamos seguros..... muy pronto sabremos poco, comparado con lo que sabrán nuestros hijos y/o nietos. Y eso ocurre porque todo está en movimiento permanente y tendiendo al cambio.

El ser humano fue aprendiendo de poco

PITÁGORAS

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música.

Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre.

Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.


1. CONCEPTO: El término CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un "CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos (abstractos y concretos) llamados elementos, que pueden o no tener una característica en común.

Ejemplos:

i) El conjunto de los días de la semana

ii) El conjunto de los profesores del colegio Ingeniería

iii) El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18

2. NOTACIÓN: Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, etc. y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrado entre llaves.

Ejemplos:

A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves,

Viernes, Sábado, Domingo}

B = {José, Iván, Mario, Carlos, Manuel}

C = {3; 5; 12; 18}

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA (): Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "Pertenece" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "", en el caso de no pertenecer por "".

Ejemplo:

Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}

Entonces:

2 A

4 A

7 A

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Existen dos formas de determinar un conjunto:

4.1. POR EXTENSIÓN (o en forma tabular).- Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Ejemplos:

A = {a; m; o; r}

B = {1; 3; 5; 7; 9}

4.2. POR COMPRENSIÓN (o en forma constructiva).- Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A = {x/x es una letra de la palabra aroma}

B = {x/x es un número natural impar menor que 10}

5. CLASES DE CONJUNTO:

5.1. CONJUNTO FINITO: Es cuando el proceso de contar sus elementos admite un fin en el tiempo.

J = {Los habitantes de un país}

O={Los números pares positivos menores que 100}

5.2. CONJUNTO INFINITO: Es cuando el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo.

H = {Los números naturales}

N = {x/x Q }

Generalmente tenemos que los conjuntos numéricos son infinitos.



6. CONJUNTOS ESPECIALES

6.1. CONJUNTO VACÍO O NULO: Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por: ó { }

Ejemplos:

A = {x/x es un número par terminado en 5} A = { }

B = {x/x es un hombre vivo de 200 años} B = { }

NOTA

Observamos que él es un subconjunto de todo conjunto

6.2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN (singular): Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos:

A = {x/x N 6 < x < 8} A = {7}

B = {2; 2; 2} = {2}

6.3. CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U.

Ejemplo:

Si: A = {1, 2, 3}

B = {-1; 0; 4}

Un conjunto universal para A y B podría ser:

U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}

Pues los elementos de A y B están en U

6.4. CONJUNTOS DE CONJUNTOS: También se le denomina Familia de Conjuntos o Clase de Conjuntos; por ser aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplos:

C = {{2;3}, {3},{a},{6;b},}

D = {{a;b;c}, {2,3,6},{6},c,8}

Se observa lo siguiente.

C es familia de conjuntos

D no es familia de conjuntos

7. CARDINAL DE UN CONJUNTO: Sea A un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A).

Ejemplos:

A = {3; 4; 7; 9; 13}

n (A) = 5 se lee: "el cardinal de A es 5"

B = {a, b, c, b, a, a} = {a, b, c}

n (B) = 3

8. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

8.1. IGUALDAD: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B

ABBABA

Ejemplo:

A = {2; 3; 4}

B = {x/x N, 1 < x < 5}

A = B, pues B = {2; 3; 4}

8.2. INCLUSIÓN: Diremos que A está incluido en B o es subconjunto de B; si y sólo si todos los elementos de A son



también elementos de B. Se denota por: A B y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B". La negación de A B se escribe A B

A B

Ejemplo 1:

A = {1, 2, 3}

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A B

Ejemplo 2:

Dado el conjunto A = {3; {6}; 9; 10}

Entonces se cumple:

{3} A

{3; 9} A

{{6}} A

{3; 6} A

PROPIEDADES

i) A A A

( A, se lee: para todo conjunto A)

ii) A B y B C A C

iii)A, A ¡importante!

8.3. CONJUNTOS COMPARABLES: Dos conjuntos son comparables, cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. Es decir:

ABBA

Ejemplo:

A = {x/x es un mamífero}

B = {x/x es una ballena}

Sabemos que (toda ballena es un mamífero) pero (no todo mamífero es ballena).

Por lo tanto A y B son dos conjuntos comparables

8.4. CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen algún elemento en común.

Ejemplo:

A = {x/x es par}

B = {x/x es impar}

Se observa que A y B son Disjuntos

NOTA

Dos conjuntos diferentes no necesariamente son disjuntos


“Las leyes de la naturaleza sólo son pensamientos

matemáticos de nuestro creador “


1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar verdadero (V) o Falso (F), según corresponda:i) 7 A ( ) iii) {10} A ( )

ii) 9 A ( ) iv) {15} A ( )

a) VVFF b) VFFV

c) VVFF

d) VFFF e) N.A.

2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda:i) {7} A ( ) iv) {9} A ( )

ii) 9 A ( ) v) A ( )

iii) 7 A ( ) vi) 10 A ( )

a) VFVFVF b) VFFVVF

c) VVVFFF

d) VVFFFV e) N.A.

3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas proposiciones son falsas?i) {b} M iv) {{b}, p} M

ii) b M v) {{b}, {m}} M

iii) {{m}} M vi) m M

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:A = {x/x N; 6 < x < 12}

B = {x + 4/ x Z ; 5 < x < 10}

C = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}

a) 40; 41 y 50 d) 47; 45 y 129

b) 43; 49 y 100 e) N.A.

c) 45, 46 y 130

5. Si el conjunto “A” es unitario, Hallar “a + b”: A = {7- a ; b + 4; 5}

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?a) 30 b) 31 c) 32

d) 33 e) 34

7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2 + b2”A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b}

a) 79 b) 80 c) 81

d) 82 e) 83

8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F) según corresponda:i) {5} A( ) iii) {9} A ( )

ii) {7} A( ) iv) {5; {2}} A ( )

a) FVVF b) FVFV

c) FVVV

d) VFFV e) VVFF

9. Dado: A = {x/x N; 5 < x < 12} . Indicar (V) o (F) según corresponda:

i) {7; 8; 11} A iii) {8; 10} A ( )


NIVEL - INIVEL - I


ii) 5 A ( ) iv) n(A) = 6 ( )

a) VFVF b) VFVV

c) VFFV

d) FVVF e) FFVV

10. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? A = {c, o, l, e, g, i, o} ;

B = {g, u, a, d, a, l, u , p , e }

a) 64 y 32 b) 128 y 128

c) 64 y 64

d) 32 y 64 e) n.a.

11. Dado el conjunto:

A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}Determinarlo por comprensión:

a) A = {x/x N; 6 < x < 18}b) A = {x/x = 2n; n N; 3 < n < 8}c) A = {x/x = n +1; n N; 6 < n < 17}d) A = {x/x = 2n + 1; n N; 2 < n < 9}e) A = {x/x = n + 5; n N; 1 < n < 13}

12.- Determine por comprensión el conjunto “M”.

M = {8; 13; 20; 29; … ; 125}

a) M = {x/x = n2 + n + 6; n Z; 1 n 10}b) M = {x/x = n2 + 3n + 4; n Z; 1 n 10}c) M = {x/x = n2 + 4n + 3; n Z; 1 n 10}d) M = {x/x = n2 + 2n + 5; n Z; 1 n 10}e) M = {x/x = n2 + 5n + 2; n Z; 1 n 10}

1. Si los conjuntos “M” y “N” son unitarios, hallar p2 + q2

M = {p + q; 12}N = {4; p – q}

2. Si el conjunto “Z” es unitario. Hallar “m + n”

Z = {7 – m; n + 4; 5}

3. Si los conjuntos: P = {p; a; l; o; m; a}Q = {l; o; m; a; s}Entonces hallar “P Q”

4. Si “Z” es un conjunto unitario, hallar a + b Z = {22 – a; b + 8; 18}

5. Si los conjuntos A y B son unitarios, calcular a + b + c

A = {3a + 5; 17; 4b – 3}B = {4a – b; c}

6. Si “R” y “S” son conjuntos unitarios, Hallar: a2–b2.

R = {a + b; 16}S = {8; a – b}

7. Si se sabe que el conjunto “x” es unitario, Hallar “m – p”

x = {9 – m; n + 4; 5}

8. Si los conjuntos:


NIVEL - IINIVEL - II


M = {m; a; n; u; e; l}N = {s; a; m; u; e; l}

Hallar “M N”.

1.- Determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si:

A = {1; 2; 3; 4}

a) 1 A b) 2 A c) 4 A

d) 8 5 e) 5 A f) 0 A

2.- Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes si:

A = {1; {2; 3}; {4}; )

a) 1 A b) 4 A

c) {2; 3) A d) A

e) {4} A f) 3 A

3.- Indicar cuántas proposiciones son verdaderas si:

A = {; {1; 2); 3; 4}

a) 3 A b) A

c) 3; 4; A d) {3) A

e) {1; 2} A F) 3 A

4.- Se tiene el siguiente conjunto:

A = {2; 3; 4} ; indicar la verdad (V) o falsedad de las siguientes proposiciones.

a) 2 A b) 3 A

c) 4 A d) 5 A

e) 8 A f) 3 A

g) 9 A h) 10 A

5.- Se tiene el conjunto siguiente:

A = {2; 3; {4; 5}}; indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.

a) 3 A b) 4 A

c) 5 A d) 2 A

e) {4; 5} A f) {2} A


B = {2; {3}; {4; 5}}, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

a) 3 B b) 2 B

c) 5 B d) 4 B

e) {2} B f) {3} B

7 . - Se tiene los conjuntos:

A = { 1 ; { 2 ; 3 } ; } ; B = { 2 ; { 3 } ; 5 }

Colocar la pertenencia () o no pertenencia () en las proposiciones siguientes:

a) 2…..A b) …... A

c) {2 3} …… A d) {}…...B


NIVEL - INIVEL - I

Reforzando lo aprendido


e) 5…...B f) 6. …...B

8.- Se tiene el conjunto:

C = {1; ; {3; 4}}

Indicar cuántas proposiciones son falsas:

a) C b) 3 C

c) 4 C d) 1C

e) {3; 4} C f) {1} C


A = { 2 ; 4 ; 6 ; 7 } ; indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

a ) 6 A b ) 4 A

c ) 5 A d ) 2 A

e ) 8 A f) 2 A

10.- Se tienen los conjuntos:

A = {2; {4; 5}; } B = {3}

Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones

a) A b) {3} B

c) 4 A d) 2A

e) {4; 5} A f) 8 B

1.- Si: A = {3; 6}, B = {p, q}; sabiendo además que:

A = B; hallar la suma de valores de p y q.

2.- Si: A = {m + 1; n - 2}; B = {5; 8}, además A = B; Hallar el mayor valor de m x n.

3.- Si: A = {5; 11}; B = {a + 3; b - 5}; además A = B; Hallar el menor valor de a x b.

4.- Si: A = {a + 2; 5; b - 1}, sabiendo que el conjunto "A" es unitario. Hallar: a x b.

5.- Si el conjunto B = {m + 1; n - 2; p - 4; 10} es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p.

6.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {9; 7}. Además A = B; hallar el menor valor de A x B.

7.- Si: A = {2; 4} y B = {m; n}

Además: A = B. Determinar la suma de los valores de "m" y "n"

8.- Si: A = {m+n; m-n}; B = {20;8}. Además: A = B. Determinar el valor positivo de "m x n".

9.- Si:



Tu eres la imagen GUADALUPANA nunca

desconfíes de tus conocimientos.

MATEMÀTICA INCA

En el campo de la matemática los Incasdestacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica económico.

MATEMÀTICA INCA

En el campo de la matemática los Incasdestacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica económico.

Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia.

Se tiene noción que en el Imperio Inca el sistema de numeración imperante era el decimal. Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.

Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia.

Se tiene noción que en el Imperio Inca el sistema de numeración imperante era el decimal. Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.


A = {m+1; n-3} ; B = {6; 7}

Además: A = B; Hallar el menor valor de m x n

10.- Si: A = {m - 1; n - 2; p + 3; 6}

Además A es un conjunto unitario. Hallar: m + n + p

UNIDAD 2:


OBJETIVOS

Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:

Identificar los conjuntos particulares.Operar con todo tipo de conjuntos.Resolver problemas de conjuntos mediante su representación gráfica.

OBJETIVOS


Identificar los conjuntos particulares.Operar con todo tipo de conjuntos.Resolver problemas de conjuntos mediante su representación gráfica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inca

http://es.wikipedia.org/wiki/Quipu

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Yupana&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inca

http://es.wikipedia.org/wiki/Quipu

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Yupana&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_volumen

http://es.wikipedia.org/wiki/Imperio_Inca

http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_longitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_volumen

http://es.wikipedia.org/wiki/Imperio_Inca

http://es.wikipedia.org/wiki/Decimal

EncargadoCantidad de familiasPuriq1 familiaPichqa kamayuq5 familiasChunka kamayuq10 familiasPichqa chunka kamayuq50 familiasPachaka kamayuq100 familiasPichqa pachaka kamayuq500 familiasWaranqa kamayuq1.000 familiasPichqa waranqa kamayuq5.000 familiasHunu kamayuq10.000 familias

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc. Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal.

EncargadoCantidad de familiasPuriq1 familiaPichqa kamayuq5 familiasChunka kamayuq10 familiasPichqa chunka kamayuq50 familiasPachaka kamayuq100 familiasPichqa pachaka kamayuq500 familiasWaranqa kamayuq1.000 familiasPichqa waranqa kamayuq5.000 familiasHunu kamayuq10.000 familias

También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc. Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal.



Para determinar un conjunto se puede indicar cada uno de los elementos o indicar una propiedad común de sus elementos.

Si al menos un elemento de dicho conjunto no es elemento común a dichos conjuntos entonces no son iguales.

Para determinar un conjunto se puede indicar cada uno de los elementos o indicar una propiedad común de sus elementos.

Si al menos un elemento de dicho conjunto no es elemento común a dichos conjuntos entonces no son iguales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Quechua

http://es.wikipedia.org/wiki/Quechua


UNION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B. A U B = { a / x A ó x B } Representación de la Unión

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenece a A y a B.Notación: A intersección B A B

Intersección de dos o más conjuntos significa obtener un nuevo conjunto formado por todos los elementos comunes a los conjuntos considerados.

A B = { x / x A y x B }Gráficamente:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS



Restar es sinónimo de quitar. El resultado de la sustracción se llama diferencia. Si estos conceptos lo llevamos a nuestro estudio de los conjuntos tenemos que:

Se llama diferencia entre un conjunto A y otro B, al conjunto 22formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Notación: Diferencia entre A y B A – B

A – B = {x / x A y x B }

DIFERENCIA SIMÉTRICA

“Toda la Unión, menos la intersección”

Notación: A B ; “La diferencia simétrica de A y B”

A B = { (A – B) U (B – A) } Gráficamente:

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto “A”, el conjunto complemento de “A” es aquel conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al universo pero no pertenecen al conjunto “A”.

A’ = { x / x U y x A }

Gráficamente:



Ejemplos:1.- Durante todo el mes de octubre un alumno estuvo preparándose en Aritmética y Algebra. Veinte días estudió Aritmética y 16 días Algebra. Si el 1ero de octubre fue domingo y todos los domingos descansó, ¿en cuántos días estudió ambos cursos?

Solución

Domingos de octubre

1 ; 8 ; 15 ; 22 ; 29 5 domingos

Días que estudió: 31 – 5 = 26 días

Estudió sólo

Álgebra 6 días

Estudió ambos cursos 16 – 6 = 10 días

2.- De un grupo de 100 personas se sabe que:

a) 60 no tienen hijos

b) 25 casadas tienen hijos

c) 10 son madres solteras

¿Cuántos hombres son padres solteros?

Solución Total de personas = 100

De 100 personas, 60 no tienen hijos

40 no tienen hijos

De las 40 con hijos, 25 son casadas

15 son solteras

De las 15 solteras, 10 son mujeres

5 son hombres: x = 5

1.- Sean los conjuntos:

A = {1; 2; 3}

B = {2; 3; 4}

C = {4; 5};

D = {1; 2}

Hallar:


NIVEL - INIVEL - I


a) AB

b) A D

c) A - B

d) B D

e) C - B


A = {2; 3; 4}

B = {3; 5; 6]

C = {1; 3; 5}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Hallar:

a) A B

b) A'

c) B C

d) C'

e) B - C

f) (C - A)'


A = {1; 2; 3}

B = {2; 3; 4}

C = {3; 2; 1}

D = {3; 4}

U = {1;2;3;4;5}

Hallar:

a) A – B

b) B C

c) B – D

d) A D

e) D’

f) A C

g) D – B

h) (A – D)’

4.- Sean los conjuntos:

U = {1;2;3;4;5}

A = {1;2;3}

B = {2;3;4}

Efectuar:

a) A’- B

b) B’ – A

c) A’ – B

d) (A B’)

e) A’ B’

f) A’ B’

5.- Se tienen los siguientes conjuntos:

A = {2; 3; 4}

B = {3; 4; 5}

C = {1; 3; 5}

U = {1;2;3;4;5;6}

A) E= (A'-B')C

B) E = A'B'

C) E=(C'B')-A'



1. De 60 deportistas se observa que 24 de

ellos practican fútbol, 26 practican básquet y

25 practican vóley; 13 practican fútbol y

básquet; 10 practican básquet y voley, 9

practican fútbol y voley. Si 6 practican los

tres deportes. ¿Cuántos no practican

ninguno de estos deportes?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 15

2. En una encuesta realizada a un grupo de

100 estudiantes de un instituto de idiomas

se obtuvo el siguiente resultado:

28 estudian español;

30 estudian alemán;

42 estudian francés

8 estudian español y alemán

10 estudian español y francés;

5 estudian alemán y francés

3 estudian los tres idiomas

¿Cuántos estudiantes toman el francés como

único idioma de estudio?

a) 20 b) 30 c) 13 d) 32 e) 28

3. De un grupo de 59 personas se observa lo

siguiente:

8 personas leen sólo el “Comercio”;

16 personas leen sólo la “República”

20 personas leen sólo el “Expreso”

7 personas leen el “Comercio” y “República”

8 personas leen el “Comercio y el “Expreso”.

3 personas leen la “República, el “Expreso” y

el Comercio.

2 personas no leen ninguno de estos diarios.

¿Cuántas personas leen el “Expreso”?

a) 25 b) 28 c) 29 d) 20 e) 24

4. De un grupo de estudiantes que llevan por

lo menos uno de los tres cursos que se

indican se sabe que:

70 estudian inglés,

40 estudian química,



“El verdadero éxito consiste vencer el temor

al fracaso “


40 estudian matemática,

15 estudian matemática y química

20 estudian matemática e inglés

25 estudian inglés y química

5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los

alumnos en total?

a) 100 b) 80 c)85 d) 90 e) 95

5. Una encuesta realizada entre 82 madres

de familia arrojó el siguiente resultado:

43 saben costura; 47 saben repostería; 58

saben tejido, 19 saben costura y repostería;

28 saben costura y tejido; 30 saben

repostería y tejido; 11 saben las tres

ocupaciones. ¿Cuántas amas de casa saben

sólo una de las tres especialidades?

a) 25 b) 27 c) 29 d) 30 e) 31

6. De 185 lectores de revistas:

47 leen la revista “A”

53 leen la revista “B”

65 leen la revista “C”

15 leen la revista “A” y “B”

13 leen las revistas “B” y “C”

5 leen las revistas “A”, “B” y “C

17 leen las revistas “A” y “C

¿Cuántos leen la revista A pero no la revista

B?

a) 20 b) 30 c) 37 d) 32 e) 52

7. En un campeonato atlético interescolar

participaron 285 personas entre público y

atletas. Todos los atletas recibieron

medallas distribuidas de la siguiente manera:

95 reciben medalla de oro

60 reciben medalla de plata

130 reciben medalla de bronce

40 reciben medalla de oro y plata

25 reciben medalla de plata y bronce

65 reciben medalla de oro y bronce

20 reciben las tres medallas

¿Qué cantidad de personas estuvieron como

espectadores?

a) 100 b) 115 c) 110 d) 105 e) 120

8. De 400 alumnos, se sabe con certeza que:

110 estudian Matemática


http://www.clipart.com/en/close-up?o=3951811&memlevel=A&a=c&q=&k_mode=all&s=289&e=312&show=&c=&cid=5g&findincat=&g=&cc=&page=13&k_exc=&pubid=


240 estudian Geografía

190 estudian Literatura

80 estudian Matemática y Geografía

100 estudian y Geografía y Literatura

50 estudian Matemática y Literatura

40 estudian los tres cursos ¿Cuántos

alumnos estudian por lo menos dos de los

cursos mencionados?

a) 130 b) 140 c) 150 d) 160 e) 170


A = {1; 2; 3}; B = {2; 3; 4};

C = {3; 5}

Hallar:

a) AB.

b) A - C

c) B - C

d) A C

e) B C

f) B - A

2.- Se tienen los siguientes conjuntos:

A = {2; 3; 4} B = {3; 4; 5}

C = {4; 5} D = {1;4}

U={1;2;3;4;5;6;7}

Hallar:

a) A - B

b) C D

c) D B

d) B - A

e) A B

f) B’


A = {1; 2; 3; 4} B = { 2; 3; 4}

C = {3; 5} D = {2; 4}

Hallar:

a) A B

b) A C

c) A - B

d) B – A

e) A - D

f) C D

4.- A = {1; 2; 3) B = {2; 3; 4)

C = {3; 4; 5) U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Hallar:

a) A B

b) A'



NIVEL - INIVEL - I



c) B C

d) B'

e) C - B

f) (A B)'

5. Dado los conjuntos.

A = { 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

B = { 3; 5; 7; 9}

Hallar: A - B

a) { 3; 4; 5; 6; 7; 8;}

b) { 4; 6; 8}

c) { 1; 3; 5; 7; 9}

d) { 3; 5; 7; 9}

e) { 3; 4; 5; 6}

6. Dado los conjuntos:

C = Y

D =

¿Cuántos elementos tiene el conjunto

D - C?

a) b) 7 c) 8 d) 9 e) 6

7. Sean los conjuntos A y B; tal que:

n(AUB)= 30; n (A-B) =12 ; n(B)=10

Hallar: n( A ) + n( B )

a) 30 b) 20 c) 18 d) 38 e) 36


A =

B =

Hallar n (A – B)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

9. Hallar M N Si:

M = { m, v, t, p, b, c}

N ={ m, v, t, a, j, s, u, n, p}

a) {b, c, a, j, s, n}

b) {m, v, t, p}

c) {a, b, c, n, v, p}

d) {b, c, a, u, n, j, s }

e)


A = y

B =

Hallar AB

a) {3; 4; 5; 6; 7; 8}

b) {5; 6; 7; 8; 9; 10}

c) {3; 4; 9; 10}

d) {5; 6; 7; 8}

e) {7; 8}

1.- A un campamento concurren 48 alumnos: 22 no saben cocinar; 32 no saben armar carpas y 12 no saben ni cocinar, ni armar carpas. ¿Cuántos alumnos realizan las dos actividades?

a) 4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 3





2.- A una reunión asistieron 68 turistas, de los cuales:

20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el numero de los que conocen Tacna es igual al número de los que no conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen solo Arequipa?

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24

3.- A un certamen de belleza se presentaron 250 señoritas. Se sabe que:

- Hubieron 180 rubias de las cuales 80 usaban anteojos.

- El número de candidatas que no eran rubias y que tampoco usaban anteojos eran los 2/5 de las que solamente usaban anteojos.

i) ¿Cuántas usaban anteojos?

ii) ¿Cuántas usaban anteojos pero no eran rubias?

iii) ¿Cuántas no eran ni rubias ni usaban anteojos?

4.- En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados:

60 prefieren Aritmética

50 prefieren Biología

20 no prefieren ninguno de estos cursos

¿Cuántos prefieren sólo uno de estos cursos?

a) 35 b) 29 c) 40 d) 21 e) NA

5.- De un grupo de 200 pacientes examinados en una clínica se encontró que 100 no tenían cáncer, 80 no tenían diabetes y 25 no tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántos tenían ambos?

a) 20 b) 45 c) 50 d) 55 e) 75

6.- En el mes de Marzo, Gerardo comió en el desayuno pan con hot-dog (19 días) o con chicharrón (15 días), si durante 4 días dicho mes Gerardo estuvo en ayuna. ¿Cuántos días comió pan con chicharrón solamente?

a) 19 b) 15 c) 8 d) 7 e) 12

7.- En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo de 80 niños comieron las frutas de la siguiente manera: 32 niños comieron manzanas, 33 niños comieron peras y 20 niños comieron naranjas; 4 niños comieron manzanas y peras; 7 niños comieron peras y naranjas y 5 niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos niños comieron los tres tipos de frutas diferentes?

a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 11

8.- De 40 alumnos de un aula el número de los que estudian Matemática y Lenguaje es la mitad de los que no estudian para nada esos cursos. Además, 8 estudian sólo Matemática y 2 sólo Lenguaje. ¿Cuántos estudian Matemática?

a) 12 b) 18 c) 22 d) 28 e) 10

9.- De un grupo de 65 alumnos:

30 prefieren Lenguaje;

40 prefieren Matemática;

5 prefieren otros cursos.


http://www.iclipart.com/download.php?iid=161453&submit=&keys=Education&notkeys=&start=0&andor=OR&c1=&c2=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=ADVANCED&rows=5&jump=0&period=&collection=&group=&tl=clipart


¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

a) 8 b) 10 c) 5 d) 15 e) 12

10.- De 50 estudiantes encuestados:

- 20 practican solo fútbol

- 12 practican fútbol y natación

- 10 no practican ninguno de estos

deportes

¿Cuántos practican solo fútbol y cuántos

sólo natación?

a) 32 y 20

b) 12 y 8

c) 8 y 4 d) 2 ó 4

e) 30 y 12

UNIDAD 3:


OBJETIVOS.


Representar una cantidad de unidades simples en cualquier sistema posicional de numeración (SPN).Descomponer polinòmicamente un numeral expresado en un determinante SPN. .

OBJETIVOS.


Representar una cantidad de unidades simples en cualquier sistema posicional de numeración (SPN).Descomponer polinòmicamente un numeral expresado en un determinante SPN. .

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades.

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

En forma práctica la base nos indica de cuanto en cuanto estamos agrupando las unidades.

ARQUÌMIDES DE SIRACUSA(287 – 212 a.n.e)

Arquímedes fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sinfín, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes (cuya idea se ha vuelto a utilizar hoy, 2100 años después en las centrales heliotèrmicas) y muchos más.

ARQUÌMIDES DE SIRACUSA(287 – 212 a.n.e)

Arquímedes fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sinfín, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes (cuya idea se ha vuelto a utilizar hoy, 2100 años después en las centrales heliotèrmicas) y muchos más.

http://www.clipart.com/en/close-up?o=3788192&memlevel=A&a=c&q=&k_mode=all&s=2713&e=2736&show=&c=&cid=5a&findincat=&g=&cc=&page=114&k_exc=&pubid=


Siendo la aritmética la ciencia de los números, se entiende por numeración a aquella parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Número: Es un ente o idea matemática carente de definición, sin embargo nos da la idea de cantidad.

Numeral: Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, guarismos o dígitos. Ejemplo: 3, III

Sistema de numeración: Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. Del ordenToda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.

Ejemplo:

Lugar

N úm ero

O rden

1º 2º 3º 4º

1 9 9 8

4 3 2 1

Ejemplo:

Orden

1 (unidades)

2 (decenas)

3 (centenas)

4 (m illares)

5412

2. De la baseEs un numeral referencial que nos indica cómo se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.

Sea "B" una base:

Bes mayor que 1

Base: 2; 3 4 5 6 . ..; ; ; ;

Analizamos una misma cantidad en diferentes bases:

Base 10

sobran 2elementos

un grupo de 10

1 2

Base 5 2 2 ( 5 )

ConvenciónReferencial

(base)dos

gruposde 5

sobran2

elementos




Base 4

no sobra nada

tres grupos de 4

30 ( 4)

Se tendrá la equivalencia:

12 = 22 = 30( 5) ( 4)

REGLA DE LOS SIGNOS.

En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base.

* Ejemplo:

32 ( x) = 120 ( z)

- +

+ -

Se cumple:z < x

Ejemplo:

T R I LCE ( P) = I NGRESO06 ( Q )

- +

+ -

Se cumple:Q < P

3. De las cifras.Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base, en la cual son empleadas o utilizadas.

Cifras en base "n".

cifrassignificativascifra no

significativa

0; 1 2 3 4 ... (n - 2) (n - 1); ; ; ; ; ;

cifra máxima = n - 1

cifra m ín ima = 0

- El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional, es decir, por el orden que ocupa.

- Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.

Valor Absoluto (VA)

Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura.

Valor Relativo (VR)

Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.Ejemplo:

V A ( 2 ) = 2V A ( 4 ) = 4V A ( 5 ) = 5V A ( 3 ) = 3

V R ( 3 ) = 3 x 1 = 3 u n i d a d e sV R ( 5 ) = 5 x 1 0 = 5 d e c e n a sV R ( 4 ) = 4 x 1 0 0 = 4 c e n t e n a sV R ( 2 ) = 2 x 1 0 0 0 = 2 m i l l a r e s

2 4 5 3

Representación literal de numerales.

Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.

Ejemplo:

abab







- ab : representa un número de dos cifras del sistema decimal.

ab 10;11;12;...;98;99

- 7abc : numeral de tres cifras de la base 7.

7 7 7 7abc 100 ,101 ,...,666

- abcd 1000; 1001;1002;...;9999

Numeral capicúa.

Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:

- aa 11; 22; 33; ...; 99

- aba 101; 111; 121; ...; 999

- SOMOS

- RADAR

Observación:Palabras palíndromas: oso, salas,seres, radar, reconocer,.. .

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES.

I. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número.

II. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número.

III. El grado de cada sumando viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha.

Polinomio Algebraico:

ax2 + bx + c

Polinomio aritmético o numérico:

- 123 = 1 × 102 + 2 × 10 + 3- 3000204(5) = 3 × 56 + 2 × 52 + 4

- 210005(7) = 2 × 75 + 1 × 74 + 5

Ejemplos:ab = a × 10 + b = 10a + b

abc= a × 102 + b × 10 + c = 100a + 10b + c

8mnp = m × 82 + n × 8 + p = 64m + 8n + p

Descomposición por bloques.

Es un caso particular de la descomposición polinómica que consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra.

Ejemplos:

- 2324 = 23 x 102 + 24 = 2300 + 24- 1453 = 1 x 103 + 453 = 1000 + 453- 5abcabc = 1001(5) x

- nababab = 10101(n) x


NIVEL - INIVEL - I




1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral cuya cifra del tercer orden ocupa también el cuarto lugar?

2. Hallar la suma de los máximos valores que puede tomar una cifra en base 5 y en base 9 respectivamente.

3. Hallar el V.R. (valor relativo) que ocupa la cifra 6 en el siguiente numeral: 21677

• Descomponer polinómicamente los siguientes numerales:

4.abc

5.mmm

6. Hallar el mayor numeral de dos cifras, cuya cifra de las decenas es el doble de las unidades.

7. Hallar la suma de cifras del mayor numeral de dos cifras cuya cifra de las decenas es el cuádruplo de las unidades.

8. Escribir el mayor numeral de tres cifras, de cifras significativas y diferentes que se puede escribir en base 9.

9. ¿Cuál es el menor numeral de dos cifras que al invertir el orden de sus cifras da como resultado 33?

10. ¿Cuál es el mayor numeral de dos cifras que al invertir el orden de sus cifras da como resultado 44?

1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de tercer orden ocupa el quinto lugar?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de segundo lugar ocupa el cuarto orden?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3. ¿Cuál es el menor numeral cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden.a) 7 b) 8 c) 9d) 5 e) 6

4. Hallar un numeral de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:I. La primera cifra es el doble de la tercera cifra.II. La segunda cifra es el triple de la primera cifra.Dar como respuesta la suma de las cifras.a) 10 b) 11 c) 9d) 12 e) 8

5. Hallar la cifra de mayor orden de un numeral menor que 900, tal que la cifra de las unidades sea la mitad que la de las decenas y que ésta sea la cuarta parte de las centenas.a) 8 b) 2 c) 1d) 6 e) 4

6. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de sus cifras?a) 15 b) 12 c) 9d) 8 e) 11

7. Un numeral aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la Suma de sus cifras a) 9 b) 8 c) 11

d) 12 e) 10





8. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

9. Si el numeral: (a - 1) (b + 1) (a + 5) (3 - a)

Es capicúa, hallar la cifra de tercer orden.a) 5 b) 8 c) 7d) 4 e) 6

10.Luego de descomponer polinómicamente: (4a)(2a)(3a) Se obtendrá:a) 420a b) 432a c) 423ad) 412a e) 413a

CASO 1:

DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE 10

Método 1:Por descomposición polinómica.

Ejemplos:

* 344(7) = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179

* 1304(5) = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204

Método 2:Por Ruffini.

Sea:

cnbanabc

cbnanabc

n

2n

Disponiendo:

Base

n

a

a

b

an

(an + b)

c

an + bn

an + bn + c

2

2

cifras

Ejemplos:

* 431(8) Base 10

8

4

4

3

32

35

1

280

281

431 = 281( 8)

* 1304(5) Base 10


“Las leyes de la naturaleza sólo son

pensamientos matemáticos de nuestro



5

1

1

3

5

8

0

40

40

1304 = 204( 5)

4

200

204

CASO 2:

DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Método: Divisiones sucesivas.

Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.

Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así:

* Ejemplo 1:

71984 Base 15

71984 15

4798 15

319 15

21 1516

4

13

14

* Ejemplo 2:

469 Base 4

469 4

1171 4

291 4

71 413

469 = 13111(4)

CASO 3:

DE BASE DIFERENTE DE 10 A OTRA BASE DIFERENTE DE BASE 10

Método general:

Descomposiciónpo linóm ica

ó Ruffi ni

Divisionessucesivas

basen

base10

basem

* Ejemplo:465(9) Base 6

Paso 1:465(9) Base 10

465(9) = 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383

Paso 2:383 Base 6

Divisiones sucesivas:

383 6

635 6

103 6

14

465 (9) = 1435(6)





PRACTICANDO EN CLASE

• Convertir a base 10 los siguientes numerales:

1. 3425(6)

2. 145(7)

• Convertir a base 7 los siguientes numerales:

3. 245

4. 8412

5. Convertir a base 5 el siguiente numeral: 253(7)

6. Hallar el valor de "a", en:

7. Convertir a base 5 el menor numeral de tres cifras diferentes en base 4.

8. Si se cumple que: P = 2 63 + 1 62 + 5 6 + 3,

¿Cómo se escribe el número "P" en base 6?

9. Hallar el valor de "n", en: 45(n) = 37

10. Convertir a base 8 el mayor numeral de tres cifras que se puede escribir en base 2.

1. Dado el numeral capicúa:

a13

2b

b2a1c1a

Hallar "a . b . c"a) 12 b) 18 c) 36d) 48 e) 72

2. Un numeral decimal está formado por tres cifras en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor orden y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha condición? a) 5 b)4 c)2 d)1 e)3

3. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

4. Hallar un numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 14, tal que si se invierte el



NIVEL - INIVEL - I

Con lo aprendido en clases podrás resolver cada uno de los ejercicios.





orden de sus cifras, el numeral aumenta en 18.a) 95 b) 86 c) 77d) 68 e) 59

5. Si a un numeral de dos cifras se le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de dichas cifras.a) 9 b) 12 c) 20d) 18 e) 16

6. Hallar un numeral de tres cifras que empieza en 2 y que es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 8 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

7. Un numeral de dos cifras aumentado en el doble de sus cifras de decenas es igual al mayor numeral de dos cifras cuya suma de cifras es 16. Hallar el producto de las cifras del numeral.a) 8 b) 6 c) 10d) 15 e) 21

8. Un numeral de dos cifras aumentado en el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a 44 veces la diferencia de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras.a) 12 b) 18 c) 6d) 15 e) 20

9. Si a un número de dos cifras se le invierte el orden de sus cifras, se obtiene un segundo número que excede en 3 al cuádruple del primero. Hallar la diferencia de estas dos cifras.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

10. Si a un número de tres cifras que empieza con la cifra 6, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/26 del número original. Hallar la suma de las cifras del número.a) 10 b) 15 c) 18

d) 12 e) 16

1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral, en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el sexto lugar?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 5

2. Dado el numeral capicúa: (a + 1)(b + 1)(2b - 1)(2a - 3)

Hallar:

a) 42 b) 36 c) 24

d) 63 e) 18

3. Un numeral capicúa es de la forma: (a - 1)(a )(b + 4)c

3

Hallar "a . b . c"

a) 8 b) 10 c) 15d) 18 e) 40

4. Si el numeral de la forma: (a - 2)a(3a)

existe, hallar la suma de sus cifras.

a) 13 b) 10 c) 15d) 12 e) 18






5. Si al numeral le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar "a + b".

a) 7 b) 3 c) 9d) 10 e) 12

6. Si Frank tiene años y dentro de "6a" años tendrá 66 años, hallar "a x b".

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

7. Un automóvil parte del kilómetro a0(2b) con una velocidad b(2b) km / h. ¿Luego de qué tiempo llegará al kilómetroa(2b) (6b) ?a) 1,2 h b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

8. Sabiendo que: 54 4ba3ab

Hallar "a + b"a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 9

9. Cumpliéndose que: 65 1baab3

Hallar "a + b"

a) 5 b) 6 c) 4d) 7 e) 9

10. Si se cumple que: 3a(2b) 6 = b0ba5

Hallar "a + b"

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

11. Calcular "a", si se sabe que: 5a 1142334

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

12. Determinar el valor de "a", si:

13(a - 1) = (a + 1)(a/ 2)( a ) ( 8)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

13. Si se cumple que:

12n246 11 ; 10

Hallar "n"

a) 9 b) 7 c) 8d) 10 e) 11

14. Hallar "a + b + c", si los numerales:

ca4 0b0b;bc2;a11

están correctamente escritos.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

UNIDAD 4:


OBJETIVOS


Conocer y aplicar las operaciones básicas de la aritmética en las soluciones del problema concreto.Manejar criterio de asociación operativa para afrontar problemas de la vida diaria.Afianzar los aspectos básicos de las operaciones con los números que se bases fundamental para la teoría de los números.

OBJETIVOS


Conocer y aplicar las operaciones básicas de la aritmética en las soluciones del problema concreto.Manejar criterio de asociación operativa para afrontar problemas de la vida diaria.Afianzar los aspectos básicos de las operaciones con los números que se bases fundamental para la teoría de los números.



ADICIÓN

Observa: tengo 9 fresas:

Mi mamá me regala 2 fresas más

Ahora tengo 11 fresas:

A esa acción de agregar o añadir le llamamos ADICIÓN, pero, ¿sabes cómo represento numéricamente esta adición?

0119 +12 11

Definición: Es una operación que se hace corresponder a cada par de números a, b lN otro número natural llamado suma y denotado por a + b.Ejemplos:


tc ""

Las operaciones fundamentales de la adición, sustracción, multiplicación y división las aplicamos diariamente. Una ama de casa por ejemplo recurre a éstas para la distribución más adecuada de sus ingresos.

En las empresas se realiza siempre operaciones fundamentales, dado que las materias primas, ingresos, egresos etc. Son cuantificados.

tc ""

Las operaciones fundamentales de la adición, sustracción, multiplicación y división las aplicamos diariamente. Una ama de casa por ejemplo recurre a éstas para la distribución más adecuada de sus ingresos.

En las empresas se realiza siempre operaciones fundamentales, dado que las materias primas, ingresos, egresos etc. Son cuantificados.

No sabemos dónde tuvo su origen exactamente el Método de “División Larga”. Pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el Siglo XII como mínimo y de la India parecer ser que se extendió a China y a Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por lo tanto es, muy probable que también provenga de la India el método de “división larga” conocido como el “método de la galera”, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Para ilustrar este método, supongamos la división de 44977 por 382; en la figura aparece hecha esta división por el método moderno, y por el método de la galera. Este segundo se parece mucho al primero excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los

44977 382

382

667

382

2957

2674

283

117

2

2 1 1

1 9 8

1 6 7 5 3

4 4 9 7 7

382 117


1. 15 + 7 = 22 Operación: Adición Operador: +

Sumandos: 15 y 7Suma: 22

2. 27 + 12 = 39 Operación: AdiciónOperador: +Sumandos: 27 y 12Suma: 39

SUSTRACCIÓN

Observa: Yo tengo 11 balones:

Pero perdí 5 balones:

¿Cuántos balones me quedaron?

A esa acción de sacar, quitar o de extraer le llamamos SUSTRACCIÓN.

¿Y sabes cómo represento numéricamente la sustracción?, así:

0i11 - 0506

Cuando se resuelve una SUSTRACCIÓN hay que tener presente:

· Los números que se restan seben estar colocados correctamente, es decir, UNIDADES debajo de las UNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS, CENTENAS debajo de las CENTENAS.

· Siempre se deben restar objetos de una misma especie; naranjas a naranjas, perros a perros, muñecas a muñecas, carros a carros, hombres a hombres, piñas a piñas. Esto quiere decir, objetos de una misma clase, de un mismo género.

· El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que el SUSTRAENDO. Es decir, la primera cantidad que aparece en la resta debe ser más grande que la segunda cantidad, ya que es imposible quitarle a un número menor uno mayor, ¿verdad?

ELEMENTOS DE UNA SUSTRACCIÓN

Dentro de la sustracción encuentro varios elementos:

· El término mayor de los dos números que se restan al que llamamos MINUENDO representa la totalidad de objetos que se tiene, al cual se le va a quitar una cantidad.

· El número menor que aparece en la sustracción se le da el nombre de SUSTRAENDO.

· Al resultado de la sustracción, se le llama DIFERENCIA.

· Y el signo señalado por una rayita pequeña se le da el nombre de SIGNO MENOS.

En nuestro ejemplo:

11 - 5 = 6M inuendo

Sustraendo

Diferencia





PROPIEDAD"La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo".

M + S + D = 2M

Ejemplo de aplicación:La suma de los tres términos de una sustracción es igual a 2 548. Hallar el mayor de los tres términos.

Solución:Sabemos que el mayor de los términos de una sustracción es el MINUENDO.

Dato del problema: M + S + D = 2548 2M = 2548

De donde: M = 1 274

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior.

CA (3) = 10 - 3= 7CA (9)= 10 - 9= 1CA (23)= 100 - 23 = 77CA (47)= 100 - 47 = 53CA (642) = 1 000 - 642= 358

ceros"" cifras 8

cifras 8

980 654 87020 345 12000 000 100020) 345 CA(12

Método prácticoTomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su complemento aritmético, se le resta de 10 y a las demás de 9.

Ejemplo:

CA ( 2 340) = 7 660( 9-2 ) ( 9 -3) (10 -4) 0

9 9 10

9 9 9 9 10

CA (90 235) = 9 765

( 9-9 ) (9 -0 ) (9 -2 )( 9 -3) ( 10 -5 )

Calcular el CA de los siguientes números:

1. CA (22) = ____________________

2. CA (36) = ____________________

3. CA (143) = ____________________

4. CA(2236)= ____________________

5. CA(2492)= ____________________

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces.

Por ejemplo, según esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2.

Entonces:

2 x 5 =

veces5

22222 = 10

O también:

2 x 5 = veces2

55 = 10

ELEMENTOS

En la multiplicación encontramos los siguientes elementos:

2 x 5 = 10




Multiplicando Producto

Multiplicador· Los números que se multiplican también

se llaman factores.

· El resultado se conoce como producto.

DIVISIÓN

Es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuántas veces contiene el dividendo (D) al divisor (d).

CLASES DE DIVISIÓN

a. División exactaCuando el residuo es cero.

D dq algoritm o: D = d . q

r = 0

Donde:D = dividendo lNd = divisor lNq = cociente lN

Ejemplo 1:

280280

740

0Donde: 280 = 7 x 40

b. División inexactaCuando existe un residuo (r).

b.1 División inexacta por defecto

D = d . q + r 0 < r < d

Donde:D lN ; d lN ; q lN ; r lN

Ejemplo 1:

3

2421

73

Donde: 24 = 7 x 3 + 3

b.2 División inexacta por exceso

D = d . (q + 1) - r 0 < r < de e

Ejemplo 1:

q e( -)

re

2428

74

4

Donde: 24 = 7 x 4 - 4

Donde:D : dividendo lNd : divisor lNq : cociente lNq e= q +1: cociente por exceso lNr : residuo por defecto lNre : residuo por exceso lN

PROPIEDADES

a. 0 < residuo < d

b. rMÁX = divisor - 1

rMIN = 1

c. r + re = divisor




1.- La suma de las edades de Luis y Esteban es 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años, ¿cuál es la edad de Luis?.

a) 13 b)14 c)11

d) 12 e) 15

2.- Cuando Maritza nació Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 6 años?

a) 39 b) 41 c) 35 d) 42 e) 29

3.- Entre Felipe y Mario tienen S/.60. Si al menos afortunado le obsequiamos S/.8 entonces ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene el más afortunado?.

a) S/.26 b) S/.30 c) S/.40

d) S/.38 e) S/.34

4.- En dos cajas A y B de tizas hay 32 de éstas. Si de una caja C de tizas sacamos 12 y las agregamos a la que menos tiene de las dos primeras, resultaría que éstas tendrían ahora la misma cantidad. ¿Cuántas tizas tenía inicialmente la de mayor carga?

a) 21 b) 25 c) 28 d) 26 e) 22

5.- Las edades de Gladys y su papá suman 68 años. Si cuando Gladys nació, su papá tenía 24 años, ¿cuál es la edad actual de Gladys?

a) 22 b) 19 c) 25

d) 26 e) 28

6.- En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menos de éstos?

a) 18 b) 20 c) 14

d) 28 e) 16

7.- Entre Emilio y David tienen S/.800. Si David decide obsequiar S/.100 a Emilio resulta que ahora ambos tendrán la misma


NIVEL - INIVEL - I

“Las leyes de la naturaleza sólo son

pensamientos matemáticos de nuestro



cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad que tiene Emilio?.

a) S/.200 b) S/.150 c) S/.400

d) S/.300 e) S/.250

8.- Hace 8 años Carmen era 8 años menor que Catalina. Si actualmente sus edades suman 48 años, ¿cuál será la edad de Carmen dentro de 18 años?

a) 20 b) 18 c) 38 d) 46 e) 32

9.- Dentro de 3 años las edades de Jaime y Lilian sumarán 62 años. Si cuando Lilian nació Jaime tenía 4 años, ¿cuál es la edad actual de Lilian?

a) 22 años b) 28 años c)32años

d) 26 años c) 30 años

10.- Entre Carolina, Carlos y Fernando tienen S/.600. Si cofre. Carlos y Fernando le dieran S/.100 a Carolina, ésta tendría la misma cantidad que los dos varones juntos. ¿Cuánto tenía la damita inicialmente?

a) S/.150 b) S/.200 c) S/.300

d) S/.250 e) S/.125

11.- La suma de las edades de César y Oscar es 48 años. Si la edad de César es el triple que la de Oscar, ¿cuál es la edad actual de éste último?

a) 11 años b) 13 años c)12 años

d) 15 años e) 10 años

12.- Dentro de 6 años Luis será E años mayor que Moisés. Si actualmente la suma de sus edades es de 34 años, ¿cuál será la edad de Moisés dentro de 6 años?

a) 19 años b) 17 años c)13 años

d) 15 años c) 21 años

1.- Hace dos años, tu edad era mayor que la de Maritza por 8 años. Si actualmente tu edad es el triple que la de Maritza,¿cuál será tu edad dentro de 3 años?

a) 15 años b) 13 años c) 12 años

d) 16 años e) 14 años

2.- Un televisor y una radio grabadora cuestan S/.1 000. Si el televisor cuesta el cuádruplo de lo que cuesta la radio grabadora, ¿cuánto cuesta el televisor?

a) S/.600 b) S/.800 c) S/.200

d) S/.700 e) S/.400

3.- En aquella época yo tenía por edad, la cuarta parte de la tuya y tenías 21 años más que yo. Si esto ocurrió en 1985:¿Qué edad tendrás en 1995?.

a) 28 b) 30 c) 32

d) 38 e) 36

4.- Liz tiene S/.436 y Blanca S/.244. Al ir ambas de compras y gastar la misma cantidad ceda una, a Blanca le queda la





cuarta parte de lo que le queda a Liz. ¿Cuál es la cantidad que gastó cada una?

a) S/.150 b) S/.100 c) S/.120

d) Sí.160 e) S/.180

5.- Fernando y Patricia reciben de propina S/.39 y S/.23 respectivamente. Si en una tienda gastan en golosinas la misma cantidad de dinero cada uno, lo que le queda a Fernando es el triple de lo que le queda a Patricia. ¿Cuánto gastaron los dos juntos?

a) S/.15 b) S/.10 c) S/.12

d) S/.30 e) S/.20

6.- Moisés y María tienen S/.50 y S/.2 respectivamente. Ambos acuerdan que semanalmente ahorrarán S/.2. ¿Al cabo de cuántas semanas lo que tiene María es la quinta parte de lo que tiene Moisés?

a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 81

7.- Entre dos personas reinen 200 soles; pero el dinero de uno de ellos excede al dinero del otro en 60 soles: calcular: ¿Cuánto tiene cada uno? (Dar como respuesta mayor de las cantidades)

a) 70 b) 130 c) 40

d) 160 e) 120

8.- Cuando Juan nació, su padre tenía 28 años; ahora las edades de ambos suman 58 años ¿Cuántos años tendrá hijo dentro de 6 años?

a) 20 b) 42 c) 15

d) 21 e) NA

9.- De250 libros que hay en un almacén, entre los que figuran 2 títulos, se observo

que hay 50 libros más de un titulo que del otro. Indicar la cantidad de libros del título que presenta más libros.

a) 150 b) 120 c) 140

d) 160 e) 220

10.- Dos bolsas de caramelos tienen100 unidades cada una; si se extrae cierta cantidad de uno y se echa en el otro, la diferencia de cantidades será 42. Indique cuántos caramelos se retiraron de una bolsa para echar a la otra.

a) 42 b) 21 c) 79

d) 58 e) 90

11.- Dos cajas de tizas tienen inicialmente la misma cantidad; se venden 24 tizas de un tipo y el doble del otro. Si en total queden 28 tizas: ¿Cuántas tizas habían inicialmente en cada caja?

a) 70 b) 60 c) 50

d) 40 e) 90

12.- El señor Castro tuvo su hijo a los 28 años, si ahora su edad es el triple de la de su hijo:¿Cuál es la edad del hijo?

a) I4 b) 20 c) 21

d) 19 e) 9



NIVEL - INIVEL - I





1.- Si vendemos portaminas a S/.4 cada uno ganamos S/.18, pero si vendemos cada portamira en S/.2 perdemos S/.4.

¿De cuántos portaminas disponemos para la venta?

a) 8 b) 20 c) 11

d) 9 e) 12

2.- En una tienda de electrodomésticos se está considerando el precio unitario de venta de un lote de licuadoras. Si se vende cada una en S/.70 habría una ganancia de S/.250 pero si se vende cada una en S/.60 habría una pérdida de S/.160. ¿De cuántas licuadoras está constituido el lote?

a) 37 b) 39 c) 43

d) 40 e) 41

3.- Si un comerciante vende a S/.11 cada calculadora gana S/.75; pero si se decide a vender cada calculadora a S/.6 cada una pierde S/.50.

¿Cuántas calculadoras tiene para vender?

a) 17 b) 25 c) 2

d) 19 e) 28

4.- Un pequeño ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2 900 cada una tendría una pérdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3 500 cada una tendría entonces una ganancia de S/.2 800. ¿Cuántas son las vacas que piensas vender?

a) 8 b) 13 c) 17

d) 6 e) 11

5.- Pagando S/.250 a cada uno de mis empleados me faltarían S/.360; en cambio s les pagara solo S/.200 me sobrarían S/.140.

¿Cuántos son los empleados a los que tengo pagar?

a) 8 b) 12 c) 10

d) 16 e) 6

6.- Multiplicamos por 61a edad de Fernando añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado entre 4 obtenemos por fin 25. ¿Cuál es la edad de Fernando?

a) 11 b) 12 c) 25

d) 15 e) 27

7.- Si a un número lo multiplicamos por 9 y al resultado le quitamos 13 obtenemos otro número que dividido entre 10 nos da como resultado 5. ¿Cuál es el número inicial?

a) 8 b) 10 c) 7

d) 12 c) 15

8.- Felipe tiene una cantidad de nuevos soles a la que le agrega S/.25. Si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta S/.20, el nuevo resultado dividido entre 20 personas hace que cada una reciba S/.5. ¿Cuántos nuevos soles tenía Felipe inicialmente?

a) S/.12 b) S/.20 c) S/.18

d) S/.25 e) S/.15

9.- Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3 añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál es el número inicial?

a) 40 b) 58 c) 45

d) 60 c) 52

10.- Multiplicamos un número por 4, producto al que luego restamos i2,



dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuál es el número inicial?

a) 48 b) 40 c) 60 d) 58 e) 36

11.- Tengo 50 billetes, unos de S/.10 y otros de S/.50. Si uso todos los billetes que tengo para pagar una deuda de S/.780, ¿cuántos billetes son de S/.10?

a) 35 b) 43 c) 26

d) 41 e) 29

12.- Lupe tiene S/.615 en billetes de S/.10 y de S/.5. Si tiene un total de 76 billetes: ¿Cuántos son de S/. 5?.

a) 21 b) 29 c) 23

d) 27 e) 19

1.- Entre gallinas y conejos se enema en un corral 48 cabezas y 158 patas, ¿cuántas gallinas y conejos hay?

a) 17 y 31 b) 16 y 32 c) 22 y 2

d) 18 y 30 e)10 y 38

2.- Un barril contiene 69 litros de cierto líquido. Si éste debe ser envasado en 27 botellas, unas de dos litros y otras de 3 litros, ¿cuántas botellas de 2 litros se va a necesitar?

a) 8 b) 15 c) 13

d) 14 e) 12

3.- El valor de una entrada para adulto a un. rastro es de S/.8. Si un niño paga un boleto de S,/.5 y la recaudación total fue de S/.1 260. ¿Cuántos boletos de un total de 195 fueron de adultos?

a ) 100 b) 105 c) 95

d) 65 e) 75

4.- En una concentración de estudiantes habían triciclos y bicicletas. Si se contaron 85 timones y 185 llantas, ¿cuántos eran los triciclos que había en dicha reunión?

a) 11 b) 13 c) 15

d) 16 e) 70

5.- Ciento cinco litros de agua deben ser vaciados en depósitos de 11 y 4 litros. ¿Cuántos son de 11 litros si en total se usaron 21 depósitos?

a) 18 b)15 c)17

d) 3 e) 6

6.- Dos libros de matemática equivalen a 5 cuadernos. ¿Cuántos libros de matemática equivalen a 10 libros de historia, sabiendo que 7 cuadernos equivalen a 2 libros de historia?

a) 12 b) 14 c) 11





d) 13 e) 15

7.- Con 9 reglas se obtiene 5 lapiceros, con 4 lápices se obtiene 3 lapiceros. ¿Cuántas reglas se obtiene con 20 lápices?

a) 17 b) 12 c) 15

d) 16 e) 27

8.- Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos.¿Cuántas pelotas se obtendrán?

a) 715 b) 810 c) 1 008

d) 942 e) 1 012

10.- De las camisas que una tienda tiene para vender; si las vende a 40 soles, gana 200 soles y si las vende a 20, pierde 40. Indicar la cantidad de camisas que tiene para la venta.

a) 12 b) 9 c) 8

d) 10 e) 20



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