Apuntes Modulo II Mat C 2015 Primera Parte
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Facultad de Ingenier´ ıa UNLP Matem´ atica C M´ odulo II I. Transformaciones Lineales –1–
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MateC
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Facultad de IngenierıaUNLP
Matematica C
Modulo II
I. Transformaciones Lineales
– 1 –
Temario
Clase 1: Deniciones. Ejemplos. Casos especiales. Imagen y espacio nulo de unatransformacin lineal. Espacios isomorfos. Propiedades.
Clase 2 Representacion matricial. Ejemplos. Diferentes representaciones de acuerdo a lasbases consideradas. Representacion matricial y caractersticas de la transformacion.Matrices Semejantes. Propiedades. Ejemplos. Aplicaciones.
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1 Introduccion
Objetivo Se estudia aqu una clase de funciones denominadas transformaciones lin-eales, que van de un espacio vectorial V en otro W .
Una transformacion lineal que se aplica desde un espacio vectorial V en si mismo(W = V ) se denomina usualmente \un operador lineal".
Las transformaciones lineales pueden pensarse como funciones de una sola variable,donde el \argumento" de la funcion es un vector de un espacio vectorial V , y el \valor"de la funcion es un vector en el espacio vectorial W (pudiendo W ser el mismo V ).
Usaremos la notacion funcional para describir una transformacion lineal L ...
w = L (v) v 2 V , w 2 W
Veremos que una transformacion lineal L de un espacio vectorial n-dimensional a otroespacio vectorial m-dimensional puede representarse por una matriz A de m n. Talparticularidad ...
... permitira trabajar con la matriz A para discutir las caractersticas y propiedadesde la transformacion L.
Denicion Una funcion L de un espacio vectorial V en otro espacio vectorial W sellama transformacion lineal, denotada como L : V !W , si cumple la propiedad ...
L (:v1 + :v2) = :L (v1) + :L (v2)
para todo par de vectores v1 y v2 de V , y todo par de escalares , .... O la denicion equivalente
L (v1 + v2) = L (v1) + L (v2) para todo v1 y v2 en V;
... y L (:v) = :L (v) para todo v en V y escalar.
Ejemplo Transformaciones lineales de <2 en <2 :Algunos ejemplos interesantes ...
1. Transformacion de dilatacion o compresion (escalamiento):
Si x =
x1x2
es un vector de R2 , denimos
L (x) = 3:x =
3x13x2
L es una transformacion lineal, ya que
L (:x) = 3: (:x) = : (3:x) = :L (x)
L (x+ y) = 3: (x + y) = 3:x + 3:y = L (x) + L (y)
Geometricamente, L produce el efecto de \dilatar" o \alargar" al vector x medianteel factor 3.
3
En general, si c > 0, el operador L denido por
L (x) = c:x
produce el efecto de escalar cualquier vector x por el factor de escala c.
2. Operador proyeccion:
Denimos: L (x) = x1:e1 =
x10
Si x =
x1x2
y y =
y1y2
, entonces ...
:x + :y =
x1 + y1x2 + y2
Luego
L (:x+ :y) = (x1 + y1) :e1
= : (x1:e1) + : (y1:e1)
= :L (x) + :L (y)
... Esto muestra que L es una transformacion lineal.
Geometricamente, L (x) es la proyeccion del vector x sobre el eje x1
4
3. Transformacion de re exion (caso particular):
Si se dene ... L (x) = x1:e1 x2:e2 =
x1x2
Esta tranformacion satisface ...
L (:x + :y) =
:x1 + :y1
(:x2 + :y2)
= :
x1x2
+ :
y1y2
= :L (x) + :L (y)
... ) L es un operador lineal.
Geometricamente, L (x) es la re exion del vector x respecto (o a traves) del eje x1.
4. Transformacion de Rotacion (caso particular):
Una rotacion de los vectores x = (x1; x2) de <2:
... Si se dene
L (x) = x2:e1 + x1:e2 =
x2x1
.
Para ver si es lineal ...
L (:x+ :y) =
(:x2 + :y2):x1 + :y1
= :
x2x1
+ :
y2y1
= :L (x) + :L (y)
) que L es una transformacion lineal.
Geometricamente, L (x) es la rotacion con angulo = =2 (en sentido antihorario)del vector x
5
5. Transformacion de inversion:
Si se dene: L (x) = x =
x1x2
.
... para ver la linealidad:
L (:x+ :y) =
(:x1 + :y1) (:x2 + :y2)
= :
x1x2
+ :
y1y2
= :L (x) + :L (y)
Geometricamente, L (x) es el vector opuesto a x.
6
Comentarios Observar que esa formula se puede obtener tambien mediante la apli-cacion de alguna transformacion de las ya vistas, por ejemplo,
...usando:
(a) La transformacion de escala con c = 1,
o ...
(b) Rotar el vector x en (en sentido anti-horario o sentido horario),
o ...
(c) Re ejar el vector x a traves de la recta perpendicular a el
o ... hacer
(d) Dos rotaciones sucesivas, primero el vector x se rota con = =2 (en cualquiera delas dos direcciones), y luego volver a rotar el resultado:
... Si L1 rota al vector x en =2, entonces una inversion puede realizarse aplicandodos veces L1
L (x) = L1 (L1 (x)) = L1
x2x1
=
x1x2
= x
... Si denimos el cuadrado de un operador L2 (para L transformacion de V en V )mediante L2 (x) L (L (x)),
... entonces el operador de inversion puede expresarse en terminos del operadorrotacion L1 como
L = L2
1
Ahora un ejemplo de ...
6. Transformacion no lineal:
Si se tiene ...
L (x) = x1:x2:e1 + x2:e1 =
x1:x2x2
. Analizando ....
L (:x) = (x1) : (x2) :e1 + (x2) :e2 = :
x1x2
x2
6= :L (x) (a no ser que = 0 o 1)
) que L \no es lineal".
... Otro ejemplo, de una \ transformacion no lineal" de uso habitual:
7. : Operador de traslacion:
... Se dene la traslacion de cada x 2 <2 mediante la suma de un vector jo a:
T (x) = x + a,
7
... Si a 6= 0, \no es una transformacion lineal" (Vericarlo).
As ...
... no podra representarse mediante una matriz (veremos).
Esta transformacion no-lineal se utiliza en muchas aplicaciones, en gracos y ani-maciones.
Ejercicios0.1 (i) > La proyeccion ortogonal en <3 sobre el plano-xz es una transformacion lineal?.Gracar.
(ii)> La proyeccion ortogonal en <3 sobre el plano-yz?(iii) >La proyeccion sobre el eje-x?. Gracar. (iv) >La proyeccion al origen?
X 0.2 Considerar la transformacion de <2 en <2.xy
7!
x=2y=3
:
(i) Los pares (2; 0), (2; 0), (0; 3), el (0;3) en cuales pares se transforman? .(ii) Encontrar la imagen bajo esta aplicacion de la elipse: (llamar al transformado
(~x; ~y) por ejemplo).
f
xy
(x2=4) + (y2=9) = 1g
1.1 Caso Especial: Transformaciones de Rn en R
m.
Veamos algunos ejemplos ...
Ejemplo L : R2 ! R1 , denida mediante la formula :
L (x) = x1 + x2.> Es lineal? ...
L (:x+ :y) = (x1 + y1) + (x2 + y2)
= (x1 + x2) + (y1 + y2)
= L (x) + L (y)
) que L es una transformacion lineal, asocia a cada vector x en R2 un escalar x1+x2en funcion de los coecientes de x.
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Otro ...
Problema Dada la L : R2 ! R3 , denida como L (x) =
0@ x2
x1x1 + x2
1A,...
(1) Vericar que es lineal.(2)Probar que si se considerase una matriz A, para esta particular L : <2 ! <3,
deniendo la primer columna igual a: L(e1), y la segunda columna igual a :L(e2) (esdecir, coinciden con la imagen de los vectores de la base canonica de <2), entonces ...
... se obtiene la matriz A (3 2)
A =
0@0 11 01 1
1A
... y vericar que la formula y = L(x) coincide con y = Ax para todo x 2 <2.
Comentarios ... Sirve el ejemplo anterior para ilustrar sobre \ que es posible" hallaruna matriz adecuada A, tal que L(x) coincida con el producto Ax.
... El \resultado general" se obtendra en una seccion proxima.
Antes consideremos...
1.2 Transformaciones especiales:
La transformacion \identidad" I: Dado un espacio vectorial V , se dene...
Denicion I : V ! V , mediante ...
I (v) = v para todo v 2 V
Notar que no existe I : V ! W , no esta denida (aunque V y W tengan la mismadimension).
Otra transformacion particular ...
Sea L : C [a; b] ! R1 denida por
L (f) =
Z b
a
f (x) dx
Si f y g son dos vectores cualesquiera de C [a; b], entonces
L (:f + :g) =
Z b
a
(:f + :g) (x) dx
= :
Z b
a
f (x) dx + :
Z b
a
g (x) dx
= :L (f) + :L (g)
Otro caso...
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Una transformacion denida por una matriz A
Dada una A matriz de mn, se puede denir una transformacion LA de Rn en Rm
mediante ...
... la formula
LA (x) = A:x
... Es facil ver que cumple las propiedades de linealidad:
LA (:x+ :y) = A: (:x+ :y)
= :A:x + :A:y
= :LA (x) + :LA (y)
) que esta transformacion: L(x) = Ax \es una tranformacion lineal".
... Hay tantos ejemplos de ese tipo como matrices existan !.
Objetivo Estamos interesados en un resultado recproco del ejemplo previo, es decir ...> Es cierto que cualquier transformacion lineal L de Rn en R
m se puede denir enterminos de una matriz AL de m n ?
Y mas ...... > Es cierto que cualquier transformacion lineal L : V !W , V de dimension n, W
de dimension m, puede ser denida en terminos de una matriz AL de m n ?... Responderemos esa pregunta en la seccion proxima.
Importante !. Cuando se tiene una transformacion lineal, L : V !W... se cumplen siempre las reglas o propiedades:
1. L (0V ) = 0W
2. Si v1; : : : ;vn 2 V , entonces ...
L (1:v1 + + n:vn) = 1:L (v1) + + n:L (vn), y
3. L (v) = L (v) para todo v 2 V
EjerciciosX 2.1 Si L : V ! W es lineal, supongamos que L(~v1) = ~w1, : : : , L(~vn) = ~wn para los
vectores ~w1, : : : , ~wn de W .(a) Si el conjunto de los vectores ~w 's es linealmente independiente, > debe el conjuntode los ~v 's tambien es independiente?(b) Si el conjunto de los ~v 's es lin. independiente, debe el conjunto de los ~w 'stambien ser independiente ?. Pensar por ejemplo, en las transformaciones en <3,que son proyecciones de <3 sobre el plano-xy. Pensar tambien, en la L(x) = 0 paratodo x 2 <3.
Estudiamos ...
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1.3 Imagen y nucleo de una transformacion lineal
Denicion Sea L : V !W una transformacion lineal
1. Nucleo de L: es el conjunto de vectores fvg en V que son transformados o enviadosal vector nulo 0W de W . Es decir,
nu (L) = fv 2 V : L (v) = 0Wg
2. Imagen de un subespacio S de V : es el conjunto de vectores fwg en W que sonimagen por L de los elementos v en S, se denota
L (S) = fw 2 W : w = L (v) para algun v 2 Sg
3. Imagen de L: es la imagen L (V ), de todo el espacio vectorial V . Es decir,Imagen(L) = L(V ). Tambien se denomina a la imagen de L, rango de L (ob-servar que es un subespacio, y no es un numero. No se reere al rango (o rank) deuna matriz).
Notar que la imagen del nucleo de L:Imagen(nu(L)) = 0W... es el conjunto cuyo unico elemento es el vector nulo de W .
Cada uno de estos dos conjuntos de vectores es un subespacio en los re-spectivos espacios vectoriales:
...
Teorema Si L : V !W es una transformacion lineal, entonces
1. nu (L) es un subespacio de V , y
si S es un subespacio de V
2. L (S), la imagen de S es un subespacio de W
Demostracin. Si v1 y v2 son vectores de nu (L) entonces ...
L (:v1) = :L (v1) = 0W
L (v1 + v2) = L (v1) + L (v2) = 0W + 0W = 0W
entonces ... nu (L) es cerrado por la suma y multiplicacion por un escalar.Veamos el segundo item ...Si w1 y w2 son vectores en L (S), existe un v1 y un v2 en S, tal que w1 = L(v1),
w2 = L(v2), entonces
:w1 = :L (v1) = L (:v1) para v1 2 S
... como S es un subespacio :v1 2 S. As... :w1 2 L(S).
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De igual manera, si se considera
w1 +w2 = L (v1) + L (v2) para v1 y v2 en S
= L (v1 + v2)
... como S es un subespacio, entonces v1 + v2 2 S. Luego, L (S) es cerrado por la sumay multiplicacion por un escalar.
Observacion En particular, la imagen del subespacio nu(L), es decir...L (nu (L)) = f0Wg, tiene el unico vector 0W .
Ejemplo L : R2 ! R2 denida por L (x) =
x10
(operador proyeccion).
L (x) = 0 si y solo si x1 = 0
luego...
x 2 nu (L) si y solo si x1 = 0
... nu (L) es el subespacio 1-dimensional de R2 generado por el vector e2 =
01
, ... es
el eje x2. Gracar.Por otra parte, para determinar el conjunto imagen(L) (L(V ) o rango de L):... un vector y pertenece a la imagen de L si y solo si es multiplo escalar de e1 =
10
,...
... entonces la imagen L (R2) es el subespacio 1-dimensional de R2 generado por elvector e1. Es el eje x1. Hacer un graco para ilustrar.
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Ejemplo L : R3 ! R2 , denida por L (x) =
x1 + x2x2 + x3
.
Si x 2 nu (L), entonces
x1 + x2 = 0
x2 + x3 = 0
resolviendo ...si la variable independiente x3 = , se tiene
x =
0@
1A = :
0@ 111
1A
... por tanto, nu (L) es el subespacio 1-dimensional de R3 generado por este vector.Supongamos que S es el subespacio de R3 generado por e1 y e3. Esto es, todos los
vectores x de la forma
x =
0@0
1A ( y escalares)
Entonces L (x) =
, con y escalares cualesquiera. Por tanto, la imagen de S
...L (S) = R
2 .Ademas,...... como la imagen de este subespacio S es todo R2 , se deduce que la Imagen o Rango
de L tambien es todo R2 , es decir ...
LR3= R
2
Ejercicios para practicar ...
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EjerciciosX 3.1 Decidir si las L : <3 ! <2 son lineales. Si lo son estudiar el nu(L), y la imagen de
L.
(a) L(
0@xyz
1A) =
x
x+ y + z
(b) L(
0@xyz
1A) =
00
(c) L(
0@xyz
1A) =
2x + y3y 4z
X 3.2 Decidir si son lineales las aplicaciones L : M22 ! <.
(a) L(
a bc d
) = a + d
(b) L(
a bc d
) = ad bc
3.3 Es la aplicacion identidad una transformacion lineal?. Hallar el nu(L), y la imagende L.
X 3.4 Explicar este enunciado: \Decir que una funcion f : < > < es \lineal" es diferenteque decir que su graca es una recta" (Pensar por ejemplo en la recta y = mx + 2).
3.5 Asumir que L es una transformacion lineal de V en V , y que h~1; : : : ; ~ni es unabase de V . Probar :(a) Si L(~i) = ~0 para cada elemento de la base entonces L es la funcion \ cero".
(b) Si L(~i) = ~i para cada vector de la base entonces L es la identidad.
(c) Si hay un escalar r tal que L(~i) = r ~i para cada vector basico entoncesL(~v) = r ~v para todo los vectores en V .
X 3.6 Vericar que la transformacion L : <3 ! <0@xyz
1A 7! 3x y z
es lineal. Generalizar.
3.7 (a) Mostrar que para todo k, la k-th derivadadk=dxk en el espacio Pn es una transformacion lineal. Concluir que para escalares
cualesquiera ck; : : : ; c0 la aplicacion
f 7!dk
dxkf + ck1
dk1
dxk1f + + c1
d
dxf + c0f
es una transformacion lineal en ese espacio.
3.8 Mostrar que una composicion de funciones lineales es lineal.
X 3.9 Si L : V !W es lineal, supongamos que L(~v1) = ~w1, : : : , L(~vk) = ~wk para losvectores ~w1, : : : , ~wk de W .(a) Si el conjunto de los ~w 's genera W , > debe el conjunto de los ~v 's generar V ?Pensar, por ejemplo en transformaciones de <3, sobre <2. Proponer otros ejemplosque ilustren.(b) Si el conjunto de los ~v 's genera V , debe el conjunto de los ~w 's generar W ?.Pensar por ejemplo en L : <2 > <3.
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Un caso especial:Sea una transformacion
Ejemplo L : V ! Rn donde V es un espacio vectorial n-dimensional cualquiera.
Sea B una base ordenada [v1; : : : ;vn] de V .Si cada vector v 2 V , se representa en la base B = [v1; : : : ;vn]...
v = x1:v1 + x2:v2 + + xn:vn
As ...... para cada v, se tiene el vector coordenado respecto de esa base B:
[v]B =
1CCCA
es una n-upla unica, por ser linealmente independientes los vectores de la base B. Esdecir,...
... para cada v de V hay una unica n-upla en esa base de Ren.Se puede denir la correspondencia:
L (v) = (x1; x2; : : : ; xn)T =
1CCCA
... el vector imagen L (v) es el vector de coordenadas de v con respecto a la baseB = [v1; : : : ;vn].
Problema (1) Probar que la transformacion L : V ! <n denida previamente, L (v) =(x1; x2; : : : ; xn)
T si las xi son las coordenadas de v, es una transformacion lineal.(2) Ver tambien que es una aplicacion (1-1) inyectiva entre los espacios vectoriales V
y Rn . Observar, como la representacion de un vector v con respecto a una base ordenadaB = [v1; : : : ;vn] \es unica" (por la independencia lineal de los vectores de la base), elv = 0 de V esta representado por el w = 0 de <n, y cada vector v en V es aplicado enun unico vector de Rn , y vectores distintos u 2 V , v 2 V , u 6= v, satisfacen L(u) 6= L(v).
(3) Ademas, demostrar que es \suryectiva" (que la imagen L(V ) = <n).Tener en cuenta que cada vector x = (x1; x2; : : : ; xn)
T en Rn representa a un unico
vector de V
v = x1:v1 + + xn:vn
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Problema ... continuacion(4) Por tanto, se puede denir la transformacion inversa L1 : Rn ! V .... > Como se dene?Dar la formula.(5) En este caso,(a) >Cual es el subespacio nu(L)? (usar (2)).(b) > Cual es el subespacio imagen de L?, es decir ...L(V ), que es un subespacio en <n (usar (3)).(c)> Como son las dimensiones de nu(L), y de L(V ).(d) Finalmente, las preguntas de los items (a)-(c) responderlas ahora respecto de la
L1.
Problema En relacion al ejercicio anterior ...(a) Vericar que si toma un subespacio de dimension k, k < n en V , la imagen L(S)
tambien es un subespacio k-dimensional de <n.(b) La imagen por L1 de cualquier subespacio k-dimensional (k < n) de Rn es tambien
un subespacio k-dimensional en V .
Comentarios Hemos visto en el problema anterior, que si V es un espacio vectorialde dimension-n, \existe" una transformacion lineal L : V ! <n, que es biyectiva. Talaplicacion entre esos espacios, con esas propiedades, se dice que es un \isomorsmo"entre ellos.
... Luego, se dice que ambos espacios son \ isomorfos" porque hay una correspondencia\lineal biyectiva" entre sus elementos, y de tal manera que \todo lo que vale en uno sehereda en el otro" (a pesar de no ser el mismo) !!.
1.4 Espacios Isomorfos - Isomorsmos
Denicion Un isomorsmoentre dos espacios V y W es una L : V !W tal que
1. es una correspondencia biyectiva;
2. que preserva la estructura:si ~v1; ~v2 2 V entonces
L(~v1 + ~v2) = L(~v1) + L(~v2)
y si ~v 2 V y r 2 < entonces
L(r~v) = r L(~v)
(\Morsmo "signica aplicacion, as \isomorsmo " signica una aplicacion que expresa\igualdad".)
Ejercicios4.1 Probar que un espacio V es n-dimensional \ sii" es isomorfo a <n. Ayuda: Fijaruna base B para el espacio y considerar una aplicacion que transforme cada elementode la base al vector de coordenadas en esa base.
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4.2 >Puede concluir que es cierta la armacion siguiente ? : \ un par de espacios sonisomorfos \sii" tienen ambos la misma dimension?.
4.3 Supongamos que L : V !W es lineal. Mostrar que L es inyectiva \si y solo si" elunico elemento de V que se transforma por L en el ~0W es ~0V .
4.4 Supongamos que T : V ! W es un isomorsmo. Probar que el conjunto f~v1; : : : ; ~vkg V es linealmente dependiente \si y solo si" el conjunto imagen fT (~v1); : : : ; T (~vk)g W es linealmente dependiente.
4.5 Encontrar otras dos propiedades que tambien preserva un isomorsmo. Hay variasrespuestas;Para practicar en casa ...
Ejercicios4.1 (a) Dados ~u;~v 2 <n, el segmento de recta conectandolos es el conjunto denido
` = ft ~u+ (1 t) ~v t 2 [0::1]g. Mostrar que la imagen, bajo una transformacion
lineal L, del segmento entre ~u y ~v es el segmento entre L(~u) y L(~v).(b) Un subconjunto S de <n se dice convexo si, para cualquier dos puntos de S, elsegmento de recta entre ellos yace enteramente en S.
- Comprobar que el conjunto S correspondiente a una supercie esferica, mas suinterior: x2 + y2 + z2 1 es convexo. Ver que no es convexo el conjunto formadosolo por la frontera: x2 + y2 + z2 = 1.(c) Probar que una aplicacion lineal de <n a <m preserva la propiedad de convexidadpara los conjuntos de <n.(d) Dar ejemplos de conjuntos de <2 que son convexos y que por una transformacionlineal se transforman en conjuntos convexos en el espacio de la imagen. Pensar enrectas, en cuadrados llenos, en crculos llenos(una circunferencia,no!), etc.
X 4.2 Dos planos que pasan por el origen en <3son isomorfos?
X 4.3 Dado un isomorsmo, mostrar que la inversa es tambien un isomorsmo.
2 Representacion matricial de transformaciones lin-
eales
Objetivo Veamos que cualquier transformacion lineal entre espacios vectoriales de di-mension nita se puede representar mediante una matriz A.
Tal matriz A dependera de las bases que se consideren en V y W .
... En primer lugar consideramos transformaciones de Rn en Rm :
L : Rn ! Rm
Asumimos que la base en V = <n es la base canonica.... Dado x 2 <n, se puede representarx = x1:e1 + x2:e2 + + xn:en.... Como L es lineal, sabemos que su transformado satisface:
L (x) = x1:L (e1) + x2:L (e2) + + xn:L (en)
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... Luego bastara conocer la denicion de L para cada elemento de la base de V , ej:
... Si para cada ej, j = 1; : : : ; n, se dene L (ej),
L (ej) =
0BBB@a1ja2j...
amj
1CCCA = aj
As ....
L(x) = x1:a1 + x2:a2 + + xn:an
... Entonces se considera \la matriz cuyas columnas" son los L(ej), j = 1; : : : ; n
A = (aij) =
0BBB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n...
... ::::...
am1 am2 ::: amn
1CCCA
Luego ... reemplazando
L (x) = x1:L (e1) + x2:L (e2) + + xn:L (en)
= x1:a1 + x2:a2 + + xn:an
= (a1; a2; : : : ; an) :
1CCCA
= A:x
Conclusion ... Se pudo expresar L(x) = Ax, usando la matriz A recien denida.Esta matriz A se llama matriz canonica de representacion de L, dado que se uso la
base canonica feig de Rn para denirla.... La representacion de L con respecto a otras bases seran matrices diferentes.Notar que no se hizo ninguna referencia a la base particular considerada
para el espacio vectorial W = Rm ,
aunque ......si hay que aclarar que para cada L(ej) las coordenadas asignadas(las columnas de
A) son las que corresponden a la base de W = <m. En nuestro caso podemos suponer queen <m se uso la base canonica.
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Ejemplo L : R3 ! R2 , denida por L (x) =
x1 + x2x2 + x3
(ejemplo anterior)
a1 = L (e1) = L
0@100
1A =
10
a2 = L (e2) =
11
a3 = L (e3) =
01
por tanto ...
A = (a1; a2; a3) =
1 1 00 1 1
Vericacion:
A:x =
1 1 00 1 1
:
0@x1x2x3
1A =
x1 + x2x2 + x3
= L (x)
Otro ejemplo ...
Ejemplo Rotacion general en R2 . Tomemos la transformacion L : R2 ! R
2 , tal quea cada vector x lo hace rotar un angulo , en sentido antihorario.
Considerando que en R2 tenemos la base canonica:... Con ayuda de la geometra podemos calcular
L (e1) =
cos sin
y L (e2) =
sin cos
y por tanto ...
A = (L (e1) ; L (e2)) =
cos sin sin cos
... Entonces, para rotar un angulo un vector x de R2 (sentido antihorario) hay quemultiplicar x por A, es decir ...
y = L(x) = Ax
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Ejercicios0.1 Hallar la matriz que representa la aplicacion L : <2 ! <2,respecto de la base canonica, de las siguientes transformaciones:(a) La aplicacion Ls : <
2 ! <2 que es la dilatacion con coeciente s, tal que a cada(x; y)! s (x; y).(b) Idem para la re exion L` : <
2 ! <2, respecto de la recta y = x que pasa por elorigen.(c) Idem para la re exion respecto de la recta x = 0.(d) Considerar la transformacion que transforma los vectores, de acuerdo a lo quese indica abajo:
10
L`7!
(1 k2)=(1 + k2)
2k=(1 + k2)
01
L`7!
2k=(1 + k2)
(1 k2)=(1 + k2)
Vericar que es una re exion a traves de una recta y = kx (de pendiente k).Hacer un graco, por ejemplo para k = 2.
2.1 Caso general:
Sea L : V ! W , donde V y W son espacios vectoriales con dimension n y m, respecti-vamente.
Sea E = [v1; : : : ;vn] una base ordenada de V y F = [w1; : : : ;wm] una base ordenadade W .
Cualquier vector v en V puede escribirse en terminos de los vectores de la base E
v = x1:v1 + x2:v2 + + xn:vn (1)
donde x = (x1; x2; : : : ; xn)T es el vector de coordenadas de v con respecto a la base E
x = [v]E (2)
Ademas, la imagen w = L (v) puede ser escrito en terminos de los vectores de la baseF como
w = L (v) = y1:w1 + y2:w2 + + ym:wm (3)
20
donde y = (y1; : : : ; ym)T es el vector de coordenadas de L (v) con respecto a F
y = [w]F = [L (v)]F (4)
... Necesitamos encontrar la matriz A tal que cumpla
[w]F = A:[v]E (5)
es decir...
y = A:x (6)
... esta matriz A sera la matriz que representa a L con respecto a las bases ordenadas Ede V y F de W .
Veamos ... como hallarla?
... Consideramos para cada vj basico de V , el vector imagen en W , expresado en labase F de W ,
...
L (vj) = a1j:w1 + a2j:w2 + + amj:wm (para j = 1; : : : ; n)
... de manera que sus coordenadas en la base F son...
[L (vj)]F =
0BBB@a1ja2j...
amj
1CCCA = aj
As para cada j = 1; : : : ; n, ...
aj = [L (vj)]F
21
Conclusion Si se dene A ...
A = (aij)
con elementos faijg denidos mediante
A = (a1; : : : ; an) (7)
donde cada columna, indicada con aj, es el vector aj de las coordenadas de L(vj), respectode la base F
La expresion (6) puede ser escrita como
y = [L (v)]F = A: [v]E = Ax para todo v 2 V
siendo x = [v]E.Se puede hacer el siguiente esquema graco ...
Ejemplo L : R3 ! R2 , denida por
L (x) = x1:b1 + (x2 + x3) :b2
donde
b1 =
11
y b2 =
11
Encontrar la representacion de L con respecto a las bases [e1; e2; e3] y [b1;b2].
L (e1) = 1:b1 + 0:b2
L (e2) = 0:b1 + 1:b2
L (e3) = 0:b1 + 1:b2
22
ai, la columna i-esima de A, esta determinada por los coecientes de L (ei) con respectoa la base [b1;b2] para cada i = 1; 2; 3.
A =
1 0 00 1 1
Ejemplo L : R2 ! R2 , denida por
L (:b1 + :b2) = (+ ) :b1 + 2:b2
donde b1 y b2 son los del ejemplo anterior. Encontrar la matriz A que representa a L conrespecto a la base [b1; b2].
L (b1) = 1:b1 + 0:b2
L (b2) = 1:b1 + 2:b2
Por tanto ...
A =
1 10 2
... Esto es simple para espacios de peque~na dimension (n y m = 1; 2; 3) y como con-secuencia con peque~nas matrices de transicion. Pero para sistemas grandes necesitamosun camino mas practico para encontrar A.
En la seccion proxima vemos como cambiar de una matriz a otra, en forma mas general...
Para practicar ...
EjerciciosX 1.1 Asumir que la T : <2 ! <3 esta determinada por la accion
10
7!
0@220
1A
01
7!
0@ 0
11
1A
Usando las bases canonicas, encontrar(a) la matriz de representacion;(b) Una formula general para T (~v).
1.2 Describir geometricamente la accion sobre <2 de la aplicacion, que con respecto dela base canonica, se representa por la matriz:
3 00 2
Lo mismo, para las siguientes matrices usando la base canonica:1 00 0
0 11 0
1 30 1
23
2.2 Relacion entre las propiedades de la matriz asociada y las
caractersticas de la transformacion
... >Como estaran relacionados el nucleo y la imagen de L con las propiedades de lamatriz A?
Respuesta: El nucleo de L es equivalente al espacio nulo de A ...
Ver que: v 2 nu (L) si y solo si L(v) = 0W . Luego, si ...
x = [v]E debe ser A [v]E = [0]F = 0. Luego...
.... x = [v]E 2 N (A).
La imagen de L:
L (V ) = fw 2 W : tal que existe v 2 V tal que L(v) = wg...
... es equivalente al f[w]F : [w]F = A [v]E = Ax; g, para todo x 2 <n. Es decir, sontodas las combinaciones de las columnas de A ...
... Es equivalente al espacio columna de A. Esto es ...
... el subespacio de Rm generado por las columnas de A.
Entonces ... dim (nu (L)) = dim (N (A)) nulidad de Adim (L (V )) = rango (A)dim (nu (L)) + dim (L (V )) = n
Para ampliar el tema pueden consultar el libro de Grossman en pagina 486.
Ejercicios
2.1 Sea una matriz A =
1 23 6
, y supongamos que ella representa una aplicacion
L : V !W con respecto a las bases B y D. Como A tiene dos columnas , V es 2-dimensional. Lo mismo A tiene dos las W es 2-dimensional. La accion de L sobreun elemento cualquiera del dominio es :
xy
B
7!
x + 2y3x+ 6y
D
(a) Encontrar el espacio nulo (nu(L)) de cualquier aplicacion representada por esamatriz.(b) Encontrar la dimension del espacio nulo o nulidad de tales aplicaciones.(c) Encontrar el conjunto \Imagen (L)=L(V)" o sea el espacio columna de la matrizque la representa. Encontrar una base de este espacio.(d) Encontrar la dimension o rango (rank= dimension del espacio columna) de laaplicacion L.(e) Chequear si el rango(A) + nulidad(A) es igual a la dimension del dominio.
2.2 Repetir el ejercicio anterior, pensando que es una transformacion de <2 en <2, ypensando que se usa la base canonica.
2.3 Dada la transformacion L : R3 ! R3; L
0@ x
yz
1A =
0@ x+ y 3z
2y + zx y + 4z
1A
24
(a) Hallar la matriz que la representa respecto de las bases canonicas.(b)Determinar el espacio nulo (nucleo nu(L)) y la imagen de la transformacion
(L(R3)). > Cual es la dimension de ellos?.
(c) Hallar una base del espacio imagen L(R3). El vector
0@ 1
10
1A ; pertenece al espacio
L(R3)? (analizar).
(d) Hallar una base del nu(L). El vector
0@ 712
1A ; pertenece al espacio nu(L)?
(analizar).
Para practicar ...
25
Ejercicios2.1 Representar la transformacion Identidad sobre cualquier espacio con respecto deuna base B;B, donde B es cualquier base siendo el espacio n-dimensional. Vericarsi esa matriz puede ser la matriz
RepB;B(id) =
0BBB@1 0 : : : 00 1 : : : 0
...0 0 : : : 1
1CCCA
B;B
es la matriz identidad nn.?
2.2 Suponer T : V !W es no singular (biyectiva), as que para cualquier base B =
h~1; : : : ; ~ni V la imagen T (B) = hT (~1); : : : ; T (~n)i es una base paraW .(a) Representar la aplicacion T con respecto a B; T (B).(b) Para un elemento ~v en el dominio, cuya representacion tiene componentes c1,: : : , cn, representar la imagen T (~v) con respecto a la base de la imagen T (B).
2.3 Encontrar la imagen de la transformacion lineal de <2 representada con respectode la base estandar(canonica) por cada matriz:
(a)
1 00 0
(b)
0 03 2
(c) una matriz de la forma
a b2a 2b
X 2.4 Puede una misma matriz representar 2 diferentes aplicaciones lineales? Esto es,puede RepB;D(T ) = RepB;D(T )?
X 2.5 Hemos visto como representar rotaciones en el plano, alrededor del origen usandola base canonica. Ahora... en <3:(a) La rotacion de todos los vectores de <3 mediante un angulo alrededor del x esuna T de <3. Representarla con respecto a la base canonica.
Redenir la rotacion previa, de tal forma que si uno se coloca en el origen conla cabeza en (1; 0; 0), el movimiento de rotacion se ve en el sentido horario.(b) Repetir el previo, rotando alrededor del eje-y (mirando desde el extremo de ~e2.)(c) Repetir, acerca del eje-z.
X 2.6 Decidir si cada vector dado abajo, esta contenido en la imagen de la aplicacion de<3 a <2 representada con respecto a las bases canonicas por la matriz:
(a)
1 1 30 1 4
,
13
(b)
2 0 34 0 6
,
11
X 2.7 Sea V un espacio n-dimensional con bases B y D. Considerar una aplicacion Tque envia para cada ~v 2 V , el vector columna representando a ~v con respecto a Bal vector columna representando a ~v con respecto a la base D. Mostrar que es unatransformacion lineal de <n.
2.8 El hecho que para cualquier aplicacion lineal el rango de la matriz + la nulidadde ella es igual a la dimension del dominio V , muestra que una condicion necesariapara que exista una aplicacion lineal \suryectiva" entre los dos espacios, es decirsatisfaciendo: T (V ) = W , es que el codominio W no sea de dimension mayor que V .
26
3 Matrices Semejantes.
Consideremos un operador lineal sobre un espacio vectorial V n-dimensional...
L : V ! V
... La matriz de n n que representa a L depende de la base elegida en V .
... >Como se relacionan las diferentes matrices de representacion de un operador linealrelativas a bases ordenadas diferentes?
Respuesta: Consideremos lo siguiente
Si ...
E y E son dos bases ordenadas de V ;
A es la matriz de representacion de L con respecto a E;
A es la matriz de representacion de L con respecto a E;
S es la matriz de transicion de la base E a la base E (repasar este tema)
... entonces:
A = S1:A:S
Esquematicamente ...
Para justicar ese resultado ...Si
w = L (v) ; x = [v]E , y = [w]E ; x = [v]E , y = A:x = [w]E
27
... entonces como S es la matriz de transicion de E a E
y = S1:y
= S1: (A:x)
= S1: (A:S:x)
=S1:A:S
:x
= A:x
... entonces
y = A:x =S1:A:S
:x
Conclusion As ...... si y = Ax, respecto de la base E, y S es la matriz de transicion de la base E a la
base E,... A = S1:A:S es la matriz asociada a la transformacion respecto de la base E,... y = A:x es la representacion matricial respecto de la base E.
Ejemplo L : R2 ! R2 , denida por L (x) =
2x1
x1 + x2
.
Considerar las bases: E = [e1; e2], E = [u1;u2] con u1 =
11
y u2 =
11
.
Dado que ...
L (e1) =
21
y L (e2) =
01
la matriz de representacion de L con respecto a E = [e1; e2] es
A =
2 01 1
... Ahora cambiamos a E = [u1;u2] con u1 =
11
y u2 =
11
.
La matriz de transicion de E en E es
S = (u1;u2) =
1 11 1
La matriz de representacion de L con respecto a E es
A = S1:A:S =
=1
2
1 11 1
:
2 01 1
:
1 11 1
=1
2
1 11 1
:
2 22 0
=
2 10 1
28
Por ejemplo, si x =
31
, L (x) =
2x1
x1 + x2
=
64
con respecto a la base canonica.
Si lo pensamos con respecto a la base E = [u1;u2]
x = 2:
11
11
= 2:u1 u2
esto es
[x]E =
21
y
[L (x)]E = A: [x]E
=
2 10 1
:
21
=
51
Vericacion:
5:u1 u2 =
55
11
=
64
= L (x)
Matrices semejantes.
Denicion Dadas dos matrices A y B de nn; se dice que B es semejante a A si existeuna matriz S invertible (no singular) tal que
B = S1:A:S
Si B es semejante a A entonces
A =S:S1
:A:
S:S1
= S:
S1:A:S
:S1
= S:B:S1
=S1
1
:B:S1
y por tanto .... A es tambien semejante a B.
... A partir de lo anterior podemos decir que dos matrices cualesquiera que representena un mismo operador lineal, con respecto a diferentes bases, son \semejantes" (tambiense dice \ similares").
Recprocamente ...
... Si A representa a L con respecto a una base ordenada E = [v1; : : : ;vn], y Ses una matriz cualquiera no singular de n n, entonces B = S1:A:S es la matriz derepresentacion de L con respecto a la base ordenada [w1; : : : ;wn], donde
29
la base \nueva" que corresponde a tal matriz de representacion es : F = [w1; : : : ;wn]dada por
w1 = s11:v1 + s21:v2 + + sn1:vn
w2 = s12:v1 + s22:v2 + + sn2:vn...
...
wn = s1n:v1 + s2n:v2 + + snn:vn
Ejemplo L : R3 ! R3 , denido por L (x) = A:x, donde A =
0@2 2 01 1 21 1 2
1A.
Por denicion, A representa a L con respecto a la base canonica [e1; e2; e3]. Buscare-mos la matriz D que represente a L con respecto a la base [y1; y2; y3], donde
y1 =
0@ 110
1A ; y2 =
0@21
1
1A ; y3 =
0@111
1A
Calculamos
L (y1) = A:y1 = 0 = 0:y1 + 0:y2 + 0:y3
L (y2) = A:y2 = y2 = 0:y1 + 1:y2 + 0:y3
L (y3) = A:y3 = 4:y3 = 0:y1 + 0:y2 + 4:y3
y entonces
D =
0@0 0 00 1 00 0 4
1A
Tambien podemos calcular D mediante la matriz de transicion Y = (y1; y2; y3)
D = Y 1:A:Y
=
0@ 1 2 11 1 10 1 1
1A1
:
0@2 2 01 1 21 1 2
1A :
0@ 1 2 11 1 10 1 1
1A
=1
3
0@ 0 3 31 1 21 1 1
1A :
0@2 2 01 1 21 1 2
1A :
0@ 1 2 11 1 10 1 1
1A
=1
3
0@ 0 3 31 1 21 1 1
1A :
0@0 2 40 1 40 1 4
1A
=1
3
0@0 0 00 3 00 0 12
1A
=
0@0 0 00 1 00 0 4
1A
30
3.1 Propiedades importantes sobre matrices semejantes:
Si A y B son semejantes (n n) ...
1. Dos matrices semejantes tienen el mismo determinante
B = S1:A:S
=) detB = detS1:A:S
= det
S1
: (detA) : (detS)
= detS1
: (detS) : det (A) (porque det es un escalar)
= detS1:S
: det (A)
= detA
2. Si se considera la matriz \especial" denida mediante: ~A = A In, siendo In lamatriz identidad, In = diagonal(1; 1; : : : ; 1), y un escalar ...
~A =
0BBB@(a11 ) a12 a1n
a21 (a22 ) a2n...
. . ....
an1 an2 (ann )
1CCCA
y tambien consideramos ... ~B = B In.
Como A y B son semejantes, sabemos que B = S1AS.
... Entonces: S1 ~AS = S1(A In)S
... = (S1A S1In)S
... = (S1AS) In
... = B In = ~B. As ...
... hemos obtenido que tambien ~B y ~A son semejantes.
Ese resultado ) que det(A In) = det(B In).
... Este resultado sera de gran ayuda en una seccion proxima ( en Auto-valores).
3.2 Consultar en el libro de Grossman los temas:
(1) Se puede generalizar el tema anterior para L : <n ! <m, para obtener la relacionentre las matrices asociadas respecto de bases diferentes. Ver tal resultado en p.p.495.
(2) En pagina 495, leer Geometra de las transformaciones de <2 en <2, cuando lamatriz asociada AL invertible.
3.3 Para practicar ...
31
EjerciciosX 3.1 Dos matrices son semejantes si representan la misma transformacion, cada una
respecto a una base en V . Es decir , la matriz que representa a T respecto de la baseB1 :RepB1;B1
(T ) es semejante a la que la representa respecto de B2 : RepB2;B2(T ).
(a) Mostrar que si T es semejante a T entonces T 2 es semejante a T 2, los cubos deigual manera , etc.(b) Probar que las matrices T y T siguientes:
T =
1 00 0
0 01 0
\no son semejantes" ( ellas son equivalentes por las, pues una se obtiene de la otramediante operaciones elementales por las, pero no son semejantes!). Ayuda: Parahacer el ejercicio ver que ocurre con det(T In) y det(T I) (se mantieneniguales?) Observar, tambien que ocurre con las potencias de las matrices dadas,siguen siendo equivalentes?.
3.2 Supongamos que con respecto a la base canonica la transformacion L : <2 ! <2
esta representada por la matriz : 1 23 4
Usar cambio de base (y matriz de transicion) para representar L con respecto a labase de <2 dada por
(a) B = h
01
;
11
i,
(b) ~B = h
12
;
10
i,
32
4. Composicion de transformaciones lineales(operaciones sucesivas)
Consideremos dos transformaciones lineales L : V → W , G : W → U , con V , W ,U espacios vectoriales. Supongamos que primero aplicamos L sobre un vector v ∈ V , yluego aplicamos G sobre el vector resultante w = L(v) ∈ W . El resultado es el vector
u = (GL)(v) = G(L(v)) (1)
que pertenece al espacio vectorial U :
v→Lw→
Gu
En (1), GL : V → U denota la composicion de G con L (tambien escrita como GL),que es tambien una transformacion lineal.
Ejercicio: 4.1 Demostrar que si L : V → W y G : W → U son transformacioneslineales, entonces GL : V → U definida por (1), es tambien una transformacion lineal(probar que satisface (GL)(αv1 + βv2) = α(GL)(v1) + β(GL)(v2)).
Ejercicio: 4.2 Si L : R3 → R2 esta definida por L(x, y, z) = (x+ y, y + z),
y G : R2 → R2 esta definida por G(x, y) = (x+ y, 2x− 2y), encontrar una expresion para
(GL)(x, y, z) = G(L(x, y, z)).
4.1 Representacion matricial de la composicion
Consideremos primero que V = Rn, W = R
m y U = Rp, y sean ML, MG las represen-
taciones matriciales de L y G en las bases canonicas correspondientes, tal que ML es dem× n y MG de p×m. Entonces las coordenadas de w = L(v) pueden escribirse como
w1...
wm
= ML
v1...vn
y por lo tanto, las de u = G(L(v)) = G(w) como
u1...vp
= MG
w1...
wm
(2)
= MG (ML
v1...vn
) = (MG ML)
v1...vn
(3)
donde en el ultimo paso hemos usado la asociatividad del producto matricial. Esto implicaque la representacion matricial MGL de la composicion GL es el producto MG ML delas matrices que representan a G y L:
MGL = MG ML (4)
Observar que la matriz ML, que representa a la transformacion que se aplica primero (L),esta a la derecha de la matriz MG, que representa a la que se aplica a continuacion (G).
33
Ejemplo: En el ejercicio 4.2, en las bases canonicas de R3 y R2, obtenemos las repre-
sentaciones matriciales (verificar!)
ML =
(
1 1 00 1 1
)
, MG =
(
1 12 −2
)
tal que
L
xyz
=
(
1 1 00 1 1
)
xyz
=
(
x+ yy + z
)
G
(
xy
)
=
(
1 12 −2
)(
xy
)
=
(
x+ y2x− 2y
)
Por lo tanto,
(GL)
xyz
=
(
1 12 −2
)(
1 1 00 1 1
)
xyz
=
(
1 2 12 0 −2
)
xyz
=
(
x+ 2y + z2x− 2z
)
(5)
o sea, MGL = MG ML =
(
1 2 12 0 −2
)
, con (GL)(x, y, z) = (x+ 2y + z, 2x− 2z).
En el caso general, para representaciones matriciales en bases arbitrarias BV , BW y BU
de V , W , U , se obtiene tambien MGL = MG ML, con ML = RepBW ,BV
(L), MG = RepBU ,BW
(G) y
MGL = RepBU ,BV
(GL). Esto es valido para espacios vectoriales generales de dimension finita.
4.2 Potencias de operadores lineales
Si W = V , la transformacion lineal L : V → V se denomina tambien operador linealo endomorfismo. Queda en este caso definido el cuadrado L2 = LL como la composicionde L con L:
L2(v) = L(L(v)) (6)
SiML es la representacion matricial de L en una cierta base de V , los resultadoa anterioresimplican que la representacion matricial de L2 es el cuadrado de la matriz ML:
ML2 = ML ML = M2L (7)
En general, la potencia Lk ∀ k ≥ 2 queda definida por
Lk(v) = L(Lk−1(v)), k ≥ 2
34
y su representacion matricial es
MLk = ML MLk−1 = MkL
es decir, la potencia k de la matrizML. Por definicion, L0 = I, con I el operador identidad.
Y si L es un operador lineal inversible (o sea un automorfismo: un isomorfismo de Ven V ), de forma que exista la transformacion inversa L−1 tal que L−1L = LL−1 = I(o sea, (L−1L)(v) = v ∀ v ∈ V ) entonces
ML−1 = M−1L (8)
La representacion matricial de la inversa L−1 es la inversa de la matriz ML que repre-senta a L. Un automorfismo queda pues representado por una matriz ML no singular(det(ML) 6= 0).
Ejercicio: 4.3 Probar que si ∃ L−1, ML−1 = M−1L .
Ejemplo: Si L : R2 → R2 esta dado por L
(
xy
)
=
(
2x+ y−x− 2y
)
, su representacion
matricial en la base canonica es (probar!)
ML =
(
2 1−1 −2
)
La representacion matricial de L2 es entonces
ML2 = M2L =
(
2 1−1 −2
)(
2 1−1 −2
)
=
(
3 00 3
)
de forma que
L2
(
xy
)
=
(
3 00 3
)(
xy
)
=
(
3x3y
)
es decir, L2(x, y) = (3x, 3y), lo que equivale a L2 = 3I, con I el operador identidad.
Ademas, como ML es no singular, L es inversible y la representacion matricial de suinversa esta dada por
ML−1 = M−1L =
1
3
(
2 1−1 −2
)
de forma que
L−1
(
xy
)
=1
3
(
2 1−1 −2
)(
xy
)
=1
3
(
2x+ y−x− 2y
)
o sea, L−1 = L/3. Se verifica entonces L−1L = I (probar!).
35
Ejercicio: 4.4 Si L : R3 → R3 queda definido por L(x, y, z) = (y, x,−z),
i) mostrar que en la base canonica,
ML =
0 1 01 0 00 0 −1
ii) Hallar M2L y verificar que L2 es el operador identidad.
Ejercicio: 4.5 Sea P2 el subespacio de los polinomios reales de grado ≤ 2.Si D : P2 → P2 denota el operador derivada (D(tn) = ntn−1), i) mostrar que la represen-tacion matricial de D en la base 1, t, t2 es
MD =
0 1 00 0 20 0 0
ii) Hallar la representacion matricial en esta base de la derivada segunda D2 = DD, yverifcar que MD2 = M2
D.
4.4 Composicion de transformaciones lineales en R2
Consideremos ahora algunos ejemplos de operadores lineales L : R2 → R2. La reflexion
de un vector v respecto de la recta y = x esta dada por (recordar!)
L
(
xy
)
=
(
0 11 0
)(
xy
)
=
(
yx
)
siendo su representacion matricial en la base canonica ML =
(
0 11 0
)
.
Es evidente de la definicion que L2(xy) = (xy), o sea, L2 = I (operador identidad), veri-ficandose que M2
L = (1 00 1) (probar!).
La rotacion de angulo π/2 en sentido antihorario de un vector v esta dada por
R
(
xy
)
=
(
0 −11 0
)(
xy
)
=
(
−yx
)
y=x
v
LHvL
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0y
v
RHvL
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0y
36
siendo su representacion matricial en la base canonica MR =
(
0 −11 0
)
.
Consideremos ahora la transformacion lineal RL que primero refleja un vector respecto dela recta y = x y luego lo rota un angulo de π/2 en sentido antihorario. Su representacionmatricial en la base canonica sera
M(RL) = MR ML =
(
0 −11 0
)(
0 11 0
)
=
(
−1 00 1
)
y por lo tanto,
RL
(
xy
)
=
(
−1 00 1
)(
xy
)
=
(
−xy
)
Esto representa una reflexion respecto del eje y (mostrar!).
Por otro lado, la transformacion lineal LR, que primero rota un vector un angulo deπ/2 en sentido antihorario y luego lo refleja respecto de la recta y = x, queda representa-da por la matriz
M(LR) = MLMR =
(
0 11 0
)(
0 −11 0
)
=
(
1 00 −1
)
y por lo tanto,
LR
(
xy
)
=
(
1 00 −1
)(
xy
)
=
(
x−y
)
Esto representa una reflexion respecto del eje x (mostrar!).
vRLHvL
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0y
v
LRHvL
-1.0 -0.5 0.5 1.0x
-1.0
-0.5
0.5
1.0y
Por lo tanto, vemos que el resultado final depende del orden de la composicion, loque se refleja en la no conmutatividad del producto matricial asociado.
Se define el conmutador de dos operadores L : V → V , G : V → V como
[G,L] = GL− LG
37
que es en general un operador no nulo. La matriz que lo representa en una base de V esel conmutador de las matrices que representan a G y L en dicha base:M[G,L] = MG ML −ML MG. En el ejemplo anterior se obtiene
MR ML −ML MR =
(
−1 00 1
)
−
(
1 00 −1
)
= 2
(
−1 00 1
)
que implica RL− LR = 2RL.
Mencionemos finalmente que la proyeccion ortogonal de un vector sobre el eje x esta dadapor (graficar!)
Px
(
xy
)
=
(
1 00 0
)(
xy
)
=
(
x0
)
y la proyeccion ortogonal de un vector sobre el eje y esta dada por
Py
(
xy
)
=
(
0 00 1
)(
xy
)
=
(
0y
)
Ejercicio 4.6 Sea F es el operador lineal que primero rota todo vector un angulo π/2 ensentido antihorario y luego lo proyecta sobre el eje x. Hallar su representacion matricialen la base canonica y una expresion para F (xy).
Ejercicio 4.7 Sea G es el operador lineal que primero proyecta todo vector sobre eleje x y luego lo rota un angulo π/2 en sentido antihorario. Hallar su representacion ma-tricial en la base canonica y una expresion para G(xy).
Ejercicio 4.8 a) Hallar la representacion matricial en la base canonica de la inversade los operadores R, y L anteriores.b) ¿Tienen Px y Py inversa?c) Encuentre la representacion matricial de PxPy y PyPx. Justificar el resultado.
Ejercicio 4.9 a) Mostrar que la representacion matricial en la base canonica de unareflexion respecto de la recta y = kx, con tan θ = k, es
(
cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ
)
Halle su determinante.b) Recordando que la representacion matricial en la base canonica de una rotacion deangulo θ antihorario es
(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)
mostrar que la composicion de dos rotaciones es otra rotacion. Halle tambien el determi-nante de la matriz anterior. ‘c) Muestre que la composicion de dos reflexiones es una rotacion.d) Muestre que la composicion de una reflexion con una rotacion es otra reflexion.
38
Matematica C
II. Proyecciones. Bases Ortogonales
– 1 –
1 Proyeccion
En secciones previas hemos usado la proyeccion de vectores de <3 sobre el plano xy(subespacio). Esta proyeccion muestra como el vector cae sobre su sombra.
Una descripcion es : La proyeccion del ~v es el vector ~p en el plano xy con la propiedadque si alguien camina y se detiene sobre el extremo de ~p mirando hacia arriba (o abajosegun corresponda) en l nea recta ve el extremo del vector ~v.
En esta seccion generalizaremos a otras proyecciones.
1.1 Proyeccion Ortogonal sobre una recta
Primero consideramos de nuevo la proyeccion ortogonal sobre una recta que pasa por elorigen (dirigida por un vector s) .
Proyectar ortogonalmente un vector ~v sobre una recta ` dirigida por s, da un puntosobre la recta tal que si alguien se detiene sobre la recta en ese punto y mira desde ah enlinea recta hacia arriba (o abajo) ve el extremo de ~v.
2
El dibujo muestra a alguien que ha caminado sobre la recta hasta un punto donde el ~vesta sobre su cabeza en linea recta. Eso es, camino sobre la recta ` = fc ~s c 2 <g, hastahallar el punto cp ~s determinado por el coeciente cp en la direccion de s. La persona hacaminado hasta encontrar el coeciente cp con la propiedad que el vector ~v cp ~s sea \ortogonal" a cp ~s (a la recta donde camina) .
Como calculamos el coeciente cp ?.Observamos que la diferencia ~v cp~s debe ser ortogonal al multiplo escalar de ~s , es
decir que esa diferencia de vectores debe ser ortogonal al propio ~s . En consecuencia elproducto escalar ...
... debe satisfacer (~v cp~s) ~s = 0.
As desde esa igualdad se despeja : cp = ~v ~s=~s ~s.
Denicion La proyeccion ortogonal de ~v sobre la recta (que pasa por el origen) generadapor el vector no nulo ~s es el vector
cp~s
...
proj[~s ](~v) =~v ~s~s ~s ~s
Observar que el resultado del calculo solamente depende de la direccion de la recta y node la longitud del vector ~s usado para denir la recta.
Ejemplo Para hacer la proyeccion ortogonal del23
sobre la recta y = 2x, primero
obtenemos un vector que indica la direccion de la recta. Por ejemplo,
~s =
12
... Luego los calculos son los de rutina.
2 3
0@12
1A
1 2
0@12
1A12
=
8
512
=
8=516=5
3
Ejemplo En <3, la proyeccion ortogonal de un vector arbitrario0@xyz
1A
sobre el eje- y es
x y z
0@010
1A
0 1 0
0@010
1A0@010
1A =
0@0y0
1A
lo cual se corresponde con lo esperado por nuestra intuicion. Gracar.
Otra forma de pensar la proyeccion de v sobre la recta...Desde el dibujo que precede a la denicion observamos que el vector ~v se ha descom-
puesto en dos partes:(1) La parte sobre la recta: ~p = cp~s), que es el vector proyectado; y...(2) la parte que es ortogonal a la recta: ~v cp~s.As la proyeccion ortogonal de ~v sobre la recta generada por ~s es la parte del ~v que
yace en la direccion del vector ~s.
Una forma util de pensar la proyeccion ortogonal de ~v sobre la recta indicada ...... es pensar que la proyeccion de ~v es el vector o punto en la recta que esta mas cerca
a ~v. Es decir hallar en la recta el punto cuya distancia al v es mnima. Repasar el dibujo.
Problema.Dada una recta que no pasa por el origen.... La proyeccion de ~v sobre esa recta es el vector o punto en la recta que esta mas
cerca a ~v. Es decir, se debe hallar en la recta el punto cuya distancia al v es mnima.Gracar.
... > Como puede hallar el punto sobre esa recta que esta mas cerca de v?.
En la seccion proxima vemos como la proyeccion de un vector en la direccion deotro nos da un procedimiento para construir \bases de espacios vectoriales" con vectoresortogonales entre si.
EjerciciosX 1.1 Proyectar el primer vector ortogonalmente sobre la recta que pasa por el origen
generada por el segundo vector.
(a)
21
,
32
(b)
21
,
30
(c)
0@114
1A,
0@ 1
21
1A (d)
0@114
1A,
0@ 3
312
1A
X 1.2 Proyectar el vector dado ortogonalmente sobre la recta indicada.
4
(a)
2−14
, ℓ =
c
3−13
| c ∈ ℜ
(b)
(
−1−1
)
, la recta y = 2x
1.3 Aunque lo desarrollado ha sido guiado por representaciones graficas, no nos restrin-gimos a espacios que podemos dibujar. Por ejemplo, en ℜ4, proyectar ~v sobre la recta ℓ,con
~v =
1213
ℓ =
c ·
−11−11
|c ∈ ℜ
1.4 Consideremos en ℜ2 la proyeccion ortogonal sobre la recta generada por ~s =
(
13
)
.
(a) Proyectar ~v =
(
12
)
sobre la direccion de ~s.
(b) Mostrar que la proyeccion de un vector general ~v =
(
xy
)
sobre la direccion de ~s es
proj [~s]
(
xy
)
=
(
x+ 3y3x+ 9y
)
/10
(c) Encontrar la representacion matricial en la base canonica de esta proyeccion.
1.5 Al proyectar un vector ~v, la proyeccion separa a ~v en dos partes: proj [~s] (~v) y~v − proj [~s] (~v), que son vectores ortogonales.(a) Mostrar que si son no nulos, forman un conjunto linealmente independiente.(b) ¿Que es la proyeccion ortogonal de ~v sobre una recta que pasa por el origen si ~vesta contenido en esa recta? ¿Como es ~v − proj [~s] (~v) en este caso?(c) Mostrar que si ~v no esta en la recta y no es perpendicular a ~s entonces el conjunto~v, ~v − proj [~s] (~v) es linealmente independiente.1.6 Mostrar que la proyeccion de ~v en la recta generada por ~s tiene longitud igual alvalor absoluto del numero ~v · ~s dividido por la longitud del vector ~s .1.7 Encontrar la formula para la distancia de un punto a una recta que pasa por el origen.1.8 Encontrar el escalar c tal que c~s = (cs1, cs2) este a mınima distancia del punto (v1, v2),utilizando minimizacion de funciones. Generalizar a ℜn.1.9 Probar que la longitud de la proyeccion ortogonal de un vector ~v sobre una recta esmas corta que la del vector ~v.
1.2 Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
En la seccion previa se sugirio que al proyectar sobre la recta (que pasa por el origen),dirigida por un vector ~s, se descompone al vector ~v en dos vectores que son ortogonales:
~v = proj [~s] (~v) +(
~v − proj [~s] (~v))
Luego, ~v es suma de dos vectores ortogonales. Si ambas partes son no nulas (¿cuandopodrıa ocurrir otra cosa?) son dos vectores linealmente independientes por ser ortogonales.
Ahora, trabajamos sobre esa idea ...
5
Denicion Los vectores ~v1; : : : ; ~vk 2 <n son mutuamente ortogonales si todo par devectores son ortogonales: Si i 6= j entonces el producto escalar ~vi ~vj es cero, para todopar i , j.
As ...
Teorema Si los vectores de un conjunto f~v1; : : : ; ~vkg <n son no nulos y mutuamenteortogonales entonces el conjunto es linealmente independiente.
Demostracion. Considerar la combinacion lineal c1~v1+c2~v2+ +ck~vk = ~0. Si i 2 [1::k]entonces tomando el producto escalar de ~vi a ambos lados de la igualdad
~vi (c1~v1 + c2~v2 + + ck~vk) = ~vi ~0ci (~vi ~vi) = 0
muestra, como ~vi es no nulo, que ci es cero. Vale para cada i = 1; :::k. Luego, los kvectores son linealmente independientes.
Corolario Si hay p vectores no nulos que son mutuamente ortogonales en un espaciop dimensional ) ese conjunto es una \base" para ese espacio.
Demostracion. Todo conjunto de p vectores linealmente independientes de un espaciode dimension p es una base.
Por supuesto, la recproca del teorema no vale, ya que \|No toda base de un sube-spacio de dimension p de <n tiene sus p vectores mutuamente ortogonales".
Sin embargo, podemos alcanzar una recproca \parcial" en el sentido que \ para todosubespacio de <n existe al menos una base de vectores mutuamente ortogonales".
Ejemplo Los vectores ~1 y ~2 de esta base de <2 no son ortogonales.
B = h42
;
13
i
... Sin embargo, podemos encontrar desde B una \ nueva base" para el mismo espaciocuyos vectores sean \mutuamente" ortogonales. Para el primer vector de la nueva baseusamos el mismo de B, usamos ~1. As
~1 =
42
Para construir el segundo de la \nueva" base, tomamos uno ortogonal al primero...... tomamos desde ~2 la \parte" que es ortogonal a la direccion del ~1,
~2 =
1
3
proj[~1](
1
3
) =
1
3
2
1
=
12
... y sera , ~2 (la parte del vector ~2 que es ortogonal a ~1)Notar que, por el corolario, f~1; ~2g es una base para <2.
6
Denicion Una base ortogonal para un espacio vectorial es una base de vectores \mutuamente ortogonales".
Ejemplo Para pasar de una base de <3
h0@111
1A ;
0@021
1A ;
0@103
1Ai
a una base ortogonal, como antes tomamos como primer vector el primer vector de la basedada.
~1 =
0@111
1A
Para obtener el segundo ~2, comenzamos con el segundo vector de la base dada ~2 y lesustraemos la parte de el que es la proyeccion sobre ~1.
~2 =
0@020
1A proj[~1](
0@020
1A) =
0@020
1A
0@2=32=32=3
1A =
0@2=34=32=3
1A
Finalmente, para obtener ~3 tomamos el tercer vector dado y le sustraemos la parte de elen la direccion de ~1, y tambien la parte del mismo en la direccion de ~2.
~3 =
0@103
1A proj[~1](
0@103
1A) proj[~2](
0@103
1A) =
0@10
1
1A
... El corolario dice que ....
h0@111
1A ;
0@2=34=32=3
1A ;
0@10
1
1Ai
es una base de <3.
Para generalizar...El resultado proximo verica que el procedimiento dado en los ejemplos genera una
base ortogonal, para un subespacio de <n, a partir de una base dada. Nos restringimos a<n porque no hemos dado una denicion de ortogonalidad general para otros espacios.
...
Teorema ( Ortogonalizacion de Gram-Schmidt ) Si h~1; : : : ~ki es una base paraun subespacio de <n entonces
~1 = ~1
~2 = ~2 proj[~1](~2)
~3 = ~3 proj[~1](~3) proj[~2](
~3)...
~k = ~k proj[~1](~k) proj[~k1](
~k)
Los ~ 's forman una base ortogonal para el mismo subespacio.
7
Demostracion. Se usa induccion para chequear que cada ~i es no- cero, y esta enel subespacio generado por h~1; : : : ~ii y es ortogonal a todos los vectores precedentes:~1 ~i = = ~i1 ~i = 0.
Con eso, tendremos que h~1; : : : ~ki es una base para el mismo espacio como lo es
h~1; : : : ~ki.Cubrimos los casos hasta i = 3, lo cual da sentido a los argumentos. Para completar
detalles ver la bibliografa.El caso para i = 1 es inmediato o trivial ya que ~1 es igual a ~1, lo hace un vector no
nulo (~1 6= 0), y es la misma direccion y subespacio.Para el caso i = 2, desde la denicion de ~2.
~2 = ~2 proj[~1](~2) = ~2
~2 ~1~1 ~1 ~1 =
~2 ~2 ~1~1 ~1
~1
Esta expansion muestra que ~2 no es cero, o sino habra una dependencia lineal entre losvectores ~'s (es no trivial porque el coeciente de ~2 es 1) y tambien muestra que ~2 estaen el subespacio generado. Finalmente, ~2 es ortogonal al unico vector precedente
~1 ~2 = ~1 (~2 proj[~1](~2)) = 0
porque esta proyeccion es ortogonal.El caso i = 3 es el mismo que para i = 2, excepto por un detalle. Como en el caso
i = 2, expandiendo la denicion
~3 = ~3 ~3 ~1~1 ~1 ~1
~3 ~2~2 ~2 ~2
= ~3 ~3 ~1~1 ~1
~1 ~3 ~2~2 ~2
~2
~2 ~1~1 ~1
~1
muestra que ~3 no es cero y esta en el subespacio generado. El calculo muestra que ~3 esortogonal al precedente vector ~1.
~1 ~3 = ~1 ~3 proj[~1](
~3) proj[~2](~3)
= ~1 ~3 proj[~1](
~3) ~1 proj[~2](~3)
= 0
La diferencia con el caso i = 2|es que la segunda linea tiene dos clases de terminos. Elprimero, es cero porque la proyeccion es ortogonal, como en el caso i = 2. El segundotermino es cero porque ~1 es ortogonal a ~2, y es ortogonal a cualquier vector en la rectagenerada por ~2.) El chequeo que ~3 es tambien ortogonal al otro precedente vector ~2 essimilar.
Una vez que se tiene la base de vectores ortogonales, se puede pasar a una base dondeademas cada vector tiene longitud unitaria. Para eso, cada vector de la base ortogonal sedivide por su propia longitud (se normalizan las longitudes).
8
Ejemplo Normalizar la longitud de cada vector de la base ortogonal del ejemplo previoproduce la base ortonormal .
h0@1=
p3
1=p3
1=p3
1A ;
0@1=
p6
2=p6
1=p6
1A ;
0@1=
p2
0
1=p2
1Ai
Una base ortonormal simplica muchos calculos como se vera en algunos ejercicios.
Ejercicios2.1 Realizar el procedimiento de Gram-Schmidt sobre cada base de <2, para obtenerbases ortonormales.
(a) h11
;
21
i (b) h
01
;
13
i (c) h
01
;
10
i
X 2.2 Idem el ejercicio previo para las siguientes bases de <3.
(a) h0@222
1A ;
0@ 1
01
1A ;
0@031
1Ai (b) h
0@ 110
1A ;
0@010
1A ;
0@231
1Ai
Luego normalizar los vectores.
X 2.3 Encontrar una base ortonormal para el subespacio de <3: el plano x y + z = 0.Ayuda: parametrizar el plano usando los parametros y , z.
f0@xyz
1A x = y zg = f
0@110
1A y +
0@10
1
1A z y; z 2 <g
Considerar esa base.
h0@110
1A ;
0@10
1
1Ai
2.4 Encontrar bases ortonormales para el subespacio de <4.
f
0BB@xyzw
1CCA x y z + w = 0 and x + z = 0g
Reduciendo el sistema linealx y z +w = 0x + z = 0
1+
2! x y z + w = 0y + 2z w = 0
y parametrizando da la descripcion del subespacio, hallar una base.
2.5 Mostrar que cualquier subconjunto linealmente independiente de <n puede serortonormalizado sin cambiar el subespacio generado. Por ejemplo , con
S = f12
;
36
g
alcanzaramos
~1 =
12
~2 =
36
proj[~1](
36
) =
00
2.6 Encontrar un vector en <3 que es ortogonal a ambos vectores dados:0@ 1
51
1A
0@220
1A
9
X 2.7 Una ventaja de las bases ortonormales es que ellas simplican la representacion deun vector con respecto a esa base.(a) Representar el vector respecto de la base indicada de <2
~v =
23
B = h
11
;
10
i
Primero representar el vector con respecto a la base. Luego proyectar el vector sobrecada elemento de la base. [~1] y [~2].(b) Con la base ortogonal dada para <2
K = h11
;
11i
representar el mismo vector ~v con respecto de esa base. Luego proyectar el vectorsobre cada elemento de esta base. Notar que los coecientes en la representacion yen la proyeccion son los mismos.(c) Dada una base ortogonal K = h~1; : : : ; ~ki para un subespacio de <n. Probarque para cualquier ~v en el subespacio, la i-th componente de la representacion de ven esa base es el coeciente escalar (~v ~i)=(~i ~i) de la proj[~i](~v ).(d) Probar que ~v = proj[~1](~v ) + + proj[~k](~v ).
2.8 Mostrar que las columnas de una matriz nn forman una base ortonormal si ysolo si la inversa de la matriz es su transpuesta.
Este es un ejemplo: 0@ 1=
p2 1=
p2 0
1=p2 1=p2 0
0 0 1
1A
Para generalizar ...
1.3 Subespacios ortogonales. Proyeccion sobre un Subespacio.
Al proyectar un vector sobre una recta se lo ha descompuesto en dos partes: la parteque yace sobre la recta proj[~s ](~v ), y lo que resta ~v proj[~s ](~v ) que es ortogonal a la recta.Para generalizar a arbitrarios subespacios, se sigue la misma idea.
Para eso denimos...
Denicion Dos dos subespacios S1 y S2 de <n, son ortogonales si para todo x 2 S1 ytodo y 2 S2 se cumple que el producto escalar x y = 0.
Ejemplo:(a) En <3, el eje x es un subespacio ortogonal al eje y.... Otro ejemplo:(b) El eje z es ortogonal al subespacio determinado por el plano xy.( c) Pensar otros.
Con mas condiciones ...
Denicion El complemento ortogonal de un subespacio S de <n es
S? = f~v 2 <n ~v es perpendicular a todos los vectores en Sg
(se lee \S perp"). La proyeccion ortogonal sobre un subespacio S projS(~v ) de un vectores la proyeccion sobre S a lo largo de S?.
10
Veamos como obtener el subespacio \ ortogonal complementario" de un subespacio Sdado.
... Se obtendra a partir de analizar lo que sigue.
Observacion Consideremos ... las matrices A de m n
... El espacio nulo de ellas es N(A) = fx : x 2 <n : Ax = 0g <n
Por tanto, el subespacio N(A) es \ortogonal" a cada la de A,...... es \ortogonal a cualquier combinacion" de las las de A.
As ...
... N(A) es ortogonal al subespacio generado por las las de A.Otra forma de decir lo mismo ...... N(A) <n es \ortogonal" al subespacio generado por las columnas de AT . Se
acostumbra a denotar R(AT ) al subespacio generado por las columnas de AT (o las deA), y satisface R(AT ) <n).
... Sabemos que dim(N(A)) + dim(R(AT )) = n, que es la dimension de <n. Luego ...
... N(A) es el \ complemento ortogonal" del subespacio generado por las las de A ,o lo que es igual, es el complemento ortogonal al subespacio generado por las columnasde AT , denominado R(AT ). El unico elemento en comun entre ellos es el 0 vector, y lasuma de sus dimensiones es n, que es la dimension del espacio total <n.
... Entonces N(A) = (R(AT ))?.
Ademas...
... el espacio generado por las columnas de A (m n), son todos los vectores de <m
que son combinaciones de las columnas de A, se denota:R(A) = fb : b 2 <m : b =
Pn
j=1 ajxj = Axg <m.... Y el \ complemento ortogonal de ese subespacio R(A) es el conjunto ortogonal a
las columnas de A. Es el anulador o espacio nulo de las columnas de A. Si ahora seconsidera AT , el complemento ortogonal de las las de AT es el N(AT ) <m . Entonces...
... dim(N(AT )) + dim(R(A)) = m, ...
... (R(A))? = N(AT ). As para obtener el subespacio ortogonal complementario deR(A), se calcula el N(AT ) = fy : y 2 <m; tal que ATy = 0g.
11
Veamos....
Ejemplo En <3, para encontrar el complemento ortogonal del plano
P = f0@xyz
1A 3x+ 2y z = 0g
comenzamos con una base de P .
A = h0@103
1A ;
0@012
1Ai
Cualquier ~v perpendicular a todo vector en la base A es perpendicular a todo vector delsubespacio generado por esa base B
Por tanto,...... el subespacio P? consiste de los vectores que satisfacen las dos (2) condiciones ...
1 0 3
0@v1v2v3
1A = 0
0 1 2
cdot
0@v1v2v3
1A = 0
... Podemos expresar estas condiciones mas compactamente como un sistema lineal...
P? = f0@v1v2v3
1A
1 0 30 1 2
0@v1v2v3
1A =
00
g
As ... basta con encontrar el espacio nulo de la aplicacion representada por la matriz.As ... calculando la solucion del sistema homogeneo ...
P? = f0@v1v2v3
1A v1 + 3v3 = 0
v2 + 2v3 = 0g = fk
0@32
1
1A k 2 <g
12
Problema Si S es el subespacio dado por plano-xy de <3, que es S??
Un primer intento de respuesta es que S? es el plano yz-plane, ...... pero eso no es cierto !!!.Algunos vectores del plano yz no son perpendiculares a todo vector del plano xy.
0@1
1
0
1A 6?
0@0
3
2
1A = arccos(
1 0 + 1 3 + 0 2p2 p13
) 0:94 rad
... Ciertamente S? es el eje-z, ya que considerando la base natural en el plano-xy seobtiene ...
S? = f0@xyz
1A 1 0 0
0 1 0
0@xyz
1A =
00
g = f
0@xyz
1A x = 0 and y = 0g
Los dos ejemplos que hemos visto ilustran la primer sentencia de la denicion desubespacios ortogonales complementarios.
Sigamos con subespacios de <n....... Hemos visto que si S es un subespacio para hallar su complemento ortogonal basta
formar una matriz A con columnas dadas por una base de S, y luego hallar el N(AT ).Ademas dim(N(AT )) + dim(R(A)) = n. Se ve claramente que ambos subespacios soncomplementarios.
... Si se tiene una base de S (de dimension k): fv1; v2; :::vkg; y una base de S? (dedimension n k): fu1; u2; :::unkg, entonces la union de ellas es una base de <n.
... As cada vector de x 2 <n se puede escribir un vocamente como combinacion deesos vectores, y se ve que x se separa en una suma de dos vectores:
x = xS + xS?.Luego... <n = S S?.El resultado siguiente justica la segunda sentencia.
Lema Si S es un subespacio de <n. El complemento ortogonal de S es tambien unsubespacio.
Ademas, para cualquier ~v 2 <n, se puede descomponer ~v = projS(~v ) + projS(~v )?.
As <n = SL
S?.
Para encontrar la proyeccion ortogonal sobre un subespacio...... el siguiente resultado da una forma de hacerla.
Teorema Sea ~v un vector en <n y sea S un subespacio de <n con base h~1; : : : ; ~ki. SiA es la matriz cuyas columnas son los ~'s entonces projS(~v ) = c1~1+ +ck~k donde loscoecientes ci son las coordenadas del vector (ATA)AT ~v. As projS(~v ) = A(ATA)1AT ~v.
Demostracion. El vector projS(~v) es un elemento de S y as es una combinacion lineal
de una base de ese subespacio c1 ~1 + + ck ~k. Como las columnas de A son los~'s, eso puede expresarse : existen coecientes ~c 2 <k tal que projS(~v ) = A~c (expresadocompactamente por medio de la multiplicacion matriz por vector).
13
Como ~vprojS(~v ) es perpendicular a cada elemento de la base, tenemos (expresandocompactamente).
~0 = AT~v A~c
= AT~v ATA~c
Resolviendo para ~c ( mostrando que ATA es invertible como ejercicio)
~c =ATA
1AT ~v
da la formula matricial de la proyeccion ... projS(~v ) = A ~c = A(ATA)1AT :c, si lascolumnas de A son una base de S.
Ejemplo Proyectar ortogonalmente este vector en el subespacio que se indica:
~v =
0@ 111
1A S = f
0@xyz
1A x+ z = 0g
Primero, formar una matriz cuyas columnas son una base del subespacio
A =
0@0 11 00 1
1A
... y luego calcular
AATA
1AT =
0@0 11 00 1
1A 0 1
1=2 0
1 0 10 1 0
=
0@ 1=2 0 1=2
0 1 01=2 0 1=2
1A
Con esta matriz, calcular la projeccion ortogonal sobre S de cualquier vector es facil.
projS(~v) =
0@ 1=2 0 1=2
0 1 01=2 0 1=2
1A0@ 111
1A =
0@ 010
1A
La proyeccion sobre un subespacio es una generalizacion, el esquema muestra comodenir proyeccion ortogonal sobre cualquier subespacio de <n, de cualquier dimension.
14
EjerciciosX 3.1 Encontrar S? siendo S:
(a) S = fxy
x + y = 0g (b) S = fxy
2x + 3y = 0g
(c) S = fxy
x y = 0g (d) S = f~0 g (e) S = fxy
x = 0g
(f) S = f0@xyz
1A x + 3y + z = 0g (g) S = f
0@xyz
1A x = 0 and y + z = 0g
3.2 Formas distintas para proyectar ortogonalmente: Compararlas, considerando elplano P especicado por 3x + 2y z = 0 en <3.(a) Encontrar una base para P .(b) Encontrar P? y una base para P?.(c) Representar el vector siguiente con respecto a la base de <3 proveniente de ambasbases.
~v =
0@112
1A
(d) Encontrar la proyeccion ortogonal de ~v en P dejando la parte sobre P desde elprevio item.(e) Chequear usando la forma matricial
X 3.3 Chequear las tres formas diferentes para proyectar un vector sobre una recta.
(a) ~v =
13; M = f
xy
x+ y = 0g
(b) ~v =
0@012
1A ; M = f
0@xyz
1A x + z = 0 and y = 0g
3.4 Que es la proyeccion ortogonal en el subespacio S = f0g.3.5 Mostrar que si S <n es un subespacio con base ortonormal h~1; : : : ; ~ni entoncesla proyeccion ortogonal de ~v en Ses :
(~v ~1) ~1 + + (~v ~n) ~n
~v = proj[~1](~v ) + + proj[~n](~v ) =~v ~1~1 ~1 ~1 + + ~v ~n
~n ~n ~nX 3.6 Mostrar que si un vector es perpendicular a un conjunto entonces es perpendicular
a todo vector en el subespacio generado por ese conjunto.
3.7 Es verdadero o falso : la interseccion de un subespacio y su complemento ortogonales el f0g.3.8 (a) Mostrar que si las columnas de A forman un conjunto linealmente indepen-
diente entonces ATA es invertible(b) Mostrar que si las columnas de Ason mutuamente ortogonales y no nulas entoncesATA es la matriz identidad
3.9 Mostrar que la matrix de proyeccion A(ATA)1AT es simetrica.
15
1.4 Proyeccion ortogonal y aproximacion de cuadrados mınimos
La proyeccion ortognal de un vector ~v ∈ Rn sobre un subespacio S ⊂ Rn puedetambien verse como la mejor aproximacion al vector v basada en un vector de S. Si sedesea aproximar ~v mediante un vector ~wS ∈ S, la mejor aproximacion se lograra eligiendo~wS como el vector de S mas cercano a ~v, y tal vector es entonces la proyeccion ortogonal
~vS = projS(~v) .
En efecto, la distancia al cuadrado de ~v a un vector arbitrario ~wS de S es
D2 = |~v − ~wS|2 = |(~v − ~vS)− (~wS − ~vS)|2
= |~v − ~vS|2 + |~vS − ~wS|2 − 2(~v − ~vS) · (~wS − ~vS)
= |~v − ~vS|2 + |~vS − ~wS|2
donde |~u|2 = ~u · ~u es la longitud al cuadrado de un vector ~u y en el ultimo paso hemosutilizado que ~v − ~vS es ortogonal a todo vector de S, por lo que (~v − ~vS) · (~wS − ~vS) = 0.Por lo tanto, el valor mınimo de D2 se obtiene para ~wS = ~vS, con
D2min = |~v − ~vS|2 = |~v|2 − |~vS|2
Si S es generado por un conjunto linealmente independiente de vectores (~w1, . . . , ~wk),k ≤ n, el resultado dado en la ultima seccion asegura que ~vS = c1 ~w1 + . . . ck ~wk, con~c = (c1, . . . , ck)T dado por
~c = (ATA)−1AT ~v (1)
es decir, ~c es la solucion del sistema
(ATA)~c = AT ~v
donde A = (~w1, . . . , ~wk) es una matriz de n× k y ATA de k × k es no singular.Un ejemplo corriente de aplicacion es el ajuste de los valores f(xi) de una funcion
f : R→ R para un conjunto de puntos (x1, . . . , xn), por un polinomio de grado k,
P (x) = c0 + c1x + c2x2 + . . . + ckx
k
con k normalmente menor o mucho menor que n, y c0, . . . , ck los coeficientes a ajustar.Lo que se desea es elegir el polinomio que minimiza la suma de la diferencia de cuadrados
D2 =n∑
i=1
[f(xi)− P (xi)]2 (2)
ya que en general no existira un polinomio de grado k < n−1 que reproduzca exactamentelos n datos f(xi), es decir, que satisfaga P (xi) = f(xi) para i = 1, . . . , n.
Definiendo el vector ~v = (f(x1), . . . , f(xn)) ∈ Rn, y los k + 1 vectores ~w0 = (1, . . . , 1),~w1 = (x1, . . . , xn), ~w2 = (x2
1, . . . , x2n), . . . ~wk = (xk
1, . . . , xkn) tambien ∈ Rn, se puede escribir
D como la longitud del vector ~v − ~wS, con ~wS = (P (x1), . . . , P (xn)):
D2 = |~v − ~wS|2
~wS = (P (x1), . . . , P (xn)) = c0 ~w0 + c1 ~w1 + . . . + ck ~wk
– 16 –
El problema de encontrar los coeficientes c0, . . . , ck que minimizan D2 es pues el mismoproblema de encontrar el vector ~wS de S mas cercano a ~v, siendo S el subespacio de Rn
generado por los vectores ~w0, . . . , ~wk. La solucion para ~c = (c0, c1, . . . , ck)T estara entoncesdada por (1), siendo ahora A una matriz de n × (k + 1) de elementos Aij = xj
i paraj = 0, . . . , k, y ATA una matriz de (k + 1)× (k + 1), con
(ATA)jl =n∑
i=1
xjix
li , (AT~v)j =
n∑i=1
xjif(xi) , j, l = 0, . . . , k .
Si k = 2, P (x) = c0 + c1x + c2x2 es un polinonio de grado 2 y ATA es de 3× 3.
f HxiL
c0+c1xi+c2xi2
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x
2
4
6
8
f HxLf HxiLc0+c1xi+c2xi
2+c3xi
3+c4xi
4
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x
2
4
6
8
f HxL
Se muestra en la figura la aproximacion de 11 datos f(xi) por medio de un polinomiode grado 2 y uno de grado 4. No obstante, debe tenerse en cuenta que si los datos noexhiben un comportamiento polinomial, el ajuste puede presentar oscilaciones, cuya mag-nitud puede aumentar al incrementarse el grado k del polinomio. La matriz ATA se tornatambien mal condicionada al aumentar k. Notese que la dimension de ATA depende solodel grado del polinomio y no del numero de puntos a ajustar.
El formalismo anterior puede extenderse a un ajuste basado en la combinacion linealde funciones linealmente independientes gj(x), reemplazando P (x) por
G(x) = c0 + c1g1(x) + . . . + ckgk(x)
En este caso Aij = gj(xi), y el formalismo puede aplicarse si ATA es no singular, con
(ATA)jl =n∑
i=1
gj(xi)gl(xi) , (AT~v)j =n∑
i=1
gj(xi)f(xi) .
Ejercicios
1. Verifique que la minimizacion de D2 (2) respecto de los coeficientes cj conduce a lasolucion (1).2. Determine el polinomio P2(x) = c0 + c1x + c2x
2 que minimiza D2 si los datos sonf(−1,5) = 8,5, f(−0,9) = 2,5, f(−0,3) = 1, f(0) = 0,5, f(0,3) = 0,6, f(0,9) = 1,5,f(1,5) = 3 (Utilice PC). Estos corresponden a la posicion (en una cierta escala) en distintostiempos de un movil con aceleracion variable. Si la aceleracion fuese constante, ¿como serıael ajuste con este polinomio?
– 17 –
Matematica C
Transformaciones Lineales: Apendice
1 Aplicaciones. Gracos y animaciones en computa-
doras
Para dibujar las guras (gracos, objetos,...) en un espacio bi-dimensional, como apare-cen en el monitor de una computadora:
1. Se almacenan en la memoria como un conjunto de vertices (puntos)
2. Se dibujan los vertices y luego se los une mediante lneas rectas para obtener lagura.
As si se tienen p vertices (xi; yi) para i = 1; : : : ; p, se almacenan como una matriz Tde 2 (p + 1)
T =
x1 x2 xp x1y1 y2 yp y1
Por ejemplo, para dibujar un triangulo...
... con vertices (0; 0), (1; 1) y (1;1), almacenamos los vertices como
0 1 1 00 1 1 0
A~nadimos la cuarta columna para indicar que el ultimo punto (1;1) debe ser conec-tado (mediante un procedimiento de dibujo computacional) al primer punto (0; 0) paracompletar el triangulo
Para transformar una gura, hay que cambiar de posicion de los vertices y \redibujar" lagura. Si la \transformacion" es lineal, se puede hacer esto mediante una multiplicacionde matrices (en R
2)....
1
Animacion: Viendo una sucesion de estos dibujos, realizados de manera muy rapidaen tiempo real, produce el efecto de una \animacion".
1.1 Usando cuatro transformaciones basicas
(1) Dilataciones y contracciones: L (x) = c:x (operador de escala)
c > 1: dilatacion
0 < c < 1: contraccion
L se representa por la matriz c:I2, donde I2 es la matriz identidad de 2 2.
Por ejemplo ...
... para dilatar el triangulo anterior por un factor 3, construimos un nuevo triangulomediante su matriz de vertices
T 0 = (3:I2) :T =
3 00 3
:
0 1 1 00 1 1 0
=
0 3 3 00 3 3 0
(2) Re exion respecto de un eje:
Lx (x) =
xy
re exion sobre el ejex)
Otra:
Ly (x) =
xy
(re exion sobre el ejey)
Ambas \transformaciones son lineales", y respecto de la base canonica e1 y e2 serepresentan mediante las matrices...
La re exion sobre el eje \x", que es la recta y = 0:
Ay =
1 00 1
Siguiendo con el ejemplo del triangulo ...
... La re exion del \triangulo" respecto del eje x ...
Hay que aplicar la matriz de esta transformacion a cada vertice + el vertice nalagregado:
T 0 = Ax:T =
1 00 1
:
0 1 1 00 1 1 0
=
0 1 1 00 1 1 0
De igual manera, respecto del eje \y", la re exion del triangulo:
T00 = Ay:T =
1 00 1
:
0 1 1 00 1 1 0
=
0 1 1 00 1 1 0
... As dibujando los puntos transformados ...
2
T 0 = Ax:T
T 00 = Ay:T
(3) Rotaciones: Para rotar un vector un angulo en sentido contrario a las agujas delreloj, multiplicamos cada vector por la matriz
A =
cos sin sin cos
(operador rotacion)
Para obtener la rotacion del triangulo...
T 0 = A:T =
cos sin sin cos
:
0 1 1 00 1 1 0
=
0 (cos sin ) (cos + sin ) 00 (sin + cos ) (sin cos ) 0
T 0 = A:T
3
Ahora, una transformacion muy usada, pero que \no es lineal" (vericar que nocumple las propiedades de linealidad)...
(4) Traslaciones: L (x) = x+ a
Si a 6= 0, sabemos que no es una transformacion lineal, y por tanto, no puede serrepresentada mediante una matriz.
... Pero, a pesar de no ser lineal, se puede hacer un articio para poder usar una ma-triz. Para eso se dene un \nuevo sistema" de coordenadas, denominadas \coordenadashomogeneas" que permite el uso de una matriz...
1.2 Inversas, composicion y conmutacion de operaciones
La inversa de una de estas operaciones deshace la transformacion y retorna al vectororiginal x.
Ejemplo 1 Para rotar x en sentido antihorario mediante el angulo , multplicamos xpor A
x0 = A:x =
cos sin sin cos
:x
Para deshacer esta operacion y recobrar el vector original x, rotamos x0 en sentidohorario mediante el angulo , o en forma equivalente ...
... en sentido antihorario mediante el angulo ...
x = B:x0 =
cos () sin ()sin () cos ()
:x0
=
cos sin sin cos
:x0
Pero ...
x = B:x0 = B: (A:x) = B:A:x
=) B:A = I
... B es la inversa de A. De hecho
B:A =
cos sin sin cos
:
cos sin sin cos
=
cos2 + sin2 cos sin + sin cos
sin cos + cos sin cos2 + sin2
=
1 00 1
Otro caso ...
4
Ejemplo 2 Para re ejar x sobre el eje x2, multiplicamos x por A
x0 = A:x =
1 00 1
:
x1x2
=
x1x2
... Si de nuevo re ejamos x0 sobre el eje x2, deberamos recobrar nuestro vector originalx.
Esto es ...
x = A:x0 = A: (A:x) = A2:x
=) A2 = I
la inversa de A es A
A1 = A
Efectivamente ...
A2 =
1 00 1
:
1 00 1
=
1 00 1
Ejemplo 3 Para invertir el sentido de x, multiplicamos x por la matriz A
x0 = A:x =
1 00 1
:
x1x2
=
x1x2
= x
... Si ahora invertimos el sentido de x0, recobramos x
x = A:x0 = A: (A:x)
= A2:x
=
1 00 1
:
1 00 1
:x
=
1 00 1
:x
por tanto ...
A1 = A
Ejemplo 4 Para rotar x en sentido antihorario mediante el angulo = =2, multipli-camos x por A
x0 = A:x =
cos sin sin cos
:x
=
0 11 0
:
x1x2
=
x2x1
5
... o, rotamos x en sentido antithorario primero mediante =3, y luego rotamos me-diante =6 ...
x0 = A2: (A1:x) =
cos =6 sin =6sin=6 cos =6
:
cos =3 sin=3sin =3 cos =3
:x
=
p3=2 1=21=2
p3=2
:
1=2 p3=2p3=2 1=2
:x
=
0 11 0
:
x1x2
=
x2x1
As componer la rotacion A2:A1 es equivalente a la secuencia de rotaciones A1, y A2
(A1 seguida por A2). Esta composicion de dos rotaciones sucesivas es equivalente a unarotacion de =2.
... En este caso, una rotacion de =6 (A1) seguida por una rotacion de =3 (A2) esequivalente a una de =3 seguida de una de =6
A1:A2 =
1=2 p3=2p3=2 1=2
:
p3=2 1=21=2
p3=2
=
0 11 0
A2:A1 =
0 11 0
El ejemplo de las dos rotaciones sucesivas muestra ...
Las matrices que representan operadores lineales conmutan (A:B = B:A) si las dichasoperaciones dan el mismo resultado cuando se las realiza en orden inverso.
Ejemplo 5 Para proyectar x sobre el eje x2, multiplicamos x por A
x0 = A:x =
0 00 1
:
x1x2
=
0x2
Si ahora proyectamos x0 sobre el eje x2, obtendremos el mismo resultado, ya que x0 seencuentra sobre el eje x2
A:x0 = A (A:x) =
0 00 1
:
0x2
=
0x2
= x0
esto es
A2 =
0 00 1
:
0 00 1
=
0 00 1
= A
De hecho Ak = A para todo k = 1; 2; : : : para todo tipo de operador proyeccion.
Observacion 6 Un operador proyeccion no tiene inversa
6
Todos los vectores que tengan la misma coordenada x2 tendran la misma proyeccionsobre el eje x2. O sea, seran transformados al mismo vector x0.
El operador proyeccion no tiene inversa, debido a que el vector x0 no puede ser retor-nado sobre un unico vector x.
De hecho ...
detA = det
0 00 1
= 0
... y por tanto A es singular (no invertible).
La matriz A que representa a un operador lineal es \singular" (no invertible) si laoperacion \ no puede deshacerse o invertirse" para recobrar el vector inicial unico .
1.3 Traslaciones y Coordenadas homogeneas
Denicion Las coordenadas homogeneas se forman al asociar cada vector x en R2 el
vector x en R3 correspondiente a
x =
xy
!
0@xy1
1A = x
Para dibujar un punto representado por estas \ coordenadas homogeneas" x, solo hayque \ignorar" el tercer coeciente y simplemente dibujar (x; y).
Con esta denicion articial (y aparentemente arbitraria), los \cuatro tipos" de op-eraciones gracas descriptas, a pesar que la 4ta. no es lineal, podran ser representadasmediante matrices de 33, si se las quiere combinar con traslaciones. Recuerden que si nousan traslaciones, no hay necesidad de usar ningun articio ya que las transformaciones1-2-3, cada una tiene su matriz de representacion.
Para el caso, cuando aparecen traslaciones, en las coordenadas homogeneas se agregala \tercer la" y la \tercer columna" de la matriz identidad I3, de 3 3:
As en esta situacion ....
A la matriz de dilatacion c:I2: se le agrega...
0@c 0 00 c 00 0 1
1A Observar que no es c:I3.
Esa sera una dilatacion en <3, que no es la dada en 2- variables.
De igual manera....
7
A la matriz de re exion Ax:
0@1 0 00 1 00 0 1
1A
A la Matriz de rotacion A:
0@cos sin 0sin cos 00 0 1
1A
Luego, por ejemplo, la aplicacion de una re exion respecto del eje \x" a un vectorarbitrario (x,y):
Axx =
0@1 0 00 1 00 0 1
1A :
0@xy1
1A
=
0@ xy1
1A !; al eliminar la tercer componente .....
xy
Para las operaciones o transformaciones, Tipo: 1, 2 y 3, el agregado de una coordenada"cticia" es super uo, pues son lineales y tienen su matriz de representacion.
.... Pero, para la traslacion (que no es lineal), ahora s podremos construir una \matrizde representacion con respecto a las coordenadas homogeneas" ...
Para eso, reemplazamos en la matriz I3, los dos primeros coecientes de la columna"cticia" por los coecientes del vector de traslacion a ...
Aa =
0@1 0 ax0 1 ay0 0 1
1A
Se tiene entonces que la aplicacion de esa matriz a un vector arbitrario (x,y), con latercer componente 1 ...
Aa:x =
0@1 0 ax0 1 ay0 0 1
1A :
0@xy1
1A
=
0@x+ axy + ay
1
1A ! eliminado la tercer componente se obtiene:
x+ axy + ay
=x+a
8
En el ejemplo del triangulo, su aplicacion, a cada vector o vertice con la tercer compo-nente agregada ...
T =
0@0 1 1 00 1 1 01 1 1 1
1A
y
T 0 = Aa:T =
0@1 0 ax0 1 ay0 0 1
1A :
0@0 1 1 00 1 1 01 1 1 1
1A
=
0@ax (1 + ax) (1 + ax) axay (1 + ay) (1 + ay) ay1 1 1 1
1A
Los vectores columnas de T , se trasladan mediante
0@axay1
1A = a.
T 0 = AaT
T 0 = AaT
En general, para \n" vertices se considera ...
T =
0@x1 x2 xny1 y2 yn1 1 1
1A o
0@x1 x2 xn x1y1 y2 yn y11 1 1 1
1A
Otra transformacion \lineal" conocida...
Observacion 7 El operador \proyeccion" tambien puede ser tratado de esta manera,y es muy importante para representaciones gracas en 2-dimensiones, con perspectivaespacial, de un objeto tridimensional.
1.4 Operaciones sucesivas o composicion de transformaciones
Las sucesivas aplicaciones de estas operaciones (rotaciones, re exiones, traslaciones(nolineal)) pueden lograrse mediante sucesivas multiplicaciones, o equivalentemente mediantela multiplicacion \una matriz" que es el \producto de las matrices de representacion", enel orden correspondiente de cada operacion.
9
Ejemplo 8 Para dilatar un gura mediante un factor c > 1, y luego trasladarla medianteun vector a, multiplicamos la matriz de vertices T por el producto de dos matrices
T 0 = (Aa) : (c:I2) :T =
0@1 0 ax0 1 ay0 0 1
1A :
0@c 0 00 c 00 0 1
1A :T =
0@c 0 ax0 c ay0 0 1
1A :T
... y para rotar la imagen resultante en sentido antihorario mediante el angulo , multi-plicamos T 0 por A
T 00 = A:T0 =
0@cos sin 0sin cos 00 0 1
1A :
0@c 0 ax0 c ay0 0 1
1A :T
=
0@c cos c sin (ax cos ay sin )c sin c cos (ax sin + ay cos )0 0 1
1A :T
El ORDEN DE LAS OPERACIONES ES CRITICO.Por ejemplo, una rotacion seguida por una traslacion produce un resultado distinto
que una traslacion seguida por una rotacion.
Rotacion... y luego traslacion :
T 0 = A:T
T 00 = Aa:T0 = Aa:A:T
10
Ahora ...
Traslacion... y luego rotacion :
T 0 = Aa:T
T 00 = A:T0 = A:Aa:T
Observacion 9 Las composiciones no son equivalentes ya que las matrices Aay A no
conmutan
Aa:A 6= A:Aa
... y por tanto, el \orden" de las operaciones es importante.
Un programa simple de computadora en dos dimensiones es una secuencia de estasoperaciones, calculadas y expuestas muy rapidamente, en tiempo real.
11
Facultad de Ingenierıa
UNLP
Matematica C
III. Numeros Complejos
2014
1
1. Conceptos basicos
1.1. Introduccion
Comenzamos por definir el numero i (unidad imaginaria), que satisface
i2 = −1
De esta forma, la ecuacionz2 = −1
tendra las raıces z = i y z = −i.Un numero complejo es de la forma
z = x+ y i, x, y ∈ R
donde tanto x como y son numeros reales. La parte real de z es x, y la parte imaginariade z es y (tambien un numero real!):
Re(z) = x, Im(z) = y
Ejercicio: Hallar la parte real e imaginaria de a) z = −2− 3i, b) z = −i.
Un numero complejo cuya parte imaginaria es 0 es identificado como un numero real.Por ejemplo, 5 = 5 + 0i, 0 = 0 + 0i.Tambien, 0 + yi = yi. Un numero complejo no nulo cuya parte real es 0, tal como 5i, sedice que es imaginario o imaginario puro.Ademas, yi = iy, y x+ yi = yi+ x. Por ejemplo, 1 + 2i = 1 + i2 = 2i+ 1.
Dos numeros complejos z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, son iguales si y solo si tanto suspartes reales como imaginarias son respectivamente iguales:
x1 + y1i = x2 + y2i ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 (x1, x2, y1, y2 ∈ R)
Por ejemplo, x+ yi = 2 + 3i implica x = 2, y = 3 si x e y son reales.
El conjunto de todos los numeros complejos se denotacon la letra C:
C = x+ iy, x ∈ R, y ∈ R
Podemos representar un numero complejo z = x+ yimediante un par ordenado (x, y). Este par correspondea un punto o vector en el plano cartesiano, que en estecontexto se denomina plano complejo.
z=x+yi
0 xReHzL
y
ImHzL
– 2 –
1.2. Conjugacion
El conjugado de un numero complejo z = x + iy se lo denota como z o z∗, y se lodefine como
z = x− iy
de forma que Re(z) = Re(z), Im(z) = −Im(z).
Por ejemplo, i = −i, 1 + 2i = 1− 2i y 1− 2i = 1 + 2i y .
Geometricamente, conjugar corresponde a reflejar zrespecto del eje real.
z=x+yi
z=x-yi
0 xReHzL
-y
y
ImHzL
Obviamente, ¯z = z (o sea, (z∗)∗ = z).
1.3. Suma de numeros complejos
Dados dos numeros complejos z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i, su suma se define como
z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i
Por ejemplo, (1 + 2i) + (3− 4i) = 4− 2i.
Geometricamente, z1 + z2 corresponde al vector suma de losvectores que representan a z1 y z2.
z1+z2
z1
z2
0ReHzL
ImHzL
La resta z1 − z2 es la suma de z1 y el opuesto −z2 = −x2 − y2ide z2:
z1 − z2 = (x1 − x2) + (y1 − y2)i
Por ejemplo, (1 + 2i)− (3− 4i) = −2 + 6i, (1 + 2i)− (1 + 2i) = 0.Ejercicio: Indique el significado geometrico de z1 − z2.
Problema 1: Mostrar que el conjugado de una suma es la suma de los conjugados: y queel conjugado de una resta es la resta de los conjugados:
z1 ± z2 = z1 ± z2
Problema 2: Mostrar que es posible expresar la parte real y la parte imaginaria de unnumero complejo z en terminos de z y su conjugado z:
Re(z) =z + z
2, Im(z) =
z − z2i
– 3 –
1.4. Producto de dos numeros complejos
A partir de la propiedad basica i2 = −1, el producto de dos numeros complejosz1z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) se realiza aplicando la propiedad distributiva (respecto de lasuma) y asociativa (respecto del producto):
(x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1(x2 + y2i) + y1i(x2 + y2i)
= x1x2 + x1y2i+ y1x2i− y1y2= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)i (1.1)
Por ejemplo,
(1 + 2i)(3− 4i) = 3− 4i+ 2i(3− 4i) = 3− 4i+ 6i+ 8
= 11 + 2i (1.2)
Problema 3: Probar que a) z1z2 = z2z1 b) z1(z2z3) = (z1z2)z3 c) z1(z2+z3) = z1z2+z1z3
Problema 4: Probar que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados:
z1z2 = z1 z2
En particular, el producto de un numero complejo z por un numero real α,
α(x+ yi) = αx+ αyi
corresponde, geometricamente, a la multiplicacion del vector que representa a z por elescalar real α. Por ejemplo, 3(1 + i) = 3 + 3i.
Por otro lado, el producto de un numero complejo zpor la unidad imaginaria i,
i(x+ yi) = −y + xi
corresponde, geometricamente, a rotar el vector querepresenta a z un angulo de 90o en sentido antihorario.Por ejemplo, i1 = i, ii = −1, i(1 + i) = −1 + i.
z=x+yi
Π2
i z=-y+xi
0ReHzL
ImHzL
Problema 5: Probar el enunciado general anterior, recordando quela matriz que representa a dicha rotacion en la base canonica de R2 es
R =
(0 −11 0
)(1.3)
de forma que R(xy) = (−yx ).En consecuencia, multiplicar un numero complejo z por un numero imaginario αi (α real)corresponde, geometricamente, a rotar z un angulo de 90o en sentido antihorario y luegomultiplicar el vector resultante por el escalar real α.
El significado geometrico de multiplicar a z por un numero complejo arbitrario,(α+iβ)z = αz+iβz, puede obtenerse sumando αz y el vector rotado iβz, pero es mas facilvisualizar el resultado final por medio de la representacion polar de un numero complejo,que discutiremos luego.
– 4 –
Potencias de i: Las potencias pares son reales: i2 = −1, i4 = (i2)2 = 1 y en general,
i2n = (i2)n = (−1)n (1.4)
Las potencias impares son en cambio imaginarias: i1 = i, i3 = (i2)i = −i y en general,
i2n+1 = i2ni = (−1)ni (1.5)
Ejercicio: Graficar las potencias de i en el plano complejo.
1.5. Valor absoluto de un numero complejo
El valor absoluto (o modulo) de un numero complejo z se define como
|z| =√x2 + y2 (1.6)
y es la longitud del vector que lo representa en el plano complejo. El modulo |z| es siempreun numero real no negativo. Por ejemplo: |3+4i| =
√32 + 42 =
√25 = 5, |i| = 1, |−2| = 2.
Es posible expresar |z| mediante z y su conjugado z como
|z| =√zz
En efecto, si z = x+yi, con x, y reales, zz = (x+yi)(x− iy) = x2− (iy)2 = x2 +y2 = |z|2.
Problema 6: Probar que |z| = 0 si y solo si z = 0.Problema 7: Probar que |z| = |z|.Problema 8: Para z1, z2 complejos generales, probar que
|z1z2| = |z1||z2|
||z1| − |z2||| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|Problema 9: Probar que |z1 − z2| es, geometricamente, la distancia entre z1 y z2.
1.6. Inverso de un numero complejo
El inverso (o recıproco) z−1 de un numero complejo z 6= 0 es el numero complejo quesatisface
zz−1 = 1
Para obtenerlo, vimos en el punto anterior que zz = |z|2 6= 0 si z 6= 0. Por lo tanto,
z(z/|z|2) = |z|2/|z|2 = 1
de donde
z−1 =z
|z|2=
x− yix2 + y2
, z 6= 0 (1.7)
Notamos aquı que el cociente z/α de un numero complejo z = x+ yi por un numero realα 6= 0 se define como (1/α)z, es decir, z/α = x/α+(y/α)i. Por ejemplo, (2+4i)/2 = 1+2i.
– 5 –
Problema 10: Si z = x + yi 6= 0, probar, escribiendo z−1 = a + ib, que la ecuacionzz−1 = 1 (o sea, xa − yb + (xb + ya)i = 1 + 0i) implica necesariamente a = x/|z|2,b = −y/|z|2.
Podemos ahora definir1
z= z−1 =
z
|z|2
resultado que puede obtenerse multiplicando numerador y denominador de 1z
por z. Porejemplo, 1
i= −i−i2 = −i:
1
i= −i
verificandose que i(−i) = −i2 = 1. Como segundo ejemplo,
1
1 + i=
1
1 + i
1− i1− i
=1− i
2=
1
2− 1
2i
verificandose que (1 + i)(1− i)/2 = 1.
Problema 11: Probar que para z 6= 0,(1
z
)=
1
z∣∣∣∣1z∣∣∣∣ =
1
|z|
1.7. Cociente de dos numeros complejos
Dados ahora dos numeros complejos z1 y z2, con z2 6= 0, definimos el cociente como
z1z2
= z1z−12 =
z1z2|z2|2
=(x1 + iy1)(x2 − iy2)
x22 + y22(1.8)
En la practica, se obtiene este resultado multiplicando numerador y denominador por z2.Por ejemplo:
1 + i
3 + 4i=
(1 + i)(3− 4i)
(3 + 4i)(3− 4i)=
7− i25
Problema 12: Probar que para z2 6= 0,(z1z2
)=z1z2,
∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =|z1||z2|
– 6 –
1.8. Representaciones reales y propiedades algebraicas
El conjunto C de los numeros complejos puede ser considerado como el conjunto R2
de pares ordenados (x, y) de numeros reales, con la suma y producto definidos por
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.9)
(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) (1.10)
Puede mostrarse que el producto ası definido resulta conmutativo y asociativo (z1z2 =z2z1, (z1z2)z3 = z1(z2z3), para zj = (xj, yj), j = 1, 2, 3), y distributivo con la suma:z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. De esta forma, denotando a los elementos de la base canonicacomo 1 = (1, 0) y i = (0, 1), tenemos
i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −(1, 0) = −1
con 1 · 1 = 1 y 1 · i = i. Ademas, podemos escribir
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x1 + yi
con lo cual recuperamos la notacion estandar z = x+ yi si identificamos x con x1.
Los numeros complejos pueden ser tambien representados por matrices reales de 2× 2 dela forma
z =
(x −yy x
)= x
(1 00 1
)+ y
(0 −11 0
)(1.11)
= xI + yR , x, y ∈ R (1.12)
donde I =
(1 00 1
)es la matriz identidad y R =
(0 −11 0
)la matriz de rotacion
definida en (1.3). Obtenemos, con el producto matricial usual, I.I = I, I.R = R.I = R, y
R.R =
(0 −11 0
)(0 −11 0
)=
(−1 00 −1
)= −I (1.13)
por lo que el par I, R constituye una representacion matricial real de 1 e i, jugando R elrol de la unidad imaginaria i. Si z1 = x1I + y1R, z2 = x2I + y2R, obtenemos, con la sumay producto matricial usual,
z1 + z2 = (x1 + x2)I + (y1 + y2)R
z1.z2 = z2.z1 = (x1x2 − y1y2)I + (x1y2 + y1x2)R
con lo cual, identificando 1 = I y i = R, recuperamos las reglas de suma y producto delos numeros complejos. Ademas, el determinante de la matriz (1.11) es el modulo de z:∣∣∣∣ x −yy x
∣∣∣∣ = x2 + y2 = |z|
– 7 –
Como estructura algebraica, el conjunto de numeros complejos es, al igual que losnumeros reales o racionales, un cuerpo. Una estructura algebraica F,+, ·, donde F esun cierto conjunto de numeros y +, · son operaciones binarias cerradas entre ellos, es uncuerpo (o campo) si:i) La suma satisface las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de ele-mento neutro (0, tal que z+0 = z ∀ z ∈ F ) y opuesto (∀ z ∈ F ∃ −z tal que z+(−z) = 0).ii) El producto es tambien asociativo y conmutativo, con existencia de elemento neutro 1(z · 1 = z ∀ z ∈ F ) e inverso z−1 ∀ z 6= 0 (tal que z · z−1 = 1)iii) El producto es distributivo: z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.
Finalmente, considerando escalares reales, el conjunto de los numeros complejos CRforma un espacio vectorial de dimension 2: Todo complejo z = x1+yi es la combina-cion lineal de 1 e i, con coeficientes reales x, y, siendo 1, i linealmente independientes(x1 + yi = 0 ⇒ x = 0, y = 0).
Si consideramos en cambio escalares complejos, CC es un espacio vectorial de dimen-sion 1 (Probar!).
1.9. Raıces de polinomios
Mediante los numeros complejos, es posible encontrar todas las raıces de un polinomiode grado arbitrario n ≥ 1, y ası escribir el mismo como el producto de n polinomioselementales de grado 1.
Consideremos primero un polinomio de grado 2, P2(z) = az2 + bz + c, con a 6= 0, y lacorrespondiente ecuacion cuadratica
az2 + bz + c = 0, (a 6= 0) (1.14)
Sabemos que las raıces estan dadas por la muy conocida formula
z± =−b±
√b2 − 4ac
2a(1.15)
Problema 13: Obtener la formula (1.15), completando cuadrados.Problema 14: Probar que para a 6= 0,
az2 + bz + c = a(z − z+)(z − z−) (1.16)
Para a, b y c reales, las raıces z± seran entonces:i) Reales y distintas si b2 > 4acii) Reales e iguales si b2 = 4aciii) Complejas conjugadas si b2 < 4ac :En este caso b2 − 4ac = −(4ac− b2), con 4ac− b2 > 0, y por lo tanto,
z± =−b± i
√4ac− b2
2
– 8 –
con z− = z+. Mediante la introduccion de los numeros complejos, podemos entoncesobtener siempre raıces de la ecuacion cuadratica (1.15), aun si b2 > 4ac, y ası escribir elpolinomio az2 + bz + c en la forma factorizada (1.16).
Por ejemplo, la ecuacionz2 + 2z + 2 = 0
posee las raıces complejas conjugadas
z± =−2±
√4− 8
2=−2± 2i
2= −1± i
Ejercicio: Verificar que z± = −1± i satisfacen z2 + 2z + 2 = 0.Ejercicio: Verificar que
z2 + 2z + 2 = (z + 1− i)(z + 1 + i)
La formula (1.15) es valida tambien para a, b, c complejos si a 6= 0 (veremos luegocomo obtener raıces de numeros complejos), aunque en este caso las raıces complejas noapareceran necesariamente como pares conjugados.
Los resultados anteriores se generalizan a polinomios de grado arbitrario n ≥ 1. Si
Pn(z) = anzn + an−1z
n−1 + . . .+ a1z + a0, an 6= 0 (1.17)
es un polinomio de grado n ≥ 1, donde los coeficientes (constantes) ai, i = 0, . . . , n, pueden serreales o complejos, la ecuacion
Pn(z) = 0
posee siempre al menos una raız (real o compleja). Este enunciado constituye el teorema fun-damental del algebra e indica que el cuerpo de los numeros complejos es algebraicamentecerrado.Mas aun, existiran siempre n numeros (raıces) z1, z2, . . . , zn, en general complejos y no necesa-riamente distintos, tales que Pn(zi) = 0 para i = 1, . . . , n y
Pn(z) = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn) (1.18)
Como las raıces pueden repetirse, esta igualdad suele escribirse como
Pn(z) = an(z − z1)m1(z − z2)m2 . . . (z − zk)mk (1.19)
donde z1, . . . , zk denotan ahora raıces distintas (zi 6= zj si i 6= j), con 1 ≤ k ≤ n, y mi,i = 1, . . . , k, denota la multiplicidad de la raız iesima (1 ≤ mi ≤ n, m1 + . . .+mk = n).
Si los coeficientes ai del polinomio son todos reales, entonces las raıces complejas aparecensiempre en pares conjugados.
Problema 15: Probar el enunciado anterior, mostrando primero que si los coeficientes sonreales ⇒ Pn(z) = Pn(z).
– 9 –
1.10. Ejercicios
1) Realizar las siguientes operaciones, expresando el resultado como z = x+ yi, con x, y ∈ R:
a) (1 + 2i)(3− 4i) b) − i+ (2− 4i)(2 +1
2i) c) 7 +
25
3 + 4i
d)
(1 + i
1− i
)∗e)
3 + 4i
3− 4if)
i
3− ig)
2 + i
1 + i+
1 + i
1 + 1/i
2) Determinar la parte real, la parte imaginaria y el modulo de los resultados de las operacionesanteriores.
3) Hallar todas las raıces de las siguientes ecuaciones, y escribir el polinomio correspon-diente en la forma factorizada (1.16) o (1.18)–(1.19):
a) z2 − 2z + 2 = 0 b) 2z2 + 4 = 0 c) 2z2 + 2z + 1 = 0d) z2 + 2iz = 0 e) z2 + 2iz − 1 = 0 f) z4 − 1 = 0
4) Resolver el sistema
ix+ y = ix+ iy = −2
5) Indicar el error en a) −1 =√−1√−1 =
√(−1)(−1) =
√1 = 1
y b) 1i
=√1√−1 =
√1−1 =
√−1 = i.
6) Mostrar que la ecuacion|z| = r, r > 0
corresponde geometricamente a un cırculo de radio r centrado en el origen, y
|z − z0| = r, r > 0
a un cırculo de radio r centrado en z0.
7) Mostrar que si z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i,
Re(z1z2) = x1x2 + y1y2
por lo que Re(z1z2) es el producto escalar de (x1, y1) y (x2, y2).Dar tambien una interpretacion geometrica a Im(z1z2).
– 10 –
2. Representacion polar y formula de Euler
2.1. Forma polar de un numero complejo
A partir del grafico, vemos que podemos expresar la parte real e imaginaria dez = x+ iy como
z=x+yi
ÈzÈΦ
0 x=ÈzÈ cos ΦReHzL
y=ÈzÈ sin Φ
ImHzLx = |z| cosφ, y = |z| senφ
donde|z| =
√x2 + y2
es el valor absoluto de z y φ es el angulo que forma zcon el eje real en el plano complejo, denominadoargumento de z o arg(z).Este angulo satisface
tanφ = y/x
y el cuadrante al que pertenece queda determinado por los signos de x e y. Normalmentese toma φ ∈ (−π, π] (valor principal), pero φ+ 2nπ resulta equivalente a φ ∀ n entero.
Podemos entonces expresar z = x+ iy en terminos de |z| y φ como
z = |z|(cosφ+ i senφ) (2.20)
Esta expresion se denomina representacion polar del numero complejo.
Por ejemplo, si z = 1 + i ⇒ |z| =√
2 y tanφ = 1, con x > 0, y > 0, por lo queφ = π/4. Por lo tanto
1 + i =√
2(cosπ/4 + i senπ/4)
Ejercicio: Verificar esta igualdad.
Problema 1: Probar que arg(z) = −arg(z)
– 11 –
La forma polar resulta muy conveniente par el producto y cociente: Si
z1 = |z|1(cosφ1 + i sen φ1), z2 = |z|2(cosφ2 + i sen φ2)
entonces
z1z2 = |z1||z2| [cos(φ1 + φ2) + i sen(φ1 + φ2)] (2.21)
o sea, |z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2).
Y si z2 6= 0,
z1z2
=|z1||z2|
[cos(φ1 − φ2) + i sen(φ1 − φ2)] (2.22)
o sea, |z1/z2| = |z1|/|z2| y arg(z1z2) = arg(z1)− arg(z2).
Problema 2: Probar (2.21), utilizando cos(φ1 + φ2) = cosφ1 cosφ2 − senφ1 senφ2,
sen(φ1 + φ2) = sen(φ1) cosφ2 + cosφ1 senφ2.Problema 3: Probar (2.22), partiendo de z1/z2 = z1z2/|z2|2 y el resultado de los dos problemasanteriores.
Podemos ver ası el significado geometrico del producto z1z2: Equivale a rotar z2 unangulo φ1 en sentido antihorario, y multiplicar el vector resultante por el escalar real |z1|:
Φ3
Φ2
Φ1
Φ3=Φ1+Φ2
Èz3È=Èz1ÈÈz2È
z3=z1z2
z1
z2
0ReHzL
ImHzL
– 12 –
2.2. Formula de Euler:
La forma polar resulta en realidad mas comoda cuando se utiliza con la famosa formula deEuler para la exponencial de un numero imaginario:
eiφ = cosφ+ i senφ (2.23)
Demostremos primero esta igualdad: Definiendo eiφ por medio de la serie exponencial,y separando en terminos pares e impares, obtenemos, utilizando (1.4) y (1.5) (i2n = (−1)n,i2n+1 = (−1)ni),
eiφ =∞∑n=0
(iφ)n
n!
=∞∑n=0
i2nφ2n
(2n)!+∞∑n=0
i2n+1φ2n+1
(2n+ 1)!
=∞∑n=0
(−1)nφ2n
(2n)!+ i
∞∑n=0
(−1)nφ2n+1
(2n+ 1)!
= cosφ+ i senφ (2.24)
Con este resultado podemos tambien evaluar la exponencial de un numero complejogeneral como
ex+yi = exeyi = ex(cos y + i sen y) (2.25)
donde x e y son reales. Por ejemplo, e−2+i = e−2[cos(1) + i sen(1)].
Podemos ahora expresar z en la froma polar como
z = |z| eiφ (2.26)
donde φ = arg(z).
Por ejemplo,i = eiπ/2
ya que |i| = 1 y arg(i) = π/2. Se comprueba que eiπ/2 = cosπ/2 + i sen π/2 = 0 + i = i.Tambien,
−1 = eiπ
ya que | − 1| = 1, arg(−1) = π. Se comprueba que eiπ = cosπ + i sen π = −1 + 0i = −1.
Ejercicio: Mostrar que1 + i√
2= eiπ/4
– 13 –
Problema 4: Probar que si z = |z|eiφ ⇒ z = |z|e−iφ y, si z 6= 0,
1
z=
1
|z|e−iφ
Problema 5: Probar que |eiφ| = 1, y |αeiφ| = |α| (α, φ reales).
Dado que
eiφ1eiφ2 = ei(φ1+φ2),eiφ1
eiφ2= ei(φ1−φ2)
resulta entonces obvio, utilizando la forma polar (2.26), que
z1z2 = |z|1eiφ1|z2|eiφ2 = |z1||z2| ei(φ1+φ2) (2.27)
z1z2
=|z|1eiφ1|z|2eiφ2
=|z1||z2|
ei(φ1−φ2) , z2 6= 0 (2.28)
y por lo tanto obtener las formulas (2.21)–(2.22). Resulta tambien obvio que |z1z2| =|z1||z2|, arg(z1z2) = arg(z1)+arg(z2), y |z1/z2| = |z1|/|z2|, arg(z1/z2) = arg(z1)−arg(z2).
2.3. Potencias de un numero complejo
Mediante la forma polar (2.23), resulta muy sencillo calcular cualquier potencia zn paratodo n natural o entero: Dado que (eiφ)n = einφ, obtenemos
zn = (|z|eiφ)n
= |z|neinφ (2.29)
= |z|n[cos(nφ) + i sen(nφ)] (2.30)
La ultima expresion se denota normalmente formula de De Moivre.Estas expresiones son validas para n = 0, 1, 2, . . ., y si z 6= 0, tambien para n = −1,−2, . . ..
Ejercicio: Probar que
(1 + i)n = 2n/2[cos(nπ/4) + i sen(nπ/4)]
y que por ejemplo, (1 + i)2 = 2i, (1 + i)20 = −210, (1 + i)−4 = −14.
Ejercicio: Representar graficamente las primeras cuatro potencias de 1 + i.
– 14 –
2.4. Raıces enesimas de la unidad
Consideremos ahora la ecuacionzn = 1
para n ≥ 1. Como 1 = ei0 = ei2kπ para cualquier k entero, vemos que todo numerocomplejo z = ei2kπ/n satisface zn = 1:
(ei2kπ/n)n = ei2kπ = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1 k = 0,±1,±2, . . .
Por lo tanto, obtenemos ası n raıces distintas
z0 = 1, z1 = ei2π/n, z2 = ei4π/n, . . . , zn−1 = ei(n−1)2π/n
ya que zn = ein2π/n = ei2π = 1 = z0.Las n raıces de zn = 1 pueden entonces escribirse como
zk = ei2kπ/n = cos(2kπ/n) + i sen(2kπ/n) , k = 0, . . . , n− 1, (2.31)
Todas las raıces satisfacen |zk| = 1, por lo que estan sobre el cırculo unidad |z| = 1.Obviamente, z0 = 1 ∀ n.Las raıces aparecen en pares conjugados: zk = zn−k, pues e−i2πk/n = ei2π(n−k)/n.
La suma de todas las raıces es 0:
z0 + z1 + . . .+ zn−1 = 0
Para n = 2, obtenemos obviamente las dos raıces cuadradas de 1, z0 = 1, z1 = eiπ = −1.Las tres raıces cubicas de 1 son en cambio
z0 = 1
z1 = ei2π/3 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −1
2+ i
√3
2
z2 = ei4π/3 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1
2− i√
3
2= z1
Finalmente, las 4 raıces de z4 = 1 son
z0 = 1, z1 = ei2π/4 = i, z2 = ei4π/4 = −1, z3 = ei6π/4 = −i = z1
Se muestran en la figura las raıces cubicas y cuarticas de 1.
z3=1
z0=1
z1=ei2Π3
z2=ei4Π3
0 ReHzL
ImHzLz4
=1
z0=1
z1=i
z2=-1
z3=-i
0ReHzL
ImHzL
– 15 –
2.5. Raıces de un numero complejo
Podemos ahora facilmente obtener las n raıces de la ecuacion
zn = a+ ib
para a y b reales arbitrarios. Escribiendo a+ ib en la forma polar,
a+ ib = reiφ, r = |a+ ib| =√a2 + b2, φ = arg(a+ ib)
vemos quezk = r1/nei(φ+2kπ)/n
satisfaceznk = rei(φ+2kπ) = reiφ = a+ ib
para todo k entero. Por lo tanto, las n raıces distintas (asumiendo r 6= 0) son
zk = n√r ei(φ+2kπ)/n = n
√r [cos(
φ+ 2kπ
n) + i sen(
φ+ 2kπ
n)] , k = 0, . . . , n− 1
Las n raıces son pues de la forma
zk = n√r eiφ/nei2kπ/n
donde ei2kπ/n son las raıces enesimas de la unidad (ecuacion (2.31)).Por ejemplo, la ecuacion
z2 = a+ ib
escribimos a+ ib = reiφ, con r =√a2 + b2, φ = arg(z), y entonces, las tiene las dos raıces
z0 =√reiφ/2, z1 =
√rei(φ+2π)/2 = −z0
o sea, z = ±√a+ ib, con
√a+ ib =
√reiφ/2 y φ ∈ (−π, π].
Por ejemplo, para resolver la ecuacion
z2 = i
escribimos i en la forma polar, i = eiπ/2, y entonces
z = ±eiπ/4 = ±[cos(π/4) + i sen(π/4)] = ±1 + i√2
Analogamente, las 4 raıces dez4 = −3
son, escribiendo −3 = 3eiπ,
z0 =4√
3eiπ/4 =4√
31 + i√
2, z1 = iz0, z2 = −z0, z3 = −iz0
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2.6. Funciones complejas
Consideraremos aquı funciones complejas de dominio real f : R→ C. Estas tienen laforma general
f(t) = u(t) + iv(t) (2.32)
donde t ∈ R y u(t) = Re[f(t)], v(t) = Im[f(t)] son funciones reales. Un ejemplo de especialinteres es la funcion exponencial compleja
f(t) = eλt, λ = γ + iω ∈ C (2.33)
con γ, ω reales. Aplicando la formula general (2.25), obtenemos
eλt = eγteiωt
= eγt[cos(ωt) + i sen(ωt)] (2.34)
= eγt cos(ωt) + ieγt sen(ωt) (2.35)
o sea, u(t) = eγt cos(ωt), v(t) = eγt sen(ωt).
Asumiendo u(t) y v(t) derivables, la derivada de f respecto de t es la funcion compleja
f ′(t) = u′(t) + iv′(t)
En el caso (2.33) obtenemos, partiendo de (2.35),
(eλt)′ = eγt[γ cos(ωt)− ω sen(ωt) + iγ sen(ωt) + iω cos(ωt)]
= (γ + iω)eγt[cos(ωt) + i sen(ωt)]
= λeλt !! (2.36)
Por lo tanto, la expresion (eλt)′ = λeλt resulta valida tambien para λ complejo. Esteresultado sera esencial a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, y puede obtenersede forma mas general por medio de la teorıa de funciones analıticas de variable compleja,que no trataremos en este curso.
De la misma forma, la integral de f se define como∫f(t)dt =
∫u(t)dt+ i
∫v(t)dt
Se deja como ejercicio mostrar que entonces,∫eλtdt =
eλt
λ+ c
para λ ∈ C, λ 6= 0, donde c ∈ C es en general una constante compleja.Problema: La potencia tλ para λ = γ + iω ∈ C y t ∈ R+ se define como
tλ = eλ ln t = eγ ln teiω ln t
= tγ [cos(ω ln t) + i sen(ω ln t)] (2.37)
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donde ln t es el logaritmo natural. Por ejemplo ti = cos(ln t) + i sen(ln t). Se deja comoejercicio probar que para λ ∈ C, tambien se obtiene
(tλ)′ = λtλ−1
La aplicacion mas simple y comun de las funciones complejas es la representacion defunciones periodicas, por ejemplo de la forma
u(t) = A cos(ωt+ φ) = A[cosωt cosφ− senωt senφ]
tales como una corriente alterna o la posicion de una partıcula en movimiento oscilatorioarmonico. Resulta en general mas conveniente expresar u(t) como
u(t) = Re[Aei(ωt+φ)]
donde hemos asumido A, ω, φ, t reales. Se veran ejemplos en la parte de Ecuaciones Di-ferenciales.
Ejemplo: Movimiento circular. El formalismo complejo es tambien util para tratarproblemas en dos dimensiones. Por ejemplo, el vector posicion de una partıcula que semueve en un cırculo de radio r con velocidad angular constante ω es
Ωt
zHtLr
v
0 ReHzL
ImHzL(x(t), y(t)) = r(cosωt, senωt)
Podemos escribir este par ordenado en forma compleja como
z(t) = reiωt
Si r y ω son constantes, la velocidad de la partıcula sera
v(t) = z′(t) = iωr eiωt = iωz(t)
donde i indica que la velocidad sera tangencial, es decir,perpendicular a z(t) (recordar el significado de multiplicar por i).El modulo de la velocidad es el valor absoluto |v(t)| = ω|z(t)| = ωr. La aceleracion sera
a(t) = z′′(t) = (iω)2reiωt = −ω2z(t)
es decir, antiparalela a z(t) y de modulo |a(t)| = ω2r. Esta es la aceleracion centrıpeta.
Problema: Generalizar los resultados anteriores al caso de velocidad angular variableω(t), tal que z(t) = reiφ(t), con φ′(t) = ω(t). Mostrar que
v(t) = z′(t) = iω(t)z(t)
a(t) = z′′(t) = −ω2(t)z(t) + iω′(t)z(t)
Interpretar el resultado e identificar la aceleracion centrıpeta y la aceleracion tangencial.
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2.7. Ejercicios
1) Encontrar la representacion polar z = |z|eiφ de
a) z = 1− i b) z =
√3 + i
1 + ic) z = −3i d) z =
1
1 +√
3ie) z = −i
2) Mediante la forma polar, evaluar zn en los casos anteriores, y hallar el valor explıcito paran = 6 y n = −3.
3) Dar una expresion de la forma z = x+ yi, con x, y ∈ R, para
a) z = eiπ/6 b) z =eiπ/3
eiπ/2c) z = e−i2π/3eiπ/3
4) Determinar todos los z que satisfacen
a) z2 = i b) z3 = −1 c) z4 = i d) z6 = 1 e) z2 = 1− i
5) Resolver las ecuaciones
a) z2 + 2iz − 1 + i = 0 b) z2 + 2i = 0 c) z4 + 2z2 + 2 = 0
6) Escribir en la forma u(t) + iv(t), con u(t), v(t) funciones reales, las funciones
a) f(t) = e−(1+2i)t b) f(t) = t2e3it c) f(t) = t1+i
7) Determinar las derivadas de las funciones anteriores, y escribir su parte real y su parteimaginaria.
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