AP.T4.1 MPyC.tema4.Viscoelasticidad.propiedadesMecanicas

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ASIGNATURA: MATERIALES POLIMÉRICOS Y COMPUESTOS.

Tema 4.- VISCOELASTICIDAD Y PROPIEDADES MECÁNICAS

ÍNDICE

1.- Introducción.

2.- Fluencia y recuperación. Complianza de fluencia.

3.- Relajación de tensiones. Módulo de relajación viscoelástico.

4.- Modelización del comportamiento viscoelástico.

4.1.- Introducción.

4.2.- Modelo del émbolo.

4.3.- Sólido elástico. Modelo del resorte.

4.4.- Modelo de Maxwell.

4.5.- Anelasticidad: Modelo de Kelvin Voigt.

4.6.- Modelo de Zener o del sólido lineal estándar.

4.7.- Modelo de los cuatro elementos (Modelo de Burgers).

5.- Modelización de materiales reales. Modelos de elementos múltiples.

6.- Comportamiento de los polímeros a tensiones variables.

7.- Carga intermitente. Principio de superposición de Boltzmann.

8.- Carga dinámica.

9.- Naturaleza general de la fluencia en los polímeros.

10.- Estrechamiento o estricción y estirado en frío.

11.- Revisión de los criterios de fluencia.

11.1- Introducción.

11.2.- Criterio de la tensión tangencial máxima de Tresca.

11.3.- Criterio de la energía de distorsión de Von Mises.

11.4.- Teoría de Mohr.

12.- Criterios de fluencia para los polímeros.

13.- Resquebrajamiento de polímeros “Crazing”.

14.- Fractura en los polímeros.


14.2.- Transición frágil – dúctil.

14.3.- Sensibilidad de muesca (notch).

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15.- Diseño basado en la mecánica de la fractura.

15.1.-Modos de propagación de fisuras.

15.3.- Aproximación energética a la fractura.

15.4.- Factor de intensidad de tensiones.

15.5.- Factor de intensidad de tensión crítico. Tenacidad de fractura.

15.6.- Diseño para resistencia.

15.6.1.- Introducción.

15.6.2.- Carga constante o estática.

15.6.3.- Carga ciclica.

15.7.- Procedimiento de cálculo de diseño .

15.8.- Comportamiento general de los plásticos en fractura.

15.9.- Fallo por fluencia de los materiales plásticos.

15.10.- Fatiga de los plásticos.


15.10.2- Efecto de la frecuencia cíclica.

15.10.3.- Efecto de la forma de la onda

15.10.4.- Efecto del modo de control del ensayo.

15.10.5.- Efecto de la tensión media.

15.10.6.- Efecto del sistema de tensión.

15.11.- Comportamiento de los plásticos ante impacto.


15.11.2.- Efecto de la concentración de tensión.

15.11.3.- Efecto de la temperatura.

15.11.4.- Factores mixtos que afectan al impacto.

15.11.5.- Ensayos de resistencia al impacto.

16.- Rigidez de polímeros. Método del diseño pseudo-elástico.


16.2.- Ensayos de plásticos a corto plazo.

16.3.- Ensayos de plásticos a largo plazo.

16.4.- Método de diseño pseudo - elástico.

16.5.- Datos de fluencia.

16.6.- Tensiones y deformaciones térmicas.

17.- Mejora de la rigidez.


17.2.- Paneles sándwich.

17.3.- Estructuras con rebordes.

18.- Diseño de ajustes encajados a presión.

19.- Mecanismos de aumento de la rigidez en otras situaciones de conformado.

20.- Pseudo-módulos de elasticidad.

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1.- Introducción.

Al considerar los plásticos como materiales para el diseño de cualquier artículo debe conocerse el

comportamiento de los mismos frente a los diferentes agentes externos (acciones mecánicas, temperatura,

tiempo. etc.). Así, el estudio de las propiedades mecánicas es imprescindible cuando estos materiales se

utilizan como elementos estructurales. Se trata de conocer si un determinado tipo de polímero es lo

suficientemente resistente para un empleo particular o si es lo suficientemente tenaz para aguantar

determinados golpes sin romperse. Por otro lado, es conveniente saber las causas que hacen a un polímero ser

frágil, a otro tenaz, mientras un tercero se comporta como un elastómero, así como la relación existente entre

este comportamiento mecánico y sus estructuras.

En los polímeros, más que en otro tipo de materiales, la temperatura y el tiempo presentan un papel

fundamental que influyen de manera notable en sus propiedades mecánicas. En este capítulo se estudia el

efecto de dichos factores en las propiedades de los polímeros, discutiendo la influencia de la propia estructura

del material en el resultado final.

Los polímeros, como grupo de materiales, resultan muy difíci1es de clasificar desde el punto de vista de su

comportamiento mecánico. Sus propiedades mecánicas difieren mucho de unas familias a otras y además están

enormemente influenciadas por las condiciones de ejecución de los ensayos: velocidad de aplicación de la

carga (velocidad de deformación), temperatura, magnitud de la deformación impuesta, naturaleza química del

medio (presencia de agua, oxígeno, disolventes orgánicos, etc).

Carswell y Nason (Figura 1.1) clasificaron los polímeros en 5 categorías. La clase (a) incluye polímeros

blandos y débiles, entre ellos el poliisobutileno, que se caracterizan por un bajo módulo de elasticidad, un bajo

punto de fluencia y un moderado alargamiento en función del tiempo. El módulo de Poisson, es decir, la

relación entre contracción y alargamiento, para polímeros de clase (a) es de 0.5, que es parecido al de los

líquidos.

Por otro lado, el módulo de Poisson de los polímeros duros y frágiles de la clase (b), como puede ser el

poliestireno, se acerca a 0.3. Los polímeros de clase (b) se caracterizan por un módulo de elasticidad alto, un

punto de fluencia poco definido y una deformación pequeña antes de la rotura. Los polímeros de clase (c),

como el PVC plastificado, tienen un bajo módulo de elasticidad, gran alargamiento, un módulo de Poisson de

alrededor de 0.5-0.6 y un punto de fluencia bien definido. Puesto que los polímeros de clase (c) se alargan

después del punto de fluencia, el área bajo la curva de esfuerzo-deformación que representa la tenacidad será

mayor que para la clase (b). El PVC rígido es un exponente de los polímeros duros y resistentes de la clase (d).

Estos polímeros tienen un alto módulo de elasticidad y una alta resistencia a la fluencia. La curva para los

polímeros duros y tenaces de clase (e), como por ejemplo los copolímeros ABS, experimentan un

alargamiento moderado antes del punto de fluencia seguido de una deformación irreversible.

En general, el comportamiento de todas las clases es hookeano antes del punto de fluencia. La deformación

recuperable reversible antes del punto de fluencia, en el intervalo llamado elástico, es fundamentalmente el

resultado de la flexión y alargamiento de los enlaces covalentes de la cadena principal del polímero. Esta parte

útil de la curva de esfuerzos - deformaciones puede también comprender el desenrollamiento recuperable de

algunas cadenas del polímero. Después del punto de fluencia, el mecanismo predominante es el deslizamiento

irreversible de las cadenas de polímero.

En la figura 1.2 se muestran los mecanismos de deformación de los materiales poliméricos, los cuales se

pueden clasificar en tres grupos: estiramiento de enlaces, alineación de cadenas y deslizamiento de cadenas.

Dichos mecanismos en las estructuras poliméricas determinan el tipo de deformación: elástica y/o plástica.

Según los mecanismos que se puedan activar, las deformaciones serán preferentemente de tipo elástico,

plástico o combinadas. Así los polímeros lineales presentarán deformaciones elásticas y plásticas (en mayor

extensión la plástica), los reticulares (red tridimensional de enlaces covalentes altamente tupida) elásticas (de

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baja magnitud) y los entrecruzados elásticas (de alta magnitud) (Figura 1.3)

Figura 1.1.- Curvas tensión-deformación típicas de los polímeros.

Figura 1.2.- Mecanismos de deformación de los materiales poliméricos.

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Figura 1.3.- Mecanismos de deformación que se activan en los distintos tipo de materiales poliméricos.

Valores elevados del módulo de Young indican que el material es rígido, resistente al alargamiento y estirado.

Muchos polímeros sintéticos tienen su módulo de Young comprendido en el intervalo general alrededor de

105 psi (689.7 MPa ), el cuarzo fundido tiene un módulo de Young de 10

6 ( 6896.6 MPa), la fundición de

hierro, el wolframio y el cobre tienen valores del orden de 107 (68965.5 MPa) y el diamante de alrededor de

108 (689655.2 MPa ).

Dado que estas propiedades dependen del tiempo, los polímeros de clase (a) pueden comportarse como los de

clase (d) si se aplican los esfuerzos rápidamente, y viceversa (Figura 1.4). Estas propiedades también

dependen de la temperatura; así, las propiedades de los polímeros de clase (c) se parecerán a las de los

polímeros de clase (b) cuando disminuye la temperatura, como se puede apreciar en la figura 1.5, que nos

muestra el efecto de la temperatura sobre las curvas tensión – deformación del PMMA (Polimetacrilato de

metilo). Se ve que al disminuir la temperatura aumenta el módulo de elasticidad y la tensión de fractura y

disminuye el alargamiento (% EL).

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Polymers: Viscoelasticity

• Dependency of stress-strain behavior on time

and loading rate

• Due to mobility of chains with each other

• Crosslinking may affect viscoelastic response

Str

ess

Strain

increasing loading

rate

Figura 1.4.- Efecto de la velocidad de aplicación de la carga en el comportamiento mecánico de un polímero.

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Figura 1.5.- Curvas tensión – deformación del PMMA. Efecto de la temperatura.

Bingham, que algunos han llamado el padre de la reología moderna, denominó reología a la rama de la ciencia

que se dedica al estudio de la deformación y el flujo de los materiales. El prefijo rheo viene de la palabra

griega rheos, que significa corriente o flujo. El estudio de la reología incluye dos ramas de la mecánica muy

distintas denominadas mecánica de los sólidos y mecánica de los fluidos. El técnico dedicado a los polímeros

trata normalmente con materiales viscoelásticos que se comportan como sólidos y como fluidos, exhibiendo

propiedades características de ambos.

Los materiales pueden ser clasificados reológicamente con respecto a su comportamiento esfuerzo cortante

(η)-deformación de cizalladura en cizalladura simple (γ). Se han desarrollado diversas expresiones

relacionando el esfuerzo cortante y la deformación por cizalladura, que son características de ciertas clases de

materiales. Tales expresiones representan "modelos" idealizados que definen a dichos materiales, pero no

garantizan la reproducción exacta del comportamiento de los materiales reales. Muchos de ellos, sin embargo,

dan una representación bastante adecuada del comportamiento de flujo o deformación de un gran número de

materiales en muchas aplicaciones prácticas. Una porción del espectro de clasificación total se muestra en la

tabla 1.1. Clases adicionales pueden ser añadidas en las categorías de sólidos y fluidos.

Tabla 1.1.- Clasificación de los materiales con respecto a su comportamiento esfuerzo cortante-deformación

de cizalladura.

Sólido rígido (Euclides), γ = 0

Sólido elástico lineal (Hooke), η = Gγ , (G = Módulo de cizalladura = Cte.)

SOLIDOS

Sólido elástico no lineal, η= G(t)γ

Viscoelástico ηϕγ

(

= Velocidad de deformación de cizalladura).

Fluido viscoso no lineal (no newtoniano), η = η(t)γ (η= Viscosidad)

FLUIDOS Fluido viscoso lineal (newtoniano), η = ηγ (η= Cte.)

Fluido no viscoso (Pascal), η = 0

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Mientras muchos materiales pueden ser clasificados como sólidos o fluidos, hay muchos otros en la región

media del espectro que no son ni sólidos ni líquidos, sino que tienen ciertas propiedades características de

ambos. Son estos materiales los que presentan un gran interés para los reólogos. Además, es difícil formular

una definición adecuada de líquidos y sólidos que diferencien dichos materiales.

En general, un fluido experimenta una deformación continua sin ruptura cuando está sometido a un esfuerzo

anisotrópico constante, mientras que un sólido asumirá una configuración de equilibrio estático bajo tales

condiciones. Sin embargo, este tipo de comportamiento es relativo, y depende del tiempo característico

requerido por el material para responder a un cambio en esfuerzo o deformación en comparación con la escala

de tiempo de observación, así como de la magnitud del esfuerzo o deformación.

Para un fluido viscoso puro, los esfuerzos cortantes internos desarrollados dentro del material son función

únicamente del material y de la velocidad de deformación de cizalladura instantánea (

), η = f(

). Esto

implica que, inmediatamente después del cese de cualquier movimiento relativo (

= 0), el esfuerzo cortante

cae instantáneamente a cero. Esto es, la respuesta del esfuerzo cortante a cambios en la velocidad de

cizalladura (y viceversa) es instantánea, si se desprecian los efectos inerciales.

La ocurrencia de propiedades viscoelásticas en un material depende en gran medida de las condiciones

medioambientales, particularmente de la temperatura y del tipo de régimen de carga aplicado al material. En

general, la mayoría de los polímeros exhiben un comportamiento viscoelástico a las temperaturas de servicio

cuando la carga es aplicada durante un cierto período de tiempo. Por consiguiente, es importante considerar

tales propiedades al diseñar con estos materiales.

De lo anterior, se deduce que el comportamiento mecánico de los polímeros no resulta fácil de caracterizar

según un modelo sencillo dado que involucra varios fenómenos diferentes. Éstos son los siguientes:

(A).- Elasticidad. El material se comporta como un vidrio. La deformación reversible inducida por la carga

aplicada se debe a variaciones en la longitud y ángulos de los enlaces entre los átomos componentes de las

cadenas. La componente elástica es la dominante en los sólidos, por tanto, sus propiedades pueden describirse

mediante la ley de Hooke, que afirma que el esfuerzo aplicado (ζ) es proporcional a la deformación resultante

(ε), pero es independiente de la velocidad de deformación (dε/dt), es decir:

ζε (1.1)

donde E es el módulo elástico o de Young.

(B).-Anelasticidad. Hasta ahora se ha supuesto que la deformación elástica era independiente del tiempo, o

sea: una tensión aplicada producía una deformación elástica instantánea que permanecía constante durante el

tiempo que se mantenía aplicada la carga. También se ha supuesto que al retirar la carga, la deformación se

recuperaba totalmente, o sea: la deformación volvía a cero de forma instantánea.

En muchos materiales de ingeniería, sin embargo, existe una componente de la deformación elástica que

depende del tiempo; es decir, la deformación elástica continua aumentando después de aplicar la carga, y al

retirarla se requiere que transcurra algún tiempo para que el material se recupere completamente. Este

comportamiento elástico dependiente del tiempo se denomina anelasticidad y es causado por la dependencia

del tiempo de los mecanismos microscópicos que tienen lugar cuando el material se deforma. En los metales,

la componente anelástica es normalmente pequeña y, a menudo, despreciable. Sin embargo, en algunos

materiales poliméricos su magnitud es importante. En este caso se denomina comportamiento viscoelástico.

La deformación también es reversible pero dependiente del tiempo. La carga aplicada origina el estirado de las

cadenas de polímero apartándolas de sus conformaciones más estables (enrolladas mayor entropía). Estos

movimientos moleculares necesitan un cierto tiempo para su desarrollo.

(C).- Flujo viscoso. Se debe al deslizamiento dependiente del tiempo de unas cadenas sobre otras. Es una

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deformación no reversible o permanente.

La componente viscosa es dominante en los líquidos, y por tanto sus propiedades pueden describirse mediante

la ley de Newton, que establece que el esfuerzo aplicado η es proporcional a la velocidad de deformación

d

dt

, pero es independiente del alargamiento γ ó del gradiente de velocidades aplicado, es decir :

η = ηd

dt

= η

, (1.2)

donde η es la viscosidad

Ambas leyes, la de Newton y la de Hooke, son válidas cuando hay pequeñas variaciones de la deformación o

de la velocidad de deformación

Un mismo polímero amorfo puede mostrar un comportamiento como un vidrio (totalmente elástico) a bajas

temperaturas o a alta velocidad de aplicación de la carga, con un módulo elástico de 103

- 104 MPa y un

alargamiento a rotura del 5-10 %. Frente a deformaciones relativamente pequeñas, el comportamiento

mecánico a bajas temperaturas es elástico y cumple la ley de HookeηΓγ

A temperaturas mayores o a menor velocidad de aplicación de la carga (mayor tiempo disponible para el

movimiento molecular) el mismo polímero puede comportarse como una goma con un módulo elástico de

1-10 MPa. y alargamiento a rotura cercano al 1000 %. Por tanto, a temperaturas bajas el comportamiento es el

de un sólido elástico, mientras que a temperaturas muy elevadas prevalece el comportamiento viscoso o líqui-

do elástico.

Sin embargo, para las velocidades de carga habituales y a temperatura intermedias (en el entorno de la

temperatura de transición vítrea), el polímero presenta un comportamiento intermedio (sólido viscoelástico),

que presenta características mecánicas intermedias entre estos dos extremos: esta condición se denomina

viscoelasticidad, que podemos referir como yuxtaposición de los tres fenómenos considerados anteriormente.

El comportamiento viscoelástico esta caracterizado por: η = ϕ(γ, t) (1.3)

que es la expresión general para un sólido con comportamiento viscoelástico no lineal donde la tensión es una

función general (F) de la deformación y del tiempo. Para pequeñas deformaciones (típicamente <1%) las

respuestas debidas al tiempo y a la deformación pueden separarse, dando lugar a la ecuación general para un

material con comportamiento viscoelástico lineal como sigue:

ηγΓ

donde G(t) es el módulo del material dependiente del tiempo y en cualquier punto. Para el mismo instante, la

tensión es proporcional a la deformación.

La figura 1.2 ilustra los resultados de una serie de experimentos con carga constante para el polipropileno a

la temperatura de 20 ºC. El aumento de la deformación con el tiempo es el resultado del comportamiento

viscoelástico del material. Para cargas bajas y cortos períodos de tiempo, las curvas se espacian bastante

uniformemente a lo largo del eje de ordenadas, por tanto, puede considerarse que el material presenta un

comportamiento viscoelástico lineal en dicho rango.

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Figura 1.2.- Curvas de fluencia para el polipropileno a 20 ºC. Cada curva representa la variación de la

deformación con el tiempo después de la aplicación de una carga constante.

En los polímeros el comportamiento viscoelástico dependiente del tiempo se muestra de varias maneras, sin

embargo, hay dos manifestaciones que son particularmente importantes en el diseño, y que pueden

condicionar, en cierta manera, sus aplicaciones en ingeniería. Dichas manifestaciones son:

1.- Fluencia y recuperación y 2 - La relajación de tensión.

2.- Fluencia y recuperación. Complianza de fluencia.

El comportamiento mecánico de los materiales poliméricos se puede clasificar según se tenga en cuenta la

variable tiempo o no, así se tendrá el comportamiento mecánico a largo y corto plazo, respectivamente. En el

comportamiento mecánico a corto plazo (Las propiedades mecánicas no dependen de la variable tiempo), el

estudio de los diagramas de tracción (ζ-ε) permite conocer las propiedades mecánicas (límite elástico, tensión

de rotura, alargamiento a la rotura,…) y la información es útil para la preselección de materiales y el control

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de calidad. Por su parte, el comportamiento mecánico a largo plazo (Las propiedades mecánicas dependen de

la variable tiempo) es una consecuencia del comportamiento viscoelástico y la información que aporta es útil a

nivel de diseño y cálculo. En muchas aplicaciones de ingeniería el comportamiento a largo plazo debe tenerse

en cuenta en el diseño y cálculo de materiales poliméricos.

De una forma sencilla se puede ver el comportamiento a corto plazo y la información que nos aporta. En la

tabla 2.1 se muestran distintas propiedades mecánicas de diferentes materiales termoplásticos. Se puede

comparar el comportamiento mecánico de un polietileno de baja densidad y de un copolímero estireno

acrilonitrilo. Se observa que el copolímero estireno acrilonitrilo es más resistente, pues presenta una tensión de

rotura de 72 MN/m2 frente a los 10 MN/m

2 del polietileno de baja densidad.

De la misma manera el módulo a flexión del polietileno de baja densidad es notablemente inferior al del

copolímero estireno acrilonitrilo, 0.2 GN/m2 frente a 3.6 GN/m

2 respectivamente. Sin embargo, el polietileno

de baja densidad es un material que tiene mucha más ductilidad que el copolímero estireno acrilonitrilo, pues

tiene un alargamiento a la rotura muy superior. 400 % frente al 2 %, respectivamente

Esta información a corto plazo es muy útil para realizar una preselección de materiales, pero no es la adecuada

para realizar diseño y cálculo de piezas de materiales poliméricos que tengan que durar cierto tiempo

Tabla 2.1.- Distintas propiedades mecánicas de diferentes materiales termoplásticos.

El comportamiento mecánico a largo plazo es una consecuencia del comportamiento viscoelástico del material

y básicamente lo que hace es estudiar la variación de las tensiones y de las deformaciones en función del

tiempo de trabajo. Básicamente existen dos tipos de comportamiento mecánico a largo plazo en los materiales

poliméricos, lo que se conoce como fluencia o plastodeformación y el fenómeno de relajación de tensiones.

Los diagramas de comportamiento mecánico presentan una geometría tridimensional al representar las tres

variables: tensión (ζ), deformación (ε) y tiempo (t) (Figura 2.1) y las propiedades mecánicas son función de

las tres variables anteriores, es decir, P = f(ζ, ε, t).

En el caso de los materiales poliméricos la variable tiempo adquiere una especial relevancia, cosa que no

ocurre con los otros tipos de materiales de ingeniería.

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Figura 2.1.- Diagrama de comportamiento mecánico de los materiales poliméricos.

Muchos materiales poliméricos experimentan una deformación que depende del tiempo como respuesta a la

aplicación de una tensión constante. Esta deformación se denomina fluencia viscoelástica. Este tipo de

deformación puede ser significativa a temperatura ambiente y con esfuerzos inferiores al límite elástico del

material. Por ejemplo, los neumáticos de un automóvil pueden formar partes planas debido al contacto con el

suelo cuando el automóvil está aparcado durante mucho tiempo.

Los ensayos de fluencia son aquellos en los que una serie de probetas idénticas del mismo material se

someten, en condiciones isotermas, a distintas tensiones constantes, midiéndose las deformaciones que se

producen a distintos intervalos de tiempo y en los polímeros se realizan de la misma manera que para los

metales. Normalmente se aplica instantáneamente un esfuerzo de tracción y se mantiene constante mientras se

determina la deformación en función del tiempo.

En un material elástico cuando se aplica una carga instantáneamente, y se mantiene constante, la deformación

elástica es instantánea (No depende de la variable tiempo). Esto significa que la deformación total ocurre en el

mismo instante que se aplica el esfuerzo. Para los materiales elásticos, cuando las tensiones no superan el

límite de fluencia, la deformación resulta independiente del tiempo:

ε ζX(ζ) (2.1)

pero si lo sobrepasan, a la deformación elástica se añade una fluencia plástica («yielding») creciente con el

tiempo, según se representa en el diagrama deformación-tiempo de la figura 2.2.a. Además, al dejar de aplicar

el esfuerzo la deformación se recupera totalmente: la probeta adquiere las dimensiones originales, siempre que

no se haya sobrepasado el límite elástico. Este comportamiento puede verse en la figura 2.3.b en la que se

representa la deformación frente al tiempo correspondiente a la curva carga instantánea tiempo, mostrada en

la figura 2.3.a.

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Figura 2.2.-Diagrama deformación – tiempo: (a).- Material elástico, (b).- Material viscoelástico.

Por el contrario, para el comportamiento totalmente viscoso, la deformación no es instantánea. Es decir, la

deformación, como respuesta a un esfuerzo aplicado, depende del tiempo. Además, esta deformación no es

reversible y no se recupera nada después de eliminar el esfuerzo. Este fenómeno se ilustra en la figura 2.3.d.

En un comportamiento viscoelástico intermedio, la aplicación de un esfuerzo (Figura 2.3.a) origina una

deformación instantánea seguida de una deformación viscosa dependiente del tiempo y una deformación

elástica retardada en el tiempo (anelasticidad). Este comportamiento se muestra en la figura 2.3.c. Los

materiales viscoelásticos fluyen ya a tensiones muy reducidas, según se representa en el diagrama

deformación-tiempo de la figura 2.2.b, superponiéndose desde el principio las deformaciones elásticas con las

viscosas («creep»). Puede expresarse, para el caso más general:

0 0( ) ( , )t J t (2.2)

definiéndose la función J(t,ζ0) como complianza de fluencia. Cuando ésta es independiente del valor de la

tensión, se dice que el material presenta víscoelasticidad lineal. Hay una deformación elástica inicial instantánea seguida por una deformación retardada dependiente del

tiempo, es decir, la fluencia del material. Puede haber también algo de flujo permanente del material,

particularmente, a cargas altas. Similarmente, eliminando la carga tiene lugar el proceso inverso, es decir,

existe una cierta recuperación instantánea seguida por una recuperación retardada (recuperación de la

fluencia), que depende del tiempo y que puede llevar o no al material a sus dimensiones originales (Figura

2.4). Si se produce flujo permanente durante la aplicación de la carga existe una deformación residual, aún

cuando la carga haya dejado de actuar, que es significativa en los polímeros amorfos a altas temperaturas y

cargas.

Los fenómenos que con el tiempo originan deformaciones recuperables se denominan viscoelásticos y se

consideran viscoplásticos aquellos que originan deformaciones permanentes.

Un ejemplo de comportamiento viscoelástico es el polímero de silicona, conocido como "masilla tonta" (silly

putty). Cuando a esta masilla se le da forma de bola y se la deja caer sobre una superficie horizontal, la bola

rebota elásticamente (la velocidad de deformación durante el bote es muy rápida). Por otro lado, si la masilla

se estira gradualmente con fuerza creciente, el material se alarga o fluye como un líquido muy viscoso. Para

este y otros materiales viscoelásticos, la velocidad de deformación determina si la deformación es elástica o

viscosa.

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Figura 2.3.- Fluencia y recuperación de la fluencia.

(a).-Carga frente al tiempo, donde la carga se aplica instantáneamente en el instante ta y se elimina en el tr

Comportamiento del ciclo carga – tiempo.

(b) Respuesta deformación – tiempo totalmente elástica (c).- Respuesta viscoelástica (d).- Respuesta viscosa.

Los resultados de los ensayos de fluencia se muestran en la figura 2.5. Si se aplica una tensión constante ζ1 a

un material viscoelástico, la deformación observada es dependiente del tiempo (Figura 2.5.a). Si se permite

que el material se recupere y a continuación se le aplica una tensión ζ2 mayor que ζ1, la deformación

resultante será la representada en la figura 2.5.b. Ejemplos de estas curvas las tenemos en la figura 1.2.

Figura 2.4.- Comportamiento típico de un plástico en fluencia y recuperación de fluencia.

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Figura 2.5.- Fluencia viscoelástica lineal. (a).- Una tensión constante ζ1 aplicada en el instante t = 0 da lugar a

una deformación dependiente del tiempo γ1(t) (b).- Una tensión mayor ζ2 aplicada en el instante t

= 0 da lugar a una deformación dependiente del tiempo γ2(t), (c).- De (a) y (b) las deformaciones

γ(ta) en el instante ta y γ(tb) en el tb, son una función lineal de la tensión, (d).- Dependencia

observada de J(t) [Ecuación (2.3)] en función del logaritmo del tiempo para la relajación completa.

JU y JR son la complianza de fluencia no relajada y relajada, respectivamente.

Por otra parte, si se representan las deformaciones en función de la tensión, para dos valore determinados del

tiempo, ta y tb (tb posterior a ta) después de la aplicación de la tensión se obtiene una línea recta (Figura 2.5.c).

Entonces para un tiempo arbitrario, t , si las deformaciones para las tensiones ζ1 y ζ2 son γ1(t) y γ2(t) ,

respectivamente, se tendrá :

1

1

( )t

= 2

2

( )t

siendo las deformaciones en los dos experimentos y en el mismo tiempo proporcionales a las tensiones

impuestas. Este hecho conduce a la definición de la complianza (o capacitancia) de fluencia en el instante t:

J(t) = 1

1

( )t

= 2

2

( )t

y en general : J(t) =

( )t

(2.3)

Los polímeros exhiben esta propiedad de fluencia viscoelástica lineal si las tensiones aplicadas son lo

suficientemente bajas, como para que las deformaciones sean menores de 0.005.

Así, la deformación por fluencia, γ(t), en el caso de que sea independiente del valor de la tensión, puede

representarse por la ecuación siguiente:

t = ζ0J(t) (2.4)

donde ζ0 es la tensión aplicada (constante). El valor inverso de J(t)se denomina módulo de fluencia, es decir:

Ef(t) = 1

( )J t (2.5)

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Si se determina el valor de J(t) sobre un número de décadas de tiempo y se representa en función del log(t), se

obtiene una curva del tipo mostrado en la figura 2.5.d., la cual se da con más detalle en la figura 2.6.

La complianza es una función del tiempo que comprende tres partes, J1, +J2, +J3, correspondiendo a la

deformación elástica inmediata (ε1), a la deformación elástica retardada (ε2) y al flujo permanente (ε3),

respectivamente. J3 puede despreciarse para los polímeros rígidos a temperaturas ordinarias y cargas bajas.

Los polímeros amorfos muestran un J3 a temperaturas elevadas, mientras que los polímeros altamente

cristalinos y reticulados no muestran ningún J3, incluso a cargas significantes y temperaturas elevadas.

En períodos de tiempo cortos el valor de J(t) es constante con un valor relativamente bajo ( 10-9

m2/N), lo

que implica una rigidez alta. Es la denominada complianza no relajada (JU = J1) y el material se considera que

está en el estado vítreo. Luego, J(t) aumenta con el tiempo a un valor relajado constante (JR = J1 + J2 ,

típicamente 10-5

m2/N) cuando el material alcanza el estado gomoso. Algunos materiales no alcanzan un

estado relajado, sino que continúan fluyendo hasta el fallo del material.

Cuando los tiempos de ensayo son muy cortos o muy largos el material parece comportarse elásticamente con

un valor de la complianza bajo o alto respectivamente, pero que no depende del tiempo. Entre los estados

vítreo y gomoso, es decir durante el tiempo intermedio, J(t) es función del tiempo y el material se considera

viscoelástico.

El intervalo de dependencia con el tiempo de la complianza depende de algún parámetro de tiempo

característico para cada material. En fluencia este tiempo característico se denomina tiempo de retardo, η, y

varía para los diferentes materiales dependiendo de su estructura molecular.

Figura 2.6.- Variación de la complianza de fluencia con el tiempo.

Si las medidas se realizan en unas pocas décadas de tiempo, la forma sigmoidal (tipo S) de la curva no

aparece, como muestra la figura 2.7. En ella se muestran los valores de J(t) para el polietileno lineal a 9

temperaturas entre 15 y 75 ºC. Las curvas aparentemente están centradas alrededor de la temperatura de 46 ºC,

es decir para la escala de tiempo observada (10-1

a 104 s) la pendiente de logJ(t) frente a log(t) , es mayor a 46

ºC que a mayores y menores temperaturas.

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Figura 2.7.- Complianza de fluencia, J(t), de un polietileno lineal a diferentes temperaturas en la región de α-

relajación. Las medidas se han tomado en tiempos entre 0.8 y 2000 s. Los datos se han

representado en función del log(t), ya que si se representan en función de t no se pones de

manifiesto diferencias significativas en la forma de las curvas a las diferentes temperaturas. Las representaciones gráficas deformación – tensión se denominan diagramas isócronos. Estos pueden

construirse a partir de las gráficas deformación – tiempo, en los que aparecen familias de curvas para distintas

tensiones, como se indica en la figura 2.8. Para ello, basta unir los puntos representativos del estado de las

distintas probetas, sometidas a diferentes tensiones, al cabo del mismo tiempo.

Figura 2.8.- Representación de los ensayos de fluencia en diagramas isócronos

17

Es fácil determinar el rango de deformación en el cual el material tiene comportamiento viscoelástico lineal.

Para ello, es suficiente determinar varias curvas isócronas (figura 2.9) y ver cuando se desvían de la

linealidad. Hay que señalar que el diagrama tensión-deformación (γ-ζ) no sería el obtenido mediante un

ensayo convencional tensión-deformación, sino que los datos se han tomado de ensayos de fluencia a

diferentes tensiones. El diagrama ilustra la transición del comportamiento viscoelástico lineal al no lineal. El

comportamiento no lineal hace que el material tenga una fluencia mayor, que la predicha por extrapolación de

la zona de comportamiento lineal.

Figura 2.9.- Curvas isocronas tomadas a los tiempos ta (Ver figura 2.5) después de iniciado el ensayo de

fluencia, γ(ta) y tb, γ(tb). El diagrama ilustra la transición del comportamiento viscoelástico lineal

al no lineal.

El método más simple de determinación de J(t) es aplicar una torsión constante a un tubo de pared delgada.

Sea el tubo de la figura 2.10 de longitud l, radio r y espesor e (e mucho menor que r). El valor del par torsor

aplicado es:

πrer , 22 r e

(2.6)

en la que ζ es la tensión cortante que actúa en la sección.

Si el comportamiento es elástico la relación entre el ángulo de giro, θ, producido por el par aplicado y la

deformación torsional, γ, es :

lγ = rθ (2.7)

Cuando el comportamiento es viscoelástico lineal, la relación es la misma pero tanto el ángulo de giro,θ

como la deformación torsional, γ , dependen del tiempo. Con lo que:

lγ(t)= rθ(t) (2.8)

y como ( )

( )t

J t

se tiene :

32 ( )

( )r e t

J tl

(2.9)

18

Figura 2.10.- Tubo de pared delgada retorcido (torsionado) por un par Γ. La tensión de cortadura en el tubo

es ζ. La rotación en un extremo con respecto al otro es θ y la deformación a cortadura es γ. Si el

tubo es de un material viscoelástico entonces ambas cantidades dependen del tiempo, es decir

θ(t) y γ(t).

Por tanto, el valor de J(t) se obtiene observando el valor de θ(t) para un valor fijo de Γ.

Recíprocamente, si en problema de diseño es necesario conocer el ángulo de giro (rotación) de un tubo

delgado sometido a un par torsor Γ, se tendría de la ecuación (2.9):

3

1( ) ( )

2t J t

r e

) (2.10)

siendo necesario conocer el valor de J(t) en el intervalo de tiempo de vida útil del material.

La complianza en tensión, D(t) se define como :

( )

( )t

D t

(2.11)

donde ζahora representa a la tensión de tracción y ε la deformación correspondiente.

Respecto a la influencia de la estructura molecular en las características de la fluencia, por regla general la

susceptibilidad a la fluencia disminuye al aumentar el grado de cristalinidad.

3.- Relajación de tensiones. Módulo de relajación viscoelástico.

Mientras que la fluencia incluye el mantenimiento de una carga constante sobre el material y se observa la

deformación, la relajación de tensión involucra la aplicación de una deformación rápida y leve hasta un nivel

predeterminado, que se mantiene constante, observándose como varía con el tiempo la tensión en el material

necesaria para mantener la deformación a temperatura constante. Bajo esas condiciones la tensión aumenta

instantáneamente y luego se relaja lentamente durante un período de tiempo hasta alcanzar un estado

estacionario, como se muestra en la figura 3.1. La tensión decrece con el tiempo debido al fenómeno de la

relajación molecular que ocurre dentro del polímero.

19

Figura 3.1.- Relajación de tensión viscoelástica lineal. (a).- Una deformación constante γ1 aplicada en el

instante t = 0 da lugar a una tensión dependiente del tiempo ζ1(t) (b).- Una deformación mayor γ2

aplicada en el instante t = 0 da lugar a una tensión dependiente del tiempo ζ2(t), (c).- De (a) y (b)

las tensiones ζ(ta) en el instante ta y ζ(tb) en el tb, son una función lineal de la deformación, (d).-

Dependencia observada de G(t) en función del logaritmo del tiempo para la relajación completa.

GU y GR son el módulo de relajación de tensión no relajado y relajado, respectivamente.

A bajas deformaciones se observa que la curvas isócronas son lineales (Figura 3.1.c). Entonces para un

tiempo arbitrario, t , si las tensiones en dos experimentos son ζ1(t) y ζ2(t) , con las deformaciones γ1 y γ2

respectivamente, se tendrá :

1 2

1 2

( ) ( )t t

(3.1)

siendo las tensiones en los dos experimentos y en el mismo tiempo proporcionales a las deformaciones

impuestas. Este hecho conduce a la definición del módulo de relajación de tensiones en el instante t :

1 2

1 2

( ) ( )( )

t tG t

y en general :

( )( )

tG t

(3.2)

20

Los polímeros exhiben esta propiedad del comportamiento viscoelástico lineal siempre que las deformaciones

sean menores de 0.005.

Si se determina el valor de G(t) sobre un número de décadas de tiempo y se representa en función del log(t),

se obtiene una curva del tipo mostrado en la figura 3.1.d, la cual se da con más detalle en la figura 3.2.

En general, la variación de la tensión con el tiempo, ζ(t), puede representarse por la ecuación siguiente:

ζ(t) = ε0G(t, ε0) (3.3)

donde ε0 es la deformación aplicada (constante) y G(t, ε0), en el caso más general, es función de la propia

deformación y del tiempo. Cuando es independiente de la deformación, la tensión a que están sometidas las

distintas probetas, en un momento dado, es proporcional a la deformación de cada una y el material se

considera viscoelástico lineal, y como en el caso de J(t), G(t) es una función dependiente del tiempo ( figura

3.2 ). Como en el caso de la fluencia, existen las mismas regiones de comportamiento. En el estado vítreo, en cortos

períodos de tiempo, el material tiene un módulo alto (109N/m

2) y es rígido. G(t) tiende a un valor constante

GU (GU-1

= JU) Para períodos de tiempo largos, el módulo es bajo (105N/m

2) y el material es elástico

(Gomoso). G(t) tiende a un valor constante GR (GR-1

= JR) La presencia de flujo viscoso afecta el valor límite

del módulo. Si existe flujo el valor del módulo se reduce con el tiempo a un valor infinitesimal y la tensión

límite disminuye hasta cero.

En el caso de que no haya ningún flujo se alcanza un valor módulo de equilibrio relajado después de un largo

período de tiempo. En los períodos de tiempo intermedios el material se comporta el viscoelasticamente con

un módulo que es función del tiempo, tomando la curva la apariencia sigmoidea. El intervalo de tiempo en que

se produce la relajación depende de nuevo de la estructura molecular del material y se caracteriza por el

tiempo de relajación ,η .

Aunque los procesos moleculares que gobiernan la fluencia son similares a los controlan la relajación, en

general el tiempo de retardo , η, y el tiempo de relajación , η, tienen valores diferentes.

Figura 3.2.- Variación del módulo de relajación con el tiempo.

21

Si las medidas se realizan en unas pocas décadas de tiempo, la forma sigmoidal (tipo S) de la curva no

aparece, como muestra la figura 3.3. En ella se muestran los valores de G(t) para el poliisobutileno a 10

temperaturas entre –83 y -40 ºC (Tg = -78 ºC) Las curvas aparentemente están centradas alrededor de la

temperatura de -66 ºC, es decir para la escala de tiempo observada (10 a 104 s) la pendiente de logG(t) frente

a log(t) , es mayor a -66 ºC que mayores y menores temperaturas.

A -83 ºC y período corto de tiempo, E(t) se aproxima asintóticamente al módulo del estado vítreo. A – 40 ºC y

periodo largo de tiempo, E(t) se aproxima asintóticamente al módulo del estado gomoso. La relajación está

centrada en la región de -66 ºC. Hay que señalar la gran reducción en el valor de E(t) en el intervalo de 3

décadas cuando la temperatura alcanza los 43 ºC. Este comportamiento es típico de los polímeros amorfos en

la relajación vítrea-gomosa.

Figura 3.3.- Módulo de relajación de tensión observado en tracción, E(t), de un poliisobutileno a diferentes

temperaturas en la región de relajación vítrea-gomosa (Tg = - 80 ºC).

Es fácil determinar el rango de deformación en el cual el material tiene un comportamiento de relajación de

tensiones lineal. Para ello, es suficiente determinar varias curvas isócronas (figura 3.4) y ver cuando se

desvían de la linealidad. Hay que señalar que el diagrama tensión-deformación (γ-ζ) no sería el obtenido

mediante un ensayo convencional tensión-deformación, sino que los datos se han tomado de una serie de

ensayos de relajación de tensión, como se ilustra en la figura 3.1.

22

Figura 3.4.- Curvas isocronas tomadas a los tiempos ta (Ver figura 3.1) después de iniciado el ensayo de

relajación de tensión, ζ(ta) y tb, ζ(tb). El diagrama ilustra la transición del comportamiento

viscoelástico lineal al no lineal

Como se ha visto, los resultados de los ensayos de relajación también pueden representarse en forma de curvas

isócronas en un diagrama tensión-deformación, como en el caso de los ensayos de fluencia. Ambos diagramas

deberían coincidir si existiera una función de estado, f(ζ, ε, t) = 0 , que relacionara las tres variables

involucradas en los ensayos efectuados a igual temperatura.

Sin embargo, para los materiales poliméricos no ocurre tal cosa. A igualdad de dos de las variables, la tercera

puede tener valores diferentes según el proceso seguido en los ensayos, o, dicho de otra forma, depende de la

historia del material.

La representación gráfica de los resultados de estos ensayos en diagramas semílogarítmicos, como el de la

figura 3.5.a muestra la progresiva caída de la tensión (de ahí el nombre de relajación) a lo largo del ensayo

que se produce en los materiales viscoelásticos, mientras que se mantiene constante en los puramente

elásticos.

Figura 3.5.- Representación de los ensayos de relajación . (a) Deformación – tiempo (b) diagramas isócronos

El método más simple de determinación de G(t) es aplicar una torsión constante a un tubo de pared

delgada. (Figura 2.10). En el instante t = 0 se gira el tubo un ángulo θ y se determina el par torsor dependiente

del tiempo Γ(t) necesario para mantener su valor.

23

El valor de la tensión actuando sobre una sección es:

2

( )

2

t

r e

(3.4)

Si el comportamiento es elástico la deformación torsional, γ, es:

r

l

(3.5)

y como ( )

( )t

G t

se tiene :

3

( )( )

2

l tG t

r e

(3.6)

Por tanto, el valor de G(t) se obtiene observando el valor de Γ(t) para un valor fijo de θ.

Recíprocamente, si en un problema de diseño es necesario conocer el par torsor Γ(t) de un tubo girado un

ángulo θ es necesario conocer el valor de G(t) .

El módulo de relajación de tensión en tracción, E(t) se define como :

( )

( )t

D t

(3.7)

donde ε ahora representa a la deformación de tracción y ζ(t) la tensión correspondiente.

4.- Modelización del comportamiento viscoelástico.


Debido al comportamiento viscoelástico de los materiales poliméricos sus propiedades mecánicas dependen de

la variable tiempo, es por ello necesario tener información sobre la respuesta del material a largo plazo para

poder diseñar y optimizar el cálculo en piezas en ingeniería con materiales poliméricos. Dicha información se

puede obtener de las curvas isócronas o de fluencia facilitadas por los fabricantes o a partir de modelos

matemáticos del comportamiento viscoelástico, que consideran la combinación de un elemento elástico como

es un muelle y un elemento viscoso como es un émbolo o pistón, para buscar expresiones que nos sirvan para

explicar dicho comportamiento y obtener la respuesta mecánica del material.

Para un material viscoso puro todos los esfuerzos internos son función de la velocidad de deformación

instantánea. Este material no puede recuperar ni siquiera parte de su forma original cuando se retira el esfuerzo

aplicado. La energía mecánica suministrada al sistema se disipa en forma de calor.

Recíprocamente, un material elástico puro desarrolla esfuerzos que son función sólo de la deformación

instantánea. Este material recupera su forma original al retirar el esfuerzo aplicado.

Para un material viscoelástico (que posee propiedades viscosas y elásticas en diversos grados), los esfuerzos

internos son una función no sólo de la deformación instantánea (deformación, velocidad de deformación, etc),

sino también de la historia de la deformación. En los materiales reales, la historia más reciente es más

importante que la más distante, por lo que pueden definirse como materiales con memoria débil. En el caso, en

que tanto el esfuerzo como la deformación sean infinitesimales y las relaciones entre ambas magnitudes a lo

largo del tiempo se puedan describir mediante ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, se

estará definiendo un comportamiento viscoelástico lineal, lo cual implica que en un determinado ensayo la

relación entre la deformación y el esfuerzo es únicamente función del tiempo y no depende de la magnitud del

esfuerzo.

24

Un acercamiento clásico a la descripción de la respuesta de materiales que exhiben propiedades viscosas y

elásticas está basado en la analogía con la respuesta de ciertos elementos mecánicos. Esto implica la

construcción de modelos viscoelásticos por combinación de elementos mecánicos que simulan propiedades

viscosas y elásticas puras, por lo que representan comportamientos viscoelásticos lineales. Puesto que los

materiales reales muestran comportamientos no lineales bajo grandes deformaciones, estos modelos son

apropiados sólo para pequeñas amplitudes de desplazamiento, y no son adecuados para predecir una

deformación continua o comportamiento de flujo de los materiales reales.

Los elementos mecánicos convencionales que representan los comportamientos viscoso y elástico lineales son

el amortiguador hidráulico y el muelle, respectivamente. Se describirán tres modelos simples:

- Modelo de Maxwell , en el que los dos elementos están colocados en serie.

- Modelo de Kelvin (o Voigt), en el que los dos elementos están colocados en paralelo.

- Modelo del sólido lineal estándar.

- Modelo de los cuatro elementos.

Se analizará la respuesta de estos modelos bajo las condiciones de fluencia y relajación de tensiones. Todos

los modelos son lineales, es decir, en todo momento y en cualquier punto la tensión será proporcional a la

deformación.

Aunque los modelos no nos dicen nada sobre procesos moleculares y físicos que tienen lugar, es decir, son

puramente fenomenológicos, ellos son particularmente útiles para predecir la respuesta de un material bajo

condiciones de fluencia y relajación e incluso bajo situaciones de carga más complejas. Además, ellos

pueden dar una visión más clara de la naturaleza general de la respuesta viscoelástica.

4.2.- Modelo del émbolo.

El modelo del émbolo sin rozamiento es el que mejor representa el comportamiento viscoso. Si hacemos

actuar una tensión, ζ , entre los instantes to y tl , la deformación , ε, variará linealmente con el tiempo de

aplicación de la tensión:

d

dt

y t

(η = Viscosidad )

Al dejar de actuar ζ, la deformación ε, permanece (es irreversible) pues el trabajo suministrado por la fuerza

externa no es almacenado por el material sino que se disipa en forma de calor (fricción interna). La

deformación ε es tanto más rápida cuanto menor sea la viscosidad del material.

El modelo del émbolo sin rozamiento representa fielmente este comportamiento (Figura 4.2.1).

25

Figura 4.2.1.- Amortiguador hidráulico. Componente viscoso.

4.3.- Sólido elástico. Modelo del resorte.

El sólido elástico sigue la ley de Hooke (ζ = Eε). La deformación instantánea que se origina al aplicar la carga

se debe a alteraciones en la longitud y ángulos de sus enlaces atómicos. El sólido almacena así toda la energía

suministrada por las fuerzas externas de modo que al dejar de actuar éstas, la energía almacenada es capaz de

restaurar instantáneamente la forma original (deformación reversible). E = Constante elástica del muelle

(Rigidez del muelle).

El modelo que ahora se ajusta mejor a este comportamiento es un resorte como el de la figura 4.3.1.

Figura 4.3.1.- Muelle lineal. Componente elástico.

4.4.- Modelo de Maxwell.

La mayor parte de los polímeros exhiben comportamientos conjuntamente elásticos y viscosos (sólo los

polímeros vítreos son sólidos perfectamente elásticos y los termoplásticos, a alta temperatura, muestran un

comportamiento únicamente viscoso) que podernos asimilar a la yuxtaposición de los modelos descritos

anteriormente.

El modelo de Maxwell se forma conectando en serie un émbolo y un resorte. Considera que el material

polimérico internamente se puede representar como un resorte y un émbolo trabajando en serie. Al aplicar la

fuerza F el resorte se alarga instantáneamente la magnitud (/E) y el émbolo se moverá a la velocidad (/η)

mientras se está aplicando la carga (entre to y t1). Al cesar la aplicación de la carga, la componente elástica se

recupera de modo instantáneo, mientras que la componente viscosa de la deformación permanece

indefinidamente, como se refleja en la gráfica de la figura 4.4.1.

La deformación total está, por consiguiente, distribuida entre los dos elementos, los cuales están sometidos a

la tensión total. Así, se puede escribir:

ζ = ζe = ζv (Igualdad de tensiones) y ε= εe + εv (Aditividad de deformaciones) (4.4.1)

26

Figura 4.4.1.- (a).- Modelo de Maxwell. (b).- Diagrama deformación – tiempo.

El muelle es el componente elástico del modelo y se comporta de acuerdo a la ley de Hooke:

1

eE

(4.4.2)

y el émbolo es el componente viscoso del modelo y se comporta de acuerdo a la ley de Newton:

vd

dt

=

1

ζ (4.4.3)

La variación de la deformación total con el tiempo se obtiene derivando la segunda expresión (4.4.1):

d

dt

= ed

dt

+ vd

dt

(4.4.4)

27

Sustituyendo en (4.4.4) la ecuación (4.4.3) y la (4.4.2) derivada con respecto al tiempo se obtiene:

d

dt

=

1

E

d

dt

+

1

ζ (4.4.5)

que es la ecuación que gobierna el comportamiento del modelo de Maxwell y que contiene las variables

tiempo, deformación y tensión.

A continuación se va analizar la respuesta del modelo ante tres modos de deformación dependientes del

tiempo.

(a).- Fluencia (tensión constante, ζ0).

Si se aplica una tensión constante entonces la ecuación (4.4.5), teniendo en cuenta que dζ/dt = 0 se transforma

en:

d

dt

=

1

ζo (4.4.6)

e integrando: ε = 0

t + Cte

y como para t = 0 , ε(0) = 0

E

, resulta finalmente:

ε(t) = 0

t + 0

E

(4.4.7)

y la complianza de fluencia vendrá dada por :

J(t) = 0

( )t

=

1

E

+ t

(4.4.8)

Bajo condiciones de fluencia el modelo de Maxwell muestra un alargamiento instantáneo del muelle seguido

de una variación lineal creciente de la deformación con el tiempo, que se deriva de la extensión retardada del

émbolo debida a la respuesta viscosa del líquido (Figura 4.4.2)

28

Figura 4.4.2.- Respuesta del modelo de Maxwell en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de tensión.

(b).- Recuperación de fluencia.

Cuando se elimina la tensión el modelo muestra una recuperación instantánea de la deformación elástica del

muelle y permanece una deformación permanente que depende de la duración del intervalo de carga. Según la

ecuación (4.4.5) después de eliminar la tensión (ζ0 = 0) la velocidad de deformación es nula, dε/dt = 0, con

lo que no existe recuperación posterior, lo cual no es cierto según el comportamiento real de un material

polimérico.

(c).- Relajación de tensión (Deformación constante ζ0).

Si mantenemos ahora este modelo sometido a una deformación constante, demostraremos que la componente

debida al flujo viscoso permitirá la relajación de la tensión impuesta.

Como: ε = Cte se tiene que dε/dt = 0 luego la ecuación (4.4.5) se transforma en :

1

E

d

dt

+

= 0

de donde :

d

= -

E

dt

que integrada desde el instante inicial de aplicación de la tensión ζ hasta que transcurre un tiempo t, nos da (

= 0 para t = 0):

ζ = ζ0 expEt

= ζ0 expt

= ε0E expt

(4.4.9)

29

La carga que actúa sobre el cuerpo va desapareciendo progresivamente y desaparecería por completo al cabo

de un tiempo infinito. Se denomina tiempo de relajación al preciso para que la tensión se divida por el número

e. Su expresión se deduce inmediatamente y viene dada por:

η = E

(4.4.10)

Este modelo es excesivamente sencillo para explicar el comportamiento real de los polímeros, dado que

presenta dos importantes limitaciones: velocidad de deformación constante mientras se está aplicando la carga

también constante y relajación total de tensiones (ζ = 0) en condiciones de deformación constante.

De la figura 4.4.2 se deduce que el modelo de Maxwell tiene un comportamiento aceptable en primera

aproximación con respecto a la relajación de tensiones, pero es inadecuado en fluencia y recuperación de

fluencia.

En los polímeros reales la relajación es más lenta que la exponencial y una buena aproximación viene dada por

la ley de Kohlrausch:

exp

0 '

R

R

E t t

E

0.3 0.7 (4.4.11)

4.5.- Anelasticidad: Modelo de Kelvin Voigt.

En este modelo se realiza la conexión en paralelo de un émbolo y un resorte, como se muestra en la figura

4.5.1. Simula la deformación viscoelástica, pero no las instantáneas ni las viscoplásticas.

Al cargar este modelo parte de la energía suministrada se almacena en el muelle y el resto se disipa

progresivamente al moverse el émbolo, lo que motiva una deformación dependiente del tiempo hasta que se

alcanza la deformación (/E) (al cabo de un tiempo infinito, el componente elástico soporta toda la carga) y el

desplazamiento cesa.

Al cesar la aplicación de la carga (t = t1) se recuperará la forma original debido a la energía que quedó

almacenada en el resorte, pero la recuperación, retardada por el émbolo, no será total hasta que no haya

transcurrido un tiempo infinito. Sólo si el tiempo de retardo η’ es pequeño, la recuperación total, a efectos

prácticos, ocurre en un breve lapso de tiempo. La deformación que experimenta este modelo - deformación

elástica retardada - se denomina anelástica.

Ahora la tensión aplicada se distribuye entre ambos elementos y la deformación de los dos es idéntica, es

decir:

ζ = ζ e + ζv (Aditividad de tensiones) y ε= εe = εv (Igualdad de deformaciones) (4.5.1)

Sustituyendo ζe = Eε y ζ v = ηd

dt

en la primera de las ecuaciones (4.5.1) se tiene:

ζ= Eε + ηd

dt

(4.5.2)

que es la ecuación que gobierna el comportamiento del modelo de Kelvin – Voigt y que contiene las variables

tiempo, deformación y tensión. A continuación se va analizar la respuesta del modelo ante los tres modos de

deformación dependientes del tiempo.

30

Figura 4.5.1.- (a).- Modelo de Kelvin - Voigt (b).- Diagrama deformación – tiempo.

(a).- Fluencia (tensión constante, ζ0 ).

Si se aplica una tensión constante entonces la ecuación (4.5.2) se transforma en:

η d

dt

+ Eε = ζo (4.5.3)

e integrando nos da :

ε(t) = 0

E

Et1 - exp

(4.5.4)

o bien: ε(t) = 0

E

'

t1 - exp

(4.5.5)

donde , η’ ,es el tiempo de retardo definido igual que el tiempo de relajación por la expresión E

, y que será

el tiempo necesario para producir una deformación igual a la máxima menos ésta dividida por el número e.

31

La complianza de fluencia vendrá dada por:

J(t) =0

( )t

=

1

E '

t1 - exp

Bajo condiciones de fluencia el modelo de Kelvin – Voigt muestra un aumento exponencial de la

deformación hasta un valor límite dado por lim t→∞ ε(t) = ζo/E, con un tiempo de retardoη’. (figura 4.5.2). Hay

que señalar también que para el instante inicial la deformación es nula.


Cuando se elimina la tensión (ζ = 0), la ecuación (4.5.2) que gobierna el comportamiento del modelo se

transforma en:

Eε+ ηd

dt

= 0 (4.5.6)

Que integrada con la condición inicial t = 0, ε= ε0 da:

ε(t) = ε0 expEt

= ε0exp´

t

(4.5.7)

donde t es el tiempo transcurrido desde la eliminación de la tensión y εo es la deformación existente

inmediatamente antes de su eliminación. Se produce una recuperación exponencial de la deformación, lo

contrario a la fluencia, con el mismo tiempo de retardo η’ (Figura 4.5.2).

Figura 4.5.2.- Respuesta del modelo de Kelvin - Voigt en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de

tensión.

32

(c).- Relajación de tensión (Deformación constante ε0).

Si mantenemos ahora este modelo sometido a una deformación constante, la ecuación (4.5.2) que gobierna el

comportamiento del modelo se transforma en:

ζ = Eε (4.5.8)

que corresponde a la respuesta de un material elástico, con lo que no hay relajación de la tensión en función

del tiempo como muestra la figura 4.5.2, con lo que continúa con una tensión constante con el paso del tiempo

no liberando tensión.

La limitación del modelo anelástico es la no relajación de tensiones bajo deformación constante (dε/dt = 0). El

material en estas condiciones se comporta igual que el sólido elástico, lo que no se adecua al comportamiento

real de los polímeros. Además tampoco se induce deformación permanente alguna.

De la figura (4.5.2) se deduce que el modelo de Kelvin - Voigt tiene un comportamiento aceptable en primera

aproximación con respecto fluencia y recuperación de fluencia, pero es inadecuado para la relajación de

tensiones. No explica la deformación instantánea

4.6.- Modelo de Zener o del sólido lineal estándar.

Se ha visto que si bien el modelo de Maxwell describe bien el fenómeno de relajación de tensiones y el de

Kelvin-Voigt el comportamiento anelástico (Fluencia y recuperación de fluencia), ninguno de los dos es

adecuado para describir el comportamiento general de los polímeros. Por ello, es necesario, una combinación

más compleja de los elementos.

Con este fin se introduce el modelo de Zener, el cual puede representarse de dos maneras (Figura 4.6.1):

(a).- Agrupación en paralelo del muelle y del modelo de Maxwell.

(b).- Agrupación en serie del muelle y del modelo de Kelvin – Voigt.

Figura 4.6.1.- Modelo de Zener o del sólido lineal estándar.

De una manera similar a los modelos anteriores, y con referencia a la representación (b), el equilibrio de

fuerzas nos conduce a:

ζ= ζ1 = ζ 2 + ζ3 (4.6.1)

y la deformación total :

ε2 = ε3 ε = ε 1 +ε 2 (4.6.2)

Las relaciones tensión – deformación son:

33

ζ1 = E1ε1 , ζ2 = E2ε 2 , ζ3 = η3 3d

dt

(4.6.3)

Expresando las magnitudes con subíndice en términos de ζ y ε.

ε 1 = 1

1E

=

1E

(4.6.4)

ε2 = ε – ε 1 = ε – 1E

(4.6.5)

Entrando con el valor de ε2 anterior en la segunda de las ecuaciones (4.6.3) se tiene:

ζ2 = E2ε 2 = E2

1E

= E2ε– 2

1

E

E

ζ (4.6.6)

Despejando ζ3 de la ecuación (4.6.1) y teniendo en cuenta la (4.6.6) resulta:

ζ3 = ζ – ζ2 = ζ – 22

1

EE

E

= 2

1

1E

E

ζ – E2ε (4.6.7)

y de la tercera de las ecuaciones (4.6.3) :

3d

dt

= 3

3

=

22

1

3

E1+

EE

(4.6.8)

Por otra parte, en el subsistema de Kelvin – Voigt se cumple que:

2d

dt

= 3d

dt

y teniendo en cuenta (4.6.5) :

2d

dt

= 3d

dt

=

d

dt

–

1

1

E d

dt

(4.6.9)

Igualando las ecuaciones (4.6.8) y (4.6.9) resulta:

22

1

3

E1+

EE

=

d

dt –

1

1

E d

dt

(4.6.10)

y reordenando la ecuación anterior:

d

dt

+ 2

3

E

ε = 1

1

E d

dt

+ 1 2

1 3

E E

E

ζ (4.6.11)

34

La ecuación (4.6.11) nos relaciona la tensión aplicada con la deformación total y representa el

comportamiento del modelo y que contiene las variables tiempo, deformación y tensión. Dicha ecuación puede

resolverse para condiciones de fluencia y relajación de tensiones.

(a).- Fluencia (tensión constante, ζ 0 ).

Si se aplica una tensión constante ζ = ζ0 en el instante t = 0, entonces la ecuación (4.6.11), teniendo en cuenta

que dζ/dt = 0 , se transforma en:

d

dt

+ 2

3

E

ε = 1 2

1 3

E E

E

0 (4.6.12)

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Integrándola:

ε(t) = 0

1E

+ 0

2E

'1 exp

t

(4.6.13)

Deformación Deformación (respuesta) retardada que

instantánea se deriva de la extensión del émbolo

correspondiente al muelle

donde:

η’ = 3

2E

es el tiempo de retardo

Según la ecuación (4.6.13) la deformación se compone de dos términos: una deformación instantánea

correspondiente al muelle y una respuesta retardada que se deriva de la extensión del émbolo. La respuesta

global puede verse en la figura 4.6.2.

Figura 4.6.2.- Respuesta del modelo de Zener en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de tensión.

35

La ecuación (4.6.13) puede expresarse en términos de la complianza de fluencia:

J(t) = 0

( )t

dando:

J(t) = 1

1

E +

2

1

E '1 exp

t

(4.6.14)

La complianza de fluencia cambia del valor no relajado JU = 1

1

E en el instante t = 0 al valor relajado

JR = 1

1

E +

2

1

E en t = .


Cuando la tensión se elimina el muelle se recupera de forma instantánea, mientras que el elemento de Kelvin-

Voigt exhibe una recuperación retardada. La ecuación general que gobierna el comportamiento haciendo nula

la tensión (ζ0 = 0) es:

d

dt

+ 2

3

E

ε = 0 (4.6.15)

que es una ecuación de variables separables. Integrándola:

ε= εcexp 2

3

E t

= εcexp'

t

(4.6.16)

donde εc es la deformación de fluencia en el elemento de Kelvin-Voigt debida a la carga previa.

(c).- Relajación de tensión (deformación constante ε= ε0).

Si se aplica una deformación constante ε = ε0 en el instante t = 0, entonces la ecuación (4.6.11), teniendo en

cuenta que dε/dt = 0, se transforma en:

1

1

E d

dt

+ 1 2

1 3

E E

E

ζ 2

3

E

ε0 (4.6.17)

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Integrándola se tiene:

ζ(t) = 1 0

1 2

E

E E

2 1 '

expt

E E

(4.6.18)

donde:

3

1 2E E

es el tiempo de relajación

Según la ecuación (4.6.18) la tensión se relaja de forma exponencial con el tiempo desde el elevado valor

inicial hasta el bajo valor de equilibrio (Figura 4.6.2). El tiempo de relajación depende de la constante del

muelle E1 y de los parámetros del elemento de Kelvin-Voigt η3 y E2. Lo anterior contrasta con el tiempo de

retardo en el caso de la fluencia, 3

2

'E

, que solamente depende de los parámetros del elemento de Kelvin-

Voigt. En general, el tiempo de relajación es menor que el de retardo.

36

La ecuación (4.6.18) puede expresarse en términos del módulo de relajación: G(t) = 0

( )t

dando:

G(t) = 1

1 2

E

E E

2 1 '

expt

E E

(4.6.18)

El módulo de relajación cambia del valor no relajado GU = E1 en el instante t = 0 al valor relajado

GR = 1 2

1 2

E E

E E

en t = .

Observando la figura 4.6.2 se deduce que el modelo de Zener o del sólido lineal estándar proporciona una

descripción cualitativa buena tanto para el comportamiento en fluencia como en relajación de tensión de los

materiales poliméricos.

4.7.- Modelo de los cuatro elementos (Modelo de Burgers).

El modelo de cuatro elementos esta constituido por la agrupación en serie de los modelos de Maxwell y de

Kelvin-Voigt y modeliza materiales que presentan componentes de deformación instantánea, viscoelástica y

viscoplástica. Al ser cargado, la deformación total se compone de una deformación elástica instantánea (εe ),

de una deformación elástica retardada, anelástica (εa), que es la respuesta del modelo de Kelvin - Voigt y una

deformación viscosa permanente (εv). Las dos primeras deformaciones son recuperables en el momento que se

elimina la carga.

Figura 4.7.1.- Modelo de los cuatro elementos.

De una manera similar a los modelos anteriores el equilibrio de fuerzas nos conduce a:

ζ = ζ1 = ζ2 = ζ3 + ζ4 (4.7.1)

y la deformación total :

ε3 = ε4 , ε= ε1 + ε2 + ε3,4 = ε1 + ε2 + k (4.7.2)

donde ε k es la respuesta de deformación del modelo de Kelvin - Voigt

37

Las relaciones tensión – deformación son:

ζ1 = E1ε1 , ζ2 = η2 (dε2/dt ) , ζ3 = E3ε3 ζ4 = η4 (dε4/dt ) (4.7.3)

Para determinar la ecuación que modeliza el comportamiento del modelo, hay que encontrar una ecuación que

nos relacione la tensión aplicada con la deformación total.

Tal ecuación es:

dt

d

dt

d

Edt

d

EEdt

d

EE

2

2

3

4

2132

42

2

2

21

4 11 (4.7.4)

La ecuación (4.7.4) nos relaciona la tensión aplicada con la deformación total y representa el comportamiento

del modelo. Dicha ecuación puede resolverse para condiciones de fluencia y relajación de tensiones.

Sin embargo, dado que el modelo de Burgers está constituido por un modelo de Maxwell acoplado en serie

con el Kelvin-Voigt, para obtener la deformación en función del tiempo, ε(t), en el comportamiento en

fluencia se pueden sumar las ecuaciones dadas por las expresiones (4.4.7) y (4.5.5) , obteniéndose :

0 0 0

1 2 3

34( ) 1

Et

t t eE E

(4.7.5)

Comparando esta expresión con la igualdad ε(t) = ζ0 /G(t), definimos el módulo viscoelástico del material:

0 1 2 3

34( ) 1 1 1

( ) 1

Ett

J t t eE E

(4.7.6)

Hay que hacer notar que el módulo de relajación de tensiones viscoelástico de un polímero variará con el

tiempo de aplicación de la tensión (la velocidad de carga) y con la temperatura (varían las constantes η2 y

η4).

La velocidad de deformación se puede obtener derivando (4.7.5):

0 0

2 3

3

4'( )

Et

t eE

(4.7.7)

La respuesta de este modelo en condiciones de fluencia, recuperación de fluencia y relajación de tensiones, es

la suma de los efectos descritos para los modelos de Maxwell y de Kelvin – Voigt y se ilustra en la figura

4.7.1.

Hay que apuntar también que, aunque la expresión (4.7.5) refleja, aproximadamente, el comportamiento

mecánico general de los polímeros, muchos muestran desviaciones más o menos importantes con respecto al

modelo propuesto (no linealidad de los campos elástico y viscoso) y su comportamiento se refleja mejor con la

ecuación siguiente, en el campo de tensiones normales, ζ, y deformaciones longitudinales, ε :

( ) 1qtnt K t B e

E

(4.7.8)

donde: q, n, α, B, K y E, son constantes características del polímero en cuestión. Así mismo, α y n, sin em-

bargo, expresan la no linealidad de los campos viscoso y elástico.

5.- Modelización de materiales reales. Modelos de elementos múltiples.

38

El modelo del sólido lineal estándar da un ajuste cualitativo bueno del comportamiento ante fluencia y

relajación de tensiones de los polímeros. El modelo, sin embargo, incorpora un único tiempo de retardo, con lo

que la fluencia tiene lugar en un intervalo de tiempo relativamente corto, es decir, la representación de la

complianza de fluencia en función del tiempo presenta una rápida variación en un corto período de tiempo,

semejante a una función escalón. Cambiando el valor del tiempo de retardo la curva puede desplazarse a lo

largo del eje del tiempo, pero no puede ensancharse el intervalo de tiempo en el que se produce la variación

(Figura 5.1).

Figura 5.1.- Comparación de la fluencia entre el modelo del sólido lineal estándar y el real

Como pone de manifiesto la figura 5.1 los materiales reales tienen la variación de la complianza de fluencia en

un intervalo de tiempo más amplio, que se extiende sobre varios órdenes de magnitud del tiempo. Este

comportamiento puede ser modelado combinando varios elementos en un modelo múltiple, con el fin de

obtener un espectro de tiempos de retardo. Así, la figura 5.2.a muestra una combinación en serie de un muelle

y varios elementos de Kelvin - Voigt. Tal modelo tiene un número finito de componentes cada uno con sus

parámetros: la complianza de fluencia Ji, el coeficiente del amortiguador ηi y el tiempo de retardo η’i =ηiJi

=( ηi/Ei). Escogiendo diferentes valores para los parámetros de cada elemento de Kelvin - Voigt puede

obtenerse una curva para la complianza de fluencia con un intervalo de variación más amplio.

Figura 5.2.- Modelos de elementos múltiples para materiales reales.

(a) Modelos en serie para la fluencia (b).- Modelos en paralelo para la relajación de tensión.

La expresión para la complianza de fluencia de un modelo múltiple viene dada por:

39

'

10 i

1 1J(t) = 1 exp

E E

n

i i

t

(5.1)

donde η’i es el tiempo de retardo para el elemento i-ésimo de Kelvin - Voigt .

Cuatro o cinco elementos son a menudo suficientes para obtener un buen ajuste a los datos de los materiales

reales. Sin embargo, la idea puede extenderse más allá reemplazando al modelo múltiple discreto por una

expresión integral de la complianza de fluencia:

00

1J(t) = 1 exp ' '

E '

tj d

(5.2)

donde j(η’) es el denominado espectro de tiempos de retardo y es una función de peso ( de densidad), que nos

define la concentración de elementos de Kelvin – Voigt con tiempos de retardo entre η’ y η’ + dη’. El

espectro de tiempos de retardo puede calcularse directamente a partir de ensayos de fluencia como los dados

por la figura 5.3 y proporciona un modelo matemático cuantitativo que describe el comportamiento

viscoelástico de los materiales reales.

Figura 5.3.- Complianza de fluencia, J(t), de un polietileno lineal a diferentes temperaturas en la región de α-

relajación. Las medidas se han tomado en tiempos entre 0.8 y 2000 s.

La distribución de los tiempos de retardo se muestra en la figura 5.4. El área sombreada para el valor η’,

j(η’)dη’ , representa el factor de intensidad del retardo para dicho valor deη’.

Cuando t = , J( ) = JR por definición y de ( 5.2) se tiene:

R00

1J = ' '

Ej d

(5.3)

40

de donde :

0 0

1' '

ER R Uj d J J J

(5.4)

Figura 5.4.- Distribución de tiempos de retardo a partir del modelo de la figura 5.2.a. El área

infinitesimal j(’)d’ representa la fuerza del retardo para el valor ’.

Una descripción similar puede obtenerse para el módulo de relajación de tensiones considerando un modelo

múltiple que contenga un número discreto de elementos de Maxwell en paralelo con un muelle, como se

muestra en la figura 5.2.b. Las ecuaciones que se derivan son:

Caso discreto: R1

G(t) =G expn

ii i

tG

(5.5)

donde ηi es el tiempo de relajación para el elemento iésimo de Maxwell.

Caso continuo: R0

G(t) =G exp ( )t

g d

(5.6)

donde g(η) es el denominado espectro de tiempos de relajación y es una función de peso ( de densidad), que

nos define la concentración de elementos de Maxwell con tiempos de relajación entre η y η + dη.

La distribución de los tiempos de relajación se muestra en la figura 5.5. El área sombreada para el valor η,

g(η)dη , representa el factor de intensidad de la relajación para dicho valor de η .

Cuando t = , J( ) = GU por definición y de ( 5.2) :

U R0

G =G ( )g d

(5.7)

de donde : U R0

( ) G - Gg d

(5.8)

Datos de ensayos de relajación de tensiones como los dados en la figura 5.6 se usan para determinar GU, GR y

la forma de la curva g(η).

La heterogeneidad de los materiales poliméricos es el origen de que los tiempos de retardo y de relajación

tengan lugar según una distribución.

41

Figura 5.5.- Distribución de tiempos de relajación a partir del modelo de la figura 5.2.b. El área

infinitesimal g()d representa la fuerza del retardo para el valor .

Figura 3.3.- Módulo de relajación de tensión observado en tracción, E(t), de un poliisobutileno a diferentes

temperaturas en la región de relajación vítrea-gomosa (Tg = - 80 ºC).

42

6.- Comportamiento de los polímeros a tensiones variables.

Los materiales poliméricos presentan un comportamiento viscoelástico y la respuesta (Deformaciones)

depende de:

-Nivel de tensiones (Incluso bajo tensiones constantes el material fluye).

-Tiempo de aplicación de la carga (Al aumentar el tiempo de aplicación aumentan las deformaciones).

La respuesta (Deformaciones) de un material polimérico consta de dos componentes:

-Componente elástica de respuesta inmediata (no depende del tiempo) y viene dada por la ley de Hooke.

-Componente viscosa de respuesta progresiva que depende del tiempo y viene dada por la ley de Newton, ζ =

η(dε/dt), que establece la proporcionalidad entre la tensión aplicada y la velocidad de variación de la

deformación.

Si una probeta de un material viscoelástico se somete a un ensayo de fluencia, a una determinada temperatura,

a la tensión inicial ζA0 = 0 desde el instante t = 0 hasta el instante t = t1 y después se incrementa la tensión a un

valor ζA1 constante en el instante t1 y se mantiene hasta el tiempo t2 y en este momento se vuelve a

incrementar la tensión hasta el valor ζA2 constante hasta el tiempo t3, se obtiene la respuesta dada en la figura

6.1, y que corresponde a un estado tensional formado por dos escalones de tensión.

.

43

Figura 6.1.- Evolución de la deformación de una probeta cargada con dos escalones de tensión.

Veamos a continuación la respuesta del mismo material cuando se le somete a un único escalón de tensión de

valor el máximo de la historia tensional anterior, es decir ζA2. Se obtiene la respuesta dada en la figura 6.2.

Figura 6.2.- Evolución de la deformación de una probeta cargada con un único escalón de tensión.

En la figura 6.3 se muestra la respuesta del material ante los dos estados tensionales de las probetas cargadas

de distinta forma, que hemos visto. Se puede observar que en el caso de un estado tensional formado por un

solo escalón el nivel de deformación es más alto.

Figura 6.3.- Evolución de la respuesta (Deformación) de dos probetas cargadas de distinta forma.

44

Si se analiza y compara la respuesta del material ante los dos estados tensionales se comprueba que al cabo de

un tiempo tx (> t2) la deformación correspondiente al estado tensional de un solo escalón es superior al de dos

escalones (Figura 6.4), aun cuando la tensión en dicho instante es la misma (ζ = ζA2) La diferencia tiende a

anularse transcurrido un tiempo suficientemente largo.

Figura 6.4.- deformación correspondiente al estado tensional de un solo escalón y al de dos escalones para un

tiempo tx (> t2).

Esta sencilla experiencia confirma que la historia de la evolución de cualquiera de las variables, ζ o ε influye

en el valor de la otra. En términos vulgares se dice que los plásticos tienen «memoria» y hay que tener en

cuenta el nivel de tensiones, la duración del estado tensional y la respuesta previa o acumulada, lo que es de

gran importancia en las tareas de cálculo y diseño en ingeniería, ya que dependiendo del estado tensional

previo el material va responder de una forma u otra.

Esta «memoria» produce efectos considerables en las técnicas de transformación de todos los polímeros. Así

por ejemplo en la extrusión, el flujo helicoidal a que está sometido el material por el tornillo de la extrusora

produce deformaciones en el producto a la salida de la hilera, si antes no se ha rectificado el flujo en el plato

rompedor y si no se deja distancia suficiente entre uno y otro como para que el material «olvide» su historia

anterior. Como es previsible, a mayor temperatura se reduce la «memoria» de todos los materiales.

45

7.- Carga intermitente. Principio de superposición de Boltzmann.

En el estudio considerado hasta ahora del comportamiento de los plásticos ante fluencia se ha asumido que la

tensión aplicada era constante. Sin embargo, los materiales en condiciones prácticas de servicio pueden estar

sometidos a modelos de carga más complejos, incluyendo ciclos de carga y descarga constantes o variables

con el tiempo.

En tales casos es útil tener métodos que nos permitan predecir la extensión de la recuperación de la

deformación que tiene lugar durante los períodos de reposo (descarga) y la acumulación de la deformación

después de N ciclos de cambios en la carga.

Hay que destacar que los materiales poliméricos son muy sensibles a la forma en que se les provoca un

determinado estado tensional, por ello se puede decir que los materiales poliméricos poseen historia o

memoria tensional, es decir son muy sensibles a como se ha llegado a un determinado estado tensional.

Hay varios métodos que se pueden usar para abordar tal problema, entre los que están:

1.- Principio de superposición de Boltzmann.

2.- Aproximación empírica.

Solamente analizaremos el primero de ellos.

Principio de superposición de Boltzmannn.

Es el método teórico más simple para predecir la respuesta de deformación de los materiales con

comportamiento viscoelástico lineal a historias de carga complejas.

Cuando un material con comportamiento viscoelástico lineal se somete a una tensión constante ζ0 (historia de

carga simple), en el instante t = 0, entonces la deformación de fluencia , ε(t), en cualquier instante posterior ,

t, viene dada por :

0 0

1( ) ( )

( )f

t J tE t

donde J(t) es la complianza de fluencia y Ef(t) el módulo de fluencia.

A continuación, consideremos el modelo de carga complejo que se muestra en la figura 7.1, donde además de

la tensión inicial ζ0, existen otras tensiones ζ1 , ζ2 y ζ3 que se aplican en los instantes t1 , t2 y t3

respectivamente (historia de carga compleja).

46

Figura 7.1.- Repuesta de deformación de fluencia ante una carga compleja.

Las respuestas serán:

A Δζ0 en el instante t = 0 , ε0(t) = Δζ0 J(t) = 0 ( )J t

Δζ 1 en el instante t = t1 , ε1(t) = Δζ1 J(t - t1) = 1 0 1J t t

A Δζ 2 en el instante t = t2 , ε2(t) = Δζ2 J(t – t2) = 2 1 2J t t

A Δζ 3 en el instante t = t3 , ε3(t) = Δζ3 J(t – t3) = 3 2 3J t t

donde J(t - ti) es la complianza de fluencia del material obtenida a partir de un ensayo de fluencia con un solo

escalón de carga . La contribución de cada etapa es el producto del incremento de tensión y de la función de

complianza de fluencia, que sólo depende del intervalo de tiempo que va desde el momento en que se mide la

deformación debida a la fluencia y el momento en que se aplica el incremento de tensión.

El principio de superposición de Boltzmann se basa en las siguientes suposiciones:

(i).- La respuesta de un material es una función de la historia de carga entera.

( ii).- Cada etapa de carga hace una contribución independiente a la deformación final y esta puede obtenerse

por la suma simple de cada contribución.

Las deformaciones producidas por tensiones variables en el tiempo pueden realizarse suponiendo que las

deformaciones originadas por cada una de las tensiones en cada instante son aditivas e independientes.

Entonces la deformación total, en el instante t, al modelo de carga de la figura 7.1, será la suma algebraica de

las respuestas, es decir:

ε(t) = Δζ0 J(t) + Δζ1 J(t - t1) + Δζ2 J(t – t2) + Δζ3 J(t – t2) (7.1)

La ecuación (7.1) puede generalizarse para el caso de una serie de N escalones:

47

1 1

1( )

n n

i i ii i if

t J t tE t t

(7.2)

donde Δζi es el cambio de carga (altura del escalón) que tiene lugar en el instante ti .

Si el cambio de tensión es continuo, en lugar de ser tipo escalón, la ecuación (7.2) puede generalizarse para

tener en cuenta los ciclos de carga continuos, así:

( ) ( ) ( )t

t J t d

(7.3)

que usualmente se pone en la forma :

( )

( ) ( )t d

t J t dd

(7.4)

donde : J(t - λ) es la complianza de fluencia después del intervalo de tiempo t - λ y ζ(λ) es la expresión que

nos da la variación de la tensión que comienza en el instante λ . El tiempo variable λse integra sobre el

intervalo (-∞, t , con el objeto de tener en cuenta el historial de carga previo.

De una manera similar se pueden derivar las expresiones para la respuesta de tensión (o relajación) ante una

historia de deformación compleja. Así, se tendrá:

( )

( ) ( )t d

t G t dd

(7.5)

donde G( t -λ ) es el módulo de relajación de tensiones después del intervalo de tiempo t - λ

8.- Carga dinámica.

Forma parte de nuestra experiencia que un recipiente de plástico, cuando es golpeado, emite una nota poco

aguda de corta duración, que es bastante diferente de la emitida por una campana o una copa de cristal. Esta

característica de alta capacidad de amortiguamiento mecánico es otra manifestación de la viscoelasticidad, que

es apreciada, por ejemplo, en absorbentes de choque. En estructuras de plástico sujetas a oscilaciones

forzadas, las vibraciones mecánicas a las frecuencias naturales de la estructura no aumentan fácilmente,

debido a la alta capacidad de amortiguamiento de los plásticos.

Un buen ejemplo de esto es el uso de materiales plásticos en la fabricación de barco, en particular en la

construcción del casco. Las vibraciones del casco, estimulado por los elementos, son amortiguadas

rápidamente. Aún más , el ruido creado por la maquinaria de los barcos es transmitido e irradiado con menor

facilidad al mar, donde podría causar interferencia con las sondas acústicas de profundidad y equipos

similares.

Cuando los componentes de la maquinaria estan hechos de plásticos por ejemplo, engranajes, ejes,etc., sus

altas características amortiguamiento significan que la vibración generada no es sostenida y transmitida de

modo que esto sea una molestia. Otra ventaja consiste en que el sonido del mar es disminuido debido al

amortiguamiento de las ondas acústicas al pasar a través del casco. En estos ejemplos las frecuencias de

vibración son algo diferentes: ¿cómo varían las características de amortiguamiento del polimero con la

frecuencia?

48

En este apartado se va a considerar la respuesta de los materiales poliméricos bajo un regimen de carga

dinámica y cíclica. Para un sólido con comportamiento viscoelástica lineal , bajo un régimen carga de tal

tipo y una vez que se alcanza el equilibrio, la deformación estará desfasada con respecta a la respuesta de la

tensión.

Es necesario conocer las características mecánicas dinámicas de un material polimérico cuando está sometido

a estados tensionales dinámicos. Las características mecánicas dinámicas son:

- Módulo complejo [E* (módulo de tracción), G* (módulo de cortadura o cizalla)]

- Módulo de almacenamiento (E1 o E’, G1 o G’)

- Módulo de pérdidas (E2 o E’’, G2 o G’’)

- Ángulo de desfase [δ o tag(δ)]

Veamos, en primer lugar, como es la respuesta que ofrece un material totalmente elástico frente a la

aplicación de un estado tensional dinámico, para ello vamos a evaluar en un diagrama deformaciones-tiempo

la respuesta frente a un estado tensional dinámico.

En la figura 8.1 se muestra dicha respuesta frente a un estado tensional dinámico definido por una onda de tipo

senoidal (Carga cíclica). Se puede apreciar que no existe ningún desfase entre tensiones y deformaciones, ya

que existe una proporcionalidad entre ellas (Ley de Hooke) y las deformaciones siguen también una onda de

tipo senoidal de la misma frecuencia ω.

Figura 8.1.- Respuesta de un material elástico frente a un estado tensional dinámico definido por una onda de

tipo senoidal.

Veamos ahora como es la respuesta que ofrece un material viscoelástico frente a la aplicación del estado

tensional dinámico de tipo senoidal anterior. En este caso el modelo físico incluye no solamente un muelle,

sino también un émbolo o pistón. Se puede apreciar que las deformaciones siguen también una onda de tipo

senoidal de la misma frecuencia ω, pero en este caso existe un desfase entre tensión y deformación.

49

Figura 8.2.- Respuesta de un material viscoelástico frente a un estado tensional dinámico definido por una

onda de tipo senoidal.

Tenemos pues, que suponiendo una tensión oscilatoria de frecuencia ω generada en una probeta de naturaleza

viscoelástica:

0( ) ( )t sen t (8.1)

La respuesta de la deformación será también sinusoidal, pero desfasada con la de la tensión:

0( ) ( )t sen t (8.2)

La deformación se queda retardada de la tensión en un ángulo de desfase δ. Esto se ilustra en la figura 8.2.

Expresiones equivalentes a las (8.1) y (8.2) son las siguientes:

0( ) ( )t sen t (8.3)

0( ) ( )t sen t (8.4)

En el caso de los materiales elásticos el módulo complejo E* a tracción vendrá dado por:

0 0

0 0

( )*

( )

sen tE

sen t

por lo que el módulo tiene un valor constante que no varía con el esfuerzo dinámico y, por tanto, el material

tendrá el mismo comportamiento cuando trabaja en condiciones estáticas, cuasi-estáticas y dinámicas.

La expresión de la tensión dada por (8.3) puede ponerse en la forma:

0 0 0( ) ( cos cos ) cos cost sen t sen t sen t sen t (8.5)

50

De la expresión anterior es claro que la tensión consiste de dos componentes: uno en fase con la deformación

(0cosδ) y otro desfasado en 90 º (0senδ).

La relación entre la tensión y la deformación en el caso dinámico puede definirse poniendo la expresión (8.5)

en la forma:

0 1 2( ) ( cos )t E sen t E t (8.6)

donde:

01

0

cosE

(8.7)

02

0

E sen

(8.8)

Así, la componente de la tensión E1ε0 esta en fase con la deformación oscilatoria y la componente E2ε0

desfasada 90 º.

En el caso de un material con comportamiento viscoelástico el módulo complejo E* será igual a:

E* = E1 + iE2 (8.9)

donde E1 es el módulo de almacenamiento, y define la energía almacenada debida a la tensión aplicada. Por

su parte, E2 es el módulo de pérdidas, y determina la disipación de energía.

El comportamiento mecánico dinámico de los materiales implica que se van a tener distintas respuestas o

comportamientos según los ángulos de desfase δ. En la figura 8.3 puede verse el comportamiento de un sólido

puramente elástico, de un líquido puramente viscoso y de un material viscoelástico.

51

Figura 8.3.- Comportamiento dinámico de un sólido elástico, un líquido viscoso y un material viscoelástico.

De las expresiones (8.7) y (8.8), de deduce la tangente del ángulo de desfase:

2

1

Etag

E (8.10)

La tag(δ) se denomina factor de pérdida, y es igual a cero para los materiales que son puramente elásticos.

Finalmente, vamos a ver cómo influye la frecuencia en la respuesta del material. El factor de pérdida, el

módulo de almacenamiento y el módulo de pérdida varían con la frecuencia de la carga, tal y como se muestra

en la figura 8.4. La curva es similar a la curva módulo - tiempo, exhibiendo regiones de comportamiento

vitreo (frecuencia alta) donde el módulo de almacenamiento es muy superior al módulo de pérdidas, ya que no

da tiempo a que el material se deforme con el paso del tiempo, gomoso ( frecuencia baja) donde el valor de los

módulos almacenamiento y de pérdidas es muy pequeño y viscoelástico (frecuencia intermedia) donde el

valor del módulo de pérdidas es mayor que el de almacenamiento.

52

Figura 8.4.- Módulo de almacenamiento, módulo de pérdida y factor de pérdida en función de frecuencia.

Para los sólidos que son elásticos puros tag(δ) es igual a cero. Un buen de sólido de bajas carácterísticas de

amortiguamiento es el cuarzo. Por otro lado, los polímeros tienen valores de δ del orden de varios grados, pues

en ciertos rangos de temperatura, por ejemplo desde la temperatura de transición vítrea a la gomosa, δ puede

alcanzar los 30 º.

9.- Naturaleza general de la fluencia en los polímeros.

El ensayo de tracción realizado a un polímero da lugar a una curva tensión – deformación (-ε) similar a la de

un material metálico, como se muestra en la figura 9.1. Al igual que los metales, los polímeros pueden

soportar deformación tanto elástica como plástica cuando se aplica un esfuerzo. La deformación

elástica se debe a dos mecanismos de estirado y distorsión de los enlaces dentro de la cadena y

movimiento recuperable de segmentos completos de las cadenas. La de formación plástica de los

polímeros se produce cuando las cadenas en el polímero se deslizan una sobre otra rompiendo

los enlaces débiles de van der Waals. Cuando cesa el esfuerzo, las cadenas permanecen en sus

nuevas posiciones y el polímero experimenta una deformación permanente.

La facilidad con la que se produce la deformación permanente está relacionada con la viscosidad

del polímero. Los polímeros con una alta viscosidad requieren mayores esfuerzos para causar

deformación plástica. El efecto de la temperatura en la viscosidad de los polímeros es idéntico que en los

vidrios:

0

ERTe

(9.1)

donde η0 y E, dependen de la estructura del polímero. La energía de activación E está relacionada

con la facilidad con la que las cadenas se deslizan una sobre otra. Conforme aumenta la

temperatura, el polímero es menos viscoso y se deforma más fácilmente.

53

Figura 9.1.- Curva tensión - deformación típica de un material dúctil.

Cuando se incrementa la deformación, el material pasa a través de una región elástica en la cual se recupera la

deformación, que en contraste con los metales es, por lo general, no lineal. La pendiente de la curva

disminuye hasta que se alcanza un valor máximo relativo de la tensión, que puede ser usado definir el límite

elástico, y. El valor de la deformación correspondiente a dicha tensión, εy, para un polímero es del orden del

5 -10 %, en comparación con el 0.1 % para los metales. En sentido estricto, el límite elástico del material

debería ser descrito como el punto en el cual empieza a tener lugar una deformación permanente . Esto es

muy difícil de definir en los polímeros ya que a veces es posible recuperar la deformación plástica aparente

más allá del límite elástico incrementando la temperatura del material.

TS (Tensile strenght) es el valor de la tensión a la que se produce la rotura y puede ser más pequeña que la

tensión correspondiente al punto de fluencia.

De hecho, la distinción entre deformación recuperable e irrecuperable depende de la escala de tiempo y de la

temperatura del experimento. Sin embargo, a pesar de esto, todavía se puede definir la tensión de fluencia

como el valor máximo alcanzado por la tensión nominal, como en el caso de los metales.

En la figura 9.2 puede verse la curva tensión-deformación del policarbonato y una probeta de polietileno de

alta densidad después de ser sometida a un ensayo de tracción en la que se muestra el alargamiento uniforme

(región larga y estrecha de la probeta)

54

Manufacturing Processes for Engineering Materials, 4th ed.

Kalpakjian • Schmid

Prentice Hall, 2003

Polymers in Simple Tension

FIGURE 10.13 (a) Load–elongation curve for polycarbonate, a thermoplastic. Source: R. P.Kambour and R. E. Robertson. (b) High-density polyethylene tension-test specimen, showing uniform elongation (the long, narrow region in the specimen).

Figura 9.2.- (a).- Curva tensión-deformación del policarbonato

(b).- Probeta de polietileno de alta densidad después de ser sometida a un ensayo de tracción.

Existen polímeros cuya curva tensión-deformación es diferente de la anterior y que se muestran en la figura

9.3. Se trata de polímeros con un comportamiento frágil (Rígidos) y con un comportamiento no rígido y

flexible.

Manufacturing Processes for Engineering Materials, 4th ed.

Kalpakjian • Schmid

Prentice Hall, 2003

Terminology of Polymer Behavior

FIGURE 10.8 General terminology describing the behavior of three types of plastics. PTFE

(polytetrafluoroethylene) is Teflon, a trade name. Source: R. L. E. Brown.

Figura 9.3.- Terminología general describiendo el comportamiento de tres tipos de polímeros.

55

El mecanismo básico de deformación elástica de los polímeros semicristalinos (Figura 9.4) es la elongación

(enderezamiento) de las cadenas de moléculas del polímero en la dirección de la tensión aplicada. El módulo

elástico es definido por las propiedades elásticas de las regiones amorfas y cristalinas y por la microestructura.

Figura 9.4.- Polímero semi – cristalino (Regiones cristalinas separadas por zonas amorfas).

56

Por su parte, el mecanismo de la deformación elástica y plástica se describe mejor en función de las

interacciones de las laminillas con las regiones amorfas intermedias como respuesta al esfuerzo aplicado. En la

figura 9.5 se esquematizan las etapas que se presentan en la deformación elástica de un polímero

semicristalino. En la figura 9.5.a se muestran dos laminillas de moléculas plegadas y el material amorfo

interlaminar antes de la deformación. En la etapa inicial de la deformación (Figura 9.5.b) las laminillas

deslizan unas con respecto de las otras y la región amorfa se extiende.

La deformación en la segunda etapa se produce por los cambios en ambas las regiones amorfas y laminar. En

la región amorfa las cadenas siguen alineándose y alargándose. Además, hay flexión y estiramiento de los

fuertes de enlaces covalentes en las cadenas de los cristales laminares. Esto lleva a un ligero aumento

reversible del espesor (t) de la cristalita laminar como se indica en la figura 9.5c y as laminillas se alinean en

la dirección del esfuerzo.

En la medida que los polímeros semicristalinos se componen de regiones cristalinas y amorfas, es posible, en

cierto sentido, considerarlos como materiales compuestos. Como tal, el módulo elástico puede tomarse como

una combinación de los módulos de la fase cristalina y de la fase amorfa.

Por su parte, en la figura 9.6 se esquematizan las etapas que se presentan en la deformación plástica de un

polímero semicristalino. Durante la etapa 3, las cadenas adyacentes en las láminas cristalinas deslizan una

sobre otra (Figura 9.6.b), lo que da lugar a una inclinación de las laminillas de tal modo que las cadenas

plegadas se alinean cada vez en la dirección de la tensión. Cualquier desplazamiento de la cadena es resistido

por los enlaces secundarios o de Van der Waals, que son relativamente débiles.

En la etapa 4 se produce una separación de segmentos de bloques cristalinos de las láminas, (Figura 9.6c), que

permanecen unidos entre sí por cadenas de amarre o de unión. En la etapa final (Etapa 5), los bloques y las

cadenas de amarre se orientan en la dirección de la tensión de tracción aplicada (Figura 9.6d). Por lo tanto, la

deformación a tracción de los polímeros semicristalinos produce una estructura altamente orientada. Este

proceso de orientación se conoce como “drawing” y se utiliza para mejorar las propiedades mecánicas de

fibras y películas de polímeros. Naturalmente, la forma de las cristalitas o micelas y de las esferulitas también

experimenta cambios.

Las características mecánicas de los polímeros semicristalinos pueden modificarse. Así, cualquier restricción

al proceso esquematizado en la figura 9.5 resulta en un incremento de la resistencia. Por ejemplo, al aumentar

el grado de entrecruzamiento de las cadenas, el movimiento relativo de éstas se inhibe y, por consiguiente,

aumenta la resistencia y la fragilidad del polímero. El entrecruzamiento puede favorecerse por irradiación.

Cuando una muestra de un polímero se expone a ciertos tipos de radiaciones, algunos enlaces de las cadenas

laterales se rompen generando sitios que favorecen el entrecruzamiento.

A pesar de que los enlaces intermoleculares secundarios (por ejemplo, los de van der Waals) son mucho más

débiles que los covalentes primarios, aquéllos suelen ser más efectivos para inhibir la movilidad relativa de las

cadenas. Así, las propiedades mecánicas de los polímeros dependen en gran medida de la magnitud de dichas

fuerzas intermoleculares.

57

7

Figura 9.5.- Etapas del mecanismo de la deformación elástica de los polímeros semicristalinos.

Figura 9.6.- Etapas del mecanismo de la deformación plástica de los polímeros semicristalinos.

En la figura 9.7 puede verse la respuesta de un polímero frágil y dúctil mostrando los cambios estructurales.

58

Figura 9.7.- Respuesta de un polímero frágil y dúctil mostrando los cambios estructurales.

El grado de cristalinidad de un determinado polímero influye decisivamente en sus propiedades mecánicas, ya

que el grado de cristalinidad influye en la cantidad de enlaces secundarios intermoleculares presentes. En las

regiones cristalinas, donde las cadenas moleculares están empaquetadas y dispuestas ordenada y

paralelamente, suele haber enlaces secundarios entre segmentos de cadenas adyacentes. Estos enlaces

secundarios son mucho menos numerosos en las regiones amorfas, donde las cadenas están desalineadas. Así,

el aumento de la cristalinidad de un determinado polímero mejora generalmente las propiedades mecánicas.

El peso molecular es otra característica de las cadenas moleculares que influye en el comportamiento

mecánico. En los polímeros de bajo peso molecular, la resistencia mecánica aumenta al aumentar el peso

molecular. En la figura 9.8 se representa el comportamiento de un polímero en función del tanto por ciento de

cristalinidad y del peso molecular.

Una técnica industrial muy importante para modificar la resistencia mecánica de los polímeros es la

predeformación por estiramiento, lo cual alinea las cadenas en la dirección de estirado originando estructuras

orientadas como la que se muestra en la figura 9.6.d. Las velocidades pequeñas de deformación son más

efectivas que las altas velocidades de deformación para provocar la cristalización. Este proceso es análogo al

de endurecimiento por deformación de los metales.

Los resultados del estiramiento son: aumento del modulo de elasticidad (E) y de la resistencia (TS) en la

dirección de estirado y disminución de la ductilidad. La predeformación por trefilado se utiliza para aumentar

la resistencia de materiales fibrosos.

59

Figura 9.8.- Influencia del peso molecular y del grado de cristalinidad en el comportamiento mecánico.

El problema principal en la caracterización de la deformación plástica de los polímeros, a diferencia de los

metales, es que el punto de fluencia es muy sensible a las condiciones experimentales y, en particular, a las

variables siguientes:

(i).- Velocidad de deformación

(ii).- Temperatura

(iii).- Presión hidrostática

El efecto de la velocidad de deformación y de la temperatura sobre la tensión de fluencia, para el PMMA, se

muestra en la figura 9.9. Como consecuencia del principio de superposición temperatura- tiempo, un aumento

de la temperatura tiene el mismo efecto que una reducción de la velocidad de deformación, lo que trae consigo

una disminución de la tensión de fluencia.

La tensión de fluencia se aproxima a cero cuando la temperatura se acerca a la temperatura de transición de

vítrea, Tg, como es de esperar para un polímero amorfo. Los polímeros semicristalinos muestran un

comportamiento similar pero la tensión de fluencia se aproxima a cero en la temperatura que se produce la

fusión de los cristales, Tfc, y no en Tg. La reducción de la temperatura o el aumento de la velocidad de

deformación, tienen el efecto de aumentar la tensión de fluencia hasta un punto tal que el material no falla de

una manera dúctil, pero exhibe una rotura de tipo frágil. Este punto es llamado la transición dúctil - frágil del

material

Figura 9.9.- Variacion de la tensión de fluencia del PMMA con la temperatura para varias velocidades de

deformación.

60

La transición dúctil - frágil esta claramente ilustrada mediante la serie de curvas de tensión- deformación (

- ) del PMMA, realizadas a temperaturas y velocidades de deformación diferentes, que se muestran en la

figura 9.10.

Se puede observar que un incremento de la temperatura o una disminución de la velocidad de aplicación de la

carga trae como consecuencia una disminución del módulo elástico y un aumento de la ductilidad

19

Polymers: Viscoelasticity

• Dependency of stress-strain behavior on time

and loading rate

• Due to mobility of chains with each other

• Crosslinking may affect viscoelastic response

Str

ess

Strain

increasing loading

rate

Figura 9.10.- Efecto de la temperatura y de la velocidad de aplicación de la carga en la tensión de fluencia del

PMMA.

Un aumento de la presión hidrostática tiene el efecto de aumentar tanto el módulo elástico como la tensión de

fluencia de los polímeros, los efectos son mayores para los materiales amorfos. El efecto de la presión es

reducir el volumen libre o la densidad de empaquetamiento en las regiones del cristal, lo que conduce a un

aumento de la tensión de fluencia y que el material se vuelva más frágil. Sin embargo, este efecto es

contrapesado por la presión que tiende a reducir la influencia de las grietas o defectos, con el conssiguiente

aumento de la resistencia a la fractura frágil. En algunos casos , se pueden conseguir grandes aumentos de la

ductilidad mediante un aumento de la presión. La figura 9.11 muestra los resultados obtenidos para el PP y el

PE, con presiones de hasta 6000 atmósferas. Estas presiones no mostrarían ningún efecto sobre el

comportamiento en fluencia de un metal.

61

Figura 9.11.- Efecto de la presión sobre la tensión de fluencia del PP y del PE.

10.- Estrechamiento o estricción y estirado en frío.

En la figura 10.1 se ha dibujado la gráfica esfuerzo-deformación de un material semicristalino, inicialmente no

orientado, y el perfil de una probeta en varias etapas del proceso de deformación. Por ejemplo, la curva

tensión-deformación típica de un polietileno o un nylon es similar a la que se muestra en la figura

10.1. La curva presenta tres regiones.

A pequeñas cargas el polímero es elástico lineal. A medida que va au mentando la deformación las

moléculas del polímero se estiran y se alinean. El proceso comienza en un punto de concentración de

tensiones y un segmento del fuste central se estrecha, como el estrangulamiento en una probeta de ensayo

de tracción.

Como en el caso de los metales, durante el ensayo de tracción los polímeros pueden mostrar un estrechamiento

localizado y el estirado en frío después del fenómeno de fluencia. La formación del cuello primero se observa

como una reducción local del área transversal y se corresponde con una caída de la carga observada en el

punto de fluencia. Si el cuello es estable, la carga permanecerá en un valor estable y el cuello se irá formando

a lo largo de toda la longitud de la probeta, es decir se observara el estirado en frío, es decir uanto mas se va

deformando el polímero por tracción en frío mayor va siendo el el esfuerzo necesario para que prosiga la

deformación por tracción.

Los límites de fluencia superior e inferior, Fs y Fi, son evidentes en la curva, la cual continúa casi paralela al

eje de abscisas. Cuando se alcanza el límite de fluencia superior, en la sección central de la probeta aparece

una pequeña estricción, dentro de la cual las cadenas se orientan, observándose como una reducción local del

área transversal y se corresponde con una caída de la carga observada en el punto de fluencia.

Esto hace que la resistencia aumente localmente y, por consiguiente, en ese punto hay ahora una oposición a

que la deformación continúe. Por tanto, la elongación de la probeta prosigue por propagación longitudinal de

la estricción a lo largo de la zona central. El fenómeno de orientación de las cadenas acompaña a la

propagación de la estricción. Este comportamiento frente a la tracción es comparable al de los metales

dúctiles, en los cuales se forma una estricción localizada y toda posterior deformación queda limitada a la

región de esa estricción.

62

Figura 10.1.- Curva de tracción de un polímero mostrando la formación del cuello y el estirado en frío.

63

Cuando toda la longitud de la probeta ha experimentado la formación del cuello, tendrá lugar el

endurecimiento por deformación y la carga aumenta hasta que aparece la fractura. Este flujo recuerda el de los

metales que se deforman por el movimiento de las dislocaciones a lo largo de los planos de deslizamiento, de

forma que algunos polímeros presentan un flujo tangencial o cortante.

Muchos polímeros, entre los que se encuentran el polietileno PE, el polipropileno PP y el nylon, estiran a

temperatura ambiente, mientras que otros con Tg más alta, como el poliestireno PS, necesitan mayores

temperaturas para el estirado.

La cantidad de estirado en frío se denomina como la relación de estirado del material. En algunos polímeros

no se forma un cuello estable, pero en el lugar donde se formo el cuello original, este sigue haciéndose más

delgado hasta que ocurre la fractura. Esto es el denominado cuello inestable. Los tres tipos de deformación se

ilustran en la figura 10.2.

Figura 10.2.- Curvas tensión – deformación para la formación de un cuello estable o inestable o la no

formación del cuello.

Las condiciones para que produzca la formación del cuello y el fenómeno deestirado en frío se muestran mejor

trazando la curva tensión verdadera, (carga P dividida por el área de la sección transversal instantánea, A)

en función de la deformación , ε. La relación entre la tensión nominal n (carga P dividida por el área de la

sección transversal original, A0) y la tensión verdadera, , puede deducirse así:

Tensión verdadera: P

A (10.1)

Tensión nominal: 0

n

P

A (10.2)

La deformación real ε, puede calcularse a partir de la expresión que nos da el elemento diferencial de

deformación:

dL

dL

(10.3)

donde:

L = Longitud de la probeta en el instante t después de aplicar la carga.

dL = Incremento de longitud de la probeta en el intervalo de tiempo (t, t+dt)

Integrando la expresión (10.3) entre la longitud inicial L0 y la longitud instantánea L:

64

00

0

L L

LL

dL LLnL Ln

L L (10.4)

Si no ocurre cambio de volumen durante la deformación se tiene:

0 0 A L AL de donde:

0 0

L A

L A (10.5)

con lo que:

0

ALn

A (10.6)

Las tensiones y deformaciones reales están relacionadas con las nominales mediante

0 0 0

0 0 0

1 (1 )L L L L LL

Ln Ln Ln LnL L L

(10.7)

n

F

A y

0

F

A 0 0 0

0

(1 )o

n

A L L LL

A L L

(10.8)

Las ecuaciones (10.7) y (10.8) son válidas solamente cuando la probeta se va alargando a expensas de una

reducción uniforme y constante de la sección a lo largo de toda la probeta. A partir del momento en que

produzca una estricción localizada la tensión y la deformación reales deben ser calculadas a partir de las

medidas de las cargas, secciones transversales y longitudes de prueba reales.

De la expresión (10.8) se obtiene:

1 1

1n

R

(10.9)

donde R es la relación de estirado.

Cuando un cuello comienza a formarse la carga alcanza un máximo, esto es 0dP

d . Así:

2

1n nd d d

d dR R dR R

(10.10)

e igualando a cero la expresión (10.10), nos queda:

d

dR R

(10.11)

Una construcción especial (Considère) muestra el punto en el cual ocurre la formación del cuello (Figura

10.3). La tangente a la curva tensión – deformación verdadera desde el punto ε = -1 , esto es R = 0, corta a la

curva cuando se cumple la condición (10.11). La construcción también permite determinar la condición para

que un cuello sea estable . Éste es el caso cuando solamente una segunda tangente puede ser trazada a la curva,

el punto de intersección correspondiente será un mínimo en la curva tensión - deformación. La construcción

Considère, por lo tanto, puede usarse como un criterio para decidir si un polímero formará cuello, o formará

cuello y estirará.

65

(c)

Figura 10.3.- Tres tipos curvas tensión - deformación verdadera tuercen para polímeros.

(a).- Ningún cuello; (b).- Cuello inestable; (c). Cuello estable.

Los mecanismos para la formación del cuellos comienzan con una reducción local del área de la sección

transversal o con una fluctuación local de las propiedades del material, que permite que ocurra la fluencia en

un pequeño elemento. La deformación continuará dentro de ese elemento debido a que tiene una baja rigidez

efectiva y la tensión local es alta. Esta región podría desarrollarse como un cuello inestable, sin embargo, el

endurecimiento por deformación del material puede detener su deformación . En el caso de los polímeros esto,

puede pensarse, que es debido a la orientación molecular (multiplicación de las dislocaciones en los metales).

Si el endurecimiento por deformación ocurre en un grado suficiente, una posterior deformación ocurrirá en

nuevos elementos del material que sean menos rígidos, aunque la tensión actual sobre los elementos pueda ser

más baja. De este modo un cuello estable puede propagarse a lo largo de la muestra. La formación de un

cuello estable también depende de la disipación de calor durante el proceso de estirado. Demasiado calor

localizado causará un cuello local inestable y el fracaso o fallo consiguiente. El estirado estable es

particularmente importante en procesos como la extrusión de fibras y en el soplado de películas.

11.- Revisión de los criterios de fluencia.


Un ensayo de tracción por si solo no puede dar una descripción completa del comportamiento del material

ante fluencia para el diseño y es importante obtener los criterios generales de fluencia , esto es una función de

las tensiones o de las deformaciones que alcanza un valor crítico para todas las formas de ensayo y

combinaciones de las componentes de la tensión. Aunque se ha sugerido muchos criterios de fluencia, con

diferente apoyo experimental, los dos criterios principales adoptados para metales son los de Tresca (1864) y

Von Mises (1913). Con alguna modificación estos criterios también pueden ser aplicables a los polímeros.

La iniciación de deformaciones plásticas va a producir variaciones cualitativas de las propiedades del material

y no digamos la rotura de la pieza, que puede producir la ruina de la estructura de la que forma parte. Por eso

es de gran importancia averiguar como se producen y cuáles son las causas determinantes del comienzo de las

deformaciones anelásticas. El objetivo de este apartado es exponer las diversas teorías o criterios con los

cuales se ha tratado de determinar la combinación de tensiones y sus correspondientes deformaciones que

agota el régimen elástico del material. Dichos criterios explican el comienzo de las deformaciones plásticas

en un sólido elástico sometido a un estado tensional triple,

Ya se comprende que en un estado tensional simple el problema se resuelve muy fácilmente: se hace el ensayo

del material a tracción y se obtiene en el diagrama de tracción el punto característico correspondiente a la

tensión límite para este material. Tomaremos como tal el límite elástico o tensión de fluencia e.

66

Los criterios para materiales isotrópicos, normalmente, se dan en términos de las componentes de la tensión

de la matriz de tensiónes, ij (Figura 11.1.1).

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x yx zx

ij xy y zy

xz yz z

T

(11.1.1)

Figura 11.1.1.- (a).- Cuerpo sometido a un sistema de fuerzas aplicadas cualesquiera.

(b).- Elemento de volumen diferencial con vértice en el punto O, con las componentes, según

los ejes coordenados, de las tensiones que actúan sobre las caras (Tensiones normales, y

tensiones cortantes, )

Tomando como sistema de referencia el triedro correspondiente a las direcciones principales (Figura 11.1.2),

es decir donde las tensiones cortantes tangenciales son nulas, la matriz de tensiones se reduce a su forma

diagonal

1

2

3

0 0

0 0

0 0

ij

(11.1.2)

en la que los términos de la diagonal principal son precisamente los valores de las tensiones principales.

Las tensiones principales son los valores propios o autovalores de la matriz de tensiones y las direcciones

principales las definidas por los vectores propios o autovectores de dicha matriz.

67

Figura 11.1.2.- Sistema de referencia cuyos ejes coinciden con las direcciones principales.

Dado que el estado tensional en los puntos del sólido viene definido por la matriz de tensiones [T], un

criterio de plastificación será una ley que defina el límite del comportamiento elástico del material, es

decir, una ley cuya expresión matemática traduzca que una determinada función de la matriz de tensiones

alcance un valor crítico C.

f T C (11.1.3)

Si el valor de esta función en cualquier punto es menor que el valor crítico

f T C (11.1.4)

el material se comporta elásticamente, sin que se haya producido en ningún punto plastificación alguna.

Si, por el contrario, existen puntos en los que se verifica

f T C (11.1.5)

se habrán producido en esos puntos deformaciones plásticas.

Ahora bien, como estamos considerando materiales isótropos, es evidente que la plastificación no depende

del sistema de referencia de la matriz de tensiones. Por tanto, podemos, sin pérdida de generalidad,

considerar en cada punto un sistema de referencia cuyos ejes sean coincidentes con las direcciones principales.

De esta forma, el criterio de plasticidad expresado por la ecuación (11.1.3), es claro que se puede expresar

en función de las tensiones principales de la siguiente forma:

1 2 3, ,F C (11.1.6)

Por otra parte, la matriz de tensiones se puede descomponer en suma de otras dos:

1 1

2 2

3 3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

m m

m m

m m

(11.1.7)

68

siendo:

1 2 3

3 3m

(11.1.8)

Se ha comprobado experimentalmente que la plastificación de los materiales es independiente de la tensión

normal media, por lo que la matriz esférica, primera matriz de la descomposición (3.1.7)), no interviene en

el proceso de plastificación. Esta matriz produce cambio de volumen, pero no de forma. Por el contrario, la

matriz desviadora produce cambio de forma y no de volumen, ya que su primer invariante es nulo.

1 1 2 3 3 0mI (11.1.9)

y es nula también la dilatación cúbica unitaria

1 2

eE

(11.1.10)

Esta distorsión o cambio de forma es la causante de la plastificación del material.

Estas consideraciones nos conducen a una representación geométrica del fenómeno de la plastificación. En

efecto, si consideramos un punto de un sólido elástico en el que exista un estado tensional cuyas tensiones

principales sean 1, 2, 3, el punto representativo en el espacio de tensiones principales es P(1, 2, 3)

(Figura 11.1.3).

Figura 11.1.3.- Representación geométrica del fenómeno de la plastificación

El vector OP se puede considerar como suma de otros dos.

OP OA AP

siendo A la proyección ortogonal de P sobre la trisectriz 1 = 2 = 3.

Las coordenadas de A son iguales a la tensión media m, ya que el plano que es perpendicular a la trisectriz

y pasa por P tiene por ecuación:

1 2 3 0x y z (11.1.11)

Las coordenadas de A se obtienen cortando este plano por la trisectriz.

1 2 33 0A A A A mx x y z (11.1.12)

69

Como la plastificación, según se ha dicho antes, es independiente de la tensión normal media, ésta no

dependerá de la componente OA, sino solamente de la componente desviadora AP, es decir, la

plastificación se iniciará cuando el módulo del vector AP alcance un valor crítico, independientemente del

valor que pueda alcanzar el módulo de OA. Por tanto, la expresión matemática (3.1.6) que traduzca un

criterio de plasticidad vendrá representado en el espacio de tensiones principales por una superficie que

llamaremos superficie de plastificación. Esta superficie será un cilindro de generatrices paralelas a la

trisectriz y es tal que si el punto P representativo del estado tensional de un determinado punto del sólido

elástico es interior a él, el sólido está trabajando en ese punto en régimen elástico. Si, por el contrario, el

punto P está sobre la superficie del cilindro o es exterior a él, existirán en el punto considerado

deformaciones plásticas.

En la figura 11.1.4 se representa la superficie de plastificación, así como la superficie de rotura que se

obtiene experimentalmente. En esta última se distinguen dos zonas: una, interior a la superficie de

plastificación en la cual se produce la fractura frágil sin que se haya producido previamente plastificación

alguna; y otra exterior, en la que la mayor distancia de sus puntos a la trisectriz, respecto de la superficie de

plastificación, se explica por la etapa de fortalecimiento que existe en los materiales elásticos reales, que se

considera despreciable en el diagrama elastoplástico ideal, supuesto anteriormente.

La zona de fractura frágil sin plastificación previa refleja el comportamiento de los materiales frágiles,

mientras que la zona de la superficie de rotura exterior a la superficie de plastificación explica el

comportamiento de las materiales dúctiles.

Figura 11.1.4.- Superficie de plastificación y superficie de rotura.

11.2.- Criterio de la tensión tangencial máxima de Tresca.

Denominado frecuentemente criterio de Tresca-Guest, o simplemente criterio de Tresca, expresa que la

acción anelástica en un punto de un cuerpo en el que existe un estado tensional cualquiera comienza cuando

la tensión tangencial máxima (que se presenta, como se sabe, en dos planos de la radiación de vértice el

punto) alcanza un valor igual al alcanzado en el ensayo a tracción cuando se inicia la fluencia, es decir,

cuando (1> 2> 3):

1 3

2MAX

= Constante (11.2.1)

70

En un ensayo de tracción 1 es igual a la tensión aplicada y 2,= 3 = 0, con lo que:

1

2 2Y

MAX

donde Y es la tensión de fluencia a tracción.

El criterio de Tresca, por tanto, es:

1 3

2 2Y

(11.2.2)

Esto equivale a decir que la tensión de fluencia a cortadura no debe exceder a la mitad del valor de la tensión

de fluencia a tracción.

Esta teoría es razonablemente aceptable para materiales dúctiles sometidos a estados de tensión en los que se

presentan tensiones tangenciales relativamente grandes.

Se puede representar gráficamente la condición (11.2.2) en unos ejes cartesianos 1, 2 y 3 cuyas

coordenadas midan las tensiones principales en los puntos del material.

El criterio de Tresca-Guest se expresará mediante las ecuaciones:

1 2 Y

2 3 Y (11.2.3)

3 1 Y

o bien mediante la ecuación única que las comprende:

2 2 22 2 2

1 2 2 3 3 1 0Y Y Y (11.2.4)

que no es otra cosa que la ecuación de la superficie de plastificación, formada por seis planos, paralelos dos a

dos y paralelos todos ellos a la trisectriz 1= 2= 3 (Figura 11.2.1).

Estos seis planos se cortan formando un prisma de eje la trisectriz del octante positivo, cuya sección recta es

un hexágono regular. Si el punto representativo del estado tensional de un punto interior del sólido es

interior a este prisma, indica que el sólido trabaja en régimen elástico en el punto que se considera. Si por el

contrario, el punto representativo está contenido en alguna de las caras del prisma esto significa que en el

punto del sólido se producen deformaciones plásticas.

Figura 11.2.1.- Superficie de plastificación, formada por seis planos, paralelos dos a dos y paralelos todos

ellos a la trisectriz 1= 2= 3

71

Para los estados tensionales planos, la expresión (11.2.4) se reduce a:

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 0Y Y Y (11.2.5)

Si se representa esta ecuación en el plano 1 y 2 se obtiene el hexágono (Figura 11.2.2) cuyos lados vienen

definidos por las ecuaciones

1 2 Y

2 Y (11.2.6)

1 Y

Este hexágono no es sino la intersección de la superficie de plastificación con el plano coordenado 3 = 0 en el

espacio de las tensiones principales. Si el punto representativo del estado tensional plano, en un determinado

punto del sólido elástico, es interior al hexágono, el sólido trabaja en ese punto en régimen elástico. Si, por el

contrario, el punto representativo se encuentra sobre el contorno del hexágono, significa que en el punto

considerado del sólido elástico se producen deformaciones plásticas.

Figura 11.2.2.- Hexágono resultante de la intersección de la superficie de plastificación con el plano

coordenado 3 = 0

11.3.- Criterio de la energía de distorsión de Von Mises.

Propuesto por Von Mises fue el fruto de los trabajos analíticos de Huber y Henchy y expresa que la acción

anelástica en un punto de un cuerpo en el que existe un estado tensional cualquiera comienza cuando la

energía de distorsión por unidad de volumen en un entorno de dicho punto es igual a la energía de

distorsión absorbida por unidad de volumen cuando el material alcanza la tensión de fluencia en el ensayo a

tracción.

Para llegar a la formulación analítica de este criterio veamos cuál es la expresión de la energía de

distorsión en un estado tensional triple, en el que las tensiones principales son 1, 2 y 3.

Nos apoyaremos en la propiedad de que la energía de deformación por unidad de volumen se puede

descomponer en dos partes, una de ellas, debida al cambio de volumen y otra, ΨD, vinculada a la

distorsión o cambio de forma a volumen constante de dicho volumen unitario, como esquemáticamente se

indica en la figura 11.3.1

72

.

Figura 11.3.1.- Descomposición en dos partes de la energía de deformación por unidad de volumen.

(m es la equitensión media:1 2 3

3m

)

La energía de deformación por unidad de volumen es:

= V + D = 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

2E E

(11.3.1)

La debida al cambio de volumen es:

1

32

V m m

y como por la ley de Hooke:

1

1 2m m m mE E

queda:

V = 23

1 22

m

E

=

22 2 2

1 2 31 2

6E

(11.3.2)

La energía por unidad de volumen debida al cambio de forma, ΨD, se puede obtener como diferencia entre Ψ y

ΨV

D = - V = 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1

2E E

-

22 2 2

1 2 31 2

6E

Simplificando se obtiene:

D = 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1

6E

(11.3.3)

esta ecuación, particularizada para un estado tensional simple, nos da:

D =2 2 2

1 1 1

1 1

6 3E E

(11.3.4)

73

Por tanto, según este criterio, no aparecerán deformaciones plásticas mientras se verifique:

2 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1 1

6 3Y

E E (11.3.5)

es decir:

2 2 2 2

1 2 2 3 3 1 2 Y (11.3.6)

La expresión obtenida del criterio de Von Mises nos indica que la superficie de plastificación es un cilindro de

revolución cuyo eje es la trisectriz 1= 2= 3 (Figura 11.3.1).

Figura 11.3.1.- Superficie de plastificación del criterio de Von Mises: cilindro de revolución cuyo eje es la

trisectriz 1= 2= 3

En el caso de estados tensionales planos, la expresión del criterio de Von Mises se reduce a:

2 2 2 2

1 2 2 1 2 Y (11.3.7)

o bien

2 2 2

1 2 1 2 Y ,

2 2

1 2 1 2 1Y Y Y Y

(11.3.8)

que es la ecuación de una elipse que se representa en la figura 11.3.2. En la misma figura se ha dibujado

el hexágono que para los estados tensionales planos se ha obtenido con el criterio de Tresca. De su

observación se deduce que la superficie de plastificación del criterio de Tresca, el prisma que hemos

visto de sección recta hexagonal regular, está inscrito en el cilindro de plastificación del cri terio de Von

Mises.

74

Figura 11.3.2.- Criterios de fluencia de Tresca y de Von Mises para estados tensionales planos

En un estado de cortadura pura, tal como el que se presenta en un prisma de revolución sometido a torsión

(Figura 11.3.3), se verifica

1 , 2 0 , 3

La energía correspondiente al cambio de volumen es nula, por ser m = 0. La energía de distorsión, según

(11.3.5), será:

2 2 2 21 14

6D

E E (11.3.9)

Según el criterio de la energía de distorsión, la fluencia comenzarla para un valor de Y tal que:

2 21 1

6 3Y YE E

de donde:

3

YY

(11.3.10)

que esta totalmente acorde con los resultados experimentales obtenidos con materiales dúctiles.

Figura 11.3.3.- Estado de cortadura pura.

75

11.4.- Teoría de Mohr.

Las teorías acerca del comienzo de las deformaciones anelásticas expuestas en los apartados precedentes, y

de forma especial la de la tensión tangencial máxima (Criterio de Tresca), han servido de base para la

llamada teoría de los estados límites de Mohr que es quizá la más aceptada hoy día. Una versión de esta

teoría es la propuesta por A. Caquot en 1935 y que se conoce con el nombre de teoría de la curva intrínseca.

Dado un estado tensional arbitrario supongamos que multiplicamos todas sus componentes por un mismo

número n, lo que equivale a decir que obtenemos un estado tensional homotético al dado, de razón de

homotecia n. Si vamos aumentando el valor de n llegará un momento en que el estado de tensión en el

cuerpo es límite, es decir, o se produce la rotura o aparecerán deformaciones plásticas. Dibujemos para este

estado tensional límite el mayor de los círculos de Mohr (Figura 11.4.1).

Figura 11.4.1.- Estado tensional límite, en el que aparece el mayor de los círculos de Mohr.

Procedamos con el mismo material de la operación anterior a variar homotéticamente diferentes estados de

tensión en sus puntos hasta alcanzar el estado límite. Para cada uno de ellos dibujamos el mayor círculo de

Mohr correspondiente. La teoría de Mohr admite la unicidad de la curva envolvente de los círculos de Mohr

para los estados límites y su independencia de los valores que toman las tensiones principales intermedias.

La forma de esta envolvente, llamada curva intrínseca, es una característica mecánica del material que

depende de las propiedades físicas del mismo.

Si se conoce la curva intrínseca de un material, la determinación del coeficiente de seguridad de un estado

tensional dado es inmediata: Dibujaríamos el círculo homotético al de Mohr correspondiente al estado

tensional dado, que sea tangente a la curva intrínseca. La razón de homotecia es precisamente el coeficiente

de seguridad, ya que éste se define como el número por el que hay que multiplicar la matriz de tensiones

para obtener la correspondiente a un estado tensional que fuera límite.

Ya se comprende la dificultad de obtener con exactitud la curva intrínseca de cada material, por lo que nos

contentaremos con la solución aproximada de considerar como curva intrínseca las tangentes comunes a los

círculos límites correspondientes a los ensayos de tracción y compresión simples (Figura 11.4.2).

Denominaremos et y ec las tensiones de fluencia a tracción y a compresión respectivamente, valores que,

en general, para los diversos materiales, son distintos.

76

Figura 11.4.2.- Tangentes comunes a los círculos límites correspondientes a los ensayos de tracción y

compresión simples

Supongamos ahora un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas tensiones principales son

1, 2 y 3, y definamos como tensión equivalente equiva, la que existiría en una probeta de ese material

sometido a tracción, tal que el coeficiente de seguridad del estado tensional dado y el de la probeta a

tracción fuera el mismo.

Pues bien, la teoría de Mohr se basa en la determinación de esta tensión equivalente para su comparación

con la tensión de fluencia e que es la que en el ensayo a tracción determina el comienzo de las

deformaciones plásticas en el material.

Calcularemos, pues, el valor de equiva en el supuesto de que la curva intrínseca esté formada por las

tangentes a los círculos de Mohr limites a tracción y a compresión. Para un cierto estado tensional, cuyas

tensiones principales extremas son 1 y 3, apliquemos una homotecia de razón n para que el estado dado se

convierta en un estado límite.

Geométricamente, equivale a encontrar un círculo de diámetro ’1-’3 que sea tangente a la curva

intrínseca, homotético al de diámetro 1-3, con centro de homotecia el origen 0, tal que ’1 = n1 y ’3 =

n3.

Si C es el punto de tangencia de este círculo con la curva intrínseca y trazamos por C una paralela al eje de

abscisas, que corta a los radios de los círculos límites a tracción y compresión, perpendiculares a la curva

intrínseca, en los puntos D y E respectivamente, de la figura 11.4.3 se deduce:

AD BE

DC EC

77

' '

1 3

2 2etAD

,

' '

1 3

2 2etDC

,

' '

1 3

2 2ecBE

,

' '

1 3

2 2ecEC

Sustituyendo estos valores en la proporción, se tiene:

' ' ' '

1 3 1 3

' ' ' '

1 3 1 3

et et

et ec

(11.4.1)

Eliminemos ’1 y ’3, teniendo en cuenta que ’1 = n1 y ’3 = n3 y despejemos el valor del coeficiente

de seguridad:

1 3

et

et

ec

n

(11.4.2)

Figura 11.4.3.- Círculo de diámetro ’1-’3 tangente a la curva intrínseca, homotético al de diámetro 1-

3

Para el estado tensional en la probeta a tracción el grado de seguridad es:

et

equiva

n

(11.4.3)

De la condición de ser ambos valores iguales, según se desprende de la definición de tensión equivalente,

resulta:

1 3equiva k (11.4.4)

siendo k el cociente entre las tensiones que corresponden al limite elástico a tracción y a compresión.

El criterio de Mohr se podría enunciar así:

La acción anelástica en un punto de un cuerpo en el que existe un estado tensional cualquiera comienza

cuando entre las tensiones extremas 1 y 3 se verifique:

1 3 ek (11.4.5)

siendo k el cociente de los valores absolutos de los límites elásticos a tracción y a compresión del material.

78

12.- Criterios de fluencia para los polímeros.

La aplicabilidad de cualquiera de los criterios de fluencia anteriores, puede ser probada realizando

experimentos con diferentes estados de tensión, por ejemplo, la tensión plana, cortadura pura, tensión biaxial,

etc. Para los polímeros se ha encontrado que es necesario realizar modificaciones de los criterios. En primer

lugar, seha visto que las resistencias de compresión son mayores que las de tracción, teniendo el efecto de

cambiar de posición la elipse o el hexágono de fluencia hacia los valores más compresivos.

También han mostrado que la presión hidroestática tiene un efecto significativo sobre el comportamiento de

fluencia, un hecho claramente relacionado con el incremento de las resistencias compresivas. Los criterios de

Von Mises y Tresca, por lo tanto, han sido modificados para tener en cuenta el efecto de la tensión

hidrostática. En la mayor parte de los casos, lospolímeros s tienden a seguir un criterio Von Mises

dependiente de la presión.

El efecto de tensión hidrostática puede tenerse en cuenta introduciendo en el criterio de Von Mises un término

adicional hidrostático:

1 2 3A + 2 2 2

1 2 2 3 3 1 1B (12.1)

donde A y B son constantes.

A y B puede ser definidas en términos de las tensiones de fluencia de tracción y compresión, YT y YC , ya

que en estos casos 2 = 3 = 0 Así:

YC YT

YT YC

A

y

1

2 YT YC

B

(12.2)

La figura 12.1 muestra la elipse del criterio de Von Mises modificado, ajustado a datos del poliestireno.

Además, muestra el hexágono modificado de Tresca basada en los trabajos del Coulomb sobre el fallo de

suelos.

Figura 12.1.- Criterio de fluencia de Von Mises modificado, ajustado a datos del poliestireno

79

13.- Resquebrajamiento de polímeros “Crazing”.

El resquebrajamiento es un fenómeno encontrado en la mayoría de los plásticos amorfos vidriosos y en

algunos semicristalinos. Esto puede observarse, en particular, en materiales transparentes como un blanqueo

local o pérdida de claridad y, a menudo, puede llevar a error con el crecimiento de una red interna de

pequeñas grietas. Muchos polímeros, entre los que se encuentran el polietileno, el propileno y el nylon.,

estiran a temperatura ambiente, mientras que otros con una temperatura de transición vítrea alta, como es el

caso del poliestireno, necesitan mayores temperaturas para el estirado. Cuando se aplica a un plástico amorfo

(vítreo), como es el caso del poliestireno, a una tensión de tracción a temperatura ambiente se deforma por

“crazing” observándose la presencia de “crazes” antes de que ocurra la fractura (Figura 13.1). El “crazing” es

una deformación localizada y produce cavidades en forma de microhuecos y deformaciones del orden del 100

%.

Las “crazes” son como grietas con la apariencia de una cuña y se forman perpendicularmente a la tensión

aplicada. Sin embargo, pueden diferenciarse de las grietas por el hecho que ellas contienen material

polimérico (Figura 13.1) que es estirado de una manera altamente orientada perpendicularmente al plano de la

craze, es decir paralelamente a la dirección de la tensión aplicada. La estructura de un resquebrajamiento

comprende las regiones localizadas de material sumamente estirado, denominado fibrilar, adyacente a

agujeros microscópicos a partir de los cuales el material es estirado. Otra característica diferente es que a

diferencia de las grietas, ellas son capaces de soportar tensión. Bajo carga estática, la deformación a la cual las

crazes comienzan a formarse, disminuye cuando lo hace la tensión aplicada.

A nivel macroscópico la zona afectada por el “crazing” aparece blanca, resultando muy ilustrativo flexionar

fuertemente pequeños objetos de plástico, fabricados por moldeo por inyección, como tapones de bolígrafos

para ver la zona blanca. El material deformado contiene ligamentos que unen las superficies con crazing,

como se muestra en la figura 13.1, en la que también se muestra una imagen de microscopía electrónica de

barrido de un crazing en un polietileno.

Los resquebrajamientos se inician en las regiones de alta concentración de tensiones como puntas de grieta,

en inclusiones en el material y en defectos superficiales. Aunque un resquebrajamiento pueda parecer similar

a una grieta, existe una diferencia importante con respeto a ella: las cargas pueden ser soportadas a través del

cuerpo de un resquebrajamiento por las fibras orientadas, altamente, estiradas. A causa de los de agujeros

presente en un resquebrajamiento, su densidad puede ser aproximadamente la mitad de la del polímero base.

Como en todos los aspectos del comportamiento de los materiales plásticos otros factores como la temperatura

influyen en los niveles de tensión y deformación implicados. Incluso una tensión relativamente baja puede

inducir el resquebrajamiento del material después de un período de tiempo, aunque para algunos plásticos

vítreos existe un límite inferior de tensión por debajo del cual el crazing nunca ocurrirá. Ese es un valor de la

tensión importante para consideraciones de diseño. Sin embargo, la presencia de ciertos líquidos (solventes

orgánicos) pueden iniciar el resquebrajamiento con tensiones por debajo de dicho límite inferior de tensión.

Este fenómeno de resquebrajamiento inducido por solventes ha sido la causa de muchos fallos de materiales

en servicio, porque, por lo general, es imposible prever cada ambiente en el cual un artículo plástico va a ser

usado.

Aunque el resquebrajamiento es el resultado de una tensión elevada, puede no ser necesaria la presencia de

una tensión externa para que se produzca su formación. Las tensiones internas resultantes de la contracción

en el molde pueden pueden causar la iniciación del resquebrajamiento, sobre un período del tiempo.

Aunque en si mismos los resquebrajamientos no sean un síntoma de fracaso, los huecos de resquebrajamiento

pueden coalescer para formar grietas, las cuales si pueden conducir ,eventualmente, a la rotura frágil. El

resquebrajamiento es, por tanto, a menudo el precursor del crecimiento de las grietas.

80

28

Crack Propagation Through Crazed Area

Figura 13.1.- Formación del resquebrajamiento. (a) Esquema de un crazing el que se observa la grieta, la zona

de ligamentos que unen los bordes de la grieta y la zona de los microhuecos que todavía no son

grieta. (b) Imagen SEM de un crazing en un polietileno.

Bajo cargas de tracción los polímeros vítreos se deforman según una estructura única que se denomina

resquebrajamiento “craze”. El volumen del polímero se expande por un factor de 2-7, creando una intricada

red de fibrillas y huecos (Figura 13.2). Mientras que las fibrillas tienen un diámetro de 5-10 nm, la red puede

extenderse varias micras a cada lado de la grieta y distancias mucho mayores enfrente de ella. La expansión

esta limitada por el enmarañamiento de las macromoléculas y existe una amplia distribución de tensiones en el

resquebrajamiento lo cual facilita su escisión.

81

Figura 13.2.- Red de fibrillas y huecos que forman el resquebrajamiento.

La figura de la esquina superior izquierda ilustra una grieta que penetra en un polímero amorfo.

Una región resquebrajada de anchura dB10 mm se forma alrededor de la grieta y se extiende unas

10–100 veces por delante de la punta o extremo de la grieta. Los cuadros indican regiones donde.

(a) el resquebrajamiento crece a tensión constante c, (b) el resquebrajamiento se deforma bajo

tensión creciente, y (c) se produce la fractura a una tensión máxima FALLO. Las imágenes

coloreadas muestran las configuraciones del polímero correspondientes a cada región (a), (b) y (c).

La figura 13.3 ilustra el mecanismo de formación de microhuecos en un polímero semicristalino homogéneo,

cuando se aplica una tensión de tracción . Las cadenas de unión entre láminas cristalinas adyacentes

comienzan a separarse y se desenredan, para terminar formando un microhueco a lo largo del plano de

máxima deformación, iniciando el crazing. La fractura en una zona craze normalmente se inicia a partir de

inclusiones inorgánicas que están atrapadas en el polímero.

Figura 13.3.- Mecanismo de formación de microhuecos en un polímero semicristalino.

14.- Fractura en los polímeros.

82


La curva tensión – deformación de un polímero, a velocidad de deformación constante, depende de la

temperatura del material. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 14.1.1.

Figura 14.1.1.- Efecto de la temperatura sobre la curva tensión-deformación de los polímeros.

(a).- Temperatura baja - rotura frágil.

(b).- Aumento de la temperatura - punto de fluencia, la carga disminuye antes de la rotura , a veces

con estrechamiento (necking), deformaciones del 10-20 %, rotura dúctil.

(c).- Temperatura más alta - punto de fluencia, cuello estabilizado y estirado en frío, deformaciones

del 1000 %.

(d).- Temperatura por encima de la temperaturade transición de vítrea - comportamiento parecido a un

caucho.

El aumento de la velocidad de deformación tiene el mismo efecto que la disminución de la temperatura. El

comportamiento frágil se manifiesta cuando la probeta falla con una carga máxima y deformaciones bajas

(típicamente del 20 %). La distinción entre rotura frágil y dúctil también se puede observar de los dos modos

siguientes:

(i).- La energía disipada es inferior en el caso de una rotura frágil (Figura 14.1.2).

(ii).- La superficie de fractura es más áspera para una una rotura frágil (Figura 14.1.3).

Figura 14.1.2.- Representación esquemática de los diagramas de tracción de materiales

frágiles y dúctiles ensayados hasta la fractura.

83

Figura 14.1.3.- (a) Fractura muy dúctil en la cual la probeta se estricciona hasta llegar a un punto. (b) Fractura

moderadamente dúctil después de cierta estricción. (c) Fractura frágil sin ninguna deformación

plástica.

14.2.- Transición frágil – dúctil.

Disminuyendo la temperatura o aumentando la velocidad de deformación, el modo de rotura cambia de dúctil

a frágil en el punto de transición frágil- dúctil. Se asume que la fractura frágil y el flujo plástico (o fluencia)

son procesos separados que tienen una dependencia diferente con la temperatura. En la figura 14.2.1 se

muestran curvas típicas para la tensión de fractura frágil B y para la tensión de fluencia Y , en función de la

temperatura a velocidad de deformación constante (líneas continuas).

A una determinada temperatura la rotura ocurrirá por cualquier proceso que posea una tensión más baja. Así la

intersección de las curvas define B- Y define la transición frágil- dúctil. El efecto de una velocidad de

deformación creciente es trasladar cada curva a niveles de tensión más altos como muestran las líneas a trazos

de la figura 14.2.1. El cambio en Y es más pronunciado, de lo que resulyta una temperatura de transición

más alta y de ahí una mayor probabilidad de rotura frágil a velocidad de deformación más alta.

Figura 14.2.1.- Variación de la fractura frágil y de la tensión de fluencia con la temperatura.

La línea a trazos muestra el efecto de valores crecientes de la velocidad de deformación.

14.3.- Sensibilidad de muesca (notch).

84

El factor más importante que afecta a la transición frágil- dúctil es la sensibilidad ante una muesca. La

presencia de una muesca, de una grieta o de un pequeño defecto dentro de un componente puede cambiar lo

que, generalmente, sería un material dúctil a un material frágil, resultando de ello una rotura prematura.

Para una placa plana, de anchura la W, conteniendo una grieta de borde (o muesca) de longitud a (Figura

14.3.1), las condiciones para la rotura debido a la fluencia y a la fractura son como sigue:

Fluencia cuando:

Y

W a

W

(14.3.1)

donde: Y = Tensión de fluencia del material

Fractura cuando:

ICK

Y a

(14.3.2)

donde:

KIC = Factor de intensidad de tensión crítico

Y = Factor geométrico

La tensión de fallo en fluencia es una función lineal de la longitud de la grieta y la tensión de fallo en fractura

varía como (1/a) (Figura 14.3.1). El tamaño de la grieta o muesca, por tanto, dictan si tendrá lugar primero la

fluencia o la fractura. Para grietas cortas, la transición de un modo de fallo al otro se muestra por la

intersección de una grieta de longitud a’. Así:

- Fluencia, es decir fallo por rotura dúctil cuando a < a’.

- Fractura, es decir fallo por rotura frágil cuando a > a’.

Los principios de la mecánica de fractura son igualmente aplicables a los polímeros, como es el caso de

losmetales, y son, de hecho, necesarios para diseñar los polimeros contra tales fallos.

Figura 14.3.1.- Tensiones de fluencia y de fractura en función de la longitud de la grieta.

15.- Diseño basado en la mecánica de la fractura.

85

15.1.-Modos de propagación de fisuras.

Básicamente se identifican tres modos básicos de fractura (Figura 15.1.1), que describen tres movimientos

cinematicamente independientes, a saber:

(a).- Modo de apertura o "Modo I", en el cual las caras de la fisura se separan casi paralelamente entre si. Se

supone que en este modo solo se desarrollan tensiones de tracción.

(b).- Modo de deslizamiento o "Modo II", en el cual las caras de la fisura se deslizan una sobre la otra. Se

supone que bajo este modo solo puede generarse tensiones tangenciales.

(c).- Modo de torsión o de rasgado o "Modo III”, donde las caras de una fisura se deslizan lateralmente

una respecto' de la otra. Se supone que también en este caso se desarrollan tensiones tangenciales.

Figura 15.1.1. - Modos de fractura.

En la práctica, el Modo I es el que más ha sido estudiado y donde se han encontrado resultados

satisfactorios en comparación con los experimentos. El problema es que en pocas ocasiones se dan estos

tres modos de fractura en forma aislada y los casos de propagación mas complejos resultan de la

combinación de estos tres modos básicos. En este caso se dice que ha ocurrido un "Modo mixto de fractura".

Como ejemplo de esto, puede observarse que la viga de la figura 15.1.2, no presenta estrictamente un Modo I

de fractura, pues hay cortante aunque no este determinada su magnitud en el punto de aplicación de la

fuerza F. No obstante esto, en el campo de la mecánica de fractura se considera que en esta viga es

dominante el modo de fractura por apertura.

Figura 15.1.2 - Viga sometida a Modo I de fractura.

15.2.- Concentración de tensiones.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Modos_fractura_espanol.svg

86

La presencia de irregularidades en forma de discontinuidades en la matriz de un material provoca un

incremento de las tensiones, en los bordes de dicha discontinuidad, conocido como "concentración de

tensiones". Este efecto es causado por la redistribución de las líneas de fuerza a través del material cuando

ellas se encuentran con la discontinuidad. Las causas de la concentración de tensión incluyes agujeros,

muescas, esquinas, etc, como se ilustra en la figura 15.2.1.

Figura 15.2.1.- Causas de la concentración de tensión.

Los primeros estudios sobre este tema han sido desarrollados por C. Inglis en el año 1913. Todo el concepto de

concentración de tensiones había sido fundado sobre la teoría de la elasticidad.

Consideremos un defecto de longitud 2a dentro de un una placa grande de pequeño espesor de material lineal

elástico. Una tensión es aplicada a la placa y la consecuencia del defecto presente es la de concentrar la

tensión alrededor de la región del defecto (Figura 15.2.2).

Figura 15.2.2.- (a).- Geometría de grietas superficiales e internas. (b).- Perfil esquemático de la tensión a

lo largo de la línea X-X' en (a), mostrando la amplificación de la tensión en las posiciones

cercanas a las puntas de la grieta.

Particularmente, Inglis realizó un estudio elástico sobre la alteración que sufre el estado tensional en un punto

cualquiera de una placa plana con un orificio circular y sometida a un estado de tensión homogéneo (Figura

15.2.2).

Placa de dimensiones finitas sometida a tracción.

El estudio original sobre concentración de tensiones, desarrollado por Inglis, se basó en una deducción

mediante la teoría de la elasticidad, de la influencia de un orificio en la tensión de un punto de una placa de

dimensiones finitas, como muestra la figura 15.2.3.

87

Figura 15.2.3.- Placa finita sometida a un estado plano de tensiones.

Las expresiones que se muestran a continuación, resultan de particularizar las expresiones generales, para una

relación entre lado de la placa y radio del orificio de b 4a.

2 2

2 2 2 4 2

2 22

2 2 2 2

2

2 2

6 41 2 cos 2

61 2 12 cos 2

6 22 6 2

rr

r

b a C DA

b a r r r

b a DA Br

b a r r

D DA Br sen

r r

(15.2.1)

donde las constantes de integración resultan:

2 4 2 2 4

32 2

4

4

b a a b bA

a b

,

2 2

32 22

a bB

a b

,

4 4 2 2

32 24

a b a bC

a b

,

2 2 4 2 2 4

32 22

a b a a b bD

a b

(15.2.2)

Placas de grandes dimensiones sometidas a tracción.

En este caso se supone que el orificio de la placa es de dimensiones despreciables frente al tamaño de la placa,

es decir b>>a. Esto permite estudiar la alteración en el estado tensional que puede provocar un poro, o defecto

de tamaño reducido, en una placa sometida a un estado homogéneo de tensión. Nuevamente y al igual que en

el apartado anterior, partiendo de la teoría de la elasticidad, se analiza la siguiente situación particular.

Para b>>a , las constantes expresadas en las ecuaciones (15.2.2), quedan:

1

4A , 0B ,

4

4

aC ,

2

2

aD (15.2.3)

Sustituyendo las expresiones (15.2.3) en la ecuación (15.2.1) y evaluando la tensión en el borde del hueco, es

88

decir para r =a , se tiene:

: 1 cos 2 3 0

2Hueco circular (15.2.4)

siendo:

Factor de concentración de tensiones (FCT)= 1 cos 2

Esta aproximación, que muestra que las tensiones en el borde del hueco varían entre una tracción tres veces

superior a la tensión homogénea, hasta una compresión del orden de magnitud de la tensión homogénea,

permitió a Inglis ir aun más lejos aproximando el hueco circular a uno elíptico. Con esto consiguió aproximar "un simple hueco" a "un defecto de aspecto similar a una fisura

". Así, fue posible estudiar de forma muy

aproximada el estado tensional en el extremo de una fisura (Figura 15.2.3). Para bordes elípticos, se tiene

entonces que la tensión en el extremo de la fisura vale:

[Hueco Elíptico],

2 2

2 2 2 2

2 21 1MAX

a b a aa b

a b bb a b

(15.2.5)

y para elipses muy delgadas puede realizarse la siguiente aproximación,

2MAX

a

b

1

2

a

b (15.2.6)

Figura 15.2.3.- Placa finita, con un orificio elíptico, sometida a un estado plano de tensiones.

La tensión máxima en el extremo de la grieta, m también puede ser aproximada por:

max 0 01 2 , 1 2t t

t t

a aK K Factor de concentración de tensión

(15.2.7)

donde 0 es la magnitud de la tensión nominal aplicada, ρt es el radio de curvatura de la punta de la grieta y a

representa la longitud de la grieta superficial, o bien la mitad de la longitud de una grieta interna. Así para una

microgrieta relativamente larga que tiene un radio de curvatura pequeño, el factor

12

t

a

puede ser muy

grande. Esto da un valor de m varias veces mayor que 0. Para un agujero circular, es decir a = ρt , Kt = 3. Por

otra parte, si ρt → 0 entonces Kt → ∞, lo cual no ocurre en la práctica, pues se tendría que cualquier material

con una grieta de tal forma no resistiría cualquier tensión que se le aplicará.

15.3.- Aproximación energética a la fractura.

89

Cuando se aplica una fuerza a un material se realiza un trabajo en el sentido de una fuerza que se mueve una

distancia (La deformación del material). El trabajo se convierte en energía elástica absorbida por el material

(recuperable) y en energía superficial absorbida en la creación de nueva superficie (por ejemplo, energía

consumida en la propagación de la grieta) y grietas en el material. Griffith propuso que el crecimiento

inestable de una grieta (fractura) ocurrirá si el cambio en la energía neta (Trabajo realizado – Energía elástica)

excede a la energía que puede ser absorbida en la creación de superficie nueva. En términos matemáticos lo

anterior puede expresarse del modo siguiente:

A

W Ua a

(15.3.1)

donde γ es la energía superficial por unidad de área.

Si la fuerza aplicada no realiza trabajo, es decir no hay cambio global en la longitud del material, entonces W

= 0 y la ecuación (15.3.1) se transforma en:

U A

a a

(15.3.2)

Para una grieta propagándose a través de una placa de material de espesor B, puede escribirse:

2A B a (15.3.3)

Con lo que la ecuación (15.3.1) se transforma en:

2W U Ba

(15.3.4)

El término 2γ se suele reemplazar por GC, con lo que la condición de fractura puede escribirse en la forma:

1

CW U GB a

(15.3.5)

GC es la energía requerida para incrementar la longitud de la grieta referida a la unidad de longitud en una

pieza de material de anchura unitaria. Sus unidades son J/m2.

La ecuación (15.3.5) puede convertirse en una forma más práctica, para lo cual se considera una pieza de

material de espesor, B, sometida a una fuerza, F, como muestra la figura 15.3.1.a. La curva carga-deformación

es la gráfica (i) que se da en la figura 15.3.1.b. La energía elástica almacenada, U1, puede expresarse como:

1

1

2U F (15.3.6)

Si la grieta se incrementa en una longitud infinitesimal, da (Figura 15.3.1.c), entonces la rigidez del material

cambia y habrá una pequeña variación tanto en la carga, dF como en la deformación, d, tal y como se

muestra en la figura 15.3.1.b mediante la línea (ii). La energía elástica almacenada, U2, en este caso puede

expresarse como:

2

1( )( )

2U F dF d (15.3.7)

90

Figura 15.3.1.- (a).- Placa de grandes dimensiones con una grieta pasante de tamaño 2a

(b).- Comportamiento elástico de la placa (Curva carga – deformación).

(c).- Incremento de longitud da de la grieta.

De las ecuaciones (15.3.6) y (15.3.7) puede deducirse la variación de la energía elástica almacenada, como

consecuencia del cambio en la longitud de la grieta, da, y que viene dado por:

2 1

1 1 1( )( ) ( )

2 2 2dU U U F dF d F Fd dF dFd (15.3.8)

El trabajo realizado, dW, como resultado del cambio en la longitud de la grieta, da, viene dado por el área del

triángulo OMN, es decir:

1

2dW Fd dFd (15.3.9)

Teniendo en cuenta las expresiones (7.3.8) y (7.3.9) la ecuación (7.3.5) se transforma en:

1 1( )

1 2 2C

Fd dFd Fd dF dFd

GB a a

O bien:

1 11 12 2

2 C

Fd dFFd dF

GB a a B a a

(15.3.10)

La ecuación (15.3.10) puede simplificarse si se considera la complianza, C, del material, que el reciproco de la

rigidez y viene dada por:

CF

Despejando de la ecuación anterior y diferenciando se obtiene:

d FdC CdF (15.3.11)

91

Usando la ecuación (15.3.11) la expresión (15.3.10) se transforma en:

1

2 C

F FdC dF dFFG

B a a

O bien:

21

2 C

F dC dF dFG

B a a

de donde:

2

2

CC

F dCG

B a

(15.3.12)

En la expresión (15.3.12) FC es la fuerza aplicada en el momento de la fractura. La relación (15.3.12) es

importante ya que permite calcular una propiedad fundamental del material como es GC a partir de la fuerza de

fractura y de la variación de la complianza con la longitud de la grieta.

Una aproximación energética alternativa a la fractura de polímeros se ha desarrollado en base a la elasticidad

no lineal. Se asume que un material sin grietas tendrá una densidad de energía de deformación (energía de

deformación por unidad de volumen) cuyo valor denotaremos por U0. Cuando exista una grieta en el material

dicha densidad de energía de deformación se reducirá hasta cero sobre un área que se muestra oscurecida en la

figura 15.3.2. Dicha área será ka2

donde k es una constante de proporcionalidad.

Figura 15.3.2.- Carga de una placa con una grieta presente.

La pérdida de energía elástica debida a la presencia de una grieta viene dada por:

2

0U ka BU (15.3.13)

y:

02U

kaBUa

(15.3.14)

Comparando la ecuación (15.3.14) con la ecuación (15.3.5) y asumiendo que el trabajo es nulo, entonces es aparente

que:

2c cG kaU (15.3.15)

Donde Uc es el valor de la densidad de energía de deformación a la cual tiene lugar la fractura.

Para el caso especial de un material con comportamiento elástico lineal, lo anterior es fácilmente expresable

92

en términos de la tensión c del material y su modulo de elasticidad E.

2

1 1

2 2

cc c cU

E

(15.3.16)

Por tanto, combinando las ecuaciones (15.3.15) y (15.3.16) se tiene: 2c

c

kaG

E

(15.3.17)

En la práctica se encuentra que k π, con lo que: 2c

c

aG

E

(15.3.18)

Esta ecuación es una forma alternativa de la ecuación (15.3.12) y expresa el parámetro fundamental del

material Gc en términos de la tensión aplicada y del tamaño de la grieta. Del conocimiento del valor de Gc es

posible especificar la tensión máxima aplicada permisible para un tamaño de grieta dado y viceversa. En

sentido estricto la ecuación (15.3.18) solamente se aplica a la situación de tensión plana. Para deformación

plana puede mostrarse que la tenacidad del material esta relacionada con la tensión por medio de la siguiente

ecuación:

2

21 1cc

aG

E

(15.3.19)

donde υ es el coeficiente de Poisson.

En la tabla 15.3.1 se dan los valores de G1c para diversos plásticos.

Tabla 15.3.1.- Parámetros de tenacidad de fractura típicos para diversos plásticos (a 20 ºC).

15.4.- Factor de intensidad de tensiones.

93

El concepto de factor de concentración de tensiones desarrollado por Inglis está limitado por la relación de

dimensiones del orificio elíptico, por lo tanto, depende de:

(a).- Forma del hueco (círculos, elipses, etc.)

(b).- En el caso elíptico si b → 0 F C T → ∞ , estado que es totalmente erróneo y hace perder objetividad

al concepto de concentración de tensiones.

La iniciación de una fractura, normalmente, toma la forma de una elipse muy aplanada, y por lo tanto el [FCT]

es poco idóneo para aplicarlo en fractura. Esta limitación ha dado lugar a la introducción del concepto de

factor de intensidad de tensión KI, que permite hacer un análisis mecánico en la vecindad del extremo de una

elipse para aquellos casos en que b → 0 . Este factor normalmente se define en función del mecanismo que se

desarrolla en la generación de una fisura y, por lo tanto, se definen tres tipos básicos, KI, KII y KIII para

representar la intensidad de tensión en los tres modos básicos de fractura.

La determinación de la expresión de los factores de intensidad de tensiones, en función del estado tensional y

también del campo de desplazamientos, se debe a Irwin y Musklishvili. Estos han obtenido bajo diversas

condiciones de contorno, tales como tipo de fisura, desplazamientos en la vecindad de la cabeza de fisura, etc,

las siguientes expresiones en coordenadas polares y rectangulares:

(1).- Expresión de la tensión en función de los factores de intensidad de tensión KI, en coordenadas polares

(Figura 15.4.1), (estado de tensión plana):

Figura 15.4.1.- Placa sometida a un estado plano de tensión con un defecto que induce a una fractura en modo I.

2 2

3 2

2 2 2

cos 1 1 32 2 2 2

cos 3 cos2 2 22 2

cos cos 1 32 2 2 2

rr

I II

r

sen sen sen

K Ksen

r r

sen sen

(15.4.1)

94

y para completar las componentes de la matriz de tensiones:

2

2cos

2

rz III

z

senK

r

(15.4.2)

z rr para deformación plana

0z para tensión plana

(2).- Expresión de la tensión en función de los factores de intensidad de tensión KI, en coordenadas

rectangulares (Figura 15.4.2), (estado de tensión plana):

Figura 15.4.2.- Campo de tensiones cerca de un defecto idealizado de longitud 2a.

332 cos cos1

2 2 22 2cos

321 cos cos

2 2 2 22 2

3cos

2 2

x I

IIy

xy

sensen sen

KK

sen sen senr r

sen

3

2

3cos 1

2 2 2sen sen

(15.4.3)

y para completar las componentes de la matriz de tensiones:

95

2

2cos

2

xz III

yz

senK

r

(15.4.4)

z x y 2 2

cos2 22 2

I IIK Ksen

r r

para deformación plana

0z para tensión plana

La distribución de tensiones debida a la presencia del defecto se determina sustituyendo los valores

apropiados para r y en las ecuaciones anteriores y es independiente de la geometría de la pieza y de la

grieta y de las tensiones aplicadas . Sin embargo, el factor de intensidad de tensiones, KI, depende de la

geometría de la pieza, de la forma en que se inicia la fisura y de la forma en que se aplica la carga.

Debido a que el Modo I de fractura es el que se presenta más comúnmente en los problemas de mecánica, se

analizara su correspondiente factor de intensidad de tensiones KI, en función de la tensión. Para ello se

considerará en las ecuaciones (15.4.1) y (15.4.3), el caso en que = 0, que es cuando se produce una

separación entre labios de fisura en Modo I, en cuyo caso se tiene en la propia cabeza de fisura, es decir para r

= a, la siguiente expresión para el factor de intensidad de tensiones:

2

Ix y rr

K

a

(15.4.5)

En general puede decirse que en Modo I de fractura, el factor de intensidad de tensiones puede escribirse

como,

,IK b af Y a (15.4.6)

donde y b son parámetros dependientes de la geometría. Y es un factor geométrico que depende de la

geometría de la pieza y de la grieta. Para una grieta pequeña en una placa infinita se tiene que:

IK a (15.4.7)

A través de las ecuaciones (15.4.3) y (15.4.6), la tensión externa () se puede relacionar con las tensiones en el

extremo de la grieta (x, y, z), y la magnitud de las tensiones depende claramente del valor de KI.

A continuación se mostrara la influencia de la geometría en la expresión del factor de intensidad de tensiones,

(a).- Para fisura central interna en una placa de dimensiones infinitas y finitas, (Figura 15.4.3.a y b,

respectivamente) y para fisura externa en una placa de dimensiones semi-infinitas (Figura 15.4.3.c)

96

IK a 22

I

aK btag

b

1.12IK a

(a) (b) (c)

Figura 15.4.3.- (a).-Placa de dimensiones infinitas (b).- Placa de dimensiones finitas

(b).- Fisura doble externa y simple externa en una placa de dimensiones finitas, (Figura 15 4.4.a y b,

respectivamente)

(a) (b)

(a).- 2 0.22 2

I

a aK btag bsen

b b

(b).-

2 3 4

1.12 0.23 10.6 21.7 30.42 2 2 2

I

a a a aK a

b b b b

Figura 15.4.4.- (a).-Placa de dimensiones semi-infinitas (b).- Placa de dimensiones finitas

(c).- Para fisura que se desarrolla por flexión en tres puntos (Figura 15.4.5).

97

3 5 7 91

2 2 2 2 2

32

3 ( 4 )1.93 3.07 14.53 25.11 25.8

2I

FL b a a a a aK

b b b b bBb

1I

F aK f

bB b

Figura 15.4.5.- Viga sometida a flexión en tres puntos

(d).- Defecto superficial semi-elíptico (Figura 15.4.6).

12

1.12K a

Figura 15.4.6.- Defecto superficial semi-elíptico

(e).- Grieta interna “penny”.

98

2K a asumiendo a D

Figura 15.4.7.- Grieta interna “penny”.

15.5.- Factor de intensidad de tensión critico. Tenacidad de fractura.

Si se examinan las definiciones del "factor de intensidad de tensión" se llega a la conclusión que tiene un

limite superior o valor umbral denominado "tenacidad de fractura " o "factor de intensidad critico" KIC, y que

se alcanza cuando la tensión en la cabeza de la fisura llega al nivel de la resistencia a fractura f. En este caso

tendrá lugar la rotura frágil de la pieza.

Así, la ecuación que define la tenacidad para MODO I de fractura resulta de sustituir la máxima resistencia f

en la ecuación (15.3.6). Debido a que este factor depende de la resistencia del material, que es una propiedad

mecánica y además de otras características no mecánicas, como es la geometría y la forma de la carga, se

puede concluir que no es estrictamente una propiedad del material, sino una característica estructural.

Factor de intensidad crítico= ,IC f

K f b a (15.5.1)

Comparando las ecuaciones (15.3.18) y (15.4.7) se deduce que KIC se relaciona con GC por la siguiente

ecuación:

12( )C ICEG K (15.5.2)

La relación (15.5.2) es para el caso de tensión plana. En la situación de deformación plana la relación es la

siguiente:

12

1121

CC

EGK

(15.5.3)

KIC se obtiene experimentalmente ensayando una probeta, que tiene una geometría para la cual se conocen la

relación entre la carga externa aplicada y el factor de intensidad de tensión. Factores como la velocidad de

aplicación de la carga, la temperatura y el ambiente pueden afectar el valor de KIC. Las unidades son

MN/m3/2

.

Los materiales frágiles, para los cuales no es posible que ocurra una apreciable deformación plástica

(Figura 15.5.1) en frente de la grieta, tienen valores pequeños de KIC y son vulnerables a la rotura catastrófica.

Además, los valores de KIC son relativamente grandes para materiales dúctiles. La mecánica de la fractura es

especialmente útil para predecir la rotura catastrófica en materiales que tienen ductilidades intermedias.

99

Figura 15.5.1.- Tensión finita y radio no nulo en el extremo de una grieta en un material real. Se forma una

región de deformación intensa debido a la plasticidad (Metales), al “crazing” (Polímeros) y a

la microfisuración (Cerámicas)

Las tenacidades de fractura en deformación plana para diferentes materiales se presentan en la tabla 15.5.1.

Tabla 15.5.1.- Límites elásticos y tenacidad de fractura, en deformaciones planas a temperatura ambiente, de

diversos materiales.

100

En la tabla 15.5.2 se dan valores para los materiales plásticos.

Tabla 15.5.2.- Tenacidad de fractura, en deformación plana, para diferentes materiales plásticos.

El factor de intensidad de tensiones K y la tenacidad de fractura en deformación plana KIC, están relacionados de

una forma similar a como lo están las tensiones y el límite elástico. Un material puede estar sometido a muchos

valores distintos de tensión, sin embargo, existe un nivel de tensión, es decir el límite elástico, bajo el cual el

material se deforma plásticamente. De la misma manera, K puede tomar muchos valores, mientras que KIC es

único para un material determinado.

La tenacidad de fractura en deformación plana KIC de un material es una propiedad fundamental que depende

de muchos factores, entre los cuales los más influyentes son la temperatura, la velocidad de deformación y la

microestructura. La magnitud de KIC, disminuye al aumentar la velocidad de deformación y al disminuir la

temperatura.

Además, un aumento en el límite elástico mediante disolución sólida, por dispersión de una segunda fase, o por

refuerzo por deformación, produce también una disminución correspondiente en KIC. Además, KIC

normalmente aumenta con la reducción en el tamaño de grano siempre que las otras variables

microestructurales se mantengan constantes. Los límites elásticos están incluidos para algunos de los materiales

recogidos en la tabla 15.5.1.

La tenacidad de fractura de un material también puede ser medida en términos de la velocidad de liberación de

energía de deformación crítica, GIC, requerida para el crecimiento de la grieta. Puede mostrarse que esta

relacionada con KIC por medio de la siguiente expresión: 2

ICIC

KG

E (15.5.4)

donde E es el módulo elástico del material. Su ventaja como parámetro de tenacidad consiste en que puede

ser medido directamente en una serie de pruebas de impacto midiendo la energía de rotura. Sus unidades son

J/m2, esto es energía por unidad de área de fractura.

101

15.6.- Diseño para resistencia.


De acuerdo con la ecuación (15.5.1) existen tres variables que deben ser consideradas con respecto a la posibilidad

de fractura para un determinado componente estructural:

- la tenacidad de fractura (KIC)

- la tensión aplicada ()

- el tamaño del defecto (a)

Al diseñar un componente, es de importancia fundamental decidir cuales de estas variables están determinadas

por la aplicación y cuales están sujetas al control del diseño. Por ejemplo, la selección del material y, por tanto,

KIC, a menudo viene determinada por factores tales como la densidad (para aplicaciones en que el peso es

importante) o las características del medio corrosivo.

Alternativamente, el tamaño del defecto que se puede permitir es medido o bien especificado por las limitaciones

de las técnicas de detección de que se disponga. Es importante tener presente, sin embargo, que una vez que se

define cualquier combinación de dos de estos parámetros, el tercero queda fijado (Ecuación 15.5.1). Por

ejemplo, supongamos que KIC y la magnitud de a están especificadas por razones de una aplicación especifica,

entonces, la tensión de diseño (o crítica) a debe ser:

ICC

K

Y a (15.6.1.1)

Si el nivel de tensión y la tenacidad de fractura son prefijadas por la situación de diseño, entonces el tamaño de

grieta que se puede permitir, ac, es:

21 IC

C

Ka

Y

(15.6.1.2)

Para una geometría fija (Y) es necesario asegurar que la tensión de diseño (ζ) o el tamaño de la grieta (a) es

suficientemente pequeño para prevenir que se cumpla la condición:

I IC

K Y a K (15.6.1.3)

Un tamaño de defecto crítico es aquel tamaño de defecto que hará que se alcance la condición anterior, para

una geometría específica y una determinada tensión a aplicar. Es posible procesar plásticos y comprobar la

calidad para asegurar que no se sobrepasa el tamaño de defecto crítico .

Se han desarrollado técnicas de ensayos no destructivos (NDT) que permiten la detección y la medida de

grietas tanto internas como superficiales. Tales métodos son utilizados para evitar la fractura catastrófica

mediante el examen de los componentes para detectar defectos que tengan dimensiones próximas al tamaño

crítico.

Sin embargo, los defectos por debajo del tamaño crítico pueden crecer, tanto bajo carga constante como en

condiciones de carga cíclicas, con el tiempo de aplicación hasta que alcancen el tamaño crítico neceario para

causar la rotura. Por tanto, , es necesario entender la naturaleza del crecimiento lento de las grietas en tales

condiciones de carga.

102

15.6.2.- Carga constante o estática.

La mecánica de la fractura también se ha usado para predecir los fallos bajo tensiones estáticas. Para muchos

polímeros la longitud de la grieta, a, aumenta a una velocidad que esta relacionada con el factor de intensidad

de tensión, KI, en el tiempo t, como sigue:

n

I I

daC K

dt (15.6.2.1)

donde: CI y n son constantes que depende del material y de las condiciones de ensayo. El tiempo que tarda

una grieta, de tamaño inicial a0, en alcanzar el tamaño crítico ac, se determina integrando la ecuación

(15.6.2.1). La substitución de la ecuación (15.4.6), que nos da el factor de intensidad de tensión en la ecuación

(15.6.2.1), nos da:

2nn

I

daC Y a

dt (15.6.2.2)

e integrando:

1 12 2

02

2

n n

C

C n

I

a a

tn C Y

(15.6.2.3)

El tamaño de defecto crítico viene dado por la ecuación (15.6.1.2).

Por lo tanto, mediante la ecuación (15.6.2.3) se puede determinar bien la tensión de diseño para asegurar una

determinada vida de servicio o la vida de servicio para una determinada tensión aplicada. Los datos requeridos

del material son KIC y el tamaño de defecto inicial, 2a0, esto es el tamaño de defecto intrínseco, el cual se dara

la tabla 15.6.2.1 para diversos materiales plásticos.

Tabla 15.6.2,1.- Tamaño de defecto intrínseco para diversos materiales plásticos.

15.6.3.- Carga ciclica.

A pesar de las medidas que se toman para minimizar la posibilidad de rotura por fatiga, siempre existen grietas y

lugares donde pueden nuclearse en los componentes estructurales. Bajo la influencia de tensiones cíclicas (Figura

15.6.3.1), las grietas se forman y se propagan de forma inevitable. Si no se evita este proceso, al final puede

conducir a la rotura.

Durante la fatiga la amplitud de la tensión, usualmente, permanece constante y la rotura frágil ocurre como

resultado del crecimiento de la grieta desde un tamaño subcrítico hasta el crítico. La velocidad a la cual crecen las

grietas es el factor determinante en la vida de un componente.

103

Figura 15.6.3.1.- Tensiones cíclicas. Fatiga

Los resultados de los estudios de fatiga han mostrado que la vida de un componente estructural puede

relacionarse con la velocidad de crecimiento de la grieta. Durante la etapa II de la propagación, las grietas

pueden crecer desde un tamaño apenas detectable al tamaño crítico. Existen técnicas experimentales que se

emplean para medir la longitud de la grieta durante la aplicación de las tensiones cíclicas.

Los resultados son registrados y después se representan como la grafica de la longitud de la grieta a frente al

numero de ciclos, N, asociados con una determinada longitud de grieta antes de la rotura. Un diagrama típico

se muestra en la figura 15.6.3.2, donde se incluyen curvas de datos generados a dos niveles de tensión. La

longitud inicial de la grieta a0 es la misma en ambos ensayos.

La velocidad de crecimiento de la grieta, (da/dN), se toma como la pendiente en algún punto de la curva. Es

importante resaltar dos resultados:

(1).- Inicialmente, la velocidad de crecimiento es pequeña, pero aumenta al aumentar la longitud de la grieta

(2).- El crecimiento de la grieta es mayor al aumentar la tensión aplicada para una determinada longitud de la

grieta (a1 en la figura 15.6.3.2).

La velocidad de propagación de la grieta es una función no solo del nivel de tensión y tamaño de la misma,

sino también de las variables del material. Matemáticamente, esta velocidad puede expresarse mediante la ley

de Paris modificada, como sigue:

mdaA

dN (15.6.3.1)

104

Los parámetros A y m son constantes para un determinado material, los cuales dependen también del medio,

la frecuencia y el cociente de tensiones,

min

max

R .

El valor de m normalmente esta comprendido entre 1 y 6.

Figura 15.6.3.2.- Longitud de la grieta en función del ni mero de ciclos a los niveles de tensión 1 y 2 para

estudios de fatiga. La velocidad de crecimiento de la grieta (da/dN) se indica a la longitud de grieta

a1 y para ambos niveles de tensión.

El parámetro λ es una función del factor de intensidad de tensiones en la punta de la grieta, o sea:

2 2

Im Im Im Im Im Im Im2ax in ax in ax in edio IK K K K K K K K (15.6.3.2)

Teniendo en cuenta la expresión (15.6.3.2) la ecuación (15.6.3.1) toma la forma:

Im Im2 2edio I edio I I

m m m mmdaA A K K A K K C K

dN (15.6.3.3)

Puesto que el crecimiento de la grieta es nulo o bien despreciable durante la fracción de compresión del ciclo de

carga, si min es de compresión, entonces Kmin y min se consideran nulos, o sea, ΔK = Kmax y Δ = max.

Kmax y Kmin en la ecuación representan factores de intensidad de tensiones, no tenacidades de fractura

KC, ni tampoco ni tenacidad de fractura en deformaciones planas K IC.

El comportamiento típico de la velocidad de crecimiento de la grieta se representa en la figura 15.6.3.3 como el

logaritmo de la velocidad de crecimiento (da/dN) en función del logaritmo del intervalo del factor de intensidad

de tensiones ΔK.

La curva resultante tiene forma sigmoidea, la cual puede dividirse en tres regiones distintas, denominadas I, II,

y III. En la región I (a niveles de tensión bajos y/o longitudes de grieta pequeñas), las grietas preexistentes no

crecerán con las cargas cíclicas. Además, la región III esta asociada con un crecimiento acelerado de la grieta, que

ocurre antes de la fractura rápida.

La curva es básicamente lineal en la región II, lo cual es consistente con la ecuación (15.6.3.3). Esto puede

105

confirmarse tomando logaritmos a ambos lados de esta expresión, el resultado es:

log log log logmda

C K m K CdN

(15.6.3.4)

Figura 15.6.3.3.- Representación esquemática del logaritmo de la velocidad de propagación de la grieta (da/dN)

en función del logaritmo del intervalo del factor de intensidad de tensiones ΔK. Se indican las tres

regiones de comportamiento distinto en cuanto al crecimiento de la grieta.

Efectivamente, de acuerdo con la ecuación (15.6.3.4), un segmento de línea recta se ajusta a los resultados

cuando se representa log(da/dN) frente a log(ΔK). La pendiente y la intersección corresponden a los valores de

m y log A, respectivamente, los cuales pueden determinarse a partir de los resultados experimentales

representados en la figura 15.6.3.4.

La figura 15.6.3.4 es uno de estos gráficos para un acero aleado al Ni – Mo - V. La linealidad de los puntos

experimentales es notable, los cuales obedecen a la relación de potencias de la ecuación (15.6.3.1). Además, la

pendiente proporciona un valor de 3 para m y A es aproximadamente igual a 1.8 x 10-14

, tal como se obtiene

por extrapolación a partir de la intersección con (da/dN) en pulgadas/ciclo y ΔK en psi (pulgada).

106

Figura 15.6.3.4.- Logaritmo de la velocidad de crecimiento de la grieta frente al intervalo del factor de

intensidad de tensiones para un acero aleado con Ni-Mo-V.

Una de las metas del análisis de roturas es ser capaz de predecir la vida a fatiga para algunos componentes

conocidas las condiciones de servicio y resultados de ensayos de laboratorio. Podemos ahora desarrollar una

expresión analítica para Nf por integración de la ecuación (15.6.3.1). En primer lugar, reordenamos esta

ecuación de manera que:

m

dadN

A (15.6.3.5)

la cual puede integrarse así:

00

f cN a

f ma

daN dN

A (15.6.3.6)

107

Los límites de la segunda integral son el tamaño de grieta inicial a0, el cual puede medirse utilizando una técnica

de examen no destructivo, y la longitud crítica de grieta ac, determinada a partir de la medida de la tenacidad de

fractura:

1 IC

c

Ka

Y (15.6.3.7)

La substitución de la expresión para (Ecuación 15.6.3.2), asumiendo carga solamente en tracción de tal

modo que , Kmin= 0, conduce a:

I

a ac c

m mf a ao o

da daN

A C K

(15.6.3.8)

El factor de intensidad de tensión se puede representar por una ecuación general de la forma:

1 12 2:I IK Y a de donde K Y a (15.6.3.9)

Combinando las ecuaciones (15.6.3.8) y (15.6.3.9) se tiene:

2 2

1a ac c

mf m ma ao om m

da daN

C Y a C Y a

(15.6.3.10)

Aquí se supone que Δ (o bien max- max) es constante. Además, en general el factor Y dependerá de la

longitud de la grieta a y, por tanto, no puede sacarse fuera de la integral.

Asumiendo que Y puede suponerse constante en el intervalo de crecimiento de la grieta, entonces se puede

integrar y se tiene (asumiendo que n ≠ 2):

1 1

2 20

2

(2 )

m m

m CfN a a

C m Y

(15.6.3.11)

15.7.- Procedimiento de cálculo de diseño .

(i).- Del valor conocido de KIC (o GIC) y el factor de geometría Y, se calcula el tamaño de defecto crítico,

aC Ca , para la tensión de diseño, (Ecuación 15.6.3.7).

(ii).- Del valor conocido del tamaño de defecto intrínseco o tamaño de defecto inicial, 2a0, y de los parámetros

de crecimiento de la grieta [ecuaciones (15.6.2.1) o (15.6.3.1)], se calcula el tiempo [ecuación(15.6.2.3)]

o el número de ciclos [ecuación(15.6.3.11)] para alcanzar el tamaño de defecto crítico y de ahí la rotura

108

15.8.- Comportamiento general de los plásticos en fractura.

Los procesos de fractura de materiales no metálicos son de gran interés en elementos estructurales, fabricados

con materiales poliméricos y compuestos. No tanto en los plásticos sencillos que acompañan nuestra vida

diaria, como en los plásticos de ingeniería, por ejemplo algunos elementos estructurales de alerones

aeronáuticos, fabricados con materiales compuestos en los que pequeñas grietas pueden ocasionar roturas

catastróficas.

En términos generales, los polímeros no son muy distintos de los metales, pero los procesos de

plastificación y fractura son diferentes desde un punto de vista microscópico. Los polímeros no tienen

planos cristalográficos, ni dislocaciones, ni bordes de grano, y teniendo en cuenta que la fractura a

escala atómica, supone una rotura de los enlaces atómicos, en el caso de los polímeros hay que

considerar que tienen dos tipos de enlace: el primario de tipo covalente entre los elementos de la cadena

(Intramolecular) y los enlaces secundarios que son fuerzas de Van der Waals entre segmentos de

molécula (Intermolecular). La fractura requiere la rotura del enlace primario molecular pero los

enlaces secundarios juegan un papel importante en los mecanismos de deformación que preceden a la

fractura.

En principio los polímeros que se ensayan a temperaturas bajas, en relación con la temperatura Tg,

se comportan de modo frágil, ya que el flujo plástico requiere tiempo y el material polimérico no

tiene tiempo de respuesta suficiente para producir una deformación de plastificación, por lo que se

rompe de forma frágil. De la misma manera los polímeros reticulares son siempre frágiles ya que no

tienen enlaces de van der Waals y los enlaces primarios entre segmentos de cadenas tendrían que

romperse para que se pudieran deformar estos materiales.

Cuando se diseña con polímeros hay que tener presente que por debajo de 0.75 Tg los materiales

tienen baja tenacidad, y cualquier cosa que suponga una concentración de tensiones (como grietas,

entallas o cambios bruscos de sección) es peligroso.

Por lo tanto, la fractura de polímeros implica la separación material de la cadena del polímero a

nivel atómico, lo que podría entenderse como una gran resistencia a fractura, sin embargo, hay

varios aspectos que hacen disminuir extraordinariamente esa aparente resistencia: en primer lugar

la presencia de pequeños defectos internos que actúan como pequeñas grietas con una alta

concentración local de tensiones, y en segundo lugar el hecho de que las cadenas poliméricas no se

encuentran solicitadas uniformemente, sino que las tensiones se reparten de manera

desproporcionada respecto a la carga aplicada, condicionando que algunos enlaces moleculares

alcancen el nivel de tensión de rotura.

En el caso de los polímeros amorfos el grado de desigualdad en el reparto de tensiones es más

pronunciado, mientras que en le caso de los polímeros cristali nos el grado de simetría distribuye las

tensiones de forma más uniforme.

En algunos casos la fractura se produce por desenganche de cadenas, depen diendo de la longitud de

las moléculas y del grado en que se encuentran entrecruzadas.

Si el defecto o la grieta en el plástico no son agudos (embotados) entonces el efecto de la intensificación de

tensión será pequeño y aunque el fallo provenga de la grieta, la tensión de fallo basada en la sección neta se

corresponderá con la tensión de fallo en el material sin grietas. Si la tensión sobre el material está basada en el

área gruesa entonces lo que se observará es una reducción de la tensión de fallo que es directamente

proporcional al tamaño de la grieta como se muestra mediante la línea A de la figura 15.8.1.

109

Figura 15.8.1.- Características de la rotura dúctil y frágil de los materiales plásticos.

Sin embargo, si el defecto o la grieta son agudos entonces la situación puede cambiar considerablemente.

Aunque el ABS y el MDPE son casos especiales, en los que los materiales son insensibles a la existencia de

una muesca, otros termoplásticos exhibirán la rotura frágil si ellos contienen grietas agudas de dimensiones

significativas.

El policarbonato es quizás el polímero más sensible a la presencia de una muesca de todos los termoplásticos,

aunque los nilones son también susceptibles a la transición dúctil/frágil en el comportamiento ante rotura

causado por la presencia de una muesca aguda. Otros plásticos como los acrílicos, el poliestireno y los

termoestables son siempre frágiles, independientemente de la presencia de grietas.

Para las roturas frágiles se puede usar el análisis de la mecánica de la fractura. De las ecuaciones (15.3.18) y

(15.4.7) se puede escribir:

22

tanfC

C

aKG Cons te

E E

(15.8.1)

De la relación anterior se deduce que la tensión de rotura, f, es proporcional a-1/2

. Dicha relación se ha

representado como la línea B en la figura 15.8.1. Este diagrama es muy útil porque ilustra el tipo de

transiciones dúctil/frágil que pueden observarse en los materiales plásticos. De acuerdo con la línea B,

cuando el tamaño del defecto disminuye la tensión de rotura tiende hacia infinito. Esto no es lo que sucede y

en la práctica lo que ocurre es que para algún tamaño de defecto (a0) el material falla por fluencia (línea A),

en lugar de por fractura frágil.

110

El diagrama de la figura 15.8.1 también ayuda a ilustrar porque la tenacidad de fractura inherente de un

material no es la historia global en relación con la fractura frágil. Por ejemplo, la tabla 15.3.1 muestra que el

poliestireno, que es conocido por ser un material frágil, tiene un valor de K de, aproximadamente, 1 MN m-3/2

.

Sin embargo, el polietileno de baja densidad (LDPE) que tiene una resistencia alta al crecimiento de la grieta,

también tiene un valor de K de, aproximadamente, 1 MN m-3/2

. La explicación es que polietileno resiste el

crecimiento de la grieta no porque sea tenaz, sino porque tiene un limite de elasticidad bajo. Si un material

tiene una tensión de deformación permanente baja entonces su lugar geométrico de deformación o cedencia

(línea A en la figura 15.8.1) será rebajada, posiblemente por debajo del lugar de rotura frágil como pasa en el

caso del polietileno. La figura 7.8.2 ilustra algunas de las variaciones que es posible realizar con el fin de

alterar las características dúctil/frágil de los materiales plásticos.

La línea de rotura frágil puede desplazarse por medio de cambios en la estructura química, el empleo de

técnicas de aleación, cambios en las condiciones de procesado, etc. La línea del lugar de lugar geométrico de

deformación o cedencia puede desplazarse empleando aditivos o mediante cambios en la temperatura

ambiental o en la velocidad de deformación.

Por lo tanto, los materiales resistentes al crecimiento de la grieta se definen no s por su tenacidad inherente,

sino por la relación entre la tenacidad y el límite de elasticidad. En la tabla 15.3.1 se dan algunos valores

típicos de la relación ( Klc/Y)

Figura 15.8.2.- Efecto del campo de tensiones variable sobre el tamaño del defecto para la transición

dúctil/frágil (K = Constante).

Otra aproximación a la cuestión de la resistencia al crecimiento de la grieta es considerar el grado de

extensión de la fluencia antes de que ocurra la fractura. En un material dúctil la fluencia ocurre en la punta de

la grieta y esto tiene el efecto de embotamiento de la grieta. La extensión de la zona plástica (Figura 15.8.3)

viene dada por:

21

2p

Y

Kr

(15.8.2)

para tensión plana. El valor de la deformación plana es, aproximadamente, un tercio de eso.

111

El tamaño de la zona plástica puede ser un parámetro útil en la evaluación de la tenacidad y la relación

(K1C/Y)2 ha sido definida como un factor de ductilidad.

Figura 15.8.3.- Extensión de la zona plástica en la punta de la grieta.

La tabla 15.3.1 da los valores típicos de dicho factor para diversos plásticos. Puede observarse que aunque la

relación usada en el factor de ductilidad esta conceptualmente relacionada con el tamaño de la zona plástica,

esto utiliza K1C. Esto es para simplificar la definición y eliminar cualquier ambigüedad en relación con las

condiciones del campo de tensiones cuando se relaciona con el tamaño de la zona plástica. Es importante que

se usen velocidades de deformación consistentes para determinar los valores de K1C y Y, en particular

cuando los materiales están siendo comparados. Por esta razón, los valores de la tabla 15.3.1 no deben

considerarse como definitivos y se dan simplemente para ilustrar órdenes de magnitud típicos.

15.9.- Fallo por fluencia de los materiales plásticos.

Cuando se aplica una tensión constante a un plástico cambiará gradualmente su tamaño debido al efecto de

fluencia. El material no puede seguir indefinidamente haciéndose más grande y eventualmente ocurrirá la

fractura. Este comportamiento se denomina como ruptura por fluencia, aunque a veces también se usa el

término menos aceptado (por los ingenieros) de fatiga estática.

El tiempo para que el material se fracture dependerá del nivel de tensión, la temperatura ambiental, el tipo de

ambiente, la geometría del componente, la estructura molecular, el método de fabricación, etc. Para algunas

tensiones la velocidad de fluencia puede ser lo suficientemente baja, de tal modo que para la mayoría de los

objetivos prácticos la resistencia del material puede ser considerada como infinita. Por otra parte, para

tensiones altas el material probablemente fallará poco después de que la tensión haya sido aplicada.

El mecanismo de fallo dependiente del tiempo en los materiales poliméricos no es completamente conocido.

En términos simples puede considerarse que cuando el material experimenta fluencia, la tensión en algún

punto del material se hace lo suficientemente alta para causar el desarrollo de una microgrieta, pero que no se

propaga catastróficamente.

La tensión en la sección restante del material sin rotura va a incrementarse en una pequeña cantidad. Esto

causa un posterior crecimiento estable de la microgrieta de modo que en un determinado período de tiempo

los efectos combinados de fluencia y crecimiento estable de la grieta causan un aumento de la tensión

verdadera en el material. Eventualmente, se llega a una etapa cuando la tensión localizada en la grieta alcanza

un valor, el cual la sección transversal restante del material es incapaz de sostener. En ese punto, la grieta se

propaga rápidamente a través la sección transversal global del material.

Los datos de ruptura por fluencia, por lo general, se presentan como la tensión aplicada estática, , en función

del logaritmo del tiempo para fracturarse, como se muestra en la figura 15.9.1. Si la fractura viene precedida

112

por el fenómeno de resquebrajamiento, blanqueado y/o estricción, entonces es habitual indicar en las

características de ruptura por fluencia la etapa en la cual dichos fenómenos fueron observados. Puede verse en

la figura 15.9.1 que la aparición del fenómeno de resquebrajamiento o blanqueo no es necesariamente un signo

de fractura inminente.

En muchos casos el material puede seguir sosteniendo la carga aplicada durante semanas, meses o hasta años

después de que dichos fenómenos hayan sido observados. Sin embargo, no hay duda de que cuando un

componente sometido a una carga comienza a resquebrajarse o a blanquearse, puede llevar al desconcierto y

entonces es muy probable que en ese punto sea retirado del servicio. Por esta razón, es a veces preferible usar

el término fallo por fluencia más bien que ruptura por fluencia, ya que el material se ha considerado como

fallado antes de que se fracture.

Datos isométricos de las curvas de fluencia también pueden superponerse sobre los datos de ruptura por

fluencia con el fin de dar una indicación de las magnitudes de las deformaciones implicadas. La mayoría de

los plásticos se comportan de una manera dúctil bajo la acción de una carga estable. Las excepciones más

notables son el poliestireno, resina acrilica moldeada por inyección y el nilón reforzado con fibra de vidrio.

Sin embargo, hasta los materiales que son dúctiles en cortos periodos de tiempo tienden a hacerse frágiles en

periodos de tiempo largos. Esto puede causar dificultades en la extrapolación de los ensayos a corto plazo,

como se muestra en la figura 15.9.1. Esto problema ha aparecido con la inesperada fractura frágil de tuberías

de polietileno después de estar sometidas durante muchos años a presiones moderadas. Sobre esta base la

Institución de Normas británica ha dado los valores de las tensiones de diseño de la tabla 15.9.1 para el uso en

periodos largos de tiempo de los plásticos.

Figura 15.9.1.- Comportamiento típico a rotura por fluencia de los materiales plásticos.

Tabla 15.9.1.- valores de las tensiones de diseño de la tabla para el uso en periodos largos de tiempo de

113

los plásticos.

Plástico Tensión de seguridad (MN/m2)

LDPE 2.1

HDPE 5.0

PP 5.0

ABS 6.3

UPVC 10.0-12.0

Otros factores que promueven la fragilidad son discontinuidades geométricas (concentración de tensión) y los

ambientes agresivos que probablemente causan ESC. La absorción de fluidos en los plásticos (por ejemplo, el

agua en el nilón) puede también afectar sus características de ruptura por fluencia, entonces debería tenerse en

cuenta donde se prevea que lo anterior pueda ocurrir.

Puede verse en la figura 15.9.1 que en la mayoría de los casos donde el fallo es dúctil las curvas isométricas

son aproximadamente paralelas a las curvas de fractura, sugiriendo que este tipo de fallo esta principalmente

dominado por la deformación. Sin embargo, la línea de fractura frágil corta a las líneas isométricas. También

puede verse que el blanqueo o el resquebrajamiento ocurren a deformaciones inferiores cuando la tensión es

baja.

Se han hecho muchas tentativas para obtener las expresiones matemáticas que describan la dependencia con el

tiempo de la resistencia de los plásticos. Puesto que para muchos plásticos la representación gráfica de la

tensión, , en función del logaritmo del tiempo de fallo, es aproximadamente una línea directa, una de las

expresiones usadas más comunes es de la forma:

Bf

t Ae (15.9.1)

donde A y B son constantes, aunque en realidad dependan de la estructura del material y de la temperatura.

En la tabla 15.9.2 se dan valores típicos de A y B a 20° C para el polipropileno y la resina acrilica.

Tabla 15.9.2.- Valores típicos de A y B a 20° C para el polipropileno y la resina acrilica.

Una de las tentativas más acertadas para incluir el efecto de la temperatura en una expresión relativamente

simple similar a la de la ecuación (15.9.1), ha sido propuesta por Zhurkov y Bueche utilizando una ecuación

de la forma:

0

0

U

RTf

t t e

(15.9.2)

donde:

t0 = Constante que es aproximadamente igual a 10-12

segundos para la mayoría de los plásticos

U0 = Energía de activación del proceso de fractura

= Coeficiente que depende de la estructura del material

R = Constante de los gases perfectos (= 8.314 J/mol " K)

T = Temperatura absoluta.

Si no se conocen los valores de U0 y para el material, entonces pueden realizarse una serie de ensayos de

114

ruptura por fluencia a una temperatura fija, que permiten determinar sus valores a partir de la expresión

(15.9.2). Los tiempos de fallo a otras tensiones y temperaturas pueden entonces predecirse.

15.10.- Fatiga de los plásticos.


El fallo de un material bajo la acción de una carga fluctuante, denominado fatiga, es una de las causas

principales de fractura en los metales. Aunque los plásticos son susceptibles de una gama más amplia de

mecanismos de fallo es probable que la fatiga juegue un papel importante. Para los metales el proceso de

fatiga se atribuye a propagación estable de defectos existentes parecidos a una grieta o la iniciación de la grieta

y su propagación a partir de microdefectos estructurales conocidos como dislocaciones.

La acción cíclica de la carga causa el crecimiento de la grieta hasta que adquiere un tamaño tal que el resto de

la sección transversal de la muestra no puede soportar la carga. En esta etapa hay una propagación catastrófica

de la grieta a través del material en un solo ciclo. Los fallos de fatiga en los metales son siempre frágiles y no

hay ninguna advertencia visual de que el fallo es inminente.

El conocimiento de las dislocaciones en los metales tiene su origen en un cuidadoso entendimiento de la

estructura cristalina y para los metales está en una etapa avanzada. Lamentablemente no se puede decir lo

mismo para la fatiga de los polímeros. En este caso la estructura molecular es completamente diferente lo que

significa que es poco probable que el proceso de iniciación de la grieta tratan sea de un tipo similar, aunque

es posible que una vez que la grieta se ha iniciada, la fase de propagación subsiguiente si que puede ser

similar.

Si un artículo plástico ha sido mecanizado entonces es probable que se puedan introducir defectos

superficiales capaces de propagarse, y la fase de iniciación de fallo será despreciable. Si el artículo ha sido

moldeado esto tiende a producir una capa superficial protectora que inhibe la iniciación/propagación de la

grieta de fatiga. En tales casos, es más probable que las grietas de fatiga se desarrollen en el interior del

material. En este caso, la iniciación de grietas capaces de propagarse puede ocurrir por medio del

deslizamiento de las macromoléculas si el polímero es cristalino. Hay también evidencias que sugieren que

las fronteras de las esferulitas sean áreas de debilidad en las que se pueden desarrollar grietas durante el

estiramiento y así actuar como un camino de propagación de la grieta.

En polímeros amorfos es posible que las grietas puedan desarrollarse en los huecos formados durante el flujo

viscoso.

Los plásticos obtenidos por moldeo por inyección también tendrán sitios de iniciación de la grieta creados por

los defectos originados durante el proceso como líneas de soldadura, puertas, etc. y por partículas de relleno

como pigmentos, estabilizadores, etc. Las concentraciones de tensión causadas por las discontinuidades

geométricamente puntiagudas serán una fuente principal de grietas de fatiga. La figura 15.10.1.1 muestra la

fractura de fatiga típica en la cual la grieta se ha propagado desde un defecto superficial.

115

Figura 15.10.1.1.- Superficie típica de fractura por fatiga.

Hay una serie de características adicionales que hacen que el fenómeno de fatiga en los polímeros sea un tema

complejo y que, por tanto, no se preste a un análisis simple. La propia naturaleza de la carga significa que la

tensión, la deformación y el tiempo varían de forma simultánea.

El comportamiento viscoelastico del material significa que la velocidad de deformación (o frecuencia) es un

factor importante. Hay también variables especiales peculiares de este tipo de ensayos como el tipo de control

(si es carga controlada o deformación controlada), el nivel de carga o deformación media y la forma de la

onda cíclica. A la complejidad hay que añadir, la humectación inherente y la baja conductividad térmica de los

plásticos, lo que causan una subida de la temperatura durante el proceso de fatiga. Esto puede causar un

deterioro en las propiedades mecánicas del material o causa ello para ablandarse tanto que se hace inútil en

cualquier carga que lleva uso.

Otro aspecto importante de la fatiga de todos los materiales es la naturaleza estadística del fallo y la dispersión

que esto puede causar en los resultados. En una muestra particular de plástico hay una distribución aleatoria de

microgrietas, defectos internos y tensiones residuales localizadas. Estos defectos pueden surgir de las

imperfecciones estructurales (por ejemplo, variaciones en los pesos moleculares) o como resultado del método

de fabricación usado para el material. No hay duda de que el proceso de fallo se inicia en dichos defectos y

que el desarrollo y propagación de la grieta dependerá de una serie de acontecimientos aleatorios.

Puesto que la distribución y el tamaño de los defectos probablemente son bastante diferentes, aún en muestras

de apariencia idénticas, entonces la resistencia a la rotura del plástico es una función de la probabilidad de que

exista un defecto lo suficientemente grande y correctamente orientado en una región del material sometida a

una tensión elevada. Ya que hay una mayor probabilidad de un defecto conveniente que existe en un pedazo

grande de material allí puede ser un efecto de tamaño.

El punto más importante a tener en cuenta es que la resistencia a la rotura de un material no es un valor único,

sino que puede haber una distribución estrecha de valores de la resistencia pero en todos los casos es esencial

satisfacerse sobre el importancia estadística de un punto de datos solo. Los procedimientos de diseño más

adecuados para evitar la fractura, por lo general incluyen la elección de un factor la seguridad que reducirá la

probabilidad de fallo a un valor bajo aceptable.

116

15.10.2- Efecto de la frecuencia cíclica.

Si se considera una muestra de plástico que esta sometida a una tensión cíclica de amplitud fija igual a ±1.

La alta capacidad de amortiguamiento y la baja conductividad térmica del material hace que una parte de la

energía entrante será disipada en cada ciclo y aparecerá como calor. Por lo tanto, la temperatura del material se

elevará, como se muestra en la figura 15.10.2.1.

Figura 15.10.2.1.- Elevación de la temperatura durante carga cíclica.

Eventualmente, se alcanzará un estado en el cual el calor transferido al entorno igualara a la disipación de

energía. En ese momento, la temperatura del material se estabilizará hasta que tenga lugar el fallo del material

por fatiga frágil convencional. Este fallo puede trazarse en un gráfico de la amplitud de tensión en función del

logaritmo del número ciclos necesarios para que ocurra la fractura como se muestra en la figura 15.10.2.2.

Si, en el siguiente ensayo, la amplitud de la tensión se aumenta a 2 entonces la temperatura material se

elevará otra vez y se estabilizará en un valor más alto como se muestra en la figura 15.10.2.1. Entonces la

ciclicidad continuada conduce a un fallo por fatiga como se muestra en la figura 15.10.2.2.

Figura 15.10.2.2.- Comportamiento típico de fatiga del acetal a 5 Hz.

117

Amplitudes de tensión más altas en sucesivos ensayos repetirán el modelo hasta que se alcanza un punto en el

cual la temperatura no se estabiliza. Entonces la temperatura sigue elevándose y causa el fallo a corto plazo

del material por ablandamiento. Amplitudes de tensión por encima de dicho nivel de tensión causará fallos

térmicos en un tiempo aún más corto. El resultado es que la curva de fatiga de la figura 15.10.2.2 tiene dos

regímenes distintos. Uno para los fallos térmicos a corto plazo, relativamente y otro a largo plazo para los

fallos de fatiga convencionales.

Si se reduce la frecuencia de la ciclicidad entonces las amplitudes de tensión que producen fallos por

ablandamiento térmico a la frecuencia anterior, ahora da como resultado subidas estables de temperatura y

eventualmente tendrán lugar fallos por fatiga. Se ha encontrado que dichos fallos por fatiga caen sobre la

curva extrapolada de los fallos por fatiga de la frecuencia previa. Incluso a frecuencias más bajas, sin

embargo, ocurrirán fallos por ablandamiento térmico a niveles de tensión altos. Si los fallos de fatiga ocurren

a dichas tensiones altas, entonces la frecuencia todavía se podría reducir aún más. La imagen total del proceso

que se desarrolla se muestra en la figura 15.10.2.3.

En algunos plásticos la curva de fallo por fatiga se hace casi horizontal para grandes valores de N. El nivel de

tensión al cual ocurre lo anterior es importante para los objetivos de diseño y se conoce con el nombre de

límite de fatiga. Para plásticos en los cuales los fallos por fatiga siguen ocurriendo hasta para niveles de

tensión relativamente bajos es necesario definir un límite de resistencia, es decir el nivel de tensión que no

causaría el fallo por fatiga hasta un aceptable grande número de ciclos de tensión.

La presencia de fallos térmicos en un plástico depende no sólo de la ciclicidad de la frecuencia y del nivel de

tensión aplicado, sino que también depende de las características térmicas y de amortiguamiento del material.

Por ejemplo, el policarbonato tiene muy poca tendencia a los fallos térmicos, mientras que el polipropileno

tiene una marcada tendencia en esa dirección. Los termoestables térmicamente son muy estables y sólo

exhiben fallos de fatiga frágiles.

Figura 15.10.2.3.- Comportamiento típico a fatiga del acetal a varias frecuencias.

15.10.3.- Efecto de la forma de la onda

118

Asumiendo que la forma de la onda cíclica usada en el punto anterior era sinusoidal entonces el efecto de usar

una onda cuadrada es reducir, a cualquier frecuencia, el nivel de amplitud de tensión al cual comienzan a

ocurrir los fallos por ablandamiento térmico. Esto es debido a que hay una mayor disipación de energía por

ciclo cuando se usa una onda cuadrada. Si se aplica una onda en forma de rampa, entonces hay menos

disipación de energía por ciclo y son posibles niveles de tensión más altos antes de que ocurra el fallo térmico.

15.10.4.- Efecto del modo de control del ensayo.

Durante la carga cíclica de un material la energía disipada es proporcional al producto de la tensión y la

deformación. Si la carga sobre un plástico es tal que la amplitud de la tensión se mantiene constante, entonces

cualquier elevación de la temperatura del material conducirá a un aumento de la deformación, ya que el valor

del módulo disminuye con la temperatura. El aumento de la deformación significa que se disipa más energía,

conduciendo a una posterior caída del valor del módulo y un posterior aumento de a deformación. Este tipo de

reacción en cadena es la que conduce a los fallos por ablandamiento térmico si el calor transferido al entorno

es insuficiente.

Un modo alternativo de realizar los ensayos es controlar la amplitud de la deformación. En este caso un

aumento de la temperatura causará otra vez una caída en el valor del módulo, pero ahora esto conduce a una

disminución de la amplitud de la tensión. Hay, por consiguiente, una disminución en la disipación de energía

y de ahí de la temperatura. En este caso se produce un mecanismo autoestabilizante que previene la presencia

de fallos por ablandamiento térmico. El resultado es que bajo este modo de control la elevación de la

temperatura siempre se estabiliza y sólo se observan tipos de fallos por fatiga.

15.10.5.- Efecto de la tensión media.

Por conveniencia, en las secciones anteriores se ha supuesto que la tensión media era cero. Sin embargo, en

muchos casos de interés práctico la fluctuación de la tensión pueden ser siempre en tracción (o al menos

parcialmente hacia la tracción) de modo que la tensión media no es cero. El resultado es que el sistema de

tensión es una tensión media constante, m, superpuesta a una tensión fluctuante a. Puesto que el plástico

experimentará fluencia bajo la acción de la tensión media estable, esto añade complejidad a la situación,

porque si la tensión media es grande entonces el fallo de ruptura por fluencia puede ocurrir antes que

cualquier fallo por fatiga. La interacción de la tensión media y la amplitud de la tensión, por lo general, se

presenta como un gráfico de (aVm) como se muestra en la figura 15.10.5.1.

La figura 15.10.5.1 representa el lugar geométrico de todas las combinaciones de a y m que causan fallo por

fatiga para un número particular de ciclos, N. Para los materiales plásticos el gráfico es ligeramente diferente

a lo observado para los metales. En la región WX el comportamiento es similar en tanto que cuando la tensión

media aumenta, la amplitud de tensión debe disminuir para causar el fallo en el mismo número de ciclos.

Sobre el la región YZ, sin embargo, la tensión media es tan grande que los fallos de ruptura por fluencia son

dominantes. El punto Z puede obtenerse de los datos de ruptura por fluencia a un tiempo igual al necesario

para dar N ciclos en el ensayo de frecuencia. Hay que tener presente, dependiendo del nivel de tensión

media, fenómenos diferentes pueden ser la causa del fallo.

119

Figura 15.10.5.1.- Relaciones entre la tensión media y la amplitud de la tensión.

El nivel de tensión media también tiene efectos sobre la presencia de fallos térmicos. Típicamente para

cualquier amplitud de tensión particular la subida de temperatura estable aumentará con el incremento de la

tensión media. Esto puede extenderse hasta una amplitud de tensión que cause una subida estable de

temperatura cuando la tensión media es cero, pudiendo causar un fallo térmico fuera de control si se

superpone una tensión media.

Para el diseño es útil tener una relación entre a y m, similar a la usada para los metales (por ejemplo, las

relaciones de Soderberg y de Goodman). Se sugiere que la ecuación de una línea directa que une puntos la W

y la Z en la figura 15.10.5.1 sería lo mejor porque es simple y dará adecuadamente al conservador

estimaciones para las combinaciones permitidas de a y m para producir fracaso en un número

preseleccionado de ciclos. Tal ecuación tendría la forma:

1 ma f

c

(15.10.5.1)

donde:

f = Resistencia a la fatiga a los N ciclos

c = Resistencia a la rotura por fluencia en el tiempo equivalente a los N ciclos.

120

15.10.6.- Efecto del sistema de tensión.

En las secciones anteriores se ha asumido que el sistema de tensión era cíclico y uniaxial, ya que es el más

simple de analizar. Sin embargo, si el material se somete a flexión, entonces se alterará el sistema de tensión y

de ahí el comportamiento de fatiga. En general, se ha encontrado que una muestra sometida a tensiones de

flexión fluctuantes tendrá una resistencia a la fatiga mayor que una muestra del mismo material sometida a

una tensión uniaxial cíclica. Esto se debe al gradiente tensión que existe a través del material en el modo de

flexión. Las grietas de fatiga se inician por la tensión alta existente en la superficie, pero la velocidad de

propagación de la grieta se reduce debido a las menores tensiones existentes en la mayor parte del material.

Además, la fase de iniciación de la grieta puede alargarse. Esto es debido a que los productos moldeados

tienen una piel característica que aparece oponerse a la formación de grietas de fatiga.

Bajo carga uniaxial la sección transversal total de la muestra esta sometida a la misma tensión y las grietas se

iniciarán en la región más débil.

El gradiente de tensión también supone el retraso de la presencia de fallos por ablandamiento térmico. A

cualquier frecuencia de de tensión particular, los fallos por ablandamiento térmico no ocurrirán hasta que se

alcancen tensiones más altas si el sistema de tensión es de flexión en lugar de uniaxial.

15.11.- Comportamiento de los plásticos ante impacto.


La resistencia ante el impacto es una de las propiedades claves de los materiales. La capacidad de un material

para soportar golpes accidentales puede decidir su éxito o fracaso en un uso particular. Aunque existen datos

de resistencia al impacto citados en la literatura, la mayor parte de ellos son de poco valor, ya que la

resistencia al impacto no es una característica inherente del material y de ahí que no sea posible especificar un

único valor universal para la resistencia al impacto de cualquier material plástico.

La resistencia al impacto depende de una gama de variables incluyendo la temperatura, la velocidad de

deformación, el sistema de tensiones, la anisotropía, la geometría de la pieza, las condiciones de fabricación y

el ambiente. Como consecuencia hay, a menudo, una pobre correlación: (a).- entre los datos de los ensayos de

laboratorio y el funcionamiento del producto y (b) entre los resultados de los ensayos de diferentes

laboratorios. El primero de estos problemas es el más serio porque puede levantar dudas en el diseñador sobre

el empleo de los materiales plásticos.

Por suerte, la situación en la práctica no es tan compleja como podría parecer. En general, de logran diseños

muy aceptables usando datos resistencia al impacto obtenidos en condiciones que se relacionan tan

estrechamente como sea posible con las condiciones de servicio.

Los valores de resistencia al impacto disponibles en la literatura pueden usarse para la selección inicial de un

material sobre la base de un nivel deseado de tenacidad. Entonces, cuando sea posible eso debería apoyarse

mediante ensayos sobre la pieza plástica, o sobre una probeta extraída de ella, para asegurar que el material,

una vez fabricado, está en un estado satisfactorio para realizar su función.

Para aliviar problemas de fractura es esencial evitar el los factores que probablemente causan la fragilidad.

Estos incluyen concentraciones de tensión y temperaturas bajas.

121

15.11.2.- Efecto de la concentración de tensión.

Durante el servicio de un artículo de plástico el comportamiento ante impactos será influenciado por los

efectos combinados del sistema de tensión aplicado y la geometría del artículo.

Aunque el sistema de tensión aplicado pueda parecer simple (por ejemplo, uniaxial), puede hacerse triaxial en

áreas locales debido a una discontinuidad geométrica. La figura 15.11.2.1 muestra el sistema de tensión

triaxial que existe en la punta de una muesca. Esta triaxialidad es la que promueve la fragilidad del material.

Por lo tanto, en la práctica habría que evitar cambios abruptos de la sección, agujeros, muescas, etc.

En el laboratorio el comportamiento ante impacto de un material podría examinarse probando muestras

simples planas, pero ya que las roturas frágiles son de particular interés es más útil asegurar que el sistema de

tensión es triaxial. Esto puede lograrse mediante la inserción de una muesca en la muestra. La elección de la

profundidad de la muesca y el radio en la punta afectará al valor de la resistencia ante impacto observadas.

Una muesca es aguda cuando el radio vale 0.25 mm y embotada cuando vale 2 mm.

Figura 15.11.2.1.- Distribución triaxial de tensiones en la punta de una muesca.

La figura 15.11.2.2 muestra la variación típica de la resistencia ante impacto con el radio de punta de la

muesca para varios materiales termoplásticos. Del gráfico se deduce que el empleo de una muesca aguda

clasifica los materiales plásticos en orden diferente al que se obtiene utilizando una muesca embotada. Esto

puede explicarse considerando la resistencia total al impacto consistiendo tanto en la energía necesaria para la

iniciación de la grieta como para su propagación.

Cuando se usa una muesca aguda (el radio de 0.25 mm) puede asumirse que la energía necesaria para iniciar la

grieta es pequeña y la contribución principal a la resistencia al impacto es la energía de propagación de la

grieta. En esta base, la figura 15.11.2.2 muestra que el polietileno de alta densidad y el ABS tienen,

relativamente, altas energía para la propagación de la grieta, mientras que materiales como el cloruro de

polivinilo, el nilón y acrílico tienen valores bajos.

122

La mejora significativa de la resistencia al impacto del cloruro de polivinilo y del nilón cuando se usa una

muesca embotada sugiere que sus energías para la iniciación de la grieta son altas. Sin embargo, la pequeña

mejora del comportamiento al impacto del ABS con muesca embotada indica que la contribución de la energía

de iniciación de la grieta es baja.

Los gráficos como los mostrados en la figura 15.11.2.2 también dan una representación conveniente de la

sensibilidad ante la muesca de los materiales. Por ejemplo, puede verse que muescas agudas son claramente

perjudiciales para todos los materiales probados y deberían ser evitadas en los diseños buenos. Sin embargo,

es también evidente que las ventajas derivadas de la utilización de esquinas redondeadas son mucho menos

para el ABS, que para materiales como el nilón o el cloruro de polivinilo.

Figura 15.11.2.2.- Variación de la resistencia al impacto con el radio de la muesca para varios termoplásticos.

La resistencia al impacto también aumenta cunado la profundidad de la muesca disminuye. La variación de la

resistencia al impacto con la profundidad de la muesca y el radio puede verse empleando la expresión del

factor de concentración de tensión lineal elástica: 1

2

1 2t

aK

r

(15.11.2.1)

donde r es el radio de muesca a la profundidad de la muesca.

Para los acrílicos, el nilón reforzado con vidrio y el metilpenteno, se ha probado que existe una correlación

razonable entre el recíproco del factor de concentración de tensión, Kt, y la resistencia al impacto. Sin

embargo, para el cloruro de polivinilo una buena correlación sólo se puede lograr si se tienen en cuenta las

dimensiones finitas de la muestra en el cálculo del factor de concentración de tensión.

15.11.3.- Efecto de la temperatura.

123

En la mayor parte de casos los componentes fabricados con termoplásticos se diseñan para su empleo a

temperatura ambiente. Podría parecer, por lo tanto, que los datos sobre las propiedades de resistencia al

impacto a dicha temperatura (aproximadamente 20°C) proporcionarían la información suficiente para el

diseño. Sin embargo, hay que tener en cuenta, que aún en los ambientes interiores, las temperaturas pueden

variar una cantidad que puede tener un efecto significativo sobre comportamiento de resistencia al impacto.

Para componentes usados al aire libre, la situación puede ser mucho peor con condiciones que varían desde

temperaturas bajo cero a tropicales. Igual que los metales, muchos materiales plásticos presentan una

transición del comportamiento dúctil a frágil, cuando disminuye la temperatura.

La figura 15.11.3.1 muestra los efectos que pueden observarse con varios materiales plásticos comunes.

Aparte de los cambios de resistencia al impacto con la temperatura, se puede observar una clasificación de los

materiales bajo la influencia de las condiciones del ensayo .Por ejemplo, a 20°C el polipropileno es superior al

acetal, mientras que a -20°C presenta una considerable pérdida de resistencia al impacto siendo más pobre

que la del acetal.

Puede verse en la figura 15.11.3.1 que algunos plásticos experimentan el cambio de comportamiento dúctil -

frágil en un intervalo, relativamente estrecho, de temperatura. Esto permite determinar la temperatura de

transición dúctil - frágil. En otros plásticos dicha transición es mucho más gradual de modo que no es posible

atribuirlo un único valor de la temperatura. En dichas circunstancias es común citar una temperatura de

fragilidad, TB(1/4) .Esta temperatura se define como el valor en el cual la resistencia al impacto del material

con una muesca aguda (radio igual a 0.25 mm en la punta) es igual a 10 kJ/m2. Esta temperatura da una

indicación de la temperatura por encima de la cual no debería haber ningún problema de fallo por impacto.

Esto no significa que el material nunca sea usado por debajo de TB(1/4), porque por definición esto sólo se

refiere al caso de muesca aguda. Cuando el material tiene una muesca embotada o no tiene muesca su

comportamiento puede ser satisfactorio por debajo de TB(1/4).

Figura 15.11.3.1.- Variación de la resistencia al impacto con el radio de la muesca para varios termoplásticos.

15.11.4.- Factores mixtos que afectan al impacto.

124

Otros factores que pueden afectar el comportamiento de resistencia al impacto son defectos de fabricación

como huecos internos, inclusiones y aditivos como pigmentos, todo lo cual puede causar concentraciones de

tensión dentro del material. Además, las soldaduras internas causadas por la fusión parcial de frentes resultan

ser las áreas de debilidad. El ambiente también puede afectar el comportamiento de resistencia al impacto.

Plásticos expuestos a la luz del sol y al desgaste medioambiental durante períodos de tiempo prolongados

tienden a hacerse frágiles a causa de la degradación.

Un material plástico en los alrededores de un fluido que lo ataca, pueden ver reducida la energía de iniciación

de la grieta. Algunos plásticos son afectados por fluidos, por ejemplo los aceites de calefacción actúan como

plastificantes del polietileno. El efecto que el agua puede tener sobre el comportamiento de resistencia al

impacto sobre el nilón es espectacular, como se ilustra en la figura 15.11.3.1.

El acabado superficial del producto también puede afectar el comportamiento de resistencia al impacto. Las

superficies mecanizadas, por lo general, tienen las huellas del instrumento de mecanizado actuando como

concentradores de tensión, mientras que las superficies moldeadas tienen una piel característica que puede

ofrecer protección contra la iniciación de la grieta. Si la superficie moldeada se raya, entonces dicha

protección desaparece. Además, los productos moldeados de vez en cuando tienen la superficie en relieve con

efectos decorativos y los ensayos han mostrado que esto puede causar una reducción considerable de la

resistencia al impacto comparada con una superficie simple.

15.11.5.- Ensayos de resistencia al impacto.

Las causas principales de la fragilidad en los materiales son:

(1).- Estado triaxial de tensiones (El cual puede introducirse mediante la presencia de una entalla o muesca).

(2).- Altas velocidades de deformación.

(3).- Temperaturas bajas.

Para proporcionar información sobre el comportamiento de resistencia al impacto de los materiales, se han

desarrollado ensayos que implican el golpeo de una barra con muesca mediante un péndulo. El material se

someta a un sistema de tensión triaxial y a altas velocidades de deformación, con lo cual se incita al fallo por

rotura frágil.

Los ensayos estándar para medir la energía de impacto, a veces también denominada tenacidad a la entalla,

son el Izod y el Charpy que usan los procedimientos de ensayo ilustrados en la figura 15.11.5.1 (a) y (b). Las

probetas tienen una muesca estándar mecaniza en ellas y se mide la energía de impacto absorbida en la rotura

de la probeta. Con el empleo cada vez mayor de plásticos en usos de ingeniería parece apropiado que se

adopten para ellos estos ensayos.

125

Figura 15.11.5.1.- Ensayos de resistencia al impacto mediante péndulo.

126

Figura 15.11.5.1.- Ensayos de resistencia al impacto mediante péndulo.

Sin embargo, los ensayos tienen ciertos defectos. El problema principal es que las condiciones de ensayo son

arbitrarias. Se fija la velocidad de impacto, el método de carga y la geometría de la probeta y la experiencia ha

mostrado era mucho esperar que los resultados fueran representativos del comportamiento material en

condiciones diferentes.

En particular, las probetas estándar tienen una muesca aguda de modo que sea la energía propagación de la

grieta el factor dominante, más bien que la energía de iniciación En general, los ensayos estándar son útiles

para el control de calidad y con el propósito de especificación, pero no para la predicción del funcionamiento

del producto final. La compleja interacción de las variables no permite que el diseño del componente se base

únicamente en los datos. Un material que puede parecer malo en los ensayos estándar no necesariamente será

malo en el servicio.

Aunque los ensayos Izod y Charpy se usan extensamente para plásticos, también son populares otros tipos de

ensayo. Estos incluyen ensayos de impacto en tracción y de placa en flexión (peso decreciente). Este último

es particularmente útil en situaciones donde se evalúan los efectos de anisotropía de flujo. Además, pruebas

arbitrarias sobre el producto final son ampliamente utilizadas para proporcionar la seguridad de que no surjan

127

factores imprevistos que reduzcan el rendimiento del producto ante impactos.

Los resultados de los ensayos de impacto, a menudo, presentan una gran dispersión incluso con los

procedimientos de ensayo más cuidadosos. En estas circunstancias es práctica normal citar la mediana de los

valores de la resistencia, más bien que su promedio. Esto es porque la mediana será el representante de la

mayor parte de los resultados. Una muestra no rota también puede ser tenida en cuenta en el análisis de la

mediana, pero no cuando se usa el promedio.

La resistencia al impacto, normalmente, viene dada por:

2Re ( / )sec

Energía de roturasistencia al impacto J m

Área de la ción de la muesca (15.11.5.1)

Ocasionalmente, puede usarse el término de energía de rotura por unidad anchura y las unidades serían en

J/m.

En algunas aplicaciones el comportamiento del material al impacto puede no ser crítico y sólo es necesario un

conocimiento general del comportamiento del material. En dicho caso, los diagramas como el representado en

la figura 15.11.5.2 pueden ser útiles para proporcionar una indicación global del comportamiento al impacto

esperado de plásticos diferentes.

Sin embargo, este tipo de guía general debe usarse con precaución porque simplifica demasiado, al menos,

dos aspectos importantes. Ignora la transición de tenacidad (Tensión plana/Deformación plana) la cual causa

el orden de mérito para depender del espesor de material. También ignora el efecto de la orientación molecular

excepto en la medida en que este diagrama particular se refiere a probetas preparadas a partir de un tipo de

moldeado.

Figura 15.11.5.2.- Comparación de las resistencias al impacto medidas mediante el ensayo Charpy.

128

16.- Rigidez de polímeros. Método del diseño pseudo-elástico.


El cambio de dimensiones, dependiente del tiempo, de un plástico cuando se somete a una tensión constante

se denomina fluencia. Como consecuencia de este fenómeno el módulo de los plásticos no es constante. Sin

embargo, con tal de que se conozca su variación con el tiempo, el comportamiento ante fluencia de los

plásticos puede abordarse usando procedimientos de diseño exactos y bien establecidos. Los metales también

muestran propiedades dependientes del tiempo a altas temperaturas de modo que los diseñadores de alabes de

turbina, por ejemplo, deben tener en cuenta el fenómeno de fluencia y vigilar la ruptura por dicha causa.

A temperatura ambiente el comportamiento de fluencia de los metales es despreciable y entonces los

procedimientos de diseño son más simples, ya que el módulo puede ser considerado como constante. Por el

contrario, los termoplásticos a temperatura ambiente se comportan de una manera similar a los metales a

altas temperaturas, de modo que los procedimientos de diseño para usos relativamente ordinarios deben tener

en cuenta el comportamiento viscoelástico de los plásticos.

Para los materiales tradicionales, el objetivo del método de diseño es determinar los valores de la tensión que

no causarán la fractura. Sin embargo, en los plásticos es más probable que la deformación excesiva sea factor

restrictivo en la selección de la tensión de trabajo.

En un material perfectamente el elástico (Hookeano) la tensión (uniaxial), , es directamente proporcional a

la deformación, ε, y la relación entre ellas puede expresarse como:

( tan )Cons te (16.1.1)

donde la (constante) se denomina módulo del material (Modulo de elasticidad).

En un fluido absolutamente viscoso (Newtoniano) la tensión cortante, η, es directamente proporcional a la

velocidad de deformación (dγ/dt ) y la relación entre ellas es:

( tan )d

Cons tedt

(16.1.2)

Los materiales poliméricos poseen unas propiedades mecánicas entre esos dos casos ideales y de ahí su

denominación de materiales viscoelásticos. En un material viscoelástico la tensión es una función de la

deformación y del tiempo y puede ser descrita por una ecuación de la forma:

,f t (16.1.3)

Este tipo de respuesta se denomina como viscoelástica no lineal, pero como su análisis no es simple, a

menudo, se reduce a la forma:

f t (16.1.4)

Esta ecuación es la base de la viscoelasticidad lineal e indica que, en un ensayo de tracción por ejemplo, para

un valor fijo del tiempo transcurrido, la tensión será directamente proporcional a la deformación. Los tipos

diferentes de respuesta descritas se muestran esquemáticamente en la figura 16.1.1.

129

Figura 16.1.1.- Curvas tensión - deformación de materiales elásticos y viscoelásticos, para dos valores del

tiempo transcurrido, t.

Las propiedades más características de los materiales viscoelásticos son:

1.- La respuesta de la deformación dependiente del tiempo a tensión constante (FLUENCIA).

2.- La respuesta de la tensión dependiente del tiempo a deformación constante (RELAJACION).

Además cuando se elimina la tensión aplicada los materiales tienen la posibilidad de recuperar lentamente parte

de la deformación en un determinado periodo de tiempo.

16.2.- Ensayos de plásticos a corto plazo.

El ensayo de tracción que es, probablemente, el método más popular para caracterizar metales, es también

extensamente usado para los plásticos. Sin embargo, para plásticos el ensayo tiene que ser realizado con

mucho cuidado y los resultados sólo deberían ser usados como medio de control de calidad y no como datos

para el diseño. Esto es porque, con plásticos es posible obtener resultados bastante diferentes del mismo

material simplemente cambiando las condiciones del ensayo.

La figura 16.2.1 muestra que para altas velocidades de deformación (> 1 mm/s) el cloruro de polivinilo

(PVC) no plastificado es un material frágil con un módulo de elasticidad y una resistencia relativamente altas.

Sin embargo, para bajas velocidades de deformación (<0.05 mm/s) el mismo material exhibe un módulo de

elasticidad y una resistencia menores, pero su ductilidad es ahora muy alta. Por lo tanto, el resultado de un

ensayo podría inducir a error si es usado en fórmulas de diseño, pero las condiciones de realización del ensayo

no son similares a las condiciones de servicio del material.

Así, el módulo depende de la velocidad del ensayo. Una velocidad lenta permite un mayor desenrrollamiento

de las cadenas moleculares, y de ahí un módulo inferior. Por su parte para una velocidad rápida de ensayo el

tiempo es insuficiente para que las cadenas se desenrollen y desenmarañen

130

Figura 16.2.1.- Curvas tensión-deformación típicas del cloruro de polivinilo no plastificado.

La figura 16.2.1 también ilustra un fenómeno interesante observado en algunos plásticos. Esto es el estirado

en frío (cold drawing) (Figura 16.2.2) y ocurre porque a bajas velocidades de deformación las cadenas

moleculares del material plástico tienen tiempo para alinearse bajo la influencia de la tensión aplicada. Así el

material es capaz de fluir a la misma velocidad que está siendo deformado (estirado). Se crea una estructura

molecular altamente alineada, que exhibe unas excelentes propiedades de resistencia y rigidez en la dirección

de alineamiento. Este fenómeno también se observa cuando el ensayo se realiza a temperaturas superiores a la

de la transición vítrea.

Ocasionalmente, los materiales se ensayan en tensión aplicando cargas en incrementos. Si este método se usa

para los materiales plásticos entonces es necesario tener especial precaución, ya que durante la tardanza entre

aplicación de la carga y la representación de la tensión, el material experimenta el fenómeno de fluencia. Por

lo tanto, si el retardo no es uniforme puede aparecer una dispersión excesiva o una no linealidad en el

material. Además, el modo en cual se aplican las cargas constituye una historia de carga que puede afectar el

funcionamiento del material. Una prueba en la cual los incrementos son grandes daría con gran probabilidad

resultados diferentes de aquellos obtenidos en una prueba en la cual los incrementos son pequeños o variables.

Como consecuencia de los efectos especiales en los materiales plásticos no es razonable citar propiedades

como el módulo, el límite elástico, etc. como un valor único sin mencionar los detalles del método de ensayo.

Métodos de ensayo estándar a corto plazo para plásticos se describen en las normas BS 2782, ASTM D638 y

ASTM D790. Estos relacionan tanto los ensayos a tracción como a flexión a corto plazo. En carga uniaxial la

tensión, , es simplemente la fuerza dividida por el área de la sección transversal y la deformación, ε, es la

variación de longitud dividida por la longitud original. El módulo del material es la relación

(tensión/deformación).

131

Figura 16.2.2.- Estirado en frío de un polímero termoplástico.

Ensayo de tracción.

0

0

,

,

,

WTensión

A

DeformaciónL

WLModulo E

A

Ensayo de flexión.

Para el ensayo de flexión en tres puntos (Figura 16.2.3), las ecuaciones son:

,My

TensiónI

donde:

M = Momento flector en el punto de carga (=WL/4).

y = Mitad de la profundidad de la probeta prismática (=d/2).

I = Momento de inercia con respecto al plano central de la probeta prismática (I = bd3/12).

Sustituyendo valores se tiene para la tensión:

2

3

2

WL

bd

132

Figura 16.2.3.- Ensayo de flexión en tres puntos.

Además se tiene:

3 2 2

2

3

3

,48 6 6

6,

,4

WL L LDeflexión

EI Ed d

dDeformación

L

WLMódulo E

bd

16.3.- Ensayos de plásticos a largo plazo.

Como el ensayo de tracción tiene desventajas cuando es usado para los plásticos, se han desarrollado los

ensayos de fluencia para medir el comportamiento en deformación de los materiales poliméricos. En estos

ensayos se aplica una carga constante al material y se mide la variación de la deformación con el tiempo

obteniéndose una gráfica como la mostrada en la figura 16.3.1 (a). Normalmente se usa escala de tiempo

logarítmica y el aspecto de la curva pasa a ser el que se da en la figura 16.3.1.b, de modo que puede incluirse

la dependencia con el tiempo después de períodos largos. En la figura 16.3.1.c se dan las curvas de fluencia

para el polipropileno a 20 °C (densidad 909 kg/m3).

Las figuras muestran que existe una deformación instantánea seguida de un incremento gradual. Si el material

tuviese un comportamiento viscoelástico lineal para cada tiempo las líneas de curvas de fluencia deberían estar

separadas la misma longitud a lo largo del eje de deformación. Aunque este tipo de comportamiento puede

observarse a bajas deformaciones y para periodos de tiempo cortos, en la mayoría de los casos la respuesta no

es lineal como pone de manifiesto la figura 16.3.1.c.

133

(a) (b)

(c)

Figura 16.3.1.- Curvas típicas de fluencia (a) Escala de tiempo lineal (b) Escala del tiempo logarítmica

(c).- Curvas de fluencia para el polipropileno a 20 °C, densidad 909 kg/m3).

Las curvas de fluencia pueden representarse como log(deformación)-log(tiempo), lo cual es conveniente ya

que a menudo la representación gráfica es una línea recta, lo que sugiere que el comportamiento en fluencia

puede describirse por medio de una ecuación de la forma:

( ) nt At (16.3.1)

donde:

n = Constante dependiente del material.

A = Constante que depende del nivel de tensión.

En sentido estricto el segundo miembro de la ecuación (4.1) debería de ser de la forma A0 + Atn, con el fin de

tener en cuenta la deformación instantánea en el tiempo t = 0. Sin embargo, para largos tiempo de fluencia, se

tiene suficiente exactitud ignorando el término A0.

Además de la ecuación (16.3.1) se han propuesto otras ecuaciones para describir el comportamiento en

fluencia, las cuales se dan en la tabla 16.3.1.

134

Tabla 16.3.1.- Ecuaciones que describen el comportamiento en fluencia.

El mecanismo de fluencia no es completamente conocido pero algunos aspectos tienen su explicación en la

estructura de los materiales poliméricos. Por ejemplo, en un polímero vítreo un átomo particular esta

restringido a cambiar su posición como consecuencia de las atracciones y repulsiones entre el y los átomos de

la mismo cadena o los átomos de cadenas adyacentes. Generalmente, se considera que para que un átomo

cambie su posición debe vencer una barrera de energía y la probabilidad de que alcance la energía necesaria

aumenta cuando se aplica una tensión. En un polímero semicristalino hay una diferencia estructural importante

pues las regiones cristalinas se disponen en una región amorfa. El movimiento de los átomos puede ocurrir en

ambas regiones pero en la mayoría de casos la movilidad de los átomos se favorece en el material no cristalino

entre el esferulitas.

Los plásticos también tienen la capacidad de recuperarse cuando se elimina la tensión aplicada y en una

primera aproximación esto puede considerarse como una inversión de la fluencia.

16.4.- Método de diseño pseudo - elástico.

El comportamiento mecánico (Deformaciones) de los polímeros es dependiente del tiempo bajo carga y de la

temperatura y puede representarse matemáticamente por modelos viscoelásticos simples o para mayor

exactitud por un modelo con un espectro de tiempos de retardo y de relajación. Sin embargo, la determinación

experimental de los parámetros asociados con dichos modelos puede llevar mucho tiempo. Además, el uso de

tales modelos en situaciones reales de tensiones en tres dimensiones está limitado ya que los análisis

viscoelásticos son muy complejos.

Cuando se diseñan componentes estructurales usando plásticos, es necesario recordar que las ecuaciones

clásicas de las que se dispone para el diseño de muelles, vigas, láminas o chapas, cilindros, etc. se han

derivado bajo las suposiciones siguientes:

(i).- Las deformaciones son pequeñas.

(ii).- Los módulos son constantes.

(iii).- Las deformaciones son independientes de la velocidad de carga o historia y son inmediatamente

reversibles.

(iv).- El material es isotrópico.

(v).- El material se comporta del mismo modo en tensión y en compresión.

135

Puesto que dichas asunciones no siempre se pueden justificar en el caso de los plásticos, dichas ecuaciones

clásicas no pueden usarse de manera indiscriminada y debe considerarse cada caso. Las ecuaciones clásicas

se derivan usando la relación:

Tensión = Módulo x Deformación

donde el módulo es constante, cosa que no ocurre en el caso de los plásticos.

Para aliviar dichas dificultades, una aproximación denominada método del diseño pseudo - elástico ha sido

adoptado por la mayoría de los ingenieros de diseño para predecir las tensiones y deformaciones en

componentes realizados con materiales plásticos.

El método incluye la sustitución y selección de las propiedades del material apropiadas dependientes del

tiempo, por ejemplo módulo de fluencia, en las clásicas ecuaciones de la elasticidad. La aproximación da

suficiente exactitud en la mayoría de los casos con tal que el valor escogido del módulo tenga en cuenta la vida

en servicio del material y no exista una cantidad significativa de deformación plástica del material. Esta

condición se asegura por medio de una de las siguientes aproximaciones:

(i).- Aproximación que limita la deformación.

En este caso se asume que se conoce la deformación límite del material. Desafortunadamente, dicha

deformación no es la misma para todos los plásticos ni aún para el mismo plástico en todas las aplicaciones. A

menudo se escoge un valor arbitrario, aunque se han sugerido varios métodos para obtener un valor adecuado.

La deformación del componente se limita hasta un cierto valor en la región del 1 % o 2 %. El valor usado

depende del material. Para materiales dúctiles como el polietileno y el propileno se puede usar para el diseño

el valor del 3 %, mientras que para materiales frágiles tales como el poliestireno se requiere un valor límite

mucho más bajo. Las propiedades del material dependientes del tiempo se escogen haciéndolas corresponder

con el nivel deformación que se haya elegido.

En la mayoría de los casos suele considerarse que la pieza se encuentra sometida durante toda su vida a una

temperatura y tensión constante (las máximas previsibles, si se pretende un diseño conservador) y se aplica la

teoría de la elasticidad lineal, ampliamente conocida por su uso en el diseño de piezas metálicas, utilizando en

lugar del módulo de Young un pseudo-módulo de elasticidad que se puede obtener de los diagramas isócronos

correspondientes a la temperatura de trabajo (Te) como valor de la tangente trigonométrica del ángulo que

forma la secante de la curva correspondiente al tiempo de vida previsto para la pieza (tU) y la deformación

máxima admisible, como se muestra en la figura 16.4.1.

Otro método es dibujar el módulo secante que es el 0.85 del módulo tangente inicial, como se muestra en

la figura 16.4.1, y tomar la deformación a la cual intersecta con la curva tensión - deformación.

Sin embargo, para la mayoría de los materiales plásticos, particularmente los cristalinos, esto es demasiado

restrictivo y este cálculo aproximado resulta conservador. En la mayoría de las situaciones prácticas el

límite de deformación se decide mediante acuerdos entre el diseñador y el fabricante.

Habitualmente para la determinación del pseudo-módulo de elasticidad se utiliza el diagrama isócrono

obtenido en los ensayos de fluencia, que son siempre más sencillos de realizar, y el valor así obtenido no

difiere mucho del valor del módulo de relajación verdadero correspondiente al tiempo de vida previsto para la

pieza y a la deformación máxima admisible.

136

Figura 16.4.1.- Módulo secante y tangente

(ii).- Aproximación de tensión máxima.

En este caso la tensión máxima en el componente es la que se tiene en cuenta directamente cuando se

seleccionan las propiedades del material apropiadas dependientes del tiempo.

Cualquiera que sea la aproximación elegida, el método de diseño pseudo - elástico conduce a un diseño

conservador, que da como resultado secciones de mayor espesor que el necesario y, por tanto, se usa más

cantidad de material. El conservadurismo aparece del hecho de que tanto con el criterio del límite de

deformación o de la tensión máxima, se determinan propiedades (módulo de fluencia) del material que se

aplican después para todo el componente. Sin embargo, el valor determinado del módulo solamente sería

aplicable en el punto o zonas de máxima deformación o tensión. En otros puntos o zonas del componente

podría utilizarse valores más altos del módulo de fluencia. El uso global de un valor extremo del módulo (y

bajo) conduce a una sobre predicción de la deformación y de ahí el diseño conservador.

No obstante, dicha aproximación conservadora en el diseño de plásticos es prudente en vista de que otros

factores con menos posibilidades de ser cuantificados pueden aparecer y afectar al comportamiento y, por

tanto, al rendimiento del componente plástico. Tales factores pueden ser: concentradores de tensiones, efectos

de orientación, incertidumbres medioambientales, etc.)

El método del diseño pseudo - elástico requiere datos del material dependientes del tiempo. En la práctica esto

significa la medida, por ejemplo, del módulo de fluencia, Ef(t), del material al nivel apropiado de tensión y

tiempo de carga. Esta información puede obtenerse fácilmente de los datos de fluencia suministrados por los

productores de materiales. Donde sea necesario el coeficiente de Poisson, υ, puede usarse un valor entre 0.35 y

0.42 dependiendo del tipo de material. Para polímeros en el estado vítreo (T< Tg) es υ 0.33, para

polímeros amorfos, por encima de Tg, υ 0.5 y para polímeros parcialmente cristalinos por encima de Tg,

υ0.4.

137

Para problemas donde existan esfuerzos cortantes, por ejemplo en la torsión, se requerirá el módulo de corte,

que también dependerá del tiempo. Este, normalmente, no esta disponible, por lo que se puede usar para

determinarlo la ecuación elástica que relaciona el módulo de corte, G*(t), con el módulo elástico, E(t), que es:

( ) ( )* ( )

2(1 ) 3

E t E tG t

Para problemas de compresión se asume, generalmente, que es suficiente el módulo de fluencia a tracción.

Como una aproximación simplificada, el método de diseño pseudo - elástico se usa, a menudo, en las etapas

preliminares de diseño e incluye la simple sustitución de los valores del módulo de fluencia en las ecuaciones

elásticas disponibles para cada tipo de problema. Estas solamente se disponen para problemas que presentan

situaciones geométricas simples.

El método también se usa como base para el análisis de situaciones y formas más complejas, ut ilizando el

valor apropiado del módulo como entrada en el análisis por elementos finitos del componente. Usando este

tipo de análisis, prácticamente no existen límites de complejidad en la geometría que puede ser estudiada, sin

embargo, siempre hay que saber que la exactitud de la solución depende en gran medida de los datos del

material que se hayan suministrado.

El método del diseño pseudo - elástico aplicado con la técnica de los elementos finitos da como resultado una

solución aproximada. Para obtener soluciones más exactas es necesario realizar un completo análisis no lineal

de fluencia incorporando un modelo viscoelástico exacto del comportamiento del material.

Soluciones analíticas a situaciones complejas de tensiones se pueden conseguir usando el concepto de tensión

y deformación equivalentes.

16.5.- Datos de fluencia.

El comportamiento dependiente del tiempo de los materiales poliméricos, normalmente, viene caracterizado

por la realización de ensayos normalizados de fluencia, es decir midiendo la deformación del material bajo

condiciones de tensión constante.

Los datos normalmente se presentan como una serie de curvas de fluencia y sus derivadas. Aunque los

proveedores de materiales, usualmente, solamente suministran un tipo de curvas para cada material, las demás

se pueden ir derivando unas de otras.

Curvas de fluencia.

El modo más común de mostrar la interdependencia de la tensión-deformación-tiempo es mediante las curvas

de fluencia, las cuales representan un vista (o corte) bidimensional a través del diagrama tridimensional del

comportamiento tensión-deformación-tiempo que se muestra en la figura 16.5.1.

138

Figura 16.5.1.- Diagrama tridimensional del comportamiento tensión-deformación-tiempo del polipropileno.

Este tipo de curvas son una representación gráfica de la deformación lineal (ε) en función del logaritmo del

tiempo (logt), para diferentes valores de la tensión (i) y temperatura constante. Prácticamente, todos los

datos de fluencia se refieren a tensión uniaxial de tracción, aunque también se dispone de datos en flexión.

Curvas isométricas (tensión-tiempo) (Figura 16.5.2).

Se toman series de cortes a deformación constante en las curvas de fluencia, obteniendo pares de puntos de la

forma (logti,i) de los cuales se obtiene una representación gráfica de la tensión en función del tiempo, para

cada nivel de deformación. Estas curvas nos dan una indicación de la relajación de tensiones del material

cuando la deformación se mantiene constante, evitando la necesidad de realizar los dificultosos ensayos de

relajación de tensión.

Figura 16.5.2.- Curvas tensión - tiempo para el polipropileno

139

Además, si el eje vertical (tensión) se divide por la deformación, ε, se obtiene la representación del módulo de

relajación de tensión en función del tiempo, ya que se esta en una situación en la que la deformación es

constante. La situación es diferente al caso del modulo de fluencia el cual se obtiene dividiendo la tensión de

fluencia constante entre la deformación a diferentes tiempos, es decir:

( )( )

Módulo de fluencia E tt

(16.5.1)

Curvas isócronas (tensión-deformación) (Figura 16.5.3).

Se toman series de cortes a tiempo constante en las curvas de fluencia, obteniendo pares de puntos de la

forma (i, εi) de los cuales se obtiene una representación gráfica de la tensión en función de la deformación,

para cada valor del tiempo.

Estas curvas se pueden obtener experimentalmente cargando y descargando una probeta del material a

diferentes niveles de tensión a diferentes velocidades. Este método es más rápido que los ensayos de fluencia,

aunque es importante asegurarse que el tiempo de descarga es, al menos, 4 veces el período de carga para dar

tiempo a que se recupere la probeta.

Figura 16.5.3.- Curvas tensión-deformación para el polipropileno.

Curvas módulo - tiempo.

Estas curvas se obtienen a partir de las curvas de fluencia tomando el valor de la relación

(Tensión/Deformación) (Módulo de fluencia, Ef) en función del tiempo, a partir de series de deformación

constante. Se obtienen pares de puntos de la forma (logti,Efi) de los cuales se obtiene una representación

gráfica del módulo de fluencia en función del tiempo, para cada nivel de deformación. Esta curva también

puede deducirse de las curvas isócronas teniendo en cuenta la definición del módulo secante.

Las curvas módulo - tiempo son muy importantes en el método de diseño pseudo - elástico, ya que nos dan el

valor del módulo que ha de sustituirse directamente en la ecuación elástica particular para determinar la

deformación del componente.

El módulo de fluencia:

140

1

( ) , ( )( ) ( )

Módulo de fluencia E t J t Complianza de fluenciaJ t t

(16.5.2)

varia con el tiempo, disminuyendo cuando el tiempo aumenta, de una manera similar a como lo hace el

módulo de relajación de tensión. La variación clásica de dichos módulos puede verse en la figura 16.5.4. En

unos ejes log-log se puede observar que existe un valor alto del módulo de fluencia y de relajación de tensión

para periodos cortos de tiempo que es constante y se denomina módulo no relajado. Similarmente, para

periodos largos de tiempo existe un valor constante bajo del módulo de fluencia y de relajación de tensión que

se denomina módulo no relajado.

Figura 16.5.4.- Variación típica de los módulos de fluencia y de relajación de tensión en función del tiempo.

Para algunos plásticos, en particular el nilón, el contenido de humedad puede tener un efecto

significativo sobre el comportamiento en fluencia. En tales casos las curvas de fluencia han de estar

disponibles en los estados húmedo y seco y un conocimiento de las condiciones de servicio permite

usar los datos apropiados en cada caso.

En la práctica, las curvas de fluencia se obtienen bajo condiciones de carga de tracción y de flexión

están bastante extensamente disponibles. Es importante usar las curvas de fluencia apropiadas a la

situación de carga particular. También es posible obtener curvas de fluencia en condiciones de carga

de compresión y corte pero son menos comunes.

Generalmente, hay un efecto que se pone rígido en compresión comparado con la tracción. Como primera

aproximación se podría asumir que el comportamiento en compresión y en tracción es el mismo. Thomas ha

mostrado que para el cloruro de polivinilo, el módulo de compresión es, aproximadamente, un 10 % mayor

que el módulo de tracción. Sin embargo, es necesario tener cuidado al comparar los datos experimentales

porque normalmente no se tienen en cuenta los cambios del área de la sección transversal durante los ensayos.

En tracción el área disminuirá de modo que la tensión verdadera aumentará, mientras que en compresión

ocurrirá el efecto contrario.

La relación clásica entre módulos en tracción, compresión la flexión es:

22

1

RTflex

R

ME E

M

(16.5.3)

donde:

MR=Ec/ET

Se puede ver que si Ec = ET entonces Eflex = ET. Sin embargo, si Ec = 1.1ET entonces Eflex = 1.05ET.

141

La figura 16.5.5 muestra el tipo de curvas que existen, así como el paso de unas a otras. En las figuras 16.5.6 a

16.5.9 se dan las curvas para el ICI polipropileno (Propateno).

Figura 16.5.5.- Formas de representación de los datos de fluencia.

142

Figura 16.5.6.- Curvas de fluencia para el propileno a 20 °C

143

Figura 16.5.7.- Curvas isométricas para el propileno a 20 °C

144

Figura 16.5.8.- Curvas isócronas para el propileno a 20 °C

145

1

Figura 16.5.9.- Módulo de fluencia en tensión para el propileno a 20 °C.

Los datos de fluencia también se disponen en forma de tablas, como se muestra en la tabla 16.5.1. Esta forma

de presentación no es tan útil para el diseño como la serie de curvas de fluencia, pero nos da una comparación

inmediata de los distintos materiales en cuanto a su comportamiento a fluencia. Los datos en esta forma a

menudo están disponibles en la base de datos CAMPUS.

Tabla 16.5.1.- Datos de fluencia para diversos polímeros.

146

En la figura 16.5.10 se muestra como construir las curvas isócronas a partir de las curvas de fluencia. Se

puede apreciar que cuanto menor es el tiempo de trabajo, mayor es la rigidez del material de tal manera que el

largo plazo afecta negativamente a las propiedades mecánicas resistentes de los materiales poliméricos.

Figura 16.5.10.- Construcción de las curvas isócronas a partir de las curvas de fluencia.

En la figura 16.5.11 se muestra como construir las curvas isométricas a partir de las curvas de fluencia. Las

curvas isométricas o de relajación permiten estimar las tensiones iniciales y la evolución de la tensión con el

tiempo. Además son importantes ya que existen muchas aplicaciones en ingeniería donde las piezas trabajan

en condiciones de deformación constante.

147

Figura 16.5.11.- Construcción de las curvas isométricas a partir de las curvas de fluencia.

148

16.6.- Tensiones y deformaciones térmicas.

Es bastante común en los modernos diseños de ingeniería, que los plásticos sean usados en conjunción con

otros materiales, en particular con los metales. En tales casos es necesario considerar la posibilidad de la

presencia de tensiones térmicas debido a la diferencia que existe en el coeficiente de dilatación térmica lineal

de cada material.

El cambio en la forma de un material cuando es sometido a un cambio en la temperatura viene determinada

por el coeficiente de dilatación térmica lineal, αT. Normalmente para los materiales isotrópicos el valor de αT

será el mismo en todas las direcciones. Por conveniencia, a menudo lo anterior es el caso de los materiales

plásticos, pero siempre hay que tener presente que el método de la fabricación puede introducir anisotropía

que causará diferentes respuestas térmicas en diferentes direcciones en el material.

El coeficiente de dilatación térmica lineal, αT, viene dado por:

T

l

L T

(16.6.1)

donde:

δL = Cambio de la longitud en el material

L = Longitud original

T = Cambio de la temperatura.

Hay procedimientos estandarizados para determinar αT (por ejemplo. ASTM 696) y en la tabla 16.6.1 se dan

valores típicos para diversos materiales plásticos. Puede observarse que los coeficientes de dilatación térmica

para los plásticos son más altos que para los metales.

Así, si longitudes de 50 mm de polipropileno y acero inoxidable se calientan 60°C los cambios de longitud

serían:

(a).- Polipropileno, δL = 100x10-6

x 50 x 60 = 0.3 mm

(b).- Acero inoxidable, δL = 12.5 x10-6

x 50 x 60 = 0.0375 mm

149

Tabla 16.6.1.- Propiedades térmicas de los materiales.

Si los cambios de longitud ocurren libremente entonces tendremos una deformación térmica inducida en el

material (= 0.3 x 100/50 = el 0.6 % en el polipropileno) pero ninguna tensión. Sin embargo, si el polipropileno

esta limitado en su movimiento de modo que la extensión de 0.3 mm no pueda tener lugar cuando se calienta a

60 ºC, entonces se inducirá una tensión térmica en el material dada por:

Tensión = MóduloxDeformación

Si el módulo del material es 1.2 GN/m2 a la temperatura final, entonces la tensión en el material sería:

9 20.61.2 10 7.2 /

100Tensión x MN m

Se observa que es una tensión de compresión, ya que el material efectivamente se ha comprimido 0.3 mm.

150

17.- Mejora de la rigidez.


La rigidez de los materiales plásticos puede mejorarse de forma significativa a base de añadir a los polímeros

varios tipos de relleno o refuerzo, tales como la fibra de vidrio. Así, se tienen los termoplásticos compuestos.

Otra alternativa es de tipo estructural y consiste en el desarrollo de materiales reforzados. Existen numerosas

soluciones posibles, algunas de las cuales se ilustran en la figura 17.1.1. Dos métodos de estructuras

relativamente simples para mejorar la rigidez es la obtención de paneles tipo sándwich o de estructuras con

rebordes.

Figura 17.1.1.- Métodos para mejorar la rigidez a la flexión (EI) y la resistencia.

151

17.2.- Paneles sándwich.

En la figura 17.2.1 puede verse un diagrama esquemático mostrando la construcción de un panel tipo

sándwich con un núcleo tipo panel de abejas

Figura 17.2.1.- Diagrama esquemático mostrando la construcción de un panel tipo sándwich con un núcleo

tipo panel de abejas

Es práctica común tener una sección transversal de un moldeado plástico fabricada con varios materiales

diferentes. Esto puede hacerse para proporcionar una barrera a la infiltración, mientras que se conserva la

economía del producto teniendo en la composición de la mayor parte de la sección transversal un material

más barato. En tales casos, para realizar un análisis de la tensión es a menudo conveniente convertir la

sección transversal en una sección equivalente que consiste en sólo un material. Esta nueva sección se

comportará exactamente de la misma manera que el material de múltiples capas cuando se apliquen las

cargas. Un ejemplo muy común de este tipo de situación es aquel en que una piel sólida y un núcleo a base de

una espuma se moldea para proporcionar una relación (Rigidez/Peso) muy eficiente.

El primer paso al analizar la estructura tipo sándwich es calcular el momento de segundo orden (Momento

de inercia) de la sección transversal de la muestra. Esto se realiza mediante la conversión de la sección

transversal de la estructura de tipo sándwich a una sección equivalente de plástico sólido. Esto se muestra en

la figura 17.2.2.

La anchura equivalente del en la sección en I viene dada por:

' cc

s

Eb b

E (17.2.1)

donde Ec y Es se refieren a los valores de módulo para el núcleo (c) y para la piel sólida (s) del material,

respectivamente. En la mayor parte de casos hay una información disponible muy pequeña sobre el módulo

de los plásticos en forma de espuma que conforman el núcleo, pero existe una relación empírica entre la

densidad (ρ) y el módulo, debida a Moore y al.:

2

c c

s s

E

E

(17.2.2)

152

Figura 17.2.2.- Sección equivalente en plástico sólido de una estructura de tipo sándwich

Una vez que la estructura tipo sándwich ha sido convertida a una sección equivalente de plástico sólido

entonces pueden usarse los procedimientos de diseño a largo plazo. Por ejemplo, para determinar la

desviación en el centro de una viga simplemente apoyada y con carga puntual central después de un periodo

de tiempo de 1 año, utilizando el módulo apropiado deducido de las curvas de fluencia.

Throne ha propuesto que la relación entre el módulo de la espuma y la densidad puede ser generalizada a

otras propiedades como la resistencia a la tracción, la resistencia a la fatiga, propiedades de fluencia, así

como los módulos de compresión y de corte. Así si X es una característica general del material, se tendría:

2

c c

s s

X

X

(17.2.3)

La figura 17.2.3 muestra como el espesor óptimo de la piel varía con D = (c/s). Esto es independiente de la

densidad del material sólido o del módulo, pero está basada en un peso por unidad de longitud de 140 g/m

(equivalente con un espesor de la piel sólida de 10 mm). Si el espesor de la piel sólida es diferente entonces

el espesor óptimo de la piel tiene que ser escalado en consecuencia. Por ejemplo, para una viga con un

espesor de piel sólida de 5 mm de que debe convertirse a una viga tipo sándwich del mismo peso por unidad

de longitud, el espesor óptimo de la piel sería la mitad del valor mostrado en la figura 17.2.3.

153

Figura 17.2.3.- Variación del espesor óptimo de la piel con la relación de densidad (Núcleo/Piel).

Las relaciones óptimas de espesor (Piel/núcleo) se pueden ver en la figura 17.2.4.

Las relaciones de rigidez (Por ejemplo, de la estructura tipo sándwich con respecto a la viga original sólida)

también se muestran en la figura 17.2.4. En ambos casos los valores dados son independientes del material

original sólido o sus dimensiones, de tal modo que proporciona una buena gráfica de diseño.

Figura 17.2.4.- Relación óptima (Piel/Núcleo) para peso constante.

154

La manera más simple de obtener paneles sándwich es unir entre si dos láminas de material compatible. La

figura 17.2.5 muestra la mejora significativa en la rigidez a flexión que se puede lograr con este método.

Figura 17.2.5.- Ejemplo de incremento en el momento de segundo orden para paneles sándwich.

En el caso de la figura se tiene:

3

1 12

btI

Para cada piel:

3

22 37 148 3 72

:12 2 4 96 2 2 4 4PIEL

tb

t t tI I Ah b t bt ya que A b y h t t

Con lo que:

3

2

1482

48PIELI I bt

La mejora se logra con un incremento marginal de peso si se usa un material y/o una estructura para el

núcleo entre láminas de baja densidad (por ejemplo, usando una espuma de poliuretano o una estructura

tipo panal de abejas). A menudo, la integridad estructural del panel sándwich está limitada por la

resistencia a cortadura entre las láminas. Así, la unión lámina - núcleo debe ser lo suficientemente fuerte

como para poder transmitir los esfuerzos de corte durante la deformación a flexión y prevenir fallos

durante el doblado.

Aplicaciones típicas de los paneles sándwich son: paneles para la construcción y estructuras para los aviones.

Una forma alternativa de estructura tipo sándwich puede producirse a partir de plásticos celulares o

espumantes. Estos materiales se obtienen introduciendo un agente de soplado (aireante) durante el proceso

de moldeo. El enfriamiento rápido de dichos materiales da como resultado una lámina densa y un núcleo

celular ligero, que se suele denominar espuma estructural. El material se concentra en las capas externas

resultando de ello el deseado efecto sándwich. Se logran densidades tan bajas como 0.4.

Los materiales que se suelen usar son: PU, Epoxy, PS, PP y PE y las principales aplicaciones son:

artículos domésticos de bajo peso y paneles para ordenadores, televisiones, etc,

155

16

17.3.- Estructuras con rebordes.

Normalmente es buena práctica diseñar los productos plásticos con secciones transversales que sean tan

delgadas como sea posible. Esto se debe a que las secciones gruesas enfrían muy despacio (Aumenta el

tiempo de enfriamiento) y con ello aumenta el tiempo del ciclo de moldeo por inyección, lo que causa que la

producción sea poco rentable. También, las secciones gruesas tienden a encogerse más y puede producirse

alabeo y distorsión. Sin embargo, las secciones delgadas tienden a tener una rigidez baja en flexión y

entonces los ingenieros por lo general adoptan configuraciones geométricas, que realcen la rigidez

conservando la delgadez requerida en la pared sección. Una de ellas es diseñarlas con rebordes para

mejorar su rigidez (Figura 4.3.1).

Figura 17.3.1.- Viga plana con rebordes.

Para cualquier material, la rigidez a flexión se define mediante el producto del momento de inercia, I, por el

área de la sección transversal, A. El área y momento de inercia son independientes del material y solamente

son función de la geometría. Si se consideran una variedad de secciones transversales, se pueden ver las

ventajas de elegir la geometría más adecuada de la sección transversal del componente de plástico a moldear.

Todas las secciones tienen el misma área de la sección transversal (y de ahí el mismo peso).

(a) - Rectángulo Sólido (B = 1OD)

(b) - Rectángulo Sólido (B = 4D)

(c) - Rectángulo Sólido (B = 2D)

(d) - Cuadrado (B = D)

(e) - Caja hueca rectangular (B = 2D, B = 10h)

(f) - Sección sólida circular

(8) - Tubo de pared delgada (D = 10h)

(h) - Tubo de pared gruesa (D = 4h)

(i) – Sección en T (B = 8h)

En la figura 17.3.2 se ilustran las secciones transversales enumeradas y en la figura 17.3.3 se compara su

rigidez a flexión Una conclusión importante es que las secciones en T'(o en su lugar las secciones en L o en U

o en doble T) son muy adecuadas para proporcionar una rigidez excelente por unidad peso del material.

156

Figura 17.3.2.- Diversas secciones transversales.

157

Figura 17.3.2.- Diversas secciones transversales (Continuación).

158

Figura 17.3.3.- Efecto de la geometría en la rigidez a flexión.

La figura 17.3.4 muestra una geometría generalizada de una serie de rebordes.

donde:

w = Espesor nominal de la pared o de la lámina,

t = Espesor del reborde en la base,

h = Altura del reborde

Fr = Espaciado del reborde

θ = Angulo de tiro

Figura 17.3.4.- Diseño de estructuras con rebordes.

159

Son comunes dos formas de diseño de rebordes:

APLICACIÓN

ESPESOR DE LA BASE (t)

ANGULO

Partes que aparecen

1

2w

0.5 º

Partes que no aparecen

3

4w

1º

Ejemplo del efecto sobre la rigidez de los rebordes.

Consideremos una parte que aparece con la geometría de pared y reborde siguientes

w = Espesor nominal de la pared = 3 mm. ,

t = Espesor del reborde en la base = 1.5 mm.

h = Altura del reborde = 9 mm. ,

Fr = Espaciado del reborde = 30 mm.

Las cartas de diseño muestran que el espesor equivalente de pared para la geometría anterior es de 6 mm. El

área de la sección transversal de la geometría con reborde y la equivalente sin reborde son:

160

18.- Diseño de ajustes encajados a presión.

Una de las principales atracciones para los diseñadores de los materiales plásticos es la facilidad con la cual

diversos mecanismos pueden ser incorporados al producto final de una forma muy rápida. Un ejemplo muy

bueno de esto son los ajustes encajados a presión. Un diseño típico se muestra en la figura 18.1, aunque

existen muchas variaciones.

Los ajustes encajados a presión explotan el hecho de que secciones delgadas plásticas pueden sufrir

desviaciones a flexión relativamente grandes durante un período corto de tiempo y luego exhiben una

recuperación completa. El diseño de los ajustes encajados a presión es franco y no implica el uso de curvas de

fluencia, ya que la escala de tiempo de la tensión/deflexión es pequeña.

Figura 18.1.- Ajuste encajado a presión.

Teniendo en cuenta la figura 18.2 se tiene:

Resolviendo para las fuerzas verticales.

cos cosV N Nsen N sen (18.1)

Resolviendo para las fuerzas horizontales.

cos cosF Nsen N N sen (18.2)

161

Eliminando N entre las ecuaciones (8.1) y (8.2) se tiene:

1 tag

V Ftag

(18.3)

Figura 18.2.- Diagrama de fuerzas del ajuste encajado a presión.

El ajuste encajado a presión puede asimilarse a una viga empotrada en un extremo, con lo que la deflexión

vertical, δ, viene dada por:

3 3

:3 12

VL bddonde I

EI (18.4)

y sustituyendo el valor de V dado por la ecuación (8.3) se tiene:

3 1

3

FL tag

EI tag

(18.5)

Por su parte, la fuerza de inserción está dada por:

3

1 1

4

Eb tagF

tagLd

(18.6)

19.- Mecanismos de aumento de la rigidez en otras situaciones de conformado.

En algunos métodos de conformado como el moldeo por soplado, termoformado y moldeo rotacional, es

difícil si no imposible producir rebordes con el fin de incrementar la rigidez. De ahí que haya que usar otras

formas para aumentar la rigidez, tales como perfiles corrugados. La figura 9.1 ilustra una unidad de

repetición típica de corrugación. El momento de de inercia I, cuantificará el efecto de variación de la rigidez

de la sección transversal y si esta relacionado con el valor de I de la lámina plana de la misma longitud y

espesor, entonces es posible definir un factor de mejora de la rigidez, q, como:

162

22 21 12 12 2 24

2 2 2

m h p h nh n nhq mh y ph y nh y

L h h sen hsen

(19.1)

donde y es la distancia desde la base de la sección transversal hasta el centro del área, es decir:

2

0.5 0.5

2

nm pn p

seny hn

p mtag

(19.2)

y:

, ,b B D

m p nh h h

(19.3)

Figura 19.1.- Perfil corrugado

Existen muchas combinaciones de los valores de D, b, h, α, etc. y la figura 19.2 muestra como el factor de

mejora de la rigidez, q, cambia con los valores de dichos parámetros. En cada caso el ángulo α se ha fijado

en 85º y las dimensiones del perfil corrugado se han expresado como una función del espesor de la pared, h.

163

Figura 19.2.- Mejora de la rigidez debida a la corrugación en función de las dimensiones.

La pregunta a contestar es si existe un diseño óptimo para los perfiles corrugados. Desafortunadamente la

respuesta es negativa, ya que si se desea aumentar la rigidez transversal entonces se debe aumentar el valor

de D hasta el punto donde los problemas de alabeo comiencen a ser una preocupación. Por lo general, lo

anterior tiene lugar cuando (D/h) = 10 para cargas a corto plazo y para valores menores si las cargas son a

largo plazo, debido a la disminución del módulo que ocurre en los materiales viscoelásticos.

Otra aproximación es reconocer que al principio para una lámina plana, la rigidez axial es alta pero la rigidez

transversal es relativamente baja. Cuando la profundidad del perfil corrugado aumenta entonces la rigidez

transversal aumenta, pero a expensas de la rigidez axial. La desviación axial por unidad de carga para los

perfiles corrugados para la nueva geometría comparada con la lámina plana viene dada por:

3

2

4Re

n hlación de la rigidez axial

Lsen (19.4)

Si la relación de la rigidez axial se divide entren el factor de mejora de la rigidez, q, es posible observar el

modo en el cual una rigidez aumenta a expensas de la otra. La figura 19.3 muestra la relación entre la rigidez

transversal/axial en función de la profundidad de los perfiles corrugados. Puede verse que cuando la

profundidad es menor de cuatro veces el espesor de la pared entonces la proporción de rigidez axial es mejor

que la proporción de rigidez transversal. Sin embargo, cuando la profundidad es mayor que cuatro veces el

espesor de la pared entonces la proporción de rigidez transversal es dominante.

164

Figura 19.3.- Optimización de la profundidad del perfil corrugado.

Lo anterior sugiere que el valor D/h = 4 ofrece el mejor equilibrio entre las propiedades transversales y

axiales. De hecho la proporción óptima es esencialmente independiente del espesor, h, pero depende de B y

b. La figura 19.4 muestra dicha relación y refleja las combinaciones de B, b, D y h, que darán el mejor

diseñote los perfiles corrugados. Generalmente, es deseable hacer que B y b sean, aproximadamente,

iguales y también es buena práctica de diseño mantener el valor de D/h por debajo de 10 (para evitar

alabeos). De ahí que los valores de B, h y D en el área grisácea tienden a ser los mejores. Una combinación

de D/h = 4, b/h = 5 y B/h = 4 da buenos resultados en los productos obtenidos por moldeo rotacional donde

la forma debe ser usada con eficacia para asegurar el buen funcionamiento.

Figura 19.4.- Variación del valor óptimo de (D/h) con (b/h).

165

20.- Pseudos-módulos de elasticidad.

La utilización de la teoría de la elasticidad lineal en el diseño mecánico de las piezas construidas en materiales

poliméricos como un procedimiento rápido de cálculo, aunque grosero, exige conocer los valores de los

pseudo-módulos, antes definidos, a lo largo del tiempo.

Aunque todos los materiales poliméricos tienen un comportamiento viscoelástico, que hace disminuir el

valor de dichos pseudo-módulos con el tiempo, su comportamiento es muy diferente según sea la estructura y

naturaleza del polímero y la temperatura de servicio.

Los termoplásticos amorfos o con bajo grado de cristalinidad a temperaturas muy por debajo de la

temperatura de transición vítrea, así como los duroplásticos ampliamente reticulados, disponen de

pseudo-módulos elásticos relativamente independientes de la temperatura y del tiempo (al menos en

períodos de vida normales; es decir, inferiores a 10 años). Su evolución en el tiempo puede representarse

según las curvas A de la figura 10.1.

Los termoplásticos amorfos o poco cristalinos a temperaturas próximas o superiores a la transición vítrea

presentan pseudo-módulos muy variables con el tiempo, por preponderar la fluencia viscosa, según las curvas

tipo B, pero, si son altamente cristalinos y trabajan a temperaturas a las que los cristalitos no llegan a

desaparecer, su comportamiento aún a temperaturas superiores a la transición vítrea es como corresponde a las

curvas A.

Los materiales elastómeros, amorfos y relativamente poco reticulados, a temperaturas superiores a T,

mantienen una gran elasticidad (módulos bajos) durante bastante tiempo, como se representa mediante las

curvas O.

Es de notar que en estas consideraciones no se han tenido en cuenta los efectos de degradación o

envejecimiento, que al alterar la composición o la estructura molecular pueden ocasionar cambios notables de

comportamiento.

Cuando los pseudo-módulos se mantienen sin grandes variaciones durante un plazo suficientemente largo

(caso de las curvas extremas A y C de la figura anterior), pueden considerarse como fijos y generalmente se

les denomina módulos de elasticidad o módulos elásticos. Tal es el caso de los valores tabulados como tales

en las tablas 20.1 y 20.2, debiendo entenderse que dichos valores son aproximados, para las calidades

comerciales más usuales, a temperatura ambiente y en condiciones de trabajo que no produzcan

deformaciones superiores al 1 %.

Figura 20.1.- Pseudo-módulos de elasticidad

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Tabla 20.1.- Características mecánicas de los polímeros termoplásticos.

Tabla 20.2.- Características mecánicas de los duroplásticos.

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