Programa de Dotorado - SSR

Curso �Métodos analítios y análisis de señales�

Módulo B

Métodos analítios para el estudio

de señales y sistemas

9 de diiembre de 2015

José Ignaio Ronda Prieto

jir�gti.ssr.upm.es

www.gti.ssr.upm.es/~jir

Grupo de Tratamiento de Imágenes

Depto. de Señales, Sistemas y Radioomuniaiones

ETSI Teleomuniaión, Universidad Politénia de Madrid

Índie general

1. Introdu

ión a los espaios de dimensión in�nita 7

1.1. Estruturas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Espaios normados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ejemplos de di�ultades que apareen en los espaios de dimensión in�nita 10

1.3.1. Convergenia de seuenias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Proye

iones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Topología de espaios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Coneptos básios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.3. Espaios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.5. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.6. Conjuntos ompatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.7. Apliaiones lineales entre espaios normados . . . . . . . . . . . 14

1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Introdu

ión a los espaios de Hilbert 19

2.1. Introdu

ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. El espaio l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Espaios de Hilbert separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Caraterizaión de bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

2.5. Subespaios errados y proye

iones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1. Subespaios de espaios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2. Proye

iones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.3. Complementos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Algunos espaios de Hilbert importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1. Señales periódias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.2. Señales de energía �nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.3. Señales limitadas en banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Bases de ondíulas 30

3.1. Motivaión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2. Análisis multirresoluión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. De�niión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2. Observaiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3. Ejemplo: Análisis multirresoluión de Haar . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Espaios Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4. Ondíula madre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5. Obtenión de φ a partir de mφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6. Transformada ondiular disreta y banos de �ltros . . . . . . . . . . . . 42

3.7. Constru

ión de funiones de esalado on soporte ompato . . . . . . . 45

3.8. Análisis multirresoluión de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9. Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Transformada ondiular ontinua 54

5. Introdu

ión al método de elementos �nitos 56

5.1. Introdu

ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2. Reformulaión del problema de la EDP elíptia . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Espaios de funiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

5.3.1. Espaios de Banah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.2. Espaios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.3. Derivada débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.4. Espaios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4. Soluión débil de la euaión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4.1. Estudio del problema general de la formulaión débil . . . . . . . 62

5.4.2. Partiularizaión a la EDP elíptia . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5. Método numério: Aproximaión de Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.1. Idea básia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.2. Aproximaión a la soluión exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5.3. Regularidad de la soluión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A. Introdu

ión a los espaios de Hilbert. Demostraiones 72

A.0.1. l2 es ompleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.0.2. Todo EPI separable tiene una base de Hilbert . . . . . . . . . . . 73

A.0.3. Todo espaio de Hilbert separable es isomorfo a l2 . . . . . . . . . 73

A.0.4. La adherenia de un subespaio es un subespaio . . . . . . . . . 75

A.0.5. Un subespaio errado de un espaio métrio ompleto es ompleto 75

A.0.6. Un subonjunto de un espaio métrio separable es separable . . . 75

A.0.7. El onjunto ortogonal de un onjunto es un subespaio errado . . 75

A.0.8. En un EHS el omplemento ortogonal del omplemento ortogonal de un subespaio es su adherenia 76

A.0.9. Caraterizaión de subespaios densos . . . . . . . . . . . . . . . 76

B. Resultados fundamentales sobre la integral de Lebesgue 77

B.1. De�niiones y resultados básios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B.2. Teoremas de paso al límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

C. Análisis de Fourier 80

C.1. Transformaión de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

C.2. Propiedades de la transformaión de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 81

C.3. Transformaión de Fourier de seuenias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

C.4. Transformaión de Fourier y muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4

Preámbulo

Este doumento es la segunda parte de los apuntes del urso de dotorado "Métodos

analítios y análisis de señal"del Máster Universitario en Tenologías y Sistemas de

Comuniaiones de la ETSIT-UPM.

El objetivo del urso es reforzar los reursos matemátios de los ingenieros de teleomu-

niaión para failitar la realizaión de la tesis dotoral.

En esta segunda parte se abordan algunos problemas que se formulan en espaios ve-

toriales de dimensión in�nita. Por ello se omienza llamando la atenión sobre las dife-

renias entre estos espaios y los de dimensión �nita y proporionando una introdu

ión

a los espaios de Hilbert separables, que son los espaios de dimensión in�nita on pro-

piedades más similares a las de los espaios de dimensión �nita.

Después se aborde el análisis de señales mediante ondíulas, prinipalmente a través

del onepto de análisis multirresoluión, pero on referenia también a la transformada

ondiular ontinua.

Finalmente se proporiona una introdu

ión al método de elementos �nitos para la

resoluión numéria de euaiones en derivadas pariales.

5

Copyright

"Métodos analítios para el estudio de señales y sistemas"

Algunos derehos (C) 2015 reservados. José Ignaio Ronda Prieto

Versión 1.0, noviembre de 2015.

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durante su preparaión no puede desartarse que aún ontengan errores. El autor no garantiza que el

ontenido de estos apuntes esté libre de errores.

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Compartir bajo la misma lienia: Si se altera o se transforma esta obra, o se genera una obra

derivada, sólo se puede distribuir la obra generada bajo una lienia similar a ésta.

Capítulo 1

Introdu

ión a los espaios de

dimensión in�nita

1.1. Estruturas importantes

En esta se

ión repasamos algunas estruturas matemátias onoidas.

Espaio métrio: (E, d), donde d : E × E → R+ veri�a(a) d(u, u) = 0 ⇔ u = 0(b) d(u, v) = d(v, u)() d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w) (desigualdad triangular)Una isometría es una apliaión entre espaios métrios que preserva la distania.

Las isometrías son siempre inyetivas.

Si entre dos espaios métrios existe una isometría biyetiva, se die que son isométrios.

Conviene que la métria se omporte bien respeto de las operaiones de espaio veto-

rial. Por eso se pre�ere que la métria derive de una norma.

Espaio normado: (V, ‖ · ‖), donde V es un espaio vetorial y se veri�a1) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖2) ‖αu‖ = |α|‖u‖3) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0De�niendo d(u, v) = ‖u− v‖ tenemos un espaio métrio.Se veri�a

xn → x, yn → y ⇒ αxn + βyn → αx+ βy.

Dos normas ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 son equivalentes si existen onstantes c1, c2 tales que para todovetor x

c1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1.

7

Es fáil demostrar que una norma p y la norma ∞ son equivalentes en Cn:

‖x‖pp =n∑

k=1

|xk|p ≤ n ‖x‖p∞ ,

‖x‖p∞ ≤n∑

k=1

|xk|p = ‖x‖p ,

luego

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p ‖x‖∞ .

De heho se puede demostrar que en un espaio de dimensión �nita dos normas uales-

quiera son equivalentes.

Espaio on produto interno: (V, 〈·, ·〉) tal que1) 〈u, v〉 = 〈u, v〉2) 〈αu+ βv, w〉 = α 〈u, w〉+ β 〈v, w〉3) 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0De�niendo ‖u‖ =

√

〈u, u〉 tenemos un espaio normado.Veri�an la desigualdad de Shwartz:

| 〈u, v〉 | ≤ ‖u‖ ‖v‖ ,(on igualdad si y sólo si u y v son proporionales) y la igualdad del paralelogramo:

2(‖x‖2 + ‖y‖2

)= ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 .

De heho, si un espaio normado veri�a esta igualdad, es un espaio on produto

interno on el produto esalar

〈x, y〉 = 14

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2

).

Esta fórmula se denomina identidad de polarizaión.

Una onseuenia es que las isometrías son las apliaiones que preservan el produto

esalar.

En un espaio on produto esalar se de�ne el onepto geométrio de ortogonalidad:

u ⊥ v ≡ 〈u, v〉 = 0,u ⊥ S ≡ 〈u, v〉 = 0 ∀v ∈ S.

Si x ⊥ y, es inmediato omprobar el teorema de Pitágoras:‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 .

Dado un subonjunto S se de�ne su subespaio ortogonal S⊥ omo el subespaio vetorialformado por los vetores ortogonales a todos los elementos de S.

1.2. Espaios normados importantes

Espaios lp (1 ≤ p

Veri�a la desigualdad de Hölder:

x ∈ Lp(R), y ∈ Lq(R), 1p+

1

q= 1 ⇒ ‖xy‖1 ≤ ‖x‖p ‖y‖q .

La desigualdad triangular también reibe en este aso el nombre de desigualdad de

Minkowski.

Espaio L2(R): La norma proede en este aso del produto esalar

〈x, y〉 =∫ ∞

−∞x(t)ȳ(t) dt.

La transformaión de Fourier es una isometría de L2(R) en L2(R).

Espaio L∞(R): Funiones esenialmente aotadas, es deir, tales que

sup esen|x|

Sin embargo, si onsideramos el espaio RN de las señales disretas x(n), n = 0, 1, ...,las seuenias onvergentes dependen de la norma utilizada. Por ejemplo, la seuenia

xk(n) =

{1/k 0 ≤ n < k0 n ≥ k

onverge a ero en la norma ‖·‖∞ o en la norma ‖·‖2 , pero no en la norma ‖·‖1.

1.3.2. Bases

Podría pareer que las señales de la forma δk(n) = δ(n−k) forman una base del espaiode las señales disretas, pero no es así: Cuando haemos on ellas ombinaiones lineales

sólo obtenemos el onjunto las seuenias que son ero a partir de ierta muestra (espaio

c00).

Para que sea base tenemos que rede�nir el onepto de base admitiendo sumas in�nitas:

∞∑

k=0

x(k)δk(n) = x(n),

Pero hay que de�nir qué entendemos por suma in�nita. Si en nuestro espaio de señales

tenemos de�nido el onepto de límite, la igualdad anterior se interpreta omo

N∑

k=0

x(k)δk(n)N→∞−→ x(n).

1.3.3. Proye

iones ortogonales

En Rn dados un vetor v y un subespaio S, sabemos que existe un únio vetor de Sque es el más erano a v (proye

ión ortogonal de v sobre S).

Para ver la di�ultad en dimensión in�nita, es aonsejable intentar haer lo mismo on

la seuenia v(n) = 1ny el subespaio S de las seuenias que son ero salvo en un

número �nito de muestras.

1.4. Topología de espaios normados

1.4.1. Coneptos básios

- Bola abierta B(x, r): Puntos que distan de x menos que r.- Un onjunto es abierto si ada punto es entro de una bola ontenida en el onjunto.

- Un punto del espaio es punto de aumulaión de un onjunto A si es límite de unaseuenia de elementos de A.- Un onjunto C es errado si ontiene los límites de sus seuenias, es deir, sus puntosde aumulaión o, equivalentemente, si su omplementario es abierto.

- Se de�ne la adherenia (losure) de un onjunto A, lA, omo el onjunto de lospuntos de aumulaión de A.

Dos asos importantes de onjuntos errados:

- En un espaio normado, los subespaios vetoriales de dimensión �nita.

- En un espaio on produto interno, el subespaio vetorial S⊥ formado por los vetoresortogonales a un onjunto ualquiera S (espaio ortogonal a S).

1.4.2. Continuidad

Una apliaión T entre espaios métrios es ontinua si

xn → x⇒ T (xn) → T (x).En un espaio normado la norma, la suma (x 7→ x + x0) y el produto por esalar(x 7→ αx) son operaiones ontinuas.En espaios onretos se de�nen riterios de onvergenia adiionales, omo la onver-

genia puntual (onvergenia de ada omponente) en lp, onvergenia en asi todopunto en Lp(·).La onvergenia en la norma ‖ · ‖∞ se denomina onvergenia uniforme.

1.4.3. Espaios separables

Un onjunto A ⊂ B es denso en B si ada bola de B ontiene algún elemento de A.Equivale a que la adherenia de A sea B.También equivale a que ada elemento de B se pueda aproximar arbitrariamente bienpor elementos de A.

Las funiones ontinuas y las funiones onstantes a trozos onstituyen onjuntos densos

en L2(R).Los polinomios trigonométrios son densos en Lp(T), p > 1.

Un onjunto es separable si ontiene un subonjunto numerable denso.

1.4.4. Completitud

Una seuenia es de Cauhy si �jado un ǫ > 0 arbitrario existe un m tal que doselementos posteriores a m ualesquiera distan entre sí menos que ǫ. Toda seuenia

onvergente es de Cauhy.

Si en un espaio métrio se da el reíproo, es deir, si toda seuenia de Cauhy es

onvergente, se die que el espaio es ompleto.

Intuitivamente: Un espaio ompleto es un espaio sin agujeros en el sentido de que

uando paree que nos aeramos a algo (mediante una seuenia de Cauhy) ese algo

(el límite de la seuenia) existe y es un punto del espaio.

Un espaio de Banah es un espaio normado ompleto.

Un espaio de Hilbert es un espaio on produto interno ompleto.

Los espaios lp, Lp(R) y Lp(T) son ompletos, luego son espaios de Banah.Para p = 2 son espaios de Hilbert.

Los subonjuntos errados de un espaio ompleto son ompletos.

Dado un espaio métrio no ompleto E se de�ne su ompletaión F omo un espaiométrio ompleto que inluye a E omo subonjunto denso.Informalmente, se obtiene añadiendo a E los límites de sus seuenias de Cauhy (esdeir rellenando sus agujeros).

Todas las ompletaiones de un espaio métrio son esenialmente iguales (isométrias).

Ejemplos:

- R es la ompletaión de Q.

- Lp(R) es la ompletaión del onjunto de las funiones ontinuas on norma ‖·‖p �nita.Los subonjuntos errados de espaios métrios ompletos son ompletos.

1.4.5. Continuidad uniforme

Una apliaión T : (S, d) → (S ′, d′) es uniformemente ontinua si para ada ǫ > 0existe un δ > 0 tal que para todo s1, s2 ∈ S

d(s1, s2) < δ ⇒ d(T (s1), T (s2)) < ǫ.

Las funiones omplejas de variable real ontinuas en un intervalo errado son unifor-

memente ontinuas.

Las apliaiones lineales ontinuas entre espaios normados son uniformemente onti-

nuas.

1.4.6. Conjuntos ompatos

Un subonjunto K de un espaio métrio es ompato si toda seuenia de elementosde K ontiene una subseuenia onvergente a un elemento de K.

En el aso partiular de Rn los ompatos oiniden on los onjuntos errados y ao-

tados.

En un espaio métrio genério los ompatos oiniden on los onjuntos ompletos y

totalmente aotados, es deir, ubiertos, para ualquier ǫ, por un onjunto �nito de bolasde radio ǫ.

1.4.7. Apliaiones lineales entre espaios normados

Reordamos que una apliaión lineal entre dos espaios vetoriales es la que veri�a

f(αu + βv) = αf(u) + βf(v). En espaios de dimensión �nita todas las apliaioneslineales son ontinuas. En espaios normados de dimensión �nita una apliaión lineal

f es ontinua si y sólo si es aotada, es deir, si toma valores aotados sobre la esferaunidad {x : ‖x‖ = 1}.Las apliaiones lineales ontinuas entre dos espaios normados onstituyen otro espaio

normado on la norma induida de�nida omo

‖L‖ = sup{x:‖x‖=1}

‖Lx‖ .

1.5. Problemas

1.1. Demostrar que la equivalenia entre normas es una relaión de equivalenia (es deir,

que veri�a las propiedades re�exiva, simétria y transitiva).

1.2. En RN (espaio de las seuenias disretas) onsideramos las normas

‖x‖p =( ∞∑

n=1

|x(n)|p)1/p

p ≥ 1,

‖x‖∞ = supn∈N

|x(n)|.

Además del riterio de onvergenia en norma, onsideramos también el riterio de

onvergenia puntual. Indiar para qué tipos de onvergenia se veri�a (xk) → x en los

asos siguientes:

(a) xk(n) = δ(n− k), x(n) = 0 (δ(n) es la delta de Dira disreta).(b) xk(n) =

1kχ{1,...,k}, x(n) = 0.

(χA(n) es la funión indiatriz del onjunto A, que toma el valor 1 si n ∈ A y 0 en aso

ontrario.)

1.3. Reordando que el subespaio generado por un onjunto de vetores {vi}i∈I es elmenor subespaio vetorial que los ontiene y está formado por todas las ombinaiones

lineales de la forma

α1vi1 + . . .+ αnvin , ik ∈ I, n ∈ N,desribir uál es el subespaio de RN generado por las seuenias

δi(n) = δ(n− i), i ∈ N.

1.4. En RN onsideramos la seuenia x(n) = 1ny el subespaio c00 de las seuenias

que sólo toman valores no nulos en un onjunto �nito de puntos. Hallar el elemento de

c00 más erano a x en la norma ‖·‖2 o demostrar que tal elemento no existe.

1.5. (a) Demostrar que la norma que hemos de�nido a partir del produto esalar efe-

tivamente lo es.

(b) Demostrar la desigualdad de Shwartz. Indiaión: Utilizar que 〈u+ tv, u+ tv〉 > 0para todo u, v ∈ X , t ∈ C.() Demostrar el teorema de Pitágoras y la igualdad del paralelogramo.

1.6. Indiar a qué espaios Lp(R), p ∈ [1,∞], perteneen las siguientes funiones de CR:(a) x(t) = 1

tχ[1,∞).

(b) x(t) = 1√tχ(0,1].

() x(t) = máx{−1,mı́n{1, 1/t}}.

1.7. Indiar para qué tipos de onvergenia se veri�a (xk) → x en los asos siguientes:(a) En R[0,1]: xk(t) = t

k, x(t) = χ{1}(t).

(b) En RR: xk(t) =1kχ[1,k](t), x(t) = 0.

1.8. Dada la suesión de funiones xk(t) = k2/3χ[0,1/k](t)

(a) Obtener el límite en L1(R).(b) Demostrar que no tiene límite en L2(R).

1.9. (a) ¾Qué relaión de inlusión existe entre l1 y l2?(b) ¾Qué relaión de inlusión existe entre L1([a, b]) y L2([a, b])?() Demostrar que no existe relaión de inlusión entre L1(R) y L2(R).

1.10. (a) Demostrar que en lp, p ∈ [1,∞] la onvergenia en la norma implia onver-genia puntual.

(b) Poner un ejemplo de seuenia en l1 que onverja puntualmente a ero pero que nolo haga en la norma.

1.11. Consideramos el espaio l2.(a) Demostrar que el onjunto c00 de las seuenias on un número �nito de valores nonulos no es abierto ni errado.

(b) Demostrar que los onjuntos cN = {x(n) : x(n) = 0 si n > N} son errados pero noson abiertos.

() Demostrar que si x ∈ l2, x = ĺımN→∞∑N

n=1 x(n)δk, donde δk(n) = δ(n− k).

1.12. Demostrar que en L2(R) la onvergenia en norma no implia onvergenia pun-tual.

1.13. Demostrar que en L2(R) el subespaio L2(R) ∩ C(R) no es errado.

1.14. (a) Demostrar que para ualquier subonjunto S del EPI X , su onjunto ortogonalS⊥ es un subespaio vetorial errado.(b) Demostrar que

(b.1) A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥.(b.2) A ⊂ A⊥⊥.(b.3) A⊥ = A⊥⊥⊥.

1.15. Demostrar que si f = g en L2(R) (es deir, si ‖f − g‖2 = 0) y f y g son ontinuas,entones f = g en sentido estrito.

1.16. (a) Demostrar que en la desigualdad de Shwartz sólo se alanza la igualdad si los

dos vetores son proporionales.

(b) Utilizar la desigualdad de Shwartz para justi�ar el onoido resultado de teoría de

la señal onoido omo �ltro adaptado.

1.17. (a) Demostrar que la norma de la apliaión lineal entre los espaios (Rn, ‖·‖2) y(Rm, ‖·‖2) dada por la matriz A es el mayor de los valores singulares de A. Indiaión:Utilizar la desomposiión en valores singulares de A y el heho de que las matriesortogonales preservan la norma eulídea.

(b) Dar una expresión de la norma de la misma apliaión si en ambos espaios onsi-

deramos la norma ‖·‖∞ en lugar de la norma eulídea.

1.18. Demostrar que, dado x0 ∈ l2, la apliaión lineal de l2 en l2

x 7→ 〈x0, x〉

es ontinua y alular su norma.

1.19. (La onvoluión omo apliaión lineal)

Dada h ∈ l1 (onjunto de seuenias x(n), n = 0, 1, ... tales que∑∞

n=0 |x(n)| < ∞,

onsiderar la apliaión lineal de l∞ (onjunto de seuenias x(n), n = 0, 1, ... aotadas)en l∞ dada por

x 7→ x ∗ h : (x ∗ h)(n) =n∑

m=0

x(m)h(n−m).

(a) Demostrar que esta apliaión está bien de�nida (es deir, la imagen de ualquier

seuenia aotada es una seuenia aotada) y es ontinua. Calular su norma.

Indiaión: Tomando x aotada, obtener una ota de ‖x ∗ h‖∞.(b) Demostrar que si

∑

n |h(n)| = ∞ la apliaión no es aotada (es deir, no estáaotada sobre la esfera unidad).

Indiaión: Calular (x ∗ h)(n0) para la entrada x(n) = h̄(n0−n)h(n0−n)χ{0,....,n0}(n).() Comprobar que la misma apliaión, on ‖h‖1

Hallar kerH para h = δ(n) + αδ(n+ 1).Indiaión: Suponer para x ∈ kerH un valor arbitrario de x(0) y despejar suesivamen-te en funión de éste valor x(1), x(2), . . ., x(−1), x(−2), . . .. ¾Cuál es la dimensión dekerH?() Hallar kerH y su dimensión si h = δ(n)+αδ(n−1)+βδ(n−2). ¾Cuál es la dimensiónde kerH si h(n) es distinta de ero exatamente en n = 0, ...,M − 1?(d) ¾Tiene siempre soluión la euaión Hx = f para h = δ(n) + αδ(n− 1)?Indiaión: Utilizando la transformada Z, hallar una ondiión que debe umplir f nee-sariamente para que exista soluión (tiene forma de suma in�nita). ¾Cuántas ondiiones

de este tipo tendremos, de forma genéria, si h(n) es distinta de ero exatamente enn = 0, 1, . . . ,M − 1?

Capítulo 2

Introdu

ión a los espaios de Hilbert

2.1. Introdu

ión

En este apítulo presentamos los espaios vetoriales on produto interno (EPI) de di-

mensión in�nita on los que vamos a trabajar, que son los espaios de Hilbert separables.

Para ampliar detalles se puede onsultar [7℄.

Como vemos a ontinuaión algunas propiedades de los EPIs de dimensión in�nita di-

�eren muho de las de los de dimensión �nita. Sin embargo otras se mantienen puesto

que en sus demostraiones no se hizo uso de la dimensionalidad del espaio:

(1) Desigualdad triangular: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.(2) Desigualdad de auhy-Shwartz: | 〈x, y〉 | ≤ ‖x‖ ‖y‖.(3) Teorema de Pitagoras.

(4) Identidad del paralelogramo.

(5) Identidad de polarizaión.

2.2. El espaio l2

Nuestro modelo del tipo de EPI de dimensión in�nita que nos interesa es el espaio de

las seuenias de energía �nita

l2 = {x : N → C :∞∑

n=1

|x(n)|2

Podría pensarse que la familia de seuenias (δk)k∈N de�nidas por

δk(n) =

{1 si k = n0 en los demás asos

onstituye una base de l2. Sin embargo, mediante ombinaiones lineales de estas se-

uenias sólo podemos generar el subonjunto de l2 orrespondiente a las seuenias quea partir de ierto punto toman el valor ero (espaio c00). Pero el onjunto de las (δk)k∈Nsí disfruta de una propiedad que lo aera muho a ser base. Se trata de que toda x ∈ l2se puede esribir omo

x =

∞∑

k=1

x(k)δk,

es deir,

ĺımN→∞

∥∥∥∥∥x−

N∑

k=1

x(k)δk

∥∥∥∥∥= 0.

Obsérvese que las (δk)k∈N son un sistema ortonormal y que

x(k) = 〈x, δk〉 .

Un sistema ortonormal numerable on esta propiedad se denomina base de Hilbert nu-

merable.

2.3. Espaios de Hilbert separables

Para dar la de�niión de espaio de Hilbert neesitamos reordar un par de oneptos

de topología de espaios métrios.

Una seuenia (xn)n∈N de elementos de un espaio métrio es onvergente si tiene límite,es deir, si existe un elemento a del espaio tal que para todo ǫ > 0 existe un N tal quetodos los elementos de (xn) posteriores a N distan de a menos que ǫ.

Una seuenia de elementos de un espaio métrio es una seuenia de Cauhy si para

todo ǫ > 0 existe un N tal que dos elementos posteriores a N ualesquiera distan entresí menos que ǫ. Toda seuenia onvergente es de Cauhy, pero el reíproo no es iertoen general.

Un espaio métrio es ompleto si toda seuenia de Cauhy es onvergente.

Un espaio de Hilbert es un EPI en el que la métria asoiada al produto esalar lo hae

un espaio métrio ompleto. Un onepto más general es el de espaio de Banah, que

es un espaio on una norma que lo dota de una métria ompleta. Un espaio de Banah

es por tanto un espaio de Hilbert si su norma veri�a la identidad del paralelogramo.

Ejemplos típios son:

(a) El espaio l2 es espaio de Hilbert (ver (A.0.1)).(b) El espaio de las funiones ontinuas de R en C tales que

∫∞−∞ |f |2 < ∞ on el

produto esalar 〈f, g〉 =∫∞−∞ f ḡ no es ompleto.

A nosotros nos interesarán exlusivamente los espaios de Hilbert que tengan bases de

Hilbert numerables, es deir, onjuntos ortonormales numerables (fk)k∈N tales que paratodo vetor x

ĺımN→∞

∥∥∥∥∥x−

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥= 0.

Los EPIs on bases de Hilbert numerables se pueden araterizar mediante una pro-

piedad topológia más básia. Los EPIs que tienen bases de Hilbert numerables son

exatamente los separables, es deir, los que ontienen un onjunto numerable denso (tal

que ualquier bola ontiene algún elemento del onjunto) (ver (A.0.2)). Por ello los es-

paios de Hilbert on base numerable se suelen denominar espaios de Hilbert separables

(EHS).

La demostraión de la equivalenia entre ser separable y tener una base de Hilbert

numerable se basa en que, por una parte, si un EPI ontiene un onjunto numerable

denso {fn}, podemos onstruir una base de Hilbert numerable a partir de este onjuntomediante ortogonalizaión de Gram-Shmidt. Reíproamente, si un EPI tiene una base

de Hilbert numerable las ombinaiones lineales �nitas on oe�ientes raionales de

elementos de la base onstituyen un onjunto numerable denso.

Todos los EHSs de dimensión in�nita son isomorfos a l2. En efeto, si E es un espaiode Hilbert y (fk)k∈N una base numerable de E, la apliaión φ de�nida por

x 7→ φ(x) = (xk)k∈N, xk = 〈x, fk〉es un isomor�smo entre E y l2 (ver (A.0.3)).

Una onseuenia prátia es que podemos haer uentas en oordenadas de forma

similar a omo las haemos en dimensión �nita. Conretamente,

x =∞∑

k=1

αkxk, y =∞∑

k=1

βkxk ⇒ 〈x, y〉 =∞∑

k=1

αkβk.

2.4. Caraterizaión de bases de Hilbert

Un sistema ortonormal (fk)k∈N hemos diho que es base si para todo x del espaio

ĺımN→∞

∥∥∥∥∥x−

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥= 0.

Pero usando el teorema de Pitágoras tenemos que

‖x‖2 =∥∥∥∥∥x−

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk +N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥

2

=

∥∥∥∥∥x−

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥∥

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥

2

.

Por tanto (fk)k∈N será base si y sólo si

ĺımN→∞

∥∥∥∥∥

N∑

k=1

〈x, fk〉 fk

∥∥∥∥∥

2

=

∞∑

k=1

| 〈x, fk〉 |2 = ‖x‖2 .

De aquí se desprende también que (fk)k∈N es base si y sólo si el únio vetor ortogonala todos los fk es el ero. En efeto, si (fk)k∈N es base y | 〈x, fk〉 | es ero para todo k, laigualdad anterior nos india que ‖x‖ = 0. Y si (fk)k∈N no es base habrá algún x para elque

∑∞k=1 | 〈x, fk〉 |2 < ‖x‖

2. Entones x−∑∞k=1 〈x, fk〉 fk es ortogonal a todos los fk y

su norma al uadrado es ‖x‖2 −∑∞

k=1 | 〈x, fk〉 |2 > 0.

2.5. Subespaios errados y proye

iones ortogonales

2.5.1. Subespaios de espaios de Hilbert

Un subespaio ualquiera de un espaio de Hilbert no es neesariamente un espaio de

Hilbert porque no es neesariamente ompleto (p. ej., el onjunto c00 de las seueniasque son ero a partir de un ierto n son un subespaio de l2 que no es ompleto).

Sin embargo un subespaio errado de un espaio de Hilbert sí es un espaio de Hilbert.

Reordamos que un onjunto errado en un espaio métrio es un onjunto que ontiene

los límites de sus seuenias onvergentes. Un subonjunto errado de un espaio métrio

ompleto es ompleto (ver (A.0.5)).

Por otra parte no es difíil demostrar que los subonjuntos de un espaio métrio sepa-

rable son también separables (ver (A.0.6)). En onseuenia, los subespaios errados

de un EHS son también EHSs. Pueden ser de dimensión �nita o de dimensión in�nita.

Si V es un subespaio errado de dimensión in�nita y (bn) es una base de Hilbert de V ,los elementos de V serán los vetores de la forma

∞∑

n=1

xnbn, donde∞∑

n=1

|xn|2

En un EPI hay que distinguir entre el subespaio generado por un onjunto de vetores y

el subespaio errado generado por un onjunto de vetores, que es el menor subespaio

errado que los ontiene. En el aso de dimensión �nita ambos oneptos oiniden, pero

no en dimensión in�nita. En partiular, si (fn) es un onjunto ortonormal numerablede un espaio de Hilbert, el subespaio generado por él es el onjunto de ombinaiones

lineales (�nitas) de sus elementos, mientras que el subespaio errado generado por él es

el onjunto de las ombinaiones lineales in�nitas on oe�ientes uya suma de módulos

al uadrado sea �nita.

2.5.2. Proye

iones ortogonales

El Teorema de la Proye

ión Ortogonal que onoemos para EPIs de dimensión �nita

también es ierto para EHSs si onsideramos subespaios errados, es deir, si S es unsubespaio errado del EHS E, dado x ∈ E existe un únio y = PS(x) ∈ C que minimizala distania ‖x − y‖ y que es también el únio elemento de S que para el que x − y esortogonal a todos los elementos de S.

Ahora la fórmula de la proye

ión ortogonal sobre un subespaio errado S on base deHilbert (yn) es

PS(x) =∞∑

n=1

〈x, yn〉 yn.

Sin embargo el resultado no es ierto para subespaios que no sean errados (ejeriio).

2.5.3. Complementos ortogonales

Reordamos que el onjunto ortogonal de un subonjunto F de un EPI E es el onjuntoF⊥ de los vetores que son ortogonales a todos los de F . Tienen las siguientes propie-dades, de las uales las dos primeras son inmediatas:

(1) F ⊂ G⇒ G⊥ ⊂ F⊥,(2) F ⊂ F⊥⊥,(3) El ortogonal de ualquier onjunto es un subespaio errado (ver (A.0.7)).

(4) Si F es espaio de Hilbert, F⊥⊥ = F̄ , donde F̄ es la adherenia de F , es deir, lainterse

ión de todos los errados que ontienen a F (ver (A.0.8)).

SiM es un errado de un espaio de Hilbert, omoM⊥ es también errado, existirán lasproye

iones ortogonales sobre los dos onjuntos. Estas proye

iones están relaionadas

por

PM⊥(x) = x− PMx. (2.1)En efeto, x− (x− PM(x)) = PM(x) está en M =M⊥⊥.

2.6. Algunos espaios de Hilbert importantes

2.6.1. Señales periódias

El onjunto L2(T) es el de las señales omplejas de variable real periódias de periodo2π integrables en un periodo y tales que

‖f‖2 =∫ 2π

0

|f(t)|2dt

es �nita. Consideramos iguales dos señales si la norma de su diferenia es ero. En él se

onsidera el produto interno

〈f, g〉 =∫ 2π

0

f(t)ḡ(t)dt.

Un resultado fundamental de Análisis de Fourier es que una base ortonormal de L2(T)viene dada por el onjunto

ψn(t) =1√2πejnt, n ∈ Z. (2.2)

Por tanto ualquier x de L2(T) y, en partiular, ualquier funión ontinua periódia deperiodo 2π, se puede poner omo

x =∑

n∈Zanψn, an = 〈x, ψn〉

donde la igualdad se debe interpretar en el sentido de la norma que estamos onsideran-

do, es deir, la parte dereha onverge en energía a algún elemento de L2(T) equivalentea x. Esta es la fórmula del desarrollo en serie de Fourier (DSF) de una señal periódia.

Pero esto no signi�a que, dado un t ualquiera,

N∑

n=−N〈x, ψn〉ψn(t)

onverja a x(t) uando N tiende a in�nito. De heho existen funiones ontinuas para lasque la serie no onverge en iertos puntos. Sin embargo, ualquier funión ontinua perió-

dia f se puede aproximar mediante un polinomio trigonométrio p(t) =∑N

n=−N cnejnt

on un error

‖f − p‖∞ = supt∈[0,2π)

|f(t)− p(t)|

tan pequeño omo se desee. En otras palabras, el onjunto de los polinomios trigono-

métrios es denso en el onjunto de las funiones ontinuas periódias on la norma

‖·‖∞.El DSF es una isometría biyetiva entre L2(T) y el espaio de Hilbert

l2(Z) =

{

x : Z → C :∑

n∈Z|x(n)|2

Más adelante veremos ómo obtener bases de Hilbert numerables de L2(R) a base deondíulas.

L2(R) es formalmente un onjunto de lases de equivalenia de funiones, y en general notiene sentido hablar del valor de un elemento x de L2(R) en un t0 dado (esta disusiónsirve igualmente para L2(T)). Sin embargo, es fáil omprobar que si una lase deequivalenia ontiene una funión ontinua, ésta es únia, y entones sí tiene sentido

x(t0) omo el valor en t0 de la únia representante ontinua de la lase representadapor x.

Es fáil omprobar que el onjunto de las funiones de L2(R) on soporte ompato (esdeir, que se anulan fuera de ierto intervalo aotado) es denso en L2(R). También sedemuestra es que el subespaio C2(R) de las funiones ontinuas on módulo al uadradointegrable es denso en L2(R). Como el subonjunto C2,c(R) de C2(R) formado por lasfuniones ontinuas on soporte ompato es denso en C2(R), resulta que C2,c(R) estambién denso en L2(R).

También nos resultará de interés el heho de que la transformaión de Fourier f 7→ f̂ ,de�nida omo

f̂(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt

uando la integral existe, es una biye

ión de L2(R) en L2(R) que preserva el produtoesalar.

2.6.3. Señales limitadas en banda

Las funiones de L2(R) uya transformada de Fourier es nula fuera del intervalo [−B,B]son ontinuas (vistas omo lases de equivalenia: tienen una representante ontinua,

únia), luego podemos hablar de sus valores en instantes determinados.

Sus transformadas de Fourier, al estar limitadas a un intervalo, se pueden identi�ar

on elementos de L2(T), y por tanto tiene omo base los polinomios trigonométrios.Como la transformaión de Fourier es una isometría de L2(R), podemos apliar la trans-formaión inversa a los polinomios trigonométrios, on lo que obtenemos funiones sin.

El resultado es el teorema de muestreo (Cauhy, 1841):

x =∑

n

x(nT ) sinc

(t− nTT

)

.

En este aso se demuestra además que hay onvergenia puntual [3, pág. 372℄.

2.7. Problemas

2.1. Demostrar que en un espaio métrio ompleto los onjuntos errados son ompletos.

Indiaión: Tomar una suesión de Cauhy de elementos del errado C y justi�ar porqué tiene límite y por qué el límite está en C.

2.2. (a) Demostrar que el omplemento ortogonal del onjunto de las señales de L2(R)que se anulan fuera del onjunto medible A ⊂ R son las que se anulan en A.(b) Utilizando que la transformada de Fourier es una isometría de L2(R), obtener el

omplemento ortogonal del onjunto de señales uya transformada de Fourier se anula

fuera del onjunto medible B ⊂ R.

2.3. Demostrar que la interse

ión de dos onjuntos a�nes es un onjunto afín y que la

interse

ión de dos onjuntos onvexos es un onjunto onvexo.

2.4. Extender el Teorema de las proye

iones alternadas a onjunto a�nes. Indiaión:

Comprobar que (v +M1) ∩ (v +M2) = v + (M1 ∩M2). Demostrar que si V = v +M ,

on v ∈ V arbitrario, PV (x) = PM(x) + v − PM(v) y luego onsiderar los onjuntosV1 = v+M1, V2 = v+M2, v ∈ V1∩V2, omprobando que (PV2PV1)n(x) = (PM2PM1)n(x)+v − (PM2PM1)n(v).

2.5. Apliaión del Teorema de las proye

iones alternadas para onjuntos a�nes a la

interpolaión de señales limitadas en banda. En la transmisión de la señal x ∈ L2(R)se ha perdido la informaión sobre los valores que toma la señal en el intervalo [t0, t1].Se sabe que la señal es limitada en banda, de forma que su transformada de Fourier

X(ω) es nula para |ω| > B. En este problema se pretende justi�ar un algoritmo parareuperaión aproximada de la informaión perdida hallando la señal de menor norma

(es deir, más erana a ero) de entre las andidatas a señal transmitida.

(a) Demostrar que el onjunto C1 de las señales que fuera del intervalo [t0, t1] toman losmismos valores que la señal reibida x0 forman un onjunto afín errado.(b) Demostrar que el onjunto C2 de las señales de banda limitada al intervalo defreuenias [−B,B] son un subespaio vetorial errado.() Desribir la proye

ión ortogonal de una señal x(t) sobre el subespaio afín C1.(d) Desribir la proye

ión ortogonal de una señal x(t) sobre el subespaio vetorial C2(indiaión: la transformaión de Fourier es una transformaión lineal que preserva la

energía salvo por un fator onstante, luego es equivalente minimizar una distania en

el dominio original o en el dominio transformado).

(e) Justi�ar la existenia de una únia señal de norma mínima en C1 ∩ C2.(f) Espei�ar un algoritmo para la obtenión de esta señal.

2.6. Utilizando que en un espaio de Hilbert separable ualquier onjunto ortonormal

se puede extender a una base ortonormal numerable, demostrar que los subespaios

de dimensión �nita son errados. (Indiaión: Utilizar la propiedad que arateriza los

errados en términos del omplemento ortogonal de su omplemento ortogonal).

2.7. (a) Obtener una base ortonormal numerable del subespaio V0 de L2(R) formado

por las señales que toman valores onstantes dentro de ada intervalo [n, n+ 1), n ∈ Z.La base debe ser de la forma {φ0(t− n)}∞n=−∞, luego basta de�nir la funión φ0.(b) Dar una fórmula de la proye

ión ortogonal de una señal ualquiera x sobre V0.() Generalizar el resultado del apartado (a) para obtener bases ortonormales numerables

de los espaios Vk de L2(R), k ∈ Z, formados por las funiones onstantes en ada

intervalo de la forma [n2−k, (n + 1)2−k), n ∈ Z. ¾Qué relaión de inlusión existe entreestos subespaios? Obtener la relaión entre las funiones φk que de�nen ada base y lafunión φ0.(d) Dar una fórmula de la proye

ión ortogonal de una señal de V1 sobre el espaio V0.(e) Demostrar que si f ∈ L2(R) está en todos los Vk entones f = 0. Indiaión: Utilizarque f está en un V−k, k > 0, para demostrar que

‖f‖2 ≥ (sup |f |)22k.

2.8. Consideramos las señales φ = χ[0,1), ψ = χ[0,1/2)−χ[1/2,1). Demostrar que φ se puedeponer omo

φ(t) =

∞∑

k=1

αk2−k/2ψ(2−kt),

en el sentido de la onvergenia en L2(R), alulando los oe�ientes αk. Deduirque la onvergenia en L2(R)

f(t) =∞∑

k=1

fk(t)

no implia que

∫ ∞

−∞f =

∞∑

k=1

∫ ∞

−∞fk(t).

Indiaión: Desomponer φ(t) en ombinaión lineal de 2−1/2φ(t/2) y 2−1/2ψ(t/2), luegodesomponer de forma análoga 2−1/2φ(t/2) y así suesivamente. Observar ómo evoluio-na la energía de las omponentes proporionales a 2−k/2φ(2−kt) que nos van quedando.Un dibujo del proeso ayudará muho.

2.9. Demostraión del Teorema de las proye

iones iteradas. Consideramos dos subes-

paios ompletos M1, M2 en un EPI X .(a) Demostrar que la proye

ión ortogonal P sobre un subespaio ompleto M es unoperador autoadjunto, es deir

〈x, Py〉 = 〈Px, y〉 para todo x, y ∈ X.

(Indiaión: Demostrar que 〈x, Py〉 = 〈Px, Py〉 esribiendo x = Px+ (x− Px).)(b) Demostrar que ualquier operador de proye

ión veri�a ‖P‖ ≤ 1.() Dados los subespaios ompletosM1,M2, notamos P1 = PM1 y de�nimos la seuenia

x0 = x, x1 = P1(x), x2 = P2(x1),

x2n+1 = P1(x2n), x2n+2 = P2(x2n+1), n = 1, 2, ...

Deduir de () que la seuenia de normas ‖xn‖ es onvergente.() Demostrar utilizando (a) que

〈x2n, x2m〉 = 〈x2n−1, x2m+1〉〈x2n+1, x2m+1〉 = 〈x2n, x2m+2〉

De aquí se dedue que

〈x2n, x2m〉 = 〈x2n−k, x2m+k〉y, haiendo k = n−m, que

〈x2n, x2m〉 = ‖xn+m‖2 .(d) Deduir de los resultados anteriores que (x2n) es una seuenia de Cauhy y quetiene límite y.(e) Demostrar que

‖x2n − x2n−1‖2 → 0,‖x2n−1 − y‖ → 0.

Por tanto xn → y. Expliar por qué y ∈M1 ∩M2.(f) Demostrar que y = PM1∩M2(x). Sabemos que ello es equivalente a que 〈x− y, z〉 = 0para todo z ∈M1 ∩M2. Para demostrar esto, utilizar, demostrándolo previamente, que〈x2n, z〉 = 〈x2n+1, z〉 y que 〈x2n+1, z〉 = 〈x2n+2, z〉 y deduir que 〈x, z〉 = 〈xn, z〉 paratodo n.

2.10. Demostrar que si (xi) es una seuenia ortonormal, para todo x se veri�a 〈x, xi〉 →0.

Capítulo 3

Bases de ondíulas

3.1. Motivaión

En este apítulo estudiaremos métodos para obtener bases ortogonales de espaios de

señales ontinuas y disretas. El interés de disponer de distintas bases on distintas

propiedades surge de la multipliidad de apliaiones que tenemos que onsiderar:

1. Compresión Si queremos obtener una representaión e�iente de una señal nos

interesará que la energía de ésta se onentre en unos poos oe�ientes, de forma

que en lugar de transmitir o almaenar todas las muestras de la señal nos limitemos

a haerlo on unos poos de los oe�ientes de la representaión.

2. Restauraión: Si tenemos una señal distorsinada por la adiión de ruido nos

interesará ontar on bases en las que algunos de sus elementos orrespondan

básiamente a la informaión mientras que otros orrespondan fundamentalmente

al ruido. De esta forma quedándonos on las primeras mejoramos la alidad de la

señal.

3. Análisis: En oasiones estamos interesados en extraer ierta informaión onreta

de la señal, omo por ejemplo los instantes de disontinuidad o la loalizaión de

pios de amplitud. En estos asos nos interesarán bases on señales bien loalizadas

en el espaio y adaptadas a los fenómenos que se desea detetar.

Las bases de óndíulas son bases (ortogonales o no) del espaio de las señales de energía

�nita generadas a partir de una únia señal ψ mediante traslaiones y esalados, es deir,de la forma

{2k/2ψ(2kt− n)}k,n∈Z.

30

El interés de este tipo de bases se pone de mani�esto uando las omparamos on la

base que nos proporiona el análisis de Fourier,

{1√Tej2πnt/TχkT,(k+1)T (t)

}

k,n∈Z,

que son básiamente sinusoides enventanadas on una duraión �ja T . La ele

ión de esteparámetro nos limita la apliaión de la base, porque un valor de T elevado proporionamala loalizaión de los fenómenos de alta freuenia mientras que un valor pequeño

di�ulta la dete

ión de los de baja freuenia. En el aso de las ondíulas esta alternativa

no se presenta, porque la base proporiona señales de larga duraión y freuenia baja

y señales de orta duraión y alta freuenia.

Otra ventaja de las ondíulas es que proporionan representaiones jerárquias de la

informaión: Dada la señal

x(t) =∑

k,n∈Zxk,nψ(2

kt− n),

si nos quedamos on las ondíulas on índie de esalado k ≤M tenemos una represen-taión aproximada de la señal dada por

xM(t) =∑

k≤M,n∈Zxk,nψ(2

kt− n)

a la que podemos dar un tratamiento espeial (por ejemplo, transmitirla on mayor

prote

ión o haerlo en primer lugar). Además tenemos la relaión

xM+1(t) = xM(t) +∑

n∈ZxM,nψ(2

k+1t− n),

que nos india que mejorar la aproximaión a la señal es tan fáil omo añadir las

omponentes del nivel siguiente.

Finalmente, las bases de ondíulas proporionan indiretamente bases de espaios de

señales de tiempo disreto y que además se pueden implementar e�ientemente mediante

banos de �ltros. El esquema más popular de este tipo es el que da lugar a la transformada

ondiular disreta (disrete wavelet transform (DWT)).

3.2. Análisis multirresoluión

3.2.1. De�niión

Un análisis multirresoluión (AMR) de L2(R) es una familia de subespaios errados(Vk)k∈Z y una funión de esalado φ tales que para todo k:

1. Vk ⊂ Vk+1 (monotonía)

2.⋃

k∈ZVk = L

2(R) (densidad)

3.⋂

k∈ZVk = {0} (separaión)

4. f(t) ∈ Vk ⇔ f(2t) ∈ Vk+1 (esalado)5. (φ(t− n))n∈Z es base ortonormal de V0. (base)

La propiedad 2 equivale, por la de�niión de adherenia de un onjunto, a que ada

elemento de L2(R) se puede aproximar en norma tanto omo se quiera por un elementode alguno de los Vk. Esto es equivalente a que el únio vetor ortogonal a todos los Vkes el vetor nulo (ver A.0.9).

3.2.2. Observaiones

1. Todo el análisis multirresoluión está determinado por la funión φ(t), puesto que Vkes el subespaio errado generado por la familia ortonormal {2k/2φ(2kt− n)}n∈Z.2. Como Vk ⊂ Vk+1, L2(R) = ∪j≥nVj y {0} = ∩j≤nVj para ualquier n.3. La apliaión Vk → Vk+1 que asoia a f(t) la funión

√2f(2t) es una isometría

biyetiva.

Por tanto {√2φ(2t− n)} es base ortonormal (b.o.) de V1 y, en general,

{2k/2φ(2kt− n)} es b.o. de Vk.

4. Como V0 ⊂ V1,

φ(t) =∑

k

ck√2φ(2t− k), (3.1)

ck =〈

φ(t),√2φ(2t− k)

〉

. (3.2)

5. Los ck veri�an

δ(n) = 〈φ(t), φ(t− n)〉 =∑

m

cm+2nc̄m =∑

m

cmc̄m+2n

y en partiular

∑

m

|cm|2 = 1.

3.2.3. Ejemplo: Análisis multirresoluión de Haar

Corresponde a φ = χ[0,1). Los espaios Vk son por tanto los de las señales de energía �nitaque son onstantes en ada intervalo de la forma [2−kn, 2−k(n + 1)). Las propiedades1, 4 y 5 son asi inmediatas. Para omprobar la propiedad 3 onsideramos la funión

f ∈ ∩n∈ZVn. Para ver que f = 0 partimos de que f ∈ Vk para esribir

‖f‖2 =∑

i∈Z|fi|22−k ≥ 2−k sup

i∈Z|fi|2

donde fi es el valor de f en [2−ki, 2−k(i + 1)). Despejando supi∈Z |fi|2 de la euaión

anterior y haiendo tender k a −∞ vemos que supi∈Z |fi|2 = 0, luego f = 0.Para demostrar la propiedad 2 (densidad) vamos a omprobar primero que toda funión

ontinua f que se anule fuera de algún intervalo [a, b] se puede aproximar on un errortan pequeño omo queramos por una señal de alguno de los Vk. Para ello nos basamos enque toda funión ontinua en un intervalo errado es uniformemente ontinua, es deir,

dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |x − x′| < δ ⇒ |f(x) − f(x′)| < ǫ. Por tanto, �jado ǫsiempre habrá un k tal que 2−k < δ tal que f toma en ada intervalo [2−ki, 2−k(i+ 1))valores que di�eren entre sí menos que ǫ, luego podemos aproximarla por una funióng ∈ Vk que en ada intervalo tome un valor de los que toma f , y que por tanto diste def en ualquier punto omo máximo ǫ. Entones tendremos

‖f − g‖2 ≤ (b− a)ǫ2,

antidad que, en efeto, puede haerse tan pequeña omo deseemos. Uniendo este re-

sultado al heho de que ualquier funión de L2(R) se puede aproximar tanto omo sequiera por una funión ontinua de energía �nita, y a que ualquiera de estas funiones

se puede aproximar tanto omo se quiera por una funión ontinua que se anule fuera

de algún intervalo [a, b], tenemos que ualquier funión de L2(R) se puede aproximartanto omo se quiera por una funión de algún Vk.

3.3. Espaios Wn

De�nimos W0 omo el omplemento ortogonal de V0 en V1 (existe por ser V0 errado).

V1 = ⊕V0

W0

Si de�nimos los espaios Wk por las relaiones de esalado

g(t) ∈ Wk ⇔ g(2t) ∈ Wk+1,

ada Wk es el omplemento ortogonal de Vk en Vk+1. Es inmediato que los Wk sonsubespaios ortogonales dos a dos.

Tenemos que

V0 =∞⊕

n=1

W−n,

es deir, ada x ∈ V0 se puede esribir omo suma de elementos de los W−n (omoestos espaios se ortan en el ero, la desomposiión además es únia). En efeto, dado

x ∈ V0, esribimos x = (PW−1(x) + PW−2(x) + . . .) + y. Entones y ⊥W−n, n = 1, 2, . . .,

luego y ∈ V−n y por tanto y ∈⋂∞n=1 V−n = {0} (por la propiedad de separaión).

V0 ==

=

⊕V−1

W−1

= · · ·

⊕V−2 ⊕

W−3W−2

V−3

Por otra parte

L2(R) = V0 ⊕( ∞⊕

n=0

Wn

)

=

=

⊕V2

W2

⊕V1 ⊕

W0

V0

W1

· · ·

En efeto, dada x ∈ L2(R), esribimos x = (PV0(x) + PW0(x) + PW1(x) + . . .) + y.Entones y ⊥ V0, y ⊥ Wn, n = 0, 1, . . ., luego y ⊥ Vn, y por tanto y ⊥

⋃∞n=1 Vn, luego

y = 0 (propiedad de densidad).

Uniendo estos dos resultados tenemos que

L2(R) =

∞⊕

n=−∞Wn.

3.4. Ondíula madre

Es una funión ψ tal que {ψ(t− n)}n∈Z es b.o. de W0.Como onseuenia del resultado anterior y de las relaiones de esalado entre los Wk,

{2k/2ψ(2kt− n)}k,n∈Z es b.o. de L2(R).

Apliaión del análisis de Fourier

A la señal

g(t) =∑

k

bk√2φ(2t− k) ∈ V1

podemos asoiarle su transformada de Fourier (TF)

ĝ(ω) =1

2π

∫ ∞

−∞g(t)e−jωt dt ∈ L2(R).

Esta orrespondenia es una isometría salvo por un fator onstante:

〈

f̂ , ĝ〉

= 2π 〈f, g〉 .

También podemos asoiarle la señal

mg(ω) =∑

k

bk1√2e−jkω ∈ L2(T),

que se paree muho a transformada de Fourier de seuenia (TFS) de sus oe�ientes

bk,

B(ω) =∑

k

bke−jkω =

√2mg(ω),

orrespondenias ambas que también son isometrías salvo por un fator onstante.

Como onseuenia de la transformada de Fourier siguiente:

φ(2t− k) 7→ 12e−jωk/2φ̂(ω/2),

y, de la ontinuidad de la transformaión de Fourier, tenemos la relaión

ĝ(ω) =∑

k

bk√21

2e−jωk/2φ̂(ω/2) = mg(ω/2)φ̂(ω/2), (3.3)

y, partiularizando para φ,φ̂(ω) = mφ(ω/2)φ̂(ω/2). (3.4)

De aquí se desprende, en partiular, que si φ̂(0) 6= 0, mφ(0) = 1.

Propiedad fundamental de los oe�ientes ck

Como a φ(t) orresponden los oe�ientes (ck), a φ(t− n) orresponden los oe�ientes(ck−2n). Por tanto la ortogonalidad entre estas señales para n ∈ Z \ {0} se tradue en lade las seuenias orrespondientes, luego (ejeriio)

|C(ω)|2 + |C(ω + π)|2 = 1. (3.5)

Obtenión de ψ a partir de φ

Primero obtendremos las seuenias (dk) orrespondientes a señales deW0 ∈ V1, es deir,señales de la forma ∑

k

dk√2φ(2t− k) ∈ V1

que además sean ortogonales a las φ(t− n).Las seuenias (dk) que busamos son exatamente las que son ortogonales a todas laseuenia (ck), orrespondiente a φ(t), y a las seuenias (ck−2n), que orresponden a lasseñales φ(t− n).Por tanto la TFS de (dk), D(ω), debe veri�ar

D(ω)C̄(ω) +D(ω + π)C̄(ω + π) = 0.

Viendo esta euaión omo la ortogonalidad de dos vetores de dimensión dos (para

ada ω) tenemos en asi todo punto

(D(ω), D(ω + π)) = α(ω)(C̄(ω + π),−C̄(ω)

)

es deir

D(ω) = α(ω)C̄(ω + π)

D(ω + π) = −α(ω)C̄(ω).

Veamos que α(ω) veri�aα(ω + π) = −α(ω). (3.6)

En efeto, ombinando las euaiones anteriores tenemos

D(ω + π) = −α(ω)C̄(ω) = α(ω + π)C̄(ω),D(ω) = α(ω + π)C̄(ω + π) = −α(ω)C̄(ω + π),

y omo C(ω) y C(ω + π) no pueden ser simultáneamente nulos, deduimos, de unaeuaión o de la otra, la propiedad (3.6).

Por omodidad (o estétia) resultará preferible trabajar on una funión periódia, y de

periodo 2π. Para ello, primero de�nimos β̃(ω) = ei(ω+π)α(ω), que veri�a

β̃(ω + π) = ei(ω+π+π)α(ω + π) = β̃(ω)

(podíamos haber tomado igualmente β̃(ω) = eiωα(ω), pero de esta fórmula la fórmula�nal tendrá una forma algo más prátia.)

Por tanto

D(ω) = β̃(ω)e−i(ω+π)C̄(ω + π)

y de�niendo

β(ω) = β̃(ω/2),

tenemos la funión periódia de periodo 2π en funión de la ual podemos esribir elresultado.

D(ω) = β(2ω)e−i(ω+π)C̄(ω + π). (3.7)

Ahora la obtenión de

ψ(t) =∑

k

dk√2φ(2t− n) (3.8)

depende exlusivamente de la ele

ión de la β adeuada. Pero es fáil omprobar queuna buena ele

ión es β(ω) = 1, es deir,

D(ω) = e−i(ω+π)C̄(ω + π), (3.9)

o, equivalentemente,

mψ(ω) = e−i(ω+π)m̄φ(ω + π). (3.10)

En efeto,

La seuenia (dk) de�nida es ortogonal a sus versiones desplazadas un número parde unidades, puesto que veri�a

|D(ω)|2 + |D(ω + π)|2 = |C(ω + π)|2 + |C(ω)|2 = 1.

Todas las funiones de W0 se pueden expresar omo ombinaión lineal de ver-siones desplazadas de la señal resultante, tomando para ada una la funión β

orrespondiente. En efeto, dada x(t) ∈ W0,

x(t) =∑

k

yk√2φ(2t− n), Y (ω) = β(2ω)D(ω).

Apliando la TFS inversa,

β(ω) =∑

k

βke−jωk,

Y (ω) =

(∑

k

βke−jω2k

)

D(ω) =∑

k

βk(e−jω2kD(ω)

)

⇒ yn =∑

k

βkdn−2k.

Las oordenadas de x(t), (yn)n∈Z, son por tanto ombinaión lineal de las oorde-nadas de las ψ(t− k), (dn−2k)n∈Z. En términos de las señales,

x(t) =∑

k

βkψ(t− k).

La ondíula tiene por tanto transformada de Fourier

ψ̂(ω) = e−i(ω/2+π)m̄φ(ω/2 + π)φ̂(ω/2). (3.11)

Calulando la TFS inversa de D(ω) (3.9) en funión de la de C(ω) obtenemos

dk = c̄1−k(−1)k, (3.12)

luego

ψ(t) =∑

k

c̄1−k(−1)k√2φ(2t− k). (3.13)

3.5. Obtenión de φ a partir de mφ

Veamos ómo los oe�ientes ck determinan la funión de esalado. Utilizando reitera-damente la euaión (3.4),

φ̂(ω) = mφ(ω/2)φ̂(ω/2)

= mφ(ω/2)mφ(ω/4)φ̂(ω/4)

= φ̂(ω/2n)

n∏

k=1

mφ(ω/2k)

Si φ̂ es ontinua en 0 (lo que ourre por ejemplo, si φ es de soporte ompato, puestoque entones φ es integrable, y las transformadas de Fourier de funiones integrables son

ontinuas [3, p. 290℄), tomando límites

φ̂(ω) = φ̂(0)

∞∏

k=1

mφ(ω/2k). (3.14)

Una primera onseuenia de esta fórmula es que φ̂(0) es distinto de ero, luego mφ(0) =

1, y de (3.5) resultamφ(π) = 0, on lo que, por (3.11), ψ̂(0) = 0. Como f̂(0) es la integralde f , tenemos que la integral de la funión de esalado es no nula, mientras que la de laondíula es nula.

La fórmula (3.14) nos permite obtener φ por aproximaiones suesivas aluladas onordenador. Para ello, on el objetivo de no tener expresiones que dependan de φ observa-mos que on ualquier f̂ ontinua en 0 tal que f̂(0) = φ̂(0) también tenemos onvergenia(el límite es el mismo):

ĝn(ω) ≡ f̂(ω/2n)n∏

k=1

mφ(ω/2k) → φ̂(ω).

Ahora, para que la expresión tenga la forma de produto de una TFS (funión de periodo

2π) por una TF, ambiamos ω/2n por ω:

ĝn(2nω) = f̂(ω)

n∏

k=1

mφ(2n−kω)

︸ ︷︷ ︸

Hn(ω)

Apliando la TF inversa, tenemos

2−ngn(t/2n) =

∑

m

hn(k)f(t−mT ), (3.15)

donde hn(k) es la TFS inversa de Hn(ω). En la prátia, si tenemos mφ(ω) omo unpolinomio trigonométrio p(z)|z=ejω ,mφ(2ω) es el polinomio trigonométrio p(z2)|z=ejω , yasí suesivamente, así que el álulo de Hn se implementa omo el produto de suesivospolinomios que vamos obteniendo de esta manera, y los hn(k) son simplemente los

oe�ientes del polinomio resultante.

3.6. Transformada ondiular disreta y banos de �l-

tros

Dado un análisis multirresoluión, a una seuenia de energía �nita x(n) podemos haer

orresponder la señal

xc(t) =∑

n

x(n)√2φ(2t− n) ∈ V1.

Ésta puede desomponerse en sus proye

iones sobre W0, W−1, ..., W−N , V−N . Los

oe�ientes de estas proye

iones respeto de las bases estándar que tenemos para estos

subespaios onstituyen la transformada ondiular disreta (disrete wavelet transform

(DWT)) de la señal x(n).

La DWT transforma de una seuenia disreta es una familia de seuenias disretas

que, onjuntamente, orresponden a la misma tasa total de muestras por unidad de

tiempo.

La implementaión de esta transformaión se hae mediante la apliaión de suesivas

proye

iones: Primero se proyeta x(n) sobreW−1 y V−1, después se proyeta esta últimaseñal sobre W−2 y V−2, y así suesivamente.

Por tanto, las operaiones básias para la implementaión de la transformada direta y

la inversa son las operaiones de análisis y síntesis que desribimos a ontinuaión.

Consideramos un análisis multirresoluión on funión de esalado y ondíula que veri-

�an

φ(t) =∑

n

cn√2φ(2t− n),

ψ(t) =∑

n

dn√2φ(2t− n).

Filtro de análisis

Vamos a proyetar x ∈ V1 ortogonalmente sobre V0 y W0.Observamos que

φ(t) =∑

n

cn√2φ(2t− n) ⇒ φ(t−m) =

∑

n

cnφ(2t− 2m− n) =∑

n

cn−2mφ(2t− n).

(3.16)

De�nimos c̃n = c̄−n, d̃n = d̄−n.

La proye

ión y = PV0(x) se esribe omo

y(t) =∑

m

ymφ(t−m)

ym = 〈x(t), φ(t−m)〉 = 〈xn, cn−2m〉 = 〈xn, c̃2m−n〉 = ((xn) ∗ (c̃n)) (2m).

donde hemos usado la identidad

((an) ∗ (bn)) (k) =∑

n

anbk−n =∑

n

anb−(n−k) =〈

an, b̃n−k

〉

.

Análogamente para W0: Si z = PW0(x),

z(t) =∑

n

zmψ(t−m)

zm = 〈x(t), ψ(t−m)〉 = 〈xn, dn−2m〉 =〈

xn, d̃2m−n

〉

=(

(xn) ∗ (d̃n))

(2m).

(ver �gura 3.6.)

Filtro de síntesis

Dada y ∈ V0y(t) =

∑

m

ymφ(t−m) =∑

n

xn√2φ(2t− n) (3.17)

queremos reuperar los xm a partir de los yn.

Sustituyendo (3.16) en (3.17),

y(t) =∑

m

ym∑

n

cn−2m√2φ(2t− n) =

∑

n

(∑

m

ymcn−2m

)√2φ(2t− n)

luego

xn =∑

m

yncn−2m.

De�nimos ŷn = 0 si n es impar y ŷn = yn/2 si n es par. Tenemos

xn =∑

m

ŷ2mcn−2m =∑

k

ŷkcn−k = ((ŷn) ∗ (cn)) (n).

Haiendo lo mismo para una señal z de W0 onluimos que si yn y zn son, respetiva-mente, los oe�ientes de las proye

iones de x sobre V0 y W0, los oe�ientes xn de xse reuperan omo

xn = (ŷn) ∗ (cn) + (ẑn) ∗ (dn).(ver �gura 3.6.)

cn

dn

xn+xn

d̃n

c̃n

xn

d̃n

c̃n

d̃n

c̃n

d̃n

c̃n

Figura 3.1: Arriba: Banos de �ltros de análisis y síntesis. Abajo: Bano de �ltros de

síntesis para la implementaión de la transformaión ondiular disreta (DWT) de tres

niveles.

3.7. Constru

ión de funiones de esalado on sopor-

te ompato

Es inmediato que si φ tiene soporte ompato, mφ es un polinomio trigonométrio. Elreíproo también es ierto [3, ejeriio 7.5.1, p. 445℄.

Por tanto enontrar una funión de esalado on soporte ompato es equivalente a

enontrar su polinomio trigonométrio asoiado mφ, del que podemos reuperar φ me-diante (3.14).

Claramente, el polinomio andidato m debe veri�ar las ondiiones neesarias que o-noemos:

|m(ω)|2 + |m(ω + π)|2 = 1 (3.18)m(0) = 1. (3.19)

Se puede demostrar que basta añadir la ondiión adiional

m(ω) 6= 0 para todo ω ∈ [−π/2, π/2] (3.20)

para que m genere una funión de esalado que dé lugar a un análisis multirresoluión [3,p. 444℄.

Los polinomios enontrados por Daubehies [2, ap. 6℄[10, p. 256℄[4, ap. 6℄ veri�an

estas ondiiones y además tienen N momentos nulos, es deir,

∫ ∞

−∞tkψ(t) dt = 0 para k = 0, ..., N − 1.

Esta propiedad se onsidera lave en la efetividad de estas ondíulas en muhas aplia-

iones (ompresión, eliminaión de ruido, dete

ión de singularidades). De heho, esta

propiedad asegura [2, p. 233℄ que si se anulan momentos de orden menor que M , los

oe�ientes orrespondientes a niveles altos (de muho detalle) del análisis multirreso-

luión se haen nulos exepto en los puntos en que la derivada de orden M de la señalpresente una disontinuidad.

Para imponer la propiedad de momentos nulos mediante el polinomio m utilizamos lapropiedad de la TF ∫ ∞

−∞tkψ(t) dt = ikψ̂(k(0)

y la fórmula (3.11), que repetimos,

ψ̂(ω) = e−i(ω/2+π)m̄(ω/2 + π)φ̂(ω/2). (3.21)

Por tanto, si exigimos que el polinomio m(ω) tenga un ero de orden N en ω = π, φveri�ará la ondiión de momentos nulos. Esto es equivalente a que m fatorie omo

m(ω) =

(1 + e−iω

2

)N

L(ω).

Para obtener m(ω) alulamos primero su módulo, para lo ual de�nimos

M(ω) ≡ |m(ω)|2 =∣∣∣∣

1 + e−iω

2

∣∣∣∣

2N

︸ ︷︷ ︸

cos2N (ω/2)

|L(ω)|2︸ ︷︷ ︸

L(ω)

e imponemos (3.18). Antes observamos que omo L(ω) es el módulo al uadrado de unpolinomio trigonométrio on oe�ientes reales, se puede esribir omo polinomio en

cosω, y usando sen2(ω/2) = (1− cosω)/2 podemos esribirL(ω) = P (sen2(ω/2))

para ierto polinomio P que vamos a determinar. Esribiendo y = sen2(ω/2), la ondi-

ión (3.18) queda

(1− y)NP (y) + yNP (1− y) = 1.Se puede demostrar que P debe tener omo mínimo grado N − 1 y que existe un úniopolinomio P de este grado que veri�a esta ondiión y vale

P (y) ≡ PN(y) =N−1∑

k=0

(N − 1 + k

k

)

yk.

Sin embargo, los polinomios trigonométrios L(ω) que dan lugar a ada PN no sonúnios, pero siempre existen y son únios si exigimos que tengan los eros dentro de la

irunferenia unidad.

Los polinomios m(ω) resultantes son polinomios de grado 2N − 1. Estos polinomiosveri�an también la ondiión (3.20), luego dan lugar a análisis multirresoluión. Para

N = 1 obtenemos el polinomio del AMR de Haar y para N = 2 tenemos un polinomiode grado tres que da lugar a una ondíula ψ(t) onoida omo D2, tal que

∫ ∞

−∞ψ(t) dt = 0,

∫ ∞

−∞t ψ(t) dt = 0.

Sus oe�ientes ck (3.12) asoiados son

c0 =√21 +

√3

8, c1 =

√23 +

√3

8, c2 =

√23−

√3

8, c3 =

√21−

√3

8. (3.22)

Los polinomos suesivos dan lugar a funiones de esalado y ondíulas que van ganando

en regularidad: para el primero (Haar) estas funiones no son ontinuas, pero para el

segundo sí lo son y para el terero son además derivables.

1,2

0,4

0,8

2,50

20 0,5 1,5 31

Figura 3.2: Funión de esalado para la ondíula de Daubehies.

3.8. Análisis multirresoluión de Riesz

Este onepto es una generalizaión del AMR que hemos estudiado en el que relajamos

la ondiión de que las {φ(t − n)} sean base ortonormal de V0. Las demostraiones sepueden enontrar en [3, 7.7℄.

Una base de Shauder de un espaio de Banah es una familia numerable de vetores

(xn) on la propiedad de que para ada vetor x existe una seuenia únia de esalares(an) tal que la suma

∞∑

n=1

anxn

onverge a x.

En la siguiente de�niión haemos uso de la de�niión de apliaión lineal entre espa-

ios normados aotada. Por tal entendemos una apliaión lineal aotada sobre la bola

unidad, es deir, tal que la imagen de la bola unidad está ontenida en una versión

esalada de la bola unidad del espaio de llegada. Esta ondiión es equivalente a la de

ontinuidad, por lo que se habla igualmente de apliaiones lineales ontinuas.

Dos bases de Shauder (xn) e (yn) se die que son equivalentes si veri�an las siguientes

ondiiones (equivalentes entre si):

(1) Para toda seuenia de esalares (an),∑∞

n=1 anxn onverge si y sólo si∑∞

n=1 anyn

onverge.

(2) Existe una apliaión lineal aotada T tal que Txn = yn para todo n.

Una base de Riesz de un espaio de Hilbert separable es una base de Shauder equivalente

a una base ortonormal. También adliten la siguiente araterizaión: (xn) es una basede Riesz si es una base de Shauder y si existen dos esalares A y B tales que six =

∑∞n=1 anxn,

A∞∑

n=1

|an|2 ≤ ‖x‖2 ≤ B∞∑

n=1

|an|2.

Un análisis multirresoluión de Riesz está de�nido por las propiedades (1)-(4) de 3.2 y

por (5') h(t− n) es base de Riesz de V0.Para onvertir un AMR de Riesz en un AMR ordinario basta enontrar una base orto-

normal de V0 de la forma (φ(t− n)). La funión φ está dada (en el dominio de Fourier)por

φ̂(ω) =ĥ(ω)

(∑∞

n=1 |ĥ(ω − n)|2)1/2

.

Una indiaión intuitiva para obtener esta fórmula viene dada por la onoida propiedad

de que una señal φ es ortogonal a sus versiones desplazadas un número entero si y sólosi

∑∞n=1 |ĥ(ω − n)|2 es una onstante.

Un ejemplo de AMR de Riesz es el AMR de Franklin, dado por

h(t) = (1− |t− 1|)I[0,2].

donde IA(t) es la funión que vale 1 si t ∈ A y ero en los demás puntos [3, 7.8℄.

3.9. Frames

Una familia de vetores (xn) de un espaio de Hilbert es un frame si existen onstantesA y B tales que

A ‖x‖2 ≤∞∑

n=1

| 〈x, xn〉 |2 ≤ B ‖x‖2 .

Un frame es ajustado (tight) si A = B, y es exato (exat) si deja de ser un frame si sele suprime un elemento.

Es evidente que una base ortonormal es un frame ajustado. Por otra parte, se demuestra

que los oneptos de base de Riesz y frame exato son equivalentes.

3.10. Problemas

3.1. Se onsideran los espaios Vk formados por las funiones de L2(R) uya transformada

de Fourier se anula fuera del intervalo [−2kπ, 2kπ].(a) Demostrar que veri�a las propiedades 1-4 de un análisis multirresoluión (AMR).

Indiaión para la propiedad 3: Basta observar que si x(t) está en todos los Vk, X(ω) es

ero para todo ω distinto de ero.(b) Hallar una funión φ para la que se veri�que la propiedad 5 de un AMR.Indiaión: Usar el teorema de muestreo.

() Hallar los oe�ientes del desarrollo de φ(t) en términos de los√2φ(2t− n).

Indiaión: Usar de nuevo el teorema de muestreo.

3.2. En este ejeriio utilizaremos ténias básias de la teoría de señales disretas para

demostrar resultados que neesitaremos.

(a) Demostrar los produtos esalares 〈x(n), y(n− 2k)〉 se orresponden on las muestraspares de la onvoluión y(n) = x(n) ∗ ȳ(−n).(b) Obtener a partir de la transformada de Fourier V (ω) de la seuenia v(n), la de laseuenia

z(n) =

{v(n) si n es par0 si n es impar.

Indiaión: Observar que esta operaión es equivalente a la multipliaión por la seuen-

ia

12(1 + ejπn).

() Demostrar, utilizando los resultados de los apartados anteriores, que

(.1) x(n) es ortogonal a sus versiones desplazadas de la forma x(n− 2k), k ∈ Z \ {0},si y sólo si |X(ω)|2 + |X(ω + π)|2 = te, y que(.2) x(n) es ortogonal a y(n − 2k) para todo k ∈ Z si y sólo si X(ω)Ȳ (ω) + X(ω +π)Ȳ (ω + π) = 0.Nota: Las propiedades onoidas de la transformada de Fourier de seuenias se pueden

utilizar on rigor. Se pueden onsultar algunos detalles en 2.6.1.

3.3. Demostraión de la ompletitud del AMR de Haar.

(a) Sabiendo que toda funión ontinua nula fuera de un intervalo errado (es deir, on

soporte ompato) es uniformemente ontinua, demostrar que puede aproximarse por

una señal de la forma

N∑

r=−Mαr2

−k/2φ(2−kt− r). (3.23)

para ierto k ∈ Z (es deir, por una señal esalonada on ierto tipo de esalones).(b) Sabiendo que ada señal de L2(R) se puede aproximar de forma arbitrariamenteexata por una funión ontinua nula fuera de un intervalo errado, demostrar que ada

señal de L2(R) se puede aproximar de forma arbitrariamente exata por una señal de

la forma (3.23).

(d) Conluir que las señales

2−k/2ψ(2−kt− r), k, r ∈ Z

on ψ de�nida omo en el problema 2.8 onstituyen una base ortonormal de L2(R).

3.4. Análisis de un bano de �ltros.

Consideramos un bano de �ltros de señales disretas, que será la herramienta para el

álulo de transformadas wavelet disretas. En la parte de análisis la señal se proesa

en paralelo por dos �ltros on respuestas en freuenia A(ω) y B(ω) y las salidas sesubmuestrean de forma que quedan solamente las muestras pares.

En la parte de síntesis las señales resultantes se interpolan on eros (es deir, se inserta

un ero entre ada par de muestras, de forma que las muestras impares de la señal

resultante son eros y las muestras pares proeden de las señales) y se proesan on

�ltros on respuesta al impulso C(ω) y D(ω), sumándose el resultado.

Obtener las ondiiones que deben umplir los �ltros A(ω), B(ω), C(ω), D(ω) para que(a) La señal de salida esté libre de aliasing.

(b) La señal de salida sea además, proporional a la de entrada. Indiaión: Utilizar el

apartado (b) del ejeriio 3.2.

() Veri�ar si se umplen las ondiiones para el aso

A(ω) = C̄(ω), B(ω) = D̄(ω), D(ω) = e−i(ω+π)C̄(ω + π),

donde C(ω) veri�a |C(ω)|2 + |C(ω + π)|2 = 1.

3.5. (a) Demostrar la fórmula (3.3).

(b) Demostrar que todas las funiones de W0 se pueden poner omo suma de funionesψ(t−n). Indiaión: Obtener primero ĝ(ω) = β(ω)ψ̂(ω). Después desarrollar en serie deFourier β(ω), sustituir y alular la transformada inversa término a término.

3.6. Demostraión de la fórmula de la ondíula en el dominio del tiempo.

Demostrar que si C(ω) es la TFS de ck, entones D(ω) = e−j(ω+π)C̄(ω + π) es la TFS

de dk = c̄1−k(−1)k.

3.7. (a) Apliar la fórmula general en el dominio del tiempo (3.13) para obtener la on-

díula de Haar a partir de la funión de esalado.

(b) Demostrar que la ondíula madre orrespondiente al AMR del problema 3.1 (ono-

ida omo ondíula de Shannon) es

ψ̂(ω) = e−jω/2(χ[−2π,−π](ω) + χ[π,2π](ω)

),

ψ(t) =sin π(t− 1/2)− sin 2π(t− 1/2)

π(t− 1/2) .

Indiaión: Trabajar primero en el dominio de la freuenia, usando la fórmula (3.11).

3.8. Esribir un programa para dibujar aproximaiones suesivas a φ(t) a partir de los

oe�ientes ck utilizando la fórmula (3.15). Apliarla a la ondíula de Haar y a la deDaubehies (3.22).

3.9. Implementar la DWT para imágenes orrespondiente a las ondíulas de Haar y de

Daubehies de uatro oe�ientes (3.22). Para ello se operará de forma separada en ada

dimensión, de forma que en ada etapa se obtengan uatro señales de menor resoluión,

y a una de ellas se aplique la misma operaión, y así suesivamente hasta uatro vees.

Resolver los problemas derivados del trabajo on señales de duraión �nita.

Capítulo 4

Transformada ondiular ontinua

Sea ψ ∈ L1(R) ∩ L2(R) que veri�a la ondiión de admisibilidad siguiente:

cψ =

∫ ∞

−∞

|ψ̂(ω)|2ω

dω

Conretamente, ∫ ∞

0

ds

s2

∫ ∞

−∞|Wf(u, s)|2 du = cψ‖f‖2.

Demostraión

Se alula la integral en u de Wf (u, s) en el dominio de la freuenia on el Teorema dePlanherel, esribiendo previamente Wf(u, s) omo onvoluión. �

La transformaión se invierte mediante la fórmula

f(t) =1

cψ

∫ ∞

0

ds

s2

∫ ∞

−∞Wf(u, s)ψs(t− u) du.

La integral está bien de�nida si f ∈ L1(R) (entones Wf ∈ L1(R) y se usa la ondiiónde admisibilidad para ver que la funión es absolutamente integrable).

Demostraión

Idea de la demostraión para f ∈ L1(R):Esribimos Wf omo onvoluión, y lo mismo haemos on la integral en u de la trans-formaión inversa.

Esribimos esta triple onvoluión omo la integral orrespondiente a la transformaión

inversa de Fourier de su transformada.

Comprobamos integrabilidad absoluta e invertimos el orden de integraión para integrar

primero en s. �

Capítulo 5

Introdu

ión al método de elementos

�nitos

5.1. Introdu

ión

El método de elementos �nitos es la herramienta numéria fundamental para la reso-

luión de euaiones en derivadas pariales (EDPs) en los asos más importantes en

ingeniería.

Respeto del método de diferenias �nitas presenta la ventaja de una mayor �exibilidad

en la disretizaión del dominio en el que se busa la soluión.

En este apítulo, para evitar posibles onfusiones representaremos mediante | · | lasnormas de los elementos de Rn o Cn y de la forma habitual ‖ · ‖ la norma de lasfuniones. Si Ω es un abierto de Rn, C(Ω) es el onjunto de las funiones ontinuas deΩ en C y Ck(Ω) es el onjunto de las funiones de Ω en C on derivadas pariales dehasta orden k ontinuas.

Ω̄ representa la adherenia de Ω. Normalmente Ω̄ es la unión del abierto Ω y su frontera,que notamos ∂Ω.

El soporte de una funión ontinua es el onjunto de puntos en el que toma valores no

nulos. Notamos mediante C∞0 (Ω) el onjunto de las funiones de C∞(Ω) on soporte

aotado.

Notaremos mediante ∂if la derivada parial de la funión f respeto de la variablei-ésima. Para distinguir entre las distintas normas que utilizaremos, en oasiones pon-dremos omo subíndie el nombre del espaio asoiado a la norma.

Para las integrales utilizaremos la notaión ompata siguiente:

∫

Ω

f ≡∫

. . .

∫

Ω

f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn.

56

Seguiremos básiamente la referenia [1, aps. 4 y 7℄. Una referenia estándar sobre

EDPs es [6℄, aunque no trata el método de elementos �nitos para euiones elíptias.

5.2. Reformulaión del problema de la EDP elíptia

Consideramos la resoluión de una euaión en derivadas pariales elíptia on ondiión

de ontorno homogénea, que de�nimos a ontinuaión. Dado Ω, abierto aotado de Rn,busamos u ∈ C2(Ω) que veri�que la euaión diferenial

−n∑

i=1

∂i

(n∑

j=1

aij ∂ju+ hi

)

+ bu+ f = 0 en Ω, (5.1)

on la ondiión de ontorno u|∂Ω = 0, (5.2)

on aij , hi ∈ C1(Ω), f, b ∈ C(Ω), b > 0, ∂Ω es la frontera de Ω y las funiones aij sontales que existe c0 > 0 para el ual

n∑

i,j=1

aij(x)vivj ≥ c0|v|2 para todo x ∈ Ω, v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn. (5.3)

(¾qué quiere deir esto en términos de los autovalores de las matries A(x) = (aij(x))en el aso en sean simétrias?)

La euaión se llama elíptia porque la euaión

∑ni,j=1 aij(x)vivj = c en las variables

v1, . . . , vn es la de una elipse.

Si la ondiión de ontorno fuera otra (ondiión de ontorno no homogénea), basta ono-

er una funión de C2(Ω)∩C(Ω) que veri�que la ondiión de ontorno para transformarel problema en otro equivalente del mismo tipo on ondiión de ontorno homogénea

(ejeriio).

Vamos a rede�nir el problema de forma que la soluión u se pueda busar en un onjuntomás amplio que C2(Ω), en el que resulte más fáil la búsqueda (más adelante veremosque no existe riesgo de enontrar una soluión distinta).

En primer lugar observamos que u ∈ C2(Ω) veri�ará (5.1) si y sólo si para toda ζ ∈C∞0 (Ω)

∫

Ω

[

−n∑

i=1

∂i

(n∑

j=1

aij ∂ju+ hi

)

+ bu+ f

]

ζ = 0. (5.4)

Esto es debido a que si w es ontinua

w = 0 ⇔ Para toda ζ ∈ C∞0 (Ω),∫

Ω

w ζ = 0.

La impliaión haia la dereha es trivial. Para ver la impliaión haia la izquierda

basta observar que si w fuera mayor que ero en un punto x ∈ Ω, omo por ser w

ontinua w−1((0,∞)) es abierto, habría un entorno U ⊂ Ω alrededor de x en el ualw sería también positiva, y por tanto tomando una funión ζ ∈ C∞0 (Ω) positiva onsoporte ontenido en U tendríamos

∫

Ωw ζ > 0.

Mediante integraión por partes la integral (5.4) se transforma en

∫

Ω

(∑

i

∂iζ

(∑

j

aij∂ju+ hi

)

+ ζ(bu+ f)

)

= 0. (5.5)

En efeto, si al menos una de las funiones w o z se anula en ∂Ω,

∫

Ω

∂iw z = −∫

Ω

w ∂iz.

Para omprobarlo basta esribir la integral omo integral reiterada en las distinas va-

riables, integrando en primer lugar respeto de la variable i, y apliar en esta integralla propiedad

∫ b

a

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx = −∫ b

a

f ′(x)g(x)dx.

Obsérvese que esta propiedad nos permite, bajo la ondiión de que una de las dos

funiones se anule en la frontera, pasar la derivaión parial de una funión a otra del

produto siempre que multipliquemos también el resultado por (−1).Ahora vamos a expresar el problema modi�ado en términos de apliaiones lineales y

bilineales. Consideramos la forma bilineal

a(ζ, u) =∑

i,j

∫

Ω

∂iζ aij ∂ju+

∫

Ω

ζ b u, u ∈ C2(Ω), ζ ∈ C∞0 (Ω) (5.6)

y la forma lineal

α(ζ) = −∫

Ω

(∑

i

∂iζ hi + ζf

)

, ζ ∈ C∞0 . (5.7)

Podemos esribir la euaión (5.5) omo

a(ζ, u) = α(ζ) para todo ζ ∈ C∞0 (Ω). (5.8)

Para motivar los desarrollos que vienen a ontinuaión veamos ómo proederíamos ante

una euaión omo (5.8) si ζ y v perteneieran a Cn.

La observaión básia es que una forma lineal α sobre Cn se puede esribir, si ζ =(z1, . . . , zn)

⊤, omo

α(ζ) = α

(n∑

i=1

ziei

)

=n∑

i=1

ziα(ei) = 〈ζ, vα〉 .

donde

vα = (α(e1), . . . , α(en))∗.

Por tanto existe una orrespondenia biyetiva entre formas lineales y vetores. De forma

análoga, si u = (u1, . . . , un), podemos esribir la forma bilineal a omo

α(ζ, u) =∑

i,j

ūizja(ej , ei) = 〈ζ, Aau〉 ,

donde Aa = (xij), xij = ā(ei, ej). De la uniidad de vα tenemos

vα = Aau,

que nos proporiona la soluión

u = A−1a vα.

En espaios de dimensión in�nita no podemos en general representar formas lineales

y bilineales omo lo aabamos de haer en espaios de dimensión �nita. Sin embargo,

hay algunos espaios de dimensión �nita que se omportan de forma pareida en muhos

aspetos a los espaios de dimensión �nita. Son los espaios de Hilbert, que introduimos

a ontinuaión para luego extender a espaios de este tipo nuestro espaio de soluiones

y nuestro espaio de funiones test, y de esta forma apliar la ténia que aabamos de

ver.

5.3. Espaios de funiones

5.3.1. Espaios de Banah

Un espaio de Banah es un espaio vetorial normado en el que la métria dada por

la norma es ompleta, es deir, toda suesión de Cauhy es onvergente. En dimensión

in�nita todos los espaios normados son espaios de Banah.

Un espaio normado no ompleto se puede ompletar, es deir, insertar omo subonjunto

en un espaio normado ompleto lo más pequeño posible denominado ompletaión del

espaio iniial. La ompletaión de un espaio es esenialmente únia.

El espaio de las funiones ontinuas del abierto Ω ⊂ Rn en R tales que∫

Ω|f |p < ∞,

para ierto p ≥ 1, on la norma ‖f‖ =(∫

Ω|f |p)1/p

, no es ompleto. Su ompletaión es

el espaio Lp(Ω), que es el que obtenemos si sustituimos el requisito de ontinuidad porel de integrabilidad (según Lebesgue) y onsideramos iguales dos funiones si la norma

de su diferenia es ero. Por tanto los elementos de Lp(Ω) no son exatamente funiones,sino lases de equivalenia de funiones dadas por la relaión

f ≡ g ⇔ ‖f − g‖p = 0 ⇔∫

Ω

|f − g| = 0.

Esta equivalenia también se expresa diiendo que f y g di�eren en un onjunto demedida nula o que son iguales en asi todo punto. El término medida hae referenia a

la medida de Lebesgue, que es una generalizaión del onepto de área o volumen que

permite asignar �tamaños� a subonjuntos de Rn (aunque no a todos) y que está en la

base de la integral de Lebesgue. Ésta nos bastará verla omo una generalizaión de la

integral de Riemann que permite integrar funiones más raras y que presenta mejores

propiedades de paso al límite.

Se de�ne el espaio L∞(Ω) omo el de las funiones on supremo esenial �nito. Elsupremo esenial de la funión f es el ín�mo de los valores a tales que el onjunto en elque f(x) > a tiene medida no nula.

5.3.2. Espaios de Hilbert

Un espaio de Hilbert es un espaio vetorial on produto esalar que on la métria

dada por el produto es espaio de Banah.

El espaio L2(Ω) es un espaio de Hilbert, pues la norma deriva del produto esalar〈f, g〉 =

∫

Ωf ḡ.

Los espaios de Hilbert son los espaios vetoriales de dimensión �nita que presentan

propiedades más análogas a los de dimensión �nita. En nuestro aso haremos uso de dos

ejemplos de estas propiedades (ver 5.4.1).

La teoría de espaios de Hilbert está en la base de la físia moderna. Dentro de la

teoría de la señal, resulta fundamental para desarrollar oneptos omo las ondíulas

(wavelets).

5.3.3. Derivada débil

Neesitamos primero extender el onepto de derivada de una funión. Deimos que ∂kfes la derivada parial de f ∈ L2(Ω) en sentido distribuional (o derivada débil) si

∫

Ω

∂kf ψ = −∫

Ω

f ∂kψ para toda ψ ∈ C∞0 (Ω).

Si f tiene derivada parial respeto de la variable k en el sentido habitual, ya sabemosque veri�a esta relaión.

La derivada débil es únia [6, p. 243℄. Las funiones de�nidas en