INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIORDE CIUDAD ACUÑA

Ingeniería en Sistemas Computacionales

Cálculo Integral

Ing. Mireya Trinidad Antillón Siqueiros

Tema: Aplicación de las integrales Área entre curvas planas Sólidos de revolución

Christian Daniel Alvarez PantojaPaolo Yabir Contreras Juárez

Fabiola Varela RodriguezAngel Eduardo Villegas Ramírez

Jue-30-Mayo-13

ÍNDICE

Aplicación de las integrales definidas........................................................................................................1

Área entre curvas planas.............................................................................................................................1

Solidos de revolución.................................................................................................................................3

Método de los discos..............................................................................................................................4

El Método de Arandelas.........................................................................................................................6

Método de los casquillos........................................................................................................................9

Ejercicio 1:...............................................................................................................................................11

Ejercicio 2:...............................................................................................................................................12

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DEFINIDASLa integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

ÁREA ENTRE CURVAS PLANAS

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y

, las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a, b]. Si las gráficas están sobre el eje x y

la gráfica   esta debajo de la gráfica , se puede interpretar geométricamente el área de

la región entre las gráficas, es decir restar el área de la función   al área de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos. 

Si   y   son continuas en [a, b] y   ≤   para todo x en [a, b],

entonces el área de la región acotada por las gráficas   y  , y las rectas

verticales   y   es:

Representación gráfica para obtener el área entre las curvas  y   

Observaciones:a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean

continuas y de que g(x) ≤ f (x). b) Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x.

Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para él área. 5. Evalúe la integral definida.

1

Ejemplo:Calcular el valor del área de la región limitada por y = x +4 y y = x2 – 2.

Solución:

1.- Graficamos en un mismo plano y = x +4 y y = x2 – 2.

2.- Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.

3.- Definimos el elemento diferencial.

4.- La integral definida para el área sería:

5.- Evaluando la integral definida, tenemos:

A=∫−2

3

[ ( x+4 )−( x2−2 ) ] dx=∫−2

3

[−x2+x+6 ] dx

¿ (−x3

3+ x2

2+6 x )|

−2

3

¿(−33

3+ 32

2+6 (3 ))−(−(−2 )3

3+

(−2 )2

2+6 (−2 ))

¿−9+ 92+18−8

3+2−12

A=56

u2

2

SOLIDOS DE REVOLUCIÓNVolumen es la cantidad que contiene un envase. Volumen implica trabajar en tres dimensiones. Observa que a un plano se le puede calcular el área pero no el volumen puesto que solo tiene dos dimensiones.

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con axial o cilíndrica es un sólido de revolución.

Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”.  La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.

Elementos de los sólidos de revolución1.- Eje de Revolución.2.- Superficie de Revolución (al girar una línea recta o curva alrededor de un eje).3.- Generatriz (línea que genera la superficie).4.- Paralelos de la superficie (circunferencias perpendiculares al eje).5.- Meridianos (planos que contienen al eje y cortan la superficie.6.- Sólido de revolución (contenido en la superficie de revolución).

¿Cuáles son las características de los sólidos de revolución?1.- Tiene superficies curvas.2.- Tiene infinitos planos de simetría que contienen al eje. 3.- No tiene aristas y por lo tanto, sus superficies no son polígonos. 4.- Son generados por una figura plana que gira (Figura generatriz) sobre un lado recto que hace de

eje de simetría. 5.- Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene un segmento perpendicular al eje, genera una

cara circular. 6.- Si la figura que lo genera  (Figura generatriz) tiene un segmento diagonal al eje, genera una zona

cónica.

3

7.- Si la figura que lo genera  (Figura generatriz) tiene un segmento paralelo al eje, genera una zona cilíndrica.

8.- Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene media circunferencia, genera una zona esférica o semiesférica, de acuerdo con la posición de la semicircunferencia.

9.- Una figura genera un sólido diferente si cambia el eje de rotación.  Cualquier plano que pase por el centro de una esfera es un plano de simetría; y cualquier diámetro de la esfera es un eje de rotación.

10.-Hay sólidos de revolución con un plano de simetría perpendicular al eje de rotación.

Método de los discosPara hallar el volumen de un sólido de revolución dividimos el sólido en rectángulos cuyo eje de revolución es el eje de x. La revolución de un rectángulo da lugar a un disco, por lo tanto este método divide al sólido en discos de ancho ∆x, el ancho de cada rectángulo. Calculamos el área de cada disco (región plana circular) con la fórmula de área de un círculo. Para calcular el volumen multiplicamos el área de la región circular por el ancho del rectángulo (∆x) que lo forma:

∆ V =π R2∆ x

En forma esquemática así es el orden de la fórmula:

Ejemplo:

Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por   y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y.Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y, se produce un disco cuyo volumen es igual a la diferencia entre volúmenes generados al girar los

rectángulos ECDF(de dimensiones 2 por   y EABF (de dimensiones x por   con respecto al eje  ,

es decir, .

4

El volumen que se desea encontrar será:

5

El Método de ArandelasEl método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela.

La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.

El volumen viene dado por:

6

Ejemplo:

Calcular el volumen del sólido:

 

que gira alrededor del eje   

Solución:Como se observa en la gráfica anterior, al girar el sólido en torno al eje  , el sólido que se forma mediante el método de discos es un anillo, entonces se procede a calcular el volumen total del anillo,

sabiendo que éste es:   Y tomamos en cuenta los valores para cada radio del anillo   y   

Buscamos los intervalos; igualamos 

Intervalos [0,2]

Ahora encontramos el  :

Ahora encontramos el  :

7

Ahora encontramos el :

Ahora aplicamos límites :

Ahora por medio del teorema fundamental del cálculo, integramos:

8

Método de los casquillosEl método de los casquillos o casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales (arandelas y discos) puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

Se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Es por esto por lo que a este método se le conoce también como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos. 

Para comenzar el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la imagen de abajo.

Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2del cilindro exterior, así:

9

En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos  r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:

Ejemplo:Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal  y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la gráfica

 y el sólido de revolución que engendra en el siguiente gráfico

Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho:Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el  rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi.  Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:

10

Ejercicio 1:Hallar el área limitada entre las curvas y2=4x, 4x+y-6=0.

Solución:

11

Ejercicio 1:Hallar el área limitada entre las curvas y2=4x, 4x+y-6=0.

Solución:

12

Ejercicio 2:

Hallar el volumen generado al hacer girar el área limitada por una parábola y2=4x y la recta -2=0 alrededor del eje x.

Solución:

13