CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLGICOS Industrial y de servicios No. 17

APUNTES DE FSICA I

Aporta: M.C. Flix Vicente Jimnez Ros

Abril 2008

Apuntes Fsica I

M.C. Flix Vicente Jimnez Ros

Febrero 2008

ndice Unidad I 1.1.1 Definicin de fsica 1.1.2 Relacin interdisciplinaria 1.1.3 Fenmenos naturales 1.1.4 Suma de vectores 1.1.5 Conversin de unidades de medida 1.1.5.1 Conversin de unidades de un mismo sistema (mltiplos y submltiplos) 1.1.5.2 Conversin de unidades entre sistemas diferentes 1.1.6 Despeje de variables 1.1.7 Mtodo cientfico 1.2 Mecnica 1.2.1 Tipos de movimiento 1.2.1.1 Movimiento rectilneo uniforme 1.2.1.2 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado 1.2.1.3 Movimiento circular uniforme 1.2.1.4 Movimiento circular uniformemente acelerado 1.2.2 Segunda ley de Newton 1.2.3 Ley de la gravitacin universal 1.2.4 Campo gravitacional 1.2.5 Caida libre 1.2.6 Tercera ley de Newton 1.2.6.1 Friccin 1.2.6.2 Fuerza centrpeta Unidad II 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 Equilibrio Equilibrio traslacional Momento de torsin Equilibrio rotacional Equilibrio total Energa mecnica Energa potencial Energa cintica Interconversin entre energas cintica potencial y trmica Trabajo mecnico Potencia mecnica Primera ley de Newton o ley de la inercia Impulso y cantidad de movimiento Conservacin de la cantidad de movimiento y coeficiente de restitucin

Pgina

6 6 6 6 9 9 11 12 15 16 16 16 18 19 20 21 22 23 24 25 25 27

28 28 30 31 31 32 32 33 33 34 35 36 36 37

Unidad III 3.1 3.1.1 3.1.1.1 3.1.1.2 3.1.1.3 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.2.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.1.1 3.3.1.2 3.3.1.3 Hidrulica Hidrosttica Propiedades de los fluidos Principio de Pascal y sus aplicaciones Principio de Arqumedes y sus aplicaciones Hidrodinmica Principio de Venturi Principio de Bernoulli y sus aplicaciones Principio de Torricelli Propiedades mecnicas de los materiales Modulo de Young o modulo de elasticidad Ley de Hooke Movimiento peridico Movimiento armnico simple (MAS) Desplazamiento en el MAS Velocidad en el MAS Aceleracion en el MAS 38 38 38 39 40 41 42 42 44 44 45 47 47 48 48 48 49

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Introduccin El conocimiento de la fsica es esencial paras comprender nuestro mundo. Ninguna otra ciencia ha intervenido en forma tan activa para revelarnos las causas y efectos de los hechos naturales. Basta dar un vistazo al pasado para percibir que la continuidad entre la experimentacin y el descubrimiento abarca desde las primeras mediciones de la gravedad hasta las ltimas conquistas de la era espacial. Por medio del estudio de los objetos en reposo y en movimiento, los cientficos han logrando encontrar leyes fundamentales que tienen amplias aplicaciones en ingeniera mecnica. La investigacin acerca de la electricidad y el magnetismo ha producido nuevas fuentes de energa y mtodos novedosos para distribuirla, a fin de que el ser humano la aproveche. La comprensin de los principios fsicos que rigen la produccin del calor, luz y sonido nos ha aportado innumerables aplicaciones que nos permiten vivir con mas comodidad y aumentan nuestra capacidad para adaptarnos al medio ambiente. Es difcil imaginar siquiera un producto, de los que disponemos hoy en da, que no sea una aplicacin de algn principio fisico. Esto significa que, independientemente de la carrera que se haya elegido, siempre es necesario entender la fsica por lo menos hasta cierto punto. Aun cuando resulta claro que alguna ocupaciones y profesiones no requieren una comprensin tan profunda como la que exigen las aplicaciones de ingeniera, la verdad es que en todos los campos de trabajo se usan y aplican estos conceptos. Contando con slidos conocimientos de mecnica, calor, sonido y electricidad, el lector contara con los elementos necesarios para cimentar casi cualquier profesin. Particularmente la materia de fsica uno estudia la parte mecnica de la fsica misma que se divide en tres unidades. La primera se encarga de los conceptos bsicos pero imprescindibles que el estudiante debe poseer para desarrollar satisfactoriamente los temas subsecuentes. Estos apuntes desarrollan en la mayora de los casos las formulas empleadas en fsica para que el estudiante observe como se interrelacionan todos los parmetros que intervienen en un sistema fsico. Adems la solucin guiada de ejercicios contena en estos apuntes es importante, para que posteriormente el alumno de manera autnoma pueda resolver diferentes ejercicios con distinto grado de dificultad Fundamentacin A partir del marco de la Reforma Curricular del Bachillerato Tecnolgico, el estudio de la Fsica como ciencia, contempla un enfoque interdisciplinario. Tal enfoque se dirige al estudio de conceptos fundamentales y subsidiarios que permitan al estudiante construir un pensamiento categorial o complejo. Esto es fundamental para sentar las bases y adquirir las herramientas que les permitan comprender el por qu de los fenmenos naturales propios del estudio de Fsica. Lo anterior requiere que sea el estudiante quien construya sus propios aprendizajes, para que estos le sean significativos. Construir tales aprendizajes implica que el docente juegue un papel de mediador y facilitador durante el proceso de aprendizaje. Dichos aprendizajes debern ser abordados en relacin con los valores universales de Libertad, Justicia, Equidad y Solidaridad, as como con los procedimientos vinculados a los avances tecnolgicos. Por lo tanto, los propsitos generales de la asignatura de Fsica son: 1. Comprender y analizar los fenmenos que ocurren en la naturaleza, adems de dimensionarlos en relacin con su entorno. 2. Desarrollar la habilidad para resolver problemas a partir de aplicar sus conocimientos en la utilizacin de los recursos en forma racional y equilibrada. 3. Estructurar su pensamiento formal a partir de categoras, as como de conceptos fundamentales y subsidiarios que le permitan comprender y analizar los fenmenos naturales en su complejidad. 3.1 objetivos de la asignatura de Fsica I Que el estudiante: Comprenda y analice la importancia del estudio de la Fsica y su relacin con el entorno, mediante la participacin en secuencias didcticas en el aula y el desarrollo de actividades fuera de ella. Construya conceptos propios de la disciplina, tales como: movimiento, fuerza, masa y propiedades de la materia para que los vincule con el desarrollo tecnolgico. Adquiera habilidades procedimentales que le permitan plantear y solucionar problemas, propiciando con ello la construccin del pensamiento categorial que conlleve a su aplicacin en otras reas del conocimiento.

3.2 objetivos de la asignatura de Fsica II

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Que el estudiante: Identifique los fenmenos electromagnticos en la naturaleza, diferencindolos de los fenmenos mecnicos y explique el comportamiento de los fenmenos mecnicos y sistemas trmicos, a travs del aprendizaje de los conceptos fundamentales, subsidiarios y leyes comprendidas en la presente asignatura. Aplique dichos conceptos en la solucin de problemas reales para que transite de la lgica de lo cotidiano al pensamiento cientfico, utilizando como herramientas las secuencias didcticas y los temas integradores.

3.3 objetivos de la asignatura de Temas de Fsica Que el alumno: Retome los principios bsicos fundamentales analizados y comprendidos en la Fsica I y Fsica II. Desarrolle y aplique un pensamiento categorial o complejo, mediante el uso de los conceptos fundamentales previamente estudiados para el anlisis y la solucin de problemas. Construya su propio pensamiento lgico realizando modelos y prototipos de desarrollo tecnolgico, fundamentados en temas integradores del curso de fsica y de la regin. Se introduzca en el mbito del mundo subatmico con la finalidad de comprender la mecnica cuntica y la teora de la relatividad, a travs de sus aplicaciones.

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8. CONTENIDOS TEMTICOS DE LAS ASIGNATURAS DE FSICAFSICA I, COMPONENTE DE FORMACIN BSICA 4 SEMESTRE 4HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 1.1.1 Definicin de fsica y ubicacin de la asignatura. 1.1.2 Relacin interdisciplinaria. 1.1.3 Fenmenos naturales. 1.1.4 Suma de vectores 1.1.5 Conversin de unidades de medida 1.1.5.1 De un mismo sistema (mltiplos y submltiplos) 1.1.5.2 Entre sistemas diferentes 1.1.6 Despeje de variables 1.1.7 Mtodo cientfico 1.2 MECNICA 1.2.1 Tipos de movimiento 1.2.1.1 Movimiento Rectilneo uniforme 1.2.1.2 Movimiento Rectilneo uniformemente Acelerado 1.2.1.3 Movimiento Circular Uniforme 1.2.1.4 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado 1.2.2 Segunda ley de Newton 1.2.3 Ley de la gravitacin universal 1.2.4 Campo gravitacional de la tierra 1.2.5 Cada libre 1.2.6 Tercera ley de Newton 1.2.6.1 Friccin esttica 1.2.6.2 Fuerza centrpeta UNIDAD II 2.1 Equilibrio 2.1.1 Equilibrio traslacional 2.1.2 Momento de torsin 2.1.3 Equilibrio rotacional 2.1.4 Equilibrio total 2.2 Energa mecnica 2.2.1 Energa potencial 2.2.2 Energa cintica 2.2.3 Interconversin de energas cintica y potencial 2.2.4 Trabajo mecnico 2.2.5 Potencia mecnica 2.2.6 Primera Ley de Newton (inercia) 2.2.7 Impulso y cantidad de movimiento 2.2.8 Conservacin de la cantidad de movimiento y coeficiente de restitucin UNIDAD III 3.1 Hidrulica 3.1.1 Hidrosttica 3.1.1.1 Propiedades de los fluidos 3.1.1.2 Principios de Pascal y sus aplicaciones 3.1.1.3 Principio de Arqumedes y sus aplicaciones 3.1.2 Hidrodinmica 3.1.2.1 Principio de Venturi 3.1.2.2 Principio de Bernoulli y sus aplicaciones 3.1.2.3 Principio de Torricelli 3.2 Propiedades mecnicas de los materiales 3.2.1 Mdulo de Young 3.2.2 Ley de Hooke 3.3 Movimiento peridico 3.3.1 Movimiento armnico simple (MAS) 3.3.1.1 Desplazamiento en el MAS 3.3.1.2 Velocidad en el MAS 3.3.1.3 Aceleracin en el MAS FSICA II COMPONENTE DE FORMACIN BSICA 5 SEMESTRE 4 HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 ENERGA TRMICA, CALOR Y TEMPERATURA 1.1.1 Escalas de temperatura 1.1.2 Cambios provocados por el calor 1.1.3 Dilatacin 1.1.4 Formas de transmisin del calor 1.1.5 Cantidad de calor 1.1.6 Transferencia de calor 1.1.7 Leyes de los gases 1.1.8 Ley General de los Gases 1.1.9 Gases ideales 1.2 ELECTRICIDAD (electrosttica) 1.2.1 Carga elctrica 1.2.2 Conservacin de la carga elctrica 1.2.3 Formas de electrizacin 1.2.4 Ley de Coulomb UNIDAD II 2.1 Campo y potencial elctrico 2.1.1 Campo elctrico 2.1.2 Intensidad del Campo Elctrico 2.1.3 Potencial elctrico 2.2 Capacitancia 2.2.1 Limitaciones de carga en un conductor 2.2.2 El capacitor 2.2.3 Clculo de la capacitancia 2.2.4 Constante dielctrica 2.2.5 Capacitores en serie y en paralelo 2.2.6 Energa de un capacitor cargado 2.3 ELECTRICIDAD (electrodinmica; Corriente elctrica continua o directa) 2.3.1 Intensidad de corriente elctrica 2.3.2 Leyes y Circuitos elctricos 2.4 ELECTRICIDAD (electrodinmica; corriente elctrica alterna) 2.4.1 Solucin de circuitos UNIDAD III 3.1 MAGNETISMO 3.1.1 Campo magntico 3.1.2 Imanes 3.1.3 Propiedades de los materiales magnticos 3.1.4 Circuitos magnticos 3.1.5 Leyes magnticas. 3.2 Electromagnetismo 3.2.1 Electroimn 3.2.2 Aplicaciones 3.2.3 Motores 3.2.4 Generadores 3.2.5 Transformadores TEMAS DE FSICA COMPONENTE DE FORMACIN PROPEDUTICA 5 HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1 SISTEMA BIDIMENSIONAL 1.1.1 Tiro parablico. 1.1.2 Interpretacin grafica de tiro parablico 1.1.3 Movimiento circular 1.1.4 Velocidad angular 1.1.5 Periodo y frecuencia 1.1.6 Aceleracin angular 1.2 SISTEMA TRIDIMENSIONAL 1.2.1 Condiciones de equilibrio 1.2.2 Momento de fuerzas 1.2.3 Centro de masas 1.2.4 Centro de gravedad UNIDAD II 2.1 Procesos termodinmicos 2.1.1 Isotrmicos 2.1.2 Isobricos 2.1.3 Isocricos 2.1.4 Adiabticos 2.1.5 Diatrmicos 2.2 ptica 2.2.1 Electricidad de la luz 2.2.2 Caractersticas de la luz 2.2.3 Espejos y lentes 2.2.4 Interferencia 2.2.5 ELECTRICIDAD y Refraccin 2.2.6 Polarizacin UNIDAD III 3.1 ELECTRICIDAD 3.1.1 Circuitos elctricos de C.D. 3.1.2 Leyes de Kirchoff 3.1.3 Mallas y nodos 3.1.4 Circuitos elctricos de C. A. 3.1.5 Circuitos R-L 3.1.6 Circuitos R-C 3.1.7 Circuitos R-L-C 3.2 INTERACCIONES MATERIAENERGA FSICA MODERNA 3.2.1 Mecnica cuntica 3.2.2 Teora Atmica. 3.2.3 Teora Nuclear. 3.2.4 Mecnica relativista 3.2.5 Teora de la Relatividad. 3.2.6 Cosmologa.

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UNIDAD I 1.1.1 FSICA Es la ciencia que estudia los conceptos fundamentales de la materia, la energa, el espacio y la relacin entre ellos, con lo que se pueden explicar sucesos tales como: La cada de los objetos Las descargas atmosfricas Los colores del arco iris La lluvia Los tornados El sonido Y todo lo que ocurre a nuestro alrededor

Las reas de la fsica son: mecnica, calor, luz, sonido, electricidad y estructura atmica. Es importante especificar que la mecnica estudia la posicin (esttica) y el movimiento (dinmica) de la materia en el espacio. 1.1.2 RELACIN INTERDISCIPLINARIA

Una de las herramientas ms tiles de la fsica es la matemtica, porque gracias a ella se pueden justificar todos sus principios. Adems la fsica tiene un campo de aplicacin muy amplio, a tal grado que actualmente existen varias especialidades que la aplican, entre ellas estn la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica, la geofsica, y muchas otras. 1.1.3 FENMENOS NATURALES

La fsica analiza, explica o busca la explicacin de diversos fenmenos naturales, alguno de ellos son: La lluvia La descargas elctricas atmosfricas La cada de los objetos La electricidad La atraccin magntica entre metales El cambio de fase del agua y de algunos otros compuestos en funcin de la temperatura El sonido La luz El tiempo 1.1.4 SUMA DE VECTORESMagnitud Sentido

Vector. Es la representacin de una cantidad vectorial, la cual tiene: magnitud, direccin y sentido. La magnitud se representa por una lnea recta cuya longitud es proporcional a la magnitud de la cantidad, la direccin se representa por medio del ngulo de inclinacin de la lnea y el sentido mediante una punta de flecha colocada en el extremo de la lnea. La figura a la derecha indica las partes de un vector.El ngulo es positivo si se mide en sentido + contrario de las manecillas del reloj El ngulo es negativo si se mide en sentido de las manecillas del reloj

Direccin

0

La figura de la izquierda indica las dos formas de medir el ngulo de un vector

La abscisa positiva es la referencia para medir los ngulos

Ejemplo 1. Representar los vectores 5 130 y 5 -250 Solucin5 130 250 5

Observe que los dos vectores son iguales, solo que el primero se abate en sentido contrario a las manecillas del reloj y el segundo se abate en el sentido de las manecillas del reloj

Un mismo vector se puede indicar y representar de dos formas: 25

Forma Polar. Magnitud ngulo . Ejemplo 1. Representar grficamente el vector 25 60

60

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Solucin. A la derecha est la representacin grafica Forma rectangular. Componente en X, componente en Y. Ejemplo 2. Representar el mismo vector anterior 25 60 en su forma rectangular Solucin. 25cos60 = 12.5 sobre el eje X 25sen60 = 21.65 sobre el eje Y A la derecha est la representacin grafica21.65 12.5

CANTIDADES FSICAS ESCALARES VECTORIALES Cantidades que solo tienen Cantidades que tienen magnitud, direccin y magnitud sentido Cantidad Unidad (smbolo) Cantidad Unidad (smbolo) Distancia s Metro (m) desplazamiento s Metro (m) Rapidez v Metro/segundo (m/s) Velocidad Metro/segundo (m/s) v Metro/segundo2 Aceleracin a Aceleracin Metro/segundo2 (m/s2) a (m/s2) Temperatura T Kelvin (K) Fuerza Newton (N) F Masa m Kilogramo (kg)

Nota. Observe en la tabla que la representacin de las cantidades vectoriales es con letras negritas

Para sumar algebraicamente dos o ms cantidades vectoriales estas deben de ser concurrentes. La suma de vectores se puede aplica para determinar: Qu equipo ganar en el juego de tiro de cuerda La tensin que soporta cada una de las cuerdas que sostienen un determinado peso La carga de cada uno de los soportes de una estructura El desplazamiento efectivo de un mvil

Los vectores ms fciles de sumar con cualquier mtodo (grafico o analtico) son los vectores colineales (vectores que comparten una misma lnea), ya que la resultante se obtiene con solo sumar algebraicamente los vectores que estn en la misma lnea. 20 N30 N 50 N

Resultante3N

Ejemplo1. Sumar los 5 vectores colineales mostrados en el dibujo Solucin. Observar que la resultante es un solo vector la direccin de los que ganan en la suma algebraica

10 N 25 N 12 N 47 N

continua y Representacin de un vector ortogonales unidos vectores

Representacin en forma polar. Se representa mediante la magnitud del vector y su ngulo. En la figura de la derecha es el vector representado con lnea el ngulo . Magnitud ngulo. Por ejemplo 5 53.13 Representacin en forma rectangular. Se representa mediante dos vectores unidos (fin de flecha con inicio de flecha). En la figura de la derecha son los representados con lnea punteada. El vector en su representacin polar 5 53.13 equivale al vector 3X+4Y ( 3+4j) en su representacin rectangular

5=53.1

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Mtodo grafico. Conservando todos los vectores: su direccin, sentido y una misma escala apropiada: 1. Se dibuja uno de los vectores (cualquiera) 2. Se dibuja otro vector cualquiera a partir de la punta de flecha del anterior (uniendo inicio con punta de flecha) 3. Se repite el paso anterior hasta unir todos los vectores 4. El vector resultante es el que va del inicio de flecha del primer vector dibujado a la punta de flecha del ltimo vector dibujado 5. La magnitud del vector resultante es la longitud de la flecha multiplicada por la escala empleada, su direccin es el ngulo medido con el transportadora a partir de la abscisa positiva. Mtodo analtico. 1. Todos los vectores se descomponen en sus componentes rectangulares X y Y del plano cartesiano ya sea mediante las funciones coseno y seno La componente en X = magnitudcos La componente en Y = magnitudsen mediante la funcin REC

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2. 3. 4. 5.

REC(magnitud , ngulo = con esto obtenemos la componente en X , y si la calculadora no indica la componente Y, teclear ALPHA F para obtenerla. Se suman algebraicamente todos los vectores en X obteniendo uno solo Se hace lo mismo para los vectores en Y Se usa el teorema de Pitgoras para obtener la RESULTANTE= (X )2 + (Y )2 Se usa la funcin tangente inversa para obtener el ngulo del vector resultante: = tan 1

Y X

, pero cuando

la resultante cae en el II o III cuadrante, se debe corregir el ngulo obtenido por la funcin tan-1, sumando o restando 180 al ngulo NOTA: Los pasos 4 y 5 se pueden realizar mediante la funcin POLAR, en donde el ngulo ya no se tiene que corregir, ya que esta funcin opera los 360. El procedimiento es: POL(X,Y = , si la calculadora no indica el ngulo, teclear ALPHA F para obtenerlo. EJEMPLO 1 a. Representar los siguientes vectores de fuerzas concurrentes en el plano cartesiano: 30 20; -20 50 ; -40 -60 b. Sumarlos por el mtodo grafico Solucin. a.30 40 N 20 N 40 30 N 20

Solucin b. El material requerido para sumar vectores por el mtodo grafico es: regla, transportador y lpiz PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA SUMAR VECTORES POR EL MTODO GRAFICO, (los pasos descritos se indican tambin en los dibujos mas abajo) 1. Para dibujar un primer vector (cualquiera). Dibuje una marca de centro (una cruz) y coloque en esta, la marca de centro del transportador para medir el ngulo. Marque el ngulo medido 2. Retire el transportador y con una regla trace una lnea que pase por las dos marcas, remarque el vector que va desde la marca de centro y que tiene una longitud acorde a la magnitud y a una escala apropiada de tal manera que el vector no sea ni muy pequeo ni muy grande. 3. Dibuje los otros vectores siguiendo los mismos pasos (1 y 2), solo que ahora la marca de centro es la punta de flecha del ltimo vector dibujado. 4. El vector resultante es el vector que va desde el inicio de flecha del primer vector dibujado hasta la punta de flecha del ltimo vector dibujado. La magnitud se obtiene multiplicando la longitud del vector por la escala elegida 5. Con el transportador colocado horizontalmente se mide el ngulo del vector resultante.

40 N

40 N

40 N

Paso 1

Paso 230 N

Paso 3,130 N

Paso 3,230 N 20 N 40 N

30 N

40 N

40 N

40 N

Vector resultante 29.5N

ngulo del Vector resultante 100 Vector resultante 29.5 100

Paso 3,1

Paso 3,2

Paso 4

Paso 5

SUMA DE VECTORES NO COLINEALES POR EL MTODO ANALTICO Ejemplo 1 Sumar analticamente los mismos vectores anteriores que se sumaron por el mtodo grafico

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Solucin 1. Se tabulan todos los vectores en su forma polar (Magnitud ngulo ) Nota importante. Para la representacin polar el ngulo se mide a partir de la abscisa positiva, es negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj y positivo si se mide en sentido opuesto. 2. Se obtienen las componentes rectangulares de cada vector La siguiente tabla indica el procedimiento para pasar de representacin polar a rectangular, por medio de la funcin REC o por medio de las funciones cos y sen 3. Se sumas todas las componentes en X y tambin todas las componentes en Y, obteniendo as la resultante en forma rectangular 4. La resultante en forma polar se puede obtener mediante la funcin POL POL (X,Y = para obtiene la magnitud del vector, inmediatamente despus con ALPHA F = se obtiene el ngulo Algunas calculadores muestran la magnitud y ngulo simultneamente, o ambas componentes rectangulares (no es necesario ALPHA F = ) Representacin polar Magnitud Angulo 30 20 40 120 20 -130 29.95 98.97 Representacin rectangular X=Magnitudcoseno Y=Magnitudseno 30 cos 20 = REC(30,20 = 28.19 30 sen 20 = ALPHA F = 10.26 40cos 120 = REC(40,120 = -20 40 sen 120 = ALPHA F = 34.64 20cos -130= REC(20,-130 = -12.86 20 sen-130 =ALPHA F = -15.32 X = - 4.67 X = 29.58

RESULTANTE

Resultante en polar: POL(-4.67,29.58

= 29.95 ALPHA F = 98.97

1.1.5

CONVERSIN DE UNIDADES

Sistemas de unidades de medidaSISTEMA INTERNACIONAL (SI) Cantidad Unidad Smbolo Longitud metro M Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente elctrica Ampere A Temperatura kelvin K Intensidad luminosa Candela cd Cantidad de sustancia mol Mol ngulo plano radian rad ngulo slido Estereorradin sr Cantidad Longitud Masa Tiempo Fuerza (peso) temperatura SISTEMA INGLES Unidad Pie Slug, libra masa segundo Libra fuerza Rankine Smbolo M Slug, lbm S lb R

1.1.5.1 CONVERSIN DE UNIDADES DE UN MISMO SISTEMA o Lineales o Cuadrticas o Cbicas Conversin de unidades de diferentes sistemas

CONVERSIN DE UNIDADES LINEALES DE UN MISMO SISTEMA En la figura de la derecha estn en orden ascendente las unidades de medida de longitud o de desplazamiento. As se observa fcilmente que: 10 mm=1cm, 10 cm=1dm, 10dm=1m, 100 mm=1 dm, 1000 mm=1 m, 1000cm=Dm, 100dm=Dm, 100,000 cm=1 km, 10Dm=0.01cm, etctera. Ejemplo 1. Convertir 10 metros a su equivalente en kilmetros Solucin 10 m = 0.01 km Lgica de la conversin De acuerdo a la figura anterior, se observa que la unidad de medida km es 1000 veces mayor que la unida metro, por lo que para establecer la igualdad el nmero que precede a km debe ser 1000 veces menor, que es lo mismo a recorrer el punto decimal 3 lugares a la izquierda. Si la unidad de medida a convertir es 10n mayor, su nmero debe ser 10n menor Ejemplo 2 Convertir 35.2 cm a Hm Solucin.

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En la figura anterior se observa que Hectmetros es 10,000 veces mayor que centmetros, por lo que su nmero debe ser 10,000 veces menor, lo que equivale a recorrer el punto 4 lugares a la izquierda 35.2 cm = 0.000352 Hm Si la unidad de medida a convertir es 10n menor, su nmero debe ser 10n mayor Ejemplo 3 Convertir 35.2 Hm a dm Solucin. En la figura anterior se observa que decmetros es 1000 veces menor que hectometros, por lo que su nmero debe ser 1000 veces mayor, lo que equivale a recorrer el punto 3 lugares a la derecha 35.2 Hm = 35200 dm

Notacin cientfica de un nmero. Se forma con el primer digito significativo del nmero, un punto decimal y los otros dos o tres dgitos siguientes seguidos por la potencia de diez, con el exponente igual a los lugares que se debe recorrer el punto decimal para obtener el nmero originalEjemplo 1 La siguiente tabla muestra 6 nmeros y su representacin cientfica CORRECTA Numero Notacin cientfica 0.00256 2.56x10-3 Una potencia negativa de diez recorre el punto 453629 4.53629x105 decimal a la izquierda 23.236 2.3236x101 Una potencia positiva de diez recorre el punto 0.01236 1.236x10-2 decimal a la derecha 6 236.89x10 2.369x108 -9 0.000235x10 2.35x10-13 Ejemplo 2 Las filas de la siguiente tabla se llenaron a partir del dato indicado en negrita. Con la finalidad de practicar la notacin cientfica, Los nmeros estn en notacin decimal y cientfica, pero en la prctica solo los nmeros con varios dgitos (ms de 5) se representan con notacin cientfica.mm cm dm 0.5=5x10-1 0.05=5x10-2 5=5x100 0.012=1.2x10-2 0.00012=1.2x10-4 0.001=1.2x10-3 2 1 270=2.7x10 27=2.7x10 2.7=2.7x100 20=2x101 2=2x100 0.2=2x10-1 853000=8.53x105 85300=8.53x104 8530=8.53x103 235600000=2.356x108 23560000=2.356x107 2356000=2.356x106 63.2=6.32x1013 632=6.32x1012 6320=6.32x1011 m 0.005=5x10-3 0.000012=1.2x10-5 0.27=2.7x10-1 0.02=2x10-2 853=8.53x102 235600=2.356x105 63200=6.32x1010 Dm Hm km 0.0005=5x10-4 0.00005=5x10-5 0.000005=5x10-6 0.0000012=1.2x10-6 0.00000012=1.2x10-7 0.000000012=1.2x10-8 0.027=2.7x10-2 0.0027=2.7x10-3 0.00027=2.7x10-4 0.002=2x10-3 0.0002=2x10-4 0.00002=2x10-5 85.3=8.53x101 8.53=8.53x100 0.853=8.53x10-1 23560=2.356x104 2356=2.356x103 235.6=2.356x103 632000=6.32x109 6320000=6.32x108 63200000=6.32x107

Ejercicio. Llenar la siguiente tabla desordenada, representando los nmeros en notacin normal y cientficaHg 5=5x100 mg 0.0012=1.2x10-3 2.7=2.7x100 0.02=2x10-2 85.3=8.53x10 2356=2.356x103 63200000=6.32x107

Dg

cg

kg

g

dg

CONVERSIN DE UNIDADES CUADRTICAS Y CBICAS DE UN MISMO SISTEMA Los siguientes cuadrados tienen las mismas dimensiones y por lo tanto tienen la misma rea2 cm A=4 cm2 A=400 mm2 20 mm

De acuerdo a los ejercicios anteriores se determina fcilmente que 4 cm = 40mm y como las reas de los cuadrados son iguales se observa que 4cm2=400 mm2

2 cm

20 mm

Ahora se tienen dos cubos con las mismas dimensiones y por lo tanto tienen el mismo volumen De acuerdo a los ejercicios anteriores se determina que: 8 cm = 80 mm 8 cm2 = 800 mm2 y 8cm3 = 8000 mm3 (de acuerdo a la figura)

20 mm

2 cm

V=8 cm3 2 cm 2 cm

V=8000 mm3 20 mm 20 mm

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Entonces si nos apoyamos en la figura de la derecha donde aparecen ordenadas ascendentemente las unidades de masa, podemos hacer conversiones lineales, cuadrticas y cbicas. Submltiplos Mltiplos Ejemplo1: Obtenga las siguientes conversiones 1. 23.6 Hg a cg. mg cg dg g Dg Hg kg 2. 23.6 Hg2 a cg2 3 3 3. 23.6 Hg a cg Solucin. 1. Como la unidad de medida cg es 104 veces menor que la unidad de medida Hg (segn la figura hay que dar 4 pasos de Hg a cg ), entonces el nmero que precede a cg debe ser 104 veces mayor 23.6 Hg = 236000 cg = 2.36x105 cg 2. Como la unidad de medida cg2 es 108 veces menor que la unidad de medida Hg2, entonces el nmero que precede a cg2 debe ser 108 veces mayor 23.6 Hg2 = 2360000000 cg2 = 2.36x109 cg2 3. Como la unidad de medida cg3 es 1012 veces menor que la unidad de medida Hg3, entonces el nmero que precede a cg3 debe ser 1012 veces mayor 23.6 Hg3 = 23600000000000 cg3 Ejemplo 2. Las filas de la siguiente tabla se llenaron a partir del dato indicado en negrita en este caso solo se usara notacin cientfica si el dato consta de mas de siete dgitosmm2 5 0.12 27000 20000 8.53x109 2.356x1013 6.32x1019 cm2 0.05 0.0012 270 200 85300000 2.356x1011 6.32x1017 dm2 0.0005 0.00001.2 2.7 2 853000 2.356x109 6.32x1015 m2 5x10-6 1.2x10-7 0.027 0.02 8530 23560000 6.32x1013 Dm2 5x10-8 1.2x10-9 0.00027 0.0002 85.3 235600 6.32x1011 Hm2 5x10-10 1.2x10-11 0.000027 0.000002 0.853 2356 6.32x109 Km2 5x10-12 1.2x10-13 0.00000027 2x10-8 0.00853 23.56 63200000

1.1.5.2 CONVERSIN DE UNIDADES ENTRE SISTEMAS DIFERENTES Para realizar estas conversiones es necesario conocer las equivalencias entre unidades de diferentes sistemas. A continuacin se muestran las equivalencias entre las unidades ms usuales de los sistemas mtrico decimal e inglesMedidas de longitud 1m = 1.094 yd = 3.2808 ft = 39.37 in = 0.000621372 mi = 0.5467469 bz Medidas de superficie 1m2 = 1.196 yd2 = 10.764 ft2 = 1550 in2 = 3.86x10-7 mi2 = 0.298932 bz2 Medidas de volumen 1m3 = 1.308 yd3 =35.314 ft3 = 61023.38 in3 = 2.399x10-10 mi3 = 0.16344 bz3 = 1000 l = 264 gal = 33814.628 oz Medidas de masa 1 kg = 2.2046 lb = 35.27 ozmi= milla ft= pie yd=yarda m=metro bz=braza in=pulgada oz= onza l = litro mil=milsima kg=kilogramo de pulgada gal=galn lb=libra

Para realizar conversiones de unidades de diferentes sistemas se usara el mtodo producto unitario Caractersticas de un producto unitario Al multiplicar una expresin matemtica por la unidad el resultado es la misma expresin matemtica Ejemplos: 4X(1)=4X 645XYZ2(1)=645XYZ245 X 3Y 45 X 3Y (1) = 3C D 3C D

Al dividir dos expresiones iguales o equivalentes el resultado es la unidad Ejemplos:

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Para eliminar una unidad de medida, esta debe colocarse en el lugar opuesto en el producto unitario, esto es: Si la unidad de medida a eliminar esta arriba, esta debe colocarse abajo en el producto unitario y su equivalencia arriba Si la unidad de medida a eliminar esta abajo, esta debe colocarse arriba en el producto unitario y su equivalencia abajo Ejemplo 1 A cuantas libras equivalen 34.7 kg Solucin. 2.2046lb . Observar que como queremos quitar kg, entonces kg se coloca abajo en el producto unitario y 34.7 kg 1kg = 76.5lb

entonces kg entre kg es la unidad y esta se puede omitir, quedando el resultado en libras. Ejemplo 2 Cual es su equivalente de 65.23x105 kgm/s2 en lbft/h2? Solucin 65.23x10 5 kg m / s 2 2.2046 lb 3.2808 ft 3600 s = 6.1145 x1014 lb ft / h 2 1kg 1m 1h 2

Ejemplo 3 Obtener la equivalencia de 0.0231lbgal/ft3oz2 en kgl/cm3g2 Solucin. 1kg 1000l 3.2808 ft 0.0231 lb gal / ft 3 oz 2 2.2046lb 264 gal 100cm 3

35.27oz 9 3 2 1000 g = 1.744 x10 kg l / cm g

2

Ejercicios. Convertir las siguientes unidades: (Las unidades compuestas de los ejercicios siguientes no representan ninguna cantidad fsica, solo se usan para propsitos de prctica de conversin de unidades) a. 253.26 oz2lb/ftgalin3 en gkg/ydlcm3 b. 3.23x10-4 kglcm2/gms en ozgalyd2/lbfth c. 5263 gm4/kg2cm3 en ozin4/lb2ft3 d. 0.0236 ftoz2lb3/gal3inyd2 en cmg2kg3/cm9mcm2

1.1.6

DESPEJE DE VARIABLES

La lgica de despeje de una variable se centra en la conservacin de la igualdad en una ecuacin, por lo que las operaciones que se realicen para ir despejando la variable deben ser operaciones miembro a miembro. Entonces para ello se plantean tres pasos a seguir: 1. Identificar la ubicacin de la variable a despejar (primero o segundo miembro), en el caso que este en ambos miembros, primero hay que trasladar ambas a uno de los dos miembros 2. Identificar la operacin general en dicho miembro, la cual si es: a. Suma o resta. Los trminos que no contienen la variable se eliminan del miembro, restndolos si estn sumando o sumndolos si estn restando pero sin olvidar que la suma o resta debe ser en ambos miembros de la ecuacin. b. Multiplicacin o divisin. Los trminos que no contienen la variable se eliminan del miembro; si estn multiplicando se dividen o si estn dividiendo se multiplican en ambos miembros de la ecuacin. c. Potencia o raz. Para quitar una potencia se saca su respectiva raz a ambos miembros de la ecuacin, o para quitar una raz, se eleva a su respectiva potencia ambos miembros de la ecuacin. 3. Para el caso de que la variable a despejar este en ambos miembros, entonces hay que ubicarlas en un solo miembro y repetir el paso No. 2 hasta que la variable quede completamente despejada. PARA COMPROBAR LOS DESPEJES INICIAREMOS CON EJEMPLOS ARITMTICOS Es indiscutible que 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 es una ecuacin o igualacin, ya que simplificando ambos miembros se obtiene 19=19. De aqu que para conservar la igualacin o ecuacin, la operacin que se realice a uno de los miembros tambin debe realizarse al otro. Si al primer miembro se suman 6 entonces para conservar la igualdad al segundo miembro tambin se suman 6: 19+6=19+6 o sea 25=25 Si el segundo miembro se divide entre 5, para conservar la igualdad tambin el primer miembro se divide entre 5: 19/5=19/5 o sea 3.8=3.8, etctera, etctera, etctera. PARA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS EL NUMERO AL INICIO CORRESPONDE AL DE LOS TRES PASOS Ejemplo 1. De la ecuacin 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 6 1. El numero a despejar esta en el primer miembro

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2.

La operacin general en el primer miembro son sumas o restas. Por lo que para eliminar los trminos no requeridos se suman o restan estos en ambos miembros de la ecuacin: 4-4+6-3+3+12-12 = (10+2)*2-5-4+3-12, quedando el numero 6 despejado 6=(10+2)*2-5-4+3-12 y con lo que se puede comprobar que 6 = 6

Ejemplo 2. De la ecuacin 4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 10 1. El numero a despejar esta en el segundo miembro 2. La operacin general en el segundo miembro es una resta. Por lo que para eliminar el trmino no requerido y para conservar la igualacin, se suman 5 a ambos miembros de la ecuacin 4+6-3+12+5 = (10+2)*2-5+5, simplificando la ecuacin 4+6-3+12+5 = (10+2)*2. Como aun no esta despejado el numero 10, se repite el paso 2 2. La operacin general en el miembro donde esta el numero a despejar es una multiplicacin, por lo que para despejar el numero 10 y para conservar la igualacin hay que dividir entre 2 a ambos miembros de la ecuacin: 4 + 6 3 + 12 + 5 (10 + 2) * 2 = . Simplificando el segundo miembro se observa que 2 entre 2 es igual a 1 por lo que en un 2 2 4 + 6 3 + 12 + 5 trmino o producto el uno puede omitirse, quedando la ecuacin de la siguiente forma = (10 + 2) . Como 2 aun no est despejado el numero 10, se repite el paso 2 2. La operacin general en el miembro donde esta el numero a despejar es una suma; para despejar el 10 y conservar la 4 + 6 3 + 12 + 5 igualacin hay que restar 2 a ambos miembros de la ecuacin: 2 = 10 + 2 2 . Simplificando el 2 4 + 6 3 + 12 + 5 segundo miembro entonces el numero 10 queda despejado 2 = 10 . Pudindose comprobar que 2 10=10 Ejemplo 3. De la ecuacin 1. 2. 4 + 2 * 4 6 * 7 22 13 + 15 8 , despejar el numero 3 = 2 5 1 32 4

El numero se encuentra en el primer miembro La operacin general en el primer miembro es una multiplicacin. En este caso para que la ecuacin no se vuelva muy compleja, para eliminar el factor 4 + 2 * 4 y para conservar la igualdad se multiplican ambos miembros de la ecuacin 5 1 5 1 , quedando la ecuacin de la siguiente manera por su reciproco 4 + 2*4

3.

5 1 4 + 2 * 4 6 * 7 22 13 + 15 5 1 5 1 . = 8 2 4 + 2*4 4 + 2*4 4 + 2 * 4 5 1 3 2 4 6 * 7 22 13 + 15 5 1 5 1 . Se repite el paso 2 2 = 8 2 4 + 2*4 4 + 2*4 3 4

Simplificando el primer miembro se tiene:

2. La operacin general donde se encuentra el nmero a despejar es una raz cuadrada. Para eliminar el radical y para conservar la igualdad, se elevan ambos miembros al cuadrado: 6 * 7 22 = 13 + 15 5 1 8 5 1 . 2 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 3 4 2 2

Simplificando el primer miembro: 6 * 7 22 = 13 + 15 5 1 8 5 1 . Se repite el paso 2 23 4 2 4 + 2*4 4 + 2 * 4

2

2. La operacin general es una divisin, y entonces se requiere eliminar la expresin 6*7-22 sobre el quebrado del primer miembro, para ello hay que dividir ambos miembros de la ecuacin por 6*7-22, obteniendo:1 1 6 * 7 22 13 + 15 5 1 5 1 = 2 8 simplificando el primer miembro: 6 * 7 22 3 4 6 * 7 22 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 1 13 + 15 5 1 5 1 = 8 . Ahora lo que hay que hacer es obtener el reciproco de 2 3 4 6 * 7 22 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 12 2

ambos 2.

miembros: 3 2 4 = (6 * 7 22 )

13 + 15 5 1 5 1 8 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 2

2

. Se repite el paso 2

La operacin general es una resta entonces para despejar el tres hay que sumar 4 a ambos miembros de la 13 + 15 5 1 5 1 8 2 4 + 2 * 4 4 + 2 * 4 + 4 . Se repite el paso 2

ecuacin: 3 2 = (6 * 7 22)

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2. La operacin general es una potencia. Para despejar el 3 hay que sacar raz cuadrada a ambos miembros de la ecuacin: 3 = (6 * 7 22) 13 + 15 5 1 8 5 1 + 4 . Observe que al sacar raz cuadrada al 32, la potencia 2 4 + 2*4 4 + 2 * 4 2

desaparece, quedando el nmero 3 despejado. Esta ecuacin o igualacin se puede comprobar con el apoyo de una calculadora. YA EJERCITADO Y COMPROBADO EL DESPEJE DE NMEROS, AHORA SE REALIZARA EL DESPEJE DE VARIABLES Ejemplo 1. De la ecuacin 6x-3y=4x(2b-3c)-5, despejar la variable x 1. la variable esta en ambos miembros, entonces primero hay que trasladar todas la x a un solo miembro 2. Para este caso es mas fcil trasladar 6x al segundo miembro, restando -6x a ambos miembros de le ecuacin: 6x-6x-3y=4x(2b-3c)-5-6x. Simplificando el primer miembro y desarrollando el segundo se tiene: -3y=8xb-12xc-5-6x . Facturando x en el segundo miembro se tiene -3y=x(8b-12c-6)-5. se repite el paso 2 2. La operacin general en el segundo miembro es una resta. Entonces para eliminar -5 y conservar la igualdad, se suman 5 a ambos miembros de la ecuacin: -3y-5=x(8b-12c-6). Se repite el paso 2 2. La operacin general en el segundo miembro es una multiplicacin entonces se observa que para despejar x, y para conservar la igualdad hay que dividir por 8b-12c-6 ambos miembros de la ecuacin: 3 y 5 = x . Y entonces x esta despejada. Se acostumbra ubicar la variable despejada en el primer miembro: 8b 12c 6 3 y 5 x= 8b 12c 6 Ejemplo 2. De la siguiente ecuacin 6 x 3 y 6d = 4c 3d + h , despejar z3

2 z 2 4b

2a 5c

1.

La variable esta en el primer miembro La operacin general es una resta. Por lo que hay que sumar a ambos miembros 6d obteniendo: 6x 3 y 4c 3d = + h + 6d Se repite l paso 2 3 2 2 z 4b 2a 5c La operacin general es una divisin, por lo que se dividen ambos miembros por 6x-3y, obteniendo: h + 6d 1 4c 3d . Se repite el paso 2 = + 3 2 2 z 4b (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y3

2.

2. La operacin general es una divisin pero, no se puede eliminar el uno sobre la lnea del quebrado. Entonces se procede a obtener el reciproco de ambos miembros: 2. h + 6d . Se repite el paso 2 4c 3d 2 z 2 4b = (6 x 3 y )(2a 5c) + 6 x 3 y 3 1

La operacin general es una raz cbica. Para eliminarla y conservar la equivalencia hay que elevar al cubo miembros: 2 z 2 4b = h + 6d . Se repite paso 2 4c 3d + (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y 3

ambos

2. La operacin general es una resta, por lo que hay que sumar 4b a ambos miembros: 4c 3d h + 6d 2z 2 = (6 x 3 y )(2a 5c) + 6 x 3 y z2 = 1 4c 3d h + 6d + 2 (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y

+ 4b . Se repite paso 23

2. La operacin general es multiplicacin, por lo que hay que dividir ambos miembros entre 2, obteniendo:+ 4b . Se repite paso 2 23

2. Finalmente la operacin general es una potencia, la cual se elimina sacando raz cuadrada a ambos miembro de la ecuacin: z = 1 Ejercicios.2 1. para la ecuacin (6 x 3 y )(4a 6b) = (2c d )(8 x h) 3 x , despejar: a. x b. y c. d

4c 3d h + 6d + 2 (6 x 3 y )(2a 5c) 6 x 3 y

+ 2b

2. Para la ecuacin 5x-4z3+4r=4x(3+n)-5y, despejar a. x b. y c. n

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d. r 1.1.7 MTODO CIENTFICO

Por qu estudiar ciencia? Porque la ciencia es importante para todos los seres humanos, pues usada sabiamente puede mejorar nuestra calidad de vida. Pero debemos aprender a pensar de manera cientfica y sistemtica, para no aceptar ciegamente todo lo que se dice y as no emitir juicios apresurados de los hechos. El mtodo cientfico es una aproximacin sistemtica a la solucin de problemas. Es un plan para organizar una investigacin. Los pasos del mtodo cientfico varan dependiendo de la ciencia que se trate, pero bsicamente son los siguientes: 1. Determinar el problema o sistema a justificar 2. Observacin del problema o sistema en cuestin 3. Bsqueda y clasificacin de informacin 4. Medicin de parmetros significativos del problema o sistema 5. Formulacin o reformulacin de hiptesis 6. Comprobacin experimental de la hiptesis (si no se logra, repetir desde el paso 4) 7. Conclusin de resultados para llevarlos a su aplicacin Ejemplo 1. Se observa que un resorte helicoidal aumenta su longitud cuando se le aplica mas fuerza. De acuerdo a esta observacin se pretende obtener un modelo matemtico que relacione la fuerza aplicada al resorte con el estiramiento del mismo. Entonces los pasos son: 1. Determinar el modelo matemtico 2. La observacin es que al aumentar la fuerza aplicada al resorte este cambia su longitud 3. Todos los resortes tienen una constante de elasticidad que depende de su dureza La elasticidad es una de las propiedades de los materiales, debido a la cual un material recobra su estado original cuando cesa la fuerza que lo deforma 4. Colgar el resorte en un soporte y medir su longitud sin carga Colgarle al resorte una masa que lo estire ligeramente. Observa y registra los datos (masa y longitud) en una tabla. Agregar al resorte otra carga igual a la anterior y registrar los datos Agregar sucesivamente hasta 5 masas similares y para cada incremento de masa registrar los datosLongitud (cm) 25 23 21 19 17 15 13 0 20 40 60 80 90 100 Masa (g)

Masa total (g) 0 20 40 60 80 90 5.

Longitud (cm) 15.1 17.2 18.8 20.9 23.1 25.2

En la grafica se observa que prcticamente existe una variacin lineal entre el peso (masa) y la longitud del resorte. Para este caso se requiere informacin para determinar la razn de cambio masa-longitud. Esta se determina fcilmente mediante la razn incremento de longitud observando que esta razn prcticamente es la misma para cadaincremento de masa

incrementoMasa (g) 0 20 40 60 80 90 Peso total (N) 0 0.1962 0.3924 0.5886 0.7848 0.8829 Longitud (cm) 15.1 17.2 19.1 20.9 23.1 24.9 Razn de incrementos ******

19.1 17.2 = 0.095 40 200.09 0.11 0.09

17.2 15.1 = 0.105 20 0

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El promedio de las razones de los incrementos es la constante de proporcionalidad del resorte: 0.105 + 0.095 + 0.09 + 0.11 + 0.09 = 0.098 , muy aproximada a 0.1. Entonces se puede definir la siguiente hiptesis: La longitud 5 del resorte aumentara una dcima de centmetro por cada gramo que se agregue al resorte (L = 0.1 m) o bien la longitud del resorte aumentara 10.2 cm por cada newton (peso) que se aplique al resorte (L = 10.21 peso). 6. a. Agregar tres masas diferentes de las indicadas en la tabla y tomar la Incremento de Incremento de lectura de longitud del resorte para cada masa agregada y comprobar el Masa Longitud Longitud medida (g) incremento de longitud mediante la frmula. Registre los datos y calculada (cm) (cm) clculos en la siguiente tabla: b. Repetir los pasos 4,5 y 6a para otro resorte diferente. Conclusiones. La longitud de un resorte es directamente proporcional a la fuerza que se le aplique, siendo esto valido hasta un valor mximo de fuerza aplicada, porque despus de este lmite de fuerza el resorte pierde su propiedad elstica.o o o o Rectilneo uniforme. Movimiento en lnea recta con velocidad constante Rectilneo Uniformemente Acelerado. Movimiento en lnea recta con aceleracin constante Circular uniforme. Movimiento circular con velocidad angular constante Circular Uniformemente acelerado. Movimiento circular con aceleracin angular constante

7.

1.2 MECNICA 1.2.1 Tipos de movimiento

1.2.1.1 MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME Se obtiene dividiendo el desplazamiento recorrido, entre el tiempo en que este se recorre, (1) independientemente si hubo o no cambios de velocidad. v = s . t Siendo: s= desplazamiento t= tiempo en que se recorre la distancia s Velocidad promedio Velocidad promedio

v.

v para un movimiento uniformemente acelerado: v =

v f + v0 2

.

(2)

Ejemplo1 Un autobs parte de la ciudad de San Martin Texmelucan a las 7:00 A.M. y llega a la ciudad de puebla a 7:35 A.M. a que velocidad promedio (en km/h) viaj el autobs si la distancia entre ambas ciudades es de 45 km Solucin: Ejemplo 2 Un auto tarda 3.5 hrs en trasladarse de la ciudad A a la ciudad B. Si la distancia entre ciudades es de 200 km. Calcule la rapidez promedio a la que viajo. Solucin. v =

s 200 km 200000 m = = 57.14 km / h o bien = 15.87 m / s t 12600 s 3.5 h

Es obvio que el auto no viajo a velocidad constante (57.14 km/h) debido al trfico, a las curvas del camino o algn otro factor. Ejemplo 3 Un auto que viaja a 60 km/h atraviesa una lnea de referencia y 20 minutos despus la atraviesa un segundo auto a una velocidad de 70 km/h. En qu tiempo y a qu distancia el segundo auto alcanzara al primero si conservan su velocidad constante? Solucin = t; = (t-20/60); =60t =70t-23.33

=70(t-20/60)

Aunque parece un sistema de 2 ecuaciones con 3 incgnitas, en realidad solo son dos incgnitas, porque cuando el segundo auto alcanza al primero = =s Entonces reescribiendo las ecuaciones s=70t-23.33 s=60t se puede usar el mtodo de suma o resta para resolver el sistema de ecuaciones Para este caso restamos las dos ecuaciones

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0=10t-23.33 Despejando t =

= 2.33 h

Y entonces =60t = 60 (2.33) = 140 km, que debe ser igual a =70t-23.33 = 70(2.33) - 23.33 = 140 km Ejemplo 4 Una persona camina 4 min (0.066667 h) en direccin norte a una velocidad promedio de 6km/h; despus camina hacia el este a 4 km/h durante 10 min (0.166667 h) a. Cul es su rapidez promedio? b. Cul es su velocidad promedio? Solucin a. La distancia total recorrida es: s = (6 km/h)(0.066667 h)+(4 km/h)(0.166667 h) = 0.4 km+0.6667km = 1.066667 km Por lo tanto la rapidez promedio es v = 1.06666667 km = 4.57 km / h 0.6667 km 0.23333 h Solucin b. De acuerdo a la figura de la izquierda, la velocidad promedio es: 0.4 km s 0.7775 km (0.6667) 2 + (0.4) 2 = 0.7775 km v= = = 3.332 km / h t 0.06667 h + 1.6667 h Observe la diferencia entre rapidez y velocidad Ejemplo 5 Un automvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embargo su posicin final esta a solo 40 m de la posicin inicial. Cul fue su rapidez promedio y cual es la magnitud de su velocidad promedio? Solucin La rapidez promedio es v = s = 400 m = 13.3 m / s t 30 s La magnitud de la velocidad promedio es: v = s = 40 m = 1.3 m / s . t 30 s Ejemplo 6 Un autobs sale a las 8:00 A.M. de su terminal en el D.F. y se dirige a la ciudad de Puebla a una velocidad promedio de 90 km/h. Otro autobs sale a la misma hora de su terminal en la ciudad de Puebla y se dirige al D.F. a una velocidad promedio de 96 km/h. Si la ruta de ambos autobuses es la misma. A qu distancia de la terminal de Mxico y en qu tiempo se encontraran ambos autobuses si la distancia entra las terminales es de 150 km? Solucin Consideraciones: El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales El punto de referencia es el D.F. El desplazamiento y la velocidad del D.F. a Puebla son positivos El desplazamiento y la velocidad de Puebla al D.F. son negativos

D.F.

90 km/h S2 = 150 - 96t S1 = 90t 96 km/h

PUE

En el dibujo se indican las ecuaciones de los desplazamientos de los autobuses Cuando los autobuses se encuentran s1 = s2 = s, y entonces el problema se resuelve resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas: s = 150-96t s = 90t Restando las ecuaciones se obtiene 0 = 150 186t De donde t = = 0.8065 h s1 = (90km/s) (0.806 h) = 72.581 km s2 = 150 - (96 km/h)(0.806 h) = 72.581 km Solucin sin considerar cantidades vectoriales s1 = 90t s2 = 96t Cuando se encuentran los autobuses: s1 + s2 = 150 90t + 96 t = 150 186t = 150 t=

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1.2.1.2 MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Aceleracin. Es el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo y se determina mediante la frmula: .. (3) t Con las formulas anteriores (1), (2) y (3) se pueden obtener todas las utilizadas en el movimiento uniformemente acelerado Combinando las formulas (1) y (2)a= v f v0

v f + v0 s v f + v0 (4) t = ; despejando s = 2 t 2 at + v0 + v0 De la ecuacin (3) v f = at + v0 se sustituye en ecuacin (4 ) s = t la cual al simplificar se obtiene la 2 (5) siguiente ecuacin: s = v0 t + 1 at 2 2 v f v0 ay sustituirla en la ecuacin (4) s =

De la ecuacin (3) t =

v f + v0 v f v0 ( ) que al simplificarla se obtiene: a 2(6)

s=

v v2 f

2 0

2a

....

Ejemplo 1 Un tren reduce su velocidad de 60 a 20 mi/h en 8 s. calcular su aceleracin en ft/s2 Solucin El cambio de velocidad es de vf vi = 20 - 60 = -40 mi/h = -58.666 ft/s a= Ejemplo 2 Un automvil mantiene su aceleracin constante de 8m/s2. Si su velocidad justo antes de acelerar era 20 m/s. Cul ser su velocidad despus de 6 s? Solucin vf = v0 + at vf = 20 m/s + (8 m/s2)(6 s) = 68 m/s Un mvil incrementa su velocidad uniformemente de 20 a 40 m/s en 2 min. Calcular: a. Velocidad media b. Aceleracin c. Distancia recorrida en 2 min? Solucin c. d. e. s= tambin se puede calcular con la formula s = v0t + 1/2at2 = (20 m/s)(120 s) + (0.1667m/s2)(120 s)2 = 3600 m

Ejemplo 3 Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 30 mi/h en 15 s. calcular: a. Su aceleracin en ft/s2 b. La distancia recorrida en los 15 s Solucin a. Primero convertimos mi/h a ft/s

b.

s = v0t + 1/2at2 s = (0ft/s)(15 s) + (2.933ft/s2)(15 s)2 = 330 ft

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Ejemplo 4 Un tren monorriel que viaja a 80 km/h tiene que detenerse en una distancia de 40 m a. Qu aceleracin promedio se requiere? b. Cul es el tiempo de frenado? Solucin a. primero convertimos 80 km/h 1000m 1h = 22.22 m / s 1km 3600 s

a=b. t =v f v0 a

2 v 2 v0 f

2s=

=

0 (22.22 m / s ) 2 = 6.17 m / s 2 2(40m)

0 22.22m / s = 3.6 s 6.17 m / s 2

Ejercicio Un autobs inicia su movimiento a las 8:00 A.M. desde su terminal A y se dirige a la terminal B con una aceleracin constante de 0.8 km/h2. Otro autobs inicia su movimiento a la misma hora de su terminal B y se dirige a la terminal A con una aceleracin constante de 0.4 km/h2. Si la ruta de ambos autobuses es la misma. A qu distancia de la terminal A, y en qu tiempo se encontraran ambos autobuses si la distancia entra las terminales es de 100 km?

A

0.8 km/h2 S2 = 150 - 96t S1 = 90t 0.4 km/h2

B

1.2.1.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Para el movimiento circular se emplean formulas similares a las del movimiento lineal. Ver tabla comparativa de formulas

Movimiento lineal

Movimiento circular

Significado de literales

v=s t

v=

v f + v0 2 v f v0

= /t= =

f + 0

a=

2 f 0 t

t s

Tiempo en segundos; (s) Desplazamiento lineal en metros; (m) Desplazamiento angular en radianes; (rad) Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s)

t 2 2 2as = v f v 0v f = v 0 + at

2 2s = 2f 0

f = 0 + t = 0 t + 1 t 2 2

Velocidad angular promedio en radianes/segundo; (rad/s) vf, v0 Velocidades lineales final e inicial en metros/segundo; (m/s) f , 0 Velocidades angulares final e inicial en metros/segundo; (m/s) a Aceleracin lineal en metros/segundo2; (m/s2) Aceleracin angular en radianes/segundo2; (rad/s2) R Radio D Dimetro f frecuencia en ciclos por segundo o revoluciones por segundo T Periodo. Es el tiempo que tarda en realizarse un ciclo Nota. Los vectores se indican con letras en negrita

v

s = v 0 t + 1 at2 2v t = R =

Dt

= 2f ;

at=R ; f= ; =t

Un Radian. Es el ngulo que se forma cuando la longitud (s) del arco es igual a la longitud (R) del radio. Ver figura. El ngulo en radianes se puede calcular mediante la formula Observe en la figura de la izquierda que 180 son un poco mas de 3 radianes (3.1416 aproximadamente) y por lo tanto 360 son aproximadamente 6.28 radianes. 180 es equivalente a radianes

s R

180

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Relacin entre velocidad tangencial y velocidad angular De la frmula para determinar los radianes = , se despeja s=R y se sustituye en la formula v = , obteniendo v = , en donde se ve que por lo que se concluye que la relacin entre las velocidad angular y la velocidad tangencia es: v = R Obteniendo la relacin entre velocidad lineal y velocidad angular: v=R Ejemplo 1. Un disco da 3 vueltas en 2 segundos. Calcule su velocidad angular promedio Solucin. 3 * 2 = = = 9.425 rad / s t 2 En este caso no se indica si las 3 vueltas se dieron a una misma velocidad Ejemplo 2 El sonido viaja con una rapidez promedio de 340 m/s. Se observa un relmpago en una tormenta distante y 3 segundos despus se escucha el estruendo del mismo. A que distancia esta la tormenta? Solucin. s= vt = (340 m/s)(3 s) = 1020 m NOTA. Los vectores se indican con letras negritas Ejemplo 3 Un disco de 20 cm de radio gira a una velocidad constante de 60 revoluciones por minuto (rev/min). Calcular: a. La velocidad angular en rad/s? b. La velocidad tangencial de un punto colocado a 5 cm del centro c. La velocidad tangencial de un punto colocado a 10 cm del centro Solucin Una revolucin es un giro completo o un ciclo (360) por lo que se puede expresar como 60 ciclos/min. Si se expresa en ciclos/s, a esta unidad se le suele llamar hertz la cual es la unidad de la frecuencia. a. La velocidad angular en rad/s se obtiene fcilmente mediante el producto unitario 60 rev/min

10 cm 5 cm cA B

v20 cm

2 rad 1 min = 6.28 rad / s 1rev 60 s

b. Se observa en la figura que tanto el punto A como el B recorren simultneamente 500 rev/min, pero el punto A recorre una circunferencia menor que la recorrida por el punto B. La distancia recorrida por el punto A en su circunferencia es su permetro (D = 10 = 31.416 cm). Por lo que la velocidad del punto A es: s 31.416 cm 0.31416 m = = 0.005236 m / s = 0.5236 cm / s v= = 1 min 60 s t Pero como el punto est girando, el vector de velocidad cambia constantemente de direccin. La direccin del vector velocidad en un punto determinado es tangente a la circunferencia que recorre justo en ese punto (ver direccin de v en punto c) c. Similar al inciso b: v =

s D 20cm = = = 62.83 cm / min = 0.01047 m / s t 1 min 1 min

1.2.1.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO 2 3 4 Relacin entre aceleracin lineal y aceleracin angular Si ambos miembros de la ecuacin v=R se dividen entre el tiempo, se obtiene:

Ejemplo 4 Una ciclista parte del reposo y aumenta constantemente su velocidad alcanzando los 60 km/h justo a los 100 m de recorrido. Si el dimetro de las ruedas de la bicicleta es de 70 cm, calcule a. La aceleracin lineal

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b. La velocidad lineal a los 50 m del recorrido c. La velocidad tangencial en el borde de las ruedas a los 50 m del recorrido d. La velocidad tangencial en un punto que esta a 15 cm del centro de la rueda de la bicicleta, a los 50 m de recorrido e. La velocidad angular a los 50 m del recorrido f. La aceleracin angular g. La aceleracin tangencial al borde de la rueda y h. La aceleracin tangencial a 15 cm del centro de la rueda Solucin Primero se hace la conversin de todos los datos del problema a unidades del sistema internacional (SI) v = 60km/h a.2 v 2 v0 f

1000m 1h = 16.67 m / s ; 1km 3600 s = (16.67 m / s ) 2 0 2 = 1.389m / s 2 2(100m)

D = 70 cm = 0.7 m

La bicicleta tiene un movimiento uniforme acelerado, por lo que la aceleracin lineal es:

a=b. c.

2s

2 La velocidad lineal a los 50 m es: v 2 = 2as + v0 v f = f

2 2as + v0 = 2(1.389m / s 2 )(50m) + 0 2 = 11.786m / s

La velocidad tangencial tambin se puede definir como la rapidez con la que se recorre un permetro, o la rapidez con la que un punto recorre una circunferencia. Para este ejemplo, los metros de circunferencia recorridos en el borde de la llanta en un segundo son 11.786m, por lo que la velocidad tangencial en el borde de la llanta a los 50 m, es la misma que la velocidad lineal de la bicicleta es: vt = 11.786 m / s Para calcular la velocidad tangencial a 15 cm del centro de la rueda, primero se calculan otros parmetros: A los 50 m de recorrido la bicicleta tiene una velocidad lineal de 11.786 m/s. Si los 11.786 m se dividen entre el permetro de la ruda se obtiene el numero de vueltas que la rueda da en un segundo la cual es 5.36 vueltas/s El permetro de la circunferencia a 15 cm del centro de la llanta es 0.3 m = 0.942 m Cualquier punto dentro de la rueda dar 5.36 vueltas/s o 5.36 permetros por segundo. Entonces la circunferencia de 15 cm de radio recorre (5.36)(0.942) = 5.05 m/s la cual es la velocidad tangencial de un punto colocado a 15 cm del centro de la bicicleta.

d.

e. Con la velocidad tangencial a los 50 m de recorrido, se obtiene la velocidad angular:

v 11.786m / s = t = = 33.674rad / s 0.35m RCon la velocidad a 15 cm del centro se obtiene

=

vt 5.05rad / s = = 33.667 rad / s R 0.15m

Observe que prcticamente es la misma velocidad angular, la diferencia se debe al redondeo. f. A los 50 m de recorrido la rueda gira 22.736 vueltas, [50/permetro = 50/(0.7) ], y como cada vuelta es 2 radianes, entonces la r2ueda gira 142.857 radianes. Entonces la aceleracin angular es:

a=g.

2 02 (33.667rad / s ) 2 0 2 f = 3.967 rad / s 2 = 2 2 142.857 rad2 vtf vt20

La aceleracin tangencial al borde de la rueda la calculamos con el dato obtenido en el inciso c:

(11.786m / s ) 2 0 2 = 1.389m / s 2 o tambin se obtiene usando el dato del inciso f: 2s 2 50m at = R = (3.967rad / s 2 )(0.7m) = 1.388m / s 2 la pequea diferencia se debe al redondeo at = =h. La aceleracin tangencial de un punto a 15 cm del centro de la rueda es:

at = R = (3.967rad / s 2 )(0.15m) = 0.595m / s 2Observaciones: La velocidad y aceleracin angular NO dependen del radio de giro La velocidad y aceleracin tangencial SI depende del radio de giro

1.2.2

SEGUNDA LEY DE NEWTON. Toda fuerza resultante diferente de cero aplicada a un objeto le provoca una aceleracin cuya magnitud es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del objeto. a= . NOTA: La fuerza es un VECTOR y por tanto la aceleracin debe se en la MISMA direccin de la fuerza.

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FR = ma , si m en kg y a en m/s2, entonces las unidades de la fuerza son kgm/s2 o Newtons (N)Ejemplo 1. Una fuerza horizontal de 200 N empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal sin friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Solucin

a=

FR 200 N = = 4m / s m 50kg

Ejemplo 2 Una fuerza oblicua de 200 N empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal sin friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Ver figura Solucin. Como el bloque se desliza sobre una superficie horizontal, entones primero hay que identificar la componente horizontal (Fx) de la fuerza oblicua de 200 N, la cual se obtiene mediante trigonometra bsica: Fx = 200cos30 =173.21 N Entonces la aceleracin de la caja es: a =

200 N Fx

30

50 kg

F 173.21N = = 3.46m / s 2 50kg m100N 30 15 50 N

Ejemplo 3. Dos botes remolcan una barcaza de 200 kg que estaba en reposos con fuerzas constantes mostradas en la siguiente figura. Si se desprecia la fuerza de oposicin del agua, calcular a. La aceleracin de la barcaza b. La direccin de desplazamiento de la barcaza c. La distancia que la barcaza recorre en 5 minutos Solucin Primero se determina la fuerza resultante debida a las dos fuerzas: Fx = 100cos30+50cos15=134.9 N Fy = 100sen30-50sen15 =37.1 N FR = a.

134.9 2 + 37.12 = 139.9 N

2 La aceleracin de la barcaza es: a = F = 139.9m / s = 0.7 m / s 2 200kg m b.

La direccin de desplazamiento de la barcaza es: = tan-1

37.1 = 15.4 134.9

c. s=v0t+1/2at2 =(0)(300s)+1/2(0.7m/s2)(300 s)2=31,500 m o 31.5 km 1.2.3 LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL. La fuerza de atraccin entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

F=

G m1 m2 d2

En donde: G Es la constante universal de la gravedad y su valor es: 6.6667x10-11 Nm2/kg2 m1, m2 Son las masas (kg) d Es la distancia entre los centros de las masas (m)La constante G se determino mediante la balanza de torsin de Cavendish Una versin inicial del experimento fue propuesta por John Michell, quien lleg a construir una balanza de torsin para estimar el valor de la constante de gravedad. Sin embargo, muri en 1783 sin poder completar su experimento y el instrumento que haba construido fue heredado por Francis John Hyde Wollaston, quien se lo entreg a Henry Cavendish. Cavendish se interes por la idea de Michell y reconstruy el aparato, realizando varios experimentos muy cuidadosos con el fin de determinar G. Sus informes aparecieron publicados en 1798 en la Philosophical Transactions de la Royal Society. El valor que obtuvo para la constante de gravitacin difera del actual en menos de un 1% El instrumento construido por Cavendish consista en una balanza

Balanza de torsin de Cavendish

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de torsin con una vara horizontal de seis pies de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas metlicas. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cuya accin gravitatoria deba atraer las masas de la balanza produciendo un pequeo giro sobre esta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplaz su balanza en una habitacin a prueba de viento y midi la pequea torsin de la balanza utilizando un telescopio. A partir de las fuerzas de torsin en el hilo y las masas de las esferas Cavendish fue capaz de calcular el valor de la constante de gravitacin universal. Dado que la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre cualquier objeto en su superficie puede ser medida directamente, la medida de la constante de gravitacin permiti determinar la masa de la Tierra por primera vez. La balanza de gravitacin es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atraccin entre dos masas y determinar el valor de la constante G.

Ejemplo 1. Cul es la fuerza de atraccin entre una esfera de 200 g y otra de 400 g separadas 10 cm.? Solucin.F= (6.667 x10 11 Nm 2 / kg 2 )(0.2kg )(0.4kg ) = 5.334 N (0.1m) 2

200 g

400 g

10 cm

Practica de laboratorio 1. Determinar experimentalmente el valor de la aceleracin debido a la fuerza de gravedad (g), empleando un pndulo hecho con una esfera de 200 g y un hilo NO elstico de 1 m de longitud. Ver figura Solucin.B

1m A h

Se ha comprobado que el tiempo que tarda un pndulo en recorrer el arco AB (en bajada o en subida) es igual al tiempo que tarda un objeto en recorrer la distancia vertical h en cada libre. Tiempo en que Experimento De acuerdo a lo anterior se realizan los 3 No. ciclos 1. Levante el pndulo una altura h = 0.5 m, sultelo y Tome el tiempo en que tarda 1 en hacer 3 ciclos (recorrer doce veces h). Registre el dato en la tabla de la 2 derecha 3 2. Repita 4 veces el punto anterior 4 3. Obtenga el promedio de los 4 tiempos:

t promedio =

t1 + t 2 + t 3 + t 4 4

tpromedio

4. Divida tpromedio entre 12 para obtener el tiempo en que se recorre h1 2 2

t=

t promedio 12

la aceleracin debido a la gravedad (g), la cual debe ser muy prxima a 9.81 m/s2 Medicin del radio de la tierra En Aswan, algunos 800 km al sudeste de Alejandra en Egipto, los rayos del sol caen perpendicularmente al medioda durante el solsticio de verano. Erasttenes not que en Alejandra, el mismo da y a la misma hora, los rayos del sol formaban un ngulo de 7 grados con la vertical. Dada la distancia estimativa entre las dos ciudades, Eratstenes calcul la circunferencia de la Tierra usando simple geometra. Como existen dudas sobre la unidad de medida usada, la exactitud de su resultado es incierta pero podra haber variado entre un 5 y un 17 por ciento del valor aceptado actualmente El radio de la tierra calculado actualmente es de 6.38x106 m. Ejemplo 2. Calcular la masa de la tierra si su radio es de 6.38x106 m y la aceleracin debida a la gravedad es 9.81 m/s2 Solucin. La fuerza entre una masa m y la tierra se define por la formula F = GmmT y de acuerdo con la segunda ley de Newton 2 RT (F=mg), esta misma fuerza al actuar sobre la misma masa le produce una aceleracin g (ya determinada experimentalmente) Igualando ambas ecuaciones se tiene, en donde eliminando m y despejando mT

Con el tiempo en que se recorre h, h= 0.5 m y despejando g de la formula s = v0 t + gt : g = 2s = 2h , se obtiene el valor de t2 t2

mT =1.2.4

RT2 g (6.38 x10 6 m) 2 (9.81m / s 2 ) = = 5.99 x10 24 kg 6.667 x10 11 Nm 2 kg 2 GCAMPO GRAVITACIONAL. Es una regin del espacio en donde una masa muy pequea experimenta una fuerza de atraccin. Todas las masas estn rodeadas por un campo gravitacional cuyo valor es la aceleracin debido a la fuerza de atraccin que estas

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producen sobre una masa muy pequea. Para el caso de la tierra el valor del campo gravitacional (g)en un determinado punto se obtiene mediante la igualacin de las fuerzas de las ecuaciones de fuerza gravitacional y de la segunda ley de Newton GmmT = mg , en donde la masa m es una masa muy pequea comparada con mT (masa de2 dT

la tierra). Despejando g = FG = GmT 2 m dT En donde m Es una masa muy pequea dentro del campo gravitacional Es la masa de la tierra mT d Es la distancia del centro de la tierra al punto donde se desea calcular el campo gravitacional Es la fuerza gravitacional Fg g Es el campo gravitacional o aceleracin debido a la gravedad El valor del campo gravitacional de la tierra a nivel del mar es: g = 9.81 m/s2 1.2.5 CADA LIBRE. Es el movimiento de los objetos debidos nicamente al campo gravitacional de la tierra (g), Para la solucin de problemas de cada libre se emplean las formulas de movimiento uniformemente acelerado considerando constante la aceleracin debida a la gravedad: No 1 2 3 4 5 Movimiento En cada libre Significado de literales

v=s t v f + v0 v= 2 v f v0 g= t2gs = v f2 2 v0

t s

Tiempo en segundos; (s) Desplazamiento lineal en metros; (m) Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s) Velocidad final en metros/segundo; (m/s) Velocidad inicial en metros/segundo; (m/s) Aceleracin debido a la gravedad en metros/segundo2; (m/s2)

vvf v0g

s = v 0 t + 1 gt2 2

Nota. Los vectores se indican con letras en negrita

CONVENCIN DE SIGNOS DE LOS VECTORES La fuerza del campo gravitacional de la tierra es hacia el centro de la misma, y para nuestra referencia es hacia abajo, por lo que le asignaremos signo negativo La aceleracin debido a la gravedad (g) tiene la misma direccin de la fuerza que la produce por lo tanto es tambin hacia el centro de la tierra, o hacia abajo en nuestras referencias, por lo que tambin tiene signo negativo El desplazamiento es positivo hacia arriba o negativo hacia abajo Ejemplo 1. Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de 30 g con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular: a. La altura mxima que alcanza b. El tiempo en que tarda en llegar al punto de lanzamiento Solucin Los datos que se tienen son: v0 = 20 m/s m = 30 g (dato no requerido) g = -9.81 m/s2 a. Para obtener la altura mxima se considera la velocidad de la pelota a la altura mxima, la cual es vf = 0 m/s Despejando s de la formula 4 de la tabla y sustituyendo datos se obtiene la altura

mxima:

s=

v v2 f

2 0

2g

=

0 (20m / s ) = 20.39 m 2(9.81 m / s 2 )2 2

b. La velocidad cuando la pelota regresa al punto de lanzamiento es igual a la velocidad con la que se lanzo (v0) pero negativa porque va hacia abajo v v0 (20m / s ) (20m / s ) Despejando t de la formula 3 de la tabla y sustituyendo datos: t = f = = 4.08 s g 9.81m / s 2

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Tambin se puede calcular t con la formula 5 de la tabla, en donde el desplazamiento vertical s es cero cuando la pelota regresa a la altura del punto de lanzamiento: 0 = v0t + gt2. Dividiendo todo entre t : 0 = v0 + gt Despejando y sustituyendo datos: t = 2v0 = 2(20m / s) = 4.08 sg 9.81m / s 2

Ejemplo 2 Se dispara verticalmente hacia arriba una flecha con una velocidad de 40 m/s. tres segundos despus, otra flecha es disparada hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. En que tiempo y posicin se encontraran ambas flechas? Solucin Datos: Velocidad inicial de la flecha que se lanza primero: v01 = 40 m/s Velocidad inicial de la flecha que se lanza despus: v02 = 60 m/s El desplazamiento de la flecha 1 es: s1 = v01t + 1 gt 2 = 40t + 1 (9.81)t 2 = 40t 4.905t 2 2 2 El desplazamiento de la flecha 2 es: s2 = v02t + 1 gt 2 = 60(t 3) + 1 (9.81)(t 3) 2 = 60(t 3) 4.905(t 3) 2 . El -3 en la formula 2 2 se debe a que esta flecha se lanzo 3 segundos despus de la primera Cuando las flechas se encuentran, ambas tienen el mismo desplazamiento (s1 = s2)

40t 4.905t 2 = 60(t 3) 4.905(t 3) 2 40t 4.905t 2 = 60t 180 4.905t 2 + 29.43t 44.145 Simplificando la ecuacin: 49.43t = 224.145 224.145 Despejando t = = 4.5346 s . A los 4.53 segundos despus de lanzar la primera flecha, ambas flechas se encuentran. 49.43Esto se comprueba al sustituir este valor de tiempo en las ecuaciones de s1 y s2 s1 = 40(4.5346) 4.905(4.5346) 2 = 80.5245 m

s2 = 60(4.5346 3) 4.905(4.5346 3) 2 = 80.5247 m Las flechas se encuentran a una altura aproximada de 80.5245 m. El pequeo error se debe al redondeo de datos1.2.6 TERCERA LEY DE NEWTON A toda accin le corresponde una reaccin de la misma magnitud pero con sentido

opuesto

1.2.6.1

FRICCIN. Es la fuerza de debida al rozamiento entre dos superficies, cuya magnitud est en funcin de la naturaleza de dichas superficies y de la fuerza de contacto entre ellas. La friccin entre dos superficies sin deslizamiento entre ellas (friccin esttica) es diferente a la friccin de las mismas cuando se deslizan (friccin dinmica). La fuerza de friccin para cada caso se determina por las siguientes formulas: fk = k N f s = s N En donde: Fuerza debido a la friccin esttica. Fuerza que se opone al movimiento relativo de dos objetos en contacto fs que no se mueven Fuerza debido a la friccin dinmica. Fuerza que se opone al movimiento relativo de dos objetos en fk contacto que se mueven tratan de s Coeficiente de friccin esttico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que deslizarse). s puede valer desde 0 hasta 1 k Coeficiente de friccin dinmico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que se deslizan). k puede valer desde 0 hasta 1 N Fuerza normal (perpendicular) de contacto (fuerza con la que hacen contacto las superficies que se deslizan o tratan de) s > k y por consecuencia fs > fk

LA FUERZAS DE FRICCIN ESTTICA Y DINAMICA SON FUERZAS DE REACCIN, DEBIDO A QUE SE OPONEN A UNA FUERZA DE ACCION. Ejemplo 1. Calcular la fuerza de friccin esttica mxima entre el bloque y la superficie horizontal que se muestran en la figura Solucin.

s = 0.3

10kg

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fs = sN Como la superficie sobre la que esta la caja es horizontal, el peso (mg) de la caja es la fuerza normal a las superficies en contacto, entonces: N = mg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 kg m/s2 o Newtons (N) . Entonces: fs = sN = (0.3)(98.1 N) = 29.43 N Ejemplo 2 Llenar la tabla con los valores correctos de la fuerza de friccin esttica fs y la fuerza de friccin dinmica fk, segn el valor de la fuerza de accin F que acta sobre el bloque de la figura

F

10kg

s = 0.3 k = 0.2

Solucin. Primero se determina el valor mximo de la fuerza de friccin, el cual ya se determino en el ejemplo anterior fs = 29.43 N Entonces ya se puede llenar la columna fs de la tabla Para llenar la columna de fuerza de friccin dinmica fk primero hay que calcularl: fk = k N = 0.2 (98.1 N) = 19.62 N

F (N) 10 15.5 20 30 40

fs (N) 10 15.5 20 No existe No existe

fk (N) No existe No existe No existe 19.62 19.62

Ejemplo 3 Calcular la velocidad y el desplazamiento despus de 5 segundos de aplicar continuamente una fuerza de 40 N al bloque del ejemplo anterior. La fuerza se aplica cuando el bloque esta en reposo Solucin Del ejemplo anterior se observa que la fuerza de friccin esttica mxima es de 29.43 N, pero como la fuerza aplicada es de 40 N, entonces el bloque se mueve y por lo tanto la friccin que afecta al movimiento es la fuerza de friccin dinmica (19.62 N) La fuerza resultante que mueve el bloque es la suma de los vectores en la direccin del movimiento FR = 40-19.62 = 20.38 N Con esta fuerza resultante se puede calcular la aceleracin del bloque: a = fk = 19.62 N 10 kg F = 40 N

F 20.38 N = = 2.038 m / s 2 m 10kg

La velocidad despus de 5 s es: v f = v0 + at = (0m / s ) + (2.038m / s 2 )(5 s ) = 10.19 m / s El desplazamiento despus de 5 s es: s = v0t + 1 at 2 = (0m / s )(5 s ) + 1 (2.038m / s 2 )(5 s ) 2 = 25.475 m 2 2

Ejemplo 4 Dos bloques en reposo distan 200 m uno del otro. Si se aplican simultneamente las fuerzas indicadas en la figura calcule: 200 N a. A que distancia del punto A se encuentran los bloques 100 N b. En que tiempo se encuentran ambos bloques30 10 kg 20 kg 45

Solucin. k=0.3 k=0.4 200 m La condicin de solucin cuando los bloque se encuentran es: SA - SB = 200 m. A B El signo menos se debe a que es una suma de vectores De la formula S = v0t + at2 se aplica para el desplazamiento de cada bloque: SA = v0At + aA t2 SB = v0Bt + aB t2 Si SA - SB = 200m, entonces: v0At + aA t2 - v0Bt + aB t2= 200 m ............................................................. (1) La aceleracin para cada bloque se determina mediante la segunda ley de Newton F 100 cos 30 f A 100cos30 es la fuerza sobre el bloque A en direccin del desplazamiento a A = RA = mA 10kg F 200 cos 45 + f B -200cos45 es la fuerza sobre el bloque B en direccin del desplazamiento a B = RB = mB 20kg Para calcular fA y fB se aplica la formula f = N para cada bloque Como la superficie es horizontal entonces la fuerza normal de contacto N para ambos bloques es el peso mg de cada bloque NA = mAg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N NB = mBg = (20kg)(9.81m/s2) = 196.2 m/s2 Entonces: fA = NA = (0.3)(98.1N) = 29.43 N fB = NB = (0.4)(196.2N) = 78.48 N

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aA =aB =

FRA 100 cos 30 f A 100 cos 30 29.43 = = = 5.72m / s 2 mA 10kg 10kgFRB 200 cos 45 + f B 200 cos 45 +78.48 = = = 3.15m / s 2 mB 20kg 20kg

Sustituyendo valores en la formula (1) (0m/s)t +(5.72m/s2)t2 - (0m/s)(-3.15m/s2)t2 = 200 m Una ves que se observa que las unidades son homogneas, se pueden suprimir 2.86t2 + 1.575t2 = 200 4.435t2 = 200 200 En 6.72 s ambos bloques se encuentran t= = 6.72 s4.435

SA = v0At + aA t2 = 0t+(5.72)(6.72)2 = 129.15 m SB = v0Bt + aB t2 = 0t + (-3.15)(6.72)2 = 71.12 m 1.2.6.2 FUERZA CENTRPETA. Es una fuerza dirigida hacia el centro de rotacin de un objeto que gira, y se produce debido al cambio de direccin del vector velocidad de dicho objeto. La fuerza centrifuga es opuesta a la fuerza centrpeta y apunta radialmente hacia afuera Direccin de la aceleracin centrpeta De la formula se observa que la direccin de la aceleracin es la misma que obtenida por la diferencia de velocidades v = vf v0. Si el punto B est cerca del punto A, la direccin del vector aceleracin se aproxima al centro. Cuando el punto B est muy prximo al punto A , pero s=vt , ordenando la ecuacin de la siguiente forma , y sabiendo que Se determina que la aceleracin centrpeta se define por la formula: Ejemplo1 Se coloca un bloque de plstico de 50 g sobre un disco de plstico horizontal a 20 cm del eje de giro. Cul es la velocidad mxima en revoluciones por minuto (RPM) a al que puede girar el disco sin que el bloque se mueva? Considerar s = 0.5 Solucin La fuerza de friccin f=Ns = mgs = 0.05kg(9.81m/s2)(0.5) = 0.24525 N, el cual es el valor lmite de la fuerza centrifuga De la segunda ley de Newton F=ma; . De la ecuacin ac = 2R, , se sustituyen valores

vf -v0 vf-v0 RB

v0 sA

= 4.9523 rad/s, se usa el producto unitario para pasar a RPM 4.9523 rad/s Ejemplo 2. Una cuerda de 0.5 m de longitud tiene atada en su extremo una esfera de 0.5 kg. Si la cuerda soporta una tensin de 50 N Cul es la velocidad angular mnima a la que se que rompe? Solucin. De la segunda ley de Newton F=ma; De la ecuacin ac = 2R, = 14.142 rad/s Ejemplo 3 Calcular la velocidad angular de la luna alrededor de la tierra en vueltas por da. Si se sabe que la distancia entre la luna y la tierra es 384,400 km, la masa de la tierra es 5.9736x1024 kg y la masa de la luna es 7.349x1022 kg Solucin. De la ley universal de gravitacin De la segunda ley de Newton F=ma; , se sustituyen valores

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De la ecuacin ac = 2R,

, se sustituyen valores

= 2.64796x10-6 rad/s. Se usa el producto unitario para pasar a revoluciones por da 2.64796x10-6 rad/s Si sacamos el reciproco obtenemos 27.463 dias/rev. O sea que la luna tarda 27.463 dias en dar una vuelta a la tierra UNIDAD II 2.1 EQUILIBRIO 2.1.1 EQUILIBRIO TRASLACIONAL

Para lograr el equilibrio traslacional en un plano se deben cumplir las dos reglas siguientes: 1. Fx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmente o se mueve a velocidad constante 2. Fy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueve verticalmente o se mueve a velocidad constante Para facilitar la solucin de sistemas se siguiere: Trazar su correspondiente diagrama de cuerpo libre (solo los vectores del sistema). En donde la direccin de los vectores es a consideracin personal. Si el resultado es positivo la direccin del vector es correcta Si el resultado es negativo, el sentido del vector es opuesto Descomponer los vectores oblicuos en sus componentes X y Y Aplicar las condiciones de equilibrio traslacional Fx = 0, Fy = 0 Ejemplo 1. A 3 bloques idnticos cada uno de un peso de 8 N estn atados con cuerdas y cuelgan como se muestra en la figura. 8N Calcular el peso en cada tramo de cuerda B Solucin 8N Para la cuerda C, la fuerza de gravedad sobre el bloque inferior es de 8 N. Entonces si el sistema est en C equilibrio la Fy = 0, por lo que Fg + Fc = 0. Asignando valores: -8 N + Fc = 0. La cuerda C ejerce una fuerza 8N Fc = 8 N hacia arriba Para la cuerda B, Fg + FB = 0. Asignando valores: -16 N + FB = 0. Entonces la cuerda B ejerce una fuerza FB = 16 N hacia arriba. Para la cuerda B, Fg + FA = 0. Asignando valores: -24 N + FA = 0. Entonces la cuerda A ejerce una fuerza FA = 24 N hacia arriba. Ejemplo 2 Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Fx = 0; FB FAsen30 = 0.(1) Fy = 0; FA cos30 - 100 = 0(2) La ecuacin (2) solo tiene una incgnita y de esta se despeja FA Se sustituye FA en ecuacin (1) FB = FAsen30 = (115.47)sen30 =57.74 N Ejemplo 2 Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Fx = 0; -FAcos30 + FBcos60 = 0..(1) Fy = 0; FAsen30 + FBsen60 - 200 = 0(2) Emplearemos el mtodo de suma y resta para determinar las fuerzas30 60 30 60 30 A

30 A

B 100 N

B 100 N

A A 200 N B 200 N

B

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Dividiendo la ecuacin (1) entre cos 30; Dividiendo la ecuacin (2) entre sen30; Sumar las ecuaciones (3) y (4); Simplificando 2.31FB 400 = 0 de donde Sustituyendo el valor de FB en la ecuacin (3) =(173.16)(0.577); FA = 99.974 N

= 0(3) (4)

Y

X

Ejemplo 3 Un bloque de 200 lb sobre un plano inclinado sin friccin, que tiene una pendiente de 30. El bloque est atado a una cuerda que pasa por una polea sin friccin colocada en el extremo superior del plano inclinado y atada a otro bloque suspendido. Cul es el peso del bloque suspendido si el sistema se encuentra esttico?. Despreciar el peso de la cuerda Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo Fx = 0; P 200sen30 = 0..(1) Fy = 0; N 200cos30 = 0..(2) De la ecuacin (1) se puede obtener el peso del bloque suspendido (P) P = 200sen30; P = 100 N

P 200 lb P30 Y

P

X

30

N

200 N

Y Ejemplo 4 F Un bloque de 100 N esta en reposo en un plano inclinado de 30 . Si el coeficiente de friccin 100 N dinmico d = 0.1, que fuerza paralela al plano hacia arriba se requiere para que el bloque se mueva a velocidad constante: d=0.1 30 a) Hacia arriba b) Hacia abajo Solucin Y Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo F a) Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia abajo debido a que el bloque se mueve hacia arriba fd Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuaciones de equilibrio en X 30 N Primero se calcula fd = dN = (0.1) (100cos30) = 8.66 N 100 N Fx = 0; F 100sen30 -8.66 = 0..(1) Despejando F = 100sen30 + 8.66; F = 58.66 N b) Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia arriba debido Y a que el bloque se mueve hacia abajo F Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuacin de equilibrio en X fd Fx = 0; F 100sen30 + 8.66 = 0..(1) 30 Despejando F = 100sen30 - 8.66; F = 41.34 N N

X

X

X

Ejemplo 5 Para el sistema mostrado en la siguiente figura, si el sistema debe permanecer esttico a. Cunto es el peso mximo P? b. Cunto es el peso mnimo P?40 lb

100 N

45

300 lb s=0.3

30 P

Solucin P a) 40 lb N Se dibuja el diagrama de cuarpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio fs 45 30 Fx = Pcos30 40cos 45 fs = 0 300 lb Fy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 De la ecuacion anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Pcos30-40cos 45 90 + 12sen45 + 0.3Psen30 = 0 1.016P = 109.8 P = 108.071 lb P 40 lbN

b) Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio

45

30 300 lb

fs

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Fx = Pcos30 + fs - 40cos 45 = 0 Fy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 De la ecuacin anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Fx = Pcos30 + 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 - 40cos 45 = 0 0.716P = -53.23 P = -74.344 lb Esto significa que aunque P=0 el bloque no se mueve porque fs es mayor que la componente horizontal de 40 lb. Entonces el signo negativo indica que hay que empujar con 74.344 libras al bloque con una inclinacin de 30 2.1.2 MOMENTO DE TORSIN

El Momento de torsin o torque es producido por una fuerza que gira o tratar de girar un objeto con respecto a un eje. Su magnitud se determina mediante la frmula: = Fd El smbolo indica que la fuerza y el brazo de palanca son perpendiculares entre s. Momento de torsin o torque F Fuerza d Brazo de palanca (Distancia del eje de giro a la lnea de accin de la fuerza) Momento de torsin positivo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido de las manecillas del reloj Momento de torsin negativo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido contrario de las manecillas del reloj Nota. Si la lnea de accin de la fuerza toca el eje de giro el momento de torsin es cero100 N

Ejemplo 1 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la figura de la derecha. = Fd = (100 N)(0.2 m) = 20 Nm Ejemplo 2 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la siguiente de la derecha Este ejemplo se puede resolver de dos formas 1. Obtener la componente de la fuerza perpendicular al brazo de palanca 2. Obtener la componente del brazo de palanca perpendicular a la fuerza Primero vamos a resolverlo obteniendo la fuerza perpendicular al brazo de palanca. Ver figura a la derecha. La fuerza perpendicular al brazo de palanca es 100sen 35, entonces el torque es: = (100sen35 N)(0.2 m) = 11.472 Nm

20 cm 100 N 45 20 cm

100 sen 35 100 N 35 20 cm

Ahora se va a resolver el mismo problema obteniendo el brazo de palanca perpendicular a la fuerza, Ver figura a la derecha. El brazo perpendicular a la fuerza es 20sen35, entonces el torque es; = (100 N)(0.2sen35 m) = 11.472 Nm Ejemplo 3 Para la placa mostrada en la figura de la derecha, calcular el momento de torsin 70 N A 60 resultante en: a. Punto A C b. Punto B c. Punto C d. Punto D e. Punto E80 N

20 cm

100 N 35

20 sen35 150 N 40 20 cm E30 100 N

B D

40 cm

Solucin (se obtienen las fuerzas perpendiculares a los brazos de palanca) a. A = (70)(0) - (150sen40)(0.4) (100sen30)(0.2) + (100cos30)(0.4) + (80)(0) = 0-38.567-10+36.641+0 = -13.926 Nm b. B = (70sen60)(0.2) - (150sen40)(0.2) + (100cos30)(0.2) - (100sen30)(0.2) - (80)(0.2) = 12.124 12 cm 19.284 + 17.321-10-16= -15.839 Nm 50 c. C = -70cos60(0.1) + 150cos40(0.1) 150sen40(0.4) +100cos30(0.4) 100sen30(0.1) = 60 N 3.5+11.491-38.567+34.641-5 = -0.936 Nm A = 70sin(60)(0.2)-70cos(60)(0.1)+150cos(40)(0.1)-150sin(40)(0.2)+100cos(30)(0.2)d. D 100sin(30)(0.1)-80(0.2) 10 cm 20 80 N = -2.848 Nm

30

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e.

E = 70sin(60)(0.4)-70cos(60)(0.2)+150cos(40)(0.2)-80(0.4) = 8.230 Nm

Ejemplo 4 Una pieza angular de hierro articulada sobre un gozne es afectada por dos fuerzas, como se muestra en la figura de la derecha. Determine el momento de torsin en la articulacin (punto A). Solucin (se obtienen las componentes de los brazos de palanca perpendiculares a las fuerzas) E = -0.12sin 50(60)+0.1cos20(80) = 2.002 Nm 2.1.3 EQUILIBRIO ROTACIONAL Para que un objeto este en equilibrio rotacional se debe cumplir la regla siguiente: garantiza que el objeto no gira o bien gira a velocidad constante

= 0. Esta condicin

2.1.4 EQUILIBRIO TOTAL Un objeto o sistema est en equilibrio total si cumple las reglas siguientes: 1. Fx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmente, o se mueve con velocidad lineal constante 2. Fy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueve verticalmente, o se mueve con velocidad lineal constante 3. = 0. Esto indica que la sumatoria de los momentos con respecto a un punto de giro es cero, por lo que el objeto no gira, o gira con velocidad angular constante Ejemplo1 La figura a la derecha muestra una viga uniforme que pesa 200 N la cual est sostenida por dos soportes. Cul es el peso que carga cada soporte?

10 m 300 N A

4m 400 N B

Solucin 12 m Iniciamos dibujando el diagrama de cuerpo libre Observemos que con las condiciones de equilibrio traslacional es imposible resolver 300 N 400 N este problema, pero con las condiciones de equilibrio rotacional se facilita. A = -300(2)-200(8)+B(12)-400(16) = 0. Despejando B 2m 6m 4m 4mA 200 N B

B= A=

= 716.667 N = 183.333

A = -A(12)+300(10)+200(4)-400(4) = 0. Despejando A

Estos dos resultados se debe comprobar mediante la condicin de equilibrio vertical Fy = 183.333-300-200+716.667-400 = 0 Eje