Apuntes_Estabilidad2

ESTABILIDAD TRANSITORIA: Apuntes explicativos...

Prof. Pedro C. Paiva M. y Prof. Gerardo Figueiras, Dpto. de Conversin y Transporte de Energa Universidad Simn Bolvar Caracas

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ESTABILIDAD TRANSITORIA EN SISTEMAS DEPOTENCIA

Apuntes Explicativos y Comentarios paraPrincipiantes

(i) MOTIVACIN DE ESTOS APUNTESDesde hace varios aos, me ha correspondido dictar de manera regular la asignaturaSistemas de Potencia II, CT-4234. Dicha asignatura introduce al estudiante en losconceptos bsicos de operacin y comportamiento dinmico de sistemas de potencia,especficamente en lo concerniente a la respuesta de los sistemas ante grandesperturbaciones. CT-4234 es un curso sobre Estabilidad Transitoria de Sistemas dePotencia. Como es sabido, la respuesta dinmica de un sistema de potencia en general, y enparticular su estabilidad transitoria dependen fuertemente del comportamiento de lasmquinas rotativas elctricas conectadas al sistema, por lo que es difcil comprender yanalizar la respuesta dinmica de una red de potencia si no se tiene una comprensin clarade la estructura y del comportamiento electromecnico de una mquina elctrica. Pero es elcaso que ninguna de las asignaturas que introducen al estudiante en los conceptos bsicos,estticos y dinmicos de las mquinas elctricas es pre-requisito (ni co-requisito) del cursode Estabilidad Transitoria.Por otra parte, existen numerosos textos, tanto docentes como tcnicos, que tratan demanera exhaustiva el enfoque clsico tema de la Estabilidad Transitoria. Entre los textosde los autores ms citados destacan los de Anderson, Prahba-Kundur, Venikov, Kimbark,Stevenson, Elgerd, Gross, Weedy, etc. El problema se presenta en el momento de indicar alestudiante cul ser su libro de texto, que se adapte especficamente al curso CT-4234.Existen textos completos, de entre 200 y 500 pginas completamente dedicados alproblema del rgimen dinmico y la estabilidad de los sistemas elctricos de potencia,como los de Anderson, Prahba-Kundur, Venikov y Kimbark, que siendo obras magistrales,tienen dos inconvenientes para su uso especfico como texto de la asignatura CT-4234:primero, que son muy extensos y profundos para un curso introductorio de 12 semanas deduracin como el que nos preocupa; y segundo, que todos asumen que el lector oestudiante tiene los conocimientos bsicos de estructura y comportamiento de las mquinaselctricas. Otros autores, como Elgerd, Stevenson, Gross, Weedy, y varios otros nossuministran textos generales de anlisis de sistemas de potencia, en los que el tema delcurso CT-4234 se trata de manera demasiado superficial, dedicndole en promedio entre 15y 30 pginas a todo el asunto, aparte de que tambin asumen que el estudiante estfamiliarizado con la mquina elctrica. Entonces, cul recomendar de entre los textosclsicos es un problema no trivial, porque algunos no convienen por exceso, y otros pordefecto.Como no existe un nico texto que se ajuste especficamente al contenido de la asignaturaCT-4234, decid invertir buena parte de mi tiempo durante mi ao sabtico 2007-2008 para

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escribir una versin al menos preliminar de un documento que considero podra servir detexto o gua de teora para la asignatura. El documento debera ser un texto relativamentecorto, de cerca de 100 pginas quizs, escrito en lenguaje sencillo para el estudiante lego enla materia, y que sea capaz de introducir a un lector no familiarizado con el anlisis formalde la mquina elctrica en los aspectos y comportamientos de sta que influyen de maneradirecta en el problema de la estabilidad de los sistemas de potencia.En base a las consideraciones anteriores, he escrito un documento con las caractersticas yfinalidad descritas arriba, que lleva como ttulo ESTABILIDAD TRANSITORIA ENSISTEMAS DE POTENCIA: Apuntes Explicativos y Comentarios para Principiantes.Este documento no pretende sustituir ni competir en calidad, rigurosidad y contenido conlos muy buenos textos ya existentes, como los de los autores indicados antes. Muy alcontrario, estos Apuntes Explicativos se basan enteramente en ellos, tanto que muchasveces se recurre a las citas casi textuales y a la utilizacin directa de muy buenos esquemas,grficos y ejemplos provistos por ellos, con la debida indicacin de las autorascorrespondientes, por supuesto. Los Apuntes Explicativos pretenden ser un compendiomuy breve de lo que he considerado clave en cada uno de los textos mencionados para suuso en la asignatura CT-4234, evitando as la necesidad de que el estudiante deba adquirirvarios de sos textos, que son bastante onerosos, por cierto. Se espera que el contenido deestos Apuntes Explicativos sea el que bsica y precisamente se requiere para cumplir conlos objetivos del curso, pero de ninguna manera evita que el estudiante deba eventualmenterecurrir directamente a las fuentes mencionadas, o a otras referencias, en casos puntuales.Pero, siendo as, los Apuntes Explicativos en poder del estudiante hacen suficiente que lostextos o referencias estn disponibles en la Biblioteca de la Universidad, sin necesidad deque deba adquirirlos para estudiar la materia.

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(ii) CONTENIDO DE ESTOS APUNTESESTABILIDAD TRANSITORIA EN SISTEMAS DE POTENCIA:

Apuntes Explicativos y Comentarios para Principiantes(i) Motivacin de estos Apuntes(ii) Contenido de estos Apuntes(iii) Fuentes de estos Apuntes

Captulo 1: Introduccin al ProblemaCaptulo 2: El Sistema de Potencia desde el punto de vista Operativo

2.1.- Caractersticas y Estructura de los Sistemas de Potencia2.2.- Control del Sistema de Potencia

2.3.- Estados Operativos de un Sistema de Potencia2.4.- Criterios Operativos y de Diseo para Estabilidad

2.5.- Diseo del Sistema para EstabilidadCaptulo 3: Planteamiento del Problema de Estabilidad: Principio Fsicos,

Mquinas Sincrnicas y Estabilidad3.1.- Definicin Primitiva de Estabilidad y Estabilidad del ngulo del Rotor

3.2.- Cmo es una Mquina Sincrnica?3.3.- Breve Introduccin a la Dinmica de las Mquinas Sincrnica

3.4.- Respuesta Dinmica de una Espira de Corriente inmersa en un CampoMagntico

3.5.- Relacin entre la Espira de Corriente inmersa en un Campo Magntico y laMquina Sincrnica

3.6.- Construccin de una Mquina Sincrnica: El Campo Rotante3.7.- El Modelo Circuital Equivalente de la Mquina Sincrnica y su Caracterstica

Potencia-ngulo3.8.- El Sistema de Potencia ms simple: Una Mquina Sincrnica conectada a una

Barra InfinitaCaptulo 4: Estudios de Estabilidad: El Modelo Matemtico Elemental

4.1.- Factibilidad de la Existencia de Condiciones de Estado Estacionario4.2.- El Fenmeno de Estabilidad: Fundamentos Fsicos

4.3.- Estimacin de Estabilidad en Estado Estacionario: Principios Fsicos4.4.- Cuantificacin del Fenmeno Electromecnico Oscilatorio

4.5.- La Dinmica del Rotor en una Mquina Sincrnica: La Ecuacin deOscilacin

4.6.- Unidades Fsicas de la Ecuacin de Oscilacin y Formas Alternativas de lamisma

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Captulo 5: El Torque en la Mquina No Regulada: Respuesta antePequeas Perturbaciones

5.1.- El Torque Mecnico en Mquinas no Reguladas5.2.- El Torque Elctrico en Mquinas no Reguladas: El Modelo Circuital

Equivalente Elemental del Generador Sincrnico5.3.- Coeficientes de Sincronizacin de Potencia

5.4.- Frecuencias Naturales de Oscilacin de una Mquina SincrnicaCaptulo 6: Estudios de Estabilidad en Sistemas de Potencia: El Modelo

Clsico6.1.- Estudios de Estabilidad en Sistemas Unimquina: El Modelo Clsico

6.2.- Estudios de Estabilidad en Sistemas Multimquina: El Modelo Clsico6.2.1.- El Modelo de las Mquinas en el caso de Estabilidad Multimquina

Simplificada6.2.2.- Clculo de la Potencia Elctrica: El Modelo Circuital del Sistema en

el caso de Estabilidad Multimquina Simplificada6.2.3.- Planteamiento del Problema de Estabilidad Simplificada en Sistemas

Multimquina6.2.4.- Solucin del Problema de Estabilidad Simplificada en Sistemas

Multimquina6.2.5.- Estudio Clsico de Estabilidad Simplificada:

Caso de Ejemplo6.2.6.- Limitaciones de Modelo de Estabilidad Simplificada

Captulo 7: Formas Alternativas de Estimacin de Estabilidad: ElCriterio de reas Iguales

7.1.- Consideraciones Generales7.2.- El Criterio de reas Iguales: Caso de Mquina conectada a Barra Infinita

7.3.- El Criterio de reas Iguales: Extensin al caso de un Sistema con 2 Mquinas7.4.- Aplicacin del Criterio de reas Iguales al Anlisis de Contingencias:

Ejemplos

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(iii) FUENTES DE ESTOS APUNTESEstos apuntes estn enteramente basados en clsicas y muy buenas referencias existentes enla literatura acerca del tema, tanto as que frecuentemente se ha recurrido a la traduccinlibre de fragmentos seleccionados de las referencias, as como a la utilizacin, muchasveces de manera directa, de excelentes ilustraciones, esquemas y ejemplos que ellasofrecen. A continuacin, el recuadro incluye las que el autor de estos apuntes consideracomo las referencias bsicas ms influyentes en la enseanza tradicional del tema de estosapuntes; son documentos de referencia casi obligada, que todo Ingeniero Electricistadebera tener en lugar privilegiado de su biblioteca.

Bibliografa Bsica de Dinmica y Estabilidad de Sistemas de Potencia[1] Anderson P. M. and Fouad A. A., Power System Control and Stability, The IowaState University Press, Ames, Iowa, U.S.A.,1977.[2] Elgerd O. I.: Electric Energy Systems Theory: An Introduction, Tata-McGrawHill, 1971[3] Gross C. A.: Power System Analysis, John Wiley and Sons, 1979[4] Greenwood A.: Electrical Transients in Power Systems. J. Wiley & Sons, Inc.USA, 1971.[5] Kimbark E. W.: Power system stability, Volume I: Elements of StabilityCalculations, IEEE Press, USA, 1995.[6] Kimbark E. W.: Power system stability, Volume III: Synchronous Machines,IEEE Press, USA, 1995.[7] Kundur P.: Power System Stability and Control, EPRI, Mc Graw-Hill, 1994.[8] Kundur P.: Power System Dynamics, Tutorial Course Vol.1-2, Simn BolvarUniversity, Caracas, May 28-31, 2007.[9] Stagg G. W. and El-Abiad A. H.: Computer Methods in Power System Analysis,Mc. Graw-Hill, N.Y., 1968.[10] Stevenson W. D.: Anlisis de Sistemas Elctricos de Gran Potencia, Mc Graw-Hill, Mxico, 1970.[11] Stevenson Jr. W. D. y Grainger J. J.: Anlisis de Sistemas de Potencia, McGraw-Hill, Mxico, 1996.[12] Venikov V. A.: Transient Processes in Electrical Power Systems, Ed. Mir,Moscow, 1980.[13] Weedy B. M.: Sistemas Elctricos de Gran Potencia, Ed. Revert, 1978.[14] Westinghouse Electric Co. (editora): Electrical Transmission and DistributionReference Book, Westinghouse Electric Company, Pennsylvania, U.S.A., 1964.VERS

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Captulo 1INTRODUCCIN AL PROBLEMA

Hasta ahora, antes de cursar la asignatura CT-4234, el estudiante de Ingeniera Elctrica enla Universidad Simn Bolvar ha analizado el comportamiento del Sistema Elctrico dePotencia (SEP) como si estuviera congelado en un estado operativo determinado. Comosimplificacin necesaria para introducir al estudiante en el complejo campo del anlisis delsistema de potencia, eso estaba bien. Pero es el caso que, para realizar sus fines, la red,considerada como un sistema, est permanentemente sometida a cambios en sus estmulos,que obligan a cambios consecuentes en sus respuestas, descritas por estados operativoscambiantes. Esa es la realidad que el Ingeniero analista u operador del sistema vive da ada, en la que debe aplicar una serie de tcnicas especficas, basadas en las que se utilizanpara el anlisis de la red en estado estacionario, pero diferentes de ellas, y, usualmente,bastante ms complicadas.Es la finalidad de este curso, Sistemas de Potencia II (CT-4234), iniciar al estudiante en eldesarrollo y aplicacin de tales tcnicas, apropiadas para el anlisis de los procesos de unsistema elctrico asociados a los cambios en sus condiciones operativas. El conjunto detales procesos se conoce como fenmenos transitorios.El problema es fascinante. Steinmetz escribi alguna vez que ...el sistema elctricointerconectado norteamericano es la mquina ms grande y compleja jams desarrolladapor el hombre.... Se trata de desarrollar tcnicas de factible aplicacin para el anlisis delfenmeno transitorio, dinmico, de los sistemas ms complejos que existen. Este tipo desistema es fsicamente complejo, tanto por su tamao (se extienden por espaciosgeogrficos enormes, del tamao de pases y de subcontinentes) como por su estructura(considerando que desde la mayor unidad hidrogeneradora en Guri hasta la ms pequealicuadora elctrica funcionando en cualquier hogar, pasando por todo el equipo necesariopara transportar la energa a distancias de cientos y hasta miles de kilmetros, son partesintegrantes y simultneamente actuantes del SEP, es imaginable el enorme reto queimpone la modelacin dinmica de esa mirada de equipos funcionando simultneamente?La complejidad fsica del sistema deriva en una complejidad matemtica enorme, dado quede alguna manera el modelo matemtico debe considerar el efecto de todos los elementosque interactan simultneamente en el sistema, cada uno de los cuales puede a su vezadmitir una modelacin matemtica compleja. El problema parece formidable...Cualquier sistema en movimiento necesario para el cumplimiento de sus fines admitesolamente algunas posiciones o estados operativos aceptables en su funcionamiento. Porejemplo, un vehculo automotor, til para transportar de manera segura y rpida personas ycarga de un lugar a otro, cumple sus funciones solamente si se conserva en la calzada contodas sus ruedas en contacto con el suelo, en rodamiento sin deslizamiento. Cualquierestado operativo del vehculo que cumpla con esas condiciones es un estado operativoaceptable, es un estado de equilibrio donde todo marcha bien. Ese vehculo se consideraestable si es capaz de conservar las propiedades descritas mientras est funcionando. Si elvehculo rueda sin deslizamiento a velocidad constante sobre una va recta y sin baches, seconsidera en un estado operativo estacionario, que se conservar hasta que cambie alguna

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de sus condiciones de entorno, como ingresar en una curva, acelerar frenar, etc. Si soocurre, la condicin operativa cambia, hasta salir de la curva o alcanzar una nuevavelocidad constante, ubicndose en un nuevo estado operativo estacionario. Si durante lacurva el vehculo patina y se vuelca, el nuevo estado operativo que adquiere el vehculo(volcado) no es aceptable, puesto que se ha salido de la va y las ruedas ya no estn encontacto con el piso en rodamiento sin deslizamiento, imposibilitando el cumplimiento desus fines: el vehculo ha perdido estabilidad y ha colapsado. El vehculo ha sufrido unimpacto que lo ha sacado de sus condiciones operativas iniciales. Sin tal impacto (entrar enla curva en las condiciones dadas por el estado operativo inicial), el estado operativo nohubiera cambiado, y el sistema no hubiera colapsado. Entonces, la estabilidad del sistemase verifica solamente ante impactos o perturbaciones que producen cambios en lascondiciones operativas. Ante la misma curva, tomada a la misma velocidad, algunosvehculos volcarn y otros no, dependiendo fundamentalmente de las caractersticas delvehculo (si el carro es ms alto, ms probabilidad habr de que se vuelque en esa curva).Entonces, existen vehculos ms estables que otros, ms robustos ante perturbaciones queotros. Se dice que la robustez de un sistema se mide por su capacidad de operar enestado de equilibrio tanto en condiciones normales como perturbadas.Las consideraciones hechas para el vehculo son fcilmente extrapolables para el caso decualquier sistema, y en particular para el caso de los sistemas elctricos de potencia, comoser evidente de ahora en adelante.La importancia del estudio del fenmeno transitorio en un sistema se deriva del hecho deque el transitorio -que es una condicin entre dos estados operativos estacionariosdiferentes- puede concluir en un estado operativo no estacionario o inaceptable, caso en elcual el sistema indefectiblemente colapsa. El sistema es estable solamente si es capaz deconservar el estado de equilibrio, u obtener una condicin operativa aceptable, luego deuna perturbacin: si el sistema no es estable, colapsa. Y el colapso es un hechoinaceptable en un sistema concebido, construido y operado para el funcionamientocontinuo, sea cual fuere su finalidad.Entonces, se estudia el rgimen transitorio en un sistema bsicamente para la evaluacin desu estabilidad ante las perturbaciones que ocurren durante su operacin. Es por eso que elestudio del rgimen transitorio tambin se conoce frecuentemente como estudio deestabilidad, que, aplicado a los sistemas elctricos de potencia, es el objeto de este curso.Estabilidad de sistemas de potencia se relaciona con el estudio del comportamiento delsistema tales como cambios sbitos en la generacin o demanda, o cortocircuitos (fallas) enlas lneas de transmisin. Se dice que un sistema de potencia es estable si todas lasunidades generadoras interconectadas permanecen en sincronismo. La capacidad de unsistema de potencia para mantener la estabilidad depende principalmente de los controlesdisponibles en el sistema para amortiguar las oscilaciones electromecnicas. Acerca detodo esto trataremos en las pginas que siguen.De todos los fenmenos complejos propios de los sistemas de potencia modernos, el de laestabilidad es el ms difcil de entender, y el ms desafiante para analizar.

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Captulo 2EL SISTEMA DE POTENCIA DESDE EL PUNTO DE VISTA

OPERATIVOA diferencia de lo que ocurre cuando se analiza un sistema de potencia en rgimenpermanente, al estudiar la operacin de un sistema elctrico se debe considerar el hecho deque dicha operacin es una sucesin en el tiempo de regmenes permanentes entre los quese intercalan estados transitorios. En estas condiciones, es necesario considerar nosolamente los procesos elctricos inherentes al estado estacionario, sino tambin losprocesos mecnicos asociados a elementos tales como accionamientos primarios (turbinas,motores) y sus gobernadores, as como lo que ocurre en cargas motor en los que la energaelctrica se transforma en energa mecnica, y el efecto de los sistemas de control asociadosa la operacin de ese inmensamente complejo sistema que es la red de potencia. Entonces,el anlisis de un sistema elctrico en operacin requiere la consideracin de sus procesoselectromecnicos controlados asociados. En esta primera aproximacin para principiantes,se describirn muy brevemente los controles asociados a un sistema de potencia, y susefectos principales, pero en los anlisis se considerar al sistema, en general, como nocontrolado. Este es el modo ms simple de iniciar el estudio de la respuesta dinmica de lared ante perturbaciones que de manera normal o anormal ocurren durante su operacin, yson las responsables del estado permanentemente cambiante del sistema.En este captulo se plantearn conceptos bsicos relativos al sistema de potencia enoperacin. Se inicia el tema definiendo al sistema de potencia desde el punto de vistaoperativo, describiendo la estructura necesaria para el cumplimiento de sus fines (sec. 2.1).Habiendo definido a los elementos de control como parte del sistema, se procede ajustificar su necesidad y a describir de manera muy general los lazos de control tpicos enuna red de potencia, centrados en la hiptesis de que los generadores sincrnicos son elelemento de potencia controlable clave del sistema (sec. 2.2). A continuacin, se describeny clasifican los diversos estados operativos que presenta un sistema de potencia (sec. 2.3),como marco de referencia para el establecimiento de los criterios operativos y de diseopara estabilidad (sec. 2.4), concluyendo con algunas consideraciones muy breves acercadel diseo del sistema para estabilidad (sec 2.5). La fuente principal para este captulo es P.Kundur, [7].

2.1 CARACTERSTICAS Y ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA

Un sistema elctrico de potencia se caracteriza por una serie de procesos en cascada,similares en esencia pero diferentes en el detalle ingenieril, cuya finalidad ltima es lasatisfaccin de la demanda de energa elctrica por parte del consumidor final, obtenida enltima instancia de las fuentes energticas de otro tipo que existen de manera natural ysuficientemente abundante en el entorno fsico (energa hidrulica, combustibles fsiles,energa nuclear, fuentes energticas alternativas, etc.). Para cumplir este fin, los sistemasde potencia se disean y operan en base a una estructura de subsistemas comn a todosellos, ubicados en cascada desde el punto de vista de los procesos que en ellos ocurren:Generacin, Transmisin, Distribucin y Sistema de Cargas, en esa secuencia. Cada

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subsistema intermedio toma energa del inmediato precedente, y la transfiere al que lesigue. Los lugares que preceden (o suceden) a los subsistemas extremos (Generacin,Cargas) son el entorno no elctrico. Cada subsistema tiene sus propias particularidadesfsicas y elctricas (bsicamente, aquellas derivadas de diferentes niveles nominales detensin, adems de otras), y admite sus propios modelos de anlisis, operacin, diseo yplanificacin.Proceden algunas definiciones:El Sistema Elctrico es una combinacin de elementos en interaccin, que, desde el puntode vista operativo, se pueden clasificar en dos grandes grupos:Elementos de Potencia, que generan (generadores), transforman (transformadores,rectificadores, inversores), transmiten (lneas de transmisin), distribuyen (circuitos dedistribucin) y consumen (cargas) la energa elctrica.Elementos de Control, que se utilizan para cambiar la condicin del sistema (reguladores deexcitacin de las mquinas sincrnicas, gobernadores de velocidad de los accionamientosde los generadores, rels, interruptores, etc).Como se ha dicho, todos los elementos del sistema estn unidos por los procesos degeneracin, transmisin, distribucin y consumo de energa elctrica, y por los transitoriosdebidos a cambios en la condicin operativa del sistema.Los sistemas elctricos de potencia comparten las siguientes caractersticas:

(i) Son sistemas AC trifsicos operando esencialmente a voltaje constante.(ii) Tienden a ser balanceados.(iii) Usan mquinas sincrnicas para generar la energa elctrica.(iv) Transmiten potencia a distancias significativas a consumidores que se extienden

sobre grandes reas.(v) Las redes de transmisin presentan mltiples niveles nominales de voltaje.(vi) En ellos generalmente se pueden identificar los siguientes subsistemas:

- Subsistema de Generacin- Subsistema de Transmisin- Subsistema de Sub-transmisin- Subsistema de Distribucin- Consumidores

2.2 CONTROL DEL SISTEMA DE POTENCIA

Para definir el control requerido por un sistema, debe primero determinarse cul es sufinalidad. Los sistemas de potencia tienen por finalidad convertir energa de una disponiblenaturalmente a energa elctrica, que no est disponible en la naturaleza de maneraprcticamente manejable, para ser transportada a los puntos de consumo.

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Por qu Electricidad? Porque puede ser generada, transportada y controlada en grandescantidades con relativa facilidad, y con un alto grado de eficiencia y confiabilidad. Esto esparticularmente cierto cuando se compara con otras formas de transporte y distribucin deenerga, como el gas y el petrleo.Los requisitos fundamentales para que un sistema de potencia est bien diseado y operadoson los siguientes:1.- El sistema debe ser capaz de suplir toda la carga que se demande de maneracontinuamente variable, tanto activa como reactiva. La electricidad no puede seralmacenada en grandes cantidades, debido a que las densidades de energa de los materialesexistentes son pequeas en comparacin con la energa que puede ser almacenada por unabatera o en los combustibles fsiles. Por esta razn, se debe mantener en todo momentouna adecuada cantidad de reserva rodante.2.- El sistema debe suministrar la energa con un mnimo de costo y un mnimo de impactoambiental.3.- La calidad del suministro de energa debe satisfacer ciertos estndares mnimos encuanto a:

- Constancia de la frecuencia- Constancia del voltaje- Constancia de la forma de onda- Confiabilidad en el suministro

Para satisfacer los requisitos anteriores, se utilizan varios niveles de control que involucranun complejo arreglo de dispositivos. Estos niveles de control se pueden resumir en lafigura que sigue. Todos esos controles tienen influencia determinante en la estabilidad dela red de potencia.

Fig. 2.1 [7]

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De la Fig. 2.1, se observa que hay sistemas de control que operan directamente sobreelementos del sistema, y otros que operan sobre la base de variables del sistema, no deelementos individuales. De los elementos controlables del sistema, los ms relevantes sonlas unidades de generacin, de all que en la figura sean el elemento central de control.Cada generador tiene un control para el accionamiento y un control para la excitacin. Elcontrol del accionamiento se encarga fundamentalmente de controlar su velocidad, mientrasque el control de excitacin se encarga de controlar la magnitud de la corriente deexcitacin de la mquina, de la que dependen los niveles de voltaje y de potencia reactivaentregadas por el generador a la red.La finalidad del control del sistema de generacin, tambin llamado control carga-frecuencia con despacho econmico, es la de balancear la generacin total con la carga delsistema ms sus prdidas, de manera de mantener la frecuencia constante adems de losflujos de interconexin programados.Los controles de transmisin incluyen dispositivos de control de potencia y voltaje, talescomo los SVC, condensadores sincrnicos, capacitores y reactores, transformadores concambiadores de tomas y transformadores con desplazamiento de fase, y los controles de lossistemas HVDC.La interaccin entre todos estos controles es como sigue: Las potencias elctricasentregadas por todos los generadores (resultado de los controles de accionamiento y deexcitacin individuales de cada generador) son las entradas del los controles de transmisin(ubicados en la red de transmisin, a la que cada generador entrega su potencia elctrica),los cuales determinan los valores de frecuencia, flujos de interconexin y potenciagenerada, los que a su vez sirven de entrada, junto con el esquema de asignacin deunidades, al control carga-frecuencia con despacho econmico, produciendo sealessuplementarias de control de potencia activa que sirven de entrada para el control delaccionamiento de cada una de las unidades generadoras, junto con su velocidad de ejerespectiva, cerrndose de esta manera el lazo de control.El sistema de control descrito, extraordinariamente complejo cuando se va al detalle,asegura que la red de potencia cumpla su finalidad: que sea capaz de suplir toda la cargaque se demande de manera continuamente variable, tanto activa como reactiva, con unmnimo de costo e impacto ambiental, y con un mximo de calidad y confiabilidad.

2.3 ESTADOS OPERATIVOS DE UN SISTEMA DE POTENCIA

Todo el conjunto de procesos que ocurren en un sistema elctrico y que determinan suestado en cualquier instante o durante un cierto intervalo de tiempo se llama condicinoperativa del sistema, que se puede definir como un espacio continuo de estados (o, lo quees lo mismo, de conjuntos de valores de las variables de estado) en el que se definen ciertascaractersticas de confiabilidad y de seguridad relativas al funcionamiento del sistema . Lacondicin operativa del sistema est determinada por los procesos que ocurren en l, ydepende de la conexin de sus elementos, es decir, de su configuracin. La condicin es

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caracterizada por cantidades que cuantitativamente definen la operacin del sistema. Estascantidades se llaman variables operativas, que incluyen potencia, voltaje, corriente,frecuencia, desplazamiento angular entre vectores de fuerzas electromotrices, etc. Lasvariables operativas se relacionan entre s en trminos de los parmetros del sistema.Los parmetros del sistema son caractersticas de comportamiento cuantitativamentedeterminadas por las propiedades fsicas de los elementos del sistema, sus interconexionesy algunas consideraciones de diseo. Entre los parmetros del sistema estn impedancias,resistencias, reactancias, admitancias, relaciones de transformacin, constantes de tiempo,factores de amplificacin, etc.Algunos parmetros del sistema pueden depender de sus condiciones operativas. Si tal esel caso, el sistema es no lineal. Sin embargo, en muchos casos prcticos puedenconsiderarse los parmetros como constantes, lo que hace al sistema lineal. De cualquiermanera, habr situaciones en las que las no linealidades paramtricas debern serconsideradas.Otro tipo de no linealidad en el sistema, que en general s se toma en cuenta, es aquelladebida a la naturaleza de las relaciones entre las variables operativas. Es extremadamentecomn plantear los modelos del sistema en funcin de potencias y voltajes, que serelacionan entre s de manera no lineal.El sistema elctrico puede encontrarse o en estado estacionario, en el que las variablesoperativas conservan sus valores, o en condicin transitoria, en la que las variablesoperativas estn cambiando de valor.En un sistema elctrico real en estado estacionario, las variables operativas no sonexactamente constantes, sino que estn permanentemente variando, aunque dichasvariaciones alrededor de algn valor promedio son tan pequeas que el estado operativopuede considerarse como en estado estacionario, en la prctica.Peden definirse, de manera cualitativa, las condiciones operativas en que se puedeencontrar un sistema de potencia. En una primera aproximacin, Venikov [12] identificacuatro condiciones operativas bsicas:1.- Condiciones de estado estacionario normal, utilizadas como base para el diseo delsistema elctrico y para la determinacin de sus principales caractersticas tcnicas yeconmicas.2.- Condiciones transitorias normales, cuando el sistema pasa de un estado estacionario aotro.3.- Estado estacionario fallado y sus condiciones transitorias, utilizadas como base para ladeterminacin de las caractersticas de comportamiento para tomar acciones correctivasapropiadas (despeje de falla), y para el anlisis del subsecuente comportamiento delsistema.4.- Condiciones de estado estacionario post-falla, que generalmente exigen cambios en laconexin normal del sistema, tales como la salida de uno o varios de sus elementos. En la

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condicin de estado estacionario post-falla, el sistema puede exhibir comportamientos ycaractersticas econmicas deterioradas en comparacin con la condicin operativa normal.Otra forma de clasificar los estados operativos (o condiciones operativas) de un sistema depotencia, es similar a la anterior, pero ms orientado a conceptos de seguridad de operaciny fiabilidad de suministro (P. Kundur, [7]). En este enfoque, se pueden definir cincoestados operativos durante la operacin de un sistema de potencia:1.- Estado Normal, en el que todas las variables del sistema estn dentro de sus lmites conun adecuado nivel de seguridad, sin ningn equipo sobrecargado.2.- Estado de Alerta, en el que las variables operativas siguen estando en nivelesaceptables, pero el nivel de seguridad a decado por debajo de cierto nivel de adecuacin.En este estado, el sistema ha sido debilitado al extremo que una contingencia pudieraproducir la sobrecarga de algn equipo que pudiera colocar al sistema en estado deemergencia o, si la contingencia fuera severa, pudiera colocar al sistema en estado extremo.3.- Estado de Emergencia, en el que los voltajes de muchas barras estn muy bajos, y/o lacarga de los equipos exceden sus capacidades de emergencia a corto plazo. El sistema estan intacto, y puede ser restaurado al estado de alerta tomando acciones de control deemergencia, tales como despeje de fallas, control de excitacin, disparo de unidades degeneracin, racionamiento de carga, etc.4.- Estado En Extremo, que resulta si las acciones tomadas en el estado de emergencia noresultan o son inefectivas. El resultado puede ser prdidas de carga en cascada, o el colapsode alguna porcin importante del sistema, o de todo el sistema. En estas condiciones,acciones tales como botes de carga y separacin controlada de reas del sistema se adoptande manera de salvar al sistema en lo posible de un apagn generalizado.5.- Estado Restaurativo, condicin en la que las acciones de control han sido tomadas demodo de reconectar todos los recursos de la red y recuperar la carga del sistema.Dependiendo de las condiciones del sistema, se puede transitar de este estado al estado dealerta o al estado normal.La prxima figura ilustra las posibles transiciones entre los cinco estados operativos delsistema:

Fig. 2.2 [7]

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2.4 CRITERIOS OPERATIVOS Y DE DISEO PARA ESTABILIDAD

Para un servicio confiable, un sistema de potencia debe permanecer intacto y ser capaz desoportar una amplia variedad de perturbaciones. En consecuencia, es esencial que elsistema sea diseado y operado de manera que pueda soportar las contingencias msprobables sin prdida de carga, y de modo que las contingencias ms adversas posibles noresulten en interrupciones de servicio incontroladas, extendidas o en cascada, como sueleocurrir al perder el sistema la estabilidad.A raz del Gran Apagn de noviembre de 1965, se crearon el los Estados Unidosinstituciones regulatorias como las NERC (North American Electric Reliability Council),con la finalidad de aumentar la confiabilidad y adecuacin de suministros masivos deenerga elctrica, mediante el establecimiento de normas y criterios para el diseo yoperacin de sistemas, adecuadas a cada caso.Como ejemplo, en [7] se describen criterios de operacin y diseo adoptados por elNortheast Power Coordinating Council (NPCC), que ilustra los tipos de contingencia quedeben ser considerados para el anlisis de estabilidad (stability assessment).Contingencias para diseo normal: El criterio exige que se mantenga la estabilidad delsistema luego de la ms severa de las contingencias que se especifican a continuacin

a) Falla trifsica permanente en cualquier generador, circuito de transmisin,transformador o seccin de barra, con despeje normal de falla y con la debidaconsideracin a facilidades de recierre.

b) Fallas simultneas permanentes fase-tierra en fases diferentes de cada uno de doscircuitos de transmisin adyacentes en una torre multicircuital, despejadas entiempo normal.

c) Falla fase-tierra permanente en cualquier circuito de transmisin, transformador oseccin de barra con despeje retardado debido a mal funcionamiento deinterruptores, rels canales de seal.

d) Prdida de cualquier elemento sin que hubiera falla.e) Falla fase-tierra permanente en un interruptor, despejada en tiempo normal.f) Prdida permanente simultnea de ambos polos de una facilidad bipolar en DC.

El criterio requiere que, dada cualquiera de las contingencias descritas arriba, se mantengala estabilidad del sistema, y que los voltajes y las cargas de lneas y equipos se mantengandentro de lmites aplicables.Estos requerimientos se aplican a las siguientes dos condiciones bsicas:

1) Todas las facilidades en servicio2) Un generador, circuito de transmisin o transformador crtico fuera de servicio,

asumiendo que la generacin del rea y los flujos de potencia se ajusten entresalidas utilizando la reserva de 10 minutos.

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Anlisis de Contingencia Extrema: El anlisis de contingencia extrema reconoce que elsistema interconectado puede estar sujeto a eventos que excedan en severidad lascontingencias previstas para diseo normal, y su objetivo es determinar el efecto decontingencias extremas aunque su ocurrencia sea de una probabilidad muy baja. La idea esreducir la frecuencia de dichas contingencias extremas, o mitigar las consecuenciasderivadas de la contingencia extrema que sean indicadas por el anlisis. Se considerancontingencias extremas:

a) Prdida total de la capacidad de generacin de una estacin completa.b) Prdida de todas las lneas que salen de una estacin de generacin, estacin de

conmutacin o subestacin.c) Prdida de todos los circuitos de transmisin en un derecho de paso comn.d) Falla trifsica permanente en cualquier generador, circuito de transmisin,

transformador o seccin de barra, con despeje de falla retardado y considerandofacilidades de recierre.

e) El bote sbito de una carga grande o de un centro de carga significativo.f) El efecto de oscilaciones severas de potencia debidas a perturbaciones en reas

adyacentes o diferentes de la propia.g) Falla o mala operacin de sistemas especiales de proteccin, tales como rechazo de

generacin, rechazo de carga y esquemas de disparo cruzado (cross-tripping) entransmisin.

2.5 DISEO DEL SISTEMA PARA ESTABILIDAD

El diseo de un sistema interconectado para asegurar operacin estable a mnimo costo esun problema verdaderamente complejo. El sistema de potencia es un sistema altamente nolineal cuyo comportamiento dinmico es influido por un amplio arreglo de dispositivos condiferentes tiempos de respuesta y caractersticas. El problema es tan complejo que esesencial hacer simplificaciones y analizar problemas especficos utilizando el apropiadogrado de detalle en la representacin del sistema. La estabilidad del sistema no debe serconsiderado como un problema simple, sino en trmino de sus diferentes aspectos, cadauno procesado con sus procedimientos apropiados.

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Captulo 3PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE ESTABILIDAD:

Principios Fsicos, Mquinas Sincrnicas y EstabilidadLa estabilidad trata del comportamiento de las mquinas sincrnicas interconectadas en lared de potencia luego de ser perturbadas. El transitorio que sigue a una perturbacin es denaturaleza oscilatoria, como ser evidente a lo largo del curso. La siguiente analogamecnica, de bolitas pesadas colgadas de una red de ligas de extremos fijados al techo,como se ilustra en la Fig. 3.1 (tomada de [2]), ofrece una idea de la respuesta oscilatoria delas perturbaciones al sistema. En este caso, las perturbaciones pueden ser la ruptura dealguna de las ligas, o la adicin/remocin de bolitas, o la variacin sbita del peso debolitas existentes. Ntese que una perturbacin en cualquier punto del sistema hace quetodo el sistema responda, de manera oscilatoria. Puede Ud. trasladar esas perturbacionesal caso de la red de potencia?

Fig. 3.1 [2]El captulo se inicia con la definicin bsica de estabilidad y la nocin restringida de laestabilidad del ngulo del rotor (sec 3.1). Como quiera que el fenmeno se desarrolla entorno a la respuesta dinmica de la mquina sincrnica, y dado que muy probablemente ellector no ha asistido a un curso formal del mquinas elctricas, procede la descripcinelemental cualitativa de la mquina sincrnica (sec 3.2), introduciendo el concepto desincronismo y describiendo cualitativamente la dinmica elemental del rotor ante impactosde demanda (carga) en la salida de la mquina.Hasta ahora, se ha asumido que la respuesta de la red ante impactos es de naturalezaelectromecnica (por la interaccin de la red con las mquinas) y oscilatoria, pero no se haexplicado el detalle de la interaccin entre del fenmeno elctrico y el mecnico. Como lacabal compresin e intuicin fsica de esta interaccin se considera de importancia mximaen una explicacin del fenmeno dinmico en sistemas de potencia que est dirigida a muyprincipiantes, el captulo contina con la sec. 3.3, que inicia una breve introduccin a ladinmica de las mquinas sincrnicas, describiendo el comportamiento electromecnico deuna espira inmersa en un campo magntico uniforme, del que una expresin analtica queenlaza al fenmeno mecnico con el fenmeno elctrico ser directa. Luego, se perturba



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mecnicamente dicha espira, para estudiar el comportamiento dinmico (sec. 3.4),establecindose as que la respuesta de ese tipo de artefacto es de naturaleza oscilatoria. Sise estudia la relacin entre ese artefacto y la mquina sincrnica, se puede concluir que esanlogo a la modelacin de la mquina en estado estacionario (ubicndonos en un marcoreferencial que gira con el rotor de la mquina en operacin), concluyendo as que lamquina sincrnica tambin reacciona de manera oscilatoria ente impactos de carga (sec.3.5), y que dicha reaccin es de naturaleza electromecnica, hecho que se puede intuir de laexpresin de torque deducida en la sec. 3.3.El captulo contina con nociones bsicas acerca de cmo se construyen las mquinassincrnicas reales (sec. 3.6), describiendo y analizando brevemente al sistema fsico quepermite la obtencin de un campo magntico rotante a partir de fuentes elctricas.La descripcin cualitativa elemental de la mquina que se tiene hasta ahora es suficientepara justificar un modelo circuital equivalente de la mquina sincrnica, tambin elemental(sec.3.7), y de all es directa la deduccin del diagrama fasorial de la mquina y, de ste, lacaracterstica elemental potencia-ngulo es tambin directa. As, se cuenta con loselementos bsicos para proceder a modelar al sistema de potencia ms elemental, que es elde una mquina conectada a una barra infinita mediante un nexo de transmisin puramentereactivo (sec. 3.8), de cuyo anlisis es posible deducir los conceptos relevantes mselementales para la dinmica de la transmisin de energa elctrica: No linealidad de lacaracterstica y niveles de transmisin limitados a un valor mximo que depende del estadooperativo de la red y de su topologa.De esta manera, se espera que un lector no iniciado en la teora de la maquinaria elctricarotativa sea capaz de comprender la naturaleza del fenmeno electromecnico caractersticode la dinmica de los sistemas de potencia.

3.1 DEFINICIN PRIMITIVA DE ESTABILIDAD Y ESTABILIDAD DEL NGULO DEL ROTOR

La Estabilidad de un Sistema de Potencia puede ser definida, de manera amplia, como lapropiedad del sistema que le permite permanecer en un estado de equilibrio operativo encondiciones normales de operacin y recobrar un aceptable estado de equilibrio luego dehaber sufrido una perturbacin.La inestabilidad puede manifestarse de diversos modos, dependiendo de la configuracindel sistema y de su modo de operacin. Tradicionalmente, el problema de estabilidad hasido el de mantener operacin sincrnica. Este aspecto de la estabilidad estprincipalmente determinado por la dinmica de los ngulos de los rotores de losgeneradores y las relaciones potencia-ngulo, resultando ambos factores combinados enrespuestas oscilatorias de los ngulos de los rotores ante perturbaciones en la potenciaentregada por las mquinas, como ser evidente ms adelante.Si la respuesta oscilatoria de un sistema de potencia durante el perodo transitorio quesigue a una perturbacin es amortiguada y se establece en un tiempo finito un nuevoestado operativo estacionario, se dice que el sistema es estable. Si es sistema no es

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estable, se considera inestable. Ntese que en estas condiciones, el sistema estable es elque conserva sincronismo entre todas sus mquinas luego de ser perturbado.La definicin anterior implica el concepto de estabilidad asinttica. Debe observarse que,en la prctica, un sistema continuamente oscilante no se considera estable, aunquematemticamente lo sea.Tambin se puede encontrar inestabilidad sin prdida de sincronismo. Existen otrosproblemas relacionados con la estabilidad de sistemas de potencia, no necesariamentedescritos por la respuesta oscilatoria electromecnica a que se ha hecho referencia. Porejemplo, considrese el caso de un sistema de potencia en el que un generador sincrnicoalimenta a un motor de induccin a travs de una lnea de transmisin. Aqu, el problemano puede ser el de prdida de sincronismo (podra Ud. explicar por qu?), sino que elsistema puede convertirse en inestable debido al colapso del voltaje en la carga (podraexplicarlo?). En este caso, el problema es la estabilidad y el control del voltaje. Tambin loes en el caso de sistemas muy capacitivos. La estabilidad del voltaje no es el problema deeste curso.La estabilidad del ngulo del rotor es la habilidad de grupos de mquinas sincrnicasinterconectadas de mantenerse en sincronismo. El problema de estabilidad involucra elestudio de las oscilaciones electromecnicas inherentes a los sistemas de potencia. Unfactor fundamental en este problema es la manera como varan las potencias de salida de lasmquinas sincrnicas a medida que sus rotores oscilan. Para ello, se pasar a estudiar lascaractersticas de una mquina sincrnica, y la relacin que tiene su potencia de salida conel ngulo de su rotor.

3.2 CMO ES UNA MQUINA SINCRNICA?

El estudio de la estabilidad del ngulo del rotor requiere la comprensin previa de lanaturaleza y comportamiento de la mquina sincrnica, alrededor de cuyo modeloelectromecnico se desarrolla todo el fenmeno. Como el estudiante que toma este cursomuy probablemente no ha tomado todava un curso formal de mquinas sincrnicas, losprrafos que siguen tratarn de ilustrarlo acerca de sus caractersticas fsicas bsicas, susprincipios de funcionamiento y la naturaleza de sus respuestas dinmicas anteperturbaciones, de manera fundamentalmente cualitativa haciendo principal nfasis en elfenmeno fsico que ocurre. Probablemente, deber aceptar algunos conceptos y principiossin demostracin formal, pero expuestos de manera que se espera sean aceptables porlgica o sentido comn con un mnimo de dominio de la parte conceptual del fenmenoelectromagntico. La idea es que el lector considere suficientemente apropiado el modelocircuital equivalente simplificado que se deducir para la mquina sincrnica.VERS

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Fig 3.2 [1]Una mquina sincrnica tiene dos elementos fundamentales: el rotor (o campo), y el estator(o armadura). La Fig. 3.2 ofrece una vista esquemtica y muy elemental de la estructurabsica de la misma. El campo tiene un devanado monofsico excitado con corrientecontinua, y la armadura tiene un devanado trifsico uniformemente distribuido en laperiferia de un espacio de corte circular. El campo gira dentro del espacio circular libre dela armadura. Cuando el rotor es girado por el accionamiento, se produce un campo rotantede magnitud constante que corta el devanado trifsico de la armadura dentro de la cualgira el rotor, induciendo en ese devanado trifsico un grupo trifsico de voltajes (y decorrientes, si se ha cerrado de alguna manera el circuito trifsico del estator), cuyafrecuencia depende directa y exclusivamente de la velocidad de giro del rotor: un ciclo porcada revolucin del rotor (si la mquina tiene slo un par de polos). De esta manera, lafrecuencia de las cantidades elctricas del estator est sincronizada con la velocidadmecnica del rotor, y de all la designacin de mquina sincrnica.Cuando se interconectan dos o ms mquinas sincrnicas, las corrientes y voltajes de losestatores de todas ellas coinciden en el mismo circuito pasivo, por lo que deben tener lamisma frecuencia, y como los rotores estn sincronizados con sus respectivas corrientesestatricas todas de la misma frecuencia, las velocidades mecnicas de todos ellos deben asu vez estar sincronizadas.

fa

fb

fc

ib

ia

ic

sa

sc

sb

n

n

niD

iF

iFiD

Direccinde rotacin

eje a

eje qeje d

eje b eje c

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La distribucin espacial del devanado trifsico de la armadura del estator es tal que alcircular por l un grupo trifsico de corrientes se produce en su espacio circular un camporotante (sec. 3.6) que, en operacin en estado estacionario, rota a la misma velocidad que elrotor. Los campos rotantes del rotor y del estator reaccionan entre s, resultando un torqueelectromagntico debido a la tendencia natural que tienen ambos campos de alinearse (ascomo una brjula). En un generador, este torque se opone a la rotacin del rotor, por lo quehay que aplicar torque al rotor mediante un accionamiento para mantener su rotacin. Eltorque elctrico (o potencia) de salida del generador se puede cambiar solamentecambiando el torque mecnico que aplica el accionamiento al rotor. El efecto deincrementar el torque mecnico de entrada es el de avanzar al rotor (porque lo acelera,incrementa su velocidad) a una nueva posicin con respecto al campo magntico rotante delestator, el cual no ha sufrido ningn cambio de velocidad. Por el contrario, una reduccindel torque mecnico o potencia de entrada retardar la posicin del rotor respecto delcampo del estator. Viceversa, un incremento del torque o potencia elctrica demandada dela mquina retarda al rotor respecto al campo del estator, mientras que un decremento deesa cantidad lo adelanta. Ante condiciones operativas de estado estacionario, el campo delrotor y el campo rotante del estator tienen la misma velocidad, pero con una separacinangular entre ellos, constante, que depende del torque o potencia elctrica de salida delgenerador.En un motor sincrnico, los roles de los torques elctricos y mecnicos y sus efectos en elngulo del rotor son al revs en comparacin con el generador.En la discusin anterior, los trminos torque y potencia se han utilizado de maneraprcticamente intercambiable. Esto es prctica comn en la literatura de estabilidad desistemas de potencia, debido a que la velocidad rotacional promedio de las mquinas esconstante, aunque pudiera haber (y las hay) pequeas excursiones momentneas por encimay por debajo de la velocidad sincrnica. De hecho, los valores de torque y potencia en porunidad son casi iguales, como se ver despus.

3.3 BREVE INTRODUCCIN A LA DINMICA DE LAS MQUINAS SINCRNICAS

Se ha dicho que la respuesta de las redes de potencia ante perturbaciones es de naturalezaoscilatoria. Dicha respuesta oscilatoria se debe, en importante medida, a que las mquinaselctricas rotativas conectadas a la red ofrecen ese tipo de respuesta al ser perturbadas. Acontinuacin, se tratar de explicar cualitativamente el motivo de esa respuesta oscilatoria.Se pretende que quede clara, desde el punto de vista conceptual, la relacin entre elfenmeno mecnico y el fenmeno elctrico a nivel de la mquina, lo que se esperaexplique la naturaleza electromecnica del fenmeno que caracteriza al sistema elctricoante perturbaciones o impactos.Considrese el siguiente modelo, muy simple, de una espira por la que circula corrientecontinua impulsada por una tensin continua V, inmersa en un campo uniforme y constanteproducido entre las caras polares de una estructura magntica imantada por una corrienteimpulsada por una tensin continua E. La espira tiene una resistencia total R, y se colocade modo tal que puede girar libremente sobre su eje, como se muestra en la Fig. 3.3:

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Fig. 3.3

Si se llama a la espira rotor, y al resto de la estructura magntica estator, de la figura esevidente que se definen dos campos magnticos: El campo del rotor Brot, y el campo delestator, Best. Ambos campos son directamente proporcionales a las corrientes que losproducen, las que a sus vez son proporcionales a los voltajes que las impulsan. El modoms sencillo de analizar el sistema de la Fig. 3.3 es observando el aparato en corte por unplano perpendicular al de la espira, como se ilustra en la Fig. 3.4.En la Fig. 3.4 se muestran las fuerzas resultantes de la interaccin entre la corriente de laespira y el campo del estator. Cuando una corriente i pasa por una trayectoria L cualquierainmersa en un campo B cualquiera, resulta una fuerza F dada por:

F = i(LxB)Como la fuerza es siempre perpendicular a tanto la trayectoria de la corriente como alcampo, siempre deber tener las direcciones y los sentidos mostrados en la figura, y comotanto i como L y B tienen magnitudes constantes, entonces las fuerzas tambin las tendrn,con el valor iLB, porque L y B son perpendiculares entre s en todo momento. Ntese quelas rutas de corriente de los segmentos b y d de la espira en la Fig. 3.3 no se consideranrelevantes, por dos motivos: el primero, que las fuerzas sobre ambas rutas son iguales y desentidos opuestos, por lo que no ejercen fuerza neta sobre la espira; y, segundo, que el

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nico grado de libertad de la espira es la rotacin sobre su eje, para la que slo sonrelevantes las fuerzas sobre los segmentos a y c mostradas en la Fig. 3.3.

Fig. 3.4

Fig. 3.5 Fig. 3.6En estas condiciones, si el plano de la espira es perpendicular al campo, el torque netosobre su eje es cero (Fig. 3.5), y si el plano es paralelo al campo (Fig. 3.6), el torque esmximo con un valor de Tmax = iLBD (D es el dimetro de la espira). Si se llama al

Fe

Fe

BRotFTang

FRad BEst

iT

RV +

-

+- E

T = 2 r Fe Sen

90 -

BRot

BEst BRot BEst

T = 0

= 0

T = TMX

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ngulo entre la perpendicular al plano de la espira y el campo del estator Best, entoncesTmax ocurre cuando = 90, y el torque nulo cuando = 0. En cualquier posicinintermedia, el torque sobre el eje de la espira ser dado por

T() = iLBD sen()Pero, en el modelo de la Fig. 3.3, B E e i = V/R, por lo que

T (EV/R)sen()Ntese la similitud con la expresin de la potencia (o torque) elctrica entregada por ungenerador sincrnico a una barra infinita. Esta similitud no es casustica ni gratuita, sinoderivada de la similitud del fenmeno fsico involucrado en el aparato de la Fig. 3.4 cuandose lo compara con una mquina sincrnica operando en estado estacionario, como se veralgo ms adelante.

3.4 RESPUESTA DINMICA DE UNA ESPIRA DE CORRIENTE INMERSA EN UN CAMPOMAGNTICO

Supngase que inicialmente la espira de corriente continua est en una posicin 0 90,y desde esa posicin se la deja girar libremente, como se muestra en la Fig. 3.4. Quocurrir?Por la direccin y el sentido de las fuerzas relevantes mostradas en la figura, la espirainiciar una rotacin en el sentido de las agujas del reloj (a la derecha). A medida que laespira gira, decrece, y tambin el torque neto sobre la espira. Mientras exista torque, laespira continuar girando, hasta el momento en que se anula, y el torque se hace cero. Eneste momento, si la espira no tiene inercia, cesa todo el movimiento, y la espirapermanecer en esa posicin, en la que su campo Brot est alineado con el campo del estatorBest. Cualquier intento de sacar a la espira de esa posicin resultar en una reaccin delsistema, produciendo un torque que se opone al torque externo con que se trat de perturbara la espira de su estado de equilibrio.Pero, si la espira tiene inercia (que es el caso fsico real), al anularse el torque no cesa elmovimiento de la espira (arrastrada por su inercia), hacindose el ngulo negativo yproduciendo el sistema un torque no nulo pero de signo contrario al que hizo que la espirapasara por cero, frenndola. Cuando la espira se detiene por la accin del torque negativo,en una zona en que no es nulo, ese torque la acelera de nuevo, pero en sentido contrario,buscando de nuevo la alineacin de los campos magnticos que ocurre en = 0 en la queno existe torque. Eventualmente, se alcanzar = 0, pero la inercia har que la espira losobrepase de nuevo, esta vez en sentido contrario, y el fenmeno descrito se repetir. Si noexisten prdidas friccionales, el resultado de dejar libre la espira con inercia ser quetender a alcanzar la posicin en que = 0, pero no se estabilizar por completo en esaposicin, sino que oscilar permanentemente en torno a ella, con oscilaciones mayores entanto mayor sea la inercia. Si hubiera prdidas, como las friccionales, entonces la

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oscilacin sera amortiguada, y eventualmente la espira obtendr una posicin de reposo en = 0.Si se aplica un torque externo permanente al eje de la espira con inercia, el sistemaresponder con un torque igual y opuesto, que har que la espira encuentre su posicin dereposo en un ngulo diferente de cero (si se obtiene equilibrio, entonces tiene que ser talque el torque producido por el sistema iguale en oposicin el torque aplicado externamente,segn la expresin T() = iLBD sen()). Si, en esas circunstancias, se tratara de perturbar ala espira con alguna modificacin en el torque externo aplicado, la respuesta del sistematendr la misma naturaleza oscilatoria explicada en el prrafo anterior , por los mismosmotivos, pero alrededor de algn ngulo de equilibrio.En conclusin, cualquier intento externo de perturbar el equilibrio de la espira de corrienteinmersa en un campo magntico uniforme resultar en la generacin de fuerzas por partedel sistema que se oponen a la perturbacin externa. El sistema buscar una nueva posicinde equilibrio mediante una respuesta de tipo oscilatorio, cuya amplitud depender de lainercia del sistema, y que ser permanente de no haber factores externos que amortigen larespuesta oscilatoria.

3.5 RELACIN ENTRE LA ESPIRA DE CORRIENTE INMERSA EN EL CAMPO MAGNTICO YLA MQUINA SINCRNICA

Pero, para qu estudiar la respuesta dinmica de la espira en un campo cuando lo queinteresa es la naturaleza de la respuesta dinmica de las mquinas sincrnicas? Larespuesta ser evidente si se pone a girar el estator del sistema en equilibrio de la fig. 10 auna velocidad angular constante, en giro alrededor del eje del rotor y, digamos, hacia laizquierda, como se muestra en la Fig. 3.7. Qu ocurrir con el sistema?El sistema de la Fig. 3.4 estaba cargado y en reposo, con la espira en una posicin angular no nula. Ese ngulo es tambin la diferencia angular que existe entre los campos del rotory del estator. La tendencia natural de ambos campos es a alinearse perfectamente, cosa queno ocurre en este caso porque el sistema tiene que vencer un torque de carga aplicadoexternamente, y es el ngulo que permite que el sistema produzca el torque necesario parael equilibrio que se observa en la Fig. 3.4. Hacer girar el estator es exactamente igual quehacer que su campo Best gire solidariamente con la estructura fsica. Pero al avanzar laposicin angular del campo del estator, se incrementa el ngulo respecto al rotor,incrementndose el torque y haciendo que el rotor avance tambin, tratando de seguir alcampo del estator. Al avanzar tambin el rotor, la apertura entre ambos campos tiende a serla inicial necesaria para vencer el torque externo (que permanece cargando al sistema), y selogra un estado de equilibrio rotante en el que tanto el campo de rotor como el del estatorgiran a la misma velocidad , y a su vez entregan el torque demandado por la carga en eleje de la espira. Esto es, en esencia, una mquina sincrnica, que se llama as porque susdos campos giran a la misma velocidad, tanto si entregan potencia como si no.

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Fig. 3.7Entonces, la mquina esttica de la Fig. 3.4 puede considerarse como una fotografainstantnea de lo que ocurre en una mquina sincrnica. Si la mquina sincrnica opera enestado estacionario, la fotografa instantnea ser la misma, independientemente delmomento en que se la tome. Otro modo de ver este asunto es que el sistema de la Fig. 3.4es el que vera un observador de una mquina sincrnica que se moviera solidariamente conel campo del estator. En estas circunstancias, la respuesta dinmica obtenida para lamquina esttica describe correctamente la respuesta dinmica de la mquina sincrnica:para aquella, la respuesta oscilatoria est en el ngulo de posicin del rotor; para sta, larespuesta oscilatoria est en la velocidad del rotor. El anlisis sobre la mquina esttica esparticularmente pertinente, si consideramos que ubicaremos el modelo de la mquinasincrnica rotante en el dominio fasorial, donde la dependencia del tiempo no existe enrgimen permanente, porque al ubicar al observador solidariamente con la variacinperidica de las cantidades electromecnicas (que es lo que hace, fsicamente, latransformacin fasorial), lo que queda es un sistema esttico en el tiempo, como en elsistema de la Fig. 3.4.En conclusin, la respuesta dinmica de una mquina sincrnica ante perturbaciones esde naturaleza oscilatoria.

BEst

BRot

R Ei

V+

-

Todo gira a velocidadangular !

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3.6 CONSTRUCCIN DE UNA MQUINA SINCRNICA: EL CAMPO ROTANTE

Hemos visto que si se ubica un rotor con una bobina monofsica alimentada con corrientecontinua en un campo rotante de magnitud constante se obtiene una mquina sincrnica.Pero, cmo se obtiene un campo rotante a partir de corriente alterna?Si a un juego trifsico balanceado de bobinas se aplica un juego trifsico balanceado decorrientes, se obtiene un campo rotante de magnitud constante.Un juego trifsico balanceado de bobinas luce esquemticamente as:

Fig. 3.8Si a la estructura anterior se aplica un juego trifsico balanceado de corrientes, de la formaia = Imcos(t)ib = Imcos(t - 2/3)ic = Imcos(t + 2/3)Asumiendo que cada una de esas corrientes en su respectiva bobina produce un campomagntico que vara temporalmente de manera totalmente solidaria con la corriente (enfase) y que es perpendicular al plano de las espiras de la bobina, y que los planos de las tresbobinas estn espacialmente desfasados de manera balanceada, con un desplazamientoangular espacial de = 2/3 entre ellos, es sencillo demostrar que el campo resultante esdado por:Btot = KIm[cos(t)cos()+cos(t - 2/3)cos( - 2/3)+ cos(t + 2/3)cos( + 2/3)]Btot = (3/2)KImcos( - t) = (2/3)Bmaxcos( - t)

a

b

c

a

c

b

y

xHaa(t)Baa(t)Bcc(t)

Hcc(t)

Hbb(t)Bbb(t)

a

b

c

a

c

b

xHaa(t)

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Btot es una onda viajera en el entrehierro, viajando (girando) a velocidad angular a lolargo de la periferia de la estructura circular definida por el juego trifsico balanceado debobinas uniformemente espaciadas. Esto es exactamente un campo rotante, idntico alobtenido al hacer girar a velocidad angular el estator de la mquina esttica de la Fig. 3.4.Entonces, constructivamente una mquina sincrnica no es ms que un juego trifsicobalanceado de bobinas en el estator, fijo, alrededor de un rotor que puede girar libremente yque posee una bobina monofsica que se excita con corriente continua, como lo muestraesquemticamente la siguiente figura:

Fig. 3.9El espacio entre el rotor y el estator se llama entrehierro. All, las bobinas estatricas creanuna distribucin sinusoidal del flujo que se desplaza a lo largo del entrehierro a velocidadangular , que interacta con una distribucin sinusoidal de flujo creada por la corrientecontinua el rotor y que se desplaza solidariamente con ste tambin a lo largo delentrehierro. De la interaccin entre ambas distribuciones de flujo nace el torque de lamquina sincrnica, como se muestra en la Fig. 3.10:

a

b

c

a

c

b

eje q

Eje de lafase aEje de la

fase c

Eje de lafase b

eje d

Entrehierro

Bobinado dela armadura

Bobinado del campo

RotorS Nr

Estator

VERS

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Fig. 3.10

3.7 EL MODELO CIRCUITAL EQUIVALENTE DE LA MQUINA SINCRNICA Y SUCARACTERSTICA POTENCIA-NGULO

Supngase que se desea modelar circuitalmente el generador sincrnico elemental,despreciando la saturacin, desbalances, y tomando en cuenta solamente el efecto del flujoprincipal de la mquina (caso ms simple), mediante una caja negra con dos terminales,entre los que se define el voltaje generado, y por los que circula la corriente de carga, esdecir, a travs de los cuales el generador entrega potencia elctrica a una carga conectadaentre ellos. Supngase, adems, que la caja es la modelacin de una de las tres fases de ungenerador trifsico: las otras dos fases son idnticas, pero 120 grados elctricos adelante yatrs.Asumamos que el generador est en vaco: sin carga elctrica, pero accionado su rotor avelocidad constante. La corriente que sale (y entra) por sus terminales es cero, porque elcircuito est abierto, pero, cul ser la tensin que aparecer entre sus bornes?En esas circunstancias, lo que tenemos es un campo de magnitud constante (el del rotor,alimentado con DC) girando a velocidad constante, cortando las espiras de un devanado

BR Bneto

Bs

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fijo (el del estator). Por la ley de Faraday-Lenz, en el devanado del estator deber inducirseuna tensin proporcional a la variacin temporal del flujo magntico del rotor y al nmerode espiras del devanado. Pero como el flujo del rotor es constante, su nica variacintemporal es la debida a su rotacin. Pero, el flujo del rotor es a su vez proporcional a sucorriente de excitacin, que asumiremos constante en nuestro modelo elemental. Como lavelocidad del accionamiento es tambin constante, entonces la tensin inducida en elestator, que es la tensin entre los bornes de la caja negra de nuestro modelo, tendr unvalor constante, proporcional a la velocidad del accionamiento, a la corriente de excitacin,y a la inductancia mutua entre los circuitos magnticos del rotor y del estator. Entonces, envaco, el contenido de la caja negra ser una fuente ideal de tensin constante, de magnitudE, que es la tensin inducida por la rotacin del campo dentro de la armadura. Si ladistribucin espacial de flujo del rotor es sinusoidal (como suele ser en la prctica),entonces la funcin temporal de la tensin inducida E(t) ser sinusoidal, y podr modelarsecomo un fasor E. E(t) tomar su valor mximo cuando la variacin temporal del flujo delrotor Brot sea mxima. Como la naturaleza temporal de la variacin del flujo vista por lasespiras estacionarias del estator es sinusoidal (distribucin sinusoidal espacial girando en elentrehierro a la velocidad del rotor), el mximo valor de E(t) ocurre cuando la magnitud delflujo que corta a la espira estatrica est en su magnitud absoluta mnima (es decir, cuandola onda sinusoidal est pasando por cero), y, en consecuencia, E est en cuadraturaadelantada con Brot. Esto se deduce del hecho de que, por ley de Faraday-Lenz, eind di/dt, la tensin sinusoidal inducida est en cuadratura adelantada con la corrientesinusoidal que produce al campo sinusoidal que la induce, tomando en cuenta que uncampo magntico siempre est en fase con la corriente que lo produce (en el momento queocurre un mximo de corriente, ocurre un mximo de campo magntico, y viceversa).Asumamos ahora que se conecta una carga entre los bornes de la caja negra, con el rotoraccionado a velocidad constante sin que vare su corriente de excitacin. En los bornes dela caja negra aparecern una corriente y una tensin, cuyos valores dependern de lamagnitud de la carga conectada. La tensin en bornes Vt ser diferente de la inducida E dela fuente ideal de tensin que ya est dentro de la caja negra, tanto en magnitud como enfase, por dos varios o factores: Uno, que la circulacin de la corriente por las bobinas delestator produce un campo magntico rotante en el entrehierro, Best, que interacta con elcampo rotante producido por el rotor Brot, para producir un campo rotante resultante en elentrehierro Bres que es el causante directo de la tensin resultante en el estator y, enconsecuencia, de la tensin en los bornes de la mquina. Esta interaccin se llama reaccinde armadura, y, en el uso general de la mquina, tiende a debilitar el campo resultante en elentrehierro. Este fenmeno tambin puede verse como el resultante de la existenciasimultnea de dos tensiones inducidas en el estator, la inducida por el campo del rotor Brot,que ya hemos llamado E, y la autoinducida por el campo propio del estator Best, quellamaremos Eest: la tensin resultante ser la suma de ambos fasores de voltaje, E + Eest =Vt, la tensin en bornes de la mquina. Otro, que existe una cada de tensin respecto a lainducida en vaco, por las inductancias propias y de fuga del circuito magntico, y por laresistencia hmica de las rutas de corriente, pero este hecho es, en general, menos relevanteque el de la reaccin de inducido. Tambin, las irregularidades en la geometra de losrotores de polos salientes contibuyen a que la tensin inducida sea diferente a la tensin enbornes.

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Ahora, procederemos a incluir los factores sealados en el prrafo anterior en nuestromodelo del generador sincrnico bajo carga. Despreciando, por ahora, el efecto de lasaliencia de los polos y las prdidas hmicas por las resistencias propias del estator,procederemos a incluir en el modelo el efecto de la reaccin de armadura y de lasinductancias de fuga. Fasorialmente, se ha mostrado que se cumple:

E + Eest = VtPero el fasor de tensin autoinducida del estator es directamente proporcional a la corrienteI que circula por sus bobinas causante del campo Best que autoinduce a Eest; adems, por laley de la induccin, Eest est en cuadratura adelantada con respecto a Best, que a su vez esten fase con I, por lo que Eest est en cuadratura adelantada con respecto a I. En estascondiciones, se puede definir un factor de proporcionalidad jX, y escribir:

Eest = jXIEntonces,

E + jXI = VtSi la mquina sincrnica funciona como motor, entonces la corriente I entra a la mquina,la cada de tensin debida a la reaccin de inducido adopta la misma polaridad que latensin inducida, y la expresin anterior es apropiada; pero si la mquina funciona comogenerador (caso general), la corriente sale de la mquina, y jXI toma la misma polaridadque la tensin en bornes Vt, caso en el que:

E - jXI = VtLa expresin fasorial previa es un modelo elemental de la mquina sincrnica operandocomo generador, que considera nicamente la reaccin de inducido. La reactancia de fugaproducira una cada de tensin adicional paralela a la producida por la reaccin dearmadura (es decir, proporcional a I y adelantada a ella), por lo que tambin se podramodelar mediante una constante de proporcionalidad jXfuga, que se puede agregardirectamente a la constante X que representa a la reaccin del inducido, para lograr unanica constante jXmq = jX + jXfuga, quedando el modelo as:

E - jXmqI= VtLa expresin anterior se cumple si en nuestra caja negra, se agrega una inductancia de valorXmq entre la fuente ideal de tensin E y los bornes del modelo, as:VERS

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Fig. 3.11La siguiente Fig. 3.12 ofrece el diagrama fasorial del modelo simplificado de la mquinasincrnica:

Fig. 3.12

En la Fig. 3.12 se ha asumido que la referencia angular est asignada al fasor de tensin Vten los bornes de la mquina. El ngulo que existe entre Vt y la corriente de la mquina Ies necesariamente el correspondiente al factor de potencia al que est operando la mquina

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bajo carga; y existe un ngulo, que se ha llamado , entre Vt y la tensin inducida E delmodelo. Procederemos a continuacin a determinar el significado fsico de ese ngulo .De la teora de la seccin anterior, sabemos que al entregar torque elctrico (o potencia) elgenerador, existe obligatoriamente una apertura angular entre el campo rotante del rotor Brot(que est en cuadratura adelantada con la tensin inducida E) y el campo rotante resultanteBres en el entrehierro (que est en cuadratura adelantada con la tensin en los bornes de lamquina Vt, si se desprecian las inductancias de fuga y resistencias en el circuitoestatrico). Entonces, la tensin inducida E y la tensin en bornes de la mquina Vt estndesfasadas tantos grados elctricos como grados elctricos desfasen Brot y Bres, y, enconsecuencia, tantos grados elctricos como grados elctricos desfasen la posicinmecnica del rotor con respecto al campo rotante del estator. Este desfasaje se llamangulo de carga, y se denota con el smbolo .En funcin del diagrama fasorial propuesto para el generador sincrnico en la Fig. 3.12, lasiguiente Fig. 3.13 muestra las relaciones vectoriales que existen entre los campos de lamquina si se considera solamente la existencia del flujo principal. Dichas relacionesquedan determinadas por dos aspectos de un mismo principio bsico: Primero, que uncampo magntico siempre est en fase con la corriente que lo produce, y segundo, que unatensin inducida siempre est en cuadratura retrasada con el campo que la induce. As, Brotest en cuadratura adelantada con E, Best est en fase con I, y Bres est en cuadraturaadelantada con Vt:

Fig. 3.13

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Del diagrama de la Fig. 3.13 se pueden deducir conclusiones interesantes. Por ejemplo,considerando solamente las relaciones vectoriales entre los campos magnticos sealadosen el diagrama fasorial, se puede demostrar que el factor de potencia FP admite la siguienteforma:

FP = (Brot/Best)sen()Y como Brot es constante y Best I KVAcarga de la mquina, entonces la potenciaactiva que entrega la mquina tiene la siguiente forma:

P = K sen(), K = constanteForma que es cierta, como veremos ms adelante.En resumen, el anterior es un modelo elemental del generador sincrnico, que asegura lacorrecta relacin entre la potencia elctrica entregada en bornes y el ngulo mecnico delrotor o ngulo de carga, e incluye el efecto de las reactancias internas de la mquina, demanera extremadamente simplificada, y para rgimen permanente. Este modelo, que seconoce como el de la tensin detrs de la reactancia, de ninguna manera refleja otrosdetalles y aspectos que suelen ser relevantes en los estudios de estabilidad (saturacin,asimetras, efecto de controladores asociados a la mquina, etc.), pero es suficientementedetallado y preciso para el nivel introductorio y conceptual de este curso. Para estudiosprofesionales prcticos, modelos circuitales ms detallados del generador sincrnico sonrequeridos.Potencias activa y reactiva entregadas por el generador sincrnicoDel diagrama fasorial de la mquina (Fig. 3.12) es cierto que, si E = E es la tensininducida compleja en la mquina y V = V0 es la tensin compleja en sus bornes,entonces la corriente de armadura de la mquina I (la que entrega el generador) es;

I = (E - V)/jXGSi S = P+jQ es la potencia compleja entregada por la mquina, puede ser calculadamediante la siguiente expresin

S = P+jQ = VI*Al desarrollar la expresin anterior, y separando parte real e imaginaria, resulta:

P = (EV/ XG)sen()Q = (EV / XG)cos() (V2/ XG)

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Las anteriores son las expresiones de las potencias activa y reactiva entregadas por elgenerador sincrnico modelado como se ha propuesto. Ntese que la expresin de P tienela forma que se esperaba.

3.8 EL SISTEMA DE POTENCIA MS SIMPLE: UNA MQUINA SINCRNICA CONECTADA AUNA BARRA INFINITA

Asumamos ahora el modelo del generador conectado a una barra infinita mediante un nexode transmisin puramente reactivo, como se ilustra en la Fig. 3.14; la Fig. 3.15 ofrece elmodelo circuital elemental equivalente del sistema.

Fig. 3.14 Fig. 3.15De la teora bsica de anlisis de sistemas de potencia, la potencia elctrica activatransmitida de una barra a otra a travs de una lnea puramente reactiva es una funcinsenoidal del ngulo que desfasa las barras (medida con referencia a la barra que transmite lapotencia), cuyo valor mximo es directamente proporcional al producto de las magnitudesde los voltajes de las barras, e inversamente proporcional a la magnitud de la reactancia queune a ambas barras, a travs de la cual se transmite la potencia. Entonces, aplicando esteconcepto al modelo circuital de la Fig. 3.15, resulta que la potencia activa entregada por elgenerador

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