APUNTES DE SISTEMAS DIFUSOS

Contenido UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA ........................................................ 3

1.1 Antecedentes Históricos ...................................................................................... 3

1.2 Sistemas de Control Difuso ................................................................................. 6

1.3 Características de los Sistemas de Control difuso ............................................... 8

1.4 Diferencia entre los Sistemas Convencionales y la Lógica Difusa ....................... 9

1.5 Ventajas y Desventajas de la Lógica Difusa y el Control D ifuso .......................... 9

Unidad II Conceptos Básicos de la Lógica Difusa ........................................................... 14

2.1 Conjunto Crisp y Difuso .......................................................................................... 14

Conjuntos Difusos ..................................................................................................... 15

2.2 Funciones de pertenencia ...................................................................................... 16

2.3 Operaciones unarias sobre conjuntos difusos ........................................................ 21

2.4 Relaciones sobre conjuntos difusos ....................................................................... 23

2.5 El principio de extensión ......................................................................................... 24

UNIDAD III VARIABLES LINGÜÍSTICAS ....................................................................... 29

3.1 Operaciones con Conjuntos Difusos ....................................................................... 29

3.1.1 Normas y Conormas Triangulares ................................................................... 29

3.|.2 t-norma, s-norma del mínimo / máximo ............................................................. 29

3.2 Operaciones de Agregación ................................................................................... 29

3.3 Negación y Comparación ....................................................................................... 29

3.4 Variables lingüísticas .............................................................................................. 29

3.5 Modificadores lingüísticos ...................................................................................... 29

3.6 Inferencias .............................................................................................................. 29

Bibliografía .................................................................................................................. 33

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DIFUSA

1.1 Antecedentes Históricos

Historia de la Lógica Borrosa

Parece que la Lógica Borrosa es algo reciente y en lo que se lleva trabajando poco tiempo

pero sus orígenes se remontan a los tiempos de los filósofos Aristóteles y Platón. Ellos

son los primeros en considerar que las cosas no tienen porqué ser de un cierto tipo o

dejar de serlo, sino que hay una escala intermedia entre los dos extremos. Es más son los

pioneros en considerar que existían diferentes grados de verdad y falsedad.

Ejemplo: En el caso de los colores, entre el blanco y el negro hay una escala de

tonalidades grises.

Después de éstos, en el siglo XVIII, David Hume e Immanuel Kant continuaron pensando

estas ideas. Ambos concluyeron en que el razonamiento se adquiere gracias a las

vivencias a lo largo de nuestra vida. Hume creía en la lógica del sentido común y Kant

pensaba que sólo los matemáticos podían proveer definiciones claras y que por lo tanto

había principios contradictorios que no tenían solución. Uno de los ejemplos dados por

Kant es que, la materia podía ser dividida infinitamente, pero al mismo tiempo no podía

ser dividida infinitamente. En conclusión, ambos detectaron algunos principios

contradictorios en la Lógica Clásica.

A principios del siglo XX, el filósofo y matemático británico Bertrand Russell divulgó la idea

de que la lógica produce contradicciones. Realizó un estudio sobre las vaguedades del

lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. También en este

tiempo Ludwing Wittgenstein, estudió las diferentes acepciones que tiene una misma

palabra. Éste llegó a la conclusión de que en el lenguaje una misma palabra expresa

modos y maneras diferentes.

Jan Lukasiewicz

En 1920 Jan Lukasiewicz, desarrolló la primera lógica de vaguedades.

Para él los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con

valores que oscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un número

infinito de valores.

El padre del término "borroso" fue Lofti Asier Zadeh cuando en 1965 publicó "Fuzzy Sets"

(Conjuntos Difusos).

Las tesis que propone surgen del estudio de pensadores de distintas

disciplinas que como él, tenían una visión de los problemas diferente de la

lógica tradicional. La paradoja del conjunto de Bertrand Russell, el principio

de incertidumbre de la física cuántica de Werner Heisenberg, la teoría de los

conjuntos vagos de Max Black y la aportación de Jan Lukasiewiz, influyeron

para que Zadeh publicase el ensayo "Fuzzy Sets" en la revista "Information

and Control" y tres años después en 1968, "Fuzzy Algorithm".

Lofti A. Zadeh

Al comienzo las ideas publicadas por Zadeh no fueron seguidas por la comunidad

científica del momento, pero con el tiempo comenzó a tener seguidores lo que produjo

que sus teorías fuesen ampliadas y se asentaran sus conocimientos.

La intención de Zadeh era la creación de un formalismo para manejar de forma más

eficiente la imprecisión del razonamiento humano. Es en 1971, cuando realiza la

publicación de "Quantitative Fuzzy Semantics" en donde aparecen los elementos formales

que dan lugar a la metodología de la Lógica Borrosa y de sus aplicaciones tal y como se

conocen en la actualidad.

A partir de 1973, con la teoría básica de los controladores borrosos de Zadeh, otros

investigadores comenzaron a aplicar la Lógica Borrosa a diversos procesos. Se

establecen varios grupos de investigación en lógica difusa en algunas pequeñas

universidades japonesas; los profesores Terano y Shibata en Tokio y los profesores

Tanaka y Asai en Osaka hacen grandes aportaciones tanto al desarrollo de la teoría de la

Lógica Borrosa como al estudio de sus aplicaciones.

E.H. Mamdani

En 1974 Assilian y Mamdani en el Reino Unido desarrollaron el primer

controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. La implantación

real de un controlador de este tipo no fue realizada hasta 1980 por F.L.

Smidth & Co. en una planta cementera en Dinamarca.

En 1987 Hitachi usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sendai, el cual usa

uno de los sistemas más novedosos creados por el hombre. Desde entonces, el

controlador ha realizado su trabajo correctamente con la consiguiente satisfacción por

parte de los usuarios de dicho tren. Es también en este año cuando la empresa Omron

desarrolla los primeros controladores difusos comerciales y es que 1987 es considerado

como el "fuzzy boom" debido a la gran cantidad de productos basados en Lógica Borrosa

que se comercializan.

En 1993, Fuji aplica la Lógica Borrosa para el control de inyección química en plantas

depuradoras de agua por primera vez en Japón. Ha sido precisamente aquí, en donde

más apogeo ha tenido la Lógica Borrosa, creándose estrechas colaboraciones entre el

gobierno, las universidades y las industrias, estableciendo proyectos llevados a cabo por

el Ministerio de Industria y Comercio (MITI) y la Agencia de Ciencia y Tecnología (STA) en

consorcio con el Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE).

De forma paralela al desarrollo de las aplicaciones de la lógica difusa, Takagi y Sugeno

desarrollan la primera aproximación para construir reglas fuzzy a partir de datos de

entrenamiento.

Otro factor decisivo para continuar con la investigación de este campo es el interés en las

redes neuronales y su semejanza con los sistemas fuzzy. Se buscan relaciones entre las

dos técnicas obteniéndose como resultado los sistemas neuro-fuzzy, que usan métodos

de aprendizaje basados en redes neuronales para identificar y optimizar sus parámetros.

Para finalizar, aparecen los algoritmos genéticos que sumados a las redes neuronales y

los sistemas fuzzy son herramientas de trabajo muy potentes en el campo de los sistemas

de control.

A mediados de la década de 1960, Lotfi A. Zadeh (nacido en 1921 en Azerbaiyán), de la

Universidad de California en Berkeley, EE.UU., inventó la teoría de los conjuntos

borrosos. Sostuvo que, más a menudo que no, las clases de objetos encontrados en el

mundo físico real tienen imprecisa criterios definidos para la adhesión (Zadeh, 1965). Por

ejemplo, los números de la "clase de dicha son mucho mayores que 1 ", o la" clase de los

seres humanos de altura 'tienen límites mal definidos. Sin embargo, dichas clases

definidas sin precisión juegan un papel importante en el razonamiento humano y la

comunicación.

Ebrahim (Abe) H. Mamdani, un ingeniero de control en el Queen Mary College de Londres

(ahora Profesor emérito del Imperial College), estaba tratando de desarrollar un sistema

adaptativo que podría aprender a controlar un proceso industrial (Figura 1.6). Él utilizó una

máquina de vapor como modelo de laboratorio, y con sus colegas creó un programa que

enseñe la computadora para el control de la máquina de vapor mediante el control de un

operador humano. En este punto, estudiante de investigación de Mamdani, Seto Assilian,

trató de aplicar la lógica difusa. Creó una serie de reglas simples en términos difusos y

Mamdani y Assilian luego estudiaron formas de utilizar reglas difusas de dedo

directamente en la automatización de los procesos de control. Unos años más tarde,

Mamdani y Procyk desarrollaron una controlador lingüístico de auto-organización (Procyk

y Mamdani 1979). Se trataba de un controlador adaptativo que fue capaz de aprender a

controlar una amplia variedad de procesos, no lineal y de múltiples variables, en un

tiempo relativamente corto. Se llama "auto-organización" porque en ese momento el

significado de las palabras "adaptable" y "aprendizaje" no se había sin embargo, ha

acordado.

El trabajo de los pioneros llevó a una creciente literatura en control difuso y aplicaciones

de gran alcance, como ilustra la Tabla 1.1.

En Japón, Michio Sugeno (1989) desarrolló un controlador difuso de auto-aprendizaje.

Veinte reglas de control determinaban el movimiento de un modelo de coche. Cada regla

recomienda un cambio específico en la dirección, basándose en la distancia del vehículo

de las paredes de un pasillo. El controlador conduce el coche a través de corredores en

ángulo, después de una sesión de aprendizaje en el que un "instructor de manejo" lo lleva

a través de la ruta de un par de veces. Controladores de autoaprendizaje que se derivan

de sus propias reglas automáticamente son interesantes, ya que pueden reducir el

esfuerzo necesario para la traducción de la experiencia humana en una base de reglas.

La primera aplicación industrial fue en 1978, cuando un controlador borroso estaba

operando en lazo cerrado en un horno de cemento rotatorio en Dinamarca. El control

difuso se convirtió entonces en un producto comercial de la empresa de cemento de

Dinamarca F.L. Smidth & Co. El programa de investigación de control difuso en

Dinamarca se inició en 1974 (Larsen 1981).

1.2 Sistemas de Control Difuso

El diccionario de sinónimos tiene los siguientes sinónimos de "fuzzy": mal definidas,

indefinido, confuso, oscuro, confuso, vago, y así sucesivamente. Estas son palabras que

la gente de habla inglesa asocia con la lógica fuzzy, control difuso, identificación borrosa y

sistemas difusos. No son palabras que cualquiera querría asociados con los sistemas de

ingeniería, en la que puede depender de grandes sumas de dinero, o incluso peor aún, las

vidas de personas. Es lamentable que la palabra "fuzzy" fue elegida para describir el tipo

de identificación y control descritos en este libro. Los japoneses no tienen tales

connotaciones negativas asociadas a la palabra "fuzzy", por lo tanto, los sistemas de, la

utilización de identificación y control difuso son mucho más frecuentes en Japón que en

países de habla Inglesa.

La lógica difusa, como se verá en el capítulo 3, se inspira en el proceso de razonamiento

humano. Por lo tanto, la lógica difusa es lo más "difusa" como los humanos. Un sistema

bien diseñado utilizando la lógica difusa para realizar una tarea es más o menos tan fiable

en la realización de la tarea como un humano competente en llevar a cabo la tarea sería.

Dos sistemas difusos diseñadas por diferentes diseñadores para realizar la misma tarea

pueden realizarla ligeramente diferente, dependiendo de varias selecciones en los

diseños. Esta diferencia es análoga a la diferencia que existiría cuando dos personas

diferentes realizan la tarea, o incluso la misma persona en diferentes días. Por ejemplo,

dos pilotos aterrizarían un avión ligeramente diferente, pero cada uno puede aterrizar

infaliblemente cada vez.

Tradicionalmente, los ordenadores hacen decisiones rígidos del tipo sí o no, a través de

reglas de decisión basadas en la lógica de dos valores: verdadero o falso, sí o no, o 1-0.

Un ejemplo es un acondicionador de aire con control del termostato que reconoce sólo

dos estados: por encima de la temperatura deseada o por debajo de la temperatura

deseada. La lógica difusa, por otro lado, permite una graduación de verdadero a falso. Un

acondicionador de aire difuso puede reconocer una temperatura ambiente "caliente" y

"frío". Las reglas detrás de esto son menos precisas, por ejemplo: Si la temperatura

ambiente es cálido y ligeramente creciente, aumente el enfriamiento.

Muchas clases o conjuntos tienen límites difusos y no aguda, y esta es la base

matemática de la lógica difusa, el conjunto de medidas de temperatura "caliente" es un

ejemplo de un conjunto difuso.

El núcleo de un controlador difuso es un conjunto de reglas verbales o lingüísticas de la

forma si-entonces. Diversas variables pueden ocurrir en cada regla, tanto en el caso de

lado y el lado entonces.

Como reflejo de las opiniones de expertos, las reglas pueden llevar el razonamiento

utilizado por los ordenadores más cerca al de los seres humanos.

En el ejemplo del acondicionador de aire difuso, el controlador funciona sobre la base de

una medición de temperatura. La temperatura ambiente es sólo un número, y se necesita

más información para decidir si la habitación está caliente. Por lo tanto, el diseñador debe

incorporar la percepción de un ser humano de temperaturas ambiente cálido. Una

implementación directa es evaluar de antemano todas las mediciones de temperatura

posibles. Por ejemplo, en una escala de 0 a 1, cálido corresponde a 1 y no cálido

corresponde a 0:

Medidas (◦ C):. . . 15 17 19 21 23 25 27. . .

| | | | | | |

Grado: . . . 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1. . .

El ejemplo utiliza mediciones de temperatura discretas, mientras que la figura 1.1 muestra

la misma idea gráficamente en la forma de una aplicación continua de mediciones de

temperatura a los valores de verdad. El mapeo es arbitrario, es decir, basado en la

preferencia y la razón no matemática.

Fig. 1.1 Un sistema de lógica difusa el cual acepta datos imprecisos y vagos, tales como bajo, medio, alto y provee decisiones.

Fig. 1.2 Configuración de un sistema difuso puro.

1.3 Características de los Sistemas de Control difuso

Los sistemas difusos pueden ser usados para estimar, tomar decisiones y sistemas de

control, tales como aire acondicionado, controles de automóviles e inclusive casas

“inteligentes”, también como controladores de procesos industriales así como alojar otras

aplicaciones. (McNeill)

Fig. 1.3 Estructura básica de un controlador difuso.

1.4 Diferencia entre los Sistemas Convencionales y la

Lógica Difusa

Algunas de las características principales de la lógica difusa son: (Alavala, 2008)

Basada en palabras, no basada en números. Por ejemplo caliente, no 85º.

El razonamiento exacto es visto como un caso limitante del razonamiento

aproximado.

Todo es cuestión de grado. El conocimiento es interpretado como una colección

de restricciones elásticas o difusas, sobre una colección de variables.

La inferencia es vista como un proceso de propagación de restricciones elásticas.

Cualquier sistema lógico puede ser fusificado.

Hay dos características principales de los sistemas difusos que les dan mejor desempeño

para aplicaciones específicas:

Los sistemas difusos son adecuados para razonamiento incierto o aproximado,

especialmente para los sistemas con un modelo matemático que es difícil de

derivar.

La lógica difusa permite tomar decisiones con valores estimados bajo información

incompleta o incierta.

1.5 Ventajas y Desventajas de la Lógica Difusa y el

Control D ifuso

Ventajas: (McNeill, 1994)

Pocos valores, reglas y decisiones son requeridos.

Más variables observadas pueden ser evaluadas.

Son utilizadas variables lingüísticas, no numéricas, haciéndolo similar a la forma

humana de pensar.

Relaciona la salida con la entrada, sin tener que entender todas las variables,

permitiendo el diseño de un sistema que puede ser más exacto y estable que uno

con un sistema de control convencional.

La simplicidad permite la solución de problemas que no se habían resuelto

previamente.

Es posible realizar prototipos rápidamente porque el diseñador del sistema no

tiene que saber todo acerca del sistema antes de empezar a trabajar.

Son más baratos de hacer que los sistemas convencionales porque son más

fáciles de diseñar.

Son muy robustos.

Simplifican la adquisición y representación del conocimiento.

Unas pocas reglas comprenden una gran complejidad.

Buenos resultados en procesos no lineales y de difícil modelado.

Desventajas:

Es difícil desarrollar un modelo a partir de un sistema difuso.

Si ya se tiene un buen modelo del proceso, usualmente se obtienen mejores

resultados con un sistema de control convencional.

A pesar de que son más fáciles de diseñar y de realizar un prototipo que los

sistemas de control convencionales, los sistemas difusos requieren más

simulación y ajuste fino antes de que sean operacionales.

Quizás la mayor desventaja es el sesgo cultural en los Estados Unidos en favor de

la precisión matemática o sistemas crisp y modelos lineales para sistemas de

control.

Unidad II Conceptos Básicos de la Lógica Difusa

2.1 Conjunto Crisp y Difuso

Conjuntos clásicos

Según Cantor, un conjunto X es una colección de objetos definidos, distinguibles de

nuestra intuición de que pueden ser tratados en su conjunto. Los objetos son los

miembros de X. 'objetos de nuestra intuición "El concepto nos da una gran libertad de

elección, incluso con respecto a los conjuntos con un número infinito de usuarios. Los

objetos deben ser 'definida': dado un objeto y un conjunto, que debe ser posible para

determinar si el objeto es, o no es, un miembro del conjunto. Los objetos también deben

ser 'distinguibles': dado un conjunto y sus miembros, debe ser posible para determinar si

cualquiera de los dos miembros son diferentes o el mismo.

Los miembros definen completamente un conjunto. Para determinar la pertenencia, es

necesario que la frase 'x es un miembro de X', donde x se sustituye por un objeto y X por

el nombre de un conjunto, sea verdadera o falsa. Utilizamos el símbolo ∈ y escritura x ∈ X

si el objeto x es un elemento del conjunto X. La suposición de que los miembros

determinan un conjunto es equivalente a decir, 'dos conjuntos X e Y son iguales, X = Y, si

y sólo si (si y sólo si) tienen los mismos miembros.

El conjunto cuyos miembros son los objetos x1, x2,. . . , Xn se escribe como

{x1, x2, . . . , xn}

En particular, el conjunto sin miembros es el conjunto vacío simbolizado por ∅. El conjunto

X se incluye en Y, X ⊆Y , si y sólo si cada miembro de X es un miembro de Y. También

decimos que X es un subconjunto de Y, y esto significa que, para todo x, si x ∈ X,

entonces x ∈ Y. El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto.

Casi cualquier cosa que se denomina conjunto en la conversación ordinaria es aceptable

como un conjunto matemático, como el siguiente ejemplo indica.

Las siguientes son listas o colecciones de objetos definidos y reconocibles, y por lo tanto

se pone en el sentido matemático:

(a) El conjunto de los números enteros no negativos de menos de 3. Este es un conjunto

finito con tres miembros: {0, 1, 2}.

(b) El conjunto de los dinosaurios vivos en el sótano del Museo Británico. Este conjunto no

tiene miembros y es el conjunto vacío ∅.

(c) El conjunto de las mediciones de más de 10 voltios. A pesar de que este conjunto es

infinito, es posible determinar si una medición dada es un miembro.

(d) El conjunto {0, 1, 2} es el conjunto de (a). Desde {0, 1, 2} y {2, 1, 0} tienen los mismos

miembros, que son conjuntos iguales. Por otra parte, {0, 1, 2} = {0, 1, 1, 2} por la misma

razón.

(e) Los miembros de un grupo pueden ser ellos mismos conjuntos. El conjunto

X = {{1, 3} , {2, 4} , {5, 6}}

es un conjunto con tres miembros, a saber, {1, 3}, {2, 4} y {5, 6}. Matlab soporta conjuntos

de conjuntos o conjuntos anidados, en arreglos de celdas.

(f) Es posible en Matlab para asignar un conjunto vacío, por ejemplo, x = {[]}.

Aunque la notación {·} es práctica para listar conjuntos de unos pocos elementos, es poco

práctico para grandes conjuntos e imposible para los conjuntos infinitos. ¿Cómo se define

un conjunto con un gran número de miembros?

Como respuesta se requiere un poco más de conceptos por definir. Una proposición es

una afirmación (declaración declarativa) que puede ser clasificado como verdadera o

falsa. Por un predicado en x entendemos una afirmación formadas utilizando una fórmula

en x. Por ejemplo, '0 <x ≤ 3 ', o 'x> 10 voltios' son predicados. Ellos no son proposiciones,

sin embargo, ya que no son necesariamente verdadero o falso. Sólo si se le asigna un

valor a la variable x, cada predicado se convierte en una proposición. Un predicado P (x)

en x define un conjunto X en el convenio que los miembros de X son exactamente esos

objetos a tal que P (a) es cierto. En notación matemática,

{x | P(x)}

es "el conjunto de todas las x tales que P (x) es verdadera. Por lo tanto a ∈ {x | P (x)} si y

sólo si P (a) es una proposición verdadera.

Conjuntos Difusos

Un sistema en el que las propuestas deben ser verdaderas o falsas, utiliza una lógica

bivaluada. Como consecuencia de ello, lo que no es cierto es falso y viceversa, lo que es

la ley del tercero excluido. Pero la lógica de dos valores es sólo una aproximación al

razonamiento humano, como se observa Zadeh:

Es evidente que la "clase de todos los números reales que son mucho mayores que 1", o

"la clase de las mujeres hermosas", o "la clase de los hombres altos", no constituyen

clases o conjuntos en el sentido matemático usual de estos términos. (Zadeh, 1965)

Podríamos llamarlo el desafío de Zadeh, porque se centra en la elasticidad en el sentido

de términos como "mucho", "bello" y "alto". Para definir el conjunto de los hombres altos

como un conjunto clásico, se podría usar un predicado P (x), por ejemplo x ≥ 176, donde x

es la altura de una persona, y el lado de la mano derecha de la desigualdad es un valor

umbral en centímetros (176 cm, aprox. 5 pies 9 pulgadas). Esta es una aproximación

abrupta con el significado de 'alto'.

Siguiendo a Zadeh, un grado de pertenencia permite mayor detalle, de modo que la

transición de la pertenencia a la no pertenencia a un conjunto es gradual y no abrupta. El

grado de pertenencia de todos los miembros define un conjunto difuso (Figura 2.1).

Definición. Conjunto Difuso: Dada una colección de objetos de U, un conjunto difuso A en

U se define como un conjunto de pares ordenados

A ≡ { (x, μA (x)) | X ∈ U}, (2.1)

donde μA (x) se llama la función de pertenencia para el conjunto de todos los objetos x en

U.

La función de pertenencia relaciona a cada x con un grado de pertenencia μA (x), un

número real en el intervalo cerrado [0, 1].

2.2 Funciones de pertenencia

Función Triangular

Definida mediante el límite inferior a, el superior b y el valor modal m, tal que a<m<b. La

función no tiene porqué ser simétrica.

Definida por sus límites inferior a, superior d, y los límites de soporte inferior b y

superior c, tal que a<b<c<d.

En este caso, si los valores de b y c son iguales, se obtiene una función triangular

Casos especiales de estas funciones trapezoidales son aquéllas en las que algunos

parámetros toman valores no finitos:

Funciones Trapezoidales con parámetros a = b = - ∞

Funciones Trapezoidales que tienen los parámetros c = d = + ∞

Función Gamma

Definida por su límite inferior a y el valor k>0. Esta función se caracteriza por un rápido

crecimiento a partir de a; cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido.

Nunca toma el valor µA (x) = 1, aunque tienen una asíntota horizontal en dicho valor.

Ejemplo

Cuando los valores de los parámetros son a = 5 y k = 3, se obtienen las siguientes

funciones:

Función Sigmoidal

Definida por sus límites inferior a, superior b y el valor m o punto de inflexión, tales que a<m<b. El crecimiento

es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b. Para el caso concreto de m=(a+b)/2, que es lo usual, se

obtiene la siguiente gráfica.

Ejemplo

Cuanto se toma el valor de a = 3, el valor de b = 10 y m = (3+10)/2 = 6.5 se obtiene la

siguiente gráfica:

Función Gaussiana

Definida por su valor medio m y el parámetro k>0.

Esta función es la típica campana de Gauss y cuanto mayor es el valor de k, más

estrecha es dicha campana.

Ejemplo

Para los valores k = 5 y m = 3:

Función Pseudo-Exponencial

Definida por el valor medio m y el parámetro k>1. Cuanto mayor es el valor de k, el

crecimiento es más rápido y la campana es más estrecha.

Ejemplo

Para los valores de k = 4 y m = 7 se obtiene:

Función Singleton

(Alavala, 2008)

(Pedrycz, 2007)

2.3 Operaciones unarias sobre conjuntos difusos

(Alavala, 2008)

Min (inf)

Max (sup)

2.4 Relaciones sobre conjuntos difusos

2.5 El principio de extension

UNIDAD III VARIABLES LINGÜÍSTICAS

3.1 Operaciones con Conjuntos Difusos

3.1.1 Normas y Conormas Triangulares

3.1.2 t-norma, s-norma del mínimo / máximo

3.2 Operaciones de Agregación

3.3 Negación y Comparación

3.4 Variables lingüísticas

3.5 Modificadores lingüísticos

3.6 Inferencias

Sistemas Neurodifusos

Permiten incorporar conocimiento previo.

Son sistemas difusos que se entrenan mediante un algoritmo, normalmente derivado de la

teoría de redes neuronales.

Pueden ser vistos como redes neuronales con capas ocultas.

Presentan las ventajas de los dos sistemas anteriores.

Elementos que las constituyen:

Una capa de entrada, capas ocultas y capa de salida, según la arquitectura utilizada.

Funciones de activación de los nodos de las capas, correspondientes a funciones difusas.

Matriz de interconexiones entre capas.

The Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS), developed in the early 90s by Jang [3], combines the

concepts of fuzzy logic and neural networks to form a hybrid intelligent system that enhances the ability to

automatically learn and adapt. Hybrid systems have been used by researchers for modeling and predictions in

various engineering systems. The basic idea behind these neuro-adaptive learning techniques is to provide a

method for the fuzzy modeling procedure to learn information about a data set, in order to automatically

compute the membership function parameters that best allow the associated FIS to track the given input/output

data. The membership function parameters are tuned using a combination of least squares estimation and

back-propagation algorithm for membership function parameter estimation. These parameters associated with

the membership functions will change through the learning process similar to that of a neural network. Their

adjustment is facilitated by a gradient vector, which provides a measure of how well the FIS is modeling the

input/output data for a given set of parameters. Once the gradient vector is obtained, any of several

optimization routines could be applied in order to adjust the parameters so as to reduce error between the

actual and desired outputs. This allows the fuzzy system to learn from the data it is modeling. The approach

has the advantage over the pure fuzzy paradigm that the need for the human operator to tune the system by

adjusting the bounds of the membership functions is removed.

Adaptive Neuro-Fuzzy principle A typical architecture of an ANFIS is shown in Figure 2, in which a circle

indicates a fixed node, whereas a square indicates an adaptive node. For

simplicity, we consider two inputs x, y and one output z. Among many FIS

models, the Sugeno fuzzy model is the most widely applied one for its high

interpretability and computational efficiency, and built-in optimal and adaptive

techniques. For a first order Sugeno fuzzy model, a common rule set with two

fuzzy if–then rules can be expressed as:

Rule 1: if x is A1 and y is B1 , then

Rule 2: if x is A2 and y is B2 , then (4)

where Ai and Bi are the fuzzy sets in the antecedent, and pi, qi and ri are the

design parameters that are determined during the training process. As in Figure

2, the ANFIS consists of five layers [8]:

Figure 2. Corresponding ANFIS Architecture

Layer 1: Every node i in the first layer employ a node function given by:

Oi1 = μAi(x), i = 1, 2

Oi1 = μBi=2(y), i = 3, 4

(5)

where μAi and μBi can adopt any fuzzy membership function (MF).

Layer 2: Every node in this layer calculates the firing strength of a rule via

multiplication:

(6)

Layer 3: The i-th node in this layer calculates the ratio of the i-th rule’s firing

strength to the sum of ail rules firing strengths:

(7)

where is referred to as the normalized firing strengths.

Layer 4: In this layer, every node i has the following function:

i = 1, 2 (8)

where is the output of layer 3, and { pi, qi, ri} is the parameter set. The

parameters in this layer are referred to as the consequent parameters.

Layer 5: The single node in this layer computes the overall output as the

summation of all incoming signals, which is expressed as:

(9)

The output in Fig. 3 can be rewritten as [9, 10]:

(10)

Referencias:

Bibliografía

Bibliografía Alavala, C. (2008). Fuzzy Logic and Neural Networks, Basic Concepts and Applications.

New Delhi: New Age International Publishers.

McNeill, F. (1994). Fuzzy Logic, A Practical Approach. Chestnut Hill, MA: Academic Press.

Pedrycz, W. (2007). Fuzzy Systems Engineering : Toward Human-Centric Computing.

New Jersey: John Wiley & Sons.