Apuntes de Edf Basicas

8/20/2019 Apuntes de Edf Basicas

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MATEMÁTICAS2011

ECUACIONES

DIFERENCIALES

APLICADASAPUNTES

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

ABEL VALDÉS

ENRIQUE PÉREZ

MARIO MONDRAGÓ

LUÍS RANGEL

PATRICIA FLORES

GERARDO JUÁREZ

E S C U E L A S U P E R I O R D E I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A E I N D U S T R I A S E X T R A C T I V A S


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ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS 2011

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INTRODUCCIÓN.

Definición. Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene las variaciones:

derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto de una o más

variables independientes.Una ED se representa por medio de una función, en forma simbólica se tiene. Donde significa la derivada de (la variable dependiente) con respecto de (lavariable independiente)

O bien.

Donde el símbolo significa derivación parcial. son las variables independientes mientrasque es la variable dependiente.Clasificación.Las ecuaciones diferenciales ED se clasifican por tipo, orden y linealidad.

TIPO. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias EDO, cuando la ecuación diferencial

contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto de

una sola variable independiente. O bien ecuaciones diferenciales parciales EDP, cuando la

ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con

respecto a dos o más variables independientes.

ORDEN. El orden de una ecuación diferencial se refiere al orden de la derivación más alta que

se presenta en la ecuación diferencial y no debe confundirse con el grado de una ecuacióndiferencial. Para ejemplificar esta frecuente confusión se tiene que.

Es la segunda derivada de una función (orden 2), mientras que Es la primer derivadaelevada al cuadrado (grado 2),

Sucede algo semejante con la derivación parcialLinealidad. Una ecuación diferencial es lineal cuando cumple con la condición de linealidad (se

formalizará más adelante este concepto, conocido también como superposición), donde el grado

de todas las derivadas parciales u ordinarias es uno y no existen productos o cocientes o

cualquier otra operación entre las derivadas y las funciones involucradas dependen solamente

de la o las variables independientes. En el caso de las ordinarias se tiene la forma general

(EDO lineales).

Donde. son funciones que dependen solamente de .


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Solución particular de una ecuación diferencial.

Condiciones iniciales (Problema de valor inicial).

Una solución particular de la EDO se encuentra alestablecer condiciones iniciales , de talmanera que la solución no contiene constantes arbitrarias, lo mismosucede con la EDP que al proporcionar condicionesiniciales tales como: , , se determina una solución quetampoco contiene constantes esenciales y arbitrarias, la ecuación diferencial enconjunto con las condiciones iniciales determina un problema de valor inicial PVI

Condiciones de frontera (Problema de valores en la frontera).

Adicionalmente a las condiciones iniciales, se presentan las condiciones defrontera para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial, éstasson las evaluaciones de la función en los valores extremos de un intervaloconocido. Para una EDO se tendrían los valores de

al considerar el

intervalo o bien en las EDP .Isóclinas.

Una idea geométrica básica de las ecuaciones diferenciales es el concepto de isóclinas,que según sus raíces latinas, se dice que “tienen la misma pendiente”, para comprender

esta idea básica consideramos la EDO de primer orden

, entonces al tenerse

un punto en el plano se le asocia una pendiente , para determinarlas isóclinas se analiza a la familia de curvas .


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Transferencia de calor

En una placa plana

dx

dT kAQ

Transferencia de calor

En un tubo cilíndrico

dr

dT Lr k Q )2(

Q = Flujo de calor

k = Permitividad térmica

T = Temperatura

A= Superficie isotérmica

x = Distancia

r = Distancia radial

L= longitud del tubo

Ley de torricelli

gh 2 B dt

dh A A = Área (sección

transversal) del recipiente.

B = Área orificio.

h = Altura del solvente en el instante t..

g = 9.8 m/seg.

B

A h

T 1 T 2

x

T 1

T 2

R 1

R 2


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Problema 1.Pruebe que es solución de la EDO .Solución.

Derivando.Si entonces Sustituyendo se tiene. Por lo que sí es solución.Problema 2.

Pruebe que es solución de la EDO Solución.Derivando implícitamente y despejando .

Por lo que, se reconstruye la EDO

Con lo que se concluye que sí es solución.

Problema 3.Pruebe que es solución de Solución.Derivando parcialmente. Sustituyendo .

Por lo que sí es solución.


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Problema 4.

Pruebe que es una solución de la EDP

Solución.Derivando parcialmente.

Sustituyendo en la EDP.

Por lo que se concluye que sí es solución.

Problema 5.

Considere que es la solución general de la EDO determine la solución particular si se tienen las condiciones iniciales Solución.Se tiene y se calcula , sustituyendo las condiciones iniciales para obtener un sistemade ecuaciones lineales en el cual las constantes esenciales y arbitrarias son las incógnitas.Derivando

Si Sustituyendo

Si


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Si Del sistema de ecuaciones simultáneas se encuentra que.

Por lo que la solución particular es.

Problema 6.Si es la solución general implícita de la EDO Determine la solución particular si se tiene la condición inicial Solución.Se tiene la solución implícita sustituyendo la condición inicial para obtener elvalor de la constante esencial y arbitraria.

Si Como

Se tiene la solución particular

Problema 7.Considere que, es la solución general de la EDO determine la solución particular si se tienen las condiciones de frontera. Solución.Sustituyendo en la solución general para construir un sistema de ecuaciones simultáneas donde

las incognitas son las constantes esenciales y arbitrarias.Si Si Del sistema de ecuaciones simultáneas se encuentra que.

Por lo que la solución particular es.


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Problema 8.

a-Considere la ecuación diferencial

determine las isóclinas.

Solución las isóclinas son la familia de rectas paralelas b- Considere la ecuación diferencial

determine las isóclinas.Solución las isóclinas son la familia de circunferencias concéntricas concentro en el origen y radio c.- Considere la ecuación diferencial


Solución las isóclinas son la familia de rectas verticales d. Considere la ecuación diferencial

determine las isóclinas.Solución las isóclinas son la familia de rectas

que pasan por el origen ypendiente

e. Considere la ecuación diferencial


Solución las isóclinas son la familia de rectas que tienenpendiente y ordenada al origen f.- Considere la ecuación diferencial

determine las isóclinas.Solución las isóclinas son la familia de parábolas con eje focal eleje y vértice , ancho focal


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PROBLEMAS PROPUESTOS

EDO Primer orden1. Pruebe que es solución de la EDO .2. Pruebe que es solución de la EDO .3. Pruebe que es solución de la EDO .4. Pruebe que es solución de la EDO .5. Pruebe que

es solución de la EDO

.6. Pruebe que es solución de la EDO 7. Pruebe que es solución de la EDO .8. Pruebe que es solución de la EDO .9. Pruebe que es solución de la EDO .

10. Pruebe que es solución de la EDO .EDO Segundo orden11. Pruebe que es solución de la EDO .12. Pruebe que es solución de la EDO .13. Pruebe que es solución de la EDO .14. Pruebe que es solución de la EDO .15. Pruebe que es solución de la EDO .16. Pruebe que

es solución de la EDO

.17. Pruebe que es solución de la EDO 18. Pruebe que es solución de la EDO si


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EDP.19. Pruebe que es solución de la EDP.

20. Pruebe que es solución de la EDP. 21. Pruebe que es solución de la EDP. 22. Pruebe que

es solución de la EDP.

23. Pruebe que es solución de la EDP. 24. Pruebe que es solución de la EDP. Solución particular de una ED25. Considera que es la solución general de la

EDO , si muestra que la solución particular es .

26. Considera que es la solución general de la EDO , si muestra que la solución particular es .

27. Considera que

es la solución general de la EDO

, si muestra que la solución particulares .28. Considera que es la solución general de la EDO , si muestra que la solución particular es .


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Isoclinas37. Considera la ecuación diferencial

determina las isóclinas.Sol. Familia de rectas 38. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas 39. Considera la ecuación diferencial

determina las isóclinas.Sol. Familia de rectas

40. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas horizontales 41. Considera la ecuación diferencial determina las isóclinas.

Sol. Familia de rectas 42. Considera la ecuación diferencial

determina las isóclinas.Sol. Familia de rectas verticales

Modelos MatemáticosPlantea el modelo matemático correspondiente al problema siguiente.

43. Un termómetro que señala se lleva a una sala cuya temperatura esde , un minuto después el termómetro marca .44. Un termómetro que señala se lleva al aire libre, donde la

temperatura es de , la lectura en el termómetro es de , cuatrominutos después.

45. A las 13:00 horas un termómetro que marca es llevado al aire libre,donde la temperatura es de , a las 13:02 la lectura es de , a las13:05 el termómetro es llevado al interior, donde la temperatura sigue

siendo la misma.

46. A las 9:00 horas un termómetro que señala es llevado al exterior,donde la temperatura es de , a las 9:05 horas el termómetro marca,a las 9:10 horas es llevado nuevamente al interior, donde latemperatura no ha cambiado.


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47. Suponga que se desarrolla una reacción química simple. Si la mitad de la

sustancia A fue convertida al cabo de 10segundos.

48. La conversión de una sustancia A en otra sustancia B se transforma

conforme una reacción química simple. Si al cabo de 10 segundos apenas

una cuarta parte de la sustancia ha sido transformada.

49. Para una sustancia A, la velocidad de conversión es proporcional al

cuadrado de la cantidad de la sustancia no transformada. Si es laconstante de proporcionalidad y es la cantidad de sustancia notransformada en el tiempo

50. Se sabe que el radio se desintegra a una velocidad igual a la cantidad de

radio presente. suponga que se verifica que en 25 años aproximadamente

1.1% de cierta cantidad de radio se ha desintegrado.

51. Cierta sustancia radioactiva tiene un periodo de semivida de 38 hora, si

al tiempo se tiene una masa .52. Un tanque contiene galones de agua pura, una solución que contiene

libras de sal por galón entra a razón de galones por minuto en esetanque y la solución perfectamente mezclada sale del tanque a la misma

velocidad.

53. Un tanque contiene

litros de una mezcla que contiene

kilogramos

de sal. Entra una solución de kilogramos de sal por litro a razón de litros por minuto y la solución perfectamente mezclada sale del tanque arazón de litros por minuto.54. Un tanque contiene litros de una mezcla que contiene kilogramos

de sal, entra una solución de kilogramo de sal por litro a razón de 4

litros por minuto y la solución homogénea sale del tanque con un gasto de litros por minuto.55. Un tanque contiene

galones de agua pura, una solución que contiene

libras de sal por galón entra a razón de galones por minuto y la soluciónperfectamente mezclada sale del tanque a razón de galones porminuto.


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APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS 2011

VARIABLES SEPARABLES

Definición: Sea 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M ; una ecuación diferencial ordinaria donde

las funciones de dos variables ) y ,x ( M y ) y ,x ( N tienen cualquiera de las siguientes

formas

) y ( G ) x ( F ) y ,x ( M y ) y ( g ) x ( f ) y ,x ( N

0 dy ) y ( g ) x ( f dx ) y ( G ) x ( F

o

) y ( G ) y ,x ( M y ) x ( f ) y ,x ( N 0 dy ) x ( f dx ) y ( G

o

) y ( G ) x ( F ) y ,x ( M

y ) x ( f ) y ,x ( N

0 dy ) x ( f dx ) y ( G ) x ( F

o

) x ( F ) y ,x ( M y ) y ( g ) x ( f ) y ,x ( N 0 dy ) y ( g ) x ( f dx ) x ( F

...etcétera

se dice que es una ecuación diferencial de variables separables

DesarrolloDada la ecuación diferencial 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M en donde ) y ,x ( M y

) y ,x ( N presentan cualquiera de los productos anteriores, se puede resolver separando

las variables con un factor algebraico, llamado factor de integración, puesto que éste

permitirá aplicar la integral y darle solución a la ecuación diferencial.

Sea la ecuación diferencial 0 dy ) y ( g ) x ( f dx ) y ( G ) x ( F

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor ) x ( f ) y ( G

1 se tiene

0 dy ) y ( g ) x ( f dx ) y ( G ) x ( F ) x ( f ) y ( G

1

Entonces

0 dy ) y ( G

) y ( g dx

) x ( f

) x ( F 0 dy

) x ( f ) y ( G

) y ( g ) x ( f dx

) x ( f ) y ( G

) y ( G ) x ( F

Teniendo separadas las variables, se integra.

C

) y ( S ) x ( S

0 dy ) y ( G

) y ( g dx

) x ( f

) x ( F

2 1

Obteniendo la solución C ) y ,x ( S


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ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS:

Funciones Homogéneas

Definición: Sea ) y ,x ( F F ; una función de dos variables, se dice que

) y ,x ( F ;es una función homogénea de grado n si:

) y ,x ( F t ) ty ,tx ( F n

Es evidente, como consecuencia de la definición, que si una función no

satisface la expresión anterior entonces no es homogénea.

Consideraciones1) Si se suma una constante a una función homogénea, se pierde la

homogeneidad, a menos que el grado de la función homogénea sea cero.

2) Generalmente la homogeneidad se reconoce examinando el grado total de

cada término.

Por ejemplo: y x xy 3 y x ) y ,x ( f 3 3 2 2 es de grado 4 porque

4 1 3 3 1 2 2

Definición de una Ecuación Diferencias Homogénea:

Definición: La ecuación diferencial de primer orden 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M

; se llama homogénea, si cuando se escribe en la forma de derivada

) y ,x ( f dx

dy , Existe una función g tal que ) y ,x ( f se puede expresar en la

forma ) x / y ( g ; o bien si la ecuación diferencial en forma de derivada es

) y ,x ( f dy

dx , entonces la función ) y ,x ( f se puede expresar en la forma

) y / x ( g .

Esta definición es equivalente a decir que la ecuación diferencial es homogénea

cuando los coeficientes son homogéneos y del mismo grado, es decir:

n m ),y ,x ( N t ) ty ,tx ( N ),y ,x ( M t ) ty ,tx ( M n m


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Solución de Una Ecuación Diferencial Homogénea.

Si 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M es una ecuación diferencial homogénea entonces

el cambio de variable. ux y

ó vy x ; donde u ó v son nuevas variables

dependientes (según sea el cambio), dependientes de x ó y respectivamente,

transforma la ecuación diferencial homogénea en una ecuación de variables

separables.

Solución general:si 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M es homogénea, entonces

) x / y ( g dx

dy

Haciendo ux y ) u ( g dx

du x u

dx

du x u

dx

dy

Después de sustituir separamos las variables

u ) u ( g dx

du x

0 u ) u ( g

du

x

dx

x

dx

u ) u ( g

du

Entonces:

c u ) u ( g

du

x

dx que se encuentra lista para la integración.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Diferencial total:

Definición: Sea F una función de dos variables ) y ,x ( F F ; tal que F tiene

primeras derivadas parciales continuas en un dominio D. La

diferencial total DF de una función F se define como:

D ) y ,x ( dy y

F dx

x

F DF

Definición: La expresión dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M se llama diferencial exacta ;

si existe una función ) y ,x ( F F ; tal que ésta sea la

diferencial total DF, es decir:


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x

F ) y ,x ( M

,y

F ) y ,x ( N

en consecuencia si dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M ; es una diferencial

total 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M ; será una ecuación diferencial

exacta.

Teorema: La ecuación 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M será exacta si;x

N

y

M

Demostración: Si 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M es exacta entonces existe

una función ) y ,x ( F ; tal que

x

) y ,x ( F ) y ,x ( M

y

) y ,x ( F ) y ,x ( N

Entonces:x y

F

x

F

y y

M 2

y x

F

y

F

x x

N 2

Llegando a una igualdad:y x

F

x y

F 2 2

Solución de Una Ecuación Diferencial Ordinaria Exacta:

Si la ecuación 0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M es exacta entonces existe una

función F tal que:

x

F M

yy

F N

por lo que la ecuación exácta se puede escribir como:

0 dy y F dx

x F

entonces:

0 ) y ,x ( DF por lo tanto C ) y ,x ( F que es la solución.

Método IDI (Integrar-Derivar-Igualar)

Desarrollo: Búsqueda de se conoce como la función potencial

Integrando: ) y ( dx ) y ,x ( M ) y ( dx x

F ) y ,x ( F


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ECUACIONES NO EXACTASDefinición: Una ecuación diferencial de la forma en

la cual se encuentra quex

N

y

M

se dice que no es exacta, existiendo la

posibilidad en algunas ocasiones que se tenga un factor de integración ) x ( ó

) y ( que al multiplicar por la ecuación diferencial permita reducirla a

exacta.

Desarrollo

Dada la ecuación diferencial en dondex

N

y

M

,

consideremos el factor de integración entonces al multiplicar, para

encontrar la expresión que debe tener , se tiene:0 dy ) y ,x ( N ) x ( dx ) y ,x ( M ) x (

Una ecuación diferencial exacta. Dondex

N

y

M

haciendo las derivadas

de los productos y resolviendo la ecuación diferencial resultante, paraencontrar el factor de integración.

x N

x

N

y M

y

M

Simplificándose, debido a quedx

d

x ,0

y

así que se obtiene:

dx x

N

y

M

N

1 d

x

N

y

M

N

1

dx

d 1

x

N

y

M

dx

d N

dx

d N

x

N 0 .M

y

M

Integrando

dx x

N

y

M

N

1

e ) x ( μdx x

N

y

M

N

1 μl n dx

x

N

y

M

N

1

μ

μd

De una manera semejante se puede obtener el factor de integración ,

para el cual ahora se tendrá una simplificación debida a que

0 x ,dy

d

y

obteniéndose que:

0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M

0 dy ) y ,x ( N dx ) y ,x ( M

) x (

) x (

) y (


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Al multiplicar, para encontrar la expresión que debe tener ) y ( μ , se tiene:0 dy ) y ,x ( N ) y ( μdx ) y ,x ( M ) y ( μ

Una ecuación diferencial exacta. Donde haciendo las derivadas

de los productos y resolviendo la ecuación diferencial resultante, paraencontrar el factor de integración.

Simplificándose, debido a que 0 x

μ,

dy

μd

y

μ

así que se obtiene:

dy y

M

x

N

M

1

μ

μd

y

M

x

N

M

1

dy

μd

μ

1

y

M μ

x

N μ

dy

μd M

0 .N x

N μ

dy

μd M

y

M μ

Integrando

dy y

M

x

N

M

1

e ) y ( μdy

y

M

x

N

M

1 μl n dy

y

M

x

N

M

1

μ

μd

es decir:

dx ) x ( f e ) x ( donde

x

N

y

M

N

1 ) x ( f deberá ser una función exclusiva

de x .

dy ) y ( f e ) y ( donde

y

M

x

N

M

1 ) y ( f deberá ser una función exclusiva

de y. solución de la ecuaciónDespués de reducir la ecuación diferencial no exacta a otra que si es exacta,la ecuación se resuelve con alguno de los métodos vistos anteriormente,método IDI ó directo ó usando la solución general.

x

N

y

M

x N

x

N

y M

y

M


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ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden tiene laforma:

) x ( q y ) x ( p dx

dy

Ó bien intercambiando las variables, se verá de la siguiente manera

) y ( q x ) y ( p dy

dx .

Solución de una ecuación lineal

La ecuación diferencial ordinaria lineal no es exacta puesto

que al escribirla en forma diferencial 0 dy dx )) x ( q y ) x ( p ( no cumple la

condición de exactitud,x

N

y

M

, porque.

0 x

) 1 ( 1 N

) x ( p y

)) x ( q y ) x ( p ( ) x ( q y ) x ( p M

En caso de que 0 ) x ( p la ecuación diferencial se convierte en ) x ( q dx

dy que

se resuelve directamente separando las variables, entonces al considerar0 ) x ( p

se reduce a exactas usando el factor de integración ) x ( , donde.

dx ) x ( p dx 0 ) x ( p 1

1 dx x

N

y

M

N

1

e e e ) x (

Multiplicando por la ecuación original. se tiene:

dx ) x ( p dx ) x ( p dx ) x ( p

dx ) x ( p

e ) x ( q y e ) x ( p

dx

dy e

) x ( q y ) x ( p dx

dy e

) x ( q y ) x ( p dx

dy


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Debiéndose notar que en el lado izquierdo de la ecuación se tiene la derivadade un producto, así que:

) x ( q ) x ( y ) x ( dx

d e ) x ( q y e

dx

d dx ) x ( p dx ) x ( p

Qué al separar las variables se llega a:

dx ) x ( q ) x ( y ) x ( dx ) x ( q ) x ( y ) x ( d dx ) x ( q ) x ( y ) x ( d

Encontrando la solución general de las ecuaciones lineales

c dx ) x ( q ) x ( ) x (

1 y

donde dx ) x ( p

e ) x (

En los ejercicios resueltos, se usa la fórmula general o bien se establece ladiferencial del producto para resolver por separación de variables

ECUACIÓN DE BERNOULLIDefinición. La ecuación diferencial ordinaria de primer orden no lineal ,

denominada de Bernoulli tiene la forma n y ) x ( q y ) x ( p dx dy

.Donde n es grado

de la ecuación de Bernoulli, 1 ,0 n

.Los valores 0 y 1 se descartan

debido a que .

Si 0 n sería una ecuación lineal

) x ( q y ) x ( p dx

dy

Si 1 n sería una ecuación por separación de variables

0 dx ) x ( q ) x ( p y

dy 0 y ) x ( q ) x ( p

dx

dy y ) x ( q y ) x ( p

dx

dy

una forma alternativa de la ecuación de Bernoulli se presenta cuando se

intercambian las variables, es decir, se tendrá la forma n x ) y ( q x ) y ( p dy

dx

ó cualquier otra combinación de variables.


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Solución de la Ecuación de Bernoulli

El cambio de variable n 1 y z permite transformar la ecuación de Bernoulli,

que es una ecuación no lineal, en otra que si es lineal.

Desarrollo

Sea la ecuación no lineal n y ) x ( q y ) x ( p dx

dy ecuación 1

Haciendo ecuación 2, se tienedx

dy y ) n 1 (

dx

dy y ) n 1 (

dx

dz n 1 n 1

ecuación 3

Al multiplicar la ecuación 1 por n y se tiene:

n n y ) x ( q y ) x ( p dx

dy y dando

como resultado: ) x ( q y ) x ( p dx

dy y n 1 n , después se sustituyen las

ecuaciones 2 y 3, así:

) x ( q ) n 1 ( z ) x ( p ) n 1 ( dx

dz

) x ( q z ) x ( p dx

dz

n 1

1

Que ya es lineal, con solución: c dx ) x ( q ) n 1 )( x ( ) x (

1 z

Donde el factor de integración es dx ) x ( p ) n 1 (

e ) x ( .

n 1 y z


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PROBLEMAS RESUELTOS

SEPARACIÓN DE VARIABLES

Problema 9.

) 3 x 1 ( y

2 x

dx

dy

Separando las variables, se obtiene

dx ) x 1 (

x

ydy dx ) x 1 (

x

ydy ) x 1 ( y

x

dx

dy 3

2

3

2

3

2

Integrando en forma inmediata

c 2 x 1 l n 3

2 y

c x 1 l n 3

1

2

y dx

x 1

x ydy dx x 3 du x 1 u

3 2

3 2

3

2 2 3

Respuesta . C 2

2

y ) 3 x 1 l n(

3

1

Problema 10.y 2 cos x cos ´ y 2 2

Separando las variables e integrando en forma inmediata

x 2 sen 4

1

2

x y 2 tan

2

1

x 2 sen 4

1

2

x

dx 2 x 2 cos 2

1 .

2

1

2

x dx x 2 cos

2

1 dx

2

1 dx

2

x 2 cos 1 xdx cos

y 2 tan 2

1

) dy 2 ( y 2 sec 2

1

xdx cos ydy 2 sec dy 2 du

y 2 u

xdx cos y 2 cos

dy y 2 cos x cos

dx

dy y 2 cos x cos

dx

dy ´ y

2

2 2 2

2

2

2 2 2 2

Respuesta C ) x 2 sen 4

1

2

x ( y 2 tan

2

1


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Problema 11.

0 dy ) x 1 ( ydx


C ) x 1 (

y l n C y l n ) x 1 l n (

dx du

x 1 u

0 y

dy

) x 1 (

dx

Respuesta C x 1 y

Problema 12.

0 dy dx ) x y x 3 ( 2 2

Factorizando el primer sumando, separando las variables e integrando enforma inmediata

0 ) 1 y 3 (

dy dx x 0 dy dx ) 1 y 3 ( x

2 2

Cálculo integral

xdx 2 du ,x u ,3

x x

3

2 .

2

1 dx x

2

1 dx x 2

3 3

2 2

dy 3 dv ),1 y 3 ( v ),1 y 3 l n( 3

1

) 1 y 3 (

dy 3

3

1

) 1 y 3 (

dy

Respuesta C ) 1 y 3 l n( 3

1

3

x 3

Problema 13.

dy ) yx 2

yx ( dx ) 1 y (

Separando las variables y efectuando el cálculo integral

) 1 y (

ydy

) x x (

dx

dy ) x x ( y dx ) 1 y ( 2 2


29/226


Cálculo integral, realizando la división entre polinomios, o bien restando ysumando el número 1

) 1 y ln( y ) 1 y (

dy dy dy

) 1 y (

1 1 dy

) 1 y (

1 1 y

) 1 y (

ydy

Haciendo la descomposición en fracciones parciales, tomando el caso 1, setiene

x

) 1 x ( l n ) 1 x l n( x l n

1 x

dx

x

dx

1 A,1 B 0 x ,1 x Bx ) 1 x ( A1

dx ) 1 x (

B

x

A

) 1 x ( x

dx

) x x (

dx 2

Respuesta C ) 1 y l n( y x

) 1 x ( ln

Problema 14.

ydy cos ) 4 x 4 x ( dx ) xseny x ( 2 Factorizando y separando las variables

) seny 1 (

ydy cos dx

) 4 x 4 x (

x ydy cos ) 4 x 4 x ( dx ) seny 1 ( x

2

2

Cálculo integral, Haciendo una descomposición en fracciones parciales, se tiene

) 2 x (

2 ) 2 x ln(

) 2 x (

dx 2

) 2 x (

dx dx

) 4 x 4 x (

x

2 B 0 B A2 ,1 A ) B A2 ( x Ax B ) 2 x ( Ax

dx ) 2 x (

B dx

) 2 x (

Adx

) 2 x (

x dx

) 2 x )( 2 x (

x dx

) 4 x 4 x (

x

2 2

0 1

2 2 2

Integrando en forma inmediata ydy cos du ),seny 1 ( u

) seny 1 l n( ) seny 1 (

ydy cos

Respuesta C ) seny 1 l n( ) 2 x (

2 ) 2 x l n(


30/226


Problema 15.

dx ) 1 y ( 3 dy ) y 4 y x 5 y x ( 2 2 4

Factorizando y separando las variables, se tiene

) 4 x 5 x (

dx 3

) 1 y (

ydy dx ) 1 y ( 3 dy ) 4 x 5 x ( y

2 4 2

2 2 4

Efectuando el cálculo integral de forma inmediata ydy 2 du 1 y u 2

1 l n 2

1

) 1 y (

ydy 2

2

1

) 1 y (

ydy

y 2

2 2

Mientras que la segunda integral se hace por medio de una descomposiciónen fracciones parciales, tercer caso

c 2

x arctan

2

1 x arctan c

2

x arctan

2

1

1

x arctan

1

1

2 x

dx

1 x

dx

) 4 x (

dx

) 1 x (

dx

) 1 x (

dx

) 4 x (

dx

C ,1 B ,0 AD 4 B 3 C 4 A0 D B 0 C A0

) D 4 B ( ) C 4 A( x ) D B ( x ) C A( x 3

) D 4 Dx Cx 4 Cx ( ) B Ax Bx Ax ( 3

) 4 x )( D Cx ( ) 1 x )( B Ax ( 3

dx ) 1 x (

D Cx

) 4 x (

B Ax dx

) 1 x )( 4 x (

3 dx

) 4 x 5 x (

3

2 2 2 2 2 2 2 2

3 0 0

2

0

3

2 3 2 3

2 2

2 2 2 2 2 4

Respuesta c 2

x arctan

2

1 x arctan ) 1 y l n(

2

1 2 .

Terminan EDO de variables separables


31/226


EDO HOMOGÉNEASProblema16. Muestra que la función 2 2 y 3 x ) y ,x ( F ; es homogénea de

grado 2.

Solución.

) y ,x ( f t ) y 3 x ( t y t 3 x t ) ty ( 3 ) tx ( ) ty ,tx ( F 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Deberá notar que si agregamos una constante o le sumamos alguna función

como por ejemplo:

m n y x m n etc ),.....x / y arctan( ),xy ln( la función se vuelve no homogénea.

Problema17. Muestra que La función 3 3 y x x y ) y ,x ( F no es homogénea

Solución.

3 3 2

3

3 3 3 3 3 3 y x t tx ty y t x t tx ty ) ty ( ) tx ( tx ty ) ty ,tx ( F

3 3 2

3

y x t ) y x ( t

No pudiendo factorizarse más, para satisfacer la definición, aunque si consideramos

las funciones x y ) y ,x ( f 1 3 3

2 y x ) y ,x ( f por separado, serán

homogéneas de grado 1 n y2

3 n respectivamente.

Problema 18. Muestra que La ecuación diferencial 0 xydy 2 dx ) y 3 x ( 2 2 es

homogénea de grado 2.

Solución.

x y

2 3

x

y 2

1 x y

2 3

y 2 x

xy 2 y 3 x

dx dy 2 2

Entonces.x

y

2

3

x

y 2

1 ) x / y ( g

NOTA. Si la intención es simplemente reconocer a la ecuación diferencial

homogénea, bastará con observar las coeficientes y determinar si son

homogéneos y del mismo grado, entonces la ecuación diferencial es homogénea


32/226


y del mismo grado que el de los coeficientes, del ejemplo anterior2 2 y 3 x ) y ,x ( M y xy 2 ) y ,x ( N son funciones homogéneas de grado

2 n .

Problema 19

0 xydy 2 dx ) y 3 x ( 2 2 ( E cuación 1)

La ecuación es homogénea de grado 2 n

Haciendo ux y

( ecuación 2) entonces

xdu udx dy dx

du u

dx

dy ( ecuación 3)

Sustituyendo: 2 y 3 en 1 0 ) xdu udx )( ux ( x 2 dx ) ) ux ( 3 x (

2 2

Simplificando:

0 du ux 2 dx ) x u x (

0 du ux 2 dx ) x u 2 x u 3 x (

0 ) xdu udx ( ux 2 dx ) x u 3 x (

3 2 2 2

3 2 2 2 2 2

2 2 2 2

Separando variables

0 du ux 2 dx ) u 1 ( x ) u 1 ( x

1 0 du ux 2 dx ) u 1 ( x 3 2 2

2 3

3 2 2

Obteniendo 0 du ) u 1 (

u 2

x

dx 2

Integrando udu 2 dv ,u 1 v 2 se tiene.

) u 1 ( c x c u 1

x c

u 1

x ln c ) u 1 ln( x l n

0 du ) u 1 (

u 2

x

dx

2

2 2

2

2

Al cambiara la variable ) x

y 1 ( c x

2

2

se obtiene la respuesta

Respuesta .

2

2

x

y 1 c x


33/226


Problema 20.

0 dy ) y x ( ydx x 2 4 4 3 (Ecuación 1)

Dividiendo entre 4 y la (Ecuación 1) , 0 dy 1 y

x dx

y

x 2 4

4

3

3

Haciendo uy x

(ecuación 2) ydu udy dx (ecuación 3),

Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en 1 y reacomodando para separar las

variables se tiene:

0 du 1 u 3

u 2

y

dy

0 du u 2 y

dy ) 1 u 3 (

0 du yu 2 dy ) 1 u u 2 (

0 dy ) 1 u ( du yu 2 dy u 2

0 dy ) 1 u ( ) ydu udy ( u 2

4

3

3 4

3 4 4

4 3 4

4 3

Cálculo integral

du u 12 dz 1 u 3 z : du 1 u 3

u 12

6

1 du

1 u 3

u 2 ,y l n

y

dy 3 4 4

3

4

3

Entonces

c y y x 3 c ) 1 y

x 3 ( y

) 1 u 3 ( y c 1 u 3 l n y l n c 6 1 u 3 l n y l n 6 0 c 1 u 3 l n 6

1 y l n

6 2 4

4

4 6

4 6 4 6 4 4

Respuesta C ) y x 3 ( y 4 4 2


34/226


Problema 21.

dy ) xy 2 x ( dx ) y x ( 2 2 2

despejando a la derivada

) x

y ( 2 1 x

) x

y ( 1 x

xy 2 x

y x

dx

dy

2

2 2

2

2 2

(ecuación 1)

Haciendo vx y (ecuación 2), entonces v dx

dv x

dx

dy (ecuación 3)

sustituyendo 2 y 3 en 1

v 2 1

v 1 v

dx

dv x

2

v 2 1

1 v v

dx

dv x

2


x

dx

1 v v

dv ) 1 v 2 (

x

dx

1 v v

dv ) 1 v 2 ( 2 2

c x ln 1 v v ln 2

Regresando a las variables originales c x l n 1 ) x y

( ) x

y

( l n

2

Simplificando c x y x

y c x

x

y x

x

y x l n

2

2

2

Respuesta cx x xy y 2 2 .

Terminan las EDO homogéneas


35/226


EDO EXACTAS

Problema 22.

Obtenga la diferencial total de la función. y x 2 xy ) y ,x ( F 3 2

Derivando parcialmente

3 3 2

2 2 3 2

x 2 xy 2 y

y x 2 xy

y

F

y x 6 y x

y x 2 xy

x

F

Respuesta : dy ) x 2 xy 2 ( dx ) y x 6 y ( DF 3 2 2

Sea la función x cos x cos y ) y ,x ( F 2 Muestre quex y

F

y x

F 2 2

Derivando parcialmente senx senx y x

F 2

, x cos y 2 y

F

ysenx 2 x cos y 2 x y

F

x y x

F

ysenx 2 senx senx y y x

F

y x y

F

2

2 2

Respuesta : Las derivadas parciales mixtas son iguales

Problema 23.

4 xy dx

dy ) y x 3 ( 2 2

Reacomodando la ecuación diferencial, para identificar los coeficientes:

0 dy ) y x 3 ( dx ) 4 xy ( 0 dy ) y x 3 ( dx ) 4 xy ( 2 2 2 2

Haciendo la prueba de la exactitud:

xy 2 x

N ,xy 2

y

M


36/226


37/226


Problema 24.

0 dy ) 4 yx 2 ( dx ) 3 x y 2 (

2 2

Prueba de exactitud

xy 4 x

) y ,x ( N 4 y x 2 ) y ,x ( N

xy 4 y

) y ,x ( M 3 xy 2 ) y ,x ( M

2

2

c y 4 x 3 y x ) y ,x ( F c y 4 ) y (

dy ) y `( 4 ) y `( 4 y x 2 ) y (́ y x 2 ) y (́ y x 2 y ) y ,x ( F

3 y x dx 3 xdx y 2 ) y ( dx ) 3 xy 2 ( ) y ( dx ) y ,x ( M ) y ,x ( F

2 2

2 2 2

2 2 2 2

Respuesta c y 4 x 3 y x 2 2

.Problema 25.

cy bx

by ax

dx

dy

Reacomodando la ecuación diferencial

0 dy ) cy bx ( dx ) by ax (

Prueba de exactitud

b x

) y ,x ( N cy bx ) y ,x ( N

b y

) y ,x ( M by ax ) y ,x ( M

Resolviendo con el método directo

2 2

y x

2

2

2 2 y

1

2

1 1 x

y 2

c byx x

2

a f f ) y ,x ( F

) x ( k 2

y c bxy ydy c dy bx ) x ( k dy ) cy bx ( ) y ( k dy ) y ,x ( N f

) y ( k byx x 2

a dx by xdx a ) y ( k dx ) by ax ( ) y ( k dx ) y ,x ( M f

Respuesta . c y 2 c byx x

2 a 2 2


38/226


Problema 26.

0 dy y

x cos y 1 dx x

x x ) senx ( y 1

Prueba de exactitud

senx x

N x cos

y

1

y

x cos y 1 ) y ,x ( N

senx y

M 1 ysenx

x

1

x

x x ) senx ( y 1 ) y ,x ( M

Entonces, resolviendo con el método IDI. Integrando

) y ( x x cos y x ln ) y ,x ( F

) y ( dx senxdx y dx x

1 ) y ,x ( F

) y ( dx 1 ysenx x

1 ) y ,x ( F

1

1

1

c x x cos y ) xy ln( ) y ,x ( F

c y ln x cos y x ln ) y ,x ( F

c y ln y

dy ) y (

y

1

dy

) y ( d x cos

y

1

dy

) y ( d x cos

y

) y ,x ( F

Respuesta c x x cos y ) xy ln(

Problema 27.

0 dy x 2 y

2 y 2 x dx

y 2 x

y 2 x 2 y 2 x

Prueba de exactitud

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

x

1

y

1

x

N

x

1

y

x

x y

y x ) y ,x ( N

x

1

y

1

y

M 1

x

y

y

1

y x

y x y x ) y ,x ( M


39/226


Resolviendo con el método IDI

) y ( x x

y

y

x ) y ,x ( F

) y ( dx dx x

y dx

y

1 ) y ,x ( F

dx y

2 x

y 2

x 2 y

2 x ) y ,x ( F

2

2

Derivando e igualando

1

1

2 2

c x x

y

y

x ) y ,x ( F

c dy 0 ) y (

0 dy ) y ( d

x 1

y x

dy ) y ( d

x 1

y x

y F

Respuesta . C x x

y

y

x

Problema 28.

0 dy ) xy ( tan x x xy 3 dx ) xy ( tan y y y 2 2 2 3

Prueba de exactitud

) xy ( tan ) xy ( sec ) xy tan( xy 2 1 y 3 x

N

) xy ( tan x x xy 3 ) y ,x ( N

) xy ( tan ) xy ( sec ) xy tan( xy 2 1 y 3 y

M

),xy ( tan y y y ) y ,x ( M

2 2 2

2 2

2 2 2

2 3


40/226


Integrando con respecto a x

) y ( ) xy tan( x y ) y ,x ( F

) y ( dx y ) xy ( sec y

y x y ) y ,x ( F

) y ( dx ) xy ( sec y dx y ) y ,x ( F

) y ( dx y dx ) xy ( sec y dx y dx y ) y ,x ( F

) y ( dx ] 1 ) xy ( [sec y dx y dx y ) y ,x ( F

) y ( dx ) xy ( tan y dx y dx y ) y ,x ( F

) y ( dx )] xy ( tan y y y [ ) y ,x ( F

3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

Derivando con respecto a y e igualando a N

1 3

1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

c ) xy tan( x y ) y ,x ( F

c ) y (

0 x ] 1 [ x x ] 1 ) xy ( tan ) xy ( [tan x x )] xy ( sec ) xy ( [tan x dy

) y ( d

) xy ( tan x x ) xy ( sec x dy

) y ( d

) xy ( tan x x x y 3 dy

) y ( d ) xy ( sec x x y 3 y F

Respuesta c ) xy tan( x y 3

Problema 29. Determina El valor de la constante A de tal manera que la siguiente ecuación

diferencial,

0 dy x

1

x

1 dx

x

y

x

y A2 2 3

sea exacta

Comox

N

y

M

entonces al derivar y plantear la igualdad se tiene una

ecuación algebraica,2 3

2 3

x

1

x

A

y

x y

x Ay

y

M

2 3

2

x

1

x

2

x

x

1

x

1

x

N

2 Ax

2

x

A

x

1

x

2

x

1

x

A3 3 2 3 2 3

Respuesta 2

Terminan las EDO no exactas


41/226


ECUACIONES NO EXACTASProblema 30.

0 dy xy 2 dx y x 3 2 2

Prueba de exactitud.

y 2 x

N xy 2 ) y ,x ( N

y 2 y

M y x 3 ) y ,x ( M

2 2

Como no es exacta se busca el factor de integración

2

2 x ln x ln 2 x

dx 2 dx x 2 dx

xy 2 y 4

xy 2

) y 2 ( y 2

N

x

N

y

M

x

1 x e e e e e ) x (

e e ) x (

2

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmétodo IDI, notará que se escribe la constante de integración como ) y ( c que

es igual a ) y ( , entonces:

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

x

y 2

x

N

x

y 2 ) y ,x ( N

x

y 2

y

M

x

y

3 ) y ,x ( M

0 dy x

y 2 dx

x

y 3 0 dy xy 2

x

1 dx y x 3

x

1

Resolviendo como exacta

x

y x 3 ) y ,x ( F

c 0 c 0 dy

dc

x

y 2

dy

dc

x

y 2

y

F

c x

y x 3 ) y ,x ( F

c dx x y x 3 ) y ,x ( F

c dx x

1 y dx 3 ) y ,x ( F

c dx x

y 3 ) y ,x ( F

2

) y (

) y ( ) y (

) y (

2

) y ( 2 2

) y ( 2

2

) y ( 2

2

Respuesta . c x

y x 3

2


42/226


Problema 31.

0 dy xe y 3 dx x

y 2 e 3 y 2

3 y


y y 2

2 y

3 y

e x

N xe y 3 ) y ,x ( N

x

y 6 e 3

y

M

x

y 2 e 3 ) y ,x ( M


2 x ln x ln 2 0 dx

x

2 dx ) x ( f

y 2

y 2

y 2

y 2

x e e e e ) x (

x

2

xe y 3

) xe y 3 ( x 2

xe y 3

e 2 x y 6

N

x N

y M

) x ( f

2

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmètodo IDI, notará que se escribe la constante de integración como

) y ( c que

es igual a ) y ( , entonces:

y 2 2 y 3 2 2

2 y 2 3 y 2 3 2

y 2

y 3 2 2 3 2

y 2 y 2 2 3

y 2

e x 3 xy 6 x

N e x y x 3 ) y ,x ( N

xy 6 e x 3 y

M xy 2 e x 3

x

y x 2 e x 3 ) y ,x ( M

0 dy e x y x 3 dx x

y x 2

e 3 x 0 dy xe y 3 x dx x

y 2

e 3 x


2 3 3 y

) y (

) y ( y 3 2 2 ) y ( 2 2 3 y

) y (

2 3 3 y

) y (

3 2 y

) y (

3 2 y

x y x e ) y ,x ( F

c 0 c 0 dy

dc e x y x 3

dy

dc x y 3 x e

y

) y ,x ( F

c x y x e ) y ,x ( F

c dx x y 2 dx x e 3 ) y ,x ( F

c dx xy 2 x e 3 ) y ,x ( F

Respuesta . c x y x e 2 3 3 y


43/226


Problema 32.0 dx ) x cos x tan y ( dy 2

Prueba de exactitud

0 x

N 1 N

x tan y

M x cos x tan y M 2


x

N

y

M

N

1 ) x ( f

x tan 0 x tan

1

1 ) x ( f

x sec x sec ln

e xdx tan

e ) x (

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmétodo IDI, notará que se escribe la constante de integración como ) y ( c

que es igual a ) y ( , entonces:

0 dx ) x cos x sec x tan x sec y ( xdy sec 0 dx ) x cos x tan y ( x sec xdy sec 2 2

x tan x sec x

N x sec N

x tan x sec y

M

x sec x cos x tan x sec y M

2


) y ( c dx x sec x cos dx x tan x sec y ) y ( C dx M ) y ,x ( F 2

) y ( C dx x sec x cos dx x tan x sec y ) y ,x ( F 2

) y ( C dx x cos dx x tan x sec y ) y ,x ( F

) y ( C senx x sec y ) y ,x ( F

c senx x sec y ) y ,x ( F

c 0 ) y ( C 0 dy

) y ( dC x sec

dy

) y ( dC x sec

y

F

Respuesta. c senx x sec y


44/226


Problema 33.

0 dx ) senx y 2 ( xdy senx y 2 dx

dy x


1 x

N x N

2 y

M senx y 2 M


x e e ) x (

x

1 ) 1 2 (

x

1

x

N

y

M

N

1 ) x ( f

x ln dx

x

1

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmétodo IDI, notará que se escribe la constante de integración como ) y ( c

que es igual a ) y ( , entonces:

x 2 x

N x N

x 2 y

M

xsenx xy 2 M

0 dx ) xsenx xy 2 ( dy x 0 dx ) senx y 2 ( x xxdy

2

2


) y ( C dx senx x dx x y 2 ) y ,x ( F

) y ( C dx senx x dx xy 2 ) y ( C dx M ) y ,x ( F

Integrando por partesx cos v senxdx dv ,dx du x u

Se tiene

senx x cos x xdx cos x cos x xsenxdx

Entonces:

c senx x cos x yx ) y ,x ( F

c 0 ) y ( C 0 dx

) y ( dC x

dx

) y ( dC x

y

F

) y ( C senx x cos x yx ) y ,x ( F

2

2 2

2

Respuesta. c senx x cos x yx 2


45/226


Problema 34.

0 dy x y 3 dx xy 3 x

y 2 2 3

Prueba de exactitud

x 2 x

N x y 3 N

x 3 x

y 3

y

M xy 3

x

y M

2 2

2 3


x e e e ) x (

x

1

x

x y 3

x y 3

1 ) x ( f

x x

y 3

x x y 3

1 x 2 x 3

x

y 3

x y 3

1

x

N

y

M

N

1 ) x ( f

x ln dx

x

1 dx ) x ( f

2 2

2 2

2

2

2

2 2

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por el

mètodo IDI, notará que se escribe la constante de integración como ) y ( c que es igual a ) y ( , entonces:

2 2 3 2

2 2 2 3

3 2 2 3 2 2 3

x 3 y 3 x

N x xy 3 N

x 3 y 3 y

M y x 3 y M

0 dy x xy 3 dx y x 3 y 0 dy x y 3 x dx xy 3 x

y x


c y x x y ) y ,x ( F

c 0 ) y ( C 0 dx

) y ( dC x xy 3

dx

) y ( dC x xy 3

y

F

) y ( C y x x y ) y ,x ( F

) y ( C dx y x 3 dx y ) y ,x ( F

3 3

3 2 3 2

3 3

2 3

Respuesta. c y x x y 3 3


46/226


Problema 35.

0 dy xy 3 e y 2 dx y e y 2 3 x 2 2 4 x 2 3


3 x 2 2 3 x 2 2

3 x 2 2 4 x 2 3

y 3 e y 4 x

N xy 3 e y 2 ) y ,x ( N

y 4 e y 6 y

M y e y 2 ) y ,x ( M


y

1 y e e e e ) y (

y

1

) y e 2 ( y

) y e 2 ( y

y e y 2

y e y 2

y e y 2

y 4 e y 6 y 3 e y 4

M

y

M

x

N

) y ( f

1 y ln y ln dy y

1 dy ) y ( f

x 2 3

x 2 2

4 x 2 3

3 x 2 2

4 x 2 3

3 x 2 2 3 x 2 2

1

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmétodo directo, entonces:

2 x 2 2 x 2

2 x 2 3 x 2 2

2 x 2 3 x 2 2 3 x 2 2 4 x 2 3

y 3 ye 4 x N xy 3 ye 2 ) y ,x ( N

y 3 ye 4 y

M y e y 2 ) y ,x ( M

0dy xy 3 ye 2 dx y e y 2 0 dy xy 3 e y 2 y

1 dx y e y 2

y

1

3 x 2 2 ) x (

3 x 2 2 ) y (

3 x 2 2 y x

3 x 2 2 ) x (

2 x 2 ) x (

2 x 2 ) x ( y

)y ( 3 x 2 2

) y ( 3 x 2 2

) y ( 3 x 2 2

) y ( x

xy e y ) c xy e y ( ) c xy e y ( f f ) y ,x ( F

c xy e y c dy y x 3 ydy e 2 c dy ) xy 3 ye 2 ( c Ndy f

c xy e y c dx y dx e y 2 c dx y e y 2 c M dx f

Respuesta c xy e y 3 x 2 2


47/226


Problema 36.

0 dy y

y x x 2 dx

y

xy 2 1 2

2


y

x 2

y

2

x

N

y

x

y

x 2

y

y x x 2 ) y ,x ( N

y

1

y

M x 2

y

1

y

xy 2 1 ) y ,x ( M

2

2

2 2

2

2


y

1 y e e e e ) y (

y

1

y

xy 2 1

xy 2 1

y

y

x 2

y

1

xy 2 1

y

y xy 2 1

y

1

y

x 2

y

2

M

y

M

x

N

) y ( f

1 y ln y ln y

dy dy ) y ( f

2 2

2 2

1

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por elmétodo directo, entonces:

2 3 2

2

3 3

2

2 3 2 2

3

2

2 2

2

y

x 2

y

2

x

N

y

x

y

x 2

y

y x x 2 ) y ,x ( N

y

x 2

y

2

y

M

y

x 2

y

1

y

xy 2 1 ) y ,x ( M

0 dy y

y x x 2 dx y xy 2 1 0 dy

y y x x 2

y 1 dx

y xy 2 1

y 1

y

x x

y

1 ) x ( c

y

x x

y

1 ) y ( c

y

x x

y

1 f f ) y ,x ( F

(c y

x x

y

1 ) x ( c dy

y

1 x dy

y

x 2 ) x ( c dy

y

y x x 2 ) x ( c Ndy f

) y ( c y

x x

y

1 ) y ( c dx

y

x 2 dx

y

1 ) y ( c dx

y

xy 2 1 ) y ( c Mdx f

2

2

2

2

2

2 y x

2

2 2

2

3 3

2

y

2

2 2 2 x

Respuesta c y

x x

y

1 2

2


48/226


Problema 37.

0 dy e x 2 y x 3 dx xe 3 y x 4 y 2 2 2 3 y 2 3 2


y 2 2 2 y 2 2 2 3

y 2 2 2 y 2 3 2

xe 4 y x 9 x

N e x 2 y x 3 ) y ,x ( N

xe 6 y x 12 y

M xe 3 y x 4 ) y ,x ( M


x e e ) x (

) e x 2 y x 3 ( x

xe 2 y x 3

e x 2 y x 3

xe 2 y x 3

e x 2 y x 3

xe 4 y x 9 xe 6 y x 12

N

x

N

y

M

) x ( f

x ln dx ) x ( f

y 2 2 2

y 2 2 2

y 2 2 2 3

y 2 2 2

y 2 2 2 3

y 2 2 2 y 2 2 2

Multiplicando por el factor de integración y resolviendo como exacta por el

método IDI, entonces:

y 2 2 2 3 y 2 3 2 4

y 2 2 2 3 y 2 2 3 3

y 2 3 2 4 y 2 2 3 3 y 2 2 2 3 y 2 3 2

e x 6 y x 12 x

N e x 2 y x 3 ) y ,x ( N

e x 6 y x 12 y

M e x 3 y x 4 ) y ,x ( M

0 dy e x 2 y x 3 dx e x 3 y x 4 0 dy e x 2 y x 3 x dx xe 3 y x 4 x

y 2 3 3 4

) x (

y 2 3 3 4

) y (

y 2 3 3 4

x(

y 2 3 3 4

) x (

y 2 3 2 4

) x (

y 2 3 2 4

y

y (

y 2 3 3 4

) y (

y 2 2 3 3

) y (

y 2 2 3 3

x

e x y x c e x y x c e x y x ) y ,x ( F

c e x y x c dy e x 2 dy y x 3 c dy ) e x 2 y x 3 ( ) x ( c Ndy f

c e x y x c dx e x 3 dx y x 4 c dx e x 3 y x 4 ) y ( c Mdx f

Respuesta c e x y x y 2 3 3 4 .

Terminan EDO no exactas


49/226


EDO LINEALES

Problema 38.

x 4 xy 2 dx dy

Se tiene 2 x xd x 2 dx ) x ( p e e e ) x ( x 2 ) x ( p x 4 ) x ( q

Entonces

) c ( e 2 ) c ( e e 2 e c dx ) x 2 ( e 2 e c dx ) x 4 ( e e

1 y

2 2 2 2 2 2 2

2

x x x x x x x

x

Respuesta ) c ( e 2 y 2 x

Problema 39.

e x

y ) 2 x ( dx

dy x

Dividiendo por x :x

y x

2 x

dx

dy e x

Dondex

) x ( q x

2 1

x

2 x ) x ( P e

x

Entonces el factor de integración es

e e e e e e e x 2 2 x x ln x dx x

2 dx dx

x

2 1 dx ) x ( P

x x ) x ( 2

Multiplicando la Ecuación Diferencial por x 2 e x se tiene

x x y x

2

1 x dx

dy

x e

e e e

x x 2 x 2 x 2

Separando variables:

dx x y x d dx x y x d

xdx 2 y ydx x dy x y x d

dx x ydx 2 x ydx x dy x

e e e e

e e e e

e e e e

x 2 x 2 x 2 x 2

x x 2 x 2 x 2

x 2 x x 2 x 2

Integrando por partes. e e x 2 x 2

2 1 v dx dv dx du x u


50/226


51/226


x x l n dx x x

1 x 2 dx

) 1 x ( x

1 x 2 dx ) x ( P 2

2

Se tiene x x e e ) x ( 2 ) x x ln ( dx ) x ( p 2

, entonces.

x 3 x c

x x 1 c x

3 x

x x 1 y

c dx ) 1 x ( x x

1 y

c dx x

) 1 x )( 1 x ( x

x x

1 y

c dx x

1 x ) x x (

x x

1 y

3

2

3

2

2

2

2

2

2

Respuesta

c x 3

x

x x

1 y

3

2

Problema 42.

y 4 x dx

dy

Arreglando la ecuación diferencial x y 4 dx

dy

Donde

x ) x ( q 4 ) x ( p

Entonces el factor de integración es x 4 dx 4 dx ) x ( p

e e e ) x (

Multiplicando por el factor de integración

dx x y d dx x y d

dx xe ydx e 4 dy e

e e e e x 4 x 4 x 4 x 4

x 4 x 4 x 4


52/226


Cálculo integral (integrando por partes)

e e x 4 x 4

4

1 v dx dv dx du x u

Entonces

c 16

1 x

4

1 dx 4

4

1 x

4

1 dx

4

1

4

1 x dx x e e e e e e e

x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4

e

e e e

x 4

x 4 x 4 x 4

c

16

1 x

4

1 y

c 16

1 x

4

1 y

Respuesta e

x 4

c

16

1 x

4

1 y

Problema 43.

Determine el factor de integración de la ecuación diferencial lineal siguiente.

1 1 2 1 0

2 C Q x t ) Q Q ( V

Q

dt

dx

Donde 2 1 0 Q ,Q ,V

Como ) t ( x x es una función del tiempo, entonces

t ) Q Q ( V

Q ) t ( p p

2 1 0

2

y 1 1 C Q ) t ( q q

por lo que el factor de integración será.

e e dt

t ) Q Q ( V

Q dt ) t ( P

2 1 0 2

) t ( μ

Respuesta e e dt

t ) Q Q ( V

Q dt ) t ( P

2 1 0 2

) t ( μ


53/226


Problema 44.

senx x 2 x cot y dx

dy

Donde senx x 2 ) x ( q x cot ) x ( p


senx

1 ) senx ( e e e ) x ( 1 ) senx ln (

xd x cot dx ) x ( p

Sustituyendo

c x senx c dx x 2 senx c

senx

dx senx x 2 senx y

2

Respuesta c x senx y 2

Problema 45.

) senx 1 ( y senx 1

x cos

dx

dy

Donde senx 1 ) x ( q ,senx 1

x cos ) x ( p

Entonces el factor de integración es xdx cos dz senx 1 z

senx 1 senx 1 l n

) x ( e e e dx

senx 1

x cos dx ) x ( P

Entonces al sustituir

c x cos senx 2 4

1 x

2

1

senx 1

1 y

c x 2 sen 4

1 x

2

1

senx 1

1 y

c dx ) x 2 cos 2

1

2

1 (

senx 1

1 y

c xdx cos

senx 1

1 y

c ) x sen 1 ( senx 1

1 y

c dx ) senx 1 )( senx 1 ( senx 1

1 y

2

2

Respuesta .

c x cos senx 2

1 x

2

1

senx 1

1 y


54/226


Problema 46.

x 2

3 y

x

2

dx

dy

Donde 2 x 3 ) x ( q

x 2 ) x ( P


2

2 x ln x ln 2 x

dx 2 dx

x

2 dx ) x ( P

x

1 x ) x ( e e e e e

2

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración:

x x ydx

dy x

432

32

Separando variables: dx x 3 ydx x 2 dy x 4 3 2

c x y

dx x 3 y x d

dx x 3 y x d

3 2

4 2

4 2

x

Multiplicando por x 2:x

x c 1 x c

x

1 y

3

2

Respuesta x

x c 1 y

3

Problema 47.

1 x y dx

dy x

2

Poniendo la ecuación en forma diferencial dx 1 x ydx xdy 2

Por definición de la derivada del producto dx 1 x xy d 2

Integrando.

dx 1 x xy d 2

La integral del lado izquierdo es inmediata, la del lado derecho se resuelve mediante

un camb

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