Matematicas y Computacion: aprendizaje basado en

problemas

Miguel Atencia e Inmaculada de las Penas

Ingeniera en InformaticaUniversidad de Malaga

Resumen

Se pretende contribuir al debate sobre la elaboracion de una planificaciondocente de la asignatura de Calculo para la Computacion en la titulacion deIngeniera Tecnica en Informatica, en el ambito de un proyecto piloto de im-plantacion del credito europeo. Con este objetivo no es posible ignorar, poruna parte, el impacto de la informatica en toda la matematica y, por otra,los recientes avances en didactica de las ciencias, con especial enfasis en lametodologa de aprendizaje basado en problemas. La innovacion alcanza lostres ejes de la docencia: contenidos, metodologa y evaluacion. Con respectoal temario, se pretende promover un consenso sobre los temas que tienen unaimportancia crucial que, ademas, deben aparecer ligados al planteamientode determinados problemas conductores. La metodologa didactica, sin pres-cindir de la clase magistral, requiere la elaboracion de materiales docentescomplementarios, de forma que el desarrollo de la clase se simultanea conel uso de un programa matematico. Por ultimo, se ensaya, al menos parcial-mente, un sistema de evaluacion continua, basado en la elaboracion por partede los alumnos de un conjunto de proyectos que iran dando respuesta, con ungrado creciente de sofisticacion, a los problemas conductores.

1. Introduccion

El principal objetivo de la presente contribucion es la elaboracion de una plani-ficacion docente de la asignatura de Calculo para la Computacion en la titulacion

de Ingeniera Tecnica en Informatica de Gestion. Dicha asignatura se encuentraincluida en el proyecto piloto de implantacion del credito europeo, establecido por

la direccion de la Escuela Tecnica Superior de Ingeniera en Informatica de laUniversidad de Malaga, con objeto de adaptar la titulacion al Espacio Europeo deEducacion Superior (EEES)[8]. La motivacion de la innovacion educativa se fun-damenta, por una parte, en el impacto que la invencion del ordenador ha tenidoen todas las ramas de la matematica y, por otra, en los mas recientes avances endidactica de las ciencias, con especial enfasis en la metodologa de aprendizaje ba-sado en problemas. De esta forma, se pretende que el Calculo sea percibida porlos estudiantes como una disciplina con un grado asequible de dificultad, al tiempoque proporcione conocimientos utiles, tanto para subsiguientes asignaturas comoen la formacion del futuro ingeniero. Este planteamiento resulta del todo coherentecon la concepcion del aprendizaje como un proceso vital (long-life learning) enlugar de restringido al ambito academico, que es una de las claves del EEES [3].

Desde un punto de vista mas amplio, se pretende contribuir a una reflexionsobre el papel de la matematica como ciencia hoy en da, as como establecer unmarco de intercambio de ideas sobre las nuevas estrategias pedagogicas que debendefinirse, como consecuencia del desarrollo de la matematica a lo largo del sigloXX y, en particular, a la aparicion de las tecnicas computacionales. El hecho de

que existen circunstancias que hacen aconsejable este debate queda probado por laexistencia de diversas iniciativas en este sentido, provenientes de distintos ambi-tos. Resulta resenable, por ejemplo, el movimiento del Reform Calculus [10]que tuvo lugar en los Estados Unidos as como, mas recientemente, el proyectoCuerpo y Alma de un grupo de matematicos computacionales suecos [7, 2]. Estabusqueda de mejoras en el ambito educativo, siempre conveniente, se ha converti-do en imprescindible ante la introduccion del EEES. El cambio de enfoque que elEEES supone, centrando el enfasis en la vision del alumno mas que en la del pro-fesor, coincide con algunas de las reformas antes mencionadas y encaja a la perfec-cion en la metodologa del aprendizaje basado en problemas. Incidentalmente, cabemencionar que estas innovaciones se encuentran relacionados con enfoques prove-nientes de ambitos muy distintos, como la teora psicologica historico-cultural [9],existiendo significativas contribuciones al diseno curricular en este ambito [4]. Lapropia metodologa bajo la que se desarrolla la innovacion, la investigacion en laaccion, es bien conocida tambien en el ambito pedagogico [5]. Asimismo, se handesarrollado experiencias de construccion de portfolios [1], as como de su usoen la evaluacion de estudiantes [6].

En principio, se prevea la implantacion de innovaciones en los tres ejes de la

docencia: contenidos, metodologa y evaluacion:

Con respecto al temario, se pretende promover un consenso sobre los temasy conceptos que tienen una importancia crucial, distinguiendolos de aquelloscuyo estudio es secundario. Ademas, los conceptos deben aparecer de formanatural, ligados al planteamiento de determinados problemas conductores,cuya solucion computacional y analtica requerira el desarrollo del temario.La identificacion de este conjunto de problemas, extrados de situacionesrealistas de la ciencia y la ingeniera, es uno de los objetivos del proyecto.

Desde el punto de vista de la metodologa docente, aunque no se contem-pla prescindir de la clase magistral, se requiere la elaboracion de materia-les docentes complementarios. El uso de estos materiales no se limita a laproyeccion, ya habitual, de transparencias o animaciones, sino que incluyeel desarrollo completo de la clase simultaneando la explicacion con el usode un programa matematico especfico. Se obtendra, as, una pizarra vir-tual, incluyendo texto, graficos y ejercicios numerico-simbolicos, apta parasu publicacion en el entorno de campus virtual.

Con respecto a la evaluacion, de acuerdo con las directrices del EEES, sepretende ensayar, al menos parcialmente, un sistema de evaluacion continua,

basado en la elaboracion por parte de los alumnos de un conjunto de pro-yectos (portfolio en la terminologa inglesa). Estos proyectos iran dandorespuesta, con un grado creciente de sofisticacion conceptual, a los proble-mas conductores del desarrollo del temario.

Un objetivo clave de la contribucion es evaluar hasta que punto la combinacionde estos tres aspectos, aprendizaje basado en problemas, clases con ordenador yevaluacion basada en proyectos, resulta factible y eficiente en la situacion actual o,en otro caso, identificar que recursos adicionales seran necesarios. Por esta razon,estas innovaciones se ensayaran tambien en una asignatura denominada Matemati-cas y Computacion y que se oferta como asignatura de libre configuracion. Esta

asignatura presenta peculiaridades como menor numero y mayor motivacion de losalumnos, que se preve sirvan como elemento de comparacion con la asignatura deCalculo. Las innovaciones aqu descritas fueron llevadas a cabo en ambas asignatu-ras durante el curso 2004-2005, por lo que en el momento actual, tras un periodo dereflexion del equipo docente, se dispone de una cierta perspectiva sobre los logrosalcanzados y las dificultades del proceso.

En nuestra opinion, el conocimiento del desarrollo historico de la ensenanzade la matematica en los estudios de ingeniera resulta crtico para tener una vision

completa de algunos de los dilemas educativos a los que la presente innovacion pre-tende contribuir. No puede dudarse de la revolucion que ha constituido, a lo largodel siglo XX, la invencion del computador. En el ambito de la matematica aplicada,en particular, la resolucion de problemas requiere de conocimientos en los que nose pueden deslindar los fundamentos matematicos de los metodos computaciona-les. Sin embargo, un sector de cientficos, considerados habitualmente matemati-cos puros, aboga por relegar la computacion al Analisis Numerico, ignorando quela revolucion tecnologica demanda alternativas pedagogicas que integren el conoci-miento conceptual con las habilidades procedimentales. A menudo los estudiantesadquieren una vision inadecuada de la naturaleza de las matematicas, que valorancomo difcil e inutil a un tiempo. En nuestra opinion, la metodologa de aprendizajebasada en problemas, es especialmente util para superar este dilema. En particular,en el caso de la Ingeniera en Informatica, resulta muy adecuada para integrar elaprendizaje de las matematicas con las restantes disciplinas.

En la Seccion 2 se detalla la forma en que se estructuro la asignatura Matemati-cas y Computacion, as como los resultados obtenidos. Identico esquema presentala Seccion 3, referida ahora a la asignatura Calculo para la Computacion. Por ulti-

mo, las principales conclusiones as como las lneas de futuro trabajo, se describenen la Seccion 4.

2. Asignatura Matematicas y Computacion

El temario de esta asignatura hace referencia a la resolucion de problemas delmundo real, mediante su modelado matematico y la implementacion de una so-lucion computacional. Los contenidos incluyen el aprendizaje de (uno o varios)programas de calculo matematico, ya sea numerico o simbolico. Dado que la in-novacion que aqu presentamos propone un metodo no centrado en el profesor, elequipo docente tomo la decision de prescindir por completo de las clases expo-sitivas. Una preocupacion fundamental fue explicar este esquema a los alumnos.Para facilitar la transicion desde el papel de profesor tradicional al de facilitador,los alumnos se dispusieron de forma diferente, de manera que el docente pudieramezclarse con ellos. Dado que se trata de una asignatura optativa, se limito a trein-ta alumnos, lo que resulta una ventaja a la hora de disponer de medios materialescomo aulas, ordenadores, etc. Al final de la primera sesion presencial, los alumnosdeban formar grupos de trabajo.

El principal objetivo de la asignatura era la adquisicion de habilidades que

permitan manejar programas de ordenador para resolver problemas matematicos,de forma que el problema en s mismo sirviera de vehculo para la adquisicion denuevos conocimientos. Los propios problemas eran elegidos por los grupos en basea sus distintos conocimientos previos y las titulaciones de las que procedan. Dadoque los problemas no eran explicados por los docentes, se penso que su imposiciona los estudiantes podra conllevar un esfuerzo excesivo de adaptacion a un contextodesconocido. Por otra parte, la eleccion de temas proporcionaba a los estudiantesla oportunidad de considerar los aspectos claves de sus titulaciones y desarrollarsus aptitudes de autonoma e iniciativa.

En la segunda sesion presencial, cada grupo deba presentar un informe inicial,motivando el problema elegido y planificando los objetivos, la metodologa y losmedios necesarios para el desarrollo del proyecto. Tras el analisis del informe porparte de los profesores, se planifico una nueva sesion presencial con objeto deproporcional una gua a los estudiantes y monitorizar el desarrollo del proyecto.A partir de ese momento, los grupos disponan de un mes completo de trabajoautonomo. Finalmente, los resultados del proyecto eran presentados en una sesionoral, al tiempo que se haca entrega de un informe escrito. La presentacion de

cada grupo era valorada por los grupos restantes y, ademas, cada estudiante debapresentar una evaluacion personal del trabajo del equipo.

Una vez finalizado el curso, el equipo docente efectuo una reflexion sobre elgrado de consecucion de los objetivos propuestos y las diversas circunstancias queafectaron el proceso de aprendizaje. En primer lugar, se mantuvo la hipotesis de quelos estudiantes eran capaces de trabajar de forma autonoma, tanto para la elecciondel problema como para su resolucion. Naturalmente, se dejo clara la disponibi-lidad de los docentes para atender cuestiones puntuales, pero se considero crucialque los estudiantes afrontaran el trabajo en equipo usando sus propias concepcio-nes. La mayora de los grupos se adapto satisfactoriamente a la metodologa, trasalgunas vacilaciones iniciales. Sin embargo, un grupo experimento serias dificul-tades en esta fase, quedando completamente sorprendidos al darse cuenta de queno habra sesiones de explicacion del software. Los profesores proporcionaron do-cumentacion del software a este grupo, as como cierto grado de asesoramiento enel diseno del trabajo. Finalmente, los resultados fueron aceptables. Para el restode los grupos, las conclusiones fueron claramente satisfactorias, ya que los estu-diantes manifestaron alcanzar una profunda comprension del problema a resolvery del uso de las herramientas computacionales. Incluso, en el informe individual,

algunos alumnos mostraron su satisfaccion personal por la vision general obtenida

sobre el papel de la matematica y su interaccion con la computacion en la cienciay la ingeniera actuales, as como por la conveniencia de desarrollar habilidadestransversales como, por ejemplo, el trabajo en equipo y la presentacion oral.

3. Asignatura Calculo para la Computacion

En un principio, estaba previsto aplicar en esta asignatura las mismas inno-vaciones descritas en la seccion anterior, referentes a contenidos, metodologa yevaluacion. Se pretenda desarrollar un conjunto de problemas conductores que,en cierto modo, dieran lugar de forma natural al temario a desarrollar y que, enalgunos casos, podan tratarse casi de problemas abiertos, de enunciado incierto,tal como ocurre en el mundo real. Pronto resulto evidente, sin embargo, que las in-novaciones deban ser de alcance mucho mas modesto que en la asignatura de libreconfiguracion, debido a condicionantes de diversa ndole. Fue preciso contemplarla necesidad de desarrollar un programa previamente publicado en la gua del cur-so, la dificultad de acomodar la metodologa de aprendizaje basado en problemas alos esquemas actuales y la conveniencia administrativa de mantener un sistema deevaluacion basado, al menos en parte, en pruebas finales.

Con respecto a los contenidos, la experiencia revelo con claridad meridiana al-go que era ya intuido por los docentes: la extension desorbitada del temario. Si conla metodologa anterior, basada exclusivamente en clases magistrales y sesionesde realizacion de problemas, a duras penas se alcanzaban los objetivos marcados,mucho menos podan abordarse las innovaciones metodologicas. La dificultad delaprendizaje del Calculo en las titulaciones de Ingeniera se fundamenta, en parte, enla disparidad de los objetivos marcados, ya que se persiguen tanto habilidades pro-cedimentales (operaciones con polinomios, derivacion e integracion) como la com-prension de profundos conceptos (derivada, aproximacion, series, etc). Un ejemploclasico es la tecnica del lmite, que muchos alumnos superan con tecnicas heursti-cas mas o menos mecanicas (por ejemplo, la regla de LHopital y la descomposi-cion de polinomios) pero cuya verdadera comprension requiere una aproximacional concepto de infinito que la notacion epsilon-delta oculta mas que aclara. En todocaso, la experiencia se considera positiva por parte de los docentes, ya que ha per-mitido reflexionar sobre las partes del temario que entran en una lnea que conduce,mas o menos naturalmente, a la resolucion de problemas reales. Asimismo, se hanidentificado contenidos que pueden ser tratados con menor enfasis sin perder porello el argumento conductor. En este sentido, se considera que el temario puede

centrarse en torno a la teora de la aproximacion funcional, cuya implementacionse propone de forma natural a los estudiantes de Ingeniera en Informatica. El con-cepto de derivada (y la mecanica del calculo diferencial e integral), los polinomiosde Taylor, la optimizacion y, finalmente, las series, se configuran como hitos enel camino en torno a este argumento central. Por el contrario, el calculo mecanicode lmites (en especial cuando se aplica a funciones cuyo uso en la ingeniera esmuy especializado, cuando no claramente artificial) y los problemas de existenciade diferencial en maxime cuando la asignatura se desarrolla con una limitacion tanimportante de tiempo (se trata de una cuatrimestral de solo 4,5 creditos).

Con respecto a la metodologa, se detecto la imposibilidad de llevar a caboun planteamiento riguroso de aprendizaje basado en problemas. A las limitacio-nes temporales ya comentadas en el parrafo anterior, se unio la falta de autonomade los alumnos, ya que se trata de estudiantes de primer curso que, en algunoscasos, incluso encuentran dificultades con el calculo aritmetico mas elemental. Aesto se unio el gran numero de alumnos, con una asistencia media de mas de cin-cuenta. Incluso la disposicion fsica del aula, con tarima y bancos atornillados alsuelo, estaba orientada a la clase magistral y careca de la flexibilidad necesaria

para organizar trabajo en grupos u otras actividades. Por tanto, la metodologa de-bio ser mucho mas directiva de lo previsto, especialmente en lo procedimental. Sedio, no obstante, la posibilidad de desarrollar, con caracter voluntario, trabajos deextension de conocimientos que fomentaran la reflexion en torno a la interaccionmatematicas-computacion en la ingeniera actual.

Con respecto a la evaluacion, se detecto la obligacion legal de cenirse a lo pre-viamente publicado en la gua del curso, de forma que deba existir una pruebaescrita final que permitiera la superacion de la asignatura. Tambien fue necesariomoderar la innovacion en el sistema de evaluacion al detectar resistencias entreprofesores de otros grupos de la misma asignatura, ya que las pruebas a realizardeban ser consensuadas. Sin embargo, se dispuso de una cierta flexibilidad, deforma que se valoro la participacion en clase, mas alla de la simple asistencia.Asimismo, varios alumnos realizaron los trabajos de ampliacion arriba menciona-dos que, a menudo, consistieron en la implementacion directa de algoritmos sim-ples pero que, en ocasiones, requirieron el modelado matematico de situacionesrealistas, introduciendo as a los alumnos en el significado real de la matematicaaplicada. Finalmente, se permitio el uso de apuntes y libros durante la prueba deevaluacion final, lo que permitio confirmar el hecho de que los contenidos de la

asignatura requieren de muy pocos elementos memorsticos.

Los resultados academicos fueron ligeramente superiores a los obtenidos porotros grupos en los que no se llevo a cabo la innovacion, aunque esta valoracion re-quiere ciertamente de una investigacion mas detallada que identifique los distintosfactores actuantes.

4. Conclusiones y trabajo futuro

Con el objetivo de evaluar la conveniencia de introducir la metodologa deaprendizaje basado en problemas en el ambito de las matematicas aplicadas ala ingeniera, se han introducido innovaciones metodologicas en dos asignaturas:Calculo para la Computacion y Matematicas y Computacion. Mientras que la pri-mera es una asignatura obligatoria de primer curso, la segunda es una optativa delibre configuracion. Las ventajas de los cambios metodologicos se apreciaron fun-damentalmente en la asignatura optativa:

Tras una primera etapa de confusion, los estudiantes se adaptaron razonable-mente bien al trabajo autonomo, demostrando una capacidad (en ocasionessorprendente) de manejar distintos conceptos matematicos para modelar si-tuaciones del mundo real, e implementando soluciones computacionales.

El aprendizaje basado en problemas contribuye al desarrollo de habilidadestransversales como el trabajo en equipo, la capacidad de exposicion oral, laorganizacion y planificacion de las distintas tareas a desarrollar, la escriturade informes y el habito de enumerar las conclusiones alcanzadas.

Es relativamente facil encontrar problemas en las diversas disciplinas de laingeniera que obliguen al manejo de los conceptos matematicos mas basi-cos: calculo diferencial e integral, optimizacion y series.

Cuando los problemas tienen un grado razonable de realismo, su modeladolleva a formulaciones no lineales, que requieren casi siempre de solucionescomputacionales, en contraste con los procedimientos mecanicos tradicio-nalmente ensenados que se limitan a menudo al caso lineal.

Como resultado de la innovacion educativa realizada, se detecto tambien laexistencia de importantes limitaciones, en especial en la asignatura obligatoria deprimer curso:

La obligacion, hasta la implantacion de nuevos planes de estudio, de cenir-se a programaciones que, en ocasiones, estan sobredimensionadas. En este

sentido, hay que resaltar que la implantacion de innovaciones contribuye asenalar las partes del temario que tienen un caracter nuclear y que coinciden,muy frecuentemente, con las que pueden describirse en torno a problemasde aplicacion real.

El elevado numero de alumnos, con niveles de partida muy heterogeneos.En este sentido, al menos en el ambito muy reducido del contexto estudia-do, se observo una preocupante limitacion de los recursos de profesoradodisponible, motivado y dispuesto a la innovacion.

La resistencia a la innovacion por parte de los propios estudiantes, en partepor el temor a que la asignatura resulte mas difcil de aprobar. Hay que admi-tir, en este sentido, que dado que estas innovaciones constituyen experienciaspiloto, es comprensible un cierto temor a lo desconocido, que a menudo elprofesorado comparte.

Las limitaciones materiales, por ejemplo, la disposicion fsica de las aulas yel acceso a laboratorios de computacion (que, a su vez, requiere de mayores

recursos de profesorado).

En el futuro se pretende profundizar en la innovacion metodologica, dentro delo posible en el actual marco normativo. Para ello, se estan proponiendo cambiosen el temario, posponiendo (y, eventualmente, soslayando) los temas consideradosde interes secundario, de forma que se mantenga la lnea conductora que lleva dela derivada a las series. Con respecto a la metodologa, se procurara que todos losresultados sean presentados segun la regla del cuatro propuesta por el movimientodel Reform Calculus: en forma geometrica, numerica, analtica y verbal. A estohabra que anadir, de acuerdo con la propuesta de los matematicos computacionalessuecos, la implementacion computacional. Naturalmente que esto solo sera posible

si se dispone de los adecuados recursos materiales y de profesorado. Por ultimo,con respecto a la evaluacion, debera tener cada vez mas en cuenta la participacionen clase y el trabajo autonomo, sin que sea factible de momento basarla exclusiva-mente en la elaboracion de proyectos.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido parcialmente apoyado por la Direccion de Espacio Euro-peo de la Universidad de Malaga, por los Servicios de Innovacion Educativa y de

Ensenanza Virtual, a traves del Proyecto PIE04/008, as como por los proyectosUMAN006 y UMAN010 de la Unidad para la Calidad de las Universidades Anda-luzas.

Referencias

[1] Barragan Sanchez, Raquel: El Portafolio, metodologa de evaluacion y aprendizaje de cara al nuevo Espacio Europeo de Educacion Supe-

rior. Una experiencia prac tica en la Universidad de Sevilla. Revista Lati-noamericana de Te cnologa Educativa, 4(1):121139, 2005.

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[3] European Commission: A Memorandum on Lifelong Learning. EuropeanCommission, 2000.

[4] Gonzalez Pacheco, O.: El planeamiento curricular en la ensenanza superior.Universidad de La Habana, 1992.

[5] Gonzalez Perez, Miriam: La Investigacion Accion como Tendencia Pedagogi-ca. En Colectivo CEPES (editor): Tendencias Pedagogicas en la RealidadEducativa Actual. Universidad de Tarija (Bolivia), 2000.

[6] Hansen, Sren: A constructivist approach to project assessment. EuropeanJournal of Engineering Education, 29(2), 2004.

[7] Hoffman, Johan, Claes Johnson y Anders Logg: Dreams of Calculus: Pers-pectives on Mathematics Education. Springer, 2004.

[8] Ministerio de Educacion y Ciencia: Espacio Europeo de Educacion Superior(EEES), 2006. http://www.mec.es/universidades/eees.

[9] Sanz Cabrera, Teresa y Mara Emilia Rodrguez Perez: El Enfoque Historico-Cultural: su Contribucion a una Concepcion Pedagogica Contemporanea.En Colectivo CEPES (editor): Tendencias Pedagogicas en la Realidad Edu-

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[10] Tucker, Alan C. y James R.C. Leitzel: Assessing Calculus Reform Efforts: AReport to the Community. Mathematical Association of America, 1995.