CURSO-TALLER ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Apuntes de Electricidad y Magnetismo Instructor: Maximino Paz Crdenas INDICE CONTENIDO PAGINA OBJETIVO GENERAL INTRODUCCIN GUA DE INSTRUCCIN DESCRIPCIN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL LUGAR DONDE SE IMPARTIR EL CURSO DESCRIPCIN DE LOS REQUERIMIENTOS DE LOS PARTICIPANTES COMPETENCIAS REQUERIDAS POR LA POBLACIN META DESCRIPCIN DEL EQUIPO REQUERIDO Y SUS RECOMENDACIONES DE USO SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES PARA LAS ACTIVIDADES DEL PROCESO DE CAPACITACIN MATERIAL DIDCTICO DE APOYO BIBLIOGRAFA EVALUACIN INICIAL EVALUACIN FINAL SOLUCIONES DE EVALUACIONES CONCLUSIONES OBJETIVO GENERAL Al trmino del curso el participante estar capacitado para, comprender, analizar y aplicar los principios y leyes que rigen el comportamiento de los fenmenos elctricos y magnticos UNIDAD I ELECTROSTTICA 1.1 INTRODUCCIN HISTRICAELECTROMAGNETISMO: DE LA CIENCIA A LA TECNOLOGA. 1.2.- DEFINICIN DE ELECTROSTTICA La electrosttica es la parte de la fsica que estudia las cargas elctricas en reposo. Para conocer las cargaselctricasesnecesarioremitirnosalestudiodelaformaenqueestconstituidalamateria. materiaestodoaquellodequeestnconstituidosloscuerposyporlocualocupanunlugarenel espacio, tienen un peso y pueden presentarse en los estados slido lquido y gaseoso. La partcula es unapartemuypequeademateriaquesipormediosmecnicosofsicosselografraccionar,se llegarhastalamolculaqueeslapartemspequeaenquesepuededividirlamateriayque mantiene an las caractersticasde la sustancia original. Dividir la molcula es algo nada sencillo de lograr,perodehacerlo,sellegaraaloselementosqueconstituyenlasustancia.Siunamolculade aguacuyaexpresinqumicaesH2Osedivide,seobtendrndostomosdelelementohidrgenoy untomodelelementooxgeno.tomoeslapartculamspequeaenquesepuededividirun elemento, manteniendo todava todas las propiedades del elemento original. Lapalabratomoderivadelgriegoquesignificalomspequeoeindivisible,sinembargo actualmentesesabequeeltomoestacompuestoporpartculasmspequeasllamadaspartculas subatmicascomosonloselectrones,losprotonesylosneutrones.Deacuerdoconelmodeloatmicopropuestoen1913poreldelFsicoDansNielsBohr,Eltomotieneunaformamuy similar a nuestro sistema solar, en donde en el centro de forma similar al sol, se encuentra el ncleo y girando alrededor de l describiendo rbitas circulares o elpticas de manera similar a los planetas, se encuentran los electrones. Actualmentesesabequeestemodelonoes exactamentecorrecto,peroesunabuenamanera prctica de mostrar su estructura. As como en nuestro sistema solar el sol que es lo ms pesado se encuentra enelcentro,astambinelncleo,queesloms pesado del tomo se encuentra en el centro del tomo ocupando aproximadamente un dimetro de 10-12 cm .Enelncleoseencuentranlosprotonesylos neutrones de masas muy similares, los electrones, que sonaproximadamente1840vecesmsligerosquelos protones o los neutrones, giran alrededor del ncleo en rbitas que no van ms all de los 2 a 3 x 10-8 cm. Una rpidacomparacinnospermitedarnoscuentaque prcticamente toda la masa del tomo se encuentra en su ncleo; por lo que la masa atmica de un elemento viene dada por la suma del nmero de protones y de

Fig. Estructura del tomo neutrones que tiene el tomo en su ncleo, mientras que el nmero total de electrones en las rbitas, determinaelnmeroatmicodelelemento.Sabemosqueunamolcula-gramodehidrgeno monoatmico(Elhidrgenomonoatmicosoloposeeunprotnensuncleoyningnneutrn) constade6.02x1023partculassubatmicas(nmerodeAvogadro)yquesumasaes1.008g.La masa de un solo tomo de hidrgeno es: Kg x g xx31 242310 67 . 1 10 67 . 110 02 . 6008 . 1 = = Luego sabiendo que de esta masa total del tomo de hidrgeno, 1/ 1840 corresponde a la masa delelectrn se tiene: Kg x gxelectrn del masa312410 11 . 9184010 67 . 1= = kg x g x protn del masa27 2410 67 . 1 10 67 . 1 = = Luego como la masa del el protn y del neutrn son aproximadamente iguales se tiene: Kg x g x neutrn del masa27 2410 67 . 1 10 67 . 1 = = Hemosdeterminadolamasadecadaunadelasprincipalespartculassubatmicas.Sabemosque debido a que poseen esta masa se ejercenacciones que se traducen en fuerzas que son debidas a la accingravitacional,peroestasfuerzassoninsignificantescomparadasconlasfuerzasquese producenentreellasdebidoalascargaselctricasquesehadescubiertoqueposeen.Adems,las fuerzasgravitacionalessonsolodeatraccin,mientrasquelasfuerzasdebidasalascargas elctricas pueden ser fuerzas de atraccin y de repulsin. Ciertamenteloselectronesgiranalrededordelncleoyseencuentrandistribuidosenlascapas siguiendo un orden establecido por la expresin 2N2 en donde N es la capa o nivel energtico donde semuevenloselectrones.Asenlaprimeracapaocapa1elnmeromximodeelectronesque existirserdedoselectrones.Enlasegundacapaocapa2existirnmximo8electrones,enla tercera capa, o, capa 3 se tendrngirandomximo dieciocho electrones. Sin embargo, en la ltima capa no podrn existir ms de ocho electrones. Sehadescubiertoquedependiendodelnmerode electrones que posea el tomo en su ltima capa, este presentardeterminadascaractersticasque determinanelcarcterelctricodelmaterialyassi eltomotieneochoelectronesensultimacapa, Esta estar completa y el material ser muy estable y muchomuydifcilmentecederotratardeganarelectrones.Alnocederniganarelectroneseste materialsecomportarcomoaislanteesdeciresun materialquenoconducelascargaselctricas.Enla medidaquevadisminuyendoelnmerode electronesenlaltimacapa,vadisminuyendola capacidaddeaislantedelmaterial,detalformaque altenercuatroelectronesensultimacapael materialniesconductor,niesaislanteobienbajo ciertas condiciones conduce o bien no conduce.

Electrn NcleoElectrones Fig. Distribucin de los electrones en sus rbitas A estos materiales se les conoce como semiconductores.Si el nmero de electrones en la ltima capa es menor de cuatro el material ira siendo cada ves mejor conductor, es decir, cada ves tendr menor resistencia al paso de las cargas elctricas a travs de el. 1.3.- LA CARGA ELECTRICA Y SUS PROPIEDADES. Pero cmo fue que se descubri que las partculas subatmicas posean carga elctrica?, desde antes de nuestra era, los antiguos griegos observaron que al frotar el mbar con una piel de gato, esta era capaz de atraer cuerpos pequeos; esto les hizo creer que el mbar al frotarse adquira una propiedad mgica.YaennuestraeraBenjamnFranklindecaquetodosloscuerpostenanunadeterminada cantidaddefluidoqueservaparamantenerlossincargaesdecirneutros.Postulquecuandodos cuerpos se frotan entre s, uno de ellas acumulaba un exceso de fluido y quedaba cargado.Coneltiempoytraseldescubrimientodelaspartculassubatmicassellagaconcluirquelos cuerpos al ser frotados alteraban su estado natural debido al intercambio de estas partculas. Ya que en griego antiguo la palabra mbar significaba elektrn, dieron este nombre a la partcula ms ligera. Yaquetambinengriegoprotnsignificaprimeroycomoelncleoqueeslapartedondese encuentranlosprotones,eslapartemsvoluminosadeltomoyporlotantolaqueprimeramentefue observada, esta tom el nombre de protn. Un cuerpo no electrizado posee el mismo nmero de electrones que de protones. Cuando se frotan dos cuerpos hay una transferencia de electrones de uno hacia otro y el cuerpo que presenta exceso de electrones queda cargado negativamente, mientras que el que los perdi presenta un exceso de protones provocando la existencia de carga elctrica positiva. Convencionalmente a la carga delelectrn se le dio el signo- y a la carga del protn se le dio el signo +. Esto sin embargo no tiene nada que ver con las matemticas. Obsrvese que los electrones y protones no poseen en su seno nada positivo ni negativo, esto slo es una denominacin que se aplica aunapropiedadintrnsecadelamateriaquesemanifiestamedianterepulsionesyatracciones.Los neutrones fueron denominados as por el hecho de no poseer carga alguna. Electrizacin de loscuerpos 1.- Al frotar firmemente una barra de mbar (o de ebonita) con piel de gato (o con lana), la barra se carganegativamente;sidespuslaacercamosperosinllegaratocaralasesferitasdesauce(o corcho)suspendidascomosemuestraenlafigura,lasesferassernatradas.Si,sindejarquela esferita toque la barra, ayudamos a escapar a tierra las cargas negativas, la esferita quedar cargada negativamente. 2.- Si permites que la varilla toque las esferas veras que por un momento se unirn a la barrapero posteriormente sern repelidas por la barray tambin entre s;estoes que ambas (barrayesferita) estarncargadas positivamente. 3.- Realiza los dos pasos anteriores pero frotando ahora una barra de vidrio con un trozo de seda 4.-versqueaparentementehasucedidolomismo.Msnoesasyaqueahoralasesferassehan cargado positivamente 5.- Si ahora tocas separadamente a una de las esferas con la barra de ebonitaya otra de las esferas con la barra de vidrio tambin cargada, como se observa en la figura. Observaras que las esferas se atraen. Considerando la anterior, tenemos el siguiente principio de electrosttica:Cargas de igual signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen. Son tres las formas en que un cuerpo puede llegar a cargarse elctricamente: Por frotamiento, tal como sucedi al frotar la varilla de vidrio con la piel, como se hizo en el punto 1 sealadoconanterioridad.Porinduccin,talcomosucedeenelmismopunto1.Porcontacto,tal como sucede en el punto 2 . Al hecho deque las cargas elctricas se atraigan o rechacen se la ha encontrado un sinnmero de aplicaciones,entrealgunassetienenlassiguientes:lafumigacindeloscamposagrcolas.Al esparcir minsculas partculas de bactericidas cargadas positivamente, estas se adhieren a las plantas que poseen cargas negativas.La impresinelectrostticade las copiadoras. Sepuedeconsiderarquelaslneasdefuerzasonelsticasyquetratan siempredetenerelmnimoderecorrido;deaquentoncesquedos cargasdesignocontrariosonsiempreatradasunahacialaotra.Perosin embargo las lneas de fuerza no pueden cruzarse y entoncesal estar una frentealaotra,ambascambiandedireccin,deahelqueserepelanlascargas de igual signo ver las siguientes figuras. Trabajoextraclese:Buscarporlomenosotrastresaplicacionesdela electrosttica. Fig.Accin de las cargas elctricas Carga puntual Una carga puntual es una carga elctrica hipottica, de magnitud finita, contenida en un punto geomtrico carente de toda dimensin, en otras palabras un cuerpo poseer una carga puntual si las dimensiones de steson sper pequesimas comparadas con la distancia que lo separa de cualquierotro cuerpo cargado. De lo anterior se considera que la carga puntual se encuentra concentrada en un punto. Un ejemplo de carga puntual es la carga que posee un electrn, cuyo radio es inmensamente pequeo comparado con las distancias de las rbitas atmicas. Una carga puntual aunque esta constituida por muchas cargas elementales, (electrones, protones, iones etc.), se supone que consiste en la suma de todas las cargas elementales En el caso de que la carga est contenida dentro de una geometra esfrica, ha sido demostrado que dicha carga se comporta exactamente como una carga puntual localizada en el centro de la esfera. Las hojas de unacopiadora se cargan positivamentey al arrojarles los chorros de la tinta esta se adhiere por poseer diferente carga elctrica. Esta tinta se fija despus al hacerle pasar por el calor producido por una lmpara de gran poder calorfico ver la siguiente figura. Alhechodequelascargasseatrajeranoserechazaran,sinqueexistiera contactoalgunoentreellas,causabaunagranincertidumbreentrelosque experimentabanlosefectosdelascargaselctricasybuscabanunaformade explicaresealgoquemotivabatalesacciones.EntoncesMichaelFaraday introduceelconceptodelneadefuerza,pudiendoconcebirestascomouna lnea imaginaria que rodea a la carga de tal manera que si la carga es positiva,

estas salen de ella y si es negativa estas entran a ella ver la siguiente figura. Entoncessi existe una carga positiva , de ella saldrn lneas que buscarn llegar a una carga negativa. Fig. Lneas de fuerza que rodean a las cargas elctri cas Densidad de carga Elctrica En un apartado anterior se sealo que mediante la electrizacin, los cuerpos puede adquirir carga a pesar de que las cargas elctricas son cuantizadas y, por ende, mltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas elctricas en un cuerpo estn tan cercanas entre s, que se puede suponer que estn distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La caracterstica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace ms fcil, sin perder generalidad, su tratamiento. Dependiendo de la forma en la carga se distribuye en el cuerpo se pueden distinguirtres tipos de densidad de carga: lineal, superficial y volumtricaDensidad de carga lineal. La forma en que esta carga se distribuye en el cuerpo depende la forma del mismo, as, si el cuerpo es de una gran longitud pero de una seccin transversal sper pequea comparada con su longitud, la carga se distribuye a lo largo de toda su longitud y entonces se tiene una distribucin lineal de carga representada por landa y su valor estar dado por el valor de la carga por unidad de longitud, es decir = q/l y sus unidades sern coulombios por metro en el sistema internacional de unidades (SI) . Entonces se tiene: lql lqAA A= =0lim Donde q es la carga del cuerpo y l es la longitud. Densidad de carga superficial. Si la carga que adquiere el cuerpo se distribuye solo en su superficie por ejemplo una plancha metlica delgada como el papel de aluminio, se tendr una distribucin superficial de carga representada por el smbolo y su valor estar dado por el cociente de la carga por unida de longitud, es decir = q/s y sus unidades sern coulombios por metro cuadrado en el sistema internacional de unidades. Entonces se tiene:sqslmsqAA A= =0odonde s es la superficie del cuerpo. Densidad de carga volumtrica. Si la carga que adquiere el cuerpo se distribuye en el total del volumen que ocupa el cuerpo sin importar la forma que ste tenga, se tendr una distribucin volumtrica de carga y se representar con la letra v y su valor estar dado por el cociente de la carga por unidad de volumen, es decir = q/v y sus unidades sern coulombios por metro cubicoen el Sistema Internacional de Unidades. Entonces se tiene sqvlmvqAA A= =0odonde v es el volumen del cuerpo.La densidad de carga que adquiere el cuerpo es fcil de calcular cuando se distribuye de manera uniforme dentro del cuerpo y el cuerpo es una figura geomtrica regular. Si estas no son las condiciones, su calculo puede resultar extremadamente difcil requiriendo el empleo de clculo avanzado. 1.4.-AISLANTES, CONDUCTORES, SEMICONDUCTORES Y SUPERCONDUCTORES. Como ya se dijo con anterioridad, todos lo cuerpos estn compuestos de tomos y los tomos estn compuestos por las partculas subatmicas como lo son los protones y neutrones que se localizan en su ncleo y los electrones que se encuentran girando en su derredor distribuidos en las capas o nivles energticos en la cantidad que esta determinada por la expresin 2N2. Sin embargo, en la ltima capa no habr nunca un nmero de electrones mayor a ocho. En estas condiciones el tomo tendr su ltima capa completa y difcilmente ceder electrones; pero tampoco atrapar los de un tomo cercano. En estas condiciones dado que el tomo no sede ni atrae electrones el material del cual forma parte el tomo es elctricamente neutro; es decir, no manifiesta carga elctrica alguna y como no atrae ni cede electrones entonces se dice que es un material aislante. En la medida en que el tomo va perdiendo electrones en su ltima capa, tambin va perdiendo su capacidad de aislamiento elctrico. De manera que un material con solo siete electrones en su ltima capa, tendr una capacidad de aislamiento menor que el que tiene ocho; y el que tiene seis, menor que el que tiene siete y as sucesivamente. Cuando el tomo tiene cuatro electrones en su ltima capa, estaremos ente una situacin similar al caso en que por ejemplo cuando un vaso tiene la mitad de su capacidad llena de agua, diramos que esta medio lleno y sera correcto o bien diramos que esta medio vaco y tambin sera correcto. En el caso del material, diramos que es medio aislante o bien medio conductor. En este caso el nombre con que se a designado a estos materiales es el de semiconductor y esto no es porque medio conduzca o medio asle, sino que, ste solo lo hace bajo ciertas condiciones que cuando se cumplen, el material conduce; aunque en una sola direccin y cuando no se cumplen simplemente no conduce.El comportamiento de estos materiales dio lugar a la elaboracin de los diodos, dispositivos que son capaces de controlar el paso de los electrones y que vinieron a sustituir a los bulbos (vlvulas termoinicas) que con un poco de anterioridad venan desarrollando estas funciones.

Fig.Estructura de diodo Tabla Materiales semiconductores ElementoGrupo Electronesen la ltima capa Cd II B2 e- Al, Ga, B, In III A3 e- Si, GeIV A4 e- P, As, SbV A5 e- Se, Te, (S)VI A6 e- Un diodo (del griego: dos caminos) es un dispositivo semiconductor que permite el paso de la corriente elctrica en una nica direccin con caractersticas similares a un interruptor. De forma simplificada, la curva caracterstica de un diodo (I-V) consta de dos regiones: por debajo de cierta diferencia de potencial, se comporta como un circuito abierto (no conduce), y por encima de ella como un circuito cerrado con una resistencia elctrica muy pequea. Debido a este comportamiento, se les suele denominar rectificadores, ya que son dispositivos capaces de suprimir la parte negativa de cualquier seal, como paso inicial para convertir una corriente alterna en corriente continua. Su principio de funcionamiento est basado en los experimentos de Lee De Forest. Los primeros diodos eran vlvulas o tubos de vaco, tambin llamados vlvulas termoinicas constituidos por dos electrodos rodeados de vaco en un tubo de cristal, con un aspecto similar al de las lmparas incandescentes. El invento fue desarrollado en 1904 por John Ambrose Fleming, empleado de la empresa Marconi, basndose en observaciones realizadas por Thomas Alva Edison. Al igual que las lmparas incandescentes, los tubos de vaco tienen un filamento (el ctodo) a travs del cual circula la corriente, calentndolo por efecto Joule. El filamento est tratado con xido de bario, de modo que al calentarse emite electrones al vaco circundante los cuales son conducidos electrostticamente hacia una placa, curvada por un muelle doble, cargada positivamente (el nodo), producindose as la conduccin.Evidentemente, si el ctodo no se calienta, no podr ceder electrones. Por esa razn, los circuitos que utilizaban vlvulas de vaco requeran un tiempo para que las vlvulas se calentaran antes de poder funcionar y las vlvulas se quemaban con mucha facilidad. Despus del diodo se construyo el trodo. La construccin del trodo es muy similar a la del diodo, pues simplemente se aade una rejilla llamada rejilla de control. De esta forma, el ctodo envuelve al filamento, luego la rejilla cubre al ctodo y finalmente la placa envuelve al resto de los componentes. Fig. Estructura del trodo. Inmediatamente se construyo el pentodo que es un dispositivo que cuenta que una tercera rejilla, es decir una ms que el triodo. Esta rejilla supresora se coloco entre la rejilla de pantalla y la placa. As se obtiene un dispositivo conformado por 5 electrodos, la placa, las 3 rejillas y el ctodo. Es importante mencionar que en cuanto a la construccin del pentodo, esta rejilla en la mayora de los casos se conecta directamente al ctodo.Alconjuntodeestosdispositivosselesconocecomo transistoresyactualmenteselosencuentra prcticamente en todos los aparatos domsticos de uso diario:radios,televisores,grabadoras,reproductores deaudioyvideo,hornosdemicroondas,lavadoras, automviles, equipos de refrigeracin, alarmas, relojes decuarzo,computadoras,calculadoras,impresoras, lmparas fluorescentes, equipos de rayos X, Fig. Estructura del pentodo tomgrafos, ecgrafos, reproductores mp3, telfonos mviles, etc Sieltomotieneunnmerodeelectronespordebajodecuatro,entoncesempezaracomportarse como conductor de la corriente elctrica y mejor conductor ser si menor es el nmero de electrones en su ltima rbita. Materiales superconductores Un superconductor tiene dos caractersticas esenciales. Por debajo de una temperatura crtica caracterstica (Tc), dependiente de la naturaleza y estructura del material, los superconductores exhiben resistencia cero al flujo de electricidad y pueden expulsar el flujo magntico de su interior, dando lugar al fenmeno de levitacin magntica. En 1911, el fsico holands Kammerlingh Onnes observ que la resistencia elctrica del mercurio adquira un valor de cero cuando ste se enfriaba a una temperatura cercana al cero absoluto (4.2 grados Kelvin o menos 269 grados Celsius). De este modo se descubri el fenmeno de la superconductividad.En 1933, Meissner y Ochsenfeld descubrieron que cuando se le aplica un campo magntico externo a un material superconductor, ste lo rechaza. La combinacin de estas propiedades (conductividad infinita y expulsin del campo magntico) caracterizan a los materiales superconductores. Durante las primeras dcadas de este siglo se lleg a pensar que la superconductividad quedara sujeta sin remedio a muy bajas temperaturas. Empero, a principio de los setenta se obtuvo un material superconductor (una aleacin de niobio 3-germanio) a una temperatura crtica de 23 grados Kelvin. La temperatura crtica, es aquella a la que un material se hace superconductor.En 1986, el fsico Karl Alex Mller, del laboratorio de IBM en Zurich, observ que un xido cermico, compuesto de bario, lantano y cobre tena una temperatura crtica de 30 grados Kelvin. Estaba en marcha la carrera por obtener superconductores de altas temperaturas. En 1987, el grupo del doctor Chu, en Estados Unidos, descubri un material de itrio-bario-cobre-oxgeno que es superconductor a 93 grados Kelvin (menos 180 grados centgrados). Un gran paso, pues ya se poda prescindir del helio lquido, que es muy caro, para enfriar el material. La temperatura crtica haba superado los 77 grados Kelvin (menos 196 grados Celsius), punto de licuefaccin del nitrgeno, que es muy abundante. Y PARA QUE SIRVEN?Si algn da los superconductores de temperatura ambiente llaman a nuestra puerta nos veremos inmersos en una revolucin tecnologa sin precedentes. Pero aunque no lo hagan, ya existen muchos equipos que utilizan la superconductividad en su funcionamiento.Un pequeo imn cilndrico flota por encima de un superconductor. El vapor es nitrgeno lquido en ebullicin, que mantiene al superconductor en un estado de resistencia nula. Cuando el imn desciende hacia el superconductor, induce una corriente elctrica, que a su vez crea un campo magntico opuesto al del imn. Como el superconductor no tiene resistencia elctrica, la corriente inducida sigue fluyendo y mantiene el imn suspendido indefinidamente. A continuacin un repaso a las aplicaciones ms espectaculares de este fenmeno. Por su ausencia de resistencia, los superconductores se han utilizado para fabricar electroimanes que generan campos magnticos intensos sin prdidas de energa. Los imanes superconductores se han utilizado en estudios de materiales y en la construccin de potentes aceleradores de partculas. Aprovechando los efectos cunticos de la superconductividad se han desarrollado dispositivos que miden la corriente elctrica, la tensin y el campo magntico con una sensibilidad sin precedentes. El descubrimiento de mejores compuestos semiconductores es un paso significativo hacia una gama mayor de aplicaciones, entre ellas computadoras ms rpidas y con mayor capacidad de memoria, reactores de fusin nuclear en los que el plasma se mantenga confinado por campos magnticos, trenes de levitacin magntica de alta velocidad y, tal vez lo ms importante, una generacin y transmisin ms eficiente de la energa elctrica. El SQUID o dispositivo superconductor de interferencia cuntica, fue una de las primeras aplicaciones comerciales de la superconductividad. Basado en las uniones Josephson, son captadores magnticos extraordinariamente sensibles que permiten medir campos magnticos y tensiones elctricas increblemente dbiles, con una resolucin del orden del picovoltio, una billonsima de voltio.Los SQUID llevan utilizndose ininterrumpidamente desde los aos 60 en multitud de aplicaciones: deteccin sper precisa de las seales elctricas del cerebro y el corazn, comprobacin no destructiva de tuberas y puentes (la fatiga del metal produce una firma magntica peculiar), paleomagnetismo, sensores geolgicos para prospecciones petrolferas, equipos militares de deteccin de sumergibles y un largo etctera.Aparatos de formacin de imgenes por resonancia magntica, ms conocidos como RMN. Con esta tcnica se coloca una sustancia en un campo magntico intenso que modifica el spin de los ncleos de determinados iones. Despus, se somete a la muestra a una onda de radio que reorienta los ncleos. Al desaparecer la excitacin se libera un pulso de energa que proporciona informacin sobre la estructura molecular de la sustancia... y que puede transformarse en una imagen mediante tcnicas informticas.El RMN es una herramienta casi indispensable para la formacin de imgenes del cerebro, y con el advenimiento de los superconductores de alta temperatura podr convertirse en una maquina mucho mas pequea y barata: los superconductores clsicos enfriados por helio requieren voluminosos y delicados equipos de refrigeracin. En cambio, el nitrgeno liquido es sencillsimo de producir y utilizar. Superconductores los materiales del futuro.

La superconductividad y la superfluidez, dos fenmenos de la fsica cuntica cuya explicacin puede desembocar en la produccin de materiales con propiedades completamente nuevas, valieron al ruso-estadounidense Alexei Abrikosov, al ruso Vitalij Ginzburg y al britnico Anthony Leggett el Premio Nobel de Fsica 2003. CONCLUSIONES Los superconductores son los conductores ms raros , su caracterstica principal es la ausencia total de resistividad elctrica, por lo tanto son el elemento perfecto para transportar energa elctrica puesto que no producen prdidas por calor, el problema es que por el momento slo se han encontrado materiales superconductores que funcionan a muy bajas temperaturas, y el costo es mucho ms elevado que las prdidas que se producen. Referencias de materials semiconductorsSerwey, Raymond A. Electricidad y magnetismo Constantino A. Utreras D.Apuntes de Electricidad y Magnetismo Departamento de Fsica. http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/index.html Schilling, Donald et Belove, Charles. Electronic Circuits: Discrete and Integrated. McGraw-Hill Inc. 1968. www.cjseymour.plus.com/elec/valves. Introduction to Thermionic Valves. http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/diodo.htm. Diodos. http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/triodo.htm. Triodos. http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/tetrodo.htm. Tetrodos. http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/tetrodo.htm. Pentodos. http://es.wikipedia.org/wiki/triodo http://es.wikipedia.org/wiki/tetrodo http://es.wikipedia.org/wiki/pentodo Referencias de materiales semiconductores. http://html.rincondelvago.com/superconductores_1.html Microsoft encarta 2002, superconductores http://www.tae.edu.mx/superconductores/ http://www.tae.edu.mx/superconductores/aplicaciones.html http://www.jornada.unam.mx/1996/abr96/960429/chavira.html http://homepages.mty.itesm.mx/al911330/ http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/064/htm/sec_11.htm 1.5.-LEY DE COULOMB. Como ya se dijo con anterioridad un cuerpo est cargado cuando posee un exceso o una disminucin en el nmero de electrones, con relacin a su nmero de protones. La mnima cantidad de carga que se puede poner en movimiento es la que representa un electrn. Sin embargo este valor de carga resulta demasiado pequeo para aplicaciones prcticas. Charles Agustn coulomb, mediante el uso de una balanza de torsin que se muestra en la figuraa) demuestra que las fuerzas de atraccin o repulsin entre dos cuerpos cargados son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa a dichos cuerpos (es importante sealar que en esa poca no se conocacon exactitud el concepto de carga y por supuesto no exista ningn mtodo o procedimiento para medirla).1.-Posteriormente avanza en su estudio al encontrar que a una distancia dada, dichas fuerzas son proporcionales al producto de las cargas individuales de los cuerpos. Si tomamos en consideracin una constante de proporcionalidad K, que depender del sistema de unidades que se elija para expresar a la fuerza, la carga y la distancia,entonces la proporcionalidad se puede sustituir por unaigualdad es decir: F1 q1 q2 F2 2 2 2 1rq qK Frq qFrF = o o++ Fig.Que es una forma matemtica en que se expresa la ley de Coulomb, que nos dice que: La fuerza con que se atraen o rechazan dos cuerpos cargados es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Tal como se ha expresado,esta ley queda restringida a cargas puntuales, es decir cargas o cuerpos cargados cuyas dimensiones son muy pequeas comparadas con las distancias que los separa.Desde el momento mismo en que se establece la ley de Coulomb, se ve la necesidad del uso de las unidades de medida por lo que es necesario conocer los diferentes sistemas de unidades utilizadas en el estudio de la electricidad y el magnetismo. En el estudio de la electricidad y el magnetismo se han utilizado y an se utilizan actualmente los siguientes sistemas de unidades: El sistema cgs electrosttico cgs electromagntico, MKS racionalizado y MKS no racionalizado. Con elobjetivodefamiliarizarseconelmanejodelasdiferentesunidadesdemedida,sepidealos participantes una investigacin documental de los sistemas de medida antes sealados. En nuestro curso, usaremos el sistema MKS. mientras no se diga lo contrario, -Sistema MKS: denominado asporque emplea como unidades de fuerza y longitud las unidades del sistemaMKS.TambinesconocidocomosistemaGiorgiosistemaMKSracionalizado.Sus caractersticas principales son: -unidad de fuerza: Newton -unidad de longitud: metro -unidad de carga: Culombio (C)

En la figura se muestra la balanza de torsin que consiste en una barra (1) que cuelga de unafibra(2).Estafibraescapazde torcerse,ysilabarragiralafibratiendea regresarla a su posicin original. Al girar, su movimiento se transmite a la parte giratoria (3),quetieneunaguja(4)quesealael valordelrecorridosobreunanillo micromtrico(5).Siseconocelafuerzade torsin que la fibraejerce sobre la barra, se lograunmtodosensibleparamedir fuerzas. En la barra de la balanza, Coulomb, colocunapequeaesferacargada(6)y,a continuacin,adiferentesdistancias, posicionotraesferita(7)concargade igualmagnitud.Luegomidilafuerzaentre ellas observando el ngulo que giraba la barra La balanza de torsin y sus componentes 1 2 3 4 5 6 7 Donde la constante 0 es la permitividad del espacio libre o del vaco,0 =8,8542x10-12C2/(N.m2).Deestemodo,laleydeCoulombseescribeenestesistemade unidades: El nombre de sistema racionalizado se debe a la presencia del factor 4 en la ley de Coulomb. Sistema Internacional de unidades UnidadesM.K.S. TcnicoTcnico M.K.S.M.K.S. Otros Masamkg = 0,06852 slugslug = 14,59 kgkg =2,205 lb Longitudem = 3,28piepie = 0,3048 mm = 39,3 plg Tiempots = ss = ss = s Velocidadv = e/tm/s = 3,28pie/spie/s = 0,3048 m/sm/s = 2,237 mi/h Aceleracina = F/m = v/tm/s = 3,28pie/s pie/s = 0,3048 m/s m/s = 8503,2 mi/h Fuerza Peso F = m.aN = 0,102 kgkg = 9,807 NN = 0,2248 lbf Unidad/SistemaC.G.SM.K.STcnicootros 1otros 2 Masagr.KgslugLbLongitudcm.Mmpulg.pie TiemposSsss Velocidadcm/sm/sm/spulg/spie/s Aceleracincm/s m/s m/s pulg/s pie/s FuerzadinaNKgfLbfPresindina/cm Pa = N/m Kgf/m Lbf/pulg atmsfera o lbf/pie Trabajoergio(J) JouleB.T.U cal Potenciaergio/sWatt (J/s)H.PC.Vcal/s Momentodina.cmN.mKgmLbf.pulgLbf.pie Trabajo Energa L = F.eJ = 0,000948BTUBTU = 1055 JJ = 0,2389 cal PotenciaP = L/tW = 3,413 BTU/hBTU/h = 0,293 WW =0,00134 hp Presinp = F/APa = 0,000145 lbf/plg lbf/plg = 6895 PaPa =0,0000102 kg/cm Densidad = m/V kg/m = 0,00194 slug/pie slug/pie = 515,4 kg/m kg/m = 0,0003613 lb/plg Peso especfico = P/V = .m/V N/m = 0,002888 kg/pie kg/pie = 346,27 N/m N/m =0,00000167 kg/plg MomentoM = F.dN.m = 0,3347kg.piekg.pie= 2,988 N.mN.m = 0,102 kg.m Constante de CoulombLa constantees la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI esNm/C. Asuvezlaconstantedondeeslapermitividadrelativa,,y F/m es la permitividad del medio en el vaco. Cuandoelmedioquerodeaalascargasnoeselvacohayquetenerencuentalaconstante dielctrica y la permitividad del material. Algunos valores son: Material (F/m)(Nm/C) Vaco18,8510-128,99109 Parafina2,1-2,21,9010-114,16109 Mica6-75,7610-111,38109 Papel parafinado2,21,9510-114,09109 Poliestireno1,059,3010-128,56109 Baquelita3,8-53,9010-112,04109 Cirbolito3-53,5410-112,25109 Vidrio orgnico3,2-3,63,0110-112,64109 Vidrio5,5-106,8610-111,16109 Aire1,00068,8610-128,98109 Mrmol7,5-107,7510-111,03109 Ebonita2,5-32,4310-113,27109 Porcelana5,5-6,55,3110-111,50109 Micalex7-97,0810-111,12109 Micarta A y B7-86,6410-111,20109 Batista barnizada3,5-53,7610-112,11109 Goma en hojas2,6-3,52,7010-112,95109 Polietileno2,72,3910-113,33109 Problemas: 1.-Determinar la fuerza que acta sobre las cargas elctricas q1 = + 1 x 10-6 C. y q2 = + 2,5 x 10-6 C. que se encuentran en reposo y en el vaco a una distancia de 5 cm. Resolucin:Para calcular la fuerza de interaccin entre dos cargas elctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de Coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que: Resultado: 9 N 2.-Determinar la fuerza que acta sobre las cargas elctricas q1 = -1,25 x 10-9 C. y q2 = +2 x 10-5 C. que se encuentran en reposo y en el vaco a una distancia de 10 cm. Resolucin: Para calcular la fuerza de interaccin entre dos cargas elctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de Coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que: 3.-Determinar la fuerza que acta sobre las cargas elctricas q1 = + 1 x 10-6 C. y q2 = + 2,5 x 10-6 C. que se encuentran en reposo y en el vaco a una distancia de 5 cm. Resolucin:Para calcular la fuerza de interaccin entre dos cargas elctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que: Como la respuesta obtenida es de signo positivo nos est indicando que la fuerza es de repulsin.

La fuerza de repulsin tiene un mdulo de 9 N. pero debemos indicar adems en un esquema grfico las dems caractersticas del vector tal como se indica en el grfico. 3.- Determinar la fuerza que acta sobre las cargas elctricas q1 = -1,25 x 10-9 C. y q2 = +2 x 10-5 C. que se encuentran en reposo y en el vaco a una distancia de 10 cm. Resolucin:Para calcular la fuerza de interaccin entre dos cargas elctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de coulomb por lo tanto lo previo es transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que:

Como la respuesta obtenida es de signo negativo nos est indicando que la fuerza es de atraccin. La fuerza de atraccin tiene un mdulo de 2,25 x 10-2N. pero debemos indicar adems en un esquema grfico las dems caractersticas del vector lo que sera as: 4.- Sobre los extremos de un segmento AB de 1.00 m. de longitud se fijan dos cargas. Una q1 =+4 x 10-6C. sobre el punto A y otra q2=+1 x 10-6C. sobre el punto B .a) Ubicar una tercera carga q=+2 x10-6C. sobre AB de modo que quede en equilibrio bajo la accin simultnea de las dos cargas dadas. b) La ubicacin correcta de q, depende de su valor y signo? Resolucin: a) para obtener la posicin de la carga q en el punto C de modo que se encuentre en equilibrio, se debe dar que la fuerza total sobre ella sea nula, es decir que la interaccin entre la carga q1q y q2q deben ser fuerzas de igual mdulo y sentidos opuestos. Para que la suma de las fuerzas de sentido contrario sea cero sus mdulos deben ser iguales.

Se ha llamado d a la distancia entre las cargas q1 y q

y como la distancia total entre q1 y q2 es de 1 m. la distancia entre las cargas q y q2 es la diferencia entre 1 m. y d. (1-d) por lo tanto y luego de las simplificaciones nos quedaordenando y resolviendo la ecuacin de 2 grado resulta que

Como el dato que estamos buscando es entre las cargas que se encuentran separadas 1 m. en total, la solucin buscada es d=0.67 m. por lo que la distancia a la otra carga ser 1 - 0.67 = 0.33 m. b) La ubicacin de q no depende de su valor ni de su signo. Que no depende de su valor se ve claramente cuando se produce su simplificacin en la igualdad de mdulos

Obsrvese que en ambas expresiones que se igualan tenemos el valor q como factor por lo tanto si son simplificados, no intervienen en el clculo de d. En cuanto al signo, tanto sea la carga q positiva o negativo, da como resultado que los vectores que actan sobre ella son siempre opuestos, pues ambos sern de repulsin o de atraccin, respectivamente. a) la carga q se ubicar a una distancia de 0.67 m. de la carga q1

b) No depende de la carga ni de su valor ni de su signo. El campo elctrico Ya se dijo que de cualquier carga puntual o cuerpo cargado, salen o entran lneas de fuerzas segn el tipo de carga de que se trate. Esto quiere decir que en la vecindad de una o varias cargas existirn lneas de fuerza que producirn efectos sobre cualquier carga puntual o cuerpo cargado que se encuentre dentro del campo de accin de esas lneas. Pues bien podemos decir que todo aquel espaciodonde se manifiesta la accin de las lneas de fuerza, constituye lo que se conoce como campo elctrico.El concepto de lneade fuerzafue introducido por Michael Faraday precisamente como un auxiliar para repre sentar a loscampos elctricos y magnticos. Entonces si colocamos una carga de prueba en un punto cualquiera y sobre ella se ejerce una fuerza de origen elctrico, estaremos en presencia de un campo elctrico o electrosttico. Entonces si una carga se encuentra dentro de un campo elctrico acta sobre ella una fuerza y adquiere un potencial elctrico o capacidad para desarrollar trabajo. Ahora bien, si esta carga se aleja cada vez ms y ms del campo, el efecto de ste sobre ella es cada vez menor ya que el valor de la fuerza elctrica y su potencial van disminuyendo; esto quiere decir, que la carga va cediendo energa;as si esta carga se aleja hasta el infinito, el efecto del campo sobre ella ser nulo y su potencial tendr el valor Fig. Lneas de fuerza que rodean a las cargas elctricas. de cero. Por el contrario si una carga es trada del infinito, venciendo la fuerza del campo elctrico, a medida que se va adentrando en el campo va adquiriendo energa potencial. Se entiende de lo explicado anteriormente que el valor del campo elctrico est en funcin directa del valor de la fuerza que acta sobre la carga elctrica. Y mientras menor sea el valor de la carga, mayor ser el valor de la fuerza, por lo cual decimos que el valor del campo es inverso al valor de la carga, es decir: E= F/q As para calcular el campo elctrico en un punto P del espacio separado una distancia r de una carga puntual q, podemos hacerlo partiendo de la ley de Coulomb entonces tenemos: F= K qq/r2 luego E= F/q = K q/r2 . El sentido del campo es tal que se aleja de la carga q si sta es positiva, y se acerca si es negativa Ejercicios de campo elctrico 1.- Un electrn es lanzado con una velocidad de 2.106 m/s paralelamente a las lneas de un campo elctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar: a) La distancia que ha recorrido el electrn cuando su velocidad se ha reducido a 0.5.106 m/s b) La variacin deenerga potencial que ha experimentado en ese recorrido. Solucin: Al tener el electrn carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo elctrico que le va frenando: m . a = q . E a = q . E / m a = 1.6 x 10-19 . 5000 / 9.1 x 10-31 = 8.79 x 1014 m/s2

Al ser la aceleracin constante, las ecuaciones del movimiento son: v = vo - a . t t = (vo - v) / a = ( 2 x 106 0.5 x 106 ) / 8.79 x 1014 = 1.7 x 10-9 s e = vo . t- a . t2 /2 = 2 x 106 x 1.7 x 10-9 8.79 x 1014 x (1.7 x 10-9 )2 / 2 = 0.0021 m La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es: VA - VB = E x d = 5000 x 0.0021 = 10.5 Voltios La variacin de energa potencial ser: EpA - EpB = q(VA - VB ) = - 1.6 x 10-19 x 10.5 = - 1.68 x 10-18 Julios Problema 2.- Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (5,0) y (-5,0), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros. a) En qu punto del plano el campo elctrico es nulo? b) Cul es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l ,0) al punto (-1,0)? Solucin La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre s 180. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los campos forman ngulos distintos de 180 . Slo puede anularse en el segmento AB. Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos slo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analticamente, consideremos un punto genrico del segmento de coordenadas (X,0) y determinemos X para que el campo sea nulo: Campo creado en P por la carga situada en A:E = K. q /(5+x)2

Campo creado en P por la carga situada en B:E = K. q /(5-x)2

Los dos campos deben ser iguales en mdulo para que su suma vectorial de campo nulo: K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2 (5+x)2 = (5-x)2 x = 0 El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relacin a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo: W = q. ( V1 - V2 ) V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 VoltiosV2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) =7'5.106 Voltios V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0 W = 0 Julios Problema 3 Encontrarlaexpresinquedeterminaelvalor delcampoelctricoenlospuntosP,QyRdel dipolo mostrado en la figura. Un dipolo, son dos cargasdeigualmagnitudperodesignos opuestos,talcomosemuestraenlasiguiente figura. El campo elctrico en el punto P es: ) ( )22202222 202 20424142 2412 241||.|

\|=||.|

\||.|

\| |.|

\| +=||||.|

\|+

\| =lrrlqlrlrlrqlrqlrqEptc tc tc Si l es pequea comparada con r, l2/4 del denominador se puede despreciar frente a r2 y se obtiene

30241rqlEptc=ql = P = momento elctrico del dipolo. Luego30241rpEptc= El campo en el punto Q. El valor del campo creado en Q por cada carga es: 441220lrqE+=tc Las componentes de estos campos perpendiculares al eje del dipolo se anulan, y ambas componentes paralelas al eje, cuyo valor esE sen , dan como resultados EQ. 2122220442412||.|

\|++= =lrllrqEsen EQtcsi r>>l se desprecian los trminos l2/4y se tiene: 3041rqlEQtc= y en funcin de P3041rPEQtc= El campo elctrico en cualquier otro punto, puede calcularse de la misma forma, pero resulta mas comodo el uso de coordenadas polares r y uy calcular el campo en funcin de las componentes rectangulares Er, en el sentido en que aumente r, yE en el sentido en que aumenta . Entonces: 30cos 241rpErutc= 3041rpsenEutcu = Problema 4 Determinar la longitud, direccin y sentido del campo elctrico en el punto P, situado a una distancia r de un hilo largo ( l >> r )cargado positivamente. En el punto P, el elemento dq crea un campo de magnitud: 2041sdqdE =tc Puesto que los campos en otros elementos no tienen la misma direccin que dE, la intensidad resultante no puede calcularse por la integracin de esta ecuacin ( la integracin es un proceso algebraico y no una suma vectorial ). Pero las componentes X e Y de dE puede integrarse separadamente. Esto es: } }= = u dEsen dE Ex x; } }= = u cos dE dE Ey y. La carga de un elemento de longitud dx es:dq= dx entonses2041sdxdE tc=La integracin puede simplificarse sustituyendo x por como variable independiente. De la figura se deduce: u rtg x = ; ; sec2u ud r dx = u sec r s =Haciendo la sustitucin se obtiene: }= ;410u utcd senrEx

}= u utcdrEycos410 Si el hilo es infinitamente largo, los lmites de integracin varan entre = - /2 y = + /2 y entonces finalmente se obtiene Ex= 0;rEytc021=Problema 5 Determinar el campo elctrico en un punto P de un anillo situado en el plano X-Z, con su centro en el origen y de radio a, que tiene una carga + uniformemente distribuida.Un pequeo elemento de anillo cuya carga es dq crea en P un campo dE, de magnitud 2041sdqdE =tc Se observa que al considerar todos los elementos del anillo, las componentes dE cos , perpendicular al eje, se compensan y el campo resultante en P es la suma de las componentes dE cos , por tanto, } }= = dqrdE E20cos41cosutcuo sea( )232 202041 cos41b abqrqE+= =tcutc En el centro del anillo donde b= 0, resulta que E=0, lo que resulta evidente por razones de simetra. Para distancias tales que a b. Solucin : a)para r < a: Primeramente escogemos una superficie gaussiana esfrica de radio r, y aplicando la ley de Gauss, vemos que la carga neta encerrada es cero, entonces, E es igual a cero. b)para a < r < b : Igual que en (a), escogemos una superficie gaussiana esfrica de radio r y de la ley de Gauss: }= q s d E 0c Como la distribucin de carga es uniforme, entonces: ) ( 343 3a bQdvdq= =t ba Yla carga neta encerrada es: ) (433 3a r q = t y sustituyendo nos queda que: ) () (3 33 3a ba rQ q= Como el campo elctrico es constante en toda la superficie gaussiana hacemos}= 0cqs d E y entonces: ) () () 4 (3 33 320a ba rQ r E= t cy despejando el campo ) () (413 33 320a ba rrQE=tc En notacin vectorial rea ba rrQE ) () (413 33 320=tc Para r > b : Si escogemos una superficie gaussiana de radio r, y la carga neta encerrada es Q entonces: }= 0cQds E integrando y despejando E obtenemos el campo elctrico en notacin vectorial rerQE 4120tc= Problema 6 Dos esferas de iguales radios y pesos, estn suspendidas de hilos, de manera que sus superficies se tocan. Despus de comunicarles una carga de q0 =4 x 10-7 coul, los hilos se han repelido y distanciado formando un ngulo de 60 0 . Hllese el peso de las esferas.

WABX X XWFe214 9010 4 10 95774 . 0 30 tan= = = lABsen25 . 0 300= = Por tanto:; 2 . 0 m l AB = =Fe1 Fe2 mg q T l q Entonces:newton xo xx x xW3214 910 6 . 152 . 5774 . 010 4 10 9= = O bien W = 1.6 x 10 -3 Kg fza. Problema 7 Un campo elctrico constante y uniforme dado por = 0cE x Cruza un hemisferio de radio a determine el flujo elctrico que cruza el hemisferio. Ver figura De la ecuacin de Gauss se tiene que: De donde: De donde ds = 2,dl = a dyy = a sen y dl = a d Por lo tanto, ds = 2a sen a d Sustituyendo ds por su valor tenemos que:

[(

)]

Integrando y evaluando obtenemos que el flujo esta dado por: = a2 E. De este resultado observamos que el rea efectiva es el rea transversal del campo. a dlll d dss dsS POTENCIAL ELECTRICO 1.7 Definicin. Potencial elctrico es la cantidad de energa que adquiere una carga al situarse dentro de un campo elctrico. Cualquier partcula cargada que se encuentra dentro de un campo elctrico, tiene una energa potencial elctrica que procede del trabajo realizado para desplazarla venciendo las fuerzas elctricas. De manera similar, la energa potencial gravitacional que posee un cuerpo procede del trabajo realizado al desplazarlo venciendo las fuerzas del campo gravitacional. La figura 2.1 (a) muestra la trayectoria que sigue ( de forma arbitraria ) la carga prueba q, que se mueve dentro de un campo elctrico pasando por los puntos a y b. La carga q puede ser una pequesima esfera metlica cargada y de alguna manera colocada en el extremo de una varilla de material aislante. El valor del campo puede variar de un punto a otro de la trayectoria y para simplificar el anlisis no se han representado las cargas que producen el campo ni se han tomado en cuenta las fuerzas gravitatorias ni de rozamiento. El vector qE , es la fuerzaejercida sobre la carga por el campo en un punto arbitrario a lo largode la lnea. El vector F es la fuerzaexterior, no elctrica, que acta sobre la carga; esta podra ser la mano de alguien que mueve la varilla aislante, siguiendo la trayectoria sealada en la figura. Sea el ngulo formado por la tangente a la trayectoria y la fuerza qE, y el ngulo determinado por la tangente y la fuerza exterior F. En la figura 2.1 ( b ) cada una de las fuerzas qEy F se han descompuesto en sus componentes paralela y normal a la trayectoria. La fuerza normal resultante, Fn Es: Fn= Fsen + qE sen .2.1 Fig. 2.1 Fuerzas que actuan sobre una carga q colocada dentro de un campo elctrico Ft= Fcos + qE cos .2.2 Ft= Fcos + qE cos = ma .2.3 dsdvvdsdvdtdsdsdsdtdvdtdva = = = = .2.4 ds es el elemento de longitud a lo largo de la trayectoria. Entonces: Fcos + qE cos = mv dsdv . 2.5 Fcos ds + qE cos ds = mvdv ..2.6 F cos ds =mvdv- qE cos ds 2.7 Fcos ds, es el trabajo realizado sobre la carga por la fuerza exterior F durante el desplazamiento ds Entonces: dW = Fcos ds2.8 mv dv, puede expresarse como 1/2mv2d(EC) = mvdv = d(1/2mv2)2.9 El trmino - qE cos ds, es el trabajo realizado contra la fuerza elctrica qE, ejercida sobre la carga, por el campo. El signo significa que se ha realizado trabajo contra las fuerzas elctricas. Este ltimo termino represente el incremento de la energa potencial d(EP), de la carga. D(EP) = - qE cos ds.2.10 Entonces la ecuacin de trabajo-energa, cuando se transporta un cuerpo cargado en un campo elctrico es.d(ET) = d(EC) + d(EP) 2.11 Si se integra la ecuacin 7 a lo largo de la trayectoria a lo largo de a y b, se obtiene: }baF cos ds = }vbvamvdv-}baqE cos ds. 2.12 }baF cos ds = WEs el trabajo total efectuado sobre la carga por la fuerza exterior. }vbvamvdv = 1/2mvb2 mva 2 =ECb - ECa . Es el aumento total de la energa cintica de la carga -}baqE cos ds = EPb EPa.Es el trabajo realizado contra la fuerza ejercida por el campo, o sea el aumento total de la energa potencial. En el caso de que la velocidad en los puntos a y b sea la misma, el aumento de la energa cintica es nulo y todo el trabajo exterior se aplica para aumentar la energa potencial. }baF cos ds = -}baqE cos ds = EPb EPa.. 2.13 Si la fuerza exterior es nula y la carga se mueve nicamente por la fuerza ejercida sobre ella por el campo, la primera integral de la ecuacin es nula y0 = ECb ECa +EPb EPa. ECb + EPb =ECa + EPa = Constante 2.14 EPb = -}bqE cos ds... 2.15 Como el punto b puede ser un punto cualquiera del espacio, entonces: EP =-}qE cos ds.. 2.16 La integral, es una integral curvilnea desde el infinito al punto en cuestin. La energa potencial de una carga prueba en un punto de un campo elctrico puede definirse, por consiguiente, como el trabajo realizado contra la fuerza ejercida sobre ella por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto. 1.8- Clculo del potencial elctrico. El potencial en un punto de un campo elctrico se define como la razn de la energa potencial de un cuerpo de prueba al valor de su carga, o sea, la energa potencial por unidad de carga. Potencial en el punto a = Va = qEPqa punto el en q ga car la de potencial energa . 2.17 EP energa potencial en la carga qen el punto a = qVa

V = qEP= cos qds E q}u = -}ds E u cos 2.18 En lenguaje matemtico el potencial en un punto es igual a la integral curvilnea cambiada de signo, de la intensidad del campo elctrico desde el infinito al punto. Fsicamente puede definirse como el trabajo realizado por unidad de carga, contra la fuerza ejercida por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto. El potencial en un punto ser un voltio, si para traer una carga de un culombio desde el infinito al punto venciendo las fuerzas del campo, es necesario realizar un trabajo de un julio. El potencial en un punto de un campo electrosttico es de un voltio, si la razn de la energa potencial de una carga en el punto, al valor de la carga, es de julio por culombio. En sl sistema electrosttico un statvol equivale aproximadamente a 300 V. 1.9Diferencia de potencial Se denomina diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos de un campo electrosttico a la diferencia existente entre el valor de los potenciales de dichos puntos. } = baa bEqEPqEPcos ds..19 Pero qEPb = Vb y qEPa= Va DondeVa= Potencial en el punto a Vb= Potencial en el punto b Se tiene entonces que Vb- Va= - }baEcos ds.. 2.20 La ddp entre dos puntos b y a es igual a la integral curvilnea, cambiada de signo, de la intensidad del campo elctrico desde el punto a al b, o sea, es igual al trabajo realizado por unidad de carga contra las fuerzas elctricas cuando se mueve una carga desde el punto a al b. La ddp entre dos puntos b y a es un voltio si se efecta contra las fuerzas elctricas un trabajo de un julio por culombio, cuando se mueve desde el punto a al b. Se dice que el punto b esta a un potencial mayor al del punto a si se realiza trabajo contra las fuerzas elctricas para mover una carga positiva desde a hasta b. Esto es b esta a un mayor potencial al de a si la energa potencial es mayor en b que en a. El potencial en un punto puede considerarse como la ddp entre dicho punto y otro a distancia infinita donde el potencial se supone arbitrariamente acero. La ddp entre dos puntos a y b Vabo bien Vpq ; esto es Vab Va Vb ,Vpq Vp Vqetc. Vab Va Vb ,yVba Vb Va se deduce que Vab -Vba Campo creado por una sola cargaHasta aqu hemos considerado la existencia del campo elctrico sin tomar en cuenta las cargas que lo producen. Si ahora tenemos que el campo es creado por una sola carga puntual q y que dentro de este campo se tiene una trayectoria cualquiera que une los puntos a y b, como se seala en la figura. En un punto de la trayectoria cuya distancia a la carga q es r, se tiene que: Vb-Va= - babarrrrrqrdrq((

=}14141020 tc tc o sea Vb Va = a brqrq0 04141tc tc .. 2.21 En donde ra y rb son las distancias de la carga q a los puntos a y b respectivamenteEntonces para calcular el potencial en un punto, respecto a un punto del infinito podemos usar la ecuacin18 o bien la ecuacin 21 donde ra = yVa = 0; cualquiera de las dos conduce a: Vb = brq041tc y puesto que b puede estar en cualquier punto del campo entonces:Vb- Va= - }baEcos ds Sabemos que:E = 20 41rqtc

donde r es la distancia desde la carga q, a un punto cualquierade la trayectoria ab. Para un recorrido infinitesimal ds a la largo de la trayectoria, la distancia aumenta en dr y entonces: dr = ds cos Fig. Trayectoria a-b dentro del campoelctrico producido por una sola carga V = rq041tc.2.22Campo creado por ms de una carga. Si el campo es creado por ms de una carga elctrica puntual como se ve en la figuray la carga es movida por una fuerza externa F (no representada en la figura) que forma un ngulo con la trayectoria y que acta sobre la carga q colocada en el punto, la fuerza aceleradora resultante es: Ft= Fcos + qE1 cos 1 + qE2 cos 2 . Procediendo de la misma manera en que se hiso anteriormente Tenemos: }baF cos ds = }vbvamvdv-}baqE1 cos 1 ds - }baqE2 cos 2 ds El incremento de la energa potencial de la carga es:EPb EPa =-}baqE1 cos 1 ds - }baqE2 cos 2 ds..2.23 La ddp Vb Va vale: Vb Va = -}baE1 cos 1 ds - }baE2 cos 2 ds 2.24 Y el potencial en el punto es: V = -}baE1 cos 1 ds - }baE2 cos 2 ds2.25 Donde las integrales son integrales curvilneas desde el infinito al punto en cuestin. Pero, en virtud de la figura se tiene: E1 = 22202211041,41rqErqtc tc= cos 1 ds = dr1cos 2 ds = dr2 luego, V = rq041tc 2.26 Esta ecuacin se aplica para determinar el potencial en un punto debido a esferas uniformemente cargadas, puesto que el campo en los puntos exteriores una esfera, que tiene una densidad superficial de carga uniforme, es el mismo que si toda su carga estuviera concentrada en su centro. Si las cargas estuvieran distribuidassobre superficies o dentro de volmenes la ecuacin (26)se convierte en: V = rdq}041tc..2.27 Gradiente de potencial La ddp entre los pntos a y b es: Vb- Va= - }baEcos dsCuando la distancia que separa a los puntos es infinitesimal la ddp se convierte en dV y entonses:dV = - E cos ds.2.28 Y la ecuacin (2.28) puede escribirse como: E cos = - dsdV2.29 La razn dV/ds, o sea la derivada del potencial respecto a la distancia contada en la direccin de ds, se denomina gradiente de potencial. Puesto que es el ngulo formado por el vector campo elctrico y el elemento de longitud ds, el producto E cos es la componente del campo en la direccin de ds. De aqu se deduce lo siguiente: La componente de la intensidad del campo en una direccin cualquiera es igual al gradiente de potencial en dicha direccin, cambiado de signo. El campo que rodea a un conjunto de cargas cualquiera es tridimensional y ent Ex = - dxdV ;Ey = - dydV;Ez = - dzdV. 2.30 Intensidad del campo elctrico, potencial y distribucin de carga Un campo elctrico queda completamente determinado dando la distribucin de carga, el campo elctrico en cada punto o el potencial de todos los puntos.

Si se conoce la distribucin de carga,E y V pueden calcularse con las expresiones E = 20 41rq}tc V = rdq}041tc Si se conoce E, la carga dentro de cualquier volumen (y, por consiguiente, en cualquier punto) puede encontrarse mediante el teorema de Gauss. V se calcula a partir de la distribucin de carga conocida con la ecuacin: V = rdq}041tc O puede deducirse directamente de la expresin V = -}ds E u cos Si se conoce el potencial en todos los puntos E se deduce de las relaciones Ex = - dxdV ;Ey = - dydV;Ez = - dzdV Y, una vez conocido el campo elctrico, la distribucin de carga puede encontrarse mediante el teorema de Gauss. Superficies equipotenciales.- una superficie equipotencial es aquella en la cual todos los puntos tienen el mismo potencial. Puesto que la energa potencial de un cuerpo cargado es la misma en todos los puntos de una superficie equipotencial dada, se deduce que no es necesario trabajo elctrico para mover un cuerpo cargado sobre una de estas superficies. Por tanto, la superficie equipotencial que pasa por cualquier punto es perpendicular a la direccin del campo en dicho punto. Problemas de la unidad II. 1.- Determinar la carga de una partcula puntual sometida a un potencial elctrico de unad.d.d p. de 127V situada 20cm. Sabemos que el potencial elctrico de una partcula est determinado por: Por lo que despejando tendremos: Sustituyendo obtendremos:

2.-Determinarelvalordelpotencialelctricocreadoporunacargapuntualq1=12x10-9 Cenun punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura. Resolucin: Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el clculo del potencial en un punto debido a una carga puntual cuya expresin es y por lo tanto el valor sera 3.- Entre dos puntos de un campo elctrico existe la diferencia de potencial de 2000 V. Qu trabajo se efecta al trasladar una carga de 25C entre esos puntos? Datos:V = 2.000 V W = q(V1 V2) q = 25x10-6 C W = 25x10-6 C x 2.000 V = 0,05 JW = ? 4.- Qu potencial existe en un punto de un campo elctrico si el campo tuvo que efectuar un trabajo de 0,24 J para trasladar una carga de 8C desde ese punto hasta el infinito? Datos:W = 0,24 J W = q(V1 V2) = qV1 q = 8x10-6 C V1 = W/q = 0,24 J / 8 x10-6 C = 30.000 V V1 = ?V2 = 0 V (en el infinito) 5.-Para trasladar una carga elctrica desde un punto a 220 V y la tierra se efectu un trabajo de 11 millones de Joule. Qu carga pas a tierra? Datos:V1 = 220 V W = q(V1 V2) V2 = 0 V (tierra)q = W/(V1 V2) = 11.000.000 J / (220 V 0 V) = 50.000 C W = 11.000.000 J 6.- Qu potencial existe en la superficie de una esfera de 45cm de radio cargada con 25 C? Datos:V = kq/R R = 0,45 m V = 9x109 Nm2/c2 x 25x10-6 C / 0,45 m = 500.000 Vq = 25x10-6 CV =? 7.- Calcular la aceleracin que adquiere un electrn que se desplaza entre dos placas situadas en el vaco a 1 cm entre s y entre las que existe la diferencia de potencial de 1 V? Datos:q = - 1,6x10-19 Cmelectrn = 9,1x10-31 kgd = 0,01 mV = 1 VW = Fd = madW = W = q(V1 V2)Entonces: mad = W = q(V1 V2)Se considerar solo la magnitud de la carga del electrn.a = q(V1 V2)/md = 1,6x10-19 C x 1 V / (9,1x10-31 kg x 0,01 m) = 1,758 m/s2 8.- Cuatro cargas de -8, 10, 5 y -3 stc, estn ubicadas en los vrtices de un cuadrado de lado 5 cm (en ese orden, partiendo del vrtice superior izquierdo). Determine: a) el potencial en el punto medio del cuadrado, b) la energa almacenada en el sistema. Datos:q1 = - 8 stc = -2,67x10-9 C (1 stc = 1/3x109 C)q2 = 10 stc = 3,33x10-9 Cq3 = 5 stc = 1,67x10.-9 Cq4 = - 3 stc = - 10-9 CLa distancia de cada carga al centro del cuadrado es la mitad de la diagonal del cuadrado:R1 = R2 = R3 = R4 = 0,03536 m V1 = 9x109 Nm2/c2 x -2,67x10-9 C / 0,03536 m = - 679,6 V V2 = 9x109 Nm2/c2 x 3,33x10-9 C / 0,03536 m = 847,6 V V3 = 9x109 Nm2/c2 x 1,67x10-9 C / 0,03536 m = 425,1 V V4 = 9x109 Nm2/c2 x -10-9 C / 0,03536 m = - 254,5 V V = - 679,6 V + 847,6 V + 425,1 V 254,5 V = 338,6 V 9.-Determnese el potencial del punto del campo que se encuentra a la distancia de 10 cm. del centro de una esfera hueca cargada de 1 cm. de radio. Resulvase el problema cuando se conozcan: a)la densidad superficial de carga, que es igual a 10-11 coul/cm.2;b)el potencial de la esfera, que es de 300 voltios. Datos: =10-11 coul/cm2 = 10-7 coul/m2q = A 1 st volt = 300 volts= 4r2 R = 1cm =10-2m m Voltsx RrRrE / 113101010 85 . 810 44121212720220=||.|

\|=|.|

\|= =c co t oc tc V=ER=113 x 10-1 = 11.3 Volts. El potencial de la esfera hueca que es de 300 volts. esfE = . 300 ;0 020Voltsrr E VRresf esf= = = =|.|

\|cococo RrrRrVdividiendoRrRrRqRRqER Vpuntopunto= = = = = = =00202 2020.30044141cococo t otc tc Por tanto,Vols Vp30101300 = =V = f ( x ) 10.- Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2= -12 x 10 -9 C estn separadas 10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos ab, bc y ac. Resolucin: Parapoderhallarladiferenciadepotencialentrepuntos, debemos primero hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado Potencialenelpuntoa:Elpotencialenaesdebidoala accindedoscargaspuntualesq1yq2porlotanto deberemoscalcularcadaunodedichospotencialesyestablecerladiferencia.comoel potencialenunpuntodebidoaunacargapuntualsecalculacon entonces deberemos repetir este clculo para cada una de las cargas. consecuencia En porloque,comoseobserva,elresultadocorrespondealadiferenciaentreelpotencial positivocreadoporlacargaq1yelpotencialnegativocreadoporlacargaq2.potencialde q1=+1800Vypotencialdeq2=-2700Vdeallsurgenladiferenciaqueesafavordel potencial negativo en -900 V). Potencialenpuntob:Repetimosloestablecidoparaelpuntoa,simplementequeahora debemoscalcularlasdistanciasparaelpuntob.Porloquelaexpresinnosqueda

comoseobservaelresultadocorrespondealadiferenciaentreelpotencialpositivocreado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 2700 V y potencial de q2 = - 771 V de all surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1929 V). Potencialenpuntoc:Enelpuntocnoesnecesariorealizarelclculonumricodadoque comolasdistanciasentrecylascargassonigualesylascargassonigualesydesignos contrarios,lospotencialesqueprovocansondeigualvalorysignoopuesto,porloqueel potencial en c vale 0 (Vc=0). Clculo de los potenciales solicitadosVab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 VRespuesta:Vab =+ 2.829 V Vbc=- 1.929 VVac=+ 900 V 11.- Determinar el potencial elctrico para mover una partcula de carga Q del infinito al punto A Solucin: Retomamos como el potencial elctrico para el punto VAB el cual era:

Lo cual obviamente solo es un lmite y por lo tanto 12.- Determina la carga de una partcula puntual sometida a un potencial elctrico de una carga de 127V situada 20cm. Solucin. Sabemos que el potencial elctrico de una partcula est determinado por: Por lo que despejando tendremos: Sustituyendo obtendremos: 13.-una carga de 34se mueve entre dos puntos por los cuales hay una diferencia de potencial de 48 V. Cul es el cambio en la energa potencial? Solucin: La diferencia de potencial entre los dos puntos est dada por:

Despejando el cambio de energa se obtiene: Sustituyendo valores: (

)()

14.-un deutern es acelerado entre dos puntos donde hay una diferencia de potencial si el deutern alcanza una velocidad de desde el reposo, Cul es la diferencia de potencial? Solucin:

La diferencia de potencial est dada por:

Como el trabajo es igual a la diferencia de energa cintica:

Sustituyendo valores: (

)(

)(

)

15.-una partcula cargada positivamente se mueve a travsde una diferencia de potencial de 200V obtieneun incremento de energa cintica de

. Calcule la carga de la particula.

El incremento esta dado por: Sustituyendo valores:

16.-considere un protn con unaenerga cintica de

. Qu diferencia de potencial senesecita para detener el protn? Solucin:

(

)

} Sustituyendo valores:

17.-dos grandes placas metlicas paralelas, separadas por una distancia de 3.0 mm se cargan de la misma magnitud de carga pero de signo contrario, hasta obtener una diferencia de potencial de 30 V. Cul es la intensidad del campo elctrico entre placas? Solucin: d= 0.003 m, la diferencia entre dos puntos, cuando el campo elctrico es uniforme, est dada por: E=

Sustituyendo valores:

18.-Puesto que el potencial a una distancia a=2.5m se toma como cero, lo que nos estn pidiendo en el problema es la diferencia de potencial entre un punto cualquiera y un punto situado a a de la lnea cargada. Consideraremos que el punto P donde queremos calcular tal diferencia de potencial est situado sobre el plano XY a una distancia r en perpendicular a la lnea infinita de carga. Consideremos un elemento diferencial de longitud dz de esta lnea, elemento situado a una distancia del origen de coordenadas y por lo tanto alejado una distancia del punto P: la diferencia de potencial creada por tal elemento dz es. Ya que la carga que lleva dz escon la densidad lineal de carga, que es constante. La diferencia de potencial que piden en el problema es por tanto. 19.- Calcular la diferencia de potencial entre OyP de una distribucin de cargasformada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.

el resultado obtenido indica que los dos puntos O y P estn sobre la lnea equipotencial V=0. Esto no implicaqueelcampoenOyenPseanulo-quenoloes-.Lasituacinsereflejaenlasiguiente figura,enlaquesedebeobservarquelaslneasequipotencialessiempresonperpendicularesalas lneas de campo elctrico. Encasosdedistribucincontinuadecargaelpotencialelctricosecalculamediantelaexpresin: 20.- Una carga Q est distribuida uniformemente sobre una barra delgada de longitud L. Calcular el potencialenunpuntoP,situadoaunadistanciaxaladerechadelabarra,comosemuestraenla figura. Sisuponemosunadensidad lineal de carga , 21.-CalcularelpotencialelctricoenP(0,0,3)debidoaunacargaelctricadistribuida uniformemente entre 0 y 3/2, y con densidad , sobre la curva x2+y2=16. Lacurvax2+y2=16esunacircunferenciaenelplanoXYderadioR=4,portanto,lasituacin planteada es: En los siguientes problemas faltan las figuras. No considerarlos Problema 11.- En la fig., sea E el campo elctrico en cualquier punto en la direccin + de x e igual a 10 v/m ( un campo uniforme). Sea x1 m.. Encuntrese Vab

} }+ = = = =a xx abV E dx e dl E V01110 cosu Si la trayectoria de la carga prueba es curva y el campo elctrico es no uniforme se tiene

Va bqrdr qVa rab|.|

\| = =}=1 14 40020tc tc Problema 12.- En la figura Q = 233 pC. Adems sea a = 400 mm y b = 100 mm . El medio es aire. Encuntrese el potencial absoluto Va en a, el potencial absolutoBb en b y el aumento de potencial Vab VaQVa5140~ =tc VbQVb20140~ =tcV V V Va b ab15 ~ = Problema 13.- Determine el potencial elctrico en el punto A, producido por las cargas que se muestran en la figura, si la magnitud de q = 2 x10-6 coul y a = 0.5 m. iiniinirqV VE=== E =10141tc Para este caso3 2 1V V V VA+ + = ||.|

\|+ + =332211041rqrqrqVAtcy como q1 = 2q,q2 = 4q, q3 = - 3qyr1 = r2 = r3 = a Obtenemos que: ( ) qa aqaqaqVA341 3 4 2410 0tc tc=|.|

\| + =sustituyendo valores V= 1.08 x 105 Problema 14.- Determine el potencial elctrico en el punto A localizado en el centro del anillo de radio a que tiene una distribucin de carga positiva y negativa como se muestra en la figura. El potencial en A ser igual a la suma de los potenciales producidos por la distribucin de carga + y la distribucin de carga - . VA =VA (q+) + VA(q-) luego }=rdqVA041tcdonde r = ctte = a. Como dq = dl y dl = a d Para la carga positiva se tiene: ( )}=+tu tc340 041d a q VAintegrando y evaluando( )}=+tutc340 04daaq VA = | | tutc34004 ( ) =+q VA =0 03 344 cttc=|.|

\| Para la carga negativa se sigue el mismo procedimiento. }=rdqVB041tcdonde r = ctte = a.como dq = dl = a d entonces ( )} =tu tc320 041d a q VAintegrando y evaluando( )}=tutc320 04daaq VA = | | tutc32004 ( ) =q VA =0 06 324 cttc =|.|

\|Para obtener el potencial resultante sumamos algebraicamente los potenciales obtenidos, esto es: 0 0 0 06 2113 6 3 cccc=|.|

\| = =AV Problema 15 Encuntrese el potencial elctrico a lo largo del eje x de un disco cargado uniforme de radio a y carga por unidad de rea . El punto P se encuentre a una distancia x del centro del disco y se acepta que el plano del disco es perpendicular al eje x . Para simplificar el problema se divide el disco en anillos cargados de rea 2r dr. Inicialmente consideremos un anillo de radio r y ancho dr como se ve en la figura. El rea del anillo es dA = 2rdr. Por lo tanto, el potencial en el punto P debido al anillo es: 2 2 2 22x rrdr kx rkdqdV+=+=t o Para encontrar el potencial en P, se suman todos los anillos que integran al disco. Es decir, integramos dV de r = 0a r = a. ( )} }+ =+=a ardr x r kx rrdrk V02 / 12 202 222o t o t Esta integral es de la forma un du y tiene el valor un+1/(n+1), donde n= -1/2 y u = r2+x2. De esto resulta ( ) ( ) ( )=(((((

++=(((((

+ +=(((((

+ +=+ 21) 0 (21121121212 2212 20212 201212 2x x akx rkx rk Va ao t o t o t ( ) | | ( ) ( )((

+ = + = + = x x a k x x a x x a k V212 2212 2212 22 2 2 o t o tConociendo el potencial, podemos encontrar fcilmente el campo elctrico en cualquier punto sobre el eje de las x (forma axial al disco) mediante la ecuacin del gradiente de potencial, considerando el valor negativo de la derivada de V en relacin con x . ||.|

\|+ = =2 21 2a xxkdxdVExo tPara puntos que se encuentren fuera del eje x, es mas difcil determinar los clculos Problema 16 Una esfera slida aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q, determine el potencial elctrico en un punto fuera de la esfera. Considere el potencial igual a cero donde r = Los potenciales elctricos en los puntos B y Q son equivalentes a los producidos producidos por una carga puntual Q localizada en el centro de la esfera. La ecuacin de Gauss nos auxilia en la determinacin del campo elctrico fuera de la esfera con carga uniforme. 2rQk E = Para r>R Donde el campo esta dirigida Radialmente hacia fuera cuando Q es positiva. para un punto +- +-