HORMIGN ARMADO Y PRETENSADO I HORMIGN PRETENSADO Apuntes de Teora 10 de abril de 2003 Unidad Docente de Hormign Estructural Departamento de Mecnica de los Medios Continuos y Teora de Estructuras Universidad Politcnica de Madrid Documento n:apuntes_pretensado EDB 100403 Edicin n:B Preparado:APC,MFD Comprobado: Aprobado: HCP Hormign Pretensado 2/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 INDICE 1INTRODUCCIN3 2TIPOS DE PRETENSADO3 2.1Pretensado Preteso3 2.2Pretensado Posteso4 2.3Pretensado Exterior5 3DISEO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS6 4PRDIDAS DE PRETENSADO7 4.1Prdidas instantneas7 4.1.1Prdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE)7 4.1.2Prdidas por penetracin de cua (20.2.2.1.2 EHE)8 4.1.3Prdidas por acortamiento elstico (20.2.2.1.3 EHE)10 4.2Prdidas diferidas (20.2.2.2 EHE)10 5SIMULACIN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO11 5.1Introduccin11 5.2Deduccin de la expresin de las fuerzas equivalentes de pretensado11 5.3Clculo simplificado de Fuerzas equivalentes de pretensado15 5.4Modelizacin de estructuras de canto variable.16 5.5Momento hiperesttico del pretensado17 6ESTADO LMITE LTIMO20 7ESTADO LMITE DE SERVICIO22 7.1Comprobacin de tensiones (49.2 EHE)22 7.1.1Comprobacin en vaco22 7.1.2Comprobacin a tiempo infinito23 7.2Comprobacin de fisuracin en secciones pretensadas23 8BIBLIOGRAFA28 Hormign Pretensado 3/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 1INTRODUCCIN Eneste documento se incluye una breve introduccin al diseo de estructuras de hormign pretensado. En l se incluye una definicin de los principales tipos de pretensado, criterios para definir el trazado de tendones de pretensado posteso, clculo de prdidas de pretensado, formas de simular los efectos de pretensado (cargas equivalentes o deformaciones impuestas), determinacin del momento ltimo de secciones pretensadas, comprobaciones de tensiones (vaco y servicio) y clculo de abertura de fisuras en elementos pretensados. Se trata por lo tanto de una visin global del proceso de diseo y verificacin de estructuras de hormign pretensado. 2TIPOS DE PRETENSADO 2.1Pretensado Preteso El pretensado preteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensin antes de hormigonar el elemento. Para ello, resulta necesario disponer de un banco de tesado como el representado en la figura siguiente tomada de la referencia [1]: En el pretensado preteso no se dispone ni vaina de pretensado ni anclajes en el hormign. La fuerza de pretensado se transfiere al hormign mediante adherencia. No obstante s se disponen anclajes de cua en la bancada, necesarios para la fijacin provisional de los cordones de pretensado. En la figura siguiente, se muestran una vista de una bancada de pretensado con y sin la ferralla del elemento pretensadoHormign Pretensado 4/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 En la figura siguiente se puede ver el anclaje de los cordones de pretensado en la bancada mediante un sistema de cuas. Como consecuencia de la forma en que se fabrica este tipo de elemento, en general el trazado de pretensado es recto, aunque,excepcionalmente, se pueden plantear trazados de tipo poligonal introduciendo desviadores intermedios. 2.2Pretensado Posteso El pretensado posteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensin despes de hormigonado del elemento. Por ello, es necesario dejar prevista una vaina (ver foto) con objeto de permitir el libre desplazamiento del pretensado en el hormign con objeto de poder realizar el tesado. En este caso el anclaje del pretensado en el hormign se hace por medios mecnicos mediante una placa que se apoya en una trompeta. En las fotos siguientes se muestran algunos detalles de este tipo de elemento. Hormign Pretensado 5/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Generalmente, una vez realizado el tesado, se procede a inyectar la vaina con lechada de cemento. La inyeccin dos funciones principales: Proteger a la armadura activa de la corrosin Proporcionar adherencia entre armadura activa y hormign 2.3Pretensado Exterior El pretensado exterior se caracteriza porque el cable de pretensar discurre por fuera de la seccin de hormign, ya sea por el interior de un aligeramiento, ya sea por el exterior del canto del elemento como en el caso de soluciones con pretensado extradosado. El pretensado exterior tiene grandes posibilidades debido a que sus aplicaciones no se limitan a los puentes de hormign como puede verse en la figura siguiente donde se muestra el Puente sobre el Barranco de Cavalls que es una estructura de celosa mixta con pretensado exterior. Hormign Pretensado 6/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 3DISEO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS Para plantear el trazado de los cables de pretensado se pueden adoptar, en trminos generales, las siguientes reglas: En los anclajes, el trazado del pretensado debe pasar por el centro de gravedad de la seccin, debido a que el momento en dicho punto suele ser nulo. No obstante, existen excepciones a esta regla, como por ejemplo cables pertenecientes a una fase de un procedimiento constructivo. El cable debe tener su mxima excentricidad en los puntos de mximo momento (apoyos intermedios y centros de vanos interiores y a una distanciaaproximada del 40% de la luz desde elapoyo extermo en vanos exteriores) Esta excentricidad viene limitada por la necesidad de dejar un recubrimiento geomtrico de una vaina. Dependiendo del calibre de los tendones de pretensado, el dimetro de la vaina vara en aplicaciones de puentes entre 10 y 12 cm, por lo que el recubrimiento mecnico mnimo vara entre 15 y 18 cm. En los puntos de mxima excentricidad el cable tiene tangente horizontal. El trazado de pretensado est compuesto por una succesin de parbolas tangentes que en algn caso pueden degenerar en rectas. Es importante que el trazado sea recto en una longitud de 1.00 a 2.00 metros de la proximidad de un anclaje o un acoplador. Si considera el tramo de trazado comprendido entre la mxima excentricidad en centro de vano (punto A) y la mxima excentricidad en el apoyo (Punto C), estos dos puntos estn alineados con el punto en el que se produce la tangencia de las dos parbolas (punto B), como se demuestra en la figura siguiente. Si se fija un criterio para definir la distancia del punto de tangencia al punto de mxima excentricidad, el trazado de pretensado queda perfectamente 1.5hL1 L21.5f2f1h1.5ABC==2 11 21' 11 212fy xLfy xL= =' 11 112fPara x L yL==2 22 22' 22 222fy xLfy xL= =' 22 222fPara x L yL= =' ' 1 21 21 2f fy yL LPor lo tanto A,B y C estn alineados1.5hL1 L21.5f2f1h1.5ABC1.5hL1 L21.5f2f1h1.5ABC==2 11 21' 11 212fy xLfy xL= =' 11 112fPara x L yL==2 22 22' 22 222fy xLfy xL= =' 22 222fPara x L yL= =' ' 1 21 21 2f fy yL LPor lo tanto A,B y C estn alineadosHormign Pretensado 7/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 definido. Un posible criterio es limitar la longitud de la parbola del apoyo que tiene curvatura negativa a 1.5 veces el canto de la estructura, con objeto de conseguir que las fuerzas de desvo correspondientes a dicha parbola entren en el apoyo sin incrementar significativamente la necesidad de disponer armadura de cortante (ver figura) 4PRDIDAS DE PRETENSADO La fuerza de pretensado que se especifica en el gato al tesar una estructura, no es la misma fuerza que alcanza las distintas secciones de la misma. De forma instantnea y a lo largo del tiempo, se producen prdidas de pretensado que dependen de la seccin considerada. Las prdidas no afectan de igual forma los distintos tipos de pretensado (pretensado preteso, pretensado posteso, pretensado exterior) En esta seccin se describen los distintos tipos de prdidas de pretensado, relacionndolos con los distintos sistemas de pretensar. 4.1Prdidas instantneas 4.1.1Prdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) Las prdidas por rozamiento seproducen por friccin entre los cables de pretensado y la vaina. Este tipo de prdidas se produce solamente en elementos postesos puesto que en elementos pretesos, eltesado sehace sin ms rozamiento que el del aire. Las prdidas por rozamiento pueden calcularse de acuerdo con la expresin siguiente: 11kxkP P e | | +|\ . ( ( = ( En esta expresin, es el coeficiente de rozamiento en curva, k es el coeficiente de rozamiento parsito en recta, es la variacin angular entre el punto en que se calcula la prdida de pretensado y la seccin en que la fuerza de pretensado es Pk y x es la distancia horizontal entre dichas secciones. En la tabla siguiente se presentan los valores ms habituales de y k/. 1.5hh1.5h 1.5hh1.5hHormign Pretensado 8/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Como valores tpicos para un puente de hormign posteso se pueden adoptar =0.21 y k/=0.006.

4.1.2Prdidas por penetracin de cua (20.2.2.1.2 EHE) Las prdidas por penetracin de cuas se producen en el momento en que el gato suelta el cable.Debido a que el sistema de anclaje se produce por friccin, resulta inevitable un pequeo deslizamiento del cordnen la cua. Este deslizamiento arrastra la cua y estrecha el hueco por el que pasa el torn, aumentando el rozamiento hasta que se obtiene un anclaje total. Aunque el concepto es el mismo en puentes pretesos que postesos, su clculo es diferente debido a que en unos sta prdida afecta a todo el cable por igual, mientras que en otros se produce un rozamiento negativo que limita la zona de cable afectada. El valor de la penetracin de cua (a) es un dato inherente al sistema de pretensado y su valor est en torno a 4-6 mm. Elementos pretesos En elementos pretesos la prdida por penetracin de cua viene dada por la siguiente expresin: 2 p p p paP E A E AL = =Elementos postesos En elementos postesos el clculo de las prdidas por penetracin de cua supone la determinacin de dos incgnitas (ver figura): El valor de esta prdida en la seccin del anclaje La longitud x de cable afectada por la prdida 118La= 3 2 11 + + = ==xii Variacin angular total0.24 0.20 0.15Con lubricacin ligera (aceite soluble)0.27 0.23 0.18Con lubricacin ligera (aceite soluble)0.28 0.22 0.18 Sin lubricar2) Tendn formado por un nico elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.Sin lubricar 1) Tendn formado por varios elementos agrupados en una misma vaina de acero sin tratamiento superficial.0.31Barras laminadas corrugadas.0.25Barras laminadas lisas.0.21Alambres o cordones trefilados.Naturaleza de los aceros constitutivos de las armaduras Estado superficial de las armaduras.Disposicin de las armaduras en las vainas.Valores del coeficiente de rozamiento en curva.0.006>600.007600.009500.012400.01630k/Dimetro interior del conducto [mm]118La= 3 2 11 + + = ==xii Variacin angular total0.24 0.20 0.15Con lubricacin ligera (aceite soluble)0.27 0.23 0.18Con lubricacin ligera (aceite soluble)0.28 0.22 0.18 Sin lubricar2) Tendn formado por un nico elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.Sin lubricar 1) Tendn formado por varios elementos agrupados en una misma vaina de acero sin tratamiento superficial.0.31Barras laminadas corrugadas.0.25Barras laminadas lisas.0.21Alambres o cordones trefilados.Naturaleza de los aceros constitutivos de las armaduras Estado superficial de las armaduras.Disposicin de las armaduras en las vainas.Valores del coeficiente de rozamiento en curva.0.006>600.007600.009500.012400.01630k/Dimetro interior del conducto [mm]Hormign Pretensado 9/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Para resolver el problema se pueden plantear las siguientes consideraciones: La penetracin de cua es un desplazamiento que se obtiene como integral de la deformacin que se produce por la prdida por penetracin de cua lo largo de la longitud de cable afectada por la misma: ( ) ( )2 21 1 1 1( ) 02x xp p p p p p o oa x dx P x dx S P x xE A E A E A = = = = Si se admite que el rozamiento al tesar es igual al rozamiento negativo que se produce al anclar las cuas, se puede establecer una relacin de semejanza de tringulos segn se muestra en la figura siguiente: Combinando estas ecuaciones se puede obtener la prdida por penetracin de cua en la seccin del anclaje: ( ) | |22 221 1 1 10 ( 0)2 4( 0) 4B Ap p p p A BA Bp pB Ax xa P x x P xE A E A P PP PP x aE Ax x= = = = = = 22( 0) 1 1( 0)2 2A B B AB A A BP x P P x xx P xx x x P P = = = = P1P2PP0SxLey de fuerza de pretensado al destesar.Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-P1).P1P2PP0SxLey de fuerza de pretensado al destesar.Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-P1).Ley de fuerzas a lo largo del elemento0501001502002503003500 3 4 5 6 7 8 9Distancia [m]Fuerza[kN]xP2ABCDLey de fuerzas a lo largo del elemento0501001502002503003500 3 4 5 6 7 8 9Distancia [m]Fuerza[kN]xP2Ley de fuerzas a lo largo del elemento0501001502002503003500 3 4 5 6 7 8 9Distancia [m]Fuerza[kN]xP2ABCDHormign Pretensado 10/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 De esta forma queda resuelto el problema. 4.1.3Prdidas por acortamiento elstico (20.2.2.1.3 EHE) Elementos pretesos En elementos pretesos la prdida por acortamiento elstico se produce al cortar los cables. En este caso la fuerza de cada uno de los cables produce un acortamiento en la viga que, a su vez se traduce en una prdida de pretensado al acortarse el hormign coincidente con la fibra media del pretensado. Por lo tanto, la prdida de pretensado por acortamiento elstico se puede determinar multiplicando la deformacin del hormign debida al pretensado ms las cargas permanentes ( cgp= cgp /Ecj) por el mdulo de deformacin del acero (Ep) y por el rea de pretensado (Ap): 3pp cgp p cgp pcjEP E A AE = =Elementos postesos En el caso de elementos postesos, el problema es distinto debido a al procedimiento de tesado. Si se tesa un solo cable, no existe prdida por acortamiento elstico debido a que al tesar se controla la fuerza y el acortamiento elstico se compensa aumentando el recorrido del gato hasta obtener la fuerza de tesado especificada. En el caso en que se tengan dos cables que se tesan de forma consecutiva, el ltimo cable en tesarse no tendr prdida alguna por acortamiento elstico, mientras que el primer cable tendr una prdida equivalente a la producida por la mitad de la fuerza de tesado total. Por lo tanto la prdida media de pretensado sera: de( ) 0 1/ 2 / 2 1/ 4 + = de la que se habra producido en el caso de un elemento preteso. Con tres cables, la prdida media sera( ) 0 1/ 3 2/ 3 / 3 1/ 3 + + = de la de un elemento preteso. Con carcter general, la frmula que se debe aplicar es la siguiente: 312pp cgp p cgp pcjEnP E A An E = = 4.2Prdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) De acuerdo con el modelo de la EHE, las prdidas diferidas pueden calcularse a partir de la siguiente expresin: ( )0 020( , ) ( , ) 0.81 1 1 ( , )cp p cs prdif pp c pc cn t t E t tP AA A yn t tA I + + =| |+ + +| |\ . siendo: Aprea de pretensado Acrea de la seccin de hormign IcInercia de la seccin de hormign Coeficiente de envejecimiento. Se puede tomar igual a 0.8. Coeficiente de fluencia ver (39.8 EHE) csDeformacin de retraccin (37.7 EHE) nCoeficiente de equivalencia (n=Es/Ec) Hormign Pretensado 11/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 prRelajacin intrnseca del pretensado (38.9 EHE) En esta expresin, el denominador tiene en cuenta la coaccin que ejerce la armadura adherente de pretensado frente al libre desarrollo de las deformaciones diferidas, mientras que el numerador corresponde a la prdida de pretensado debida a la deformacin que se producira sin coaccin alguna. 5SIMULACIN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO 5.1Introduccin En este apartado se describe una forma de simular el efecto del pretensado sobre una estructura basado en la introduccin de fuerzas en la estructura que tienen un efecto equivalente al efecto del pretensado. Este procedimiento permite el clculo de esfuerzos y deformaciones debidas al pretensado. Cuando se estudia el estado tensional o los esfuerzos (no las flechas) debidos al pretensado, slo es necesario recurrir al clculo de fuerzas equivalentes de pretensado si la estructura es hiperesttica. De otra manera, los esfuerzos se pueden obtener de forma directa y son iguales a: ( )( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )p cdgN P xM P x y x y x P x e x== = En este caso, no existe momento hiperesttico de pretensado (ver 5.5). 5.2Deduccin de la expresin de las fuerzas equivalentes de pretensado El conjunto de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado de fuerzas concentradas en los anclajes y fuerzas distribuidas a lo largo del trazado de los cables de pretensado. El sistema debe ser autoequilibrado, debido a que, si se considera el sistema estructura+pretensado, al tensar sobre este sistema no se aplica ninguna carga exterior. El gato tira del cable de pretensar apoyndose en la estructura. Por esta razn, las fuerzas equivalentes de pretensado se calculan imponiendo la condiciones de equilibrio ( 0; 0; 0x yF F M = = = ). Como ya se indic ms arriba, el cable de pretensado ejerce sobre el hormign: -Unas fuerzas concentradas en los anclajes (o en la zona de transferencia si se trata de un pretensado preteso). -Unas fuerzas normales al cable debidas a la curvatura del mismo y tangenciales al mismo, debidas al rozamiento. El problema resulta equivalente al de las fuerzas que ejerce un cable sobre una polea. Hormign Pretensado 12/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Figura 1 Fuerzas equivalentes de pretensado Debido a que resulta difcil trabajar con fuerzas en un sistema de coordenadas curvilneas (n,t), para plantear las ecuaciones de equilibrio, resulta cmodo proyectar las fuerzas n y t segn 2 direcciones ortogonales (horizontal y vertical) y referir el punto de actuacin de la componente horizontal de cada seccin al centro de gravedad de la viga. De esta manera, el sistema de fuerzas n,t, se transforma en un sistema de fuerzas equivalente q,h,m: coscos( )cdg pq n t senh n sen tm h y y = + = + = siendo ngulo que forma el cable de pretensado respecto de la horizontal ypdistancia de la fibra de pretensado respecto una fibra de referencia arbitraria ycdgdistancia del centro de gravedad de la seccin a una fibra de referencia arbitraria Figura 2 Fuerzas equivalentes de pretensado proyectadas segn 2 ejes ortogonales y referidas al centro de gravedad de la seccin. En general, las fuerzas q, h y m varan a lo largo del eje del elemento. Para su clculo se puede discretizar el elemento en rebanadas, suficientemente pequeas como para que pueda considerarse que dentro de la rebanada q, h y m son constantes. Debido al efecto del pretensado cada rebanada est sometida a un conjunto de fuerzas autoequilibradas: La fuerza depretensado al inicio de la rebanada, Pk1. La fuerza de pretensado al final de la rebanada, Pk2. Lasfuerzas distribuidas a lo largo de la rebanada q, h y m. lbddhP2P1ntlbddhP2P1ntV1hddblH1M1=H1x e1V2H2M2=H2x e2hxn,tq(x)M(x)V1hddblH1M1=H1x e1V2H2M2=H2x e2hxn,tq(x)M(x)Hormign Pretensado 13/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Pk1 y Pk2, pueden calcularse a partir de la fuerza de tesado en los extremos mediante el clculo de prdidas de pretensado y son por lo tanto valores conocidos. q, h y m pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. En lo que sigue se denomina V a la componente vertical de la fuerza de pretensado, H a la componente horizontal y M al producto de H por la excentricidad del pretensado respecto del centro de gravedad de la seccin (momento isosttico de pretensado). V1hddblH1M1=H1x e1V2H2M2=H2x e2hxn,tq(x)M(x)e2xe1mhq1Pk12Pk2V1hddblH1M1=H1x e1V2H2M2=H2x e2hxn,tq(x)M(x)V1hddblH1M1=H1x e1V2H2M2=H2x e2hxn,tq(x)M(x)e2xe1mhq1Pk12Pk2e2xe1mhq1Pk12Pk2e2xe1mhq1Pk12Pk2Hormign Pretensado 14/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Figura 3 - Fuerzas de pretensado actuantes en una rebanada Equilibrio de fuerzas verticales: Equilibrio de fuerzas horizontales: Equilibrio de momentos (se toma momentos respecto del centro de gravedad de la seccin 2): Repitiendo este procedimiento para todas las rebanadas consideradas, se obtienen los valores del sistema de fuerzas equivalentes a lo largo del elemento (q(x), m(x) y h(x)). e2xe1mhq1Pk1xmhV1H1M1= H1e1V2H2M2= H2e2qe2xe1mhq1Pk1e2xe1mhq1Pk1xmhV1H1M1= H1e1V2H2M2= H2e2qxmhV1H1M1= H1e1V2H2M2= H2e2q1 1 2 2 1 21 20k kP sen P sen V Vq x V V qx x + = = = 2 2 1 1 2 11 2cos cos0k kP P H Hh x H H hx x + = = = ( ) ( )21 21 1 2 11 1 1 2 2 2 1 1 2 202 2cos cos2k k k kx M M xV x M q m x M m V qxP e P e P sen P senmx + + + == + += +Hormign Pretensado 15/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 5.3Clculo simplificado de fuerzas equivalentes de pretensado El procedimiento explicado en el apartado anterior resulta adecuado para el clculo por ordenador, pero resulta demasiado complejo para un clculo a mano. Las expresiones anteriores, pueden, sin embargo simplificarse de forma muy notable si se admiten las siguientes hiptesis: Se admite un coeficiente de prdidas global, de tal forma que la fuerza de pretensado se considera igual en todas las secciones. Como valor indicativo, se pueden evaluar las prdidas instantneas de pretensado en un 10% de la fuerza de tesado (P0), mientras que las prdidas de pretensado pueden estar en torno a un 15% de la fuerza de tesado. Con estas premisas, se puede escribir: 1 2 00.75 P P P P = El trazado de pretensado es tal que el ngulo que forma el cable con la horizontal, , es pequeo. Esta condicin se cumple en la prctica debido a que las vigas son elementos alargados, en los cuales la luz puede ser del orden de 20 veces el canto. Esta condicin da lugar a ngulos mximos del orden de 10 a 15. Con esta premisa, se pueden plantear las siguientes simplificaciones: cos 1.0( ) sen tg radianes El trazado de pretensado est formado por un conjunto de parbolas tangentes en sus extremos (o rectas, que pueden considerarse como parbolas degeneradas). Esta condicin tambin suele cumplirse en la prctica. Admitiendo estas simplificaciones, se pueden volver a examinar las ecuaciones de equilibrio anteriores. Figura 4 Definicin geomtrica de un tramo de trazado parablico. Equilibrio de fuerzas verticales: Dado que la parbola es de segundo grado: ( ) ( ) ( )1 1 2 21 22 2 2k kP sen P sen P Pq tg tg a x x ax aPx x x = = + + = cdgSeccin 2 Seccin 1xy0xe1e2y = ax2-y01 2=0ySeccin 1 Seccin 2( )'1 1 12 y tg sen a x x = = = +( )( )21 1 021 1 0y e a x x yy e a x x y= = + = = + +'2 2 22 y tg sen ax = = =22 2 022 2 0y e ax yy e ax y= = = = +cdgSeccin 2 Seccin 1xy0xe1e2y = ax2-y01 2=0ycdgSeccin 2 Seccin 1xy0xe1e2y = ax2-y01 2=0ycdgSeccin 2 Seccin 1xy0xe1e2y = ax2-y01 2=0cdgSeccin 2 Seccin 1xy0xe1e2y = ax2-y01 2=0ySeccin 1 Seccin 2( )'1 1 12 y tg sen a x x = = = +( )( )21 1 021 1 0y e a x x yy e a x x y= = + = = + +'2 2 22 y tg sen ax = = =22 2 022 2 0y e ax yy e ax y= = = = +Hormign Pretensado 16/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 1" 2 y ar = y la ecuacin anterior puede escribirse como: Pqr= Por lo tanto la fuerza de desvo producida por el pretensado es igual a la fuerza axil dividida por la curvatura (al igual que ocurre en una polea, o en un tubo sometido a presin). Equilibrio de fuerzas horizontales: Debido a que se ha supuesto un coeficiente de prdidas global y que se iguala el cos a 1, no se requiere fuerza horizontal para garantizar el equilibrio. Equilibrio de momentos: De la ecuacin de la parbola, se obtiene (ver figura 4): y del equilibrio de momentos: Este resultado tambin es lgico, puesto que m es el momento producido por h que, como se acaba de ver, es nulo. Por lo tanto de forma simplificada las fuerzas equivalentes de pretensado se reducen a: Fuerzas concentradas en los anclajes o zona de transmisin Para cada tramo de parbola, una fuerza vertical constante igual a la fuerza de pretensado dividida por el radio de curvatura de la parbola. En tramos rectaos (pretensado preteso), la fuerza de desvo es nula (r=). 5.4Modelizacin de estructuras de canto variable. En las piezas de canto variable, al modelizar el pretensado mediante fuerzas equivalente, resulta de gran importancia que la geometra del modelo tenga en cuenta la variacin del centro de gravedad de la seccin, puesto que, en este caso el momento de pretensado en una seccin viene dado adems de por las fuerzas ( )2 2 1 1cos cos1 1 0k kP P Phx x = = ( ) ( )( )( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 22 2 cos cos2 02 2k k k kax a x x P e P e P sen P senm P ax a x Px + + += + + =( )22 21 1 0 02 y e a x x y y ax ax x a x = = + + = + 22 2 0y e y ax = = Hormign Pretensado 17/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 distribuidas por el producto de la fuerza horizontal en los anclajes por la variacin de la posicin del centro de gravedad. 5.5Momento hiperesttico del pretensado Debido a que el sistema de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado, por equilibrio global de la estructura, la suma de reacciones debidas al pretensado debe ser nula. En el caso de elementos isostticos, esta condicin requiere que todas las reacciones sean nulas. En dicho caso, el momento de pretensado en cada seccin es igual al momento respecto de esa seccin de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda (o, alternativamente a la derecha) de dicha seccin. Figura 5 Momento de pretensado en una estructura isosttica Haciendo referencia a la Figura 5 (en la que se admiten, sin que ello tenga influencia en este razonamiento, unesquema de fuerzas equivalentes simplificado y que el pretensado pasa por el centro de gravedad de la seccin en el anclaje), si se corta una estructura isosttica en una seccin distante x de la seccin de apoyo (y a+x de la seccin del anclaje), la suma de los momentos respecto del centro de gravedad de la seccin de corte (y respecto de cualquier otro punto) debe ser nula, puesto que esta Modelo EstructuralPkPkM=PkycdgM=PkycdgModelo EstructuralPkPkM=PkycdgM=PkycdgModelo EstructuralPkPkM=PkycdgM=Pkycdgx aPV1VxPM = P eeR=0x aPV1VxPM = P eeR=0Hormign Pretensado 18/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 es la condicin que se impuso para calcular las fuerzas de pretensado, por tratarse de un sistema autoequilibrado: 21( )( ) 02x aM q V x a P e+= + + = Por lo tanto el momento de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda de la seccin de corte, que es igual al momento de pretensado en dicha seccin, vale Pe. En el caso de una estructura hiperesttica, si bien la suma de reacciones debe ser igual a cero, esto no es cierto de cada una de las reacciones. En la Figura 6, se propone un ejemplo que puede ayudar a entender este problema. Figura 6 Ejemplo de una estructura hiperesttica pretensada Si se considera esta viga de 2 vanos y, simplificadamente, que la fuerzas equivalentes de pretensado pueden representarse por las fuerzas en los anclajes y una fuerza de desvo vertical constante, q, para determinar las reacciones, se puede seguir el siguiente procedimiento (ver Figura 7): se libera el apoyo central se calcula la flecha debida a q en el centro de la estructura, fq. se impone una fuerza, que se denomina, por razones prcticas, 2R en el centro de la estructura y se calcula su valor en funcin de R, f2R. Se impone la condicin de compatibilidad que permite deducir el valor de la incgnita hiperesttica: fq= f2R. lbddhPPVVqlbddhPPVVqHormign Pretensado 19/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03

Figura 7 Determinacin de reacciones hiperestticas de pretensado. Si en el apoyo central aparece una reaccin hacia abajo (traccin en el apoyo) de 2R, por equilibrio global y simetra, en los apoyos extremos, debe aparecer una reaccin igual a R. Si ahora, se vuelve a considerar el caso de la Figura 5, el equilibrio en la seccin situada a una distancia x del apoyo se ve alterado por la presencia de una reaccin no nula. Esta situacin se representa en la Figura 8. P PhddblVR2RRVqP PhddblVR2RRVqVqP PlfqVf2RPPV V2RlRRVqP PlfqVVqP PlfqVf2RPPV V2RlRRf2RPPV V2RlRRHormign Pretensado 20/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 a xePV1qR=0PVxM=P e+R xa xePV1qR=0 R=0PVxM=P e+R x Figura 8 Momento de pretensado en una estructura hiperesttica Como puede verse, el momento total de pretensado es ahora la suma de dos trminos: Pe, que es el momento debido a las fuerzas equivalentes de pretensado y se denomina momento isosttico de pretensado, y Rx, que es debido a la aparicin de una reaccin de pretensado no nula y que se denomina momento hiperesttico de pretensado. De forma general, el momento total de pretensado es la suma de estos dos trminos. En el caso de estructuras isostticas, el segundo trmino es nulo y el momento de pretensado es directamente Pe. 6ESTADO LMITE LTIMO Este apartado se refiere exlusivamente a secciones con armadura activa adherente. El problema de clculo del momento resistente de una seccin pretensada es, en principio, un problema de flexin compuesta. En el lado solicitante se tiene, el momento de las cargas exteriores Md, el momento hiperesttico de pretensado Mp,hip, el momento isosttico de pretensado Mp,isos =Pe y la fuerza de pretensado P. En el lado resistente, por su parte, se tiene la compresin en el hormign y la capacidad a traccin remanente del pretensado, equivalente al rea de la armadura activa multiplicada por el lmite elstico del pretensado menos la tensin debida a la predeformacin del pretensado en caso de que sta armadura se platifique. En caso contrario, la traccin debida a la armadura de pretensado sera su rea multiplicada por el mdulo de deformacin del pretensado y por la deformacin delhormign deducida del plano de deformacin de rotura 1p.

1 Este planteamiento supone despreciar la deformacin de neutralizacin que corresponde a la deformacin que tiene la seccin debida a la accin del pretensado y que es de sentido contrario a la deformacin que se genera al plantear el plano de rotura, que se mide a partir de un estado no deformado o neutro. Por ello, de forma ms precisa la deformacin total del pretensado se compone de tres trminos: la predeformacin, la deformacin de neutralizacin y la deformacin compatible con la deformacin del hormign. Se trata de un efecto favorable de pequea entidad si se compara con el valor de la predeformacin. Hormign Pretensado 21/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Figura 9 - Clculo en E.L.U. de una seccin pretensada. Planteamiento inicial A continuacin se proporcionan las expresiones de la compresin, la traccin y de la predeformacin del pretensado. La expresin correspondiente a la predeformacin supone que se pretensa al 75% de la tensin de rotura fpu (normalmente 18601900 MPa) y que las prdidas de pretensado (instantneas ms diferidas) pueden estimarse en un 25%. El sistema de fuerzas formado por el axil de pretensado, aplicado en el centro de gravedad y el momento isosttico de pretensado es equivalente a un axil aplicado en la fibra de pretensado, como se muestra en la figura siguiente. Figura 10 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Fuerza de pretensado aplicada en el c.d.g. de la armadura activa. El equilibrio se mantiene si a los dos lados de la ecuacin se aade la misma fuerza con la misma excentricidad. ( )000.85 0.8min ;0.750.751.0cdp p p pyd ppuppC f b xT A E f EfE = = =CA10 2 3.5 BCTP0.8xehddbMdMp,hipMisos=Pec=0.85 fcdxcdxCA10 2 3.5 BCACA10 2 3.5 BCTP0.8xehddbMdMp,hipMisos=Pec=0.85 fcdxcdx10 2 3.5 BCTP0.8xehddbMdMp,hipMisos=Pec=0.85 fcdxcdxCA10 2 3.5 BCTPx0.8xehddbMdMp,hipc=0.85 fcdxACBCTPx0.8xehddbMdMp,hipc=0.85 fcdxACBx0.8xeMdMp,hipc=0.85 fcdxCTBPhddbCAPPx0.8xeMdMp,hipc=0.85 fcdxCTBPhddbCAPPHormign Pretensado 22/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Figura 11 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Se suma la misma fuerza a ambos lados. Figura 12 - Clculo en E.L.U de una seccin pretensada. Planteamiento habitual en ELU. Con este planteamiento, el problema se transforma formalmante en un problema de flexin simple que vendra a ser una generalizacin del problema ya estudiado para hormign armado. Las diferencias son dos: A la deformacin de pretensado hay que aadirle la predeformacin 0. Al momento debido a las cargas exteriores hay que aadirle el momento hiperesttico de pretensado. 7ESTADO LMITE DE SERVICIO 7.1Comprobacin de tensiones (49.2 EHE) 7.1.1Comprobacin en vaco En general, el pretensado se dimensiona para garantizar unas ciertas condiciones tensionales y de abertura de fisura para tiempo infinito y combinacin de cargas frecuente. Al pretensar la viga, la carga aplicada es mucho menor (slo acta el peso propio)y la fuerza de pretensado alcanza su valor mximo debido a que an no se ha producido ninguna prdida diferida. En esta situacin puede ocurrir que el pretensado, (proyectado para tiempo infinito y una carga mayor) sea excesivo. Ello puede dar lugar a los siguientes problemas: Una traccin que d lugar a una fisuracin no controlada en la fibra opuesta a la de la fibra de pretensado. Una compresin excesiva en la fibra cercana a la fibra de pretensado que d lugar a una microfisuracin del hormign. El primer problema se resuelve, en caso de producirse tracciones importantes, disponiendo una armadura pasiva en la cara opuesta a la del pretensado que sea suficiente para controlar la fisuracin que se pueda producir al tesar. Las fisuras que puedan abrirse al tesar se cerrarn posteriormente por efecto de la aplicacin de la carga muerta y el desarrollo de las prdidas diferidas de pretensado. ( ) ( )00min ;p pp p p pydP A ET P A E f =+= +T+PCx0.8xeMdMp,hipc=0.85 fcdxACbddhBT+PCx0.8xeMdMp,hipc=0.85 fcdxACbddhBHormign Pretensado 23/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 El segundo problema no puede resolverse tan fcilmente y se exige un lmite a la compresin mxima, que viene dado por: 0.6c ckjf donde: ctensin en la fibra ms comprimida fckj resistencia caracterstica del hormign en el momento de tesar La combinacin de esfuerzos a considerar para la comprobacin en vaco es la siguiente: ip kP pp + siendo: ppel peso propio de la viga Pkifuerza de pretensado a tiempo cero p coeficiente de ponderacin del pretensado igual a 1.1 si el efecto del pretensado es desfavorable y 0.9 si el efecto de pretensado es favorable. En el caso de la comprobacin en vaco el efecto del pretensado es claramente perjudicial para la estructura y por lo tanto p debe tomarse igual a 1.10 en el caso de estructuras construidas in situ y 1.05 en el caso de estructuras prefabricadas.. 7.1.2Comprobacin a tiempo infinito Para el estado final de una estructura, la Instruccin EHE exige las siguientes condiciones, en funcin del tipo de ambiente: Ambiente Tipo I (interior) oAbertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinacin de cargas frecuente. Ambiente Tipo II,H oAbertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinacin de cargas frecuente. oFibras de pretensado totalmente comprimidas para la combinacin cuasipermanente. Ambientes Tipo III,IV,Q,F oSeccin totalmente comprimida para la combinacin frecuente. 7.2Comprobacin de fisuracin en secciones pretensadas Para el clculo de la abertura de fisura en secciones pretensadas, es vlido el modelo general ya estudiado para hormign armado. La abertura de fisura media, se calcula como el producto de la separacin media entre fisuras (sm) por la diferencia media entre la deformacin del acero y la deformacin del hormign en el entorno de la fisura (sm). La abertura de fisura caracterstica se obtiene multiplicando el valor anterior por el factor que permite pasar de valores medios a Hormign Pretensado 24/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 valores caractersticos. En general, en la direccin del pretensado el problema de fisuracin es debido a un problema de cargas exteriores, por lo que vale 1.7: 1.7k m smw s = La separacin media se calcula a partir de la siguiente expresin2: ,12 0.2 0.4c efmsAs c s kA = + + Al estar las secciones de hormign pretensado sometidas, normalmente a flexin compuesta ( compresin compuesta, en cuyo caso, no resulta necesario comprobar la fisuracin), el factor k1 es igual a 0.125. La definicin de los trminos de esta ecuacin es igual que para elementos de hormign armado. La diferencia de deformacin media entre el hormign y el acero en el entorno de la fisura viene dada por: 21 0.5s srsms sE | || | | = | |\ .\ . Determinacin de s, sr La determinacin de s y sr es ms compleja en el caso de estructuras sometidas a flexin compuesta que en el caso de secciones sometidas a flexin simple, puesto que es este caso, las propiedades de la seccin fisurada no pueden calcularse a partir de la condicin de que la fibra neutra coincida con el centro de gravedad de la seccin fisurada. En este caso la profundidad depende de la excentricidad de la carga y para cada momento exterior debe volver a calcularse la profundidad de la fibra neutra xfis. En el caso ms sencillo, correspondiente a una seccin rectangular, debe resolverse una ecuacin de tercer grado. A continuacin se plantean las ecuaciones, de compatibilidad, las ecuaciones constitutivas, y las ecuaciones de equilibrio. Ecuaciones de compatibilidad: Se admite la hiptesis de Navier. Si se toma como fibra de referencia la fibra neutra de la seccin con los valores de ordenadas positivos hacia arriba y se admite que las tensiones de compresin son positivas esta condicin puede ponerse como: 1( ) y yr =Se admite la hiptesis de adherencia perfecta entre hormign y acero activo y pasivo. Ecuaciones constitutivas:

2 Esta expresin supone despreciar el efecto del pretensado en el clculo de la separacin entre fisuras y queda del lado de la seguridad. La armadura de pretensado se podra sumar a As en el denominador del tercer trmino con un valor minorado para tener en cuenta su menoradherencia. Hormign Pretensado 25/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 Hormign 00 0c c c cc cE sisi = >= < Acero de Pretensar ( )0 p p pE = +Acero pasivo s s sE = Ecuaciones de equilibrio Equilibrio de axiles 00 ( )fisxc p p s sb y dy A A = + + Equilibrio de momentos. El equilibrio de momentos se establece respecto de la fibra neutra que se toma como fibra de referencia. ( ),0( ) ( )fisxserv P hip c p p fis p s s fisM M M b y ydy A x d A x d + = = + + Introduciendo las ecuaciones constitutivas y de compatibilidad en las ecuaciones de equilibrio se obtiene el siguiente sistema dos ecuaciones,con dos incgnitas (xfis,1/r): ( )002 2 20010 ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )fisfisxpsc p fis p s fis p pc cxpsc p fis p s fis p p fis pc cEEE yb y dy A x d A x d E Ar E EEEM E y b y dy A x d A x d E A x dr E E| |= + + + | |\ .| |= + + + | |\ . En la expresin anterior, EpApp es el axil de pretensado cambiado de signo, -P, puesto que representa la traccin en la armadura, y EpApp(x-dp) es el momento isosttico de pretensado, respecto de la fibra neutra, que, en este caso no coincide con el centro de gravedad de la seccin fisurada. Por otra parte, el parntesis en la ecuacin de equilibrio de axiles es el momento esttico de la seccin fisurada respecto de la fibra neutra (Bfis) y el trmino entre parntesis en la ecuacin de equilibrio de momentos es el momento de inercia de la seccin fisurada respecto de la fibra neutra (Ifis). El sistema de ecuaciones anteriores se puede resolver, eliminando en primer lugar la curvatura. Para ello, hay que pasar al trmino solicitante el axil de pretensado y su momento y dividir la ecuacin de equilibrio de momentos por la de equilibrio de axiles. Como resultado de esta operacin se obtiene la siguiente ecuacin: ( )1( )fis pfis fisfis pfis fisM P x dI I Me x dP B P B+ = = = Ec. 7.2.1 De esta ecuacin se deduce el valor de xfis (ver aplicacin numrica a una seccin rectangular ms abajo). La curvatura se determina, posteriormente a partir de cualquiera de las dos ecuaciones de equilibrio. Finalmente, a partir de x,1/r y la ecuacin constitutiva, se puede calcular la tensin en el acero: Hormign Pretensado 26/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 ( )1 11( )fis pc fis c fiss s fisM P x dPr E B r E IE x dr+ = == Esta operacin debe repetirse para determinar el valor de sr. En este caso, el momento solicitante es el momento de fisuracin de la seccin. El valor de este momento debe tener en cuenta el estado de presolicitacin debido a la actuacin del pretensado. Mfis, se calcula a partir de: 11fis cctm fis ctmc c cM P e I P Pf y M f P eA I A y| | = + = + |\ . siendo fctmla tensin de fisuracin media Pla fuerza de pretensado ela excentricidad de la armadura activa respecto del centro de gravedad de la seccin de hormign y1la distancia entre la fibra ms traccionada de la seccin y el centro de gravedad de la seccin de hormign IcInercia de la seccin de hormign Acrea de la seccin de hormign. Aplicacin Numrica Se considera una seccin rectangular de 4030 (bh) pretensada con una armadura de 3 cm2, situada a 6.3 cm de la cara inferior de la seccin. La armadura pasiva est formada por 320 con 4 cm de recubrimiento mecnico. La fuerza de tesado es de 450 kN. El momento exterior debido a las cargas frecuentes es de 108 kN. Se pide calcular la abertura de fisura. Determinacin de s: ( ) ( )( ) ( )22321312fis fis p p fis p s s fisfis fis p p fis p s s fisI bx n A x d n A x dB bx n A x d n A x d= + + = + + Rescribiendo la ecuacin 7.2.1: ( )( ) ( )( )( ) ( )1 3 2112 213 21 2 3 4( )1( ( )) 06 200pfis fis p fis fis fisp p p s s p p p s s fisp p p s s p p p p s s sfis fis fise dI e x d B bx bxn A d n A d e d n A n A xn A d n A d e d n A d n A da x a x a x a + = + + + ++ + + + = + + + = Clculo de xfis y s en el caso del ejemplo considerado, MPa Ec29779 8 35 85003= + = Hormign Pretensado 27/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 ( )2211232000006.723 9.4330.260.237450 0.75 337.5990.293337.50.40.066760.293 0.2370.40 0.011226.72 3 0.237 6.72 9.43 0.260.293 0.237 6.72 3 6.72 9.4p sp ssppE E MPan nA cmA cmd md mP kNe maaa= == == ==== == == = = = + = + + ( )( )( )4 32 24 443 2 3 410 2.593 1036.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 6.606 100.293 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.260.0667 0.0112 2.593 10 6.606 10 0 0.1285fis fis fis fisax x x x m | | = |\ .| | + = = | |+ + \ . + = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 43 3 3 13 32 2 3 44 410.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 1021 337.52.25 10 5.037 1029779 10 2.25 1010.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 1039 14.16 10fisfisBm mrImr = + + == = = = + + == =( )3 13 49 337.5 0.1285 0.2375.035 10 . .29779 10 4.16 10m o k + = ( )3200000 5.037 10 0.1285 0.26 132.47sMPa = = Clculo del momento de fisuracin: 23 42 2 3141120.15 0.063 0.0870.40 0.30 0.1210.40 0.30 9 10120.30 35 3209 /0.15335.7 9 103209 337.5 0.087 65.400.12 0.1565.400.194337.50.40.066760.194 0.2ccctmfiseA mIf kN myM kNme maa= == == = = = = | |= + = | \ .= == = = ( )( )( )( )34 332 24 44370.40 8.600 1026.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 1.177 100.194 0.237 6.72 3 6.72 9.436.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 4.502 100.194 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.260.0aa = + | |= = |+ + \ .| | + = = | |+ + \ .3 3 2 3 4667 8.600 10 1.177 10 4.502 10 0 0.1844fis fis fis fisx x x x m + + = = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 43 3 3 13 32 2 3 44 410.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 1021 337.56.216 10 1.823 1029779 10 6.216 1010.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10318.778 10fisfisBm mrImr = + + == = = = + + == ( )3 13 464.40 337.5 0.1844 0.2371.784 10 . .29779 10 4.16 10m o k + = = ( )3200000 11.80 10 0.1844 0.26 27.21srMPa = = Hormign Pretensado 28/28 Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormign EstructuralFecha: 16/05/03 ( )242132.47 27.211 0.5 6.48 10200000 132.470.4 0.04 7.5 0.022 0.03 0.20 0.133 0.4 0.125 0.02 0.1673 0.011.7 0.167 0.648 0.183 0.20smmks mw mm mm| || |= = | | |\ .\ . + = + + == =

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