UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matematica

Introduccion a la MatematicaDiscreta

Apuntes de clase

Realizado por:

Edgard Kenny Venegas Palacios

Lima - Peru2013

Indice general

1. Preparacion 1

1.1. Problemas ligados a la matematica discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Notaciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1. Principio de buena ordenacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.3. Productorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.4. Segundo principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Relaciones de equivalencia y de orden parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.3. Relaciones de orden parcial y total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Conteo 14

2.1. Funciones y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Coeficientes binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

Captulo 1

Preparacion

1.1. Problemas ligados a la matematica discreta

El problema de las 3 casas y los 3 pozos

No hay forma de unir cada una de las casas con cada uno de los

pozos usando caminos que no se cortan entre s. Este problema

tiene solucion en el toro.

Aplicacion: Diseno de circuitos.

Figuras sin levantar el lapiz

Determine si es posible realizar las siguientes figuras sin levantar

el lapiz del papel pasando una sola vez por cada lnea.

1

Problemas de Conteo

De cuantas formas se pueden dividir n monedas iguales en gru-

pos?. Para el caso de n = 5:

1 1 1 1 1

2 1 1 1

2 2 1

3 1 1

3 2

4 1

5

1.2. Notaciones comunes

N : Denota el conjunto de los numeros naturales.

Z : Denota el conjunto de los numeros enteros.

Q : Denota el conjunto de los numeros racionales.

R : Denota el conjunto de los numeros reales.

1.3. Principio de induccion

Sea X N, si se cumplen:(i) 1 X ,

2

(ii) n N n + 1 X ,entonces X = N.

1.3.1. Principio de buena ordenacion

Dado A N, con A 6= , entonces existe n0 A tal que n A : n n0.

Prueba del principio de induccion usando el principio de buena ordenacion

Sea X N que cumle las propiedades (i) y (ii). Procedamos porcontradiccion:

Supongamos que X 6= N, siendo as A = N \X 6= , de donde Aposee un menor elemento n0.

De (i): 1 / A, luego n0 > 1, entonces n0 1 / A, lo cual implicaque n0 1 X .

De (ii): n0 = (n0 1) + 1 X , se tiene que n0 / A, lo cual esaburdo, por lo tanto X = N.

Prueba del principio de buena ordenacion usando el principio de induccion

Sea A N con A 6= . Si 1 A no hay nada que probar.Supongamos que 1 / A.

Sea X = {n N : [1, n] N N \ A}. Debido a que 1 / A,tenemos que 1 X .

3

Observe que X 6= N pues N \A 6= N, entonces existe n0 X talque n0 + 1 / X . Luego:

[1, n0] N N \ A ()Como [1, n0 + 1] N * N \ A, se tiene que n0 + 1 A.

Si n A, entonces de (): n > n0 (n n0 + 1). Luego n0 + 1 esel menor elemento de A.

1.3.2. Sumatorias

Si a1, a2, . . . , an R con n N, se definenk=1

ak = a1 + a2 + + an.

De manera inductiva: Sn =

nk=1

ak se define por

S1 = a1 y Sn = Sn1 + an, n > 1.

1.3.3. Productorias

Si a1, a2, . . . , an R con n N, se definenk=1

ak = a1.a2. .an.

De manera inductiva: Pn =

nk=1

ak se define por

P1 = a1 y Pn = Pn1.an, n > 1.

Ejemplo 1.1 Veamos algunas propiedades de sumatorias y

productorias:

4

nk=1

ak+1ak

=an+1a1

.

ln

(nk=1

ak

)=

nk=1

(ln ak).

e

nk=1

ak

=

nk=1

eak.

Ejemplo 1.2

2 es irracional

Prueba: Supongamos que

2 es racional; esto es, supongamos

que existen numeros naturales r, s tales que

2 = rs. Entonces

S = {k N : k = n

2 para algun n N}es un conjunto no vaco de numeros naturales (en particular,

s

2 = r, luego r S).Por el principio del buen orden, existe x S que es el menor deelemento de S. Sea y N tal que x = y2.Ahora y(

21) = xy es un numero natural menor que y (puesto

que 0 0}; determine laverdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

1. Si R S A A y S es reflexiva y transitiva, entoncesR S.

2. Si R es transitiva, entonces R+ es transitiva.

Prueba:

1. Verdad:

Sea (a, b) R, luego existe n 0 tal que (a, b) Rn.Probemos por induccion que Rn S:

10

a) Para n = 0: R0 = id S pues S es reflexiva.b) Sea n > 0 tal que Rn S, veamos que Rn+1 S:

Sea (a, b) Rn+1, luego existe c A tal que (a, c) Rny (c, b) R. Como R S y S es transitiva, entonces(a, b) S.

2. Verdad:

Por induccion se puede probar que Rn es transitiva para todo

n > 0 usando el hecho de que R es transitiva.

Sean (a, b); (b, c) R+, luego existen m,n > 0 tales que(a, b) Rm y (b, c) Rn. Probemos por induccion (sobre ncon m fijo) para probar que (a, c) R+:a) Para n = 1: (a, c) R+ pues Rn+1 = RnR es transitiva.b) Sea n > 0 tal que (a, c) R+ para todo (a, b) Rm y

(b, c) Rn, veamos que (a, c) R+ para todo (a, b) Rmy (b, c) Rn+1:Sea d A tal que (b, d) Rn y (d, c) R, luego porhipotesis inductiva tenemos que (a, d) R+, entonces exis-te k > 0 tal que (a, d) Rk y por el item anterior, comoRk+1 es transitiva, entonces (a, c) Rk+1 R+.

1.4.3. Relaciones de orden parcial y total

Definicion 1.9 Una relacion R en X que es reflexiva, anti-simetrica y transitiva se denomina relacion de orden parcial.

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Notacion: xRy, x y.

Ejemplo 1.9 La relacion en R es una relacion de ordenparcial.

Observacion 1.3 La relacion < en R no es una relacion de

orden parcial (no es reflexiva).

Definicion 1.10 Dada la relacion en X se define

a b si, y solo si, a b a 6= b.

Definicion 1.11 Una relacion de orden parcial en Xsera una relacion total si, y solo si, para todo x, y X setiene x y o y x.

Ejemplo 1.10 En N definimos la relacion a b si, y solo si,a|b ( k N / b = ka), entonces dicha relacion es de ordenparcial.

Definicion 1.12 Diremos que un conjunto X es parcialmente

ordenado si, y solo si, existe una relacion de orden parcial en

X.

Ejemplo 1.11 Ordene el conjunto {1, . . . , 10} N mediantela relacion de divisibilidad. Use el diagrama de Hasse.

Ejemplo 1.12 El conjunto 2X := {A : A X} es parcial-mente ordenado por la relacion de inclusion.

Ejemplo 1.13 Ordene los subconjuntos

; {1}; {3}; {1, 3}; {1, 2, 4}; {1, 2, 3, 4} por inclusion. Use eldiagrama de Hasse.

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Definicion 1.13 Sea X un conjunto y una relacion de or-den parcial en X, decimos que x X es el predecesor inme-diato de y X si, y solo si,

x yNo existe z X tal que x z y

Proposicion 1.2 Sea C la relacion de predecesor inmediatoen X el cual es finito, entonces para x si, y solo si, existenx1, . . . , xk X tales que x C x1 C x2 C C xk C y o bienxC y (k = 0).

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Captulo 2

Conteo

2.1. Funciones y subconjuntos

Definicion 2.1 Una funcion (aplicacion) de X en Y es una

relacion f X Y tal que ( x X, y Y ; (x, y) f ) y( x, y, z X ; (x, y) f (x, z) f y = z).Proposicion 2.1 Sea N un conjunto de n elementos (si N =

entonces n = 0) y sea M un conjunto de m elementos (m 1). Entonces el numero de aplicaciones f : N M es mn.Observacion 2.1 Sea N = {a1, . . . , an}, entonces f : N Mes tal que {f (a1), . . . , f (an)} M , luego debe existir {f :N M} MN tal que es una biyeccion.Observacion 2.2 MN {f : N M} donde f es una apli-cacion.

Ejemplo 2.1 {0; 1}N {f : N {0; 1}}.Notacion: P (X) = {A;A X} es el conjunto potencia de X .Definicion 2.2 Dado X 6= se define la funcion caractersti-ca

: P (X) {0, 1}XA 7 (A) = A

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donde A(x) :=

{1, x A0, x / A

Proposicion 2.2 Dados A,B X:X\A = 1 AAB = A.B

Proposicion 2.3 La funcion caracterstica es una biyec-

cion.

Notacion: ]X denota el numero de elementos de X .

Proposicion 2.4 Todo conjunto de n elementos tiene exacta-

mente 2n subconjuntos

Proposicion 2.5 Dados numeros enteros n,m 0, n m,existen exactamente m(m 1) (m n + 1) =

n1i=0

(m i)funciones inyectivas de un conjunto de n elementos en un con-

junto de m elementos.

Que ocurre en la proposicion anterior si n > m?

Teorema 2.1 (Principio de las gavetas) Sean N,M con-

juntos de n y m elementos respectivamente tal que n > m.

Para toda funcion f : N M existen x, y N , x 6= y, conf (x) = f (y). (No hay funcion inyectiva de N en M).

Observacion 2.3 Elegir una funcion inyectiva f : N Mcorresponde a elegir una n-upla (de n elementos) de un con-

junto de m elementos, en la que el orden de eleccion es impor-

tante.

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2.2. Permutaciones

Definicion 2.3 Una funcion biyectiva de un conjunto en

s mismo es llamada permutacion sobre el conjunto.

Ejemplo 2.2 Sea X = {a, b, c, d} ordenado de cierta manera.Sea P : X X tal que P (a) = b, P (b) = c, P (c) = c yP (d) = a, entonces P es una permutacion sobre X.

Teorema 2.2 Sean X finito y f : X X, las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(i) f es inyectiva

(ii) f es sobreyectiva

(iii) f es biyectiva

2.3. Coeficientes binomiales

Definicion 2.4 Sean n, k enteros con n k 0. El coefi-ciente binormal se define por(

n

k

)=n(n 1)(n 2) (n k + 1)

k(k 1) 2 1 =n!

k!(n k)!

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