U1. Aproximacion

Anlisis Numrico II

Unidad 1. Aproximacin

Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas |Licenciatura en Matemticas

1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en matemticas

5 Semestre

Anlisis numrico II


Clave:

05143527/06143527

Anlisis Numrico II



2

INDICE

Unidad 1. Aproximacin .................................................................................................. 3

Presentacin de la unidad ............................................................................................... 3

Propsitos de la unidad .................................................................................................. 3

Competencia especfica .................................................................................................. 3

1.1 Diferencias divididas ................................................................................................. 3

1.2 Localizacin de races ............................................................................................... 5

1.2.1 Mtodo de la biseccin ....................................................................................... 7

1.2.2. Mtodo de la regla falsa. .................................................................................. 11

Actividad 1. Aproximacin de una funcin .................................................................. 14

1.2.3. Mtodo de Newton-Raphson ........................................................................... 14

Actividad 2 Mtodos de Newton ................................................................................... 16

1.2.5. Mtodo de Mller .............................................................................................. 19

1.3. Evaluacin de polinomios ...................................................................................... 21

1.3.1 Mtodo de Horner ................................................................................................. 21

Actividad 3. Mtodo de Horner ..................................................................................... 22

Autoevaluacin ..................................................................... Error! Marcador no definido.

Evidencia de aprendizaje. Combinacin de mtodos ................................................. 22

Cierre de la unidad......................................................................................................... 22

Para saber ms .............................................................................................................. 22

Bibliografa ..................................................................................................................... 23

Anlisis Numrico II



3


Presentacin de la unidad

Al representar un problema mediante una ecuacin requerimos presentar un resultado

para resolver dicho problema. Por lo tanto, esta tarea es bsica en el anlisis numrico.

En la presente unidad examinaremos diferentes mtodos para proveer con algn

resultado numrico el resultado de funciones de una sola variable.

Propsitos de la unidad

Utilizar mtodos numricos para aproximar soluciones de ecuaciones de una sola

variable mediante diferentes mtodos

Evaluar polinomios minimizando el nmero de operaciones para minimizar los

errores de redondeo mediante el mtodo de Horner.

Competencia especfica

Utilizar diferentes mtodos numricos para aproximar soluciones de ecuaciones de una

sola variable y evaluar polinomios con el mtodo de Horner.

1.1 Diferencias divididas

Las diferencias divididas son mtodo para encontrar los coeficientes de un polinomio

particular, llamado polinomio de Newton y que veremos con detalle ms adelante, pero

por lo pronto debido a que las ocuparemos en ms de un caso las definiremos y

describiremos.

Se denotan por [0, , ] (o a veces nicamente por [0, , ]) y estn definidas de la

siguiente manera recursiva:

[0] = (0)

[1, 0] =(1) (0)

1 0

[, , 0] =[, , 1] [1, , 0]

0

(1)

La definicin anterior es claramente recursiva, es decir, en algn punto de su definicin se

llama a s misma pero con un parmetro de menor tamao. Para poder aplicar las

Anlisis Numrico II



4

diferencias divididas de orden superior requerimos calcular algunas de las anteriores y es

importante ver que en el caso basal tenemos que [] = ().

Algo importante a destacar en el caso que le sigue es el hecho de que [1, 0] lo que

tenemos es la pendiente entre el punto (1, (1)) y (0, (0)), es decir, es una la

diferencia dividida calcul una aproximacin numrica a la derivada de orden 1 entre esos

dos puntos.

La siguiente diferencia dividida se calcula a partir de la siguiente expresin

(2) = 2(2) = 0 + 1(2 0) + 2(2 0)(2 1)

Donde 2() es un polinomio particular que deseamos conocer para aproximar (), y

que describiremos con detalle posteriormente, =0,1 son los coeficientes calculados

recursivamente con este mtodo con anterioridad. Despejando 2 tenemos y haciendo un

poco de aritmtica obtenemos que:

2 =(2) 0 1(2 0)

(2 0)(2 1)= (

(2) (1)

2 1

(1) (0)

1 0) /(2 0)

Lo que es la expresin de la pendiente entre (2, (2)) y (0,

(0)). Es justo lo que

ocurre en las diferencias divididas de orden superior, lo que calculan es una aproximacin

numrica a la derivada j-sima

Ejemplo. Construir el polinomio

3() = 0 + 1( 1) + 2( 1)( 2) + 3( 1)( 2)( 3)

que aproxima () = 3 4 por el mtodo de las diferencias divididas para 0 = 1, 1 =

2, 2 = 3 , 5 = 6

[] [, ] [, , ] [, , ] [, , ] [, , ]

= 3

= 0 3

= 15 15 6

= 48 33 9 1

= 105 57 12 1 0

= 192 87 15 1 0 0

Nuestro polinomio queda pues

3() = 3 + 3( 1) + 6( 1)( 2) + ( 1)( 2)( 3)

En la siguiente grfica podemos ver como la funcin original en rojo es aproximada por el

polinomio calculado en verde. Aunque no es una aproximacin muy buena si nos indica la

funcin de este polinomio y por consiguiente el clculo de sus coeficientes a travs de

este mtodo.

Anlisis Numrico II



5

Figura 1. Ejemplo de aproximacin a una funcin mediante el mtodo de diferencias finitas, en rojo est la funcin original y en verde el polinomio aproximado. En la grafica de la izquierda puedes ver el error relativo que tiene el polinomio sobre la funcin original a lo largo de las abscisas; aunque es ms o menos constante aumenta drsticamente alrededor de 1 y mantiene un error alrededor del 1% que es un error muy alto.

Lo que es muy importante de este mtodo es su capacidad de aproximar numricamente

la derivada de alguna funcin en un punto.

1.2 Localizacin de races

Uno de los temas ms comunes en el anlisis numrico es la localizacin de races de

una funcin. La raz de una funcin continua () es el valor para el que

() = 0

A tambin se le conoce como cero de la funcin.

Este tema no slo tiene un gran inters acadmico como lo representa el problema de

encontrar ceros en la funcin zeta () de Riemann tambin tiene una gran cantidad de

aplicaciones prcticas en nuestra vida cotidiana como lo puede ser el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Supongamos que haciendo una serie de depsitos constante de pesos en una

cuenta bancaria cuya tasa de inters compuesta anual es . La cantidad ahorrada total es

entonces

= + (1 +

12) + (1 +

12)

2

+ + (1 +

12)

1

Anlisis Numrico II



6

El trmino (1 +

12) representa la contribucin mensual en pesos que genera la tasa de

inters sobre el capital para el primer perodo, las potencias {1,2, , 1} sobre este

trmino definen la contribucin i-simo. Factorizando vemos que:

= (1 + (1 +

12) + (1 +

12)

2

+ + (1 +

12)

1

)

Haciendo el cambio de variable = 1 +

12 obtenemos

= 1

1 =

1 (1 +

12)

1 (1 +

12)=

/12((1 +

12)

1)

Esta frmula nos indica el ahorro total en meses con una tasa de inters con

contribuciones peridicas .

El problema numrico es entonces el siguiente. Si ahorramos 250 pesos al mes durante

20 aos y queremos que el capital ahorrado al final de estos 20 aos sea de 250,000

pesos Cul es la tasa de inters a la que debemos invertir para obtener este

resultado? En este problema = 240 hace que sea funcin de nicamente, es decir,

= ().

Para encontrar este valor ocuparemos la siguiente estrategia, ocuparemos una =

0.12 y si cumple lo que queremos entonces ese ser nuestro resultado, en caso de que no

veremos si lo aumentamos o disminuimos.

Para nuestra primera opcin 1 obtenemos

(0.12) = 247,313.84

Como este resultado es menor de lo que esperbamos intentemos con 2 = 0.13

(0.13) = 283,310.59

Esta vez no excedimos as que ahora probaremos con 3 = 0.125

(0.125) = 264,623.40

Como nos volvimos a pasar de lo esperado probaremos con 4 = 0.1210

(0.1210) = 250,670.79

Este resultado ya es bastante aproximado para lo que esperbamos por lo que podemos

optar con quedarnos con esta instancia de la tasa de inters, y como en el anlisis

numrico un criterio muy comn es optar por la respuesta que de la mejor respuesta

posible, entonces nuestra respuesta ser 4 = 0.1210.

Lo que estuvimos haciendo de forma general fue buscar tal que:

Anlisis Numrico II



7

() = 0

Pero esto puede ser reexpresado como:

() 0 = 0

Esto ejemplifica lo que haremos en esta seccin. Describiremos una serie de mtodo que

hagan cumplir que el argumento de alguna funcin dada pueda ser igualada a 0.

Los mtodos que veremos son:

1. Mtodo de la biseccin

2. Mtodo de la regla falsa

3. Mtodo de Newton-Raphson

4. Mtodo de la secante

5. Mtodo de Mller

1.2.1 Mtodo de la biseccin

Este mtodo para encontrar races hace un uso extensivo del Teorema del Valor

Intermedio (TVI) al cual hicimos referencia en la asignatura Anlisis Numrico 1.

Recordando lo que dice este teorema es que si : [, ] y ()() < 0 entonces

existe [, ] tal que () = 0.

Por el momento vamos a suponer que la raz es nica. Lo que hace este mtodo iterativo

es dividir el intervalo [ , ] donde 0 = y 0 = por la mitad en cada iteracin con un

punto 1 tal que

=1

2( + )

Un mtodo iterativo es un mtodo que hace uso de aproximaciones sucesivas al problema

planteado. Estos mtodos usualmente requieren una aproximacin inicial a partir de la

cual los nuevos valores sern calculados y el mtodo se aplica nuevamente con estos

parmetros redefinidos hasta que el criterio de solucin es alcanzado o bien puede ser

que un nmero predefinido de iteraciones se cumple.

Probando en cada iteracin uno de los 3 siguientes casos.

(i) Si () = 0 entonces hemos terminado, =

(ii) Si ()() < 0 entonces el cero se encuentra en el intervalo [ , ], as que

volvemos a aplicar el mtodo en este subintervalo.

(iii) Si ()() < 0 entonces el cero se encuentra en el interavlo [, ] as que

volvemos a aplicar el mtodo en este subintervalo.

Es importante explicitar la aplicacin del TVI. En todos los casos estamos redefiniendo la

bsqueda siempre y cuando la multiplicacin cumpla que

(1)(2) < 0

Anlisis Numrico II



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Esto significa que (1) y (2) son de signos contrarios, por lo tanto alguno de ellos es

menor a 0 y la raz se encuentra en el subintervalo definido por 1 y 2. Esta dinmica de

bsqueda hace que a este mtodo tambin se le refiera como mtodo de bsqueda

binaria.

Figura 2. Esquema del algoritmo de la biseccin haciendo uso del TVI.

Ejemplo. Considera

() = 3 + 42 10

en el intervalo [1,2]. Esta funcin tiene una raz en ese intervalo, para encontrarlo

podemos usar el algoritmo recin descrito comenzando con = 1 y = 2 y punto medio

= 1.5

En la siguiente tabla puedes ver la evolucin del algoritmo, las columnas indican la

iteracin, el extremo izquierdo del intervalo, el derecho, el punto medio, la evaluacin del

mismo, despus la evaluacin de los nuevos extremos y la evaluacin de las condiciones

(ii) y (iii).

() () () ()() < ()() <

1 1.00000 2.00000 1.50000 2.37500 -5.00000 14.00000 SI NO

2 1.00000 1.50000 1.25000 -1.79688 -5.00000 2.37500 NO SI

3 1.25000 1.50000 1.37500 0.16211 -1.79688 2.37500 SI NO

4 1.25000 1.37500 1.31250 -0.84839 -1.79688 0.16211 NO SI

5 1.31250 1.37500 1.34375 -0.35098 -0.84839 0.16211 NO SI

6 1.34375 1.37500 1.35938 -0.09641 -0.35098 0.16211 NO SI

7 1.35938 1.37500 1.36719 0.03236 -0.09641 0.16211 SI NO

8 1.35938 1.36719 1.36328 -0.03215 -0.09641 0.03236 NO SI

9 1.36328 1.36719 1.36523 0.00007 -0.03215 0.03236 SI NO

10 1.36328 1.36523 1.36426 -0.01605 -0.03215 0.00007 NO SI

11 1.36426 1.36523 1.36475 -0.00799 -0.01605 0.00007 NO SI

Anlisis Numrico II



9

12 1.36475 1.36523 1.36499 -0.00396 -0.00799 0.00007 NO SI

13 1.36499 1.36523 1.36511 -0.00194 -0.00396 0.00007 NO SI

14 1.36511 1.36523 1.36517 -0.00094 -0.00194 0.00007 NO SI

15 1.36517 1.36523 1.36520 -0.00043 -0.00094 0.00007 NO SI

16 1.36520 1.36523 1.36522 -0.00018 -0.00043 0.00007 NO SI

17 1.36522 1.36523 1.36523 -0.00005 -0.00018 0.00007 NO SI

Para la iteracin 17 el resultado es bastante bueno, es decir, tiene una precisin mayor a

104 por lo tanto diremos que () encuentra su raz en = 1.36522

Ejemplo 2. La funcin () = () es una funcin muy comn en Ingeniera. Con el

mtodo de la biseccin hay que encontrar el valor para el que se cumple () = 1 en el

intervalo [0,2]. Entonces nuestra funcin a buscar es:

() = () 1

() () () ()() < ()() <

1 0.00000 2.00000 1.00000 -0.15853 -0.97497 0.81859 NO SI

2 1.00000 2.00000 1.50000 0.49624 -0.76373 0.81859 SI NO

3 1.00000 1.50000 1.25000 0.18623 -0.96552 0.49624 SI NO

4 1.00000 1.25000 1.12500 0.01505 -0.99977 0.18623 SI NO

5 1.00000 1.12500 1.06250 -0.07183 -0.99485 0.01505 NO SI

6 1.06250 1.12500 1.09375 -0.02836 -0.99920 0.01505 NO SI

7 1.09375 1.12500 1.10938 -0.00664 -0.99996 0.01505 NO SI

8 1.10938 1.12500 1.11719 0.00421 -0.99998 0.01505 SI NO

9 1.10938 1.11719 1.11328 -0.00122 -1.00000 0.00421 NO SI

10 1.11328 1.11719 1.11523 0.00150 -1.00000 0.00421 SI NO

11 1.11328 1.11523 1.11426 0.00014 -1.00000 0.00150 SI NO

12 1.11328 1.11426 1.11377 -0.00054 -1.00000 0.00014 NO SI

13 1.11377 1.11426 1.11401 -0.00020 -1.00000 0.00014 NO SI

14 1.11401 1.11426 1.11414 -0.00003 -1.00000 0.00014 NO SI

15 1.11414 1.11426 1.11420 0.00006 -1.00000 0.00014 SI NO

16 1.11414 1.11420 1.11417 0.00001 -1.00000 0.00006 SI NO

Con esta tabla podemos ver que en la iteracin 16 se cumple que con = 1.11414

obtenemos un resultado casi 0 para la precisin con la que estamos trabajando.

function [c,err,yc]=biseccion(f,a,b,d)

% metodo de la biseccion

% entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo derecho, y d

criterio de paro

% c cero, yc=f(c), err es el error del resultado

ya=feval(f,a)

yb=feval(f,b)

Anlisis Numrico II



10

if ya*yb>0,break,end

max1=1+round((log(b-a)-log(d))/log(2));

for k=1:max1

c=(a+b)/2;

yc=feval(f,c)

if yc==0;

a=c;

b=c;

elseif yb*yc>0

b=c;

yb=yc;

else

a=c;

ya=yc;

end

if b-a < d, break, end

end

c=(a+b)/2;

err=abs(b-a);

yc=feval(f,c)

endfunction

Algoritmo 1. Algoritmo de la biseccin en Octave.

En el Algoritmo 1 est descrito el funcionamiento del algoritmo de la biseccin en Octave,

para ejecutarlo tienes que seguir los siguientes pasos. Salva el Algoritmo 1 como lo

indica el nombre se la funcin (biseccion.m) y ejecuta Octave, define a f, una cadena,

como la funcin de la que desees encontrar los ceros

>>> f=x^3+4*x^2-10

Y despus llama a la funcin biseccion de la siguiente forma

>>> [a,b,c] = biseccion(f,0,2,0.0001)

La salida ser la siguiente octave:11> [k,l,m]=biseccion("f",0,2,0.0002)

ya = -1

yb = 0.81859

yc = -0.15853

yc = 0.49624

yc = 0.18623

yc = 0.015051

yc = -0.071827

yc = -0.028362

yc = -0.0066428

yc = 0.0042080

yc = -0.0012165

yc = 0.0014960

yc = 1.3981e-004

yc = -5.3832e-004

yc = -1.9925e-004

yc = -2.9719e-005

yc = 5.5047e-005

k = 1.1142

l = 1.2207e-004

m = 5.5047e-005

Anlisis Numrico II



11

En las variables a tendremos k tenemos el punto donde se alcanz el cero f(k). No

olvides usar las comillas () al pasar el parmetro f. Con este mtodo podrs acercarte a

tu resultado tanto como lo desees.

1.2.2. Mtodo de la regla falsa.

Un mtodo ms rpido es el de la regla falsa, es decir, la convergencia de este mtodo es

superior al de la biseccin. En este mtodo haremos uso tambin del TVI pero a

diferencia del mtodo de la biseccin, donde tomamos el punto medio de forma

predeterminada, vamos a construir un valor en cada iteracin que cumpla con ser el

punto sobre la secante que conecta a los puntos (, ()) y (, ()) y que dicha secante

pasar por la recta = 0 en el punto (, 0). Si ()() < 0 entonces el cero que

buscamos est a la izquierda de y en caso contrario estar a la derecha

Figura 3. Esquema del funcionamiento del algoritmo de la regla falsa.

Para construir el punto tenemos que hacer las siguientes consideraciones. Calculando

las pendientes de estas rectas tenemos que para el primer caso

1 =() ()

Y para el segundo caso obtenemos que

2 =0 ()

Como necesitamos que el punto sea uno de los extremos (ya que esperamos encontrar

una raz de nuestra funcin) entonces igualamos las pendientes

Anlisis Numrico II



12

1 = 2

De donde podemos despejar fcilmente a en trminos de los dems datos que s

conocemos

= ()( )

() ()

(2)

Esta es la frmula para una sola iteracin, es la expresin ms general. Como estamos

haciendo un mtodo iterativo y, al igual que en la biseccin, estamos reevaluando los

extremos del intervalo donde vamos a buscar nuestra raz la expresin anterior nos queda

de la siguiente forma:

= ()( )

() ()

(3)

Entonces nos enfrentamos a las mismas tres posibilidades del caso anterior. La

actualizacin la podemos hacer de la misma forma que en el mtodo de la biseccin.

(i) Si () = 0 entonces terminamos. Nuestra raz es

(ii) Si ()() < 0 entonces tiene un cero entre [ , ] y evaluamos otra vez

con este nuevo intervalo.

(iii) Si ()() > 0 entonces tiene un cero entre [, ] y evaluamos otra vez

con este nuevo intervalo.

Ejemplo. Utilizaremos este mtodo con el ltimo que usamos para biseccin

() = () 1

() () () (, ) (, )

1 0.000000 2.000000 -1.000000 0.818595 1.099750 -0.020019 NO SI

2 1.099750 2.000000 -0.020019 0.818595 1.121241 0.009835 SI NO

3 1.099750 1.121241 -0.020019 0.009835 1.114161 0.000006 SI NO

4 1.099750 1.114161 -0.020019 0.000006 1.114157 0.000000 SI NO

Puedes observar como este mtodo fue mucho ms rpido que el de la biseccin

El algoritmo de la regla falsa lo puedes ver a continuacin

function [c,err,yc]=reglafalsa(f,a,b,d=0.0001,e=0.0001,m=1000)

% metodo de la regla falsa

% entrada: f funcion, a extremo izquierdo, b extremo derecho, y d

tolerancia de cero, e tolerancia de que la funcion ya este en cero, m

maximo de iteraciones

% c cero, yc=f(c), err es el error del resultado

Anlisis Numrico II



13

ya=feval(f,a);

yb=feval(f,b);

if ya*yb>0,

disp(No cumple las condiciones);

break;

end

for k=1:m

dx=yb*(b-a)/(yb-ya);

c=b-dx;

ac=c-a;

yc=feval(f,c);

if yc==0,break;

elseif yb*yc>0

b=c;

yb=yc;

else

a=c;

ya=yc;

ya=yc;

end

dx=min(abs(dx),ac);

if abs(dx) [k,h,m]=reglafalsa("f",0,2,0.001,0.0002,1000)

ya = -1

yb = 0.81859

k = 1.1142

h = 0.0072055

m = 5.6304e-006

Anlisis Numrico II



14

Actividad 1. Aproximacin de una funcin

En esta actividad practicars como resolver numricamente una ecuacin utilizando dos

mtodos, el de la regla falsa y biseccin. Discutirs con detalle las consideraciones de

uso de los mtodos contrastndolos con la solucin analtica.

1.2.3. Mtodo de Newton-Raphson

Otro mtodo para encontrar races extremadamente comn y poderoso es el mtodo de

Newton-Raphson (o simplemente mtodo de Newton). Este mtodo ocupa informacin

adicional sobre la funcin a ()a estudiar, es decir, necesitamos de la primera y segunda

derivada de la misma para que el mtodo funcione para generar {}1 que convergan

ms rpido a la raz que los mtodos que hasta ahora hemos visto.

Supongamos que se tiene : [, ] tiene una raz en y que existen y y 0

como aproximacin inicial. El punto 0 se tiene que encontrar cerca del punto .

Figura 4. Esquema del funcionamiento del algoritmo de Newton.

Para construir la expresin que nos dir como construir el siguiente punto de la sucesin

que nos acercar a la raz a podemos hacerlo de la siguiente manear.

Definimos al punto 1 dentro de la recta tangente al punto (0, (0)) conformando as el

punto (1, 0). Entonces la pendiente de esta recta est dada por la expresin:

=0 (0)

1 0

Pero tambin sabemos que por definicin es

= (0)

Al igualar estas dos expresiones tenemos que

Anlisis Numrico II



15

0 (0)

1 0= (0)

De donde es fcil ver que si despejamos 1 obtenemos:

1 = 0 (0)

(0)

De aqu podemos generalizar la expresin para generar los elementos de la sucesin que

necesitamos a la siguiente expresin

= 1 (1)

(1)

(4)

Si tomamos el desarrollo de Taylor de alrededor de 0 podemos ver porque se pide que

0 este cerca de .

() = (0) + (0)( 0) +

()( 0)2

2!

En este caso, como sabes, el ltimo sumando es el trmino de error para algn entre 0

y . Como lo que queremos es () entonces

() = (0) + (0)( 0) +

()( 0)2

2!

Pero como es raz de entonces se cumple que () = 0. Cuando y 0 estn

suficientemente cerca entonces todo el lado derecho de la ecuacin anterior es

despreciable o contribuye muy poco al resultado de los 2 primeros trminos, esto queda

de la siguiente manera

0 (0) + (0)( 0)

Al despejar obtenemos:

1 = 0 (0)

(0)

(5)

Que es la misma expresin que (4).

Ejemplo 1. Encontrar la interseccin de las curvas = e = cos(). Replanteando el

problema significa encontrar el cero de la siguiente funcin

() = cos()

Los diferentes puntos los construiremos, de acuerdo con el mtodo de Newton-

Raphson de la siguiente manera:

= 1 cos (1) 1(1) 1

, 1

Nuestra eleccin de 0 es

4 y los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Anlisis Numrico II



16

0 0.785398163397448

1 0.739536133515238

2 0.739085178106010

3 0.739085133215161

4 0.739085133215161

5 0.739085133215161

Es claro que para = 3 iteraciones la aproximacin ya no mejora nada.

Ejemplo. Calcule el tiempo que transcurre un proyectil en vuelo si su ngulo inicial de

disparo es 45, las velocidades iniciales en e son = = 100/ y C el cociente de

masa por resistencia al aire es 10 usando las siguientes frmulas

= () = ( + 9.82) (1

) 9.8

= () = (1

)

Considerando que las velocidades tienen la siguiente descomposicin

= 0 cos()

= 0()

como aproximacin inicial 0 = 16 y que () = 198

10 98

El desarrollo es bastante simple, slo hay que seguir las frmulas mostradas y sustituir

valores. Los resultados se muestran a continuacin

() ()

0 16.000000 12.244894 -58.024489

1 16.211030 -0.088390 -58.859253

2 16.209528 -0.000004 -58.853374

3 16.209528 0.000000 -58.853374

4 16.209528 0.000000 -58.853374

Observaciones:

(1) La eleccin del punto inicial se hizo a partir de evaluar (16) y (17), hazlo para

que observes porque 0 = 16.

(2) Para calcular este problema especfico desarrolla la expresin () con los valores

de y para que obtengas los mismo resultados.

Actividad 2 Mtodos de Newton

En esta actividad practicars como resolver numricamente una ecuacin el mtodo de

Newton.

Anlisis Numrico II



17

1.2.4. Mtodo de la Secante

El mtodo de Newton hace uso de la segunda y primera derivada de una funcin, esto

puede ser muy demandante de recursos o por lo menos lo fue en otra poca en la que las

computadoras y los paquetes de clculo se estaban desarrollando, otra limitante son las

funciones para las cuales no tenemos una funcin explcita que derivar o incluso aunque

tengamos la expresin analtica, esta puede ser muy difcil de derivar. Este mtodo slo

necesita de una evaluacin de () en cada iteracin.

Figura 5. Esquema del algoritmo de la secante

En este mtodo requiere a cambio dos puntos iniciales y sus correspondientes

evaluaciones bajo , estos puntos deben estar cerca de al igual que en el mtodo de

Newton.

(0, (0)), (1, (1))

La idea consiste en trazar la secante que pasa por (0) y (1) para construir el punto 2

que va a yacer sobre el eje de las abscisas. Entonces este punto ser especficamente

(2, 0)

Ahora tenemos que relacionar estos tres puntos de la misma forma que lo hicimos con el

mtodo de Newton. Esto es, relacionando las pendientes.

1 =(1) (0)

1 0

Que es la pendiente que pasa por los puntos (0, (0)), (1, (1)), y la pendiente que

pasa por (2, 0), (1, (1)) es la siguiente:

2 =0 (1)

2 1

Anlisis Numrico II



18

Pero estas pendientes son las mismas as que igualando obtenemos:

0 (1)

2 1=

(1) (0)

1 0

Al despejar 2 que es la que nos interesa obtenemos:

2 = (1, 0) = 1 (1)(1 0)

(1) (0)

(6)

Generalizndolo para cualesquiera dos puntos consecutivos de los cuales queremos

obtener el ltimo la expresin anterior queda como:

= (, 1) = 1 (1)(1 2)

(1) (2)

Este algoritmo es casi tan rpido como el de Newton y como se puede ver nada

ms requiere de una evaluacin de que para muchas aplicaciones tecnolgicas

puede representar una gran ventaja. La desventaja es el requerimiento de dos

aproximaciones iniciales.

Ejemplo. Encontrar las races de

() = 3 3 + 2

Con las condiciones iniciales 0 = 2.6 y 1 = 2.4.

= 1 (1

3 31 + 2)(1 2)

13 31 + 2

3 32

Despus de un poco de simplificacin algebraica obtenemos:

=1

2 2 + 122 2

12 + 12 + 2

2 3

Los resultados se exhiben en la siguiente tabla.

+

0 -2.60000000000 0.20000000000

1 -2.40000000000 0.29340101523

2 -2.10659898477 0.08395757246

3 -2.02264141231 0.02113031498

4 -2.00151109733 0.00148856085

5 -2.00002253648 0.00002251380

6 -2.00000002269 0.00000002269

7 -2.00000000000 0.00000000000

En esta tabla podemos ver las distintas iteraciones as como la raz y el error

(7)

Anlisis Numrico II



19

respecto de la iteracin anterior.

El algoritmo para la secante para Octave es

function [p1,err,k,y]=secante(f,p0,p1,d,e,m)

% metodo de la secante

%

% entrada

% f es la funcion en forma de cadna

% p0,p1 puntos iniciales

% d tolareancia para p1

% e tolerancia para los valores bajo la funcion

% m max numero de iteraciones

%

% salida

% p1 es la aproximacion obtenida

% err error

% k iteraciones realizadas

% y es el valor de f(p1)

for k=1:m

num=(p1-p0);

den=(feval(f,p1)-feval(f,p0));

p2=p1-feval(f,p1)*num/den;

err=abs(p2-p1); %calculamos error absoluto

err_rel=2*err/(abs(p2)+d); %y tambien el relativo

p0=p1;

p1=p2;

fp1=feval(f,p1);

if (err

Anlisis Numrico II



20

Esto marca una diferencia cualitativa respecto de los otros mtodos.

El mtodo de Mller lo que hace es extender el Mtodo de la Secante sustituyendo

el polinomio lineal por uno cuadrtico de segundo grado de la siguiente manera:

Figura 6. Esquema del algoritmo de Mller.

Sean (0, (0)), (1, (1)), (2, (2)) tres valores distintos que servirn para

formar 3 que sea raz de . Haciendo el cambio de variable

= 2

Y construimos 1 y 2 de tal forma que:

0 = 0 2

1 = 1 2

Al sustituirlas en el polinomio cuadrtico

() = 2 + +

(8)

Obtenemos un sistema de tres ecuaciones de las cuales queremos conocer los

coeficientes , , . Para poder obtener dicho coeficientes podemos usar las

diferencias que ya construimos

= 0; (0) = 02 + 0 + ,

= 1; (1) = 12 + 1 + ,

= 0; (2) =

A partir de la tercer ecuacin sustituyendo en las primeras dos obtenemos:

02 + 0 = (0) = 0,

12 + 1 = (1) = 1.

Anlisis Numrico II



21

De este sistema de ecuaciones solo ignoramos , , resolviendo el sistema para

ellas obtenemos

=01 1010

2 012

=10

2 012

102 01

2

La formula estable, equivalente a la que ya conoces, para obtener las races de (8)

se obtienen con la siguiente expresin

1,2 =2

2 4

(9)

De la cual vamos a escoger aquella que tenga el menor valor absoluto con el fin

de garantizar la estabilidad del mtodo. Entonces la siguiente raz 3 la podemos

escoger de la siguiente forma:

3 = 2 + (10)

El nuevo conjunto de puntos para la siguiente iteracin lo conformaran las races

ms cercanas a 3.

1.3. Evaluacin de polinomios

Como has podido notar hasta el momento la proliferacin de polinomios es extensa as

que tenemos que ocuparnos de este aspecto. Esto es porque la evaluacin de un

polinomio en algn punto en particular puede llevar una gran cantidad de operaciones,

sobre todo en las potencias ms grandes, es decir, un trmino 5 implica 5

multiplicaciones ms 4 multiplicaciones de la potencia del trmino 4 y as sucesivamente

hasta el ltimo monomio y esto por cada uno de los puntos donde queremos evaluar el

polinomio.

1.3.1 Mtodo de Horner

El mtodo de Horner hace una evaluacin eficiente del polinomio () en = 0, es

decir, en algn punto especfico. Donde el polinomio est definido por:

() = 0 + 11 + 2

2 + +

Podemos factorizar de la siguiente forma:

() = 0 + (1 + (2 + (3 + + (1 + ) )))

De esta otra forma al evaluar = 0 en () se realizan sumas y multiplicaciones en

vez de sumas y una cantidad cuadrtica de multiplicaciones.

Anlisis Numrico II



22

Ejemplo: Si queremos evaluar el polinomio

() = 44 + 123 + 32 + 2 + 15

en el punto = 0.23

Reexpresando () como lo expresa el mtodo de Horner nos queda de la siguiente

forma:

() = 15 + 2 + 32 + 123 + 44

() = 15 + (2 + (3 + (12 + 4)))

(0.23) = 15 + 0.23(2 + 0.23(3 + 0.23(12 + 4(0.23)))

(0.23) = 15.7758976

Cierre de la unidad

Durante esta unidad revisaste el mtodo de diferencias divididas, los diferentes mtodos

por el cual podemos localizar races de una ecuacin, las cuales con ayuda del software

Octave se pudo acortar el tiempo de solucin. Pero lo ms importante fue como poder

resolver una ecuacin de difcil solucin por el mtodo tradicional, utilizando mtodos

numricos.

A partir de este momento y con la ayuda de los mtodos propuestos durante la unidad, te

sern de mucha ayuda para cursar las dems unidades, por lo cul te invito a repasarlas y

aprender adecuadamente cada uno de ellos, ya que se aplicaran durante las siguientes

unidades. As pues te invito a seguir con esta nueva experiencia.

Para saber ms

Te recomendamos revisar los siguientes link, ya que te informaran ms ampliamente de lo

revisado en la unidad.

http://mathworld.wolfram.com/DividedDifference.html

http://illuminatus.bizhat.com/metodos/Muller.htm

http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/Muller.html

Actividad 3. Mtodo de Horner

En esta actividad practicars como evaluar un polinomio con el mtodo de Horner

Evidencia de aprendizaje. Combinacin de mtodos

A travs de esta actividad podrs aplicar los conocimientos adquiridos durante la unidad.

Anlisis Numrico II



23

http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RegulaFalsiMod.html

Bibliografa

Burden, R. L. (2011). Anlisis numrico, Novena edicin. Mxico: CengageLearning

Editores.

Chapra, S. C. (2011). Mtodos numricos para ingenieros. Mxico: McGraw-Hill.

Henrici, P. (1980). Elementos de anlisis numrico. Mxico: Trillas.

U1. Aproximacion

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