Apuntes del tema bioreactores enzimaticos.pdf

Bio-reactores Enzimáticos

Operaciones y procesos biotecnológicos IFacultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas

Universidad Nacional del Litoral

Dr. Juan Manuel Peralta

Instituto de Desarrollo Tecnológico para la Industria Química (INTEC)Edificio INTEC 1, Paraje el Pozo, Predio UNL-CONICET, Ruta 168 (colectora).

Tel: 0342-4511595 ext: 1090, E-mail: [email protected]

Tema 5

Contenidos

1. Breve revisión de conceptos fundamentales de cinética enzimática.

2. Derivación de expresiones cinéticas a partir de diferentes mecanismos e hipótesis simplificatorias: etapa determinante y estado estacionario.

3. Enzimas inmovilizados.

4. Interferencia de los procesos de transferencia de materia (difusión) con la velocidad de reacción enzimática.

4.1. Caso de la enzimas inmovilizados en placas porosas.

4.2. El número de Damköhler.

4.3. Difusión y reacción enzimática en el interior de matrices porosas esféricas.

4.4. El factor de efectividad y el módulo de Thiele.


Operaciones y procesos biotecnológicos I Dr. J. M. Peralta

Bibliografía1. Dutta, R. 2008. Fundamentals of biochemical engineering. Springer Science +

Business Media. Berlin. Germany.

2

1. Conceptos fundamentales de cinética enzimática


Enzima

Catalizador biológico (en su gran mayoría proteínas). En general, trabajan mejor en condiciones óptimas para los seres vivos.

La palabra en griego significa “en la levadura” y fue usada por primera vez por W. Kühne en 1877 para describir la actividad que Pasteur observó en las fermentaciones.

Que hacen?

E

AB

E

AB

E

A

B

G (e

nerg

ía li

bre)

Reacción

A B A + B

A B

A + B

EAB

ΔG+

Sin enzima

Con enzima

Operaciones y procesos biotecnológicos I Dr. J. M. Peralta 3

Sub (1.x.1.1)1. CH-OH2. aldehido3. CH-CH4. CH-NH25. CH-NH6. NADH y NADPH7. Otros comp N8. S-9. Grupos hemo



Nomenclatura

1. Nombres no descriptivos

2. Adición del prefijo –asa

3. Código numérico (EC number)

Renina: cataliza el cuajado de la leche para producir quesos

Pepsina: hidroliza proteínas a pH acido

Tripsina: hidroliza proteínas a pH medio y alcalino

Basado en el sustrato: Lactasa (lactosa)

Basado en la reacción: Glucosa isomerasa (isomerizacion de la glucosa)

Se usa un código de 4 números EC 1. 1. 1. 1Clase (x.1.1.1)

1. Oxidoreductasas

2. Transferasas

3. Hidrolasas

4. Liasas

5. Isomerasas

6. Ligasas (sintetasas)

Sub-sub (1.1.x.1)1. NAD o NADP2. aldehído3. oxigeno4. bisulfuro5. quinonas

Sub-sub-sub (1.1.1.x)1. OH- desidrogenasa2. OH- deshid. NADP+3. Homoserina deshid.4. Butanediol deshid.5. Acetoina deshid.6. Gliserol deshid.7. …

Por ejemplo: EC.1.1.1.1 = alcohol dehydrogenasa

Base de datos: http://expasy.org/enzyme/




Sitio activoEstos polímeros son usualmente grandes moléculas pero sin embargo solamente una porción pequeña cataliza la reacción.

Carboxipeptidasa Catalasa

Los sitios activos suelen estar compuestos por dos componentes:

1. Sitio de enlace o unión: área que sostiene al sustrato

2. Sitio catalítico: área donde sucede la reacción.




Formación complejo Enzima-sustrato (ES)Para explicar la formación del compuesto intermedio ES se plantearon varias teorías:

1. El modelo de llave-cerradura de Hemil y Fisher

2. El modelo del ajuste inducido de Koshland

3. Uso de otros compuestos (ej. Cofactores y/o coenzimas)

El complejo ES se forma debido a la complementariedad geométrica entre el enzima y el sustrato.

E

AB

E

AB

E

AB

E

ABE

El complejo ES se forma debido a que el enzima cambia su conformación a medida que se acerca el sustrato para obtener la complementariedad geométrica.

Algunos enzimas forman el complejo ES por la ayuda de compuestos no proteicos –cofacores– (ej. Mg, Zn, Fe, etc) o moleculas organicas complejas –coenzimas– (ej. NAD, FAD, CoA, vitaminas, etc.).

E

AB

AB

Co-E

E E


2. Expresiones cinéticas a partir de diferentes mecanismos e hipótesis


Cinética enzimáticaHenri (1902) observó que, en general, las reacciones enzimáticas presentaban las siguientes particularidades:

1. La velocidad de reacción es proporcional a la concentración del sustrato (esto es, cinética de primer orden) cuando la misma es baja.

2. La velocidad de reacción no depende de la concentración del sustrato cuando la misma es alta debido a que la velocidad cambia de una reacción de primer orden a una de orden cero a medida que la concentración de sustrato aumenta.

3. La velocidad máxima de reacción es proporcional a la concentración de enzima dentro del rango experimentado.

Se propuso la expresión:

=+

max SP

M S

r CrK C

Tiempo

C Producto

Sustrato

= maxP S

M

rr CK

=P maxr r

Brown (1902) propuso el siguiente mecanismo de reacción:

S + E ES P + Ek1

k2

k3




Cinética enzimática (cont.)La ecuación propuesta por Henri puede ser obtenida a partir del mecanismo propuesto por Brown efectuando las siguientes suposiciones:

1. La concentración total de enzima permanece constante durante la reacción: CEo = CES + CE

2. La cantidad de enzima es muy pequeña en comparación con la cantidad de sustrato. Por lo tanto, la formación del complejo ES no reduce significativamente a la cantidad de sustrato.

3. La concentración de producto es tan baja que la reacción no se ve afectada por su concentración.

A partir de estas suposiciones existen tres formas diferentes deobtener la ecuación para la velocidad de reacción:

Michaelis – Menten (1913)

Brigs – Haldane (1925)

Solución numérica

Se asume que la etapa de formación de producto es mucho mas lenta que la de formación del complejo ES,la cual está en equilibrio.

Se asume que la concentración del complejo ES se mantiene constante (pseudo estado estacionario)


= = − ≅ =++

03

2

1

E SS max SP

M SS

k C CdC r CdCr kdt dt K CCk



Propuesta de Michaelis – MentenLa velocidad de formación de productos es mucho mas lenta que la velocidad de formación del complejo ES.

Esto puede pensarse debido a que la formación del complejo ESesta basada en interacciones débiles.

Si la reacción mas lenta determina la velocidad global de la reacción, la velocidad de formación de producto y consumo de sustrato es proporcional a la concentración del complejo ES:

= = − ≅ 3SP

ESdCdCr k C

dt dtLa concentración del complejo ES puede relacionarse con la concentración de S y de E a través de la suposición de que la primera reacción esta en equilibrio:

≅1 3S E ESk C C k CSustituyendo esta ecuación en la anterior y teniendo en cuenta la suposición de que la concentración total de enzima se mantiene constante:

Se obtiene:

= 2

1M

kKk

=03max Er k C

= +0E ES EC C C =

+

0

2

1

E SES

S

C CC k C

k




Propuesta de Michaelis – Menten (cont.)KM : es conocida como la constante de Michaelis-Menten y es igual a la constante de disociación K1 o la reciproca de la constante de equilibrio Keq:

= = = =21

1

1S EM

ES eq

C CkK Kk C K

y tiene las mismas unidades que S.

Es importante destacar que cuando KM es igual a S, la velocidad de reacción es la mitad de la velocidad máxima. Por lo tanto, este parámetro caracteriza la interacción de un enzima con un dado sustrato.

rmax : es la velocidad máxima de reacción. Este parámetro usualmente no se expresa como el producto de una constante por la concentración CEo, debido a la dificultad de expresar la concentración de un enzima en unidades molares (necesidad de conocer el peso molecular del enzima).


= = − ≅ =+ ++

03

2 3

1

E SS max SP

M SS

k C CdC r CdCr k kdt dt K CCk



Propuesta de Briggs – HaldaneTeniendo en cuenta el mecanismo propuesto por Brown, la reacción puede ser expresada como:

= 3P

ESdC k Cdt

Asumiendo que la variación de CES es despreciable (dCES / dt = 0) en comparación con las variaciones de CP y CS:

Sustituyendo esta ecuación en la anterior, confirma que:

= +0E ES EC C C

Se obtiene:

=+

+

0

2 3

1

E SES

S

C CC k k C

k

− = −1 2CSS E ES

dC k C k Cdt

= − − ≅1 2 3C 0ESS E ES ES

dC k C k C k Cdt

= = − ≅ 3SP

ESdCdCr k C

dt dtNuevamente, asumiendo que CEo permanece constante:




Propuesta de Briggs – Haldane (cont.)donde:

+= 2 3

1M

k kKk

=03max Er k C

Estas expresiones son similares a las obtenidas por Michaelis -Menten excepto por KM. Esta expresión puede ser simplificada a la de Michaelis - Menten si:

>>2 3k kLo cual significa que la producción de P es mucho mas lenta que la etapa de disociación del complejo ES. Esto es esperable debido a que las interacciones enzima – sustrato involucran interacciones débiles y por lo tanto su disociación será rápida en comparación a los enlaces covalentes involucrados en la producción de P.

Solución numéricaLas expresiones de las velocidades de reacción para el mecanismo propuesto por Brown son:

= 3P

ESdC k Cdt

− = −1 2CSS E ES

dC k C k Cdt

= − −1 2 3CESS E ES ES

dC k C k C k Cdt




Evaluación de los parámetros cinéticosLos parámetros, rmax y KM, pueden ser evaluados mediante:

1. Se realiza una serie de experimentos batch con diferentes concentraciones de sustrato para una concentración inicial constante de enzima.

2. Se estima la velocidad inicial de reacción a partir de CS y CPversus el tiempo para las diferentes concentraciones de sustrato.

3. Se estiman los parámetro cinéticos usando técnicas graficas, el método de mínimos cuadrados o ajustes no lineales.

Para aplicar el método planteado, se puede linealizar la ecuación de Michaelis-Menten (o Briggs-Haldane) por diferentes métodos:

Gráfico de Langmuir

Gráfico de Lineweaver-Burk

Gráfico de Eadie-Hofstee

= +S SM

max max

C CKr r r

= +1 1 1M

max max S

Kr r r C

= − +max MS

rr r KC

SCr

SC

1maxr

M

max

Kr

1r

1 SC

M

max

Kr

1maxr

r

Sr C

maxr

− MK




Inhibición en reacciones enzimáticasUn modulador es una sustancia que se combina con los enzimas para alterar su actividad catalítica.

Un inhibidor es un modulador que disminuye la actividad catalítica en forma competitiva, no competitiva o parcialmente competitiva.

Inhibición competitiva Inhibición no competitiva

El inhibidor tiene una estructura similar a la del sustrato, por lo tanto, ambos compiten por el sitio activo.

La formación del complejo EI reduce la cantidad de enzima disponible para reaccionar con el sustrato

El inhibidor puede interactuar con el enzima en varias formas.

Estas pueden ser reversible o irreversiblemente en el sitio activo o en otra región.

En cualquier caso el complejo resultante es inactivo.

S + E ESk1

k2+I EI

k3

k4

E + Pk5

E + QS + E ES

k1

k2+I EI

k3

k4

E + Pk9

E + Q+S

k5

k6EIS

+I

k7

k8ESI




Inhibición competitivaSi la reacción mas lenta, la de producción de producto, determina la velocidad de reacción (de acuerdo con la suposición de Michaelis-Menten), la velocidad puede ser descripta como:

S + E ESk1

k2+I EI

k3

k4

E + Pk5

E + Q

= 5P ESr k C

El balance de enzima: = + +0E E ES EIC C C C

A partir de las dos reacciones en equilibrio:

= =2

1

E SS

ES

C C k KC k

= =4

3

E II

EI

C C k KC k

Combinando estas últimas 4 ecuaciones se obtiene:

=−

05 E SP

S MI

k C Cr

C K⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠1 I

MI SI

CK KK

donde

De aquí: ≥MI SK K

SCr

SC

1maxr

MK

1r

1 SC

−1MK 1

maxr

Langmuir Lineweaver-Burk

MIK

−1 MIK




Inhibición no competitivaDebido a que el sustrato y el inhibidor no compiten por el sitio activo para la formación de los complejos ES o EI, se puede asumir que las const. de disociación para las especies I y S en donde intervienen van a ser iguales:

= = =62

1 5S IS

kk K Kk k

Usando la suposición de Michaelis-Menten (la velocidad de formación de productos es mas lenta que la de formación de complejos):

=+

I ,max SP

S S

r Cr

C K=

+1max

I ,maxI I

rrC K

donde

Por lo tanto, rmax disminuirá por la presencia del inhibidor mientras que KM no será afectada.

SCr

SC

1 maxr

− MK

1r

1 SC

1maxr

Langmuir Lineweaver-Burk

S + E ESk1

k2+I EI

k3

k4

E + Pk9

E + Q+S

k5

k6EIS

+I

k7

k8ESI

= = =84

3 7I SI

kk K Kk k

1 I ,maxr

− MK

1 I ,maxr




Inhibición parcialmente competitivaPueden existir muchas variaciones al mecanismo de inhibición no competitiva.

Un caso es la descomposición del complejo EIS en P y EI.

Este caso se conoce como inhibición parcialmente competitiva.

Existen otros factores que pueden modificar la actividad enzimática durante la reacción.

S + E ESk1

k2+I EI

k3

k4

E + Pk9

E + Q+S

k5

k6EIS

+I

k7

k8ESI

EI + P

k10

Otras influencias en la actividad enzimática

pH: Existe un pH óptimo para cada enzima porque: 1) En general, los enzimas son proteínas que tienen residuos de AA, los cuales tienen grupos ácidos, básicos y neutrales de acuerdo al pH, 2) los sitios activos funciona para una dada carga de estos grupos.Temperatura: La velocidades de reacción y de desnaturalización de los enzimas siguen una dependencia tipo Arrhenius con la temperatura. Tensiones de corte en el fluido

Act

ivid

ad re

l.

pHpK1 pK2

-COO-

-CO

OH

-NH2

-NH3+

pHop

t.

Act

ivid

ad re

l.

T

velo

cidad Desnat

−= 0E RTk A e


3. Enzimas inmovilizados Bio-reactores Enzimáticos

Enzimas inmovilizadosDebido a que la mayoría de los enzimas son proteínas globulares, estas son solubles en agua. Por lo tanto, es muy difícil o inviable su separación de la corriente de proceso para su reutilización.

Métodos de inmovilización

Ventajas Desventajas

Reducción de costos, comparado con los sistemas con enzimas libres donde se requiere un proceso de purificación.

Algunos métodos de inmovilización pueden incrementar la actividad.

Muchos enzimas inmovilizados presentan una reducción en su actividad.

Pueden ser mas costosos que los enzimas libres.

Puede existir reducción en la actividad debido a la transferencia de materia.

E

E

E

E

E

E

Entrampada Ligada

En matriz En membrana Covalente

E EEE E

EE

E

Adsorbida(física o iónica)

E

EE EE E

E

EE E

EE

EEE

EE

EE E E

EE

Macroscópicas

Micro-encapsulación

Soporte Enzima

Métodos físicos Métodos químicos


3. Enzimas inmovilizados Bio-reactores Enzimáticos

Métodos de inmovilización (cont.)

Entrampamiento en matriz: La solución que contiene el enzima se mezcla con un fluido polimérico que solidifica en varias formas (usualmente en pequeñas partículas).

El material polimérico es semipermeable provocando que los enzimas con alto peso molecular no difundan hacia el exterior pero permitiendo que los sustratos pequeños difundan.

Las matrices usadas son:

Alginato de calcio, agar, polyacrilamida, colageno.

Entrampamiento en membrana: Las soluciones enzimáticas pueden ser entrampadas entre finas membranas semipermeables:

Nylon, polisulfonas, celulosa, poliacrilato.

Microencapsulación: Los enzimas se inmovilizan dentro de microcápsulas son membranas semipermeables.

Enlace covalente a soportes: residuos de AA , que no son funcionales (participan en el sitio activo), se unen al soporte.

Los grupos funcionales son:

-COOH -SH -OH -NH2 -fenil -imidazol

Soportes comunes son:

1. Soportes sintéticos (polipéptidos, polímeros con grupos: acrilamida, anhidrido maleico, metacrilatos y estireno).2. Soportes naturales (agarosa, celulosa, dextrano, vidrio y almidón).

Métodos físicos

Métodos químicos


3. Enzimas inmovilizados4. Efecto de la transferencia de materia


Métodos de inmovilización (cont.)

Enlace covalente entre enzimas: La inmovilización se puede producir uniendo enzimas por medio de crosslinkingproduciendo derivados insolubles.

Adsorción: Es el método mas simple de inmovilización. Usualmente se produce por fuerzas físicas débiles: van derWaals, dispersión, etc.

La inmovilización es débil, posee una bajo poder de inmovilización y es dependiente del pH, fuerza iónica y la temperatura.

Métodos químicos (cont.)

Métodos físicos o químicos


Efecto de la transferencia de materiaLa inmovilización de enzimas puede introducir un nuevo problema, el cual esta ausente en enzimas libres. Este problema se debe algran tamaño del enzima inmovilizado o debido a la inclusión del enzima en la matriz polimérica.

El trayecto hipotético del sustrato desde el fluido hasta el enzima:

E1 2 3

Csb

Cs

1. Transferencia desde el seno del liquido hasta la capa relativamente no mezclada que rodea el enzima inmovilizado.

2. Difusión a través de la capa relativamente no mezclada.

3. Difusión desde la superficie de la partícula hacia el sitio activo del enzima en el interior del soporte.

Resistencia externa

4. Efecto de la transferencia de materia Bio-reactores Enzimáticos


Si un enzima es inmovilizado en la superficie de la partícula de soporte, la trayectoria del sustrato solo se compone de las dos primeras etapas.

La velocidad de transferencia de materia será proporcional a la diferencia de concentración (fuerza impulsora):

( )s s Sb SN k A C C= −

CSb y CS: concentraciones de sustrato en el seno del liquido y la superficie de la partícula, respectivamente.

ks: coeficiente de transferencia de materia.

A: superficie de una partícula de soporte.

Durante la reacción, la velocidad de transferencia de sustrato es igual a la velocidad de consumo del mismo. Por lo tanto, si la velocidad de reacción puede ser descripta por Michaelis-Menten:

( ) max Sp s Sb S

M S

r Cr k a C CK C

= − =+

Expresando esta ecuación en forma adimensional:

11

S S

Da S

x xN x

ββ

−=

+

SS

Sb

CxC

= maxDa

S Sb

rNk aC

=Sb

M

CK

β =

Número de Damköhler

Resistencia externa (cont.)



Número de Damköhler: es la relación entre la máxima velocidad de reacción y la máxima velocidad de transferencia de materia:

p s Sbr k aC≅

( )Máxima vel. de reacción

Máxima vel. de transferencia de materia 0max

DaS Sb

rNk a C

= =−

NDa << 1: la transferencia de materia es mucho mayor que la velocidad de reacción. Por lo tanto, la velocidad global de reacción es controlada por la reacción enzimática:

NDa >> 1: la velocidad de reacción es mucho mayor que la transferencia de materia. Por lo tanto, la velocidad global de reacción es controlada por la transferencia de materia, la cual se puede describir como una reacción de primer orden:

max Sp

M S

r CrK C

≅+

Para medir la extensión en la cual la velocidad de reacción es alterada debido a la transferencia de materia, se define el factor de efectividad de un enzima inmovilizado como:

Velocidad de reacción transf. de materiaVelocidad de reacción transf. de

comateria

nsinη =

Resistencia externa (cont.)



Teniendo en cuenta el modelo planteado:

( )1

1

max S S

M S SS

max Sb

M Sb

r C xK C x f x ,r CK C

ββη ββ

β

+ += = =

++

Si: xS = 0 CS = 0 η = 0 (Vel. de reacción igual a difusión)

Si: xS = 1 CS = CSb η = 1 (no hay limitación)Si:

Resistencia internaSi el enzima es inmovilizado por copolimerizacion o encapsulación, la resistencia intraparticula a la transferencia de materia puede afectar la velocidad de reacción enzimática.

Para poder encarar el problema matemático es necesario plantear una serie de suposiciones:

1. La reacción ocurre en todas las posiciones dentro del enzima inmovilizado y la cinética de la reacción es de la misma forma que la observada para el enzima libre.

2. La transferencia de materia a través del enzima inmovilizado ocurre por difusión molecular.

3. No hay limitación por transferencia de materia en la región externa del enzima inmovilizado.

4. El enzima inmovilizado es esférico.

Resistencia interna (cont.)



El conjunto de suposiciones generan un modelo denominado modelo distribuido.Aplicando un balance de materia para el sustrato para una cascaraesférica de espesor dr :

Velocidad de Velocidad de Velocidad de Velocidad de acumulación ingreso egreso generación

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r

CSb

Rdr

CS

( ) ( )2 2 2 2S S S SS S S

dC dC dC dCdr dr D dr r D r dr r r drdr dr dr dr dt

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

24 SdCr drdt

π=

( )24 S SS

dC dCdr dr D drdr dr dr

π ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

24 SS

dCr Ddr

π=

( )24 Sr dr rπ=

1 2 3 4

1

2

3

4

Para la condición de estado estacionario, el cambio en la concentración de sustrato dCS / dt = 0. Simplificando el balance:

2

22 0S S

S Sd C dCD r

r drdr⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Esta ecuación puede ser resuelta utilizando una expresión para rS.




Algunos valores del coeficiente efectivo de difusión (DS) se presentan en la siguiente tabla.

En la ecuación de balance, sólo es necesario reemplazar el término rS por una expresión cinética adecuada.

En el caso de una reacción enzimática, son útiles las siguientes expresiones:

= − 0Sr kCinética de orden cero:

= −+

max SS

M S

r CrK C

Cinética de Michaelis-Menten:

= − 1S Sr k CCinética de primer orden:

A continuación se tratarán los casos por separado para obtener las expresiones de los parámetros mas importantes.

Soluto Gel Conc. (%) Temp. (°C) DS (m2 s-1)

GlucosaEtanolSacarosaSacarosaSacarosaSacarosaLactosaL-triptofano

Alginato (Ca)Alginato (Ca)GelatinaGelatinaGelatinaGelatinaGelatinaAlginato (Ca)

2203.85.77.6252

252555555

30

6.10 × 10-10

1.00 × 10-9

2.85 × 10-10

2.09 × 10-10

1.86 × 10-10

1.35 × 10-10

0.37 × 10-10

6.67 × 10-10




Cinética de orden cero

Asumiendo que el consumo de sustrato sigue una cinética de orden cero:

Esta es una buena aproximación cuando KM << CS en la cinética de Michaelis-Menten. Es ese caso k0 = rmax.

Sustituyendo esta cinética en el balance:

= − 0Sr k >si 0SC

= 0Sr =si 0SC

+ − =2

02

2 0S S

S

d C dC kr dr Ddr

para CS > 0

Usando las condiciones de contorno:

→ 0SdCdr

→cuando Cr R =S SbC C =cuando r R

reordenando:

( )=

20

2S

S

d rC k rDdr

= + +20 21

16S

S

k CC r CD r

( )⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦2 2 30 1 12 1

6S

cSb S Sb

C k r R RC D C R r

Se obtiene:

Finalmente, el factor de efectividad para esta cinética es:

( ) ( )( )

πη

π− ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 3 30

30

4 31

4 3c c

R R k RRR k




Cinética de primer orden

Sustituyendo la expresión de la cinética de primer orden en la ecuación de balance de materia y adimensionalizando este último:

El módulo de Thiele es un parámetro que mide la relación entre las velocidades de reacción y difusión.

Resolviendo la expresión del balance:

( ) ( )φ φ= +⎡ ⎤⎣ ⎦1 21 3 3Sx C cosh r C senh rr

Usando las condiciones de contorno:

→ es acotada cuando 0sx r

( ) φ=2

22 9S

S

d rxx

dr

=S S Sbx C C

=r r R( )φ = 13 SR k D (Módulo de Thiele)

==1 cuando 1sx r

Por lo tanto:

( )( )φ

φ=

3 3S

senh rx

r senh

( ) ( )( )

( )

η

φ φφ

==

−=

1

1

2

3 3 13

p p S Sb S r

Sb

A V D C R dx drk C

coth

El factor de efectividad será:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r

sx

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100φ

η

0 5.φ =

2φ = 5φ =




Cinética de Michaelis-Menten

Sustituyendo la expresión de la cinética de Michaelis-Menten en la ecuación de balance de materia y adimensionalizando este último:

Esta ecuación no posee solución analítica conocida. Por lo tanto, se resuelve por métodos numéricos.

Las condiciones de contorno son:

= =0 cuando s cdx Rrdr R

( ) φβ

=+

22

2 91

S S

S

d rx xxdr

(Módulo de Thiele)

= =1 cuando cs

Rx rR

=S S Sbx C C=r r R

( ) ( )φ = 3 max S MR r D K

β = Sb MC K

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100φ

η

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r

sx

0 5.φ =

2φ = 5φ =

Primer orden

Michaelis-Menten( β = 5)

β = 5

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