Apuntes del tema bioreactores enzimaticos.pdf

Bio-reactores Enzimticos

Operaciones y procesos biotecnolgicos IFacultad de Bioqumica y Ciencias Biolgicas

Universidad Nacional del Litoral

Dr. Juan Manuel Peralta

Instituto de Desarrollo Tecnolgico para la Industria Qumica (INTEC)Edificio INTEC 1, Paraje el Pozo, Predio UNL-CONICET, Ruta 168 (colectora).

Tel: 0342-4511595 ext: 1090, E-mail: [email protected]

Tema 5

Contenidos

1. Breve revisin de conceptos fundamentales de cintica enzimtica.

2. Derivacin de expresiones cinticas a partir de diferentes mecanismos e hiptesis simplificatorias: etapa determinante y estado estacionario.

3. Enzimas inmovilizados.

4. Interferencia de los procesos de transferencia de materia (difusin) con la velocidad de reaccin enzimtica.

4.1. Caso de la enzimas inmovilizados en placas porosas.

4.2. El nmero de Damkhler.

4.3. Difusin y reaccin enzimtica en el interior de matrices porosas esfricas.

4.4. El factor de efectividad y el mdulo de Thiele.


Operaciones y procesos biotecnolgicos I Dr. J. M. Peralta

Bibliografa1. Dutta, R. 2008. Fundamentals of biochemical engineering. Springer Science +

Business Media. Berlin. Germany.

2

1. Conceptos fundamentales de cintica enzimtica


Enzima

Catalizador biolgico (en su gran mayora protenas). En general, trabajan mejor en condiciones ptimas para los seres vivos.

La palabra en griego significa en la levadura y fue usada por primera vez por W. Khne en 1877 para describir la actividad que Pasteur observ en las fermentaciones.

Que hacen?

E

AB

E

AB

E

A

B

G (e

nerg

a li

bre)

Reaccin

A B A + B

A B

A + B

EAB

G+

Sin enzima

Con enzima

Operaciones y procesos biotecnolgicos I Dr. J. M. Peralta 3

Sub (1.x.1.1)1. CH-OH2. aldehido3. CH-CH4. CH-NH25. CH-NH6. NADH y NADPH7. Otros comp N8. S-9. Grupos hemo



Nomenclatura

1. Nombres no descriptivos

2. Adicin del prefijo asa

3. Cdigo numrico (EC number)

Renina: cataliza el cuajado de la leche para producir quesos

Pepsina: hidroliza protenas a pH acido

Tripsina: hidroliza protenas a pH medio y alcalino

Basado en el sustrato: Lactasa (lactosa)

Basado en la reaccin: Glucosa isomerasa (isomerizacion de la glucosa)

Se usa un cdigo de 4 nmeros EC 1. 1. 1. 1Clase (x.1.1.1)

1. Oxidoreductasas

2. Transferasas

3. Hidrolasas

4. Liasas

5. Isomerasas

6. Ligasas (sintetasas)

Sub-sub (1.1.x.1)1. NAD o NADP2. aldehdo3. oxigeno4. bisulfuro5. quinonas

Sub-sub-sub (1.1.1.x)1. OH- desidrogenasa2. OH- deshid. NADP+3. Homoserina deshid.4. Butanediol deshid.5. Acetoina deshid.6. Gliserol deshid.7.

Por ejemplo: EC.1.1.1.1 = alcohol dehydrogenasa

Base de datos: http://expasy.org/enzyme/




Sitio activoEstos polmeros son usualmente grandes molculas pero sin embargo solamente una porcin pequea cataliza la reaccin.

Carboxipeptidasa Catalasa

Los sitios activos suelen estar compuestos por dos componentes:

1. Sitio de enlace o unin: rea que sostiene al sustrato

2. Sitio cataltico: rea donde sucede la reaccin.




Formacin complejo Enzima-sustrato (ES)Para explicar la formacin del compuesto intermedio ES se plantearon varias teoras:

1. El modelo de llave-cerradura de Hemil y Fisher

2. El modelo del ajuste inducido de Koshland

3. Uso de otros compuestos (ej. Cofactores y/o coenzimas)

El complejo ES se forma debido a la complementariedad geomtrica entre el enzima y el sustrato.

E

AB

E

AB

E

AB

E

ABE

El complejo ES se forma debido a que el enzima cambia su conformacin a medida que se acerca el sustrato para obtener la complementariedad geomtrica.

Algunos enzimas forman el complejo ES por la ayuda de compuestos no proteicos cofacores (ej. Mg, Zn, Fe, etc) o moleculas organicas complejas coenzimas (ej. NAD, FAD, CoA, vitaminas, etc.).

E

AB

AB

Co-E

E E


2. Expresiones cinticas a partir de diferentes mecanismos e hiptesis


Cintica enzimticaHenri (1902) observ que, en general, las reacciones enzimticas presentaban las siguientes particularidades:

1. La velocidad de reaccin es proporcional a la concentracin del sustrato (esto es, cintica de primer orden) cuando la misma es baja.

2. La velocidad de reaccin no depende de la concentracin del sustrato cuando la misma es alta debido a que la velocidad cambia de una reaccin de primer orden a una de orden cero a medida que la concentracin de sustrato aumenta.

3. La velocidad mxima de reaccin es proporcional a la concentracin de enzima dentro del rango experimentado.

Se propuso la expresin:

= +max S

PM S

r CrK C

Tiempo

C Producto

Sustrato

= maxP SM

rr CK

=P maxr r

Brown (1902) propuso el siguiente mecanismo de reaccin:

S + E ES P + Ek1

k2

k3




Cintica enzimtica (cont.)La ecuacin propuesta por Henri puede ser obtenida a partir del mecanismo propuesto por Brown efectuando las siguientes suposiciones:

1. La concentracin total de enzima permanece constante durante la reaccin: CEo = CES + CE2. La cantidad de enzima es muy pequea en comparacin con la cantidad de sustrato. Por lo tanto, la formacin del complejo ES no reduce significativamente a la cantidad de sustrato.

3. La concentracin de producto es tan baja que la reaccin no se ve afectada por su concentracin.

A partir de estas suposiciones existen tres formas diferentes deobtener la ecuacin para la velocidad de reaccin:

Michaelis Menten (1913)

Brigs Haldane (1925)

Solucin numrica

Se asume que la etapa de formacin de producto es mucho mas lenta que la de formacin del complejo ES,la cual est en equilibrio.

Se asume que la concentracin del complejo ES se mantiene constante (pseudo estado estacionario)


= = = ++03

2

1

E SS max SP

M SS

k C CdC r CdCr kdt dt K CCk



Propuesta de Michaelis MentenLa velocidad de formacin de productos es mucho mas lenta que la velocidad de formacin del complejo ES.

Esto puede pensarse debido a que la formacin del complejo ESesta basada en interacciones dbiles.

Si la reaccin mas lenta determina la velocidad global de la reaccin, la velocidad de formacin de producto y consumo de sustrato es proporcional a la concentracin del complejo ES:

= = 3SP ESdCdCr k Cdt dtLa concentracin del complejo ES puede relacionarse con la concentracin de S y de E a travs de la suposicin de que la primera reaccin esta en equilibrio:

1 3S E ESk C C k CSustituyendo esta ecuacin en la anterior y teniendo en cuenta la suposicin de que la concentracin total de enzima se mantiene constante:

Se obtiene:

= 21

MkKk

=03max E

r k C

= +0E ES E

C C C =+0

2

1

E SES

S

C CC k C

k




Propuesta de Michaelis Menten (cont.)KM : es conocida como la constante de Michaelis-Menten y es igual a la constante de disociacin K1 o la reciproca de la constante de equilibrio Keq:

= = = =2 11

1S EM

ES eq

C CkK Kk C K

y tiene las mismas unidades que S.

Es importante destacar que cuando KM es igual a S, la velocidad de reaccin es la mitad de la velocidad mxima. Por lo tanto, este parmetro caracteriza la interaccin de un enzima con un dado sustrato.

rmax : es la velocidad mxima de reaccin. Este parmetro usualmente no se expresa como el producto de una constante por la concentracin CEo, debido a la dificultad de expresar la concentracin de un enzima en unidades molares (necesidad de conocer el peso molecular del enzima).


= = =+ ++03

2 3

1

E SS max SP

M SS

k C CdC r CdCr k kdt dt K CCk



Propuesta de Briggs HaldaneTeniendo en cuenta el mecanismo propuesto por Brown, la reaccin puede ser expresada como:

= 3P ESdC k Cdt

Asumiendo que la variacin de CES es despreciable (dCES / dt = 0) en comparacin con las variaciones de CP y CS:

Sustituyendo esta ecuacin en la anterior, confirma que:

= +0E ES E

C C C

Se obtiene:

= + +0

2 3

1

E SES

S

C CC k k C

k

= 1 2CS S E ESdC k C k Cdt

= 1 2 3C 0ES S E ES ESdC k C k C k Cdt

= = 3SP ESdCdCr k Cdt dtNuevamente, asumiendo que CEo permanece constante:




Propuesta de Briggs Haldane (cont.)donde:

+= 2 31

Mk kK

k=

03max Er k C

Estas expresiones son similares a las obtenidas por Michaelis -Menten excepto por KM. Esta expresin puede ser simplificada a la de Michaelis - Menten si:

>>2 3k kLo cual significa que la produccin de P es mucho mas lenta que la etapa de disociacin del complejo ES. Esto es esperable debido a que las interacciones enzima sustrato involucran interacciones dbiles y por lo tanto su disociacin ser rpida en comparacin a los enlaces covalentes involucrados en la produccin de P.

Solucin numricaLas expresiones de las velocidades de reaccin para el mecanismo propuesto por Brown son:

= 3P ESdC k Cdt

= 1 2CS S E ESdC k C k Cdt

= 1 2 3CES S E ES ESdC k C k C k Cdt




Evaluacin de los parmetros cinticosLos parmetros, rmax y KM, pueden ser evaluados mediante:

1. Se realiza una serie de experimentos batch con diferentes concentraciones de sustrato para una concentracin inicial constante de enzima.

2. Se estima la velocidad inicial de reaccin a partir de CS y CPversus el tiempo para las diferentes concentraciones de sustrato.

3. Se estiman los parmetro cinticos usando tcnicas graficas, el mtodo de mnimos cuadrados o ajustes no lineales.

Para aplicar el mtodo planteado, se puede linealizar la ecuacin de Michaelis-Menten (o Briggs-Haldane) por diferentes mtodos:

Grfico de Langmuir

Grfico de Lineweaver-Burk

Grfico de Eadie-Hofstee

= +S SMmax max

C CKr r r

= +1 1 1Mmax max S

Kr r r C

= +max MS

rr r KC

SCr

SC

1maxr

M

max

Kr

1r

1 SC

M

max

Kr

1maxr

r

Sr C

maxr

MK




Inhibicin en reacciones enzimticasUn modulador es una sustancia que se combina con los enzimas para alterar su actividad cataltica.

Un inhibidor es un modulador que disminuye la actividad cataltica en forma competitiva, no competitiva o parcialmente competitiva.

Inhibicin competitiva Inhibicin no competitiva

El inhibidor tiene una estructura similar a la del sustrato, por lo tanto, ambos compiten por el sitio activo.

La formacin del complejo EI reduce la cantidad de enzima disponible para reaccionar con el sustrato

El inhibidor puede interactuar con el enzima en varias formas.

Estas pueden ser reversible o irreversiblemente en el sitio activo o en otra regin.

En cualquier caso el complejo resultante es inactivo.

S + E ESk1k2+

I EIk3k4

E + Pk5

E + QS + E ES

k1k2+

I EIk3k4

E + Pk9

E + Q+S

k5k6

EIS

+I

k7k8

ESI




Inhibicin competitivaSi la reaccin mas lenta, la de produccin de producto, determina la velocidad de reaccin (de acuerdo con la suposicin de Michaelis-Menten), la velocidad puede ser descripta como:

S + E ESk1k2+

I EIk3k4

E + Pk5

E + Q

= 5P ESr k CEl balance de enzima: = + +

0E E ES EIC C C C

A partir de las dos reacciones en equilibrio:

= =21

E SS

ES

C C k KC k

= =43

E II

EI

C C k KC k

Combinando estas ltimas 4 ecuaciones se obtiene:

= 05 E S

PS MI

k C Cr

C K = + 1

IMI S

I

CK KK

donde

De aqu: MI SK KSC

r

SC

1maxr

MK

1r

1 SC

1MK 1

maxr

Langmuir Lineweaver-Burk

MIK

1 MIKOperaciones y procesos biotecnolgicos I Dr. J. M. Peralta 15



Inhibicin no competitivaDebido a que el sustrato y el inhibidor no compiten por el sitio activo para la formacin de los complejos ES o EI, se puede asumir que las const. de disociacin para las especies I y S en donde intervienen van a ser iguales:

= = =621 5

S ISkk K K

k kUsando la suposicin de Michaelis-Menten (la velocidad de formacin de productos es mas lenta que la de formacin de complejos):

= +I ,max S

PS S

r Cr

C K= +1

maxI ,max

I I

rrC K

donde

Por lo tanto, rmax disminuir por la presencia del inhibidor mientras que KM no ser afectada.

SCr

SC

1 maxr

MK

1r

1 SC

1maxr

Langmuir Lineweaver-Burk

S + E ESk1k2+

I EIk3k4

E + Pk9

E + Q+S

k5k6

EIS

+I

k7k8

ESI

= = =843 7

I SIkk K K

k k

1 I ,maxr

MK

1 I ,maxr




Inhibicin parcialmente competitivaPueden existir muchas variaciones al mecanismo de inhibicin no competitiva.

Un caso es la descomposicin del complejo EIS en P y EI.

Este caso se conoce como inhibicin parcialmente competitiva.

Existen otros factores que pueden modificar la actividad enzimtica durante la reaccin.

S + E ESk1k2+

I EIk3k4

E + Pk9

E + Q+S

k5k6

EIS

+I

k7k8

ESI

EI + P

k10

Otras influencias en la actividad enzimtica

pH: Existe un pH ptimo para cada enzima porque: 1) En general, los enzimas son protenas que tienen residuos de AA, los cuales tienen grupos cidos, bsicos y neutrales de acuerdo al pH, 2) los sitios activos funciona para una dada carga de estos grupos.Temperatura: La velocidades de reaccin y de desnaturalizacin de los enzimas siguen una dependencia tipo Arrhenius con la temperatura. Tensiones de corte en el fluido

Act

ivid

ad re

l.

pHpK1 pK2

-COO-

-CO

OH

-NH2

-NH3+

pHop

t.

Act

ivid

ad re

l.

T

velo

cidad Desnat

= 0 E RTk A eOperaciones y procesos biotecnolgicos I Dr. J. M. Peralta 17

3. Enzimas inmovilizados Bio-reactores Enzimticos

Enzimas inmovilizadosDebido a que la mayora de los enzimas son protenas globulares, estas son solubles en agua. Por lo tanto, es muy difcil o inviable su separacin de la corriente de proceso para su reutilizacin.

Mtodos de inmovilizacin

Ventajas Desventajas

9 Reduccin de costos, comparado con los sistemas con enzimas libres donde se requiere un proceso de purificacin.

9 Algunos mtodos de inmovilizacin pueden incrementar la actividad.

9 Muchos enzimas inmovilizados presentan una reduccin en su actividad.

9 Pueden ser mas costosos que los enzimas libres.

9 Puede existir reduccin en la actividad debido a la transferencia de materia.

E

E

E

E

E

E

Entrampada Ligada

En matriz En membrana Covalente

E EEE E

EE

E

Adsorbida(fsica o inica)

E

EE EE E

E

EE E

EE

EEE

EE

EE E E

EE

Macroscpicas

Micro-encapsulacin

Soporte Enzima

Mtodos fsicos Mtodos qumicos


3. Enzimas inmovilizados Bio-reactores Enzimticos

Mtodos de inmovilizacin (cont.)

Entrampamiento en matriz: La solucin que contiene el enzima se mezcla con un fluido polimrico que solidifica en varias formas (usualmente en pequeas partculas).

El material polimrico es semipermeable provocando que los enzimas con alto peso molecular no difundan hacia el exterior pero permitiendo que los sustratos pequeos difundan.

Las matrices usadas son:

Alginato de calcio, agar, polyacrilamida, colageno.

Entrampamiento en membrana: Las soluciones enzimticas pueden ser entrampadas entre finas membranas semipermeables:

Nylon, polisulfonas, celulosa, poliacrilato.

Microencapsulacin: Los enzimas se inmovilizan dentro de microcpsulas son membranas semipermeables.

Enlace covalente a soportes: residuos de AA , que no son funcionales (participan en el sitio activo), se unen al soporte.

Los grupos funcionales son:

-COOH -SH -OH -NH2 -fenil -imidazol

Soportes comunes son:

1. Soportes sintticos (polipptidos, polmeros con grupos: acrilamida, anhidrido maleico, metacrilatos y estireno).2. Soportes naturales (agarosa, celulosa, dextrano, vidrio y almidn).

Mtodos fsicos

Mtodos qumicos


3. Enzimas inmovilizados4. Efecto de la transferencia de materia


Mtodos de inmovilizacin (cont.)

Enlace covalente entre enzimas: La inmovilizacin se puede producir uniendo enzimas por medio de crosslinkingproduciendo derivados insolubles.

Adsorcin: Es el mtodo mas simple de inmovilizacin. Usualmente se produce por fuerzas fsicas dbiles: van derWaals, dispersin, etc.

La inmovilizacin es dbil, posee una bajo poder de inmovilizacin y es dependiente del pH, fuerza inica y la temperatura.

Mtodos qumicos (cont.)

Mtodos fsicos o qumicos


Efecto de la transferencia de materiaLa inmovilizacin de enzimas puede introducir un nuevo problema, el cual esta ausente en enzimas libres. Este problema se debe algran tamao del enzima inmovilizado o debido a la inclusin del enzima en la matriz polimrica.

El trayecto hipottico del sustrato desde el fluido hasta el enzima:

E1 2 3

CsbCs

1. Transferencia desde el seno del liquido hasta la capa relativamente no mezclada que rodea el enzima inmovilizado.

2. Difusin a travs de la capa relativamente no mezclada.

3. Difusin desde la superficie de la partcula hacia el sitio activo del enzima en el interior del soporte.

Resistencia externa

4. Efecto de la transferencia de materia Bio-reactores Enzimticos


Si un enzima es inmovilizado en la superficie de la partcula de soporte, la trayectoria del sustrato solo se compone de las dos primeras etapas.

La velocidad de transferencia de materia ser proporcional a la diferencia de concentracin (fuerza impulsora):

( )s s Sb SN k A C C= CSb y CS: concentraciones de sustrato en el seno del liquido y la superficie de la partcula, respectivamente.

ks: coeficiente de transferencia de materia.

A: superficie de una partcula de soporte.

Durante la reaccin, la velocidad de transferencia de sustrato es igual a la velocidad de consumo del mismo. Por lo tanto, si la velocidad de reaccin puede ser descripta por Michaelis-Menten:

( ) max Sp s Sb SM S

r Cr k a C CK C

= = +Expresando esta ecuacin en forma adimensional:

11

S S

Da S

x xN x

= +S

SSb

CxC

= maxDaS Sb

rNk aC

=SbM

CK

=

Nmero de Damkhler

Resistencia externa (cont.)



Nmero de Damkhler: es la relacin entre la mxima velocidad de reaccin y la mxima velocidad de transferencia de materia:

p s Sbr k aC

( )Mxima vel. de reaccin

Mxima vel. de transferencia de materia 0max

DaS Sb

rNk a C

= = NDa > 1: la velocidad de reaccin es mucho mayor que la transferencia de materia. Por lo tanto, la velocidad global de reaccin es controlada por la transferencia de materia, la cual se puede describir como una reaccin de primer orden:

max Sp

M S

r CrK C

+

Para medir la extensin en la cual la velocidad de reaccin es alterada debido a la transferencia de materia, se define el factor de efectividad de un enzima inmovilizado como:

Velocidad de reaccin transf. de materiaVelocidad de reaccin transf. de

comateria

nsin =

Resistencia externa (cont.)



Teniendo en cuenta el modelo planteado:

( )11

max S S

M S SS

max Sb

M Sb

r C xK C x f x ,r CK C

+ += = =

++Si: xS = 0 CS = 0 = 0 (Vel. de reaccin igual a difusin)Si: xS = 1 CS = CSb = 1 (no hay limitacin)Si:

Resistencia internaSi el enzima es inmovilizado por copolimerizacion o encapsulacin, la resistencia intraparticula a la transferencia de materia puede afectar la velocidad de reaccin enzimtica.

Para poder encarar el problema matemtico es necesario plantear una serie de suposiciones:

1. La reaccin ocurre en todas las posiciones dentro del enzima inmovilizado y la cintica de la reaccin es de la misma forma que la observada para el enzima libre.

2. La transferencia de materia a travs del enzima inmovilizado ocurre por difusin molecular.

3. No hay limitacin por transferencia de materia en la regin externa del enzima inmovilizado.

4. El enzima inmovilizado es esfrico.

Resistencia interna (cont.)



El conjunto de suposiciones generan un modelo denominado modelo distribuido.Aplicando un balance de materia para el sustrato para una cascaraesfrica de espesor dr :

Velocidad de Velocidad de Velocidad de Velocidad de acumulacin ingreso egreso generacin

= +

r

CSb

Rdr

CS

( ) ( )2 2 2 2S S S SS S SdC dC dC dCdr dr D dr r D r dr r r drdr dr dr dr dt + + + =

24 SdCr drdt

=

( )24 S SS dC dCdr dr D drdr dr dr = + +

24 SSdCr Ddr

=

( )24 Sr dr r=

1 2 3 4

1

2

3

4

Para la condicin de estado estacionario, el cambio en la concentracin de sustrato dCS / dt = 0. Simplificando el balance:

2

22 0S SS S

d C dCD rr drdr

+ + = Esta ecuacin puede ser resuelta utilizando una expresin para rS.




Algunos valores del coeficiente efectivo de difusin (DS) se presentan en la siguiente tabla.

En la ecuacin de balance, slo es necesario reemplazar el trmino rS por una expresin cintica adecuada.

En el caso de una reaccin enzimtica, son tiles las siguientes expresiones:

= 0Sr kCintica de orden cero:

= +max S

SM S

r CrK C

Cintica de Michaelis-Menten:

= 1S Sr k CCintica de primer orden:

A continuacin se tratarn los casos por separado para obtener las expresiones de los parmetros mas importantes.

Soluto Gel Conc. (%) Temp. (C) DS (m2 s-1)

GlucosaEtanolSacarosaSacarosaSacarosaSacarosaLactosaL-triptofano

Alginato (Ca)Alginato (Ca)GelatinaGelatinaGelatinaGelatinaGelatinaAlginato (Ca)

2203.85.77.6252

252555555

30

6.10 10-101.00 10-92.85 10-102.09 10-101.86 10-101.35 10-100.37 10-106.67 10-10




Cintica de orden cero

Asumiendo que el consumo de sustrato sigue una cintica de orden cero:

Esta es una buena aproximacin cuando KM si 0SC= 0Sr =si 0SC

+ =2

02

2 0S SS

d C dC kr dr Ddr

para CS > 0

Usando las condiciones de contorno:

0SdCdr

cuando Cr R =S SbC C =cuando r R

reordenando:

( ) =2 02 SS

d rC k rDdr

= + +20 2116S Sk CC r CD r

( ) = + 2 2 301 12 1

6S

cSb S Sb

C k r R RC D C R r

Se obtiene:

Finalmente, el factor de efectividad para esta cintica es:

( ) ( )( )

= =

3 3 30

30

4 31

4 3c c

R R k RRR k




Cintica de primer orden

Sustituyendo la expresin de la cintica de primer orden en la ecuacin de balance de materia y adimensionalizando este ltimo:

El mdulo de Thiele es un parmetro que mide la relacin entre las velocidades de reaccin y difusin.

Resolviendo la expresin del balance:

( ) ( ) = + 1 21 3 3Sx C cosh r C senh rrUsando las condiciones de contorno:

es acotada cuando 0sx r

( ) =2

22 9

SS

d rxx

dr

=S S Sbx C C=r r R

( ) = 13 SR k D (Mdulo de Thiele)

==1 cuando 1sx rPor lo tanto:

( )( )

=

3

3Ssenh r

xr senh

( ) ( )( )( )

===

1

1

2

3 3 13

p p S Sb S r

Sb

A V D C R dx drk C

coth

El factor de efectividad ser:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r

sx

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100

0 5. =

2 = 5 =




Cintica de Michaelis-Menten

Sustituyendo la expresin de la cintica de Michaelis-Menten en la ecuacin de balance de materia y adimensionalizando este ltimo:

Esta ecuacin no posee solucin analtica conocida. Por lo tanto, se resuelve por mtodos numricos.

Las condiciones de contorno son:

= = 0 cuando s cdx Rrdr R

( ) = +

22

2 9 1S S

S

d rx xxdr

(Mdulo de Thiele)

= =1 cuando cs Rx r R

=S S Sbx C C=r r R

( ) ( ) = 3 max S MR r D K = Sb MC K

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r

sx

0 5. =

2 = 5 =

Primer orden

Michaelis-Menten( = 5)

= 5

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