El sistema de numeracin decimal

Losnmerosnossirven para contar seres, objetos..., cualquier cantidad de todo lo que nos rodea. Para poder escribir cualquier nmero, hemos de usar caracteres o smbolos, que hemos de combinar segn unas reglas que forman lo que llamamos un sistema de numeracin.

Alolargodelahistoria ha habido distintos sistemas de numeracin, como el maya, el chino o el sistema romano, con smbolos y reglas diferentes a los nuestros. Nuestro sistema de numeracin decimal procede de la India, aunque fueron los rabes los que lo introdujeron en Europa.

REGLAS DEL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL

Utilizamosdiezcaracteres, llamados cifras, que son:

Sellamasistemadecimal porque 10 unidades de un orden cualquiera forman 1 unidad del orden inmediato superior. Te puedes imaginar cada orden de unidades como si fuera el peldao de una escalera. Para subir un peldao hay que reunir 10 unidades en el peldao en el que ests situado. En cambio, si bajas la escalera, 1 unidad del peldao en el que ests equivale a 10 unidades del peldao siguiente, al que bajas.

Losseisprimerosrdenes de unidades son:

Esunsistemaposicional porque el valor de una cifra depende de la posicin que ocupe dentro del nmero que estemos considerando. Por ejemplo, cuando escribimos el nmero 235.733:

elprimer3queescribimos pertenece a las decenas de millar (DM), y vale 30.000 unidades;

el segundo 3 pertenece a las decenas (D), y vale 30 unidades;

el tercer y ltimo 3 pertenece a las unidades (U).

Aspues,podemosdescomponer un nmero como suma de los valores de sus cifras. Por ejemplo, el nmero 456.789 es la suma de:

456.789=4centenasde millar + 5 decenas de millar + 6 unidades de millar + 7 centenas + 8 decenas + 9 unidades = 4 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U

Paranmerosmsgrandes, con ms de seis cifras, hemos de usar rdenes de unidades superiores a la centena de millar:

Porejemplo,elnmero 42.345.678 es la suma de:

42.345.678=4decenas de milln + 2 unidades de milln + 3 centenas de millar + 4 decenas de millar + 5 unidades de millar + 6 centenas + 7 decenas + 8 unidades = 4 Dm + 2 Um + 3 CM + 4 DM + 5 UM + 6 C + 7 D + 8 U

CMO SE LEEN LOS NMEROS?

Paraleercualquiernmero hemos de formar grupos de tres cifras, contndolas desde la derecha y recorriendo el nmero hacia la izquierda. Despus se lee cada uno de los grupos, empezando por el primero de la izquierda y avanzando hacia la derecha.

Porejemplo,paraleer el nmero 215.367.498:

1.Formamosgruposde tres cifras:

2.Leemoslosgruposempezando por el primero de la izquierda: doscientos quince millones trescientos sesenta y siete mil cuatrocientos noventa y ocho.

Fjatequeentreelprimer y el segundo grupo va la palabra millones y entre el segundo y el tercer grupo la palabra mil.

Siquieres,puedespracticar leyendo algunos nmeros con diferente nmero de cifras:

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Los nmeros decimales

Conlosnmerosenteros podemos contar cantidades exactas: 2 kilogramos de carne, 1 metro de altura, -3 C..., pero no podemos contar cantidades que representen partes de la unidad, como 2,5 kilogramos de fruta, 1,52 metros de altura o 18,3 C.

QU ES UN NMERO DECIMAL?

Losnmeros2,5,1,52 o 18,3 son nmeros decimales. Cualquiera de ellos tiene dos partes:

La parte entera, que es la que va delante de la coma (a su izquierda). La parte decimal, que es la que va despus de la coma (a su derecha).

LAS UNIDADES DECIMALES

Lastresprimerasunidades decimales son: dcima, centsima y milsima.

Parabajarunescaln, hay que multiplicar por 10. Si en lugar de uno, bajamos dos escalones, multiplicamos por 100, y si bajamos tres, multiplicamos por 1.000.

1U=110d=10d; 1 U = 1 100 c = 100 c; 1 U = 1 1.000 m = 1.000 m

1d=110c=10c; 1 d = 1 100 m = 100 m

1c=110m=10m

Parasubirunescaln, hay que dividir entre 10. Si en vez de uno, subimos dos escalones, dividiremos entre 100, y si subimos tres, entre 1.000.

1d=1:10U=0,1U

1c=1:10d=0,1d; 1 c = 1:100 U = 0,01 U

1m=1:10c=0,1c; 1 m = 1:100 d = 0,01 d; 1 m = 1:1.000 U = 0,001 U

Sidescomponemoslosnmeros decimales anteriores, 2,5, 1,52 y 18,3, en cada una de sus unidades enteras (decenas, D, y unidades, U) y decimales (dcimas, d, centsimas, c, y milsimas, m), obtenemos la tabla siguiente:

Siquieres,puedespracticar descomponiendo los siguientes nmeros decimales: 0,678; 1,23; 34,9; 7,5; 37,654; 0,58.

CMO SE LEEN LOS NMEROS DECIMALES?

Paraleerunnmerodecimal, decimos primero su parte entera, y a continuacin su parte decimal terminada en la unidad que corresponda a su ltima cifra decimal. Tambin se pueden leer sin especificar las unidades como vamos a ver en los ejemplos siguientes.

Losnmerosdecimales que hemos visto al principio se leen as:

Siquieres,puedespracticar leyendo los nmeros decimales del ejemplo anterior:

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Las fracciones

Sipartimosunapizza en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, decimos que hemos comido de la pizza dos octavas partes:

Enunpartidodebaloncesto, que est dividido en cuatro tiempos iguales de diez minutos, se han jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido tres cuartas partes:

Enlavidadiaria,usamos las fracciones con ms frecuencia de lo que pensamos...

TRMINOS DE UNA FRACCIN

Lasfraccionesrepresentan partes de una unidad. Constan de dos trminos:

elnumerador,queindica las partes iguales que se toman de la unidad;

el denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.

REPRESENTACIN DE FRACCIONES

Podemosrepresentaruna fraccin, por ejemplo, mediante un crculo, un rectngulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador.

Porejemplo:

Siquieres,puedespracticar hallando la fraccin que representa cada uno de los dibujos siguientes:

CMO SE LEEN LAS FRACCIONES?

Paraleerunafraccin primero se nombra el numerador y despus el denominador, de la siguiente forma:

1.Elnumeradorsenombra tal cual.

2.Sieldenominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, sptimos, octavos, novenos o dcimos. Si es un nmero mayor que 10, se lee el nmero terminado en avo, por ejemplo: 11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en cuenta que, si el nombre del nmero del denominador termina en a, se elimina esta letra).

Siquieres,puedespracticar con las fracciones de la siguiente tabla:

CMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIN?

Podemosinterpretaruna fraccin de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como operador:

Comopartedelaunidad: una fraccin representa un valor (dado por el numerador) con respecto a un total (dado por el denominador) que llamamos unidad (no lo confundas con el nmero 1). Por ejemplo, si nos hemos comido de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco partes en que la hemos dividido, hemos tomado tres. As pues, esta fraccin representa a tres de cada cinco.

Comocociente:unafraccin representa el cociente entre dos nmeros, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fraccin representa el cociente de tres entre seis, es decir, el resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.

Comooperador:unafraccin acta sobre cualquier nmero como si fuera un operador que acta sobre el nmero multiplicndolo por el numerador, y dividindolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas partes de diez caramelos, haramos:

Siquieres,puedespracticar efectuando los clculos de la siguiente tabla:

CLASES DE FRACCIONES

Haydosclasesotipos de fracciones:

Lasfraccionespropias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (su cociente es un nmero menor que la unidad); por ejemplo:

Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o mayor que el denominador (su cociente es un nmero igual o mayor que la unidad); por ejemplo:

Cualquiernmeronatural se puede escribir en forma de fraccin impropia, dividindolo entre la unidad; por ejemplo:

NMEROS MIXTOS

Sienunafraccinimpropia dividimos el numerador entre el denominador, puede ocurrir una de estas dos cosas:

1.Queobtengamosunnmero natural, por ejemplo:

2.Queobtengamosunnmero mixto, que se llama as porque est compuesto de un nmero natural y de una fraccin.

Porejemplo,enlafraccin al dividir el numerador entre el denominador obtenemos:

Ylafraccinlapodemos expresar as, como un nmero mixto:

Siquieres,puedespracticar con las fracciones siguientes:

FRACCIONES DECIMALES

Cualquierfraccin,o equivale a un nmero natural, o se puede expresar como un nmero decimal, sin ms que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo:

Perotambinalrevs: podemos expresar cualquier nmero decimal como una fraccin, que se llama fraccin decimal. Para hallarla se siguen estos dos pasos:

1.Seescribeelnmero decimal sin la coma (y sin el cero, si era la cifra de las unidades).

2.Sedivideentrela unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tena el nmero decimal. Por ejemplo:

Lasfraccionesdecimales son las que tienen por denominador la unidad seguida de ceros.

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Fracciones equivalentes

Enunrestauranteitaliano, dos amigos han pedido dos pizzas del mismo tamao. Uno quiere que se la sirvan dividida en cuatro partes iguales o porciones, de las que se termina comiendo tres, mientras que el otro pide que se la troceen en ocho porciones, de las que se come seis. Cul de los dos ha comido ms?

CMO SABEMOS SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES?

Lasfraccionesrepresentan partes de una unidad. Dos fracciones que representan la misma parte se llaman equivalentes.

Porejemplo,alrepresentar las fracciones

observamos que la superficie coloreada en ambos dibujos es la misma:

Ocupan,portanto,la misma porcin del crculo que representa la unidad: son dos fracciones equivalentes.

Parasabersidosfracciones son o no equivalentes, no es necesario representarlas, basta con multiplicarlas en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda; si estos productos son iguales, las fracciones son equivalentes:

Siquieres,puedespracticar con los ejemplos de la tabla siguiente:

CMO HALLAMOS FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA?

Podemosobtenerfracciones equivalentes a otra de dos maneras: por amplificacin y por simplificacin.

Poramplificacin:multiplicando el numerador y el denominador de la fraccin por un mismo nmero. Por ejemplo:

Porsimplificacin:dividiendo el numerador y el denominador por un mismo nmero. Por ejemplo:

Siquierespracticar, puedes obtener fracciones equivalentes a las fracciones de la tabla siguiente, de ambas formas.

FRACCIN IRREDUCIBLE

Sellamafraccinirreducible a aquella que no se puede simplificar ms.

Porejemplo,vamosasimplificar la fraccin hasta obtener su fraccin irreducible; para simplificar, dividimos numerador y denominador por el mismo nmero:

1.)dividimosentre2;

2.)dividimosentre2;

3.)dividimosentre3;

4.)dividimosentre5.

Lafraccinirreducible es ya que no la podemos seguir simplificando ms: no existe ningn nmero comn por el que podamos dividir a la vez a 1 y a 7.

Normalmente,cuandohacemos operaciones con fracciones y el resultado es otra fraccin, hemos de simplificarla hasta obtener su fraccin irreducible.

Siquieres,puedespracticar simplificando las siguientes fracciones hasta obtener su fraccin irreducible:

COMPARACIN DE FRACCIONES

Cuandotengamosquecomparar dos o ms fracciones se nos dar una de estas tres situaciones: que tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distintos numerador y denominador.

Sitienenelmismodenominador, por ejemplo:

Esmenorlaquetenga el menor numerador:

Sitienenelmismonumerador, por ejemplo:

Esmenorlaquetenga el mayor denominador:

Sitienendistintosnumerador y denominador, por ejemplo:

Parapoderlascomparar hemos de reducirlas primero a comn denominador. Para ello, hallamos el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que en este caso ser: m.c.m. (5, 2, 4, 3) = 4 3 5 = 60

Yhallamoslasfracciones equivalentes a las anteriores, pero con el denominador comn obtenido:

Yahora,altenerelmismo denominador, ya s que las podemos comparar:

Portanto,

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Operaciones con fracciones

Paraefectuaroperaciones con fracciones, o con nmeros enteros y fracciones, no podemos actuar como cuando todos los nmeros que intervienen son enteros; hemos de tener en cuenta los denominadores y seguir unas reglas que vemos a continuacin.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Parasumarorestardos o ms fracciones, nos fijamos primero en sus denominadores: si son iguales o distintos.

Sumayrestadefracciones con igual denominador.Enestecaso,sesuman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo:

Sumayrestadefracciones con distinto denominador.Enestecaso,primero hemos de reducir a comn denominador, y despus sumar o restar las fracciones.

Parareducirdosfracciones a comn denominador, podemos proceder de dos maneras: por el mtodo de los productos cruzados o por el mtodo del mnimo comn mltiplo.

Porelmtododelosproductos cruzados: se multiplican los dos trminos de cada fraccin por el denominador de la otra. Por ejemplo:

Porelmtododelmnimo comn mltiplo, seguimos estos dos pasos:

1.Sehallaelmnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus mltiplos comunes; en nuestro caso

elm.c.m.(7,3)=21.

2.Sedivideesemnimo comn mltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador

Unavezquelasdosfracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas o restarlas:

Parasumarorestarms de dos fracciones, es preferible usar el mtodo del mnimo comn mltiplo.

Cuandosetratadeuna suma o resta de un nmero entero y una fraccin, procedemos como si el nmero entero fuera una fraccin de denominador igual a 1. Estos son algunos ejemplos:

Siquieres,puedespracticar con los siguientes ejemplos de suma y resta de fracciones con igual y distinto denominador.

Pararesolveresteltimo caso hemos de tener en cuenta que las dos fracciones tienen distinto denominador; vamos a reducir a comn denominador por los dos mtodos que hemos visto:

1.Porelmtododelos productos cruzados:

2.Porelmtododel mnimo comn mltiplo; como m.c.m. (5, 3) = 15:

Porunouotromtodo llegamos a que:

Otroejemploderesta de fracciones con distinto denominador sera:

Reducimosacomndenominador por los dos mtodos que conocemos:

1.Porelmtododelos productos cruzados:

2.Porelmtododel mnimo comn mltiplo; como m.c.m. (8, 5) = 40:

Porunouotromtodo llegamos a que:

Siquieres,puedespracticar tambin la suma y la resta de fracciones con los dos problemas siguientes:

1.LamadredePaulaha partido una pizza en ocho trozos iguales, de los que Paula ha comido dos, su padre tres y su madre uno. Qu fraccin de pizza ha comido cada uno? Qu fraccin del total se han comido entre los tres? Qu fraccin de pizza ha sobrado?

Cadatrozoequivalea del total, por lo que Paula ha comido , su padre y su madre de pizza. Entre los tres han comido:

Ycomolastresfracciones tienen el mismo denominador, su suma ser:

queesloquehancomido entre los tres; por lo que ha sobrado:

2.Depostre,elpadre de Paula saca una tarta que divide en cuatro trozos, de los que Paula ha comido uno, su padre dice haber comido de la tarta y su madre de la misma. Qu fraccin se habran comido entre los tres? Habra quedado algo de tarta?

Enestaocasinlastres fracciones son:

Como tienen distintos denominadores, para poderlas sumar hemos de reducirlas antes a comn denominador:

Aspues,habrancomido:

Ysolohabraquedado de la tarta:

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FRACCIONES

Elproductodedosoms fracciones es otra fraccin, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Por ejemplo:

Paramultiplicarunnmero entero por una fraccin podemos considerar que el nmero entero es una fraccin de denominador igual a 1. As, por ejemplo:

Elcocientededosfracciones es otra fraccin que se obtiene multiplicando en cruz los trminos de las dos fracciones. Es decir, se multiplica:

1.Elnumeradordela primera fraccin por el denominador de la segunda (ese ser el numerador de la fraccin cociente).

2.Eldenominadorde la primera por el numerador de la segunda (ese ser el denominador de la fraccin cociente resultante).

Porejemplo:

Paradividirunnmero entero por una fraccin podemos considerar que el nmero entero es una fraccin de denominador igual a 1. Por ejemplo:

Siquieres,puedespracticar el producto y el cociente de dos o ms fracciones con los siguientes ejemplos:

1.Delos24alumnosque somos en clase, solemos jugar al ftbol , pero hoy han faltado de los jugadores. Cuntos han faltado hoy? Cuntos estamos en el campo dispuestos a jugar?

Hallamoslosjugadores que han faltado:

Silosquejugamosnormalmente somos:

hoyestamosenelcampo: 16 4 = 12 jugadores

2.Tenemosquerepartir el contenido de 4 botellas de litros de leche en vasos de de litro. Cuntos vasos de esa medida podremos llenar?

Paraaveriguarcuntos vasos llenaremos hemos de dividir los litros totales de leche entre la capacidad de un vaso:

Llenaremospues,30vasos.

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Porcentajes

Cuandollegalapoca de las rebajas, en los escaparates de muchas tiendas podemos ver carteles en los que aparecen frases como esta: Todos los artculos rebajados el 20%, o similares.

Qurepresentaelsmbolo %? Cunto debemos pagar por un artculo al que tenemos que aplicar un 20% de descuento?

A QU LLAMAMOS TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE?

Llamamostantoporciento o porcentaje a una fraccin cuyo denominador es 100, que se puede expresar como un valor decimal, y que en forma abreviada representamos con el smbolo %.

Veamosalgunosejemplos:

Siloquequeremoses expresar en forma de fraccin un tanto por ciento, actuaremos al revs que en los ejemplos anteriores:

Veamoselsignificado del tanto por ciento con algunos ejemplos.

1.El40%delosalumnos de mi clase son chicos y el 60% son chicas.

Estosignificaque,si furamos 100 alumnos en clase, habra 40 chicos y 60 chicas.

2.Enlavotacinpara elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.

Significaque,sienclase hubiera 100 alumnos, 32 habran votado a Carlos, 46 a Carmen y 22 a Ana.

CLCULO DE PORCENTAJES

Paracalcularuntanto por ciento o porcentaje de una determinada cantidad hemos de multiplicar esa cantidad por el tanto por ciento y dividir el resultado entre 100. Vemoslo con algunos ejemplos.

1.Enunpartidodebaloncesto el porcentaje de acierto en tiros de dos puntos de mi equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado de dos puntos en 30 ocasiones, cuntas canastas hemos metido? Y cuntas veces hemos fallado?

Parasaberlascanastas de dos puntos que hemos metido tenemos que hallar el 40% de 30:

Paracalcularlasque hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras. La forma ms sencilla y rpida es restar del total de lanzamientos las que s hemos acertado: 30 12 = 18 fallos

Tambinpodemoscalcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos:

siel40%sonaciertos el 100% - 40% = 60% ser de fallos.

Yel60%de30es:

2.EntrePedro,Teresa y Mara tienen que pintar un cartel que ocupa una superficie de 6 metros cuadrados (m2). Al cabo de un rato, Teresa dice haber pintado el 35%, Pedro el 15% y Mara el 10% del cartel. Qu superficie ha pintado cada uno? Y entre los tres? Qu porcentaje y qu superficie del cartel les queda por pintar?

Teresahapintadoel35% de 6 m2:

Pedrohapintadoel15% de 6 m2:

Marahapintadoel10% de 6 m2:

Entrelostreshanpintado el 35% + 15% + 10% = 60%que en superficie ser: 2,1 + 0,9 + 0,6 = 3,6 m2Lesquedaporpintarel 100% - 60% = 40% del cartel.

1. Lasuperficiequeles falta la podemos hallar de dos maneras: 2. restando del total la superficie que ya han pintado: 6 3,6 = 2,4 m2; 3. hallando el 40% de la superficie total (6 m2):

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