Aprendizaje de la Matemática y el Desarrollo de Capacidades

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

MatemáticaSerie 1 para docentes de SecundariaCurrículo y desarrollo de capacidades en MatemáticaFascículo 2: APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES

© Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00254

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Luis Enrique Eyzaguirre EspinoVerificación de estilo MED

Miguel Luis Bances Gandarilla

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo GuzmánRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

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PRESENTACIÓN

La Matemática está unida al progreso de la humanidad, esto signifi ca que tiene

una larga trayectoria histórica y es lo que justifi ca su inserción en el proceso

de formación de los estudiantes, permitiéndoles una educación integral para

alcanzar su autorrealización personal. No se concibe una educación obligatoria

sin una mínima formación matemática, pues ella ofrece una cultura cuantitativa

sin la cual no es posible afrontar las situaciones problemáticas que se dan

normalmente en la vida cotidiana.

En este fascículo se presenta el aprendizaje de la Matemática ligado al

desarrollo de las capacidades matemáticas. Se proponen algunas estrategias

para el desarrollo de estas capacidades desde la enseñanza de la Matemática,

y se sugiere que las situaciones problemáticas se deben plantear dentro de un

contexto diversifi cado.

Respondemos en una primera instancia, por qué aprender Matemática en la

Educación Secundaria, luego tratamos las capacidades matemáticas (resolución

de problemas, razonamiento y demostración, y comunicación matemática). Es

importante señalar que estas se logran a partir del desarrollo de las capacidades

específi cas. Es bueno precisar qué representaciones y conexiones se deben

tratar transversalmente en toda la Matemática. También se aborda el cómo se

debe aprender y, por lo tanto, cómo enseñar a partir de modelos matemáticos,

acompañados con una variedad de actividades que permiten el desarrollo de las

capacidades matemáticas específi cas, con sus respectivos ejemplos.

Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de

saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes

matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía comentada y enlaces

web.

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ÍNDICEPresentación ............................................................................................................................ 1

Índice ....................................................................................................................................... 2

Organizador visual de contenidos ........................................................................................... 3

Motivación .............................................................................................................................. 4

Logros de aprendizaje ............................................................................................................. 4

Recuperación de saberes previos ............................................................................................ 4

1. APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES .................................. 5

1.1 Consideraciones para el aprendizaje de la Matemática .............................................. 5

1.2 ¿Por qué aprender matemática en la Educación Secundaria? ..................................... 6

1.3 Capacidades matemáticas ........................................................................................... 7

Actividad 1 .......................................................................................................................... 10

2. CÓMO SE DEBE APRENDER LA MATEMÁTICA ........................................................................... 11

2.1 Modelo cuantitativo basado en el mundo de los números (Aritmética) ................................................................................................................ 11

2.2 Modelo simbólico (Álgebra) ...................................................................................... 15

2.3 Modelo de representación y descripción de la realidad (Geometría) ................................................................................................................ 18

2.4 Modelo de comparación y cuantifi cación de las magnitudes ..................................... (Medida) ..................................................................................................................... 20

Actividad 2 .......................................................................................................................... 21

3. PUESTA EN PRÁCTICA DE LAS CAPACIDADES MATEMÁTICAS ..................................................... 22

3.1 La Matemática en la resolución de problemas ............................................................. 22

3.2 La Matemática en el razonamiento y demostración ..................................................... 26

3.3 La Matemática en la comunicación .............................................................................. 27

Actividad 3 .......................................................................................................................... 28

4. EVALUACIÓN ....................................................................................................................... 29

5. METACOGNICIÓN .................................................................................................................. 30

Bibliografía comentada ........................................................................................................... 31Enlaces web ........................................................................................................................... 32


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Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA

Lee atentamente y responde en una hoja aparte.

¿Qué entiendes por Matemática?

¿Qué es habilidad y destreza?

Elabora un listado de habilidades y destrezas usadas en el aprendizaje de la Matemática.

Haz un breve resumen acerca de tus experiencias en el aprendizaje de la Matemática.

¿Qué es un modelo?

¿Para qué sirven los modelos?

¿Qué diferencia existe entre un problema y un ejercicio?

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOSLOGROS DE APRENDIZAJE

Interpreta las consideraciones para el apren-dizaje de la Matemática a través del análisis de situaciones planteadas, manifestando sen-tido crítico.

Identifi ca capacidades matemáticas a través del análisis de situaciones problemáticas planteadas, manifestando sentido crítico.

Aplica las capacidades matemáticas en la re-solución de situaciones planteadas, manifes-tando creatividad.

Motivación

La Matemática forma parte esencial de la cultura humana, pues es uno de los mayores logros culturales e intelectuales de la humanidad; por este hecho tenemos la obligación de transmitirla de generación en generación, ya que constituye una posibilidad para el desarrollo de las capacidades fundamentales y no un obstáculo en la vida de las personas.

Es sufi ciente observar en nuestro entorno que todo profesional hace uso de sus capacidades matemáticas. Hoy en día no es po-sible concebir la acción de un comerciante, de un vendedor, de un trabajador cualquiera de la construcción, con mayor razón de un ingeniero, de un arquitecto, de un médico, de un economista, de un químico, de un físico, de un biólogo, sociólogo, estadísti-co o cualquier profesional que no haga uso de la Matemática y de sus capacidades matemáticas. Por ello es importante que la Matemática forme parte de nuestra vida, aprenderla nos permiti-rá el dominio de algunos aspectos de la realidad.

Por lo planteado líneas arriba, nunca ha sido mayor la necesidad de entender y de ser capaz de usar la Matemática en la vida dia-ria y en el trabajo, por lo que es imprescindible el desarrollo de las capacidades matemáticas.

MATEMÁTICA Aprendizaje de la

DESARROLLOCAPACIDADESde

y el


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Fascículo 2 / APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Y EL

DESARROLLO DE CAPACIDADES

1. APRENDIZAJEde la

MATEMÁTICADESARROLLO

y

CAPACIDADESde

La Matemática dirigida a los estudiantes presenta dos facetas claramente diferenciadas. En primer lugar, está la “enseñanza de la Matemática”, que muestra cómo es que debe presentarse los conocimientos al estudiante, es decir, la serie de procedimientos pedagógicos que facilitan la asimilación de la teoría matemática. Y, en segundo lugar, tenemos el “aprendizaje de la Matemática”, el cual se centra en la pregunta “¿cómo se aprende?”, interesándose en los mecanismos de asimilación y construcción del conocimiento matemático en la mente de los estudiantes. Precisamente, esta es la faceta en la que ahora nos vamos a centrar.

1.1 Consideraciones para el aprendizaje de la Matemática

Dado que sólo un trabajo planifi cado puede rendir frutos positivos, es conveniente enumerar ahora algunos lineamientos que deben de ser una constante en la labor educativa de los docentes:

- El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta que la Matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo según el cual todo conocimiento nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos.

- El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabajo de aprendizaje. De esta manera, el estudiante desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo concreto y lo

el

Los estudiantes siempre deben estar

presto a aprender.


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perceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes.

- Se debe de alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen su capacidad argumentativa.

- Los intercambios de ideas y conocimientos no deben de limitarse a la institución educativa, sino que deben de extenderse al entorno familiar y social. Así, los estudiantes deben de estar en condiciones de participar en diálogos tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc.

- Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente “esperan” que los conocimientos entren a su conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con grandes potencialidades, las cuales, a su vez, tienen que desarrollar basándose en su interés por aumentar el caudal de sus conocimientos.

- En relación con lo anterior, está también el fomento de la creatividad en los estudiantes, de modo que las actividades mecánicas, repetitivas y rutinarias deben de ser dejadas de lado, y se debe incentivar a que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al fi nal de los cuales, puede aparecer un conocimiento valioso e inédito.

1.2 ¿Por qué aprender Matemática en la Educación Secundaria?

La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten la existencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se llega a abstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teorías matemáticas, la ciencia y la tecnología.

En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, ésta siempre ha estado orientada hacia la fi nalidad práctica de proporcionar a los estudiantes las herramientas operativas básicas que les permitan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en su sociedad.

En un mundo que está en constante transformación, la educación matemática en la secundaria también ha buscado dotar al alumnado de la capacidad de adaptarse a las nuevas situaciones, especialmente a aquellas que se presentan en el ámbito laboral. Por esto, ahora más que nunca, la Matemática debe de tener una vocación inclusiva de manera tal que la mayor cantidad de estudiantes resulte benefi ciada. Para ello, los docentes deben estar preparados para acercarse al alumnado de manera tal que una ciencia tan importante no sea vista como una traba, pesada e inútil, sino, por el contrario, una aliada para el camino hacia el éxito y el desarrollo humano.

Aprendizaje cooperativo.

Estudiantes comprando en el mercado.


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Los avances tecnológicos se han extendido de tal manera en todos los ámbitos de la vida diaria, que es casi imposible que alguien pueda mantenerse ajeno a ellos. La Matemática puede ayudarnos a manejarnos con seguridad ante la tecnología. Nos enseña, además, a realizar planifi caciones, interpretar estadísticas, administrar nuestros ingresos y consolidar nuestros proyectos comerciales.

1.3 Capacidades matemáticas

Se ha tomado en cuenta tres capacidades matemáticas, propuestas en el Diseño Curricular de Educación Secundaria, las cuales describiremos a continuación.

Resolución de problemas

Cuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener en cuenta que “resolver” no signifi ca simplemente realizar un proceso de modo mecánico para llegar a una solución. Pues, en el camino hacia la respuesta, el estudiante participa activamente, ya sea realizando conexiones con conocimientos previamente adquiridos (lo cual puede hacer que se llegue a la solución de una manera más rápida), o arriesgando nuevas propuestas, es decir, dando entrada libre a la creatividad.

Los estudiantes deben de ser constantemente retados con problemas que, yendo de lo simple a lo complejo, les permitan aumentar su capacidad de raciocinio matemático.

Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de la Matemática, por lo cual debe buscarse problemas cuya proximidad con el entorno de el estudiante lo motiven a comprometerse con su resolución. Los problemas idóneos serán aquellos que integren temas variados y matemáticas signifi cativas.

A través del aprendizaje de la Matemática se debe capacitar a todos los estudiantes para:

• Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de describir.

• Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otros contextos.

• Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución de problemas.

• Hacer un control del proceso de resolución de problemas matemáticos, propiciando la refl exión sobre el mismo.

Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de manera espontánea, en su diario acontecer, de modo que es labor de los docentes estimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello, deben crear en clase un clima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas,

Capacidades matemáticas

Comunicación matemática

Razonamientoy

demostración

Resolución de

problemas


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así como a participar en un intercambio de ideas. El docente se convierte así en un apoyo que indudablemente fortalecerá la confi anza del alumnado.

Razonamiento y demostración

El razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de la Matemática. Los estudiantes deben de tener claro que ésta posee un sentido que hay que reconstruir mediante el desarrollo de ideas, la justifi cación de resultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuenta que ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues no existe individuo carente de nociones básicas de Matemática, los docentes buscarán estimular el natural desarrollo hacia la resolución de problemas más complejos.

Entonces, los estudiantes también tienen que estar capacitados para:

• Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia en la resolución de problemas matemáticos.

• Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en el proceso argumentativo.

• Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas.

• Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema en particular.

Los docentes explicarán a los estudiantes que toda afi rmación matemática debe llevarnos a preguntar sobre su origen y validez. Es decir, no se trata de “aceptar” sin discusión lo propuesto, sino de ir hasta sus raíces para verifi car su validez, cuando sea pertinente.

Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidos de manera tal que adquieran seguridad al momento de conducirse en sus propias investigaciones. Debe quedar de lado la errada idea de que algo es válido sólo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, el único criterio que debe de tenerse en cuenta al momento de respaldar una afi rmación matemática es el razonamiento, es decir, el encadenamiento consistente de demostraciones.

Como se ve, se trata de fomentar una actitud de búsqueda constante de nuevos conocimientos, pues esto no se consigue si se avanza sobre bases inconsistentes o caminos demasiado recorridos. La Matemática implica el descubrimiento, la novedad, lo inesperado y lo original.

El estudiante debe ser constantemente estimulado con preguntas y debe de ser llevado siempre a la formulación de conjeturas que, como hemos señalado, robustecerán su capacidad de raciocinio.

UnUn mate... mate...

Leyes del triángulo rectángulo:- Al dibujar un triángulo rectángulo en la pizarra, la probabilidad de dibujar bien el ángulo recto es muy pequeña.- Si además el triángulo se dibuja poniendo a la hipotenusa en la base, la probabilidad de que el ángulo encima de la hipotenusa salga recto es muchísimo más pequeña.- Una vez terminado el triángulo, la probabilidad de convencer a los alumnos de que es realmente rectángulo es prácticamente nula.Consecuencia: Cuando quieras dibujar un triángulo rectángulo en la pizarra, dibuja un triángulo cualquiera y después continúa diciendo: “Supongamos que esto es un triángulo rectángulo...”Alternativa: Busca al profesor de dibujo y pídele prestados el cartabón y la escuadra.

http://etsiit.ugr.es/profesores/jmaroza/anecdotario/chmate.htm.


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matemáticascuriosidades

Indudablemente, algo que también debe de acompañar al alumnado es la preocupación por mejorar su expresión, es decir, el interés por ser comprendidos claramente cuando exteriorizan libremente su pensamiento. Esto forma parte del proceso de aprendizaje, que concebimos como un entramado de conexiones con diversos aspectos del conocimiento.

En la medida en que nos referimos a la importancia de la claridad expresiva, también debemos señalar que los trabajos en grupo tienen capital importancia en el aprendizaje matemático. Ellos favorecen el desarrollo social de los estudiantes y enseñándoles que los valores como la tolerancia, el respeto y la capacidad de escuchar, son importantes también para la adquisición de nuevos conocimientos.

Comunicación matemática

Debe de acostumbrarse al alumnado a la escritura. El encuentro que tendrán con la palabra será constante (en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráfi cas, etc.). Por ello será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas, primero debemos de realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que éstas lleguen al papel de una forma coherente. Dicho proceso permite que los matemáticos revisen detenidamente sus ideas y demostraciones.

Así, el desarrollo de la capacidad verbal aumentará la comprensión de los conceptos matemáticos. No olvidemos que el pensamiento abstracto también recurre a la palabra como instrumento de análisis. Por eso es importante conocer exactamente el vocabulario matemático que corresponde utilizar en cada ocasión.

En los debates e intercambios de ideas, este aspecto de la comunicación ma-temática cobra notoriedad, pues en ellos los estudiantes tienen innumerables oportunidades de formular preguntas, refutar argumentos y exteriorizar sus inquietudes. Tal y como lo establecen los estándares curriculares, no basta con que ellos presenten las soluciones a los problemas, sino que deben de es-tar capacitados para mostrar a su docente y a sus compañeros y compañeras el camino que han seguido para llegar a ellas. Y, además, es muy valioso que los estudiantes sean conscientes de los obstáculos y limitaciones con las que tropezaron en dicho camino, pues así podrán elaborar estrategias adecuadas para superarlos con facilidad en situaciones futuras.

Además, tal como lo hemos señalado en los anteriores apartados, se debe incentivar constantemente a que los estudiantes apliquen o relacionen los conocimientos adquiridos con la realidad que los circunda. El aspecto comunicativo, como es de suponerse, facilita esta intención.

Por ello, y de acuerdo con lo que acabamos de exponer, en el aprendizaje de la Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para:

Los números amigos, un problema con 2 000 años

Los pitagóricos ya habían

observado una rara relación

entre los números 220 y 284.

Los divisores de 220 son: 1,

2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,

55 y 110.

Los de 284 son: 1, 2, 4, 71

y 142.

En apariencia no tiene mucho

parecido, salvo por este

curioso hecho:

Si sumamos todos los

divisores de 220:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20

+ 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

si sumamos los de 284:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

La suma de los divisores de

un número nos da el otro.

Durante muchos siglos,

estos dos números fueron

los únicos amigos. Pero llegó

Fermat, quien con suma

paciencia y una admirable

visión numérica, tras más de

dos mil años, descubre la

segunda pareja de números

amigos. Unos amigos mucho

más complicados que 220 y

284.

Se trata de estos dos

números: 17 296 y 18 416.

http://platea.pntic.mec.

es/aperez4/numeroshtml/

numeros.htm

¿Serán éstos los últimos

números amigos?


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– ¿Hasta qué parte puedes entrar en un bosque?

– Hasta la mitad, porque después comienzas a salir.

Actividad 1

en grupo...investiga con tus colegas

Interpreta las consideraciones para el aprendizaje de la Matemática a través del análisis de situacio-nes planteadas manifestando sentido crítico.

1. Describe cómo aplicarías las capacidades matemáticas en tu labor docente, de manera individual, y luego comparte con tus colegas.

2. Elabora un mapa conceptual para las capacidades matemáticas y publícalo en el aula de clases.

Sugerencia: Prioriza las capacidades generales y, en cada una de ellas, las capacidades específi cas.

En las caras de un cubo se escriben diferentes enteros positivos, un número en cada cara, de tal forma que los números en dos caras vecinas cualesquiera difi eren al menos en 2. Determinen el menor valor posible de la suma de estos seis números.

(Nota: Dos caras de un cubo son vecinas si tienen una arista común).

Sugerencia: Usa un material didáctico para presentar y desarrollar la Experiencia.

- Reúnanse con sus colegas de área del colegio.

- Pónganse de acuerdo para que cada uno de los integrantes del equipo resuelva la situación planteada utilizando una estrategia diferente.

- Compartan sus soluciones, los procedimientos que utilizaron y el material didáctico que diseñaron.

- Redacten un informe con sus conclusiones y las diversas formas de plantear y resolver este problema.

- Compartan estas ideas con colegas de otras Instituciones Educativas.

Alumnos trabajando en grupo.

• Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como la importancia que tiene en el desarrollo de las ideas relacionadas con la resolución de problemas matemáticos.

• Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.

• Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en los problemas matemáticos.

• Formular defi niciones matemáticas y compartir con sus compañeros y compañeras las generalizaciones que han obtenido como fruto de sus investigaciones.


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2. CÓMO SE DEBE APRENDER

MATEMÁTICAla

Tendremos que dar vida a los conceptos, a los métodos y a los procesos para que los estudiantes puedan disfrutar de los resultados, es decir, tener una vivencia y una emoción. Así se constituye una educación matemática de calidad, más versátil y actual, alejada de la monotonía, centrada en un enfoque creativo, preocupada por presentar menos ejercicios y más problemas, con menos memoria y más razonamiento. Una Matemática para que los estudiantes dejen atrás viejos temores e inseguridades.

Debemos tener presente que la Matemática ha desarrollado, entre otros, los siguientes modelos:

• Un modelo cuantitativo basado en el mundo de los números (Aritmética).

• Un modelo simbólico (Álgebra).

• Un modelo de representación y descripción de la realidad física inmediata (Geometría).

• Un modelo de comparación y cuantifi cación de las magnitudes (Medida).

En un principio, estos esquemas básicos orientaban el aprendizaje matemático de una élite pero más adelante se masifi caron, de tal manera que actualmente es necesario contar con una mínima formación matemática para enfrentar los grandes retos que se presentan en nuestra vida diaria.

2.1 Modelo cuantitativo basado en el mundo de los números (Aritmética)

La comprensión de los sistemas numéricos es la base de la Matemática y los estudiantes deben empezar desde los primeros grados. Deben ser capaces de contar, leer y escribir los números, lo mismo que ordenar y redondear. Deben desarrollar el concepto de fracciones equivalentes (fracciones que parecen diferentes pero tienen el mismo valor decimal).

Los números tienen diferentes usos, algunos de los cuales no son cuantitativos o del todo lógicos. Al contar, por ejemplo, el cero tiene

La docente pregunta:– A ver niños, ¿cómo quieren

que sea la Matemática?Adelita dice: “Divertida”.

Jorgito dice: “Interesante”.Pablito dice: “Como las películas para adultos”.

– ¿Cómo es eso, Pablito?– Claro pues, señorita,

¡prohibida para los menores de 18 años!

El aprendizaje de la Matemática debe

ser una experiencia agradable para

los estudiantes.


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un signifi cado especial de “nada”. Sin embargo, en la escala común de temperatura, el cero es sólo una posición arbitraria y no signifi ca la ausencia de temperatura (o de cualquier otra cosa). Se puede utilizar los números para poner objetos en orden, e indicar cuál es el más alto o más bajo del grupo sin especifi car una cantidad (por ejemplo, el orden de los ganadores en una carrera, los domicilios en una calle o las puntuaciones en pruebas psicológicas cuyas diferencias numéricas no tienen un signifi cado uniforme). También los números suelen emplearse para identifi car objetos sin ningún orden signifi cativo, como los números telefónicos y los que se utilizan sobre las camisetas deportivas y las placas.

Aparte de su aplicación en el mundo de la experiencia cotidiana, los números son interesantes por sí mismos. Desde el principio de la historia, la gente se ha formulado preguntas como: ¿existe un número más grande que todos los demás?, ¿existe uno más pequeño que todos los otros?, ¿puede obtenerse todo número posible dividiendo algún número entero entre otro? Algunos números, como la razón de la longitud de una circunferencia a la longitud de su diámetro (pi), atraen la atención de muchos profesionales, no sólo la de los matemáticos.

(Adaptado de: http://www.project2061.org/esp/publications/sfaa/online/chap9.htm - top#top).

En los primeros grados se debe tratar de manera continua el número y las relaciones numéricas para que los estudiantes desarrollen las siguientes capacidades específi cas:

• Entender, representar y utilizar números en diversas formas equivalentes, por ejemplo: enteros, fracciones, decimales, porcentajes, exponenciales e incluso considerar la notación científi ca; esto se debe lograr en el mundo real y en el mundo matemático.

• Desarrollar el signifi cado de los números naturales, fracciones, decimales, enteros y racionales.

• Entender y aplicar razones, proporciones y porcentajes en toda una gama de situaciones problemáticas de la vida cotidiana y situaciones matemáticas.

• Investigar relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes.

• Representar relaciones numéricas en gráfi cas de una y dos dimensiones.

Uno de los problemas que enfrentan los estudiantes en el estudio de los números es la comprensión del concepto de fracción. Es importante que los estudiantes comprendan que las fracciones son números que se usan para designar una parte de algo o comparar dos cantidades. Un tipo común de comparación sucede cuando se miden ciertas cantidades como la longitud y el peso, esto es, se comparan con una unidad estándar como el metro o el kilogramo. Se usan por lo general dos clases de expresiones para representar fracciones, que son equivalentes numéricamente. Por ejemplo, la fracción común 3/4 y la fracción decimal 0,75 representan ambas el mismo número. No obstante, las dos expresiones empleadas para representar cantidades pueden tener implicaciones diferentes: 3/4 podría

Alumnos desarrollando ejercicios

matemáticos.

Los estudiantes deben entender que

las fracciones se pueden usar también

para comparar dos cantidades.


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emplearse para signifi car simplemente “más cercano a 3/4 que a 2/4 o 4/4”, mientras que 0,75 puede implicar que es más cercano a 0,75 que a 0,74 ó 0,76 lo cual es una especifi cación mucho más precisa. Los números naturales y las fracciones pueden usarse juntos: 1 1/4; 1,25; 125/100 y 5/4, por ejemplo, todos signifi can la misma cantidad numéricamente.

El uso de símbolos y el lenguaje conciso para representar números constituyen un importante desarrollo histórico y práctico. Los estudiantes deben llegar a reconocer que los números tienen múltiples representaciones, de forma que el desarrollo de los conceptos de fracción, razón, decimal y porcentajes, y la idea de representaciones múltiples sean familiares para ellos.

La capacidad de generar, leer, usar y apreciar múltiples representaciones de la misma cantidad constituye un paso crítico cuando se aprende a entender y utilizar la Matemática. Los estudiantes deben entender tanto los números como sus representaciones, las relaciones que se dan entre ellos, y las ventajas y desventajas de cada uno.

Los estudiantes desde los primeros grados deben comprender sin difi cultad la relación entre números enteros, fracciones simples y decimales.

(Adaptado de: http://www.anep.edu.uy/publicaciones/guias/guia1pdfs/matematica/uni1234.pdf)

Presentamos los siguientes ejemplos de lo que los estudiantes deben ser capaces desde los primeros grados:

• Identifi car e interpretar sin difi cultad el valor decimal en números enteros. Ejemplo: comprende que el 5 en 459 representa 5 decenas ó 50.

• Usar palabras, modelos y la forma completa para representar los números sin difi cultades. Ejemplo: reconoce que 7 492 = 7 000 + 400 + 90 + 2.

• Identifi car cualquier número sin difi cultades en varias combinaciones de centenas, decenas y unidades. Ejemplo: 825 se puede escribir como 8 centenas, 2 decenas y 5 unidades, o como 7 centenas, 12 decenas y 5 unidades, etc.

• Comparar los números enteros sin difi cultades y ponerlos en orden numérico. Ejemplo: ¿cuál es el número entero menor que puedes formar usando los dígitos 4; 9 y 1? Usa cada dígito solamente una vez.

• Redondear los números menores que 10 000 a la decena y la centena más cercana. Ejemplo: redondea 9 548 a la decena más cercana.

• Identifi car y usar correctamente los términos de una fracción. Ejemplo:

reconoce que 7 en la fracción 7

8 es el numerador.

• De un par de fracciones dadas, decidir cuál es mayor y cuál es menor

usando objetos o dibujos. Ejemplo: ¿es 1

3de una pizza personal mayor o

menor que 1

3 de la pizza familiar? Explica tu respuesta.

Docente enseñando la descomposición

polinómica de números naturales.

En la Matemática, los números

también pueden ser representados

con símbolos.


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• De un decimal dado como decena, mostrarlo como una fracción y representarlo con un gráfi co. Ejemplo: sombrea la parte de un cuadrado que represente 0,7 y escribe la fracción que corresponda.

• Interpretar los datos indicados en un gráfi co circular y contestar preguntas sobre la situación. Ejemplo: haz que los estudiantes escojan la fruta que más les gusta entre estas opciones: uva, manzana y pera. Que tabulen las respuestas, elaboren un gráfi co circular con los datos y determinen cuál es la fruta más requerida y la menos requerida; explica lo que representa el círculo y cada sector.

• Distinguir si los sucesos diarios son seguros, probables, no probables o imposibles. Ejemplo: está lloviendo en tu vecindario. ¿Es seguro, probable, no probable o imposible que el árbol en tu jardín se moje?

• Apuntar los posibles resultados de un experimento de probabilidad simple. Ejemplo: hacer que trabajen en grupos, lanzando y anotando los resultados. Que cada estudiante repita el experimento y explique sus resultados a la clase.

Veamos otros ejemplos:

• Los estudiantes deben comprender que 15/100; 3/20; 0,15 y 15% son representaciones del mismo número. También es importante que los estudiantes reconozcan las difi cultades inherentes a diversas representaciones numéricas, como la expresión de 1/3 como porcentaje; de 11,7 × 10-7 como decimal o del número 3,999999999 como 4 en una calculadora.

Los números y las relaciones entre ellos pueden representarse como enunciados simbólicos, los cuales brindan un medio para modelar, investigar y mostrar las relaciones del mundo real. Es raro el interés en una sola cantidad o categoría; generalmente interesa la relación entre ellas (la relación entre edad y estatura, temperatura y hora del día, partido político e ingreso anual, sexo y ocupación). Esas comparaciones se pueden expresar utilizando ilustraciones, diagramas, gráfi cas, cuadros, ecuaciones algebraicas o palabras. Las gráfi cas son especialmente útiles para examinar las relaciones entre cantidades.

• Se debe considerar los modelos de área, pues son útiles para visualizar ideas numéricas desde un punto de vista geométrico. Así, pueden usarse modelos de áreas para mostrar que 4/12 es equivalente a 1/3.

4/12 = 1/3

El aprendizaje de los estudiantes debe

ser evaluado constantemente.

Los estudiantes deben reconocer las

dificultades inherentes a las diversas

representaciones numéricas.


15




0 14 20

0% 70%

El 70 % de 20 es 14

Cuando los estudiantes se han familiarizado con un tipo de representación en particular, pueden empezar a generalizar y lograr establecer equivalencias con diferentes expresiones del mismo número.

El sentido operacional debe ampliarse con ejemplos como: ¿2/7 × 5/4 es menor o mayor que 2/7?, ¿es menor o mayor que 5/4?, ¿por qué el producto de dos números enteros negativos es positivo?

Se debe mostrar las fracciones equivalentes usando partes iguales. Ejemplo: dibuja varios modelos de áreas para demostrar que 3/5, 6/10, y 9/15 son fracciones equivalentes.

Recordemos que el sentido de número es el conocimiento de los números, cómo se relacionan entre sí y cómo son usados en un contexto específi co o en su aplicación en el mundo real. Incluye un conocimiento de las diferentes maneras en las que los números son usados, para contar, medir, etiquetar y ubicar. Incluye un conocimiento de las diferentes clases de números naturales, enteros, fracciones y decimales, así como de las relaciones entre ellos, y de cuándo cada uno es más útil. El sentido de número incluye un acuerdo del tamaño de los números, de modo que los estudiantes deben poder reconocer que el volumen de su habitación está más cerca de 28 m3 que 283 m3. Se debe hacer que los estudiantes comprendan el sentido de los números, usen los números y las relaciones de los números, solucionen una gran variedad de problemas del mundo real, y calculen para determinar la racionalidad de los resultados.

La fl uidez en el cálculo aritmético también es fundamental. Desde los primeros grados los estudiantes deben resolver problemas usando la adición y sustracción de números enteros. Deben hacer modelos y resolver problemas de multiplicación y división. Además, logran desarrollar los conceptos de la multiplicación y división como una extensión de los de adición y sustracción, y saben las tablas básicas de multiplicación y división. También deben sumar y restar fracciones sin difi cultad.

Recordemos que la fl uidez en el cálculo aritmético es fundamental. Mientras los estudiantes van aprendiendo sobre los números, también van aprendiendo cómo sumarlos y restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Ellos entienden los papeles especiales del 0 y el 1 en la multiplicación y la división. Además, suman y restan fracciones y decimales, y aprenden cómo se pueden manipular estas diferentes representaciones de números.

2.2 Modelo simbólico (Álgebra)

El Álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. En este nivel, los estudiantes representan las relaciones con ecuaciones numéricas y usan esas ecuaciones para resolver problemas. Continúan los patrones numéricos de multiplicación y usan algunas de sus reglas para verifi car los resultados.

La tasa de natalidad es el doble de la tasa de

mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es

inmortal.

A través de la Matemática, los

estudiantes deben ser capaces de

resolver problemas del mundo real.


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Comienzan a desarrollar el concepto de la función, y la relación entre los números y la recta numérica.

Es esencial que cuando los estudiantes que se inician en el Álgebra exploren conceptos algebraicos de manera informal para adquirir una base que permita fundar su estudio, dichas exploraciones iniciales deben hacer énfasis en modelos físicos, datos, gráfi cas y otras representaciones matemáticas. Los estudiantes deben aprender a generalizar patrones numéricos para modelar, representar o describir patrones físicos, regularidades y problemas que se hayan observado; logrando que los estudiantes adquieran confi anza en su propia capacidad de abstraer relaciones a partir de información contextual y que utilicen toda una variedad de representaciones para describir dichas relaciones.

El Álgebra es un campo de la Matemática que explora las relaciones entre cantidades diferentes representándolas mediante símbolos, y manipulando las expresiones que las relacionan. A veces, una expresión simbólica implica que sólo un valor o conjunto de valores la harán verdadera. Por ejemplo, la expresión 2A + 4 = 10 es verdadera, si y sólo si A = 3. No obstante, con frecuencia, una expresión algebraica permite que una cantidad tome una serie de valores e implica para cada una de ellas el valor correspondiente de otra cantidad. Por ejemplo, la expresión A = S² especifi ca un valor para la variable A que corresponde a cualquier elección de un valor para la variable S.

Se debe proponer actividades que incluyan exploraciones de conceptos y procesos algebraicos para que los estudiantes desarrollen las siguientes capacidades específi cas:

• Entender los conceptos de variable o incógnita, expresión y ecuación.

• Representar situaciones y patrones numéricos con tablas, gráfi cas, reglas verbales y ecuaciones.

• Adquirir confi anza en la resolución de ecuaciones lineales usando métodos informales y formales.

• Aplicar métodos algebraicos en la resolución de diversos problemas matemáticos y de la vida cotidiana.

Los estudiantes deben escoger los símbolos, operaciones y propiedades apropiados para representar, describir, simplifi car y resolver relaciones numéricas y funcionales simples.

Proponemos algunos ejemplos ilustrativos:

• Representar las relaciones de cantidad en forma de una expresión numérica o una ecuación. Ejemplo: durante el recreo, Juanita tiene dinero para comprar tres bebidas personales que cuestan S/. 0,80 cada una en el quiosco. Cuando ella fue al patio, le dieron de vuelto S/. 0,70 . Escribe una ecuación para buscar la cantidad de dinero que Juanita tenía originalmente.

• Resolver problemas que incluyan ecuaciones numéricas. Ejemplo: el doble de un número disminuido en cuatro es igual a ocho se representa por: si x es el número, entonces: 2x - 4 = 8.

• Escoger los símbolos apropiados para que las operaciones y las relaciones hagan válida una proposición numérica. Ejemplo: ¿qué símbolo es necesario usar para hacer que el resultado 4 3 = 12 sea válido?

Estudiantes de secundaria

desarrollando ecuaciones.

Los estudiantes deben ser capaces de

entender los conceptos de variable o

incógnita, expresión y ecuación.


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• Comprender y usar la propiedad conmutativa y asociativa de la multipli-cación. Ejemplo: multiplica los números 9; 3 y 7 en este orden. Ahora multiplíquelos en este orden 3; 7 y 9. ¿Cuál es más fácil? ¿Por qué?

• Hacer, describir y extender patrones numéricos usando la multiplicación. Ejemplo: ¿Cuál es el próximo número: 3; 6; 12; 24; ...? ¿Cómo descubriste tu respuesta?

• Resolver problemas simples que describan una relación funcional entre dos cantidades.

Ejemplo: los chupetes cuestan S/. 0,40 cada uno. Busca el costo de 1, 2, 3, 4... chupetes. ¿Qué patrón ves? Continúa el patrón para determinar cuánto costaría comprar sufi cientes chupetes para cualquier clase.

Recordemos que el Álgebra es un lenguaje de patrones, reglas y símbolos. Los estudiantes deben desarrollar una comprensión del concepto fundamental de una variable (hacer que una letra represente todos los números de determinada clase). Utilizan esto para escribir fórmulas y ecuaciones que establecen la regla para una función. Continúan los patrones numéricos de multiplicación y división. Ellos reconocen y aplican las relaciones entre las cuatro operaciones (adición, sustracción, multiplicación y división). Insistimos en que los estudiantes deben usar e interpretar variables, símbolos matemáticos y propiedades para escribir y simplifi car expresiones y proposiciones numéricas.

Proponemos otros ejemplos para que los estudiantes desarrollen sus capacidades.

• Representar en expresiones, ecuaciones o desigualdades simples (es decir, demostrar la comprensión y usar el concepto de una variable). Ejemplo: lee la expresión “tres se multiplica por cierto número y al resultado se le agrega cinco”, pedir a los alumnos que escriban la expresión algebraica, es decir: “3x + 5.” Luego preguntar: ¿qué representa la x?

• Usar e interpretar fórmulas. Ejemplo: escribe en palabras la fórmula para el área de un rectángulo. Ahora, si la l representa el largo, la w el ancho y la A el área. Escribe la fórmula usando estos símbolos.

• Comprender que, en expresiones sin paréntesis, la multiplicación y la división se hacen antes que la adición y la sustracción. Ejemplo: vas a una tienda con S/. 0,90 y compras 3 lápices a S/. 0,20 cada uno. Escribe una expresión matemática para la cantidad de dinero que te sobra y encuentra su valor.

• Comprender que una ecuación de la forma y = 3x + 5 es una regla para encontrar un segundo número cuando se ha dado un primer número. Ejemplo: usa la fórmula y = 3x + 5 para encontrar el valor de y cuando x = 6.

• Continuar los patrones numéricos usando multiplicación y división. Ejemplo: ¿cuál es el próximo número: 160; 80; 40; 20...? Explica tu respuesta.

• Reconocer y explicar las relaciones entre la adición y multiplicación, entre la resta y división, y la relación inversa entre la multiplicación y división para resolver problemas. Ejemplo: busca otra forma para escribir 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

• Relacionar situaciones de problemas con oraciones numéricas que empleen multiplicación y división. Ejemplo: tienes 150 caramelos para compartir


En 1787 Carl Friedrich Gauss

estaba todavía en la escuela.

Tenía unos 10 años. Con

esa edad pasó lo que tenía

que pasar, todos los niños

empezaron a tirarse papeles,

tizas, etc. En ese momento

apareció el profesor y molesto

como estaba, ordenó a todos

los niños que, como castigo,

sumaran todos los números

del 1 al 100.

El profesor debió pensar: ¡Qué

idea más buena he tenido!

¡Durante un buen rato me

dejarán todos estos mocosos

en paz! A los pocos minutos,

nuestro pequeño genio se

levantó del pupitre, y entregó

la respuesta correcta: 5 050.

El profesor, asombrado, debió

pensar que había puesto

un número al azar, y se

dispuso él mismo a hacer la

interminable suma. Al cabo de

un buen rato, comprobó que,

efectivamente, la suma pedida

era 5 050.

¿Qué te parece?


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entre los 30 miembros de tu clase. Escribe una oración numérica para este problema y determina cuántos caramelos recibirá cada persona.

• Señalar y marcar números enteros en una recta numérica hasta el 100. Calcular posiciones aproximadas en la recta numérica. Ejemplo: dibuja una recta numérica y márcala con 0; 10; 20; 30;... 90; 100. Haz una estimación de la posición aproximada del 77 en esta recta numérica.

2.3 Modelo de representación y descripción de la realidad (Geometría)

El estudio de la Geometría ayuda a los estudiantes a que representen y le den sentido al mundo. Deben tener contacto con ella desde los primeros grados de la Educación Primaria, así como haber aprendido sobre fi guras geométricas y desarrollado un sentido del espacio. Deben identifi car cuadriláteros y ángulos, describir y clasifi car fi guras tridimensionales, y usar los términos básicos como punto, línea y segmento de línea para describir las fi guras.

Los modelos espaciales se pueden representar a través de un grupo muy pequeño de formas y relaciones geométricas fundamentales que tienen representación simbólica. Para comprender el mundo, la mente humana depende en gran medida de su percepción de las fi guras y modelos. Todas las cosas existentes, como edifi cios, vehículos, juguetes y pirámides, y las fi guras que son tan familiares en la naturaleza, como animales, hojas, piedras, fl ores, la Luna y el Sol, con frecuencia se pueden caracterizar en términos de su forma geométrica.

Algunas de las ideas y términos de la Geometría se han convertido en parte del lenguaje cotidiano. Aunque los objetos reales jamás concuerdan exactamente con una fi gura geométrica, sí se aproximan, de modo que lo que se sabe sobre las fi guras y relaciones geométricas se puede aplicar a los objetos. Para muchos propósitos, es sufi ciente familiarizarse con puntos, líneas, planos, triángulos, rectángulos, cuadrados, círculos y elipses; cuerpos rectangulares y esferas; relaciones de semejanza y congruencia; relaciones de convexidad, concavidad, intersección y tangentes; ángulos entre rectas o planos; relaciones paralelas y perpendiculares entre líneas y planos; formas de simetría, como la sustitución, refl exión y rotación, y el teorema de Pitágoras.

Las relaciones geométricas también se pueden expresar a través de símbolos y números, y viceversa. Los sistemas coordenados son un medio común de relacionar los números con la Geometría. Por poner el ejemplo más sencillo, cualquier número se puede representar como un punto único sobre una línea si primero se especifi ca puntos para representar el cero y el uno. Sobre cualquier superfi cie plana se puede especifi car las localizaciones sólo por un par de números o coordenadas. Por ejemplo, la distancia desde el lado izquierdo de un mapa y la distancia desde la base, o la distancia y dirección desde el centro del mapa.

Se debe proponer actividades que incluyan el estudio de la Geometría en una, dos y tres dimensiones en situaciones diversas para que los estudiantes desarrollen las siguientes capacidades específi cas:

• Identifi car, describir, comparar y clasifi car fi guras geométricas.

• Visualizar y representar fi guras geométricas prestando una atención especial al desarrollo del sentido espacial.


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• Representar y resolver problemas por medio de modelos geométricos.

• Entender y aplicar proporciones y relaciones geométricas.

• Llegar a reconocer la Geometría como medio para describir el mundo físico.

Los estudiantes deben describir y comparar las características de las fi guras geométricas planas y sólidas, y usar su conocimiento para demostrar relaciones y resolver problemas. Deben aprender sobre fi guras geométricas y desarrollar un sentido del espacio. Identifi car, describir y dibujar tales conceptos como ángulos agudos y líneas paralelas.

Describir fi guras y objetos, como los cuadriláteros especiales, los rombos y trapecios. Identifi car cuadriláteros congruentes y explicar su razonamiento usando términos geométricos específi cos. Dibujar líneas de simetría para una variedad de polígonos, y construir cubos y prismas, desarrollando su capacidad de trabajar en tres dimensiones.

Proponemos algunos ejemplos ilustrativos:

• Identifi car cuadriláteros como fi guras de cuatro lados. Ejemplo: ¿cuáles de éstos son cuadriláteros: el cuadrado, el triángulo o el rectángulo?

• Identifi car los ángulos rectos en fi guras y objetos y decidir si otros ángulos son mayores o menores que el ángulo recto. Ejemplo: identifi ca la representación de los ángulos rectos en tu sala de clase. Abre la puerta del salón hasta que forme un ángulo recto, que se representa con una pared, y explica lo que estás haciendo.

• Identifi car, describir y clasifi car cubo, esfera, prisma, pirámide, cono y cilindro. Ejemplo: describe las caras de una pirámide e identifi ca sus características.

• Identifi car objetos sólidos comunes que sean las partes necesarias para hacer un objeto sólido más complejo. Ejemplo: describe y dibuja una casa usando un prisma y una pirámide.

• Dibujar una fi gura que sea congruente con otra fi gura. Ejemplo: dibuja un triángulo que sea congruente a otro dado. Puedes usar una regla y lápiz o un programa de computación para dibujar.

• Usar los términos punto, línea y segmento lineal, para describir fi guras de dos dimensiones. Ejemplo: describe cómo un triángulo está compuesto de puntos y segmentos lineales, y cómo sabes que es un triángulo.

• Identifi car y dibujar líneas de simetría en fi guras geométricas (manualmente o usando la tecnología). Ejemplo: usa un lápiz y papel o un programa para dibujar, y traza líneas de simetría en un cuadrado. Explica lo que descubres.

• Dibujar las refl exiones de las fi guras según se vean en un espejo. Ejemplo: pon una letra F de cartón frente a un espejo. Dibuja la letra y la fi gura según la ves en el espejo.

• Reconocer fi guras geométricas en el medio ambiente y sus características, y especifi car sus localizaciones. Ejemplo: escribe las letras del alfabeto y dibuja todas las líneas de simetría que ves.

• Los estudiantes deben demostrar una comprensión de objetos geométricos planos y sólidos, y deben usar su conocimiento para demostrar relaciones y resolver problemas.

Se cuenta que Euclides,

el célebre geómetra de la

antigüedad y autor de los Elementos, fue profesor del

rey Tolomeo I de Alejandría.

Un día, el rey le preguntó si no

había un camino más sencillo

para aprender Matemática.

Euclides le respondió: “No hay

un camino de reyes para la

Matemática”.


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2.4 Modelo de comparación y cuantificación de las magnitudes (Medida)

El estudio de la medición demuestra las aplicaciones prácticas y utilidad de la Matemática. Las actividades de medición pueden y deben exigir una interacción dinámica ente los estudiantes y su entorno, deben encontrar ideas dentro y fuera de la institución educativa, en el arte, la ciencia, el diseño comercial, los deportes, la cocina, el comercio, las compras y la lectura de mapas, entre otras actividades.

Es decir, el estudio de las medidas es fundamental debido a su uso en muchos de los aspectos de la vida diaria. Los estudiantes miden longitudes hasta la media pulgada más cercana, suman unidades de largo y buscan el perímetro de las fi guras. Estiman el área y el volumen aproximados como preparación para desarrollar las fórmulas que los calculan.

Es importante que hagan estimaciones, tomen medidas y comparen el peso, capacidad y temperatura en unidades estándares. También que aprendan sobre el valor de cualquier colección de monedas, que escriban el monto del dinero usando los signos de S/. y $, y que decidan si tienen sufi ciente dinero para hacer una compra.

Mostramos algunas actividades ilustrativas:

• Escoger las unidades y herramientas apropiadas para medir la longitud, la capacidad, el peso, la temperatura, el tiempo y el dinero.

• Buscar el perímetro de un polígono. Ejemplo: busca el perímetro de una mesa en centímetros. Explica tu método.

• Hacer una estimación o buscar el área de las fi guras cubriéndolas con cuadrados. Ejemplo: ¿Cuántas losas cuadradas necesitamos para cubrir este escritorio?

• Hacer una estimación o buscar los volúmenes de los objetos contando el número de cubos con que se llenarían. Ejemplo: ¿cuántos de estos cubos se necesitarían para llenar la caja?

• Hacer una estimación y medir la capacidad usando galones y litros. Ejemplo: en esta botella cabe un litro. Calcula cuántos litros aproximadamente se necesitarían para llenar la pileta.

• Hacer una estimación y medir el peso usando libras y kilogramos. Ejemplo: haz una estimación del peso en libras de tu mochila.

• Comparar las temperaturas en grados celsius y fahrenheit. Ejemplo: mide la temperatura del salón usando un termómetro que tenga unidades celsius y también fahrenheit. Si la temperatura del salón mide 70° F, ¿sería la medida en celsius más alta o más baja?

Metro.

Cronómetro.

Kilogramo.


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Actividad 2

Identifi ca capacidades matemáticas a través del análisis de situaciones problemáticas planteadas, manifestando sentido crítico.

Con tus colegas discute los casos, respondiendo las interrogantes formuladas. Asimismo, elabora un listado de las capacidades matemáticas que se desarrollen en cada caso.

1. ¿x2 + y2 = 4, representa una circunferencia en R2? ¿Qué representará x2 + y2 +z2 = 4 en R3? Representa gráfi camente.

Sugerencia: Trabaja la esfera y sus propiedades.

2. Los números pares como: 0, 2, 4, 6, ... se representan por 2n, , ¿cómo se representarán a los números impares? Escribe la fórmula.

Sugerencia: Usa la fórmula 2n + 1,

3. Toda ecuación de primer grado con variables reales se representa por: ax + b = 0, , ¿cómo se representa una ecuación de segundo grado de variables reales? Escribe la ecuación.

4. El perímetro del siguiente cuádrilatero es 24 cm.

¿Cuánto representa el perímetro de la superfi cie de la pizarra de tu aula de clases? Escribe el número.

Sugerencia: Considera el contexto de tu aula de clases.


- Reúnanse con sus colegas de área del colegio.- Lean atentamente la información presentada sobre los Números

amigos.- Pónganse de acuerdo para que cada uno de los integrantes del

equipo resuelva la situación planteada utilizando una estrategia diferente.

- Compartan sus soluciones y los procedimientos que utilizaron.- Redacten un informe con sus conclusiones y las diversas formas de plantear y resolver la

situación.- Compartan estas ideas con colegas de otras Instituciones Educativas.

Números amigosUn entero positivo es llamado “amigo” si los dígitos de dicho entero se pueden dividir en dos grupos de tal forma que la suma de los dígitos de un grupo sea igual a la suma de los dígitos del otro grupo. Por ejemplo, 725 es amigo porque 7 = 2 + 5 y 48 103 es amigo porque 8 + 0 = 4 + 1 + 3. Determina el menor entero positivo n de tal forma que n y n+1 sean amigos.

Reúnanse para discutir sobre los procedimientos que emplearían para resolver esta situación. Compartan la solución con colegas de otras instituciones educativas.

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4


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3. PUESTA enPRÁCTICA

CAPACIDADESde las

3.1 La Matemática en la resolución de problemas El aprendizaje de la Matemática en los primeros grados

En los primeros grados, el aprendizaje de la Matemática debe incluir experiencias abundantes y diversas con resolución de problemas como método de indagación y aplicación, para que los estudiantes sean capaces de:

• Usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos.

• Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la Matemática.

• Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas, haciendo hincapié en problemas de pasos múltiples y no rutinarios.

• Verifi car e interpretar resultados en relación con la situación del problema original.

• Generalizar soluciones y estrategias para situaciones nuevas del problema.

• Adquirir confi anza en el uso signifi cativo de la Matemática.Se debe considerar como centro de atención: “Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una difi cultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fi n deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”. (George Pólya)La resolución de problemas es el proceso por el que los estudiantes experimentan la potencia y la utilidad de la Matemática en el mundo que les rodea. Es también un método de indagación y aplicación, integrado a través de los estándares, con objeto de ofrecer un contexto sólido para el aprendizaje y la aplicación de la Matemática. Las situaciones del problema pueden establecer la «necesidad de saber» y fomentar la motivación para el desarrollo de conceptos.Se debe aprovechar las capacidades matemáticas en benefi cio de los estudiantes de Educación Secundaria para incluir problemas más complejos que impliquen temas como la Probabilidad, la Estadística, la Geometría, los números racionales y los números reales. Las situaciones y los enfoques deben basarse en el lenguaje matemático que los estudiantes van adquiriendo, y deben ayudarles a desarrollar toda una gama de estrategias y enfoques

George Pólya

Nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en los EE.UU., y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas.

Diseñó el Método en los siguientes cuatro pasos para resolver problemas: 1. Entender el problema. 2. Confi gurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás

http://www.winmates.net/polya.php

Interesante MATEMÁTICAS

http://www.math.sunysb.edu/

~zakeri/mat542/men/Polya.jpg


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para la resolución de problemas. Aunque durante este nivel las situaciones concretas y empíricas sigan siendo el centro de atención, debe conseguirse un equilibrio entre problemas que apliquen la Matemática al mundo real y problemas que surjan de la investigación sobre ideas matemáticas. Finalmente, el aprendizaje de la Matemática debe implicar a los estudiantes en diversos problemas que requieran un mayor esfuerzo para su resolución. Algunos de ellos podrían ser tareas de grupo que hagan que los estudiantes utilicen la tecnología disponible y se dediquen a la resolución y discusión de problemas de forma cooperativa. Las computadoras y calculadoras son poderosas herramientas útiles en la resolución de problemas. La posibilidad de hacer cálculos rápidamente, de representar una relación de forma instantánea y cambiar sistemáticamente una variable y ver qué le pasa a las otras variables relacionadas, todo ello puede ayudar a que el estudiante se vuelva cada vez más autónomo(a) en el aprendizaje de la Matemática.Se debe ofrecer a los estudiantes la oportunidad de resolver problemas, trabajar en cooperación, usar tecnología, utilizar ideas matemáticas relevantes e interesantes, y experimentar la potencia y la utilidad de la Matemática.DiscusiónSe debe plantear problemas que se diferencien mucho de los enunciados tradicionales que proponían un contexto para usar un algoritmo o una fórmula en particular, pero no ofrecían ninguna oportunidad para una verdadera resolución de problemas. Los problemas del mundo real no son ejercicios prefabricados con procedimientos y números de fácil resolución. Aquellas situaciones que permiten a los estudiantes experimentar problemas con números «enredados» o con demasiada o poca información, o que tienen múltiples soluciones, cada una con consecuencias diferentes, serán los que mejor los preparen para resolver problemas que probablemente lleguen a encontrar en su vida diaria.La exploración de las situaciones del problema puede ofrecer el contexto en el que los estudiantes amplíen el conocimiento que tienen sobre la interrelación entre ideas matemáticas, por ejemplo:Pedro usó la calculadora para explorar este problema:“Pedro escoge cinco dígitos. Usa los cinco para formar un número de dos dígitos y uno de tres dígitos de forma que su producto sea el máximo posible. Después busca la combinación que dé el producto más pequeño”. Puede animarse a los estudiantes a que generalicen la solución para cualquier grupo de cinco dígitos y para cualquier número de dígitos. Este problema ayuda a que los estudiantes entiendan de forma más profunda el valor posicional, la multiplicación y el signifi cado de la numeración.Los estudiantes deben modelar muchos problemas de forma concreta, recoger y organizar datos en tablas, identifi car patrones, representar datos, usar calculadoras para simplifi car las operaciones, y usar ordenadores como ayuda para generar y analizar información. La potencia que tiene la computadora para almacenar, generar y representar diversas cantidades de información, la convierte en una fuente muy valiosa de problemas interesantes. Las bases de datos y los programas informáticos pueden embarcar a los estudiantes en el planteamiento y resolución de problemas. Los estudiantes recogen una muestra de datos, analizan y hacen predicciones sobre la base de dichas muestras, hacen conjeturas, discuten y ratifi can sus resultados y preparan argumentos para convencer a otros de sus conclusiones. También

Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas por George Pólya

1. Interésese en su materia.

2. Conozca su materia.

3. Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y difi cultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.

4. Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.

5. Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.

6. Permítales aprender a conjeturar.

7. Permítales aprender a comprobar.

8. Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a fl ote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.

9. No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.

10. Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

http://www.winmates.net/polya.php


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han de experimentar los estudiantes situaciones que ofrezcan múltiples oportunidades de formular y defi nir problemas, determinar la información que se necesita, decidir qué métodos utilizar para obtener esta información y determinar unos límites aceptables para las soluciones. Los estudiantes deberían trabajar juntos con frecuencia en grupos pequeños para resolver problemas. Pueden discutir estrategias y soluciones, hacer preguntas, examinar consecuencias y alternativas, y refl exionar sobre el proceso y cómo se relaciona con problemas anteriores. Los estudiantes han de verifi car los resultados, interpretar las respuestas y preguntarse si tiene sentido una solución dada. Han de verifi car lo que ellos piensan en vez de depender de que el profesor les diga si han acertado o no. Este tipo de experiencias desarrolla en los estudiantes su confi anza al usar la Matemática.Se debe plantear problemas que desarrollen la capacidad de entender y aplicar diversas estrategias, por ejemplo: tantear y comprobar, hacer una tabla y buscar patrones. Estas estrategias deben explorarse dentro de un contexto de resolución de problemas. Por medio de discusiones de clase y en grupo, los estudiantes pueden examinar toda una gama de enfoques y aprender a evaluar las estrategias que sean apropiadas para una situación dada. Se debe tratar de que los estudiantes construyan un repertorio cada vez mayor de estrategias, enfoques y problemas familiares. Más importante que encontrar la respuesta es el proceso de resolución del problema. El problema siguiente ilustra cómo podrían los estudiantes poner en común sus diferentes formas de enfocar la resolución de problemas:¿Cuántos apretones de manos se darían en una fi esta si cada uno de los 15 invitados le diera la mano a cada uno de los demás?Algunos estudiantes optarán por escenifi car el problema. Algunos harán un dibujo de un caso más simple para acercarse a la situación . Otros estudiantes podrían empezar con un problema más simple y buscar un patrón utilizando una tabla como la siguiente:

Nº personas 1 2 3 4 5 6 … 15Nº de apretones 0 1 3 8 10 15 … 105

Las discusiones donde los estudiantes pongan en común sus enfoques enriquece y amplía su repertorio de estrategias para resolver problemas.Además del esfuerzo cooperativo, los problemas del mundo real requieren a menudo una considerable inversión de tiempo. Hay que animar a los estudiantes a explorar algunos problemas como ampliación de tarea en la que se puede trabajar durante horas, días o aun más tiempo. Por ejemplo: “Un grupo de estudiantes preocupados por los atascos de tráfi co en un cruce cerca del colegio decidieron diseñar un método para estudiar la situación. El estudio exigía que se plantearan cuestiones tales como qué constituía «tráfi co», cuándo cuantifi carlo, cómo registrar los datos, qué signifi caban los datos, cómo aliviar el atasco, quién era responsable de tratar el tema y cómo elaborar un argumento convincente para que se remediara la situación. Tras varias semanas de estudio, se presentaron los resultados a la autoridad municipal, donde aceptaron la recomendación de los estudiantes e instalaron una señal de tránsito”.

El uso de la calculadora es

fundamental para ayudar a resolver

ejercicios y cálculos en Matemática.

El uso de las computadoras es

necesario para ayudar a resolver

ejercicios y cálculos en Matemática.


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El aprendizaje de la Matemática en los últimos grados

En los últimos grados, el aprendizaje de Matemática debe incluir una depuración y ampliación de los métodos para la resolución de problemas matemáticos para que todos los estudiantes sean capaces de:• Usar, con cada vez más confi anza, enfoques de resolución de problemas

para investigar y entender contenidos matemáticos.• Aplicar estrategias integradas de resolución de problemas matemáticos

para resolver problemas dentro y fuera de la Matemática.• Reconocer y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de

la Matemática.• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos a situaciones

de problema del mundo real.Se debe considerar como centro de atención:La resolución de problemas matemáticos, en su sentido más amplio, signifi ca prácticamente lo mismo que el uso de la Matemática. En el aprendizaje de la Matemática deben haberse ido interiorizando e integrando cada vez más las estrategias de resolución de problemas que se aprendieron en las áreas anteriores, formando una base amplia para que los estudiantes se acerquen al uso de la Matemática, sea cual sea el tema del que se trate. Desde este punto de vista, la resolución de problemas signifi ca mucho más que la aplicación de técnicas específi cas para la resolución de distintos tipos de enunciado. Se trata de un proceso mediante el que se construye y se refuerza el tejido de la Matemática tal como se defi ne en los estándares subsiguientes.DiscusiónUna consecuencia de la creciente sofi sticación matemática de los estudiantes es que las situaciones del problema, que en el caso de los más pequeños surgen necesariamente del mundo real, ahora provienen con frecuencia de la Matemática misma. Por tanto, la resolución de problemas matemáticos no sólo sirve para responder preguntas que surgen en la vida diaria, en las ciencias físicas y sociales o en campos profesionales como los negocios o la ingeniería, sino también para desarrollar y conectar en mayor grado la Matemática en sí misma. Tanto el estudiante, que demuestra un teorema con objeto de ampliar el conocimiento dentro de un sistema de axiomas, como el que resuelve una aplicación acerca de la mejora de la producción y de decisiones de mercado, ambos están implicados en niveles diversos de la resolución de problemas matemáticos.Se debe plantear problemas y aplicaciones para presentar contenidos matemáticos nuevos, contribuir a que los estudiantes adquieran tanto estructuras conceptuales como soltura con algoritmos, y aplicar y repasar procesos que ya se han aprendido. Por ejemplo, puede plantearse una situación, tal como hallar la altura máxima en el recorrido de un proyectil, para la que los estudiantes no tengan técnicas de resolución fácilmente disponibles. El proceso de aprendizaje exigirá de ellos un análisis de la situación a la luz del conocimiento que ya poseen, el desarrollo de técnicas matemáticas adecuadas, y a continuación la aplicación de dichas técnicas para resolver el problema. «Repasar» la situación del problema, y todo el proceso de resolución del mismo, puede suponer un buen impulso a partir del cual desarrollar más

Estándar de Resolución de Problemas

Los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a los estudiantes para:

– Construir nuevos conocimientos matemáticos a través de la resolución de problemas.

– Resolver problemas que surjan de la Matemática y de otros contextos.

– Aplicar y adaptar una variedad de estrategias para resolver problemas.

– Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y refl exionar sobre él.


26


efi caces métodos de resolución o ampliaciones de problema de manera que se enriquezca matemáticamente la experiencia de los estudiantes. Esta actividad podría plantearse durante varios días o incluso varias semanas; a menudo puede resultar adecuado que los estudiantes colaboren trabajando en grupos. Los estudiantes deben tener, asimismo, alguna experiencia en reconocer y formular sus propios problemas, actividad que se encuentra en el centro mismo de la actividad matemática. Por ejemplo, la exploración de los perímetros de diversos rectángulos de 24 cm2 de área por medio de modelos con dibujos, registrando los datos en una tabla, podría llevar a que los estudiantes reconozcan y formulen problemas como los siguientes: ¿existe un rectángulo con un perímetro mínimo para una área dada? ¿Qué dimensiones tiene?Por medio de contextos docentes que animen a la investigación, la colaboración y la comunicación, se promueve el planteamiento de problemas así como su resolución. Además, de la discusión sobre técnicas específi cas de planteamiento de problemas se benefi cian todos los estudiantes. Al formular la otra cara del problema anterior se llega a la pregunta: ¿existe un rectángulo con un área máxima para un perímetro dado? Otras técnicas útiles son hacer menos precisas las condiciones iniciales o generalizar a partir de situaciones de problema, y considerar el caso inverso de una formulación matemática.

3.2 La Matemática en el razonamiento y demostración

La Matemática como ciencia formal ofrece, más que cualquier otra, aportes fundamentales para desarrollar en los estudiantes su capacidad de razonamiento y demostración, debido a que su característica de emplear objetos abstractos contribuye a tal propósito. Entonces, es fundamental seguir desarrollando estas capacidades en los estudiantes para seguir educando la mente, pues con la agudeza del razonamiento en sus diferentes niveles y la concreción en las demostraciones formales o factuales se esta interrelacionando la intuición con la lógica, capacidades fundamentales en los seres humanos que requieren seguir educándose.A manera de aplicación, presentamos la demostración de que sólo existen cinco poliedros regulares el mismo que considera el desarrollo de estas capacidades indicadas necesarias para la vida del hombre.Demuéstrese el teorema, debido probablemente a Teeteto, de que no hay más que cinco sólidos regulares. Libro XIII de los elementos de Euclides.Demostración:- Sea n el número de lados de un polígono.- Sea m el número de caras que concurren en su vértice.- Sabemos que un ángulo interior de un polígono de n lados es:

R in

n

n

n= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ππ2

22

2

Luego que ocurren en un vértice es:

R in

nm

n

nn

n m

∑ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

< =

⇒ −

22

2 22 4

22 2

π π π π( )........

< ⇒⇒ − ⇒ −1

2 2 2 2

n m

m

m n

m

< <

Estándar de Razonamiento y Demostración


– Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de la Matemática.

– Formular e investigar conjeturas matemáticas.

– Desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemáticas.

– Seleccionar y utilizar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración.

WZ_APREN-MATE.DESARROLLO.indd 26WZ_APREN-MATE.DESARROLLO.indd 26 6/11/07 3:14:11 PM6/11/07 3:14:11 PM

27



invirtiendo: m

m

n m

m−⇒

−2 2

2

2> >n ... **( )

pero: 2

22

4

2

m

m m−= +

−...(***)

reemplazando (***) en (**) se tiene: nm

<2 +4

21

−...( )

En la relación (1) cabe la pregunta ¿cuál es el valor máximo de 4

2m −Observe que m sólo puede ser 3, 4 ó 5

Ahora, si m = 3 ⇒ n < 2 + 4 = 6 ⇒ n < 6; para que sea un polígono n sólo puede tomar valores 3, 4, 5.

3.3 La Matemática en la comunicaciónOtra capacidad Matemática fundamental que se debe desarrollar en los estudiantes es la referida al lenguaje matemático, que para nosotros es entendida como comunicación. Entonces, para comunicar contenidos matemáticos es necesario usar un lenguaje adecuado y este es el lenguaje matemático, siempre ayudado de representaciones diversas para su mejor comprensión. En lo posible, se debe tener a la mano lápiz y papel para que esta comunicación sea fructífera. Asimismo, se debe fortalecer la comprensión y dominio del lenguaje matemático básico desde los primeros grados de la educación que, al igual que conocer otro idioma, es necesario para seguir teniendo vigencia en el mundo.A manera de aplicación, presentamos un problema propuesto por Arquímedes que por fortuna lo rescataron en un palimpsesto; donde se considera que las capacidades de comunicación y comprensión son necesarias para el estudiante.

Conforme señala G. Sarton*, el único suceso de la vida de Arquímedes que puede fecharse con certeza es su muerte, a manos de un soldado romano, ocurrida durante el saqueo de Siracusa el año 212 A.C. Se dice que tenía entonces 75 años de edad, por lo que debe de haber nacido hacia el 287 A.C. Arquímedes, en el prólogo de su libro El Arenario, declara ser hijo del astrónomo Fidias. Diodoro de Sicilia (siglo I A.C.) afi rma

Ahora, si n = 3 ⇒ triángulo, si n = 4 ⇒ cuadrado y si n = 5 ⇒ pentágono.

Por otro lado: si mn

n n<

-= +

-2

22

4

2=> ¿Cuál es el valor máximo de

4

2n-?

Para ello n debe tomar valores 3, 4, 5.Si n = 3 ⇒ m < 2 + 4 = 6, para que sea polígono m debe ser 3, 4, 5.

Si m = 3 Tetraedro Exaedro Dodecaedro

Si m = 4 Octaedro no existe no existe

Si m = 5 Icosaedro no existe no existe

Por lo tanto, sólo existen 5 poliedros regulares.

Estándar de Comunicación


– Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación.

– Comunicar su pensamiento matemático con coherencia y claridad a los compañeros, profesores y otras personas.

– Analizar y evaluar las estrategias y el pensamiento matemático de los demás.

– Usar el lenguaje de la Matemática para expresar ideas matemáticas con precisión.


28


Actividad 3


ae

t

r

s

u

ps?

?

que Arquímedes estuvo un cierto tiempo en Egipto, lo cual es muy probable pues Alejandría era en esa época “el centro científi co del mundo” (G. Sarton).

J.L. Heiberg descubrió en 1906, en Constantinopla (Estambul) el texto del Método de Arquímedes, escrito en el siglo X en un pergamino, raspado en el siglo XIII para transcribir un libro de oraciones y liturgia. Afortunadamente Heiberg pudo leer el palimpsesto y sacar a la luz una buena edición que contiene la mayor parte de este notable libro, así como fragmentos de otros escritos de Arquímedes que no están plenamente identifi cados, o que han llegado incompletos hasta nosotros; por ejemplo, a continuación se transcribe parte del problema de las reses.

Mide la cantidad de reses del Sol, oh extranjero, aplicando tu esfuerzo, si participas de la sabiduría...

De las reses pastaban en las llanuras de la isla de Sicilia Trinaquia divididos en cuatro rebaños de colores distintos: el uno blanco como la leche, otro brillando con un color azul, otro amarillo, y otro variado. En cada rebaño había toros potentes en número componiendo esta simetría...Esta es una parte del problema que Arquímedes encontró, y que envió en epigrama a los que estudiaban sobre esto en Alejandría, junto con una carta que escribió para Eratóstenes de Cirene.

1. Demuestren que pi (π) es un número irracional.2. Traduzcan en lenguaje matemático el problema de las reses presentado en el presente fascículo.3. Presenten cinco formas diferentes de demostrar el teorema de Pitágoras.4. Redacten un ensayo en el cual, con palabras sencillas, expliquen por qué pi (π) es un número irracional.

Entreguen el material a sus alumnos y pídanles que a partir de esta lectura escriban un poema sobre el número pi (π).

Aplica las capacidades matemáticas en la resolución de situaciones planteadas, manifestando creatividad.Forma un grupo con tres colegas docentes y presenta la resolución de los siguientes problemas empleando los procedimientos de G. Pólya (comprensión del problema, diseño de estrategia, aplicación de la estrategia diseñada y revisión del proceso seguido):

Al concluir la actividad, compara tus respuestas con las de tus colegas, demostrando tu capacidad para llegar a acuerdos y construir consensos.

1. ¿Cuánto es la suma de los trescientos primeros números naturales? Sugerencia: Aplica la fórmula de Gauss, según la cual la suma de n términos de una progresión aritmética es

igual a la suma del primer término con el último, multiplicada por el número de términos de la progresión,

y dividida entre dos Sn = (a

1+a

n)n

22. ¿Qué letras completan el círculo?

a. a, a b. b, b c. c, c d. d, d e. e, e

Sugerencia: Siga la secuencia de las agujas del reloj.


29

1. Resuelvan el siguiente problema y discutan la importancia de la Matemática en secundaria compartiendo sus puntos de vista.

Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente:

4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeños, 2 ganchos grandes, 14 tornillos.

El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos.

¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?

2. Resuelvan el siguiente problema e identifi quen las capacidades matemáticas que involucre su resolución:

Para hacer un trabajo en casa sobre el medio ambiente, unos estudiantes han recogido información sobre el tiempo de descomposición de varios tipos de basura que la gente desecha:

Un estudiante piensa en cómo representar los resultados mediante un diagrama de barras.

Expliquen por qué no resulta adecuado un diagrama de barras para representar estos datos.

3. Resuelvan el siguiente problema identifi cando y describiendo cada una de las fases presentadas por George Pólya.

La siguiente tabla muestra las tallas de zapato recomendadas en Zelandia para las diferentes longitudes de pie.

El pie de Marina mide 163 mm de longitud. Utilicen la tabla para determinar cuál es la talla de zapatos de Zelandia que Marina debería probarse.

4. EVALUACIÓN

Subescala: CantidadSituación: LaboralCompetencia: ConexionesCapacidad matemática: Comunicación matemática

Desde(en mm)

Hasta(en mm)

Talla de zapato

107 115 18

116 122 19

123 128 20

129 134 21

135 139 22

140 146 23

147 152 24

153 159 25

160 166 26

Desde(en mm)

Hasta(en mm)

Talla de zapato

167 172 27

173 179 28

180 186 29

187 192 30

193 199 31

200 206 32

207 212 33

213 219 34

220 226 35

Tabla de conversión para tallas de zapatos de niños en Zelandia

Subescala: Cambio y relacionesSituación: PersonalCompetencia: ReproducciónCapacidad matemática: Resolución de problemas

Tipo de basuraTiempo de

descomposición

Cáscaras de plátano 1–3 años

Cáscaras de naranja 1–3 años

Cajas de cartón 0,5 años

Chicles 5 años

Periódicos Unos pocos días

Vasos de plástico Más de 100 años

Subescala: IncertidumbreSituación: Científi caCompetencia: Refl exiónCapacidad matemática: Razonamiento y demostración

Reúnanse con sus colegas de área y distribúyanse el trabajo de manera equitativa. Compartan sus soluciones y discutan al respecto.Fuente: Adaptación de: Problemas liberados del proyecto Pisa.


30


Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades

propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este

fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este

fascículo?

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?

Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?

¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


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1. Antón Bozal, J. L.; González Ferreras, E.; Gonzáles García, C.; Llorente Medrano, J.; Montamarta Prieto, G.; Rodríguez Rodrigo, J. A.; Ruiz Jiménez, M. J. Taller de Matemáticas. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. Nancea S.A. de Ediciones, 1994.

Taller de Matemáticas está compuesto por tres fascículos, el primero de ellos trata sobre los objetivos, contenidos y evaluación del taller de Matemática para la Educación Secundaria obligatoria española. Además, tiene una propuesta metodológica, la guía de uso de las actividades del profesor o profesora y las soluciones de todas las actividades propuestas. El segundo fascículo contiene las actividades desarrolladas y en el tercer fascículo se encuentran las actividades referidas a resolución de problemas, juegos de lógica y estrategia. Recomendamos este ejemplar para todas o todos los docentes de educación secundaria.

2. Guzmán, Miguel de. Enseñanza de la ciencia y de la matemática. Zaragoza. Publicaciones del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de Zaragoza, 1989.

Las notas contienen una serie de observaciones personales de Miguel de Guzmán sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática. Se presenta unas cuantas refl exiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente.

3. National Council of Teachers of Mathematics. Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 1990.

Es un libro que ha sido pensado y escrito con la intención de contribuir a la conceptualización teórica y a la organización de la práctica en el trabajo de las o los docentes de Matemática de Educación Secundaria. Proporciona una serie de elementos conceptuales para la Matemática escolar.

4. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y estándares para la educación matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2003.

Es un documento de última generación que todo o toda docente debe tener en su biblioteca personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional.

5. Rico, Luis (coordinador); Castro, Encarnación; Castro, Enrique; Coriat, Moisés; Marín, Antonio; Puig, Luis; Socas, Martín. La educación matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona. Editorial Horsori, 2000.

Constituye un buen documento para el o la docente de Educación Secundaria, presenta ejemplos y aplicaciones prácticas de la vida diaria, y adapta los contenidos matemáticos a la instrucción escolar.

BIBLIOGRAFÍAcomentada


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1. http://www.anep.edu.uy/publicaciones/guias/guia1pdfs/matematica/uni1234.pdf En esta dirección electrónica se pueden encontrar los aspectos didácticos y metodológicos

en la enseñanza de la Matemática.

2. http://www.sectormatematica.cl/articulos/aldeag.htm En esta página web se puede encontrar el interesante artículo: “Enseñar Matemática en

la aldea global”, donde se aborda el tema de la enseñanza matemática en nuestro mundo contemporáneo marcado por la globalización.

3. http://www.educasites.net/matematicas.htm En esta dirección electrónica encontrarás un interesante sitio web diseñado específi camente

para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, dirigido a estudiantes y docentes en general.

4. http://www.labiblio.com/ Contiene colección de enlaces clasifi cados en muchos temas. Contiene una sección dedicada

a la Matemática y otra de apuntes.

5. http://www.xtec.es/~jjareno/index.htm Excelente página en catalán sobre recreaciones matemáticas. Problemas (con pistas y

solución que también están en formato pdf), matemática recreativa, actividades y libros. En las secciones “enlace del mes” y “enlaces anteriores” se analiza páginas de contenido matemático. Feria de la Matemática lúdica (Matemagnum). Actualización constante.

6. http://www.monografi as.com/trabajos40/metodo-matematicas/metodo-matematicas.shtml Esta página web presenta la monografía: “Método de enseñanza de resolución de problemas

en el aprendizaje de la Matemática”. En él, se aborda el método participativo de enseñanza de resolución de problemas en el aprendizaje de la Matemática, a partir del análisis e investigación de los principales conceptos desarrollados a lo largo de la historia por los científi cos matemáticos y uno en especial, el reconocido Miguel de Guzmán, quien en 1991, diseña el esquema e inicia un método participativo utilizando los pequeños grupos en la resolución de problemas matemáticos.

7. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/aprendizaje_matematico.htm El aprendizaje de la Matemática es percibido como central en la sociedad contemporánea,

y esta importancia se refl eja, entre otras cosas, en el número de horas que se le dedica en el currículo escolar, en los textos que existen para su estudio y en la investigación generada en torno a su enseñanza y aprendizaje. En esta dirección electrónica se encontrará un interesante artículo al respecto.

ENLACESweb


Aprendizaje de la Matemática y el Desarrollo de Capacidades

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