Araceli Guzm´an y Guillermo Garro · La importancia del ´algebra lineal para diversas...

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Algebra

Araceli Guzman y Guillermo Garro

Facultad de CienciasUNAM

Semestre 2018-1

doyouwantmektalwar.wordpress.com

Sistemas de Ecuaciones Lineales Algebra

Referencias

1. David C. Lay, Algebra lineal y sus aplicaciones. 2012. Bajar aquı.

2. Stanley I. Grossman, Algebra lineal. 2012. Bajar aquı.

3. Carmen Gomez Laveaga, Algebra superior. 2014. Bajar aquı.

Otras referencias

1. Hugo A. Rincon. Algebra lineal. 2015. Bajar aquı.

2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence. 1979. Linear algebra. Bajar aquı.

3. Steven Roman. Advanced Linear Algebra, 2008. Bajar aquı.

Software

1. Octave.

2. Geogebra.

Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbX0NCU2thaGlQaGc/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbeTZwT0h3X3R5ZzQ/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbalJweWpKaVBJa2M/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbdmZUZHFLSllnLTg/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbMFZJc2U1NEI2M0k/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B12efZWbDYZbUmI0NE91T3BrR0U/view?usp=sharing

https://www.gnu.org/software/octave/

https://www.geogebra.org


¿Cuanto importan las ecuaciones lineales?

Leontief, galardonado en 1973 con el Premio Nobel de Economıa, abrio la puerta a una nuevaera en la elaboracion de modelos matematicos en economıa. Sus esfuerzos en Harvard, en 1949,representaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que,en esa epoca, era un modelo matematico de gran escala. Desde entonces, investigadores enmuchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matematicos. Debidoa las enormes cantidades de datos implicados, los modelos, por lo regular, son lineales; es decir,se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales.

La importancia del algebra lineal para diversas aplicaciones ha crecido en proporcion directaal incremento de la capacidad de las computadoras, y cada nueva generacion de hardwarey software dispara la demanda de capacidades aun mayores. Por ello, la ciencia de la com-putacion esta fuertemente vinculada con el algebra lineal a traves del explosivo crecimiento delos procesamientos en paralelo y el calculo a gran escala.

David C. Lay, Algebra Lineal



¿Que son los sistemas de ecuaciones lineales?

Una ecuacion lineal en las varaibles x1, ..., xn es una ecuacion que puede escribirse en la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

donde b y los coeficientes a1, ..., an son numeros reales o complejos.

Un sistema de ecuaciones lineales es una sucesion finita de ecuaciones lineales que implican lasmismas variables (o incognitas):

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+amnxn = bm

Decimos que (I) es un sistema de m ecuaciones con n incognitas.

Una solucion del sistema (I) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que satisfacesimultaneamente cada una de las ecuaciones del sistema (I), esto es,

ai1s1 + · · ·+ ainsn = bi, ∀1 ≤ i ≤ m.

Un sistema con al menos una solucion sera cosistente. En caso contrario sera inconsistente.

Combinaciones LinealesSi a1, ..., an son numeros reales, entonces una combinacion lineal de los numerosa1, ..., an es una expresion de la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn

donde x1, ..., xn son tambien numeros reales.

En general, si a1, ...,an son vectores de Rm (o de un espacio vectorial arbitrario),entonces una combinacion lineal de los vectores a1, ...,an es una expresion de laforma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn

donde x1, ..., xn son tambien numeros reales.

Un poco mas adelante veremos como este concepto esta es mas util de lo queparece en este momento.



Ejemplo: Una trivialidad (sustitucion hacia atras)x− y − z = 2 (1)

y + 3z = 5 (2)5z = 10 (3)

Solucion.

De la ecuacion (3) despejamos z para obtener

z = 2.

Sustituimos z = 2 en (2), para despues despejar y,

y + 3(2) = 5y = 5− 6y = −1.

Sustituimos y = −1 y z = 2 en (1) para luego despejar x,

x− (−1)− 2 = 2x = 2 + 1x = 3.

Solucion unica del sistema: (3,−1, 2).Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Ejemplo: Algunas veces es facil

No es necesario implementar metodos generales para resolver ciertos casos particulares. Porejemplo, sea el sistema

3x + 2z = 10 (1)2x+ y = 0 (2)−x+ 5y + z = 5 (3)

De la ecuacion (1) despejamos z, y de (2) despejamos y:

z = 5−32x y y = −2x.

Sustituimos en (3) y resolvemos la ecuacion en x,

−x+ 5(−2x) + 5−32x = 5

−252x = 0

x = 0.

De donde z = 5 y y = 0.

La solucion unica del sistema es (0, 0, 5).



Ejemplo: Puede haber muchas soluciones

Sea el sistemax+ 3y + 2z = 2 (1)x+ 4y + z = 2 (2)

2x+ 5y + 5z = 4 (3)

De las ecuaciones (1) y (2),

x+ 4y + z = x+ 3y + 2z4y − 3y = 2z − z

y = z.

Sustituyendo y = z en (1) y despejando x en terminos de z,

x = 2− 5z.

La ecuacion (3) se cumple inmediatamente:

2(2− 5z) + 5z + 5z = 4− 10z + 10z = 4.

Ası que todas las soluciones del sistema son de la forma

(2− 5z, z, z), z ∈ R.



Ejemplo: Quiza no hay soluciones

Sea el sistema2y + 3z = 4 (1)

2x− 6y + 7z = 15 (2)x− 2y + 5z = 10 (3)

Una idea que parece prometedora, es depejar x de las ecuaciones (2) y (3), para obtener laigualdad

152

+ 3y −72z = 10 + 2y − 5z,

de dondey +

32z =

52,

o equivalentemente2y + 3z = 5.

Pero esta igualdad entra en conflicto con la ecuacion (1).

De manera que el sistema no puede tener solucion. Es inconsistente.



Existencia y unicidad de las soluciones

Los ejemplos anteriores muestran fehacientemente que en todo sistema de ecuaciones linealespuede suceder que

(1) Hay una sola solucion,(2) Hay una infinidad (no numerable) de soluciones,(3) No tiene solucion.

La pregunta es si estos son los unicos casos posibles.

Es decir, nos interesa saber si hay sistemas que tengan mas de una solucion, pero “menos” queuna infinidad no numerable.

Observe que este es el unico caso posible a demas de los ya senalados.

Mas adelante vamos a dar respuesta a esta pregunta afirmando que solo los tres casos senaladosson los unicos.

Pero antes de seguir vamos a analizar un poco mas de cerca los ejemplos anteriores.



Una observacion meticulosa

Se ha mostrado que el sistema

2y + 3z = 4 (1)2x− 6y + 7z = 15 (2)x− 2y + 5z = 10 (3)

no tiene solucion.

Debe haber en este algo distintivo.

Si solo tomamos en cuenta las combinacioneslineales que forman las ecuaciones del sistema,es decir, si solo nos fijamos en las expresiones

2y + 3z (1’)2x− 6y + 7z (2’)x− 2y + 5z (3’)

Veremos que (1′) se obtiene de restar (2′) de

dos veces (3′):

2x− 4y + 10z−2x+ 6y − 7z

2y + 3z

No obstante, si replicamos estas mismasoperaciones pero con las ecuaciones del sis-tema, es decir, si restamos la ecuacion (2) ados veces la ecuacion (3) entramos en conflictocon la ecuacion (1):

2x− 4y + 10z = 20−2x+ 6y − 7z = −15

2y + 3z = 5

Esta anomalıa es tambien suficiente para ar-gumentar que el sistema no tiene solucion.




Por otro lado, tamben se ha mostrado que elsistema

x+ 3y + 2z = 2 (1)x+ 4y + z = 2 (2)

2x+ 5y + 5z = 4 (3)

tiene una infinidad de soluciones, de hecho,son de la forma

(2− 5t, t, t) t ∈ R.

¿Que tiene de especial este sistema?

Quiza es menos evidente, pero la ecuacion (3)se obtiene de restar la ecuacion (2) de tres

veces la ecuacion (1):

3x+ 9y + 6z = 6−x− 4y − z = −2

2x+ 5y + 5z = 4

Ası que en realidad es suficiente estudiar lassoluciones del sistema de 2 ecuaciones con 3inconitas

x+ 3y + 2z = 2 (1)x+ 4y + z = 2 (2)

Tal y como pudimos constatar anteriormente.




En cuanto al sistema

3x + 2z = 10 (1)2x+ y = 0 (2)−x+ 5y + z = 5 (3)

Hemos probado que tiene una unica solucion,a saber, (0, 0, 5).

Si solo consideramos las combinaciones lin-eales

3x + 2z (1’)2x+ y (2’)−x+ 5y + z (3’)

Veremos que ninguna de ellas puede obtenersea partir de combinaciones lineales de las otras.

Por ejemplo, supongamos que −x + 5y + zse obtiene de sumar α veces (1′) con β ve-ces (2′), con α y β numeros reales. Es decir,supongamos que

−x+ 5y + z = (3α+ 2β)x+ βy + 2αz.

Deberıa cumplirse las igualdades entre coefi-cientes

−1 = 3α+ 2β, 5 = β, 1 = 2α.

Lo cual es imposible.



No existencia de soluciones

Ya deberıamos intuir al menos este criterio de no existencia.

Teorema

Dado un sistema de m ecuaciones con n incognitas

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......


supongamos que para agun 1 ≤ i ≤ m existen escalares β1, ..., βi−1, βi+1, ..., βm talesque para todo 1 ≤ j ≤ n

aij = β1a1j + · · ·+ βi−1ai−1,j + βi+1ai+1,j + · · ·+ βmamj .

Esto es, los coeficientes de cada incognita xj de la i-esima ecuacion, se obtienen comocombinaciones lineales de los coeficientes de xj de las restantes ecuaciones.

Entonces el sistema (I) no tiene solucion si

bi 6= β1b1 + · · ·+ βi−1bi−1 + βi+1bi+1 + · · ·+ βmbm



Ejemplo

Sea el sistema

x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 0 (1)−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = 3 (2)

3x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 2 (3)

Es claro que los coeficientes de la ecuacion (1) se obtienen de sumar los coeficientes de lasecuaciones (2) y (3). No obstante,

3 + 2 = 5 6= 0.

Ası que el sistema es incosistente.

En la practica, como ya hemos visto en una de las revisiones de uno de los ejemplos anteriores,esto se argumenta haciendo directamente la suma de las ecuaciones (2) y (3), y senalando quela ecuacion resultante entra en conflicto con la ecuacion (1):

−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = 33x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 2

x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 5

En efecto, esta ultima ecuacion esta en conflicto con la ecuacion (1) del sistema.



Ejemplo: Aveces hay siempre hay solucion no trivial, de hecho, una infinidad

Sea el sistemax1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 0 (1)

−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = 0 (2)

3x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 0 (3)

Es evidente que la primera ecuacion es el resultado de sumar la segunda y tercera ecuacion.

Ası que solo tenemos que tratar las ecuaciones (2) y (3). De estas despejamos x1 para obtenerla igualdad

2x2 +52x3 −

52x4 = 2x2 + 2x3 −

83x4.

De dondex4 = −3x3.

Sustituimos x4 en la ecuacion (2) para obtener

x3 =110x1 −

15x2 y x4 = −

310x1 +

35x2.

Por lo tanto, todas las soluciones del sistema son de la forma(x1, x2,

110x1 −

15x2,−

310x1 +

35x2

), x1 ∈ R, x2 ∈ R.



Ejemplo: Aveces hay siempre hay solucion no trivial, de hecho, una infinidad

Sea el sistemax1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 0 (1)

−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = 0 (2)

3x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 0 (3)

Esto es, las soluciones del sistema tienen una parametrizacion de la forma(x1, x2,

110x1 −

15x2,−

310x1 +

35x2

), x1 ∈ R, x2 ∈ R.

Eligiendo entonces una reparametrizacion

x1 = 10s y x2 = 5t, s ∈ R, t ∈ R,

las soluciones del sistema tienen la forma

(10s, 5t, s− t, 3(t− s)) , s ∈ R, t ∈ R.

La cual es quiza una formula mas bonita.



Sistemas homogeneos

Decimos que un sistema de ecuaciones es homogeneo si es de la forma

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+amnxn = 0

Teorema

Un sistema homogeneo tiene siempre solucion trivial (el vector nulo).

Demostracion.

Obvio.

Teorema

Si 1 ≤ m < n, entonces cualquier sistema homogeneo de m ecuaciones con n incognitastiene un numero infinito de soluciones.



Prueba de un caso particular

No daremos una prueba, mas bien probaremos el siguiente caso particular.

Proposicion

Cualquier sistema homogeneo de 2 ecuaciones y 3 inconitas

(I){a11x1 + a12x2+a13x3= 0a21x1 + a22x2+a23x3= 0

tiene un numero infinito de soluciones.

Demostracion.

Si todos los coeficientes de la primera ecuacion son nulos, entonces las soluciones son todoslos puntos del espacio R3, o bien los puntos de un plano en R3. En cualquier caso se cumplela conclusion de la proposicion.

Supongamos que al menos uno de los coeficientes de la primera ecuacion es no nulo. Digamosa11 6= 0.





Proposicion

Cualquier sistema de 2 ecuaciones y 3 inconitas

(I){a11x1 + a12x2+a13x3= 0a21x1 + a22x2+a23x3= 0


Demostracion.

De la primera ecuacion despejamos x1,

x1 = −a12

a11x2 −

a13

a11x3

Sustituimos x1 en la segunda ecuacion, para obtener,(a22 −

a21a12

a11

)x2 +

(a23 −

a21a23

a11

)x3 = 0





Proposicion


(I){a11x1 + a12x2+a13x3= 0a21x1 + a22x2+a23x3= 0


Demostracion.

La ecuacion (a22 −

a21a12

a11

)x2 +

(a23 −

a21a23

a11

)x3 = 0

tiene por representacion geometrica todo el plano R2 (si ambos coeficientes de x2 y x3 sonnulos) o bien es una recta (si al menos uno de los coeficientes de x2 y x3 es no nulo). Encualquier caso, podemos encontrar una cantidad infinita (no numerable de hecho) de numerosx2 y x3 no ambos nulos tales que cumplen esta ecuacion.





Proposicion


(I){a11x1 + a12x2+a13x3= 0a21x1 + a22x2+a23x3= 0


Demostracion.

Para cualesquiera pares x2 y x3 de tales numeros basta elegir

x1 = −a12

a11x2 −

a13

a11x3

para obtener una tripleta (x1, x2, x3) no trival por cierto que resuelve el sistema homogeneo(I).



Sistemas homogeneos asociados

Dado un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incognitas

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+amnxn = bm

definimos el sistema de ecuaciones lineales homogeneo asociado a (I) es el sistema

(H)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+amnxn = 0




Teorema

Si x0 = (x1, ..., xn) es una solucion de un sistema de m ecuaciones lineales con nincognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma

x0 + c = (x1 + c1, x2 + c2, ..., xn + cn),

donde c = (c1, ..., cn) es solucion del sistema homogeneo asociado.

Demostracion.

Para toda 1 ≤ i ≤ m,

ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi y ai1c1 + ai2c2 + · · ·+ aincn = 0,

y por lo tanto,

ai1(x1 + c1) + ai2(x2 + c2) + · · ·+ ain(xn + cn) = bi.

Por lo que en efecto, x0 + c es solucion del sistema de ecuaciones lineales.




Teorema


x0 + c = (x1 + c1, x2 + c2, ..., xn + cn),


Demostracion.

Ahora supongamos quex′0 = (x′1, x′2, ..., x′n)

es cualquier otra solucion del sistema. Entonces definimos

cj = x′j − xj , ∀1 ≤ j ≤ n.

Se tiene que

ai1c1 + ai2c2 + · · ·+ aincn = ai1(x′1 − x1) + ai2(x′2 − x2) + · · ·+ ain(x′n − xn)= ai1x

′1 + ai2x

′2 + · · ·+ ainx

′n − (ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn)

= bi − bi = 0Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM



Teorema


x0 + c = (x1 + c1, x2 + c2, ..., xn + cn),


Demostracion.

Esto es, el vectorc = (x′1 − x1, x

′2 − x2, ..., x

′n − xn)

es solucion del sistema homogeneo.

Y obervamos ademasx′0 = x0 + c.



Ejemplo

Recordemos que las soluciones del sistema

(I)

x+ 3y + 2z = 2 (1)x+ 4y + z = 2 (2)

2x+ 5y + 5z = 4 (3)

son de la forma(2− 5t, t, t), t ∈ R.

Pero de hecho, el vector (2, 0, 0) es una solucion del sistema (I), mientras que las solucionesdel sistema homogeneo asociado son de la forma

(−5t, t, t), ∀t ∈ R.

Se cumple entonces que todas las soluciones del sistema (I) son de la forma

(2, 0, 0) + (−5t, t, t), ∀t ∈ R.



Ejemplo

Recordemos que el sistema3x + 2z = 102x+ y = 0−x+ 5y + z = 5

tiene una unica solucion dada porx = (0, 0, 5).

El sistema homogeneo asociado

3x + 2z = 0 (1)2x+ y = 0 (2)−x+ 5y + z = 5 (3)

tambien tiene solucion unica, la trivial (0, 0, 0). En efecto, de (1) y (2) despejamos z y y,respectivamente

z = −32x y y = −2x,

sustituitmos en (3), para obtener252x = 0.

De donde se sigue que la unica solucion del sistema homogeneo es x = 0, y = 0 y z = 0.Araceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Consecuencias importantes

El teorema siguiente tiene una demostracion casi obvia.

Teorema

Si c = (c1, c2, ..., cn) es una solucion del sistema homogeneo asociado a un sistema dem ecuaciones lineales de n incognitas, entonces λc = (λc1, λc2, ..., λcn), λ ∈ R, estambien solucion del sistema homogeneo asociado.

Pero como consecuencia resuleve una de las interrogantes que habıamos planteado anterior-mente

Corolario

En cualquier sistema de m ecuaciones de m ecuaciones con n incognitas, sucede una ysolo una de las siguientes:

(1) Hay una sola solucion,(2) Hay una infinidad (no numerable) de soluciones,(3) No tiene solucion.



Sistemas equivalentes

Sean los sistemas

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......


(II)

a′11x1 + a′12x2 + · · ·+ a′1n′xn′ = b′1

a′21x1 + a′22x2 + · · ·+ a′2n′xn′ = b′2......

...a′m′1x1 + a′m′2x2 + · · ·+a′m′n′xn′ = b′m′

Decimos que (I) y (II) son equivalentes si tienen las mismas soluciones. O mas apropiada-mente, si tienen el mismo conjunto solucion. Observe que si (I) y (II) son equivalentes entoncesn = n′ (el numero de incognitas es el mismo).

Teorema

Equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales define una relacion de equivalencia sobreel espacio de todos los sistemas de ecuacione lineales.



Operaciones elementales

Las tres operaciones basicas son las siguientes

Operaciones elementales para ecuaciones

I. Reemplazo de una ecuacion por la suma de la mismo y un multiplo de otra.

II. Intercambio de una ecuacion por otra.

III. Escalamiento de una ecuacion por un escalar no nulo.

Teorema

Si en un sistema se aplica cualquiera de las operaciones elementales, entonces el sistemaresultante es equivalente al sistema original.

Corolario

Si aplicamos un numero finito de operaciones elementales sobre un sistema de ecuacionesdado, entonces el sistema resultante es equivalente al original.



Ejemplo

No daremos la prueba para no enredarnos con una notacion engorrosa. Vamos a estudiar enlugar de ello un caso muy simple.

Sea el sistema

(I1){x+ y = 3x− y = 1

Es practicamente evidente que la solucion unica de este sistema es el vector (2, 1).

El mismo vector es solucion unica del sistema

(I2){x− y = 1x+ y = 3

que resulta de intercambiar las ecuaciones del sistema (I1).



Ejemplo


Sea el sistema

(I1){x+ y = 3x− y = 1


Ahora, si c es cualquier escalar no nulo, entonces (2, 1) sigue siendo solucion de los sistemas

(I3){cx+ cy = 3cx− y = 1

y (I4){

x+ y = 3cx− cy = c

que resultan de multiplicar por c la primera y segunda ecuacion, respectivamente,



Ejemplo


Sea el sistema

(I1){x+ y = 3x− y = 1


Por ultimo, es tambien facil ver que (2, 1) es solucion de los sistemas

(I5){

(1 + c)x+ (1− c)y = 3 + c

x− y = 1y (I6)

{x+ y = 3

(1 + c)x+ (−1 + c)y = 1 + 3c

que resultan de sustituir la primera ecuacion por la suma de esta y c veces la segunda, para elcaso (I5); y de sustituir la segunda ecuacion por la suma de esta y c veces la primera, para elsistema (I6).



Matriz de coeficientes y matriz aumentada

Dado el sistema

(I)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+amnxn = bm

la matriz de coeficientes de (I) es el arreglo rectangular de los mn coeficientesa11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

La matriz aumentada de (I) es el arreglo de m(n+ 1)

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

......

. . ....

...am1 am2 · · · amn bm



Matrices de m × n

En general, una matriz A de m renglones y n columnas (de tamano m× n), es un arreglo demn numeros

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

Con la finalidad de simplificar muchas de las pruebas, se usa tambien la notacion abreviada

A = (aij)m×n o bien A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n.

A veces decimos que los numeros aij son las entradas o componentes de la matriz A. El ındicei representa el renglon y j la columna.

Si n = m, es decir, el numero de renglones es igual al numero de columnas, entonces decimosque A es una matriz cuadrada de tamano n. Podemos escribir abreviadamente A = (aij)n.

Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)m′×n′ son iguales si y solo si m = m′, n = n′,es decir A y B tienen el mismo numero de renglones y columnas (son del mismo tamano), yaij = bij para todas 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n (es decir, dos matrices son iguales si son igualesentrada por entrada).



Notacion matricial. Metodo general para determinar soluciones

Sea el sistema

x1 − 2x2 + x3 = 02x2 − 8x3 = 8

−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9

Matriz de coeficientes y matriz aumentada

Las matrices asociadas a este sistema son(1 −2 10 2 −84 5 9

)y

(1 −2 1 00 2 −8 84 5 9 9

),

llamadas matriz de coeficientes y matriz aumentada, respectivamente.



Eliminacion Gaussiana

La idea es transformar el sistema de ecuaciones original a uno equivalente pero que tenga formaescalonada, mediante operaciones elementales. Para ello partimos de la matriz aumentada:

Vamos a mantener el coeficiente de x1 en la pimera ecuacion y vamos a usarlo para eliminar(hacer cero) los coeficientes de x1 en las restantes ecuaciones.

Los calculos que realizamos a continuacion generalmente se hacen mentalmente.




Escribimos el resultado de esta operacion en el lugar de la ecuacion (3) original.

Ahora, para simplificar los calculos siguientes, vamos a multiplicar la ecuacion (2) por 12 , para

obtener un nuevo coeficiente para x2:

Vamos a eliminar el termino −3x2 de la ecuacion (3):




El nuevo sistema tiene ahora una forma escalonada:

Esto es suficiente para encontrar la solucion del sistema, tal y como se hizo en el primer ejemplo:

Sustituimos x3 = 3 en la segunda ecuacion para obtener

x2 = 16.

Seguidamente, sustituimos x2 = 16 y x3 = 3 en la primera ecuacion para obtener

x1 = 29.

Solucion unica del sistema: (28, 16, 3).



Eliminacion de Gauss-Jordan

No obstante, para algunos sistemas de ecuaciones grandes, conviene continuar reduciendo lasecuaciones hasta llevar el sistema a una forma escalonada reducida.

Vamos a usar x3 de la ecuacion (3) para eliminar los terminos −4x3 y x3 de las ecuaciones (2)y (1), mediante los calculos




Combinamos estos dos resultados para obtener el nuevo sistema

Ahora usamos el termino x2 de la ecuacion (2) para eliminar el termino −2x2 de la ecuacion(1), para ello basta multiplicar la ecuacion (2) por 2, y sumar con la ecuacion (1). Sustituimosesta nueva ecuacion en lugar de la ecuacion (1), para obtener




Desde luego se puede comprobar que en efecto hemos encontrado la solucion



Operaciones elementales

El ejemplo precedente muestra como ciertas ecuaciones sobre las ecuaciones de un sistemade ecuaciones lineales corresponden a las mismas operaciones sobre los renglones de la matrizaumentada.

Las tres operaciones basicas por renglon son las siguientes

Operaciones elementales por renglon para ecuaciones y matrices

I. Reemplazo. Reemplazo de una ecuacion (renglon) por la suma del mismo y un multiplo deotro.

II. Intercambio. Intercambiar una ecuacion (renglon) por otra.

III. Escalamiento. Multiplicar una ecuacion (renglon) por un escalar no nulo.

Diremos que dos sistemas de ecuaciones (matrices) son equivalentes (por renglon) si podemostransformar una en la otra mediante la aplicacion sucesiva de operaciones elementales.

Observacion

Las operaciones elementales son reversibles, y para revertilasrealizamos operaciones del mismo tipo.



Ejemplo: Consistencia

Sea el sistema

La matriz aumentada al sistema es

Intercambiamos los renglones 1 y 2,

Multiplicamos por − 52 el renglon 1 y sumamos

al tercer renglon

Multiplicamos por − 12 el segundo renglon y

sumamos al tercero

Resulta el sistema equivalente

Por lo que el sistema no tiene solucion, es decires incosistente.



Formas escalonadas



Formas escalonadas

Una matriz esta forma escalonada (por renglones) si tiene las siguientes propiedades

1. Todas las filas diferrentes de cero estan arriba de cualquier fila con puros ceros

2. Cada entrada principal de una fila esta en columna a la deracha de la entrada principal deuna fila superior.

3. Todas las entradas de una columna que esten debajo de una entrada principal son cero.

Si una matriz cumple ademas las siguientes propiedades, entonces esta en forma escalonadareducida (por renglones):

4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es 1.

5. Cada 1 principal es la unica entrada diferente de cero en su columna.

poner teorema de existencia y unicidad de matrices esclonadasAraceli Guzman y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


Formas escalonadas



Ejemplo

Sea el sistema

Vamos a resolver el sistema con el metodo descrito antes.



Ejemplo

Sea el sistema

En otras palabras, hemos demostrado la equivalencia de las matrices

y

Se sigue que la solucion unica del sistema es

(4,−2, 3)



Ejemplo

Sea el sistema

Nuevamente, vamos a llegar a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada

El sistema es equivalente al sistema Cuyas soluciones son de la forma

x1 = 1 + x3, x2 = 4− 2x3, x3 ∈ R

Decimos que x3 es libre.



Formas escalonadas

Teorema : Unicidad de la Forma EscalonadanReducida

Toda matriz es equivalente a una unica matriz escalonada reducida

Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema

Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene solucion) si y solo si, la formaescalonada reducida de la matriz aumentada no tiene un renglon de la forma

(0 0 0 · · · 0 b), con b 6= 0.

Si el sistema es consistente, entonces el conjunto solucion contiene ya sea una solucion,cuando no existen variables libres, o un numero infinito de soluciones, cuando existe almenos una variable libre.



Un caso importante

Teorema

Si en un sistema de ecuaciones de tamano m× n se tiene que m < n, es decir, hay masincognitas que ecuaciones, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones

Ejemplo

Sea el sistema

Describimos este sistema con su matriz aumentada y reducimos a su forma escalonada reducida



Un caso importante

Teorema

Si en un sistema de ecuaciones de tamano m × n se tiene que m < n, es decir, haymas incognitas que ecuaciones, entonces el sistema tiene una infinidad (no numerable)de soluciones.

Ejemplo

Sea el sistema

Este sistema es equivalente al sistema

x1 + 19x3 + 7x4 = −2x2 − 8x3 − 2x4 = 2

o bien{x1 = −2− 13x3 − 7x4x2 = 2 + 8x3 + 2x4

Las soluciones del sistema son infinitas, pues x3 y x4 son libres.



Uso de software: Octave

El programa Octave cuenta con la funcion rref (reduced row echelon form), para calcular laforma escalon reducida de (casi) cualquier matriz. Por ejemplo, sea

A =

(0 3 −6 6 4 −53 −7 8 −5 8 93 −9 12 −9 6 15

)El codigo para conocer la forma escalonada reducida es como sigue:

octave :1> A=[0 3 -6 6 4 -5;3 -7 8 -5 8 9;3 -9 12 -9 6 15]A =

0 3 -6 6 4 -53 -7 8 -5 8 93 -9 12 -9 6 15

octave :2> rA= rref (A)rA =

1.00000 0.00000 -2.00000 3.00000 0.00000 -24.000000.00000 1.00000 -2.00000 2.00000 0.00000 -7.000000.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000

El cual, como observamos corresponde a lo que ya habıamos hecho.




Podemos usar esta funcion para resolver sis-temas de acuerdo al metodo que ya hemosanalizado. Sea el sistema

3x + 2z = 10 (1)2x+ y = 0 (2)−x+ 5y + z = 5 (3)

Consideramos las matrices

A =

(3 0 22 1 0−1 5 1

), b =

(1005

),

B =

(3 0 2 102 1 0 0−1 5 1 5

)Las matrices A y B son las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente.

octave :1> A=[3 0 2;2 1 0; -1 5 1]A =

3 0 22 1 0

-1 5 1

octave :2> b =[10;0;5]b =

1005

octave :3> B=[A,b]B =

3 0 2 102 1 0 0

-1 5 1 5

octave :4> rB= rref (B)rB =

1.00000 0.00000 0.00000 -0.000000.00000 1.00000 0.00000 -0.000000.00000 0.00000 1.00000 5.00000

Lo que significa que la solucion del sistema es(0, 0, 5) como ya habıamos visto.




Podemos saber con certeza si un sistema tieneo no solucion. Sea el sistema

2y + 3z = 4 (1)2x− 6y + 7z = 15 (2)x− 2y + 5z = 10 (3)

Y sean las matrices

A =

(0 2 32 −6 71 −2 5

), b =

(41510

),

B =

(0 2 3 42 −6 7 151 −2 5 10

)Las matrices A y B son las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente (comoantes).

octave :1> A=[0 2 3;2 -6 7;1 -2 5]A =

0 2 32 -6 71 -2 5

octave :2> b =[4;10;15]b =

41015


0 2 3 42 -6 7 101 -2 5 15


1.00000 0.00000 8.00000 0.000000.00000 1.00000 1.50000 0.000000.00000 0.00000 0.00000 1.00000

Lo que significa en efecto que el sistema notiene solucion, como ya habıamos visto.




¿Y que pasa si el sistema tiene muchas solu-ciones?. Sea el sistema

x+ 3y + 2z = 2 (1)x+ 4y + z = 2 (2)

2x+ 5y + 5z = 4 (3)

Tecleamos directamente el codigooctave :1> A=[1 3 2;1 4 1;2 5 5]A =

1 3 21 4 12 5 5

octave :2> b =[2;2;4]b =

224


1 3 2 21 4 1 22 5 5 4


1 0 5 20 1 -1 00 0 0 0

Lo que significa z es libre (i.e. puede elegirsearbitrariamente), y− z = 0 y que x+ 5z = 2,lo cual ya habıamos verificado antes.


Araceli Guzm´an y Guillermo Garro · La importancia del ´algebra lineal para diversas...

Documents

Transcript of Araceli Guzm´an y Guillermo Garro · La importancia del ´algebra lineal para diversas...