Apuntes de Conversi¢n con Ejercicios

UNIVERSIDADTÉCNICAFEDERICOSANTA MARÍADepartamento de Electricidad

ConversiónElectromecánica

de Energía

J.Müller 1999

Todo ocurre en nuestro universo mental

René Magritte

Prefacio

Desde nuestra más tierna infancia estamos empeñados en la tarea de dar formaa nuestro universo mental. Sólo allí existen y se relacionan las ideas. Sólo allíexiste la recta, el punto y otros conceptos abstractos. Sólo allí se cumplen lasleyes de la naturaleza.

Desde esta perspectiva, este curso es sólo un paso más en el proceso continuode ampliación de nuestro universo mental.

El esfuerzo de decodificar el material expuesto en estos apuntes y codificarlo deacuerdo con las imágenes del propio universo mental, expandiéndolo de paso,es necesariamente personal e indelegable.

La tarea es excitante y la recompensa es altamente gratificante. Pero tambiénes ardua.

Esto es especialmente válido en un contexto de un semestre de 16 semanaslectivas, que implica que para cada capítulo sólo se dispone de dos semanas o,considerando que se trata de una asignatura de 4 créditos, de escasas 24 horaspara el correspondiente estudio y ejercitación. Es un tiempo escaso paracrearse una visión propia de las ideas expuestas y desarrollar la capacidad deaplicarla a problemas concretos.

Sólo a través de un trabajo responsable y sistemático guiado por el interés encrecer y la pasión de saber será posible alcanzar el objetivo propuesto.

ÍNDICE

1. EL CIRCUITO MAGNÉTICO 1-5

1.1 Introducción 1-5

1.2 Prototipo y aproximaciones 1-6

1.3 Circuitos magnéticos 1-10

1.4 Imanes permanentes 1-14

2. EL REACTOR 2-17


2.2 Efectos físicos en el reactor 2-202.2.1 Dispersión magnética 2-202.2.2 Pérdidas en el fierro 2-212.2.3 Corriente magnetizante compleja 2-262.2.4 Pérdidas en el cobre 2-27

2.3 Circuito equivalente. 2-292.3.1 Circuitos electromagnéticos. 2-292.3.2 Circuito equivalente del reactor 2-33

2.4 Tensión inducida 2-35

3. EL TRANSFORMADOR 3-38


3.2 Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo 3-39

3.3 El transformador de potencia. 3-423.3.1 Circuito equivalente 3-433.3.2 Diagrama fasorial 3-473.3.3 Funcionamiento en vacío 3-513.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario 3-513.3.5 Funcionamiento con carga 3-54

4. DEVANADOS 4-59


4.2 Corrientes y campo magnético en el entrehierro 4-604.2.1 Bobinas acortadas, el factor de cuerda 4-664.2.2 Bobinas distribuidas, factor de zona 4-684.2.3 Devanados de corriente alterna 4-704.2.4 Campo giratorio mediante devanado trifásico 4-734.2.5 La distribución de inducción en el entrehierro 4-76

4.3 Tensión inducida en un devanado 4-774.3.1 Tensión inducida en una bobina de paso completo 4-794.3.2 Tensión inducida en una bobina de paso acortado 4-824.3.3 Tensión inducida en un grupo de bobinas 4-824.3.4 Tensión inducida en un devanado de corriente continua 4-84

4.4 Inductancias propias y mutuas de devanados 4-86

5. FUERZAS ELECTROMAGNÉTICAS 5-89


5.2 Fuerza y energía, una visión sistémica 5-90

5.3 Transductores de movimiento limitado 5-935.3.1 Torque de reluctancia 5-955.3.2 Torque de excitación 5-98

5.4 Máquinas rotatorias, conversión continua de energía 5-101

5.5 Resumen 5-105

6. MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA 6-106


6.2 Características constructivas 6-107

6.3 Principio de funcionamiento 6-109

6.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas 6-111

6.5 Ecuación de equilibrio mecánica 6-115

6.6 Funcionamiento estacionario 6-1166.6.1 Distribución del campo en el entrehierro 6-1176.6.2 Efecto desmagnetizante de la reacción de armadura 6-1186.6.3 Autoexcitación 6-1216.6.4 Conmutación 6-1226.6.5 Características estacionarias como generador 6-1256.6.6 Características estacionarias como motor 6-128

7. MÁQUINA SINCRÓNICA 7-132




7.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas 7-1357.4.1 Circuito equivalente por fase 7-1407.4.2 Efecto de la saturación 7-1417.4.3 Diagrama fasorial 7-142

7.5 Potencia y momento 7-146

7.6 Condiciones de funcionamiento especiales 7-1507.6.1 Cortocircuito estacionario 7-1507.6.2 Carga reactiva inductiva pura 7-152

7.7 Determinación experimental de la reactancia sincrónica 7-153

7.8 Funcionamiento en red infinita 7-1557.8.1 Variación de la excitación 7-1577.8.2 Variación del momento 7-1577.8.3 Lugar geométrico de la corriente 7-158

8. MÁQUINA ASINCRÓNICA 8-161




8.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas 8-166

8.5 Circuito equivalente y diagrama fasorial 8-171

8.6 Potencia y momento 8-175

9. EJERCICIOS 9-180

1. El circuito magnético

1.1 Introducción

Desde los tiempos de Oersted (1820) se sabe que corrientes eléctricas producencampos magnéticos. Esta relación fundamental se expresa analíticamente en la ley deAmpere:

& &H ds I• =∫ (1.1.1)

que recoge la evidencia empírica que, a lo largo de una trayectoria cerrada s cualquiera,la integral de la componente de la intensidad del campo magnético

&

H paralela alcamino de integración es igual a la totalidad de la corriente I abrazada por ese caminode integración.

La relación (1.1.1) es completamente general e independiente de las características delmedio que atraviesa el camino de integración cerrado. Mediante ella se puede calcularla corriente abrazada por éste si se conoce la distribución espacial de

&

H .

En la práctica es más común el problema inverso, es decir, normalmente existe lanecesidad de determinar la distribución espacial de

&

H creada por una distribución decorrientes conocida.

La solución de este problema requiere de un despliegue matemático considerable y,aún así, sólo es posible encontrar soluciones analíticas rigurosas para mediosisotrópicos de geometrías muy simples. Sin embargo, estos métodos forman la basepara algorítmos que permiten lograr soluciones numéricas aún para las situaciones máscomplejas.

Si bien los programas para el cálculo numérico de campos dan respuestas cuantitativassatisfactorias para situaciones específicas, estas, por su naturaleza, no permiten unavisión global y subsiste la necesidad de contar con soluciones analíticas, aunque estassean aproximadas, que permitan apreciar la influencia de los parámetros sobre lasolución.

Las formas geométricas y las características de los materiales usados en la mayor partede los dispositivos electromagnéticos prácticos, como los transformadores y lasmáquinas eléctricas rotatorias, permiten simplificar el problema y formular solucionesanalíticas aproximadas.

Para concretar estas ideas y entender la naturaleza de las aproximaciones necesariasse analiza primeramente el caso de una bobina toroidal.

capítulo 1: circuitos magnéticos 1-6

1.2 Prototipo y aproximaciones

Considérese un solenoide de sección circular formado por N vueltas de alambre decobre aislado, uniformemente distribuidas, doblado de manera que sus dos seccionesextremas se toquen, dejando en el interior un espacio toroidal (figura 1.2.1).

Figura 1.2.1 Electroimán toroidal

espiras

sección q

rri

re

Si por la bobina circula una corriente i, creará en el interior del toroide un campomagnético cuyas líneas de fuerza, por consideraciones de simetría, seránnecesariamente circunferencias concéntricas.

También es la simetría la que permite concluir que a lo largo de una línea de fuerza deradio r el módulo de

&

H debe permanecer constante, ya que todos los puntos sobre esacircunferencia son equivalentes en cuanto a su relación con la distribución decorrientes.

Considerando estos hechos, que nacen de la geometría y de la distribución decorrientes considerada, la evaluación de la integral en (1.1.1) es inmediata, ya que

&

H estangente a la circunferencia. Para el espacio interior del toroide rige entonces:

H riN

r( ) =

2π. (1.2.1)

Para el espacio exterior vale H r( ) = 0, ya que la corriente total abrazada por un caminode integración concéntrico con el toroide es cero y cualquier punto sobre esa trayectoriaestá en la misma condición respecto a la distribución espacial de corrientes (simetría).


El campo magnético está confinado al interior del toroide.

En la figura 1.2.2, que corresponde a larepresentación gráfica de la relación (1.2.1),se puede apreciar que el campo en el interiordel toroide no es homogéneo. Sólo si lasdimensiones del toroide son tales que (re-ri)<< ri , vale decir, para una sección pequeña yun radio interior grande, el campo puede serconsiderado aproximadamente homogéneocon un valor para H igual al promedio de losvalores extremos.

En adelante se supone que esa condiciónestá satisfecha.

Con campo homogéneo, la inducción B esconstante sobre la sección del toroide, por loque el flujo se calcula simplemente como

Φ = = =Bq H qNq

riµ µ

π0 0 2. (1.2.2)

Considérese ahora que el interior del toroide esté relleno con material ferromagnéticode permeabilidad µ >> µ0 . De acuerdo con (1.2.1) el valor de H no es afectado por elcambio de núcleo. En cambio la inducción B y el flujo Φ sí se incrementan. La mismacorriente i produce ahora un flujo µr = µ /µ0 veces mayor. La amplificación del flujo porel núcleo ferromagnético se puede explicar en términos del efecto orientador sobre losimanes moleculares, originalmente desordenados, ejercido por el campo producido porla corriente i .

Supóngase que el toroide haya sido dividido en dos partes iguales, de secciónsemicircular, una ocupada por material ferromagnético de permeabilidad µ y la otra pormaterial nomagnético de permeabilidad µ0 (figura 1.2.3).

Como no se ha alterado ni la simetría, ni la corriente de excitación i, la modificaciónplanteada no afecta a la intensidad del campo H(r) , que sigue descrita por la relación(1.2.1). La diferencia de permeabilidad sólo afecta a la división del flujo entre los dossemitoroides.

ri re r

H(r)

Hi

He

Figura 1.2.2 Distribución H(r) en unelectroimán toroidal.


De acuerdo con la relación (1.2.2) el flujo en el semitoroide de material ferromagnéticovale:

Φfe feBq Nq

ri= =

2 4µ

π , (1.2.3)

mientras que el flujo en el semitoroide de material nomagnético vale :

Φa aBq Nq

ri= =

2 40µπ

. (1.2.4)

Como µ >> µ0 , Φfe >> Φa , es decir, el flujo por el material nomagnético es sólo unapequeña fracción del flujo por el material magnético , por lo que en primeraaproximación se puede suponer que el flujo por el material nomagnético esdespreciablemente pequeño y que todo el flujo se encuentra en el volumen delsemitoroide de material magnético.

Este resultado permite relajar la exigencia inicial de un enrollado uniformementedistribuido sobre el núcleo, mediante la cual se garantizaba la circularidad de las líneasde fuerza y se limitaba el campo al interior del toroide.

Al utilizar material de alta permeabilidad para el núcleo del toroide , la altapermeabilidad hace que el flujo siga esencialmente confinado al volumen del toroide,aunque las espiras del enrollado se concentren en un sector del núcleo, dejando alresto del núcleo descubierto. En esta circunstancia, el campo creado por el devanadouniformemente distribuido es aproximadamente igual al campo creado por el devanadoconcentrado en un sector del toroide, por lo que en este segundo caso también sepuede usar la relación (1.2.2) para calcular el flujo. Este recurso es de gran utilidad parala obtención de soluciones analíticas aproximadas.

i Ni

Figura 1.2.3 Semitoroide de material ferromagnético cona) Excitación magnética distribuidab) Excitación magnética concentrada

fierro

aire

a) b)


Siempre con la intensión de introduciraproximaciones razonables que permitanla formulación de soluciones analíticas,considérese nuevamente al núcleo toroidalde material ferromagnético, para analizarlas consecuencias de un pequeño corteradial de ancho la sobre la distribución delcampo magnético (figura 1.2.4).

Por efecto del corte desapareció lasimetría y, con ella, la línea argumentativaque anteriormente permitió obtenerimportantes conclusiones sobre ladistribución espacial del campo.

Sin embargo, la presencia de material ferromagnético de alta permeabilidad,eventualmente apoyado por un enrollado uniformemente distribuido a lo largo delnúcleo, hace que el flujo quede confinado esencialmente al volumen del toroide,excepto en la región próxima al corte o entrehierro.

Dada la dificultad de determinar el campo en el entrehierro y en su entorno inmediato,se hace una suposición simplificatoria, es decir, se formula un modelo, asumiendo quelas líneas de fuerza siguen siendo circunferencias en la región problemática.

Esto implica que la inducción en el núcleo ferromagnético y en el aire debe tener elmismo valor:

B Bi a= ,

de lo que sigue que

µ µH Hi a= 0 , (1.2.5)

donde Hi es la intensidad del campo magnético homogéneo en el interior del materialferromagnético, mientras que Ha es su valor en el entrehierro.

De acuerdo con el modelo, el campo es homogéneo tanto en el núcleo como en elentrehierro y HI y Ha son constantes. En consecuencia

& &H ds H l H l N ii i a a• = + =∫ (1.2.6)

con l r li a= −2π .

A partir de las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) se determina la intensidad del campo en elentrehierro como :

Figura 1.2.4 Relativo a la formulación deun modelo para un toroidecon entrehierro.

N

i

r

la

Φ


HN i

l la

i a

=+

µµ

0. (1.2.7)

Si bien el valor numérico calculado mediante esta relación es algo superior al real, laexpresión tiene el mérito de mostrar claramente la influencia de los parámetros sobre elresultado.

Por las características del modelo, el flujo en el núcleo y en el entrehierro esnecesariamente el mismo y vale

Φ = =+

µ

µ µ

0

0

H qN i

lq

lq

ai a

, (1.2.8)

donde q es la sección del toroide, igual a la del entrehierro.

Si los parámetros en (1.2.8) fuesen conocidos, la relación permitiría determinar con ungrado de aproximación razonable el flujo en el entrehierro producido por ciertaexcitación magnética, como también la excitación magnética necesaria para obtener undeterminado flujo en el entrehierro. Lamentablemente la permeabilidad µ de losmateriales ferromagnéticos no es constante, ni se conoce de antemano, por lo que elvalor práctico de la expresión (1.2.8) es limitado.

El toroide con entrehierro puede ser considerado como el prototipo de las máquinaseléctricas en lo que a la determinación del campo magnético se refiere y lasaproximaciones y consideraciones practicadas en relación con él pueden ser aplicadassin mayor dificultad a geometrías más generales si se respeta las restricciones quelimitan su validez. Los conceptos y técnicas para ello necesarias son el motivo delpárrafo siguiente.

1.3 Circuitos magnéticos

Para un circuito de corriente continua, formado por la conexión en serie de una fuentede tensión V y de dos conductores de longitudes l1 y l2, secciones q1 y q2 yconductividades σ1 y σ2 respectivamente, la corriente se calcula como :

IV

R RV

lq

lq

=+

=+1 2 1

1 1

2

2 2σ σ

(1.3.1)


Al comparar (1.3.1) con (1.2.8) salta a la vista la correspondencia formal entre ambasrelaciones. Esta correspondencia a llevado a introducir el concepto circuito magnéticoen analogía con el circuito eléctrico de corriente continua.

Para ello se establece las siguientes analogías :

Corriente I ⇔ Flujo ΦTensión V ⇔ Excitación magnética FResistencia R ⇔ Reluctancia ℜ

Extendiendo la analogía a las leyes de Ohm y de Kirchhoff, se tiene que en el circuitomagnético rige:

Φ =ℜF

(en cada elemento) (1.3.2)

Φii

∑ = 0 (en cada nodo) (1.3.3)

Fii

∑ = 0 (en cada malla) (1.3.4)

Como consecuencia de lo anterior, los elementos del circuito magnético, es decir, lasreluctancias, se combinan de la misma manera como se combinan las resistencias en elcircuito eléctrico.

Sin embargo, hay una característica fundamental del circuito eléctrico que, en general,no tiene su equivalente en el circuito magnético : la constancia de los parámetros.

Efectivamente, la reluctancia, que para cada tramo con campo homogéneo -de longitudl, sección q y permeabilidad µ - se calcula como

ℜ = lqµ

, (1.3.5)

en el caso de materiales ferromagnéticos, depende fuertemente del grado desaturación, determinado por el flujo.

En consecuencia, los circuitos magnéticos, en general, serán nolineales y por lo tantopara ellos dejan de ser aplicables los métodos de análisis basados en el principio desuperposición, que son justamente los que han hecho de la teoría de circuitos unaherramienta tan poderosa .

Frente a esta situación, y como la nolinealidad se expresa habitualmente a través de lacaracterística de magnetización Bmax(Hef), en la práctica se prefiere usar directamentelas variables de campo B y H.


La característica de magnetización es suministrada por el fabricante del material. Lafigura 1.3.1 muestra esta característica, a modo de ejemplo, para algunos materialescomunes.

Para ilustrar el tratamiento de los problemas asociados con la nolinealidad, considéresenuevamente el toroide con entrehierro de la figura 1.2.4., para el cual se deseadeterminar la excitación magnética necesaria para producir un determinado flujo en elnúcleo.

Como el flujo y las dimensiones del toroide son conocidas, se calcula B q= Φ , valor conel que se entra a la característica del material del núcleo para determinar Hi . Dado queel flujo supuestamente está limitado a la sección del núcleo, la inducción en elentrehierro es la misma que en el núcleo, por lo que H Ba = µ0 . Finalmente se calculala excitación magnética o fuerza magnetomotriz i N H l H li i a a= + .

Supóngase ahora que la excitación magnética sea conocida y que se desea determinarel flujo correspondiente.

Figura 1.3.1. Curva de magnetización B( H) de algunosmateriales ferrromagnéticos

Acero fundido

Fierro fundido

Chapa silicosa

Chapa silicosa

BWb

m2

mA

H

BWb

m2

HAm

⋅

⋅


Como sólo se conoce H li ii

∑ , pero no los sumandos, no se puede determinar el valor

de Hi en cada tramo del circuito magnético. Esto implica que el problema no tiene unasolución directa y que es necesario recurrir a un procedimiento iterativo. Para ello seasume un flujo y se calcula la excitación magnética necesaria, que se compara con eldato inicial. Si los dos valores no coinciden dentro de un margen de error razonable, semodifica apropiadamente el valor supuesto para el flujo y se repite el procedimientohasta lograr la convergencia.

Otro problema que carece de una solución analítica directa corresponde a ladistribución de un flujo conocido Φt entre dos ramas en paralelo. La figura 1.3.2muestra esta situación y la relación entre flujos y fmms para cada una de las ramas enparalelo. Se aprecia que mediante el artificio de representar la relación entre flujo y fmmpara una de las ramas en el cuarto cuadrante usando una abscisa común para lasfmms, el flujo total Φt también queda representado por un trazo y es posible obtener unasolución gráfica para el problema.

Pero también en este caso se puede recurrir al procedimiento iterativo y suponer unvalor para el flujo Φ1 por una de las ramas. El flujo por la otra rama se determina comoΦ Φ Φ2 1= −t . Para cada flujo se determina la inducción correspondiente y con ella seentra a la respectiva característica de magnetización para obtener el valor de H en cadarama. El criterio de iteración, que verifica si la distribución de flujos es la correcta, es eneste caso la igualdad de las fuerzas magnetomotrices en las dos ramas : H l H l1 1 2 2= .

Φt

Φ1

Φ2

Φ2(F2)

Φ1

F

Φ1(F1)Φt

0

Φ2

Figura 1.3.2 Relación entre flujos y fmm en un circuitomagnético formado por dos elementos en paralelo

F1=F2


Para completar el análisis de los circuitos magnéticos es necesario incluir la posibilidadque el flujo tenga su origen en un imán permanente en vez de tenerlo en una corriente.Esto es materia del párrafo siguiente.

1.4 Imanes permanentes

El material ferromagnético incluido en los circuitos magnéticos hasta aquí consideradosestá caracterizado por un lazo de histéresis muy estrecho, cuyas ramas ascendente ydescendente pueden ser consideradas en primera aproximación como coincidentes. Lainducción B y la intensidad de campo H están relacionadas en forma unívoca.

Pero también existen materiales con un lazo de histéresis muy marcado. Una vezmagnetizado el material, la inducción no vuelve a cero cuando se anula la corriente,sino a un valor conocido como inducción remanente Br. Para llevar la inducción a ceroes necesario invertir la excitación magnética. El valor de la intensidad de campo(negativa) para el cual la inducción se hace cero se conoce como fuerza coercitiva Hc .

Las curvas virgen y de desmagnetización de la figura 1.4.1 ilustran la relación entre B yH descrita.

Los imanes permanentes (de creciente importancia tecnológica) están hechos de estetipo de material (aleaciones NiCo,SmCo,NdFe) y para su caracterización importa elsegundo cuadrante de la característica B(H).

Sea un núcleo toroidal magnetizado mediante la aplicación de una fuerzamagnetomotriz, que, después de alcanzar cierto valor máximo, es reducida a cero. Enesas condiciones la inducción en el interior del toroide toma el valor de remanencia , Bi

= Br, y la intensidad de campo es cero (Hi = 0).

Figura 1.4.1. Característica magnética de un materialmagnéticamente duro magnetizado hasta lasaturación y luego desmagnetizado.

Bi

curva virgen

característica del entrehierro

curva de desmagnetización

P

Hi

Hc

Br

BP

HP


Considérese ahora el corte radial de ancho la através del núcleo representado en la figura 1.4.2

De acuerdo con la ley de Ampere debecumplirse que

H l H li i a a⋅ + ⋅ = 0 , (1.4.1)

por lo que

H Hlla i

i

a

= − . (1.4.2)

Se puede apreciar que, como consecuencia delcorte, Hi es ahora distinto de cero y que susentido es inverso al de Ha en el corte.

En el entrehierro formado por el corte rige:

B Ha a= µ0 (1.4.3)

La condición de continuidad para el flujo implica que

q B q Bi i a a= . (1.4.4)

En el caso del imán toroidal, suponiendo un entrehierro suficientemente estrecho, lassecciones qi y qa pueden ser consideradas como iguales, lo que hace que en ese casola inducción en el núcleo sea igual a la inducción en el entrehierro.

Las restricciones (1.4.2) a (1.4.4) implican la siguiente relación entre Bi y Hi :

Bl ql q

Hii a

a ii= −µ0 (1.4.5)

que en el plano B(H) corresponde a una recta por el origen en el segundo cuadrante.

Como, por otra parte, los valores de Bi y Hi están relacionados por la característica demagnetización del material, los valores de Bi y Hi que satisfacen ambas condiciones seencuentran necesariamente sobre la intersección de las dos características: la recta delentrehierro y la curva de magnetización. Este punto P se conoce como punto de trabajo.

La representación gráfica de estas relaciones en la figura 1.4.1 permite apreciar que,como consecuencia del corte, la inducción en el núcleo se reduce del valor de

Figura 1.4.2 Relativo a la aplicaciónde la Ley de Ampere aun imán permanente.

lali

qi


remanencia Br a BP. De la relación (1.4.5) se desprende que la reducción estádirectamente relacionada tanto con la geometría del imán como con la del entrehierro.Para aclarar el papel de las geometrías en el logro de un determinado valor de lainducción en el entrehierro amplifíquese (1.4.5) con Bi y luego reemplácese Bi por Ba deacuerdo con (1.4.4). De esa manera se logra

Bq lq l

B Hai i

a ai i= µ0 , (1.4.6)

donde se aprecia que, para volúmenes dados, la inducción en el entrehierro sólodepende del producto Bi Hi , el que a su vez depende de la ubicación del punto detrabajo sobre la característica de magnetización. Para un punto determinado (quecorresponde aproximadamente a la intersección de la característica con la diagonal delrectángulo Br Hc) el producto alcanza su valor máximo. Este valor máximo es unparámetro básico para la caracterización de los imanes permanentes.

Con los valores para Bi y Hi correspondientes al producto máximo se determina lasección más favorable para el imán a partir de (1.4.6) y (1.4.4).

Material magnético Br (T) Hc (kA/m) (BH)max ( kJ/m3)Tierras raras-Cobalto 0,92 705 167Neodimio-Fierro-Boro 1,20 860 240Alnico (Al-Ni-Co-Fe) 0,73 34 10

Tabla 1.4.1 Valores característicos para imanes permanentes.

2. El reactor

2.1 Introducción

Fue Faraday quien se preguntó (1822) si a la observación fundamental de Oersted no ledebía corresponder una relación causal inversa. Si una corriente estacionaria convierteen imán al fierro que rodea, ¿por qué un imán permanente no produce corrientesestacionarias en las espiras que lo rodean?

Nueve años después encontró la respuesta a esa interrogante, la que hoy se conocecomo la ley de Faraday y que en su formulación integral establece que:

& &E ds

ddt

• = −∫ Ψ(2.1.1)

es decir, que, a lo largo de un camino de integración cerrado, la integral de lacomponente del campo eléctrico

&

E paralela al camino de integración es igual a larapidez de variación del flujo Ψ enlazado por ese camino de integración. Esta leyconstituye una de las piedras angulares de la Electrotecnia, pues establece la relaciónentre el campo eléctrico y el campo magnético que lo origina.

Debido a la relación existente entre la intensidad del campo eléctrico y la densidad decorriente asociada a ese campo:

σ= j

E

&&

(2.1.2)

y a la relación entre la intensidad delcampo magnético

&

H y la corrienteabrazada por éste, planteada por laley de Ampere, esta y la ley deFaraday constituyen también el nexoentre la teoría de campos y la teoríade circuitos.

Para ilustrar esta relación considéresenuevamente a un reactor toroidal connúcleo de aire en cuyo interior sedesarrolle un campo que en primeraaproximación puede ser consideradocomo homogéneo (figura 2.1.1). El campo eléctrico en el interior del conductor enrolladosobre el núcleo también sea homogéneo.

Figura 2.1.1. Reactor en forma de toroide

r

v

i1

2

capítulo 2: reactor 2-18

Con esta aproximación y considerando la relación (2.1.2), la integral curvilínea cerradadel primer miembro de la ecuación (2.1.1) toma la forma:

& & & & & &E ds j ds E ds• = • + •∫∫ ∫1

12

1

2

12

2

1

σ(2.1.3)

donde el camino de integración cerrado se ha dividido en dos tramos, el primero de loscuales va de 1 a 2 por el conductor y corresponde al primer término del segundomiembro de (2.1.3) mientras que el segundo va de 2 a 1 a través de la fuente.

Como los campos son paralelos al camino de integración, las integrales del segundomiembro de (2.1.3) se convierten en integrales simples cuya integración es trivial,obteniéndose que :

& &E ds

lq

i v R i vcu

cucu• = ⋅ − = −∫ σ

(2.1.4)

donde lcu es la longitud del conductor entre 1 y 2, qcu es su sección transversal, σ laconductividad y j12 la densidad de corriente constante sobre la sección y a lo largo delconductor. La tensión v corresponde a la diferencia de potencial entre 1 y 2, impuestapor la fuente.

Se aprecia que el campo asociado a la corriente en el conductor del toroide ha quedadorepresentado circuitalmente por una resistencia equivalente, en la que se disipa lamisma energía que en el conductor original.

En cuanto al segundo miembro de (2.1.1), se había establecido anteriormente (párrafo1.2) la siguiente relación entre el flujo en el interior del toroide y la corriente que loproduce:

Φ = ⋅µπ

Nqr

i2

(2.1.5)

Considerando que este flujo es enlazado N veces por el conductor, el flujo totalenlazado por el camino de integración 1-2 vale

Ψ Φ= = ⋅Nq

rN iµ

π22 , (2.1.6)

apreciándose que para medios de permeabilidad constante el enlace de flujo Ψ esdirectamente proporcional a la corriente i. El factor de proporcionalidad lo constituye lainductancia


22

2NN

rq

L Λ=π

µ= , (2.1.7)

cuyo valor depende de la geometría del circuito magnético a través de la permeanciaΛ.

Se aprecia que el campo magnético en el interior del toroide ha quedado representadopor una inductancia equivalente en la que se acumula la misma energía que en elcampo original.

Reemplazando finalmente lasrelaciones (2.1.4) y (2.1.6) en (2.1.1)se logra, después de reagrupar lostérminos, la siguiente ecuación:

v R i Ldidt

= + , (2.1.8)

que corresponde a la ecuación deKirchhoff para la malla RLrepresentada en la figura 2.1.2.

Las leyes de Ampere y de Faraday,que son relaciones entre variables de campo que dependen del espacio y del tiempo,se han reducido a las leyes de Kirchhoff, que son relaciones entre variables de circuitoque sólo dependen del tiempo.

Desde el punto de vista energético las ecuaciones (2.1.1) y (2.1.8) son totalmenteequivalentes y la malla de la figura 2.1.2 constituye el circuito equivalente del dispositivode la figura 2.1.1. Cada elemento del circuito equivalente representa un efecto físico deldispositivo original, como la conversión de energía eléctrica en calor, la acumulación deenergía magnética y la relación entre la corriente y el enlace de flujo. Las variables determinales del circuito equivalente son idénticas con las del dispositivo original.

Estas características, junto con la mayor simplicidad de la teoría de redes, hacendeseable disponer de un procedimiento para derivar en forma sistemática el circuitoequivalente de dispositivos electromagnéticos más complejos, para poder caracterizar yanalizar su comportamiento en términos de las variables de terminales.Para ello es necesario examinar previamente los efectos físicos más comunes en losdispositivos electromagnéticos.

Figura 2.1.2. Circuito galvánico equivalentepara el reactor toroidal.

v

i

L qr

N= µπ2

2Ψ

Rculcuqcu

=⋅σ


2.2 Efectos físicos en el reactor

El objetivo fundamental de un reactor es la acumulación de energía magnética. Porrazones económicas, en su construcción se trata de ocupar un mínimo de materialactivo (fierro, cobre), lo que implica el uso de densidades de flujo y de densidades decorriente lo más altas que sea posible, sin que las pérdidas en el fierro y las pérdidasen el cobre determinen un calentamiento superior al admisible para el material aislanteutilizado.

El uso de valores elevados para la inducción determina la saturación del núcleo, que serefleja en la disminución de la permeabilidad de éste. Como consecuencia de loanterior, una cierta fracción del flujo se dispersa del camino magnético previsto (através del núcleo) y se cierra a través del aire. Eso implica la aparición de un circuitomagnético adicional, en paralelo con el correspondiente al núcleo (figura 2.1.1).

Cuando se excita al reactor con corrientes de alta frecuencia se hace sentir el campoeléctrico entre las capas del devanado y entre estas y el núcleo. Las correspondientescorrientes de desplazamiento ahora se hacen significativas en comparación con lacorriente por el devanado y alteran la distribución de tensión a lo largo del devanado yla relación entre las variables de terminales. Este efecto se puede incluir en el circuitoequivalente mediante capacitancias, pero no será considerado en este capítulo.

2.2.1 Dispersión magnética

Por flujo de dispersión se entiende aquellafracción del flujo total que no contribuye a unpropósito determinado. El propósito del núcleodel reactor es servir de camino de bajareluctancia para el flujo creado por eldevanado. Por lo tanto, el flujo que no sigueese camino es considerado como flujo dedispersión.Del esquema de la figura 2.2.1 se desprendeque el flujo de dispersión del reactor se cierraprincipalmente por el aire, a través de víasparalelas a las del flujo principal.

La introducción del concepto dispersiónmagnética implica la división del espacio en dos regiones, una asociada al flujo principaly otra asociada al flujo de dispersión. A cada una de estas regiones está adscrita unafracción de la energía magnética total.

Figura 2.2.1 Flujo de dispersión de unreactor.


Este punto de vista es recogido porel modelo de la figura 2.2.2,formado por un circuito magnéticoideal con dos ramas en paralelo. Elentrehierro incluido en cada ramaes tal que la energía magnéticaacumulada en él sea igual a la dela respectiva región del espacioque se está modelando.

De acuerdo con el modelo

Φ Φ Φt m= + σ .(2.2.1)

Al introducir la fuerza magnetomotriz común y las permeancias correspondientes a cadarama se logra:

Φ Λ Λ Λ Λt m mF F Ni= + = +σ σ( ) . (2.2.2)

Para representar correctamente la energía

W F N im σ σ σ= =12

12

2 2Φ Λ , (2.2.3)

asociada al campo de dispersión, la permeancia de la rama de dispersión debe ser talque

Λσσ=

22 2

W

N im

. , (2.2.4)

donde el valor de Wm σ se supone conocido.

La distinción entre campo en el aire y campo en el fierro se hace necesaria porque elcampo en el aire es conservativo, mientras que el campo en el fierro, cuando es alterno,es disipativo. Este último aspecto estaba explícitamente excluido en el toroide de lafigura 2.1.1 y será el objetivo del próximo párrafo.

2.2.2 Pérdidas en el fierro

La expresión para el flujo reproducida en (2.1.5) sólo es rigurosamente válida en el casode una excitación continua o cuando el núcleo está formado por material no conductor.Cuando el núcleo es de material ferromagnético y es excitado por corrientes alternas, el

Figura 2.2.2. Esquema de un circuito magnético equivalente para el reactor.

i

N

Φt

Φm

Φσ


flujo alterno induce corrientes adicionales, que circulan en el interior del núcleo,abrazando el flujo que las induce. Estas corrientes parásitas modifican la distribucióndel flujo sobre la sección del núcleo, haciéndola inhomogénea, y también son la causade la conversión irreversible de energía eléctrica en calor, conocida como pérdidas deFoucault o de corrientes parásitas.

El efecto amplificador de flujo de los materiales ferromagnéticos puede interpretarsecualitativamente postulando la existencia de imanes moleculares. Cuando el material essometido a un proceso de magnetización alterna estos imanes tienen que reorientarsedos veces por ciclo, lo que requiere de energía, cuya transformación en calor puedeatribuirse al roce entre los imanes moleculares durante su reorientación. La cantidad deenergía convertida en calor por cada ciclo es proporcional al área del lazo de histéresis,conociéndose esas pérdidas como pérdidas de histéresis .

Para los fines de la modelación de estos efectos físicos mediante el circuito equivalentebasta su análisis cualitativo sobre la base de aproximaciones relativamente groseras,que permiten evitar desarrollos matemáticos más complejos, pero mantienen lainformación relevante.

2.2.2.1 Pérdidas de Foucault.

Considérese una platina de materialferromagnético de resistencia específica ρ,de longitud l y sección rectangular tal, queel espesor d sea mucho menor que elancho b (figura 2.2.3). En el interior de laplatina exista un campo alterno sinusoidalde frecuencia angular ω que en primeraaproximación puede ser considerado comohomogéneo.

Un circuito coincidente con los lados de lasección rectangular abrazaría un flujo cuyovalor máximo sería Φm mB b d= ⋅ , alsuponer que el campo es homogéneo, yen él se induciría la tensión

vddt

t t V ti m m i= = =( sen ) cos cosΦ ω ωΦ ω ω2 (2.2.5)

que haría circular una corriente limitada sólo por la resistencia de ese circuito.

Dadas las proporciones de la platina, para la resistencia del circuito se puede plantearen primera aproximación

Figura 2.2.3. Platina de material

ferromagnético.

b

l

d

Φm


Rb

dl

≈⋅

ρ2

2

. (2.2.6)

Considerando las relaciones (2.2.5) y (2.2.6), las pérdidas por corrientes parásitas porunidad de volumen estarían dadas por

PV V

VR

B dF i m= ≈1

4

2 2 2 2

( )ω

ρ(2.2.7)

donde V bdl= es el volumen de la platina.

A pesar de las aproximaciones usadas en su obtención, la relación (2.2.7) reflejaadecuadamente la influencia de los principales parámetros sobre las pérdidas porcorrientes parásitas. Así se aprecia que éstas pueden ser reducidas notablemente através de la disminución del espesor de la platina y mediante el aumento de laresistencia específica.

Esta conclusión se refleja en la práctica en el uso de chapas silicosas de 0,35 mm deespesor, aisladas eléctricamente entre sí, para la construcción de núcleos y circuitosmagnéticos sometidos a excitación alterna.

Por otra parte, el uso de chapas aisladas no solamente atenúa la magnitud de lascorrientes parásitas, sino que, al fijarles los circuitos por los cuales pueden circular,también limita su desarrollo espacial sobre la sección del núcleo, con lo que se recuperauna distribución de inducción prácticamente homogénea.

En consecuencia, para frecuencias industriales (50Hz) los núcleos laminados puedenser modelados con el concepto de circuito magnético y el único fenómeno adicional quehay que considerar son las pérdidas debidas a las corrientes parásitas.

Para fines prácticos las pérdidas en el fierro debidas a las corrientes parásitas opérdidas de Foucault se expresan como

P C Bf d

mF F m=

2

2 2

50 0 5,W (2.2.8)

donde m es la masa en kg y CF es la cifra de pérdidas por corrientes parásitas, quecorresponde a las pérdidas en W en 1kg de chapas de 0,5mm de espesor, medidaspara una inducción máxima de 1T y una frecuencia de 50Hz.

La cifra de pérdidas por corrientes parásitas CF varía entre valores del orden de 0,16W/kg para chapas de grano orientado para uso en transformadores y valores del ordende 0,8 W/kg para el uso en motores de potencia fraccionaria.


2.2.2.2 Pérdidas por histéresis

En el análisis precedente se había supuesto tácitamente que la permeabilidad delmaterial del núcleo era constante. Ahora se relajará esa restricción para examinar másdetenidamente una característica nolineal propia de los materiales ferromagnéticos ysus consecuencias.

Resulta que la característica de magnetización de los materiales ferromagnéticos no esunívoca, vale decir, a un determinado valor de la intensidad del campo H no lecorresponde un valor de inducción B único, sino que ese valor depende de la historiamagnética previa del material.

En un material ferromagnético sometido a una magnetización alterna de amplitud yfrecuencia constantes se establece finalmente un estado cíclico que en el plano B-Htoma la forma del lazo de histéresis .Esta característica empírica refleja el efecto de lasaturación y de la histéresis sobre el campo magnético y constituye el punto de partidapara el análisis que sigue.

Para fijar las ideas, considérese nuevamente un reactor de núcleo toroidalferromagnético de radio r y sección q. El campo, confinado al volumen del toroide,puede ser considerado homogéneo. La resistencia del enrollado de N vueltas seadespreciable.

La energía suministrada al campo a través de los terminales de la bobina en el lapso dtvale:

dW pdt iv dt iNd iNq dB= = = =Φ

pero como iN r H= 2π

dW rq HdB V HdB= =2π , (2.2.9)

donde V rq= 2π es el volumen del toroide.

En consecuencia, la energía magnética suministrada al campo cuando la inducción Bvaría desde un valor inicial B1 hasta un valor final B2 vale

W V HdBB

B

= ∫1

2

(2.2.10)

y como se trata de un campo homogéneo, la densidad de energía, o energía por unidadde volumen, queda expresada por la relación:


w HdBB

B

= ∫1

2

. (2.2.11)

Esta última relación es válida para cualquier campo, ya que todo campo puede sertomado por homogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas. Suinterpretación geométrica corresponde a un elemento de área en el plano B-H.

Esta interpretación permite visualizar las pérdidas de histéresis por ciclo y por unidad devolumen como el área encerrada por el lazo de histéresis.

Para comprobarlo, basta recorrer ellazo de histéresis de la figura 2.2.4durante un ciclo de la excitación. En elprimer cuarto de ciclo H varía entre 0 y+Hmax y la inducción B lo hace entre -Br

y +Bmax. La energía absorbidacorresponde al área entre la ramaascendente (abc) de la curva H(B) y eleje de ordenadas. En el segundocuarto de ciclo H varía entre +Hmax y 0y la inducción B lo hace entre +Bmax y+Br. El área bajo la rama descendente(cd) de la curva H(B) y el eje deordenadas es ahora negativa ycorresponde a la energía devuelta a lafuente. De manera que la energía porunidad de volumen neta absorbidadesde la fuente durante el primersemiciclo de la función de excitación(corriente) corresponde al área abcd0aen la figura 2.2.4. La continuación delanálisis durante el segundo semiciclo

de la corriente permite comprobar la relación entre el área del lazo de histéresis y laenergía disipada por unidad de volumen del núcleo en cada ciclo debido a la histéresis.A Steinmetz se debe la siguiente expresión empírica para las pérdidas específicas porhistéresis

w BH maxx= η (2.2.12)

cuyos parámetros η y x deben ser determinados experimentalmente para cada materialespecífico. Para fines analíticos se supone que el exponente de Steinmetz toma el valorx=2.

En consecuencia, las pérdidas por histéresis para un núcleo de volumen V excitadocon corrientes de frecuencia f valen

Figura 2.2.4. Lazo de Histéresis

H

+Hmax

+Hc

+Bmax

+Br

-Br

- Bmax

-Hc

-Hmax

B

0 b

c

d

a


P fB VH max≈ η 2 (2.2.13)

Para fines prácticos se utiliza la fórmula

P C Bf

mH H max=

2

50W (2.2.14)

donde m es la masa del núcleo en kg, CH es la cifra de pérdidas por histéresis quecorresponde a las pérdidas en W en 1 kg de material, medidas para una inducciónmáxima de 1 T y frecuencia igual a 50 Hz.

CH varía típicamente entre 0,4W/kg para chapas de transformadores y 1,6W/kg parachapas de motores de potencia fraccionaria.

2.2.3 Corriente magnetizante compleja

La forma peculiar del lazo de histéresis implica una relación nolineal entre la inducciónB y la intensidad de campo H y por lo tanto entre la tensión y la corriente magnetizante.

Al aplicar al devanado de excitación una tensión sinusoidal se fuerza que el flujo, y porlo tanto la inducción, sea sinusoidal. La característica B(H) nolineal determina que H ypor lo tanto la corriente magnetizante sean nosinusoidales, es decir, que junto a lacomponente fundamental aparezcan armónicas impares.

La figura 2.2.5 ilustra la obtención gráfica de la forma de onda de la corriente a partir dela forma de onda de la inducción y del lazo de histéresis estático, trazado con línea llena(no incluye el efecto de las corrientes parásitas).

Como el circuito equivalente está compuesto por elementos lineales y por esa razón nopuede reproducir efectos nolineales, la corriente magnetizante compleja tiene que serreemplazada por una corriente sinusoidal equivalente cuyos parámetros característicos:amplitud, frecuencia y fase están determinados por las siguientes exigencias:

Amplitud : El valor efectivo de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual alvalor efectivo de la corriente compleja que reemplaza

I I I I= + + +12

32

52 ....... (2.2.15)


Figura 2.2.5. Determinacion gráfica de la corriente de excitación delreactor.

i, H

Lazo estático

Lazo dinámico

i Hi H+iF

B,Φ

i F wt

Φ

Frecuencia : La frecuencia de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual a lafrecuencia fundamental de la corriente compleja que reemplaza

f = f1 (2.2.16)

Fase: El ángulo de fase de la corriente sinusoidal equivalente respecto a latensión inducida Vi debe ser tal que las pérdidas sean las mismas

ϕ =+

arccos

P PV IH F

i

. (2.2.17)

2.2.4 Pérdidas en el cobre

Al integrar la expresión (2.1.3) se había supuesto que el campo eléctrico en el interiordel conductor fuera homogéneo. Esto se cumple en el caso de corrientes continuas, porlo que la potencia disipada en el conductor al circular una corriente continua deintensidad I por él vale

P V I R Icu = = 2 (2.2.18)

donde Rlq

= ρ es la resistencia de corriente continua.


Esta relación se puede reescribir como

( )Plq

q j j Vcu cu= =ρ ρ2 2 , (2.2.19)

con Vcu=ql volumen del conductor, de la que se desprende que las pérdidas por unidadde volumen están dadas porp jcu = ρ 2 , (2.2.20)

relación de validez general, ya que cualquier campo puede ser tomado comohomogéneo si se considera regiones suficientemente pequeñas.

En cambio con excitación alterna el volumen del conductor es ocupado por un campomagnético alterno que induce en el conductor corrientes parásitas que alteran ladistribución de la densidad de corriente sobre la sección del conductor haciéndolanohomogénea, por lo que las pérdidas deben determinarse a partir de

P j dV l j dqcu ca cuV qcu

, = =∫∫∫ ∫∫ρ ρ2 2 . (2.2.21)

Resulta que para distribuciones nohomogéneas

j dqq

2∫∫ > Iq

2

(2.2.22)

donde I es el valor efectivo de la corriente en el conductor.

En consecuencia, Pcu,ca > R I2 = Pcu,cc , es decir, las pérdidas con corriente alterna deigual valor efectivo que una corriente continua son mayores que las causadas por lacorriente continua.

En la práctica se considera este hecho definiendo una resistencia para corriente alternaRca > R tal que

P R Icu ca ca, = 2 , (2.2.23)

reduciendo de esta manera el problema a uno homogéneo equivalente. El valor de laresistencia equivalente para corriente alterna depende de la geometría de la bobina, dela sección de los conductores y de la frecuencia. Para frecuencias industriales (50Hz) elvalor es del orden de un 10% superior al de la correspondiente resistencia paracorriente continua.


2.3 Circuito equivalente.

Por circuito equivalente de una máquina o dispositivo electromagnético se entiende unared de elementos concentrados (resistencias, inductancias, capacitancias), donde cadaelemento representa un efecto físico (acumulación o disipación de energía) asociado aldispositivo original.

En forma más general el término también se aplica a la red que se obtiene de la anteriormediante transformaciones de esta que mantengan la identidad de los terminales de lared (y dispositivo) original.

Para la derivación sistemática de estos circuitos equivalentes resulta convenienteintroducir previamente algunos elementos de la teoría de los circuitoselectromagnéticos.

2.3.1 Circuitos electromagnéticos.

En general, la noción de circuito involucra la aproximación “campos homogéneos”(eventualmente equivalentes) limitados a una región del espacio. Con estaaproximación se hace posible la integración de las ecuaciones de Faraday y de Amperey con ello, la descripción del problema en términos de parámetros , que dependen delas dimensiones geométricas y de las propiedades eléctricas o magnéticas de losmedios, y de variables que sólo son funciones del tiempo.

En el caso de los circuitos electromagnéticos, a esta característica fundamental de loscircuitos se agrega el hecho que su forma topológica siempre puede ser obtenida porinspección del dispositivo físico que se pretende modelar.

Para fijar las ideas, considérese nuevamente el reactor toroidal de la figura 2.1.1, peroahora su núcleo sea de material ferromagnético de permeabilidad y resistividad finitas yconstantes. En consecuencia, en él se acumulará energía magnética y, en caso de flujo alterno,también se producirán pérdidas.

La energía acumulada en el campo, que se concentra en el núcleo, es igual a ladensidad de energía (en el caso lineal igual a BH2

1 ) por el volumen del toroide:

W H rqm = ⋅12

22µ π (2.3.1)

Reemplazando rNi

H m

π=

2 queda

222

21

221

mmm iLiNr

qW =⋅

πµ= (2.3.2)


Se aprecia que la energía magnética queda expresada en términos del parámetroinductancia (L) y de la variable corriente (im).

Si ahora también se consideran las pérdidas en el fierro, estas se determinan como

P C f B rq C fr

qfe m m= ⋅ = ⋅( ) ( )2 222

ππ

Φ , (2.3.3)

donde C f( ) es la cifra de pérdidas por unidad de volumen para cierta frecuencia f y unainducción máxima de 1T.

Considerando que con excitación sinusoidal V N m= ω Φ / 2 , se logra la expresión

P C fr

q NV

RVfe

fe

= ⋅ =( )2

21

2 22 2π

ω. (2.3.4)

donde las pérdidas quedan expresadas en términos del parámetro resistencia ( Rfe ) yde la variable tensión (V).

De las relaciones (2.3.2) y (2.3.4) se desprende que desde el punto de vista energéticoel dispositivo original de la figura 2.1.1 es equivalente al modelo de la figura 2.3.1,donde el núcleo real ha sido reemplazado por un núcleo ideal provisto de dos bobinasideales de N vueltas cada una, a cuyos terminales están conectadas respectivamenteuna inductancia, que acumula la energía magnética que estaba asociada al núcleo real(impedancia magnética conservativa), y una resistencia, en la que se disipa la energíaequivalente a las pérdidas en el fierro del núcleo real (impedancia magnética disipativa).

A cada bobina ideal se puede asociar unafuerza magnetomotriz, relacionada con el flujoabrazado por esa bobina mediante unaimpedancia magnética:

F Z= m Φ (2.3.5)

Al reemplazar la fuerza magnetomotriz entérminos de la corriente, F I= N , y el flujo entérminos de la tensión inducida por él en labobina, V = j Nω Φ , se logra una relaciónentre la impedancia magnética y laimpedancia “eléctrica” , Z V I= / , conectadaa los terminales de la bobina ideal:

ZZ

2Njm

ω= (2.3.6)

Figura 2.3.1. Circuito electromagnéticode un electroimán connúcleo de fierro.

v1

Φ

N

N

N

im

RFei1 v

L

µσ

∞0


En términos de las variables flujo y fuerza magnetomotriz y del parámetro impedanciaelectromagnética el dispositivo original puede ser reducido al circuito electromagnéticode la figura 2.3.2.

En el caso más general, un circuitoelectromagnético está constituido porcombinaciones en serie y en paralelo deimpedancias electromagnéticas, que puedenser reducidas a impedancias equivalentes.

Para encontrar la expresión correspondiente auna combinación serie de dos impedanciaselectromagnéticas (figura 2.3.3) debeconsiderarse que el flujo es común a los doselementos y que la fuerza magnetomotrizequivalente es igual a la suma de las fuerzasmagnetomotrices correspondientes a cadaelemento:

F F F= +1 2 (2.3.7)

Expresando las fuerzas magnetomotrices de los elementos en términos de lascorrespondientes impedancias electromagnéticas y del flujo común se obtiene:

FZ Z

= +

⋅j Nω 2

1 2

1 1 Φ (2.3.8)

Se aprecia que la impedancia magnética equivalente

Figura 2.3.2. Circuito electromagnéticoserie

Φ

Φ

Zm1

Zm2F2

F1

F

Figura 2.3.3. Reducción de dos impedanciasmagnéticas en serie

Φ

F2

F1

F Z1N

Φ

Z2

N

N Z1

Z2

⇔


ZZ ZZ Zm j N=

+⋅

ω 2 1 2

1 2

(2.3.9)

está formada por una bobina ideal de N vueltas a cuyos terminales está conectada unaimpedancia que corresponde a la conexión en paralelo de las impedancias asociadas acada elemento.

Para encontrar la impedancia magnética equivalente de una combinación en paralelo dedos elementos (figura 2.3.4) debe considerarse que ahora la fuerza magnetomotriz escomún a ambos elementos, mientras que el flujo resultante es igual a la suma de losflujos por cada elemento:

Φ Φ Φ= +1 2 (2.3.10)

Reemplazando el flujo a través de cada elemento en términos de la fuerzamagnetomotriz común y de las correspondientes impedancias magnéticas se obtiene:

Φ =+

⋅Z Z

F1 22j Nω

(2.3.11)

de lo que se desprende que la impedancia magnética equivalente vale en este caso:

ZZ Zm j N=

+ω 2

1 2

1. (2.3.12)

Está formada por una bobina de N vueltas a cuyos terminales está conectada unaimpedancia equivalente a la conexión serie de las impedancias correspondientes a cadaelemento.Topológicamente las impedancias magnéticas y eléctricas se comportan comoelementos duales.

Figura 2.3.4. Reducción de dos impedancias magnéticasen paralelo.

Φ2

N

Z1

N

Φ

Z2

F N Z2

Φ1

Φ

Z1 ⇔ F


Los conceptos hasta aquí desarrollados son suficientes para la obtención sistemática delos circuitos equivalentes de aparatos electromagnéticos.

2.3.2 Circuito equivalente del reactor

El procedimiento general para la obtención del circuito equivalente consiste en:

• La fijación de la topología del circuitomagnético ideal que incluya a todoslos flujos que se quiera representar.

• La inclusión, en los lugares quecorresponda, de las impedanciasmagnéticas correspondientes a losefectos físicos que se deseerepresentar.

• La reducción del circuitoelectromagnético resultante, mediantecombinaciones en serie o en paralelode impedancias magnéticas,manteniendo la identidad de losterminales externos.

Para el caso específico del reactorse puede identificar un flujocomún, abrazado por la bobina deexcitación, que fuera de ella,debido a la permeabilidad finita delfierro del núcleo y a la eventualpresencia de un entrehierro, sedivide en un flujo por el núcleo yen un flujo por el aire. Lacorrespondiente topología delcircuito magnético ideal semuestra en la figura 2.3.5, dondela bobina de excitación real hasido convenientementereemplazada por una bobina idealy una resistencia en serie querepresenta las pérdidas en elcobre de la bobina real.

Si ahora se supone en primera aproximación que las pérdidas en el fierro pueden serasociadas solamente al flujo en el núcleo, se las puede representar mediante la

Figura 2.3.5. Circuito magnético ideal del reactor con dispersión.

ΦσN

Φ Φm

I

R

Figura 2.3.6 Circuito electromagnético del reactor

Φm

N

N

RFe

Lm

LσNN

Φ

ΦσI

R


correspondiente impedancia magnética (disipativa) ubicada en esa rama del circuitomagnético.

Las energías magnéticas asociadas respectivamente a los flujos en el núcleo y en elaire se representan mediante sendas impedancias magnéticas (conservativas) en lascorrespondientes ramas del circuito magnético.

La figura 2.3.6 muestra el circuito electromagnético obtenido en la forma descrita.

Los pasos siguientes sonpuramente rutinarios yconsisten en la reducciónde las dos impedanciasen serie a una impedanciaequivalente y de las dosimpedancias en paralelo aotra impedanciaequivalente (figura 2.3.7)y luego en la reducción delas dos impedancias enserie, resultantes de laoperación anterior, a unasola impedanciaequivalente (figura 2.3.8).

El resultado final de estas operaciones es una red eléctrica conectada en paralelo conun reactor ideal. Este último equivale a un circuito abierto, ya que no absorbe corriente(H=0), y por lo tanto puede ser ignorado.

Toda la información relevante respecto al reactor está contenida en la red eléctrica. Ellaconstituye el circuito equivalente del reactor. Cada elemento representa un fenómenofísico de éste que ha sido considerado en el proceso de modelación. Su impedancia deentrada es igual a la del reactor original, si se asigna los valores adecuados a los cuatroparámetros.

Si se intenta determinar los valores de los cuatro parámetros a partir de mediciones detensión, corriente y potencia en los terminales del reactor se encuentra que estasmediciones sólo permiten determinar dos parámetros: una resistencia equivalente y unainductancia equivalente. No es posible determinar separadamente, por ejemplo, lainductancia de dispersión. Este hecho pone límites prácticos en el momento de formularel modelo de un dispositivo electromagnético, pues un modelo cuyos parámetros nopueden ser verificados empíricamente es de poca utilidad práctica.

Figura 2.3.7 Reducción del circuito electromagnético

Φm

N N Lσ RFe

I LσR


2.4 Tensión inducida

En su formulación más general de la ecuación (2.1.1), la ley de Faraday no imponeninguna restricción sobre la forma en que varía el flujo con el tiempo. Sólo estableceque cada vez que varíe el flujo enlazado por un circuito cerrado se inducirá una tensiónen éste.

Considérese ahora el importante caso particular en el que el flujo es una funciónperiódica del tiempo (figura 2.4.1):

ψ ψ( ) ( )t t T= + (2.4.1)

Ψ

t

Ψmax

T

Figura 2.4.1 Función periódica de período T

Ψmin

Φm

N

I R Lσ

RFeLm

i=0

circuito equivalente reactor ideal

Figura 2.3.8. Resultado final de la reducción del circuitoelectromagnético del reactor


El valor medio de la tensión inducida por la variación del flujo durante el período T estádado por la expresión

VT

v dtmedt

t T

=+

∫1

1

1

(2.4.2)

que, al reemplazar vddt

=ψ

y cambiar los límites correspondientemente, toma la forma

( )VT

dT

t T tmed = = + −∫1 1

1

2

1 1ψ ψ ψψ

ψ

( ) ( ) (2.4.3)

donde se puede apreciar que el valor medio de la tensión inducida sólo depende delvalor inicial y del valor final del flujo enlazado, siendo independiente de los valoresintermedios. Esto implica que sobre un período el valor medio de la tensión inducida escero.

Si ψ (t) es tal que el valor máximo Ψmax y el valor mínimo Ψmin están separados por unsemiciclo, el valor medio vale

( )VTmed max min= −2

Ψ Ψ (2.4.4)

y si adicionalmente Ψ Ψ Ψmax min m= − = , la expresión para el valor medio de la tensióninducida se reduce a

VTmed

m=4Ψ

(2.4.5)

Si el circuito inducido corresponde a un devanado concentrado, cuyas N vueltasenlazan todas el mismo flujo Φm , entonces Ψm = NΦm y

V f Nmed m= 4 Φ . (2.4.6)

La relación entre el valor efectivo V y el valor medio se conoce como factor de forma

ξ =V

Vmed

, (2.4.7)

cuyo valor depende de la forma de onda.

Para ondas sinusoidales el factor de forma vale


ξ π= =2 2

111, (2.4.8)

y por lo tanto el valor efectivo de la tensión inducida vale en este caso:

V f N m= 4 44, Φ . (2.4.9)

Esta forma más especializada de la ley de Faraday es el punto de partida para eldimensionamiento de máquinas y dispositivos de corriente alterna.

3. El transformador

3.1 Introducción

La ley de Faraday establece la relación entre la tensión inducida en un circuito y larapidez de la variación del flujo enlazado por ese circuito, dejando abierto el origen delflujo y de la causa de la variación del flujo.

Si el origen del flujo enlazado por un circuito (1) se encuentra en la corriente que circulapor otro circuito (2), se dice que esos dos circuitos están acoplados inductivamente.Esta influencia inductiva recíproca se caracteriza mediante la inductancia mutua L12 =L21, parámetro que en conjunto con las inductancias propias de esos circuitos L1 y L2

permite describir el flujo enlazado por cada circuito en términos de las corrientes i1 y i2en esos circuitos:

ψψ

1 1 1 12 2

2 21 1 2 2

= += +

L i L i

L i L i(3.1.1)

Los valores de las inductancias mutuas y de las inductancias propias dependen de lageometría de los circuitos y de la permeabilidad del medio. En presencia de materialesferromagnéticos el valor de la permeabilidad depende del grado de saturación, por loque las inductancias dejan de ser constantes.

Para evitar las dificultades implícitas en el hecho que todas las inductancias seannolineales se ha buscado formas alternativas para describir el acoplamiento inductivoentre bobinas a través de la definición de esquemas de acoplamiento inductivo basadosen flujos ficticios.

Debido a la distribución espacial de los circuitos no todo el flujo enlazado por el circuitoinductor es también enlazado por el circuito inducido. El acoplamiento magnético esimperfecto y se habla de dispersión inductiva.

En la teoría clásica del transformador de dos devanados, cuyo estudio es el objetivo deeste capítulo, el acoplamiento inductivo imperfecto se modela definiendo un flujo comúna ambos devanados y sendos flujos de dispersión, cada uno acoplado sólo con uno delos devanados. Se supone los flujos de dispersión se cierran principalmente por el aire,por lo que las correspondientes inductancias serán constantes.

El circuito magnético ideal así definido se completa para formar el circuitoelectromagnético a partir del cual se logra en forma rutinaria el circuito equivalente deltransformador, de cuyos parámetros inductivos solamente uno depende de lasaturación.

capítulo 3: transformador 3-39

Sobre la base de ese modelo se analiza las características de funcionamiento deltransformador de dos devanados.

3.2 Dispersión inductiva y esquema de acoplamiento inductivo

Sean dos circuitos de geometría cualquiera, rodeados de un medio de permeabilidadconstante µ0 . Los enlaces de flujo de esos circuitos están definidos por la relaciones(3.1.1) y los parámetros L1 , L2 y L12 pueden ser determinados mediante mediciones enlos terminales de los dos circuitos. La resistencia de los circuitos sea despreciable.

Para los circuitos rige respectivamente:

vddt1

1=ψ

(3.2.1)

vddt2

2=ψ

(3.2.2)

Supóngase ahora que el circuito 2 esté cortocircuitado , es decir, v2 = 0.

De acuerdo con (3.2.2) esto implica que el flujo enlazado por el circuito 2 debepermanecer constante, lo que en ausencia de corriente continua significa que debe sercero.

Considerando esto en (3.1.1) se logra la siguiente expresión para el flujo enlazado porel circuito 1 estando el circuito 2 cortocircuitado:

ψ112 21

1 21 11= −

L LL L

L i (3.2.3)

Como ψ2 0= , el flujo producido por la corriente i1 en esas condiciones no puedeenlazar el devanado 2 y debe cerrarse a través de vías de dispersión.

La expresión entre paréntesis se conoce como coeficiente de dispersión total

σ = −1 12 21

1 2

L LL L

(3.2.4)

es una medida del grado de acoplamiento inductivo entre los dos circuitos y tiene unaestrecha relación con el coeficiente de acoplamiento k de la teoría de redes:

σ = −1 2k (3.2.5)


σ varía entre 0 para circuitos perfectamente acoplados y 1 para circuitos totalmentedesacoplados.

El sistema de dos bobinas de geometría indefinida hasta aquí considerado no posee uncircuito magnético en el sentido del concepto definido en el capítulo 1.

Sin embargo, mediante una conveniente manipulación de las ecuaciones (3.1.1) esposible crear las ficciones flujo común y flujos de dispersión.

Para ello las ecuaciones (3.1.1) se reescriben en forma amplificada como sigue:

ψ λ λ

ψ λ λ1 1 1 12 2 1 21 1 1 21 1

2 2 2 21 1 2 12 2 2 12 2

= + + −

= + + −

L i L i L I L i

L i L i L i L i(3.2.6)

donde λ1 y λ2 son constantes arbitrarias .

Reagrupando los términos de (3.2.6) se logra

ψ λ λψ λ λ

1 1 1 12 1 12 1 1 2

2 2 2 12 2 12 2 2 1

= − + += − + +

( ) ( )

( ) ( )

L L i L i i

L L i L i i(3.2.7)

donde puede apreciarse que como resultado de la manipulación los enlaces de flujo ψ1

y ψ2 aparecen formados por dos componentes : una debida exclusivamente a lacorriente del propio circuito y otra en que participan las corrientes de ambos circuitos.

A las componentes

ψ λψ λ

σ σ

σ σ

1 1 1 12 1 1 1

2 2 2 12 2 2 2

= − == − =

( )

( )

L L i L i

L L i L i(3.2.9)

se las denomina enlaces de flujo de dispersión, mientras que a las componentes

ψ λψ λ

m

m

L i i

L i i1 12 1 1 2

2 12 2 2 1

= += +

( )

( )(3.2.10)

se las denomina enlaces de flujo principal.

Entre los coeficientes arbitrarios λ1 y λ2 se puede establecer una relación, si se exigeque las inductancias de dispersión Lσ1 y Lσ2 definidas en (3.2.9) se anulen cuando elcoeficiente de dispersión total σ se hace cero.

Reemplazando


L L L

L L L1 1 12 1

2 2 12 2

= += +

λλ

σ

σ(3.2.11)

en la relación (3.2.4) queda:

σλ λ λ λσ σ σ σ

= −+ + +

1 122

1 2 122

1 2 12 1 1 2 2

LL L L L L L( )

(3.2.12)

de donde se desprende que con L Lσ σ1 2 0= = σ sólo se anula si

λ λ1 2 1= . (3.2.13)

El establecimiento de una relación, exigible desde el punto de vista de la física, entre elcoeficiente de dispersión total σ , que es una medida del grado de acoplamiento de loscircuitos reales, y las inductancias de dispersión ficticias Lσ1 y Lσ2 , que representan elacoplamiento imperfecto en el esquema de acoplamiento inductivo, reduce el númerode parámetros arbitrarios a uno solo:

λλ1

2

1= (3.2.14)

del que se puede disponer de acuerdo con la ventaja analítica que se busque. Así, porejemplo, si se hace λ1 1 12= L L , resulta de (3.2.9) que Lσ1 0= , lo que puede ser muyconveniente en algunas ocasiones.

En el caso del transformador de potencia,con sus dos devanados de N1 y N2 vueltasrespectivamente, estrechamenteacoplados a través de un núcleo comúnde material ferromagnético, la teoríaclásica del transformador de dosdevanados dispone del parámetro λ1

postulando el esquema de acoplamientoinductivo de la figura 3.2.1 con un flujoficticio Φm , que enlaza todas las N1

vueltas del devanado (1) y todas las N2

vueltas del devanado (2).Es decir, impone

mm

mm

N

N

Φ=Ψ

Φ=Ψ

22

11(3.2.15)

que al reemplazar (3.2.10) y (3.2.14) toma la forma

Figura 3.2.1 Esquema de coplamiento inductivo

Φm

Φσ1

Φσ2


L i i N

L i i N

m

m

12 1 1 2 1

121

2 1 2

1

( )

( )

λ

λ

+ =

+ =

Φ

Φ(3.2.16)

Al multiplicar la primera de estas ecuaciones por N2 y la segunda por N1 y formar ladiferencia, queda finalmente

( ) ( )N N i NN

i2 1 1 1 21

12 0λ

λ− + − = , (3.2.17)

relación que debe cumplirse para cualquier valor de i1 e i2 , por lo que los coeficientesde i1 y de i2 deben ser nulos, lo que se cumple si

λ11

2

=NN

. (3.2.18)

Como se verá, la introducción de un esquema de acoplamiento inductivo permitedescribir el comportamiento del transformador en forma simple y superar la dificultadasociada a la influencia de la saturación del núcleo sobre las inductancias, pero noautoriza a pensar que los flujos tan arbitrariamente definidos tienen existencia real.Deben ser considerados como ficciones y en cada caso particular hay que averiguarhasta qué punto son identificables con los flujos existentes en el dispositivo que se estámodelando.

La importancia práctica del esquema de acoplamiento inductivo reside en el hecho queen las principales máquinas eléctricas es efectivamente posible asociar razonablementelos flujos del esquema con flujos existentes en diferentes regiones de la máquina,siendo de ese modo posible determinar los correspondientes parámetros a partir de lageometría de la máquina.

3.3 El transformador de potencia.

La transmisión eficiente de energía eléctrica desde los lugares de generación a los deconsumo requiere del uso de diferentes niveles de tensión que se logran mediantetransformadores de potencia.

El transformador de potencia monofásico consiste, en lo esencial, en un núcleo cerradode chapas de alta permeabilidad, sobre el cual están dispuestas dos bobinas. La figura3.3.1 muestra en forma esquemática un dibujo en corte.Para la construcción del núcleo se emplea casi exclusivamente chapas de granoorientado, laminadas en frío, de 0,3mm de espesor, con cifras de pérdidas del orden de0,3W/kg, con las que se alcanza inducciones de 1,7 a 1,9T.


Figura 3.3.1. Esquema del transformadortécnico de dos devanados

Bobina primaria

Núcleo

Bobina secundaria

La alta permeabilidad del núcleo hace que éste se constituya en camino preferencialpara el flujo, por lo que la mayor parte de éste se cierra a través del núcleo, enlazandoasí a ambos devanados. Pero como la permeabilidad del núcleo no es infinita, tambiénhabrá flujo por el aire.

Debido a la extensión geométrica de las bobinas, una parte del flujo por el aire tambiénestá enlazado con ambas bobinas, pero su efecto es insignificante, comparado con eldel flujo en el núcleo. Este hecho autoriza a identificar el flujo en el núcleo con el flujocomún Φm definido en el esquema de acoplamiento inductivo.

Si bien la parte del flujo por el aire que enlaza a ambos devanados es despreciable encomparación con el flujo por el núcleo, no lo es en absoluto en comparación con latotalidad del flujo por el aire. En consecuencia no es posible identificar el flujo por el airecon el flujo de dispersión del esquema de acoplamiento inductivo. Dispersión magnéticay dispersión inductiva son conceptos diferentes.

Sólo si se anula el flujo común, lo que de acuerdo con (3.2.10) ocurre si N i N i1 1 2 2 0+ = ,el aire estaría ocupado exclusivamente por flujo de dispersión. Esta situación se daaproximadamente en cortocircuito.

3.3.1 Circuito equivalente

La definición del esquema de acoplamiento inductivo y la posterior identificación delflujo común de ese esquema con el flujo por el núcleo del transformador de potencia haconvertido la obtención del circuito equivalente del transformador en un ejercicio casirutinario, si se considera la metodología desarrollada en el capítulo 2.


Figura 3.3.2. Esquema de acoplamiento inductivo del transformador.

V1 V2

Φm

Φσ1

Φσ2

N1 N2

En la figura 3.3.2 se reproduce el dibujo en corte del transformador superponiéndole elesquema de acoplamiento inductivo definido en el párrafo anterior. De él se apreciaclaramente la topología del circuito magnético ideal de la figura 3.3.3.

Figura 3.3.3. Circuito magnético ideal del transformador

N1

Φσ2

Φm

R2

Φσ2

R1

N2

Tal como se hizo en el caso del reactor, las bobinas reales, de N1 y N2 vueltasrespectivamente, se reemplazan por bobinas ideales, sin pérdidas, en serie con lascuales se conectan sendas resistencias, cuyo valor es tal que las pérdidas generadasen ellas sean iguales a las pérdidas que se producen en las bobinas reales.

Si ahora se incluye la energía magnética asociada a cada campo de dispersiónmediante una impedancia magnética conservativa por la cual circula el correspondienteflujo y la energía magnética y las pérdidas en el núcleo mediante sendas impedanciasmagnéticas, conservativa y disipativa respectivamente, en serie con el flujo común, selogra el circuito electromagnético de la figura 3.3.4


Figura 3.3.4. Circuito electromagnético del transformadorcon dispersión y pérdidas.

Φm

Lσ2

Φσ1 Φσ2

Lσ1N2

R2R1

N1 N1N2

Rfe Lm

N1 N1

Figura 3.3.5 Reducción del circuito electromagnético.

Φm

Lm Rfe

Lσ1R1 R2Lσ2

N1 N2 V2V1

La reducción de este circuito electromagnético según las reglas vistas en el capítulo 2.lleva al circuito de la figura 3.3.5, donde el transformador real, con dispersión ypérdidas, aparece reemplazado por un transformador ideal, con núcleo depermeabilidad infinita, sin dispersión ni pérdidas, en cuyo primario y secundario estánconectados elementos concentrados que representan los efectos ausentes en eltransformador ideal. El conjunto formado por el transformador ideal y los circuitoseléctricos en el primario y en el secundario es equivalente al transformador real al quereemplaza.

Es costumbre hacer aparecer todas las resistencias e inductancias en un solo circuitoacoplado galvánicamente. Para ello basta reemplazar las dos impedancias magnéticasen serie de la figura 3.3.5 por una equivalente, con bobina ideal de N1 vueltas, cuyafuerza magnetomotriz es igual a la suma de las fuerzas magnetomotricescorrespondientes a cada una de las impedancias.


F F F Z ZZ Z Z

Z= + = + = +

= +

1 2 1 212

1

22

212

1 12

22 2

1 1Φ Φ Φ( )m m jN N

j NNN

ω ω (3.3.1)

Se aprecia que la impedancia magnética equivalente posee N1 vueltas, a cuyosterminales está conectada la impedancia Z1 en paralelo con la impedancia modificada

′ =

Z Z2 2

1

2

2NN

(3.3.2)

conocida como la impedancia del secundario reducida al primario.

En el caso específico de la figura 3.3.5, la impedancia vale:

′ = + +

= ′ + ′ + ′

′Z

VI

VI2 2 2

2

2

1

2

2

2 22

2

R j XNN

R j Xσ (3.3.3)

donde

′ =V V21

22

NN

(3.3.4)

se conoce como la tensión secundaria referida al primario y es la tensión inducida por elflujo común en la bobina de N1 vueltas e

′ =I I22

12

NN

(3.3.5)

se conoce como la corriente secundaria referida al primario y es la corriente que en labobina de N1 vueltas produce la misma fuerza magnetomotriz que la corriente I2 en labobina de N2 vueltas.

El cuociente

nNN

= 1

2

(3.3.6)

se conoce como relación de transformación del transformador.


Como resultado de la reducción descrita se obtiene el circuito equivalente deltransformador referido al primario, representado en la figura 3.3.6, en la que se hasuprimido la bobina ideal, ya que la corriente por ella es nula.

Figura 3.3.6. Circuito equivalente galvánico del transformador.

Xm Rfe

Xσ1 X’σ2 R’2′V2

′I2

jω ′Ψ2jωΨ1j mωΨV1

I1

R1

Nótese que en el proceso de reducción de los parámetros del secundario al primarioestos se transformaron de manera que la potencia disipada y la potencia reactivapermanezcan invariantes:

I R I R22

2 22

2= ′ ′ e I X I X22

2 22

2= ′ ′ (3.3.7)

El circuito equivalente aquí derivado es el punto de partida para el análisis de lascaracterísticas de funcionamiento del transformador en estado sinusoidal estacionario.

3.3.2 Diagrama fasorial

Para el análisis del funcionamiento en estado sinusoidal estacionario se recurreconvenientemente a la representación de las variables en el dominio de frecuencias através de la transformación fasorial.

Las variables transformadas admiten una representación gráfica en el plano complejoque se conoce como diagrama fasorial y que representa un modelo matemáticoequivalente a las ecuaciones de Kirchhoff.

La fundamentación teórica del método fasorial fue desarrollada en el curso de redes,por lo que aquí sólo se insistirá en la importante cuestión de los sentidos y polaridadesde referencia, sin las cuales un diagrama fasorial queda ambiguo.

Tensión y corriente son magnitudes alternas periódicas cuyo sentido cambia con cadasemiciclo. Se dice que la tensión o corriente es positiva cuando su sentido coincide conuna dirección de referencia establecida arbitrariamente como positiva y que es negativacuando su sentido es opuesto a la dirección de referencia.

Antes de poder establecer una relación coherente entre las variables de un circuito espues necesario fijar las referencias positivas para la tensión y la corriente en cadaelemento, lo que se hace con las flechas de referencia usuales.


Existen dos combinaciones de referencias posibles:

• La corriente positiva entra al elemento por el terminal positivo, lo que implicaconsiderar a la potencia absorbida por el elemento como positiva. Se habla deconvención carga.

• La corriente positiva sale del elemento por el terminal positivo, lo que implicaconsiderar a la potencia entregada por el elemento como positiva. Se habla deconvención fuente.

Ambos sistemas de referencia son equivalentes y la elección de uno u otro es un asuntode conveniencia.

Históricamente la convención carga ha tenido una difusión más amplia y suele serpreferida por ese motivo. Esta preferencia conduce a expresiones como “ en unainductancia la corriente está atrasada respecto a la tensión en 90º “, que sólo tienensentido si se explicita el sistema de referencia usado y que sin esa información adicionalson ambiguas.

Para aclarar esto considérese una inductancia con referencias correspondientes a laconvención fuente . Cuando la corriente pasa por cero, la energía acumulada en lainductancia también vale cero. Por lo tanto, durante el primer cuarto de ciclo que sigueal paso de la corriente por cero el elemento absorbe energía de la fuente, energía quees transferida al campo magnético. Debido al uso de la convención fuente, la potenciaabsorbida por el elemento es considerada negativa. Durante el segundo cuarto de ciclo,la energía acumulada en el campo es devuelta a la fuente, lo que implica que en elsegundo cuarto de ciclo la potencia es positiva. Si durante el primer semiciclo la

corriente es positiva, el signo de la potencia exige que durante el primer cuarto de ciclola tensión tiene que ser negativa y que durante el segundo cuarto de ciclo debe serpositiva. Esta relación es satisfecha por una tensión que corresponde a una cosinusoidenegativa, lo que en términos fasoriales significa que la corriente está adelantada a latensión en 90º. La figura 3.3.7 ilustra la relación descrita.

Figura 3.3.7 Relación de fase entre tensión y corriente en una inductancia con convención fuente algebraica .

V

I

vii

v L ωt

2ππ0


Del análisis anterior se desprende que es imprescindible la fijación de la referenciapositiva para tensión y corriente en cada elemento y si bien esto puede hacerse enforma arbitraria, resulta conveniente usar sistemáticamente el mismo sistema dereferencia para todos los elementos del circuito.

Con este preámbulo, considérese ahora la construcción del diagrama fasorial deltransformador, para lo cual se fija convenientemente las referencias en la formaindicada en la figura 3.3.8.

Debido a la gran diferencia entre los módulos de los fasores por representar, sólo tienesentido construir un diagrama cualitativo, cuya construcción comienzaconvenientemente en la impedancia de carga conocida, supuesta óhmico-inductiva, yque fija una determinada relación de fase entre tensión y corriente.

Para las referencias consideradas, la corriente ′Ic está atrasada respecto a la tensión′V2 en un ángulo menor que 90º, por lo que la corriente ′I2 , cuya referencia es opuesta a

la de ′Ic , debe estar adelantada respecto a ′V2 en un ángulo mayor que 90º. La caída detensión en la resistencia ′R2 está en fase con la corriente ′I2 , mientras que la caída detensión en la reactancia inductiva ′X 2 está adelantada en 90º respecto a esa corriente.Restando estas caídas de tensión fasorialmente de la tensión ′V2 se logra la tensióninducida por el flujo común Vi .

La corriente magnetizante Im está atrasada en 90º respecto a ′Vi , mientras que lacorriente de pérdidas Ife está en fase con Vi . La suma de Im y de Ife da lugar a la

corriente de vacío I0 .

La corriente I1 se encuentra aplicando la ley de nodos de Kirchhoff al nodo a delcircuito equivalente, es decir, restando fasorialmente ′I2 de I0 .

Ahora se puede determinar las caídas de tensión en Xσ1 y en R1 , que sumadas a ′Vi ,permiten determinar V1 . El diagrama fasorial del transformador está completo.

Figura 3.3.8. Circuito equivalente con carga referido al primario.

V1′V2

I1 ′I2I0

Im IfeVi

a

XmRFe

Xσ1R1 Xσ2 R2

Z’∠ϕ′Ic


La aplicación consecuente de un sistema de referencia a todos elementos y puertas delcircuito equivalente hace que el diagrama fasorial sea más transparente . En el caso deaplicar la convención carga, en las puertas que absorben potencia el ángulo de faseentre la tensión y corriente correspondientes es menor que 90º , mientras que en laspuertas que entregan potencia el ángulo de fase es mayor que 90º. En el diagramafasorial de la figura 3.3.9 , dibujado con las referencias de la figura 3.3.8, se aprecia queel transformador, visto desde la red, es una carga, mientras que visto desde la carga esuna fuente.

Figura 3.3.9. Diagrama fasorial del transformadorcon carga óhmica inductiva.

ϕ1

ϕ2

′ ′I2 2R

I1

′I2

IFe

I0

V1

′I2

′V2

I1 1R

j XI1 1σ

j X′ ′I2 2σ

Im

Vi


3.3.3 Funcionamiento en vacío

Se dice que el transformador funciona en vacío cuando sus terminales primarios estánconectados a la red y sus terminales secundarios están abiertos. En esas condiciones lacorriente en el devanado secundario es nula y el transformador se comporta como unreactor. El circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.10, para el que rige eldiagrama fasorial de la figura 3.3.11.

Para tensiones aplicadasiguales o menores que latensión nominal el grado desaturación del núcleo esmoderado y la corriente devacío es muy pequeña (< 1%de la corriente nominal paranúcleos con chapas de granoorientado ) y reactiva.

En consecuencia, en vacío laspérdidas en el devanado primario son también muy pequeñas, por lo que predominan laspérdidas en el fierro. Pérdidas en vacío y pérdidas en el fierro pasan a ser sinónimos.

Por lo pequeño de la corriente de vacío, las caídasde tensión en la resistencia y la reactancia dedispersión primaria son muy pequeñas en relacióncon la tensión aplicada, por lo que rigeaproximadamente:

VV

f Nf N

NN

nm

m

1

20

1

2

1

2

4 44

4 44= = =

,

,

ΦΦ

, (3.3.8)

donde V20 es la tensión inducida en vacío en eldevanado secundario. Esta proporcionalidad seusa para determinar experimentalmente la relaciónde transformación n.

3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario

Se dice que un transformador funciona en cortocircuito cuando los terminales deldevanado primario están conectados a la red y los terminales del devanado secundarioestán cortocircuitados (Zc = 0).

Figura 3.3.10. Circuito equivalente galvánico en vacío.

V1 Lm

IFeIm′V2RFe

R1 Lσ1′ =I2 0

I1

V’2

IfeI10

Im

V1

Figura 3.3.11 Diagrama fasorialen vacío


En esas condiciones la corriente absorbida suele ser tan alta, que, en comparación, lacorriente en la rama de magnetización puede ser despreciada. El circuito equivalente sereduce al de la figura 3.3.12 para el cual rige el diagrama fasorial de la figura 3.3.13.En cortocircuito con tensión reducida las pérdidas en el fierro disminuyencuadráticamente con la tensión inducida, por lo que pueden considerarse despreciablesen comparación con las pérdidas en los devanados. Pérdidas en cortocircuito essinónimo de pérdidas en los devanados.

Al despreciar la corriente en la rama de magnetización queda:

I I1 2= − ′ , (3.3.9)

lo que equivale a i N i N1 1 2 2 0+ = , por lo que, de acuerdo con (3.2.10), el enlace de flujo

común se hace cero y el flujo en el aire corresponde en buena aproximación al flujo dedispersión. Este hecho se aprovecha para calcular la reactancia de dispersión total, ode cortocircuito, Xσ , a partir de la geometría de las bobinas.

Figura 3.3.13. Diagrama fasorial de untransformador en cortocircuito.

ϕcc

Vcc

Icc

Figura 3.3.12. Circuito equivalente deltransformador en cortocircuito.

Vcc

Xσ ReIcc


Los parámetros del circuito equivalente de la figura 3.3.12

X X Xσ σ σ= + ′1 2 y R R Re = + ′1 2 (3.3.10)

se pueden determinar a partir de mediciones de tensión, corriente y potencia en eltransformador cortocircuitado, excitándolo con tensión reducida. Estos parámetros sonconstantes, por lo que en cortocircuito la relación entre tensión aplicada y corriente eslineal (figura 3.3.14).

Figura 3.3.14 Relación entre tensión y corriente en cortocircuito

Vcc

IccIn

Vn

Se define como corriente nominal a aquella corriente que en régimen estacionariodetermina un calentamiento del devanado igual al admisible para la clase de aislaciónusada en la construcción de las bobinas (60ºC).

Se define como tensión de cortocircuito a la tensión que hay que aplicar a los terminalesde entrada, con los terminales de salida cortocircuitados, para que la corriente deentrada sea igual a la corriente nominal.

V I Zcc n e= (3.3.11)

con Z R Xe e= +2 2σ (3.3.12)

En la práctica se prefiere entregar la tensión de cortocircuito como fracción de la tensiónnominal, o tensión base, del devanado en que fue medida:

vVVcc

cc

n

= (pu) (3.3.14)


Expresada en esa forma, la tensión de cortocircuito relativa es numéricamente igual alvalor relativo de la impedancia de cortocircuito:

vI ZV

ZZ

zccn e

n

e

be= = = (pu) (3.3.15)

donde ZVIb

n

n

= (3.3.16)

es la impedancia base del transformador.

Se define como corriente de cortocircuito nominal a la que circula por los terminales deentrada, estando los terminales de salida cortocircuitados, cuando la tensión aplicadaes igual a la tensión nominal.

IVZcc

n

e

= (3.3.17)

Expresada en por unidad, es decir, referida a la corriente nominal, o corriente base, lacorriente de cortocircuito nominal es igual al valor recíproco de la tensión decortocircuito en (pu).

II

VI Z z v

cc

n

n

n e e cc

= = =1 1 (pu) (3.3.18)

Así, un transformador cuya tensión de cortocircuito es de 5%, o 0,05 pu, tiene unacorriente de cortocircuito nominal de 20 pu, es decir, de veinte veces la corrientenominal.

También existe una relación directa entre las pérdidas en los devanados, o pérdidas enel cobre, y la resistencia equivalente. Expresadas en por unidad, ambas magnitudesson numéricamente iguales:

pP

PI RI V

RZ

rcu ncu n

n

n e

n n

e

be= = = =

2

(pu) (3.3.19)

3.3.5 Funcionamiento con carga

Transformadores de potencia se operan normalmente en redes de tensión y frecuenciaaproximadamente constantes, lo que implica que el flujo en el núcleo


Φ =V

f N1

14 44,

y, por lo tanto la saturación, también es constante. Como se mencionó anteriormente, lacorriente de vacío en esta condición es muy pequeña y puede ser despreciada frente ala corriente de carga, por lo que el circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.15.

Figura 3.3.15 . Circuito equivalente simplificado para ladeterminación de la regulación

R*e X*

σ

′V1

I

V2

Sobre la base de este circuito equivalente se puede determinar la variación de latensión en el secundario a plena carga , o carga nominal, en relación con elcorrespondiente valor en vacío. Esta variación se conoce como la regulación deltransformador:

ε =−V V

V20 2

20

(3.3.20)

Para obtener una expresión explícita para la regulación en términos del ángulo de fasede la carga y de los parámetros del transformador, considérese el diagrama fasorialcorrespondiente al circuito equivalente de la figura 3.3.15, representado en la figura3.3.16.

Del diagrama fasorial se tiene que

V V Vϕ = −20 2 (3.3.21)

y, de acuerdo con Pitágoras, que

V V V V2 202 2= − ′′ − ′ϕ ϕ . (3.3.22)

Reemplazando esta última expresión en (3.3.21) queda:


V V VV

Vϕ ϕϕ= ′ + − −′′

20

20

2

1 1 . (3.3.23)

Considerando que normalmente

′′

<<

V

Vϕ

20

2

1 ,

se puede aproximar la raíz cuadrada mediante los dos primeros primeros términos desu desarrollo en serie de potencias:

1 11220

2

20

2

−′′

≈ −

′′

+

V

V

V

Vϕ ϕ ... ,

por lo que (3.3.23) se reduce a

Figura 3.3.16 Diagrama fasorial para la determinación de la regulación.

V2

I

′V1

′′Vϕ

′Vϕ

Vσ

Vr

′ =V V1 20

V2

Vϕ

ϕ


V VV

Vϕ ϕϕ= ′ +′′2

202(3.3.24)

y (3.3.20) toma la forma:

ε ϕ ϕ ϕ= =′

+′′

V

V

V

V

V

V20 20 20

212

. (3.3.25)

Del diagrama fasorial de la figura 3.3.16 se desprenden las siguientes relaciones:

ϕ+ϕ−=′′ϕ+ϕ=′

σϕ

σϕ

cosVsenVV

senVcosVV

r

r. (3.3.26)

Dividiendo (3.3.26) por V20 y reemplazando el resultado en (3.3.25) se logra finalmentela siguiente relación para la regulación:

[ ]ε ϕ ϕ ϕ ϕσ σ= + + −v v v vr rcos sen sen cos12

2(3.3.27)

Figura 3.3.17 Regulación del transformador,línea llena (roja): fórmula “exacta” (3.3.27),línea segmentada: fórmula “aproximada” (3.3.29).

Capitulo 3: El transformador 3.58

donde vVVr

r=20

(pu) y vVVσ

σ=20

(pu)

son las caídas de tensión, en (pu), en la resistencia equivalente y la reactancia dedispersión respectivamente. En virtud de la relación (3.3.15) rige para corriente nominal:

v rr = (pu) y v xσ σ= (pu) (3.3.28)

por lo que (3.3.27) es la expresión buscada para la regulación en términos de losparámetros y del ángulo de fase de la carga.

En la figura 3.3.17 el trazo con línea continua corresponde a la evaluación de (3.3.27) ,mientras que el trazo con línea segmentada corresponde a la expresión aproximada

ε ϕ ϕσ= +r xcos sen (3.3.29)

Se aprecia que para cargas capacitivas (ϕ<0) la regulación puede resultar negativa, lo quesignifica que la tensión secundaria aumenta con la carga por sobre el valor de vacío.

4. Devanados

4.1 Introducción

Las ideas y conceptos desarrollados en los capítulos precedentes son plenamenteaplicables al transformador de núcleo acorazado representado esquemáticamente en lafigura 4.1.1. La inclusión de entrehierros en la columna central sólo repercute en unaumento de la corriente magnetizante y no cambia la naturaleza del aparato.

Figura 4.1.1. Transformador acorazado con un grado delibertad mecánico.

γ

Los rasgos topológicos propios del dispositivo de la figura 4.1.2 - estructura cilíndricaconcéntrica, conductores alojados en ranuras practicadas en las superficies cilíndricas -no alcanzan a ocultar su identidad esencial con el transformador de la figura 4.1.1.

Sin embargo, la girabilidad del devanadosecundario - rotor - respecto al devanadoprimario - estator - introduce un grado de libertadadicional que hace de este dispositivo algo másque un transformador, convirtiéndolo en elprototipo de las máquinas eléctricas rotatorias,cuyas características de funcionamiento seexplican en los capítulos siguientes a partir delcampo magnético en el entrehierro.

Interesa entonces determinar la distribuciónespacial del campo en el entrehierro a partir delas corrientes que circulan en los conductores

Figura 4.1.2. Transformador giratoriocomo prototipo de lamáquina eléctrica.

γ

x1

µfe=∞

Hfe=0

R

δ

capítulo 4: devanados 4-60

alojados en las ranuras del estator y del rotor.

El deseo de lograr una solución analítica hace necesario modelar el problema eintroducir algunas suposiciones simplificadoras. En este sentido, se considera que elcampo en el entrehierro es homogéneo en sentido axial, despreciándose el efecto delos extremos. Igualmente se considera que la variación del campo en dirección radial esdespreciable si el ancho del entrehierro es mucho menor que el radio interior delestator.

Las consideraciones planteadas reducen el problema de campos tridimensional a unounidimensional equivalente. El campo en el entrehierro es considerado como un campounidimensional que sólo depende de la coordenada tangencial. Este modelo permite laobtención de soluciones analíticas simples y suficientemente exactas para finesprácticos.

Estas soluciones se hacen más transparentes si se considera en forma independiente ladeterminación del campo en el entrehierro creado por las corrientes en los devanados yla determinación de las tensiones inducidas por el campo en el entrehierro en losdevanados. Esto, sin perder de vista que en la máquina real las leyes de Ampere y deFaraday se cumplen simultáneamente.

4.2 Corrientes y campo magnético en el entrehierro

En las máquinas prácticas las ranuras están distribuidas en forma regular a lo largo dela periferia del estator o del rotor. Por ello resulta conveniente tratar primeramente elcaso de la corriente en una ranura, cuyo resultado se puede generalizar a distribucionesde cualquier número de ranuras mediante la aplicación del principio de superposición.

Considérese entonces la situaciónrepresentada en forma esquemática en lafigura 4.2.1, donde circula corriente por unasola ranura infinitamente estrecha alojada enun medio magnético de permeabilidad infinita.

La situación en el estator es similar a la yaanalizada en el capítulo 1, cuando se introdujola noción circuito magnético para el núcleotoroidal de alta permeabilidad y excitaciónconcentrada: el flujo se cierra preferentementepor el estator, desviándose sólo una pequeñafracción a través del entrehierro.

Si el flujo ( que tiende a infinito ) se supone

Figura 4.2.1. Modelo del devanadocon una ranura.

i


restringido al yugo del estator, las líneas de fuerza tienen que ser circunferenciasconcéntricas, a lo largo de las cuales -por razones de simetría- la intensidad del campomagnético Hy es constante.

Por otra parte, el flujo en el rotor es finito, por lo que la inducción también es finita y lapermeabilidad infinita del fierro hace que la intensidad del campo magnético en el rotorsea nula.

En consecuencia, la aplicación de la ley de Ampere a lo largo de una de las líneas defuerza circulares de radio r del estator permite escribir:

H xi

ry ( ) =2π

(4.2.1)

y su aplicación al camino de integración de la figura 4.2.2 establece que

H r x f x fy ⋅ ⋅ + − =+( ) ( )0 0 , (4.2.2)

donde f(x) es la fuerza magnetomotriz (fmm) correspondiente a la coordenada angularx. El origen de x coincide con la ubicación de la ranura por la que circula la corriente i.

Figura 4.2.2. Distribución esquemática del campo debidoa la corriente en una sola ranura ubicada enel estator.

r

iH

H

x1

De (4.2.2) se despeja

f x fi x

( ) ( )= −+02 π

. (4.2.3)

Como el flujo neto que entra a la superficie del rotor debe ser nulo, debe cumplirse que


f x dx( ) =∫ 00

2 π

(4.2.4)

de donde se desprende que fi

( )02

+ = , con lo que

f xi x

( ) = −

2

1π

(4.2.5)

Se aprecia que la aplicación elemental de la ley de Ampere permite establecer que ladistribución de fmm causada por la corriente en una ranura corresponde a la funcióndiente de sierra representada en la figura 4.2.3.

Figura 4.2.3. Distribución a lo largo del entrehierro de la componenteradial de la fmm debida a la corriente de una sola ranura.

i2

x

F(x)

-ππ0

Esta función es periódica (con período 2π), pero discontinua, por lo que se obtieneventajas analíticas reemplazándola por su desarrollo en serie de Fourier:

∑∞

=ν νν

π=

1

22

xseni)x(f ,.....),,( 321=ν (4.2.6)

En la figura 4.2.4 están representados los primeros tres términos del desarrollo, quejunto con la fundamental exhibe armónicas pares e impares.

Cada bobina tiene dos lados, alojados en sendas ranuras, separadas en un paso debobina. El paso de bobina corresponde al arco menor que media entre las dos ranuras yen la práctica se expresa en número de ranuras (p.ej. 7 ó 1-8). En un devanado de unacapa, que se caracteriza por tener un solo lado de bobina en cada ranura, el paso debobina está determinado por la periodicidad deseada para la distribución espacial defmm.


Considérese primeramente una bobina diametral (figura 4.2.5), cuya distribución defmm se logra superponiendo las distribuciones correspondientes a dos ranurasdesplazadas en π radianes, por las cuales circulan corrientes de igual magnitud pero designo opuesto (figura 4.2.6):

f xi x i x

( )sen sen ( )= − −

=

∞

=

∞

∑ ∑22

22

1 1πν

ν πν π

νν ν

(4.2.7)

La distribución resultante

f xi x

( )sen=

=

∞

∑24

1πν

νν

( , . , ,.....)ν = + =2 1 0 1 2 3g con g (4.2.8)

Figura 4.2.4. Representación del desarrollo en seriede Fourier de la función diente de sierra.

ν=1

ν=2ν=3

i2

F(x)

xπ0

π

f xi x

( )sen=

=

∞

∑22

1πν

νν

Figura 4.2.5. Dos excitaciones de signo opuesto,desplazadas en un paso polar, forman unabobina de paso completo.

τp

R

x

R


corresponde a una forma de onda rectangular (figura 4.2.6) que sólo contienearmónicas impares, ya que las armónicas pares de las dos distribuciones en (4.2.7) secancelan. Su componente fundamental tiene período 2π, el máximo valor posible.

Para disminuir el período a lamitad es necesario aumentar lospuntos de excitación alternados- caracterizados por puntos ycruces, que representanrespectivamente corrientes quesalen del y que entran al plano deldibujo - al doble. La figura 4.2.7muestra como se logra estadistribución mediante el empleode dos bobinas (1-1’) y (2-2’)desplazadas en π radianes, cuyospasos de bobina han sidoreducidos a la mitad, es decir, aπ/2 radianes. Las dos bobinasdeben conectarse eléctricamenteen serie (1’ con 2) para garantizarla igualdad de las corrientes porellas.

La figura 4.2.8 muestra la distribución de fmm correspondiente. Se aprecia que la fmmes constante entre puntos de excitación y “salta” en estos en un monto igual a laexcitación (corriente total en la ranura). El valor medio de la distribución de fmm es cero.

Estos resultados son generales y permiten trazar directamente la distribución de fmmcorrespondiente a una distribución de corrientes dada. Se comienza en cualquier ranuray se registran los “saltos” correspondientes a cada ranura con corriente, considerando el

Figura 4.2.6. Distribución de fmm de una bobina de paso completo

b id i ió

i2

π0-πx

τp

R

x

1'

1

2'

2

Figura 4.2.7. Distribución de las excitacionesmagnéticas para un devanadode p=2 pares de polos.

Capítulo 4 : Devanados. 4-66

signo de esta. El resultado es una onda escalonada cuyo valor medio es cero. El eje deabscisas se traza de manera que las áreas sobre y bajo él sean iguales.

Figura 4.2.8. Distribución de la fmm de undevanado de 2 pares de polos.

F(x)

0 2' 2 1' 1

2π3π/2ππ/20x

τp

R

La expresión analítica para la distribución resultante se logra superponiendo lasdistribuciones correspondientes a los 2p=4 puntos de excitación, desplazadosrelativamente en π/p=π/2 radianes:

f xi

x x x x( ) (sen sen ( ) sen ( ) sen ( ))= − − + − − −=

∞

∑22 1

2321π ν

ν ν π ν π ν π

ν

(4.2.9)

donde ν = 1 2 3, , ,....

El resultado escrito en forma generalizada para p pares de polos

......,,,,g)g(pconxsenpi

)x(fp

3210124

2=+=νν

νπ= ∑

∞

=ν

(4.2.10)

permite apreciar que ahora la armónica de orden más bajo es ν=p=2, cuyo período es2π/p=π, el que se repite p=2 veces a lo largo de la periferia. Esta componente se conocecomo la fundamental.

Dado que a la fundamental le corresponde la longitud de onda mayor, es costumbrenormalizar su período a 2π y expresar las armónicas en relación a ella. Para ello seintroduce una nueva unidad de medida angular, el radián eléctrico, definido por la relación

[ ] [ ]2 2π πp rad el rad geom= , (4.2.11)


que establece la equivalencia:

1 rad geom = p rad el (4.2.12)

donde p es el número de períodos de la fundamental a lo largo de la periferia, o, en lajerga eléctrica, el número de pares de polos del devanado.

En términos del arco medido en radianes eléctricos la relación (4.2.10) se reescribecomo

f xi x

( )sen= ′

′′=

∞

∑24

1πν

νν

donde ′ = = + =ν νp

g con g2 1 0 1 2 3, , , ,.... (4.2.13)

es el número de orden de la armónica en relación con la fundamental.

Para la fundamental se tiene la relación:

f xi

x1 24

( ) sen=π

(4.2.14)

La comparación de (4.2.8) con (4.2.13) lleva a la conclusión que el uso de la medidaangular “radianes eléctricos” reduce el análisis de una distribución de periodicidad p alanálisis de una distribución de periodicidad 1. En otras palabras, en términos deradianes eléctricos el problema de la figura 4.2.8 se reduce al problema de la figura4.2.6.

En los desarrollos que siguen se asume tácitamente que los arcos están expresados enradianes eléctricos, salvo que se indique explícitamente otra cosa.

4.2.1 Bobinas acortadas, el factor de cuerda

La unidad práctica de un devanado es la bobina. El lado de bobina, como unidad deldevanado, sólo es una abstracción que facilita la determinación sistemática de ladistribución de fmm en el entrehierro. Siempre existen al menos dos lados de bobinaexcitados por corrientes de signo opuesto. En consecuencia, los términos creados paradescribir propiedades de la distribución de los conductores a lo largo de la periferia serefieren siempre a la bobina.

En las distribuciones de fmm de las figuras 4.2.6 y 4.2.8 se puede distinguirsemiperíodos de π radianes eléctricos que coinciden con los de la fundamental. Lossemiperíodos de la fundamental se denominan polos. El arco cubierto por un polo seconoce como paso polar y siempre corresponde a π radianes eléctricos. En las figuras


4.2.5 y 4.2.7 el paso polar es igual al paso de bobina y se habla de bobinas de pasocompleto.

Considérese ahora la situaciónrepresentada esquemáticamente enla figura 4.2.9, donde los lados de labobina no se encuentran sobre undiámetro, sino sobre una cuerda. Labobina es de paso acortado.

La distribución de fmm resultantepara esta disposición de corrientesse logra superponiendo lasdistribuciones de “diente de sierra”correspondientes a los respectivoslados de bobina , según se muestraen la figura 4.2.10.

Analíticamente se tiene que

f xi x i x

( )sen sen ( )= − − +

=

∞

=

∞

∑ ∑22

22

1 1πν

ν πν π α

νν ν

(4.2.15)

f xi x

donde g con g

( ) cossen ( )

, , , ,...

=

+

= + ==

∞

∑24

22

2 1 0 1 2 31π

να ν αν

νν (4.2.16)

Al comparar ahora (4.2.16) con (4.2.8) se aprecia que, como consecuencia delacortamiento del paso de bobina, lasamplitudes de las armónicas resultanponderadas con el factor de cuerda

fcννα=

≤cos2

1 . (4.2.17)

En el acortamiento del paso debobina el diseñador de un devanadotiene una poderosa herramienta paraatenuar fuertemente las amplitudesde ciertas armónicas al costo de unaleve disminución de la amplitud de lafundamental.

Figura 4.2.9. Dos excitaciones desplazadas enun paso de bobina ( τb ) menor queel paso polar ( τp ), forman unabobina de paso acortado.

x

α

i

τp

Rτb

R

R

x

ατb/R

0

π-π

f(x)

Figura 4.2.10 Distribución de fmm de una bobina acortada


Por ejemplo, suponiendo que se pueda realizar el acortamiento α π= / 6, resultaríafc5=0,259, fc7=-0,259 y fc1=0,966, es decir, las amplitudes de la quinta y de la séptimaarmónica se habrían reducido aproximadamente a la cuarta parte del valor que tendríanen una bobina de paso completo, mientras que la amplitud de la fundamental sólo sehabría reducido en 3,4%.

4.2.2 Bobinas distribuidas, factor de zona

Normalmente se pretende crearen el entrehierro un campo cuyadistribución espacial se aproximea una sinusoide. Para realizaresta distribución ideal serequeriría un número infinito deranuras y corrientes diferentes encada ranura.

Si bien esta solución no esrealizable en la práctica, sugiereque se puede mejorar la forma deonda de la distribución espacialde fmm aumentando el número depuntos de excitación. Se apreciasubjetivamente que la distribuciónde la figura 4.2.12 es “mássinusoidal” que la de la figura 4.2.6.

Considérese entonces que la excitación magnética esté distribuida igualitariamente en qranuras, espaciadas regularmente en el ángulo β, que cubren una zona qβ de laperiferia, como se muestra en la figura 4.2.11.

La expresión analítica correspondiente a la distribución de fmm de la figura 4.2.12 selogra nuevamente a través de la superposición de las distribuciones parciales de cadaranura y se resume en la siguiente serie de Fourier:

νβ−−ν

βνβν

π= ∑

∞

=ν

))q(x(sen)sen(q)qsen(i

)x(f21

224

2 1

(4.2.18)

con ν = +2 1g y g = 0 1 2 3, , , ,...

Al comparar los coeficientes de Fourier de las expresiones (4.2.18) y (4.2.8) se constataque, como consecuencia de la distribución de la excitación sobre una zona, las

Figura 4.2.11. Devanado distribuido en q ranuras,en cada una de las cuales circula laq-ava parte de la corriente total.

xiq

q=3

β β


amplitudes de las armónicas resultan ponderadas con el factor de zona o dedistribución:

fq

qz ννβνβ

= ≤sen( )sen( )

22

1 (4.2.19)

Figura 4.2.12. Distribución de un grupo de q bobinas de paso completo.

β

x

π0−π

f

iq

Este factor también es una función periódica de ν y la figura 4.2.13 muestra el espectro(valor absoluto del factor de distribución como función del número de orden de lasarmónicas) correspondiente a un caso específico. Se aprecia que en general el factorde zona afecta selectivamente a las diferentes armónicas, pero que también hayarmónicas que no son mayormente afectadas.

Figura 4.2.13 . Espectro del factor de zona para undevanado distribuido con q=3 y β=30º.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

10.9

0.3

0.2

0.3

0.9 0.9

fzν

ν


Del análisis anterior se concluye que mediante el uso juicioso del acortamiento y de ladistribución es posible generar distribuciones espaciales de fmm esencialmentesinusoidales en el entrehierro de las máquinas eléctricas.

4.2.3 Devanados de corriente alterna

Las máquinas prácticas están provistas de Z ranuras uniformemente distribuidas a lolargo de la periferia del estator o del rotor, de manera que el ángulo entre ranurasconsecutivas β está dado por

β π= 2 pZ

(4.2.20)

El ángulo de acortamiento del paso de bobina α es necesariamente un múltiplo enterode β.

El devanado ocupa todas las ranuras y está formado por bobinas de igual número devueltas, interconectadas de manera de producir la distribución espacial de fmmdeseada.

En el caso que las bobinas sean de paso completo se requiere de Z/2 bobinas paracompletar el devanado, ya que cada lado de bobina ocupa una ranura. Se le conocecomo un devanado de una capa.

Si en cambio se utiliza bobinas de paso acortado, el número de bobinas necesarias esZ y cada ranura tiene que alojar a dos lados de bobina. Se habla de un devanado dedos capas.

Cuando se trata de devanados para alimentación polifásica las bobinas seinterconectan formando grupos que ocupan zonas simétricamente desplazadas a lolargo de la periferia. Las corrientes en todas las bobinas de un grupo están en fase, porlo que esos grupos de bobinas se denominan fases.

La figura 4.2.14 representa en forma esquemática una fase (en desarrollo) de undevanado trifásico cuyo paso polar es de 9 ranuras (paso 1-10), formado por bobinasacortadas cuyo paso de bobina es de 7 ranuras (paso 1-8), donde se puede apreciardos características de un devanado acortado: la existencia de las dos capas (línea llenacorresponde al lado de bobina que se encuentra en la capa superior, línea segmentadacorresponde al lado de bobina que se encuentra en la capa inferior) y la existencia dedos grupos de bobinas, desplazados en un paso polar, que forman la fase. También semuestra la interconexión de estos dos grupos para producir la distribución de fmmdeseada, caracterizada por la distribución de puntos y cruces indicada en la vista encorte de la parte superior de la figura.


Como consecuencia del acortamiento del paso de bobina el número de puntos deexcitación aumentó de 3 a 5 y la intensidad de la excitación dejó de ser la misma entodos los puntos, con lo que la distribución espacial de corriente de la fase se acerca encierta manera a la distribución ideal mencionada al comienzo del párrafo 4.2.2. Estotambién se refleja en la mayor “sinusoidalidad” que se aprecia subjetivamente en ladistribución de fmm de la parte inferior de la figura 4.2.14.

La correspondiente expresión analítica en la forma de una serie de Fourier puedeobtenerse en principio recurriendo a la superposición de ondas “diente de sierra”, apesar de existir un procedimiento directo más eficiente para el caso de las ondasescalonadas como la de la figura 4.2.14.

Sea N el número total de vueltas en serie de las bobinas de una fase de un devanadom-fásico distribuido en Z/m ranuras.

Entonces cada una de las Z/m bobinas tiene Nm/Z vueltas y el “salto” producido por unlado de bobina en la distribución de fmm es

∆ fmmN mZ

i= ⋅ . (4.2.21)

Figura 4.2.14. Distribución de bobinas y fmm correspondientes auna fase de un devanado trifásico.

Capa superior

τp

τb

0 π x2

iNβ α

a)

b)

c)

Capa inferior

qiN2

f(x)


Con esto se determina la siguiente expresión para el desarrollo en serie de Fourier de laonda de fmm correspondiente a una fase de un devanado distribuido y acortado:

( )( )

( )∑∞

=ν να+β−−ν⋅

νββν⋅

να

π=

1

22122

24

2)q(xsen

senqqsen

cospNi

)x(f (4.2.22)

donde se ha introducido convenientemente el número de ranuras por polo y por fase

qZpm

=2

(4.2.23)

Se aprecia que la amplitud de cada armónica está ponderada por un factor que es igualal producto del factor de cuerda por el factor de zona y que se conoce como el factor dedevanado correspondiente a esa armónica:

f f fd c zν ν ν= ⋅ (4.2.24)

Para un devanado concentrado ( fz ν = 1) de paso completo ( fc ν = 1) el factor de

devanado vale 1 y la amplitud de la ν-ésima armónica de ese devanado está dada por:

FiNpc ν π ν

= 4 12

(4.2.25)

mientras que la amplitud de esa misma armónica para un devanado distribuido estádada por:

FiNf

pdd

νν

π ν= 4 1

2 . (4.2.26)

De estas dos expresiones se desprende que para una determinada armónica ν undevanado distribuido puede pensarse reemplazado por un devanado concentradoequivalente de Nfdν vueltas.

El producto N N fef dν ν= ⋅ (4.2.27)

se denomina el número de vueltas efectivo del devanado para la ν-ésima armónica.

Para apreciar el efecto de la distribución y del acortamiento del devanado sobre laforma de onda de la distribución espacial de la fmm la siguiente tabla resume el caso enque q=3, β=2π/18 y α=2β.


ν 1 3 5 7 9 11 fdν 0,9019 0,3333 0,0378 0,1359 0,3333 0,1359Fcν 1 0,3333 0,2000 0,1429 0,1111 0,0909Fdν 0,9019 0,1111 0,0076 0,0194 0,0370 0,0124

Si se introduce como cifra de mérito el factor de distorsión armónica total, definido como

%THD

F

F= =

∑100

2

3

11

1

νν (4.2.28)

se obtiene

%THDconcentrado 36,4distribuido y acortado 13,3distr.y acort. sin tercera armónica 2,7

donde en la última fila se ha incluido el caso sin tercera armónica y sus múltiplos, quecorresponde a la situación normal para devanados trifásicos.

Al compara las amplitudes de las fundamentales de las ondas de fmm se observa queen este caso la reducción del contenido armónico tuvo el “costo” de una disminución dela amplitud de la fundamental en casi 10%.

4.2.4 Campo giratorio mediante devanado trifásico

La alimentación de un devanado trifásico simétrico con corrientes trifásicas simétricascrea una distribución espacial de fmm de amplitud constante que se desplaza a lo largodel entrehierro con velocidad angular constante. Tal distribución se conoce como uncampo giratorio y ocupa un lugar central en la teoría de las máquinas de corrientealterna.

Sean tres grupos de bobinas, similares al grupo de la figura 4.2.14, distribuidassimétricamente a lo largo de la periferia interior del estator. La figura 4.2.15 representaesta situación en términos de tres fases concentradas equivalentes, cuyo número devueltas es igual al número de vueltas efectivo para la fundamental.

La representación de la figura 4.2.15a corresponde a un corte transversal a través delestator y la de la figura 4.2.15b corresponde al desarrollo del manto de cilindro interiordel estator. Las cruces y las flechas indican los sentidos de referencia positivos para lascorrientes en los conductores así marcados.


Supóngase ahora que cada fase está alimentada con una de las corrientes pertene-cientes al sistema de corrientes trifásico simétrico de la figura 4.2.16.

La figura 4.2.17 muestra ladistribución espacial de fmmresultante y la fundamentalcorrespondiente para los tresinstantes sucesivos, separadosen ∆ωt=π/6, marcados en lafigura 4.2.16.

Debido al desfasamiento entrelas tres corrientes, lacombinación de los valoresinstantáneos correspondientesa cada instante representado esdiferente, lo que se traduce enel corrimiento espacial relativode la onda de fmm observableen la figura 4.2.17.La expresión analítica para la

Figura 4.2.16. Sistema de corrientes trifásico simétrico.

i1 i2 i3

π6

ωt

2π0

2i

i

t1 t2 t3

π6

Figura 4.2.15. Devanado trifásico elemental.

x π

3

π

2' 1 3' 2 1' 3

a) b)

x02

3

π1'

32'

1

3'2


fundamental de la onda de fmm resultante se logra superponiendo las fundamentalesasociadas a cada una de las tres fases:

f x t f x t f x t f x t( , ) ( , ) ( , ) ( , )= + +1 2 3 (4.2.29)

donde, con el origen para la coordenada x definido en la figura 4.2.15 en el ejemagnético de la fase 1, las componentes correspondientes a las tres fases están dadaspor:

)tcos()xcos(p

IN)t,x(f

)tcos()xcos(p

IN)t,x(f

tcosxcosp

IN)t,x(f

ef

ef

ef

34344

2

2

32324

2

2

42

2

13

12

11

π−ωπ−π

=

π−ωπ−π

=

ωπ

=

(4.2.30)

Figura 4.2.17. Distribución de la fmm giratoria para 3 instantes sucesivos.

f(x,t)

2'

0

0

0

1©

3' 2 1' 3

π6

x

x

x

ω t3

ω t2

ω t1

π6


Considerando la relación trigonométrica

[ ])yxcos()yxcos()ycos()xcos( −++= 21 , (4.2.31)

la suma del segundo miembro de (4.2.29) se reduce a

( )f x tIN

px tef( , ) cos= −3

2

2

241

πω . (4.2.32)

La amplitud de la onda resultante es constante e igual a 3/2 veces la amplitud de una delas componentes . La coordenada para la cual se produce el valor máximo se obtienede la condición cos(x-ωt)=1, como

x t= ω (4.2.33)

y se traslada a lo largo del entrehierro con velocidad angular constante

dxdt

= ω en rad el / s (4.2.34)

La estructura de la relación (4.2.32) corresponde a la de la onda propagatoria de laacústica, por lo que en este contexto, donde sepropaga en dirección tangencial en elentrehierro, se la denomina onda o campo giratorio.

En cambio las relaciones (4.2.30) tienen su equivalente acústico en las ondasestacionarias, caracterizadas por nodos espacialmente fijos. En el contextoelectromagnético estas expresiones se conocen como campos alternos.

Además de la fundamental, las distribuciones de fmm de las tres fases contienenarmónicas. Las armónicas impares no múltiplos de la tercera producen camposgiratorios como la fundamental, en cambio las terceras armónicas (y sus múltiplos) seanulan y no producen campos resultantes en el entrehierro, como ya se habíaadelantado al final del párrafo 4.2.3.

4.2.5 La distribución de inducción en el entrehierro

Los párrafos precedentes se refieren a la determinación de la distribución de fmm en elentrehierro como función de la coordenada angular x .

Dado que el modelo en que se basa el análisis presupone que la permeabilidad delfierro, tanto del estator como del rotor, tiende a infinito y que por lo tanto el valor de Hen el fierro es despreciable, la intensidad de la componente radial del campo magnéticoen cualquier punto del entrehierro está relacionada con la fmm en ese punto a través dela relación


H x tf x t

x t( , )

( , )( , )

=δ

, (4.2.35)

donde δ(x,t) es el ancho radial del entrehierro para la coordenada x en el instante t.Como la permeabilidad en el entrehierro es constante e igual a µ0, se tiene que

B x tx t

f x t( , )( , )

( , )=µ

δ0 . (4.2.36)

Se aprecia que sólo si la permeancia por unidad de superficie

Λ( , )( , )

x tx t

=µ

δ0 (4.2.37)

es constante, como en el modelo de la figura 4.1.2, la onda de inducción esproporcional a la onda de fmm. En cambio, si el entrehierro no es constante, como en elmodelo de la figura 4.1.1, una onda de fmm sinusoidal produce una onda de induccióncon armónicas.

4.3 Tensión inducida en un devanado

La ley de Faraday relaciona la tensión inducida en un circuito con la rapidez de lavariación del flujo enlazado por ese circuito sin pronunciarse sobre el origen de lavariación de flujo. Este puede estar en la variación de la corriente en el propio circuito,como en el caso del reactor, en la variación de la corriente en otro circuito, como en elcaso del transformador o en el desplazamiento relativo de los circuitos, como en el casode los dispositivos de las figuras 4.1.1 y 4.1.2.

En este último caso el flujo enlazado por los circuitos es también una función de lacoordenada angular γ que caracteriza la posición relativa de los dos devanados.

En consecuencia se puede anotar para la tensión inducida en el devanado del estatordel dispositivo de la figura 4.1.2

vddt

tt

ddt1 1

1 1= = +ψ γ∂ψ∂

∂ψ∂γ

γ( , ) (4.3.1)

donde la aplicación de la regla de la cadena separó las dos causas de la variación delenlace de flujo.

El primer término se debe a la variación del flujo causada por la variación de lascorrientes con el tiempo y se conoce como tensión transformatórica :


vtt1

1=∂ψ∂

(4.3.2)

El segundo término se debe al movimiento relativo entre los dos circuitos, ubicadosrespectivamente en el rotor y en el estator, y se conoce como tensión rotacional :

vddtrot1

1=∂ψ∂γ

γ. (4.3.3)

El enlace de flujo ψ1 se determina a partir de la distribución de inducción en elentrehierro.

Supóngase ahora que el devanado del rotor esté excitado con corriente continua y queproduzca una distribución de inducción cosinusoidal en función de una coordenada x2

cuyo origen coincide con el eje magnético del devanado:

b x t B x( , ) cos2 2= (4.3.4)

Para un observador ubicado en el rotor se trata de una distribución invariante en eltiempo. Esta situación no cambia si el rotor gira uniformemente con velocidad angularω=dγ/dt .

Sin embargo, para un observador fijo respecto al estator, cuyo sistema de coordenadasx1 tiene su origen en el eje magnético de la bobina del estator y está relacionado con elsistema de coordenadas del rotor a través de la relación (figura 4.1.2)

x x x t1 2 2= + = +γ ω , (4.3.5)

ese campo se ve como un campo giratorio

b x t B x t( , ) cos( )1 1= − ω (4.3.6)

y ese observador interpretaría la tensión inducida en la bobina del estator como unatensión rotacional debida al movimiento del campo giratorio respecto a la bobina.

Supóngase ahora que el devanado del rotor esté abierto y que la bobina del estator estéalimentada con una corriente alterna de frecuencia angular ω , que produce un campoalterno cuya fundamental está descrita por

11 xcostcosB)t,x(b ω= . (4.3.7)

Para el observador fijo respecto al estator la tensión inducida por este campo en eldevanado del estator sería una tensión transformatórica.


Pero en virtud de la relación trigonométrica (4.2.31) la relación (4.3.7) se puedereescribir como

b x tB

x tB

x t( , ) cos( ) cos( )1 1 12 2= − + +ω ω (4.3.8)

e interpretar como la superposición de dos campos giratorios cuya amplitud es igual a lamitad de la amplitud del campo alterno y que giran con frecuencia angular ω en sentidoscontrarios.

Frente a esta “realidad” el observador fijo respecto al estator puede cambiar de opinióny sostener que la tensión en la bobina es la superposición de dos tensionesrotacionales.

De estas consideraciones se desprende que la determinación de la tensión inducida enun devanado puede reducirse a la determinación de la tensión rotacional debida a uno omás campos giratorios, punto de vista que se adopta en lo que sigue.

4.3.1 Tensión inducida en una bobina de paso completo

Considérese una bobina (1-1’) de paso completo ( τ τb p= ) formada por N vueltas

alojadas en dos ranuras de un estator cuyo radio interior sea R y cuya longitud axial seal.

Figura 4.3.1. Flujo enlazado por una bobina de paso

completo.

x1δ

(ωt+ϕ1)

π2

0

b(x,t)

x1

-π2

1’1

1’1

R

Bmcos(x1-ωt-ϕ1)


En el entrehierro exista un campo giratorio de origen cualquiera

b x t B x tm( , ) cos( )1 1 1 1= − −ω ϕ . (4.3.9)

El flujo enlazado por la bobina (1-1’), representada esquemáticamente en la figura 4.3.1,se calcula integrando la densidad de flujo b x t( , )1 sobre la superficie abrazada por labobina, limitada por la longitud axial del estator y por las coordenadas x1 = -π/2 y x1 =+π/2 . Al formar el elemento de área debe considerarse el arco en radianes geométricos(x1/p). Así se logra

ψ ω ϕπ

π

( ) ( , ) ( ) cos( )/

/

t N b x t lRd x p N BlRp

tm= = +−

+

∫ 1 1

2

2

1 12 (4.3.10)

Si se invoca la interpretacióngeométrica de la integral como“área bajo la curva”, el flujoenlazado por la bobina esproporcional al área neta bajola onda de inducción, es decir,a la diferencia entre las áreassobre y bajo el eje de abscisasen la figura 4.3.1.

El flujo enlazado es máximocuando la onda de inducciónestá centrada en el ejemagnético de la bobina (figura4.3.2) y es igual a N veces elflujo por polo:

Ψ Φm pN= . (4.3.11)

La tensión inducida, interpretada como tensión de rotación, con ω γ1 t = , se calculacomo

vddt

ddt

tm= = = − +ψ ∂ψ∂γ

γ ω ω ϕΨ 1 1 1sen( ) (4.3.12)

y su valor efectivo vale

V f N f Nmp p= = =

ω π1

2

2

24 44

ΨΦ Φ, , (4.3.13)

Figura 4.3.2. Interpretación geométrica del flujo por polo.

τ πp

Rp

=

2π

Bm

Bml

1’1

Φp m pB l= 2π

τ


expresión que por supuesto es plenamente coincidente con (2.4.9), derivada en formamás abstracta al final del capítulo 2 y que podría haberse invocado directamente, yaque para la ley de Faraday no tiene significación la causa de la variación de flujo.

Para algunos fines resulta conveniente contar con una forma alternativa a (4.3.12) queexplicite la inducción en el entrehierro.

En la figura 4.3.3 se aprecia que el desplazamiento de la onda de inducción en dγdetermina la variación diferencial del flujo enlazado por la bobina

d N B l Rdp

B l Rdp

ψ γ γ= −( )'1 1 (4.3.14)

por lo que∂ψ∂γ

= −N l R

pB B( )'1 1 (4.3.15)

Figura 4.3.3. Variación del enlace de flujo para undesplazamiento relativo diferencial.

dγ

B1

b(x1,t)

B1’

dγ

x1

B1'<0

1'1

Por otra parte, ddtγ ω= 1 , que reemplazada junto con (4.3.15) en (4.3.12) permite

obtener la expresión alternativa

v t N l Rp

B B( ) ( )'= −ω1

1 1 . (4.3.16)

Para una bobina de paso completo B1 = - B1’ , por lo que (4.3.16) se reduce en ese casoa

v t N l u B( ) = 2 1 (4.3.17)

donde u = ω1R/p es la velocidad tangencial del campo respecto a la bobina.


Como en (4.3.17) B1 = b(x1) es el valor de la inducción en el entrehierro correspondientea la coordenada de la bobina, se tiene que con velocidad constante la función v(t) esuna réplica de la función b(x). Esta propiedad se utiliza para obtener una imagen de ladistribución espacial de la inducción en el entrehierro mediante una bobina exploratoria(paso completo, N=1),conectada a un osciloscopio.

4.3.2 Tensión inducida en una bobina de paso acortado

En el caso de una bobina de paso acortado (τb < τp) el flujo enlazado por la bobinatambién es máximo, aunque menor que Φp, cuando el máximo de la onda de induccióncoincide con el eje magnético de la bobina (figura 4.3.4) y vale:

Φ Φm pb x t l Rd x p= =− −

+ −

∫ ( , ) ( ) cos( )( )/

( )/

1 1

2

2

2απ α

π α

(4.3.18)

donde ( )cos α 2 = fc , es el factor de cuerda para la fundamental obtenido

anteriormente en el párrafo 4.2.1.

Consecuentemente el valor efectivo de la tensión inducida se reduce a

V f N fc p= 4 44, Φ (4.3.19)

Se aprecia que la tensión inducida enuna bobina de paso acortado de Nvueltas es equivalente a la tensióninducida en una bobina de pasocompleto con un número de vueltasigual al número de vueltas efectivoNef=fc N < N.

4.3.3 Tensión inducida en un grupo de bobinas

Considérese ahora un grupo de q bobinas iguales, cada una de N/q vueltas, ubicadasen ranuras separadas en forma regular en un ángulo β = 2πp/Z (figura 4.2.11) yconectadas en serie.

La tensión inducida en el grupo es igual a la suma de las tensiones inducidas en cadabobina.

Figura 4.3.4. Flujo máximo enlazado poruna bobina acortada.

α2

π−α

π

1 1'

x1

∼φm<φp

α2


Las tensiones inducidas por el campogiratorio en cada una de las q bobinastienen la misma amplitud y frecuencia,pero están desfasadas relativamente enun ángulo igual al de su desplazamientoespacial.

La tensión resultante correspondeentonces a la suma fasorial de latensiones inducidas en las bobinasindividuales, según está representadoen la figura 4.3.5, de la que sedesprende que

Vr q y

Vrq

22

22= =sen( / ) sen( / )β β (4.3.20)

es decir, que

V qVq

qqV fq q z= =sen( / )

sen( / )ββ

22

, (4.3.21)

donde fz es el factor de zona o de distribución para la fundamental, definidoanteriormente en el párrafo 4.2.2. y que ahora puede reinterpretarse como el cuociente

inducidastensioneslasdearitméticasumainducidastensioneslasdegeométricasuma=zf (4.3.22)

Como en principio las q bobinas pueden ser de paso acortado, se tiene, al reemplazar(4.3.19) en (4.3.21), que

V f N f f Nd p ef p= =4 44 4 44, ,Φ Φ (4.3.23)

con f f fd z c= y N f Nef d= .

Esto lleva a la conclusión que , para el efecto de determinar la tensión inducida, ungrupo de bobinas, eventualmente con acortamiento, puede ser reemplazado por unasola bobina de paso completo, cuyo número de vueltas sea igual al número de vueltasefectivo del grupo de bobinas que reemplaza.

Figura 4.3.5. Tensión resultante de un grupo de q=3 bobinas.

β

β

β

β/2

β

r

V

Vq


4.3.4 Tensión inducida en un devanado de corriente continua

Un devanado de corriente continua (figura 4.3.6) es un devanado distribuido de doscapas, formado por bobinas iguales, conectadas todas en serie de manera de formar undevanado cerrado, sin principio y sin fin. Las conexiones entre las bobinas se realizanen segmentos de cobre (delgas) aislados eléctricamente entre si.

Figura 4.3.6. Esquema de un devanado de corriente continua.

7 8 1 2 3 4 5 6

3

4 5

6

7

81

2Pieza polar

Conmutador

cabeza bobinadelantera

Conmutador

cabeza bobina trasera

largo activo

cabeza bobina delantera

El conjunto de delgas forma unaestructura cilíndrica, el conmutador ocolector (figura 4.3.7) sobre cuyo mantorozan escobillas o carbones,desplazados relativamente en un pasopolar, que dividen el devanado en doscircuitos en paralelo (figura 4.3.6). Eldevanado de corriente continua siempreestá alojado en el rotor de la máquina.

Interesa determinar la tensión inducidaentre un par de escobillas cuando elrotor gira con velocidad constante

respecto a una distribución espacial de inducción fija al estator.

Figura 4.3.7. El conmutador.

Delga


Contrariamente al caso de las máquinas de corriente alterna, en máquinas de corrientecontinua no se busca una distribución espacial de inducción sinusoidal y la distribuciónideal corresponde a una distribución alternada donde la inducción es constante en casitodo el paso polar, excepto en una zona estrecha en los extremos de cada paso polar,donde la inducción es cero. La distribución práctica tiende a tener forma trapezoidal(figura 4.3.8).

Figura 4.3.8. Distribución de la componente radial de lainducción en el entrehierro

β

Bm

Bi1 2 3 4 5 6 7 8i

x

Según se aprecia en la figura 4.3.6, las escobillas dividen el devanado en dos circuitos(ramas) en paralelo, cada uno formado por Nd /2 bobinas de N vueltas por bobina,siendo Nd el número de delgas del conmutador.

La tensión inducida en la i-ésima bobina de una de las ramas es según (4.3.16)

( )v N l Rp

B Bi i j= −ω1 con j i

Nd= +2

(4.3.24)

y la tensión total inducida en las Nd /2 bobinas de una rama es

V v ii

Nd

==

∑1

2/

(4.3.25)

Considerando que Bj = -Bi y que B Bi Ni

N

ii N

N

d

d

d

d

+= = +

∑ ∑=/

/

/2

1

2

1 2

,

el reemplazo de (4.3.24) en la expresión (4.3.25) permite reescribirla como

V N l Rp

Bii

Nd

==

∑ω1

1

(4.3.26)


Para un número suficientemente grande de delgas, el valor medio de la inducción radialen el entrehierro vale (figura 4.3.8)

BB

Nm

i

d

= ∑(4.3.27)

Por otra parte, el valor medio de la inducción o densidad de flujo está dado por larelación

plRl

B p

p

pm π

Φ=

τΦ

= (4.3.28)

Al reemplazar (4.3.27) y (4.3.28) en (4.3.26) se logra finalmente la fórmula buscadapara la tensión entre el par de escobillas de un devanado de corriente continua de dospolos (p=1) como

V z f p= Φ (4.3.29)

donde z N Nd= 2 (4.3.30)

es el número total de conductores del devanado del rotor (armadura , inducido) y

f =ω

π1

2es la frecuencia de giro del rotor.

4.4 Inductancias propias y mutuas de devanados

Para fines analíticos es frecuente ladescripción de la acción de devanadosen términos de las inductancias propias ymutuas asociadas a ellos. Interesaentonces establecer relaciones entreesos parámetros y las dimensionesgeométricas de la máquina en la queestán montados los devanados

Con este objetivo considérese eldispositivo doblemente cilíndrico de lafigura 4.4.1. El entrehierro δ seaconstante y los devanados distribuidosdel estator y del rotor tenganrespectivamente N1 y N2 vueltas y p

Figura 4.4.1. Relativo al acoplamientoinductivo de dosdevanados.

x2N1

N2

γ

x1


pares de polos. El radio del rotor sea R y su longitud axial l.

Supóngase ahora que el devanado del rotor sea excitado por la corriente i2 .

Al limitar el análisis a la fundamental de la distribución espacial de fmm se tiene que laamplitud de esta, de acuerdo con la relación (4.2.26), vale

pNi

F ef

24 22

2 π= (4.4.1)

y que la amplitud de la onda de inducción correspondiente, de acuerdo con (4.2.36),vale

Bi N

pef

20 2 24

2=

πµδ

(4.4.2)

El flujo por polo vale (figura 4.3.2)

Φ p BR lp

= 22π

π(4.4.3)

a partir del cual se calcula el enlace de flujo del devanado, correspondiente a flujo en elentrehierro, como

ψπ

µδ2 2 0 2 2

22

4= =NR lp

N ief p efΦ . (4.4.4 )

El factor de proporcionalidad entre el flujo enlazado por la bobina y la corriente queproduce ese flujo se conoce como inductancia. En consecuencia, la inductancia propiadel devanado del rotor vale

Li

R lp

Nef22

20 2 2

24= =ψ

πµ

δ(4.4.5)

La onda de inducción producida por el devanado del rotor en el entrehierro es unacosinusoide centrada en el eje magnético del devanado del rotor, el que estádesplazado en el ángulo γ respecto al eje magnético del devanado del estator. Enrelación con un sistema de referencia x1, cuyo origen se encuentra en el eje magnéticodel devanado del estator, la onda de inducción tiene la expresión

b x B x2 1 2 1( ) cos( )= − γ (4.4.6)

El enlace de flujo del estator debido a la corriente del rotor se calcula como


∫π+

π−

γ−=ψ2/

2/

1121ef12 )

px

(dRl)xcos(BN (4.4.7)

2212012

4icosNN

plR

efef γδ

µπ

=ψ (4.4.8)

Se aprecia que el flujo enlazado por el estator varía como función del ángulo γ y que lainductancia mutua entre los dos devanados vale

γδ

µπ

=ψ

= cosNNplR

iL efef 2120

2

1212

4(4.4.9)

Los coeficientes de inductancia propia y de inductancia mutua contienen toda lainformación geométrica del aparato pertinente al campo en el entrehierro.

En general, el acoplamiento inductivo entre los dos devanados del dispositivo de lafigura 4.1.2 puede ser descrito simplemente en términos de las variables de terminalesy de las inductancias propias y mutuas mediante las ecuaciones

( ) ( )

( ) ( )

v R iddt

L iddt

L i

v R iddt

L iddt

L i

1 1 1 1 1 12 2

2 2 2 2 2 21 1

= + +

= + +(4.4.10)

Al limitar el análisis a la componente fundamental del campo en el entrehierro lasinductancias propias y mutuas corresponden a expresiones como (4.4.5) y (4.4.9), conlas que (4.4.10) toma la forma más simple

( )

( )

v R i Ldidt

Lddt

i

v R i Ldidt

Lddt

i

1 1 1 11

12 2

2 2 2 22

21 1

= + +

= + +

cos

cos

γ

γ(4.4.11)

donde L1 , L2 y L12 = L21 son constantes.

Sistemas de ecuaciones como (4.4.11) constituyen el punto de partida para el análisistransitorio de las máquinas eléctricas.

Para ese objetivo la información de detalle sobre el devanado se ha hecho innecesariay basta conocer los valores numéricos de las inductancias involucradas, que pueden serobtenidos experimentalmente para cada máquina específica. El problema se hareducido a un problema de circuitos acoplados inductivamente.

5. Fuerzas electromagnéticas

5.1 Introducción

La idea del campo electromagnético fue desarrollada originalmente (Faraday, Maxwell)como un medio conceptual, alternativo a la teoría de la acción a distancia, paraestablecer la relación entre fuerzas y sus causas. Así, por ejemplo, la fuerza entre dosconductores por los que circulan sendas corrientes vino a ser considerada como lafuerza ejercida por el campo magnético creado por la corriente en uno de losconductores sobre la corriente (cargas en movimiento) en el otro conductor.

Son estas fuerzas las que evidencian la existencia de un campo y que permitenasociarle energía.

Desde la introducción de la idea de campo se ha hecho uso de conceptos figurativos,como las líneas de fuerza o las propiedades elásticas de estas, para permitir la“interpretación física” de la acción del campo. Así, la visualización de la distribuciónespacial del campo mediante una red de cuadrados curvilíneos informa también sobrela distribución de las fuerzas superficiales y sobre su carácter electrodinámico (fuerzassobre corrientes) o magnético (fuerzas sobre superficies limítrofes entre medios dediferente permeabilidad).

Cuando sólo interesa determinar la fuerza resultante sobre cierto cuerpo, enabstracción de su distribución espacial, resulta conveniente determinarla recurriendo alprincipio de la conservación de la energía y al método de los trabajos virtuales.

La adopción de esta metodología tiene la ventaja de la generalidad, pues abarca tantoa las fuerzas electrodinámicas como a las magnéticas y porque también es aplicable alcampo eléctrico.

El precio de la generalidad es la pérdida de la “interpretación física” del origen de lasfuerzas, lo que en algunos casos puede conducir a equívocos. Por ello es convenienteel uso complementario del método energético y de los procedimientos de la teoría decampos.

Para favorecer la creación de imágenes personales, tan necesarias para lacomprensión de fenómenos complejos, los desarrollos de los párrafos siguientes selimitan a sistemas simples con un solo grado de libertad mecánico. Esto no les quitageneralidad, ya que un movimiento tridimensional siempre puede pensarse generado apartir de tres movimientos unidimensionales, para cada uno de los cuales vale laconclusión, que sólo habrá una fuerza resultante en dirección de una coordenadadeterminada si un movimiento virtual en la dirección de esa coordenada producevariación de la energía acumulada en el campo.

capítulo 5 : fuerzas electromagnéticas 5-90

5.2 Fuerza y energía, una visión sistémica

Para la determinación de las fuerzas de origen electromagnético se supone que elsistema electromecánico (transductor, máquina eléctrica) está formado por unsubsistema eléctrico y por un subsistema mecánico, acoplados mediante un campomagnético conservativo.

Como se trata de sistemas en los cuales las frecuencias de la variables eléctricas y lasvelocidades mecánicas son relativamente bajas, su descripción energética sólorequiere de cuatro formas de energía:

• Energía eléctrica (Wel), suministrada por las fuentes al subsistema eléctrico.• Energía mecánica (Wmec), asociada al subsistema mecánico.• Energía magnética (Wmgn), asociada al campo magnético de acoplamiento.• Energía calórica (Wcal), asociada a los fenómenos disipativos en los subsistemas

eléctrico y mecánico (pérdidas en el cobre, pérdidas en el fierro, pérdidas por roce).

Estas cuatro formas de energíaestán relacionadas a través delprincipio de la conservación dela energía, conocido tambiéncomo primera ley de latermodinámica, (formulado porK.Mohr en 1837 como “laenergía no se crea ni sedestruye, sólo se transforma”).

Considérese ahora el sistemaelectromecánico conservativocon n puertas eléctricas y unapuerta o grado de libertadmecánico (x) de la figura 5.2.1,donde para las puertaseléctricas rige la convencióncarga y para la puertamecánica la convención fuente.

Piénsese un desplazamiento virtual positivo δx del nodo mecánico, sobre el cual actúala fuerza electromagnética fe, cuya referencia positiva coincide con la de x .

Durante el desplazamiento virtual el campo realiza sobre el terminal mecánico eltrabajo virtual δWmec=feδx , se produce un aumento virtual de la energía acumulada en

Figura 5.2.1. Sistema electromecánico de n puertas eléctricas y una puerta mecánica

i1

in

Puertas eléctricas Puerta mecánica

CAMPOCONSERVATIVO

f,x

δx

vn

v1

Wmgn


el campo magnético δWmgn y se absorbe la energía eléctrica virtual δWel de las fuentesque alimentan el subsistema eléctrico.

En virtud del principio de conservación de la energía, en un sistema conservativo (sinpérdidas) la energía que entra menos la energía que sale debe ser igual al incrementode la energía en el sistema:

δ δ δW W Wel mec mgn− = (5.2.1 )

Reemplazando en (5.2.1) la expresión para δWmec se obtiene

fW W

xeel mgn=

−δ δδ

. (5.2.2)

Si se imagina el desplazamiento virtual realizado de manera tal que los enlaces de flujopermanezcan constantes (δψi= 0), la energía eléctrica absorbida no varía durante eldesplazamiento virtual

δ δψW iel i ii

= ⋅ =∑ 0 (5.2.3)

y (5.2.2) se reduce a

fW

xemgn

ctei

= −=

δδ

ψ

, (5.2.4)

lo que se expresa matemáticamente como

fW x

xemgn i= −

∂ ψ∂

( , ). (5.2.5)

Alternativamente, si el desplazamiento virtual se imagina realizado manteniendo lascorrientes constantes (δ ii = 0), la expresión (5.2.2) toma la forma

fW i x

x

W i x

xeel i mgn i= −

∂∂

∂∂

( , ) ( , ) . (5.2.6)

Mediante la relación (transformación de Legendre)

W i x i W i xmgn i i i mgn ii

( , ) ( , )= ⋅ −∑ ψ (5.2.7)

se define la función coenergía magnética Wmgn y su uso reduce la relación (5.2.6) a


fW i x

xemgn i=

∂∂

( , ) , (5.2.8)

ya que ix

W i xxi

i el i∂ψ∂

∂∂

=∑ ( , ) . (5.2.9)

En el caso de sistemas magnéticamente lineales rige

ψ i i j jj

L i= ⋅∑ , por lo que (5.2.10)

W i x L x i imgn i i j i ji j

( , ) ( ),

= ∑12 (5.2.11)

y, de acuerdo con (5.2.7), energía magnética y coenergía magnética son ahoranuméricamente iguales. Sin embargo, debe respetarse escrupulosamente las variablesindependientes usadas en (5.2.5) y (5.2.8) so pena de obtener un signo erróneo para lafuerza de origen electromagnético.

Para sistemas con un grado delibertad eléctrico y un grado delibertad mecánico la relaciónexpresada por (5.2.7) tiene unainterpretación geométrica simpleen términos de áreas en el plano(ψ,i) , como puede apreciarse enla figura 5.2.2, donde se observatambién que tanto el valor de laenergía magnética como el de lacoenergía magnética sólodependen de los valores finalesdel enlace de flujo (Ψ) y de lacorriente (I) y sonindependientes de la forma enque se alcanza esos valoresfinales.

De (5.2.5) y (5.2.8) se desprende que sólo se desarrollan fuerzas electromagnéticassi la energía (coenergía) asociada al campo varía con el desplazamiento .

Esta es una conclusión fundamental y perfectamente general.

Las ideas generales hasta aquí expuestas se comprenden mejor si se aplican asituaciones concretas que permiten hacer asociaciones con la experiencia subjetiva.

Figura 5.2.2. Interpretación de la energía y lacoenergía como áreas en el plano ψ-i.

Wmgn

Wmgn

ψ(i)ψ

iI0

Ψ


Para evitar dificultades matemáticas innecesarias se supondrá que los sistemaselectromecánicos poseen características magnéticas ψ(i) lineales y que los campos sonunidimensionales.

5.3 Transductores de movimiento limitado

La mayor parte de las máquinas y aparatos electromagnéticos basan su acción encampos confinados espacialmente mediante circuitos magnéticos de materialferromagnético de alta permeabilidad, interrumpidos por entrehierros relativamenteestrechos.

De la física experimental se sabe que sobre las superficies limítrofes entre materialesde diferente permeabilidad (permitividad) se desarrollan fuerzas magnéticas (eléctricas)que la teoría de campos interpreta a través de las propiedades elásticas que asocia alas líneas de fuerza: las líneas de fuerza tienden a acortarse y a separarse. Lafuerza magnética por unidad de área se conoce como tensión de Maxwell y sudirección, normal a la superficie limítrofe, es desde el medio de mayor permeabilidad alde menor permeabilidad.

Considérese ahora el dispositivoelemental de la figura 5.3.1. Su núcleoesté formado por chapas silicosas depermeabilidad infinita en las que lascorrientes parásitas sean despreciables.El campo en el entrehierro seahomogéneo.

Sobre la superficie de la armadura queenfrenta el entrehierro el campomagnético desarrolla fuerzas - se debena la tendencia de las líneas de fuerza aacortarse - que tienden a disminuir elentrehierro.

La determinación de la fuerza resultante sobre la armadura mediante la relación (5.2.8)requiere de la formulación de una expresión para la coenergía asociada al campomagnético en términos de la corriente. Para ello se puede suponer que la energíamagnética sólo se acumula en el volumen correspondiente al entrehierro V=qx, ya quecon un entrehierro finito el flujo y la inducción también serán finitos y la permeabilidadinfinita del núcleo implica que, es decir, que la densidad de energía magnética en elnúcleo es cero.

Como el campo en el entrehierro se supuso homogéneo, la energía se expresasimplemente como producto de la densidad de energía por el volumen:

Figura 5.3.1. Dispositivo elemental parademostrar la fuerza de Maxwell.

φ

x

F

Sección qarmadura

N

µ→ ∞

i


W BH qx H qxmgn = ⋅ = ⋅12

12 0

2µ (5.3.1)

La relación entre H e i se obtiene aplicando la ley de Ampere a lo largo del camino deintegración indicado en la figura 5.3.1, recordando que Hfe=0.

Hi Nx

= . (5.3.2)

Reemplazando (5.3.2) en (5.3.1) se logra

W i x Nqx

imgn ( , )= 12 0

2 2µ . (5.3.3)

Por otro lado, en términos de la inductancia asociada a la bobina y la corriente rige laexpresión general

W i x L x imgn ( , ) ( )= 12

2 , (5.3.4)

y por comparación de coeficientes se tiene que en este caso la inductancia vale

L xqx

N( )= µ02 . (5.3.5)

Como se trata de un sistema magnéticamente lineal, la energía y la coenergía soniguales y la expresión (5.2.8) toma la forma

fW i x

xi

dLdx

iqNxe

mgn= = = −∂

∂µ( , )

12

2 12

2 02

2(5.3.6)

o, en términos de variables de campo,

f H qe = − ⋅12 0

2µ (5.3.7)Se aprecia que la fuerza es negativa en relación con las referencias elegidas en lafigura 5.3.1, es decir, su sentido es del medio de mayor permeabilidad al de menorpermeabilidad. Su valor por unidad de superficie es

σ µµe H

B= =12 0

22

02(5.3.8)

y corresponde a la tensión de Maxwell para campos homogéneos.

La fórmula (5.3.8) constituye el punto de partida para el dimensionamiento deelectroimanes.


5.3.1 Torque de reluctancia

Considérese ahora el dispositivoilustrado esquemáticamente en lafigura 5.3.2, formado por unnúcleo fijo, provisto de una bobinade N vueltas, y una armadurarotatoria, separados, cuandoestán alineados, por unentrehierro cilíndrico de ancho d.El núcleo y la armadura seanideales.

Al desplazar la armadura desde laposición de simetría en un ánguloγ , las líneas de fuerza del campose deforman con lo que apareceuna distribución de fuerzas sobrelas caras planas del rotor que da

lugar a un torque resultante, salvo para las posiciones γ=0, γ=90º, γ=180º y γ=270º,para las cuales la distribución de las líneas de fuerza es simétrica respecto al eje desimetría principal del motor, por lo que el momento resultante desaparece. En elintervalo 0<γ<90º el momento es negativo en relación con la referencia positiva de lafigura 5.3.2, mientras que en el intervalo 90º<γ<180º el momento es positivo. Seaprecia que el momento siempre es tal que tiende a alinear el rotor con el eje desimetría del estator.

La determinación cuantitativa del torque resulta compleja, ya que requiere delconocimiento de la distribución espacial del campo magnético como función del ánguloγ .Frente a la imposibilidad de poder contar con una solución analítica para el problemade campo planteado se hace necesario bajar las exigencias y conformarse con unasolución aproximada de validez limitada.

Considerando que para valores relativamente pequeños del ángulo γ la mayor parte dela energía del campo se encuentra asociada al volumen del entrehierro limitado por lascaras cilíndricas, se puede formular el siguiente modelo que a primera vista parece algoburdo: toda la energía está en el volumen entre las superficies cilíndricas.

Con este modelo y las denominaciones de la figura 5.3.2 se obtiene las siguientesexpresiones para la energía magnética en el entrehierro de ancho radial d y largo axiall:

( ) 202

1mgn Hdlr2W µ⋅γ+β= para -β<γ<0 (5.3.9)

Figura 5.3.2. Dispositivo elemental para demostrarel momento de reluctancia.

βγ

d

i

N

Te

Φ


( ) 202

1mgn Hdlr2W µ⋅γ−β= para 0<γ<β . (5.3.10)

Aplicando la ley de Ampere a lo largo del camino de integración cerrado indicado en lafigura 5.3.2 se establece que

Hi N

d=

2(5.3.11)

por lo que (5.3.9) y (5.3.10) pueden ser reescritos como

( ) 212

12202

1mgn i)(LiN

d2lr

),i(W ⋅γ=⋅γ+βµ=γ (5.3.12)

y

( ) 222

12202

1mgn i)(LiN

d2lr

),i(W ⋅γ=⋅γ−βµ=γ , (5.3.13)

obteniéndose el momento a partir de la relación (5.2.8), adaptada convenientemente aldesplazamiento giratorio, como

( ) 221mgn

e id

dL),i(WT ⋅

γγ=

∂γγ∂

= , (5.3.14)

expresión que para los respectivos rangos de γ toma las formas explícitas

Tr ld

N ie = ⋅µ02 2

4para -β<γ<0 (5.3.15)

y

Tr ld

N ie = − ⋅µ02 2

4para 0<γ<β (5.3.16)

La dependencia del torque del cuadrado de la corriente implica que, aún en sistemasmagnéticamente lineales, la conversión electromecánica de energía es un fenómenonolineal.

La figura 5.3.3 ilustra la variación de la inductancia propia y del torque (con i=cte) con eldesplazamiento angular del rotor (γ). Se puede observar que, coincidentemente con elanálisis cualitativo, el torque es nulo para γ=0º, γ=90º, γ=180º y γ=270º, es positivo para-β<γ<0 y es negativo para 0<γ<β.

A primera vista este resultado puede parecer paradójico, ya que al despreciar el campoen el aire fuera del entrehierro también desaparecen las fuerzas de tracción sobre lascaras planas del rotor, causantes del momento.


Sin embargo, la contradicción es sólo aparente, ya que sobre las caras curvas tambiénactúan fuerzas de presión tangenciales debidas a la tendencia de las líneas de fuerza asepararse, aspecto que no se había mencionado explícitamente en la discusiónanterior.

De manera que no hay contradicción entre los resultados obtenidos a través de laaplicación del criterio energético y los esperables a partir de los conceptos de la teoríade campos.

Figura 5.3.3. Variación de la inductacia y del torque para elmomento idealizado de la figura 5.3.2.

LT

γ−β +β π(π−β) (π+β)π2

Los resultados cuantitativos de la figura 5.3.3 pueden ser mejorados, si se consideraque el valor mínimo de la inductancia propia no es cero sino un valor finito, estimado dealguna manera. Las curvas segmentadas de la figura 5.3.3 ilustran el efecto de lacorrección.

De acuerdo con lo expuesto, el dispositivo sólo desarrolla momento si el rotor esanisotrópico, es decir, si no posee las mismas propiedades magnéticas en todas lasdirecciones radiales, pues solamente de esa manera se produce variación de laenergía magnética con el desplazamiento angular.

Expresado en la terminología de los circuitos magnéticos, debe variar la reluctancia deéste para que haya momento. Por esta razón el momento generado en esascondiciones se conoce como momento de reluctancia.

Un rotor cilíndrico no daría lugar a la formación de momento.


5.3.2 Torque de excitación

Para que un dispositivo desimetría cilíndrica, como el de lafigura 5.3.4, desarrollemomento, el rotor debe estarequipado con un devanado porel cual circule corriente. Estedevanado, ubicado en ranuras,permite que haya variación de laenergía magnética - odeformación de las líneas defuerza - con el desplazamientoangular del rotor (γ).

La determinación del momentodesarrollado por el dispositivo de la figura 5.3.4 pasa por la determinación de la energíamagnética asociada a él.

Para ello se recurre convenientemente a la distribución de fmm resultante (figura 5.3.5),obtenida a partir de la superposición de las distribuciones de fmm rectangularescorrespondientes a las bobinas concentradas del estator y del rotor respectivamente.De ella se puede apreciar que la intensidad del campo resultante y, con ella, ladensidad de energía magnética en el entrehierro, toma sólo dos valores:

( )w H Hms o= +12 1 2

2µ (5.3.17)

y ( )w H Hms o= −12 1 2

2µ . (5.3.18)

La energía magnética total en el entrehierro se obtiene al multiplicar las densidades deenergía por los correspondientes volúmenes y sumar luego las energías parciales asíobtenidas

( )( )( ) ( )[ ]

( )[ ]( ) 2

22202

121210

21

2102

1mgn

2221

210mgn

2221

21

2221

210mgn

mdmsmgn

iNd2rl

ii2NNd2rl

iNd2rl

W

HHH22HrdlW

HHH2HHHH2HrdlW

rdlw2rdlw2W

⋅πµ+⋅γ−ππµ+⋅πµ=

π+γ−π+πµ=

+−γ+++γ−πµ=

γ+γ−π=

(5.3.19)

Figura 5.3.4. Dispositivo elemental para demostrar elmomento de excitación.

x1

x2i1

i2

d

N2

N1

Te

γ Longitud axial : l


Por otra parte, la expresión general para la energía asociada a un sistema de n bobinasdada en (5.2.11), para el caso de 2 bobinas, se reduce a

W L i L i i L imgn = ⋅ + ⋅ + ⋅12 1 1

212 1 2

12 2 2

2 (5.3.20)

y por comparación de coeficientes con (5.3.19) se establece que las inductanciaspropias y mutuas valen respectivamente:

Lrld

N1 0 12

2= µ π

, (5.3.21)

Lrld

N2 0 22

2= µ π

, (5.3.22)

( )21012 NN

d2rl2

Lγ−πµ= para π≤γ≤0 . (5.3.23)

Se aprecia que sólo la inductancia mutua L12 es función de la posición angular γ delrotor, por lo que la expresión para el momento se reduce a

2112mgn

e iid

)(dL),i(WT

γγ=

∂γγ∂

= (5.3.24)

y considerando a (5.3.23) toma la siguiente forma explícita:

21210e iiNNdlr

T µγγ−= para π≤γ≤0 , (5.3.25)

Figura 5.3.5. Distribución de la fmm a lo largo delentrehierro del dispositivo de la figura 5.3.4.

δ

γ

F1

F1+F2

−π/2π −πx 0

π/2

F2


cuya representación gráfica como función de δ, para i1 e i2 constantes, muestra la figura5.3.6.

Se puede observar que,para un desplazamiento γentre los ejes magnéticosdel estator y del rotordado, el momentoelectromagnético queactúa sobre el rotor tieneun sentido tal que tiendea alinear los ejesmagnéticos del estator ydel rotor.

Alternativamente tambiénpodría decirse que el momento nace de la tendencia de los campos del estator y delrotor a alinearse.

Si se considera que inducción en el entrehierro producida por el devanado del estatorvale

Bi N

d1 01 1

2= µ para − < <π π

2 2x

y (5.3.26)

Bi N

d1 01 1

2= −µ para

π π

π π2

2

< ≤

− ≤ <

x

x

la ecuación (5.3.25) puede reescribirse como

T r B l N i r fe e= ⋅ = ⋅2 21 2 2 (5.3.27)

donde f B l N ie = 1 2 2 (5.3.28)

tiene la estructura de la fórmula de Lorentz para la fuerza sobre un conductor delongitud l y corriente i2N2 que se encuentra en un campo magnético homogéneo deinducción B1 de orientación normal al conductor.

Debido a la equivalencia entre las relaciones (5.3.27) y (5.3.24) es legítimo consideraral momento, formalmente, como si se debiera a fuerzas electrodinámicas sobre losconductores del rotor, aunque, en rigor, el momento se debe a fuerzas magnéticas queactúan sobre las paredes de las ranuras.

Figura 5.3.6. Variación de la inductancia y del torque para el modelo idealizado de la figura 5.3.4.

γ−π/2π/2π −π

L12 Te

0


Sobre el conductor en la ranura prácticamente no actúan fuerzas tangenciales, ya quela alta permeabilidad del fierro hace que la mayor parte del flujo que cruza elentrehierro siga por el fierro, por lo que el flujo en las ranuras correspondefundamentalmente al flujo de dispersión, causado por la propia corriente en la ranura.Este flujo es paralelo al fondo de la ranura y determina fuerzas sobre el conductordirigidas hacia el fondo de la ranura, que por lo tanto no producen momento.

5.4 Máquinas rotatorias, conversión continua de energía

La mantención de un proceso continuo de conversión de energía eléctrica a energíamecánica, o viceversa, requiere que el valor medio del trabajo mecánico realizado encada revolución del rotor debe ser distinto de cero:

0dT21 2

0

e ≠γπ ∫

π

(5.4.1)

Esta condición no es satisfecha por los dispositivos giratorios analizados en el párrafoanterior, si las corrientes en el devanado del estator y en el devanado del rotor soncorrientes continuas. Una mirada a los gráficos de las figuras 5.3.3 y 5.3.6 permitecorroborar esta afirmación. En ambos casos el momento medio para una revolución escero.

Supóngase ahora que la bobina del dispositivo de la figura 5.3.2 esté alimentada porpulsos de corriente cuya duración corresponda a un cuarto de revolución, como ilustrala figura 5.4.1.

En esas condiciones el momento electromagnético sería positivo en los intervalos02 <γ<π− y π<γ<π 2 y nulo en los intervalos 20 π<γ< y 23π<γ<π , por lo

que quedaría satisfecha la condición (5.4.1) y, gracias a la inercia, el movimiento delrotor sería prácticamente continuo.

La alimentación de labobina con pulsos decorriente positivos ynegativos alternados(figura 5.4.2) no altera laforma del momento, ya queéste, de acuerdo con(5.3.14), depende delcuadrado de la corriente deexcitación.

Nótese que la frecuenciade la componente

Figura 5.4.1. Relativo a la conversión de energía endispositivos de reluctancia.

γ

− π2

−π π0

i

Te

π2

Te , i


fundamental de la onda de corriente de la figura 5.4.2 es igual a la frecuencia de girodel rotor.

Esto lleva a la conclusión que el dispositivo alimentado con corriente alterna defrecuencia angular ω1 e impulsado a velocidad angular ωm=ω1 debe desarrollar unmomento medio.

Figura 5.4.2. Relativo a la conversión de energia en dispositivos de reluctancia.

i

Te

γ

− π2

−π π 0 π2

Te , i

Para comprobar esto formalmente, supóngase que el rotor gira con velocidad angularconstante ωm y que la inductancia, que es una función periódica del ángulo γ= ωmt, estéexpresada mediante la serie de Fourier

( )∑ν

ν νγ+=γ cosLL)(L 0 . (5.4.2)

Reemplazando esta expresión en (5.3.14), aquella se convierte en

( )∑ν

ν νγν−= 221

e isenLT . (5.4.3)

Supóngase ahora que la corriente sea sinusoidal

( )ϕ+ω= tcosIi 12 , (5.4.4)

con lo que ( )[ ]i I t2 211 2 2= + +cos ω ϕ y el valor medio del momento toma la forma

( ) ( )

( ) ( )

γνγν

γ

ωω

ϕ−γνγν

γ

ωω

ϕπ

−=

γνγνϕ+ωπ

−=γπ

∫ ∑ ∫ ∑

∫ ∑∫π

ν

π

νν

π

νν

π

2

0

2

0 m

1v

m

12

2

01

22

0e

dsenL2

sen2sendsenL2

cos2cos8I

dsenL2t2cos4I

dT21


Invocando las relaciones

cos senmx nx dx =∫ 00

2π

(5.4.5)

y

sen senmx nx dxpara m n

para m n=

≠=

∫0

0

2

π

π

(5.4.6)

se establece que ν=ωω≠γ∫

π2

0 m

1e

2si0dT , (5.4.7)

es decir, que hay momento medio si ω ν ω1 2= m (5.4.8)

En el caso específico del dispositivo elemental de la figura 5.3.2, cuya inductancia L(γ)está representada en la figura 5.3.3, la armónica dominante en el correspondientedesarrollo en serie de Fourier es la segunda (ν=2), lo que implica que en ese caso seproduce conversión continua de energía si el rotor gira a velocidad sincrónica , es decir,

si ω ωm = 1 , (5.4.9)

tal como lo había previsto el análisis cualitativo previo.

De acuerdo con la relación (5.4.8) también habría otras velocidades a las cuales eldispositivo desarrolla un momento medio distinto de cero, por ejemplo, para la cuartaarmónica (ν=4) resulta ω ωm = 1 2 . Sin embargo, el momento desarrollado a esavelocidad es mucho más débil, por lo que carece de significación práctica.Considérese ahora la posibilidad de conversión continua de energía para el dispositivodoblemente excitado de la figura 5.3.4.

Las condiciones necesarias se pueden visualizar elementalmente recurriendo a la ideadel campo giratorio.

Un devanado del estator de p pares de polos, excitado con una corriente alterna defrecuencia angular ω1 , produce un campo alterno cuya fundamental

( ) ( )b x t B px t1 1 1 1 1 1( , ) cos cos= +ω ϕ , (5.4.10)

según lo visto en el párrafo 4.3 del capítulo sobre devanados, puede interpretarse comoresultante de la superposición de dos campos giratorios que giran en sentidos opuestosy cuya amplitud es igual a la mitad de la amplitud del campo alterno:

( ) ( )b x tB

px tB

px t1 11

1 1 11

1 1 12 2( , ) cos cos= − − + + +ω ϕ ω ϕ (5.4.11)


En forma análoga se obtiene para el campo producido por el devanado del rotor

( ) ( )b x tB

px tB

px t2 22

2 2 22

2 2 22 2( , ) cos cos= − − + + +ω ϕ ω ϕ (5.4.12)

Los ejes magnéticos de los devanados del estator (fijo) y del rotor (móvil), quecoinciden respectivamente con los orígenes de las coordenadas x1 y x2, estándesplazados en el ángulo tmω=γ (figura 5.3.4), por lo que rige:

txxx m221 ω+=γ+= (5.4.13)

Reemplazando (5.4.13) en (5.4.12) se obtiene

( )[ ] ( )[ ]b x tB

px p tB

px p tm m2 12

1 2 22

1 2 22 2( , ) cos cos= − + − + + − +ω ω ϕ ω ω ϕ , (5.4.14)

que representa al campo del rotor referido al sistema de coordenadas del estator o, enotras palabras, al campo del rotor visto por un observador ubicado en el estator.

Se aprecia que un campo giratorio del rotor gira a la misma velocidad que uno delestator si :

ω ω ω1 2= + p m (5.4.15)o siω ω ω1 2= − p m (5.4.16)

Como el momento nace de la tendencia de los campos del estator y del rotor aalinearse el uno con el otro, la velocidad relativa entre esos campos debe sernecesariamente nula para que esta situación se mantenga en el tiempo y puedadesarrollarse un momento con valor medio distinto de cero. Si la velocidad relativa noes cero, se desarrolla un momento oscilatorio cuyo valor medio es cero.

Las relaciones (5.4.14) y (5.4.15) son las restricciones que deben satisfacer lasfrecuencias de las corrientes del estator y del rotor para que haya conversión continuade energía en un dispositivo doblemente excitado.

Se aprecia que para que haya conversión continua de energía al menos uno de losdevanados tiene que estar excitado con una corriente alterna.

La comprobación formal de estas conclusiones sigue la línea del desarrollo hecho parael momento de reluctancia, donde debe considerarse que ahora el momento dependede la variación de la inductancia mutua ( )∑

νν νγ= cosLL 1212 .


5.5 Resumen

En los párrafos precedentes se obtuvo criterios para la aparición de fuerzas ymomentos electromagnéticos a partir de consideraciones energéticas,yuxtaponiéndolos a los criterios que tienen su origen en la teoría de campos.

Desde el punto de vista del balance energético se concluye que sólo se desarrollanfuerzas o momentos electromagnéticos si la energía asociada al campo varía comofunción de la coordenada mecánica [(5.25) y (5.2.8)] y que el sentido de la fuerza es talque esta - con corriente constante - tiende a producir un desplazamiento que determinaun aumento de la coenergía del campo magnético [(5.2.8)].

El momento desaparece cuando la coenergía alcanza un valor extremo [(5.2.8)],correspondiendo un máximo a una condición de equilibrio estable y un mínimo a unainestable.

De aquí se desprenden afirmaciones como: polos opuestos se atraen y polos igualesse rechazan, un rotor anisotrópico tiende a alinearse con el campo o, los camposproducidos por las corrientes del estator y del rotor tienden a alinearse, que sólo sonotras maneras de expresar la condición de equilibrio en sistemas electromecánicos.

La comprobación que la fórmula de Lorentz también es aplicable a situaciones en quelos conductores están alojados en ranuras, rodeados de fierro de alta permeabilidad,permite inferir que esa fórmula fundamental es equivalente a (5.2.8), lo que tieneimportantes consecuencias prácticas.

La relación que deben satisfacer las frecuencias de las corrientes del estator y del rotory la frecuencia de giro del rotor ( )p mω ω ω= ±1 2 , traducida a términos del campo

giratorio, implica que para conversión continua de energía la velocidad relativa entre uncampo giratorio del estator y uno del rotor debe ser nula.

Esta condición, si bien necesaria, no es suficiente. Para que exista momento mediodistinto de cero debe haber además un desplazamiento espacial entre los ejesmagnéticos de los campos giratorios del estator y del rotor, lo que implica undesfasamiento apropiado de las corrientes del estator (ϕ1) y del rotor (ϕ2)

( )( )[ ]5 411 5 414. . , . . .

En las diferentes máquinas eléctricas que se analizan en los capítulos siguientes:máquina de corriente continua, máquina sincrónica y máquina asincrónica, estascondiciones se cumplen de diferentes maneras, tratándose satisfacer en forma óptimalas exigencias específicas de cada aplicación.

6. Máquina de corriente continua

6.1 Introducción

La disponibilidad de una fuente de corriente continua, a través de la pila de Volta,determinó que el desarrollo inicial de la electrotecnia girara al rededor de esa forma deenergía eléctrica.

Consecuentemente, la primera máquina eléctrica rotatoria, que aparece a mediados delsiglo XIX, es la máquina de corriente continua, la que a partir del descubrimiento delprincipio dinamoeléctrico por Siemens en 1866 experimenta un rápido desarrollo,incorporando los detalles constructivos que la caracterizan hasta el presente.

La máquina de corriente continua, en su uso como motor, desplazó a las máquinas devapor de las fábricas y, en su uso como generador, posibilitó los primeros sistemas dedistribución eléctrica, sentando así las bases para el desarrollo de la industria eléctrica.

Con la introducción de la corriente alterna, las máquinas de corriente continua perdieronsu posición hegemónica inicial, manteniéndose sí en muchas aplicaciones en las quesus características específicas las hacían irreemplazables.

El desarrollo más reciente de los semiconductores de potencia ha tenido un efectodoble sobre el empleo de la máquina de corriente continua.

Por una parte, la disponibilidad de rectificadores controlados, de costo muy inferior al deuna máquina de corriente continua, ha desplazado a esta de sus funciones tradicionalescomo generador o como amplificador de potencia, máquinas que ya casi no seconstruyen.

En cambio esos mismos rectificadores han ampliado considerablemente susposibilidades de uso como motor, al permitir la alimentación de estos desde las redesde corriente alterna.

En consecuencia, en la actualidad la principal aplicación de la máquina de corrientecontinua es como motor en accionamientos de velocidad variable. El rango de potenciasva desde una fracción de kW hasta potencias del orden de 10.000kW, usadas en treneslaminadores de la industria siderúrgica y en motores que impulsan las hélices derompehielos y de submarinos.

En el futuro próximo el abaratamiento de nuevos semiconductores de potencia y de loscircuitos integrados a gran escala hará posible la construcción de inversores quepermitirán darle a un motor asincrónico trifásico las características de un motor decorriente continua y a un costo menor que el de éste y el correspondiente rectificador.

capítulo 6 : máquina de corriente continua. 6-107

Sin embargo, este desarrollo, al basarse en una estrategia de control que se inspira enla máquina de corriente continua, también requiere de la comprensión del principio defuncionamiento básico de esta máquina, que, como idea, sigue tan vigente comosiempre.

En este capítulo se pretende sentar las bases para la comprensión de la teoría de lamáquina de corriente continua a partir de los conceptos generales desarrollados en loscapítulos precedentes.

6.2 Características constructivas

En la figura 6.2.1 se muestra una vista frontal y una vista axial, ambas con cortes, deuna máquina de corriente continua convencional de cuatro polos (p=2). En ella seidentifican las partes más importantes y se les asigna un número [ ].

El corte en la vista frontal permite apreciar la mitad del circuito magnético principal, queestá formado por las piezas polares[4](sobre las cuales están montadas las bobinasconcentradas del devanado de campo), el yugo del estator, los entrehierros, los dientesde la armadura (rotor) y el yugo de la armadura.

El yugo del estator cumple la doble función de elemento estructural y parte del circuitomagnético. En las máquinas convencionales es de acero fundido y en máquinasmodernas de construcción compacta está armado con chapas silicosas.

Las piezas polares, fijadas con pernos al yugo del estator, son de chapas magnéticas,para reducir las pérdidas adicionales por corrientes parásitas, cuyo origen está en lasfluctuaciones locales de inducción producidas por los dientes y las ranuras del rotor enmovimiento.

El rotor[3], que gira en el campo magnético continuo creado por los polos principales,está armado de chapas silicosas para reducir las pérdidas por corrientes parásitas y porhistéresis causadas por el giro. En las chapas se estampan las ranuras destinadas aalojar el devanado de armadura (o inducido).

El devanado de armadura es un devanado de corriente continua cuya acción fuediscutida en el párrafo 4.3.4 del capítulo sobre devanados. Cuando la máquina tienemás de dos polos, el devanado puede ejecutarse como imbricado (figura 6.2.2) uondulado (figura 6.2.3). Cada bobina está conectada [6] a dos segmentos (delgas,láminas) [7] del conmutador (colector), formando así un devanado cerrado sin principioy sin fin.

La alimentación del devanado se efectúa a través de escobillas (carbones)[8], querozan sobre la superficie cilíndrica del colector y que están sujetas al estator medianteportaescobillas y un collar [10].


Figura 6.2.1 Vista frontal y axial de una máquina de corriente continua.

Las escobillas están hechas de un aglomerado de grafito y metal en polvo y suresistencia eléctrica influye en forma importante sobre las características de laconmutación .

Una conmutación correcta, sin chisporroteo, requiere de polos auxiliares (interpolos)[5],ubicados simétricamente entre los polos principales, provistos de enrollados conectadosen serie con el devanado de armadura.


Figura 6.2.1. Devanado imbricado.Nr=Nd=36 , p=2 , a=2.

1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

1 32 54 76 98 1110 1312 1514 1716 1918 2120 22 23 24

2 31 6 74 5 10 118 9 14 1512 13 18 1916 17 232220 21 2827262524 31302933 34 35 36

34 35 36

272625 34302928 333231 3635

32

Figura 6.2.2. Devanado ondulado. Nr=Nd=27 , p=2, a=1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 3

271 2 43 5 6 7 181398 10 11 12 14 15 1716 2319 20 2221 2624 25

Fuera de las así llamadas partes activas, como el devanado y el circuito magnético, lasmáquinas eléctricas están compuestas por partes pasivas (eje[1],tapas frontales,descansos, ventilador[2], etc...), que no intervienen directamente en el proceso deconversión de energía, pero cuyo adecuado diseño y ejecución determina la calidadmecánica de la máquina.

6.3 Principio de funcionamiento

La figura 6.3.1 muestra esquemáticamente un corte transversal de la máquina de lafigura 6.2.1 en los que se destaca el circuito magnético principal y los devanados deexcitación y de armadura.


Figura 6.3.1. Dibujo esquemático de una máquina decorriente continua de 4 polos.

I

I

I/2

I/2ωm I/4

N

N

S S

Si en la figura 6.2.2 se asume que las escobillas están conectadas a una fuente decorriente y se determina la distribución de la corriente por las bobinas del devanado dearmadura para dos posiciones diferentes de la armadura, se comprueba que laalimentación del devanado de armadura a través del mecanismo conmutador-escobillascrea una distribución espacial de corriente seudoestacionaria, caracterizada en la figura6.3.1 mediante una secuencia alternada de puntos y cruces (corrientes entrando ysaliendo del plano del dibujo) que mantiene su posición respecto a las piezas polares,independientemente del giro de los conductores que forman el devanado de armadura.

La interpretación formal de las fuerzas tangenciales sobre la superficie del rotor comofuerzas electrodinámicas (capítulo 5) permite apreciar que las fuerzas sobre lascorrientes bajo cada polo tienen el mismo sentido y que dan lugar a un momentoresultante. Con las referencias positivas para las corrientes de la figura 6.3.1 el sentidopositivo para el momento coincide con el sentido positivo para la velocidad angular, loque implica que la potencia mecánica que sale de la máquina es positiva.

Bajo la acción del momento electromagnético el rotor se pone en movimiento y seinducen tensiones en las bobinas del devanado de armadura, que se suman en la formavista en el capítulo 4, apareciendo una tensión resultante entre las escobillas cuyapolaridad, de acuerdo con la regla de Lenz, es tal que tiende a oponerse a la causa quela produce. Como la causa de la tensión es el movimiento de la armadura y éste sedebe a la circulación de corriente por esta, la polaridad de la tensión inducida esopuesta a la de la tensión aplicada y tiende a disminuir la corriente absorbida por laarmadura.

El proceso de aceleración termina cuando el momento resultante es nulo, vale decir,cuando la tensión inducida es tal que la corriente de armadura es justo la necesariapara desarrollar un momento electromagnético igual al momento externo aplicado al eje.


Para invertir el sentido del flujo de energía y convertir la máquina de corriente continuaen un generador se debe reducir el momento aplicado al eje a cero, estableciéndose lavelocidad de vacío. Luego se invierte el momento y se lleva el rotor a una velocidadsuperior a la de vacío. De esa manera la tensión inducida se hace mayor que la tensiónaplicada, con lo que se invierte el sentido de la corriente de armadura y con ella seinvierte el flujo de energía y cambia el sentido del momento electromagnético, que pasaa ser frenante.

El razonamiento anterior pretende explicar la acción de la máquina de corrientecontinua en términos de sus variables externas o de terminales, como lo son la tensióny la corriente y el torque y la velocidad. En términos de esas variables eléctricasexternas la máquina es una “máquina de corriente continua”.

Al derivar las condiciones generales para conversión continua de energía se habíaestablecido que en al menos un devanado debía haber corriente alterna. Esta condicióntambién se cumple en el caso de la máquina de corriente continua, donde, gracias a laacción del conmutador, las corrientes en las bobinas del devanado de armadura soncorrientes alternas de forma de onda rectangular y frecuencia f p n= ⋅ (con n velocidadde giro en rps). Esto se hace aparente si se sigue el giro de un conductor a través delas zonas de puntos y cruces en el esquema de la figura 6.3.1.

De manera que la máquina de corriente continua, con ω 1 0= y ω ω2 = p m , satisface lacondición para la conversión continua de energía, ω ω ω1 2± = p m , para cualquiervelocidad de giro. Esta característica constituye la fortaleza del motor de corrientecontinua.

6.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas

Las máquinas de corriente continua poseen básicamente dos circuitos: el circuito decampo y el circuito de armadura, representados esquemáticamente en la figura 6.4.1.La aplicación de la ley de Faraday a cada uno de estos circuitos da lugar a lacorrespondiente ecuación de equilibrio eléctrica.

Con las denominaciones y sentidos de referencia de la figura 6.4.1 rige para el circuitode armadura :

i R vddt ta a a− = − −∂ψ

∂γγ ∂ψ

∂, (6.4.1)

donde el primer término del segundo miembro corresponde a la tensión inducida por larotación de la armadura en el campo creado por la corriente de excitación if, problemaya analizado en el párrafo 4.3.4, y el segundo término corresponde a la tensión inducidapor la variación temporal del flujo enlazado por el devanado de armadura, variación que,


Figura 6.4.1. Referencias positivas para los circuitos dearmadura y de campo.

Vf

Va

Ia

If

ω

por la ortogonalidad de los ejes de los devanados de campo y de armadura, sólo escausada por la corriente de armadura.

En consecuencia (6.4.1) puede ser reescrita como

i R v V Ldidta a a rot a

a− = − −

ó

v i R Ldidt

Va a a aa

rot= + + . (6.4.2)

En el párrafo 4.3.4 se derivó la siguiente expresión para la tensión inducida entre lasescobillas de una armadura de corriente continua de un par de polos (p=1) y un par decircuitos en paralelo (a=1):

V z nrot p= ⋅ ⋅ Φ (6.4.3)

donde z es el número total de conductores de la armadura, n es la frecuencia de giro dela armadura en revoluciones por segundo y Φp es el flujo por polo en Weber.


Como ya se mencionara en el párrafo 6.2, para más de dos polos existen básicamentedos posibilidades de ejecución para el devanado de armadura, que puede ser imbricadou ondulado.

En el devanado imbricado simple (figura 6.2.2) los extremos de una bobina se conectana dos delgas consecutivas, en las cuales se interconectan con las bobinas adyacentes,formando un devanado cerrado que es dividido por las escobillas en tantos circuitos enparalelo como polos haya (2a=2p).

En el devanado ondulado (figura 6.2.3) losextremos de una bobina se conectan a dosdelgas separadas en aproximadamente undoble paso polar, en las cuales seinterconectan con otra bobina desplazadarespecto a la primera también enaproximadamente un paso polar. De esamanera se forman sólo dos circuitos enparalelo (2a=2) al ubicar un par deescobillas desplazado relativamente en unpaso polar. En la práctica se utiliza tantasescobillas como polos, ubicando escobillasadicionales en puntos equipotenciales conlas escobillas iniciales y uniéndolas a estas.De esa manera se logra un mejoraprovechamiento de la superficie delconmutador, que redunda en conmutadoresmás cortos.

La generalización de (6.4.3) para estos dos tipos de devanados se desprende deldesarrollo realizado en el párrafo 4.3.4 si se considera que ahora cada rama en paraleloestá formada por Nd/2a bobinas y que el área correspondiente a un paso polar es πRl/p.Resulta

Vpa

z nrot p= ⋅ ⋅ ⋅ Φ . (6.4.4)

La relación entre flujo y corriente de excitación es nolineal y está determinada por lacaracterística de magnetización del circuito magnético principal (figura 6.4.2). Sólo en lazona lineal la característica Φp (if) se puede reemplazar por la función

Φ Λp df

f

Np

i= ⋅ ⋅ (6.4.5)

donde Λd corresponde a la permeancia del circuito magnético principal o en el ejedirecto y Nf corresponde al número de vueltas en serie del devanado de campo.

Figura 6.4.2.Característica de magnetización φp (Fp) ycaracterística de vacío Vrot (If).

0

arctg Λd

φp

Vfrot

Ff(If)


Reemplazando (6.4.5) en (6.4.4) se obtiene

Vpa

zNp

irotm

df

f= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

ωπ2

Λ , (6.4.6)

relación que puede reescribirse convenientemente como

V N N irot q f d m f= 2π

ωΛ (6.4.7)

con Nzaq =

4 , el número de vueltas de cada rama en paralelo,

y 2π

= fz , el factor de zona correspondiente a un ancho de zona de 180º eléctricos.

Definiendo la inductancia rotacional como

G f N Nfq z q f d= Λ (6.4.8)

se logra finalmente una expresión para la tensióninducida por rotación en términos de unparámetro concentrado constante que tiene laestructura de una inductancia mutua:

V G irot fq m f= ⋅ ⋅ω . (6.4.9)

En consecuencia, para circuitos magnéticoslineales la expresión (6.4.2) toma la forma:

v R i Ldidt

G ia a a aa

fq m f= ⋅ + + ⋅ ⋅ω , (6.4.10)

ecuación que es satisfecha por el circuito equivalente de la figura 6.4.3, donde latensión rotacional está representada por una fuente de tensión controlada.

Por otra parte, la aplicación de la ley de Faraday al circuito de campo de la figura 6.4.1permite anotar:

i R vd

dtf f ff⋅ − = −

ψ, (6.4.11)

donde, en circuitos magnéticos lineales, fff iL=ψ , por lo que en ese caso

v R i Ldi

dtf f f ff= ⋅ + . (6.4.12)

Ra La

ia

va vrot

Figura 6.4.3 Circuito equivalente


En estado estacionario las corrientes de armadura y de campo son constantes, por loque para esa condición las ecuaciones (6.4.10) y (6.4.12) se reducen respectivamentea

V R I Va a a rot= ⋅ + (6.4.13)

y V R If f f= ⋅ . (6.4.14)

6.5 Ecuación de equilibrio mecánica

Las ecuaciones de equilibrio eléctricas, obtenidas a partir de la ley de Faraday, sonequivalentes a la segunda ley de Kirchhoff (LVK), que exige que en una malla la sumade las tensiones es igual a cero.

Análogamente, la ecuación de equilibrio mecánica, obtenida a partir de la aplicación dela segunda ley de Newton al rotor:

Jd

dtTm

ii

ω= ∑ , (6.5.1)

exige que la suma de los momentos sobre el rotor (considerado como un cuerpo rígido)sea igual al momento de inercia J por la aceleración angular.

Sobre el rotor actúan dos momentos : el momento mecánico externo aplicado al eje Tm

y el momento electromagnético Te .

El momento electromagnético que actúa sobre el rotor puede considerarseformalmente como debido a fuerzas electrodinámicas sobre los conductores de laarmadura donde, de acuerdo con el desarrollo del párrafo 5.3, cada ranura aporta con

T R B l ie i i i= ⋅ ⋅ ⋅ (6.5.2)

al momento resultante

∑ ∑= =

⋅

⋅⋅==

r rN

i

N

ii

aiee B

aNi

lRTT1 1

(6.5.3)

mra

e BNa

NilRT ⋅⋅

⋅⋅= , (6.5.4)

donde N es el número de vueltas de cada bobina del devanado de armadura, Nr elnúmero de ranuras del rotor, a el número de pares de circuitos en paralelo de laarmadura, ia la corriente de armadura, Bi la inducción en el entrehierro sobre la i-ésimaranura y Bm la inducción media en el entrehierro.


Si en la relación (6.5.4) se reemplaza la inducción media en términos del flujo por polomediante

pRl

B pm π

Φ= (6.5.5)

y se considera que el número de conductores de la armadura es z=2NNr,

quedam

arotpae

iviz

ap

Tω

=Φπ

=21

, (6.5.6)

expresión que explicita el balance de potencia, o sea, que la potencia electromagnéticaconvertida arot iv es igual a la potencia mecánica meT ω .

Para el caso de un circuito magnético lineal se puede reemplazar vrot en términos de(6.4.9), con lo que se obtiene

affqe iiGT = . (6.5.7)

En estado estacionario la aceleración es nula y el momento en el eje se obtienedirectamente de (6.5.6) como

m

arotm

IVT

ω= , (6.5.8)

relación que se usará más adelante al analizar las características de funcionamientoestacionarias de la máquina de corriente continua.

6.6 Funcionamiento estacionario

Para la determinación de la tensión de rotación o del momento electromagnético no fuenecesario el conocimiento detallado de la distribución de la inducción a lo largo delentrehierro, bastando el conocimiento del flujo por polo. Sin embargo, hay una serie deaspectos asociados al correcto funcionamiento de la máquina de corriente continua real,como la conmutación, las pérdidas de fierro adicionales, la tensión entre delgas o laestabilidad estacionaria, que requieren del conocimiento de la distribución espacial delcampo en el entrehierro.


6.6.1 Distribución del campo en el entrehierro

En los párrafos siguientes se determinará la distribución espacial idealizada para lainducción en el entrehierro a partir de principios básicos. Las idealizaciones se refierena asumir la permeabilidad del fierro como infinita, la permeancia del entrehierro bajo lospolos como constante y la permeancia del espacio interpolar como nula.

En la parte superior de la figura 6.6.1se muestra esquemáticamente uncorte transversal desarrollado,correspondiente a un doble pasopolar, y en la parte inferior estárepresentada la distribución de fmmy de inducción en el entrehierroproducida en vacío por la corrienteen el devanado de campo, el que seha supuesto muy delgado.

En la figura 6.6.2 se muestra ladistribución de fmm (líneasegmentada) y de inducción (líneallena) para el caso en que sólocircula corriente por el circuito dearmadura, que además del devanadode armadura incluye los interpolos.Como la permeancia en los espacios

interpolares es supuestamente nula, la inducción en esas regiones también lo es,independientemente del valor de la fmm. La intensidad de la fmm de los interpolos seelige siempre algo mayor quela amplitud de la ondatriangular producida por eldevanado de armadura, parasatisfacer las exigenciasplanteadas por unaconmutación correcta.

En la figura 6.6.3 se ilustra lasuperposición de las dossituaciones anteriores. Seaprecia que comoconsecuencia de la reacciónde armadura la distribuciónde inducción bajo los polosdeja de ser constante,aumentando bajo una mitaddel polo en relación con el

Figura 6.6.1 Distribución de fuerza e inducción en vacío

ατp

2τp

0 π 2πx

Ff

Bδ ,Ff

Figura 6.6.2. Distribución de fuerza magnetomotriz e inducción debida a la corriente de armadura solamente.

Bδ Fa

0x

Inducción debido a la armadura e interpolos.Fmm debido a la armadura e interpolos.


valor de vacío y disminuyendo respecto a ese valor bajo la otra mitad.

Como por razones de seguridad(peligro de arco eléctrico en elconmutador) la tensión máximaentre delgas no debe exceder avalores del orden de 30V, ladistribución dispareja de lainducción lleva a unsubaprovechamiento de lamáquina y a una disminución desu capacidad de sobrecarga.Además, la distribución disparejade la inducción implica unaumento en las pérdidas de fierroen los dientes y en el yugo de laarmadura en relación con el valorque tienen en vacío.

Para contrarrestar estos efectosnegativos se puede recurrir a undevanado de compensación,alojado en ranuras practicadasen las zapatas polares yconectado eléctricamente enserie con la armadura. En la

figura 6.6.4 se aprecia que la fmm del devanado de compensación anula a la fmmdebida a la reacción de armadura a lo largo de la zapata polar, restituyendo así ladistribución de inducción a la forma que tiene en vacío.

Los devanados de compensación son caros, por lo que su uso se limita a máquinas degran potencia, a máquinas con fuertes sobrecargas momentáneas o a máquinas cuyavelocidad se regula mediante el debilitamiento del campo.

6.6.2 Efecto desmagnetizante de la reacción de armadura

En ausencia de saturación la fmm de reacción de armadura distorsiona la distribuciónespacial de inducción (figura 6.6.3) sin alterar el flujo neto por polo, que es proporcionalal área bajo la curva de inducción Bδ(x). El aumento de flujo bajo una mitad del polo esigual a la disminución de flujo bajo la otra mitad.

Considérese ahora que el fierro se satura. Invocando la ley de Ampere, se puededeterminar la característica de magnetización equivalente Bδ(F) para el camino de

Bδ

0x

Inducción debida al campoInducción debida a la armaduraInducción resultante.

Motor

2τp

Figura 6.6.3 Distribución de inducción resultante,distorsionada por la reacción dearmadura


integración que pasa por los ejes de simetría de los polos, indicado en la figura 6.6.5.Esta característica también vale para un camino de integración que cruza el entrehierroa una distancia x del eje de simetría del polo, ya que a lo largo de los tramos de longitudx en el fierro del polo y de la armadura el camino de integración es perpendicular a laslíneas de fuerza, por lo que los correspondientes aportes a la integral de Ampere sonnulos.

Para determinar la distribución Bδ(x) a lo largo de la zapata polar basta entoncesdeterminar el valor de la fmm disponible para cada punto x (igual a la corrienteabrazada por el camino de integración) y entrar con estos valores a la característica demagnetización equivalente Bδ(F). El procedimiento está ilustrado en la parte inferior dela figura 6.6.5 para los puntos extremos de la zapata polar.

Concretamente, en los extremos del arco polar, es decir, para x p= ±α τ

2, la fmm total

abrazada por el camino de integración vale respectivamente

F F Ff= ± ∆ (6.6.1)con

∆ Fzp

Iaa= ⋅ ⋅

2 2 2α

(6.6.2)

Figura 6.6.4. Distribución de inducción resultante condevanado de compensación.

Fmm debido a la armadura e interpolos.Fmm debido a devanado de compensaciónInducción resultante.

ατp

2τp

0 x

Bδ

Fc

Fa


Figura 6.6.5. Determinación del campo resultante en presencia desaturación. Efecto desmagnetizante de la reacción dearmadura.

ατp

2τp

0 F

Bδ BδF

∆F

ατp

Ff

Ff

∆F∆F

x

x

Bd

Bi

Bo

En la figura 6.6.5 se aprecia que en presencia de saturación el aumento de la inducciónen el extremo derecho de la zapata Bd, donde la fmm tiene el valor F Ff + ∆ , es menorque la disminución de la inducción en el extremo izquierdo Bi, donde la fmm tiene elvalor F Ff − ∆ , lo que implica que el aumento del flujo bajo el semipolo derecho esmenor que la disminución del flujo bajo el semipolo izquierdo . En consecuencia, el flujocon carga, proporcional al área bajo la curva Bδ(x), disminuye en relación con el flujo envacío, proporcional al área del rectángulo de base ατp y altura B0, en

( ) ( )( ) lBBBB61

p0di0 ατ−−−=∆Φ , si se aplica la regla de Simpson.

¡En máquinas saturadas la reacción de armadura tiene un efecto desmagnetizante !


Para evitar esta disminuciónindeseada del flujo, que enmotores conectados a redes detensión constante puedeprovocar un comportamientoinestable, se usa (enaquellas máquinas en las quetodavía no se justifica undevanado de compensación) undevanado adicional de pocasespiras montado sobre los polosprincipales y conectadoeléctricamente en serie con laarmadura de manera que sufmm refuerce la del campoprincipal.

La figura 6.6.6 resume en forma esquemática los diferentes devanados de una máquinade corriente continua y su interconexión eléctrica.

6.6.3 Autoexcitación

Una de las características sobresalientes de los generadores de corriente continua essu capacidad de procurarse su propia corriente de excitación a través del así llamado“principio dinamoeléctrico” descubierto por Siemens en 1866.

Al discutir el lazo de histéresis se vio que, después de anulada la excitación (H=0), lainducción no bajaba a cero, sino sólo a su valor de remanencia Br . Esta inducción deremanencia es normal en máquinas eléctricas que han sido magnetizadas alguna vez yes una condición básica para la autoexcitación.

Considérese ahora una máquina de corrientecontinua cuyo devanado de campo haya sidoconectado en paralelo con la armadura en la formailustrada en la figura 6.6.7 y que es impulsada avelocidad constante.

La conexión fuerza que la tensión de armadura, queen vacío es aproximadamente igual a la tensiónrotacional, sea igual a la tensión de campo

v R i Ldi

dtrot f f ff= ⋅ + (6.6.3)

Figura 6.6.6. Esquema de conección de unamáquina de corriente contínua.

compensación

serieshunt

armadura

interpolos

+

-

ω

Figura 6.6.7.Relativo a la autoexcitación delgenerador de corriente continua.

Rf , Lf

+

-

ωφf

if Va ≈Vrot


En la figura 6.6.8 están representadas lascaracterísticas vrot e ifRf como función de lacorriente de campo if . Se aprecia que ladiferencia entre las ordenadas para undeterminado valor de la corriente de campocorresponde a la tensión de autoinducciónen el devanado de campo

Ldi

dtv R if

frot f f= − ⋅ (6.6.4)

y mientras esta, proporcional a la rapidezde crecimiento de la corriente de campo,sea positiva la corriente de campo crecerá.

Por lo tanto la tensión de armaduraaumentará hasta que se establezca unvalor estable para la corriente de campo, loque ocurre para el punto de intersección de las dos características, para el cual latensión de autoinducción desaparece, con lo que termina la fase transitoria del procesode autoexcitación.

De lo anterior se desprende que para que haya autoexcitación deben cumplirse lassiguientes condiciones:

1.- Debe haber flujo remanente suficiente.2.- La conexión del devanado de campo debe ser tal que la corriente de campo

refuerce el flujo remanente.3.- El circuito magnético debe exhibir saturación.4.- La resistencia del circuito de campo debe ser menor que cierto valor crítico,

determinado por la pendiente inicial de la característica de saturación.

6.6.4 Conmutación

El hecho que, por un lado, la distribución espacial de la corriente sea seudo estacionariay que, por otro lado, los conductores de la armadura giren con el rotor, implica que lacorriente a través de los conductores invierte su sentido cada vez que estos sedesplazan en un paso polar.

De la observación de los devanados de corriente continua de las figuras 6.2.2 y 6.2.3 sedesprende que las escobillas cortocircuitan transitoriamente al menos dos bobinas porcada par de polos.

Figura 6.6.8. Relativo a la autoexitación delgenerador de corriente continua.

0

V

Vrot0

if

ifRfifRcrit

Vr

if If0

Vrot

dtdi

Lf

f

Rf if


Figura 6.6.9. Las tres fases de la conmutación de la corrienteen una bobina de la armadura.

12

Ia/2

1

Ia Ia Ia

2

Ia/2 Ia/2

Ia/2

12

Ia /2 Ia /2 i i

a) b) c)

Durante el lapso en que una bobina permanece cortocircuitada se produce la inversiónde la corriente que circula por ella. La figura 6.6.9 ilustra las tres fases de este procesoconocido como conmutación.

Hasta antes del cortocircuito la bobina está incluida en el grupo de bobinas que formanla rama “derecha” de las dos ramas en paralelo creadas por la escobilla y por ellacircula la corriente Ia /2 . Esta situación corresponde a la figura 6.6.9 a).

Cuando la escobilla establece el cortocircuito de la bobina se inicia la segunda fase,durante la cual la bobina está excluida de ambas ramas. Durante esta fase la corrientedebería variar idealmente desde el valor inicial Ia /2 al valor final -Ia /2. Esta situacióncorresponde a la figura 6.6.9 b).

Al abrirse el cortocircuito de la bobinadespués del tiempo de conmutación Tc,la bobina queda incorporada a la rama“izquierda” de las dos ramas en paralelocreadas por la escobilla. Se hacompletado la conmutación. Estasituación corresponde a la figura 6.6.9 c).La figura 6.6.10 ilustra un período de laforma de onda de la corriente en labobina bajo el supuesto de unaconmutación ideal.

La conmutación ideal, o lineal, no se daen forma natural, como se puedeapreciar en el caso extremo de una

Figura 6.6.10 . Forma de onda de la corrienteen una bobina de armadura.

T=1/pn

t0

Tc

i

Ia/2

Ia/2


bobina sin resistencia.

En este caso, en la malla formada por la bobina cortocircuitada por la escobilla debecumplirse

d

dtL

didt

bb

ψ= = 0 (6.6.5)

donde Lb es la inductancia asociada a labobina cortocircuitada. Esto implica quela corriente permanece constante en elvalor inicial i=Ia /2 hasta el instante Tc enque la escobilla abandona la delga 2(figura 6.6.11), forzando la interrupciónbrusca de la corriente que sale de ladelga 2 (figura 6.6.9), que salta de i2=Iaa i2=0. La correspondiente tensión deautoinducción es tan elevada, que

ioniza el aire y establece un arco eléctrico entre el borde de fuga de la escobilla y ladelga abandonada por esta.

Para evitar este fenómeno indeseado es necesario modificar las consecuencias de larestricción (6.6.5), para lo cual se completa la máquina con polos auxiliares (interpolos opolos de conmutación) ubicados en la zona neutra magnética entre los polos principales

Figura 6.6.11. La función i(t) en la bobinaconmutante para conmutaciónlineal y en ausencia de resistencia.

0 Tc

i

t

-Ia/2

+Ia/2

R=0

Figura 6.6.12. Variación de la inductancia mutuadurante la conmutación.

Lm(δ)

δ

c a c a

ωmTc


(figura 6.2.1), provistos de bobinas de pocas vueltas por las cuales circula la corrientede armadura Ia . De esta manera la restricción “enlace de flujo constante”, impuesta porel cortocircuito de la bobina que conmuta, ya no implica “corriente constante”, sino

ψ ψb b t( ) ( )0+ = para (0< t <Tc) , (6.6.6)

es decir,

LI

L I L i L Ipa

m a p m a20+ = +( ) ( )δ , (6.6.7)

donde Lp es la inductancia propia (constante) de la bobina que conmuta y Lm es lainductancia mutua (variable) entre esa bobina y los interpolos.

La figura 6.6.12 ilustra la variación de la inductancia mutua durante la conmutación,cuando la bobina conmutante avanza de la posición a) de la figura 6.6.9 a la posición c).Se puede apreciar que en primera aproximación

L Lt

Tm mc

( ) ( )δ = −

0 1

2(0< t < Tc) (6.6.8)

por lo que se logra de (6.6.7)

iI L

Lt

Ta m

p c

= −

21

2 0 2( )(0< t< Tc). (6.6.9)

Si el número de vueltas de los interpolos fuese tal que 2Lm(0)=Lp , la conmutación seríalineal y la corriente i alcanzaría justamente el valor -Ia /2 cuando t=Tc (figura 6.6.11).

Un análisis más riguroso del problema de la conmutación, que incluya el efecto de lasresistencias de bobinas y escobillas, conduce a un sistema de ecuaciones diferencialesy escapa del objetivo de este párrafo.

6.6.5 Características estacionarias como generador

El análisis del comportamiento estacionario de los generadores de corriente continuarequiere del uso de procedimientos gráficos, ya que, debido a la saturación del circuitomagnético principal, la relación entre las variables de terminales es nolineal.

En este contexto interesan especialmente la característica interior, que representa aVrot(If) con la corriente de armadura Ia como parámetro, y la característica exterior, querepresenta a Va(Ia) con la corriente de campo If como parámetro.


La característica interior sepuede obtener en formaexperimental, impulsando lamáquina con velocidadconstante y variando la corrientede campo entre cero y un valoralgo superior al nominal. Esteúltimo corresponde a la corrientede campo para la cual la tensióninducida en la armadura es iguala la tensión nominal.

En vacío, es decir, para Ia=0, lacaracterística interior coincidecon la característica demagnetización. En cambio concarga se hace sentir el efecto

desmagnetizante de la reacción de armadura, lo que implica que para igual corriente deexcitación que en vacío la tensión inducida será menor en la zona saturada de lacaracterística.

La tensión inducida Vrot sólo es medible en vacío. Con carga debe calcularse a partir dela relación Vrot=Va+IaRa y de los valores medibles Va e Ia .

En la figura 6.6.13 está representada la característica de vacío y la característicainterior para corriente nominal. Se aprecia que para generar la misma tensión Vrot1 queen vacío, o sea, para mantener el mismo flujo por polo, la corriente de campo tiene queser incrementada en ∆If, que representa el efecto desmagnetizante de la reacción dearmadura, expresada en términos de la corriente de campo.

Las características interna y externa del generador están relacionadas. La figura 6.6.14muestra esta relación para el caso de un generador autoexcitado en derivación, tambiénconocido como generador shunt.

En vacío la corriente de excitación es If0 y la tensión inducida es Vrot=Va=Rf If .

Supóngase ahora que por la armadura circule la corriente Ia1. La característica Va(If)para esa corriente se logra desplazando la característica interna correspondiente a Ia1

paralelamente hacia abajo en una distancia igual a la caída óhmica en la armadura IaRa.

Debido a la conexión shunt, la tensión aplicada al campo debe ser igual a la tensión dearmadura, Vf = Va, condición que se cumple para la intersección de la recta del campocon la característica Va(If) y determina Va1 . En consecuencia, la corriente de campodisminuye de If0 a If1. Con Va1 e Ia1 queda determinado un punto en la característicaexterna.

Figura 6.6.13 . Característica interior del generadorde corriente continua.

Ia=0

0

Vrot

If

Ia=Inom

IaRa

If

Va

n = cte.

Vrot 0

Vrot I

If0

∆If


Ia1Ra

Figura 6.6.14. Característica interior y exterior para un generador shunt.

0

Vrot

If0 If

n=cte

Ia1

Ia =00

Ia

Va

0 Ia1

Va 0

1

2

Ia2

Va1

2

1

IcociIf1If2

Ia2 Ra

Va2

∆Va1

∆Va2

∆Va3

Al relacionar las características externa e interna, se aprecia que la variación de latensión de armadura para una determinada corriente de armadura Ia1 se debe a ladisminución del flujo debida a la disminución de la corriente de campo de If0 a If1 (∆Va1),a la disminución del flujo debida al efecto desmagnetizante de la reacción de armadura(∆Va2) y a la caída de tensión en la resistencia de armadura (∆Va3).

De la relación entre característica externa e interna se desprende además que elgenerador shunt sólo funciona establemente hasta una cierta corriente máxima. Cuandola corriente de armadura alcanza ese valor, la característica Va(If) correspondiente sehace tangente a la recta del campo. Para corrientes mayores el equilibrio estacionariono es posible, ya no se produce la necesaria intersección con la recta del campo, por loque rige

v v R i Ldi

dta f f f ff= = ⋅ + . (6.6.10)

Como ahora v R ia f f< ⋅ , el término con la derivada es negativo, por lo que lacorriente de campo disminuye y con ella la tensión rotacional.

La corriente de armadura se reduce (línea segmentada en la característica externa de lafigura 6.6.14) hasta la corriente de cortocircuito, mantenida por la tensión deremanencia. Se aprecia que la pérdida de la capacidad de autoexcitarse del generadorshunt lo proteje en caso de un cortocircuito en sus terminales.


6.6.6 Características estacionarias como motor

La característica torque-velocidad de un motor de corriente continua depende enprimera instancia de la conexión del devanado de campo, donde debe distinguirse entreexcitación independiente, excitación shunt, excitación serie y excitación compound.

En el caso de la excitación independiente el devanado de campo está alimentado poruna fuente independiente de la que alimenta a la armadura. Es la conexión típica paramotores alimentados mediante rectificadores controlados. Haciendo abstracción delefecto desmagnetizante de la reacción de armadura, el flujo es esencialmenteconstante.

La excitación shunt implica que el campo y la armadura están conectados en paralelo ala misma fuente. La tensión nominal del campo es por lo tanto igual a la tensión nominalde la armadura. Si la tensión de armadura es constante, el motor shunt se comporta enforma similar al motor con excitación independiente.

En el motor con excitación serie el devanado de campo está conectado en serie con laarmadura, por lo que el flujo varía fuertemente con la carga, lo que determina lacaracterística momento-velocidad típica para este motor, que lo hacía particularmenteapto para aplicaciones de tracción eléctrica.(locomotoras, tranvías). Actualmente elprincipal uso del motor serie es como motor universal en el accionamiento de aparatoselectrodomésticos.

El motor compound es un híbrido, pues está provisto de un devanado shunt y de undevanado serie. El devanado serie, normalmente de pocas vueltas, se usa paracompensar el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura, pero también paradarle al motor una característica torque-velocidad intermedia entre la del motor shunt yla del motor serie.

En lo que sigue, el análisis se limitará al motor de excitación independiente comorepresentante de la categoría “flujo constante” y al motor serie, para ilustrar la obtenciónde la característica cuando el flujo es variable.

De acuerdo con (6.4.13) , para el circuito de armadura de un motor con excitaciónindependiente que funciona en estado estacionario alimentado desde una fuente detensión V debe cumplirse que

V V R Irot a a= + . (6.6.11)

Si en esta ecuación se reemplaza a Vrot por la expresión (6.4.4) y se expresa Ia entérminos del torque electromagnético Te mediante la relación (6.5.6) se logra lasiguiente relación entre frecuencia de giro n y el torque Te :


nV

pa

zT

Rpa

zp

ea

p

= −

Φ Φ12

22

π

. (6.6.12)

Como la tensión de armadura y el flujo (si se hace abstracción del efectodesmagnetizante de la reacción de armadura) son constantes, la ecuación (6.6.12)representa a una recta con pendiente negativa en el plano n-Te de la figura 6.6.15.

Cuando el torque es cero, el motor desarrolla la velocidad de vacío

nV

pa

z p

0 =Φ

, (6.6.13)

ajustable mediante la tensión de armadura o el flujo. La velocidad de vacío con tensiónnominal y flujo nominal se denomina la velocidad natural de la máquina.

Una característica distintiva del motor de excitación independiente es la posibilidad deajustar su velocidad en un amplio rango.

Para aumentar la velocidad por sobre la natural se recurre al debilitamiento del campoa través de la reducción de la corriente de excitación. La velocidad máxima permisibleestá limitada por los valores máximos admisibles para la fuerza centrífuga y para latensión entre delgas.

Figura 6.6.15. Característica n(Te) para un motor shunt.

+

-n03

n02

n01

φp

0

n

TeRa


Para disminuir la velocidad por debajo de la natural se recurre a la disminución de latensión de armadura, por ejemplo, a través del aumento del ángulo de disparo delrectificador controlado.

Con flujo dado, la pendiente de la característica sólo depende del valor de la resistenciade armadura Ra . Como esta es pequeña, la velocidad del motor con excitaciónindependiente varía poco con la carga.

Contrariamente al caso del motor con excitación independiente, el motor serie funcionacon flujo variable, por lo que es necesario incluir el efecto de la saturación mediante lacaracterística de magnetización (obtenida como generador con excitaciónindependiente). Para destacar lo esencial, aquí también se ignorará el efectodesmagnetizante de la reacción de armadura.

Para determinar la característica n(Te) se procede punto por punto, asumiendosucesivos valores para la corriente de armadura Ia.

Dado que Ia=If , con el valor asumido para Ia se entra a la característica demagnetización (figura 6.6.16 a) ) y se determina (Vrot/n), valor que permite calcular elmomento mediante la relación (6.5.8) como

TV

nIe

rota=

12π

. (6.6.14)

Por otro lado se calcula

V V R Irot a a= − , (6.6.15)

para determinar con el valor para (Vrot/n) obtenido anteriormente

nVV

n

rot

rot

=

, (6.6.16)

y obtener así un punto de la característica n(Te) de la figura 6.6.16 b).

Al observar la característica n(Te) del motor serie se puede apreciar que la velocidadvaría fuertemente con la carga, lo que es característico para este motor y fuedeterminante para su aplicación en tracción eléctrica. También se aprecia que lavelocidad de vacío tiende a crecer sin límite, por lo que debe tomarse medidas para queeste motor nunca pueda funcionar en vacío.


Figura 6.6.16. Caracteríctica φp(Ia) y n(Te) para un motor serie.

0

Vnrot

Ia=If 0

Ra

Te

n

a) b)

7. Máquina sincrónica(de rotor cilíndrico)

7.1 Introducción

A partir de la introducción de la generación y transmisión trifásica de energía, conmotivo de la Feria Internacional de Francfort de 1881, la electrotecnia experimentó unarápida expansión. En el breve plazo de una década surgió todo lo que hasta el presentees parte substancial de un sistema eléctrico de potencia.

El desarrollo posterior se caracterizó por la concentración del proceso de conversión deenergía - realizado originalmente en pequeñas centrales de propiedad municipal - encentrales cada vez mayores. Calderas , turbinas y generadores grandes tienen mejorrendimiento que las versiones más pequeñas.

Actualmente están en servicio turbogeneradores en centrales nucleares con potenciasdel orden de los 2000MVA e hidrogeneradores con potencias que alcanzan a 860MVA(Itaipú), cifras de las que se desprende que la máquina sincrónica es la máquinaeléctrica de mayor tamaño que se construye.

Como generador, la máquina sincrónica es la fuente de energía de los sistemaseléctricos de potencia. Sus características electromagnéticas y electromecánicas sondeterminantes en el comportamiento, tanto estacionario como dinámico, de estossistemas.

Como motor, la máquina sincrónica, gracias a su mejor rendimiento y a la capacidad desuministrar potencia reactiva inductiva a la red, es la máquina motriz preferida para losaccionamientos de gran potencia.

En este capítulo se desarrolla la teoría del funcionamiento estacionario simétrico de lamáquina sincrónica sobre la base de los principios e ideas desarrollados en losprimeros cinco capítulos, privilegiando el uso de la idea del campo giratorio yenfatizando la relación entre los desplazamientos espaciales entre ondas de inducción yel desfasamiento temporal entre las tensiones inducidas por estas, para lo cual se haceuso amplio de los diagramas fasoriales.

Los parámetros usados en los circuitos equivalentes se obtienen a partir de laintegración de las variables de campo y se expresan en términos de las dimensionesgeométricas de la máquina, permitiendo así relacionar sus valores numéricos con eltamaño de esta.

La visualización de los procesos a través del uso de imágenes adecuadas permite unamejor comprensión del trasfondo físico y sienta las bases para el posterior estudio delcomportamiento de la máquina sincrónica en régimen transitorio.

capítulo 7 : máquina sincrónica. 7-133


La figura 7.2.1 muestra una máquina sincrónica en corte. El estator está armado desegmentos de chapa silicosa en los que están estampadas ranuras en las que se alojael devanado trifásico, conectado en estrella sin neutro. En máquinas de baja velocidad,caracterizadas por un número de los polos elevado, el devanado se ejecuta con unnúmero de ranuras por polo y por fase (q) fraccionario, para mejorar la forma de ondade la tensión inducida.

Figura 7.2.1 Vista en perspectiva, con corte longitudinal deuna máquina sincrónica de rotor cilíndrico.

Para el rotor existen dos formas constructivas. En máquinas de baja velocidad se usala forma “polos salientes”, provistas de devanados concentrados (figura 7.2.2), mientrasque en máquinas de alta velocidad (turbogeneradores) se recurre a la forma “rotorcilíndrico”, donde el devanado está alojado en ranuras fresadas en el cuerpo cilíndricode acero forjado del rotor (figura 7.2.3). Las bobinas de los polos del rotorhabitualmente están conectadas en serie. La alimentación del devanado de camporealiza a través de anillos rozantes, aunque en máquinas modernas de gran potencia escada vez más común el uso de la excitación “sin escobillas”, que obtiene la corrientecontinua a partir de una excitatriz alterna y un puente de diodos que gira con el rotor.


En máquinas mayores (> 40 MVA) el medio refrigerante gaseoso es hidrógeno, por sumayor calor específico (4 veces el del aire) y su menor densidad (¼ de la del aire). Estaúltima característica disminuye notablemente las pérdidas de roce. Para evitar elpeligro de explosión por mezcla con el oxígeno atmosférico, el hidrógeno debe estarsobrepresión. La carcaza debe ser hermética y tiene que resistir presiones internas de10 bar sin deformarse.

El rotor de turbogeneradores de dos polos puede alcanzar un diámetro de 1,2m (límiteimpuesto por los esfuerzos centrífugos) y 6 a 8 m de longitud (límite impuesto por latranquilidad de marcha, vibraciones admisibles). Para 50 Hz la velocidad tangencialalcanza 190 m/s, lo que implica fuerzas centrífugas muy elevadas sobre las cabezas delas bobinas, que deben ser protegidas mediante sendos anillos de acero no magnético.

Las ranuras del rotor se cierran con cuñas metálicas (normalmente de bronce) que porregla general forman la jaula de amortiguación, cuya función será discutida másadelante.

El entrehierro de máquinas sincrónicas es relativamente grande, si se le compara con elde máquinas asincrónicas o el de máquinas de corriente continua, y puede alcanzar avarios centímetros.


Supóngase que la máquina es impulsada a velocidad nominal y que por el devanadodel rotor circule corriente continua. El devanado trifásico del estator esté abierto.

La corriente continua determina una distribución espacial de fmm fija respecto al rotor,que, debido al movimiento de éste, gira respecto al estator con velocidad sincrónica. Lafundamental de la onda de inducción correspondiente induce en las fases del estator unsistema de tensiones simétrico de frecuencia

Figura 7.2.3. Corte transversal a través de un rotor cilíndrico.

p=1

Figura 7.2.2. Corte transversal a través de un rotor de polos salientes.

p=2


f p n1 = ⋅ (7.3.1)

donde p es el número de pares de polos de la máquina y n es la frecuencia mecánicade giro en revoluciones por segundo. El momento aplicado al eje en esas condicioneses cero, si se hace abstracción de las pérdidas ( de roce y ventilación y en el fierro delestator).

Considérese ahora que se conecta una carga simétrica a las fases del estator. Lastensiones inducidas determinarán un sistema de corrientes simétrico, desfasadorespecto al de las tensiones en un ángulo determinado por las impedancias de carga.Estas corrientes dan lugar a un segundo campo giratorio en el entrehierro de lamáquina, que gira a la misma velocidad que el rotor, pero está desplazado respecto aleje magnético de éste en un ángulo que depende del desfasamiento de la corriente dearmadura respecto a la tensión de terminales. De la tendencia a alinearse de estos doscampos nace el momento electromagnético frenante, el que debe ser igualado por elmomento de la máquina motriz para que la velocidad permanezca constante. Enestado estacionario la potencia mecánica suministrada por la máquina motriz es igual ala potencia eléctrica absorbida por la carga más las pérdidas asociadas al proceso deconversión de energía.


La figura 7.4.1 muestra un corte transversal esquemático de una máquina sincrónica derotor cilíndrico. El devanado de campo de Nf vueltas en serie, ubicado en el rotor,ocupa 2/3 de la periferia y da lugar a una onda de fmm trapezoidal y, con entrehierroconstante, a una onda de inducción trapezoidal de valor máximo.

BN i

pff f=

µδ

0

2"(7.4.1)

Del desarrollo en serie de Fourier de la distribución trapezoidal sólo se considera lafundamental

b x B pxf f( ) cos( )2 2= (7.4.2)

de amplitud

B f Bf df f= 4π

, (7.4.3)

ya que el efecto de la tercera armónica sobre la tensión es contrarrestado por laconexión estrella sin neutro del devanado del estator y el efecto de las armónicassuperiores es atenuado mediante un acortamiento y distribución apropiados.


Figura 7.4.1. Corte esquemático a través de lamáquina sincrónica de rotor cilíndrico.

p=1

x1

eje fase a

a'

cb'

a

c' b

γp

x2

eje q

eje d

La coordenada fija al estator x1 , cuyo origen coincide con el eje magnético de la fase a,y la coordenada fija al rotor x2, cuyo origen coincide con el eje de simetría (eje d) delrotor, están relacionadas por (figura 7.4.1).

xp

x1 2= +γ(7.4.4)

donde en estado estacionario

γ ω γ= −1 0t (7.4.5)

es el ángulo entre los ejes magnéticos de la fase a y del rotor.

En términos de la coordenada x1 la distribución espacial de inducción (7.4.2) toma laforma

b x t B px tf f( , ) cos( )1 1 1 0= − +ω γ (7.4.6)

y el flujo enlazado por el devanado concentrado equivalente de la fase a, se calculacomo (figura 7.4.1).


Φ af f

p

p

b x t lRdx=−∫ ( , )/

/

1 1

2

2

π

π

(7.4.7)

( )01cos2 γ−ω= tB

pRl

faf

Φ (7.4.8)

La tensión inducida en la fase a por el flujo de la rueda polar vale

v N fd

dtp daf= 1 1

Φ. (7.4.9)

Al introducir el flujo por polo del rotor Φ p f

Rlp

B= 2 y la notación compleja, queda

v N f j ep p dj t= ℜ −Φ 1 1 1

1 0ω ω γ( ) (7.4.10)

v ep pj t= ℜ 2 1V ω (7.4.11)

con

Vpp

djj N f e= −ω γ

1 1 120

Φ, (7.4.12)

fasor de la tensión inducida en la fase de referencia a por el flujo debido a la corrientede campo. Considerando (7.4.1) y (7.4.3), la ecuación (7.4.12) puede reescribirse como

0

211

γ−ω= jffp e

ILjV (7.4.13)

donde

( )( )112011

1 "4

ddfff

dpf fNfN

plR

I

fNL

δµ

π=

Φ= (7.4.14)

es la inductancia mutua entre el devanado de campo y la fase a del estator cuandoambos devanados están alineados. L1f sólo es constante en ausencia de saturación, laque en (7.4.14) se manifiesta a través del entrehierro equivalente δ‘’.

Por su lado, las corrientes en las tres fases del estator


)32

cos(2

)32

cos(2

)cos(2

111

111

111

π+ϕ+ω=

π−ϕ+ω=

ϕ+ω=

tIi

tIi

tIi

c

b

a

(7.4.15)

crean una distribución espacial de fmm, cuya fundamental

fN f

pI px t

d

1

1 1

1 1 1 1

3

2

4

22= − −

πω ϕcos( ) (7.4.16)

determina la distribución giratoria de inducción

b x tN f

pI px td

1 10 1 1

1 1 1 1

3

2

4

22( , )

"cos( )= − −

πµδ

ω ϕ . (7.4.17)

Si bien la superposición de fmms siempre es admisible, no vale lo mismo para lasinducciones, que sólo pueden ser superpuestas si el circuito magnético es lineal.

Suponiendo que el principio de superposición sea aplicable, el flujo creado por lascorrientes del estator y enlazado por el devanado concentrado equivalente de la fase ase calcula como

Φ a

p

p

b x t l R dx1 1 1 1

2

2

=−∫ ( , )/

/

π

π

(7.4.18)

Φao

d

lRp

N f I t1 2 1 1 1 1 1

32

42=

′′+

πµδ

ω ϕcos( ) . (7.4.19)

La tensión inducida por esta componente del flujo en la fase es

v N fd

dta da= 1 1

1Φ(7.4.20)

vlR N f

pI ta o

d= −′′

+3

2

421 1

2

1 1 1 1πµ

δω ω ϕsen( ) (7.4.21)

tja

tjma eeLjv 11 22 111

ωω ℜ=ωℜ= VI (7.4.22)

donde


LlR N f

pmd

1 01 1

232

4=′′

π

µδ

(7.4.23)

es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del estator.

Además del flujo fundamental en el entrehierro, las corrientes en los devanados delestator producen campos armónicos, flujo de dispersión de ranuras y flujo de dispersiónfrontal, los que inducen en las fases del estator tensiones de frecuencia angular ω1. Elefecto inductivo de estos flujos se expresa mediante la inductancia de dispersión deldevanado del estator Lσ1. De manera que

[ ])cos(2 1111 ϕ+ω=ψ= σσ

σ tILdtd

dtd

v (7.4.24)

v L I t j L I e j tσ σ σ

ωω ω ϕ ω= − + = ℜ1 1 1 1 1 1 1 12 2 1sen( ) . (7.4.25)

Al aplicar la Ley de Faraday a la fase de referencia a del estator se tiene que

∫ ψ−=•dtd

sdE&&

se convierte en

σ++=ψ=− vvvdtd

Riv ap111 , (7.4.26)

de donde se logra, al reemplazar respectivamente las expresiones fasoriales (7.4.22) y(7.4.25) para va y vσ,

V I I I V1 1 1 1 1 1 1= + + +R jX jXm pσ . (7.4.27)

En estado estacionario los campos giratorios se mueven sincrónicamente con el rotor ypor lo tanto no inducen tensiones en el devanado de campo. Para este devanado rigeen consecuencia

V R If f f= (7.4.28)


7.4.1 Circuito equivalente por fase

Del examen de la ecuación (7.4.27) se desprende que esta es satisfecha por el circuitoequivalente de la 7.4.2. En este circuito las tensiones V V Vp a y, , σ representan los

flujos Φ Φ Φp a y, σ 1 de la máquina física. La tensión Vi representa el flujo

resultante en el entrehierro.

Figura 7.4.2. Circuito equivalente de máquina sincrónica.

V1

I1 R1 Xm1

VpVi

Xσ1

El circuito equivalente de la figura 7.4.3 se logra formalmente a partir del de la figura7.4.2 aplicando el teorema de transformación de fuentes. Las corrientes I I I1 , ′f merepresentan las fmms de la máquina original.

Figura 7.4.3. Circuito equivalente de máquinai ó i

V1

I1 R1

Xm1Vi

Xσ1

Im

If'

VjX

p

m1

Concretamente,

′ = = −IV

fp

m

f

m

f j

jX

L

L

Ie

1

1

1 20γ (7.4.29)


es el valor efectivo de una corriente alterna ficticia, que, circulando en el devanadotrifásico del estator, produce el mismo efecto magnético que la corriente continua If alcircular por el devanado de campo. De (7.4.29) se desprende que mediante la relación

′ = =IL

LI

gIf

f

mf f

1

12

1(7.4.30)

con

gN f

N fd

f df

= 3

21 1 (7.4.31)

como factor de reacción de armadura, es posible expresar una corriente de armaduramediante una corriente de campo equivalente y viceversa. De esta manera se puedetrabajar con corrientes en el lugar de fmms, lo que probará ser muy práctico alconsiderar el efecto de la saturación.

7.4.2 Efecto de la saturación

En máquinas modernas, altamente aprovechadas, la inducción alcanza valoreselevados, lo que implica la saturación del fierro, especialmente en las regionescorrespondientes a los dientes y yugo del estator.

La figura 7.4.4 ilustraesquemáticamente el circuitomagnético del flujo principal envacío. Haciendo abstracción delflujo de dispersión del devanadode campo, se trata de un circuitomagnético serie, donde el flujoes el mismo en el entrehierro, enel yugo del estator y en el yugodel rotor. En consecuencia, elvalor del flujo en el entrehierrofija la inducción en cada tramodel circuito magnético y por endefija el valor de la fmm resultante.

Como en vacío el flujo en elentrehierro es proporcional a latensión inducida Vp (7.4.12) y la

fmm resultante es proporcional a la corriente de campo If , la característica de vacíoVp(If) es proporcional a la característica de magnetización Φp(Ff) de la máquinasincrónica.

Figura 7.4.4. Circuito magnético principal en vacío.

δ

d

q


La fmm correspondiente a un valor de flujo determinado se puede pensardescompuesta en dos sumandos, correspondientes respectivamente a los tramos enaire y en fierro del camino de integración a lo largo del cual se aplica la Ley de Ampere(figura 7.4.5).

& &H ds F

H H l F

F F F

f

fe fe f

fe f

• =

+ =

+ =

∫2 δ

δ

(7.4.32)

La prolongación de la parte recta inicialde la característica de vacío se conocecomo característica del entrehierro.Según ese modelo, Ffe es una medidadel grado de saturación del circuitomagnético. En ausencia de saturacióntoda la fmm se gasta en el entrehierro.

Podría sospecharse que la saturación yla consiguiente nolinealidad de lafunción Φp(If) complica el análisis,obligando a recurrir a métodosgráficos, como en el caso de lasmáquinas de corriente continua.

Sin embargo, esto por regla general no es así, porque la máquina sincrónica funcionanormalmente conectada a redes de tensión y frecuencia constantes, lo que determinaun flujo y por lo tanto un grado de saturación que también son constantes. En estecaso, se puede considerar que la fmm resultante se gasta en un entrehierro ficticio δ″ yque el fierro es ideal (µfe → ∞), lo que equivale al reemplazo de la característica demagnetización por una característica lineal (figura 7.4.5), que por supuesto sólo valepara esa condición de saturación.

7.4.3 Diagrama fasorial

Las tensiones y corrientes asociadas a los circuitos equivalentes de las figuras 7.4.2 y7.4.3 se representan convenientemente en forma de un diagrama fasorial. Paradestacar lo esencial se supondrá que la resistencia del estator es despreciable, o sea,R1 = 0, lo que siempre será admisible en máquinas mayores.

Supóngase conocidas la tensión en los terminales V1, la corriente de armadura I1, elfactor de potencia cos ϕ1, el factor de reacción de armadura g, la reactancia dedispersión Xσ1 y la característica de vacío.

Figura 7.4.5. Característica de magnetización.

δ''

0

φp

Vp

If

δ'

FfeFδ

Ff Ff


Figura 7.4.6. Diagrama fasorial en presencia de saturación.

V1

I1

Im'

If'

Vi

Va

Vp

Vp'

δ

ϕ1

R1=0

La construcción del diagrama fasorial de la figura 7.4.6 comienza con la ubicación de I1en relación a V1. Restando de V1 la caída en la reactancia de dispersión V Iσ σ= jX 1 1

se logra la tensión Vi , que es proporcional al flujo resultante en el entrehierro y que porlo tanto fija el grado de saturación.

Con el módulo de Vi se entra a la característica de vacío y se fija la pendiente de lacaracterística del entrehierro equivalente (figura 7.4.7).

En seguida, se calcula I’1 = g I1, una corriente de campo ficticia que produce el mismoefecto magnético que la corriente armadura I1, y se determina sobre la característica delentrehierro equivalente la tensión inducida por el campo de reacción de armadura en eldevanado de armadura Va. Recordando que Va está adelantado en π/2 respecto a I1,

se resta Va de Vi para obtener Vp .

Con el módulo de Vp se entra a la característica del entrehierro equivalente y sedetermina la corriente de campo If.

Finalmente se calcula I’f = If /g y se la dibuja atrasada en π/2 respecto a Vp. La suma deI’f e I1 determina la corriente magnetizante Im.


Figura 7.4.7. Construcción del diagrama fasorial en presencia desaturación.

Va

0

Vi

Vp

If

Vp'

Im' IfI1'

Vp

Al construir e interpretar el diagrama fasorial debe tenerse presente que sólo V1, I1 e Ifcorresponden a magnitudes medibles y que las demás tensiones y corrientes sonmagnitudes ficticias. Así, al desconectar la máquina de la red, la tensión en terminalesno es Vp sino V’p, ya que con la desconexión cambia el grado de saturación y con él elentrehierro ficticio que determina la pendiente de la característica de magnetizaciónequivalente.

Durante la construcción del diagrama fasorial se tiene la libertad de elegir un fasor comofasor de referencia. Normalmente elige V1 = V1 /0º , con lo que

δγ−π == jp

jpp eVejV )2/( 0V (7.4.33)

está desfasada en el ángulo de carga

δ π γ= −2 0 (7.4.34)

respecto a V1. El ángulo de carga corresponde al desplazamiento del fasor Vp respectoa V1 cuando la carga de la máquina varía entre vacío (T = 0, δ = 0) y un valorcualquiera.


La interpretación del diagrama fasorial se enriquece si se considera que el ángulo dedesfasamiento entre dos tensiones es igual al ángulo de desplazamiento espacial (enradianes eléctricos) entre las correspondientes distribuciones de inducción y que elángulo de desfasamiento entre dos corrientes es igual al ángulo de desplazamientoespacial entre las correspondientes distribuciones de fmm.

Figura 7.4.8. Relación entre flujos y tensiones.

Re

V1

Im

a

t=0V1=V1∠ 0-γ0=δ - π/2

δ

Eje dEje q

δ-γ0

φ1

φp

Vp

Desde esta perspectiva, la elección V1 = V1 /0 , que implica que v V ta = 2 1 1cos( )ω ,considera como t = 0 al instante en que la tensión inducida en la fase de referencia aes máxima. Pero como la tensión es máxima cuando el flujo abrazado por la bobinapasa por cero, en t = 0 el flujo resultante Φ1 debe estar desplazado en π/2 radianesrespecto al eje magnético de la fase a. El flujo Φp está desplazado en el ángulo δrespecto a Φ1, ya que Vp está desfasado respecto a V1 en δ (figura 7.4.8).

Figura 7.4.9 . Diagrama fasorial completo comogenerador.

V1

I1

Im

If'

Vi

VaVp

ϕ1

φ1

φσ

φa

φp

φm

δ

δ-γ0

Con estos antecedentes se puede dibujar el diagrama fasorial completo de las figura7.4.9, donde el triángulo de los flujos es semejante con el triángulo de las tensiones.


7.5 Potencia y momento

En funcionamiento estacionario como generador, la potencia absorbida en el eje esigual a la potencia entregada en los terminales más las pérdidas

P P Pmec perd= +1 (7.5.1)

Si en primera aproximación se desprecia las pérdidas eléctricas y mecánicas se tieneque

− = − ℜω 1

1 13p

T V I* (7.5.2)

de donde se logra

Tp

jXp

jV V e

Xp p

j

= ℜ−

= ℜ

3 3

11

1

1 1

1

1ω ω

δ

VV V

*

TpV V

Xp= −

3 1

1 1ωδsen . (7.5.3)

Se aprecia que el momento de origen electromagnético tiene un valor máximo

TpVV

XMp=

3 1

1 1ω(7.5.4)

directamente proporcional a la excitaciónVp e inversamente proporcional a lareactancia sincrónica X1.

Con las referencias supuestas, elmomento es positivo como motor (δ < 0)y negativo como generador (figura7.5.1). En el rango -π/2 < δ < π/2 lospuntos de trabajo estacionarios sonestables, lo que se expresa mediante ladesigualdad

∂∂δ

∂∂δ

T Tc< (7.5.5)

Figura 7.5.1. Característica torque-ángulo

T

TM

TC

δ

Generador

− π2

Motor

02π


Para δ π= ± 2 la máquina desarrolla el máximo momento posible para unadeterminada condición de excitación y se dice que alcanza el límite de estabilidadestacionario. Para momentos de carga mayores el equilibrio de momentos (2a. Ley deNewton) sólo puede ser satisfecho mediante un cambio de velocidad, por lo que lamáquina pierde el sincronismo.

Resulta conveniente derivar una expresión alternativa a (7.5.3) para el momento.

Figura 7.5.2. Relación entre ángulo de cargay ángulo de torque.

δ

δT

I1X1

V1

Vp

φp

I1

δT

π-δT

I1X1senδT=V1senδ

Del diagrama fasorial de la figura 7.5.2 se desprende la relación

I X VT1 1 1sen( ) senπ δ δ− =o

IVXT1

1

1

sen senδ δ= ,

que reemplazada en (7.5.3) permite escribir

Tp

V Ip T= −3

11ω

δsen , (7.5.6)

expresión que al considerar (7.4.13) toma la forma

T p L I I pL I If f T f f T= − = −3

22 21 1 1 1sen senδ δ , (7.5.7)

donde el ángulo de torque δT corresponde al ángulo entre las distribuciones deinducción del estator y del rotor, como se ilustra en la figura 7.5.3. La expresión para el


momento en términos de las corrientes y el ángulo de torque es físicamente mássignificativa, pero, como Vp y V1 habitualmente son constantes, la relación (7.5.3)resulta más simple de evaluar y por eso se la prefiere a (7.5.7).

En lo que a la dependencia del momento del seno del ángulo δ se refiere, la máquinasincrónica es análoga al péndulo y comparte con éste la capacidad de oscilar. La figura7.5.4 ilustra la analogía.

Supóngase ahora que la máquina en vacío (Tc = 0) sufre una perturbación. La ecuaciónde equilibrio dinámico establece que con posterioridad a la perturbación rige

Jp

ddt

Tω = (7.5.8)

Como ω ω δ= +1

ddt

y ω 1 = cte , la ecuación toma la forma

Jp

ddt

T2

2

δ = (7.5.9)

Si la oscilación es lo suficiente lenta para que pueda suponerse que las variableseléctricas permanecen en estado estacionario, se puede escribir

Figura 7.5.3. Relación entre los desplazamientos espaciales de distribucionesde flujo y desfasamientos de tensiones inducidas.

φp

I1

Vp VaVσ

V1

Vi φa

φσ

φ1

φm

qd

δT

δ

δT

δ


δω

−=δsen

X

VpV

dtd

pJ p

11

1

2

2 3(7.5.10)

y para ángulos pequeños (sen δ ≈ δ)

ddt

p VV

J Xp

2

2

21

1

30

1

δω

δ+ = (7.5.11)

apreciándose que la frecuencia angular de oscilación vale

Ω = =3 2

1

1 1

p V V

J XcJ

p e

ω . (7.5.12)

Al evocar la expresión para la frecuencia natural de un sistema “masa-resorte”, seaprecia que la máquina sincrónica actúa como un “resorte electromagnético” de rigidezce. La frecuencia de oscilación natural Ω/2π normalmente es del orden de 1 a 2 Hz.

Para atenuar estas oscilaciones la máquina sincrónica suele estar equipada en el rotorcon un devanado especial, conocido como jaula de amortiguación, cuyo movimientorelativo respecto al campo giratorio induce corrientes en él. La energía disipada porestas corrientes en la jaula de amortiguación proviene del movimiento oscilatorio, por loque la amplitud de éste es atenuada rápidamente.

Figura 7.5.4. Analogía máquina sincrónica-péndulo.

Tm

Tm sen δ

Jd

dtTm

2

2

δ δ= sen

J

δ


7.6 Condiciones de funcionamiento especiales

7.6.1 Cortocircuito estacionario

Cuando las tres impedancias de carga son cero, las tensiones en los terminales de lamáquina también valen cero y se dice que la máquina está en cortocircuito trifásicosimétrico. Es un estado de funcionamiento en el que los flujos en la máquina estánrelacionados en forma especialmente simple si se desprecia el efecto de R1.

Figura 7.6.1. Esquema de flujos generados encortocircuito trifásico estacionario.

eje q

eje d

φm

φp

La condición V1 = 0 exige que en condiciones estacionarias el flujo enlazado por cadafase del estator debe ser cero. Esto sólo puede ser satisfecho si en el devanado delestator circula un sistema de corrientes trifásicas de amplitud y fase tales que produzcaun campo giratorio que anule el enlace de flujo producido por el rotor y el enlace de flujode dispersión. La figura 7.6.1 ilustra esquemáticamente esta situación, descrita entérminos de tensiones y corrientes por los circuitos equivalentes por fase de la figura7.6.2 y el diagrama fasorial correspondiente a estos ( figura 7.6.3). El uso consistentede la convención “carga” permite asociar los fasores de corriente en oposición de fasecon distribuciones espaciales de fmm desplazadas relativamente en π radianes. Sepuede apreciar que la reacción de armadura actúa en oposición al campo y la fmmresultante, proporcional a Im, determina un flujo resultante en el entrehierro igual yopuesto al flujo de dispersión, de manera que el flujo total enlazado por cada fase delestator es nulo, como lo exige la condición del cortocircuito V1 = 0.


Figura 7.6.2. Cortocircuito trifásico estacionario.

I1

Xm1

VpVi

Xσ1

I1

Vi

Xσ1

Im

If'Xm1

Figura 7.6.4.Cortocircuito simétrico estacionario,el triángulo de Potier.

If

Triángulo de Potier.

Vp

Vi

IfcI’1 =gI1I’'m

Como el flujo de dispersión del estator con corriente nominal es del orden de un 20%del flujo nominal, en cortocircuito el circuito magnético principal no está saturado.

De

IV

X

L I

LIp f ff1

1

1 1

1 1 2= = =

ωω

λ (7.6.1)

se aprecia que la relación entre corriente de campo y corriente de armadura es lineal eindependiente de la frecuencia angular ω1, comportándose la máquina como untransformador de corriente.

Las relaciones entre Im, I1 e I’f representadas en la figura 7.6.2 pueden ser traducidas arelaciones entre corrientes de campo equivalentes y, como tales, ser representadas enel plano Vp(If) de la característica de magnetización, donde determinan el así llamadotriángulo de Potier (figura 7.6.4), cuyo cateto horizontal representa el efecto

Figura 7.6.3Diagrama fasorial en cortocircuito

Vp

I1Im

If'I1Vi

jI1Xm1


desmagnetizante de la reacción de armadura y cuyo cateto vertical representa latensión inducida por el flujo resultante en el entrehierro, que es igual a la caída detensión en la reactancia de dispersión. Como Vi no es medible, la determinaciónexperimental del triángulo de Potier requiere de la realización de un ensayo con tensiónnominal y carga reactiva pura.

7.6.2 Carga reactiva inductiva pura

Considérese que el cortocircuito haya sido reemplazado por una carga reactivainductiva simétrica de manera que circule corriente nominal y la tensión en bornes seala nominal. Las referencias sean las de la figura 7.6.5. Con ellas se construye eldiagrama fasorial de la figura 7.6.6. Se puede apreciar que la relación entre lascorrientes y, por ende, entre las fmms, es similar a la existente en cortocircuito. Estehecho permite determinar el triángulo de Potier en la forma ilustrada en la figura 7.6.7,donde, al utilizar la característica de vacío como equivalente a la característica demagnetización, se hace abstracción del flujo de dispersión del devanado del inductor(aproximación a un circuito magnético serie).

Supóngase por un momento que la reactancia dedispersión (de Potier) fuese conocida, entoncesse podría determinar Vi a partir de V1 y con elloI’m. Sumando a I’m el efecto desmagnetizante dela reacción de armadura I’1 se lograría la corrientede excitación necesaria If. El triángulo ABDcorresponde al triángulo de Potier. En la práctica se desconoce Xσ1 e I’1, por lo que seprocede fijando en punto A(V1, If) para copiar luego el trazo AC de longitud Ifc(obtenida del ensayo en cortocircuito). Por C se traza una paralela a la característicadel entrehierro, cuya intersección con la característica de vacío (obtenida del ensayo envacío) determina el punto D(Vi, I’m). Una perpendicular desde D a la recta ACdetermina el punto B(V1,I’m), con el que se completa el triángulo de Potier.

Figura 7.6.6. Carga reactiva inductiva,determinación del triángulo de Potier.

Im I1

If'

I1

V1

jI1Xσ1Vi

Figura 7.6.5. Carga reactiva inductiva.

I1 Xm1

VpVi

Xσ1

V1XL


Figura 7.6.7. Determinación del triángulo dePotier.

0 If

D

C B AV1

Im'

Vi

I1'

∆ de Potier

Ifc

Ifc

Vicc

La inductancia de Potier se determina como

X XV V

Ipoti≈ =

−σ1

1

1

(7.6.2)

7.7 Determinación experimental de la reactancia sincrónica

Del circuito equivalente de la figura 7.6.2, correspondiente al cortocircuito estacionario,se desprende que

XV

Ip

cc1 = (7.7.1)

Sin embargo, esta expresión no se puede evaluar directamente, ya que no es posiblemedir simultáneamente Vp e Icc.

Esta dificultad se puede superar tomando en cuenta que las fmms resultantes, encortocircuito como en vacío, actúan a lo largo del mismo circuito magnético, lo quepermite invocar en ambos casos la misma característica de magnetización.

Considérese las características de vacío y de cortocircuito de las figuras 7.7.1. y 7.7.2


En vacío la corriente de campo Ifo determina una tensión inducida igual a la tensiónnominal. Al cortocircuitar la armadura se desarrolla la corriente de cortocircuito Icc demagnitud tal que Icc X1 = Vn. Entrando con Ifo en el eje de abscisas de lascaracterísticas de vacío y de cortocircuito se determina los valores de tensión y decorriente correspondientes a esa corriente de campo, que permiten evaluar (7.7.1)aproximadamente (en cortocircuito no hay saturación).

Para obtener parámetros relativamente independientes del tamaño de la máquina esusual el empleo de valores relativos (o en por unidad). Los valores base, o dereferencia, son los valores nominales para tensión y corriente, que a su vez determinanlos valores base para impedancias Zb = Vn / In y para potencias Pb = 3Vn In.

La reactancia sincrónica en [pu] vale

[ ] [ ][ ] [ ]

X puX

ZVI

IV I pub

n

cc

n

n cc1

1 1= = ⋅ =ΩΩ

, (7.7.2)

es decir, en [pu] la reactancia sincrónica es numéricamente igual al valor recíproco dela corriente de cortocircuito estacionaria.

De la figura 7.7.2 se desprende la proporcionalidad

II

I

In

cc

fc

f

=0

, (7.7.3)

Figura 7.7.1. Determinación de lareactancia sincrónica.

0

Vp

V1n

IfIf0* Ifo

Figura 7.7.2. Determinación de la reactanciasincrónica.

0

I1

I1n

IfIf0* Ifo Ifc

Icc

Icc*


de la que se concluye, al considerar (7.7.2), que la reactancia sincrónica en [pu]también está dada por el cuociente entre la corriente de excitación para la cual lacorriente de cortocircuito es igual a la corriente nominal (Ifc) y la corriente de excitaciónpara la cual la tensión de vacío es igual a la tensión nominal (If0). El valor recíproco deeste cuociente se conoce como razón de cortocircuito SCR.

[ ]SCR

I

I X puf

fc

= =0

1

1. (7.7.4)

Si en lugar de la característica de magnetización se utiliza la característica delentrehierro (figura 7.7.1), se logra el valor no saturado de la reactancia sincrónica:

[ ]X

VI

IV I pu

I

In

cc

n

n cc

fc

f1

0

1= = =* * *

(7.7.5)

Para máquinas modernas, provistas de reguladores de tensión rápidos, la razón decortocircuito varía entre 0,5 y 0,9, lo que implica que la reactancia sincrónica varía entre2 y 1,1 [pu].

7.8 Funcionamiento en red infinita

La red infinita es una idealización de una red real. Puede absorber o entregar cualquierpotencia sin variar su tensión en barras. Su representación circuital es una fuente idealde tensión.

Para que una máquina sincrónica puedaintercambiar energía con una red debe sersincronizada previamente con esta. Unasincronización ideal consiste en la conexiónde la máquina a la red sin que se produzcaperturbación alguna. Esto implica que debesatisfacerse cuatro condiciones:

• la secuencia de fases de la máquina y dela red debe ser la misma,• la frecuencia de las tensiones de máquinay red debe ser la misma,• la magnitud de las tensiones de máquina yred debe ser la misma, y• la fase de las tensiones de máquina y reddebe ser la misma.Figura 7.8.1. Relativo a la sincronización.

W1 V1 U1

F1 F2

L1

L2

L3

T urb. Gen.

Válvula

Excitación

Red


Satisfechas estas condiciones, las estrellasde tensiones de la figura 7.8.2 coinciden yel interruptor de la figura 7.8.1, al cerrarse,une puntos equipotenciales. No circularáncorrientes ni habrá momento. Se dice quela máquina “flota” en la red (V1 = Vp ; I1 = 0)y el diagrama fasorial correspondiente es elde la figura 7.8.4.

Para la máquina conectada a la red infinita rige el circuito equivalente de la figura 7.8.3.Con las referencias indicadas en ese circuito se tiene que la potencia aparenteabsorbida por la máquina desde la red está dada por

S V I= P + jQ = 3 1 1* (7.8.1)

Pero

IV V

11

1

1

1

=−

=−p p

j

jX

V V e

jX

δ

(7.8.2)

Reemplazando (7.8.2) en (7.8.1) y separando luego parte real e imaginaria se logra

PV V

Xp= −

3 1

1

sen δ (7.8.3)

δ−= cosX

VV

XV

Q p

1

1

1

21

33. (7.8.4)

Figura 7.8.2. Relativo a la sincronización.

W1

V1

U1L1

L2L3

ωr

ωm

Figura 7.8.4. Diagrama fasorial de lamáquina flotante.

δ=0

VpV1

I1=0

Figura 7.8.3 . Circuito equivalente de la máquina conectada a la redinfinita.

I1 X1

Vp

V1


Como la tensión de la red infinita es por definición constante, el monto de la potenciaactiva o reactiva intercambiada entre máquina y red queda determinado por el ángulode carga δ y la corriente de excitación If , que fija el valor de Vp. Interesa entoncesdeterminar el efecto específico de estas variables.

7.8.1 Variación de la excitación

Supóngase ahora que la potencia activa sea cero (nada conectado al eje). Entoncessegún (7.8.3) el ángulo de carga δ es cero y la máquina, vista desde la red, seconvierte en un inductor o un condensador sincrónico, dependiendo el signo de lapotencia reactiva de si está subexcitada (Vp < V1) o sobreexcitada (Vp > V1):

( )QV

XV Vp= −

3 1

11 . (7.8.5)

Los diagramas fasoriales de la figura 7.8.5 ilustran esta situación.

Mediante la variación de la corriente de excitación es posible regular la potenciareactiva intercambiada entre la máquina y la red.

inductor

Vp

V1

capacitor

V1 jI1X1

jI1X1

I1 I1

Vp

Figura 7.8.5 Relación de fase entre tensión y corriente en losterminales de una máquina a) sobreexcitada

b) subexcitada

a) b)

7.8.2 Variación del momento

Si se aplica un momento motriz externo al eje de la máquina que “flota” en la red, seproduce la aceleración del rotor, la que implica un aumento del ángulo δ con elconsiguiente desfasamiento de Vp respecto a V1 que causa la aparición de la corriente


de armadura I1(7.8.2) y la entrega de potencia activa a la red (7.8.3). Cuando elmomento electromagnético desarrollado por la máquina iguala al momento aplicado aleje, la aceleración desaparece y el ángulo δ permanece constante. Se establece elequilibrio estacionario. El diagrama fasorial de la figura 7.8.6 ilustra esta situación.

Se aprecia que al variar el momentoaplicado al eje, manteniendo la excitaciónconstante, el extremo del fasor Vp recorreun arco de circunferencia al igual que lacorriente de armadura I1, lo que implica lavariación del factor de potencia.

La variación de la potencia activa tambiénafecta a la potencia reactiva. Si esta hade permanecer constante, es necesarioactuar sobre la corriente de campo ymodificar el módulo de Vp , como sedesprende del lugar geométrico de Vp

para Q=cte de la figura 7.8.6.

Mediante la acción combinada sobre elmomento aplicado al eje y sobre lacorriente de excitación se puede ajustarcualquier condición de funcionamiento dela máquina.

7.8.3 Lugar geométrico de la corriente

Del circuito equivalente de la figura 7.8.3 se desprende que:

V V I1 1 1− =p jX (7.8.6)

de donde se despeja

I11

1 1

= − +jV

Xj

V

Xep j δ , (7.8.7)

que, para V1 y Vp constantes, corresponde a una circunferencia en el plano complejo,cuyo centro se encuentra sobre el eje imaginario negativo y cuyo radio está dado porVp / X1, como puede apreciarse en la figura 7.8.7.

En cambio los lugares geométricos de la corriente I1 para potencia activa constante,

Figura 7.8.6.Diagrama fasorial para exitación 100 %y T < 0 (generador).

Vp

V1

jI1X1

δT

ϕ1

δΦp

L.G. I=cte.L.G. P=cte.

L.G. Q=cte.

Límite de estabilidadteórico.

I1

L.G. Vp=cte.


ℜ = ℜ =V I I1 1 1 1* .V cte , (7.8.8)

son rectas paralelas al eje imaginario.

De manera análoga se establece que los lugares geométricos de la corriente parapotencia reactiva constante son rectas paralelas al eje real.

Los puntos del semiplano superior describen estados de funcionamiento como motor(δ< 0) y los del semiplano inferior como generador (δ > 0).

En lo que a la potencia reactiva se refiere, para puntos en el semiplano izquierdo, lamáquina absorbe potencia reactiva capacitiva y para puntos en el semiplano derecho,absorbe potencia reactiva inductiva.

Si bien cada punto del plano describe unívocamente un estado de funcionamientocaracterizado por sendos valores para la potencia activa y la potencia reactiva, debetenerse en cuenta que hay límites impuestos por los valores máximos admisibles parala potencia activa, limitada por la potencia máxima de la máquina motriz, la corriente dearmadura, limitada por el calentamiento máximo admisible para el devanado, lacorriente de excitación, limitada por el calentamiento admisible para el devanado decampo y el ángulo δ (límite de estabilidad estacionario), de manera que no todos lospuntos del plano corresponden a condiciones de operación segura.

Figura 7.8.7. Diagrama circular de la corriente I1 y otros lugares geométricos.

V1

j e jVX

p

1

δ

ϕ1

L.G. I1 =cte.

L.G. Q=cte.

I1L.G. P=cte.

Generador

Motor

Diagrama circular oL.G. Vp=cte.

0

Re

Im

XLXc

−jV

X

1

1

δ


Para orientar al operador de la máquina,se ha concebido la carta de operación,que representa el área de operaciónsegura en el plano P-Q , que está limitadopor los lugares geométricoscorrespondientes a los valores máximosadmisibles para las diferentes variables.Se puede apreciar la correspondencia dela carta de operación de la figura 7.8.8con los lugares geométricos de la figura7.8.7, si se tiene en cuenta que loscorrespondientes ejes coordenados estángirados en 90º.

Así, de la carta de operación para ungenerador de la figura 7.8.8 se desprendeque el funcionamiento con corrientenominal no es posible con factores depotencia inferiores al nominal (usualmente0,8 o 0,9), ya que la corriente de campo

necesaria excedería a la corriente de campo máxima admisible, o que el funcionamientosubexcitado está limitado por el límite de estabilidad práctico (potencia máxima sinriesgo de pérdida del sincronismo), que considera una reserva de un 10% de lapotencia máxima en relación con el correspondiente límite de estabilidad teórico para undeterminado grado de excitación.

Figura 7.8.8. Carta de operacióncomo generador.

Ifmax

I1nom

P

Q

Pmax

Limite deestabilidad

10 % Pmax

teórico.

práctico

0

cosϕnom

8. Máquina asincrónica

8.1 Introducción

En 1987 la máquina asincrónica cumplió 100 años. Durante ese tiempo se haconvertido en el motor eléctrico más difundido y se puede afirmar sin temor aexageraciones que es el motor del desarrollo industrial del siglo XX.

Durante su más que centenaria existencia el progreso tecnológico, que se manifiesta através de una teoría cada vez más completa y a través de la disponibilidad demateriales magnéticos y dieléctricos de características mejoradas, ha permitido reduciren forma muy importante el peso por unidad de potencia de la máquina asincrónica, loque, junto con el mejoramiento del proceso de fabricación, la ha convertido en el motoreléctrico más barato.

La máquina asincrónica se construye en un rango de potencias que cubre todo elamplio espectro de las necesidades industriales, desde unos pocos Watt de losaparatos electrodomésticos, hasta algunos Megawatt de las bombas de alimentación decalderas en centrales nucleares.

La gran mayoría de las máquinas asincrónicas funcionan conectadas a redes de tensióny frecuencia fijas, lo que les da el carácter de máquinas de velocidad prácticamenteconstante.

La disponibilidad de convertidores de frecuencia sobre la base de semiconductorescontrolados ha permitido el levantamiento de la restricción histórica “velocidadconstante” y ha abierto a la máquina asincrónica campos de aplicación queanteriormente le estaban vedados, en un momento en que, por razones económicas yecológicas, aumenta la demanda por un uso más racional de la energía.

Así, el uso de motores asincrónicos con velocidad ajustable mediante un convertidor defrecuencia en el accionamiento de bombas y ventiladores ha permitido importantesahorros de energía en relación con accionamientos de velocidad constante. Laslocomotoras de última generación alcanzan sus características superiores porqueincorporan motores asincrónicos de velocidad variable como motores de tracción ymuchos otros accionamientos han encontrado en el conjunto convertidor de frecuenciay motor asincrónico la mejor solución técnico-económica.

Estos usos nuevos de la máquina asincrónica requieren de esquemas de control queutilizan modelos dinámicos de la máquina, lo que obliga a un cambio de énfasis en eltratamiento de la teoría, cuya formulación debe permitir su posterior ampliación alestado de funcionamiento transitorio.

capítulo 8 : máquina asincrónica 8-162


La figura 8.2.1 muestra una representación en explosión de un motor asincrónico típicopara el rango de tensión entre 2 y 6,6 kV y el rango de potencia entre 315 y 3550kW a3000r.p.m.

Figura 8.2.1 Vista en explosión de un motor asincrónico con rotorde jaula, típico para el rango de tensión 2-6,6 kV y elrango de potencia 315-3550 Kw a 3000 r.p.m.

La parte activa del estator y del rotor está armada de chapas silicosas de 0,5 mm deespesor en las que se ha estampado ranuras para el alojamiento del devanado (figura8.3.1).

En máquinas grandes se utiliza ranuras abiertas, en las que se monta bobinasprefabricadas, mientras que en máquinas pequeñas se utiliza ranuras semicerradas, enlas que se forma la bobina directamente, usualmente con máquinas bobinadoras.


El devanado del estator es normalmente trifásico, conexión estrella sin neutro (figura8.2.2).

Figura 8.2.2. Devanado trifásico, p=2 , q=2.

U1 U2 V1 V2 W1W2

Para el rotor se puede elegir entre dos tipos de devanados. En el caso de condicionesde arranque muy severas, o cuando se opta por regulación de velocidad con lamáquina conectada a una red de frecuencia fija, se utiliza en el rotor un devanadotrifásico conectado en estrella y unido a tres anillos rozantes. En ausencia decondiciones especiales, se prefiere, por su menor costo y mayor robustez, una forma dedevanado conocida como jaula de ardilla. Hasta potencias del orden de 250 kW la jaulase realiza en aluminio fundido y sobre esta potencia con barras de cobre y bronce enlas versiones de jaula doble o de jaula de barras profundas.

Contrariamente al caso de la máquina sincrónica, caracterizada por un entrehierrorelativamente grande, el entrehierro de la máquina asincrónica debe ser lo máspequeño posible, variando entre 0,3 mm para máquinas pequeñas y 2,7 mm paramotores de 3000 kW. Esto impone estrechas tolerancias de fabricación y montaje.

A medida que aumenta la potencia del motor cobra mayor importancia la disipación delcalor causado por las pérdidas. Esto se traduce en un cuidadoso diseño de los circuitosde refrigeración, tratando de llegar con el fluido refrigerante (normalmente aire)directamente a los lugares donde se producen las pérdidas.



Considérese que el devanado trifásico del estator, conectado a una red de tensión yfrecuencia constantes, circulen corrientes trifásicas simétricas. El devanado del rotoresté inicialmente abierto.

Las corrientes en el devanado del estator dan lugar a una distribución espacial de fmm,que determina una distribución de flujo representada, para un cierto instante y a lolargo de un paso polar, en la figura 8.3.1, que se desplaza a lo largo del entrehierro convelocidad angular mecánica igual a ω1 /p (velocidad sincrónica).

Φp /2

Φp /2

1 paso polar

A BΦp /2

Φp / 2

Figura 8.3.1 Chapas del estator y rotor, circuito magnético principal y distribución del flujo en vacío.

Este campo giratorio induce en las fases del devanado del rotor un sistema detensiones simétrico.

Supóngase ahora que se ha cerrado el devanado del rotor. Las tensiones inducidasdan lugar a corrientes, cuya interacción con la onda de inducción giratoria produce un


momento que impulsa al rotor en el sentido de giro de campo, ya que, de acuerdo conla regla de Lenz, el efecto es siempre tal que tiende a oponerse a la causa que loproduce, y en este caso la causa de la corriente es el movimiento relativo entre campo ylos conductores del devanado del rotor.

Cuando el rotor ha alcanzado la velocidad angular ωm /p, la velocidad del campogiratorio en relación con el devanado del rotor se ha reducido a

ω ω ω2 1

p p pm= − (8.3.1)

y la frecuencia angular de las tensiones inducidas en el rotor se ha reducido a ω2.

Se aprecia que (8.3.1) es equivalente a la condición para conversión continua deenergía desarrollada en el capítulo 5, lo que implica que el motor asincrónico produceun momento medio distinto de cero para cualquier velocidad distinta a la sincrónica.

La diferencia entre la velocidad sincrónica y la velocidad del rotor, referida a lavelocidad sincrónica, se denomina deslizamiento

s m=−

=ω ω

ωωω

1

1

2

1

(8.3.2)

Cuando el rotor alcanza la velocidad sincrónica, desaparece el movimiento relativoentre rotor y campo giratorio y con él las tensiones inducidas en el rotor, la corriente enel devanado del rotor se hace cero y con ella desaparece el momento. El motor nopuede girar estacionariamente con velocidad sincrónica, pues, para vencer losinevitables momentos debidos al roce en los descansos, el motor debe desarrollar unmomento electromagnético, lo que sólo es posible si gira a una velocidad inferior a lasincrónica. De ahí la denominación de motor asincrónico.

La acción de la jaula se puede interpretar formalmente en términos de un devanadoequivalente de tantas fases como barras posee la jaula, donde cada fase posee mediavuelta.

Para apreciar esta equivalencia, considérese un devanado anular de m2 espiras,distribuidas en forma regular sobre el yugo del rotor (figura 8.3.2a). Las tensionesinducidas en las espiras, debidas a la variación periódica del flujo en las secciones delyugo enlazadas por estas, dan lugar a corrientes que forman un sistema de corrientessimétrico de m2 fases, cuya suma en todo instante es cero. Por lo tanto, nada cambiadesde el punto de vista de la distribución de las corrientes si las espiras seinterconectan en estrella en la forma indicada en la figura 8.3.2b y se suprime el“neutro”. El posterior reemplazo de la estrella de la figura 8.3.2b por un polígonoequivalente en la figura 8.3.2c tampoco altera la distribución de corrientes y deja demanifiesto la equivalencia entre las situaciones de las figuras 8.3.2c y 8.3.2a.


Figura 8.3.2. Equivalencia entre un devanado anular yun devanado jaula de ardilla.

i i i

a) b) c)

Para la tensión inducida en una espira de la figura 8.3.2a vale

V f y= ⋅ ⋅4 44, Φ , (8.3.3)

y como el valor máximo del flujo en el yugo es igual a la mitad del valor máximo del flujopor polo, según se puede apreciar en la figura 8.3.1, esta relación puede reescribirseen términos del flujo por polo como

V f p= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 44 12, Φ (8.3.4)

y reinterpretarse formalmente como la tensión inducida en una bobina ficticia de pasocompleto de ½ vuelta, perteneciente a un devanado de m2 fases, donde m2 es igual alnúmero de barras de la jaula.


Las ecuaciones de equilibrio eléctricas en términos de las variables de terminales selogran aplicando la ley de Faraday al devanado en cuestión.

Para determinar la tensión inducida por el flujo enlazado por una fase resultaconveniente descomponer el campo resultante en un campo debido a las corrientes delestator y un campo debido a las corrientes del rotor y aplicar el principio desuperposición.

Considérese primeramente las corrientes en las tres fases simétricamente desplazadasdel estator, que en estado sinusoidal estacionario simétrico tienen la forma


( )( )( )

i I t

i I t

i I t

a

b

c

1 1 1 1

1 1 1 123

1 1 1 123

2

2

2

= −

= − −

= − +

cos

cos

cos

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

π

π

(8.4.1)

y determinan en el entrehierro una distribución de fmm giratoria

( )fI Np

fpx td

g1

1 1 1

6 11 1 1

32

22

4= − += +∑π ν

ν ω ϕν

ν

, cos , (8.4.2)

cuya componente fundamental, de acuerdo con lo visto en el capítulo 4, determina laonda de inducción giratoria

( ) ( )B x tI N f

ppx td

1 10 1 1 11

1 1 1

32

4 2

2, cos,=

′′− +

πµδ

ω ϕ , (8.4.3)

donde δ“ es el entrehierro efectivo, que incluye el efecto de la saturación y de lasranuras.

El flujo enlazado por la fase a del estator, cuyo eje magnético coincide con el origen dela coordenada x1 , se calcula como

( ) ( )ψπ

π

1 1 1 1 1

2

2

1a dN fR lp

B x t d px= ⋅

−

+

∫ ,/

/

(8.4.5)

( ) ( )ψπ

µδ

ω ϕ1 0 2 1 11

2

1 1 1

32

42a d

R lp

N f I t= ⋅′′

−, cos (8.4.6)

y la tensión inducida en esa fase vale

( ) ( )vd

dtR l

pN f I ta

ad1

10 2 1 11

2

1 1 1 1

32

42= = − ⋅

′′−

ψµ

π δω ω ϕ, sen . (8.4.7)

Pasando a notación compleja queda:

( )v jR l

pN f ea d

j t1 1 0 2 1 11

2

1

32

42 1= ℜ ⋅

′′

ω µπ δ

ω, I (8.4.8)

v eaj t

1 11 2 1= ℜ V ω , (8.4.9)


donde V I11 1 1 1= j Lmω , (8.4.10)

es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio y

( )LR l

pN fm d1 0 2 1 11

232

4= ⋅′′

µπ δ , (8.4.11)

es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del estator.

La inductancia de campo giratorio engloba el efecto inductivo de las tres corrientes delestator y reduce la situación trifásica a una monofásica equivalente.

Por otra parte, el campo giratorio también enlaza al devanado del rotor (figura 8.3.1),que se mueve respecto al estator con velocidad angular ωm [rad.el./s]. La coordenadafija al rotor está relacionada con la coordenada fija al estator a través de la relación(figura 8.4.1)

( )px t px s t pxm1 2 1 21= + = − +ω ω (8.4.12)

Figura 8.4.1. Relación entre la coordenada del estator x1

y la coordenada del rotor x2.

a a'

a a'

ωmtpx1

px2px

x1=0 x2=0

En términos de la coordenada fija al rotor la onda de inducción B1 queda descrita por

( ) ( )B x tI N f

ppx s td

1 20 1 1 11

2 1 1

32

4 2

2, cos,=

′′− +

πµδ

ω ϕ (8.4.13)

por lo que el flujo enlazado por la fase a del rotor se calcula como

( ) ( ) ( )ψπ

π

2 2 1 2 1 2 2

2

2

a dN fR lp

B x t d px= ⋅

−

+

∫,

/

/

, (8.4.14)

y la tensión inducida en la fase de referencia a del rotor vale

( )( ) ( )vd

dtR l

pN f N f s I s ta

ad d2

20 2 1 11 2 1 2 1 1 1 1

32

42= = − ⋅

′′−

ψµ

π δω ω ϕ, , sen (8.4.15)


v eaj s t

2 21 2 1= ℜ V ω , (8.4.16)

donde V I21 1 21 1= js Lω (8.4.17)

es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio del estator en una fase del rotory

( )( )LR l

pN f N fd d21 0 2 1 11 2 1 2

32

4= ⋅′′

µπ δ , , , (8.4.18)

es la inductancia mutua de campo giratorio entre el devanado del estator y una fase delrotor. Para un rotor con devanado del tipo jaula N2=1/2 y fd1,2=1.

Considérese ahora las m2 corrientes del rotor

( )i I s tm

ii2 2 1 22

22

1= − − −

cos ω ϕ π

con i = 1, 2, ..., m2 , (8.4.19)

que dan lugar a una distribución de fmm giratoria, cuya componente fundamental estádada por

( ) ( ) ( )f x tm I N f

ppx s td

2 22 2 2 1 2

2 1 224 2

2, cos

,= − +π

ω ϕ (8.4.20)

y que, con entrehierro constante, determina la onda de inducción giratoria

( ) ( ) ( )B x tm I N f

ppx s td

2 22 0 2 2 1 2

2 1 224 2

2, cos

,=′′

− +π

µδ

ω ϕ (8.4.21)

cuyo flujo induce en la fase a del rotor induce la tensión

( )v jsm R l

pN f ea d

j s t2 1

20 2 2 1 2

2

224

2 1= ℜ ⋅′′

ω µπ δ

ω, I (8.4.22)

v eaj s t

2 22 2 1= ℜ V ω , (8.4.23)

donde V I22 1 2 2= js Lmω , (8.4.24)

es el fasor de la tensión inducida por el campo giratorio y


( )Lm R l

pN fm d2

20 2 2 1 2

2

2

4= ⋅′′

µπ δ , (8.4.25)

es la inductancia propia de campo giratorio del devanado del rotor.

En forma análoga se determina la tensión inducida por el campo giratorio del rotor en unafase del estator (a), logrando

v eaj t

1 12 2 1= ℜ V ω (8.4.26)

con V I12 1 12 2= j Lω (8.4.27)

y ( )( )Lm R l

pN f N fd d12

20 2 1 11 2 122

4= ⋅′′

µπ δ , , , (8.4.28)

inductancia mutua de campo giratorio entre el devanado del rotor y una fase del estator.

Cuando el número de fases del estator no es igual al número de fases del rotor lasinductancias mutuas de campo giratorio no son recíprocas, pues de (8.4.18) y (8.4.28) sedesprende que

3 12 2 21L m L= (8.4.29)

De (8.4.11), (8.4.18), (8.4.25) y (8.4.28) se establece la siguiente relación general entreinductancias de campo giratorio:

L L L Lm m12 21 1 2= . (8.4.30)

Además de los campos fundamentales en el entrehierro, las corrientes en los devanadosdel estator y del rotor crean campos de dispersión en las ranuras y en el espacio frontal ycampos armónicos en el entrehierro, asociados a sus respectivos devanados, que tambiénse consideran como campos de dispersión de esos devanados. El efecto inductivo detodos estos campos se engloba en sendas inductancias de dispersión (Lσ1 y Lσ2).

La aplicación de la ley de Faraday a las fases representativas del estator y del rotorequivale a hacer un inventario de las tensiones inducidas por los diferentes campos enesas fases, por lo que se puede anotar para cada una de ellas en términos de fasores:

( )( )

V I I I

V I I I1 1 1 1 1 1 1 1 12 2

2 2 2 1 2 2 2 1 21 1

= + + +

= + + +

R j L L j L

R js L L js Lm

m

ω ω

ω ωσ

σ

(8.4.31)

El devanado del rotor está normalmente cortocircuitado, lo que implica V2 = 0.


8.5 Circuito equivalente y diagrama fasorial

Los devanados descritos por el sistema de ecuaciones (8.4.31) están en movimientorelativo, por lo que las frecuencias de las corrientes en ellos es ω1 y sω1

respectivamente.

La división formal por el deslizamiento s de la ecuación del rotor cortocircuitado en(8.4.31) resulta en

( )0 22 1 2 2 2 1 21 1= + + +

Rs

j L L j LmI I Iω ωσ , (8.5.1)

ecuación que puede reinterpretarse físicamente como correspondiente a un rotordetenido, ya que ahora la frecuencia angular en ese circuito parece ser ω1 en lugar desω1 .

Con la intención de avanzar hacia la obtención de un circuito equivalente por fase,considérese ahora el reemplazo del devanado m2-fásico del rotor por uno trifásico,similar al del estator, excitado con corrientes trifásicas simétricas ′I2 tales queproduzcan la misma distribución de inducción fundamental en el entrehierro que eldevanado original. Esto equivale a exigir que el flujo enlazado por una fase del estatorno debe ser alterado con la substitución del devanado del rotor, o sea que

L I L Im1 2 12 2′ = ó (8.5.2)

32 21 11 2

22 1 2 2N f I

mN f Id d, .′ = ,

expresión que explicita la igualdad de las respectivas distribuciones de fmm.

Además, en el devanado equivalente deben producirse las mismas pérdidas y laenergía acumulada en sus campos de dispersión debe ser la misma que en eldevanado original. Esto implica exigir que

m I R I R2 22

2 22

23= ′ ′ (8.5.3)ym I L I L2 2

22 2

223σ σ= ′ ′ (8.5.4)

de donde se logra con (8.5.2) la resistencia y la inductancia de dispersión del devanadotrifásico equivalente

′ =

R R

m LL

m2 2

2 1

12

2

3(8.5.5)


y

′ =

L L

m LL

mσ σ2 2

2 1

12

2

3, (8.5.6)

también conocidos como valores reducidos al primario de los respectivos parámetros R2

y Lσ2.

Reemplazando I2, R2 y Lσ2 en (8.4.31) y (8.5.1) en términos de los correspondientesvalores reducidos al primario y considerando (8.4.29) y (8.4.30), se logra las ecuaciones

( )V I I I1 1 1 1 1 1 1 1 1 2= + + + ′R j L L j Lm mω ωσ (8.5.7)

( )0 22 1 2 1 2 1 1 1= ′′ + ′ + ′ +

Rs

j L L j Lm mI I Iω ωσ , (8.5.8)

que reordenadas toman la forma

( )V I I1 1 1 1 1 1 1= + +R j L j Lm mω ωσ (8.5.9)

0 21 2 2 1 1= ′ + ′

′ +Rs

j L j Lm mω ωσ I I , (8.5.10)

donde se ha introducido la corriente magnetizante

I I Im = + ′1 2 , (8.5.11)

una corriente ficticia, que, circulando en el devanado del estator, produce el mismoefecto magnético en el entrehierro que las corrientes I1 e I2 en conjunto.

Figura 8.5.1. Circuito equivalente por fase de la máquina asincrónica.

V1

I1

X'σ2

Vi

Xσ1

Xm1

I'2

Im R’2/sR1


Las ecuaciones (8.5.9) y (8.5.10) corresponden ahora a una fase de una máquinatrifásica, tanto en el estator como en el rotor, donde ambos devanados tienen el mismonúmero de vueltas efectivo por fase.

Figura 8.5.2. Circuito equivalente por fase de la máquina asincrónica.

V1

I1

X'σ2

Vi

Xσ1

Xm1

I'2

Im R2’R1

Rs

s2

1'( )

−

La observación más detenida de las ecuaciones (8.5.9) y (8.5.10) permite apreciar quesatisfacen el circuito equivalente de la figura 8.5.1, que está repetido en la figura 8.5.2con la resistencia asociada a la malla del rotor descompuesta en

′ = ′ + ′ −

Rs

R Rs

s2

2 2

1, (8.5.12)

para rescatar la similitud con eltransformador con carga resistiva,una imagen ampliamente usada enla teoría clásica de la máquinaasincrónica. Sin embargo, debetenerse en cuenta que, debido a laexistencia del entrehierro, lareactancia de magnetización Xm1 dela máquina asincrónica es muchomenor que la de un transformador(1:30).

El circuito equivalente está formadopor dos mallas, respectivamenterepresentativas del estator y delrotor.

Nótese la similitud de la mallarepresentativa del estator con lamalla correspondiente en el circuitoequivalente de la máquinasincrónica, representado en la figura

V1

Vi

I1

I'2

I'2

Im

ϕ1

ϕ2

Figura 8.5.3 Diagrama fasorial de la máquinaasincrónica


7.4.3 del capítulo 7. En ambos casos la tensión en la reactancia Xm1 corresponde a latensión inducida en una fase del devanado del estator por el campo resultante en elentrehierro.

Con las referencias de la figura 8.5.1, se puede construir el diagrama fasorial de lafigura 8.5.3.

Si bien las magnitudes representadas en el diagrama fasorial son las tensiones ycorrientes del circuito equivalente, no debe olvidarse la relación de estas magnitudescon los flujos y las fmms de la máquina real, por lo que la interpretación de estediagrama se enriquece, si se tiene en cuenta que los ángulos entre los fasores decorriente son iguales a los ángulos de desplazamiento espacial entre lascorrespondientes distribuciones de fmm (inducción), según se desprende de lasrelaciones (8.4.13) y (8.4.21). Interpretado en esta forma, el diagrama fasorial estambién la representación simbólica de las distribuciones giratorias de fmm y deinducción.

Figura 8.5.4. Disposición de fuerzas magnetomotrices y diagrama fasorial para el caso R2=0.

F2 Fm

R2=0

Vi

V1

I1

X'σ2

Vi

Xσ1

Xm1

I'2

Im R2'/sR1

δT=180º

R2=0

δT=180º

V1

Vi

I1

I2' Im

F1

Esta equivalencia es de gran valor para entender el funcionamiento de la máquina entérminos de los conceptos desarrollados en el capítulo 5, donde se estableció que el


momento electromagnético nacía de la tendencia a alinearse de las distribuciones deinducción del estator y del rotor y que cesaba cuando estas distribuciones lograbanalinearse. Así se aprecia que en una máquina asincrónica hipotética cuya resistenciadel rotor fuese nula, el ángulo de torque sería de 180º, como muestra el diagramafasorial de la figura 8.5.4. En consecuencia, tal máquina no podría desarrollar momento.

8.6 Potencia y momento

En estado sinusoidal estacionario la potencia media suministrada al campo magnéticoes cero, por lo que rige el siguiente balance de potencia:

P P P Pmec cu cu= − −1 1 2 , (8.6.1)

a partir del cual se puede obtener una expresión para la potencia mecánica en términosde las variables eléctricas.

De (8.5.9) y (8.5.10) se tiene que

P R I j Lm m1 1 1 1 12

1 1 13 3 3= ℜ = + ℜ∗ ∗V I I Iω (8.6.2)

0 3 322

21 1 2= ′

′ + ℜ ′∗Rs

I j Lm mω I I (8.6.3)

En (8.6.2), la expresión

3 1 1 1 1 1 1ℜ = − =∗j L P P Pm m cu CGω I I (8.6.4)

se identifica como la potencia asociada al campo giratorio del estator PCG1 .

Considerando que según (8.5.11) ′ = −I I I2 1m , se establece que

ℜ ′ = −ℜ∗ ∗j L j Lm m m mω ω1 1 2 1 1 1I I I I , (8.6.5)

lo que, reemplazado en (8.6.3), permite escribir

Ps

PcuCG

21= . (8.6.6)

Con (8.6.4) y (8.6.6) el balance de potencia de (8.6.1) toma la forma

P P Pmec CG cu= −1 2 (8.6.7)


( )P s Pmec CG= −1 1 (8.6.8)

Ps

sPmec cu= −

12 . (8.6.9)

De esta última relación se desprende que la potencia disipada en la resistencia(R’2(1-s)/s) de la figura 8.5.2 corresponde a la potencia mecánica por fase.

Cabe destacar que de acuerdo con (8.6.7) la potencia del campo giratorio PCG1 sedivide en el entrehierro en potencia mecánica Pmec y potencia transferida al circuito delrotor Pcu2 de acuerdo con una clave dada por el deslizamiento, según lo establecen lasrelaciones (8.6.6) y (8.6.8).

Desde el punto de vista mecánico se tiene la siguiente relación entre la potenciamecánica y el torque:

( )P Tp

sT

pmecm= = −

ω ω1 1 , (8.6.10)

por lo que, al igualar esta expresión con (8.6.9), se logra

Tp P

sp R

sIcu= = ′′

ω ω1

2

1

22

23 . (8.6.11)

Esta relación confirma desde otra perspectiva la afirmación hecha al final del párrafo8.5, que un hipotético motor asincrónico sin resistencias en el rotor no desarrollaríamomento.

La corriente I’2 se puede determinar aplicando el Teorema de Thévenin a la malla delestator del circuito equivalente de la figura 8.5.1, el que de esta manera se reduce alcircuito serie de la figura 8.6.1 .

Figura 8.6.1. Equivalente Thevenin del circuito de la figura 8.5.1.

VTh

X'σ2

ViZTh

I2’

R2'/s


La tensión de Thévenin corresponde a la tensión Vi con I’2 = 0, es decir,

( )VV

Th mm

j XR j X X

=+ +1

1

1 1 1σ

(8.6.12)

y la impedancia de Thévenin vale

( )( )ZTh

m

mTh Th

R j X j X

R j X XR j X=

+ ⋅+ +

= +1 1 1

1 1 1

σ

σ

(8.6.13)

Tanto VTh como ZTh son constantes para una determinada tensión y frecuencia de lared de alimentación. Con (8.6.12) y (8.6.13) se determina

′ = −+ ′ + ′

IV

Z2

22

Th

Th

Rs

jX σ

, (8.6.14)

que reemplazada en (8.6.11) permite obtener la siguiente expresión para el momento:

( )T

p V R

s RRs

X X

Th

Th Th

= ⋅ ′

+ ′

+ + ′

3

1

22

2

2

2

2ωσ

. (8.6.15)

Derivando el denominador de esta expresión respecto al deslizamiento, e igualandoesta derivada a cero, se obtiene el deslizamiento para el cual el momento es máximo

( )s

R

R X XM

Th Th

= ±′

+ + ′2

22

2

σ

, (8.6.16)

que reemplazado en (8.6.15) permite determinar el momento máximo:

( )T

p V

R R X XM

Th

Th Th Th

= ±± + + ′

32 1

2

22

2ωσ

(8.6.17)

El signo positivo corresponde al funcionamiento como motor y el signo negativo alfuncionamiento como generador.

Nótese que el momento máximo TM es independiente de la resistencia del rotor R2,mientras que el deslizamiento sM para el cual se produce el momento máximo esproporcional a R2.


En máquinas de potencia superior a 10 kW el efecto de las pérdidas en el devanado delestator sobre las características de funcionamiento con frecuencia nominal no essignificativo. Asumiendo R1 = 0 , las expresiones (8.6.16) y (8.6.17) se simplifican, yaque ahora

RTh = 0 y XX

Th =+

σ

σ1

11, (8.6.18)

con σ σ1

1

1

=XX m

, coeficiente de dispersión del estator, (8.6.19)

y quedan como

sR

XX

RXM

e

= ±′

++ ′

= ±′′

2

1

12

2

1σ

σσ

σ

(8.6.20)

y

Tp V

XX

MTh= ±

++ ′

32

11

2

1

12

ωσσ

σ

(8.6.21)

En términos de (8.6.20) y (8.6.21) la expresión para el momento (8.6.17) toma la formasimétrica:

TT

ss

ss

M

M

M

=+

2 , (8.6.22)

donde el momento máximo TM ahora es el mismo, tanto para funcionamiento comomotor o como generador.

Para deslizamientos pequeños (s >> sM ) esta expresión es aproximada por

TTs

sM

M

= ⋅2

(recta) (8.6.23)

y para deslizamientos grandes (s<<sM) por

T T ssM M= ⋅21

(hipérbola) (8.6.24)

Estas tres relaciones están representadas gráficamente en la figura 8.6.2 con sM=0,2para el rango 0 1≤ ≤s en el que la máquina funciona como motor.

Para motores normalizados el momento máximo es de 2 a 2,5 veces el momentonominal, por lo que en el rango de funcionamiento normal como motor (0 ≤ T ≤ Tn) la


aproximación (8.6.23), que reemplaza la curva por una recta, es perfectamente lícita yorigina la comparación con la correspondiente característica del motor de corrientecontinua en conexión shunt.

Cuando el rotor de la máquina es impulsado a velocidades superiores a la sincrónica,aplicándole un momento externo (negativo) a su eje, el deslizamiento se hace negativo(8.3.2) y el momento electromagnético cambia de signo (8.6.22). Se invierte el sentidodel flujo de potencia (PCG1<0). La máquina pasa a ser un generador asincrónico

Figura 8.6.2 Característica torque-deslizamiento y susaproximaciones.

Característica T(s)para R1=0 y sM=0.2

.00 .20 .40 .60 .80 1.00

.20

.40

.60

.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

.00

T

TM

s

Por otra parte, si con el rotor en movimiento se intercambia la conexión de dos fases ala red, se cambia la secuencia de las corrientes y con ella cambia el sentido de giro delcampo giratorio, que ahora gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor. En esacondición el deslizamiento es mayor que uno (s>1) y la potencia mecánica se hacenegativa (8.6.9), mientras que la potencia del campo giratorio del estator permanecepositiva (8.6.6). La máquina pasa a ser un freno de contracorriente. Las potenciasmecánica y eléctrica absorbidas por la máquina se convierten en calor en lasresistencias del rotor.

Escucho y olvidoVeo y recuerdoHago y comprendo

(Proverbio chino)

9. EJERCICIOS

Problema 1.1En el circuito magnético de la figura se emplea chapa silicosa y fierro fundido, cuyascaracterísticas magnéticas están indicadas en la figura 1.3.3 de los apuntes.

a) Determine la corriente continua necesaria para que en el entrehierro de 1mm seestablezca un campo cuya inducción sea igual a 0,9T.Determine la inducción en el entrehierro si la corriente que excita el campo vale 10A.Resolucióna)Análisis preliminarSe supone que el campo en el circuito magnético es homogéneo y que la dispersiónmagnética en el entrehierro es despreciable. De esa manera se conoce el flujo en elentrehierro y en las otras secciones del circuito magnético y se puede determinar elvalor de la inducción B en cada sección. Entrando con estos valores a la característicade magnetización del material correspondiente, se determina el valor de la intensidadde campo H asociado. Con H conocido se aplica la ley de Ampere al circuito magnético,lo que permite determinar la corriente buscada.Desarrollo

La inducción en la chapa silicosa vale T35,14

69,0B1 =⋅= , valor al que corresponde

según la característica H1=0,14.104A/m. En el tramo de fierro fundido la inducción es lamisma que en el entrehierro y de la característica se obtiene el valor de la intensidad decampo H2=0,85.104A/m. Para el entrehierro se logra H3=0,9/(4π.10-7)=71,6.104A/m. Lafmm resultante vale

( ) A1646716510420001,06,7106,085,03,014,010lHIN 4

iii =++=⋅+⋅+⋅== ∑

En consecuencia I=1646/300=5,5A.

entrehierro1mm

chapasilicosa

q=4cm2

l=30cm

fierro fundidoq=6cm2

l=6cmN=300

I

Ejercicios y Problemas 9-181

b)Análisis preliminarComo sólo se conoce la fmm total disponible IN=3000A, pero no su distribución entrelos diferentes tramos del circuito magnético, es necesario resolver el problemaiterativamente: suponer un flujo inicial, calcular la fmm necesaria para el flujo supuesto ycompararla con la fmm disponible. La iteración termina cuando la diferencia entre lasfmms es menor que una toterancia dada (p.ej.1%).Escriba un programa de acuerdo con el siguiente esquema de iteración:

Problema 1.2Sea el circuito magnético de la figura adjunta, con las dimensiones en cm indicadas enla figura adjunta, sobre cuya columna central está dispuesto un devanado de 736vueltas. La característica magnética de las 171 chapas de 0,35 mm de espesor queforman el núcleo está dada en la siguiente tabla:

Bmax T 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7Hef A/cm 1,8 2,3 3,8 7,6 14,8 26,0

a) Si la rama derecha incluye un entrehierro de 0,1mm,determine los flujos en las diferentes partes del circuitomagnético, si la inducción en la rama izquierda es de 1,6T.Determine la corriente magnetizante para las condiciones desaturación del punto anterior.¿Qué fracción de la fmm se gasta en el entrehierro?

Problema 1.3Sea el dispositivo cilíndrico de la figura adjunta. La bobina diametral montada en elcilindro interior puede pensarse de sección transversal despreciable. La longitud axiales de 6cm.a) Determine la corriente necesaria para establecer en el entrehierro una inducciónmedia de 0,5T, considerando que la permeabilidad sea infinita.

ΣHi li : IN

Φ

1. Bi

=Φ/qi

Hi

ΣHi li Φ=Φ+∆Φ Φ=Φ-∆Φ

Φ

18

1563

3


b) Repita el punto a) considerando que el material es chapa silicosa. Hagaaproximaciones razonables.

Problema 2.1Para filtrar la corriente de salida de un rectificador monofásico de onda completaalimentado desde una red de 50Hz se desea utilizar un reactor procedente de un avión(110V, 400Hz). Se ha medido las pérdidas en el fierro con inducción constante e igual ala nominal, obteniendo: 60W a 400Hz y 4,5W a 50Hz.Determine el valor efectivo que podría alcanzar la componente fundamental de latensión rectificada, sin que sean sobrepasadas las pérdidas de fierro admisibles.

Problema 2.2Sea un núcleo de permeabilidad infinita provisto de un entrehierro y de dos bobinascaracterizadas por los parámetros R1=R2<<ωL1 y L1=L2=L12.Las dos bobinas están conectadas en serie y la bobina 2 puede ser cortocircuitadamediante un interruptor.Si I es la corriente a través de la bobina 1, I2 es la corriente a través de la bobina 2 e I3es la corriente a través del interruptor, determine I2 e I3 en términos de I cuandoa) el interruptor está cerrado e I es una corriente alterna,b) el interruptor está cerrado e I es un corriente continua.

Justifique sus respuestas.

Problema 2.3Sea un núcleo de chapas silicosas con permeabilidad µ µfe = ⋅500 0 cuya seccióncuadrada mide 20cm2 y cuya longitud es de 50cm. El núcleo posee un entrehierro de2mm y sobre él están enrolladas dos bobinas de 280 y 40 vueltas respectivamente. Alos terminales de la bobina de 280 vueltas está conectado un condensador C y labobina de 40 vueltas está conectada, en serie con una resistencia de 5Ω a la fuente dealimentación.a) Determine el circuito equivalente para el dispositivo descrito, suponiendo que ladispersión sea despreciable.b) Si la tensión de la fuente es v=35sen(1883 t) y el valor de la capacidad delcondensador es tal que la impedancia de entrada del circuito sea infinita, determine elvalor máximo de la inducción en el entrehierro.c) Determine el valor del condensador usado en b)

0,5mm

10cm

200 vueltas

3cm


Problema 2.4Sea un material de imán permanente con la característica adjunta.

B/T 0 1,45 1,54 1,44 1,35 1,30 1,25 1,20 1,10 0,8 0H/kA/m 60 70 80 40 0 -20 -40 -45 -50 -56 -60

a) Para magnetizar a un imán de 5cm de longitud y sección cuadrada de 10cm2 selo incorpora a un circuito magnético cerrado formado por fierro ideal, provisto de unabobina de 100 vueltas. Si el flujo inicial es cero, determine el valor máximo de lacorriente, necesario para producir una inducción remanente de 1,35T.b) Determine en forma aproximada la energía requerida para magnetizar el imán enlas condiciones indicadas en a). La resistencia de la bobina sea despreciable.c) Determine el valor de la inducción para la cual el producto BH es máximo.d) Determine la sección óptima de un imán de 50cm3, incorporado a un circuitomagnético formado por fierro ideal y un entrehierro de 5cm2 y 2mm de longitud. ¿Cuáles la inducción en el entrehierro?Resolucióna)Análisis preliminarPara que el imán quede con la inducción de remanencia de 1,35T de la característica,es necesario magnetizarlo hasta el vértice (en el primer cuadrante de la característicaBH ), es decir, la fuerza magnetomotriz debe ser tal que H sea igual a 80000A/m.DesarrolloAplicando la ley de Ampere a lo largo del circuito magnético, H l i Ni i = , se tiene que

i A= ⋅ =80000 0 05100

40,

.

b)Análisis preliminarComo la curva virgen no está indicada, puede suponerse que la energía suministradapor unidad de volumen corresponde aproximadamente al área encerrada por el lazo dehistéresis en el primer cuadrante. El valor así determinado es algo mayor que el valorreal. Como se trata de una primera aproximación, el lazo de histéresis puede seraproximado por un rectángulo del mismo área.DesarrolloEl área es aproximadamente w J mm = ⋅ =80000 14 112000 3, / , y como el volumen es de

V m= ⋅ =01 0 05 0 005 3, , , , la energía requerida, que en ausencia de pérdidas es igual a laenergía acumulada, es W Jm = ⋅ =112000 0 005 560, .c)Análisis preliminarUna primera aproximación se logra al determinar el punto de intersección de lacaracterística en el segundo cuadrante con la diagonal del rectángulo BrHc y a partir deeste valor (1,2x45000=54000Ws) habría que tantear en forma sistemática.Alternativamente se puede proceder en forma gráfica trazando y evaluando BH(B).d)Análisis preliminar


Se sabe que para volúmenes de imán y de entrehierro dados la inducción en elentrehierro es máxima cuando el producto BiHi es máximo, por lo tanto, se determina Ba

a partir del producto determinado en c) y se calcula la sección del imán a partir de lacondición de continuidad del flujo:

i

aai B

Bqq = .

DesarrolloA partir de los valores de primera aproximación del punto c) se tiene que

Bq lq l

B Hai i

a ai i= = =−µ π0

7501

4 10 54000 18, T

por lo que

q cmi = =51812

7 5 2,,

,

Debido a que la sección del entrehierro es menor que la del imán, la inducción en elentrehierro es mayor que en el imán.El cálculo no incluye el efecto de la dispersión magnética en el entrehierro.

Problema 2.5Sea un transformador con núcleo acorazado, con las dimensiones en cm

indicadas en la figura adjunta, sobre cuya columna central están dispuestos dosdevanados de 172 y de 736 vueltas respectivamente. La característica magnética acorriente alterna de las 171 chapas de 0,35 mm de espesor está dada en la siguientetabla:

Bmax T 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7Hef A/cm 1,8 2,3 3,8 7,6 14,8 26,0

a) Si al devanado de172 vueltas se aplica una tensiónde 220V, 50Hz, determine la corriente magnetizante.

b) Determine la inductancia vista desde los terminalesde la bobina de 736 vueltas.

Problema 3.1Un transformador monofásico de 220V, 50Hz posee un núcleo toroidal con un diámetrointerior de 10cm, un diámetro exterior de 18cm y una sección cuadrada. El núcleo estáarmado de chapas silicosas de las siguientes características :

Bm 0,8 1,0 1,2 1,4 1,5 1,6 TAVef/cm 0,40 0,48 0,67 1,50 4,0 10,5 A/cmPfe 0,71 1,05 1,50 2,10 2,45 2,85 W/kg

γfe=7,6kg/dm3

El devanado de 220V es de 1 capa de 420 vueltas uniformemente enrolladas sobre elnúcleo.

18

1563

3


a) Determine los parámetros de la rama de magnetización del circuito equivalente(Xm, Rfe)b) Determine la constante de tiempo de cortocircuito del transformador si con elsecundario cortocircuitado se midió en el primario 2,1A y 26,6W al aplicar una tensiónalterna de 14V y 50Hz.Resolucióna)Análisis preliminarSe trata de un transformador toroidal, del tipo usado en el Laboratorio de MedicionesEléctricas. La geometría y las características del núcleo están dadas. La tensión alternaimpone el flujo por lo que se puede determinar la inducción máxima y con ella laspérdidas en el fierro y la corriente magnetizante, a partir de las cuales se determina losparámetros de la rama de magnetización.DesarrolloDebido a que el enrollado encierra al flujo en el volumen del toroide, todas las vueltasdel devanado abrazan el mismo flujo, por lo que éste se puede calcular a partir de

Φm

VNf

Wb= =⋅ ⋅

=4 44

2204 44 420 50

0 0024, ,

,

La sección del núcleo vale

( )qd d

mfee i=

−

= = ⋅ −

20 04 16 10

22 4 2,

Suponiendo campo homogéneo en el interior del núcleo , la inducción se calcula como

Bq

Tmm

fe

= =⋅

=−

Φ 0 002416 10

154

,,

Las pérdidas de fierro específicas correspondientes a este valor de inducción sedeterminan mediante interpolación lineal a partir de la característica dada. En este casose obtiene directamente

pWkgfe = 2 45,

A partir del volumen

Vol qd d

mfee i=

+

⋅ = ⋅

+

⋅ = ⋅− −

216 10

018 0102

7 04 104 4 3π π, ,

,

y el peso

G Volkg

dmdm kgfe fe= = ⋅ =γ 7 6 0 704 5 353

3, , ,

se calcula las pérdidas de fierro en el núcleo como

P p G Wfe fe fe= = ⋅ =2 45 5 35 131, , ,

En el circuito equivalente estas pérdidas están representadas mediante una resistenciaa cuyos terminales está aplicada la tensión de 220V, por lo que el valor de estaresistencia debe ser


RVPfe

fe

= = =2 2220

1313695

,Ω

Por otra parte, la corriente magnetizante se determina a partir de la Ley de Ampere,utilizando el valor de H obtenido mediante interpolación lineal de la característica dada.En el presente caso se obtiene directamente

HA

cmfe = 4

por lo que a partir de

I N H lm fe m=

se calcula

I Am = ⋅+

⋅ =400420

018 0102

0 42, ,

,π

El valor de la reactancia correspondiente en el circuito equivalente se calcula como

XVImm

= = =2200 42

524,

Ω

b)Análisis preliminarCon el secundario cortocircuitado y con el primario conectado a una fuente de tensiónreducida el flujo en el núcleo también se reduce fuertemente con lo que las pérdidas enel fierro se hacen despreciables frente a las pérdidas en el cobre y la corrientemagnetizante se hace despreciable frente a la corriente de cortocircuito. El circuitoequivalente se reduce a un circuito serie RL.DesarrolloLa impedancia de cortocircuito vale

ZVIcc

cc

cc

= = =1421

6 7,

, Ω

y , debido a la conexión serie de los elementos, la resistencia equivalente de losdevanados se calcula como

RP

Iecc

cc

= = =2 2

26 621

6 03,

,, Ω

A partir de estos valores se determina la reactancia equivalente como

X Z Re cc e= − =2 2 2 92, Ω.La constante de tiempo de un circuito RL serie se define como

TLR

XR

mse

e

= = =⋅

=ω

2 92314 6 03

154,

,,

Si se aplicara una tensión escalón de 1V al transformador cortocircuitado, la corrientecrecería de acuerdo con la función

( )i t e At( ),

,= − −16 03

1 0 0015 .

Nota: Este problema fue parte del primer certamen 95 para el cual la nota mediafue de 41%. Las principales dificultades fueron :


Interpretación de los datos (la sección cuadrada causó estragos)Relación del aparato descrito con el modeloAdaptación y manejo del modeloIncorporación de conceptos vistos en otras asignaturas (constante de tiempo de

un circuito serie)

Problema 3.2El núcleo del transformador del problema 3.1 se provee de un entrehierro de 1,5mma) Determine el valor efectivo de la tensión alterna de 50Hz que debe aplicarse a labobina de 420 vueltas para que la corriente absorbida sea de 4Ab) Si el conductor de cobre (ρ=0,018Ωmm2/m) es de sección circular, determine laresistencia a corriente continua de la bobina.(Justifique)

Problema 3.3Un transformador monofásico de 100kVA, 13200/230V, 50Hz, fue sometido a un ensayoen cortocircuito con corriente nominal, midiéndose 528V y 1590W. Ensayado en vacíocon tensión nominal se midió 4,5A y 318W.a) Determine los parámetros del circuito equivalente T y expréselos en (pu), en Ωreferidos al devanado de alta tensión y en Ω referidos al devanado de baja tensión.b) Para una carga de 80kVA, cosϕ=0,8 cap., determine las corrientes en las ramasdel circuito equivalente y expréselas en (pu), en A referidas al lado de alta tensión y enA referidas al lado de baja tensión.c) Exprese las pérdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal deltransformador.d) Determine la regulación del transformador para las condiciones indicadas en b).e) Se desea utilizar el transformador en una red de 60Hz y 13,2kV. Determine laspérdidas en el fierro nominales en esa condición suponiendo que de las pérdidasmedidas a 50Hz 2/3 corresponden a pérdidas por histéresis y 1/3 a pérdidas porcorrientes parásitas.Resolucióna)Análisis preliminarSe trata de un transformador de distribución, por lo que la tensión de cortocircuitodebería ser una pequeña fracción (<10%) de la tensión nominal y la corriente de vacíodebería ser del orden de un 1% de la corriente nominal. En consecuencia se puedeconcluir que las mediciones en vacío fueron realizadas en el lado de baja tensión y quelas mediciones en cortocircuito fueron realizadas en el lado de alta tensión. Del ensayoen cortocircuito sólo se puede obtener Xσ y Re , por lo que deberá aplicarse la regla:R1=R’2=Re/2 y X1=X’2=Xσ/2 , para obtener los parámetros del circuito equivalente T.DesarrolloLas corrientes nominales en los lados de alta y de baja tensión son respectivamente:

IPV

Ann

n1

1

31001013200

7 58= = = , e IPV

Ann

n2

2

310010230

435= = =

De las mediciones en cortocircuito se tiene que


z ve cc= = =52813200

0 040, (pu) y que rP

Pecu n

n

= = =159010

0 0165

, (pu)

x z re eσ = − = − =2 2 2 20 04 0 016 0 037( , ) ( , ) , (pu).Las impedancias base son:

ZVIb

n

n1

1

1

132007 58

1741= = =,

Ω en el lado de alta tensión y

ZVIb

n

n2

2

2

230435

0 53= = = , Ω en el lado de baja tensión.

Por lo tanto, las impedancias en Ω son respectivamente:R r Z

X x Ze e b

b

= = ⋅ =

= = ⋅ =1

1

0 016 1741 27 9

0 037 1741 64 4

, ,

, ,

Ω

Ωσ σ

referidas al lado de alta tensión yR r Z

X x Ze e b

b

= = ⋅ =

= = ⋅ =2

2

0 016 0 53 0 0085

0 037 0 53 0 0196

, , ,

, , ,

Ω

Ωσ σ

referidas al lado de baja tensión.Para los parámetros de la rama de excitación se usará un procedimiento alternativo,determinando primeramente los valores en Ω referidos al lado de baja tensión:

RVPfe

n

fe

= = =22 2230

318166

( ) Ω

Q S P VA

XVQ

o fe

mn

= − = ⋅ − =

= = =

02 2 2 2

22

0

2

230 4 5 318 985

230985

53 7

( , ) ( )

( ), Ω

Referidos al lado de alta tensión los parámetros toman los valores:

RVV

k

XVV

k

fen

n

mn

n

= ⋅

= ⋅

=

= ⋅

= ⋅

=

166 16613200

230547

53 7 53 713200

230177

1

2

2 2

1

2

2 2

Ω

Ω, ,

En (pu) resulta:

rRZ

pu

xXZ

pu

fefe

b

m

b

= = =

= = =

1660 53

313

53 70 53

101

,( )

,,

( )σ

b)Análisis preliminarEn la práctica las cargas se suelen dar en kVA y no en Ω, asumiendo tácitamente que latensión aplicada es la nominal. No debe perderse de vista el objetivo del cálculo


numérico, por lo que su precisión sólo debe ser la mínima necesaria. Un resultado nopuede ser más exacto que los datos que le sirvieron de base.DesarrolloLa corriente en la carga se calcula como

I A

a

c

c

= ⋅ =

= ∠ − = ∠ −

80 10230

348

348 0 8 348 36 9

3

I cos( , ) , ºLa caída de tensión en el secundario es

( ) ( )Ic eR j X j⋅ + = ∠ − ⋅ ⋅ + = ∠12

12348 36 9 0 0085 0 0196 41 29 7σ , º , , , ,

y sumada a la tensión secundaria 230 0∠ º da como tensión inducida por el flujo comúnVi = ∠233 6 0 5, , º .La corriente magnetizante vale

Imi

m

Vj X

= = ∠∠

= ∠ −233 6 0 553 7 90

4 35 89 5, , º, º

, , º

La corriente de pérdidas vale

Ifei

fe

VR

= = ∠ = ∠233 6 0 5166

141 0 5, , º

, , º

La corriente de vacío valeI I I0 4 57 716= + = ∠ −fe m , , ºLa corriente primaria, referida al secundario, valeI I I1 0 348 36 9 4 57 716 352 37 3= + = ∠ − + ∠ − = ∠ −c , , , , ºLas corrientes referidas al lado de alta tensión se obtienen multiplicando a las corrientes

referidas al lado de baja tensión por NN

VV

n

n

2

1

2

1

23013200

0 0174= = = , .

Las corrientes en (pu) se logran dividiendo las corrientes referidas al secundario por lacorriente base, es decir, I An2 435= .c)Análisis preliminarEl rendimiento del transformador es el cuociente entre potencia entregada y potenciaabsorbida

η = =+ +

PP

PP P P

util

abs

util

util fe cu

Desarrollo

Pfe n =⋅

=318100 10

0 00323

, (pu)

Pcu n =⋅

=1590100 10

0 01593

, (pu)

ηn =+ +

= =11 0 0032 0 0159

0 98 98%, ,

, , suponiendo cosϕ=1.

d)Análisis preliminar


Para la regulación a plena carga se había derivado la expresiónε ϕ ϕσn er x= +cos sen .Cuando la corriente es distinta a la corriente nominal se logra a partir de la definición:

ε ϕ ϕ ϕ ϕσσ= + = +

R IV

X IV

II

r xe

ne

2

20

2

20

2

2

cos sen ( cos sen )

Desarrolloε = ⋅ + ⋅ = =0 8 0 016 0 8 0 037 0 6 0 028 2 8%, ( , , , , ) , ,e)Análisis preliminarDebido a la relación V N f= ⋅ ⋅ ⋅4 44, Φ , el producto f ⋅ Φ debe permanecer constante,por lo que el aumento de frecuencia implica una disminución del flujo y por ende de lainducción.Las pérdidas por histéresis P C fB C BH H H= ⋅ = ′2 disminuyen linealmente con la

inducción, mientras que las pérdidas por corrientes parásitas P C fBF F= ⋅ ( )2

permanecen constantes.DesarrolloBB

60

50

5060

=PP

BB

H

H

60

50

60

50

5060

0 833= = = ,

P P WF F60 5013 318 106= = ⋅ =

P WH60230 833 318 177= ⋅ ⋅ =.

P Wfe 60 106 177 283= + =

Problema 3.4Un transformador monofásico de 50kVA, 1200/240V, 50Hz, vcc=3,6%, tiene pérdidas decortocircuito nominales de 1,8% de la potencia nominal. El rendimiento nominal es de97,9%. Determine:a) La regulación máxima y el factor de la potencia de la carga para el cual seproduce.b) El rendimiento máximo y la corriente en la carga para la cual se produce.c) La corriente de cortocircuito en el lado de alta tensión, expresada en A y en

(pu) .d) La regulación del transformador si en el lado de baja tensión se conecta unaimpedancia de (0,65+j0,85)Ω.

Problema 4.1Sea una máquina de rotor cilíndrico de 0,2m de diámetro y 0,3m de longitud axial. Elentrehierro mide 0,6mm.El estator está provisto de un devanado trifásico de 4 polos, 2 ranuras por polo y porfase y 20 vueltas por bobina.a) Determine la inductancia mutua entre dos fases.b) Determine la corriente absorbida, si el estator conectado en estrella sin neutro esalimentado desde una red monofásica de 220V, 50Hz, (una fase queda abierta).


c) Si el rotor está provisto de un devanado monofásico de paso completo,alimentado con 10A de corriente continua, que produce una distribución espacial deinducción triangular cuyo valor máximo es de 0,6T, determine el valor de la tensiónentre líneas inducida en el devanado del estator cuando el rotor gira a 1500rpm.d) Determine la tensión inducida en el devanado monofásico del rotor, si éste estádetenido y el estator está conectado a una red trifásica de 380V, 50Hz.Resolucióna)Análisis preliminarComo se trata de una máquina de entrehierro constante, la inductancia mutua entre dosfases del estator es constante. El hecho que las dos fases se encuentren en el estatorno cambia ni el razonamiento ni el resultado obtenido en el párrafo 4.4 de los apuntes.Sólo debe considerarse que el ángulo de desplazamiento entre las fases es de 120º. Eldevanado, al ser de una capa, está hecho con bobinas de paso completo, por lo que elfactor de cuerda vale fc=1.DesarrolloN N f N fe f d z1 1 1 1 1= ⋅ = ⋅N q p N vueltas por fasebob1 1 2 2 20 80= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

fq

qz 11

1

22

2 122 12

0 966= = ⋅ =sen( / )

sen( / )sen( / )

sen( / ),

ββ

ππ

β π π π= ⋅⋅ ⋅

=⋅

=pq p m q m

22 61 1

N e f1 80 0 966 77 3= ⋅ =, ,

LR l

pN Hye f12 0 2 1

242 3 0 06= ⋅

⋅= −

πµ

δπ( ) cos( / ) ,

b)Análisis preliminarLa reactancia correspondiente a la conexión serie de dos fases se puede determinar, yasea a través de la inductancia equivalente de dos bobinas acopladas inductivamenteLeq=L1+L2-2L12=3L1 , ya sea como inductancia propia de un devanado distribuido queocupa 2/3 de las 24 ranuras del estator. A la vista del resultado del punto a) en estecaso resulta más directo el cálculo de la inductancia equivalente.DesarrolloX f L L1 1 122 3 2 50 6 113= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =π π Ω

A95,1113220

XV

I1

===

c)Análisis preliminarLa distribución de inducción triangular producida por el rotor se compone de lafundamental y de armónicas impares, de las cuales la más fuerte es la tercera. Lastensiones inducidas por la tercera armónica en las tres fases están en fase entre sí ypor lo tanto no aparecen en la tensión de línea, que es la diferencia entre dos tensionesde fase. En consecuencia basta con limitar el análisis a la fundamental.


DesarrolloLa fundamental de la onda triangular vale

B B Tmax1 2

80 81 0 6 0 485= = ⋅ =

π, , ,

Φ p pB l BRp

l B R l Wb= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =2 2 22

0 01461 1 1πτ

ππ

,

fp n

Hz= ⋅ = ⋅ =60

2 150060

50

V f N Ve f p= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =3 4 44 3 4 44 50 77 3 0 0146 434, , , ,Φd)Análisis preliminarSi el rotor, con una corriente de 10A, produce una distribución de inducción triangularcon valor máximo de 0,6T, se tiene que a partir de la relación entre B y H y la ley deAmpere

HB iN

pmaxmax= =µ δ0 2

,

de donde se puede determinar el número de vueltas en serie del rotor. El ancho dezona del devanado monofásico del rotor es q2β2= 180º y el factor de zona, conq y2 0→ ∞ ∴ →β , es

fq

qz = ≈ =sen( / )

sen( / )sen( / )

/2 2

2 2

22

22

2ββ

ππ π

,

por lo que el número de vueltas efectivo esN f Ne f z= ⋅ ,

si se considera que las bobinas no están acortadas.Con el flujo por polo, impuesto por la tensión de la red, y el número de vueltas deldevanado del rotor se calcula la tensión inducida en éste.Desarrollo

NB p

i20

3

7

2 0 6 2 0 6 10 24 10 10

114= ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=−

−

δµ π

, ,

N e f2

2114 72 6= ⋅ =

π,

Φ pe f

Vf N

Wb=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=1

14 44380 3

4 44 50 77 30 0128

, , ,,

V f N Ve f p2 24 44 4 44 50 72 6 0 0128 207= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =, , , ,Φ .

Problema 4.2Sea una máquina doblemente cilíndrica. El estator, de 12 ranuras, esté provisto de undevanado trifásico de dos polos, 2 capas, donde cada bobina posee 10 vueltas y unpaso igual a 83,3% del paso polar. El rotor, de igual número de ranuras que el estator,está provisto de un devanado bifásico de dos polos, donde cada bobina es de 20vueltas y tiene su paso acortado en un paso de ranura.


El rotor tiene una posición tal que una fase del estator está alineada con una fase delrotor.a) Si el devanado trifásico es excitado con un sistema de corrientes simétricas de10A valor efectivo, determine el valor efectivo de un sistema de corrientes bifásicas que,circulando en el devanado del rotor, anule el campo resultante en el entrehierrob) ¿Cuál es la relación entre las tensiones de fase del estator y del rotor, inducidaspor el flujo en el entrehierro, si el estator está conectado a una red trifásica simétrica yel rotor está abierto?c) Si el entrehierro es de 0,5mm, el diámetro interior del estator de 20cm y lalongitud axial del rotor de 15cm, determine las inductancias propias y mutuas entre losdiferentes devanados.d) ¿cuál es la corriente absorbida desde la red trifásica, si el devanado del rotorestá abierto y el valor medio de la inducción en el entrehierro es de 0,55T? ¿Cuál es elvalor efectivo de la tensión de 50Hz aplicada al devanado?e) Dibuje en forma desarrollada tanto el devanado del estator como el del rotor.Resolucióna)Análisis preliminarEl devanado trifásico produce una distribución espacial de fmm cuya amplitud es igual a3/2 veces la amplitud de la fmm producida por una fase. El devanado bifásico produceuna distribución espacial de fmm cuya amplitud es igual a la de una fase.Para que las distribuciones de fmm del estator y del rotor se anulen, sus amplitudesdeben ser iguales y estar en oposición de fase32

N I N Ie e r r⋅ = ⋅

Desarrollo

Con qZ

p my

Z=

⋅=

22β π

el número de vueltas efectivo del devanado trifásico de 2 capas es

N q Nq

qe be= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ =2

22

2 2 2 102

212 2

212

1237 3

sen( / )sen( / )

cos( / )sen( )

sen( )cos( ) ,

ββ

α

π

ππ

El número de vueltas efectivo del devanado bifásico vale

Nr = ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ =2 3 20

312

312

12105 6

sen( )

sen( )cos( ) ,

π

ππ

En consecuencia la corriente bifásica equivalente vale

I Ar = ⋅ ⋅ =32

37 3105 6

10 5 3,,

, .

Nótese que un devanado trifásico siempre puede ser reemplazado por undevanado bifásico equivalente (y viceversa) .


b)Análisis preliminarEl valor efectivo de la tensión inducida por fase es, independientemente del número defases,V N fe f p= ⋅ ⋅ ⋅4 44, Φ .

Como el flujo por polo y la frecuencia son los mismos para ambos devanados, larelación entre las tensiones inducidas es igual a la relación entre el número de vueltasefectivos por fase de los respectivos devanados.DesarrolloVV

NN

2

3

2

3

105 637 3

2 82Φ

Φ

Φ

Φ

= = =,,

,

c)Análisis preliminarPara la inductancia mutua entre dos devanados i y j rige

LR l

pN Ni j e f i e f j j i= ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ −4

0 2πµ

δγ γcos( ) , expresión que también rige para las

inductancias propias si se hace N N ye f i e f j i j= =γ γ . Como todos los parámetros

son conocidos, el cálculo es trivial.DesarrolloLa inductancia propia de una fase del estator (fase a) vale

L mHe a,

, ,,

( , ) ,= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ =−−

44 10

01 0150 5 10 1

37 3 66 873

2

ππ

La inductancia mutua entre dos fases del estator vale

L L L mHe a b e a e a, , ,cos( / ) ,= ⋅ = − = −2 312

33 4π

La inductancia mutua entre las fases alineadas del estator y del rotor valeL mHe r = ⋅ ⋅ ⋅ =−48 10 37 3 105 6 1896 , ,

La inductancia propia de una fase del rotor (fase α) valeL mHr, ( , ) .α = ⋅ ⋅ =−48 10 105 6 5356 2

La inductancia mutua entre dos fases del rotor vale cero, pues están desplazadas en90º eléctricos.d)Análisis preliminarComo la distribución de la inducción en el entrehierro es sinusoidal, su valor máximovale B Bmax med= π/2 . Suponiendo que la permeabilidad del fierro sea infinita, el valormáximo de la fmm vale

F H Bmax max med= ⋅ =δ δµ

π

0 2 y es igual a 3/2 veces la amplitud de la onda de fmm

producida por una fase, es decir,

FN I

pmaxe=

⋅ ⋅32

4 22π

.


En consecuencia Ip

NB

emed= 1

2 3 2 0

π π δµ

.

La tensión inducida en una fase del devanado trifásico es igual a la corriente por lainductancia de campo giratorio

V I f Lp

NB f

R lp

N

V f N

ee

med o e

p e

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

232

1

2 62

32

4

4 44

2

02

2π π δµ

ππ

µδ

, ΦAlternativamente podría determinarse primero la tensión inducida con

Φ p med p medB l BR lp⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅τ π

y calcular en seguida

IVf Le

=⋅ ⋅2 3

2πDesarrolloΦ p Wb

V V

I A

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−

0 55 01 015 0 026

4 44 50 37 3 0 026 215

2152 50 15 66 8 10

683

, , , ,

, , ,

, ,

π

πe)Análisis preliminarSuponiendo que se trata de un devanado de ancho de zona igual a 60º, cada fase del

devanado de dos capas del estator consta de 2 grupos de q =⋅

=122 3

2 bobinas

desplazadas en 180º eléctricos.Cada fase está desplazada respecto a la que le antecede en 120º eléctricos.En el devanado del rotor el desplazamiento entre las dos fases es de 90º eléctricos y el

número de ranuras por polo y por fase es qr =⋅

=122 2

3 .

Problema 4.3Un estator de 72 ranuras está provisto de un devanado trifásico de 8 polos formado porbobinas acortadas de 10 vueltas y paso 7/9. Las bobinas correspondientes a cada faseestán conectadas en serie y las tres fases están conectadas en estrella. La tensión delínea es de 2598V, 50Hz.Se requiere rebobinar este estator para 4 polos, manteniendo el acortamiento relativo,la tensión de fase y la frecuencia.Determine el número de vueltas que debe tener cada bobina del nuevo devanado paraque la inducción media en el entrehierro permanezca constante.

Problema 4.4Una máquina de corriente continua posee un rotor de 8cm de diámetro y 3cm delongitud axial, provisto de un devanado imbricado simple de 2 polos distribuido en 23


ranuras. El paso de las bobinas es de 11 ranuras (1-12) y la zapata polar cubre el 70%del paso polar.La inducción en el entrehierro sea de 1T bajo la zapata polar y de 0T en el espacioentre los polos.a) Haga un dibujo en desarrollo del devanado indicando también la ubicación de lospolos y la ubicación de las escobillas sobre el conmutados. El ancho de una escobillasea igual al ancho de una delga.b) Determine el número de vueltas de una bobina del devanado, si la tensióninducida entre los terminales de la armadura, cuando esta gira a 1500rpm, es de 48V.c) Determine la distribución espacial de fmm producida por el devanado dearmadura, cuando por los terminales de esta circulan 10A.d) Repita los puntos a),b) y c) para el caso en que la máquina tenga cuatro polos ybobinas de paso 5 (1-6).

Problema 5.1Un imán permanente de 24cm de longitud y sección circular de 12cm2 posee lasiguiente característica B(H)

B(T) 0,60 0,52 0,40 0,18 0,0H(A/cm) 0,0 -100 -200 -300 -350

El imán permanente tiene forma de U y el circuito magnético incluye dos entrehierrosiguales y un yugo de fierro ideal, que es mantenido en su posición por un resorte queejerce una fuerza de 240N.Determine la longitud de los entrehierros.Análisis preliminarLa fuerza del resorte es equilibrada por las fuerzas electromagnéticas ejercidas por losdos extremos del imán sobre el yugo. Este hecho permite calcular la tensión de Maxwelly a partir de ella la inducción en el entrehierro. Conocida la inducción en el imán elproblema se reduce a resolver un circuito magnético serie.Desarrollo

σ = =⋅ ⋅

=−

Fq

Nm2

2402 12 10

1045

2

B Ta = =2 0 500µ σ ,

Suponiendo dispersión magnética despreciable, B Ba i= , por lo que, de acuerdo conAmpere, H l H li i a a⋅ = ⋅2 .

Bl

lHi

i

ai= µ 0 2 .

Interpolando en la característica con Bi=0,50T se logra Hi=1,17 104A/m y se calcula

lH

B

lmma

i

i

i= = ⋅ ⋅ =−µ π07

4

24 10

117 100 5

242

3 5,

,,

Problema 5.2Sea un dispositivo formado por dos cilindros concéntricos de longitud axial 30mm. Eldiámetro interior del cilindro exterior es de 40mm y el diámetro exterior del cilindro


interior (móvil) es de 36mm. Estator y rotor están provistos de sendas bobinasdiametrales de 200 vueltas, que están conectadas en serie.Si un resorte espiral de rigidez 0,06Nm/rad desplaza los ejes magnéticos de las dosbobinas en 30º cuando la corriente por ellas es nula, determine el valor de la corrienteque causa un desplazamiento del rotor de 12º desde la posición de equilibrio sincorrientes.Análisis preliminarEl torque tiene su origen en la variación de la inductancia mutua entre las dos bobinas y, dada la conexión, depende cuadráticamente de la corriente.La inductancia mutua tiene el valor máximo

LR ld

N N12 0 1 22= µ π

y varía linealmente con la posición angular del rotor δ, alcanzando el valor 0 para δ=π/2.DesarrolloCuando el rotor se ha desplazado en 12º el momento vale

T Nm= ⋅ =0 06 12180

0 0126, ,π

T idL

di

Lie = = =2 12 2 12

2

20 0143( )

,δ

δ π

i A= =0 01260 0143

0 094,

,,

Problema 5.3En un dispositivo formado por dos cilindros concéntricos, separados por un entrehierrode 0,5mm, están dispuestas dos bobinas diametrales, una en el estator y la otra en elrotor. El diámetro del rotor es de 20cm y su longitud axial es de 25cm. Cada bobinaposee 25 vueltas y una resistencia óhmica de 0,2Ω.La bobina del rotor está cortocircuitada y la del estator está conectada a una fuentealterna de 220V, 50Hz.a) Determine la corriente absorbida en condiciones estacionarias por el dispositivo.Si en el rotor se monta una segunda bobina, cortocircuitada y desplazada respecto a laprimera en 90º,b) determine el ángulo entre la primera bobina del rotor y la bobina del estator.a)Análisis preliminarEl flujo alterno induce tensiones en la bobina cortocircuitada del rotor, en la quecirculará corriente. En consecuencia se desarrollará un momento electromagnético quegirará el rotor a la posición en que la energía del campo en el entrehierro sea máxima.Esta corresponde a un ángulo de 90º entre las dos bobinas, para el cual la inductanciamutua y, por lo tanto, la corriente en el rotor es nula.En consecuencia, la corriente en el estator sólo está determinada por la inductanciapropia de la bobina del estator.Desarrollo


LR ld

N mH1 0 12 7 2

24 10

0 1 0 252 0 0005

25 617= = ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ =−µ π π π , ,

,,

IVL

A11

3

220314 617 10

11 4= =⋅ ⋅

=−ω ,,

b)Análisis preliminarEl flujo enlaza a las dos bobinas en sentido inverso, por lo que las respectivascorrientes están en oposición de fase y los momentos tienen sentidos opuestos. Laposición de equilibrio se produce cuando los momentos son iguales y opuestos, lo quecorresponde a la posición en que los flujos enlazados son iguales y opuestos, es decir,para 45º.

Problema 5.4La curva de magnetización de un electroimán con un entrehierro de 2,5mm está dadapor la relación ψ=2,8i/(0,12+i). Una modificación del entrehierro cambió esta relación aψ‘=2,8i/(0,10+i). Dibuje las características ψ(i) y ψ‘(i) en un mismo gráfico hasta i=1,5A ydetermine:a) El aumento o disminución del entrehierro. Haga suposiciones razonables.b)La energía eléctrica absorbida y el aumento o disminución de la coenergía magnéticaal variar el entrehierro manteniendo la corriente constante en 0,15A, es decir, en el valorque tenía cuando el entrehierro era de 2,5mm.c) La fuerza media durante la variación del entrehierro. ¿El electroimán absorbe oentrega energía mecánica?

Problema 5.5Un dispositivo doblemente concéntrico de entrehierro constante posee en el estator dosbobinas diametrales a y b desplazadas relativamente en 90º.El rotor posee una bobina diametral f cuyo eje magnético está desplazado en relación alde la bobina a en el ángulo δ.Si Laa=Lbb=0,35H , Laf=2,0 cosδ H y Lff=20H,a) Determine el torque desarrollado para δ=75º, ia=7,07A, ib=-12,25A e if=1,2A.b) Si if=1,2 cos(314 t) y las bobinas a y b están cortcircuitadas, determine lasvelocidades para las cuales el dispositivo desarrolla un momento medio distinto de cero.c) Determine el momento medio desarrollado por el dispositivo si Ra=Rb=0Ω en lascondiciones indicadas bajo b).

Problema 5.6Un condensador de placas paralelas ha sido cargado hasta una tensión V0 y luegodesconectado de la fuente. Si ahora las placas se separan al triple de su separaciónoriginal, determine:a) La tensión entre las placas del condensador.b) La energía acumulada en el campo eléctrico después del desplazamiento.c) El trabajo mecánico realizado durante el desplazamiento relativo de las placas.


Problema 5.7Sea una máquina de rotor cilíndrico de 0,2m de diámetro y de 0,3m de longitud axial. Elentrehierro mide 0,6mm.El estator está provisto de un devanado monofásico de 4 polos que produce unadistribución espacial de inducción cuya fundamental posee una amplitud de 0,7T. Eldevanado del rotor produce una distribución de inducción similar, pero con amplitud de0,5T.a) Determine una expresión para el momento electromagnético debido a lasfundamentales como función del ángulo entre los ejes magnéticos de los dosdevanados y evalúe su valor máximo.b) Si el rotor gira a 1500rpm y es alimentado con corriente alterna de 20Hz, determinelas frecuencias que debería tener la corriente del estator para que el momento mediosea distinto de cero.c) Calcule el momento medio para la condición determinada en b).d) Calcule la amplitud y la frecuencia de los momentos oscilatorios que se producenpara las condiciones determinadas en b).

Problema 5.8Un conductor de sección rectangular de 1cmx5cm se encuentra en una ranura abierta,practicada en fierro de permeabilidad infinita. Si por el conductor circula una corrientealterna de valor efectivo 500A y frecuencia 5 Hz,a) determine la distribución de la energía magnética con la altura de la ranura yb) calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor.

Problema 6.1Un motor de corriente continua de excitación independiente impulsa una carga inercialque, en conjunto con el rotor del motor, posee un momento de inercia polar de0,85kgm2. La resistencia de la armadura es de 0,5Ω y tanto la inductancia de laarmadura como las pérdidas debidas a la rotación sean despreciables.Si el motor gira a 120rad/s con una tensión de armadura de 60V, determine la velocidaddel motor 1s después de subir bruscamente la tensión de armadura a 80V, manteniendola corriente de campo constante.Análisis preliminarAl producirse el salto en la tensión aplicada, la corriente de armadura ia=(Va-ωGfqIf)/Ra yel momento electromagnético Te=GfqIfia cambian bruscamente, acelerándose el motor.La velocidad aumenta y con ella vrot=ωGfqIf , hasta que ia y Te se reduzcan a cero en lanueva condición de funcionamiento estacionaria.DesarrolloInicialmente Va=Vrot=ωiGfqIf , de donde se logra GfqIf=60V/120rad/s=0,5Vs/rad.Posteriormente rige para la armaduraVa=vrot+Raia y para el rotor Jdω/dt=GfqIfia .Reemplazando la segunda ecuación en la primera queda

( )ddt

G I

R J

V G I

R Jfq f

a

a fq f

a

ω ω+ =2

,


una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución particular es inmediata

ω fa

fq f

VG I

rads

= = =800 5

160,

y para cuya solución homogénea se postula una

función exponencial. Se logra la solución completa

ω ω ω ω= − +−( ) /i f

t Tfe , donde

( ) ( )T

R J

G Isa

fq f

= = ⋅ =2 2

0 5 0 85

0 517

, ,

,, .

Finalmente ( ) ( )ω 1 120 160 160 137 81 1 7= − + =−e rad s/ , ,

Problema 6.2Un motor shunt impulsa una carga inercial en condiciones estacionarias. Suponga quelas pérdidas rotacionales y la inductancia de armadura sean despreciables y que el flujoes proporcional a la corriente de campo. Derive la ecuación diferencial para la velocidadcuando la resistencia en serie con el campo shunt es cortocircuitada repentinamente.Indique las condiciones iniciales.

Problema 6.3Un motor de corriente continua con excitación shunt de 7,5kW, 230V posee unaresistencia del circuito de armadura de 0,3Ω y una resistencia del campo shunt de160Ω. En vacío y con tensión nominal la velocidad es de 1200rpm y la corriente dearmadura es de 2,7A. A plena carga la corriente de armadura es de 38,4A y causa unareducción de flujo de 4% en relación con el flujo en vacío. Determine la velocidad aplena carga.Análisis preliminarLa tensión rotacional es proporcional al producto del flujo por la velocidad del rotorVrot=kΦpn , por lo que basta obtener la tensión rotacional para la situación con cargapara determinar con el flujo correspondiente la velocidad en esa condición.DesarrolloEn vacío Vrot=230-2,7 0,3=229,2V=kΦp 1200, de donde kΦp=0,191V/rpm.A plena carga Vrot=230-38,4 0,3=218,5V=k 0,96 Φpn1 , por lo que n1=1192rpm.

Problema 6.4Un motor de corriente continua, conexión serie, opera conectado a una red de 230V ygira a 750rpm absorbiendo 80A. Determine la velocidad para 230V y una corriente dearmadura de 20A para Ra=0,05Ω y Ra=0,20Ω.

Problema 6.5Un motor de corriente continua, conexión serie, de 120kW, 600V, 600rpm posee unaresistencia en el circuito de armadura de 0,16Ω. La corriente nominal, a tensión yvelocidad nominales, es de 206A. La curva de magnetización a 400rpm es la siguiente

Vrot/V 375 400 425 450 475

If/A 188 216 250 290 333


Suponiendo que el efecto desmagnetizante de la reacción de armadura puede serexpresado en términos de una fmm equivalente que varía con el cuadrado de lacorriente, determine el torque de partida si la corriente de partida está limitada a 350A.

Problema 6.6Un motor de corriente continua para tracción posee la siguiente característica deexcitación a 1000rpm:

Vrot/V 285 349 450 517 546Ff por polo/A 1800 2400 3600 4800 5400

Las resistencias de la armadura y del campo serie valen respectivamente 0,2Ω y 0,03Ω.La resistencia del campo shunt vale 160Ω. El número de vueltas por polo del devanadoserie y del devanado shunt es respectivamente, 15 y 1100.Determine la característica torque velocidad del motor para una tensión de armadura de525V y para corrientes de armadura de hasta 200A .

Problema 6.7Una máquina de corriente continua de 6 polos, 900rpm, 550V, 275kW posee undevanado ondulado distribuido en 180 ranuras, con 8 conductores por ranura. La zapatapolar cubre el 70% de un paso polar. Determine la fmm de reacción de armadura porpolo para corriente nominal. Determine el número de conductores que debería tener undevanado de compensación adecuado. Estime el número de vueltas que debería tenercada interpolo para establecer una inducción de 0,5T en un entrehierro de 5mm concorriente nominal y devanado de compensación.

Problema 6.8Un pequeño motor universal (serie) desarrolla un momento de 2Nm con rotor detenido yuna corriente de armadura de 3A, corriente continua. La resistencia del circuito dearmadura es de 2,5Ω y la inductancia es de 0,04H. Suponiendo linealidad magnética ypérdidas por rotación despreciables determine , si la máquina se conecta a una red de115V, 60Hz:El momento de arranque, la potencia mecánica desarrollada para una corriente dearmadura de 3A y el factor de potencia correspondiente. Dibuje el diagrama fasorial aescala.Análisis preliminarEn el motor serie el momento es proporcional al cuadrado de la corriente de armadura,por lo que el torque no cambia de sentido cuando lo hace la corriente. Con corrientealterna el motor desarrolla un momento medio, proporcional al valor efectivo de lacorriente de armadura, al cual está superpuesto un momento pulsatorio cuya frecuenciaes igual al doble de la frecuencia de la corriente. La tensión rotacional está en fase conla corriente de armadura. La caída de tensión en la reactancia es importante(2πfLa=15,1Ω).DesarrolloComo T=GfqIa

2 se tiene que Gfq=2/32=0,222H. La corriente de partida se obtiene de

I Aa =+

=115

2 5 15 17 5

2 2, ,, por lo que Tarr=(7,5)2 0,222=12,5Nm.


La ecuación de equilibrio para la armadura es 115= (2,5+j15,1)Ia+ωGfqIade donde se logra (Pitágoras) para Ia=3A ω=147,5rad/s y n=1408rpm.P=Tω=32 0,222 147,5=295W.

Ia jj=

+= + = ∠ −115

35 25 151276 118 3 23 2

, ,, , , º

por lo que cosϕ=0,92.

Problema 6.9Para una máquina de corriente continua se ha obtenido la siguiente característica demagnetización a 1500rpm:

Vrot/V 10 40 80 135 172 199 220If/A 0 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

La resistencia del campo shunt es de 44Ω y la resistencia de armadura es de 0,035Ω.La máquina posee un devanado serie aditivo, cuyo número de vueltas es igual al 0,5%de las del devanado shunt. Para el funcionamiento como generador con una tensión devacío de 200V determine la tensión en los terminales cuando la corriente de armaduraes de 100A.Si se desconecta el campo serie, ¿cuál será la tensión en los terminales para unacorriente de armadura de 200A , con una tensión de vacío de 200V?

Problema 7.1Un turbogenerador posee los siguientes valores nominales: Pn=30MW, Vn=10500V,In=2350A, cosϕn=0,7, fn=50Hz, nn=3000rpm, ηn=97,8%, Vfn=132V, Ifn=1400A.Experimentalmente se determinó SCR=0,54 y Xσ1=0,18.Dimensiones principales: Dext=1785mm, Dint=840mm, l=1650mm, δ=45mm,Z1=42ranuras.Devanado del estator: bobinas de 2 vueltas con acortamiento 17/21.Devanado del rotor: bobinas concéntricas que cubren 2/3 de la periferia, N2=160vueltas.a) Determine el entrehierro equivalente δ″.b) Determine la tensión fundamental inducida en una fase en vacío cuando la corrientede campo está ajustada a 530A.c) Dibuje el diagrama fasorial a escala (500V/cm, 500A/cm) para las condicionesnominales indicando todas las tensiones y todas las corrientes.d) ¿Cuál es la corriente reactiva máxima que puede entregar la máquina sin excedersus límites térmicos?e) ¿Qué torque debe desarrollar la turbina en condiciones nominales?f) ¿Cuál es el valor de la corriente de cortocircuito estacionaria, si éste se produce apartir de las condiciones nominales?g) Determine la corriente de campo necesaria para que la tensión inducida en vacío seala nominal.h) Determine la corriente de campo necesaria para que la máquina desarrolle unacorriente de cortocircuito igual a la corriente nominal.i) Determine el valor de la corriente de campo para que la máquina, conectada a unared de tensión y frecuencia nominal, entregue corriente nominal con factor de potenciaunitario.


Resolucióna)Análisis preliminarA partir de la razón de cortocircuito, igual al valor recíproco de la reactancia sincrónica,y de la reactancia de dispersión se determina la reactancia correspondiente al campoen el entrehierro y a partir de la expresión analítica para esta se calcula el entrehierroequivalente.Desarrollo

( )X X XG1 1 1 185 01810500

3 23504 31= − = −

⋅=σ , , , Ω

pero ( ) Ωδ ′′

=δ ′′

τµ

πω= 342,04

23 2

11021 dp

G fNp

lX

con 913,0424

cos

42sen7

427sen

f 1d =

π

π

π

=

δ″=0,08m=8cm !b)Análisis preliminarLas inductancias L1G y L1f comparten la misma permeancia y sólo se diferencian en elnúmero de vueltas. El número de vueltas efectivo para el rotor se determinaconsiderando una distribución de fmm trapezoidal, lo que equivale a considerar que qtiende a infinito.Desarrollo

( ) ( )

VI

LV

qq

f

HfNfN

LL

ffp

df

d

dffGf

56842

5300486,0314

2

827.06/2

6/2sen2/

2/sen

0486,0913,028827,0160

014,032

32

11

1111

=⋅⋅=ω=

=π

π=β

β=

=⋅⋅==

c)

d)Análisis preliminarLas máquinas sincrónicas son térmicamente críticas en el rotor, lo que implica que lalimitación está en la corriente de campo, que en régimen permanente no debe superarsu valor nominal.Desarrollo

puoVV maxp 48,2151072

14000486,0314 =⋅⋅=

Suponiendo carga reactiva pura, se tiene que


V V I Xp max − =1 1 1 de donde 180,085,1

148,21 <=−= puI

e)Análisis preliminarLa indicación sobre la potencia nominal siempre se refiere a la potencia útil, por lo queen el caso del generador debe dividirse la potencia por el rendimiento para obtener lapotencia que entra por el eje.Desarrollo

TP

Nmn= = ⋅⋅

=ηω1

630 100 978 314

97690,

f)Análisis preliminarEl valor de Vp se determina del diagrama fasorial para carga nominal, por ejemplo,mediante el teorema del coseno y con él y la reactancia sincrónica se calcula lacorriente de cortocircuito.DesarrolloV V pup p

2 21 185 2 1 185 270 2 66= + − ⋅ ⋅ ⋅ − → =, , cos( ) ,ϕ

A3376pu44,185,166,2

X

VI

1

pcc →===

g)Desarrollo

AIf 5620486,0314

1

3

105002 =

⋅=

h)Análisis preliminarEn cortocircuito la reacción de armadura es desmagnetizante, por lo que se encuentrala corriente de campo sumando gI1 a la corriente magnetizante Im, obtenida paraVi=Xσ1I1n de la característica del entrehierro (sin saturación).Desarrollo

V X I Vi n= = ⋅ =σ1 1 01810500

31091,

IV

Lmi

f

=2

1 1* ω

con HLL ff 0864,0045,008,0

0486,01*1 ==

δδ ′′

=

AIm 9,563140864,0

10912 =⋅

⋅=

El factor de reacción de armadura vale 41,0827,0160913,028

2

3

2

3 11 =⋅⋅==

dff

d

fNfN

g ,

por lo que AgIII mf 1020235041,09,561 =⋅+=+=i)Análisis preliminar


Del diagrama fasorial con factor de potencia unitario se desprende que el triángulo delas tensiones es un triángulo rectángulo, lo que permite determinar Vp mediante elteorema de Pitágoras. Para un grado de saturación dado Vp e If están relacionados porla característica lineal equivalente.Desarrollo

V pup = + =1 185 212, , . Suponiendo, por falta de la característica de magnetización,

que la saturación es igual que en g) se tiene que If=2,10x581=1222A.

Problema 7.2Un motor sincrónico funciona conectado a una red infinita de tensión nominalabsorbiendo una corriente igual al 50% de su corriente nominal. La reactanciasincrónica es de 2pu.a) Al aumentar la corriente de campo en 10% se observó una disminución de lacorriente de armadura. ¿Antes del aumento de la excitación, el motor absorbía corrientereactiva capacitiva o inductiva?b) Determine el valor mínimo de la corriente de armadura alcanzable mediante ajuste dela corriente de campo, si un aumento en 10% de la corriente de campo inicial determinauna disminución de la corriente de armadura a 0,474pu.

Problema 7.3Un generador sincrónico trifásico de 854kVA, 500V, 50Hz, 3000rpm requiere parafuncionamiento en vacío con tensión nominal una corriente de campo de 61A. Encortocircuito produce 1500A con un corriente de campo de 83A,a) Determine la corriente de campo necesaria para que, funcionando conectado a unared infinita de tensión y frecuencia nominal, el generador entregue plena carga confactor de potencia 0,8 inductivo(visto desde el generador).b) Si en las condiciones de funcionamiento del punto a) el momento aplicado al eje sereduce a cero, determine la corriente de armadura en módulo y ángulo.

Problema 7.4Un motor sincrónico trifásico de 1500kW, 4160V, 50Hz, factor de potencia nominal 0,9capacitivo, 16 polos, posee una reactancia sincrónica de 1,15pu. Despreciando lasaturación del circuito magnético, el efecto de las saliencias y las pérdidas determine enqué % debe variarse la corriente de excitación - en relación al valor para funcionamientonominal - si se desea ajustar el factor de potencia a la unidad, sin alterar la potenciaactiva.

Problema 7.5Un turbogenerador trifásico de 70,6MVA, 11,5kV, 50Hz, 3000rpm, factor de potencianominal 0,85, posee las siguientes características de vacío y de carga - con factor depotencia cero y corriente nominal:


VACÍOIf 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0 1,2 1,4 1,6 puVp 0,13 0,23 0,45 0,69 0,87 1,0 1,09 1,15 1,21 puFACTOR DE POTENCIA CERO Y CORRIENTE NOMINALIf 1,2 1,3 1,4 1,6 1,7 1,8 2,0 2,2 2,4 puV1 0,015 0,13 0,25 0,49 0,61 0,69 0,83 0,92 0,99 pu

Corriente de campo base = 350ATensión base = 11500Va) Determine la reactancia de Potierb) Determine la reactancia sincrónica nominalc) Determine la corriente de campo para el punto de funcionamiento nominal.d) Determine el límite de estabilidad estacionario para las condiciones en c).e) Determine el momento de inercia conjunto de generador y turbina, si la frecuencia deoscilación del rotor después de un “rechazo de carga” es de 1,4Hz..

Problema 7.6Un motor sincrónico de 32 polos, 3500kW, 4,16kV, 50Hz, factor de potencia nominal 0,9capacitivo, posee una reactancia sincrónica de 1,25pu.a) Despreciando los efectos del entrehierro irregular, la saturación y las pérdidas,determine para el motor conectado a una red de tensión y frecuencia nominal lapotencia que puede desarrollar con factor de potencia 0,8 , si las corrientes de campo yde armadura no deben exceder sus respectivos valores nominales. (0,73pu)b) Si el motor arranca asincrónicamente y la corriente de campo se conecta cuandola frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor ha disminuido a 2Hz, determine lavelocidad del rotor (en r.p.m.) para el instante en que se conecta la corriente de campo.(180rpm)

Problema 8.1Sea un motor asincrónico trifásico de 225kW, 50Hz, p=8 cuyo rotor está equipado conun devanado trifásico. La resistencia medida entre cada par de anillos rozantes es de0,035Ω. Con los anillos cortocircuitados el deslizamiento a plena carga es de 2,5%. Si elmotor impulsa a un ventilador, cuyo momento en el rango 0,5>s>0 es proporcional alcuadrado de la velocidad, que demanda 225kW a la velocidad nominal del motor, ¿quévalor deben tener las resistencias externas conectadas en serie con las fases del rotorpara que la velocidad se reduzca a 300rpm?ResoluciónAnálisis preliminarDado el tamaño del motor, la resistencia del devanado del estator es despreciable.Como el momento es igual o menor que el momento nominal y el deslizamiento final

s = − ⋅ =3000 8 3003000

0 20, es ,debido a la inclusión de resistencias externas,

presumiblemente mucho menor que el correspondiente deslizamiento para momentomáximo, la característica torque-velocidad puede ser reemplazada por su aproximaciónlineal. La inclusión de las resistencias externas cambia la pendiente de la recta y por lo


tanto el punto de intersección de esta con la característica del ventilador, quecorresponde al nuevo punto de trabajo.Desarrollo

Con el rotor cortocircuitado se tiene que TT

ssM M

1 1

12= , mientras que con resistencias

externas se tiene que TT

ssM M

2 2

22= , por lo que

TT

ss

s

sM

M

1

2

1

2

2

1

= ⋅ , pero sRXM

e

= 2

2

, por lo que

s

s

R

RM

M

2

1

2 2

2 1

= ,

,

, ya que la reactancia permanece constante. En consecuencia

( )R

RTT

ss

nn

ss

2 2

2 1

1

2

2

1

12

22

2

1

23000 8

300

375 300 375

0 02512 5,

,

/ /

,,= ⋅ = ⋅ =

⋅−

= y

R R R Rad2 2 2 2 1 2 1115 1150 035

20 201, , , ,, ,

,,= − = ⋅ = ⋅ = Ω .

Problema 8.2Un motor asincrónico trifásico de 6 polos, 440V, 60Hz está provisto de un rotor condevanado trifásico con el mismo número de vueltas efectivas que el del estator. Losparámetros son R1≈0, Lσ1=3mH, Lσ2=3mH, Lm1=0,1H, R2=0,3Ω. Si el motor estáconectado a una red con tensión y frecuencia nominales, determine:a) El momento de arranque con rotor cortocircuitado (85,6Nm)b) El momento máximo y la velocidad a la que se produce (322Nm)c) La velocidad, si la carga requiere un torque de 2Nm/rad/s.d) ¿Por qué el momento en la partida (s=1) no es igual al momento máximo, si en esascondiciones la corriente absorbida sí es máxima?f) ¿Si el motor es alimentado por el rotor con el devanado del estator cortocircuitado,¿cuál será el sentido de giro del rotor en relación con el del campo giratorio?

Problema 8.3Un motor asincrónico trifásico tiene los siguientes datos: Vn=380V, In=28A, fn=50Hz, 6polos, conexión triángulo, rotor de anillos rozantes conectado en estrella, resistencia porfase del estator=1,1Ω.El ensayo en vacío con tensión nominal arrojó: I0=10,5A, P0=1078W.El ensayo con rotor detenido y corriente nominal arrojó: Vcc=88,7V, Pcc=1470W.Determine:a) Los parámetros del circuito equivalente.b) La velocidad nominal.c) La capacidad de los condensadores que, conectados en triángulo, corrijan el factorde potencia nominal a 0,9.d) El % de aumento de la resistencia por fase del rotor para que la velocidad con carganominal se reduzca a 900rpm.


Problema 8.4Los datos de placa de un motor asincrónico trifásico conectado en triángulo y con rotortipo jaula son: 22kW, 1460rpm, 500V, 50Hz, cosϕ=0,85, rendimiento=89%.Se conoce además I(s=1)=5,6In y T(s=1)=2,2Tn.Determine:a) La corriente de arranque en pu y en A.b) El momento de arranque en pu y Nm.c) La potencia mecánica entregada a una carga que ofrece un momento igual al 25%del momento nominal.d) La frecuencia de las corrientes en rotor para las condiciones de funcionamientonominales.

Problema 8.5Un motor asincrónico trifásico con rotor tipo jaula pesa 636kg y posee los siguientesdatos de placa: 55kW, 985rpm, 108A, Iarr/In=6,3, TM/Tn=2,4, cosϕ=0,84, η=0,95.Suponga que las pérdidas del estator sean despreciables y que la característicamomento-velocidad tenga la forma derivada para el motor con rotor devanado.a) Determine la potencia mecánica, la potencia del campo giratorio y la potenciadisipada en el rotor cuando se invierten dos fases de la alimentación estando el motorfuncionando en vacío. Explique el origen de la potencia mecánica.b) Si la máquina es impulsada a 1020rpm, determine la potencia del campo giratorio, lapotencia eléctrica absorbida de la red, la potencia mecánica y la potencia disipada en elrotor.c) Determine el momento de arranque del motor.

Problema 8.6Una máquina asincrónica trifásica de 22kW, 380V, 50Hz, 12 polos posee un rotorprovisto de un devanado tipo jaula de 44 barras, cada una con una resistencia de0,002Ω. El rotor gira a 508rpm.Las pérdidas en el fierro y las pérdidas rotacionales sean despreciables.

Determine:a) Las pérdidas de cobre en el rotor.b) La velocidad del campo giratorio del rotor respecto al rotor.c) La velocidad del campo giratorio del estator respecto al rotor.d) La potencia del campo giratorio.e) El diagrama de Sankey para este estado de funcionamiento.

Apuntes de Conversi¢n con Ejercicios

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