Apuntes Pretensado

HORMIGN ARMADO Y PRETENSADO I

HORMIGN PRETENSADO

Apuntes de Teora

10 de abril de 2003 Unidad Docente de Hormign Estructural Departamento de Mecnica de los Medios Continuos y Teora de Estructuras Universidad Politcnica de Madrid

Documento n: apuntes_pretensado EDB 100403 Edicin n: B Preparado: APC,MFD Comprobado: Aprobado: HCP

Hormign Pretensado 2/28

Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03

INDICE

1 INTRODUCCIN 3

2 TIPOS DE PRETENSADO 3 2.1 Pretensado Preteso 3

2.2 Pretensado Posteso 4

2.3 Pretensado Exterior 5

3 DISEO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS 6

4 PRDIDAS DE PRETENSADO 7 4.1 Prdidas instantneas 7

4.1.1 Prdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) 7

4.1.2 Prdidas por penetracin de cua (20.2.2.1.2 EHE) 8

4.1.3 Prdidas por acortamiento elstico (20.2.2.1.3 EHE) 10

4.2 Prdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) 10

5 SIMULACIN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO 11

5.1 Introduccin 11

5.2 Deduccin de la expresin de las fuerzas equivalentes de pretensado 11

5.3 Clculo simplificado de Fuerzas equivalentes de pretensado 15

5.4 Modelizacin de estructuras de canto variable. 16

5.5 Momento hiperesttico del pretensado 17

6 ESTADO LMITE LTIMO 20

7 ESTADO LMITE DE SERVICIO 22 7.1 Comprobacin de tensiones (49.2 EHE) 22

7.1.1 Comprobacin en vaco 22

7.1.2 Comprobacin a tiempo infinito 23

7.2 Comprobacin de fisuracin en secciones pretensadas 23

8 BIBLIOGRAFA 28



1 INTRODUCCIN En este documento se incluye una breve introduccin al diseo de estructuras de hormign pretensado. En l se incluye una definicin de los principales tipos de pretensado, criterios para definir el trazado de tendones de pretensado posteso, clculo de prdidas de pretensado, formas de simular los efectos de pretensado (cargas equivalentes o deformaciones impuestas), determinacin del momento ltimo de secciones pretensadas, comprobaciones de tensiones (vaco y servicio) y clculo de abertura de fisuras en elementos pretensados. Se trata por lo tanto de una visin global del proceso de diseo y verificacin de estructuras de hormign pretensado.

2 TIPOS DE PRETENSADO

2.1 Pretensado Preteso El pretensado preteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensin antes de hormigonar el elemento. Para ello, resulta necesario disponer de un banco de tesado como el representado en la figura siguiente tomada de la referencia [1]:

En el pretensado preteso no se dispone ni vaina de pretensado ni anclajes en el hormign. La fuerza de pretensado se transfiere al hormign mediante adherencia. No obstante s se disponen anclajes de cua en la bancada, necesarios para la fijacin provisional de los cordones de pretensado. En la figura siguiente, se muestran una vista de una bancada de pretensado con y sin la ferralla del elemento pretensado



En la figura siguiente se puede ver el anclaje de los cordones de pretensado en la bancada mediante un sistema de cuas.

Como consecuencia de la forma en que se fabrica este tipo de elemento, en general el trazado de pretensado es recto, aunque, excepcionalmente, se pueden plantear trazados de tipo poligonal introduciendo desviadores intermedios.

2.2 Pretensado Posteso El pretensado posteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensin despes de hormigonado del elemento. Por ello, es necesario dejar prevista una vaina (ver foto) con objeto de permitir el libre desplazamiento del pretensado en el hormign con objeto de poder realizar el tesado.

En este caso el anclaje del pretensado en el hormign se hace por medios mecnicos mediante una placa que se apoya en una trompeta. En las fotos siguientes se muestran algunos detalles de este tipo de elemento.



Generalmente, una vez realizado el tesado, se procede a inyectar la vaina con lechada de cemento. La inyeccin dos funciones principales: Proteger a la armadura activa de la corrosin Proporcionar adherencia entre armadura activa y hormign

2.3 Pretensado Exterior El pretensado exterior se caracteriza porque el cable de pretensar discurre por fuera de la seccin de hormign, ya sea por el interior de un aligeramiento, ya sea por el exterior del canto del elemento como en el caso de soluciones con pretensado extradosado.

El pretensado exterior tiene grandes posibilidades debido a que sus aplicaciones no se limitan a los puentes de hormign como puede verse en la figura siguiente donde se muestra el Puente sobre el Barranco de Cavalls que es una estructura de celosa mixta con pretensado exterior.



3 DISEO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS

Para plantear el trazado de los cables de pretensado se pueden adoptar, en trminos generales, las siguientes reglas: En los anclajes, el trazado del pretensado debe pasar por el centro de

gravedad de la seccin, debido a que el momento en dicho punto suele ser nulo. No obstante, existen excepciones a esta regla, como por ejemplo cables pertenecientes a una fase de un procedimiento constructivo.

El cable debe tener su mxima excentricidad en los puntos de mximo momento (apoyos intermedios y centros de vanos interiores y a una distancia aproximada del 40% de la luz desde el apoyo extermo en vanos exteriores) Esta excentricidad viene limitada por la necesidad de dejar un recubrimiento geomtrico de una vaina. Dependiendo del calibre de los tendones de pretensado, el dimetro de la vaina vara en aplicaciones de puentes entre 10 y 12 cm, por lo que el recubrimiento mecnico mnimo vara entre 15 y 18 cm.

En los puntos de mxima excentricidad el cable tiene tangente horizontal. El trazado de pretensado est compuesto por una succesin de parbolas

tangentes que en algn caso pueden degenerar en rectas. Es importante que el trazado sea recto en una longitud de 1.00 a 2.00 metros de la proximidad de un anclaje o un acoplador.

Si considera el tramo de trazado comprendido entre la mxima excentricidad en centro de vano (punto A) y la mxima excentricidad en el apoyo (Punto C), estos dos puntos estn alineados con el punto en el que se produce la tangencia de las dos parbolas (punto B), como se demuestra en la figura siguiente.

Si se fija un criterio para definir la distancia del punto de tangencia al punto de mxima excentricidad, el trazado de pretensado queda perfectamente

1.5h

L1 L2

1.5

f2f1

h

1.5

A

BC

=

=

211 2

1

' 11 2

1

2

fy x

Lf

y xL

= =' 11 11

2fPara x L y

L

=

=

222 2

2

' 22 2

2

2

fy x

Lf

y xL

= =' 22 22

2fPara x L y

L

= =' ' 1 21 21 2

f fy y

L LPor lo tanto A,B y C estn alineados

1.5h

L1 L2

1.5

f2f1

h

1.5

A

BC

1.5h

L1 L2

1.5

f2f1

h

1.5

A

BC

=

=

211 2

1

' 11 2

1

2

fy x

Lf

y xL

= =' 11 11

2fPara x L y

L

=

=

222 2

2

' 22 2

2

2

fy x

Lf

y xL

= =' 22 22

2fPara x L y

L

= =' ' 1 21 21 2

f fy y

L LPor lo tanto A,B y C estn alineados



definido. Un posible criterio es limitar la longitud de la parbola del apoyo que tiene curvatura negativa a 1.5 veces el canto de la estructura, con objeto de conseguir que las fuerzas de desvo correspondientes a dicha parbola entren en el apoyo sin incrementar significativamente la necesidad de disponer armadura de cortante (ver figura)

4 PRDIDAS DE PRETENSADO La fuerza de pretensado que se especifica en el gato al tesar una estructura, no es la misma fuerza que alcanza las distintas secciones de la misma. De forma instantnea y a lo largo del tiempo, se producen prdidas de pretensado que dependen de la seccin considerada. Las prdidas no afectan de igual forma los distintos tipos de pretensado (pretensado preteso, pretensado posteso, pretensado exterior) En esta seccin se describen los distintos tipos de prdidas de pretensado, relacionndolos con los distintos sistemas de pretensar.

4.1 Prdidas instantneas

4.1.1 Prdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) Las prdidas por rozamiento se producen por friccin entre los cables de pretensado y la vaina. Este tipo de prdidas se produce solamente en elementos postesos puesto que en elementos pretesos, el tesado se hace sin ms rozamiento que el del aire. Las prdidas por rozamiento pueden calcularse de acuerdo con la expresin siguiente:

1 1k

x

kP P e +

=

En esta expresin, es el coeficiente de rozamiento en curva, k es el coeficiente de rozamiento parsito en recta, es la variacin angular entre el punto en que se calcula la prdida de pretensado y la seccin en que la fuerza de pretensado es Pk y x es la distancia horizontal entre dichas secciones. En la tabla siguiente se presentan los valores ms habituales de y k/.

1.5h

h

1.5h 1.5h

h

1.5h



Como valores tpicos para un puente de hormign posteso se pueden adoptar =0.21 y k/=0.006.

4.1.2 Prdidas por penetracin de cua (20.2.2.1.2 EHE) Las prdidas por penetracin de cuas se producen en el momento en que el gato suelta el cable. Debido a que el sistema de anclaje se produce por friccin, resulta inevitable un pequeo deslizamiento del cordn en la cua. Este deslizamiento arrastra la cua y estrecha el hueco por el que pasa el torn, aumentando el rozamiento hasta que se obtiene un anclaje total. Aunque el concepto es el mismo en puentes pretesos que postesos, su clculo es diferente debido a que en unos sta prdida afecta a todo el cable por igual, mientras que en otros se produce un rozamiento negativo que limita la zona de cable afectada. El valor de la penetracin de cua (a) es un dato inherente al sistema de pretensado y su valor est en torno a 4-6 mm.

Elementos pretesos En elementos pretesos la prdida por penetracin de cua viene dada por la siguiente expresin:

2 p p p p

aP E A E A

L = =

Elementos postesos En elementos postesos el clculo de las prdidas por penetracin de cua supone la determinacin de dos incgnitas (ver figura): El valor de esta prdida en la seccin del anclaje La longitud x de cable afectada por la prdida

11

8L

a=

3211

++===

x

ii

Variacin angular total

0.240.200.15Con lubricacin

ligera (aceite soluble)



0.280.220.18Sin lubricar2) Tendn formado por un nico elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.

Sin lubricar1) Tendn formado por varios elementos

agrupados en una misma vaina de acero sin

tratamiento superficial.

0.31

Barras laminadas corrugadas.

0.25

Barras laminadas lisas.

0.21

Alambres o cordones trefilados.

Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado superficial de

las armaduras.

Disposicin de las armaduras en las

vainas.

Valores del coeficiente de rozamiento en curva.

0.006

>60

0.007

60

0.009

50

0.012

40

0.016

30

k/

Dimetro interior del conducto [mm]

11

8L

a=

3211

++===

x

ii

Variacin angular total





0.280.220.18Sin lubricar2) Tendn formado por un nico elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.

Sin lubricar1) Tendn formado por varios elementos

agrupados en una misma vaina de acero sin

tratamiento superficial.

0.31

Barras laminadas corrugadas.

0.25

Barras laminadas lisas.

0.21

Alambres o cordones trefilados.

Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado superficial de

las armaduras.

Disposicin de las armaduras en las

vainas.

Valores del coeficiente de rozamiento en curva.

0.006

>60

0.007

60

0.009

50

0.012

40

0.016

30

k/

Dimetro interior del conducto [mm]



Para resolver el problema se pueden plantear las siguientes consideraciones: La penetracin de cua es un desplazamiento que se obtiene como integral

de la deformacin que se produce por la prdida por penetracin de cua lo largo de la longitud de cable afectada por la misma:

( ) ( )2 21 1 1 1( ) 02x x

p p p p p po o

a x dx P x dx S P x xE A E A E A

= = = =

Si se admite que el rozamiento al tesar es igual al rozamiento negativo que se produce al anclar las cuas, se puede establecer una relacin de semejanza de tringulos segn se muestra en la figura siguiente:

Combinando estas ecuaciones se puede obtener la prdida por penetracin de cua en la seccin del anclaje:

( ) [ ]22 22

1 1 1 10 ( 0)

2 4

( 0) 4

B A

p p p p A B

A Bp p

B A

x xa P x x P x

E A E A P P

P PP x aE A

x x

= = = = = =

22

( 0)1 1( 0)

2 2A B B A

B A A B

P xP P x xx P x

x x x P P = = = =

P1P2

P

P0

S

x

Ley de fuerza de pretensado al destesar.

Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-P1).

P1P2

P

P0

S

x

Ley de fuerza de pretensado al destesar.

Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-P1).

Ley de fuerzas a lo largo del elemento

0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

P2A

BC

D


0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

P2


0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

P2A

BC

D



De esta forma queda resuelto el problema.

4.1.3 Prdidas por acortamiento elstico (20.2.2.1.3 EHE)

Elementos pretesos En elementos pretesos la prdida por acortamiento elstico se produce al cortar los cables. En este caso la fuerza de cada uno de los cables produce un acortamiento en la viga que, a su vez se traduce en una prdida de pretensado al acortarse el hormign coincidente con la fibra media del pretensado. Por lo tanto, la prdida de pretensado por acortamiento elstico se puede determinar multiplicando la deformacin del hormign debida al pretensado ms las cargas permanentes ( cgp= cgp /Ecj) por el mdulo de deformacin del acero (Ep) y por el rea de pretensado (Ap):

3p

p cgp p cgp pcj

EP E A A

E = =

Elementos postesos En el caso de elementos postesos, el problema es distinto debido a al procedimiento de tesado. Si se tesa un solo cable, no existe prdida por acortamiento elstico debido a que al tesar se controla la fuerza y el acortamiento elstico se compensa aumentando el recorrido del gato hasta obtener la fuerza de tesado especificada. En el caso en que se tengan dos cables que se tesan de forma consecutiva, el ltimo cable en tesarse no tendr prdida alguna por acortamiento elstico, mientras que el primer cable tendr una prdida equivalente a la producida por la mitad de la fuerza de tesado total. Por lo tanto la prdida media de pretensado sera: de ( )0 1/ 2 / 2 1/ 4+ = de la que se habra producido en el caso de un elemento preteso. Con tres cables, la prdida media sera ( )0 1/ 3 2 / 3 / 3 1/ 3+ + = de la de un elemento preteso. Con carcter general, la frmula que se debe aplicar es la siguiente:

3

12

pp cgp p cgp p

cj

EnP E A A

n E = =

4.2 Prdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) De acuerdo con el modelo de la EHE, las prdidas diferidas pueden calcularse a partir de la siguiente expresin:

( )0 0

2

0

( , ) ( , ) 0.8

1 1 1 ( , )

cp p cs prdif p

p c p

c c

n t t E t tP A

A A yn t t

A I

+ + = + + +

siendo: Ap rea de pretensado Ac rea de la seccin de hormign Ic Inercia de la seccin de hormign Coeficiente de envejecimiento. Se puede tomar igual a 0.8. Coeficiente de fluencia ver (39.8 EHE) cs Deformacin de retraccin (37.7 EHE) n Coeficiente de equivalencia (n=Es/Ec)



pr Relajacin intrnseca del pretensado (38.9 EHE) En esta expresin, el denominador tiene en cuenta la coaccin que ejerce la armadura adherente de pretensado frente al libre desarrollo de las deformaciones diferidas, mientras que el numerador corresponde a la prdida de pretensado debida a la deformacin que se producira sin coaccin alguna.

5 SIMULACIN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO

5.1 Introduccin En este apartado se describe una forma de simular el efecto del pretensado sobre una estructura basado en la introduccin de fuerzas en la estructura que tienen un efecto equivalente al efecto del pretensado. Este procedimiento permite el clculo de esfuerzos y deformaciones debidas al pretensado. Cuando se estudia el estado tensional o los esfuerzos (no las flechas) debidos al pretensado, slo es necesario recurrir al clculo de fuerzas equivalentes de pretensado si la estructura es hiperesttica. De otra manera, los esfuerzos se pueden obtener de forma directa y son iguales a:

( )( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )p cdg

N P xM P x y x y x P x e x== =

En este caso, no existe momento hiperesttico de pretensado (ver 5.5).

5.2 Deduccin de la expresin de las fuerzas equivalentes de pretensado

El conjunto de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado de fuerzas concentradas en los anclajes y fuerzas distribuidas a lo largo del trazado de los cables de pretensado. El sistema debe ser autoequilibrado, debido a que, si se considera el sistema estructura+pretensado, al tensar sobre este sistema no se aplica ninguna carga exterior. El gato tira del cable de pretensar apoyndose en la estructura. Por esta razn, las fuerzas equivalentes de pretensado se calculan imponiendo la condiciones de equilibrio ( 0; 0; 0x yF F M= = = ). Como ya se indic ms arriba, el cable de pretensado ejerce sobre el hormign:

- Unas fuerzas concentradas en los anclajes (o en la zona de transferencia si se trata de un pretensado preteso).

- Unas fuerzas normales al cable debidas a la curvatura del mismo y tangenciales al mismo, debidas al rozamiento. El problema resulta equivalente al de las fuerzas que ejerce un cable sobre una polea.



Figura 1 Fuerzas equivalentes de pretensado Debido a que resulta difcil trabajar con fuerzas en un sistema de coordenadas curvilneas (n,t), para plantear las ecuaciones de equilibrio, resulta cmodo proyectar las fuerzas n y t segn 2 direcciones ortogonales (horizontal y vertical) y referir el punto de actuacin de la componente horizontal de cada seccin al centro de gravedad de la viga. De esta manera, el sistema de fuerzas n,t, se transforma en un sistema de fuerzas equivalente q,h,m:

coscos

( )cdg p

q n t senh n sen tm h y y

= + = + =

siendo ngulo que forma el cable de pretensado respecto de la horizontal yp distancia de la fibra de pretensado respecto una fibra de referencia

arbitraria ycdg distancia del centro de gravedad de la seccin a una fibra de referencia

arbitraria

Figura 2 Fuerzas equivalentes de pretensado proyectadas segn 2 ejes ortogonales y referidas al centro de gravedad de la seccin. En general, las fuerzas q, h y m varan a lo largo del eje del elemento. Para su clculo se puede discretizar el elemento en rebanadas, suficientemente pequeas como para que pueda considerarse que dentro de la rebanada q, h y m son constantes. Debido al efecto del pretensado cada rebanada est sometida a un conjunto de fuerzas autoequilibradas: La fuerza de pretensado al inicio de la rebanada, Pk1. La fuerza de pretensado al final de la rebanada, Pk2. Las fuerzas distribuidas a lo largo de la rebanada q, h y m.

l

b

dd

h

P 2P1 n

t

l

b

dd

h

P 2P1 n

t

V1

h

dd

b

l

H1M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

V1

h

dd

b

l

H1M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)



Pk1 y Pk2, pueden calcularse a partir de la fuerza de tesado en los extremos mediante el clculo de prdidas de pretensado y son por lo tanto valores conocidos. q, h y m pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. En lo que sigue se denomina V a la componente vertical de la fuerza de pretensado, H a la componente horizontal y M al producto de H por la excentricidad del pretensado respecto del centro de gravedad de la seccin (momento isosttico de pretensado).

V1

h

dd

b

l

H1M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

e 2

x

e 1

m

h

q

1Pk1

2Pk2

V1

h

dd

b

l

H1M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

V1

h

dd

b

l

H1M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

e 2

x

e 1

m

h

q

1Pk1

2Pk2

e 2

x

e 1

m

h

q

1Pk1

2Pk2

e 2

x

e 1

m

h

q

1Pk1

2Pk2



Figura 3 - Fuerzas de pretensado actuantes en una rebanada Equilibrio de fuerzas verticales:

Equilibrio de fuerzas horizontales:

Equilibrio de momentos (se toma momentos respecto del centro de gravedad de la seccin 2):

Repitiendo este procedimiento para todas las rebanadas consideradas, se obtienen los valores del sistema de fuerzas equivalentes a lo largo del elemento (q(x), m(x) y h(x)).

e 2

xe 1

m

h

q

1Pk1

x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

e 2

xe 1

m

h

q

1Pk1

e 2

xe 1

m

h

q

1Pk1

x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

1 1 2 21 21 2 0

k kP sen P senV Vq x V V qx x

+ = = =

2 2 1 12 11 2

cos cos0 k k

P PH Hh x H H h

x x + = = =

( ) ( )

21 2

1 1 2 1

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

02 2

cos cos2

k k k k

x M M xV x M q m x M m V q

xP e P e P sen P sen

mx

+ + + = = + += +



5.3 Clculo simplificado de fuerzas equivalentes de pretensado El procedimiento explicado en el apartado anterior resulta adecuado para el clculo por ordenador, pero resulta demasiado complejo para un clculo a mano. Las expresiones anteriores, pueden, sin embargo simplificarse de forma muy notable si se admiten las siguientes hiptesis: Se admite un coeficiente de prdidas global, de tal forma que la fuerza de

pretensado se considera igual en todas las secciones. Como valor indicativo, se pueden evaluar las prdidas instantneas de pretensado en un 10% de la fuerza de tesado (P0), mientras que las prdidas de pretensado pueden estar en torno a un 15% de la fuerza de tesado. Con estas premisas, se puede escribir:

1 2 00.75P P P P =

El trazado de pretensado es tal que el ngulo que forma el cable con la

horizontal, , es pequeo. Esta condicin se cumple en la prctica debido a que las vigas son elementos alargados, en los cuales la luz puede ser del orden de 20 veces el canto. Esta condicin da lugar a ngulos mximos del orden de 10 a 15. Con esta premisa, se pueden plantear las siguientes simplificaciones:

cos 1.0

( )sen tg radianes

El trazado de pretensado est formado por un conjunto de parbolas

tangentes en sus extremos (o rectas, que pueden considerarse como parbolas degeneradas). Esta condicin tambin suele cumplirse en la prctica.

Admitiendo estas simplificaciones, se pueden volver a examinar las ecuaciones de equilibrio anteriores.

Figura 4 Definicin geomtrica de un tramo de trazado parablico. Equilibrio de fuerzas verticales:

Dado que la parbola es de segundo grado:

( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 2 2 2k kP sen P sen P Pq tg tg a x x ax aPx x x = = + + =

cdg

Seccin 2Seccin 1 x

y 0

x

e 1 e 2 y = ax2-y01 2 =0

ySeccin 1 Seccin 2

( )'1 1 1 2y tg sen a x x = = = +

( )( )

21 1 0

21 1 0

y e a x x y

y e a x x y

= = + = = + +

'2 2 2 2y tg sen ax = = =

22 2 0

22 2 0

y e ax y

y e ax y

= = = = +

cdg

Seccin 2Seccin 1 x

y 0

x

e 1 e 2 y = ax2-y01 2 =0

y

cdg

Seccin 2Seccin 1 x

y 0

x

e 1 e 2 y = ax2-y01 2 =0

y

cdg

Seccin 2Seccin 1 x

y 0

x

e 1 e 2 y = ax2-y01 2 =0

cdg

Seccin 2Seccin 1 x

y 0

x

e 1 e 2 y = ax2-y01 2 =0

ySeccin 1 Seccin 2

( )'1 1 1 2y tg sen a x x = = = +

( )( )

21 1 0

21 1 0

y e a x x y

y e a x x y

= = + = = + +

'2 2 2 2y tg sen ax = = =

22 2 0

22 2 0

y e ax y

y e ax y

= = = = +



1" 2y a

r =

y la ecuacin anterior puede escribirse como:

Pq

r=

Por lo tanto la fuerza de desvo producida por el pretensado es igual a la fuerza axil dividida por la curvatura (al igual que ocurre en una polea, o en un tubo sometido a presin). Equilibrio de fuerzas horizontales:

Debido a que se ha supuesto un coeficiente de prdidas global y que se iguala el cos a 1, no se requiere fuerza horizontal para garantizar el equilibrio. Equilibrio de momentos: De la ecuacin de la parbola, se obtiene (ver figura 4):

y del equilibrio de momentos:

Este resultado tambin es lgico, puesto que m es el momento producido por h que, como se acaba de ver, es nulo. Por lo tanto de forma simplificada las fuerzas equivalentes de pretensado se reducen a: Fuerzas concentradas en los anclajes o zona de transmisin Para cada tramo de parbola, una fuerza vertical constante igual a la fuerza de

pretensado dividida por el radio de curvatura de la parbola. En tramos rectaos (pretensado preteso), la fuerza de desvo es nula (r=).

5.4 Modelizacin de estructuras de canto variable. En las piezas de canto variable, al modelizar el pretensado mediante fuerzas equivalente, resulta de gran importancia que la geometra del modelo tenga en cuenta la variacin del centro de gravedad de la seccin, puesto que, en este caso el momento de pretensado en una seccin viene dado adems de por las fuerzas

( )2 2 1 1cos cos 1 1 0k kP P Phx x

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 21 1 2 2 2 2cos cos 2 02 2

k k k kax a x xP e P e P sen P sen

m P ax a x Px

+ + += + + =

( )2 2 21 1 0 0 2y e a x x y y ax ax x a x= = + + = + 2

2 2 0y e y ax= =



distribuidas por el producto de la fuerza horizontal en los anclajes por la variacin de la posicin del centro de gravedad.

5.5 Momento hiperesttico del pretensado Debido a que el sistema de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado, por equilibrio global de la estructura, la suma de reacciones debidas al pretensado debe ser nula. En el caso de elementos isostticos, esta condicin requiere que todas las reacciones sean nulas. En dicho caso, el momento de pretensado en cada seccin es igual al momento respecto de esa seccin de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda (o, alternativamente a la derecha) de dicha seccin.

Figura 5 Momento de pretensado en una estructura isosttica Haciendo referencia a la Figura 5 (en la que se admiten, sin que ello tenga influencia en este razonamiento, un esquema de fuerzas equivalentes simplificado y que el pretensado pasa por el centro de gravedad de la seccin en el anclaje), si se corta una estructura isosttica en una seccin distante x de la seccin de apoyo (y a+x de la seccin del anclaje), la suma de los momentos respecto del centro de gravedad de la seccin de corte (y respecto de cualquier otro punto) debe ser nula, puesto que esta

Modelo Estructural

Pk PkM=Pk ycdgM=Pk ycdg

Modelo Estructural


Modelo Estructural


xa

P

V1

Vx

P

M = P e

e

R=0

xa

P

V1

Vx

P

M = P e

e

R=0



es la condicin que se impuso para calcular las fuerzas de pretensado, por tratarse de un sistema autoequilibrado:

2

1

( )( ) 0

2x a

M q V x a P e+= + + =

Por lo tanto el momento de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda de la seccin de corte, que es igual al momento de pretensado en dicha seccin, vale Pe. En el caso de una estructura hiperesttica, si bien la suma de reacciones debe ser igual a cero, esto no es cierto de cada una de las reacciones. En la Figura 6, se propone un ejemplo que puede ayudar a entender este problema.

Figura 6 Ejemplo de una estructura hiperesttica pretensada Si se considera esta viga de 2 vanos y, simplificadamente, que la fuerzas equivalentes de pretensado pueden representarse por las fuerzas en los anclajes y una fuerza de desvo vertical constante, q, para determinar las reacciones, se puede seguir el siguiente procedimiento (ver Figura 7):

se libera el apoyo central se calcula la flecha debida a q en el centro de la estructura, fq. se impone una fuerza, que se denomina, por razones prcticas, 2R en

el centro de la estructura y se calcula su valor en funcin de R, f2R. Se impone la condicin de compatibilidad que permite deducir el

valor de la incgnita hiperesttica: fq= f2R.

l

b

dd

h

PP

V V

q

l

b

dd

h

PP

V V

q



Figura 7 Determinacin de reacciones hiperestticas de pretensado. Si en el apoyo central aparece una reaccin hacia abajo (traccin en el apoyo) de 2R, por equilibrio global y simetra, en los apoyos extremos, debe aparecer una reaccin igual a R. Si ahora, se vuelve a considerar el caso de la Figura 5, el equilibrio en la seccin situada a una distancia x del apoyo se ve alterado por la presencia de una reaccin no nula. Esta situacin se representa en la Figura 8.

P P

hd

d

b

l

V

R2RR

V

q

P P

hd

d

b

l

V

R2RR

V

q

V

q

P P

l

f q V

f 2R

PP

V V2R

l

R R

V

q

P P

l

f q VV

q

P P

l

f q V

f 2R

PP

V V2R

l

R R

f 2R

PP

V V2R

l

R R



a x

eP

V1q

R=0

P

Vx

M=P e+R x

a x

eP

V1q

R=0R=0

P

Vx

M=P e+R x

Figura 8 Momento de pretensado en una estructura hiperesttica Como puede verse, el momento total de pretensado es ahora la suma de dos trminos: Pe, que es el momento debido a las fuerzas equivalentes de pretensado y se

denomina momento isosttico de pretensado, y Rx, que es debido a la aparicin de una reaccin de pretensado no nula y que

se denomina momento hiperesttico de pretensado. De forma general, el momento total de pretensado es la suma de estos dos trminos. En el caso de estructuras isostticas, el segundo trmino es nulo y el momento de pretensado es directamente Pe.

6 ESTADO LMITE LTIMO Este apartado se refiere exlusivamente a secciones con armadura activa adherente. El problema de clculo del momento resistente de una seccin pretensada es, en principio, un problema de flexin compuesta. En el lado solicitante se tiene, el momento de las cargas exteriores Md, el momento hiperesttico de pretensado Mp,hip, el momento isosttico de pretensado Mp,isos =Pe y la fuerza de pretensado P. En el lado resistente, por su parte, se tiene la compresin en el hormign y la capacidad a traccin remanente del pretensado, equivalente al rea de la armadura activa multiplicada por el lmite elstico del pretensado menos la tensin debida a la predeformacin del pretensado en caso de que sta armadura se platifique. En caso contrario, la traccin debida a la armadura de pretensado sera su rea multiplicada por el mdulo de deformacin del pretensado y por la deformacin del hormign deducida del plano de deformacin de rotura 1p.

1 Este planteamiento supone despreciar la deformacin de neutralizacin que corresponde a la deformacin que tiene la seccin debida a la accin del pretensado y que es de sentido contrario a la deformacin que se genera al plantear el plano de rotura, que se mide a partir de un estado no deformado o neutro. Por ello, de forma ms precisa la deformacin total del pretensado se compone de tres trminos: la predeformacin, la deformacin de neutralizacin y la deformacin compatible con la deformacin del hormign. Se trata de un efecto favorable de pequea entidad si se compara con el valor de la predeformacin.



Figura 9 - Clculo en E.L.U. de una seccin pretensada. Planteamiento inicial A continuacin se proporcionan las expresiones de la compresin, la traccin y de la predeformacin del pretensado. La expresin correspondiente a la predeformacin supone que se pretensa al 75% de la tensin de rotura fpu (normalmente 18601900 MPa) y que las prdidas de pretensado (instantneas ms diferidas) pueden estimarse en un 25%.

El sistema de fuerzas formado por el axil de pretensado, aplicado en el centro de gravedad y el momento isosttico de pretensado es equivalente a un axil aplicado en la fibra de pretensado, como se muestra en la figura siguiente.

Figura 10 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Fuerza de pretensado aplicada en el c.d.g. de la armadura activa. El equilibrio se mantiene si a los dos lados de la ecuacin se aade la misma fuerza con la misma excentricidad.

( )00

0.85 0.8

min ;

0.750.75

1.0

cd

p p p pyd p

pu

p

p

C f b x

T A E f E

f

E

= =

=

C

A

10 2

3.5 BC

T

P

0.8x

e

h

d d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

c =0.85 fcd

x

cd

x

C

A

10 2

3.5 B

C

A

C

A

10 2

3.5 BC

T

P

0.8x

e

h

d d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

c =0.85 fcd

x

cd

x

10 2

3.5 BC

T

P

0.8x

e

h

d d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

c =0.85 fcd

x

cd

x

C

A

10 2

3.5 B

C

TP

x 0.8x

e

h

dd

b

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

A

C

B

C

TP

x 0.8x

e

h

dd

b

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

A

C

B

x 0.8x

e

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

C

T

B

P

h

dd

b

C

A PP

x 0.8x

e

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

C

T

B

P

h

dd

b

C

A PP



Figura 11 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Se suma la misma fuerza a ambos lados.

Figura 12 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Planteamiento habitual en ELU.

Con este planteamiento, el problema se transforma formalmante en un problema de flexin simple que vendra a ser una generalizacin del problema ya estudiado para hormign armado. Las diferencias son dos: A la deformacin de pretensado hay que aadirle la predeformacin 0. Al momento debido a las cargas exteriores hay que aadirle el momento

hiperesttico de pretensado.

7 ESTADO LMITE DE SERVICIO

7.1 Comprobacin de tensiones (49.2 EHE)

7.1.1 Comprobacin en vaco En general, el pretensado se dimensiona para garantizar unas ciertas condiciones tensionales y de abertura de fisura para tiempo infinito y combinacin de cargas frecuente. Al pretensar la viga, la carga aplicada es mucho menor (slo acta el peso propio) y la fuerza de pretensado alcanza su valor mximo debido a que an no se ha producido ninguna prdida diferida. En esta situacin puede ocurrir que el pretensado, (proyectado para tiempo infinito y una carga mayor) sea excesivo. Ello puede dar lugar a los siguientes problemas: Una traccin que d lugar a una fisuracin no controlada en la fibra opuesta a

la de la fibra de pretensado. Una compresin excesiva en la fibra cercana a la fibra de pretensado que d

lugar a una microfisuracin del hormign. El primer problema se resuelve, en caso de producirse tracciones importantes, disponiendo una armadura pasiva en la cara opuesta a la del pretensado que sea suficiente para controlar la fisuracin que se pueda producir al tesar. Las fisuras que puedan abrirse al tesar se cerrarn posteriormente por efecto de la aplicacin de la carga muerta y el desarrollo de las prdidas diferidas de pretensado.

( )( )0

0min ;

p p

p p p pyd

P A E

T P A E f

=+ = +

T+P

C

x 0.8x

e

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

A

C

b

dd

hB

T+P

C

x 0.8x

e

Md Mp,hip

c =0.85 fcd

x

A

C

b

dd

hB



El segundo problema no puede resolverse tan fcilmente y se exige un lmite a la compresin mxima, que viene dado por:

0.6c ckjf donde: c tensin en la fibra ms comprimida fckj resistencia caracterstica del hormign en el momento de tesar La combinacin de esfuerzos a considerar para la comprobacin en vaco es la siguiente:

ip kP pp +

siendo: pp el peso propio de la viga Pki fuerza de pretensado a tiempo cero p coeficiente de ponderacin del pretensado igual a 1.1 si el efecto del

pretensado es desfavorable y 0.9 si el efecto de pretensado es favorable.

En el caso de la comprobacin en vaco el efecto del pretensado es claramente perjudicial para la estructura y por lo tanto p debe tomarse igual a 1.10 en el caso de estructuras construidas in situ y 1.05 en el caso de estructuras prefabricadas..

7.1.2 Comprobacin a tiempo infinito Para el estado final de una estructura, la Instruccin EHE exige las siguientes condiciones, en funcin del tipo de ambiente: Ambiente Tipo I (interior)

o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinacin de cargas frecuente.

Ambiente Tipo II,H

o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinacin de cargas frecuente.

o Fibras de pretensado totalmente comprimidas para la combinacin cuasipermanente.

Ambientes Tipo III,IV,Q,F

o Seccin totalmente comprimida para la combinacin frecuente.

7.2 Comprobacin de fisuracin en secciones pretensadas Para el clculo de la abertura de fisura en secciones pretensadas, es vlido el modelo general ya estudiado para hormign armado. La abertura de fisura media, se calcula como el producto de la separacin media entre fisuras (sm) por la diferencia media entre la deformacin del acero y la deformacin del hormign en el entorno de la fisura (sm). La abertura de fisura caracterstica se obtiene multiplicando el valor anterior por el factor que permite pasar de valores medios a



valores caractersticos. En general, en la direccin del pretensado el problema de fisuracin es debido a un problema de cargas exteriores, por lo que vale 1.7:

1.7k m smw s =

La separacin media se calcula a partir de la siguiente expresin2:

,

12 0.2 0.4c ef

ms

As c s k

A= + +

Al estar las secciones de hormign pretensado sometidas, normalmente a flexin compuesta ( compresin compuesta, en cuyo caso, no resulta necesario comprobar la fisuracin), el factor k1 es igual a 0.125. La definicin de los trminos de esta ecuacin es igual que para elementos de hormign armado. La diferencia de deformacin media entre el hormign y el acero en el entorno de la fisura viene dada por:

2

1 0.5s srsms sE

=

Determinacin de s, sr La determinacin de s y sr es ms compleja en el caso de estructuras sometidas a flexin compuesta que en el caso de secciones sometidas a flexin simple, puesto que es este caso, las propiedades de la seccin fisurada no pueden calcularse a partir de la condicin de que la fibra neutra coincida con el centro de gravedad de la seccin fisurada. En este caso la profundidad depende de la excentricidad de la carga y para cada momento exterior debe volver a calcularse la profundidad de la fibra neutra xfis.

En el caso ms sencillo, correspondiente a una seccin rectangular, debe resolverse una ecuacin de tercer grado. A continuacin se plantean las ecuaciones, de compatibilidad, las ecuaciones constitutivas, y las ecuaciones de equilibrio. Ecuaciones de compatibilidad: Se admite la hiptesis de Navier. Si se toma como fibra de referencia la fibra

neutra de la seccin con los valores de ordenadas positivos hacia arriba y se admite que las tensiones de compresin son positivas esta condicin puede ponerse como:

1( )y y

r =

Se admite la hiptesis de adherencia perfecta entre hormign y acero activo y pasivo.

Ecuaciones constitutivas: 2 Esta expresin supone despreciar el efecto del pretensado en el clculo de la separacin entre fisuras y queda del lado de la seguridad. La armadura de pretensado se podra sumar a As en el denominador del tercer trmino con un valor minorado para tener en cuenta su menor adherencia.



Hormign

00 0

c c c c

c c

E sisi

= > =



( )1 11

( )

fis p

c fis c fis

s s fis

M P x dP

r E B r E I

E x dr

+ = =

=

Esta operacin debe repetirse para determinar el valor de sr. En este caso, el momento solicitante es el momento de fisuracin de la seccin. El valor de este momento debe tener en cuenta el estado de presolicitacin debido a la actuacin del pretensado. Mfis, se calcula a partir de:

11

fis cctm fis ctm

c c c

M P e IP Pf y M f P e

A I A y = + = +

siendo fctm la tensin de fisuracin media P la fuerza de pretensado e la excentricidad de la armadura activa respecto del centro de gravedad de la

seccin de hormign y1 la distancia entre la fibra ms traccionada de la seccin y el centro de

gravedad de la seccin de hormign Ic Inercia de la seccin de hormign Ac rea de la seccin de hormign. Aplicacin Numrica Se considera una seccin rectangular de 4030 (bh) pretensada con una armadura de 3 cm2, situada a 6.3 cm de la cara inferior de la seccin. La armadura pasiva est formada por 320 con 4 cm de recubrimiento mecnico. La fuerza de tesado es de 450 kN. El momento exterior debido a las cargas frecuentes es de 108 kN. Se pide calcular la abertura de fisura. Determinacin de s:

( ) ( )( ) ( )

2 23

2

1312

fis fis p p fis p s s fis

fis fis p p fis p s s fis

I bx n A x d n A x d

B bx n A x d n A x d

= + +

= + +

Rescribiendo la ecuacin 7.2.1:

( )( )( )( )( )( )

13 21

1

2 21

3 21 2 3 4

( )1( ( )) 0

6 2

0

0

pfis fis p fis fis fis

p p p s s p p p s s fis

p p p s s p p p p s s s

fis fis fis

e dI e x d B bx bx

n A d n A d e d n A n A x

n A d n A d e d n A d n A d

a x a x a x a

+ = + + + ++ + + + = + + + =

Clculo de xfis y s en el caso del ejemplo considerado,

MPaEc 2977983585003 =+=



( )

2

2

1

1

2

3

200000

6.72

3 9.43

3

0.260.237

450 0.75 337.599

0.293337.5

0.40.0667

60.293 0.237

0.40 0.01122

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.293 0.237 6.72 3 6.72 9.4

p s

p s

s

p

p

E E MPa

n n

A cm

A cm

d md m

P kN

e m

a

a

a

= == == ==

== == =

= = = = + = + + ( )

( )( )

4 3

2 24 4

4

3 2 3 4

10 2.593 103

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 6.606 10

0.293 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.0667 0.0112 2.593 10 6.606 10 0 0.1285fis fis fis fis

a

x x x x m

= + = = + +

+ = =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 4

3 3 3 13 3

2 23 4

4 4

10.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10

21 337.5

2.25 10 5.037 1029779 10 2.25 10

10.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10

391

4.16 10

fis

fis

B

m mr

I

mr

= + + =

= = = = + + =

= = ( ) 3 13 49 337.5 0.1285 0.237 5.035 10 . .29779 10 4.16 10 m o k

+ =

( )3200000 5.037 10 0.1285 0.26 132.47s MPa = =

Clculo del momento de fisuracin:

2

3 4

2 23

1

4

1

1

2

0.15 0.063 0.087

0.40 0.30 0.121

0.40 0.30 9 1012

0.30 35 3209 /0.15

335.7 9 103209 337.5 0.087 65.40

0.12 0.1565.40

0.194337.5

0.40.0667

60.194 0.2

c

c

ctm

fis

e

A m

I

f kN my

M kNm

e m

a

a

= == == = = = =

= + = = =

= = =

( )( )

( )( )

3

4 33

2 24 4

4

370.40 8.600 10

26.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

10 1.177 100.194 0.237 6.72 3 6.72 9.43

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 4.502 10

0.194 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.0

a

a

= + = = + +

+ = = + + 3 3 2 3 4667 8.600 10 1.177 10 4.502 10 0 0.1844fis fis fis fisx x x x m + + = =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 4

3 3 3 13 3

2 23 4

4 4

10.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10

21 337.5

6.216 10 1.823 1029779 10 6.216 10

10.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10

3

18.778 10

fis

fis

B

m mr

I

mr

= + + =

= = = = + + =

= ( ) 3 13 464.40 337.5 0.1844 0.237 1.784 10 . .29779 10 4.16 10 m o k

+ = =

( )3200000 11.80 10 0.1844 0.26 27.21sr MPa = =



( )

24

2

132.47 27.211 0.5 6.48 10

200000 132.47

0.4 0.04 7.5 0.022 0.03 0.20 0.133 0.4 0.125 0.02 0.167

3 0.011.7 0.167 0.648 0.183 0.20

sm

m

k

s m

w mm mm

= = + = + + =

= =

8 BIBLIOGRAFA [1] Souza Verssimo, G.,Lenz Csar, K. Jr. Concreto Pretendido. Fundamentos Bsicos. Universidade Federal de Viosa . 4Ed. Noviembre 1998.

Apuntes Pretensado

Documents

Transcript of Apuntes Pretensado