Apuntes de Macroeconomía Matemática

Apuntes de Macroeconomía Matemática Juan Sebastián Araujo D. Universidad San Francisco de Quito 2010

Apuntes de Macroeconomía Matemática Juan Sebastián Araujo D.

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Tabla de Contenidos

Tabla de Contenidos ............................................................................................................... 2

1. Algunos Conceptos Matemáticos....................................................................................... 3

1.1. Funciones Homogéneas.............................................................................................. 3

1.2. Hamiltonianos y Máximo de Pontryagin .................................................................... 4

1.3. Linealización de Ecuaciones Diferenciales.................................................................. 8

1.4. Funciones Homotéticas y el Agente Representativo................................................ 18

2. Modelo de Crecimiento de Solow .................................................................................... 20

2.1. Desarrollo del Modelo .............................................................................................. 20

2.2. Existencia del Equilibrio de Solow ............................................................................ 24

2.3. Crecimiento Balanceado de Kaldor........................................................................... 25

3. Modelo de Crecimiento de Ramsey ................................................................................. 27

3.1. Desarrollo del Modelo .............................................................................................. 27

3.2. Trayectoria Única y Equilibrio Estable ...................................................................... 30

3.3. Economía Centralizada y Descentralizada................................................................ 33

3.4. Impuestos y la Relevancia del Estado....................................................................... 37

4. Otros Temas de Crecimiento ............................................................................................ 38

4.1. Equivalencia Ricardiana ............................................................................................ 38

4.2. Economía Abierta...................................................................................................... 40

4.3. Inversión ................................................................................................................... 43

5. Modelos de Generaciones Traslapadas............................................................................ 45

5.1. Consumo y Ahorro .................................................................................................... 45

5.2. Capital y Producción ................................................................................................. 49

6. Asimetría de Información ................................................................................................. 53

6.1. Selección Adversa ..................................................................................................... 53

6.2. Modelo del Principal y el Agente.............................................................................. 56

6.3. Modelo Shapiro-Stiglitz............................................................................................. 59

6.4. Racionamiento de Crédito ........................................................................................ 65


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1. Algunos Conceptos Matemáticos

1.1. Funciones Homogéneas

Una función homogénea de grado r es aquella que se define por

f : ℝn → ℝ x fx ,

donde

x = x1 , . . . ,xn T.

Y para un valor constante t > 0 :

ftx = t r fx .

En economía se hace mucho uso de funciones de este tipo, en especial de aquellas

de grado r ≥ 1 en consideración a las economías de escala y alcance. En cuanto a esto, las

funciones r = 1 son muy comunes y se denotan HG1. Adicional a esto, se puede

demostrar que r es un indicador de cuántos equilibrios se pueden vincular a una función homogénea.

Teorema 1: Fórmula de Euler

Si una función f⋅ es HG1 entonces se cumple que

fx = ∑i=1

n ∂fx∂x i

x i.

Las implicancias en economía de este teorema radican en el concepto de agente

optimizador. En concreto, dicho agente pretende resolver el problema de maximización presentado en el ejemplo 1.

Ejemplo: Sea el problema de maximización

maxK,L UK,L = pFK,L − rK + wL s.a.

K ≥ 0 L ≥ 0 .


4

Suponiendo que la función F⋅ es derivable y que el agente es un tomador de precios, esto es,

w , r , y p están dados, se tienen las condiciones de primer orden (CPO)

∂F∂K

= rp , ∂F

∂L= w

p .

Estas condiciones indican que la paga recibida en términos reales por K y L deben ser iguales a su productividad marginal.

Ahora bien, si se asume que F⋅ es HG1, entonces por el teorema 1 se puede afirmar que

FK,L = ∂F∂K

K + ∂F∂L

L

⇒ FK,L = rpK + w

p L.

Esto implicaría que si F⋅ se entiende como la producción del agente optimizador, se puede

afirmar que ésta se compone de una parte exclusiva de capital K y otra exclusiva de trabajo L .

1.2. Hamiltonianos y Máximo de Pontryagin

Los hamiltonianos son métodos de optimización que pueden aplicarse cuando se tienen ecuaciones con características intertemporales. En consecuencia, las soluciones que se obtienen son trayectorias óptimas. Para esto, se emplea el concepto de máximo de Pontryagin, el cual pretende resolver el problema de maximización

maxy t ∫0

TFx t,ytdt,

x t ∈ ℝm ⇒ x i,t, i = 1, 2, . . .m, 0 ≤ t ≤ T y t ∈ ℝn

⇒ yj,t, j = 1, 2, . . . ,n, 0 ≤ t ≤ T s.a.

x = gix t,y t .

Así, se trabaja con variables de estado x i que permiten conocer la evolución del

sistema a través del tiempo, y con variables de control yj que deben maximizarse para

encontrar una trayectoria óptima yt∗ .

Teorema 2: Condiciones de Pontryagin

Si existe yt∗ entonces:

(a) yt∗ maximiza la función hamiltoniana


5

ti

m

ittt FH ,

1),( λ

=∑+= yx gixt, yt .

(b) Se satisface la igualdad

λ i,t = − ∂Ht

∂x i,t .

La aplicación del hamiltoniano transforma el problema dinámico en un caso

estático sin perder la idea de intertemporalidad. La primera condición se refiere a las variables de control, mientras que la segunda genera un vínculo con las variables de estado.

Adicional a esto, otras condiciones necesarias para resolver el problema son

(c) Valor inicial, x0 = α . (d) Condición de transversalidad que indica cómo acaba el sistema.

Ejemplo: Considérese como caso ilustrativo, el siguiente problema económico:

maxct ∫0

∞e−ρtUctdt

s.a.

fkt = ct + kt . Aplicando entonces las condiciones (a) y (b)

(a) Ht = e−ρtUct + λ tfkt − ct ,

(b) λ t = − ∂Ht

∂k t= −λ tf ′kt

.

Nótese que λ t representa cuanto contribuye marginalmente k t a Uct , es decir, λ t se puede entender como un precio sombra.

Para demostrar que la trayectoria óptima existe dadas las condiciones del teorema

2, considérese la llamada función de valor J⋅ , la cual surge si se aplica yt∗ a la función

objetivo. Así

Jx0 = ∫0

TFxt, yt

∗dt.


6

La función de valor depende del valor inicial de las variables de estado ya que éste es el punto de partida de la trayectoria, por lo tanto es posible afirmar que

Jx0 = ∫0

T1 Fx t,y t∗dt + JxT1, 0 ≤ T1 ≤ T.

Esto es, la función de valor es separable.

Para facilitar el análisis, se supondrá el caso discreto y con variables de control y estado únicas. Por lo tanto, el problema de maximización es

maxyt ∑t=0

T

Fxt,yth,

h : tamaño delintervalo s.a.

x t+h = gxt,yth + xt . La función de valor podría representarse por

Jx t = maxytFx t,yth + Jx t+h

⇒ 0 = maxyt

Fxt,yth + Jgxt,yth + xt − Jxth

⇒ 0 = maxyt Fxt,yt +Jgxt,yth + xt − Jxt

h . Desarrollando el segundo término dentro de los corchetes

Jgxt,yth + xt − Jxth

=Jgx t,yth + xt − Jxt

gxt,ythgx t,yt

⇒ limgxt,yth→0Jgx t,yth + xt − Jxt

gxt,ythgx t,yt = J′x tgx t,yt

⇒ 0 = maxytFx t,yt + J′x tgxt,yt .

Se genera entonces el hamiltoniano (condición (a)) donde λ t = J′xt .

Continuando con el análisis, se puede afirmar que

yt∗ = y∗xt ,


7

por lo que tomando la expresión del hamiltoniano y derivando

0 = Fxt,y∗xt + J′x tgx t,y∗xt

⇒ ∂F∂xt

+ ∂J′

∂xtg +

∂g∂x t

J′x t = 0

⇒ Fx + Fyy∗′ + J′′g + gx + gyy∗′ J′ = 0

⇒ Fx + J′′g + gxJ′ = 0 . Tomando el segundo término de esta igualdad

J′′g ≈ ∂J′

∂xt

∂xt

∂t≈ ∂J′

∂t= J′

⇒ Fx + J′ + gxJ′ = 0

⇒ J′ = −Fx + gxJ′

⇒ J′ = − ∂∂xt

F + J′g.

Se genera entonces la condición (b) del máximo de Pontryagin. Ejemplo: Supóngase el siguiente problema de maximización

max ∫0

T1 − tx t − U t

2 dt

s.a.

x t = U t

x0 = α

x t libre

λT = 0 . El hamiltoniano por lo tanto sería

Ht = 1 − txt − U t2 + λ tU t

y el problema de maximización se transforma en


8

maxU t Ht ⇒∂Ht

∂U t= −2U t + λ t = 0

⇒ U t =λ t

2 . Ahora bien, considerando la condición (b)

λ t = − ∂Ht

∂xt= −−t = t

⇒ λ t =t2

2+ C

. Y usando la condición de transversalidad

λT = T2

2+ C = 0 ⇒ C = − T2

2

⇒ λ t =t2 − T2

2 .

Por lo tanto la trayectoria óptima de la variable de control U t es

U t∗ = t2 − T2

4

⇒ xt∗ = t2 − T2

4

⇒ xt∗ = 1

4t3

3− tT2 + C

. Y usando la condición inicial

x0∗ = C = α

⇒ xt∗ = t3

12− tT2

4+ α

.

1.3. Linealización de Ecuaciones Diferenciales

Supóngase el siguiente sistema que define ciertas ecuaciones diferenciales

x = ft,x

y = gt,y

xt0 = x0

yt0 = y0 ,


9

donde f⋅ y g⋅ son funciones no necesariamente lineales. Una manera de resolver el problema presentado es mediante aproximaciones de Taylor de primer orden tal que

ft,x i

gt,x i=

x0

y0

+

df

dx

df

dy

dg

dx

dg

dy

x − x i

y − yi

⇒x i

yi

=x0

y0

+ Ax − x i

y − yi .

Interesa entonces desarrollar la matriz A. Para esto, se puede emplear métodos

de diagonalización de modo que A = PΔP−1 . Se cumplen así las propiedades de invarianza, es decir

detA = detΔ = λ1λ2 TrA = TrΔ = λ1 + λ2 ,

donde λ1 y λ2 son los valores propios de A, y consecuentemente de Δ .

Algunos casos particulares de esto son los siguientes:

- Si A es una matriz singular se debe usar

Δ =λ1 1

0 λ2 .

- Si A no es singular la matriz

Δ =λ1 0

0 λ2 es adecuada. - Si se presenta una matriz con un valor propio único la diagonalización debe sustituirse por una aproximación de Jordan tal que


10

Δ = J =λ 1

0 λ.

Ahora bien, suponiendo que A no es singular, hace falta encontrar el valor de λ1 y

λ2 . Por lo tanto, en base a la definición

detλ1 0

0 λ2

− λI = 0 ⇒ detλ1 − λ 0

0 λ2 − λ= 0

⇒ λ1 − λλ2 − λ = 0

⇒ λ1λ2 − λ1λ − λ2λ + λ2 = 0

⇒ λ2 − λλ1 + λ2 + λ1λ2 = 0

⇒ λ2 − λTrA + detA = 0

⇒ λ =TrA ± TrA2 − 4detA

2 . Estudiando el discriminante de la igualdad anterior, se tiene que

λ1 = λ2 ⇔ TrA2 − 4detA = 0 ⇒ 14TrA2 = detA .

Figura 1. Límite entre valores propios reales y complejos.


11

Teniendo lo anterior en mente, es posible redefinir el vector de derivadas tal que

x i

yi

=x0

y0

+ Ax − x i

y − yi

⇒x i

yi

= Pλ1 0

0 λ2

P−1x − x i

y − yi

= Pλ1 0

0 λ2

z

w

⇒ż

w= P−1

x i

yi

=λ1 0

0 λ2

z

w.

Nótese que de la expresión anterior

ż = λ1z ⇒ zt = z0eλ1t

w = λ2w ⇒ wt = w0eλ2t ,

donde z y w son aproximaciones corregidas a las funciones iniciales de x e y respectivamente.

Luego, estudiando el comportamiento de z con relación a w

dzdw

= żw

=λ1z0eλ1t

λ2w0eλ2t=

λ1z0

λ2w0exptλ1 − λ2

. Queda en evidencia que la relación de crecimiento entre funciones depende de dos aspectos fundamentales:

- El signo que posean los valores propios λ1 y λ2 .

- La naturaleza de λ1 y λ2 .

En general, se tendrá que para λ1 ,λ2 ∈ ℝ


12

Figura 2. Evolución de w y z para valores propios reales.

Y para λ1 ,λ2 ∈ ℂ se puede demostrar que

Figura 3. Evolución de w y z para valores propios complejos.

Ejemplo: Sea

A =3 4

0 2

tal que la ecuación diferencial linealizada se define por


13

x

y= A

x

y.

Calculando entonces los valores propios de A

detA − λI = 0

⇒ 3 − λ2 − λ = 0

⇒ λ =3

2.

Entonces la matriz es diagonalizable tal que

3 4

0 2

= P3 0

0 2P−1

.

Y para hallar

P =a c

b d= v1 v2

,

donde v1 y v2 son los vectores propios de A

3 4

0 2v1 = 3v1

⇒3a + 4b = 3a

2b = 3b⇔ v1 =

1

0.

3 4

0 2v2 = 2v2


14

⇒3c + 4d = 2c

2d = 2d⇔ v2 =

−4

1.

Por lo tanto

P =1 −4

0 1 y

P−1 =1 4

0 1.

Es así que se puede redefinir la ecuación diferencial

x

y=

1 −4

0 1

3 0

0 2

1 4

0 1

x

y

⇒1 4

0 1

x

y=

3 0

0 2

1 4

0 1

x

y

⇒ż

w=

3 0

0 2

z

w,

y

1 −4

0 1

z

w=

x

y.

Resolviendo la transformación

z

w=

z0e3t

w0e2t

⇒x

y= z0e3t

1

0+ w0e2t

−4

1.

Nótese que la expresión anterior representa una traslación de ejes, por lo que la gráfica que

relaciona las funciones x e y sería


15

x

y

Figura 4. Solución gráfica del ejemplo.

Es necesario mencionar que la dirección del crecimiento de x e y dependerá de la estructura de

las funciones trasladadas z y w. En este caso, las primeras crecerán hacia el infinito, aunque x lo hará más rápido cómo se evidencia en la forma de la curva.

Ejemplo: Sea

A =8 3

−3 2.

Nótese que en este caso la matriz A posee solamente un valor propio λ = 5 . Por lo que se puede usar una transformación de Jordan tal que

J =5 1

0 5⇒

8 3

−3 2= P

5 1

0 5P−1

.

Dado que solamente existe un vector propio, la matriz

P = v1 v2 estará conformada por dicho vector y por el vector propio generalizado. Así


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8 3

−3 2v1 v2 = v1 v2

5 1

0 5

⇒8 3

−3 2

a c

b d=

a c

b d

5 1

0 5

⇒

8a + 3b = 5a

8c + 3d = a + 5c

−3a + 2b = 5b

−3c + 2d = b + 5d

⇔

a + b = 0

3c + 3d = a

a + b = 0

−3c − 3d = b

⇔

v1 =1

−1

v2 =

13

0.

Por lo tanto

P =1 1

3

−1 0

y

P−1 =0 −1

3 3.

Es así que se puede redefinir la ecuación diferencial

x

y=

1 13

−1 0

5 1

0 5

0 −1

3 3

x

y

⇒0 −1

3 3

x

y=

5 1

0 5

0 −1

3 3

x

y

⇒ż

w=

5 1

0 5

z

w,

y


17

1 13

−1 0

z

w=

x

y.

Surgen de estas igualdades las siguientes ecuaciones diferenciales:

ż = 5z+ w

w = 5w⇔

ż = 5z+ w0e5t

w = w0e5t.

Para resolver la primera ecuación se puede emplear el método de variación de la constante

z = α tβt ⇒ ż = αβt + αtβ ; igualando

αβt + αtβ = 5z+ w0e5t

⇒ αβt − 5z+ α tβ = w0e5t

⇒ αβt − 5αtβt + α tβ = w0e5t

⇒ βtα − 5αt + α tβ = w0e5t.

Y resolviendo los sistemas generados

(i) α = 5α t ⇒ αt = e5t

(ii) e5tβ = w0e5t ⇒ β = w0 t

⇒ z = w0 te5t . En consecuencia

z

w=

w0 te5t

w0e5t

⇒x

y=

1 13

−1 0

w0 te5t

w0e5t


18

⇒x

y= w0 te5t

1

−1+ w0e5t

13

0.

En este caso, las funciones convergen a un equilibrio estable en que y → 0 y x → w0 como se observa en la gráfica:

x

y

Figura 5. Solución gráfica del ejemplo.

1.4. Funciones Homotéticas y el Agente Representativo

El supuesto del agente representativo es seguramente uno de los más controversiales dentro del estudio macroeconómico. Éste ha sido empleado en diversos modelos tradicionales, e incluso en algunos más heterodoxos, para representar el comportamiento agregado de los individuos a pesar de ser considerado poco realista.

En términos matemáticos, el agente representativo puede describirse por la igualdad

∑i

XiP,ω i = X P,∑i

ω i,

donde Xi es una variable económica propia del individuo i , X es la variable propia del

agente representativo, P es el nivel de precios y ω i representa un conjunto de características de cada individuo.


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Teorema 3: Implicancia de Gorman Se puede asumir que existe un agente representativo si y solamente si, las utilidades

indirectas de todos los individuos cumplen con la condición de Gorman dada por

Ū iP,ω i = aiP + bPω i .

Es necesario mencionar que la condición de Gorman antes descrita se da si las

preferencias de los individuos son homotéticas, esto es, son idénticas para todos; y si tales preferencia pueden representarse como funciones cuasilineales. En cuanto a esto, una

función f⋅ es homotética si:

(a) x1 ,x2 ∈ Domf, x1 > x2 ⇒ fx1 ≥ fx2 .

(b) f depende de g⋅ : HG1.

Ejemplo:

Sea el caso de una economía donde los individuos con riqueza wi , poseen utilidades Cobb -

Douglas y existen N bienes tal que

U iX1 , . . . ,XN = ∏n=1

N

Xn,i αn

⇒ Xn,i∗ =

αn

∑n=1N αn

wi

Pn; αn > 0, ∀n

.

Con estas N demandas es posible obtener la utilidad indirecta. Así

Ū iP,wi = ∏n=1

N αn

∑n=1N αn

wi

Pn

αn

=

∏n=1

N αn

∑n=1N αn

αn

wi

Pn

αn

.

Asumiendo ∑n=1N αn = 1 se tiene que

Ū iP,wi = wiΣnαn ∏

n=1

N

αn αn 1Pn

αn

= wi ∏n=1

N αn

Pn

αn

.

Nótese que esta función cumple la condición de Gorman con ω i = wi , aiP = 0 , y

bP = Πn αn/Pn αn. En consecuencia, se puede usar el supuesto del agente representativo en

esta economía.


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2. Modelo de Crecimiento de Solow 2.1. Desarrollo del Modelo

El siguiente modelo fue ideado y desarrollado por Robert Solow y le valió el premio Nobel en Economía en 1987.

Sea una función HG1 de producción agregada Y = FK,AL , donde A es el avance

tecnológico que potencia el factor trabajo L . Supóngase además que la tasa de

crecimiento en el tiempo de A y L están dadas por

AA

= g, LL

= n.

Se asume por otra parte, que la sociedad ahorra una fracción fija s de su producción, la cual permite obtener el nivel general de inversión considerando una tasa

de depreciación δ del capital K

sFK,AL − δK = K = I .

Sea k = K/AL el capital por unidad de trabajo efectivo, tal que

sFK/AL, 1 − δk = KAL

⇒ sfk − δk = KAL .

Si se deriva k con respecto al tiempo se obtiene que

k = ∂k∂t

= ∂∂t

KAL

= KAL − KAL − KALAL2

= KAL

− KAA2L

− KLAL2

⇒ k = KAL

− kn + g

⇒ KAL

= k + kn + g.

Y reemplazando en la igualdad ahorro - inversión


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sfk − δk = k + kn + g

⇒ k = sfk − kn + g + δ . Esta ecuación define una dinámica de crecimiento en la economía, la cual alcanza su

equilibrio estable k∗ cuando

k = 0 ⇔ sfk∗ = k∗n + g + δ .

Figura 6. Modelo y Equilibrio de Solow.

Nótese los factores exógenos que determinan el punto de equilibrio según Solow.

Por una parte el nivel de ahorro; cuando s aumenta se espera un mayor k∗ de equilibrio.

Luego, el crecimiento de la población n, la depreciación δ y el crecimiento tecnológico g; incrementos en cualquiera de ellos llevan a un equilibrio menor.

Ahora bien, la producción puede describirse por

Y = FK,AL = ALfk , y en el equilibrio

Y∗ = ALfk∗


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⇒ Y∗

Y∗ =ALfk∗ + ALfk∗

ALfk∗= n + g

. Entonces el crecimiento económico en el equilibrio depende de la tasa de crecimiento poblacional y tecnológico que son exógenos al modelo.

Por otra parte, cuando el equilibrio no ha sido alcanzado todavía

YY

=ALfk + ALfk + ALkf ′k

ALfk= n + g +

f ′kfk

k = n + g + ξ.

Si k < k∗ , esto es, la economía se encuentra en una etapa de ahorro, la tasa de

crecimiento de la misma es mayor que aquella de equilibrio puesto que ξ > 0 . Si k > k∗ , sucede lo contrario.

El modelo aparentemente resulta sencillo y práctico, sin embargo presenta varios problemas que hacen que sus conclusiones no sean necesariamente ciertas:

- Se asume que la tasa de ahorro s es constante en el tiempo. - Se emplea un agente representativo. - La función de producción es HG1 por lo que solamente existe un equilibrio. - En el equilibrio, no interesa que suceda con la calidad del capital y trabajo empleado,

pues el crecimiento solo depende de n y g.

¿Y qué sucede con el nivel de consumo en el equilibrio?


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Figura 7. Consumo en el Modelo de Solow.

Nótese que el consumo c esta dado por

c = 1 − sfk , y hay un trade off entre consumo y ahorro por lo que debe necesariamente existir un óptimo tal que

c∗ = 1 − sfk∗ = fk∗ − n + g + δk∗,

donde

k∗ = gs . Así, derivando e igualando a cero

dc∗

ds= f ′k∗ dk∗

ds+ n + g + δ dk∗

ds= 0

⇒ f ′k∗ = n + g + δ . Esta ecuación se conoce como regla de oro e indica en qué punto de equilibrio se maximiza el consumo de la economía.


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2.2. Existencia del Equilibrio de Solow

El equilibrio de Solow con k∗ > 0 no puede darse por sí mismo, requiere de ciertas condiciones que garanticen su existencia. Para demostrar esto, tómense como ejemplos los siguientes casos:

Figura 8. Situaciones donde no existe equilibrio de Solow.

Así, Ken-Ichi Inada definió las siguientes condiciones para que dada una función de

producción Y = FK,L , se cumpla la existencia del equilibrio de Solow:

(a) K → 0 ⇒ FKK,L → ∞.

(b) K → ∞ ⇒ FKK,L → 0 .

(c) L → 0 ⇒ FLK,L → ∞ .

(d) L → ∞ ⇒ FLK,L → 0 . Éstas no tienen una razón económica detrás, simplemente buscan asegurar la intersección

de las curvas sfk y n + g + δk , asegurando consecuentemente, el equilibrio.

En la misma línea, una condición adicional garantiza la unicidad del equilibrio:

(e) F ′⋅ ≥ 0, F ′′⋅ < 0 . Sin embargo, hacer un supuesto de esta naturaleza puede alejarse de la realidad donde los múltiples equilibrios económicos son usuales. Sea entonces un caso con tres puntos de convergencia:


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Figura 9. Modelo de Solow con múltiples equilibrios.

Según la ecuación de equilibrio, k1∗

y k3∗

son puntos de atracción, mientras que k2∗

es de repulsión. Esto implica que si se desea pasar de k1∗

a k3∗

se requiere superar un

punto crítico levemente mayor que k2∗

(i.e. una política fiscal efectiva en cuanto a la inversión). 2.3. Crecimiento Balanceado de Kaldor

Este tema fue desarrollado por Nicholas Kaldor, quien al estudiar el comportamiento de diversas variables relacionadas al crecimiento, encontró las siguientes regularidades en el largo plazo: (a) La tasa de interés es más o menos constante. (b) Las participaciones en el producto del trabajo y el capital son 70% y 30% respectivamente y se mantienen más o menos constantes. (c) La razón Capital-Producto es más o menos constante. (d) Las tasas de crecimiento del salario real y del producto per cápita son más o menos constantes. Cuando una economía crece con estas características, se dice que su crecimiento es balanceado.

Para comprobar la relación de estas regularidades se puede emplear el modelo de Solow:

(a) Sea FK,AL una función de producción HG1, por lo tanto es posible alcanzar un


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equilibrio de Solow en k∗ . Como este nivel de capital es constante, f ′k∗ es igualmente constante. Ahora bien,

FK,AL = ALfk

⇒ ∂F∂K

= ALf′k 1AL

= f ′k.

Y en una economía de mercado

∂F∂K

= rp ⇒ r = pf′k

.

En el equilibrio entonces r∗ = pf′k∗ es constante. (b) Continuando con los supuestos en (a) y de acuerdo al teorema 1

=),( ALKF LL

FK

K

F

∂∂+

∂∂

,

por lo que la participación de cada factor es separable y se puede representar porcentualmente de modo que la suma de todas es 100%. Luego, la participación del capital en el equilibrio sería:

r∗KY∗ =

pf′k∗k∗ALALfk∗

=pf′k∗fk∗

k∗

, que es constante. Y en cuanto al trabajo

w∗LY∗ =

fk∗ − pf′k∗k∗ ALALfk∗

= 1 −pf′k∗fk∗

k∗

, que es también constante. (c) La razón Capital-Producto en el equilibrio es

KY∗ = k∗AL

ALfk∗= k∗

fk∗ , que es constante.

(d) El producto per cápita en le equilibrio es y = Afk∗ , y es evidente que y/y = g que es constante. En cuanto al salario real


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wp = fk∗ − pf′k∗k∗ A

,

y su tasa de crecimiento es también g.

Aquí surge otro problema del modelo de Solow y es el suponer a la tasa de crecimiento tecnológico como constante. En la realidad, es esperable que la tecnología tenga un comportamiento recursivo de la forma

At = At−1 + ΔAYt .

3. Modelo de Crecimiento de Ramsey 3.1. Desarrollo del Modelo

El siguiente modelo fue ideado y desarrollado por el matemático y filósofo Frank Ramsey de la Universidad de Cambridge. Éste asume como supuesto fundamental la existencia de un agente representativo que trata de optimizar su nivel de utilidad tal que

maxct ∫0

∞e−ρtUctdt, U ′ct > 0, U ′′ct < 0 .

Además, se considera una economía agregada con una función de producción HG1.

Dicha función, se construye mediante el nivel de consumo y la inversión neta. Así,

Yt = FK t,L t = Ltct + δK t + K t ,

donde L tct es el consumo agregado, δ es la tasa de depreciación constante del capital

K t , y K t es el nivel de inversión bruta. Es necesario mencionar que funciones de producción de este tipo se dan en economías grandes, donde las firmas aportan un pequeño porcentaje al total productivo en comparación con el consumo individual.

Otro supuesto que el modelo de Ramsey toma es un mercado laboral en que la

oferta de trabajo es fija para cada periodo t en un nivel L t . Asimismo, se asume que no existe desempleo ni subempleo.

Dados todos estos supuestos, se tiene que el producto per cápita es

fk t = ct + δkt +K t

L t, L t

L t= n

y


28

k t =K t

L t− nkt

⇒ fkt = ct + δk t + k t + nkt

⇒ fkt = ct + kt + n + δkt

⇒ kt = fkt − ct − n + δkt . Esta igualdad se denomina ecuación de movimiento del stock de capital y se puede tomar como una restricción de Pontryagin en el problema siguiente:

maxct ∫0

∞e−ρtUctdt = maxct J

s.a. k t = fk t − ct − n + δkt

k0 > 0 limt→∞ ξ tkt = 0 .

Y el hamiltoniano sería en este caso

Ht = e−ρtUct + ξ tfkt − ct − n + δkt , donde

ξ t =∂J∂k t ,

mide el efecto de cambios de capital en el valor presente del nivel de utilidad del agente

representativo. Se puede por lo tanto desarrollar Ht tal que

Ht = e−ρtUct + λ tfk t − ct − n + δk t ,

ξ t = e−ρtλ t ,

donde λ t mide el efecto de cambios de capital en el valor corriente del nivel de utilidad del agente representativo.

Ahora bien, desarrollando las condiciones del teorema 2 se tiene que


29

(a) =∂∂

t

t

c

H e−ρtU ′ct − λ t = 0 ⇒ U ′ct = λ t . Esto es, λ t representa también la utilidad

marginal del nivel de consumo.

(b) − ∂Ht

∂kt= −e−ρtλ tf ′k t − n + δ

, y

ξ t =∂∂t

e−ρtλ t = −ρe−ρtλ t + e−ρtλ t = e−ρtλ t − ρλ t . Por ende,

λ t − ρλ t = −λ tf ′k t − n + δ

⇒ λ t = λ tn + δ + ρ − f ′kt

⇒U ′ctU ′ct

= n + δ + ρ − f ′k t.

Se genera por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales con

respecto a ct y kt , junto con la ecuación de movimiento. Se debe entonces resolver el problema mediante un análisis matemático-gráfico de

U ′ctU ′ct

= n + δ + ρ − f ′k t

k t = fk t − ct − n + δkt ,

cuando ċt = 0 y k t = 0 . En consecuencia

(i) k t = 0 ⇒ fkt = ct + n + δkt .

Además, si kt = 0 no es posible que haya producción y consecuentemente ĉt = 0 . De

igual forma, si k t = maxkt no existe espacio para el consumo, por lo que nuevamente

ĉt = 0 . Existe entonces un máximo en el que ∂ct/∂kt = 0 . Luego si

f ′kt =∂ct

∂k t

+ n + δ y

∂ct

∂kt

= 0


30

⇒ f ′k t = n + δ es la igualdad que se da en el máximo de consumo.

(ii) ċt = 0 ⇒ U ′ĉt → cte⇒ U ′ĉt = 0

⇒ n + δ + ρ = f ′kt ⇒ kt → cte. (Semejante a lo encontrado por el modelo de Solow).

Nótese que U ′ĉt = U ′′ctċt por lo que si k t > k t ⇒ ċt < 0 , debido a los rendimientos marginales decrecientes en la función de utilidad. Adicional a esto, nótese

también que f ′kt = n + δ < n + δ + ρ = f ′kt lo que implica que kt > kt .

Figura 10. Equilibrio en el Modelo de Ramsey.

3.2. Trayectoria Única y Equilibrio Estable

Considere ahora la condición de transversalidad definida por

limt→∞ ξ tk t = 0 ⇒ limt→∞ e−ρtλ tk t = 0 , y la solución de la ecuación diferencial

λ t = λ tn + δ + ρ − f ′kt

⇒ λ t = λ0 exp ∫0

tn + δ + ρ − f ′kzdz .


31

Cuando se estudia el modelo de Ramsey, debe necesariamente hacerse la pregunta, ¿cuál trayectoria de la gráfica conduce a un equilibrio estable y por ende, cumple con lo especificado en el teorema 2? La respuesta es que existe una única trayectoria óptima y que el resto son absurdas en términos económicos. Para demostrar esto considérense los dos casos siguientes:

(1) Las trayectorias que llevan a un nivel de consumo ct = 0 y k t = maxkt .

Figura 11. Trayectorias que conducen a capital máximo.

En estos casos la transversalidad no se cumple ya que

limt→∞ e−ρtλ tk t = limt→∞ e−ρtktλ0 exp ∫0

tn + δ + ρ − f ′kzdz

= maxktλ0 limt→∞ exp ∫0

tn + δ + ρ − f ′kzdz

→ maxktλ0 exp ∫0

t→∞n + δ + ρdz → ∞ .

Lo anterior se deriva del hecho que f ′k t → 0 por el concepto de productividad marginal decreciente.

(2) Las trayectorias que llevan a kt = 0 y posteriormente a ct = 0 .


32

Figura 12. Trayectorias que conducen a capital y consumo nulos.

La ecuación diferencial propuesta no se cumple en este caso ya que

ct → 0 ⇒ Δλ t = ΔU ′ct > 0 ; sin embargo

k t = 0 ⇒ f ′k t → ∞ ⇒ λ t = U ′ct → −∞ . Por ende surge una contradicción.

Lo anterior permite concluir que el único camino matemáticamente acertado está dado por la siguiente trayectoria:


33

Figura 12. Trayectoria única en el modelo de Ramsey.

Y en el punto de equilibrio se cumple que n + δ + ρ = f ′kt . Nótese entonces que

si hay un incremento en cualquiera de las variables exógenas n, δ , o ρ , la productividad marginal del capital aumenta por lo que, se espera una reducción en el capital per cápita

de equilibrio k∗ .

Finalmente, bastaría encontrar las trayectorias óptimas de ct y k t , por lo que se puede proceder a la linealización de la casi igualdad

kt

ċt

≈ρ −1

f ′kt∗

Rct∗

0

k t − k t∗

ct − ct∗

,

donde R⋅ es el índice de aversión al riesgo. Esta ecuación surge del desarrollo de las condiciones de Pontryagin en el modelo. 3.3. Economía Centralizada y Descentralizada

El modelo de Ramsey presupone una economía centralizada en la que existe una autoridad absoluta (en términos económicos se habla de autoridad benevolente). A

continuación se analizará el caso descentralizado en la que la función de producción fkt depende de las decisiones empresariales. Así

fk t = wt + r tk t .


34

La optimización sería en este caso

maxct ∫0

∞e−ρtUctdt

s.a. wt + r tat = ct + at + nat

at = kt − bt ,

donde at es el nivel de activos en la empresa y bt es una deuda sin restricción. Nótese además que para facilitar el análisis se ha supuesto que no existe depreciación.

La condición de transversalidad surge de la no posibilidad de juegos de Ponzi. Esto es, no se puede pagar la deuda con más deuda. Por lo tanto

limt→∞ at exp − ∫0

trz − ndz ≥ 0 .

Asumiendo que el dejar capital sin usar tiene asociado un costo de oportunidad gracias a las utilidades marginales del consumo, entonces se puede afirmar que

limt→∞ at exp − ∫0

trz − ndz = 0 .

Antes de proseguir, sería conveniente analizar la restricción presupuestaria para

observar ciertas implicaciones. Integrando entonces la igualdad entre 0 y T

∫0

Twtdt + ∫

0

Tr t − natdt + a0 = ∫

0

Tctdt + aT

⇒ ∫0

Twtdt + a0 exp ∫

0

trz − ndz = ∫

0

Tctdt + aT .

El primer término de la ecuación corresponde al salario total ganado entre 0 y T, el segundo a los intereses ganados por los activos. El tercero se refiere al consumo total, y

finalmente el cuarto al capital neto final. Ahora bien, si T → ∞, se tiene que en términos de valor presente

∫0

∞wt exp − ∫

0

trz − ndz dt + a0 = ∫

0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt

⇒ h0 = ∫0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt .

Esta ecuación confirma que no es posible consumir más que todos los ingresos generados


35

(definidos por la riqueza inicial h0 ). Volviendo ahora a la optimización, se tiene el hamiltoniano

Ht = e−ρtUct + ξ twt + r t − nat − ct

⇒ Ht = e−ρtUct + λ twt + r t − nat − ct ; y desarrollando las condiciones del teorema 2

(a) ∂Ht

∂ct= e−ρtU ′ct − λ t = 0 ⇒ U ′ct = λ t

(b) − ∂Ht

∂at= −e−ρtλ tr t − n

.

ξ t =

∂∂t

e−ρtλ t = −ρe−ρtλ t + e−ρtλ t = e−ρt−ρλ t + λ t .

⇒ λ t = λ tn + ρ − r t .

Nótese que si se considera un mercado eficiente en que f ′at = r t , y además se supone que no existen deudas, entonces se llega a las mismas soluciones del caso centralizado. Esto se explica por la utilización de un agente representativo en la economía.

Ejemplo:

Sea Uct = −e−αct , α > 0 tal que U ′ct = αe−αct > 0 , y U ′′ct = −α2e−αct < 0 . Aplicando el modelo de Ramsey descentralizado se tiene que

U ′ct = U ′′ctċt = −α2e−αctċt , y aplicando la ecuación obtenida por la condición (b) del teorema 2

U ′ctU ′ct

=−α2e−αctċt

αe−αct= −αċt

⇒ −αċt = n + ρ − r t

⇒ ct =1α ∫

0

trz − n − ρdz

.

Se puede afirmar entonces que la trayectoria del consumo es constante a través del tiempo. Es

necesario mencionar también que en este caso α representa el índice de aversión al riesgo, el cual


36

tampoco varía entre 0 y t .

Sea ahora Uct =

ct1−α − 11 − α

→ lnct cuando α → 1 . Se puede demostrar que en este caso el

índice de aversión al riesgo relativo es constante a través del tiempo. Realizando el mismo procedimiento que en la situación anterior,

U ′ct = 1ct

> 0, U ′′ct = − 1ct

2< 0

, y

U ′ctU ′ct

=

− 1ct

2ċt

1ct

= − ċtct

. Entonces

− ċtct

= n + ρ − r t ⇒ ct = c0 exp ∫0

trz − n − ρdz

. Se puede afirmar entonces que la trayectoria del consumo es creciente a través del tiempo.

¿Y cuánto es el consumo inicial c0 ? Para responder esta pregunta es útil considerar la restricción presupuestaria integrada en valor presente tal que

h0 = ∫0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt

⇒ h0 = c0 ∫0

∞exp ∫

0

trz − n − ρdz exp − ∫

0

trz − ndz dt

⇒ h0 = c0 ∫0

∞exp ∫

0

trz − n − ρdz− ∫

0

trz − ndz dt

⇒ h0 = c0 ∫0

∞exp ∫

0

t−ρdz dt

⇒ h0 = c0 ∫0

∞e−ρtdt = c0

ρ ⇒ c0 = ρh0 .

El ejemplo anterior evidencia que si bien el consumo idealmente debería ser

constante a lo largo del tiempo, en la práctica se requiere de de un proceso de ajuste debido a la autarquía y al stock de capital limitado.


37

3.4. Impuestos y la Relevancia del Estado

Si se añade un gobierno impositor al caso descentralizado tal que los impuestos

cobrados τt sean iguales al gasto fiscal Gt , se tiene una nueva restricción presupuestaria

wt + r tat − τt = ct + at + nat . Nótese que los impuestos no influyen en las decisiones de trabajo y es regresivo (pobres y ricos pagan lo mismo por lo que los primeros se ven más afectados).

Por su parte, la función de producción fkt = wt + r tkt no se ve afectada por τt , y por ende, tampoco por el gasto de gobierno.

Si se realiza el mismo procedimiento que en la sección anterior, de integración y valor presente a la restricción presupuestaria se tiene que

∫0

∞wt − τt exp − ∫

0


0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt

⇒ h0τ = ∫

0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt .

En consumo entonces será menor que en el caso pasado para cualquier nivel de capital. De aquí se deduce el siguiente equilibrio de Ramsey:

Figura 13. Equilibrio de Ramsey con un impuesto fijo.

Ahora bien, en el caso propuesto el capital no se ve afectado; pero qué sucede si

se decide cobrar un impuesto sobre kt de modo que 1 − zkr tk t = Ingreso porCapital. Si


38

se supone que no existe deuda entonces la restricción presupuestaria sería

wt + 1 − zkr tkt = ct + kt + nkt ; y generando el hamiltoniano pertinente se llegaría a

>−+=′ ∗

kz z

nkf

1)(

ρ ∗∗ >⇒+ zkkn ρ .

Figura 14. Equilibrio de Ramsey con un impuesto al capital.

La forma de la trayectoria se explica porque la única forma que la sociedad tiene

de reducir el capital, es aumentando su consumo.

4. Otros Temas de Crecimiento 4.1. Equivalencia Ricardiana

El siguiente principio fue propuesto por el político y economista David Ricardo, quien indicó que si un gobierno se endeuda para financiar obras públicas, la sociedad espera un incremento en los impuestos futuros, por lo que en el presente optaría por ahorrar disminuyendo consecuentemente su consumo.

La matemática detrás de esto exige definir una restricción presupuestaria adicional para el gobierno. Así, si hay posibilidad de financiamiento con deuda se tiene que


39

btg+ nbt

g= Gt − τt + r tbt

g,

donde btg

es la deuda del sector público a tiempo t .

Por su parte, los privados tienen la siguiente balanza de pagos

at = k t − bt + btg

, y su respectiva restricción presupuestaria

ct + at + nat = wt + r tat − τt .

De estas ecuaciones se obtiene que para el privado

h0τ = ∫

0

∞wt − τt exp − ∫

0


0

∞ct exp − ∫

0

trz − ndz dt ,

y para el gobierno

b0g+ ∫

0

∞Gt exp − ∫

0

tr z − ndz dt = ∫

0

∞τt exp − ∫

0

trz − ndz dt.

Sustituyendo la segunda igualdad en la primera

∫0

∞ctRtdt = a0 + ∫

0

∞wtRtdt − b0

g+ ∫

0

∞GtRtdt

⇒ ∫0

∞ctRtdt = k0 − b0 + ∫

0

∞wtRtdt − ∫

0

∞GtRtdt ,

donde

Rt = exp − ∫0

trz − ndz .

Esta ecuación indica que el consumo privado es el que finalmente paga el gasto

público. Además lo relevante en cuanto esto no es el financiamiento inicial (deuda o

impuesto), sino la cuantía de Gt . Adicional a lo anterior, otra conclusión que es posible derivar es que no es tan importante el origen de la deuda, la igualdad se mantiene así ésta sea interna o externa.

Sin embargo, estudios empíricos han mostrado que la equivalencia ricardiana no se cumple. Las explicaciones de esto podrían ser varias: - Los agentes no son completamente racionales.


40

- Los agentes no viven infinitamente por lo que prefieren gastar en el presente. - El estado paga menores tasas de interés que los privados por lo que existe ganancia neta para los gobiernos al financiarse con deuda. Luego, se desincentiva la aplicación de impuestos futuros. 4.2. Economía Abierta

Hasta el momento se ha dejado a la economía en un completo aislamiento del resto del mundo. Sean ahora dos partes involucradas: la primera corresponde a un agente

privado interno, la segunda se refiere a otras economías extranjeras. A tiempo t el grupo

privado se financia en bt y se relaciona con el exterior mediante importaciones y exportaciones. Por lo tanto, éste se enfrenta al siguiente problema de maximización:

maxct,I t ∫0

∞e−ρtUctdt

s.a. kt = I t

bt = θbt + ct + I t1 + TI t/k t − fkt limt→∞ e−ρtλ tbt = 0

limt→∞ e−ρtλ tqtkt = 0 ,

donde I t es el nivel de inversión interna, TI t/k t es el costo de instalación de la inversión

y θ la tasa de cambio de la deuda para cada periodo. Nótese que la restricción presupuestaria presentada en el problema corresponde a la igualdad observada en la balanza de pagos; el lado izquierda es la cuenta de capitales, y el derecho la cuenta corriente.

Luego, el hamiltoniano sería

Ht = e−ρtUct − λ tθbt + ct + I t1 + TI t/k t − fkt + λ tqtI t ,

donde qt es conocida como el radio q de Tobin y puede calcularse mediante la razón

q =Valor de Mercado

Valor Contable .

Además, si qt > 1 se recomienda invertir y endeudarse, mientras que si qt < 1 es preferible desinvertir y pagar las deudas.

Desarrollando ahora las condiciones de Pontryagin:


41

(a) ∂Ht

∂ct= e−ρtU ′ct − λ t = 0 ⇒ U ′ct = λ t

.

∂Ht

∂I t= e−ρt −λ t − λ t

k tT′I t/kt − λ tTI t/kt + λ tqt = 0

⇒ 1 +

T′I t/ktkt

+ TI t/k t = qt.

(b)

− ∂Ht

∂bt= e−ρtλ tθ

∂∂te−ρtλ t = −ρe−ρtλ t + e−ρtλ t = e−ρtλ t − ρλ t

⇒ λ tθ = λ t − ρλ t ⇒ λ t = λ tρ + θ

⇒ λ t = λ0eρ+θ .

− ∂Ht

∂kt= −e−ρt T′I t/k t

λ tI t2

kt2

− f ′k t

∂∂te−ρtλ tqt = −ρe−ρtλ tqt + e−ρtλ tqt + λ tqt

⇒ −ρλ tqt + λ tqt + λ tqt = f ′k t − T′I t/k t

λ tI t2

kt2

.

En cuanto a las igualdades obtenidas que se relacionan al consumo y a la deuda, es

esperable que la tasa de cambio de bt sea θ = −ρ por lo que

λ t = λ0 ⇒ U ′ct = λ0 ⇒ ct = c0 . Como el consumo es constante en el tiempo, se tiene que


42

Figura 15. Evolución del producto y el consumo en el tiempo.

Esto implica que en el intervalo 0, t∗ se acumula deuda con el exterior, mientras

que en t∗,∞ se paga la misma.

Ahora bien, si el consumo es constante en c0 , ¿cuál es este valor? Para responder la pregunta se debe integrar la restricción presupuestaria a valor presente obteniendo

−b0 = ∫0

∞e−ρtc0 + I t1 + TI t/k t − fktdt

⇒ ∫0

∞e−ρtfkt − I t1 + TI t/ktdt − b0 = c0 ∫0

∞e−ρtdt

⇒ c0 = ρ ∫0

∞e−ρtfkt − I t1 + TI t/k tdt − b0 .

El consumo se puede entender entonces como los intereses del stock neto de la riqueza.

Por otra parte, considerando las igualdades que se refieren al nivel de capital y a la inversión, se tiene que

1 +T′I t/k t

kt+ TI t/k t = qt = ψI t/k t

,

ψ0 = 1

T0 = 0


43

T′I t/kt > 0

T′′I t/kt > 0

ψ ′I t/k t > 0 .

Dadas estas características es posible afirmar que ψ−1qt existe, por lo que

ψ−1qt = ϕqt =I t

k t⇒ I t = ktϕqt

. 4.3. Inversión

La sección anterior no permite desarrollar de manera suficiente el concepto de inversión. Para un estudio más exhaustivo, sea una tasa de ganancia de un sector

económico π⋅ como función de K t , tal que πK t ∝ K t , π′K t < 0 . Luego, sea una

tasa de ganancia por firma πK tkt , la cual se supone proveniente de una función de producción HG1. Se asume asimismo que la industria en cuestión es competitiva por lo que todos los agentes son precio aceptantes. Si no existe depreciación del capital, se tiene

que kt = I t , y la ganancia neta sería

∫0

∞e−rtπK tk t − I t dt.

Considérese también que debe existir un costo de instalación del capital CI t tal que

C0 = C′0 = 0,

C′I t > 0, C′′I t > 0 , esto implica que la integral anterior debe ajustarse a

∫0

∞e−rtπK tkt − I t − CI tdt.

Se puede por tanto definir el hamiltoniano

Ht = e−rtπK tk t − I t − CI t + ξ tI t, ξ t = e−rtλ t

⇒ Ht = e−rtπK tkt − 1 − λ tI t − CI t ,


44

y las condiciones de Pontryagin

(a) ∂Ht

∂I t= e−rt−1 + λ t − C′I t = 0

⇒ λ t − 1 = C′I t ⇒ λ t = C′I t + 1 .

Recuerde que λ t se puede entender por cuánto sube el valor de la empresa si se añade

una unidad adicional de capital k t , en consecuencia λ t es el precio corriente de una acción de la firma.

(b) − ∂Ht

∂kt= −e−rtπK t

,

ξ t = −re−rtλ t + e−rt λ t = e−rt−rλ t + λ t

⇒ πK t = rλ t − λ t . Esta ecuación habla del necesario equilibrio en los mercados bursátiles. Y luego,

λ t =

∂∂tC′I t + 1 = C′′I t

∂I t

∂t

⇒ πK t = rλ t − C′′I t∂I t

∂t .

Interesa ahora estudiar el comportamiento del capital por firma en relación al precio de las acciones de la misma. Así, se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales

λ t = C′kt + 1

πK t = rλ t − λ t , donde

K t = ∫Ω

ktfωdω = kt ∫Ω

fωdω y fω representa el número de empresas que tienen

como capital k t .

Cuando k t = 0 ⇒ λ t = 1 , esto es, el precio de la acción es constante en 1 .

Cuando λ t = 0 ⇒ πK t = rλ t y según las definiciones de K t y π⋅ ,

π kt ∫Ω

fωdω = rλ t, π′⋅ < 0 . Con esta información, se tiene el siguiente diagrama:


45

Figura 16. Equilibrio entre precio de una acción y capital.

Volviendo a λ t como valor de la acción, bastaría demostrar cuál es el dicho valor

como función de k t . Sea por ende la integral

∫t

∞πKze−rz−tdz = ∫ t

∞rλz − λze−rz−tdz

⇒ ∫t

∞πKze−rz−tdz = −λze−rz−t

t∞

⇒ ∫t

∞πKze−rz−tdz = limT→∞ λTe−rT−t + λ t

⇒ ∫t

∞πKze−rz−tdz = λ t .

5. Modelos de Generaciones Traslapadas 5.1. Consumo y Ahorro

En general, estos modelos llevan el nombre de generaciones traslapadas porque asumen dos periodos para cada generación de individuos, una en la que mayoritariamente trabajan, y otra en que consumen. Las ideas al respecto fueron propuestas inicialmente por Maurice Allais pero popularizadas, años después, por Paul Samuelson.


46

Figura 17. Estructura general de generaciones traslapadas.

Observando el esquema anterior, en el periodo t + 1 por ejemplo, la generación 1 se encuentra en su periodo de consumo, mientras que la generación 2 está laboralmente activa. Ambas generación en este momento del tiempo conviven.

Dadas estas características, cada individuo presenta el siguiente problema de maximización:

maxc1,t,st Uc1,t +Uc2,t+1

1 + ρ, U ′⋅ > 0, U ′′⋅ < 0

s.a.

wt = c1,t + st

c2,t+1 = st1 + r t+1 ,

donde ci,j representa el consumo en el periodo j para la i -ésima etapa de la vida y st es la cantidad ahorrada en la primera de estas etapas.

Por motivos de simplificación es posible redefinir las restricciones tal que

c2,t+1 = wt − c1,t1 + r t+1 , y plantear nuevamente el problema de maximización. Entonces

maxc1,t Uc1,t +Uwt − c1,t1 + r t+1

1 + ρ= maxc1,t J


47

∂J∂c1,t

= U ′c1,t −1 + r t+1

1 + ρU ′wt − c1,t1 + r t+1 = 0

⇒ U ′c1,t =1 + r t+1

1 + ρU ′c2,t+1

. La igualdad obtenida, además de resolver el problema, evita el traspaso de consumo entre periodos.

Ahora bien, analizando los efectos de cambios en el salario wt mediante derivación implícita se observa lo siguiente:

∂∂wt

U ′c1,t = ∂∂wt

1 + r t+1

1 + ρU ′c2,t+1

⇒ U ′′c1,t∂c1,t

∂wt=

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1 1 −

∂c1,t

∂wt

⇒∂c1,t

∂wtU ′′c1,t +

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1 =

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1

⇒∂c1,t

∂wt= 1

1 +1 + ρ

1 + r t+1 2

U ′′c1,tU ′′c2,t+1

> 0

. Y de forma semejante:

∂∂wt

U ′wt − st = ∂∂wt

1 + r t+1

1 + ρU ′st1 + r t+1

⇒ U ′′wt − st 1 − ∂st

∂wt=

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′st1 + r t+1

∂st

∂wt

⇒∂st

∂wt

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′st1 + r t+1 + U ′′wt − st = U ′′wt − st

⇒∂st

∂wt= 1

1 +1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1U ′′c1,t

> 0

. Las desigualdades anteriores indican que cuando el salario cambia, el consumo y el ahorro


48

se mueven en igual dirección.

Por otra parte, ¿qué se puede decir de los efectos sobre el ahorro y el consumo

ante los cambios en la tasa de interés r t+1 ?

∂∂r t+1

U ′c1,t = ∂∂r t+1

1 + r t+1

1 + ρU ′c2,t+1

⇒ U ′′c1,t∂c1,t

∂r t+1=

11 + ρ

U ′c2,t+1 + 1 + r t+1 U ′′c2,t+1 ∂∂r t+1

wt − c1,t1 + r t+1

⇒ U ′′c1,t∂c1,t

∂r t+1=

11 + ρ

U ′c2,t+1 + 1 + r t+1 U ′′c2,t+1 −∂c1,t

∂r t+11 + r t+1 + wt − c1,t

⇒∂c1,t

∂r t+1U ′′c1,t +

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1 =

U ′c2,t+11 + ρ

+1 + r t+1

1 + ρU ′′c2,t+1wt − c1,t

. Y se puede demostrar que

∂s1,t

∂r t+1U ′′c1,t +

1 + r t+1 2

1 + ρU ′′c2,t+1 =

−U ′c2,t+1

1 + ρ− 1 + r t+1

1 + ρU ′′c2,t+1wt − c1,t

. No es posible concluir nada al respecto del signo de estas derivadas. Las razones detrás de ello radican en los efectos sustitución e ingreso real. Mientras que la sustitución incentiva a un mayor ahorro (y consecuentemente menor consumo), el efecto ingreso motiva a los agentes a consumir. La dirección que sigan las variables analizadas, dependerá entonces en que tan fuerte sea un efecto en relación al otro.


49

Figura 18. Efectos ingreso y sustitución.

5.2. Capital y Producción

Sea la función de producción HG1 FK t,L t , tal que la población activa crece a una

tasa n. Se puede también afirmar que

FK t,Lt = L tfkt ,

donde fkt = wt + rkkt y f ′kt = r t .

Por otra parte y como se vio en la sección anterior, se puede considerar al ahorro

como una función del salario y la tasa de interés. Así, s = swt, r t+1 . En consecuencia

k t+1 =swt, r t+1L t

L t+1=

swt, r t+11 + n

⇒ kt+1 =sfkt − f ′ktkt, f ′kt

1 + n= Hk t .

Por ende, se pueden graficar distintos casos de convergencia del capital, por ejemplo:


50

Figura 19. Equilibrio de capital.

En los diagramas las flechas indican la dirección hasta puntos de convergencia o

divergencia.

Ejemplo:

Sea una función de utilidad Ux = lnx y una función de producción FK t,L t = K tαL t

1−α. El

agente representativo entonces tiene el siguiente problema de optimización:

maxc1,t,st Uc1,t +Uc2,t+1

1 + ρ= maxc1,t,st lnc1,t +

lnc2,t+11 + ρ

s.a.

wt = c1,t + st

c2,t+1 = st1 + r t+1 Entonces, por las condiciones de primer orden descritas en 5.1.:

1c1,t

=1 + r t+1

1 + ρ1

c2,t+1

⇒ 1c1,t

= 11 + ρ

1wt − c1,t

⇒ c1,t = 1 + ρwt − c1,t

⇒ c1,t =1 + ρ2 + ρ

wt.

Y el ahorro es

st = wt −1 + ρ2 + ρ

wt =1

2 + ρwt

.


51

Por el lado de la función de producción

FK t,Lt = K tαLt

1−α ⇒ fkt = k tα

; por ende

k tα = wt + f ′k tk t ⇒ wt = k t

α − f ′ktkt

⇒ wt = ktα − αkt

α = 1 − αk tα

.

Así, se tiene que

st =1

2 + ρwt =

1 − α2 + ρ

ktα

, y

k t+1 = 1 − α2 + ρ1 + n

ktα

.

El ejemplo anterior, aporta una idea fundamental en la economía: cuando se desea

encontrar el nivel óptimo de capital, resulta siempre necesario conocer el nivel óptimo de consumo. En cuanto a esto, considérese la restricción presupuestaria propia de una producción sin depreciación

FK t,Lt = Ltct + I t = L tct + K t+1 − K t

⇒ FK t,L t + K t = L tct + K t+1

⇒ fkt + kt = ct + 1 + nkt+1 .

En el equilibrio general, donde ct = c∗ y k t = kt+1 = k∗ se tiene que

fk∗ + k∗ = c∗ + 1 + nk∗

⇒ fk∗ − nk∗ = c∗.

Por lo tanto, se puede maximizar el consumo cuando f ′k∗∗ = n.

Las ecuaciones anteriores indican que cuanto se produzca deberá repartirse entre el consumo individual y la creación de capital para una nueva generación.


52

Figura 20. Equilibrio óptimo de consumo.

Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, en el equilibrio se tiene que

k∗ = 1 − α2 + ρ1 + n

k∗α ⇒ k∗ = 1 − α2 + ρ1 + n

11−α

. y la productividad marginal de este nivel de capital es

fk∗ = k∗α

⇒ f ′k∗ = αk∗α−1 = α1 − α

2 + ρ1 + n = n.

Lo anterior implica que el consumo no se está maximizando en el equilibrio de capital. Este hecho se conoce como ineficiencia dinámica.

Adicional a esto, si α es suficientemente pequeño, se cumple que

α1 − α

2 + ρ1 + n < n

⇒ f ′k∗ < f ′k∗∗ ⇒ k∗ > k∗∗.

En consecuencia, el ahorro en esta economía sería excesivo, explicando así el poco consumo.

El ejemplo anterior contradice aparentemente el primer teorema del bienestar.


53

Parecería que los individuos por sí solos, no logran alcanzar un óptimo en el sentido de Pareto. Esta es una de las posibles razones para la existencia de un Estado que obligue a la sociedad a ahorrar y asegurarse.

6. Asimetría de Información 6.1. Selección Adversa

Los modelos que se presentan en este capítulo surgen de las ideas de los ganadores del premio Nobel en economía George Akerlof, Michael Spence y Joseph Stiglitz. Sin embargo para entenderlos correctamente, es necesario conocer el concepto de selección adversa. Ésta se da cuando una de las partes en un mercado toma decisiones por sí solo que afectan adversamente a todo el sector. En específico, en esta sección se trabajará con el mercado laboral.

Más formalmente, sea un coeficiente de productividad θ identificador de los trabajadores con las siguientes características:

- θ ∈ Θ = θmin ,θmax .

- θ ∽ Fθ . Supóngase también un mercado con muchas empresas que comercian un único bien a

precio P = 1 y que utilizan solamente trabajo como factor. Además, tienen rendimientos constantes a escala.

Si no existiera asimetría de información, el salario justo correspondería a la

productividad θ de cada individuo i empleado. Esto es wi∗θ = θ i . Por ende, la

producción total en la economía sería

L ∫ΘθdFθ = L ∫

Θθfθdθ ,

donde L es el total de la población.

Asumiendo que existe una alternativa laboral a la que ofrecen las empresas, donde

los trabajadores reciben vθ , lo ofrecido por las firmas será aceptado solamente si

wθ ≥ vθ . En este caso, la producción será

L ∫Θθlθ + 1 − lθvθdFθ ,

donde lθ es la fracción de la población que decide trabajar en las empresas.


54

Por otra parte, si existe asimetría de información es imposible conocer la

productividad real de cada individuo por lo que se debe decidir pagar un salario w único por firma, equivalente a la productividad promedio. Así, los trabajadores que aceptan el empleo son aquellos que pertenecer al conjunto

Θ ′ = θ ∣ vθ ≤ w .

Entonces, la demanda por trabajo podría escribirse como

Zw =

0 ; μ < w

0,∞ ; μ = w

∞ ; μ > w,

donde μ = Eθ ∣ θ ∈ Θ ′ = Eθ ∣ vθ ≤ w . Luego, el equilibrio en un mercado competitivo se da si

w∗ = μ = Eθ ∣ vθ ≤ w∗ .

Figura 21. Equilibrio salarial con asimetría de información.

Dadas estas circunstancias, los trabajadores más productivos son aquellos que se


55

quedan afuera del mercado. Por ende, se produce menos que en el caso con información perfecta.

En el mismo lineamiento, hay casos extremos en que el sector completo puede desaparecer. Sea por ejemplo:

Figura 22. Equilibrio en mercado que colapsa.

Y otro caso podría ser el presentado a continuación:

Figura 23. Equilibrios múltiples.


56

El óptimo de Pareto se alcanza en w3 . Sin embargo, dada la asimetría de información, hay muchos individuos que sin ser suficientemente productivos ganan este salario.

Ejemplo:

Sea θ ∽ Uniforme1, 4 y vθ = αθ , con 0 ≤ α ≤ 1 . El equilibrio se alcanza cuando w∗ =

μ = Eθ ∣ vθ ≤ w∗ por lo que

Eθ ∣ vθ ≤ w∗ = Eθ ∣ αθ ≤ w∗ =

Eθ ∣ θ ≤ w∗

α =w∗

α + 13

= w∗ + α3α

⇒ w∗ = w∗ + α3α

⇒ w∗ = α3α − 1 .

Ahora bien, para que el mercado exista de la mejor manera,

1 ≤ α3α − 1

≤ 4

⇒ 3α − 1 ≤ α ⇒ α ≤ 12 ,

y también

⇒ α ≤ 12α − 4 ⇒ α ≥ 411 .

Por lo tanto

411

≤ α ≤ 12 .

6.2. Modelo del Principal y el Agente

Continuando con el mercado laboral desde la perspectiva de la asimetría de información, un modelo muy conocido es el del principal y el agente. Cuando se delegan actividades (acción del principal), no se puede conocer el nivel de esfuerzo realizado por quien recibe la responsabilidad (agente). Así surge la pregunta. ¿Qué incentivos deben ponerse para maximizar el esfuerzo y consecuentemente, las utilidades?

Sea para esto la ganancia observada π del principal y una variable latente que

mide el nivel de esfuerzo e del agente, tal que π ∈ Π = πmin ,πmax y π ∽ Fπ ∣ e ,

donde e ∈ ebajo,ealto . Un supuesto dado es que Fπ ∣ ealto domina estocásticamente


57

en primer orden a Fπ ∣ ebajo , esto es, la probabilidad de superar π en nivel de esfuerzo alto debe ser mayor a aquella en nivel de esfuerzo bajo. Luego

Fπ ∣ ealto ≤ Fπ ∣ ebajo .

Figura 24. CDF con niveles de esfuerzo alto y bajo.

Asimismo, puede expresarse la desigualdad anterior en términos de valores

esperados, tal que

∫Ππfπ ∣ ealtodπ > ∫

Ππfπ ∣ ebajodπ.

Un supuesto adicional es que el principal es neutral al riesgo y el agente tiene una

utilidad

Uw,e = vw − ge ≥ Ū ,

donde Ū representa la utilidad de reserva.

Luego, es posible definir el problema de maximización donde el principal busca

maxe,wπ ∫Ππ − wπfπ ∣ edπ

s.a.

∫Πvwπ − gefπ ∣ edπ ≥ Ū .


58

Como e es una variable binaria que no depende de π es posible simplificar el problema, de modo que

maxe,wπ ∫Ππ − wπfπ ∣ edπ

s.a.

∫Π

vwπfπ ∣ edπ ≥ Ū + ge .

En el caso donde no existe asimetría de información y el principal conoce el nivel de esfuerzo que desea del agente, se tiene que

minwπ ∫Π

wπfπ ∣ edπ s.a.

∫Π

vwπfπ ∣ edπ ≥ Ū + ge . Aplicando entonces la regla del lagrangiano asumiendo igualdad en la restricción

ℒ = ∫Πwπ − λvwπ − Ū − gefπ ∣ edπ

⇒ ∂ℒ∂w

= ∫Π1 − λv ′wπfπ ∣ edπ = 0

⇒ 1 − λv ′wπ = 0 ⇒ v ′wπ = 1λ

⇒ w∗ : constante.

Ahora bien, se debe escoger un w∗ de modo que para el agente se cumpla la igualdad

vw∗e = Ū + ge , y para el principal las ganancias guarden una relación

∫Ππfπ ∣ ealtodπ − w∗ealto > ∫

Ππfπ ∣ ebajodπ − w∗ebajo ,

si prefiere un nivel de esfuerzo ealto .

Este caso sin embargo, no explica la existencia de variaciones en el nivel de salario. Así, usando asimetría de información se tiene una restricción adicional al problema de optimización anterior

minwπ ∫Π

wπfπ ∣ edπ


59

s.a.

∫Π

vwπfπ ∣ edπ ≥ Ū + ge

e = arg maxe ∫Π

vwπfπ ∣ edπ − ge . Si se supone que el principal desea que el esfuerzo sea alto, se puede redefinir el problema tal que

minwπ ∫Π

wπfπ ∣ ealtodπ s.a.

∫Π

vwπfπ ∣ ealtodπ ≥ Ū + gealto

∫Π

vwπfπ ∣ ealtodπ − gealto ≥ ∫Π

vwπfπ ∣ ebajodπ − gebajo . Por lo tanto,

ℒ ≈ ∫Π

wπ − λvwπ − Ū − ge −

γvwπfπ ∣ ealto − fπ ∣ ebajofπ ∣ ealtodπ

⇒ 1v′wπ

= λ + γ 1 −fπ ∣ ebajofπ ∣ ealto .

Se puede entonces afirmar que el multiplicador λ marca una tendencia mientras que el segundo término es indicador de una volatilidad producto de la asimetría de información. Por ejemplo,

fπ ∣ ebajo > fπ ∣ ealto ⇒ Δv ′wπ > 0 ⇒ Δwπ < 0 .

Nótese que gracias a la desigualdad de Jensen y siempre y cuando v⋅ sea una función cóncava, se puede concluir que lo que gana el principal en esta situación, es menor que lo obtenido asumiendo información perfecta. Así para cualquier nivel de esfuerzo

vw∗ < v ∫wπfπ ∣ edπ

⇒ w∗ < ∫wπfπ ∣ edπ . 6.3. Modelo Shapiro-Stiglitz

El modelo anterior, si bien da luces al respecto del comportamiento de los salarios


60

cuando existe asimetría de información, es limitado en cuanto a su aplicación práctica. A continuación se expone un tratamiento alternativo del mismo problema ideado por el trabajo conjunto de Joseph Stiglitz y Carl Shapiro, que permite extraer mayores implicancias útiles.

Sea para esto, un número grande de trabajadores potenciales y empresas en la

economía denotados respectivamente por Lmax y N, los cuales son agentes maximizadores. Así, la utilidad de los trabajadores es

Ū = ∫0

∞e−ρtUtdt, ρ > 0 ,

donde la utilidad instantánea Ut puede describirse por

Ut =wt − et ; empleado

0 ; desempleado,

y wt y et corresponden al salario y al esfuerzo en tiempo t respectivamente. En este

caso se cumple que et ∈ 0,ē , por lo que se pueden presentar tres estados en la naturaleza

Empleado esforzado ( L ): ULt = wt − ē

Empleado sin esfuerzo ( S ): USt = wt

Desempleado ( U ): UUt = 0 .

Adicional a esto, la probabilidad de que un trabajador no sea despedido después

de trabajar τ unidades de tiempo está dada por un proceso exponencial tal que

Prτ;b > 0 = e−bτ,

donde b se puede entender como la probabilidad de despido por unidad de tiempo. Asimismo, la probabilidad de que la empresa no detecte a un trabajador que no se esfuerza esta dada por otro proceso exponencial de modo que

Prτ;q > 0 = e−qτ,

donde q se puede entender como la probabilidad de detección por unidad de tiempo. Asumiendo independencia entre los dos procesos antes descritos, la probabilidad de que

un trabajador que no se esfuerza, no se detectado ni despedido en un intervalo τ es

e−b+qτ .


61

En esta misma línea, sea a la tasa en que se encuentran trabajos por unidad de tiempo, la cual está determinada por la necesidad de las firmas por contratar nuevos trabajadores y por la cantidad de despidos, así como por la cantidad de desempleados.

En cuanto a las firmas, su utilidad está dada por

πt = RēLt − wtLt + St,

R′⋅ > 0, R′′⋅ < 0, R′ēL/N > 1.

El problema entonces, consiste en escoger un nivel de salario wt y una cantidad

adecuada de Lt tal que se maximice la utilidad de las empresas al motivar a los

trabajadores a realizar el nivel de esfuerzo ē .

Sea para esto Vi el valor esperado de las utilidades descontadas de los

trabajadores por pertenecer al estado i = L,S,U . Formalmente Vi = EŪ i . Por lo

tanto dado un salario w

VLT = ∫0

Te−bte−ρtw − ēdt + e−ρTe−bTVLT + 1 − e−bTVUT

⇒ VLT = ∫0

Te−b+ρtw − ēdt + e−ρTe−bTVLT + 1 − e−bTVUT

⇒ VLT = − e−b+ρt

b + ρw − ē

0

T

+ e−ρTe−bTVLT + 1 − e−bTVUT

⇒ VLT = 1 − e−b+ρT

b + ρw − ē + e−b+ρTVLT + e−ρT1 − e−bTVUT

⇒ VLT = w − ēb + ρ

+e−ρT1 − e−bT

1 − e−b+ρTVUT

.

Si se evalúa la expresión anterior cuando T → 0 a fin de determinar un valor instantáneo

VL

limT→0 VLT = VL =w − ē + bVU

b + ρ . Usando un razonamiento similar se puede demostrar que


62

ρVS = w − b + qVS − VU ⇒ VS =w + b + qVU

b + q + ρ ; y

ρVU = aVL − VU ⇒ VU =aVLa + ρ .

La firma por lo tanto, necesita encontrar un w tal que al menos se cumpla que

VL = VS . Así

w − ē + bVU

b + ρ=

w + b + qVU

b + q + ρ

⇒ VU = − 1

qρ bē + qē + ēρ − qw

⇒ VL − VU = ēq > 0

. Esta ecuación indica que los salarios deben fijarse de modo que los trabajadores prefieran estar empleados a no estarlo, por lo que se generan rentas al trabajo. Además, queda claro que estas primas aumentan a medida que se hace más esfuerzo y decrecen en función de la capacidad de las firmas para detectar poco esfuerzo.

Ahora bien, para definir este nivel de salario deseado, se procede a reordenar la ecuación

VL =w − ē + bVU

b + ρ tal que

b + ρVL = w − ē + bVU

⇒ ρVL = w − ē − bVL − VU

⇒ ρVL = w − ē − b ēq

⇒ w = ρVL + ē + b ēq

⇒ w = ρVU + ē + b + ρ ēq


63

⇒ w = aVL − VU + ē + b + ρ ēq

⇒ w = ē + a + b + ρ ēq .

Esta igualdad implica que w deberá ser proporcional al esfuerzo realizado, a la facilidad de encontrar empleo, a la probabilidad de ser despedido y a la tasa de descuento. Y debe decrecer a medida que la empresa mejora su capacidad de detectar poco esfuerzo.

Sin embargo, resulta más sencillo y práctico expresar el mencionado salario en

función del número de trabajadores contratados por cada empresa L . Asumiendo para esto que el mercado de trabajo se encuentra en un estado balanceado, el número de trabajadores que ingresan debe ser igual al número que son despedidos. Formalmente

aLmax − NL = NLb ⇒ a = NLbLmax − NL

⇒ a + b =Lmaxb

Lmax − NL , y consecuentemente

w = ē + ρ +Lmaxb

Lmax − NLēq .

Esta ecuación se denomina la condición para esforzarse (NSC por sus siglas en inglés).

La lógica detrás de esta igualdad es la siguiente: A mayor número de trabajadores empleados, menor es la cantidad de desempleados y mayor es la cantidad de empleados que son despedidos, por lo que es más fácil para un desempleado el encontrar trabajo. Por ende, el salario debe necesariamente ser una función creciente del trabajo.

Considerando ahora el mercado laboral tradicional, la disposición de las firmas

será pagar a sus empleados un salario w igual a la productividad marginal del trabajo, en consecuencia

∂π∂L

= ∂R∂ēL

ē − w = 0 ⇒ w = ēR′ēL = ēR′ēL/N > ē.

Esta igualdad determina la demanda de trabajo cuya pendiente es negativa por las

características de la función R⋅ , antes detalladas.

Por su parte, la oferta de trabajo está dada por la horizontal en el punto w = ē y la

vertical a partir de NL = Lmax . Si no existiera asimetría de información el equilibrio se


64

alcanza en la intersección de las curvas oferta y la demanda, específicamente en el tramo

vertical, ya que se ha supuesto que R′ēL/N > 1 . Nótese que éste es también un equilibrio Walrasiano (o general).

En caso de existir asimetría de información, el equilibrio viene dado por la intersección de la NSC y la demanda laboral.

Figura 25. Equilibrio en el mercado laboral con el modelo Shapiro – Stiglitz.

Nótese que en este caso, existe desempleo. Además, el equilibrio alcanzado es

estable ya que las empresas no están dispuestas a reducir w porque esto conllevaría a poco o nada de esfuerzo y los desempleados, en caso de encontrar trabajo, se esforzarían pero a salarios mayores.

En cuanto a esto, la asimetría viene dada por el valor de q. Si q aumenta, esto es, la probabilidad de detectar poco esfuerzo es mayor, la NSC se desplaza hacia abajo por lo

que el salario y el desempleo tenderían a disminuir. Así, a medida que q → 1

⇒ NSC→ SL y se alcanza pleno empleo.

Por otra parte, si b → 0 , es decir, probabilidad de ser despedido es muy baja y por ende la seguridad laboral es alta, implica que el flujo de trabajadores es estático y el salario será determinado por


65

w = ē 1 +ρq .

El salario entonces sería una función lineal del esfuerzo, y el costo de quedar desempleado sería sumamente elevado. También, el nivel de empleo sería determinado únicamente por la demanda laboral.

Una implicancia final del modelo es el asumir al equilibrio descentralizado como

ineficiente. Para entender esto, considérese la desigualdad ēR′ēL/N > ē , la cual implica que la productividad marginal es estrictamente mayor que el nivel máximo de esfuerzo, por lo que todo trabajador estaría incentivado inicialmente a buscar trabajo y esforzarse. Sin embargo, un subsidio estatal al trabajo, desplazaría positivamente la demanda lo que incrementaría los salarios así como el nivel de empleo, mejorando consecuentemente la situación inicial. Esto es, mayor intervención gubernamental lleva a mayor riqueza en la sociedad. 6.4. Racionamiento de Crédito

El mercado de crédito puede también ser analizado en el marco de la asimetría de información. Así, se presentarán dos modelos al respecto. Modelo 1

Sea un único banco que actúa como monopolio en la economía. Sean asimismo dos tipos de proyectos de inversión, uno riesgoso y otro seguro. El segundo de estos

genera un retorno R >VP Lc , donde Lc es el valor inicial de cualquier proyecto, mientras

que el primero genera un retorno de Re′ > R con probabilidad p y Rf

′ = 0 con

probabilidad 1 − p.

Así, para un emprendedor cualquiera, el proyecto riesgoso tiene un valor esperado de

pRe′ − 1 + i2Lc ,

y el seguro entrega

R− 1 + i1Lc . En cada caso, las tasas máximas que se podrían cobrar serían

i1 = RLc

− 1, i2 =Re′

Lc− 1


66

⇒ i1 < i2 .

Dado esto, el banco, cuya capacidad de prestar esta dada por L , enfrenta una demanda de crédito

Di j =2Lc ; j = 1

Lc ; j = 2,

y debe decidir la tasa i que maximice sus ganancias dadas por

πi2 = p1 + i2Lc − Lc

πi1 = 12

p1 + i1Lc +121 + i1Lc − Lc ,

Nótese que en el caso de i1 , como el banco solamente presta Lc y desconoce cual emprendedor es riesgoso y cual no, decide prestar al primero que llegue al banco.

Ahora bien, ¿cuándo se cumple que πi1 > πi2 ? Desarrollando la desigualdad

12

p1 + i1Lc +121 + i1Lc − Lc > p1 + i2Lc − Lc

⇒ 12

pR+ 12

R > pRe′

⇒ 12

pR− pRe′ > − 1

2R

⇒ p 12

R− Re′ > − 1

2R

⇒ p >

12

R

Re′ − 1

2R

= R2Re

′ − R . Es decir, cuando se presenta esta situación, el banco tiene incentivos para mantener tasas bajas y de este modo racionar el mercado. Modelo 2

Este modelo fue desarrollado por Joseph Stiglitz y Andrew Weiss y extiende los

conceptos del caso anterior. Sea para esto el valor inicial B de un proyecto riesgoso i y los

recursos iniciales w de un emprendedor, tal que se requiere un préstamo


67

Lc = B− w > 0 . El hecho que Lc > 0 implica que el banco debe asumir cierto nivel de riesgo.

Supóngase también la probabilidad pi de éxito del proyecto, de modo que la

rentabilidad R promedio se definiría por

R = piRie − 1 − piRi

f; pi → gpi : pdf deproyectos, donde

Rie > 1 + rLc > Ri

f.

Asumiendo que los emprendedores y banqueros son neutrales al riesgo, se tiene

que para el banco

πr = ∫0

ppi1 + rLcgpidpi + ∫0

p1 − piRi

fgpidpi , y para el emprendedor

Ur = piRie − 1 + rLc

⇒ Ur = R− 1 − piRif − pi1 + rLc

⇒ Ur = R− Rif − pi 1 + rLc − Ri

f

;

y luego ∂Ur∂p i

< 0 y

∂Ur∂r < 0 . Esto implica que a medida que la probabilidad de éxito del

proyecto aumenta, éste se vuelve menos atractivo, por lo tanto existe un valor p en el cual

Figura 26. Comportamiento del emprendedor ante probabilidad de éxito de proyecto.

Y dicho p debe ser tal que

Ur;pi = p ≥ 1 + ρw


68

⇒ R− Rif − p 1 + rLc − Ri

f ≥ 1 + ρw,

donde ρ puede tomarse como una tasa de descuento segura (interés generado por

depósitos bancarios). Y se puede asimismo afirmar que ∂p∂r

< 0 .

Volviendo a la utilidad del banco, este buscará maximizarla en función de la tasa de interés cobrada, luego el problema que enfrenta es el siguiente dada una probabilidad

pi = p:

maxr≥0πr

⇒∂πr∂r

= Lc ∫0

ppigpidpi + Lc1 + rgp

∂p∂r

+ 1 − pRifgp

∂p∂r

= 0.

En consideración a estos resultados y a la complejidad de su resolución, es más conveniente hacer un estudio gráfico. Así, se podrían observar las siguientes coyunturas: (a) Caso sin racionamiento (Modelo clásico).

Figura 27. Comportamiento de la derivada de la ganancia con respecto al interés.

Esto implica que a mayor tasa r es esperable una mayor ganancia π , por lo que la oferta de crédito tendría una pendiente positiva capaz de intersecar a la demanda y, en consecuencia, no existiría racionamiento de crédito.


69

Figura 28. Equilibrio clásico del mercado de crédito.

(b) Caso con racionamiento.

Figura 29. Existencia del racionamiento.

En general, el racionamiento de crédito puede analizarse con un esquema mixto

donde se evidencia un comportamiento de espejo entre la oferta de crédito Sc y las

ganancias de los bancos π . Es necesario mencionar que tal comportamiento puede demostrarse de forma empírica.


70

Figura 30. Modelo mixto de racionamiento de crédito.

La lógica detrás del gráfico se detalla a continuación: una tasa activa seleccionada

r 0 repercute directamente en el nivel de utilidad esperado por los bancos π , así como en el nivel de tasas pasivas. Esto afecta proporcionalmente al nivel de depósitos que genera mayores recursos para créditos. El déficit en el mercado estaría entonces dado por la

diferencia entre la demanda y la oferta a la tasa r0 .

Apuntes de Macroeconomía Matemática

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