Apunte de Teoría de Conjunto

Universidad del Bio Bio

Depto Ciencias Bsicas

Jorge Campos Parra

TEORIA INTUITIVA DE CONJUNTOS

CONJUNTO Idea primaria que sugiere una coleccin, clase o agrupacin de objetos o

entes llamados elementos del conjunto. Si se identifica un conjunto y un elemento, este

ltimo pude pertenecer o no pertenecer al conjunto.

Frecuentemente usaremos letras maysculas para nominar un conjunto y letras

minsculas, para los elementos. La situacin anterior se puede simbolizar de la

siguiente manera:

A = conjunto

n = elemento

n A, significa que el elemento n pertenece al conjunto A.

n A, significa que n no pertenece al conjunto A.

2.1 FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

Conjuntos con pocos elementos, o aquellos que tienen una ley de formacin

fcilmente identificable, pueden definirse nombrando sus elementos. Diremos que el

conjunto est definido por Extensin.

Ejemplos:

A = {a, e, i, o, u}

B = {0, 2, 4, 6, 8}

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Si es fcil determinar una propiedad comn a todos los elementos de un conjunto

y solo de ellos, entonces el conjunto puede definirse en forma genrica, sealando tal

propiedad. Se dice que el conjunto queda definido por Comprensin

Ejemplos:

A = {x / x es una vocal del alfabeto espaol}

B = {x / x = 2n, n N}

C = {x / x = 2n+1, n N}

Un conjunto cuyos elementos se pueden terminar de contar, es un conjunto Finito En caso contrario se dice que es Infinito.

Ejemplos:

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ..............} es infinito

B = {x / x N, 1 x 5} es finito.



Jorge Campos Parra

2.2 CARDINALIDAD

Es el nmero de elementos que posee un conjunto, la cardinalidad del conjunto

A, la anotaremos por # A o n (A).

La cardinalidad de un conjunto es siempre # A 0, de acuerdo a su cardinalidad los conjuntos se clasifican en tres tipos:

1) Conjuntos Finitos: Son aquellos que tienen un nmero positivo y enumerable de

elementos. Ejemplo A= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

2) Conjuntos Infinitos: Son aquellos que tienen que tienen un nmero positivo no

enumerable de elementos, es decir sus elementos no se pueden contar.

3) Conjunto Vaco: Puede suceder que al identificar los

elementos que satisfacen una cierta propiedad, estos elementos no existan. En esta caso

diremos que este conjunto es Vaco y se anota .

Ejemplo:

P = {x R/ x2 + 1 = 0}

El conjunto P no tiene elementos, pues no existe ningn nmero real cuyo

cuadrado sea 1.

2.3 CONJUNTO UNIVERSO

Si se esta trabajando con conjuntos cuyos elementos son letras del alfabeto

espaol, entonces el conjunto que tiene todos los elementos se llama Universo y se

denota por .

= {x / x es una letra del alfabeto espaol} M = {x / x es una letra de la palabra LGEBRA} = {A, B, E, G, L, R}

N = {x / x es una vocal de la palabra concepcin} = {e, i, o}

Observacin: Un conjunto no cambia si sus elementos cambian de orden o se repiten.

2.4 RELACIN DE INCLUSIN (Ser subconjunto de).

Definicin

Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A est Incluido en B o que A es un

Subconjunto de B si x, x A x B

Lo anterior se denota A B

Evidentemente A A, A. Se puede demostrar adems que

A, A, diremos que los conjuntos A y , son los Subconjuntos Triviales del conjunto A. Entonces, todo conjunto no vaco, tiene al menos, dos subconjuntos.



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Ejemplos:

A = {0, 1, 2, 3, 5} B = {0, 1, 3}

C = {3}

D = {0, 2, 4}

Se cumple que B A, C A, C B, A A, A, C, etc. Cuntos conjuntos pueden obtenerse de un conjunto de n elementos?.

Un anlisis simple, permite deducir que 2n es el nmero de subconjuntos que

tiene un conjunto de cardinalidad n.

Ejemplo:

1) A = {a} y A, A tiene dos subconjuntos ( 21 = 2)

2) B = {a, b} , {a}, {b}, {a, b}, B tiene 4 subconjuntos ( 22 = 4)

3) C = {a, b, c} , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} C tiene 8 subconjuntos (2

3 = 8).

2.4.1 Conjunto Potencia

Conjunto potencia, es el conjunto que contiene como elementos, a todos los

subconjuntos de un conjunto. Se llama tambin Conjunto de las Partes de un Conjunto.

Si A es un conjunto, el conjunto potencia de A se denota (A).

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} entonces el conjunto potencia de A es:

(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Ntese que los elementos del conjunto de las partes de un conjunto, son a la vez,

conjuntos, de aqu que conjunto y elemento son trminos primarios no definidos.

2.4.2 IGUALDAD DE CONJUNTOS

En general, se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos

elementos. Esto se expresa en smbolos de la siguiente manera:

A = B A B B A

2.5 OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos de un universo . Se definen las siguientes operaciones entre A y B:

a) Unin o Reunin de Conjuntos ( )

A B = {x / x A x B}



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b) Interseccin de Conjuntos ( )

A B = {x / x A x B}

c) Diferencia o Complemento Relativo

A B = {x / x A x B}

d) Complemento Absoluto

A = {x / x A} = Ac

Observacin: Las definiciones a), b) y c), son vlidas si los conjuntos son

subconjuntos de distintos universos.

Ejemplo 1: A = {2, 3, 5, 7} B = {1, 3, 5, 8, 9}

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A B = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9} A B = {3, 5}

A - B = {2, 7} B - A = {1, 8, 9}

Ac = {0, 1, 4, 6, 8, 9} B

c = {0, 2, 4, 6, 7}

Ejemplo 2: A = {2, 3, 7} B = {a, e, i}

A B = {2, 3, 7, a, e, i} A B =

A - B = {2, 3, 7} B - A = {a, e, i}

Definicin: Dos conjuntos A y B tales que A B = , se dicen Disjuntos.

2.6 LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

Sean A, B, C tres conjuntos y sea el conjunto universal.

Leyes Conmutativas

A B = B A A B = B A



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Leyes Asociativas

(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

Leyes de identidad y absorcin

A = A A = A

A = A =

Ley distributiva de la unin respecto a la interseccin

A (B C) = (A B) (A C)

Ley distributiva de la interseccin respecto a la unin

A (B C) = (A B) (A C)

Leyes Idempotentes

A A = A A A = A

Ley involutiva

(AC)C = A

Leyes del Complementario

A AC = A AC =

C = C =

Leyes de De Morgan

(A B)C = AC BC (A B)C = AC BC

Observacin:

Muchas veces es necesario calcular la interseccin

(o la unin) de tres o ms conjuntos, por ejemplo si A1, A2, A3, . . .,An es una sucesin

de conjuntos, podemos usar la propiedad asociativa y calcular la interseccin de ellos

tomndolos dos a dos en las expresiones:

A1 A2 A3 . . . An = i

n

1i

A

A1 A2 A3 . . . An = i

n

1i

A



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2.7 EL METODO DE LA DOBLE INCLUSIN

Para probar que dos conjuntos son iguales se usa el mtodo de la doble inclusin, que se

basa en el hecho que A B B A A = B,

a) (A B)C = AC BC b) (A B)C = AC BC

c) A (B C) = (A B) (B C) d) A B = A BC

Demostracin de a) Se debe probar que:

i) (A B)C Ac BC ii) AC BC (A B)C

En efecto,

Sea x (A B)C x (A B)

x A x B

x AC x BC

x (AC BC) (Esto demuestra i)

Sea x (AC BC) x AC x BC

x A x B x (A B)

x (A B)C (Esto demuestra ii)

De i) y ii) se demuestra la igualdad entre estos conjuntos.

Observacin: Si la justificacin de cada paso se hace a travs de una definicin, se

coloca y se demuestra de una sola vez las dos inclusiones, como en ejemplo siguiente:

Demostracin de d) Se debe probar que A B = A Bc

x (A B) x A x B x A x Bc x (A Bc)

Si lo anterior se lee de izquierda a derecha, se ha probado que:

A B A Bc Si lo anterior se lee de derecha a izquierda, se ha probado que:

A Bc A B Las dos inclusiones prueban la igualdad.

La demostracin de las otras igualdades queda como ejercicio.



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2.8 EL PRODUCTO CARTESIANO.

Definicin: Sean A y B dos conjuntos no vacos. Se define el Producto Cartesiano entre

A y B (en ese orden) como el conjunto:

AxB ={ (a, b)/ a A b B}

Observacin: Ntese que los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos, son

parejas de elementos, las que por tener un orden se llaman Pares Ordenados

Ejemplo: A = {0, 1, 3} B = {a, b, c, d}

AxB = {(0,a), (0,b), (0,c), (0,d), (1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)}

BxA = {(a,0), (a,1), (a,3), (b,0), (b,1), (b,3), (c,0), (c,1), (c,3), (d,0),

(d,1), (d,3)}

Observacin:

Del ejemplo se desprende que el Producto Cartesiano no es Conmutativo, es decir:

AxB BxA

Ntese que si las cardinalidades de A y B son, respectivamente y , entonces, la cardinalidad de AxB es .

Ejemplo: A = {1, 3, 5} B = {2, 4}

AxB = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}

Card (A) = 3, Card (B) = 2, Card(AxB) = 6



Jorge Campos Parra

GUA EJERCICIOS (Parte 1)

1. Indica si la s siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificar las falsas.

a) Si A = {1, 3, 4, 7, 11} y B = { 2, 3, 5, 8, 13} entonces A B = {3}

b) Si A = {1, 3, 5, 7} y B = { 2, 3, 5, 8} entonces A B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}

c) Si A = {1, 3, 5, 7} y B = { 2, 3, 5, 8} entonces A B = {1, 7}

d) Si A = {a, e, i ,o , u} y B = {a, b, c, d} entonces A B = {a} e) Si U={1, 2, 3, . . ., 10} y A ={2, 4, 8, 9}, entonces AC ={1, 3, 4, 5,6,7}

f) A (A B), para todo par de conjuntos A, B.

g) B (A B), para todo par de conjuntos A, B.

h) (A B) (A B), para todo par de conjuntos A, B.

i) Si A B, entonces A B = A.

j) Si A B, entonces A B = A.

k) A B = A = B

l) A B = B A

m) A (B C) = (A B) (A C)

n) Si x A, entonces x A B, para todo conjunto A, B no vacos. o) Si x A, entonces x A B, para todo conjunto A, B no vacos. p) Si x (A B) entonces x A y x B.

q) Si x (A B) entonces x A o x B.

r) Si # A = 4 y # B = 3, entonces # (A B) = 3

s) Si # A = 4 y # B = 3, entonces # (A B) = 7

t) Si A B = , y # A = 4 , # B = 3, entonces # (A B) = 7.

u) # A = 10 # P (A) = 1024

v) # P() = 1 (el conjunto vaco tiene un subconjunto).

w) Si A B = B, entonces A B = A

x) Si A - B = A, entonces A B =

2. Suponga dados los conjuntos A, B, C no vacos; use diagramas de Venn Euler para ilustrar los resultados obtenidos al efectuar las operaciones indicadas en las expresiones dadas.

a) A (B C) b) A (B C) c) A (BC) d) (A B)C

e) (A B) (A C) f) AC BC g) (A CC )C h) (A B)C

3. Suponga U = { a, b, c, d, e, f, g, h, i}, A = {a, b, c, d, e}, B ={d, e, f, g, h}, C ={ e, f, g, h, i}, D ={ a, c, e, g , i}, E = {b, d, f, h}, F={a, e, i}, y determine lo que se

indica.

a) A B b) A B c) C D d) E F e) A C

f) C D g) E F h) AC i) BC j) B A

k) EC FC l l) A ( B C) m) A B = (A B) (A B)

n) (A B) (B A) o) (A E)C p) (A D) E

q) (A B) (A C) r) (A B)C - (A E)C s) (E D) (E F)C



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4. Escribe por extensin los conjuntos siguientes.

A = { x N/ -3 x 7 }

B = { x No/ -3 x 7}

C = {x Z / -3 x 7}

5. Considera los tres conjuntos del ejercicio 4, determina: a) La cardinalidad de cada uno de ellos.

b) Es cierto que A B C? Justificar

c) Es cierto que C (A B) = C (A B) ? Justificar

d) Hallar A B C.

6. Si sabemos que un conjunto G es subconjunto de un conjunto A no vaco, determina la veracidad de los enunciados dados.

a) A G = G b) G A = A c) (G - A) A

d) (G A) G e) A G = G A f) (A G)A = A G

7. Considere los conjuntos A1 ={2, 3, 5} , A2 ={1, 4}, A3 ={1, 2, 3}, A4 ={1, 3, 5, 7}, A5 ={3, 5, 8}, A6 ={1, 7}, U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y determine lo que

se indica.

a) i

6

1i

A

b) AC

i

5

1i

c) i

6

1i

A

d) )AA( 1ii

4

2i

e) P

3

2i

iA

8. Al interrogar una delegacin deportiva formada por 250 atletas sobre su aficin respecto al teatro, la danza o la poesa, se encontr que 125 prefieren el teatro,

180 prefieren la danza, 65 la poesa, 100 teatro y danza, 25 teatro y poesa, 40

danza y poesa y 20 tenan las tres preferencias. Determine cuntos de estos

250 atletas tienen:

a) Al menos una de estas tres preferencias. b) Ninguna de estas tres preferencias. c) Slo una de estas tres preferencias. d) Cuando mucho una de estas tres preferencias. e) Exactamente dos de estas preferencias.

9. En un grupo de 150 personas, 45 nadan, 40 montan en bicicleta y 50 corren.

Se sabe que 20 personas nadan y montan en bicicleta, 5 slo corren y montan en

bicicleta, que 32 corren pero no montan en bicicleta ni nadan y 10 personas

realizan las tres actividades.

a) Cuntas personas montan en bicicleta pero no nadan ni corren? b) Si 21 personas corren y nadan, cuntas no realizan ninguna de las tres

actividades?



Jorge Campos Parra

Teora de Conjuntos (parte 2)

1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Explique

a) f) {} k) {a,b} {a,b, {a,b} }

b) g) {} {} l) {a,b} { a,b, {{ a,b }} }

c) {} h) {} {} n) {a, } {a, {a, } }

d) {} i) {a,b} {a,b,c, {a,b,c} } m) {a, } {a,{a, }}

e) {} j) {a,b} {a,b,c, {a,b,c} }

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones acerca de conjuntos arbitrarios A, B

y C son verdaderas. Justifique la respuesta.

a) Si A B y B C, entonces A C

b) Si A B y B C, entonces A C

c) Si A B y B C, entonces A C

d) Si A B y B C, entonces A C

3. Sean (AC) (BC) y (ACc) (BCc), demostrar que AB.

4. Que se puede decir de los conjuntos P y Q ?

a) PQ = P PQ

b) PQ = P QP

d) PQ = PQ P = Q

5. a) Sean AB y CD. Siempre sucede que (AC) (BD)?

b) Sean AB y CD. Siempre sucede que (AC)(BD)?

6. a) Puesto que (A B)=(A C), es necesario que B = C?

b) Puesto que (A B)=(A C), es necesario que B = C?

7. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Demostrar:

a) (AB)C = A(B C) b) (AB)C = (AC)B c) (AB)C = (AC)(B C)



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8. Sea A = {} Sea B = P(P(A)). Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas

o falsas.

a) B b) B

c) {} B d) {} B

e) {{}} B f) {{}} B

9. Verdadero o falso?

a) A P(A) = P(A)

b) A P(A) = A

c) {A} P(A) = P(A)

d) {A} P(A) = A e) AP(A) = A

f) P(A){A} = P(A)

11. Sea A y B conjuntos arbitrarios.

a) Demostrar P(A B)= P(A) P(B), o mostrar contraejemplo

b) Demostrar P(A B)= P(A) P(B), o mostrar contraejemplo

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