APUNTES Y EJERCICIOSbiblio.iesalonsoquesada.org/dibujo/1bachillerato... · APUNTES Y EJERCICIOS...

IAPUN

TES Y E

JERCIC

IOS

D I B U J O T É C N I C O

APUNTES Y EJERCICIOS REALIZADO POR A. CUESTA

T

TT

T

T

T

T

T

TT

T T

014

..

.

. .

.

0

0

0 0

00.

1428

6634

16

A A1

B

B1A1 + B1 = 0

Apuntes realizados por Antonio Cuesta

G E O M E T R Í A P L A N A

DEFINICIÓN : Es la ciencia que estudia las propiedades, extensión y medidas de las superficies.

PUNTO = A,B,C, (MAYÚSCULAS)RECTA = a,b,c, ( MINÚSCULAS)PLANOS Y ÁNGULOS = LETRAS GRIEGAS

DESIGNACIÓN :

ESCUADRA CARTABÓN

60º

30º90º90º

45º

45º

UTILIZACIÓN DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN MÁS SENCILLAS :

TRIÁNGULOCUADRADODIÁMETROÁNGULOARCOMENOR QUEMAYOR QUE

PARALELO

RADIOSEGMENTOÁNGULO DE 90º

SIGNOS GEOMÉTRICOS

IGUAL QUE

PERPENDICULARLONGITUD

AB

Lr

AB.

RECTAS OBLICUASRECTAS HORIZONTALES

RECTAS VERTICALES

.PUNTO : Es la intersección de dos líneas.

LÍNEA RECTA : Es la sucesión de puntos en una misma dirección.

SEMIRRECTA : Es parte de la recta limitada en un extremo.

SEGMENTO : Es la parte de la recta limitada en sus extremos.

LÍNEA CURVA : Es la sucesión de puntos que no están en una misma dirección.

P CB A

.A

.A .B

TRAZADOS DE ÁNGULOS CON ESCUADRA Y CARTABÓN

30º45º 150º

75º

120º 90º

15º

MATERIAL A UTILIZAR

- ESCUADRA Y CARABÓN.- REGLA DE 30 CM.- GOMA.- PORTAMINAS DE 0,5 MM. HB.- COMPÁS.- GANIÓMETRO O TRANSPORTADOR.- ESTILÓGRAFOS 0,8 Y 0,2.


T R A Z A D O S E L E M E N T A L E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

MEDIATRIZ : Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales.También sirve para trazar una perpendicular.

..A B

Dada el segmento A - B. Por A arco mayor que la mitad del segmento

..rA B

Por B igual y donde corteobtenemos C y D.

.

...r r

A B

C

D

Se une C y D que serála recta buscada.

.

...r r

A B

C

D

RECTA PERPENDICULAR : Es la recta que se cruza o se corta con otra formando un ángulo de 90º.

Unir P con D. Recta buscada.

....

.rr

rr

PA

B C

D

m

Por B y C se repite el mismoarco y da D.

....

.rr

rr

PA

B C

D

m

Por A se repite dos vecesel mismo arco y nos da B y C.

...

. rr

PA

B C

m

Dada la recta m y el punto P.Por P arco cualquiera.

. r

Pm

RECTA PERPENDICULAR A OTRA DESDE UN PUNTO DADO

RECTA PERPENDICULAR A UNA SEMIRRECTA

Dada la recta m y el punto P

.Pm

Por P arco cualquiera ynos da A y B.

.. .r

r

P

A Bm

r = r

Por A y B arco igual. Nos da C.

.. .

.r

Crr

P

A Bm

r = r = r

Unir C con P. Recta buscada.

. ...

r

Crr

P

A Bm

A B

m P

m

P


A B

m

P

RECTAS PARALELAS : Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta.

RECTA PARALELA A UN SEGMENTO

. .A B

Dado el segmento A -B.

. .. .A B

Perpendicular por A y B. Radio iguales desde A y B.Y da los puntos C y D.

. .

. .r

A B

C D

r

Por C y D unir y nos dala recta buscada.

. .. .rA B

C D

r

RECTA PARALELA A UNA RECTA.

Unir P con C, recta buscada.

. .. .rr

AB

CP

m

Por A y B arco igual ala distancia B - P.

r = r

. .. .rr

AB

CP

m

Por A arco igual al de Py nos da B.

r = r

.. .

r

r

AB

P

m

Dada la recta m y el punto P.Por P arco cualquiera y nos da A.

..

A

P

rm

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ( TEOREMA DE TALES ).

A B

Dado el segmento A - B.

A B

r

Por A semirrecta r concualquier inclinación.

12

34 r

A B

Se divide la semirrecta r entantas partes iguales comoquieras dividir el segmento.

A B

12

34 r

(=)

(=) = PARALELAS

Se une el 4 con el B.Se trazánparalelas al seg. 4B, quedandodividido el seg. A - B en cuatropartes iguales.

A B

GE

OM

ET

RÍ

A

PL

AN

A


Á N G U L O SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

DEFINICIÓN: Apertura de dos líneas que se cortan en un punto llamado vértice.

. A = 90º

AÁngulo RECTO

A

A 90º

Ángulo AGUDO

A 90º

Ángulo OBTUSOA.

A = 180º

Ángulo LLANO

TIPOS DE ÁNGULOS:

BISECTRiZ : Es la línea que divide al ángulo en dos partes iguales.

...A

B

V

Dado un ángulo V cualquiera.Su arco nos da el punto A y B.

Unir V con C. Bisectrizdel ángulo.

....A

B

CV

r

r

Se repite lo de A en B ynos da el punto C.

....A

B

VC

r

r

Por A arco mayor quela mitad de la distancia A - B.

...A

B

V

r

CASO GENERAL

BISECTRÍZ CUYO VÉRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO (POR RECTAS PARALELAS)

m

s

m1

s1

(=)

(=)

Dadas las rectas m y s.Se trazan rectas paralelasy a la misma distancia m1 y s1.

...A

m

s

m1

s1

(=)

(=)

Donde corte m1 y s1. Nosda el punto A.

Por A se halla la bisectrizy nos da el punto B.

....A B

r

r

m

s

m1

s1

(=)

(=)

Unir A con B y será labisectriz del ángulo formadopor las rectas m y s.

(=) = PARALELAS

....A B

r

r

m

s

m1

s1

(=)

(=)

BISECTRÍZ CUYO VÉRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO

m

s

Dado las rectas m y s. Recta cualquiera que corta am y s. Nos da el punto A y B.

.

.m

sA

B

Por A y B bisectrices de losángulos formados y nos da C y D.

.. ..

m

sA

B

CD

Unir C con D, recta buscada.

. ..

m

sA

B

CD

.

m

s

V

m

s


Á N G U L O SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

.RESTA DE ÁNGULOS

Se une V1 con B, el ángulo quequeda es la resta de V.

B.V1.(-)

En V1 se va a restar V.Por V1 arco igual que V.

.

.

V

V1

Por A arco AB en V.Se hace la mismaoperación en V1.

.

. A

.

B.

V1

V

B.A

SUMA DE ÁNGULOS

Se une V1 con B, el ángulo quequeda es la suma de los dos.

(+)B.V1.

.

.

V

V1

En V1 se vá a sumar V.Por V1 arco igual que V.

.

.

. A

.

B.

V1

V

B.A

Por A arco AB en V.Se hace la mismaoperación en V1.

V1 V1

V

DIFERENTES CASOS DE ÁNGULOSDIVIDIR UN ÁNGULO DE 90º EN TRES PARTES IGUALES

.V

m

s

Dada las rectas m y sperpendiculares entre síy que se cortan en V.

Desde A y B arco igualal anterior (r).

..B

A

V

m

s

r

r

. ..

.. .C

D

m

s

Donde corta obtenemos C y D.Unir C y D con V. Habiendodividido el ángulo en trespartes iguales.

Desde V arco cualquiera (r)y nos da A y B.

.Vr

m

s

.V m

Dada la recta m y el punto V.

.. .. .

A B

C D

V

Y nos dan los puntos C y D,unir con V.Queda el ángulo divididoen 3 partes iguales.

Por A y B arco de radio AV y BV.

A BV.. .rr

Por V arco cualquiera ynos da A y B.

.V

r

A B. .

DIVIDIR UN ÁNGULO LLANO EN TRES PARTES IGUALES

CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO DE 45º

Dada la recta s se toma unpunto cualquiera (A)contenido en la recta ydesde A se traza un arcocualquiera y nos da B lomismo se hace desde B.

.. . s

A B

C

r

En la intersección nos da C.Se une A con C y nos dael ángulo buscado.

...

A B

C

60º

CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO DE 60º

Se une A con B y el ánguloque forma es de 45º.

.

..

A

BV

m

s. 45º

Dada las rectas m y sperpendiculares entre síy que se cortan en V.Desde V arco cualquieray nos da A y B.

.. .A

BV

m

s

.EJERCICIOS:

EJERCICIOS:

m

s s


T R I Á N G U L O S Y C U A D R I L A T E R O S

P U N T O S Y L Í N E A S N O T A B L E S D E L T R I Á N G U L O

Son las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo.Las tres rectas se cortan en un mismopunto llamado CIRCUNCENTRO (Cc);que resulta ser el centro dela circunferencia circunscrita al triángulo.

Son las bisectrices de cada ángulo del triángulo.Las bisectrices se cortan en un mismopunto llamado INCENTRO (Ic);que resulta ser el centro de la circunferenciainscrita al triángulo.

Son las distancias de cada vértice (A,B,C)al punto medio del lado opuesto.El punto común de las tres medianasse llama BARICENTRO (Bc); que resultaser el centro de gravedad del triángulo.

Son las distancias de cadavértice (A,B,C) lado opuesto.El punto común de las tresalturas se llama ORTOCENTRO (Oc).

MEDIATRICES

A

B C

1/2

1/2

1/2 . ..

.Cc

BISECTRIZ

C

A

B

1/2

1/2

1/2. ...Bc

ALTURAS

C

..

. .Oc.

A

B

MEDIANAS A

B C

.Ic

A B A B A B

A

B C

GE

OM

ET

RÍ

A

PL

AN

A

DEFINICIÓN: Son superficies que poseen tres lados y tres ángulos.

A) SEGÚN SUS LADOS:

CLASIFICACIÓN:

B) SEGÚN SUS ÁNGULOS:

A B

a

C

b

c

.A = 90º

RECTÁNGULO

A B

C

b

ca

ACUTÁNGULO

BA

C

b

c

a

A 90º

OBTUSÁNGULO

A B

C

a

b

c

a = b = ca

A B

C

a

b

c

a = b = c

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

B

C

a

b

c

a = b = c

A

DEFINICIÓN: Son superficies que poseen cuatro lados y cuatro ángulos.PARALELOGRAMOS: Son los que tienen los lados opuestos y paralelos dos a dos.TRAPECIOS: Son los que tienen dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.

. d1

d20

A B

CD

ROMBO

Es el paralelogramo quetiene los lados iguales y losángulos opuestos iguales.Sus diagonales sondesiguales.

A B

CD

d

0

RECTÁNGULO

Es el paralelogramo quetiene los lados adyacentesdesiguales y los ángulosrectos. Sus diagonales soniguales.

.A B

CD

d

0

CUADRADO

Es el paralelogramo quetiene los lados iguales y losángulos rectos. Susdiagonales son iguales y secortan formando un ángulode 90º.

A B

CD

d1

d20

ROMBOIDE

Es el paralelogramo quetiene los lados adyacentesdesiguales y los ángulosopuestos iguales. Susdiagonales son desiguales.

P A R A L E L O G R A M O S

TRAPEZOIDES: Son los que tienen sus lados opuestos no paralelos.

.

A B

CD

Es el trapecio que tienedos ángulos rectos.

RECTÁNGULOA B

CD

0 dd

Es el trapecio que tiene loslados no paralelos iguales.Sus diagonales son iguales.

ISÓSCELES

d1d2

0

A B

CD

Es el trapecio que no poseeninguna característica delos dos anteriores.

ESCALENOT R A P E C I O S T R A P E Z O I D E

AB

CD

Es el cuadrilátero que no tiene los lados opuestos paralelos.


T R I Á N G U L O S Y C U A D R I L A T E R O SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

EJERCICIOS

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO ISOSCELES CONOCIDA LA HIPOTENUSA

Dado la hipotenusa a Base del triángulo la hipotenusa a = ABMediatrizArco

Donde se cruzan el arco con la mediatrizse obtiene punto CUnir A - B y C

.BA .

a

..

BA .a

C

a

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO 1 LADOS Y 2 ÁNGULO ADYACENTES

Dado el segmento a y los ángulos X - Y Base del triángulo el lado a = ABEn A ángulo XEn B ángulo Y

Donde se cruzan las cuerdas de los ángulosse obtiene el punto CUnir A - B y C

.BA ..a

X

cuerd

a

Y .BA ..a

X

cuerd

a

Y

C.a

YX

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO 2 LADOS Y UN ÁNGULO

. ..Dado los segmentos a-b y el ángulo X Base del triángulo el lado a = AB

En A ángulo XCon centro en B arco b

Donde se cruzan el arco con la cuerdadel ángulo se obtiene el punto CUnir A - B y C

.BA ..a

b

X

cuerd

a

b

X

BA a

C.b

X

cuerd

Dado los segmentos a-b-c

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO LOS 3 LADOS

Ca

b

c .BA .

b

. .BA .

b

..

Base del triángulo el lado a = ABCon centro en A arco = bCon centro en B arco = c

a

c

a

c

Donde se cruzan los arcos punto CUnir A - B y C

Dado las diagonales a - b

CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBO CONOCIDAS SUS DIAGONALES

a

b

Centrar las diagonales entre si Unir A - B - C y D

. BA.

a

b

.

.

C

D

. BA.

a

b

.

.

C

D

CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBO CONOCIDO 1 LADO Y UN ÁNGULO

.

Dado el lado a y el ángulo X Base del rombo el lado a = ABEn A ángulo XCon centro en A arco aDonde se cruzan el arco con la cuerda delángulo se obtiene el punto C

Por B - C paralelas

a

X

..

BA .a

X

C ..

BA .a

X

C Da

a

a

a = 8 cm.b = 6 cm.c = 5 cm.

B A B A B A

B A

B A

B A

a = 8 cm.X = 45ºY = 60º

a = 8 cm.

a = 8 cm.b = 6 cm.

a = 8 cm.X = 45ºa = 8 cm.

b = 6 cm.X = 45º


P O L Í G O N O S R E G U L A R E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

DEFINICIÓN: Son los polígonos formados por lados y ángulos iguales.

TRIÁNGULO

0

A

B C.. B C..0

Unir B con C y es el ladodel triángulo buscado.

0

B C

D

Unir B,C y D.

0

Circunferencia 0 dada. Desde A arco A0 y nos dá B y C.

.

0

CUADRADO

Circunferencia 0 dada. Unir A con B, lado del cuadrado.

A

B0

Unir A,B,C y D.

C

0

A

BD0

0 0

PENTÁGONO .

Dado la circunferenciade centro 0.Mediatriz entre 0 y A.

. A0 .B

C

Unir B con C y nos dael lado del polígono.

B

Pinchando en B y distanciael lado, se pone los vérticesdel polígono hasta completartoda la circunferencia.

Desde P radio PB.

. A0P

..

B

C

SEGÚN EL LADODado el lado del polígono AB.Por A y B arco de radio la distancia AB.Donde corta da C.Unir A,B y C. Polígono buscado.

.

AB

C

. .

B A

SEGÚN EL LADO

Dado el lado AB, MediatrizPor B Perpendicular.Desde B radio AB = CCon centro en la mediatriz ydistancia C nos da D.

Desde A arco AD= E. Desde A y arco AD y desd Barco AD. En la intersección delos arcos obtenemos el punto F. Desde A y arco AB da G.

Unir los puntos dados,que serán los vérticesdel polígono a dibujar.

A B

E

F

G.. .

A B

C

D.

1/2.

.EA B

..D

.

..

.A B

.EF

G

.D

BA

..A B

AB lado del cuadrado. Por A y B rectasperpendiculares.

.. ...A B

Por A o B recta a 45º.Nos da el punto C.

.

. ...A B

C

Por C paralela a el lado AB.Construir el cuadrado.

. .

C

SEGÚN EL LADO

B A



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

0 0 0

HEXÁGONO

Circunferencia 0 dada.

0

A

B

C

D E

F

Pinchando en B se va trazandolos vértices del polígono.

Desde A arco A0.

.A

0

Se repite desde B y nos dael punto C, que uniéndosecon B, obtenemos el ladodel polígono inscrito.

.A

B

C.0

A

HEPTÁGONO

Dada la circunferencia 0.Mediatriz entre A0.

Desde B a C lado del polígono.Pinchando en cualquier puntode la circunferencia y distanciael lado se determina los vértices.

BC..

0 A

BC

0

Dada la circunferencia 0.Se une AB y se halla la mediatrizy donde corta la circunferencia nos da C.Uniéndo C con A ó B.Obtenemos el lado del polígono.

B

Para determinar el polígono, haremoslo mismo en cada cuarta de circunferencia.

OCTOGONO

SEGÚN EL LADO SEGÚN EL LADO SEGÚN EL LADO

....

A B C

D

.E

DC mediatriz del segmentoy da E.

Dado el lado AB.Por B arco AB y da C.Por A arco AC y da D.

.

..A B C

D

.Desde A arco AE.Desde B arco AE.En la intersección da 0.

...A B

E.0

0 será el centro de la circunferenciaque con radio 0A se inscribe el polígono.

.0..

A BDado el lado del polígono AB.Arco desde A con radio AB.

. .A B

Lo mismo desde B y en la intersecciónestá el centro de la circunferencia C,donde se inscribe el polígono.

0.A B

Desde el lado dado AB.Mediatriz y arco, da el punto C.Desde C y radio CB arco y da 0.

...

.A

C

B

0

. .Desde 0 y radio 0Acircunferencia dondeestá inscrito el polígono.

.0. .A B

BA BA BA



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

SEGÚN EL LADO

0 0 0

ENEÁGONO

F

Desde cualquier punto de la circunferencia,por ejemplo el F, se pone los vérticesdel polígono.

Dada la circunferencia 0.Desde A arco A0 y nos da el punto C.Desde B arco BC. Y nos da el punto D.

.

.

.

..

A

B

C

0

Dado el punto D se toma como centrodel arco DA y nos da el punto E, seune con el punto F. Y el segmento EFes el lado del polígono que se busca.

..

.. D

A

EF

DECÁGONOD..B

Donde corta el arco BC conla circunferencia, nos dá D.La distancia entre BD, seráel lado del polígono.

BD

Pinchando en B se va trazandolos vértices del polígono.

Dada la circunferencia 0.Mediatriz entre 0A y nos da P.Por P circ. de radio PA.

. A0P.

Se une P con B y nos da C.Con centro en B arco BC.

.BC

P

.MÉTODO GENERAL

B

.

.

A

B

C.1

2

3

4

5

6

Dada la circunferencia con centro en 0.Se divide el eje vertical AB en tantaspartes iguales segun el número delados (este caso lo haremos de, 7).Desde A y B radio el diametro dela circunferencia y nos da C.

A

Desde A ó cualquier punto dela circunferencia se va trazandolos vértices del polígono.

Desde C se pasa siempre por el punto 2 ydonde corte a la circunferencia nos da D.Uniendo los puntos DA obtenemos el ladodel polígono que queremos trazar.

.

A

C... 1

2

3

4

5

6

D.

0

Se traza un polígono inscritoen una circunferenciainferior de tamaño al quequeremos dibujar. Siéndo sulado AB. Desde el centro seprolongan rectas que pasanpor los vértices.

En cualquier de los ladosejemplo el AB se colocael lado del polígono quedeseamos.

Se desplaza el lado hastael punto D.

Se va trazando los lados delpolígono paralelos a loslados del polígono inscrito.

0

A B..

A B.. .

C

0

.C

D.A.A

(=

.C

D.A.

CASO GENERAL A PARTIR DE UN INSCRITO (Ej: Pentágono)

Se prolonga el segmentoCB hasta cortar a lacircunferencia y nos da elpunto E. Por ese puntorecta perpendicular a lamediatriz AB. Y obtenemosel punto 0.

.. .A B

. 0E

Con centro en C y radio CDse traza una circunferencia.

..D. .A B

C

Dado el lado AB.Por A y B arco y mediatrizdonde se cortan seencuentra C.Por A mediatriz delsegmento CB.Donde se cortan las dosmediatrices encontramos D.

.. .

.A B

C

D

Con centro en 0 y radio 0Ao 0B, circunferencia dondeestá inscrito el polígono.

.. .A B

0

SEGÚN EL LADO

DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA APLICÁNDO EL GONIÓMETRO

0 0º360º

90º

180º

270º

TRIÁNGULOCUADRADOPENTÁGONOHEXÁGONOOCTÓGONOENEÁGONO

DODECÁGONODECÁGONO

POLÍGONOS GRADOS120º90º72º60º45º40º36º30º

.

A B. .

0

12

11

10

9

8

7

6

Dado el lado AB se trazan los arcos yen su intersección nos da 0. Centro dela circunferencia donde se inscribe elhexágono.

Sobre el eje vertical y a partir de 0, sedivide en 6 partes iguales, que seránlos centros de las circunferenciassegún el número de lados a trazar.

Ejemplo centro de 7 lados

.0

A B. .

CASO GENERAL A PARTIR DEL HEXÁGONO

BA

LADO = 4 cm.


C I R C U N F E R E N C I A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

DEFINICIÓN : Figura Geométrica curva, cerrada y plana que sus puntos equidistan de uno llamado centro.

RELACIONES MÁS NOTABLES

SECANTES

..

TANGENTESEXTERIORES

.TTANGENTESINTERIORES

.T

..

.T

TANGENTE

EXTERIOR

DIAMETRORADIO

ARCO

S E C A N T E

ARCO : Es una porción cualquiera de la circunferencia.

ARCO QUE PASA POR 3 PUNTOS DADOS

Se hallan las mediatricesde los segmentos.

. ..

A

B

C

Dado los puntos noconsecutivos ABC.

Se une ABC y nos dados segmentos.

..

A

B

C

...

A

B

C

.

Donde corten nos da 0centro de la circunferenciaque pasa por ABC.

. ..

A

B

C0.

ARCO CAPAZ : Es el lugar geométrico de los vértices de un ángulo cuyos lados pasan por dos puntos fijos.

Si el vértice parte del centroel ángulo será el doble. (0)Si el vértice parte del círculo el ángulo será mayor. (2)Si el vértice parte del exteriorde la circunferencia el ánguloserá menor. (3)

60º

+30º

2

0.A B

3

-30º

..Cualquier vértice quetomemos en lacircunferencias y sus cuerdaspasen por AB, el ángulo dadoserá igual al establecido.

A B

30º

1

..

Dado el segmento AB y elángulo que queremosaplicar.Mediatriz AB, se coloca elángulo en A.Desde A perpendicular ydonde corte a la mediatriz,obtenemos el punto 0.

Desde 0 y radio que pasepor A ó B.

.

.0A B30º

...

.A B

0

30º

30º

..

BA

B

A C

LINEAS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

.

.. V

.... V.

..

V

V

....

VV

..

INSCRITO SEMI - INSCRITO INTERIO

EXTERIOR

EXTERIOR - CIRCUNSCRITO

.

EXT. SEMI - CIRCUNSCRITO

ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS

. ..

1

2

3

0. .

.4

.

01

02

.5

Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos.- Dados X número de puntos- Unir por segmentos- Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de lasiguiente manera:Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01.Se traza la mediatriz del segmento 3-4.Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02y así sucesivamente.


R E C T I F I C A C I O N E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

DEFINICIÓN : En geometría se entiende por rectificación, el determinar sobre una línea recta, la longitudde una curva, arco o circunferencia.

RECTIFICACIÓN DE UN ARCO MENOR DE 90º

Se traza la circunferencia de centro 0 y radio r. En el eje vertical se pone30º y cuando se corta con la perpendicular al eje, encontramos con A.Por la semirrecta A se coloca 3 veces el valor del radio y da el punto B.Unimos el punto B con el C y es la rectificación buscada.

.

.

A B

C

r

0

30º

. .r r r

RECTIFICACIÓN DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA

..

F

B

Unir F con B que seráel segmento que correspondea la rectificación buscada.

Se traza la circunferencia daday con centro en A y B arco valorel radio y nos da CD.

. ...

A

B

C

D

Por A arco AD.Por B arco BC.En la intersección nos da E.

..

A

B.

E

.

.C

D

Por D arco DE y cuando cortaa la circunferencia nos da F.

. ..D

EF

RECTIFICACIÓN DE UNA SEMI-CIRCUNFERENCIA

RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

17

0.

Se traza la circunferencia 0, se divideel eje horizontal en 7 partes iguales.Sobre una recta se coloca 3 vecesel valor del diámetro y una 1/7 partey esa longitud será el valor de su rectificación.

El arco a rectificar es el AB.Dividimos el radio en 4 partes iguales.

0

..A

B

1 2 3 4

Por A perpendicular.A partir de C se pone 3/4 del radio ynos da D.

0

..A

B

1 2 3 4 1 2 3..DC

Se une DB y nos da en la perpendicularla rectificación del arco AB.Se une DC y nos da en la perpendicularla rectificación del arco AC.

.DA

B..

R

C.

2 r R = D + D + D + D / 7

0

0

0


T A N G E N C I A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

DEFINICIÓN : Es el punto común entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias.

TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA

.0

T..

0

T.

0

T.

0

T.

Dada la circunferencia 0 yun punto T que seráel tangente de la recta.

Unir 0 con T. La recta perpendicular es la recta tangente a la circ.en el punto T.

Por T recta perpendicular.

TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS

TANGENCIA INTERIOR

.T .T

TANGENCIA EXTERIOR

.0 P

Dada la circunferencia 0 yel punto P.

Se une 0 con P y se hallala mediatriz.

.0 P1

2

Unir P con T y T1.T y T1 puntos tangentes delas rectas tangentes a la circunferencia..

..P

T

T

0

Desde la mediatriz se traza unacircunferencia que pasa por Py es secante a la circunferenciaen los puntos T y T1.

. ..P

T

T

01

2

.DESDE UN PUNTO EXTERIOR

RECTA TANGENTE A UN ARCO Y UN PUNTO DADO

Desde T radio cualquiera ynos da A.

.TA

.

Desde A se repite el radioy nos da B.

..TA .

B

Desde T radio TB ydonde corte con el arcoinicial obtenemos C.

..

.TB

C

Unir T con C y es la rectatangente en T del arco inicial.

..

TC

.B

RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centrode la circunferencia que pasa por 0 y 01.

001 12

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.

001

RR1

Se resta en 01 (R1 - R). Y nos da A y B, desde 01 se une con A y B.Unir O con A y B

001

.

.A

B

RR1_

.

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas exterioresa las dos circunferencias.

. .001

.

.A

B

T1

T2

T3

T4

. 0 0

0 P


T A N G E N C I A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

.

RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centrode la circunferencia que pasa por 0 y 01.

01120

Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.

01

R R1

0

En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas interioresa las dos circunferencias.

T1

T2

T3

T4

0 01

.

. ..

.Se suma en 01 (R1 + R). Y dá A y B, desde 01 se une con A y B.Unir O con A y B.

.

.

A

B

0 01

RR1+

DESDE UN PUNTO EXTERIOR

..0

PT

Dada la circunferencia 0 y el punto P.Desde 0 recta cualquiera que corte a lacircunferencia y nos da T, puntotangente de las circunferencias.Se une T con P.

..0

T P01.

Se halla la mediatriz entre TP ydonde corta la recta que nace de 0y la mediatriz, obtenemos 01.

Pinchando en 01 y radio 01P se trazala circunferencia.

...0

T P

01

DESDE UN PUNTO INTERIOR

Se unen y se hallan la mediatriz.

..0

P

P1

Dada la circunferencia 0 y los puntos P, P1.

..0

P

P1

Donde corte la mediatriz conel segmento 0P1.Centro 01 dela circunferencia a trazar.

...0

P

P1

01

.I

Dado el triángulo ABC.Se halla el Incentro.

.

.

. .

.

.

.. .0 01

02

T

T

T T

T

T

Donde corte la circunferencia con las otras bisectrices,obtenemos los centros 01 02.Por los centros perpendicularespara determinar las tangencias.

.. .T

T

T T

T

T

Con los centros 0 01 02y radios T. Se trazan lascircunferencias.

Por D ángulo de 45º y nosda el centro 0.Con centro en I y radio I0 setraza una circunferencia.

.I

45º

.0D

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y A UN TRIÁNGULO

0 0

0

0

P


E N L A C E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

RECTA CON RECTAENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR UN ARCO DADO

Se halla las tangencias T1 y T2.Enlazar.

.T

T

0

Se traza una perpendicularque corta a las dos rectas.Mediatriz del segmentoperpendicular.

m

s

Dada las rectas m y s.Paralelas entre sí.

m

s

Se traza una circunferenciacon centro 0.

.0

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre sí.

m

s

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia aenlazar (m1 y s1).

m

s

m1

s1

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos detangencias (T1 - T2). Enlazar.

.0T1

T2

..

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 quecon radio conocido se trazala circunferencia.

.0ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR UN ARCO DADO

m

s

A

B

..

Dadas las semirrectas m y s.

..

m

s

A

B

Unir A y B.Se divide el segmento en4 partes iguales.

0

01

..

A

B

..

Por A y B perpendicular,donde corta con las mediatricesobtenemos 0 y 01.

.T

. ..0

01

A

B.

Hallar tangencias A,B y T.Enlazar.

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO IGUALES

Dada las rectas m y s.Perpendiculares entre sí.

m

s

Por m y s paralelas a la distanciadel valor de la circunferencia aenlazar (m1 y s1).

m

s

m1

s1.

Donde se corta m1 y s1.Obtenemos el centro 0 quecon radio conocido se trazala circunferencia.

0.

Desde 0 perpendicular a m y spara hallar puntos detangencias (T1 - T2). Enlazar.

0

T1

T2

.

ENLACE DE DOS RECTAS OBLICUAS POR UN ARCO DADO

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO NO CONOCIDOS

m

s

A

B

Dada las semirrectas m y s.

m

s

A

B

. .. Cm-

Se halla la mediatriz m-s.Se une A con B.Se traza una semicircunferencia y en la intersección conla mediatriz nos da el punto C.

m

s

.C

m

s

A

B

..

.

.0

01

Por A y B perpendicular.Por C paralela a la mediatrizdel segmento AB y dondecorta con lasperpendiculares obtenemoslos centros 0 y 01.

Con el centro 0 y radio 0B,con centro 01 y radio 01Ase trazan las circunferencias.Y dadas las tangencias ABC.Enlazar.

.C

m

s

A

B

..

.

.0

01

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO CONOCIDO UNO DE ELLOS

..

A

B

m

s

Dada las semirrectas m y s.

..

A

B

m

s

m

s

Desde A y B rectas perpendiculares.A m y s se trazan semirrectasparalelas m1 y s1 a la mismadistancia que el radio dela circunferencia conocida.

Con centro en A1 y radioel dado se traza la circunferenciaconocida. Hallar la mediatriz delsegmento A1y B1.Donde cortecon la perpendicular B B1,se obtiene 0.

..m

s.A1

B

.0.

A

B

m

s

Con centro en 0 y radio 0Bse traza la circunferencia.Se halla las tangencias (A B T)y por último enlazar.

..T

A

B

m

s

..

.

RADIO: 1,5 cm.

m

s

RADIO: 1,5 cm.

m

s

m

s

m

s

m

s

RADIO: 1 cm.m

s


E N L A C E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

RECTA CON CIRCUNFERENCIAENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO INTERIOR

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

.0r

m

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r -r1, conla recta m1, nos da el centrode la circunferencia 01.Trazar desde 01 con radio r1.

..r1 01 m1

0

Paralela a m a la distancia valorde radio de la circunferenciaque vamos a enlazar.Con centro en 0 (r menos r1).

.0

r

m

r - r1

m1

r1

Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

.0

T

T1

. ..01

RADIO: 2 cm.

m

0

ENLACE DE RECTA CON CIRC. DADO EL PUNTO DE TANGENCIA

. ...

0T

A

01

Desde A bisectriz delángulo que forma y dondecorte con 0T. Obtenemos elcentro 01.Trazar 01 con radio 01 T.

. ..

. 01

0T

T1

Hallar tangencias y enlazar.

Unir 0 con T.Por T recta tangente a 0 yda el punto A.

...

0

rT

mA

Dada la circunferencia 0, larecta m y el punto detangencia T.

. .0

rT

m

ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO EXTERIOR

.T

T

0 .01

. .Hallar tangencias (T - T1).Enlazar.

Dada la circunferencia 0 conradio r y la recta m.

.0

r

m

Paralela a m a la distanciavalor de radio de lacircunferencia que vamosa enlazar.Con centro en 0 (r más r1).

.r

r + r1

0m

mr1

Donde corte la circunferenciade centro 0 de radio r + r1, conla recta m1, da el centro dela circunferencia 01.Trazar desde 01 con radio r1.

.m1

0

01

r1.

ENLACE DE CIRC. CON UNA SEMIRRECTA

Paralela a m y a la mismadistancia de r.Nos da m1 con el punto A.Se une A con 0 y seprolonga el segmento AT.

.

.. .mT

0

m1 A

r

r

Dada la semirrecta m yla circunferencia 0.

. .mT

0r

En el segmento 0A se hallala mediatriz y donde corte alsegmento AT, obtenemos elcentro 01.

. ..A

T

.01

0m

Con centro 01 y radio 01 Tse traza la circunferencia.Se obtiene los puntos detangencia T y T1.Enlazar.

. .

.01

T

0

T.m

m

0

RADIO: 2 cm.

m

0

r0m

RADIO: 2 cm.


E N L A C E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIARADIO: 2 cm.ENLACE DE CIRC. SECANTES POR UN ARCO INTERIOR

..0

01

02.T

T

..

Hallar tangencias T y T1.Enlazar.

Dadas las circunferencias0 01, con radios r y r1.

..0

01

r r1

Se resta r - r2 y r1 - r2.En su intersección dáel centro 02.

..

.0

01

r1- r2

r - r2

02

Trazar circunferencia deradio r2 con centro en 02.

..

.0

01

02 r2

00

RADIO: 1,5 cm.

0

0

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR E INTERIOR

Hallar tangencias T y T1.Enlazar.

.

...

0 01

02

T

T

.

Trazar circunferencia deradio r2 con centro en 02.

...

0 01

02

r2

Se suma r + r2 y se resta r1 - r2.En su intersección da el centro 02.

...

r + r2

02

01

r1- r2

0

Dadas las circunferencias 0 01, con radios r y r1.

..0 01r

r1

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO INTERIOR

ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.

. .r2 = 2cm.

01

0r

r1

Se le suma a los radios r2 y te darásu intersección el centro 02.Trazar desde 02 con radio r2.

. .

.02r + r2

r1 + r2r2

0

01

r2 = 2cm.Hallar tangencias T y T1.Enlazar.

r2 = 2cm.. .

.T

T

02

. .0

01

RADIO: 8 cm.

0

0

RADIO: 3 cm.

Hallar tangencias T y T1. Enlazar.

. .

r2 = 4cm..

02

T

T1.

Se le resta a los radios r2 y te darásu intersección el centro 02.Trazar desde 02 con radio r2.

. ..

.

01

0

r - r2r1 - r2

r2

02r2 = 4cm.

Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.

. .r

r1

01

0

r2 = 4cm.


T A N G E N C I A S Y E N L A C E SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

EJERCICIOS

.

.

..

T T

TT

T T

.

0

00

0

22

62

16

14

T

0

48

..

.

T

T0

0

0

0

140

T

T T

T T

24

20

140

. . E = 1/1 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

EJERCICIOS

30

.

.

T

0

135

T

TT

.

0

0

30

135

.0 0.

120

12

T0

38

. .T

TT

. .

.

T T

00

0

0

0

0

.

.

70

44

34

48

92

T T

E = 1/1 E = 2/3



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

EJERCICIOS

T0

40

.

.

T

T0

0

0

0

54

T

TT

12

20

80

.

.

.

7612

10

T

TT

T

T

T

T

T

TT

T T

014

..

.

. .

.

0

0

0 0

00.

1428

6634

16

A A1

B

B1A1 + B1 = 0E = 1/1 E = 1/1


C U R V A S T É C N I C A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

ÓVALO : Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí.

CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR.

Dados los ejes AB y CD, se pone una medidaarbitraria que nos da E y los centros 01 y 02.

Se halla la mediatriz del segmento 01 Ey donde corta obtenemos el centro 03,que con radio 03 A. Trazamos un arcode circunferencia.

Una vez trazado 03 se hace lo mismo enla parte superior del éje menor y nos daráel centro 04 y su arco respectivo.Unimos los centros para determinarlos puntos de tangencia.

Enlazar.

A

B

C D

E

01 02.. . A

B

C D

E

01 02.. .

.03

A

B

C D01 02

..

.03

.04

.

...T T

TT

A

B

D01 02

..

.03

C

.04

.

...T T

TT

A

B

C D

E

01 02

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB. Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0.Donde corta la circunferencia con el eje horizontalo mediatriz, obtenemos los puntos C y D.

Se trazan las circunferencias con centros A B .Se une AB con CD, para determinar los puntosde tangencias y los radios de las circunferenciasde centro en C y D.

Enlazar.

A

B

0C D..A

B

A

B

0C D.. T...

.TT T

A

B

0C D.. T...

.TT T

A

B

CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Enlazar.Dado el eje mayor AB, se divide en3 partes iguales y da 01 y 02.

Con centros en 01, 02 y conocido los radios quepasan por A y B se trazan las circunferencias,donde se cortan obtenemos los centros 03 y 04.

Una vez obtenido todos los centros queforman el óvalo.Se unen los centros paradeterminar los puntos de tangencias.Se trazan las circunferencias 03 y 04.

A B01 02 A B01 02

. ..

.03

04

A B01 02. .

.

.03

04 TT

T T

. .

..A B01 02

. ..

.03

04 TT

T T

. .

.. A B01 02


C U R V A S T É C N I C A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

OVOIDE : Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Tiene un eje de simetría.

CONOCIDO EL EJE MENOR

Dado el eje menor AB.Mediatríz y centro 0.Se prolonga el eje vertical.

Por A y B arcos valorel diámetro.

Donde corta la circunferenciaal éje vertical, punto C.Se une AB con C para determinar las tangencias. Por C circunferencia.

Obtenidos los puntos de tangencias se enlaza.

C.. .

TT

A B0A B0

C.. .

TT

A B0A B0

1

2

3

4

5

A

B

0

A B0

CONOCIDO EL EJE MAYOR

Dado el eje AB. Se divide en 6 partes iguales y en el punto dos seencuentra el centro 0 de radio 2-4.

El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04.Unimos los centros con el punto 5 = 01, para determinarlos puntos de tangencias.

Por último enlazar.

.

. .

01

02 03

TT

.. TT0.rr r r

1

2

3

4

5.

. .02 03

.TT

.. TT0.1

2

3

4

5

A

B

r

0.

ESPIRAL : Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una recta a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ángular constante. Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa.

Construcción de una espiral de paso N.Se traza un segmento igual a N.Se divide el segmento en un número cualquiera de partes iguales.Haciéndo centro en 0 se trazan circunferencias concéntricas.Se divide las circunferencias y la intersección de los radios conlas circunferencias dan los puntos de la espiral.Sólo queda unir los puntos.

1

2

3

4

5

6

7

8

N. . .

...

.

.

VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendolos centros de los arcos los vértices de un polígono ó un segmento dado.

1

23

4

1

23

0 1


C U R V A S C Ó N I C A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta decortar un plano perpendicular al eje de un conoy a las dos ramas por debajo o por encima.

ELIPSE : Es la figura que resulta de cortarun plano no perpendicular al eje de un cono ya las dos ramas por debajo o por encima.

HIPÉRBOLA : Es la figura que resulta de cortarun plano a las dos ramas por debajo y por encimadel vértice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.

PARÁBOLA : Es la figura que resulta de cortarun plano a una de las ramas por debajo opor encima del vértice siendo paralelo a la otra rama.

P

P

P

P

E L I P S E

ELEMENTOS: EJE MAYOR ( A - A´)EJE MENOR ( B -B´ )FOCOS ( F1 - F2 )

Si nos dán el eje mayor (A-A´) y los focos. Hallamos lamediatriz del éje mayor y pinchando en cualquier de losfocos y radio A0, donde corte con la mediatriz determinamosel eje menor (B-B´).

.

.A A´F1 F2

B

B´

0

A0

COMO HALLAR EL EJE MENORSi nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlosse pincha en B´ y distancia de radio A0 donde corte al ejemayor obtenemos los focos.

A A´F1 F2

B

B´

0

A0

. .

COMO HALLAR LOS FOCOS

P

..

.

AA´

B

B

AA´

B

B

1

0

... .

2

3

4

.

.

AA´

B

B

.C

D.1

0

CONSTRUCCIÓN POR EJES

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS FORMULA A APLICAR: A - 1 PINCHANDO EN F1

A´- 1 PINCHANDO EN F2

A A´F1 F2

B

B´

01 2 3.F1

A1

A´1..

1

1

.1 2 3

B

B´

F2A A´

1

2 3

1

2 3

B

B´

4 5 6F1 F2A A´

AA´

B

B´

0

A A´F1 F2

B

B´

0


C U R V A S C Ó N I C A SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

A A´. .F1 F2

Z

X

123 4 5 6

6

5

4

4

5

6

12

3

32

1

AF1 F2A´

Z

X

123

.

.1

1

. .

H I P É R B O L A

P

CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS

P A R Á B O L A

P

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 = AF

.A

F

0

Eje

Directriz

hH .. 11

h

.F

A

0

Eje

Directriz

1H

H

H

2

3

1

2

3

h

h

ELEMENTOS: FOCO ( F )PUNTO ( A )Directriz ( D )

FORMULA A APLICAR: A - 1 PINCHANDO EN F1

A´- 1 PINCHANDO EN F2

EJE ( A - A´)VÉRTICES ( B -B´ )FOCOS ( F1 - F2 )XZ ( Asintotas )

ELEMENTOS:

AF1 F2A´

Z

X

. .

.F

0

Eje

Directriz

A

A0 = AF


E J E R C I C I O S V A R I O SG

EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 2/1 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 1/1 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 2/3 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 1/1 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 3/2 E = 1/1



EO

ME

TR

ÍA

P

LA

NA

E = 3/4 E = 2/3


I G U A L D A D Y S E M E J A N Z AR

EL

AC

IO

NE

S

GE

OM

ÉT

RI

CA

S

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son iguales, cuando sus lados y ángulos están dispuestosde modo que, superponiendo una sobre otra, coinciden exactamente hasta confundir con una sola.

M É T O D O S : POR TRIANGULACIÓN:

POR PERPENDICULARES:

POR ARCOS O DE RODEO:

POR RADIACIÓN:

A B

C

D

E .

..

. .A B

C

D

E .

..

. .

.X 1 2 3 4

.X 1 2 3 4

A B

C

D

E .

..

. .

.X 1 2 3 4

A B

C

D

E .

..

. .A B

C

D

E .

..

. .A B

C

D

E .

..

. .

A B

C

D

E .

..

. .A B

E.. ..

A B

C

D

E .

..

. ..

AB

C

D

E .

..

. .. ...

. .e

d

ab

c0

Dado el polígono irregular conlos vertices A,C,D y E.

Se descompone en triángulos,uniendo tres vértices cualquiera.

Se coje las medidas con el compás yse construye la figura pedida.

Dado el polígono irregular con los vérticesA,C,D y E. Se traza una recta R y porlos vértices rectas perpendiculares.

R

Sobre dichas rectas se lleva con el compáslas distancias del vértice a la recta R.Obteniendo la figura deseada.

Sobre la recta R, se lleva con elcompas las distancias entre lasperpendiculares desde un punto Xdeterminado.

Dado el polígono irregular con losvértices A,C,D y E. Se determinanlos ángulos de la figura.

Partiendo del lado AB se trasporta elángulo para determinar la dirección dellado AE. Pinchando en A se trasladael valor AE.

Determinando de esta forma lossiguientes vértices de la figura buscada.

Dado el polígono irregular con losvértices A,C,D y E. Se trazan por losvértices unas rectas cualesquiera quese unen en un punto 0 que es centrode una circunferencia cualquiera.

Esa circunferenccia nos determinanunos puntos (a,b,c,d) que son centrosde las circunferencias que determinanlos vertices (A,B,C,D) del polígono.

Unir los vertices que determinanla figura buscada.

AB

C

D

E .

..

. .. ...

. .e

d

ab

c0

AB

C

D

E .

.

.. .

. ...

. .e

d

ab

c0

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son semejantes, cuando todos los angulos homólogos soniguales y los lados proporcionales.

D I F E R E N T E S C A S O S :

DADO UN CUADRADO ABCD,CONSTRUIR OTROS QUE SEANEL DOBLE, EL TRIPLE DESUPERFICIE QUE EL DADO.

CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO SEMEJANTE A OTRO DADO, ENUNA DETERMINADA PROPORCIÓN.(Ejemplo 1/2).

DADO UNA FIGURA A CONSTRUIROTRA A´ SEMEJANTE Y AMPLIANDOLA EN RELACIÓN 4/3 POR CUADRíCULA.

A B

C D

A B

C D

. .E F

AE = DOBLE.AF = TRIPLE.

A´BĆ´D´ = ES LA MITAD DE ABCD .

.

..

. .

P

1/2 de B

P

A B

C

D

E

E´

D´

C´

BÁ´

A B

C

D

E E´

D´

C´

BÁ´1/2

.A B

C

D

EE´

D´

C´

BÁ´ 1/2

. .a/3

a

A B

. .a/3 + 1

a

A B

- Se une el punto P con los vertices del polígono.- Dado un polígono ABCD, se determina un punto cualquiera exterior P.

- Se determina el punto medio del segmento BP. Y se traza segmentos paralelos a las aristas del polígono inicial, dándonos el polígono buscado.

VARIANTES DE ESTE APARTADO.


S I M E T R Í A Y E S C A L A SR

EL

AC

IO

NE

S

GE

OM

ÉT

RI

CA

S

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son simétricas, respecto a un punto o a una recta, cuandohaciendo girar mentalmente una de ellas alrededor de este punto o línea, coincide exactamente sobrela otra. La Asimetría es todo lo contrario.

T I P O S :

SIMETRÍA CENTRAL RESPECTO A UN PUNTO.

S I M E T R Í A A X I A L R E S P E C T O A U N E J E .

SIMETRíA CON RESPECTO A UN PLANO.

- Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a unpunto 0, cuando están sobre una misma recta yequidistan del punto central 0.

- Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a uneje, cuando están situados sobre una rectaperpendicular a eje y equidistan de él.- Una figura es simétrica si al dividir por la mitad esigual un lado que otro.

- Una figura es simétrica con respecto a un planoque la corta, si todos los elementos geométricos deuna parte, tienen su respectiva simetría en la otra.

. .A A´0

EJE

.0

A´

B´

C´

A

C

B

.

.

A

A´

A

A´

C´

B´

C

B

EJE

(=)

(=)

PLANO

DEFINICIÓN: Es la relación que existe entrela representación gráfica del objeto (Dibujo) yel objeto en la realidad.

C L A S E S :

ESCALA NATURAL: LA REPRESENTACIÓN IGUAL A LA REALIDAD. 1/1

ESCALA DE AMPLIACIÓN: LA REPRESENTACIÓN MAYOR QUE LA REALIDAD. 2/1

ESCALA DE REDUCCIÓN: LA REPRESENTACIÓN ES MENOR QUE LA REALIDAD. 1/2

Pero si se quiere determinar las dimensiones realesde una figura dibujada a escala, entonces.

Pero si se quiere determinar las dimensionesde los segmentos que componen el dibujo.

ESCALAS MÁS USADAS O NORMALIZADAS:

ESCALA NATURAL: 1/1

ESCALA DE AMPLIACIÓN: 2/1 - 5/1 - 10/1

ESCALA DE REDUCCIÓN: 1/2 - 1/5 - 1/10 - 1/20 - 1/50 - 1/100 ...Etc

COEFICIENTE: Es la relación y resultadodel numerador y el denominador.

MÉTODOS PARA DIBUJAR A ESCALA:

AMPLIACIÓN: Si la escala tiene como denominadorel 1 cada dimensión de la pieza se multiplicadapor el numerador.

REDUCCIÓN: Si la escala tiene como numeradorel 1 cada dimensión de la pieza se divide porel denominador o se multiplica porel coeficiente de la escala.

T I P O S D E E S C A L A S :

A) ESCALA GRÁFICA.

B) ESCALA TRANSVERSAL.

C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS.

ESCALA =DIBUJO

REALIDAD

REALIDAD =DIBUJO

ESCALA

DIBUJO = ESCALA X REALIDAD

= = 0,2NUMERADOR

DENOMINADOR

1

5

CONVERSIÓN DE ESCALAS.

A) DE FRACCIÓN ORDINARIA A DECIMAL:Se divide el numerador por el denominador.Ejm.: ESCALA DE 4/5 = 0,8

B) DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA:Basta reducir la fracción decimal a quebrada.Ejm.: ESCALA DE 0,8 = 8/10 = 4/5

NOTAS A TENER EN CUENTA.

- ESCALÍMETRO: Regla graduada con diferentes escalas.- SIEMPRE SE OBTARA POR LA ESCALA 1/1.- LOS ÁNGULOS NO TIENEN ESCALA.- SI UNA COTA LLEVA DEBAJO UNA LINEA ES QUE NO ESTÁ A ESCALA.


E J E R C I C I O S V A R I O SR

EL

AC

IO

NE

S

GE

OM

ÉT

RI

CA

S

POR TRIANGULACIÓN:

POR PERPENDICULARES:

POR ARCOS O DE RODEO:

POR RADIACIÓN:

A B

C

D

E .

..

. .

A B

C

D

E .

..

. .

AB

C

D

E .

..

. .

A B

C

D

E .

..

. .R

A B

C D

.P

.

..

. .A B

C

D

E

EJERCICIOS

EJE

Construir el triple del tamaño dado: Construir a la mitad la figura dada:

Por Simetría Axial:


S I S T E M A S D E R E P R E S E N T A C I Ó N

Las proyecciones o vistas de un solido o pieza son lasdistintas imágenes que se obtienen al mirarla desde arriba,de frente y desde un costado, o bien el resultado deproyectar la pieza perpendicularmente sobre planos queson paralelos a sus caras,siendo sus vistas de 6.

Para ello se normalizarón dos sistemas:

A) Sistema Europeo, que es el utilizado en el mayor parte de Europa.

B) Sistema Americano, que es el utilizado preferentemente en los países de habla Inglesa.

Tanto el S. Europeo y el S. Americano consisten en representaruna pieza tridimensional por medio de sus vistas en dosdimensiones. Sus disposiciones vienen establecidas por lanormalización de estos dos sistemas, ya que tiene que colocarsede forma que sus dimensiones generales ( altura, anchura yprofundidad ) queden reflejadas y relacionadas entre sí conrespecto a las vistas.

1

2

36

5

41 2

3

anchura profundidad

anchura

al

tu

ra

al

tu

ra

profundidad

REPRESENTACIÓN DE LAS CARAS DE UN SÓLIDO Y SU DISPOSICIÓN EN EL PLANO EN SISTEMA AMERICANO.

1

2

36

5

4

SISTEMA AMERICANO

Este sistema hace que la planta quede encima del alzado,el perfil derecho se coloca a la derecha del alzado

El símbolo de identificación de un dibujohecho en el Sistema Americano es el siguiente:

3

2

5

1 4ALZADO

ANTERIOR

PLANTAINFERIOR

PLANTASUPERIOR

LATERALIZQUIERDO

LATERALDERECHO

ALZADOPOSTERIOR

6

SISTEMA EUROPEO

Este sistema hace que la planta que debajo del alzado, el perfil derecho se coloca a la izquierda del alzado y el perfil izquierdo se coloca a la derecha del alzado.

El simbolo de identificación de un dibujohecho en el Sistema Europeo es el siguiente:

REPRESENTACIÓN DE LAS CARAS DE UN SÓLIDO Y SU DISPOSICIÓN EN EL PLANO EN SISTEMA EUROPEO.

1

2

36

5

4

6

3

2

5

14ALZADO

ANTERIOR

PLANTAINFERIOR

PLANTASUPERIOR

LATERALIZQUIERDO

LATERALDERECHO

ALZADOPOSTERIOR


SI

ST

EM

AS

D

E

RE

PR

ES

EN

TA

CI

ÓN

A A A A

A A AA

AAAA

EJERCICIOS

S I S T E M A E U R O P E O Y A M E R I C A N O


SI

ST

EM

AS

D

E

RE

PR

ES

EN

TA

CI

ÓN

A

AA AA

AA A A

A A A

EJERCICIOS



SI

ST

EM

AS

D

E

RE

PR

ES

EN

TA

CI

ÓN

AA A A

AA A A

AA AA

EJERCICIOS



S I S T E M A E U R O P E O Y A M E R I C A N OS

IS

TE

MA

S

DE

R

EP

RE

SE

NT

AC

IÓ

NEJERCICIOS

A A

A

AA

A

A

A

A

A

A

A



IS

TE

MA

S

DE

R

EP

RE

SE

NT

AC

IÓ

N



IS

TE

MA

S

DE

R

EP

RE

SE

NT

AC

IÓ

N

E = 1/1 E = 1/1

E = 1/1 E = 1/2



IS

TE

MA

S

DE

R

EP

RE

SE

NT

AC

IÓ

N

E = 1/1 E = 1/1

E = 1/1 E = 1/1


S I S T E M A A X O N O M É T R I C O

Z

Y

X

Z

Y

X

P.C.

Consiste en representar un elemento queposee 3 dimensiones en un plano llamadoPlano del Cuadro sin perder su aparienciatridimensional. Para ello el sistema utiliza 3planos que se cortan perpendicularmente enel espacio y cuyas intersecciones seran 3rectas que convergen en un punto, que seráel vértice de los triedros a formar y donde seproyectaran ortogonalmente sobre dichosplanos todos los elementos a representar.

Para entender este proceso vamos a poner el ejemplo de un punto en el espacio y como se representaen el Plano del Cuadro.

Z

X

Y

P.

Z

X

Y

..

. ..

.

.

A

a1

a1

A..

.

.

a3

a3

a2

a2

Z

X

YZ

X

Y

P.C.

.a2

Z

XY

P.C.

A..

.a1

a3

Z

XY

P.C.

Teniendo en cuenta que el triedro pude tomar infinitas posiciones y a su vez los ejes infinitos ángulosentre ellos, nos lleva a la siquiente clasificación:

Z

XY

Z

XY

Z

XY

Otra de los aspectos importantes es que los ejes al proyectarse sobreel Plano del Cuadro sufrirán una reducción de su tamaño, que seráimportante conocer para aplicar las dimensiones del objeto arepresentar.

a2

Z

X

YZ

X

Y

P.C.

1 cm.

0.8 cm.

Tambien cada eje suele hacer unafunción específica , aunque puedecambiar en función de la visión delobjeto. Siendo las aristas del objetoparalelas a los ejes segúncorrespondan a sus respectivasdimensiones, como se puede ver enel cubo dibujado.

Z= ALTURASY= ALEJAMIENTOSX= ANCHURAS

Z

XY

ISOMÉTRICA: Es el que tienelos tres ángulos iguales.

120º

120º

120º

Z

XY

DIMÉTRICA: Es el que tienelos dos ángulos iguales y unodesigual.

125º

110º

125º

Z

XY

TRIMÉTRICA: Es el que tienelos tres ángulos desiguales.

145º

95º

125º

Z

XY


P E R S P E C T I V A A X O N O M É T R I C AA

XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

L

Como nosotros no vamos a estudiar la Geometría Descriptiva del Sistema sino su Perspectiva nos bastaconocer sólo algunos elementos imprescindibles para la realización de los objetos que queremosrepresentar. Nos centraremos en la perspectiva axonométrica isométrica ya que sus ángulos son igualesy su coeficiente es el mismo para todos , siendo de 0.8 cm.

CONSTRUCCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Z

XY

00

0

Z

XY

01

04

03

.. 02

1

23

4

.

.

Z

XY 0

0

Z

XY

CONSTRUCCIÓN DEL CILINDROCONSTRUCCIÓN DE RECTAS CON CURVAS

01

.

Z

XY 04

03

.. 02

1

23

4

.Z

XY

01

04

03

.. 02

1

23

4

.

.

COEFICIENTE DE REDUCCIÓN POR ABATIMIENTO

Z

XY

....

..0

(Z

(X

(Z

(Y

(0(0

(Y(X

(0

1/2

1/21/2

1cm1cm

1cm

1cm

1cm

1cm

Z

X

Y

..0

(Z

(X

(0

1/2 1cm

1cm

CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR ABATIMIENTO

Z

XY

0

(X(Y

0

0.

.

1

2

3

1

2

3

Z

XY

0

(X(Y

.1

2

1

2.

3

.3



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

L

CONSTRUCCIÓN DEL CILINDROCONSTRUCCIÓN DE CURVAS EN LAS DIFERENTES CARAS CONSTRUCCIÓN DE RECTAS CON CURVAS

Z

XY

Z

XY

Z

XY

EJERCICIOS

Z

XY

00

0

Z

XY 0

0

Z

XY



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

L

Z

XY

Z

XY

EJERCICIOS

Z

X

Y

..0

(Z

(X

(0

1/2 1cm

1cm

Z

XY

0

(X(Y

.1

2

1

2.

3

.3

COEFICIENTE DE REDUCCIÓN POR ABATIMIENTO CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR ABATIMIENTO



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

LEJERCICIOS DADAS LAS 3 V ISTAS EN S ISTEMA EUROPEO DE UN SOLIDO DETERMINAR SU PERSPECTIVA



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

LEJERCICIOS DADAS LAS 3 V ISTAS EN S ISTEMA EUROPEO DE UN SOLIDO DETERMINAR SU PERSPECTIVA

Z

XY

Z

XY

Z

XY

Z

XY



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

LEJERCICIOS

Z

XY

Z

XY

Z

XY

Z

XY



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA

LEJERCICIOS DADAS LAS V ISTAS EN S ISTEMA EUROPEO DE UN SOLIDO DETERMINAR SU PERSPECTIVA

Z

XY

Z

XY

A A

E: 2/3 E: 1/2

30 50 30 10

40 50

2020

4020

80

30

40

70

4010

50

1010

10

60

1010

NO APLICAR EL COEFICIENTE DE REDUCCIÓN



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA


Z

YX

Z

XY

A

A

E: 1/1

E: 3/2 50

20

10

60

40

40

10

40

10

10

6070

30 20

60

20

20




XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA


Z

XY

Z

YX

A

A

E: 3/2

E: 2/1

48

36

12 24

36

24

24

50

50

20

10

50

10




XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OR

TO

GO

NA


Z

XY

Z

XY

A

A

E: 1/1 E: 1/120

100

20

2060

40

60

80

25



P E R S P E C T I V A C A B A L L E R AA

XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OB

LI

CU

A

Es una proyección cilíndrica oblicua de un objeto sobreun plano llamado Plano del Cuadro.Siendo dos de susejes paralelos al plano y el otro oblicuo, por lo que llevará reducción.Es una variante de la Axonometría.

. P.C.Y .X

Z

YXZ

P.C.Z

X

X

Y

Z

P.C.

Z

X

.Y

X

Y

Z

Z

Y

X

Z

Y

X

P.C.

ÁNGULOS Y COEFICIENTES DE REDUCCIÓN MÁS HABITUALES

Z

X

Y

Z

X

Y

90º

45º225º

Z

X

Y

90º

135º

135º

Z

X

Y

Coef. de Reducción: 2/3 Coef. de Reducción: 1/2

COMO HALLAR LA DIRECCIÓN DE LOS EJES PARA SITUAR SUPERFICIES POR PUNTOS ABATIDOS

SEGÚN EL COEFICIENTE DE REDUCCIÓNSEGÚN EL ÁNGULO

C I R C U N F E R E N C I A S

C I L I N D R OZ

X

Y

Z

X

Y

.0

Z

X

Y

.01 2

3

4

1

20

3

4

Z

X

Y

.

.

.

5

P´

.

.

0

P

3

D

0

Z

X

Y

.

..

PP´

.

.

A

a

D

Ejemplo: Ángulo de 35º Z

X

Y

.

.

.

5

P´

.

.

A

a

P

3

D

Ejemplo: Coeficiente 3/5



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OB

LI

CU

AEJERCICIOS

Z

X

Y

Z

X

Y

CADA RECUADRO VALE 1,5 X 1,5 CM.



XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OB

LI

CU

AEJERCICIOS

Z

X

Y

Z

X

Y

4040

20 20

40

10

30

30

15

30

510

E = 3/2

E = 3/1




XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OB

LI

CU

AEJERCICIOS

Z

X

Y

Z

X

Y

20

20

30

804010

6060 50

3050

70

35

20

5015

==

E = 1/1

E = 3/2




XO

NO

MÉ

TR

IC

A

OB

LI

CU

AEJERCICIOS

Z

X

Y

Z

X

Y

20

50

5040

6020

70

45

25

70

20 25

15

E = 1/1

E = 3/2



P E R S P E C T I V A C Ó N I C A

Sin conocer previamente la Geometría Descriptiva del Sistema vamos a estudiar el apartado que permitarepresentar los objetos tal como los vemos, dependiendo de su situación en el espacio a este apartadolo llamaremos Perspectiva Cónica.Siendo la intersección con un plano llamado Plano del Cuadro detodos los rayos visuales que partiendo de un punto llamado Punto de Vista, pasan por los puntos quedefinen el objeto.

Si el Punto de Vista es el ojo humano y el Plano del Cuadro es un plano transparente, el objeto cuandoesta entre los dos ó más cerca del ojo, el objeto se representa más grande, si el objeto se encuentradetrás se representará más pequeño, como vemos en el dibujo.

CLASES DE PERSPECTIVAS.

Según la posición del objeto con respecto al Plano del Cuadro podremos distinguir dos clases fundamentales:

PERSPECTIVA FRONTAL:

PERSPECTIVA OBLICUA:

Es aquella en que los objetos se sitúan consus caras, planos o aristas son paralelas alPlano del Cuadro.

Es aquella en que los objetos se sitúan con suscaras, planos o aristas no son paralelas al Planodel Cuadro.

.P

.F.F

P. P.

E L E M E N T O S :

PLANO DEL CUADRO:

PLANO GEOMETRAL:

PLANO GEOMETRAL:

LINEA DE TIERRA:

PUNTO DE VISTA:

LINEA DE HORIZONTE:

PUNTO PRINCIPAL:

PUNTOS DE DISTANCIA:

PUNTOS DE FUGA:

PUNTOS METRICOS:

Es el Plano vertical en el que se representa los objetos.

Es el Plano horizontal donde se asienta el objetoy el Punto de Vista.

Es el Plano paralelo al Geometral y perpendicularal Cuadro, nos determina la altura del Punto de Vista.

Es la intersección del Plano del Cuadro conel Plano Geometral.

Es la intersección del Plano del Cuadro con el Planode Horizonte,siendo paralelo a la Linea de Tierra ydonde se representa muchos de los puntosnecesarios para la representación de la perspectiva.

Es donde se situa el ojo del espectador.

Es el lugar donde corta la visual que nace delPunto de Vista con el Plano del Cuadro,siendo perpendicular al plano. Y dondefugaran todas las perspectivas de las rectasno oblicuas al Plano del Cuadro.

Son dos puntos situados en la Linea de Horizontey colocadas a la misma distancia que haydel Punto Principal al Punto de Vista. Son puntosde medición para las rectas que fugan al Punto Principal.

Son puntos situados en el Plano del Cuadro ydonde fugaran todas las perspectivas de lasrectas que son paralelas a una misma dirección,siendo oblicuas al Plano del Cuadro.

Son puntos de medición determinados por los Puntos de Fuga.

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

. . . . .. .

.

P.P. P.M. P.F. P.D.

P.V.

P.M.P.D.P.F.

P.C.

P.G.

P.H.

..

. .

..P.P.

P.V.

P.F.

P.F.P.D.

P.D.

..P.M.

P.M.

P.C.

P.G.

P.H.

P U N T O S :

L I N E A S :

P L A N O S :


C Ó N I C A F R O N T A LP

ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

A

ELEMENTOS A TENER EN CUENTA:

.

L.H.

L.T.

H

.P.P.

.p

d

P.V.

.A

L.H.

L.T.

P.P.

.P.V.

.A. ..P.D. P.D.

.

H

L.H.

L.T.

ha

b

P.P. A

P.V.

P.C..

p

d

C U A D R A D O

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADO JUNTOAL PLANO DEL CUADRO Y EN EL PLANO GEOMETRAL.

REPRESENTACIÓN DE UN CUADRADO JUNTOAL PLANO DEL CUADRO Y EN EL PLANO GEOMETRAL.

.

.

.

L.T.

L.H P.P.

P.V.

P.D.

1 2

4 3

3

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

3

1 2

4 3

2

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

P.C.

P.G.

P.H.

L.H.

L.T.

C I R C U N F E R E N C I ADIFERENTES POSICIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO GEOMETRAL.

.

.

.

L.T.

L.H.P.P.

P.V.

P.D.

1 2

4 3

. .

. .

.. .

.1

4

2

3

0

0

.

.

.

L.T.

L.H.P.P.

P.V.

P.D.

1-4

2

4 3

.

0

0

2-3

1

h

F O R M A S V O L U M É T R I C A S

H E X A E D R O

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

h

1-5 2-6

4-8 3-7

5-8 6-7

1-4 2-3

h

.

.

.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

P.D.

h

1

58 7

32

4

6

1-5 2-6

4-8 3-7

C I L I N D R O

h



ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

AEJERCICIOS

C U A D R A D O

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

1 2

4 3

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

1 2

4 3

C I R C U N F E R E N C I A

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.



ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

AEJERCICIOS

C I R C U N F E R E N C I A

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

C I L I N D R O

C U A D R A D O

H E X A E D R O

L.T.

L.H. P.P.

P.V.

L.T.

L.H. P.P.

P.V.



ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

A

Dibujar en perspectiva cónica frontal la figuradefinida por sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 6 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 5 cm.

4

44

4

H=5

L.H.

A

P.V.

2

L.T.

P.C..4

L.H.

L.T.

A

Dibujar en perspectiva cónica frontal la figura definidapor sus vistas.Datos: P.P. a P.V.= 8 cm.Escala= 1/1.Por puntos métricos.La altura de L.H.con respecto a la L.T.= 6 cm.

42

44

6 4

H= 6

L.H.

A

L.T.

P.V.

2. .P.P. P.C.

L.H.

L.T.

A

EJERCICIOS



ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

A


L.H.

L.T.

A


L.H.

L.T.

A

EJERCICIOS

22

44

4

H= 5

L.H.

A

P.V.

2

L.T.

2

. P.C.

12

44

4

H=6

L.H.

A

1

L.T.1

3

1

P.C.

P.V.

2. .P.P.



ER

SP

EC

TI

VA

C

ÓN

IC

A


L.H.

L.T.

A


L.H.

L.T.

A

EJERCICIOS

22

22

4

H= 3

L.H.

A

P.V.

3

L.T.

2

2

. P.C.

13

2

2

H= 6

L.H.

A

P.V.

L.T.

11

1

2 2

11

11

1 1

. P.C.

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