Arcos

Arcos planos

J. T. Celigüeta

1

Arcos planos. DefiniciónDirectriz curva plana. Sección transversal despreciable.Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>hVarias condiciones de apoyo en los extremos.

2

Ejemplos

Puente romano (Córcega)

Puente del Milenio (Londres)Velódromo olímpico (Atenas)

Puente Michigan (Detroit) L=80 m

3

Teoría básicaEsfuerzos internos: N, M, QHipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformadaR >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.Energía elástica:

2 2*

2 2 m g

N MU ds ds N T ds M T ds

EA EIα α= + + −∫ ∫ ∫ ∫

4

Ecuaciones de equilibrio

Equilibrio radial:Nuevo término asociado a N

Equilibrio de momentos:

s

dQ Nq

ds R= +

dMQ

ds=−

M

M+dMN

N+dNQ

Q+dQ

ds

qs

5

Arco triarticulado (I)Isostático

b=2 n=3 r=4 c=1

LA

h

fA

fB

LB

A

C

B

Se aplica la fórmula de los pórticos planos

6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0

6

Arco triarticulado (II)

0extACx A y A AC f C L M− + + =

0extCBx B y B BC f C L M+ + =

LA

h

fA

fB

LB

A

CX

B

CY

CY

( ) 0ACAM =∑( ) 0BCBM =∑

CX, CY

7

Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1)

q

AX

AY

CX

2 2

08 8 2x y x y

qL qL qLC C A A

f f=− = = =

Gran reacción horizontal en los apoyos (1/f)

q

L

f

Forma y(x) sin definir.

Por simetría: CY=0

8

Arco triarticulado sin momento flector (2)NM

Q

x

q

qL/2

qL2/8f

2 2

2 8 2qL qL qx

M x yf

= − −

22

4( )f

y Lx xL

= − Parábola simétrica

0M =

2

cos sin cos 08 2qL qL

Q qxf

α α α= + − =Sustituyendo forma parabólica

9

Arco triarticulado sin momento flector (3)

2

8Clave

qLN

f=−

( )1/22 2168A

qLN L f

f=− +

2

8X

qLN

f=−

2Y

qLN qx= −

2

sin sin cos2 8qL qL

N qxf

α α α= − −1/24 2

2264 4

L LN q x xL

f

⎛ ⎞⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Valor máximo en los apoyos

Es siempre de compresión

Proyección horizontal constante

10

Arco triarticulado parabólico. Deformación

L/2f

1/2V=1

L/2f

1/2

0 1cos sin

2 2V L

Nf

α α=− −

0 0 01 1 1( 0)V V V

CY N N ds M M ds N N dsEA EI EA

Δ = + = =∫ ∫ ∫

0 1sin cos

2 2V L

Qf

α α= −

Fuerza virtual unitaria

11

Arco triarticulado parabólico. Deformación

L/2f

1/2V=1

L/2f

1/2

0 1cos sin

2 2V L

Nf

α α=− −

1 1 1 1cos sin tan cos

2 2 2 2CY

L LN ds N dsEA f EA f

α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜Δ = − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

1/24 22

264 4L L

N q x xLf

⎛ ⎞⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

( )2

1 42

2CY

L fN L x dxEA f L

⎛ ⎞− ⎟⎜Δ = − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫

12

Simplificaciones habituales• Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial

00

00

seccos

1 1cos cos

II I

EI EI

αα

μ α μ α

= =

= = =

10

EAγ = =

• Momento de inercia variable según la ley de la secanteFlexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno

Simplifica las integrales pues :

0 0( ) ( ) cos ( )f x ds f x ds f x dxμ μ α μ= =∫ ∫ ∫

I0 : momento de inercia en la clave

13

Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1)q

L

fN0M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

0 2( )2q

M Lx x= −

h=1 X1=Ax

1M y=−

ParabólicoSin energía de esfuerzo axial. Inercia variable según la ley de la secante

22

4( )f

y Lx xL

= −

14

Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (2)

1M y=−

1 1 1 1 211

2 211 0 0

20

11

( )

( ) cos

8

15

f N N ds M M ds y ds

f y ds y dx

f Lf

γ μ μ

μ α μ

μ

= + = −

= − =

=

∫ ∫ ∫∫ ∫

Sin energía de esfuerzo axial. Inercia variable según la ley de la secante

15


( )

( )

0 1 0 11

21

21 0

30

1

( )2

cos ( )2

15

D N N ds M M ds

qD Lx x y ds

qD Lx x y ds

q f LD

γ μ

μ

μ α

μ

= − − =

= − − −

= − − −

=

∫ ∫∫

∫

21

11 8X

D qLA

f f= =

N0M0

Q0

x

q

qL/2

0 2( )2q

M Lx x= −

16


20 2 2

2

4( ) ( ) 02 8X

q f qLM M yA Lx x Lx x

L f= − = − − − =

Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado

2

cos sin cos 08 2qL qL

Q qxf

α α α= + − =

Sustituyendo forma parabólica

N0M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

0 2( )2q

M Lx x= −1M y=−

2

8X

qLA

f=

17


2

8Clave

qLN

f=−

( )1/22 2168A

qLN L f

f=− +

2

8X

qLN

f=−

2Y

qLN qx= −

2

sin sin cos2 8qL qL

N qxf

α α α= − −1/24 2

2264 4

L LN q x xL

f

⎛ ⎞⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


N


Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)

18

Arco biarticulado parabólico. Carga puntual

( )2

0

1 0

5( ) cos

2 48

P f LPD L x y ds

μμ α= − − − =∫

75384X

PLA

f=

max 0.0253 9 /50negM PL x L= − =

20 75

2796X

P xM M yA x

L

⎛ ⎞⎟⎜= − = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

0.0547claveM PL=

M

P

19

Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1)

1 11X K=

IX=1

K21

K31K11

K41

Sin energía de esfuerzo axial.

11 1 1 11211

1 11f X X K

f y dsμ= = = ≡

∫

1 1 211 ( )f M M ds y dsμ μ= = −∫ ∫

h=1

Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δIX

Caso 1

Condición de compatibilidad:

20

Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (2)

31 11 21 41 0K K K K= − = =

IX=1

K21

K31K11

K41

1 11211

1 1X K

f y dsμ= = ≡

∫

Cálculo de la columna 1

11

21

31 11

41

0

0

K

K

K K

K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎣ ⎦

Condición de compatibilidad:11 1 1 11 0f X D D= + =

21

Arco biarticulado. Matriz de rigidez

2

1 0 1 0

0 0 0 011 0 1 0

0 0 0 0

Ly dsμ

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫K

Sólo aporta rigidez en la dirección X


IX JX

IY JYy

Columnas 2 y 4 nulasColumna 3 igual a la 1Agrupando las 4 columnas

22

Arco biarticulado parabólico. Rigidez

Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I0 sec αI0 inercia en la clave

02

1 0 1 0

0 0 0 0151 0 1 08

0 0 0 0

L

EILf

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energía de axial

2

2 2 20 0

0

8cos

15

f Ly ds y ds y dx

EIμ μ α μ= = =∫ ∫ ∫

23

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)N0M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

1M y=−0 2( )2q

M Lx x= −h=1 X1=Ax

1 1 211

2 2

11

( )

2 32

f M M ds y Rd

R S e S eLRf

EI

μ μ θ= = −

+ −=

∫ ∫ cosy R eθ= −

y

L

R e

x

sin /2x R Lθ= +

Longitud del arco S=2RαInercia constante. Sin energía de axial

24

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)

3 2 2 2

2 2

2 3 6 6

12 2 3X

RL LeS e RL R eSqX A

R S e S eLR

− − += =

+ −

2 2max ( )

2 2 4 8X X

q L L qLM L R e A fA

⎛ ⎞⎟⎜= − − − = −⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )

( )

0 1 21

3 2 2 21

( )2

2 3 6 624

qD M M ds Lx x y Rd

qD RL LeS e RL R eS

EI

α

α

μ μ θ+

−

= − =− − −

= − − +

∫ ∫

0 2( ) ( cos )2X X

qM M yA Lx x R e Aθ= − = − − −

Momento flector

Momento máximo en la clave x=L/2, θ=0M0

M1=-yAx

qL2/8

f Ax

25

Arco biarticulado circular. Rigidez

cosy R eθ= −

Directriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2RαInercia constante

2 2 2( cos ) ( cos )y ds R e ds R e Rdα

αμ θ μ θ μ θ

+

−= − = −∫ ∫ ∫

2 2

1 0 1 0

0 0 0 021 0 1 02 3 R

0 0 0 0

L

EIR S e S eL

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥−+ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Particularizando la expresión general de la rigidez del arco biarticulado

26

Arco atirantado

0t t tNλ ρ= −

Pretensión de montaje en el tirante: N0tPositiva a tracción

No se transmite reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales

1t

t t t

LK E A

ρ = =

Error en longitud del tirante:(positivo más largo)

Flexibilidad del tirante

0t t t tN K N= Δ +

( )t t t tN K λ= Δ −

27

Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad

30 1 0 1 1 0

1 15t t t t t t

qf LD M M ds N N N

μμ ρ λ λ= − − − = −∫

1 1 1 1 211

22 0

11 0

( ) (1) (1)

815

t t t t

t t

f M M ds N N y ds

f Lf y dx

μ ρ μ ρ

μμ ρ ρ

= + = − +

= + = +

∫ ∫

∫Inercia según la secante:

I=I0 sec α

N0M0

Q0q

qL/2

0 2( )2q

M Lx x= −1

1 cos

M y

N α

=−

=−

Directriz parabólica

h=1 X1=Nt

28

Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante

30

01

2011

158

115

tt

t

t

qf LN

DX N

f Lf

μρμρ

+= = =

+

Esfuerzo final en el tirante siempre positivopara q hacia abajo y pretensión de tracción

La pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante

Constante D > 1

Nota: Si ρt=0 (tensor infinitamente rígido) sale Nt = q L 2 / 8fcomo en el arco biarticulado

29

Arco atirantado. Momento flector0 1 0 2( ) ( )

2t t

qM M XM M N y Lx x y N= + = + − = − −

( )2

2 8C t

qLLM M x f N= = = −

M0

M1=-yNt

M=M0 – y Nt

El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye más cuanto más arriba (y)

Momento sin tirante (Punto A libre)

Momento en la clave C:

2

8biartC X

qLM f A= −

Similar al arco biarticulado:

30

Arco atirantado. Esfuerzo axial0 1 sin cos

2 t

qLN N XN qx Nα α

⎛ ⎞⎟⎜= + = − + −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

N0

N=N0 – Nt cos

N1 = - cos

La tracción del tirante aumenta el valor de la compresión en el arco.

Axial sin tirante (Punto A libre)(negativo)

Axial siempre de compresión

C tN N=−

31

Arco atirantado. Deformación del apoyo A

0t

t tt

N NρΔ

= +

0( )t t t tN N ρΔ = −

30

0

115t t

qf L DN

D Dμ

ρ−

Δ = + tD= denominador de la expresión del esfuerzo en el tirante. D>1

Es igual a la deformación del tirante

Despejando la deformación:

Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:

Segundo sumando negativo. La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo:

N

N0t

t

32

Arco atirantado pretensado. Resumen

2( )2 t

qM Lx x yN= − −

sin cos2 t

qLN qx Nα α

⎛ ⎞⎟⎜= − + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

30 0

15t

tt

qf L NN

D Dμρ

= +

La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo.

Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales

Axial siempre de compresión- La tracción del tirante aumenta el valor de la compresión en el arco

Aparece momento flector- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector

Esfuerzo final en el tirante:- siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción- la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante

30

0

115t t t

qf L DN

D Dμ

ρ−

Δ = +

33

Arco biempotrado

X

Y

A

A

A

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

X

A

B

N2M2

Q2

x

1

y

1M y=− 1 cosN α= −

2M x= 2 sinN α= − 3 1M =− 3 0N =

N1M1

Q1

x1

y

N0M0

Q0

x

y

q

N3M3

Q3

x1

y

Caso 0Caso 1

Caso 2 Caso 3

34

Arco biempotrado

0 0

02 02 11 11 01

0 011 11 20 20 10

001 10 00

cos cos

sin sin

m gx

y m g

Ag

N ds T ds T yds M ydsAI J I J I

I J I J I A N ds T ds T xds M xds

I I I M T ds M ds

γ α α α α μ

γ α α α α μ

α μ

⎧ ⎫⎪ + − +⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎪⎪ ⎪+ − + ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪− + + − = + − −⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ − +⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪⎪⎩

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Ecuaciones de compatibilidad:

, 0,1,2m nmnI x y ds m nμ= =∫

sin cosm nmnJ dsγ α α= ∫

0X Y AM M yA xA M= − + −

Esfuerzos finales:

0 cos sinX YN N A Aα α= − −

=f X D

35

Arco biempotrado parabólico. Carga uniformej k

jkf M M dsμ= ∫

2 2

2 3 2

0

2

8 215 3 3

3 3 223 2

Lf L f Lf

L f L LEI

Lf LL

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

f

AB

Energía axial nula

Inercia según la ley de la secante

1 2 3 1M y M x M=− = =−

36

Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme0 j

jD M M dsμ=−∫ N0M0

Q0

x

y

q

20

2qx

M =−

Coeficientes D

30

40

30

/10

/8

/6

qL f EI

qL EI

qL EI

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

D

2 / 8

/2

0

X

Y

A

qL fA

A qL

M

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

X

Mismas reacciones que en el arco isostáticoNo hay momento en los apoyos

37

Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme

2 20 0 0

2 8 2X Y A

qx qL qLM M yA xA M y x

f= − + − =− − + + =

Momento flector: nulo !!

Axial: igual que en el arco isostático

2

8Clave

qLN

f=−

( )1/22 2168A

qLN L f

f=− +

1/24 22

264 4L L

N q x xLf

⎛ ⎞⎟⎜= − + − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


N


38

Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1)

N2M2

Q2

x

1

y

N1M1

Q1

x1

y

N0M0

Q0

x

y

N3M3

Q3

x1

y

Caso 0Descargado

Caso 1

Caso 2 Caso 3

1 11

2 21

3 31

X

Y

A

X A K

X A K

X M K

= =

= =

= =

Columna 1 de K h=3

39


2 2

112 3 2

0 21

2 31

8 215 3 3 1

03 3 2

023 2

Lf L f Lf

KL f L L

EI K

KLf LL

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i jijf M M dsμ= ∫

Sin energía de esfuerzo axial.Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I0 sec(α)

0+f X = D Δ

La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad.El vector D es nulo, pues el caso 0 está descargado.Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X

40


2 2

11 12 132 3 2

0 21 22 23

2 31 32 33

8 2

15 3 3 1 0 0

0 1 03 3 2

0 0 12

3 2

Lf L f Lf

K K KL f L L

EI K K K

K K KLf LL

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1

II II−=K f

II IIf K = I

Columna 3

Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad

Columna 1 Columna 2

Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I

Deformación impuesta

41

Arco biempotrado. Rigidez

Directriz parabólica. Inercia según la secante.

I=I0 sec(α)I0 inercia en la clave

2

3 2 3 2

2 2

0

2 2

3 2 3 2

2 2

2

15 45 15

2 4 20 012 6 12 6

0 0156 9 6 32

45 15 45 15

4 2 4 20 012 6 12 6

0 015 156 3 6 92 2

454

152

IX

IY

I

JX

JY

J

Lf Lf Lf

L L L L

LfL L L LEI

Lf Lf Lf Lf

L L L L

Lf LfL L L L

Lf

P

P

M LfP

P

M

− −

⎧ ⎫⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

−− −

−

IX

IY

I

JX

JY

J

δ

δ

θ

δ

δ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

IXJX

IY JY

I J


42

Ejemplo 1

L

H

f

q

L

Rígido axialmente

0

0 03 2

0 02

22

2

0

0

3

6

0

0

152

12 6

6 9 4

45 14

261

2

5

X X

Y Y

ILf

I IL LI IL L

IH H

AE H

IH

IL

I

F

FI MI

Lf H

f

θ

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

−

−

−

⎥⎣ ⎦

+−

Δ

ΔArco parabólico, sin energía de esfuerzo axial, inercia según la secante.

Pilar central infinitamente rígido axialmente

X

Y

q

L

H

f

43

Ejemplo 1. Fuerzas

2

8

2

0

X

Y

qLf

qLF

F

M

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎟⎪ ⎪⎜− ⎟⎪ ⎜ ⎪⎟⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎟⎜= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

qL/2

qL2/8f qL2/8f

qL/2M0=0

Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q

qL2/8f

qL/2

q

qL/2

qL2/8f

No hay momentos en la fase 0

44

Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco2

2

02

2

15 45 158 2 4 20 0

12 0

0

8

2

0

454

IX

IY

I

JX

JY

J

qLf Lf Lf LfqL

EIqLf

qL

LfP

P

M

P

P

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ − −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

3 2 3 2

2 2

2 2

3 2 3 2

2 2

2 6 12 60156 9 6 32

45 15 45 154 2 4 20 0

12 6 12 60 015 156 3 6 92 2

152

0

0

0

X

YL L L L

LfL L L L

Lf Lf Lf Lf

L L L L

Lf LfL L L L

Lf θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪− − ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− − − ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ

Δ−

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I

45

Ejemplo 1. Flector en el arco

IX

IY

I

2

2IY IX I

qxM P x P y M

f= − − −

20 02

0 03 2

0 0 02

45 15

8 4 212 6

215 6 9

2

XIX

YIY

X YI

qL EI EIP

f Lf LfqL EI EI

PL L

EI EI EIM

Lf L L

θ

θ

θ

Δ= + −

Δ= + +

Δ Δ= − + +

Variación parabólica en x

46

Ejemplo 2

23

2

1 1

1

2

2

3

1

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

3

3C C

XC C

Y

X X

Y Y

X

Y

K

EAH

K

E

EIH

AH

KF

F

F

H

F

EI

K

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ

Δ

Δ−Δ

Arco semi circular uniforme

2 3

2 16C CC

EI EIK

R S L π= =

1X

1Y

q

L

H

R=L/2

2X

2Y

A

C

B

47

Ejemplo 2. Fuerzas

02

01

02

23

2

2

X

Y

Y

qLF

qLF

qLF

π=−

=

=

L=2R

1 2

qL/2

F1X -F2X

3 2 2 2

01 2 2

2 3 6 6 212 2 3 3X

RL LeS e RL R eSq qLF

R S e S eLR π

− − += =

+ −

48

Ejemplo 2. Ecuación de equilibrio

3

1

1

2

3

2

3

20 03

0 0 0220 03

0 0 02

3C C

C C

X

Y

X

Y

qLK

EA qLH

qLK

EH

E

A qL

IH

EIH

K

K

π

π

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦

Δ

Δ

Δ−Δ

qL/2

q

qL/2

2qL 2qL

49

Ejemplo 3. Añadimos un tirante pretensado

( )

( )

0

03

3

1

1

2

2

20 03

0 0 02

3 20 03

0 0 02

3C C

C C

X

Y

X

Y

K K N

K K

qLK

EA qLH

EI qLKH

EA qLH

N

EIK

H

K

π

π

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪+ −⎢ ⎥ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢

+ −

⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

+

⎩ ⎭

−

−

⎣ ⎦

Δ

Δ

Δ−Δ

1X

1Y

q

L

H

R=L/2

2X

2Y

A

C

B

K

Disminuyen las fuerzas exteriores

Aumenta la rigidez (poco)

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