Aproximación lineal y diferenciales
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Aproximación lineal y diferenciales
Aproximación lineal.Diferenciales.Polinomio de Taylor.
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Habilidades
1. Define el proceso de linealización de una función.2. Describe el concepto de diferencial de una
función.3. Interpreta el concepto de diferencial usando un
gráfico.4. Extiende la aproximación usando el polinomio de
Taylor.
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Aproximación Lineal
Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curva y = f(x), cuando x está cerca de a.
axa' fafy
Recta tangente:
Definimos la linealización de f en a como:
a-xa' fafxL
a x
Aproximación lineal de f en a:
xLxf cerca de a
Definición
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo
Encuentre la linealización de la funciónen a = 1 y úsela para aproximar y
3 xxf98.3 05.4
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Diferencial de una función
a a + h
f ’ (a) h
h
f(a + h) - f(a)
Aproximamos el cambio o incremento def en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a:
f(a+h) – f(a)) f ’(a) h
adfaΔf Es decir:
Definimos el diferencial de una función f en a, como: xa' fadf
Se utiliza = h: ΔxDefinición
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Diferencial de una función
Consideremos la función: Teorema
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es decir: xadf
luego: xafadf
Por lo que podemos escribir: xafadf
xxf
En forma general: dxxfxdf
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
1
x
Polinomios de Taylor
Este polinomio tiene las siguientespropiedades:
a' fa'T
a faT
1
1
xTxf 1 cerca de a
a-xa' fafxT1
Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f, con centro en a, como la linealización de f en a:
Definición
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Polinomios de Taylor
a'' fa''T
a' fa'Ta faT
2
2
2
22 ax2!
a'' faxa' fafxT
Este polinomio resulta ser:
xTxf 2 cerca de aa
2
x
Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f, .con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades:
Definición
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Polinomios de TaylorDefinimos el polinomio de Taylor de grado n de f, con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades:
Definición
Este polinomio resulta ser:
xTxf n cerca de a
Teorema
nn
2n ax
n!a fax
2!a'' faxa' fafxT ...
a faT
a' fa'Ta faT
nnn
n
n
...
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Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”Cuarta ediciónJames Stewart
Sección 3.11Ejercicios 3.11 pág 264:5 al 44, 48.
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