Apuntes de Dibujo Geometrico

7/22/2019 Apuntes de Dibujo Geometrico

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APUNTES DE DIBUJO COU (1 y 2 Evaluacin: Dibujo !o"#$%ico& 'o"oloa)&*i#*%ico+

P!%,!n*icula%i*a*

T%a-a% una %!c$a ,!%,!n*icula% )ob%! un ,un$o *! la %!c$a:1. Tomamos un punto O al azar, y trazamos con centro en l y radio OA una circunferencia,que corta la recta en 1. Unimos 1 con O y prolongamos, hasta que corte la circunferencia en 2.Unimos A con 2, y esa es la perpendicular.

2. Con centro en A trazamos un arco con radio al azar, que corta la recta en 1 y 2, con centroen ellos hacemos dos arcos que se cortaran. Unimos A con ese punto de corte y esa es laperpendicular

. Cogemos las medidas de un t. rect!ngulo, como ," y #. $esde A trazamos un arco de , ycon centro " unidades hacia un lado, hacemos un arco de radio #, que corta al anterior, lounimos con A y es la perpendicular.

". Tomamos un radio r, y hacemos un arco que corta en 1, siempre con el mismo radiohacemos otro con centro en 1, que corta el primero en 2, con centro en 2 hacemos otro quecorta al primero en , y con centro en , otro que corta al % en ". Unimos A con " y ser!perpendicular.

T%a-a% una %!c$a ,!%,!n*icula% a un ,un$o *!l !),acio *!)*! una %!c$a:

1. Tomamos un punto 1 al azar en la recta, unimos con A, hallamos el punto medio de A1,trazamos con centro en l una circunferencia con radio OA, esta cortar! la circunferencia en 2.Unimos 2 con A y esa ser! la perpendicular.

2. Trazamos un arco con centro en A que corte la recta en 1 y 2, con centro en estos hacemos

dos arcos que se cortaran, unimos ese punto con A para o&tener la perpendicular.Pa%al!li)"o

T%a-a% una %!c$a ,a%al!la a o$%a *a*a .u! ,a)! ,o% A:

1. 'e hace un arco con centro en A, que corta en 1. Trasladamos A1 so&re la recta, hallando2, desde 2 con el mismo radio hacemos otro arco, que se cortar! con el primero. Unimos esepunto de corte con A y ser! paralela.

2. Con centro en A hacemos un arco que cortar! en 1, Con el mismo radio hacemos otro arcocon centro en 1, que cortar! en 2. (acemos un arco de radio 2A en 1, y el punto de corte conel primer arco lo unimos con A para hallar la paralela.

. )odemos hallar una recta perpendicular hasta A, y luego hacer otra perpendicular a esaso&re A, que ser! paralela a la recta.

/nulo)

Ti,o) *! 0nulo):

!lacion!) *! 0nulo) Son iual!):

1 2 Alternos internos* "+#, +


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" Correspondientes* 2+, 1+#, "+-, +.

# Alternos e/ternos* -+1, 2+.

- Opuestos por el 0rtice* 2+, 1+", +, #+-

/nulo) !n la ci%cun3!%!ncia

l !ngulo cuyo 0rtice se halla en el centro se llama !ngulo central, y lo nom&ramos con C.

(allar la medida de los siguientes !ngulos A de la circunferencia*

ngulo inscrito*

s aquel que tiene el 0rtice en la circunferencia. 'i cerramos el !ngulo uniendo el centro Ocon el e/tremo A o&tenemos un t. is3sceles. 'a&emos que 452A61-7, y que 45C61-7, por loque A6182C.

ngulo seminscrito*

Tiene un lado tangente y otro secante. Unimos los dos cortes con el centro O, y le0antamos

una perpendicular al lado secante que pase por O, entonces 4596:7, 95A6:7, 46182.C, y porlo que A64 y entonces A6182 C

l !ngulo que forman dos rectas, secantes respecto a la circunferencia*

Unimos el e/tremo A con ;, y 0emos que $5;5C61-7, A5C61-7, entonces A6$5;, y A y ;son !ngulos inscritos, por lo que A6182.


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Otro mtodo es con la construcci3n de tri!ngulos, ya que segn el teorema del cateto, elcateto de un tri!ngulo es media proporcional entre su proyecci3n so&re la hipotenusa, y lahipotenusa misma. B segn el teorema de la altura, la altura es media proporcional entre losdos segmentos que delimita so&re la hipotenusa.

C3mo hallar la secci3n !urea de un segmento A;*

>a secci3n !urea es la parte di0isi3n de un segmento tal que, la mayor es media proporcionalentre la menor y la total. )ara hallarla le0antamos una perpendicular en un e/tremo y lle0amosuna distancia equi0alente a la mitad del lado, hallando as C, con centro en C y radio la mitaddel segmento hacemos una circunferencia. Unimos a con C, y cortar! la circunferencia en $.>a distancia A$ es la secci3n !urea del segmento, as que la lle0amos a este hallando .

Adem!s se cumple siempre que la secci3n !urea de la tangente desde ; a la circunferenciaque tiene de di!metro A, tiene como secci3n !urea la distancia ;. A esto se le llama hacersecciones !ureas sucesi0as.

Po$!ncia *! un ,un$o

>a potencia de un punto respecto a una circunferencia es el 0alor del producto )AD);6E,siendo ) el punto y A y ; dos puntos de corte cualesquiera. ntonces siempre se cumple que)T26E.ntonces )T es media proporcional entre )A y );, pues )AD);6 )T2.

Ej! %a*ical

l eFe radical de 2 circunferencias es el lugar geomtrico en que todos los puntos tienen lamisma potencia para am&as, y por tanto la tangente desde un punto a una y a otra mide lomismo. 'iempre es perpendicular a la recta que une los centros.

'e halla*

1. 'i son secantes se unen los puntos de corte y ese es el G.

2. 'i no lo son se hace una circunferencia au/iliar que corte am&as, se hallan los G de cadauna respecto de la au/iliar, estos se cortan en ). >e0antamos una perpendicular a la recta queune los centros, que pase por ), y ese ser! el eFe.

. 'i una de las circunferencias es un punto, hacemos una tangente desde ella a la otra, el Gestar! en el punto medio. >e0antamos una perpendicular a la recta que une los centros quepase por el punto medio y ser! el G.

". 'i una circunferencia esta dentro de la otra se opera como en el caso 2.

Centro radical de circunferencias*

l centro radical de circunferencias es el punto donde se cortan todos los eFes radicales,

para hallarlo tomamos la circunferencias consecuti0as de 2 en 2, y operamos como en el caso2


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recta que une los puntos de corte, y donde corte a la recta que une los centros ser el centro de la

circunferencia.

(acer una circunferencia con el mismo G que otras dos, y que pase por un punto H*

+'e hace el G, y se hace una recta desde un punto I del G, hasta H, y la prolongamos.

(acemos la tangente desde I hasta un de las circunferencia. Hueremos hallar un punto HJpara que tenga la misma potencia que la circunferencia a la que se la ha hecho la tangenteados*

quil!tero

Ks3sceles

scaleno

+ ngulos*

Acut!ngulo

O&tus!ngulo

Gect!ngulo

>os puntos nota&les de un tri!ngulo son*

+Ortocentro* es el corte de las tres alturas. 'i unimos sus &ases o&tenemos el tri!ngulo 3rtico.l ortocentro ser! el incentro de dicho tri!ngulo, y a la circunferencia inscrita en l se la llamacircunferencia 3rtica.

+Kncentro, es el corte de las &isectrices, y centro de la circunferencia inscrita.

+;aricentro, corte de las medianas.

+Circuncentro, corte de las mediatices y centro de la circunferencia que lo inscri&e.

Con)$%ui% !l $%i0nulo:

Da*o) 2 0nulo) (A y B+y !l la*o o,u!)$o a uno *! !llo) (lo lla"a"o) Al+:

1. Colocamos el !ngulo A en los 2 e/tremos del lado o&teniendo 2 paralelas, y en el segundocolocamos ; despus de A, prolongamos, y corta, en la otra paralela cerrando el tri!ngulo.


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2. (acemos un arco capaz de !ngulo ;, en un e/tremo de Al ponemos A, y donde lo corte esel 0rtice que falta.

. Colocamos en un e/tremo A, y so&re esta recta ;, hacemos una paralela a esta segundaque pase por el otro e/tremo.

Da*a la bi)!c$%i- y la "!*iana *! un 0nulo y la al$u%a:)rimero hacemos unas paralelas a una distancia equi0alente a la altura, en una de ellastomamos un punto que ser! el 0rtice del !ngulo del cual sa&emos mediana y &isectriz.(acemos con centro en l dos arcos uno de radio la mediana, y otro la &isectriz. >a medianacorta la otra paralela en el punto medio del lado opuesto, en ese punto le0antamos unaperpendicular que ser! la mediatriz del lado. >a &isectriz y la mediatriz del lado opuesto secortan siempre en el punto medio del arco que determinan los otros 2 0rtices en lacircunferencia que inscri&e al tri!ngulo, as que la &isectriz ser! el di!metro. (allamos supunto medio y ya tendremos la circunferencia que lo inscri&e. Unimos el 0rtice con lasintersecciones de la circunferencia y la otra paralela y ha&remos resuelto.

Da*a la "!*iana *!l la*o& !l la*o y !l 0nulo o,u!)$o:

Trazamos un arco capaz con el !ngulo dado, unimos el centro con un e/tremo, y hallamos elpunto medio de ese segmento, hacemos con centro en l y radio L de ese segmento unacircunferencia, que pasar! por el punto medio del lado de la &ase, pero tam&in del ;l, as quedesde el e/tremo opuesto hacemos un arco de radio mediana y ese ser! el punto medio de ;l,lo unimos con el e/tremo, prolongamos y el 0rtice que falta esta donde corte con el a. capaz.

sa circunferencia que hemos hecho es la que surge al unir todos los puntos medios de lascuerdas de una circunferencia.

4a )u"a *! 2 la*o)& !l o$%o y !l 0nulo (A+:

'i prolong!ramos el lado ;, y en l a&atiramos C, o&tendramos 2 tri!ngulos, uno is3sceles,

el !ngulo que se repite en ese is3sceles es ;6A82, pues 2;5C6C5A.

ntonces lo que se hace para construirlo es hacer un a. capaz de !ngulo A82, desde une/tremo se hace un arco con la distancia la suma de los lados, y donde corte es el 0rtice quefalta.

4a )u"a *! lo) la*o) y 2 0nulo):

'i pusiramos el tri!ngulo y a&atiramos los lados so&re la recta de la &ase formara 2is3sceles, a partir de aqu sa&emos*

1. Hue podemos poner la mitad de cada uno de los !ngulos en los e/tremos, que se corten, yhacer mediatices de esos segmentos, que delimitaran la &ase del tri!ngulo, uniendo con el

0rtice ya estar!.

2. A5;5C61-7, A825;825C826:7, entonces ;825C826:7+A82, y como son is3sceles lostri!ngulos laterales, el !ngulo total T6A5;825C82, entonces A5


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Con)$%ui% !l $%i0nulo !.uil0$!%o:

Da*a la al$u%a:

1. (acer paralelas a la altura de distancia, coger un punto de una de ellas, poner 2 !ngulos de7 opuestos por el 0rtice y prolongar.

2. (acemos una circunferencia de di!metro altura, le inscri&imos un t. equil!tero e0antamos una perpendicular a la &ase en la que ponemos la altura. )onemos el !ngulo enla &ase y hacemos una paralela que pase por el e/tremo de la altura.

Da*a la ba)! y !l 0nulo o,u!)$o:

>e hacemos la mediatriz a la &ase, y en un e/tremo ponemos la perpendicular, en estaponemos A82, y donde corte la mediatriz ser! el 0rtice superior.

Con)$%ui% un $%i0nulo %!c$0nulo

Da*a la 'i,o$!nu)a y !l 0nulo con uno *! lo) ca$!$o):

(acemos el a. capaz de :7, ponemos en un e/tremo el !ngulo y donde corte con el arco es el0rtice que falta.

Da*a 'i,o$!nu)a y al$u%a:

(acemos el a. capaz de :7, y desde un e/tremo otro arco de radio altura, donde corten es el0rtice que falta.

Da*a la 'i,o$!nu)a y al )u"a *! ca$!$o):

Actuamos como en el pro&lema en que no era rect!ngulo, solo que ahora, el a. capaz, ser! de"#.

Da*o un ca$!$o y la "!*iana *!l o$%o:

>e0antamos una perpendicular en el e/tremo de un cateto, y desde el e/tremo opuesto,trazamos un arco de radio mediana que la corte, ese ser! el punto medio del otro cateto,duplicamos esa distancia as hallamos el otro 0rtice.


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Da*o) !l ,!%"!$%o y uno *! lo) ca$!$o)

)onemos C en el e/tremo del permetro, y ahora desde el e/tremo de C lo le0antamos


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'e puede descomponer en un rom&oide y un tri!ngulo, resol0emos el tri!ngulo, prolongamosla &ase y le hacemos una paralela por el 0rtice superior, lo cerramos y ya hemos terminado.

Con)$%ui% un %!c$0nulo conoci*a la *iaonal y un la*o:

'e hace un a. capaz de :7 , arco con radio lado, y hacemos paralelas.

E)cala

(allamos el coeficiente de la escala, y para sa&er que unidad usar multiplicamos por 17 tantas0eces como haga falta para que podamos realizar las di0isiones. stas di0isiones est!nnumeradas con nmeros naturales que se ponen por de&aFo. A la izquierda del 7 suele ha&eruna contraescala, que es una unidad di0idida entre 17.

)ro&lema* n un plano a escala 182#777 la distancia A; es J#mm MCu!l es la realN

18J#62#7778/ 6/61-J#77 m

)ro&lema* >os ta&iques de 12J#cm de espesor de una casa, est!n representados por 2J#mm,MCu!l es la escalaN

7J2#81612J#8/ 6/6#7 6 scala 618#7

Divi)in *! una ci%cun3!%!ncia

Una circunferencia es una cur0a cerrada, mientras que un circulo es la superficie quecontiene. n la circunferencia hay que destacar los siguientes elementos*

&anente, toca en un punto a la recta

)ecante, la toca en % puntos

#uerda, une % puntos.

imetro, la mayor cuerda posi$le Radio, la mitad del dimetro.

B en el circulo*

#uadrante, rados del circulo

)extante, /

)ector, uno cualquiera

)emento, porci(n de circulo limitada por una cuerda.

Ahora 0amos a di0idir la circunferencia en partes iguales*

&res partes: #on centro en el extremo del dimetro, hacemos un arco con el radio de la

circunferencia, y unimos los cortes con el extremo superior del dimetro.

#uatro pares: hacer los % dimetros.

#inco partes: )e hacen los % dimetros, se hace la mediatriz del radio, con centro en ella y radio

hasta el extremo superior del dimetro hacemos un arco, y entonces con centro en el extremo superior y


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radio hasta el punto de corte del arco con el dimetro, hacemos otro arco, y donde corte la circunferencia

es la quinta parte.

)eis partes, hacemos como al di0idir en 1 partes, pero en los dos extremos.

)iete partes: )e comienza como al di0idir en 1 partes, pero lueo unimos los puntos de corte, y

la mitad de esa cuerda es 234. 5cho partes: )e hacen los dimetros, y las $isectrices de los nulos que forman, y se

determinan 6 partes.

7ue0e partes: esde el extremo superior hacemos un arco de radio lado, que corta a la

circunferencia en 8, desde el extremo inferior hacemos un arco de radio hasta 8, que corta la

prolonaci(n del dimetro en +. #on centro en + y radio hasta el extremo superior del dimetro

hacemos otro arco, y la distancia desde donde corte al dimetro hasta el extremo opuesto es 23.

iez partes: )e hacen los % dimetros, se hace la mediatriz del radio, con centro en ella y radio

hasta el extremo superior del dimetro hacemos un arco, y la distancia desde donde corta el dimetro

hasta el centro es 232.

5nce partes: esde el extremo izquierdo del dimetro con el radio de la circunferencia hacemos

un arco que corta en 9. #on el mismo radio hacemos otro en el extremo inferior del dimetro, que corta

en E. #on centro en E y radio hasta 9 hacemos un arco que corta el dimetro en . Hacemos un arco con

centro en 9 y radio hasta , la distancia desde donde corta con la circunferencia hasta el extremo

superior del radio es 2322

;uince partes: )e hace un arco con 23/, y otro con 232, la diferencia es 232


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1. (allar la mediatriz en $, le0antar una perpendicular so&re ;, lle0ar el lado, hallando C, concentro en $, y radio $C, hacer un arco que corta la prolongaci3n del lado en R, AR es ladiagonal. (acemos dos arcos desde A y ; con radio AR, que cortan en 9, con centro en 9hacemos un arco con radio A;, igual desde A y ;, hallando as los ltimos 2 0rtices.

2. (acer la mediatriz, le trasladamos el radio, en C, unimos ;C y prologamos, en esa

prolongaci3n ponemos L A;, hasta $, con centro en ; y radio hasta $ hacemos un arco quecorta la mediatriz en . $esde hacemos un arco con radio A;, igual que desde A y ;,hallando as todos los 0rtices.

(e/!gono*

(acemos un t. equil!tero, con centro en el 0rtice superior y radio A;, hacemos unacircunferencia que ser! la que lo inscri&a.

(ept!gono

n A ponemos un !ngulo de 7, que corta a una perpendicular le0antada so&re ; en C.(acemos la mediatriz de A;, y hacemos, con centro en A y radio hasta C un arco que corta la

mediatriz en O, centro de la circunferencia que lo inscri&e.Oct3gono

(allamos la mediatriz, y con centro en el punto medio hacemos un arco de radio L A;, que lacorta en C. Con centro en C y radio hasta ; hacemos un arco que corta la mediatriz en O,centro de la circunferencia que lo inscri&e.

ne!gono

(acemos un arco con centro en ; y radio A;, que corta la prolongaci3n del lado en C. Concentro en C y radio A; hacemos otro arco, que corta al primero en $. Unimos ;$, y ese!ngulo lo di0idimos en , hallando as el punto . (acemos la mediatriz de ;, y donde corte

a la mediatriz de A; ser! el centro de la circunferencia que lo inscri&e.$ec!gono

'e hace como el pent!gono, pero el 0rtice superior ser el centro de la circunferencia que loinscri&e.

$odec!gono

'e empieza como en el he/!gono, pero luego la distancia desde el 0rtice superior hasta A la0uel0e a lle0ar so&re la mediatriz hallando el centro de la circunferencia que lo inscri&e.

I+lados

1. 'e hace la circunferencia que inscri&e a un he/!gono, y luego el radio se di0ide en partes,esos ser!n los centros de las circunferencias de los distintos polgonos empezando a contar apartir de . 'e pueden seguir con esas di0isiones en la prolongaci3n del di!metro.

2. (acemos una circunferencia pequeSa, di0idimos 7 entre el nmero de lados, para hallarel !ngulo que se formar! al unir 2 e/tremos de un lado con el centro. Unimos >os 2 puntos decorte, y en esa recta trasladamos el lado, (acemos una paralela al otro lado del !ngulo por ;,y cortar! al !ngulo en C. (acemos una paralela al lado que pase por C. Cortar! lado opuestodel !ngulo, d!ndonos el radio de la circunferencia que lo inscri&e.


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Tan!ncia)

5ac!% la $an!n$! *!:

+Una circunferencia*

(acer una perpendicular al radio

+$e un punto a una circunferencia*

'e une con l centro, se traza 2 a. capaces, y donde corten con la circunferencia son los 2puntos de tangencia.

+$os circunferencias*

1. Tangentes e/teriores* 'e traza otra concntrica a la mayor de radio G+r, se unen loscentros, se halla la mediatriz, y se traza una circunferencia au/iliar hasta los centros. 'e uneel centro con los puntos de corte con la circunferencia menor, y se prolongan, donde corten ala mayor seran los puntos de tangencia. 'e hacen paralelas en la menor, hallando todos lospuntos de tangencia.

2. Tangentes interiores* 'e opera igual, sal0o que la circunferencia es de radio G5r, y que lasparalelas se hacen con las del lado opuesto.

+A otra circunferencia, que pase por )*

'i 0 a ser e/terior se hace una circunferencia concntrica de radio G5r, y desde ) una de radioG, donde corte a la otra son los centros de las soluciones.

'i 0 a ser interna, igual pero restando el radio en lugar de sumar.

+A los lados de un !ngulo*

(acemos la &isectriz, y una paralela a un lado separada el radio, o&tenemos el centro.

+A otra circunferencia en un punto de esta*

'e une el centro con T, se prolonga y en la prolongaci3n se pone el radio.

+l enlace de 2 circunferencias*

1. C3nca0o, Trazamos 2 circunferencias concntricas sumando a cada una el radio delenlaza, los puntos de corte son los centros.

2. Con0e/o, se opera igual pero las concntricas tienen de radio el del enlace menos el de lacircunferencia.

+A otra en un punto, y que pase por un punto )*

Unimos el centro con T y prolongamos. Unimos T con ) y le hacemos la mediatriz, el punto decorte es el centro.

+l enlace 2 rectas*

'e hacen paralelas separadas el radio, el punto de corte es el centro

+l enlace de dos rectas con arcos de distinto radio*


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$esde los e/tremos de cada recta se ponen perpendiculares, y en ellas se pone una distanciasuperior a la que separa los respecti0os e/tremos. 'e unen esos puntos y se halla sumediatriz. l primer centro ser! el punto donde corte la mediatriz en la perpendicular m!se/terior


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'i tenemos un tri!ngulo y queremos hallar un cuadrado de la misma solo tenemos que hallarel lado l que es media proporcional de a82 y &. Ba sea por potencia de un punto


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sea la mitad que otra, solo hay que coger la mitad de la distancia al centro y hacer paralelas.Ios pueden pedir una negati0a, y entonces la haramos al otro lado del centro.

T%a)lacin

Iecesitamos conocer la distancia y la direcci3n mediante un 0ector equipolente, se aplica a

cada punto y as trasladamos la figura.o$acin

Tenemos la figura, el centro de homologa y el !ngulo, unimos los puntos con el centro, apartir de esa recta aplicamos el !ngulo, con 0rtice en el centro, y a la nue0a recta lle0amos ladistancia que hay del centro a la figura.

A una rotaci3n de 1-7% se le llama simetra central.

P%obl!"a)

Transformar un cuadril!tero en un cuadrado por homologa, dada la G>, y eFe*

)rolongamos los lados y diagonales hasta el eFe. n los cortes con la G> hacemos 2 arcoscapaces, uno con los cortes de los lados, y otro con el de las diagonales. l corte de am&osser! el centro de homologa, ya que as los lados del cuadrado formaran :7%, pues las unionescon los cortes del a. capaz con la G> son las paralela de los lados del cuadrado *

'e opera igual que en el caso anterior, pero los arcos capaces se hacen de 7%, pues ese esel !ngulo que forman los lados de un t. equil!tero.

Transformar una circunferencia en una elipse por homologa dados el centro, el eFe y la G>*

Tomamos un punto G en la G>, desde el que trazamos las tangentes a la circunferencia.Unimos los puntos de tangencia y prolongamos, cortando la G> en @. $esde @ hacemos lastangentes a la circunferencia, unimos los puntos de tangencia y prolongamos, cortando la G>en G. )rolongamos todas tangentes y las uniones, hallando los puntos do&les en el eFe.Unimos G y @ con el centro O. $esde los puntos do&les que 0ienen de G se hacen paralelas aOG, y desde los de @, a la recta O@. As formamos un rom&oide, en el cual trazamos laelipse.

Gealizar la homologa de un tri!ngulo estando el centro en el eFe*

'e opera como en una homologa normal, pero el tri!ngulo homologo estar! Funto al otro,pues los puntos se unen con el centro desde el eFe.

Teniendo eFe y GJ>J hacer el homologo de un tri!ngulo*

)rolongamos los lados de este hasta que corten la GJ>J y el eFe, los puntos de corte con la GJ>Jlos unimos con el centro, y desde los puntos do&les del eFe hacemos paralelas a las rectascorrespondientes que aca&amos de hallar

Teniendo O, eFe, y G> hacer el homologo de un tri!ngulo*


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$esde O hacemos paralelas a los lados del tri!ngulo, hasta que corten la G>. )rolongamos loslados hasta hallar los puntos do&les. Unimos estos con los cortes en la G> y prolongamos,hallando las rectas homologas. (allamos los puntos hom3logos de la forma ha&itual, yha&remos hallado el tri!ngulo homologo

Inv!%)in

s la correspondencia puntual del plano en s mismo, tal que 2 puntos se corresponden segnHADHAJ6E, estando H, A, AJ alineados y siendo H el centro de in0ersi3n, A y AJ puntosin0ersos y E la potencia de in0ersi3n.

+'i queremos hallar el punto in0erso al punto no alineado ; en la potencia determinada por H,A, AJ, hacemos una circunferencia que pase por ;, A, AJ. Unimos H con ; y prolongamos,cuando corte de nue0o con la circunferencia ser! ;J.

+ 'i est!n alineados lo que hacemos es tomar un punto no alineado C, hallar su in0erso en esapotencia por el mtodo anterior, hacer una circunferencia que pase por ;, C y CJ, y dondecorte a la recta que une H; ser! ;J.

+'i conocemos el !ngulo que forma H; con ;A, solo hay que ponerlo en AJ, y donde corte laprolongaci3n de H; ser! ;J. )ues en los cuadril!teros inscritos los !ngulos opuestos sonsuplementarios.

Pun$o) *obl!) *! la inv!%)in

'on aquellos que son in0ersos de si mismos, )ara hallarlos se hace una tangente de H a lacircunferencia que pasa pro A y AJ, y se hace con centro en H una circunferencia de radio HT,ya que HTDHT6E.

6iu%a inv!%)a *! una ci%cun3!%!ncia

+>a figura in0ersa de una circunferencia es una recta, para demostrarlo ponemos en AJ una

recta perpendicular, tomamos en ella diferentes puntos


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+(allar la figura in0ersa de una circunferencia en una in0ersi3n de potencia E6+2 y el centrode in0ersiones un punto de la circunferencia*

)ara que sea negati0a la circunferencia tiene que estar a un lado del centro y la recta a otro.l producto del centro a un punto de la circunferencia por el centro a un punto de la recta hade 0aler +2, as que hacemos una circunferencia de di!metro :, y la recta perpendicular a

del centro os focos seo&tienen haciendo un arco desde el e/tremo del semieFe menor, con radio el semieFe mayorlos cortes en el eFe mayor son los dos focos.

Con)$%uccin *! una !li,)!+$i0idimos la distancia desde uno de los focos al centro, y por cada di0isi3n hacemos " arcosdesde cada foco, 2 con la distancia desde esa di0isi3n al e/tremo m!s cercano os cortes de dichos arcoscon los del otro foco son puntos de la circunferencia. 'e completa el trazado a mano alzada.

+ )rimero lo 0emos en la circunferencia* l cuadrado que la inscri&e lo di0idimos en ", y loslados de estos cuadrados en otros tantos. Unimos el e/tremo inferior del di!metro con una delas di0isiones del lado inferior del cuadradito, y prolongamos. $esde el e/tremo superiorhacemos lo mismo pero en un lado lateral. l punto de corte es un punto de la circunferencia.n el trazado de una elipse podemos aplicar lo mismo tomando los eFes, y haciendo paralelas

para formar un rect!ngulo en el que aplicar este mtodo.'i nos dan los eFes conFugados a direcci3n de 2 es la del eFe mayor.>a distancia O2 es la del semieFe mayor, y la O1 la del menor.

+Construcci3n de una elipse dados los eFes por afinidad*

(acemos circunferencias concntricas con radio los semieFes. amos haciendo di!metros, yen los puntos donde corte al eFe menor hacemos paralelas al eFe mayor, y donde corte al eFemayor hacemos paralelas al eFe menor. >os puntos de corte de las paralelas son puntos de laelipse.

+'i nos dan los di!metros conFugados*


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'e hace una circunferencia con di!metro el eFe mayor. Trazamos una perpendicular en elcentro, y unimos los e/tremos con el eFe menor. Trazamos cuerdas perpendiculares a lo largodel eFe mayor, y con desde los puntos de corte se hacen paralelas a los tri!ngulos formados alprincipio, formando tri!ngulos semeFantes. >os 0rtices li&res de esos tri!ngulos son puntos dela elipse.

P%oy!ccion!) *! ,oli!*%o) %!ula%!)

T!$%a!*%o

'e puede representar conociendo solo la arista. l 0rtice superior proyectado so&re la &asesera incentro, circuncentro, &aricentro, etc... Tenemos que hallar la altura, para ello nosfiFamos que forma un t. rect!ngulo con una arista y su proyecci3n. As que podramos hacer eltri!ngulo opuesto y a&atirlo. )or lo tanto lo que se hace para hallarla es hacer unaperpendicular a la proyecci3n de una arista, y desde el otro 0rtice lle0ar la longitud de laarista. l punto donde corte con la perpendicular es la altura del tetraedro.

'i lo apoyamos en una arista en 0ez de una cara lo que hacemos para hallar la altura esfiFarnos en que la altura de una cara, con su proyecci3n, con la altura del tetraedro forma un t.rect!ngulo. As que lo que hacemos es, primero a&atir un lado, para hallar la altura de una delas caras, y luego hacemos el tri!ngulo que tiene por cateto la proyecci3n de la altura de unacara, y por hipotenusa esa altura, hallando as la distancia &uscada. B ya podemos hacer laproyecci3n de alzado.

5!7a!*%o

>as diagonales unen 0rtices opuestos, ha&r! ".

>a diagonal con una arista y la diagonal de una cara forma un t. rect!ngulo.

'i proyectamos un 0rtice so&re la diagonal del cu&o o&tenemos un 18 de esta.

+'i nos dan la arista apoyamos el cu&o en una cara, le0antamos perpendiculares y desde esospuntos ponemos la distancia de las aristas.

+'i nos dan la diagonal le hacemos un a. capaz, y a 18 de esta le0antamos unaperpendicular, completamos el tri!ngulo, y el lado corto ser! la arista, y entonces operamoscomo antes.

Oc$a!*%o

Tiene - caras, 0rtices y 12 aristas.

Todas las diagonales son iguales, la altura ser! igual a una de las diagonales, y como secortan en el punto medio en este haremos una perpendicular, y situaremos todos los puntos

con perpendiculares.Do*!ca!*%o

)ara hallar la &ase se di&uFa una circunferencia que inscri&a al pent!gono, se unen los0rtices con el centro, prolongamos, y nos da la mitad del arco opuesto. Unimos esos puntos ynos da el pent!gono de la &ase. Unimos 2 0rtices y prolongamos, nos saltamos uno, yunimos otros 2, donde se corten hacemos una circunferencia en la que estar!n todos los


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0rtices. Unimos los centros de los pent!gonos con sus 0rtices, y prolongamos, los cortescon la circunferencia son los 0rtices.

>a distancia A es la que hay hasta los 2 0rtices m!s cercanos a los de la &ase del pent!gono.>a ; es la que hay al m!s aleFado. )ara hallar A hacemos un !ngulo recto en una de lasproyecciones de las aristas de a&aFo auni3n de los 2 arcos la hallamos uniendo los centros y prolongando.

+ V0alo


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'e prolongan las rectas, y el centro estar! en le corte de las &isectrices de los !ngulos queforman.

#+ Construir un pent!gono a partir del lado siendo este media proporcional entre A;6""mm yC$6mm.

(allamos su media proporcional, ya sea pro potencia de un punto, por el teorema del cateto opor el de la altura. Una 0ez hallado lo podemos construir operando normalmente.

+ Trazar todas las circunferencias posi&les tangentes a otras 2 dadas, dado el radio de lassoluciones*

>o que se hace es realizar en cada una 2 circunferencias concntricas, una sumando y otrarestando el radio de la soluci3n. Todos los cortes de esas circunferencias concntricas sonsoluciones.

+ Ios dan la suma de la diagonal y un lado, resol0er el cuadrado*

Como en el tri!ngulo is3sceles que formaran la diagonal, esta misma a&atida en la horizontal,y la uni3n entre am&as el !ngulo repetido es de 22J#%


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+ $idrico, 2 planos perpendiculares

+ A/onomtrica

+ )lanos acotados

A/onomtrica*

'som*trica !nulos iuales"

im*trica !% iuales"

&rim*trica !los tres diferentes"

O&licuas

Perspecti0a o$licua

)om$ras

CVIKCA'

Perspecti0a lineal !c(nica frontal, o$licua, de tres puntos de fua

)istema c(nico

)om$ras con foco en un punto.

SISTE9A DIDICO OTO;ONA4

Consiste en 2 planos perpendiculares


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En los planos $isectores !>"

En los planos !>"

En la L.&. !2"

T%a-a)

'on los puntos donde corta con los planos del diedro, puntos en el caso de las rectas y rectasen el caso de los planos. n el primer caso se denominan h y 0, y las correspondientesproyecciones de estos so&re los planos opuestos son hJ y 0 respecti0amente. 'i se unen 0Jcon hJ y h con 0 o&tenemos as las proyecciones de la recta. n el segundo caso son 2 rectasque se cortaran en la >T, se nom&ran r y rJ. n el caso que sea un plano perpendicular alsegundo &isector ser! una recta y si es perpendicular al 1% &isector formaran el mismo !ngulotanto la 0ertical como la horizontal con la >T.

In$!%)!ccion!)

ntre 2 planos ser! una recta, como los cortes de las trazas de los planos son las trazas de larecta, &asta con completar las proyecciones.

'i no se 0e uno de los cortes, trazamos un plano horizontal, y sus correspondientesproyecciones de las rectas intersecci3n


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'i son dos planos de canto nos dar! una recta de punta, cuya proyecci3n 0ertical ser! unpunto y la horizontal paralela a las de los planos.

Po)icion!) *! la) %!c$a)

)erpendiculares*

al PH !1"

al P? !1"

a la L&, pasando por ella !%", sin pasar !>"

al 2@ $isector !1"

al %@ $isector !1"

)aralelas

al P? !1"

al PH !1"

al 2@ $isector !1"

al %@ $isector !1"

Aba$i"i!n$o)

Consisten en a&atir un plano so&re el horizontal, para por eFemplo 0er la 0erdadera magnitudde un tri!ngulo contenido en el plano. 9iraremos el plano alrededor de la traza horizontal. (ay2 mtodos*

1= Tomamos un punto de la traza 0ertical nJ, hacemos el plano Y por el que se mo0er! ala&atirlo. B entonces lle0amos la secci3n de la traza 0ertical hasta nJ, y la lle0amos so&re Y,

pues esta distancia ser! la misma.

2= l segundo mtodo y m!s usado consiste en* (acer el plano Y, y entonces a&atimos el t.rect!ngulo formado por la cota de n, la secci3n de Y de la >T al plano, y la correspondientehipotenusa. Una 0ez a&atido lle0amos la hipotenusa so&re Y, ese ser! n.

'i el plano a a&atir 0iene dado por dos rectas secantes, o por un tri!ngulo etc., lo que se hacees un plano horizontal, y la recta intersecci3n ser! la charnela. Tomamos un punto, en el casode las rectas el de corte, y utilizamos el mtodo 2* una perpendicular a la charnela, y unaparalela, so&re esta ponemos la cota del punto, y cerramos el tri!ngulo con la hipotenusa quelle0aremos so&re la prolongaci3n de la perpendicular a la charnela. se ser! el punto a&atido.

Fercicio pr!ctico de aplicaci3n de lo e/plicado* Tenemos un cu&o de longitud de arista #cm,que esta apoyado so&re un plano o&licuo que 0iene dado por un punto y una recta. l cu&otiene un 0rtice de la &ase en el punto y otro de ellos en la arista. (acer las proyecciones.

)ara ello hacemos un plano horizontal que pase por el punto, y as o&tenemos la charnela.A&atimos la recta y hacemos en el plano a&atido el cuadrado de la &ase. Ahora tenemos queo&tener la proyecci3n horizontal, dos de los 0rtices los tenemos, el tercero, lo que hacemoses prolongar su lado hasta la charnela y hacer la proyecci3n horizontal. Completamos estaproyecci3n y luego hacemos la 0ertical. Ahora solo queda hacer las alturas, las de la


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proyecci3n 0ertical ser!n perpendiculares a la charnela, y para 0er la direcci3n de las0erticales hacemos un plano 0ertical, y las hacemos perpendiculares a la recta intersecci3ncon la &ase. )ara poner los #cm en la altura, tomamos una de ellas, la giramos os giros lose/plico en el siguiente apartado= hasta ponerla paralela al ), medimos los #cm en 0erdaderamagnitud, la desgiramos y completamos el cu&o.

;i%o)

)ara hacer un giro es necesario hacerlo alrededor de un eFe, el radio ser! la distancia a dichoeFe. >a utilidad de los giros es hallar las 0erdaderas magnitudes de los elementos gir!ndoloshasta ponerlos paralelos a un plano del diedro.

As, para girar un punto primero hacemos la recta que ser! el eFe, entonces si esta es 0erticalen el ) el giro se 0er! como una recta horizontal o mismo se hace para girar segmentos, se pone el eFe en un e/tremo, se gira el punto delotro e/tremo, y se une el e/tremo que ha permanecido fiFo con el que se ha girado. )oniendo,al girar la recta, paralela 0ertical 0eremos la 0erdadera magnitud en la proyecci3n de estaso&re el ).

)ara girar planos se pone el eFe, y nos fiFamos en que la recta que 0a del eFe al plano siempre0a a ser perpendicular a la traza de este, entonces giramos ese segmento, y la traza seguir!siendo perpendicular a segmento girado. )ara sa&er por donde pasa la traza 0ertical,hacemos un plano horizontal cuya recta intersecci3n con el plano pase por el eFe, y entoncesla traza 0ertical del plano girado siempre pasar! por el corte entre la traza del plano horizontaly la del antiguo plano. n el caso de que el eFe esta dentro de uno de los planos del diedro,por eFemplo el horizontal, no hace falta esto, ya que siempre pasar! por el corte entre laantigua traza del plano, y el eFe.

Ca"bio) *! ,lano

Consiste en girar uno de los planos del diedro. Iormalmente se utiliza para o&tenerproyecciones en 0erdadera magnitud.

Ios fiFamos en que si giramos el plano 0ertical se mantendr! constante la cota de los puntos,pero no as el aleFamiento, mientras que si giramos el )(, se mantiene constante elaleFamiento pero no le cota.

)ara indicar un cam&io de plano se tiene que hacer la nue0a >T, y se indica en un e/tremo deesta con una lla0e que se trata de un nue0o ) o )(.

)ara Gealizar un cam&io de plano si solo hay un punto no hay m!s que hacer unaperpendicular desde la proyecci3n horizontal


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del plano, y como al cam&iar de plano tiene que seguir perteneciendo a l, y todos sus puntostienen su proyecci3n so&re la traza 0ertical o que hay que hacer es

primero hacer un nue0o ) perpendicular al plano del tri!ngulo, y luego un nue0o )( paraleloal tri!ngulo.

P!%,!n*icula%i*a*

Una recta es perpendicular a un plano si las proyecciones de esta lo son a las trazas del planoa distancia entre ellos es

la mnima distancia, que la 0emos girando el segmento.@nima distancia entre 2 rectas que se cruzan*

)rimero hacemos una paralela a una de ellas que se corte con la otra, formando as un plano.(acemos un cam&io de plano situando un ) perpendicular a este plano. ntonces hacemoslas proyecciones de la recta y el plano


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In$!%)!ccion!) !n$%! %!c$a) y cu!%,o)

Kntersecci3n entre un plano y una pir!mide o un cono*

(acemos una recta que pase por el 0rtice y corte a la otra, y entonces hacemos un plano quelas contiene, y que pasar! por sus trazas horizontales, y cortar! al cono o a la piramide en 2

puntos de la &ase y por el 0rtice. >os puntos de corte de ese tri!ngulito con la recta son lospuntos de entrada y salida de la recta.

Kntersecci3n entre una recta y un prisma*

(acemos una recta paralela a la arista que corte a la otra recta, y hacemos, igual que antesun plano que las contenga, este plano cortar! en 2 puntos a una de las &ases, y formar! unrect!ngulo cuyos lados ser!n paralelos a las aristas del prisma. >os cortes de la recta con esetri!ngulo son los de entrada y salida de la recta.

Kntersecci3n de una recta y una esfera*

(acemos un plano de canto que contenga la recta, hacemos un cam&io de plano haciendouno paralelo al realizado para cer la secci3n que produce. (acemos la proyecci3n de la rectay de la esfera, y hacemos la proyecci3n de la secci3n, que ser! una circunferencia concntricaala de la proyecci3n de la esfera cuyo di!metro ser! igual a la distancia entre los cortes delplano con la proyecci3n horizontal de la esfera. emos los cortes de la esfera con la secci3n ylos lle0amos a las ortas proyecciones, esos ser!n los puntos de entrada y salida de la recta.

Kntersecci3n entre un plano de canto y una pir!mide.

emos todos los puntos de corte e/cepto el de la arista frontal, que no sa&emos dondesituarlo en la proyecci3n horizontal. >o que hacemos es girar el tri!ngulo rect!ngulo que tienepor hipotenusa esa arista, as 0emos donde situar el corte, y lo desgiramos.

Kntersecci3n entre una pir!mide de &ase triangular y un prisma de &ase triangular.

(acemos un plano horizontal por la arista, y 0emos el tri!ngulo que produce en la pir!mide,los cortes de la arista con ese tri!ngulo ser!n los puntos de entrada y salida. emos tam&inlos cortes de las aristas de am&as &ases, y as formamos uno de los tri!ngulos de laintersecci3n. n el otro lado nos falta un 0rtice, ya que no se cortan completamente, as quelo que hacemos es formar el tri!ngulo como si lo cortara completamente, y as 0emos en quepunto de la arista de la pir!mide se produce la entrada en el prisma. Unimos con los 0rticesque tenemos, y ya tenemos las intersecciones.

Kntersecci3n entre 2 polgonos.

>o que se hace es hacer 2 planos horizontales, cada uno de los cuales nos dar! dos rectasintersecci3n, que se cortaran en un punto. Uniendo esos dos puntos o&tendremos la recta

intersecci3n entre am&os.

907i"a inclinacin y "07i"a ,!n*i!n$!

>a m!/ima pendiente ser! la recta de mayor inclinaci3n con el plano horizontal a m!/ima inclinaci3n es la recta de mayor inclinaci3n con el plano 0ertical


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/nulo)

>os !ngulos que forma una recta con el ) y el )( lo podemos medir &ien a&atiendo la rectao &ien gir!ndola.

)ara medir el !ngulo entre 2 rectas, lo que hacemos es a&atirlas y medir el !ngulo en el plano

a&atido.)ara medir el !ngulo entre la recta y el plano (acemos una recta perpendicular al plano,medimos el !ngulo entre esas recta, y el complementario ser! el !ngulo que forman.

l !ngulo entre 2 planos se puede medir por 2 caminos*

1= $esde un punto interior al diedro hacer rectas perpendiculares a los planos, a&atirlas, y el!ngulo que formaran los planos ser! el lateral.

2= (acemos un plano 0ertical, qe cortar! las razas de los planos en 1 y 2, y a la rectaintersecci3n en n. Ahora 0amos a a&atir ese tri!ngulo, para 0er el !ngulo. )ara 0er el radio degiro, para ello a&atimos la recta intersecci3n, a&atiendo 0J, y entonces hacemos unaperpendicular a esta, y luego esa distancia la lle0amos so&re la recta intersecci3n, ah estar! na&atido. >o unimos con 1 y 2 y 0emos el !ngulo.

Apuntes de Dibujo Geometrico

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