Apuntes Ondas

7/23/2019 Apuntes Ondas

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BLOQUE 2: VIBRACIONES Y ONDAS

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MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cuando arrojas una piedra a un estanque, tocas la guitarra o enciendes una bombilla desencadenas

fenómenos físicos de naturaleza muy diferente, pero con un denominador común: se propaga

una perturbación en la que no hay transporte neto de materia. En realidad, todos ellos son ejemplos

de movimiento ondulatorio o de propagación de onda.

1. Características del movimiento ondulatorio

Hasta ahora hemos estudiado distintos tipos de movimientos de cuerpos que se desplazan en el espacio.

Por ejemplo, un coche que sigue una determinada trayectoria, un bloque que se desliza por un plano

inclinado, un muelle o un planeta alrededor del Sol. En todos ellos se transporta la masa y, junto a esta,

el momento lineal y la energía cinética. El caso del movimiento ondulatorio es distinto.

El movimiento ondulatorio o movimiento de propagación de onda se define como una perturbación

que se propaga de un punto a otro sin que exista transporte neto de materia, pero sí transmisión de

energía.

Podemos ilustrar nuestra definición con un ejemplo fácilmente

reproducible. Cuando una piedra cae a un estanque, o biengolpeas con el dedo en su superficie, se genera una

perturbación. Dicha perturbación es una onda que se extiende

en forma de círculos concéntricos, haciendo que un trozo de

corcho, situado a cierta distancia del punto en el que cae la

piedra, comience a oscilar de arriba a abajo.

Es importante que

te des cuenta de que lo que se desplaza es la perturbación en

sí, no las moléculas de agua. Estas permanecen oscilando en

torno a su posición de equilibrio sin producir desplazamiento

neto de materia. El trozo de corcho de nuestro ejemplo,

inicialmente en reposo, pone de manifiesto la transmisión de

energía que se produce sin que se desplace el agente que causala perturbación, la piedra, que queda en el fondo del estanque

allá donde cayese.

A partir de este ejemplo podemos sintetizar las siguientes características de las ondas:

Se hace necesario un foco emisor o fuente que actúe como origen de la perturbación. La energía

del foco es transmitida al medio de propagación en sus inmediaciones. En nuestro caso, la piedra

al caer comunica su energía a las moléculas del agua que se encuentran próximas.

Debe existir un medio de propagación que, a medida que es atravesado por la perturbación,

experimenta una variación en alguna de sus propiedades físicas. Dicho medio, material o no,

sirve de soporte a la transmisión del movimiento ondulatorio, pero no es transportado en sí

mismo.

A medida que la perturbación se propaga la onda se amortigua. Esta amortiguación se debe al

reparto de energía que se va produciendo a medida que la perturbación viaja alcanzando un

espacio cada vez mayor.

Existe un retraso entre el momento en que la piedra cae y se genera el movimiento ondulatorio

y el momento en que otros puntos son alcanzados. Esto pone de manifiesto una velocidad de

propagación de las ondas. En el ejemplo del estanque y la piedra, el trozo de corcho, a cierta

distancia del punto sobre el que cae la piedra, altera su posición momentos después de que haya

caído la piedra que genera la onda.

La onda no es la piedra, ni las moléculas de agua del estanque, ni el corcho. Es, por el contrario,la energía propagándose de la manera en que lo hace y alterando las propiedades del medio.




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2. Enfoque matemático

El ejemplo de la piedra en el estanque es válido para aproximarnos por primera vez al concepto de onda,

pero la variación de posición en las partículas del medio no es la única magnitud física que puede variar

en el movimiento ondulatorio. Así, uno de los fenómenos ondulatorios más comunes en la naturaleza es

el sonido. En tal caso la silueta característica de la onda aparece al representar la presión del aire, tal y

como se aprecia en la figura siguiente:

El sonido son ondas en el aire

El sonido emitido por un altavoz se basa en la propagación de la variación más o menos periódica de la

presión del aire que le rodea, moviendo una membrana que posee en su interior.

Por tanto, existen distintas propiedades físicas que pueden variar en el medio. La posición de las

partículas, la presión del aire o el campo electromagnético, en el caso de la luz, son algunas de ellas. En

cada uno de estos casos si tomamos una imagen instantánea de estas propiedades obtenemos un perfil

espacial que nos muestra el avance de la perturbación en el medio. Por el contrario, si nos fijamos en un

punto concreto del medio, obtenemos una visión dinámica de la evolución temporal de cada una de

estas porciones.

A partir de todas las ideas anteriores podemos concluir que:

Desde el punto de vista matemático una onda es una ecuación que recoge la evolución temporal y

espacial de la perturbación de un determinado medio, material o no, y que es generada por un foco

emisor. = ,

La expresión anterior simplemente indica que una onda es una función f que asigna un valor concreto a

una variable y (la coordenada y de la posición de las partículas, la presión del aire, etc.) a partir de su

posición espacial x y del instante t en el que estemos.

Visualizar completamente una onda es imposible en una sola imagen, ya que en ella no podemos

representar la evolución temporal y espacial a la vez. En el lenguaje común, sin embargo, se suele llamar

onda al perfil instantáneo de la perturbación del medio, tal y como se apreciaba en la imagen anterior.Ecuación de onda

Como puedes suponer, no todas las funciones f(x,t) son ondas, sino que deben cumplir lo que se conoce

como ecuación de onda. Su estudio detallado queda fuera del alcance de este nivel, sin embargo,

dejamos aquí su expresión para una onda de velocidad v en caso de que fuese su uso necesario:

= 1

A pesar de ello, cuando las variaciones espaciales y temporales de la onda se pueden expresar como

funciones sinusoidales (función seno o coseno) el estudio matemático se simplifica enormemente.

Decimos entonces que nos encontramos ante una onda armónica.




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3. Tipos de ondas

Existen distintas clasificaciones posibles para las ondas, según el tipo de criterio utilizado. Aquí

recogemos los más habituales:

Tipo de energía propagada

o

Ondas mecánicas: Se propaga energía mecánica. También reciben el nombre de ondasmateriales ya que necesitan un medio material elástico de propagación. Ejemplos son el sonido o

la onda propagada por el estanque que vimos anteriormente

o Ondas electromagnéticas: Se propaga energía electromagnética producida por oscilaciones de

campos eléctricos y magnéticos. No necesitan de medio material de propagación. Como ejemplo

podemos señalar la luz, cuyo medio de propagación más favorable es el vacío

Dirección de propagación

o Ondas longitudinales: Son aquellas en las que la dirección de vibración coincide con la dirección de

propagación. Se puede entender como una sucesión de contracciones y dilataciones. También

reciben el nombre de ondas de presión. Ejemplos son el sonido o un muelle como el primero de la

figura inferior

o Ondas transversales: Son aquellas en las que la dirección de propagación y vibración son

perpendiculares entre sí. Se puede entender como una sucesión de crestas (máximos) y valles

(mínimos). La onda propagada en el estanque de nuestro ejemplo, la propagada en una cuerda o la

propagada en el segundo muelle de la figura inferior son ejemplos de ondas transversales

Ondas longitudinales y transversales

El resorte de la figura sirve de soporte a ondas longitudinales (izquierda) y a transversales (derecha). Laflecha en rojo indica la dirección de propagación de la perturbación. Observa como la dirección de la

flecha coincide con la dirección de vibración de las partículas del resorte en el caso de las ondas

longitudinales. En el caso de las ondas transversales, las direcciones son perpendiculares, como indica la

flecha azul.

Número de dimensiones de propagación

o Ondas unidimensionales: La energía se propaga en principalmente una dimensión, por ejemplo, la

onda que se propaga en una cuerda

o Ondas bidimensionales: La energía se propaga principalmente en dos dimensiones, por ejemplo,

las ondas que se propagan en la superficie del agua de un estanque

o Ondas tridimensionales: La energía se propaga principalmente en tres dimensiones, por ejemplo, la

luz o el sonido




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Adicionalmente podemos decir que una onda es:

Viajera: Cuando la energía que aporta el foco emisor al medio avanza en un único sentido. Se

dan en medios libres o abiertos en los que la propagación no encuentra ningún obstáculo que

refleje la onda hacia el foco emisor. Por ejemplo, la onda que generamos en una cuerda en la

que uno de sus extremos está unido a nuestra mano y el otro queda libre

Estacionaria: Cuando la energía queda confinada a una región del espacio. Se dan en medios

cerrados o limitados que hacen que la onda se refleje hacia el foco emisor. Por ejemplo, se

producen cuando generamos una onda en una cuerda en la que uno de sus extremos está unido

a nuestra mano y el otro está fijo. También puede suceder en una cuerda en la que ambos

extremos están fijos, como es el caso de las cuerdas de guitarra

Armónica: Cuando podemos expresar las variaciones espacial y temporal mediante funciones

senos o cosenos. Cada porción del medio de propagación ejecuta un m.a.s.

Nuestro estudio en el resto del tema se reducirá al caso de las ondas mecánicas, centrándonos

especialmente en aquellas que son armónicas. Con ello simplificaremos enormemente el tratamiento

matemático sin perder contenido físico.

4. Velocidad de propagación

Cuando en una noche de tormenta entra un fogonazo de luz por tu ventana sabes que es muy probable

que se deba a un rayo y que, pasados unos instantes, oirás el estruendo ocasionado por el mismo. Lo

cierto es todas las ondas mecánicas, como el sonido, tienen una velocidad limitada de propagación.

Podemos definir la velocidad de propagación de una onda mecánica como la velocidad a la que avanza

la perturbación por el medio. En general depende de las propiedades mecánicas del mismo por lo que es

constante si estas no varían.

Se puede comprobar que, en general, la velocidad de propagación puede expresarse en la forma:

= Á

Así, aunque en general la obtención de la expresión de la velocidad de propagación para distintos medios

y tipos de ondas queda fuera de los contenidos de este nivel, sí que podemos señalar los siguientes casos

particulares:

Velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda: = √ ⁄

Siendo T la tensión de la cuerda (en N) y μ la densidad lineal de masa de la cuerda en (kg/m)

Velocidad de propagación de una onda longitudinal en sólido:

= √ ⁄

Siendo E el módulo de Young (kg·s-2·m-1) y ρ la densidad de masa del sólido (kg/m3)

Velocidad de propagación de ondas longitudinales en gases (sonido): = √

Siendo en este caso T la temperatura (K), el coeficiente adiabático del gas (1,4 para el caso del aire),

R la constante de los gases ideales (R = 8.31 J·mol -1·K -1) y M la masa molecular del gas (kg/mol).

En todos los casos anteriores, y siempre que se utilicen las unidades indicadas, el resultado obtenido

para v estará en metros por segundo (m/s).




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5. Ecuación de una onda armónica

En una cuerda horizontal cuyo extremo podamos desplazar hacia arriba y hacia abajo podremos producir

dos situaciones distintas:

- Un pulso, si hacemos un solo desplazamiento del extremo de la cuerda (una sacudida). La perturbación

viajará por la cuerda, con mayor o menor rapidez dependiendo de las características de la cuerda.- Un tren de ondas, o simplemente onda, si repetimos el movimiento en el extremo periódicamente

hacia arriba y hacia abajo. En este caso, todos los puntos de la cuerda repetirán el movimiento del

extremo produciéndose una onda viajera.

Si en el extremo de la cuerda producimos un movimiento armónico simple, por ejemplo, haciéndolo

vibrar unido a un muelle, entonces todos los puntos de la cuerda repetirán este movimiento. En este

caso la onda producida en la cuerda será armónica, porque en el punto donde se inicia (que se llama

foco) ocurre un movimiento armónico.

Una onda armónica es la propagación de una perturbación por un medio cuando dicha perturbación se

puede describir mediante las funciones seno o coseno. El caso más fácil de estudiar es la onda producida

en una cuerda tensa cuando en el extremo se produce un m.a.s.

Aunque no es frecuente encontrar

ondas perfectamente armónicas en la

naturaleza, sí que muchas ondas

pueden considerarse una composición

de estas. Este hecho fue descubierto

por Jean-Baptiste Joseph Fourier y es

comúnmente aplicado en diversos

campos como, por ejemplo,

las telecomunicaciones.

Magnitudes característicasLas ondas armónicas presentan una serie de parámetros que nos permiten caracterizarlas y que pasamos

a definir:

Elongación (y): Es la separación instantánea de cada punto del medio respecto a su posición de

equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)

Amplitud ( A): Es el valor de elongación máxima. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m). Los

valores de elongación de la onda armónica oscilan entre -A y A. A los puntos con máxima elongación (+A)

se les suele llamar crestas. A los puntos en los que la elongación es mínima (-A) se les suele llamar valles

Longitud de onda ( λ): Es la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo

estado de vibración. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m). Refleja la periodicidad espacial de la

onda armónica, ya que esta "se repite" (tiene igual forma) cada λ metros, como se evidencia en las

gráficas en las que representamos la magnitud perturbada frente a la posición (gráficas y-x ).

Periodo (T ): Es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.

También se puede definir como el tiempo que tarda un punto cualquiera en realizar una oscilación

completa en torno a su posición de equilibrio. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo (s). Refleja

la periodicidad temporal de la onda armónica, ya que esta se repite (tiene igual forma) cada T segundos,

como se evidencia en las gráficas en las que representamos la magnitud perturbada frente al tiempo

(gráficas y-t )




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Frecuencia ( f ): Es el número de oscilaciones por unidad de tiempo que un punto determinado del medio

realiza en torno a su estado de equilibrio. Su unidad de medida en el S.I. es el hertzio (Hz), unidad que es

la inversa del segundo (1 Hz = 1 s-1). Se trata de un parámetro característico del foco por lo que la

frecuencia mantiene su valor cuando la onda cambia de medio = 1/

Pulsación o frecuencia angular (ω): Permite expresar la frecuencia de las ondas de forma alternativa. Su

unidad de medida en el S.I. es el radián por segundo (rad/s) y se define como: = 2 =

Velocidad de propagación (v ): También se le conoce como velocidad de fase y es el desplazamientoefectuado por la onda por unidad de tiempo. Se puede entender como la rapidez a la que se propaga la

onda. En general depende de las características del medio, como hemos visto en el caso de la velocidad

de propagación de las ondas mecánicas, y no de las del foco por lo que es constante mientras el medio no

modifique sus propiedades. No debe confundirse con la velocidad de vibración de las partículas

individuales. Su unidad de medida en el S.I. es el metro por segundo (m/s) y podemos calcularla,

atendiendo a las características de la onda propagada, teniendo en cuenta que esta tarda un periodo

(T segundos) en recorrer una longitud de onda ( λ m), es decir: = =

Número de onda (k ): Se define como el número de longitudes de onda u ondas completas contenidas en

una longitud de 2π metros. Su unidad de medida en el S.I. es el metro a la menos uno (m -1) y su

expresión viene dada por: =

Teniendo en cuenta estas magnitudes, vamos a encontrar una ecuación que describa el movimiento de

todos los puntos de la cuerda en función del tiempo. Se trata de una ecuación que nos permita saber la

elongación (y) de cualquier punto de la cuerda (x) en cualquier instante (t), es decir = ,

Para ello empecemos por escribir la ecuación del m.a.s. que describe el foco, es decir el extremo de la

cuerda (x = 0) en función del tiempo: = suponiendo que no hay fase inicial ( = 0)

Cualquier punto genérico P que esté a una distancia x del foco vibrará de manera análoga a este,

siguiendo un m.a.s., pero lo hará con un cierto retraso t' , por lo que la ecuación con la que podemos

describir la vibración del punto P será: = ′, donde t’ es el tiempo que tarda la onda

en recorrer la distancia x, es decir t’ = x/v.

= 2 = (2 2 ) = ( 2 ) =




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Llegamos a la siguiente expresión como ecuación de una onda armónica:

, =

Para una onda armónica que viaja de izquierda a derecha y el foco no tiene fase inicial. Una ecuación

más general, teniendo en cuenta que puede viajar hacia la izquierda y tener fase inicial sería:

, = ± Al valor ± se le llama fase (), se mide en radianes (es un ángulo). Entre dos puntos de la

cuerda x1 y x2 separados una distancia d habrá una diferencia de fase

∆ = = = 2

Dos puntos están en fase si su diferencia de fase es n2, puesto que eso quiere decir que su elongación

será igual, por tanto: 2 = 2 ⟹ = = 1, 2, 3 …

Dos puntos están en fase si la distancia que los separa coincide con un número entero de longitudes deonda.

Por el contrario, dos puntos están en oposición de fase cuando su estado de vibración es justamente el

contrario. En este caso la diferencia entre sus fases será (2n-1) 2 = 2 1 ⟹ = 2 1 2 =1,2,3……

Dos velocidades en el movimiento ondulatorio:

Por un lado, está la velocidad de propagación de la onda, de la que ya hemos hablado más arriba. Es la

velocidad a la que la onda se propaga por el medio. Por ejemplo, cuando el oscilador armónico de

nuestro ejemplo comienza a moverse, existe un retardo hasta que todos los puntos próximos comienzan

a moverse. La velocidad de propagación depende del medio, como hemos visto en el caso de la velocidad

de propagación de las ondas mecánicas, y es constante. Su valor puede ser calculado a partir de las

características de la onda propagada según: = ⋅

Por otro lado, está la velocidad de vibración de cada punto de la onda. Su valor es variable con el tiempo,

siendo 0 en los puntos en los que la onda tiene amplitud A ó -A y máxima cuando la partícula pasa por su

punto de equilibrio. Depende de la velocidad a la que vibra el foco emisor y su valor se obtiene

derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo, es decir:

= = cos

Ejemplo

Un movimiento ondulatorio está descrito por la ecuación , = 2 2 ⋅ 2 m . Determinar:

La amplitud de la onda. La longitud de onda. Periodo de la onda. Número de onda. Frecuencia. Velocidad

de propagación. Velocidad de vibración de cualquier partícula.

6. Doble periodicidad de las ondas

La onda es un fenómeno periódico. La magnitud cuya variación viaja en la onda (desplazamiento,

presión, campo electromagnético) está descrita mediante una función periódica. En el caso de la onda

que viaja por una cuerda, la magnitud que se propaga es el desplazamiento respecto a la posición de

equilibrio, y la ecuación que lo describe es:

, =

Con ella se puede calcular la posición respecto al equilibrio (y) de cualquier punto de la cuerda (x) en un

instante determinado (t).




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Esta función es doblemente periódica, la magnitud que describe se repite en el espacio y se repite en el

tiempo.

Una onda armónica es periódica en el tiempo porque el valor y de la elongación de cualquier partícula

de la cuerda se repite cada cierto tiempo denominado periodo T , y en cualquier múltiplo del mismo

, = , ⋅

Una onda armónica es periódica en el espacio porque el valor y de la elongación de las partículas de la

onda se repite cada cierta distancia denominada longitud de onda λ o cualquier múltiplo de ella n λ

, = ⋅ ,

7. Atenuación de ondas esféricas

Las ondas esféricas se propagan en tres dimensiones, a partir de un foco van

avanzando según esferas cada vez de mayor radio. Así viajan el sonido y la luz.

Un sonido parte de un foco y se propaga en todas las direcciones.

Los puntos del espacio que son alcanzados simultáneamente por la onda y que

se encuentran en el mismo estado de vibración forma un frente de onda. Las

ondas que se propagan en todas las direcciones tienen frentes de onda

esféricos.




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También existen ondas en dos dimensiones, como las que se producen en la

superficie del agua al producir una perturbación en ella. En este caso los

frentes de onda son circunferencias.

El rayo es otro concepto utilizado en el estudio de las ondas, se trata de

líneas imaginarias perpendiculares a los frentes de onda y que indican el

sentido del avance de la onda.

También existen ondas con frentes de ondas planos, los rayos en este caso

serán paralelos entre sí.

Estudio energético de las ondas

Ya sabemos que la energía de un oscilador armónico depende de su frecuencia y de su amplitud

=

Nuestra experiencia nos dice que las ondas como la luz o el sonido (esféricas) pierden intensidad a

medida que avanzan, los sonidos dejan de oírse a una cierta distancia del foco.

La intensidad de una onda se define como la energía por unidad de tiempo y de superficie, o lo que es lo

mismo, la potencia por unidad de superficie. Se mide en W/m2.

= · = =

En el caso del sonido esta intensidad es la que nos hace percibirlo como más o menos fuerte.

Suponiendo que la energía que se pone en juego en el foco de la onda no se pierde por el camino,

cuando la onda vaya alcanzando superficies cada vez mayores la intensidad irá disminuyendo, al ser S

cada vez más grande (superficie de una esfera S = 4 r2). Al avanzar la onda, la superficie aumenta con el

radio al cuadrado, por tanto, la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al foco:

∝ 1

Como la intensidad está relacionada con el cuadrado de la amplitud, llegamos a la conclusión de que la

amplitud de la onda decrece a medida que avanza:

∝ 1 ⇒ ∝ 1 ⇒ ∝ 1 ⟹ ∝ 1

En resumen, la intensidad disminuye con la distancia al cuadrado y la amplitud disminuye con la distancia

recorrida por la onda. A este hecho se le llama atenuación de la onda, a la pérdida de intensidad y de

amplitud por el simple avance de la onda. No se trata de que la onda vaya perdiendo energía, sino que

esta energía se reparte por superficies cada vez mayores.

La onda también puede perder energía, porque el medio por el que viaja se quede con parte de ella,

pero este fenómeno es distinto, se llama absorción. Por ejemplo, hay medios absorbentes para las ondas

sonoras, como el corcho. Una onda de sonido que atraviesa un determinado espesor de corcho se

debilita porque el medio absorbe parte de la energía.




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8. Algunos fenómenos propios del movimiento ondulatorio

El movimiento ondulatorio se diferencia del movimiento de partículas porque consiste en un transporte

de energía y de cantidad de movimiento sin desplazamiento de materia. En las ondas no viaja la materia,

viaja la energía.

Existen fenómenos característicos de las ondas y que las hacen diferentes de los movimientos departículas. Son fenómenos ondulatorios: la reflexión y la refracción, la polarización, la difracción y las

interferencias.

Reflexión y refracción:

Cuando una onda avanza por un medio y se

encuentra con una superficie que separa a este

medio de otro distinto, ocurren estos dos

fenómenos, la onda se refleja siguiendo por el

mismo medio, o la onda se refracta pasando al

segundo medio y cambiando su dirección de

propagación. Normalmente se dan los dos

fenómenos en mayor o menor medida.

En el caso del sonido, la reflexión es lo que

conocemos como eco. La refracción no tiene

importancia en el sonido.

En el caso de la luz, la reflexión ocurre en todos

los objetos, es lo que nos permite verlos,

aunque en los espejos, además permite que se

formen imágenes por reflexión de los rayos. La

refracción de la luz se produce cuando pasa de un medio como el aire a otro

medio como el agua (los dos transparentes), entonces la luz se desvía y se

producen cambios en las imágenes que observamos.

Leyes de la reflexión y de la refracción:

- Los rayos incidente, reflejado y refractado están en el mismo plano.

- El rayo incidente ()̂ y el reflejado (̂) forman el mismo ángulo con la normal

- La relación entre el ángulo de incidencia ()̂ y el refractado ( )̂ depende de

la velocidad de propagación de la onda en ambos medios.

Polarización:

Es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales.

Una onda no polarizada puede transportarvibraciones producidas en cualquier dirección

perpendicular al avance. Cuando se polariza, sólo

puede transportar vibraciones que ocurran en una

dirección determinada. Es importante en el caso de la

luz. La luz normal consiste en variaciones de los

campos eléctrico y magnético que se propagan por un

medio. Los campos son vectores que pueden estar en

cualquier dirección perpendicular al avance del rayo

de luz. En la luz polarizada la dirección de los vectores

campo solo puede ser una concreta.




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Difracción:

La difracción es el fenómeno por el cual

una onda puede propagarse por todo el

espacio que hay detrás de una abertura.

No se produce en todos los casos, a

veces una onda después de una abertura

sólo viaja por el espacio que está

alineado con la abertura.

Que se produzca difracción depende del

tamaño relativo de la abertura y de la

longitud de onda. Para que se produzca

de manera apreciable la difracción, la

abertura debe tener un tamaño

pequeño comparado con la longitud de

onda. Si la abertura es más grande no se

produce.La difracción es un fenómeno habitual en los sonidos. Podemos percibir sonidos procedentes de focos

que no están en línea recta con nosotros, sino que han superado alguna abertura u obstáculo, Podemos

escuchar a alguien que habla al otro lado de la puerta y que no vemos. Sin embargo, en el caso de la luz

la difracción es muy poco habitual, la luz viaja en línea recta y al atravesar una rendija solo abarca el

espacio correspondiente a su avance en línea recta. Esta diferencia entre el comportamiento del sonido y

la luz, que son dos ondas, se debe a la diferencia entre sus longitudes de onda. Las longitudes de onda de

los sonidos (entre unos centímetros y algunos metros) son más grandes que las de la luz (del orden de

los nm).

Todos los sonidos no se difractan en la misma medida, se difractan más los de longitud de onda más

grande (los tonos graves)




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Superposición de ondas. Interferencia:

Principio de superposición: si en un medio se propagan dos o más ondas, éstas superpondrán sus efectos

en los puntos donde coincidan y continuarán después independientemente la una de la otra como si no

se hubieran superpuesto.

Si en un punto coinciden dos ondas que proceden de

dos focos, cada uno a una distancia, que emiten ondas

de igual frecuencia, el resultado en ese punto en cada

momento será la suma de los efectos producidos por

cada onda por separado.

= =

Donde x1 y x2 son las distancias recorridas por cada

onda desde su foco hasta el punto.

Utilizando la correspondiente relación trigonométrica,

se llega a la siguiente expresión:

=2cos 2 2

A la primera parte de la expresión 2cos − le podemos llamar amplitud resultante en el punto,

y toma valores entre 0 y 2A, dependiendo del valor de (x2 - x1), o sea, dependiendo de la diferencia de

caminos recorridos por cada onda.

Si la diferencia (x2 - x1) coincide con , 2, 3, …. Entonces la amplitud resultante valdrá 2A y le llamamos

interferencia constructiva, porque el efecto de las dos ondas se suma y la onda resultante en el punto

tiene el doble de amplitud que cada una de las ondas por separado. − = = =

Si la diferencia (x2 - x1) coincide con ,

,

,…. Entonces la amplitud resultante valdrá 0 y le llamamos

interferencia destructiva, porque el efecto de las dos ondas en ese punto se anula y la onda resultante en

el punto tiene amplitud cero, o sea no hay perturbación en ese punto. − = ⁄ = =

En resumen, el resultado de la interferencia de dos ondas iguales en un punto depende de la diferencia

entre los caminos recorridos por ambas ondas. Si esa diferencia de caminos es un múltiplo de la longitud

de onda, las dos perturbaciones llegan en fase y el resultado es una onda del doble de amplitud

(interferencia constructiva). Si la diferencia de caminos es un número impar de semilongitudes de onda,

las dos perturbaciones llegan en oposición de fase y el resultado es que se anulan las dos y el punto no

está vibrando nada (interferencia destructiva). Estos son los dos casos extremos, entre ellos existen

todas las situaciones intermedias.

Interferencias en una cubeta deondas en la superficie del agua. Se

ven zonas de interferencia

destructiva (empuje nulo) y zonas

de interferencia constructiva (fuerte

empuje).

En esta experiencia interfieren dos

ondas iguales procedentes de dos

focos, que son dos aberturas en una

lámina a la que llegan ondas planas

por su izquierda. Por tanto, también

se observa el fenómeno de la difracción.




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9. Ondas estacionarias

Muchos instrumentos musicales consisten en cuerpos que

vibran. Una cuerda tensa, un tubo hueco, una lámina

metálica o de madera, etc. En todos los casos se está

produciendo un caso especial de ondas que se llaman

ondas estacionarias. En todos los casos la vibración afecta atodo el cuerpo en su conjunto de manera permanente,

cada punto con una amplitud distinta.

En la imagen se observa una onda estacionaria en una

cuerda tensa. Toda la cuerda como cuerpo vibra, pero hay

puntos cuya vibración es muy amplia (les llamaremos

vientres) y otros que apenas sufren vibración (les llamaremos nodos). En las ondas estacionarias la

perturbación no viaja, sino que permanece en todo el cuerpo simultáneamente, por eso a las ondas

estudiadas hasta ahora las podemos llamar ondas viajeras, para diferenciarlas de estas ondas

estacionarias.

Para explicar la formación de una onda estacionaria en una cuerda tensa, suponemos que se producepor la interferencia entre dos ondas que solo se diferencian en su sentido de propagación

= la que viaja en sentido positivo

= la que viaja en sentido negativo

El resultado, como se ha visto anteriormente, según el principio de superposición, será la suma de ambas

expresiones. Teniendo en cuenta la relación trigonométrica: = 2 + −

Resulta: = =2cos

También vale (sobre todo para cuerdas sujetas por los dos extremos, donde los dos extremos son nodos)

esta otra ecuación: = 2 cos En esta ecuación se observa que cada punto de la cuerda, según sea su posición (x), vibra con una

amplitud 2 que puede valer entre 0 y 2A. Los puntos que vibran con amplitud 2A son los

vientres, y los puntos de amplitud cero son los nodos (que no vibran)

Para que un punto de la cuerda sea un vientre: = ± 1 ⇒ = , , , … ⇒ = , , , …

Los vientres consecutivos están separados por media longitud de onda.

Para que un punto de la cuerda sea un nodo: = 0 ⇒ = 0 , , 2 , 3 , … ⇒ = 0 , , ,

Los nodos consecutivos están separados por media longitud de onda.

Las ondas estacionarias se producen solo si secumple la condición de que la longitud de la

cuerda coincida con un múltiplo de, para que

los dos extremos coincidan con nodos.

Como · = , esto quiere decir que las

cuerdas solo producirán determinadas

frecuencias: si = 2 ⇒ = 2 ⇒ =

será la frecuencia fundamental, y las siguientes

frecuencias posibles serán múltiplos de dicha frecuencia fundamental.

Esto está relacionado con la música, cada frecuencia es una nota. Por eso la nota que produce la cuerdade una guitarra depende de su longitud (L) y de la velocidad de propagación de las ondas en ella, que a

su vez depende da la tensión y de la densidad de la cuerda.




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ACTIVIDADES

1. David observa la propagación de ondas en una cuerda y comprueba que pasan hacia su izquierda 30

crestas de 25 cm de amplitud cada 10 segundos. Además, se da cuenta de que la distancia entre dos

crestas consecutivas es de 80 cm. ¿Sabrías decirle a David cuál es la ecuación de propagación de la onda?

2. Una onda armónica se propaga a una velocidad de 120 m/s y con una frecuencia de 40 Hz. Determina

la distancia mínima que hay entre dos puntos que en un instante determinado oscilan con una diferencia

de fase de 60º.

3. Determina la ecuación que corresponde con la onda descrita por las siguientes gráficas:

4. Una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

con x e y medidos en centímetros y t en segundos. Para esta onda, halle su amplitud, frecuencia angular,

periodo, número de onda y longitud de onda.

5. Un movimiento ondulatorio viene dado, en unidades del S.I., por 5 4 10 ; con "y"

expresada en metros. Calcular: a) λ, f , ω, A. b) Velocidad de propagación de la onda. c) Perturbación que

sufre un punto situado a 3 m del foco a los 20 s. d) Expresiones generales de la velocidad y la aceleración

de las partículas afectadas por la onda.

6. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: , = 0,5 8 4 (S.I.)

a) Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda y explique

el significado de cada una de ellas. b) Represente gráficamente la posición de los puntos de la cuerda en

el instante t = 0, y la elongación en x= 0 en función del tiempo.

7. - Escribir la expresión de una onda sinusoidal que se propaga por una cuerda en el sentido positivo del

eje OX. La amplitud es 0,02 m, la frecuencia 60 Hz y la velocidad de propagación 10 m/s

8. - Una onda armónica se propaga por una cuerda tensa según =0,4 500,2. Calcular: a)

Longitud de onda λ, y periodo T. b) Velocidad máxima de oscilación de los puntos de la cuerda. c)

Diferencia de fase, en el mismo instante, entre dos puntos separados 7,5 m.

9. Una onda estacionaria viene dada por = 0,04 0,4 25. ¿Cuál es su velocidad de

propagación? Calcular f , λ, A y la velocidad de propagación de las ondas viajeras.

10. Un alambre vibra según = 0,5/340. Calcular: a) f , A, λ y velocidad de

propagación de las ondas viajeras. b) Distancia entre los nodos. c) Velocidad de una partícula del alambre

que está en x = 1,5 m en el instante t = 9/8 s.

11. El periodo de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje OX es 3·10 -3 s y la distancia entre

los dos puntos más próximos con diferencia de fase π/2 rad es de 30 cm en el eje X. a) Calcular λ y la

velocidad de propagación. b) Si el periodo se duplicase ¿qué les ocurriría a las magnitudes del apartado

anterior?

Apuntes Ondas

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