CURSO-TALLER

“ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO”

Apuntes de Electricidad y Magnetismo

Instructor:Maximino Paz Cárdenas

INDICE

CONTENIDO PAGINA

OBJETIVO GENERAL

INTRODUCCIÓN

GUÍA DE INSTRUCCIÓN

DESCRIPCIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL LUGAR DONDE SE IMPARTIRÁ EL CURSO

DESCRIPCIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DE LOS PARTICIPANTES

COMPETENCIAS REQUERIDAS POR LA POBLACIÓN META

DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO REQUERIDO Y SUS RECOMENDACIONES DE USO

SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES PARA LAS ACTIVIDADES DEL PROCESO DE CAPACITACIÓN

MATERIAL DIDÁCTICO DE APOYO

BIBLIOGRAFÍA

EVALUACIÓN INICIAL

EVALUACIÓN FINAL

SOLUCIONES DE EVALUACIONES

CONCLUSIONES

OBJETIVO GENERAL

Al término del curso el participante estará capacitado para, comprender, analizar y aplicar los principios y leyes que rigen el comportamiento de

los fenómenos eléctricos y magnéticos

UNIDAD I

ELECTROSTÁTICA

1.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA “ELECTROMAGNETISMO: DE LA CIENCIA A LA TECNOLOGÍA”.

1.2.- DEFINICIÓN DE ELECTROSTÁTICA

La electrostática es la parte de la física que estudia las cargas eléctricas en reposo. Para conocer las cargas eléctricas es necesario remitirnos al estudio de la forma en que está constituida la materia. materia es todo aquello de que están constituidos los cuerpos y por lo cual ocupan un lugar en el espacio, tienen un peso y pueden presentarse en los estados sólido líquido y gaseoso. La partícula es una parte muy pequeña de materia que si por medios mecánicos o físicos se logra fraccionar, se llegará hasta la molécula que es la parte más pequeña en que se puede dividir la materia y que mantiene aún las características de la sustancia original. Dividir la molécula es algo nada sencillo de lograr, pero de hacerlo, se llegara a los elementos que constituyen la sustancia. Si una molécula de agua cuya expresión química es H2O se divide, se obtendrán dos átomos del elemento hidrógeno y un átomo del elemento oxígeno. Átomo es la partícula más pequeña en que se puede dividir un elemento, manteniendo todavía todas las propiedades del elemento original.

La palabra átomo deriva del griego que significa lo más pequeño e indivisible, sin embargo actualmente se sabe que el átomo esta compuesto por partículas más pequeñas llamadas partículas subatómicas como son los electrones, los protones y los neutrones. De acuerdo con el modelo atómico propuesto en 1913 por el del Físico Danés Niels Bohr, El átomo tiene una forma muy similar a nuestro sistema solar, en donde en el centro de forma similar al sol, se encuentra el núcleo y girando alrededor de él describiendo órbitas circulares o elípticas de manera similar a los planetas, se encuentran los electrones.

Actualmente se sabe que este modelo no es exactamente correcto, pero es una buena manera práctica de mostrar su estructura. Así como en nuestro sistema solar el sol que es lo más pesado se encuentra en el centro, así también el núcleo, que es lo más pesado del átomo se encuentra en el centro del átomo ocupando aproximadamente un diámetro de 10-12

cm . En el núcleo se encuentran los protones y los neutrones de masas muy similares, los electrones, que son aproximadamente 1840 veces más ligeros que los protones o los neutrones, giran alrededor del núcleo en órbitas que no van más allá de los 2 a 3 x 10 -8 cm. Una rápida comparación nos permite darnos cuenta que prácticamente toda la masa del átomo se encuentra en su núcleo; por lo que la masa atómica de un elemento viene dada por la suma del número de protones y de

Fig. Estructura del átomoneutrones que tiene el átomo en su núcleo, mientras que el número total de electrones en las órbitas, determina el número atómico del elemento. Sabemos que una molécula-gramo de hidrógeno monoatómico (El hidrógeno monoatómico solo posee un protón en su núcleo y ningún neutrón )

consta de 6.02 x 1023 partículas subatómicas ( número de Avogadro) y que su masa es 1.008 g. La masa de un solo átomo de hidrógeno es:

1 . 008

6 .02 x 1023=1. 67 x 10−24 g =1. 67 x 10−31 Kg

Luego sabiendo que de esta masa total del átomo de hidrógeno, 1/ 1840 corresponde a la masa del electrón se tiene:

masa del electrón=1 .67 x 10−24

1840g=9 .11 x 10 31 Kg

masa del protón=1 . 67 x 10−24 g=1 .67 x 10−27 kg

Luego como la masa del el protón y del neutrón son aproximadamente iguales se tiene:

masa del neutrón=1. 67 x 10−24 g=1 .67 x 10−27 Kg

Hemos determinado la masa de cada una de las principales partículas subatómicas. Sabemos que debido a que poseen esta masa se ejercen acciones que se traducen en fuerzas que son debidas a la acción gravitacional, pero estas fuerzas son insignificantes comparadas con las fuerzas que se producen entre ellas debido a las cargas eléctricas que se ha descubierto que poseen. Además, las fuerzas gravitacionales son solo de atracción, mientras que las fuerzas debidas a las cargas eléctricas pueden ser fuerzas de atracción y de repulsión.

Ciertamente los electrones giran alrededor del núcleo y se encuentran distribuidos en las capas siguiendo un orden establecido por la expresión 2N2 en donde N es la capa o nivel energético donde se mueven los electrones. Así en la primera capa o capa 1 el número máximo de electrones que existirá será de dos electrones. En la segunda capa o capa 2 existirán máximo 8 electrones, en la tercera capa, o, capa 3 se tendrán girando máximo dieciocho electrones. Sin embargo, en la última capa no podrán existir más de ocho electrones.Se ha descubierto que dependiendo del número de electrones que posea el átomo en su última capa, este presentará determinadas características que determinan el carácter eléctrico del material y así si el átomo tiene ocho electrones en su última capa, Esta estará completa y el material será muy estable y mucho muy difícilmente cederá o tratará de ganar electrones. Al no ceder ni ganar electrones este material se comportará como aislante es decir es un material que no conduce las cargas eléctricas. En la medida que va disminuyendo el número de electrones en la última capa, va disminuyendo la capacidad de aislante del material, de tal forma que al tener cuatro electrones en su última capa el material ni es conductor, ni es aislante o bien bajo ciertas condiciones conduce o bien no conduce.

ElectrónNúcleo

Electrones

Fig. Distribución de los electrones en sus órbitas

A estos materiales se les conoce como semiconductores. Si el número de electrones en la última capa es menor de cuatro el material ira siendo cada ves mejor conductor, es decir, cada ves tendrá menor resistencia al paso de las cargas eléctricas a través de el.

1.3.- LA CARGA ELECTRICA Y SUS PROPIEDADES.

Pero ¿cómo fue que se descubrió que las partículas subatómicas poseían carga eléctrica?, desde antes de nuestra era, los antiguos griegos observaron que al frotar el ámbar con una piel de gato, esta era capaz de atraer cuerpos pequeños; esto les hizo creer que el ámbar al frotarse adquiría una propiedad mágica. Ya en nuestra era Benjamín Franklin decía que todos los cuerpos tenían una determinada cantidad de fluido que servía para mantenerlos sin carga es decir neutros. Postuló que cuando dos cuerpos se frotan entre sí, uno de ellas acumulaba un exceso de fluido y quedaba cargado. Con el tiempo y tras el descubrimiento de las partículas subatómicas se llagó a concluir que los cuerpos al ser frotados alteraban su estado natural debido al intercambio de estas partículas. Ya que en griego antiguo la palabra ámbar significaba elektrón, dieron este nombre a la partícula más ligera. Ya que también en griego protón significa primero y como el núcleo que es la parte donde se encuentran los protones, es la parte más voluminosa del átomo y por lo tanto la que primeramente fue observada, esta tomó el nombre de protón. Un cuerpo no electrizado posee el mismo número de electrones que de protones. Cuando se frotan dos cuerpos hay una transferencia de electrones de uno hacia otro y el cuerpo que presenta exceso de electrones queda cargado negativamente, mientras que el que los perdió presenta un exceso de protones provocando la existencia de carga eléctrica positiva. Convencionalmente a la carga del electrón se le dio el signo - y a la carga del protón se le dio el signo +. Esto sin embargo no tiene nada que ver con las matemáticas. Obsérvese que los electrones y protones no poseen en su seno nada positivo ni negativo, esto sólo es una denominación que se aplica a una propiedad intrínseca de la materia que se manifiesta mediante repulsiones y atracciones. Los neutrones fueron denominados así por el hecho de no poseer carga alguna.

Electrización de los cuerpos

1.- Al frotar firmemente una barra de ámbar (o de ebonita) con piel de gato (o con lana), la barra se carga negativamente; si después la acercamos pero sin llegar a tocar a las esferitas de sauce ( o corcho) suspendidas como se muestra en la figura, las esferas serán atraídas. Si, sin dejar que la esferita toque la barra, ayudamos a escapar a tierra las cargas negativas, la esferita quedará cargada negativamente.

2.- Si permites que la varilla toque las esferas veras que por un momento se unirán a la barra pero posteriormente serán repelidas por la barra y también entre sí; esto es que ambas (barra y esferita) estarán cargadas positivamente.

3.- Realiza los dos pasos anteriores pero frotando ahora una barra de vidrio con un trozo de seda

4.- verás que aparentemente ha sucedido lo mismo. Más no es así ya que ahora las esferas se han cargado positivamente5.- Si ahora tocas separadamente a una de las esferas con la barra de ebonita y a otra de las esferas con la barra de vidrio también cargada, como se observa en la figura. Observaras que las esferas se atraen.

Considerando la anterior, tenemos el siguiente principio de electrostática: Cargas de igual signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen. Son tres las formas en que un cuerpo puede llegar a cargarse eléctricamente:

Por frotamiento, tal como sucedió al frotar la varilla de vidrio con la piel, como se hizo en el punto 1 señalado con anterioridad. Por inducción, tal como sucede en el mismo punto 1. Por contacto, tal como sucede en el punto 2 .

Al hecho de que las cargas eléctricas se atraigan o rechacen se la ha encontrado un sinnúmero de aplicaciones, entre algunas se tienen las siguientes: la fumigación de los campos agrícolas. Al

esparcir minúsculas partículas de bactericidas cargadas positivamente, estas se adhieren a las plantas que poseen cargas negativas. La impresión electrostática de las copiadoras. Las hojas de una copiadora se cargan positivamente y al arrojarles los chorros de la tinta esta se adhiere por poseer diferente carga eléctrica. Esta tinta se fija después al hacerle pasar por el calor producido por una lámpara de gran poder calorífico ver la siguiente figura.Al hecho de que las cargas se atrajeran o se rechazaran, sin que existiera contacto alguno entre ellas, causaba una gran incertidumbre entre los que experimentaban los efectos de las cargas eléctricas y buscaban una forma de explicar ese algo que motivaba tales acciones. Entonces Michael Faraday introduce el concepto de línea de fuerza, pudiendo concebir estas como una línea imaginaria que rodea a la carga de tal manera que si la carga es positiva,

estas salen de ella y si es negativa estas entran a ella ver la siguiente figura. Entonces si existe una carga positiva , de ella saldrán líneas que buscarán llegar a una carga negativa.

Fig. Líneas de fuerza que rodean a las cargas eléctri cas

Se puede considerar que las líneas de fuerza son elásticas y que tratan siempre de tener el mínimo de recorrido; de aquí entonces que dos cargas de signo contrario son siempre atraídas una hacia la otra. Pero sin embargo las líneas de fuerza no pueden cruzarse y entonces al estar una frente a la otra, ambas cambian de dirección, de ahí el que se repelan las cargas de igual signo ver las siguientes figuras.Trabajo extraclese: Buscar por lo menos otras tres aplicaciones de la electrostática.

Fig. Acción de las cargas eléctricas

Carga puntual

Una carga puntual es una carga eléctrica hipotética, de magnitud finita, contenida en un punto geométrico carente de toda dimensión, en otras palabras un cuerpo poseerá una carga puntual si las dimensiones de éste son súper pequeñísimas comparadas con la distancia que lo separa de cualquier otro cuerpo cargado. De lo anterior se considera que la carga puntual se encuentra concentrada en un punto. Un ejemplo de carga puntual es la carga que posee un electrón, cuyo radio es inmensamente pequeño comparado con las distancias de las órbitas atómicas. Una carga puntual aunque esta constituida por muchas cargas elementales, (electrones, protones, iones etc.), se supone que consiste en la suma de todas las cargas elementales

En el caso de que la carga esté contenida dentro de una geometría esférica, ha sido demostrado que dicha carga se comporta exactamente como una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

Densidad de carga Eléctrica

En un apartado anterior se señalo que mediante la electrización, los cuerpos puede adquirir carga a pesar de que las cargas eléctricas son cuantizadas y, por ende, múltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas eléctricas en un cuerpo están tan cercanas entre sí, que se puede suponer que están distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La característica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace más fácil, sin perder generalidad, su tratamiento. Dependiendo de la forma en la carga se distribuye en el cuerpo se pueden distinguir tres tipos de densidad de carga: lineal, superficial y volumétrica

Densidad de carga lineal. La forma en que esta carga se distribuye en el cuerpo depende la forma del mismo, así, si el cuerpo es de una gran longitud pero de una sección transversal súper pequeña comparada con su longitud, la carga se distribuye a lo largo de toda su longitud y entonces se tiene una distribución lineal de carga representada por landa λ y su valor estará dado por el valor de la carga por unidad de longitud, es decir λ = q/l y sus unidades serán coulombios por metro en el

sistema internacional de unidades (SI) . Entonces se tiene: λ=q

l=lim

Δl→0ΔqΔl

Donde q es la carga

del cuerpo y l es la longitud.

Densidad de carga superficial. Si la carga que adquiere el cuerpo se distribuye solo en su superficie por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio, se tendrá una distribución superficial de carga representada por el símbolo σ y su valor estará dado por el cociente de la carga por unida de longitud, es decir σ = q/s y sus unidades serán coulombios por metro cuadrado en el

sistema internacional de unidades. Entonces se tiene: σ=q

s= lím

Δs→0ΔqΔs donde s es la superficie

del cuerpo.

Densidad de carga volumétrica. Si la carga que adquiere el cuerpo se distribuye en el total del volumen que ocupa el cuerpo sin importar la forma que éste tenga, se tendrá una distribución volumétrica de carga y se representará con la letra v y su valor estará dado por el cociente de la carga por unidad de volumen, es decir δ = q/v y sus unidades serán coulombios por metro cubicoen

el Sistema Internacional de Unidades. Entonces se tiene δ=q

v= lím

Δv →0ΔqΔs donde v es el volumen

del cuerpo.

La densidad de carga que adquiere el cuerpo es fácil de calcular cuando se distribuye de manera uniforme dentro del cuerpo y el cuerpo es una figura geométrica regular. Si estas no son las condiciones, su calculo puede resultar extremadamente difícil requiriendo el empleo de cálculo avanzado.

1.4.-AISLANTES, CONDUCTORES, SEMICONDUCTORES Y SUPERCONDUCTORES.

Como ya se dijo con anterioridad, todos lo cuerpos están compuestos de átomos y los átomos están compuestos por las partículas subatómicas como lo son los protones y neutrones que se localizan en su núcleo y los electrones que se encuentran girando en su derredor distribuidos en las capas o nivéles energéticos en la cantidad que esta determinada por la expresión 2N2. Sin embargo, en la última capa no habrá nunca un número de electrones mayor a ocho. En estas condiciones el átomo tendrá su última capa completa y difícilmente cederá electrones; pero tampoco atrapará los de un átomo cercano. En estas condiciones dado que el átomo no sede ni atrae electrones el material del cual forma parte el átomo es eléctricamente neutro; es decir, no manifiesta carga eléctrica alguna y como no atrae ni cede electrones entonces se dice que es un material aislante. En la medida en que el átomo va perdiendo electrones en su última capa, también va perdiendo su capacidad de aislamiento eléctrico. De manera que un material con solo siete electrones en su última capa, tendrá una capacidad de aislamiento menor que el que tiene ocho; y el que tiene seis, menor que el que tiene siete y así sucesivamente. Cuando el átomo tiene cuatro electrones en su última capa, estaremos ente una situación similar al caso en que por ejemplo cuando un vaso tiene la mitad de su capacidad llena de agua, diríamos que esta medio lleno y sería correcto o bien diríamos que esta medio vacío y también sería correcto. En el caso del material, diríamos que es medio aislante o bien medio conductor. En este caso el nombre con que se a designado a estos materiales es el de semiconductor y esto no es porque medio conduzca o medio aísle, sino que, éste solo lo hace bajo ciertas condiciones que cuando se cumplen, el material conduce; aunque en una sola dirección y cuando no se cumplen simplemente no conduce. El comportamiento de estos materiales dio lugar a la elaboración de los diodos, dispositivos que son capaces de controlar el paso de los electrones y que vinieron a sustituir a los bulbos (válvulas termoiónicas) que con un poco de anterioridad venían desarrollando estas funciones.

Fig. Estructura de diodo

Elemento GrupoElectrones enla última capa

Cd II B 2 e-

Al, Ga, B, In III A 3 e-

Si, Ge IV A 4 e-

P, As, Sb V A 5 e-

Se, Te, (S) VI A 6 e-

Tabla Materiales semiconductores

Un diodo (del griego: dos caminos) es un dispositivo semiconductor que permite el paso de la corriente eléctrica en una única dirección con características similares a un interruptor. De forma simplificada, la curva característica de un diodo (I-V) consta de dos regiones: por debajo de cierta diferencia de potencial, se comporta como un circuito abierto (no conduce), y por encima de ella como un circuito cerrado con una resistencia eléctrica muy pequeña.Debido a este comportamiento, se les suele denominar rectificadores, ya que son dispositivos capaces de suprimir la parte negativa de cualquier señal, como paso inicial para convertir una corriente alterna en corriente continua. Su principio de funcionamiento está basado en los experimentos de Lee De Forest.Los primeros diodos eran válvulas o tubos de vacío, también llamados válvulas termoiónicas constituidos por dos electrodos rodeados de vacío en un tubo de cristal, con un aspecto similar al de

las lámparas incandescentes. El invento fue desarrollado en 1904 por John Ambrose Fleming, empleado de la empresa Marconi, basándose en observaciones realizadas por Thomas Alva Edison.Al igual que las lámparas incandescentes, los tubos de vacío tienen un filamento (el cátodo) a través del cual circula la corriente, calentándolo por efecto Joule. El filamento está tratado con óxido de bario, de modo que al calentarse emite electrones al vacío circundante los cuales son conducidos electrostáticamente hacia una placa, curvada por un muelle doble, cargada positivamente (el ánodo), produciéndose así la conducción. Evidentemente, si el cátodo no se calienta, no podrá ceder electrones. Por esa razón, los circuitos que utilizaban válvulas de vacío requerían un tiempo para que las válvulas se calentaran antes de poder funcionar y las válvulas se quemaban con mucha facilidad. Después del diodo se construyo el tríodo. La construcción del tríodo es muy similar a la del diodo, pues simplemente se añade una rejilla llamada rejilla de control. De esta forma, el cátodo envuelve al filamento, luego la rejilla cubre al cátodo y finalmente la placa envuelve al resto de los componentes.

Fig. Estructura del tríodo.

Inmediatamente se construyo el pentodo que es un dispositivo que cuenta que una tercera rejilla, es decir una más que el triodo. Esta rejilla supresora se coloco entre la rejilla de pantalla y la placa. Así se obtiene un dispositivo conformado por 5 electrodos, la placa, las 3 rejillas y el cátodo. Es importante mencionar que en cuanto a la construcción del pentodo, esta rejilla en la mayoría de los casos se conecta directamente al cátodo. Al conjunto de estos dispositivos se les conoce como transistores y actualmente se los encuentra prácticamente en todos los aparatos domésticos de uso diario: radios, televisores, grabadoras, reproductores de audio y video, hornos de microondas, lavadoras, automóviles, equipos de refrigeración, alarmas, relojes de cuarzo, computadoras, calculadoras, impresoras, lámparas fluorescentes, equipos de rayos X,

Fig. Estructura del pentodotomógrafos, ecógrafos, reproductores mp3, teléfonos móviles, etc

Si el átomo tiene un número de electrones por debajo de cuatro, entonces empezará a comportarse como conductor de la corriente eléctrica y mejor conductor será si menor es el número de electrones en su última órbita.

Materiales superconductores

Un superconductor tiene dos características esenciales. Por debajo de una temperatura crítica característica (Tc), dependiente de la naturaleza y estructura del material, los superconductores exhiben resistencia cero al flujo de electricidad y pueden expulsar el flujo magnético de su interior, dando lugar al fenómeno de levitación magnética.

En 1911, el físico holandés Kammerlingh Onnes observó que la resistencia eléctrica del mercurio adquiría un valor de cero cuando éste se enfriaba a una temperatura cercana al cero absoluto (4.2 grados Kelvin o menos 269 grados Celsius). De este modo se descubrió el fenómeno de la superconductividad. En 1933, Meissner y Ochsenfeld descubrieron que cuando se le aplica un campo magnético externo a un material superconductor, éste lo rechaza. La combinación de estas propiedades (conductividad infinita y expulsión del campo magnético) caracterizan a los materiales superconductores.

Durante las primeras décadas de este siglo se llegó a pensar que la superconductividad quedaría sujeta sin remedio a muy bajas temperaturas. Empero, a principio de los setenta se obtuvo un material superconductor (una aleación de niobio 3-germanio) a una temperatura crítica de 23 grados Kelvin. La temperatura crítica, es aquella a la que un material se hace superconductor. En 1986, el físico Karl Alex Müller, del laboratorio de IBM en Zurich, observó que un óxido cerámico, compuesto de bario, lantano y cobre tenía una temperatura crítica de 30 grados Kelvin. Estaba en marcha la carrera por obtener superconductores de altas temperaturas.En 1987, el grupo del doctor Chu, en Estados Unidos, descubrió un material de itrio-bario-cobre-oxígeno que es superconductor a 93 grados Kelvin (menos 180 grados centígrados). Un gran paso, pues ya se podía prescindir del helio líquido, que es muy caro, para enfriar el material. La temperatura crítica había superado los 77 grados Kelvin (menos 196 grados Celsius), punto de licuefacción del nitrógeno, que es muy abundante.

Y ¿PARA QUE SIRVEN? Si algún día los superconductores de temperatura ambiente llaman a nuestra puerta nos veremos inmersos en una revolución tecnología sin precedentes. Pero aunque no lo hagan, ya existen muchos equipos que utilizan la superconductividad en su funcionamiento. Un pequeño imán cilíndrico flota por encima de un superconductor. El vapor es nitrógeno líquido en ebullición, que mantiene al superconductor en un estado de resistencia nula. Cuando el imán desciende hacia el superconductor, induce una corriente eléctrica, que a su vez crea un campo magnético opuesto al del imán. Como el superconductor no tiene resistencia eléctrica, la corriente inducida sigue fluyendo y mantiene el imán suspendido indefinidamente.

A continuación un repaso a las aplicaciones más espectaculares de este fenómeno. Por su ausencia de resistencia, los superconductores se han utilizado para fabricar electroimanes que generan campos magnéticos intensos sin pérdidas de energía. Los imanes superconductores se han utilizado en estudios de materiales y en la construcción de potentes aceleradores de partículas. Aprovechando los efectos cuánticos de la superconductividad se han desarrollado dispositivos que miden la corriente eléctrica, la tensión y el campo magnético con una sensibilidad sin precedentes.

El descubrimiento de mejores compuestos semiconductores es un paso significativo hacia una gama mayor de aplicaciones, entre ellas computadoras más rápidas y con mayor capacidad de memoria, reactores de fusión nuclear en los que el plasma se mantenga confinado por campos magnéticos, trenes de levitación magnética de alta velocidad y, tal vez lo más importante, una generación y transmisión más eficiente de la energía eléctrica.

El SQUID o dispositivo superconductor de interferencia cuántica, fue una de las primeras aplicaciones comerciales de la superconductividad. Basado en las uniones Josephson, son captadores magnéticos extraordinariamente sensibles que permiten medir campos magnéticos y tensiones eléctricas increíblemente débiles, con una resolución del orden del picovoltio, una billonésima de voltio. Los SQUID llevan utilizándose ininterrumpidamente desde los años 60 en multitud de aplicaciones: detección súper precisa de las señales eléctricas del cerebro y el corazón, comprobación no destructiva de tuberías y puentes (la fatiga del metal produce una firma magnética peculiar), paleomagnetismo, sensores geológicos para prospecciones petrolíferas, equipos militares de detección de sumergibles y un largo etcétera. Aparatos de formación de imágenes por resonancia magnética, más conocidos como RMN. Con esta técnica se coloca una sustancia en un campo magnético intenso que modifica el spin de los núcleos de determinados iones. Después, se somete a la muestra a una onda de radio que reorienta los núcleos. Al desaparecer la excitación se libera un pulso de energía que proporciona información

sobre la estructura molecular de la sustancia... y que puede transformarse en una imagen mediante técnicas informáticas. El RMN es una herramienta casi indispensable para la formación de imágenes del cerebro, y con el advenimiento de los superconductores de alta temperatura podrá convertirse en una maquina mucho mas pequeña y barata: los superconductores clásicos enfriados por helio requieren voluminosos y delicados equipos de refrigeración. En cambio, el nitrógeno liquido es sencillísimo de producir y utilizar.

Superconductores los materiales del futuro. La superconductividad y la superfluidez, dos fenómenos de la física cuántica cuya explicación puede desembocar en la producción de materiales con propiedades completamente nuevas, valieron al ruso-estadounidense Alexei Abrikosov, al ruso Vitalij Ginzburg y al británico Anthony Leggett el Premio Nobel de Física 2003.

CONCLUSIONESLos superconductores son los conductores más raros , su característica principal es la ausencia total de resistividad eléctrica, por lo tanto son el elemento perfecto para transportar energía eléctrica puesto que no producen pérdidas por calor, el problema es que por el momento sólo se han encontrado materiales superconductores que funcionan a muy bajas temperaturas, y el costo es mucho más elevado que las pérdidas que se producen.

Referencias de materials semiconductors Serwey, Raymond A. Electricidad y magnetismoConstantino A. Utreras D. Apuntes de Electricidad y Magnetismo Departamento de Física.http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/index.htmlSchilling, Donald et Belove, Charles. Electronic Circuits: Discrete and Integrated. McGraw-Hill Inc. 1968.www.cjseymour.plus.com/elec/valves. Introduction to Thermionic Valves.http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/diodo.htm. Diodos.http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/triodo.htm. Triodos.http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/tetrodo.htm. Tetrodos.http://ourworld.compuserve.com/homepages/jlvillabona/tetrodo.htm. Pentodos.http://es.wikipedia.org/wiki/triodohttp://es.wikipedia.org/wiki/tetrodohttp://es.wikipedia.org/wiki/pentodo

Referencias de materiales semiconductores.

http://html.rincondelvago.com/superconductores_1.htmlMicrosoft encarta 2002, “superconductores”http://www.tae.edu.mx/superconductores/http://www.tae.edu.mx/superconductores/aplicaciones.htmlhttp://www.jornada.unam.mx/1996/abr96/960429/chavira.htmlhttp://homepages.mty.itesm.mx/al911330/http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/064/htm/sec_11.htm

1.5.-LEY DE COULOMB.

Como ya se dijo con anterioridad un cuerpo está cargado cuando posee un exceso o una disminución en el número de electrones, con relación a su número de protones. La mínima cantidad de carga que se puede poner en movimiento es la que representa un electrón. Sin embargo este valor de carga resulta demasiado pequeño para aplicaciones prácticas. Charles Agustín coulomb, mediante el uso de una balanza de torsión que se muestra en la figura a) demuestra que las fuerzas de atracción o repulsión entre dos cuerpos cargados son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa a dichos cuerpos (es importante señalar que en esa época no se conocía con exactitud el concepto de carga y por supuesto no existía ningún método o procedimiento para medirla). 1.- Posteriormente avanza en su estudio al encontrar que a una distancia dada, dichas fuerzas son proporcionales al producto de las cargas individuales de los cuerpos. Si tomamos en consideración una constante de proporcionalidad K, que dependerá del sistema de unidades que se elija para expresar a la fuerza, la carga y la distancia, entonces la proporcionalidad se puede sustituir por una igualdad es decir:

F1 q1 q2 F2

Fα1

r 2⇒Fα

q ´ q

r2⇒F=K

q´ q

r2 + +

Que es una forma matemática en que se expresa la ley de Coulomb, que nos dice que: La fuerza con que se atraen o rechazan dos cuerpos cargados es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Tal como se ha expresado, esta ley queda restringida a cargas puntuales, es decir cargas o cuerpos cargados cuyas dimensiones son muy pequeñas comparadas con las distancias que los separa.Desde

Fig.

el momento mismo en que se establece la ley de Coulomb, se ve la necesidad del uso de las unidades de medida por lo que es necesario conocer los diferentes sistemas de unidades utilizadas en el estudio de la electricidad y el magnetismo.

En el estudio de la electricidad y el magnetismo se han utilizado y aún se utilizan actualmente los siguientes sistemas de unidades:

El sistema cgs electrostático cgs electromagnético, MKS racionalizado y MKS no racionalizado. Con el objetivo de familiarizarse con el manejo de las diferentes unidades de medida , se pide a los participantes una investigación documental de los sistemas de medida antes señalados.

En nuestro curso, usaremos el sistema MKS. mientras no se diga lo contrario,

-Sistema MKS: denominado así porque emplea como unidades de fuerza y longitud las unidades del sistema MKS. También es conocido como sistema Giorgi o sistema MKS racionalizado. Sus características principales son:

- unidad de fuerza: Newton- unidad de longitud: metro- unidad de carga: Culombio (C)

En la figura se muestra la balanza de torsión que consiste en una barra (1) que cuelga de una fibra (2). Esta fibra es capaz de torcerse, y si la barra gira la fibra tiende a regresarla a su posición original. Al girar, su movimiento se transmite a la parte giratoria (3), que tiene un aguja (4) que señala el valor del recorrido sobre un anillo micrométrico (5). Si se conoce la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se logra un método sensible para medir fuerzas. En la barra de la balanza, Coulomb, colocó una pequeña esfera cargada (6) y, a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esferita (7) con carga de igual magnitud. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra

La balanza de torsión y sus componentes

2 34 567

Donde la constante ε0 es la permitividad del espacio libre o del vacío, ε0 = 8,8542 x 10-12 C2/(N.m2). De este modo, la ley de Coulomb se escribe en este sistema de unidades:

El nombre de sistema racionalizado se debe a la presencia del factor 4π en la ley de Coulomb.

Sistema Internacional de unidades

Unidad/Sistema C.G.S M.K.S Técnico otros 1 otros 2

Masa gr. Kg slug Lb

Longitud cm. M m pulg. pie

Tiempo s S s s s

Velocidad cm/s m/s m/s pulg/s pie/s

Aceleración cm/s ² m/s ² m/s ² pulg/s ² pie/s ²

Fuerza dina N Kgf Lbf

Presión dina/cm ² Pa = N/m ² Kgf/m ² Lbf/pulg ² atmósfera o lbf/pie ²

Trabajo ergio (J) Joule B.T.U cal

Potencia ergio/s Watt (J/s) H.P C.V cal/s

Momento dina.cm N.m Kgm Lbf.pulg Lbf.pie

Velocidad v = e/t m/s = 3,28pie/s pie/s = 0,3048 m/s m/s = 2,237 mi/h

Aceleración a = F/m = v/t m/s ² = 3,28pie/s ² pie/s ² = 0,3048 m/s ² m/s ² = 8503,2 mi/h ²

FuerzaPeso

F = m.a N = 0,102 kg kg = 9,807 N N = 0,2248 lbf

TrabajoEnergía

L = F.e J = 0,000948BTU BTU = 1055 J J = 0,2389 cal

Potencia P = L/t W = 3,413 BTU/h BTU/h = 0,293 W W =0,00134 hp

Presión p = F/A Pa = 0,000145 lbf/plg ² lbf/plg ² = 6895 Pa Pa =0,0000102 kg/cm ²

Densidad δ = m/Vkg/m ³ = 0,00194 slug/pie³

slug/pie³ = 515,4 kg/m ³

kg/m ³ = 0,0003613 lb/plg³

Pesoespecífico

ρ = P/V = δ.m/V

N/m ³ = 0,002888 kg/pie³

kg/pie³ = 346,27 N/m ³

N/m ³ =0,00000167 kg/plg³

Momento M = F.d N.m = 0,3347kg.pie kg.pie= 2,988 N.m N.m = 0,102 kg.m

Constante de Coulomb

La constante es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es N m² /C².

A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y

F/m es la permitividad del medio en el vacío.

Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material.

Algunos valores son:

Material (F/m) (N m² /C²)

Vacío 1 8,85·10-12 8,99·109

Parafina 2,1-2,2 1,90·10-11 4,16·109

Mica 6-7 5,76·10-11 1,38·109

Papel parafinado 2,2 1,95·10-11 4,09·109

Poliestireno 1,05 9,30·10-12 8,56·109

Baquelita 3,8-5 3,90·10-11 2,04·109

Cirbolito 3-5 3,54·10-11 2,25·109

Vidrio orgánico 3,2-3,6 3,01·10-11 2,64·109

Vidrio 5,5-10 6,86·10-11 1,16·109

Aire 1,0006 8,86·10-12 8,98·109

Mármol 7,5-10 7,75·10-11 1,03·109

Ebonita 2,5-3 2,43·10-11 3,27·109

Porcelana 5,5-6,5 5,31·10-11 1,50·109

Micalex 7-9 7,08·10-11 1,12·109

Micarta A y B 7-8 6,64·10-11 1,20·109

Batista barnizada 3,5-5 3,76·10-11 2,11·109

Goma en hojas 2,6-3,5 2,70·10-11 2,95·109

Polietileno 2,7 2,39·10-11 3,33·109

Problemas:

1.- Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = + 1 x 10-6 C. y q2 = + 2,5 x 10-6 C. que se encuentran en reposo y en el vacío a una distancia de 5 cm.

Resolución: Para calcular la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de Coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que:

Resultado: 9 N

2.-Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = -1,25 x 10-9 C. y q2 = +2 x 10-5 C. que se encuentran en reposo y en el vacío a una distancia de 10 cm.

Resolución: Para calcular la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de Coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que:

3.-  Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = + 1 x 10-6 C. y q2 = + 2,5 x 10-6 C. que se encuentran en reposo y en el vacío a una distancia de 5 cm.

Resolución:  Para calcular la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de coulomb por lo tanto previo transformar todas las magnitudes en juego a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que:

Como la respuesta obtenida es de signo positivo nos está indicando que la fuerza es de repulsión. La fuerza de repulsión tiene un módulo de 9 N. pero debemos indicar además en un esquema gráfico las demás características del vector tal como se indica en el gráfico.

3.- Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = -1,25 x 10-9 C. y q2 = +2 x 10-5 C. que se encuentran en reposo y en el vacío a una distancia de 10 cm.

Resolución:  Para calcular la fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales en reposo recurriremos a la ley de coulomb por lo tanto lo previo es transformar todas las magnitudes en juego

a unidades del sistema internacional de medidas nos queda que:

                   

Como la respuesta obtenida es de signo negativo nos está indicando que la fuerza es de atracción.

La fuerza de atracción tiene un módulo de 2,25 x 10-2  N. pero debemos indicar además en un esquema gráfico las demás características del vector lo que sería así:

4.- Sobre los extremos de un segmento AB de 1.00 m. de longitud se fijan dos cargas. Una q1 =+4 x 10-6C. sobre el punto A y otra q2=+1 x 10-6C. sobre el punto B .         a) Ubicar una tercera carga q=+2 x10-6C. sobre AB de modo que quede en equilibrio bajo la acción simultánea de las dos cargas dadas.        b) La ubicación correcta de q, ¿depende de su valor y signo?       

Resolución:   a) para obtener la posición de la carga q en el punto C de modo que se encuentre en equilibrio, se debe dar que la fuerza total sobre ella sea nula, es decir que la interacción entre la carga q1q y q2q deben ser fuerzas de igual módulo y sentidos opuestos.

Para que la suma de las fuerzas de sentido contrario sea cero sus módulos deben ser iguales. Se ha llamado d a la distancia entre las cargas q1 y q  y como la distancia total entre q1 y q2 es de 1 m. la distancia entre las cargas q y q2 es la diferencia

entre 1 m. y d. (1-d)

por lo tanto

y luego de las simplificaciones nos queda    ordenando y resolviendo la ecuación de 2º grado resulta que  

Como el dato que estamos buscando es entre las cargas que se encuentran separadas 1 m. en total, la solución buscada es d=0.67 m. por lo que la distancia a la otra carga será 1 - 0.67 = 0.33 m.

                      b) La ubicación de q no depende de su valor ni de su signo. Que no depende de su valor se ve claramente cuando se produce su simplificación en la igualdad de módulos

     Obsérvese que en ambas expresiones que se igualan tenemos el valor q como factor por lo tanto si son simplificados, no intervienen en el cálculo de d.

                           En cuanto al signo, tanto sea la carga q positiva o negativo, da como resultado que los vectores que actúan sobre ella son siempre opuestos, pues ambos serán de repulsión o de atracción, respectivamente.

              a) la carga q se ubicará a una distancia de 0.67 m. de la carga q1

              b) No depende de la carga ni de su valor ni de su signo.

El campo eléctricoYa se dijo que de cualquier carga puntual o cuerpo cargado, salen o entran líneas de fuerzas según el tipo de carga de que se trate. Esto quiere decir que en la vecindad de una o varias cargas existirán líneas de fuerza que producirán efectos sobre cualquier carga puntual o cuerpo cargado que se encuentre dentro del campo de acción de esas líneas. Pues bien podemos decir que todo aquel espacio donde se manifiesta la acción de las líneas de fuerza, constituye lo que se conoce como campo eléctrico. El concepto de línea de fuerza fue introducido por Michael Faraday precisamente como un auxiliar para repre sentar a los campos eléctricos y magnéticos. Entonces si colocamos una carga de prueba en un punto cualquiera y sobre ella se ejerce una fuerza de origen eléctrico, estaremos en presencia de un campo eléctrico o electrostático. Entonces si una carga se encuentra dentro de un campo eléctrico actúa sobre ella una fuerza y adquiere un potencial eléctrico o capacidad para desarrollar trabajo. Ahora bien, si esta carga se aleja cada vez más y más del campo, el efecto de éste sobre ella es cada vez menor ya que el valor de la fuerza eléctrica y su potencial van disminuyendo; esto quiere decir, que la carga va cediendo energía; así si esta carga se aleja hasta el infinito, el efecto del campo sobre ella será nulo y su potencial tendrá el valor

Fig. Líneas de fuerza que rodean a las cargas eléctricas.

de cero. Por el contrario si una carga es traída del infinito, venciendo la fuerza del campo eléctrico, a medida que se va adentrando en el campo va adquiriendo energía potencial.

Se entiende de lo explicado anteriormente que el valor del campo eléctrico está en función directa del valor de la fuerza que actúa sobre la carga eléctrica. Y mientras menor sea el valor de la carga, mayor será el valor de la fuerza, por lo cual decimos que el valor del campo es inverso al valor de la carga, es decir:

E= F/q´

Así para calcular el campo eléctrico en un punto P del espacio separado una distancia r de una carga puntual q, podemos hacerlo partiendo de la ley de Coulomb entonces tenemos:

F= K qq´/r2 luego E= F/q´ = K q/r2 .

El sentido del campo es tal que se aleja de la carga q si ésta es positiva, y se acerca si es negativa

Ejercicios de campo eléctrico

1.- Un electrón es lanzado con una velocidad de 2.106 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar:

a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0.5.106 m/s

b) La variación de  energía potencial que ha experimentado en ese recorrido.

Solución:

Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctrico que le va frenando:

m . a = q . E            a = q . E / m

a = 1.6 x 10-19 . 5000 / 9.1 x 10-31 = 8.79 x 1014 m/s2 

Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son:

v = vo - a . t          t = (vo - v) / a = ( 2 x 106 – 0.5 x 106 ) / 8.79 x 1014 = 1.7 x 10-9 s

e = vo . t  - a . t2 /2 = 2 x 106 x 1.7 x 10-9 – 8.79 x 1014 x (1.7 x 10-9 )2 / 2 = 0.0021 m

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es:

VA - VB = E x d = 5000 x 0.0021 = 10.5 Voltios

La variación de energía potencial será:

EpA - EpB = q (VA - VB ) = - 1.6 x 10-19 x 10.5 = - 1.68 x 10-18 Julios

Problema 2.- Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (5,0) y (-5,0), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.

a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l ,0) al punto (-1,0)?

Solución La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularse pues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el segmento AB.

Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmento de coordenadas (X,0) y determinemos X para que el campo sea nulo:

Campo creado en P por la carga situada en A:    E = K. q /(5+x)2 Campo creado en P por la carga situada en B:    E = K. q /(5-x)2 Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo:

K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2            (5+x)2 = (5-x)2          x = 0

El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial

depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo: W = q. ( V1 - V2 )

V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 Voltios

V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) =7'5.106 Voltios

V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0       W = 0 Julios

Problema 3

Encontrar la expresión que determina el valor del campo eléctrico en los puntos P,Q y R del dipolo mostrado en la figura. Un dipolo, son dos cargas de igual magnitud pero de signos opuestos, tal como se muestra en la siguiente figura.

El campo eléctrico en el punto P es:

E p=1

4πε 0 ( q

(r− l2)2

− q

(r+ l2)2 )= 1

4πε 0q(r+ l

2 )2

−(r− l2 )

2

(r2− l2

4 )2= 1

4 πε 0

q2 rl

(r2− l2

4 )2

Si l es pequeña comparada con r, l2/4 del denominador se puede despreciar frente a r2 y se obtiene

E p=

14πε 0

2 ql

r 3 ql = P = momento eléctrico del dipolo. Luego

E p=1

4πε 0

2 p

r3

El campo en el punto Q.

El valor del campo creado en Q por cada carga es:

E= 14 πε0

q

r2+ l2

4Las componentes de estos campos perpendiculares al eje del dipolo se anulan, y ambas componentes paralelas al eje, cuyo valor es E sen φ, dan como resultados EQ.

EQ=2Esen ϕ=14 πε0

2q

r2+l2

4

−l

(r2+l2

4 )12

si r>>l se desprecian los términos l2/4 y se tiene:

EQ= 14 πε0

ql

r3 y en función de P

EQ= 14 πε0

P

r3

El campo eléctrico en cualquier otro punto, puede calcularse de la misma forma, pero resulta mas

comodo el uso de coordenadas polares r y θ y calcular el campo en función de las componentes rectangulares Er, en el sentido en que aumente r, y Eθ en el sentido en que aumenta θ. Entonces:

Er=1

4 πε0

2 pcosθ

r3

Eθ=1

4 πε0

psenθ

r3

Problema 4Determinar la longitud, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto P, situado a una distancia r de un hilo largo ( l >> r )cargado positivamente.

En el punto P, el elemento dq crea un campo de magnitud:

dE= 14 πε0

−dq

s2

Puesto que los campos en otros elementos no tienen la misma dirección que dE, la intensidad resultante no puede calcularse por la integración de esta ecuación ( la integración es un procesoalgebraico y no una suma vectorial ). Pero las componentes X e Y de dE puede integrarse separadamente. Esto es:

Ex=∫ dEx=∫ dEsenθ ; E y=∫ dEy=∫dE cos θ .

La carga de un elemento de longitud dx es: dq= λdx entonses dE= 1

4 πε0

λdx

s2

La integración puede simplificarse sustituyendo x por θ como variable independiente. De la figura se deduce:

x=rtg θ ; dx=rsec2 θdθ ; s=r secθ Haciendo la sustitución se obtiene:

Ex=1

4 πε0

λr ∫ senθdθ ;

E y=

14 πε 0

λr ∫cosθdθ

Si el hilo es infinitamente largo, los límites de integración varían entre θ = - π/2 y θ= + π/2 y entonces finalmente se obtiene

Ex= 0; E y=

12 πε 0

λr

Problema 5Determinar el campo eléctrico en un punto P de un anillo situado en el plano X-Z, con su centro en el origen y de radio a, que tiene una carga + uniformemente distribuida.Un pequeño elemento de anillo cuya carga es dq crea en P un campo dE, de magnitud

dE= 14 πε0

−dq

s2

Se observa que al considerar todos los elementos del anillo, las componentes dE cos θ, perpendicular al eje, se compensany el campo resultante en P es la suma de las componentes dE cos θ, por tanto,

E=∫ dE cosθ= 14 πε0

cosθ

r2 ∫ dq o sea

E= 14 πε0

qcosθ

r2= 1

4 πε 0

qb

( a2+b2 )32

En el centro del anillo donde b= 0, resulta que E=0, lo que resulta evidente por razones de simetría. Para distancias tales que a << b, puede despreciarse a2 frente a b2 y

dE= 14 πε0

q

b2

1.6.- LEY DE GAUSS Y SUS APLICACIONES.

Línea de fuerza .- Éste es un concepto introducido por Michael Faraday para representar campo eléctricos o magnéticos. Una línea de fuerza de un campo eléctrico, es una línea imaginaria dibujada de modo que su dirección en cada punto ( es decir la dirección de su tangente ) sea la misma que la dirección del campo en ese punto como muestra la figura

Las líneas de fuerza son ordinariamente curvas, tratan de tener el mínimo de recorrido y no se cruzan porque en cualquier punto el vector campo eléctrico solo puede tener una dirección y, por consiguiente, por cada punto solo puede pasar una línea de fuerza. Las líneas se utilizan para representar tanto la magnitud de un campo como su dirección.

El número de líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie perpendicular al campo, sea igual, en cada punto al producto de ε0 por la intensidad del campo eléctrico en cada punto.

Si la intensidad del campo eléctrico y, por consiguiente, el número de líneas por unidad de área , es la misma en todos los puntos de una superficie de extensión finita perpendicular al campo, el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie es:

N = ε0 E x A,

Lo anterior se cumple satisfactoriamente en todos los puntos de una superficie esférica de radio cualquiera que tiene en su centro una carga puntual aislada. Puesto que E a una distancia r de una carga q es:

dE= 14 πε0

q

r2

Y la dirección del campo es la del radio que parte de la carga, o sea, perpendicular a la superficie esférica.

Fig. La acción de las líneas de fuerza en la atracción y repulsión de las cargas eléctricas

El número total de líneas de fuerza que atraviesan la superficie será, por tanto,

N=ε0 E x A=ε01

4 πε 0

q

r2x 4 πr2=q

Si la intensidad del campo varía de un punto a otro de una superficie y si esta no es en todos los puntos perpendicular al campo, como lo muestra la figura, en donde la proyección del área dA sobre un plano perpendicular al campo es dA cos φ, el numero total de líneas que atraviesan dA es ε0 E dA cos φ.

El número total de líneas que atraviesan un área finita es:

N=∫ ε0 E dA cos ϕLa ley de Gauss establece que si se considera una superficie cerrada de forma cualquiera en un campo eléctrico, el número neto de líneas que atraviesan la superficie hacia fuera es igual

Fig. Campo de intensidad variable que atrabieza una superficie de forma no perpendicular

a la carga neta positiva dentro de la superficie.

∫ ε0 E cos ϕ dA=q

En la figura 2-14 se representan un conjunto de cuerpos cargados, donde se muestran unas pocas líneas de fuerza del campo, y las trazas con el plano de la figura de cuatro superficies cerradas, A,B,C, Y D. El campo real y las superficies cerradas tienen, naturalmente, tres dimensiones. Cada signo + o – representa un culombio. En la superficie A, la carga encerrada es cero, ya que el número de línes que entran es igual a los que salen, en la superficie B la carga encerrada es +7, ya que salen 9 líneas y solo entran 2. ¿Cuál es la carga encerrada por las superficies C y D?

Aplicación de la ley de Gauss.

Problema 4Se ha construido una superficie gaussiana como se muestra en la figura, encontrar la expresión que permita determinar el número de líneas que atraviesan esta superficie.

ε 0 E x 2π rb=λb E= 1

2 πε0

λr

Problema 5Una esfera maciza no conductora de radio (mayor) b, con una cavidad esférica de radio (menor) a, tiene una distribución uniforme de carga y su carga total es Q; encontrar el campo eléctrico para:

a) r < a, b) a < r < b y c) r > b.

Solución :a) para r < a:Primeramente escogemos una superficie gaussiana esférica de radio r, y aplicando la ley de Gauss, vemos que la carga neta encerrada es cero, entonces, E es igual a cero.

b) para a < r < b :

Igual que en (a), escogemos una superficie gaussiana esférica de radio r y de la ley de Gauss:

ε 0∮ E⋅d s=q

Como la distribución de carga es uniforme, entonces:

ρ=dqdv

= Q4

3 π (b3−a3 )

ba

Y la carga neta encerrada es:

q=ρ34

π (r3−a3)

y sustituyendo ρ nos queda que:

q=Q(r 3−a3 )(b3−a3 )

Como el campo eléctrico es constante en toda la superficie gaussiana hacemos

∮ E⋅d s= qε0

y

entonces:

ε 0 E( 4 π r2)=Q(r3−a3 )( b3−a3 )

y despejando el campo

E= 14 πε0

Qr2

(r3−a3)(b3−a3 )

En notación vectorial

E= 14 πε0

Qr2

(r3−a3)(b3−a3 )

er

Para r > b :

Si escogemos una superficie gaussiana de radio r, y la carga neta encerrada es Q entonces:

∮E⋅ds=Qε0

integrando y despejando E obtenemos el campo eléctrico en notación vectorial

E= 14 πε0

Q

r2er

Problema 6

Dos esferas de iguales radios y pesos, están suspendidas de hilos, de manera que sus superficies se

tocan. Después de comunicarles una carga de q0 =4 x 10-7 coul, los hilos se han repelido y

distanciado formando un ángulo de 60 0 . Hállese el peso de las esferas.

Fe1

Fe2

mg

q

Tl

q

γaθ

dlll

dθ

dss

Ē

θ

dsS

tan300=Fe

W=0 . 5774=

9 X 109 X 4 X 10−14

AB2

W

sen 300=0 . 5=

AB2

l

Por tanto: AB=l=0. 2m;

Entonces: W =9 x 109 x 4 x 10 −14

0 .5774 x o .22=15 . 6 x 10−3newton

O bien W = 1.6 x 10 -3 Kg fza.

Problema 7

Un campo eléctrico constante y uniforme dado por Ē= ε 0 E x Cruza un hemisferio de radio a determine el flujo eléctrico que cruza el hemisferio. Ver figura

De la ecuación de Gauss se tiene que:

Ф=∫ E . dsDe donde:

Ф=∫ E cosθds

De donde ds = 2π, dl = a dθ y y = a sen θ y dl = a dθ

Por lo tanto, ds = 2πa sen θ a dθ

Sustituyendo ds por su valor tenemos que:

Ф=∫ E cosθ 2πa senθadθ=∫0

π2

E 2 π a2 senθcosθ dθ

∫ senax cosax dx= sen2 ax2 a

= sen2 x2

Ф=E 2 π a2[(12

sen2θ)]0π2

Integrando y evaluando obtenemos que el flujo esta dado por:

Ф = πa2 E.

De este resultado observamos que el área efectiva es el área transversal del campo.

POTENCIAL ELECTRICO

1.7 Definición.Potencial eléctrico es la cantidad de energía que adquiere una carga al situarse dentro de un campo eléctrico. Cualquier partícula cargada que se encuentra dentro de un campo eléctrico, tiene una energía potencial eléctrica que procede del trabajo realizado para desplazarla venciendo las fuerzas eléctricas. De manera similar, la energía potencial gravitacional que posee un cuerpo procede del trabajo realizado al desplazarlo venciendo las fuerzas del campo gravitacional.La figura 2.1 (a) muestra la trayectoria que sigue ( de forma arbitraria ) la carga prueba q´, que se mueve dentro de un campo eléctrico pasando por los puntos a y b. La carga q´ puede ser una pequeñísima esfera metálica cargada y de alguna manera colocada en el extremo de una varilla de material aislante. El valor del campo puede variar de un punto a otro de la trayectoria y para simplificar el análisis no se han representado las cargas que producen el campo ni se han tomado en cuenta las fuerzas gravitatorias ni de rozamiento. El vector q´E , es la fuerza ejercida sobre la carga por el campo en un punto arbitrario a lo largo de la línea. El vector F es la fuerza exterior, no eléctrica, que actúa sobre la carga; esta podría ser la mano de alguien que mueve la varilla aislante, siguiendo la trayectoria señalada en la figura. Sea θ el ángulo formado por la tangente a la trayectoria y la fuerza q´E, y φ el ángulo determinado por la tangente y la fuerza exterior F. En la figura 2.1 ( b ) cada una de las fuerzas q´E y F se han descompuesto en sus componentes paralela y normal a la trayectoria. La fuerza normal resultante, ΣFn

Es:

ΣFn= F sen φ + q´E sen θ ….2.1Fig. 2.1 Fuerzas que actuan sobre una carga q´ colocada dentro de un campo eléctrico

ΣFt= F cos φ + q´E cos θ ….2.2

ΣFt= F cos φ + q´E cos θ = ma ….2.3 a=dv

dt=dv

dtdsds

=dsdt

dvds

=vdvds ….2.4

ds es el elemento de longitud a lo largo de la trayectoria. Entonces:

F cos φ + q´E cos θ = mv

dvds ……. 2.5 F cos φ ds + q´E cos θ ds = mvdv …..2.6

F cos φ ds =mvdv- q´E cos θ ds……… 2.7

F cos φ ds, es el trabajo realizado sobre la carga por la fuerza exterior F durante el desplazamiento ds

Entonces: dW = F cos φ ds……2.8

mv dv, puede expresarse como 1/2mv2 d(EC) = mvdv = d(1/2mv2)……2.9

El término - q´E cos θ ds, es el trabajo realizado contra la fuerza eléctrica q´E, ejercida sobre la carga, por el campo. El signo – significa que se ha realizado trabajo contra las fuerzas eléctricas. Este último termino represente el incremento de la energía potencial d(EP), de la carga.

D(EP) = - q´E cos θ ds…….2.10

Entonces la ecuación de trabajo-energía, cuando se transporta un cuerpo cargado en un campo eléctrico es. d(ET) = d(EC) + d(EP) …… 2.11

Si se integra la ecuación 7 a lo largo de la trayectoria a lo largo de a y b, se obtiene:

∫a

b

F cos φ ds = ∫va

vb

mvdv - ∫a

b

q´E cos θ ds …. 2.12

∫a

b

F cos φ ds = W Es el trabajo total efectuado sobre la carga por la fuerza exterior.

∫va

vb

mvdv = 1/2mvb2 – ½ mva

2 = ECb - ECa . Es el aumento total de la energía cinética de la carga

-∫a

b

q´E cos θ ds = EPb – EPa. Es el trabajo realizado contra la fuerza ejercida por el campo, o sea el aumento total de la energía potencial.

En el caso de que la velocidad en los puntos a y b sea la misma, el aumento de la energía cinética es nulo y todo el trabajo exterior se aplica para aumentar la energía potencial.

∫a

b

F cos φ ds = - ∫a

b

q´E cos θ ds = EPb – EPa. …. 2.13

Si la fuerza exterior es nula y la carga se mueve únicamente por la fuerza ejercida sobre ella por el campo, la primera integral de la ecuación es nula y

0 = ECb – ECa + EPb – EPa. ECb + EPb = ECa + EPa = Constante …… 2.14

EPb = -∫∞

b

q´E cos θ ds . ….. 2.15

Como el punto b puede ser un punto cualquiera del espacio, entonces:

EP = -∫ q´E cos θ ds ….. 2.16

La integral, es una integral curvilínea desde el infinito al punto en cuestión.

La energía potencial de una carga prueba en un punto de un campo eléctrico puede definirse, por consiguiente, como el trabajo realizado contra la fuerza ejercida sobre ella por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto.

1.8- Cálculo del potencial eléctrico.

El potencial en un punto de un campo eléctrico se define como la razón de la energía potencial de un cuerpo de prueba al valor de su carga, o sea, la energía potencial por unidad de carga.

Potencial en el punto a = Va = EPq ´

energía potencial de la car ga q ´ en el punto aq ´ …. 2.17

EP energía potencial en la carga q´en el punto a = q´Va

V =EPq ´ =

∫ q ´ E cosθ ds

q ´ = -∫E cosθ ds …… 2.18

En lenguaje matemático el potencial en un punto es igual a la integral curvilínea cambiada de signo, de la intensidad del campo eléctrico desde el infinito al punto. Físicamente puede definirse como el trabajo realizado por unidad de carga, contra la fuerza ejercida por el campo, cuando se trae la carga desde el infinito al punto.

El potencial en un punto será un voltio, si para traer una carga de un culombio desde el infinito al punto venciendo las fuerzas del campo, es necesario realizar un trabajo de un julio.

El potencial en un punto de un campo electrostático es de un voltio, si la razón de la energía potencial de una carga en el punto, al valor de la carga, es de julio por culombio.

En sl sistema electrostático un statvol equivale aproximadamente a 300 V.

1.9 Diferencia de potencial

Se denomina diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos de un campo electrostático a la diferencia existente entre el valor de los potenciales de dichos puntos.

EPb

q ´−

EPa

q ´=−∫

a

b

E cosθ ds….. 19 Pero

EPb

q ´ = Vb y

EPa

q ´ = Va Donde Va= Potencial en el punto a

Vb= Potencial en el punto b

Se tiene entonces que Vb- Va= - ∫a

b

E cosθ ds ….. 2.20

La ddp entre dos puntos b y a es igual a la integral curvilínea, cambiada de signo, de la intensidad del campo eléctrico desde el punto a al b, o sea, es igual al trabajo realizado por unidad de carga contra las fuerzas eléctricas cuando se mueve una carga desde el punto a al b. La ddp entre dos puntos b y a es un voltio si se efectúa contra las fuerzas eléctricas un trabajo de un julio por culombio, cuando se mueve desde el punto a al b.

Se dice que el punto b esta a un potencial mayor al del punto a si se realiza trabajo contra las fuerzas eléctricas para mover una carga positiva desde a hasta b. Esto es b esta a un mayor potencial al de a si la energía potencial es mayor en b que en a.

El potencial en un punto puede considerarse como la ddp entre dicho punto y otro a distancia infinita donde el potencial se supone arbitrariamente acero.

La ddp entre dos puntos a y b Vab o bien Vpq ; esto es

Vab ≡ Va – Vb , Vpq ≡ Vp – Vq etc.

Vab ≡ Va – Vb , y Vba ≡ Vb – Va se deduce que Vab ≡ - Vba

Campo creado por una sola carga

Hasta aquí hemos considerado la existencia del campo eléctrico sin tomar en cuenta las cargas que lo producen. Si ahora tenemos que el campo es creado por una sola carga puntual q y que dentro de este campo se tiene una trayectoria cualquiera que une los puntos a y b, como se señala en la figura. En un punto de la trayectoria cuya distancia a la carga q es r, se tiene que:

Vb- Va= - ∫a

b

E cosθ ds

Sabemos que: E =

14 πε 0

q

r2

donde r es la distancia desde la carga q, a un punto cualquiera de la trayectoria ab. Para un recorrido infinitesimal ds a la largo de la trayectoria, la

Fig. Trayectoria a-b dentro del campo eléctrico producido por una sola carga

distancia aumenta en dr y entonces: dr = ds cos θ

Vb-Va = -

14 πε 0

q∫ra

rbdrr 2

= 14 πε0

q[−1r ]

r a

r b

o sea Vb – Va =

14 πε0

qrb

− 14 πε0

qra ….. 2.21

En donde ra y rb son las distancias de la carga q a los puntos a y b respectivamente

Entonces para calcular el potencial en un punto, respecto a un punto del infinito podemos usar la ecuación 18 o bien la ecuación 21 donde ra = ∞ y Va = 0; cualquiera de las dos conduce a:

Vb =

14 πε0

qrb

y puesto que b puede estar en cualquier punto del campo entonces:

V =

14 πε0

qr …. 2.22

Campo creado por más de una carga.

Si el campo es creado por más de una carga eléctrica puntual como se ve en la figura y la carga es movida por una fuerza externa F (no representada en la figura) que forma un ángulo φ con la trayectoria y que actúa sobre la carga q´ colocada en el punto, la fuerza aceleradora resultante es:

ΣFt= Fcosφ + q´E1 cos θ1 + q´E2 cos θ2 .

Procediendo de la misma manera en que se hiso anteriormente

Tenemos:

∫a

b

F cos φ ds = ∫va

vb

mvdv - ∫a

b

q´E1 cos θ1 ds - ∫a

b

q´E2 cos θ2 ds

El incremento de la energía potencial de la carga es:

EPb – EPa = - ∫a

b

q´E1 cos θ1 ds - ∫a

b

q´E2 cos θ2 ds ….. 2.23La ddp Vb – Va vale:

Vb – Va = - ∫a

b

E1 cos θ1 ds - ∫a

b

E2 cos θ2 ds …… 2.24Y el potencial en el punto es:

V = - ∫a

b

E1 cos θ1 ds - ∫a

b

E2 cos θ2 ds …… 2.25Donde las integrales son integrales curvilíneas desde el infinito al punto en cuestión. Pero, en virtud de la figura se tiene:

E1 =

14 πε0

q1

r12

, E2=1

4πε 0

q2

r22

cos θ1 ds = dr1 cos θ2 ds = dr2

luego,

V =

14 πε0

∑ qr … 2.26

Esta ecuación se aplica para determinar el potencial en un punto debido a esferas uniformemente cargadas, puesto que el campo en los puntos exteriores una esfera, que tiene una densidad superficial de carga uniforme, es el mismo que si toda su carga estuviera concentrada en su centro.

Si las cargas estuvieran distribuidas sobre superficies o dentro de volúmenes la ecuación (26)se convierte en:

V =

14 πε0

∫ dqr ….. 2.27

Gradiente de potencial

La ddp entre los pntos a y b es: Vb- Va= - ∫a

b

E cosθ ds Cuando la distancia que separa a los

puntos es infinitesimal la ddp se convierte en dV y entonses: dV = - E cos θ ds ……. 2.28

Y la ecuación (2.28) puede escribirse como: E cos θ = -

dVds ……2.29

La razón dV/ds, o sea la derivada del potencial respecto a la distancia contada en la dirección de ds, se denomina gradiente de potencial. Puesto que θ es el ángulo formado por el vector campo eléctrico y el elemento de longitud ds, el producto E cos θ es la componente del campo en la dirección de ds. De aquí se deduce lo siguiente: La componente de la intensidad del campo en una dirección cualquiera es igual al gradiente de potencial en dicha dirección, cambiado de signo. El campo que rodea a un conjunto de cargas cualquiera es tridimensional y ent

Ex = -

dVdx ;Ey = -

dVdy ;Ez = -

dVdz ……. 2.30

Intensidad del campo eléctrico, potencial y distribución de carga

Un campo eléctrico queda completamente determinado dando la distribución de carga, el campo eléctrico en cada punto o el potencial de todos los puntos. Si se conoce la distribución de carga, E y V pueden calcularse con las expresiones

E =

14 πε 0

∫ q

r 2 V =

14 πε0

∫ dqr

Si se conoce E, la carga dentro de cualquier volumen (y, por consiguiente, en cualquier punto) puede encontrarse mediante el teorema de Gauss. V se calcula a partir de la distribución de carga conocida con la ecuación:

V =

14 πε0

∫ dqr

O puede deducirse directamente de la expresión

V = -∫E cosθ ds

Si se conoce el potencial en todos los puntos E se deduce de las relaciones

Ex = -

dVdx ; Ey = -

dVdy ; Ez = -

dVdz

Y, una vez conocido el campo eléctrico, la distribución de carga puede encontrarse mediante el teorema de Gauss.

Superficies equipotenciales.- una superficie equipotencial es aquella en la cual todos los puntos tienen el mismo potencial. Puesto que la energía potencial de un cuerpo cargado es la misma en todos los puntos de una superficie equipotencial dada, se deduce que no es necesario trabajo eléctrico para mover un cuerpo cargado sobre una de estas superficies. Por tanto, la superficie equipotencial que pasa por cualquier punto es perpendicular a la dirección del campo en dicho punto.

Problemas de la unidad II.

1.- Determinar la carga de una partícula puntual sometida a un potencial eléctrico de unad.d.d p. de 127V situada 20cm.

Sabemos que el potencial eléctrico de una partícula está determinado por:

Por lo que despejando tendremos:

Sustituyendo obtendremos:

 

2.- Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura.

Resolución: Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial en un punto debido a una carga puntual cuya expresión es

y por lo tanto el valor sería 

3.- Entre dos puntos de un campo eléctrico existe la diferencia de potencial de 2000 V. ¿Qué trabajo se efectúa al trasladar una carga de 25μC entre esos puntos?

Datos: V = 2.000 V W = q(V1 – V2)q = 25x10-6 C W = 25x10-6 C x 2.000 V = 0,05 J W = ?

4.- ¿Qué potencial existe en un punto de un campo eléctrico si el campo tuvo que efectuar un trabajo de 0,24 J para trasladar una carga de 8μC desde ese punto hasta el infinito?

Datos: W = 0,24 J W = q(V1 – V2) = qV1q = 8x10-6 C V1 = W/q = 0,24 J / 8 x10-6 C = 30.000 VV1 = ? V2 = 0 V (en el infinito)

5.-Para trasladar una carga eléctrica desde un punto a 220 V y la tierra se efectuó un trabajo de 11 millones de Joule. ¿Qué carga pasó a tierra?

Datos: V1 = 220 V W = q(V1 – V2)

V2 = 0 V (tierra) q = W/(V1 – V2) = 11.000.000 J / (220 V – 0 V) = 50.000 CW = 11.000.000 J

6.- ¿Qué potencial existe en la superficie de una esfera de 45cm de radio cargada con 25 μC?

Datos: V = kq/RR = 0,45 m V = 9x109 Nm2/c2 x 25x10-6 C / 0,45 m = 500.000 V q = 25x10-6 C V =?

7.- Calcular la aceleración que adquiere un electrón que se desplaza entre dos placas situadas en el vacío a 1 cm entre sí y entre las que existe la diferencia de potencial de 1 V?

Datos: q = - 1,6x10-19 C melectrón = 9,1x10-31 kg d = 0,01 m V = 1 V W = Fd = mad W = W = q(V1 – V2) Entonces: mad = W = q(V1 – V2) Se considerará solo la magnitud de la carga del electrón. a = q(V1 – V2)/md = 1,6x10-19 C x 1 V / (9,1x10-31 kg x 0,01 m) = 1,758 m/s2

8.- Cuatro cargas de -8, 10, 5 y -3 stc, están ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado 5 cm (en ese orden, partiendo del vértice superior izquierdo). Determine: a) el potencial en el punto medio del cuadrado, b) la energía almacenada en el sistema.

Datos: q1 = - 8 stc = -2,67x10-9 C (1 stc = 1/3x109 C) q2 = 10 stc = 3,33x10-9 C q3 = 5 stc = 1,67x10.-9 C q4 = - 3 stc = - 10-9 C La distancia de cada carga al centro del cuadrado es la mitad de la diagonal del cuadrado: R1 = R2 = R3 = R4 = 0,03536 m

V1 = 9x109 Nm2/c2 x -2,67x10-9 C / 0,03536 m = - 679,6 VV2 = 9x109 Nm2/c2 x 3,33x10-9 C / 0,03536 m = 847,6 V

V3 = 9x109 Nm2/c2 x 1,67x10-9 C / 0,03536 m = 425,1 VV4 = 9x109 Nm2/c2 x -10-9 C / 0,03536 m = - 254,5 VV = - 679,6 V + 847,6 V + 425,1 V – 254,5 V = 338,6 V

9.-Determínese el potencial del punto del campo que se encuentra a la distancia de 10 cm. del centro de una esfera hueca cargada de 1 cm. de radio. Resuélvase el problema cuando se conozcan:

a) la densidad superficial de carga, que es igual a 10-11 coul/cm.2; b) el potencial de la esfera, que es de 300 voltios.

Datos:δ =10-11 coul/cm2 = 10-7 coul/m2 q = δA

1 st volt = 300 volts = δ4πr2

R = 1cm =10-2m

E= 14 πε0 ε

δ 4 π r 2

R2= δ

ε0 ε ( rR )

2

=10−7

8 . 85 x10−12 (10−2

10−1 )2

=113 Volts /m

V=ER=113 x 10-1 = 11.3 Volts.

El potencial de la esfera hueca que es de 300 volts.

Eesf =

δε0

( rR )

2

= δε 0

; V esf =Eesf r= δrε0

=300 Volts .

V punto=ER=1

4 πε0

q

R2R=

14 πε0

qR

=δ 4 π r2

R=

δ r2

ε0 Rdividiendo

V punto

300=

δ r2

ε 0 R

δ . rε0

=rR

Por tanto, V p=300

110

=30 Vols V = f ( x )

10.- Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2= -12 x 10 -9 C están separadas 10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos ab, bc y ac.Resolución: Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos, debemos primero hallar el potencial en cadapunto debido al sistema de cargas planteado

Potencial en el punto a: El potencial en a es debido a la acción de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto

deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferencia. como el

potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula con entonces

deberemos repetir este cálculo para cada una de las cargas.

consecuencia En

por lo que, como se observa, el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial

positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. potencial de q1= + 1800 V y potencial de q2 = - 2700 V de allí surgen la diferencia que es a favor del potencial negativo en -900 V).

Potencial en punto b : Repetimos lo establecido para el punto a , simplemente que ahora debemos calcular las distancias para el punto b. Por lo que la expresión nos queda

como se observa el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 2700 V y

potencial de q2 = - 771 V de allí surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en

1929 V).

Potencial en punto c: En el punto c no es necesario realizar el cálculo numérico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale 0 (Vc=0).

Cálculo de los potenciales solicitados

Vab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V  

Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V  

Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V Respuesta:

Vab =+ 2.829 V Vbc=- 1.929 V Vac=+ 900 V

11.- Determinar el potencial eléctrico para mover una partícula de carga Q del infinito al punto ASolución:Retomamos como el potencial eléctrico para el punto VAB   el cual era: 

         

Lo cual obviamente solo es un límite y por lo tanto

 

12.- Determina la carga de una partícula puntual sometida a un potencial eléctrico de una carga de 127V situada 20cm. Solución. Sabemos que el potencial eléctrico de una partícula está determinado por:

Por lo que despejando tendremos:

Sustituyendo obtendremos:

13.-una carga de 34 μCse mueve entre dos puntos por los cuales hay una diferencia de potencial de 48 V. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial?

Solución: q=12 μC , ∆ V=65V

La diferencia de potencial entre los dos puntos está dada por:

∆ V =∆ Uq

Despejando el cambio de energía se obtiene:

∆ U=q ∆ VSustituyendo valores:

∆ U=(34 X 10−6 )(48)

∆ U=1.63 X 10−3 J14.-un deuterón es acelerado entre dos puntos donde hay una diferencia de potencial si el deuterón alcanza una velocidad de 15 x106 m /s desde el reposo, ¿Cuál es la diferencia de potencial?Solución:

q=1.6 x10−19C ,m=2 x 1.67 x10−27 kg=3.34 x 10−27 kg , v=1.5 x 106 m /sLa diferencia de potencial está dada por:

∆ V =Wq

Como el trabajo es igual a la diferencia de energía cinética:

∆ V =Wq

=∆ Kq

=K−0q

= Kq

K=12

mv2

∆ V =

12

m v2

q=

m v2

2q

Sustituyendo valores:

∆ V =( 3.34 x10−27) (1.5 x 106 )

2 (1.6 x 10−19 )∆ V =23.84 kV

15.-una partícula cargada positivamente se mueve a través de una diferencia de potencial de 200V obtiene un incremento de energía cinética de 9.6 x 10−17 J . Calcule la carga de la particula.

∆ V =200 V , ∆ K=9.6 x 10−17 JEl incremento esta dado por:

∆ K=q ∆VSustituyendo valores:

q=∆ K∆V

q=9.6 x10−17

200q=4.8 x 10−19C

16.-considere un protón con una energía cinética de 80.2 x10−19J . ¿Qué diferencia de potencial se nesecita para detener el protón?Solución: q=1.6 x10−19C ,m=1.67 x 10−27 kg , KO=80.2 x 10−19 J

W =−q ∆V

∆ V =−Wq

=−∆ Kq

=−(0−K o )

q=

K O

q}

Sustituyendo valores:

∆ V =80.2 x 10−19

1.6 x 10−19

∆ V =50.13 V

17.-dos grandes placas metálicas paralelas, separadas por una distancia de 3.0 mm se cargan de la misma magnitud de carga pero de signo contrario, hasta obtener una diferencia de potencial de 30 V. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre placas?Solución:d= 0.003 m, ∆ V =30 Vla diferencia entre dos puntos, cuando el campo eléctrico es uniforme, está dada por:

∆ V =Ed

E=∆ V

dSustituyendo valores:

E= 300.003

E=10000V /m

18.- Puesto que el potencial a una distancia a=2.5m se toma como cero, lo que nos están pidiendo en el problema es la diferencia de potencial entre un punto cualquiera y un punto situado a a de la línea cargada. Consideraremos que el punto P donde queremos calcular tal diferencia de potencial está situado sobre el plano XY a una distancia r en perpendicular a la línea infinita de carga. Consideremos un elemento diferencial de longitud dz de esta línea, elemento situado a una distancia

del origen de coordenadas y por lo tanto alejado una distancia del punto P: la diferencia de potencial creada por tal elemento dz es.

Ya que la carga que lleva dz es con la densidad lineal de carga, que es constante. La diferencia de potencial que piden en el problema es por tanto.

19.- Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribución de cargas formada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.

el resultado obtenido indica que los dos puntos O y P están sobre la línea equipotencial V=0. Esto no implica que el campo en O y en P sea nulo - que no lo es-. La situación se refleja en la siguiente figura, en la que se debe observar que las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.

En casos de distribución continua de carga el potencial eléctrico se calcula mediante la expresión:

20.- Una carga Q está distribuida uniformemente sobre una barra delgada de longitud L. Calcular el potencial en un punto P, situado a una distancia x a la derecha de la barra, como se muestra en la figura.

Si suponemos una densidad lineal de carga λ,

21.- Calcular el potencial eléctrico en P(0,0,3) debido a una carga eléctrica distribuida

uniformemente entre 0 y 3π/2, y con densidad λ , sobre la curva x2+y2=16.La curva x2+y2=16 es una circunferencia en el plano XY de radio R=4, por tanto, la situación planteada es:

En los siguientes problemas faltan las figuras. No considerarlos

Problema 11.-

En la fig., sea E el campo eléctrico en cualquier punto en la dirección + de x e igual a 10 v/m ( un campo uniforme). Sea x1 m.. Encuéntrese Vab

V ab=−∫a

E cosθ dl=−∫x1

0

e dx=Ex1=+10 V

Si la trayectoria de la carga prueba es curva y el campo eléctrico es no uniforme se tiene

V ab=− q4 πε0

∫r=a

0dr

r2= q

4πε 0( 1b−1

a ) V

Problema 12.-En la figura Q = 233 pC. Además sea a = 400 mm y b = 100 mm . El medio es aire. Encuéntrese el potencial absoluto Va en a, el potencial absoluto Bb en b y el aumento de potencial Vab

V a=Q

4 πε0

1a≈5 V

V b=

Q4 πε0

1b≈20 V

V ab=V b−V a≈15 V

Problema 13.-

Determine el potencial eléctrico en el punto A, producido por las cargas que se muestran en la figura, si la magnitud de q = 2 x10-6 coul y a = 0.5 m.

V = Σi=1

n

V i=1

4 πε0

Σi=1

n

q i

ri Para este caso V A= V 1+ V 2 + V 3

V A= 14 πε0

( q1

r1

+q2

r2

+q3

r 3) y como q1 = 2q, q2 = 4q, q3 = - 3q y r1 = r2 = r3 = a

Obtenemos que:

V A= 14 πε0

( 2 qa

+ 4 qa

−3 qa )= 1

4 πε0 a(3 q )

sustituyendo valores V= 1.08 x 105

Problema 14.-

Determine el potencial eléctrico en el punto A localizado en el centro del anillo de radio a que tiene una distribución de carga positiva y negativa λ como se muestra en la figura.

El potencial en A será igual a la suma de los potenciales producidos por la distribución de carga + y la distribución de carga - .

VA =VA (q+) + VA(q-) luego V A= 1

4 πε0∫ dq

r donde r = ctte = a .Como dq = λ dl y dl = a dθ

Para la carga positiva se tiene:

V A (q+ )= 14 πε0

∫0

43

π

λa dθ integrando y evaluando

V A (q+ )= λa4 πε0 a

∫0

43

π

dθ =

λ4 πε0

[ θ ]043

π

V A(q+ )= =

λ4 πε0

( 43

π )= λ3 ε 0

Para la carga negativa se sigue el mismo procedimiento.

V B=1

4 πε0∫−dq

r donde r = ctte = a . como dq = λ dl = λ a dθ entonces

V A (q− )= 14 πε0

∫0

23

π

− λa dθ integrando y evaluando

V A (q− )= −λa4 πε0a

∫0

23

π

dθ =

−λ

4 πε0

[ θ ]023

π

V A(q− )= =

− λ4 πε0

( 23

π)=− λ6 ε0 Para obtener el potencial resultante sumamos algebraicamente

los potenciales obtenidos, esto es:

V A= λ3 ε0

− λ6 ε 0

= λ3 ε0

(1−12 )= λ

6 ε0

Problema 15

Encuéntrese el potencial eléctrico a lo largo del eje x de un disco cargado uniforme de radio a y carga por unidad de área σ.

El punto P se encuentre a una distancia x del centro del disco y se acepta que el plano del disco es perpendicular al eje x . Para simplificar el problema se divide el disco en anillos cargados de área 2πr dr. Inicialmente consideremos un anillo de radio r y ancho dr como se ve en la figura. El área del anillo es dA = 2πrdr. Por lo tanto, el potencial en el punto P debido al anillo es:

dV = kdq

√r2+x2= kσ 2 π rdr

√r2+x2

Para encontrar el potencial en P, se suman todos los anillos que integran al disco. Es decir, integramos dV de r = 0 a r = a.

V=πkσ∫0

a2 rdr

√r2+x2=πk σ∫

0

a

(r2+ x2 )−1/22 rdr

Esta integral es de la forma un du y tiene el valor un+1/(n+1), donde n= -1/2 y u = r2+x2. De esto resulta

V=πkσ [ (r2+x2)−1

2+1

−12+1 ]

0

a

=πkσ [ (r2+ x2 )12

−12+1 ]

0

a

=πkσ [ (a2+x2)12

12

−(02+ x2 )

12

12

]=V=πkσ [ ( a2+ x2 ) ]

12−2 x= 2 (a2+ x2)

12−x=2 πkσ [ (a2+x2)

12−x ]

Conociendo el potencial, podemos encontrar fácilmente el campo eléctrico en cualquier punto sobre el eje de las x (forma axial al disco) mediante la ecuación del gradiente de potencial, considerando el valor negativo de la derivada de V en relación con x .

Ex=−dVdx

=2πkσ (1−x

√x2+a2 )Para puntos que se encuentren fuera del eje x, es mas difícil determinar los cálculos

Problema 16

Una esfera sólida aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q, determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera. Considere el potencial igual a cero donde r = α

Los potenciales eléctricos en los puntos B y Q son equivalentes a los producidos producidos por una carga puntual Q localizada en el centro de la esfera.

La ecuación de Gauss nos auxilia en la determinación del campo eléctrico fuera de la esfera con carga uniforme.

E=kQ

r2 Para r > R Donde el campo esta dirigida Radialmente hacia fuera cuando Q es positiva.

+-

+-

para un punto