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Universitat Autònoma de Barcelona Máster de Iniciación a la Investigación en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias ‘Prácticas e interpretaciones en torno a la argumentación matemática de futuros maestros de educación primaria’ Autor: Genaro de Gamboa Rojas Tutoras: Núria Planas y Mequè Edo BELLATERRA 2009
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Universitat Autònoma de Barcelona
Máster de Iniciación a la Investigación en Didáctica de las
Matemáticas y las Ciencias
‘Prácticas e interpretaciones en torno a la argumentación
matemática de futuros maestros de educación primaria’
Autor: Genaro de Gamboa Rojas
Tutoras: Núria Planas y Mequè Edo
BELLATERRA 2009
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN 3
1.1 Problemática de estudio
1.2 Cuestión de investigación y objetivos
2. MARCO TEÓRICO 5
2.1 La noción de argumentación
2.2 La noción de argumentación matemática
2.3 La argumentación en educación matemática
3. METODOLOGÍA 16
3.1 Enfoque metodológico
3.2 Instrumento
3.3 Recogida de datos
4. ANÁLISIS Y RESULTADOS 26
4.1 Primera fase del análisis
4.2 Segunda fase del análisis
4.3 Resultados
5. CONCLUSIONES 50
5.1. Relevancia del marco teórico
5.2. Conveniencia de la metodología
5.3. Aproximación a la respuesta de la cuestión de investigación
5.4. Implicaciones en la formación inicial de maestros
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 57
ANEXO i
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1. INTRODUCCIÓN
El trabajo „Prácticas e interpretaciones en torno a la argumentación matemática de
futuros maestros de educación primaria‟ forma parte del Máster de Iniciación a la
Investigación en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias de la Universitat
Autònoma de Barcelona. Se trata de un trabajo centrado en la noción de argumentación
matemática y pensado para explorar cómo usan y entienden esta práctica un grupo de
profesores en formación inicial.
1.1 Problemática de estudio
Partimos de una problemática que hemos podido constatar desde la propia experiencia
profesional y también en base a la lectura distintos estudios que comentamos en la
sección de marco teórico. Formulamos la problemática del siguiente modo:
Consideramos de especial importancia esta problemática ya que además de tener interés
desde el punto de vista de la investigación en didáctica de las matemáticas, y desde la
formación inicial de maestros tiene una importante relevancia social. Los currículos
educativos señalan como un objetivo de la educación formar ciudadanos críticos y
reflexivos, comprometidos y capaces de razonar. Para conseguir este objetivo
consideramos esencial un aprendizaje en el que se trabajen practicas argumentativas,
dónde se aprenda, en el caso de las matemáticas a reconocer argumentos válidos, a
desarrollar un razonamiento analítico que permita a los alumnos acabar la formación
escolar habiendo adquirido capacidades de tipo argumentativo que les sirvan para
continuar con la educación superior o para insertarse en el mundo laboral.
Además afirmamos que las competencias argumentativas son necesarias para un buen
desempeño en contenidos matemáticos, en los que conocimientos se adquieran de forma
razonada y justificada, y los alumnos tomen conciencia de los razonamientos y manejen
los mecanismos de prueba y validación propios de las matemáticas.
De esta manera consideramos importante dirigir la investigación a las prácticas
argumentativas de los propios profesores y dentro de este colectivo los futuros maestros
de educción primaria, ya que consideramos que el trabajo en relación a la
argumentación se debe hacer desde los primeros cursos.
1.2 Cuestión de investigación y objetivos
La problemática expresada en el apartado anterior nos lleva a considerar una cuestión
principal de investigación, que enunciamos brevemente del siguiente modo:
Muchos alumnos tienen importantes dificultades en el desarrollo de
argumentaciones matemáticas durante su proceso de aprendizaje. Aunque las
causas de esta dificultad sean muchas, tiene sentido pensar que algunas se ven
reforzadas por las posibles dificultades de argumentación que, a su vez,
experimentan muchos maestros de matemáticas. De acuerdo con este supuesto,
planteamos una investigación enfocada a explorar las prácticas e interpretaciones
en torno a la argumentación matemática en un grupo de maestros en formación.
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Para comprender esta cuestión, la noción de práctica argumentativa en matemáticas es
fundamental. Esta noción se define y detalla en el marco teórico. Avanzamos, sin
embargo, que usamos la definición de Homero (2007). Este autor entiende por práctica
argumentativa el conjunto de acciones y razonamientos que un individuo pone en juego
para justificar o explicar un resultado o para validar una conjetura nacida en el proceso
de resolución de un problema.
En cuánto a las nociones de argumentación y argumentación matemática que se detallan
en el marco teórico, avanzamos que tomamos como esquema argumentativo el
propuesto por Toulmin (2007) y particularizamos el estudio de la argumentación
matemática en base a la propuesta de argumentación heurística de Duval (1999).
Contamos entonces con las definiciones de argumentación, argumentación matemática y
práctica argumentativa para, en base a ellas, estudiar por un lado las prácticas de los
futuros maestros y por otro la conceptualización que hacen de la argumentación
matemática y la relación que guarda con la argumentación en un sentido amplio.
En el proceso de concreción empírica de esta cuestión, planteamos dos objetivos
principales, que son los siguientes:
El primero de los objetivos se refiere a la identificación de prácticas de argumentación
matemática en el caso de la resolución escrita de actividades propuestas a los maestros
en formación por medio de un cuestionario. El segundo de los objetivos compara las
interpretaciones sobre la práctica argumentativa con la intención de examinar hasta qué
punto son diferentes las maneras en que los maestros conceptualizan dicha noción.
El tipo de resultados que esperamos obtener hacen referencia tanto a las prácticas
argumentativas en si mismas como a las interpretaciones que diferentes personas con
una cierta formación matemática pueden haber construido en torno a ellas. Estos
resultados se han organizado en tablas que siguen los criterios de análisis utilizados para
la elaboración del cuestionario, como se puede ver en la sección de metodología y en los
ejemplos de análisis. Una vez construidas las tablas se realizó un análisis a cada alumno
para cada objetivo y posteriormente se relacionó cada aspecto que se consideró
relevante con cada alumno con el objeto de establecer la presencia de cada rasgo
relévate y su relación con los demás.
No pretendemos con este trabajo hacer un análisis exhaustivo de las prácticas
argumentativas de los futuros maestros, sino aproximarnos a estas prácticas al tiempo
que indagar acerca de sus interpretaciones en torno a la argumentación matemática.
¿Cuáles son las prácticas e interpretaciones en torno a la argumentación
matemática de un grupo de futuros maestros de educación primaria?
1. Identificar prácticas de argumentación en la resolución escrita de actividades
matemáticas.
2. Explorar la diversidad de interpretaciones de los futuros maestros sobre la
noción de argumentación matemática.
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2. MARCO TEÓRICO
Este capítulo se organiza en torno a tres ejes. El primero corresponde a la noción de
argumentación en un sentido amplio, mientras que el segundo concreta esta noción en
casos de práctica matemática. Puesto que nuestra investigación es de tipo didáctico,
incluimos un tercer eje que trata la noción de argumentación matemática desde la
perspectiva de los estudios en educación del área de matemáticas.
2.1 La noción de argumentación
En este apartado se presentan distintas formas de conceptualizar la argumentación en un
intento de conseguir una definición de argumentación matemática que sea coherente con
los objetivos de la investigación. Aunque la finalidad última del marco teórico es
precisamente concretar la noción de argumentación matemática, empezamos con la
noción base de argumentación, que ha dado lugar a numerosos estudios en nuestra área
de conocimiento y áreas afines.
En un sentido amplio se partirá de la definición dada por Sardà (2003, p 123), “La
argumentación es una actividad social, intelectual y verbal que sirve para justificar o
refutar una opinión, y que consiste en hacer declaraciones teniendo en cuenta al
receptor y la finalidad con la cual se emiten. Para argumentar hace falta elegir entre
diferentes opciones o explicaciones y razonar los criterios que permiten evaluar como
más adecuada la opción elegida.” De acuerdo con esta definición, se entenderá
entonces la argumentación como un discurso dirigido a un receptor cuya finalidad será
justificar una opinión partiendo de hechos, datos o explicaciones y razonando los
criterios en base a los cuales se establece como adecuada la opción elegida. De esta
manera, el concepto de argumentación se presenta estrechamente ligado a los conceptos
de justificación y explicación y en consecuencia se debe establecer la relación que
guarda la argumentación con dichos conceptos.
Tomando la definición de justificación de Jorba (1998, p 81), se tiene que “justificar es
producir razones o argumentos, establecer relaciones entre ellos y examinar su
aceptabilidad con la finalidad de modificar el valor epistémico de una tesis en relación
al corpus de conocimientos en que se incluyen los contenidos objeto de la tesis”. La
argumentación por tanto representa el corazón mismo de la justificación. Es
especialmente relevante el proceso que sigue la justificación en términos de la
argumentación:
-Producir razones o argumentos
-Establecer relaciones entre razones y argumentos
-Examinar su aceptabilidad en relación al modelo teórico de referencia
Además de la producción de argumentos se resalta el examen de aceptabilidad de los
argumentos en base al marco teórico de referencia. En este trabajo se considerará tal
examen de aceptabilidad como parte inherente de la argumentación, es decir, el examen
de aceptabilidad es un criterio de calidad en términos argumentativos, completando el
proceso argumentativo y proporcionándole validez. Argumentar, entonces, se entenderá
como parte esencial de la justificación, y el paso de una a otra se dará dependiendo del
examen de aceptabilidad al que se sometan los argumentos.
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Por otro lado, en la primera definición que tomamos de argumentación aparecía el
concepto de explicación, relacionados ambos de forma que para argumentar hace falta
elegir entre distintas opciones o explicaciones. Según el Diccionario de la RAE:
“Explicar es declarar o exponer cualquier materia, doctrina o texto difícil con palabras
muy claras para hacerlos más perceptibles”. Veamos entonces más detenidamente esta
primera relación partiendo de la definición de Ribas (2003, p 151) de exponer (que a
efectos de este marco teórico será explicar) según la cual “exponer es organizar la
información a partir de unas relaciones lógicas entre las unidades que la constituyen,
de manera que aparece como un razonamiento que conduce de una premisa a una
conclusión.” Aunque no aparezca mención alguna a la argumentación, consideramos
inherente a la argumentación el paso razonado de una premisa a una conclusión, es
decir, tal paso razonado es lo que consideraremos como unidad mínima en una
argumentación. Por lo tanto el esquema básico de la explicación es también el germen
de la argumentación, siendo las razones que fundamentan el paso de premisa a
conclusión las que determinan la argumentación. Partimos entonces de una primera
relación entre los tres conceptos, tal y como muestra la Figura 1.
Mediante examen de aceptabilidad
Tiene como objetivo
Es base para
Figura 1. Esquema de relación Justificación-Argumentación-Explicación.
Las relaciones que se establecen entre los tres conceptos han sido estudiadas por Duval
(1999), quien en su obra Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura
cognitiva? explora y analiza dichas relaciones. A pesar de que Duval es un investigador
reputado en Didáctica de las Matemáticas, la obra que mencionamos va más allá de las
consideraciones sobre la argumentación matemática para tratar, entre otras, la noción de
argumentación desde un punto de vista más general.
La relación principal entre argumentación y justificación es la de la finalidad misma de
la argumentación, que se produce con objeto de justificar una afirmación o tesis.
Coincidiendo con el planteamiento anterior separa el proceso justificativo en dos partes
esenciales: la producción de argumentos y el examen de aceptabilidad de los
JUSTIFICACIÓN
ARGUMENTACIÓN
EXPLICACIÓN
Premisa Conclusión
Razones
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argumentos producidos. Se deben entonces caracterizar estas dos partes para poder
caracterizar la argumentación y su relación con la justificación.
La producción de razones, sostiene Duval, se produce como respuesta a preguntas de re,
es decir preguntas del tipo ¿Por qué ocurre......? y de dicto del tipo ¿Por qué afirmas
que...?, ¿Por qué respondes que....?. En el caso de las preguntas de dicto es necesaria la
producción de argumentos mientras que las preguntas de re requieren de una
explicación.
En el desarrollo de una argumentación que vaya dirigida a la justificación no es
suficiente con una mera producción de argumentos, sino que hace falta someterlos a un
examen de aceptabilidad. Los criterios que utiliza Duval para aceptar o no un argumento
son el de pertinencia y el de fuerza. Como pertinencia del argumento se entiende la
relación entre los contenidos de la afirmación y del argumento que la justifica, es decir
los contenidos semánticos deben sobreponerse. La fuerza de un argumento depende de
dos factores. Por un lado la resistencia que presente a contra-argumentos, es decir, que
no tenga réplica, por otro lado debe tener un valor epistémico positivo, esto es ser
evidente, necesario, auténtico. Un argumento que cumpla estas dos condiciones será un
argumento fuerte.
Queda entonces bien establecida la relación entre argumentación y justificación, la
argumentación es un discurso cuyo objetivo es justificar una opinión razonando los
criterios que permiten evaluar como más adecuada la opción elegida, pero para que se
llegue a dar una justificación tiene que existir un examen de la aceptabilidad de los
argumentos en base a los dos criterios de pertinencia y de fuerza. Esta relación se
muestra en la Figura 2.
Argumentación
Examen de aceptabilidad
Justificación
Basado en:
-Pertinencia
-Fuerza
Figura 2. Relación argumentación-justificación.
En cuanto a la relación entre argumentación y explicación, Duval se centra en el estudio
de la heterogeneidad entre explicación y razonamiento. Situándose en la actividad de
justificar y en su separación entre producción de razones y el examen de aceptabilidad
al que se someten, este autor sostiene que la producción de argumentos depende de la
explicación mientras que el examen de aceptabilidad depende del razonamiento: “La
explicación da una o más razones para volver comprensible un dato.[...]Las razones
tienen una función descriptiva, presentan el sistema de relaciones en cuyo seno el dato
a explicar se produce. Como en toda descripción el valor epistémico de las razones
enunciadas no tiene papel. […] El razonamiento da también una o dos razones, pero el
papel de las razones dadas es muy diferente, es el de comunicar su fuerza de argumento
a las afirmaciones que se deben justificar.” (Duval, 1999, p 11).
La argumentación y la explicación comparten, por tanto, el esquema básico de paso de
un premisa a una conclusión, pero se diferencian en las razones que validan este paso,
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siendo en la argumentación donde las razones comunican su fuerza a las afirmaciones,
convirtiéndolas en argumentos y convirtiendo la proposición inicial en conclusión, tal y
como muestra la figura 3.
Las razones trasladan la fuerza a las
afirmaciones, dándoles el estatus de
argumento
Las razones tienen un papel descriptivo
Figura 3. Relación argumentación-explicación.
Una vez caracterizada la argumentación y establecidas sus relaciones principales con los
conceptos de explicación y justificación establecemos otros rasgos que consideramos
importantes para definir la argumentación en el marco de este trabajo. Es importante
caracterizar rasgos distintivos entre un dialogo argumentativo y un monologo
argumentativo, que será estudio de este trabajo.
Plantin (1998), en su tratado La argumentación, distingue entre diálogo argumentativo y
monólogo argumentativo. En el diálogo argumentativo presenta una serie de estadios o
etapas. La primera es la proposición, en la que el hablante produce un discurso mínimo
expresando un punto de vista. El segundo estadio se da cuando aparece una oposición
por parte del interlocutor y es necesario para que se produzca la argumentación: “Sólo
hay argumentación si hay desacuerdo sobre una posición, es decir, confrontación entre
un discurso y un contradiscurso” (Plantin, 1998, p. 35). Una vez se produce este
choque de opiniones nos encontramos en el tercer estadio, se establece el tema de
debate, el problema. El cuarto estadio es el de los argumentos, establecido el debate el
proponente debe proporcionar un conjunto de datos que justifiquen la proposición
inicial, pero para que se dé tal justificación, el proponente proporciona una ley que
fundamente el paso de esos datos a la proposición inicial: “Los datos al apoyarse sobre
una ley de paso adecuada, adquieren el estatus de argumento y la proposición el
estatus de conclusión” (Plantin, op. cit., p. 37).
En el caso del monólogo, que es el que nos ocupa, el proceso se simplifica en su
presentación básica, pues aunque en un monólogo argumentativo se pueden dar los
estadios anteriores, también puede haber una unidad básica, como muestra la figura 5,
pasando de una premisa a una conclusión esgrimiendo al menos una razón que lo valide
y suprimiendo entonces todos los demás estadios.
Premisa Conclusión
Ley de paso
Figura 4. Esquema argumentativo mínimo según Plantin (1998)
Premisa Conclusión
Argumentación
Explicación
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En base al esquema dado en la Figura 4, se estudiará la argumentación en este trabajo
tomándola como la unidad discursiva mínima que consideraremos como argumentación.
Una vez establecida esta unidad mínima, debemos contar con un marco más general que
contemple otras casuísticas en el discurso argumentativo. Por ello, utilizaremos el
esquema de Toulmin (2007), aunque usando la presentación que hace Plantin (1998)
con objeto de no repetirnos en la terminología con respecto a la justificación (Figura 5).
Premisa Cualificador modal Conclusión
o datos
a menos que R,
Ley de paso o justificación R: reserva o refutación
Garantía o fundamentación
Figura 5. Esquema argumentativo de Toulmin, en la presentación de Plantin.
A continuación se describen los términos que aparecen en la Figura 5:
- Premisas o datos: son los hechos o informaciones que se invocan para justificar y
validar la afirmación y, por conclusión, la tesis que se establece.
- Conclusión: es la tesis que se establece.
- Ley de paso o justificación: son las razones que se proponen para justificar las
conexiones entre los datos y la conclusión.
- Garantía o fundamentación: es el conocimiento básico que permite asegurar la
justificación.
- Calificadores modales: son la fuerza que la justificación confiere a la
argumentación. Aportan un comentario implícito de la justificación.
- Reserva o refutación: son las circunstancias en que las justificaciones no son ciertas.
Se entenderá entonces la argumentación en el contexto de este trabajo como todo
discurso que se puede analizar en términos del esquema de la Figura 5, siendo el
esquema mínimo argumentativo el presentado en el esquema de la Figura 4.
2.2. La noción de argumentación matemática
El esquema propuesto por Toulmin (2007) proporciona una herramienta potente para
analizar la argumentación desde una perspectiva formal. Además nos interesa el
contexto matemático en el que se produce la argumentación, pues contamos con un
cuerpo bien establecido de definiciones y teoremas que condicionan el proceso de la
argumentación. Nos encontramos entonces con un tipo de argumentaciones que cuenta
con una base teórica en un campo particular de conocimiento frente a las
argumentaciones que no se pueden inscribir a un campo normado de conocimiento.
En el estudio de esta diferenciación nos apoyamos en la propuesta de Duval (1999) que
plantea por un lado la argumentación retórica y por otro la heurística. La diferencia
fundamental que propone es la organización teórica del campo de conocimiento en el
que se produzca la argumentación. Mientras que en la argumentación retórica las
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proposiciones tienen valor por su contenido, como habíamos dicho antes, en el caso de
las argumentaciones heurísticas existe una organización teórica que da un valor
epistémico a tales proposiciones según su posición y el uso correcto que marca su
organización teórica. Tal es el caso de la argumentación en matemáticas, pues
disponemos de una red bien establecida de definiciones, lemas, proposiciones y
teoremas que permiten avanzar en los razonamientos mediante la regla de implicación
(esquema de la Figura 6). Además, utilizar el cuerpo teórico de las matemáticas implica
un uso correcto del mismo como término medio (tal como se muestra en la Figura 6).
Así “una argumentación heurística requiere la capacidad de comprender o de producir
una relación de justificación entre proposiciones, que sea de naturaleza deductiva y no
sólo de naturaleza semántica [...] La argumentación heurística presupone la
comprensión del funcionamiento de un razonamiento válido y de lo que significa una
demostración.” (Duval, op. cit., p. 30).
TÉRMINO MEDIO
Implicación
PREMISAS CONCLUSIÓN
Figura 6. Esquema para el razonamiento deductivo
En el esquema anterior, las premisas se sobreponen con las condiciones del término
medio. El término medio establece que cumplidas las condiciones se da una
consecuencia que se sobrepone a su vez a la conclusión. Las premisas son datos o
hipótesis, el término medio es parte de un cuerpo determinado de definiciones y
teoremas que implica necesariamente como consecuencia la conclusión, sin importar la
interpretación del contenido de las premisas o la conclusión.
La diferencia básica que consideramos entre argumentación y demostración es que
mientras que la argumentación se constituye en términos de pertinencia, la demostración
lo hace en términos de validez (razonamiento lógico válido). La demostración busca una
conclusión lógica, una verdad, y la argumentación busca una conclusión creíble, el
convencimiento. En matemáticas, la distancia cognitiva entre argumentación y
demostración es muy débil, y como plantea Duval “se trata de evitar la equivocación,
no se debe tomar una argumentación como una demostración y viceversa”. (Duval,
1999, p. 15).
Consideramos entonces como matemática a una argumentación según las definiciones
del apartado anterior, que se desarrolla dentro de la actividad matemática y en la que la
[A,B],[B,C],[C,A] forman un triángulo
[A,B],[B,C],[C,A] tienen la misma longitud
Si [A,B],[B,C],[C,A] forman un triángulo y
son de la misma longitud el triángulo será
equilátero
[A,B],[B,C],[C,A] forman un
triángulo equilátero
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ley de paso se apoya en elementos del conocimiento matemático en el sentido de la
argumentación heurística.
Situándonos en la actividad matemática escolar, conviene detectar el tipo de actividad o
discurso que se pueda considerar argumentativo y al cuál se le puedan aplicar los
esquemas argumentativos presentados en las Figuras 4 y 5. A este tipo de actividad la
definimos como práctica argumentativa según la definición propuesta por Homero
(2007, p. 71): “por práctica argumentativa entenderemos el conjunto de acciones y
razonamientos que un individuo pone en juego para justificar o explicar un resultado o
para validar una conjetura nacida durante el proceso de resolución de un problema”.
Conviene resaltar que identificar prácticas argumentativas no implica necesariamente
que exista argumentación en ellas, sino que son las prácticas que analizamos para
establecer la presencia o ausencia de la argumentación tal y como se definieron en el
apartado anterior los conceptos de argumentación, explicación y justificación.
2.3. La argumentación en educación matemática
El desarrollo de distintas habilidades relativas al razonamiento, la demostración, la
argumentación o la reflexión tiene una presencia importante en los desarrollos
curriculares del área de matemáticas en muchos países. Se hace creciente una
preocupación por formar ciudadanos críticos, reflexivos y capaces de razonar, y para
ello juega un papel esencial la enseñanza de las matemáticas, ya que propicia el
desarrollo de habilidades tales como el razonamiento o la demostración, al tiempo que
se relacionan los conceptos matemáticos con situaciones de la vida cotidiana.
Tomamos como referencia en el contexto de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas dos fuentes que reflejan bien la importancia de la argumentación y el
razonamiento en las matemáticas escolares, y que son especialmente interesantes debido
tanto a su relevancia internacional como a su reflejo de los diseños curriculares en
muchos países, como son los casos del modelo español y del catalán. Las dos fuentes de
referencia son los proyectos internacionales PISA (2003, 2006) y los trabajos de la
asociación de Estados Unidos de América NCTM, con el desarrollo de principios y
estándares para la educación matemática (NCTM, 2003).
El marco de evaluación PISA plantea un área de evaluación que hace referencia a la
capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando
plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas
situaciones. Los problemas que utilizan para la evaluación son problemas del mundo
real, refiriéndose con ello a situaciones de la vida cotidiana en las que los individuos
deben hacer frente a situaciones variadas para las cuáles el empleo de distintas
capacidades matemáticas contribuye a aclarar, formular y resolver problemas. Para
realizar un uso adecuado de dichas capacidades matemáticas no basta con poseer los
conocimientos del currículo de matemáticas, sino que también es necesario poseer la
capacidad de aplicar dichos conocimientos a contextos menos estructurados que los que
se suelen trabajar en las aulas o los libros de texto, de manera que se debe elegir la
herramienta matemática y la forma de aplicarla con objeto de resolver un problema.
En PISA (2003) se define la competencia matemática como “una capacidad del
individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el
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mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma
que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos
constructivos, comprometidos y reflexivos”. Esta definición abarca varios aspectos. Para
identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo es
necesario poseer conocimientos y habilidades matemáticas, pero además es necesario
entender el funcionamiento de dichos conocimientos dentro de las matemáticas y ser
capaz de utilizarlos correctamente para enfrentarse a distintos problemas del mundo
físico, social y mental. Por otro lado para emitir juicios fundados es necesaria una
capacidad de razonamiento y argumentación, presente en el concepto de competencia
matemática.
Uno de los aspectos esenciales de la competencia matemática es la habilidad para
plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemáticas en una variedad de
situaciones y contextos. En este proceso de plantear, formular, interpretar y en última
instancia resolver un problema, la argumentación juega un papel esencial. En cada uno
de los pasos es necesario elegir con criterio entre distintas opciones, justificándolas y
avanzando en el razonamiento pasando de premisas a conclusiones, es decir usando
esquemas argumentativos en el proceso resolutivo.
La definición que hace PISA de competencia matemática concuerda con los principales
estudios sobre competencia de Niss (2002), en relación al uso que las personas hacen
del lenguaje, es decir, al conocimiento amplio de los recursos de una lengua y la
habilidad para aplicarlos en una gran variedad de funciones sociales. Así, considerando
las matemáticas como un lenguaje, poseer competencia matemática comporta el
conocimiento de los rasgos estructurales presentes en el discurso matemático así como
la capacidad de utilizar tales conceptos para resolver problemas en contextos variados.
Luego poseer competencia matemática conlleva asimismo un importante uso de la
argumentación matemática, desarrollando razonamientos en la resolución de problemas
reales mediante las matemáticas que respeten el funcionamiento propio de las
matemáticas y lo utilicen como garantía en el paso de premisas a conclusiones.
En el estudio que plantea PISA de las capacidades de los alumnos para analizar, razonar
y comunicar ideas matemáticas de forma efectiva al plantear, resolver e interpretar
problemas matemáticos, se introduce el concepto de matematización, basado en la
noción de “matematización progresiva” de la corriente realista (De Lange, 1996), que se
refiere al proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver con matemáticas
los problemas de la vida real.
La matematización progresiva consiste en un ciclo que consta de varios pasos. El
primero es pasar del problema real a un problema matemático, para lo cual se deben
desarrollar ciertas operaciones tales como identificar los elementos matemáticos del
problema, representar el problema de una manera distinta, comprender las relaciones
existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje matemático, encontrar
regularidades y patrones, reconocer similitudes con otros problemas ya conocidos y
finalmente traducir el problema a términos matemáticos.
Una vez el alumno ha traducido el problema a una forma matemática, el proceso
continúa hacia la resolución del problema en términos matemáticos. Utilizando el
conjunto de habilidades matemáticas ya adquiridas, el alumno tratará de desarrollar el
modelo del problema, adaptándolo, estableciendo regularidades e identificando
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conexiones, de forma que se creen buenas argumentaciones matemáticas en la
resolución del problema matemático.
Finalmente, para resolver el problema inicial se debe reflexionar sobre el proceso que se
ha seguido, con objeto de interpretar los resultados y validarlos en el contexto real. Parte
esencial de esta reflexión y validación final es tener conciencia de las argumentaciones
matemáticas utilizadas para la explicación y justificación de los resultados obtenidos.
Consideramos relevante esta parte del proceso de resolución pues puede ser
especialmente rica en prácticas argumentativas y, junto con el paso anterior, evidencia
la importancia de la argumentación en la resolución de problemas.
Para realizar satisfactoriamente el proceso de matematización, es necesario poseer un
conjunto de capacidades que permitan llevar dicho proceso a buen puerto. Así, PISA
(2003, 2006) divide todas estas capacidades en ocho capacidades básicas, en la misma
línea que las formulan distintos autores, particularmente Niss (2002). De estas ocho
capacidades, nos interesan dos por su relación con el trabajo.
En relación con la capacidad de pensamiento y razonamiento, se plantean preguntas
características de las matemáticas, tales como “¿Hay?”, “En tal caso, ¿cuántos?”, o
“¿Cómo puedo hallar?”; se trata de conocer los tipos de respuesta que las matemáticas
ofrecen a esas preguntas, distinguir entre tipos de asertos (definiciones, teoremas,
conjeturas, hipótesis, ejemplos, afirmaciones condicionales); y comprender y saber
manejar el alcance y los límites de los conceptos matemáticos.
En relación con la capacidad de argumentación, se tiene en cuenta entender en qué
consisten las pruebas matemáticas y qué las diferencia de otro tipo de razonamientos
matemáticos, además de seguir y evaluar cadenas de argumentaciones matemáticas de
distintos tipos, tener un sentido heurístico (“¿Qué puede o no puede suceder y por
qué?”), así como crear y expresar argumentaciones matemáticas.
Las ocho capacidades básicas se refieren a distintos tipos de actividades cognitivas, por
lo que PISA propone tres grupos de capacidades: reproducción, conexiones y reflexión.
Para cada grupo, cada capacidad básica toma una forma particular relacionada con el
carácter del grupo.
En el grupo de reproducción, las capacidades se presentan básicamente desde el punto
de vista de la reproducción de conocimiento ya adquirido y practicado. El caso de la
capacidad de pensamiento y razonamiento comporta el planteamiento de preguntas en
su forma más básica, así como la comprensión del correspondiente tipo de respuesta,
además de distinguir entre definiciones y asertos así como comprender y manejar
conceptos matemáticos en el mismo tipo de contexto que se presentaron por primera
vez. Para la argumentación, implica seguir y justificar procesos cuantitativos estándar,
incluidos los procesos de cálculo con sus exposiciones y resultados.
En el grupo de conexiones, se abordan problemas cuyas situaciones no son rutinarias.
La capacidad de pensamiento y razonamiento comporta plantear preguntas (“¿Cómo
hallamos?”, “¿Qué procedimiento matemático implica?”), y comprender sus tipos de
respuesta (gráficos, álgebra, tablas), distinguiendo entre definiciones y afirmaciones, y
entiendo y manejando conceptos matemáticos en contextos que difieran ligeramente de
aquellos en que se introdujeron. La capacidad de argumentación comporta emplear
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razonamientos matemáticos sencillos sin distinguir entre pruebas y otras formas de
argumentación o razonamiento de mayor alcance, evaluando cadenas de argumentos
matemáticos de distinto tipo y poseyendo un sentido de la heurística.
En el grupo de reflexión, el alumno reflexiona sobre los elementos que se necesitan o se
emplean para resolver un problema. La capacidad de pensamiento y razonamiento
implica plantear una serie de preguntas (“¿Qué procedimiento matemático implica?”,
“¿Cuáles son los aspectos esenciales del problema?”) y comprender los tipos de
respuesta correspondientes; distinguir entre definiciones, teoremas, conjeturas,
hipótesis, ejemplos y asertos, así como articular de forma activa dichas distinciones o
reflexionar sobre ellas y comprender y manejar conceptos matemáticos en contextos
nuevos y complejos. La argumentación implica llevar a cabo razonamientos
matemáticos sencillos, entre los que se incluye la distinción entre las pruebas, el proceso
de probación y otras formas de argumentación y razonamiento de mayor amplitud, así
como seguir y evaluar cadenas de argumentaciones matemáticas de distintos tipos y
tener un sentido heurístico (“¿Qué puede o no puede suceder y por qué?”).
La relevante presencia de la argumentación en el marco de evaluación PISA evidencia
la importancia que el desarrollo de capacidades relacionadas con la argumentación tiene
en el proceso de enseñanza de las matemáticas, siendo un objetivo esencial en la
formación escolar.
En los principios y estándares para las matemáticas escolares (NCTM, 2003) se
presentan explícitamente las capacidades que deberían poseer los alumnos al término de
la escuela secundaria en el campo del razonamiento y la demostración. Se asume que
razonar y pensar analíticamente capacita a los individuos para percibir patrones y
regularidades, así como evaluar la accidentalidad del patrón o por el contrario conjeturar
y demostrar que el patrón existe; en este marco, la demostración es una expresión
formal de tipos particulares de razonamiento y justificación. Aunque los principios se
centren en la demostración matemática, lo hacen relacionándola estrechamente con la
argumentación matemática. Se afirma que para entender las matemáticas es esencial ser
capaz de razonar, pues en todos los contenidos y niveles los alumnos deberían constatar
que las matemáticas tienen sentido mediante el desarrollo de ideas y conjeturas
matemáticas, la exploración de fenómenos y la justificación de resultados.
El proceso de razonamiento y demostración se divide en cuatro aspectos comunes a
todos los niveles de la enseñanza escolar: reconocer el razonamiento y la demostración
como aspectos fundamentales de las matemáticas; formular e investigar conjeturas
matemáticas; desarrollar y evaluar argumentos matemáticos y demostraciones; elegir y
utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración.
Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las
matemáticas, implica que los alumnos comprendan que en matemáticas hay que razonar
las afirmaciones que se hagan, y que distingan los argumentos que son aceptables y
adecuados en un contexto matemático. Los alumnos deben adquirir la competencia de
buscar y encontrar las razones por las cuáles pasan cosas matemáticamente interesantes.
El desarrollo de esta capacidad va de la mano de la argumentación matemática, pues
tiene como objetivo que los alumnos reconozcan los argumentos válidos en un contexto
matemático y que además los distingan de los que no son adecuados o pertinentes en la
actividad matemática.
15
Con formular e investigar conjeturas matemáticas, el NCTM (2003) se refiere a que los
alumnos deben ser capaces al final de la educación secundaria de formular conjeturas y
validarlas o refutarlas en base a sus conocimientos de matemáticas. Se afirma que las
matemáticas implican descubrir, para lo cual la conjetura es el principal camino. En el
proceso de validación o refutación de una conjetura en matemáticas es esencial un uso
adecuado de la argumentación matemática, ya que se deben concluir resultados y
justificarlos mediante argumentos adecuados en el contexto matemático.
El desarrollo y la evaluación de argumentos matemáticos y demostraciones se
relacionan con la respuesta a la pregunta “¿Por qué funciona esto?”. Este objetivo se
debe trabajar en todos los niveles, esperando que los alumnos adquieran la habilidad de
argumentar el porqué de distintas situaciones en matemáticas. Con el paso de los años
se espera que los alumnos sean capaces de construir cadenas de razonamientos, cada vez
más complejas y que proporcionen argumentos matemáticos para al final de su
formación escolar ser capaces de presentar por escrito sus argumentos, de una forma
aceptable para los matemáticos profesionales.
Elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración se relaciona
con que los alumnos adquieran curso tras curso una capacidad de razonamiento,
argumentación y demostración cada vez más elevada y más propia de las matemáticas,
al tiempo que se potencien distintos tipos de razonamiento según el campo de las
matemáticas en que nos encontremos (algebraico, geométrico, probabilístico, etc.). Es
deseable el desarrollo en la clase de matemáticas de la capacidad de construir
argumentos matemáticos de distintos tipos y que se haga desde una edad temprana.
En concordancia con la filosofía del NCTM (2003), sostenemos que los cuatro procesos
anteriores se pueden y se deben trabajar en el aula de matemáticas en todos los niveles,
por lo que el desarrollo de la capacidad argumentativa debe estar presente en la
educación matemática desde las primeras edades. Es responsabilidad del profesor guiar
a los alumnos desde los primeros cursos a construir razonamientos matemáticos, y que
dicho trabajo siga siendo estimulado durante todo el periodo de formación escolar.
16
3. METODOLOGÍA
Este capítulo consta de tres partes. La primera de ellas presenta el enfoque
metodológico de la investigación junto con la población objeto del estudio. La segunda
está dedicada al instrumento, su construcción y su justificación, mientras que la tercera
trata del proceso de recogida de datos, su planificación y su puesta en práctica.
3.1 Enfoque metodológico
La investigación tiene objetivos de carácter exploratorio en torno a la práctica de la
argumentación matemática. Buscamos información acerca del papel que juega la
argumentación para futuros maestros de primaria de acuerdo con dos líneas principales
de trabajo. Teniendo en cuenta el primer objetivo -Identificar prácticas de
argumentación en la resolución escrita de actividades matemáticas-, pretendemos iniciar
el estudio del uso y reconocimiento de la argumentación en la resolución de actividades
matemáticas y la presencia de la argumentación en cuestiones construidas por los
propios maestros. Teniendo en cuenta el segundo objetivo -Explorar la diversidad de
interpretaciones de los maestros sobre la noción de argumentación matemática-,
pretendemos iniciar el estudio de las perspectivas de los maestros en formación sobre la
argumentación matemática.
Para extraer información relativa a nuestros dos objetivos, seguiremos un enfoque de
tipo cualitativo, siguiendo el paradigma descriptivo-interpretativo, ya que nos interesa
establecer un conjunto de prácticas y percepciones sobre la argumentación de cada
futuro maestro. Buscamos datos que proporcionen información explícita acerca de seis
puntos que introducimos en el instrumento inicial:
En relación con el objetivo 1,
a. Presencia o ausencia de la argumentación en actividades resueltas de
forma escrita por futuros maestros.
b. Reconocimiento por parte de los maestros de prácticas argumentativas en
sus resoluciones anteriores.
c. Presencia o ausencia de la argumentación en cuestiones matemáticas
propuestas por ellos.
En relación con el objetivo 2,
d. Interpretaciones acerca de la importancia de la argumentación
matemática en la actividad matemática global.
e. Interpretaciones acerca de la relación existente entre las prácticas de
argumentación y de argumentación matemática.
f. Interpretaciones acerca de la argumentación matemática.
Atendiendo a los objetivos de la investigación, la población escogida para el estudio es
una clase de alumnos de Matemáticas II, de segundo curso de la Diplomatura en
Magisterio, titulación en Educación Primaria, en la Universitat Autònoma de Barcelona.
Consideramos especialmente interesante que sean alumnos cursando una segunda
asignatura de matemáticas en su formación, ya que dado que queremos obtener
17
información acerca de sus prácticas y percepciones sobre argumentación matemática es
conveniente que estén familiarizados con más conceptos del área de matemáticas que
impliquen la presencia implícita o explícita de esta noción. El instrumento utilizado para recoger los datos es un cuestionario. Este cuestionario se
diseña en base a los seis puntos mencionados, que se plantean como una manera de
responder a los objetivos de la investigación. Dado que tanto los objetivos de la
investigación como la información que persiguen los puntos a-f se dividen en dos
bloques, el instrumento responde también a esta distinción.
Por un lado buscamos información relativa a la práctica de argumentación matemática
en actividades resueltas por los futuros maestros, por lo que necesitamos información
acerca de las resoluciones de las actividades. Consideramos entonces conveniente
diseñar un conjunto de actividades de cuya resolución podamos obtener la información
requerida. Teniendo en cuenta que la población está compuesta por estudiantes
universitarios y que la información que buscamos es relativa a cada sujeto, creemos que
recoger la resolución escrita de los problemas puede dar una información rica acerca de
la utilización de la argumentación no siendo pertinente en esta etapa exploratoria la
grabación en audio o vídeo de talleres de resolución. Como complemento a las
resoluciones nos interesa también estudiar si los estudiantes identifican correctamente la
práctica y si son capaces de proponer cuestiones que impliquen argumentación, por lo
que se hace necesario proponer un cuestionario con preguntas que informen sobre ello.
Por otro lado necesitamos información sobre los puntos d-f, que se refieren a
información explícita acerca de las interpretaciones de los maestros en formación, luego
el instrumento debe buscar dicha información de una forma explícita y clara. Para ello
se considera adecuado construir un cuestionario escrito, ya que la información que se
busca requiere un tiempo de reflexión que otro tipo de técnica como, por ejemplo, la
entrevista no permite. Además la exposición escrita permite una mejor estructuración de
las ideas que se pretenden desarrollar, pues se dispone de más tiempo.
3.1 Instrumento
A continuación, reproducimos el cuestionario íntegramente, y luego comentamos por
qué se diseñó de este modo. El cuestionario consta de dos partes. La primera parte
contiene dos actividades que se espera que los futuros maestros resuelvan. La segunda
parte contiene preguntas sobre las resoluciones anteriores y sobre la propia práctica de
argumentación matemática. En este sentido, la primera parte del cuestionario se elabora
para informar básicamente sobre el primer objetivo, mientras que la segunda parte
incluye cuestiones sobre los dos objetivos.
Primera parte del cuestionario
Tot el que feu i suposeu per a resoldre les activitats cal adjuntar-ho.
Resol la següent activitat.
18
ACTIVITAT 1 (A1)
a. El punt de tall o intersecció de les altures d‟un triangle es coneix com ortocentre.
Creus que l‟ortocentre sempre es troba a l‟interior del triangle? Justifica la teva
resposta.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
b. Explica què creus que passarà amb les altures dels diferents triangles d‟acord amb el
tipus d‟angles.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
c. Què podem concloure sobre les altures de qualsevol triangle?
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
ACTIVITAT 2 (A2)
Posa a cada requadre si és possible, o no, construir un triangle que compleixi les
condicions de fila i columna. En cas que sigui possible, dibuixa‟l.
Acutangle Rectangle Obtusangle
Equilàter
Isòsceles
Escalè
19
Para la construcción de la primera parte del cuestionario, que se refiere a las actividades
que se proponen a los maestros en formación, contamos con una colección de
actividades diseñadas por una de las tutoras del trabajo de investigación, Dra Mequè
Edo, conjuntamente con la Dra Edelmira Badillo. Esta colección está dirigida a alumnos
de primaria, por lo que consideramos que es especialmente útil en cuanto a que nuestra
investigación tiene por objeto a futuros maestros de primaria.
La elección de las actividades se hizo atendiendo al objetivo de identificar prácticas
argumentativas explícitas en su resolución por parte de los alumnos de Matemáticas II.
Pero además de buscar información sobre sus propias prácticas argumentativas, nos
interesa también información posterior sobre el reconocimiento de estas prácticas y la
propuesta de cuestiones que implique una actividad argumentativa. Así, se escogieron
dos actividades con carácter marcadamente distinto con el objeto de tener respuestas
variadas, y ver qué tipos de respuestas interpretaban como argumentaciones.
Se escogieron dos actividades de geometría plana relativas a triángulos, ya que en el
desarrollo curricular de la asignatura Matemáticas II se empezaría después de la
recogida de los datos el tema de geometría plana elemental. En la primera actividad se
define el concepto de ortocentro y a partir de él se proponen tres preguntas en las que se
pide justificar, explicar y concluir aspectos a la situación del ortocentro en relación con
cada tipo de triángulo. En la segunda actividad se pide una clasificación de los
triángulos atendiendo a sus tipos de lados en relación a sus tipos de ángulos,
demandando un ejemplo gráfico de los triángulos que sea posible construir. Se
considera interesante que no se pidan explícitamente argumentaciones sino que se pidan
justificaciones, explicaciones y conclusiones, ya que estando todas relacionadas con la
argumentación las respuestas pueden proporcionar más datos acerca de la idea que
tienen de la argumentación y cómo la relacionan con la justificación y la explicación.
Una vez escogidas las actividades, se nos plantean inconvenientes con respecto a su
versión original, de ahí la adaptación de las mismas depurando las sucesivas versiones
hasta llegar a unas versiones definitivas, según distintos criterios:
-El tiempo para realizar las actividades y responder el cuestionario es limitado,
por lo que resulta inevitable hacer una simplificación de las actividades.
-Las actividades originales están dirigidas a alumnos de primaria, mientras que
nuestra población es un grupo de futuros maestros, con una formación previa
más amplia y con una capacidad de razonamiento abstracto más elevada, por ello
no consideramos necesario hacer una aproximación exhaustiva a los conceptos a
tratar.
-Pretendemos obtener información que responda a los objetivos de la
investigación.
La primera actividad escogida (ver Anexo, Actividad 1-Versión 1) incluía una primera
parte opcional de carácter manipulativo que aunque era muy ilustrativa como forma
introductoria al concepto de ortocentro requería un tiempo para realizarse del cual no
disponíamos. Además no nos pareció necesaria en alumnos de primer ciclo de
educación superior la realización de una actividad manipulativa como introducción a
conceptos de geometría elemental. Las tres preguntas que se proponían en la actividad
eran referidas a la actividad introductoria, por lo que era necesaria una nueva redacción
de las mismas teniendo en cuenta que se presentarían sin hacer ninguna referencia a la
20
actividad manipulativa inicial. La actividad escogida estaba presentada originalmente en
castellano, por lo que se procedió a su traducción al catalán por parte del equipo ya que
la asignatura Matemáticas II se impartía en esta lengua (Anexo, Actividad 1-Versión 2).
Finalmente se consultó con el profesor de la clase objeto del estudio, el Dr Jordi
Deulofeu, acerca de la conveniencia de esta segunda versión, y producto de estas
consideraciones entre investigador, tutoras de la investigación y experto responsable de
la población se llegó a una tercera versión, ya definitiva (Anexo, Actividad 1-Versión
3), en la que se modificaron la segunda y tercera pregunta.
En la segunda versión la segunda pregunta se refería concretamente a triángulos
rectángulos y obtusángulos, pero después de una puesta en común de consideraciones se
decidió que era más adecuado formular la pregunta de manera más general,
refiriéndonos a los diferentes tipos de ángulos, ya que al considerar sólo los casos de
triángulos obtusángulos y rectángulos seguíamos apoyándonos en la actividad
introductoria que habíamos suprimido. La tercera pregunta en la Versión 2 se refería a
el número de alturas de cualquier triángulo, que admitiría como respuesta totalmente
válida que todo triángulo tiene tres alturas. Decidimos entonces cambiar esta pregunta
por otra más general sobre las alturas de cualquier triángulo, dejando a los estudiantes la
elección para concluir acerca de las alturas, justificando su respuesta según el aspecto
que consideraran más oportuno.
La segunda actividad sufrió también cambios con objeto de caracterizarla como
meramente clasificatoria. En su versión original (Anexo, Actividad 2-Versión 1) se
pedía, además de clasificar, justificar qué tipos de triángulos eran posibles según sus
tipos de lados y sus tipos de ángulos y refiriéndose además a una actividad anterior. De
esta manera se modificó el enunciado suprimiendo cualquier referencia a otra actividad
así como cualquier demanda explícita de justificación de cada tipo de construcción y
añadiendo que se diera un ejemplo gráfico en el caso de ser posible. La versión
definitiva, traducida al catalán de la misma forma de la anterior, se puede ver en el
Anexo, Actividad 2-Versión 2.
Después de una revisión global de las actividades por parte del equipo formado por
investigador, tutoras del trabajo de investigación y profesor experto, se validaron las
versiones definitivas (Actividad 1-Versión 3 y Actividad 2-Versión 2 respectivamente)
y se añadió, a modo de presentación, una nota en la que se pedía que se adjuntara todo
el proceso documentado que se había seguido para resolver las dos actividades y
añadiendo una declaración de confidencialidad.
Segunda parte del cuestionario
Continuació de l’ACTIVITAT 1
Q1. Has hagut d‟argumentar durant la resolució de l‟activitat? Quan?
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
21
Q2. Afegeix una pregunta a l‟Activitat 1 que requereixi argumentació i respon-la.
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
Continuació de l’ACTIVITAT 2
Q3. Has hagut d‟argumentar durant la resolució de l‟activitat? Quan?
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
Q4. Afegeix una pregunta a l‟Activitat 2 que requereixi argumentació i respon-la.
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
......................................................................................................................
Q5. Creus que l‟argumentació és important en el desenvolupament del pensament
matemàtic? Per què?
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
Q6. Quina diferència trobes entre l‟argumentació i l‟argumentació matemàtica?
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
Q7. En què consisteix l‟argumentació matemàtica?
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
La construcción de la segunda parte del cuestionario debía responder a los objetivos de
la investigación y a los tipos de datos presentados antes. Como ya se mencionó, esta
parte del cuestionario se dividió a su vez en dos partes, la primera referida a las dos
actividades resueltas anteriormente y la segunda a la concepción que tienen los futuros
maestros de argumentación y argumentación matemática.
El primer bloque del cuestionario debía responder al objetivo de caracterizar
interpretaciones sobre la argumentación matemática. Se pretendía conseguir una
interpretación propia de la presencia o ausencia de la argumentación en las actividades
22
que habían resuelto. Para ello consideramos oportuno hacer una primera pregunta
directa pidiendo si se había tenido que argumentar y cuándo. Esta pregunta nos
proporcionaría información sobre las interpretaciones que hicieran sobre los tipos de
respuesta que habían dado en relación a su utilización de la argumentación. El siguiente
paso era conseguir información relativa al tipo de preguntas que formulan los futuros
maestros cuando pretenden que se les de una respuesta argumentada. Se decidió
entonces que se les pediría que propusieran otra pregunta que requiriese argumentación
con objeto de caracterizar cómo demandarían una actividad argumentativa. De esta
manera conseguiríamos información acerca de cómo argumentan, cómo identifican
practicas argumentativas-concretamente las suyas propias- y cómo proponen preguntas
que requieran a su juicio de la argumentación para responderlas.
Llegados a este punto, consideramos que era importante para completar el mapa de
datos que nos interesaba pedirles que respondieran también a las preguntas que
formulaban, pues dichas respuestas nos darían más información en dos líneas
principales: la concordancia con su propia propuesta de argumentación y por otro lo que
esperarían como respuesta argumentada aceptable a las preguntas que formulan.
Figura 7. Esquema de estudio en torno a la práctica argumentativa.
El gráfico anterior muestra los aspectos que buscamos en relación al objetivo 1 de la
investigación. Empezamos buscando argumentaciones en la resolución de la actividad
para estudiar después la identificación de las prácticas propias y la forma de proponer
cuestiones que impliquen el uso de la argumentación, para terminar analizando textos
que se presupone deberían ser argumentativos según los criterios de los estudiantes, ya
que responden a la cuestión que ellos mismos habían propuesto.
Una vez revisado por parte del equipo investigador junto con el experto responsable del
grupo el conjunto de las dos actividades y el primer bloque del cuestionario, se aprobó
el diseño realizado en base a criterios de concordancia con los objetivos de la
Identificación de
argumentaciones
propias
Propuesta de
preguntas que
requieran
argumentación
Prácticas argumentativas en la
resolución de actividades de
matemáticas. Prácticas argumentativas en la
resolución de cuestiones
matemáticas creadas.
23
investigación, con el tipo de información que se buscaba (puntos a-c de antes), así como
concordancia entre las actividades y las preguntas en el ciclo argumenta-identifica-
propone-argumenta de la Figura 7.
El segundo bloque se construyó atendiendo directamente al objetivo de explorar la
relación que establecen los alumnos entre argumentación, pensamiento matemático y
argumentación matemática y en base al tipo de información que se buscaba según los
puntos d), e) y f). Así, se diseñaron tres preguntas, cada una de ellas relacionada con la
información que se buscaba en cada punto, como se muestra en la Figura 8. Se optó por
formular preguntas directas acerca de las concepciones que se querían estudiar:
-¿Qué importancia dan los futuros maestros a la argumentación dentro del
pensamiento matemático?
-¿En qué considera que se diferencia la argumentación en general de la
argumentación matemática?
-¿Cuál es su percepción de argumentación matemática?
Para establecer el orden de las preguntas, se tuvo en cuenta el carácter más o menos
abstracto de las mismas, planteando las preguntas más abstractas al final del
cuestionario. Se decidió entonces hacer primero la pregunta acerca de la importancia
que le dan a la argumentación dentro del pensamiento matemático, pues consideramos
que es más cercano buscar razones concretas para justificar o debatir la importancia de
la argumentación en el pensamiento matemático, mientras que las otras dos preguntas
requieren caracterizar más o menos los conceptos de argumentación y argumentación
matemática mediante un ejercicio de abstracción.
Una vez establecida y justificada la importancia de la argumentación en el pensamiento
matemático, proponemos establecer diferencias entre argumentación y argumentación
matemática, ya que habiendo introducido en la pregunta anterior relaciones relevantes
entre la argumentación y el pensamiento matemático, ahora se busca que establezcan
características propias de la argumentación en matemáticas como parte de la
argumentación. Así, se decidió que la última pregunta sería la que caracterizaría la
argumentación matemática, pues habiéndose explicitado antes características propias de
la argumentación matemática es adecuado seguir en el ejercicio de abstracción para
caracterizar de forma más general la argumentación matemática.
A.1 A.2 Q.1 Q.2 Q.3 Q.4 Q.5 Q.6 Q.7
A
B
C
D
E
F
Figura 8. Esquema de coherencia del instrumento en relación a los objetivos
24
3.2 Recogida de datos
Se realizó una estimación del tiempo necesario para responder a las actividades y el
cuestionario en dos etapas, estimación a priori según la dificultad de las preguntas y
contraste experimental con la resolución por parte de un experto y un voluntario.
Dada la supuesta sencillez de las actividades para alumnos de educación superior y el
carácter principalmente exploratorio de las mismas se estimó a priori un tiempo para su
resolución de 30 minutos. Dicha estimación se contrastó con la resolución que de ellas
hizo el propio investigador en una resolución exhaustiva que tuvo una duración de 27
minutos y otra resolución realizada por un voluntario de quinto curso de Licenciatura en
Biología que no había cursado ninguna asignatura con contenidos de geometría
elemental en la carrera, resolución que tomo 31 minutos. La elección del voluntario se
considera significativa dado que sus conocimientos sobre geometría elemental se
pueden considerar similares a los de los alumnos de magisterio, que no han visto
contenidos de geometría elemental en la Diplomatura ni tampoco en su formación final
de Bachillerato, pues los contenidos de geometría elemental se dan en la etapa de
Educación Secundaria Obligatoria.
En la primera parte del cuestionario, se tuvo en cuenta para realizar la estimación que
las preguntas 1 y 3 se refieren expresamente a la resolución de las actividades, por lo
que no se requiere un tiempo de reflexión elevado para contestarlas, así, estimamos
unos dos minutos para responder cada pregunta. En cuanto a las preguntas 2 y 4, que si
requieren de reflexión previa y para las que además de pedir una propuesta de pregunta
se pide también su respuesta se estimaron unos 5 minutos para cada una, dado que
aunque se pida también una respuesta, tal respuesta es necesario preconcebirla en el
momento de proponer una pregunta con contenidos argumentativos. Al contrastar con
las resoluciones experimentales la duración resultó ser de 10 minutos para la primera
parte en el caso del investigador-experto y de 8 minutos en el caso del voluntario.
Las preguntas 5, 6 y 7 requieren todas un grado alto de reflexión, además, aunque los
contenidos a los que se refieren las preguntas sean encadenados, y para responder cada
pregunta se tenga como base la resolución de las partes anteriores, la abstracción
conceptual es mayor según se pasa de una pregunta a otra. Se decidió entonces dar a
todas las preguntas la misma duración, considerando una compensación entre el
crecimiento de la abstracción con la aproximación que da hacia los nuevos conceptos
responder a las preguntas anteriores. El tiempo que se estimó para cada pregunta fue de
unos 5 minutos. Experimentalmente las duraciones resultantes fueron de 15 minutos en
el caso del experto y de 14 en el caso del voluntario.
La duración aproximada del cuestionario en vista a los resultados de las resoluciones
experimentales fue de 52-53 minutos. Así teniendo en cuenta variables como atención o
interés tomamos como tiempo mínimo necesario para la resolución 60 minutos.
El tiempo del que se disponía para realizar la recogida de datos era una clase de 60
minutos, exactamente el mismo que se había estimado. Habiendo discutido en el seno
del equipo junto con el profesor-experto esta situación, se decidió que la recogida de
datos se haría en dos partes, la primera sería la relativa a las actividades, que se pasarían
a los alumnos como trabajo individual a realizar fuera del horario lectivo, para en la
25
siguiente sesión pasar a la segunda parte, el cuestionario, contando así con un margen de
aproximadamente 35 minutos para cualquier imprevisto.
La elección de las fechas se hizo teniendo en cuenta el desarrollo curricular de la
asignatura, para adaptar en la medida de lo posible los contenidos de las actividades y el
cuestionario con el desarrollo de la clase.
Las dos actividades iniciales del cuestionario se entregaron el martes 31 de marzo de
2009 y la segunda parte del cuestionario se pasó el viernes 3 de abril de 2009. En la
sesión del 3 de abril, en la que los alumnos debían traer las actividades resueltas se
presentó un inconveniente con respecto al plan previo de trabajo. Sólo cuatro de los diez
alumnos tenían las actividades resueltas. Esta situación nos obligó a tomar la sesión
entera para intentar que resolvieran tanto actividades como cuestionario en los 60
minutos de duración. El tiempo medio necesario para responder a cuestionario y
actividades fue de 50 minutos, siendo únicamente uno de los alumnos quien necesito de
la sesión entera para su resolución.
Durante la sesión no se presentó ninguna duda por parte de los alumnos en cuanto al
planteamiento de las preguntas y las actividades, únicamente acerca de cuestiones
formales como si debían o podían adjuntar dibujos, lo cuál se les había explicado al
principio de la sesión. La recogida de los datos fue de carácter anónimo, no se pidió
ningún dato de tipo personal ni académico.
26
4. ANÁLISIS Y RESULTADOS
Dedicamos esta sección a mostrar el proceso de análisis y recopilar los resultados
obtenidos en torno a la consecución de los dos objetivos de la investigación. El proceso
de análisis se llevó a cabo en dos fases, como se detalla a continuación.
4.1 Primera fase del análisis
La primera fase del análisis consiste en una reducción narrativa de los datos y su
posterior organización en base a criterios de análisis que se corresponden con los de
construcción del instrumento. Se dividirán los datos en dos bloques, uno para cada
objetivo, así los datos que tengan relación con el objetivo 1 se presentan en un grupo de
tablas y los relativos al objetivo 2 en otra única tabla.
En el caso de los datos referidos al objetivo 1, que son las respuestas de las actividades
así como las cuatro primeras preguntas de la segunda parte del cuestionario, el primer
análisis consiste en un vaciado de los datos en tablas correspondientes a cada alumno y
un análisis de los datos en base a los criterios seguidos en la construcción.
Para la primera actividad, y las respuestas a las preguntas propuestas por los estudiantes
en las cuestiones 2 y 4 del cuestionario el análisis se hará desde dos enfoques:
-Enfoque formal: Se analizan los textos de las respuestas en cuanto a su forma en
base al esquema argumentativo de Toulmin (Figura 5), enfocándonos en la
presencia del esquema mínimo en que se da el paso de premisas a conclusiones
esgrimiendo alguna razón (Figura 4).
En esta parte del análisis se utilizan en las tablas los siguientes marcadores:
P: identificador de las premisas.
C: identificador de las conclusiones.
-Enfoque funcional: Se analizarán las razones que respalden el paso de premisa a
conclusión según la función que cumplan las razones en dicho paso. Así
diferenciaremos entre explicación cuando la razón tiene una función descriptiva o
argumentación en el caso que la razón valide el paso de premisa a conclusión.
En este caso, los marcadores utilizados son:
LP: ley de paso en el caso de la argumentación, es decir cuando la razón
imprime fuerza a las afirmaciones del texto.
PA: razón de paso en el caso de la explicación, es decir cuando la función
de la razón es descriptiva.
Fruto de esta primera parte del esquema funcional se marcarán las respuestas con las
palabras „Argumenta‟ o „Explica‟.
Continuando con el enfoque funcional se pasa a analizar la aceptabilidad de los
enunciados de acuerdo con la noción de aceptabilidad introducida en el marco teórico.
Los criterios de tal análisis son los propuestos por Duval (1999): pertinencia y fuerza.
27
Como pertinencia del argumento se entiende la relación entre los contenidos de la
afirmación y del argumento que la justifica, es decir los contenidos semánticos deben
sobreponerse. La fuerza de un argumento se define en base a dos factores, por un lado la
resistencia que presente a contra-argumentos, de modo que no tenga réplica, y por otro
lado debe tener un valor epistémico positivo, esto es, ser evidente, necesario o auténtico.
Un argumento que cumpla estas condiciones será un argumento fuerte. Esta última parte
del análisis funcional se hace a todos los enunciados y afirmaciones,
independientemente de que se puedan clasificar como argumentaciones, explicaciones o
conclusiones. En el caso de las conclusiones se considera como satisfactoria si resiste el
examen de aceptabilidad.
En cuanto a las cuestiones 1 y 3 del cuestionario se analiza si el alumno identifica su
propia práctica en base a nuestros criterios teóricos. Se dice que un estudiante identifica
la práctica si su respuesta corresponde con el análisis de las actividades a las que se
refieren las cuestiones, en otro caso se considera que el alumno no identifica la práctica,
en términos de la construcción teórica del trabajo.
Para la primera parte de las cuestiones 2 y 4 del cuestionario se analizan las preguntas
propuestas por los alumnos en base a un examen de posibles respuestas. Se considera
que una pregunta requiere argumentación si la misma pregunta y sobre todo la manera
en la que está formulada invitan al razonamiento argumentativo o que se considere
oportuno argumentar para responderla. En oposición una pregunta no requiere
argumentación si es posible contestarla de forma directa, o mediante afirmaciones, sin
que se haga necesario u oportuno un razonamiento.
Para el segundo bloque, referido al objetivo 2 se realiza un vaciado de los datos en una
tabla relativa a cada alumno. Una vez construida la tabla el primer nivel de análisis
consiste en una reducción narrativa de los datos, extrayendo los aspectos que se
consideren característicos de cada respuesta. Para la cuestión 5 se extraen de cada
respuesta las características fundamentales en cuanto a la importancia de la
argumentación en el pensamiento matemático. En el caso de la cuestión 6 se hace un
proceso análogo analizando si establecen o no una diferencia, y en el caso que se
produzca una diferenciación, se caracterizan las diferencias. En la cuestión 7 se reducen
las respuestas de los alumnos a un enunciado que caracterice la argumentación
matemática según la respuesta.
El objetivo de la construcción de estas tablas es el de organizar la información
proporcionada por los datos para cada alumno y para cada objetivo de forma que
permita un posterior análisis que relacione toda la información relativa a cada objetivo
en cada futuro maestro.
4.2 Segunda fase del análisis
PRIMER OBJETIVO
La segunda fase del análisis en relación al primer objetivo parte de las tablas construidas
en la primera fase. El análisis en esta segunda fase consiste en examinar para cada
alumno el ciclo de la Figura 7. Se realiza un análisis trasversal que consiste en 4 partes.
Se pretende establecer si los alumnos han realizado la práctica propuesta en las
actividades 1 y 2, si posteriormente identifican dicha práctica, si proponen cuestiones
28
que requieran de la argumentación y si realizan finalmente la práctica que ellos mismos
han propuesto, relacionando los resultados de cada una de las partes. Se deja de lado el
análisis de aceptabilidad de los enunciados, ya que se considera que dicho análisis se
separa de los resultados de la primera fase del análisis que se relacionan con la
presencia de tipos de discurso, como la argumentación y la explicación, más que con su
validez. El análisis realizado en esta fase se recoge en otra tabla que se presenta
inmediatamente después de las diez tablas relativas a la primera parte del análisis para el
objetivo 1.
SEGUNDO OBJETIVO
La segunda parte del análisis para el segundo objetivo responde a cada pregunta
analizada. Así, en la cuestión 5 se pretende clasificar los rasgos que caracterizan la
importancia de la argumentación en el pensamiento matemático, según la respuesta de
cada alumno. Se clasifican las respuestas de forma no excluyente en los siguientes
grupos: soporte para entender, soporte para consolidar, soporte para manejar, soporte
para validar y generador de hipótesis. Los criterios de clasificación se detallan a
continuación:
-Soporte para entender: Si el alumno plantea que una de las funciones de la
argumentación en el pensamiento matemático es la de ayudar a entender o tomar
conciencia de algún aspecto de la actividad matemática.
-Soporte para consolidar: Si el alumno plantea que una de las funciones de la
argumentación en el pensamiento matemático es la de ayudar a consolidar y
recordar conocimientos matemáticos.
-Soporte para manejar: Si el alumno plantea que una de las funciones de la
argumentación en el pensamiento matemático es la de ayudar a tomar parte en una
actividad matemática.
-Soporte para validar: Si el alumno plantea que una de las funciones de la
argumentación en el pensamiento matemático es la de determinar la validez de
procesos o resultados en una actividad matemática.
-Generador de hipótesis: Si el alumno plantea que una de las funciones de la
argumentación en el pensamiento matemático es la de ayudar a generar hipótesis.
En la cuestión 6 la segunda fase del análisis consiste en clasificar las diferencias, en el
caso de haberlas. La clasificación se hace en dos grupos, los que plantean una diferencia
de contenidos frente a los que establecen diferencias en el funcionamiento. Se considera
que la diferencia es de contenidos si los alumnos plantean una diferencia en cuanto al
tema de las argumentaciones y a características propias de los conceptos, mientras que
se considera que la diferencia es de funcionamiento si los alumnos plantean que la
diferencia radica en el funcionamiento propio de las argumentaciones y del campo de
conocimientos.
Para la cuestión 7 se hace también una clasificación de las respuestas en base a tres
líneas de respuesta. Se clasifican entonces las respuestas en tres grupos, „Explicar‟,
„Demostrar‟ y „Contrastar y decidir‟ según los siguientes criterios:
-Explicar: Si el alumno establece como característica fundamental de la
argumentación matemática explicar algún aspecto de la actividad matemática.
29
-Demostrar: Si el alumno establece como característica fundamental de la
argumentación matemática demostrar algún aspecto de la actividad matemática.
-Contrastar y decidir: Si el alumno establece como característica fundamental de la
argumentación matemática contrastar razonamientos para tomar una decisión.
Finalmente se añade una celda para cada alumno en la que se analizan los resultados de
dichas clasificaciones para cada alumno, estableciendo las relaciones existentes en cada
caso particular.
4.3 Resultados
Los resultados se presentan divididos por objetivos. Para el primer objetivo empezamos
aportando las diez tablas, una para cada estudiante, con los datos vaciados de la primera
parte del cuestionario y algunos correspondientes a preguntas de la segunda parte. Se
presenta después una tabla que relaciona las respuestas de cada alumno en conjunto. A
continuación, se hace una tabla comentada relacionando cada tipo de respuesta con cada
estudiante.
Para el segundo objetivo reproducimos una tabla donde hemos incorporado los datos
vaciados acerca del segundo objetivo junto con el análisis realizado. Finalmente
presentamos una tabla comentada relacionando cada tipo de respuesta con cada
estudiante.
RESULTADOS EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO
Cada tabla está estructurada de acuerdo con un máximo de seis cuestiones a analizar: en
relación con la resolución de las Actividades 1 y 2 y las respuestas a las Cuestiones 1, 2,
3 y 4. Puede ocurrir que no se haya obtenido información acerca de algunos de estos
aspectos y que, por tanto, haya menos entradas en las tablas de ciertos estudiantes.
Para cada entrada en cada tabla, reproducimos primero las respuestas literales del
estudiante en cursiva y en color rojo. En el caso de las Cuestiones 2 y 4, también
usamos el color azul para diferenciar las preguntas construidas por el estudiante
respecto de las respuestas a las mismas.
En las entradas relativas a las Actividades 1 y 2, hemos incorporado un análisis donde
indicamos los resultados relativos a la primera fase del análisis, esto es, un análisis
formal en base al esquema argumentativo de Toulmin (2007) y a los criterios expuestos
en el apartado de metodología, así como otro análisis de aceptabilidad basado en los
conceptos de pertinencia y de fuerza introducidos por Duval (1999).
En las celdas correspondientes a las cuestiones 1 y 3 se señala si se identifica o no la
propia práctica, según coincidan o no sus respuestas con el análisis hecho para las
Actividades 1 y 2.
Las entradas referentes a las cuestiones 2 y 4, tienen dos tipos de entrada. La primera es
la pregunta propuesta por los alumnos que se analiza según los criterios expuestos
anteriormente, señalando si dichas preguntas propuestas requieren o no argumentación.
La segunda es la propia respuesta de los alumnos a estas preguntas, en las que se señala,
30
análogamente a las entradas correspondientes a las Actividades 1 y 2, un análisis formal
y otro de aceptabilidad.
Tabla 1.1: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 1.
Alumno 1
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
L’ortocentre d’un triangle no
sempre es troba a l’interior
d’aquest, ja que els triangles que
tenen un angle obtús aquest punt
queda fora.
Argumenta.
P: Datos del enunciado.
C: El ortocentro no siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)Com més agut és l’angle més
altura té el triangle si l’angle es
més obtús l’altura es més petita.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: El tipo de ángulo condiciona la
altura.
PA: Descripción del
comportamiento de la altura según
los tipos de ángulo.
Pertinencia: Si
Fuerza: No, no hay relación entre
tipos de ángulos y longitudes de
alturas. Los ángulos son o no son
de un tipo, no hay niveles.
c)Es pot concloure que les altures
d’un triangle són proporcionals
als seus angles.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. Dicho arriba.
Sí, en la primera
qüestió per tal de
justificar-la, en la
segona qüestió
també argumento la
meva creença.
a. Identifica.
b. Confunde
argumentación y
explicación.
És possible, a partir
dels angles d’un
triangle determinar
on es troba
l’ortocentre? Raona
la teva resposta.
La pregunta requiere
argumentación ya
que se pide
explícitamente que
razone la respuesta,
y esa razón deberá
validar la elección
de si es posible o no.
Si el triangle té un
angle obtús
l’ortocentre es
trobarà fora
d’aquest.
Argumenta.
P: Datos iniciales.
C: Enunciado
entero.
LP: Se remite a la
comprobación
gráfica anterior.
Pertinencia: Parcial,
no contesta a toda la
pregunta.
Fuerza: Sí.
Quin tipus de triangle
té menys
possibilitats? Explica
per que creus que es
deu.
La pregunta no
requiere
necesariamente
argumentación pues
demanda una
explicación.
El triangle equilàter
és el que ofereix
menys possibilitats.
Aixó es degut a que
els seus costats han
de tenir la mateixa
mida aixó fa que els
seus angles sempre
siguin aguts.
Argumenta.
P Clasifiación de los
trángulos en base a
sus lados y ángulos.
C: El equilátero es el
que tiene menos
posibilidades.
LP: La suma de los
ángulos de un
triángulo son 180º.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 3
Sí, el fet de fer el
dibuix és una
manera
d’argumentar o
demostrar el que he
respost.
Afirma que
argumenta.
31
Tabla 1.2: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 2.
Alumno 2
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No. Perquè quan hi ha un
angle obtùs l’altura des
dels angles aguts passa per
l’exterior del triangle.
Argumenta.
P: Datos del enunciado.
C: El ortocentro no siempre
se encuentra en el interior.
LP: verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)
Si és un triangle rectangle
l’ortocentre sempre
coincidirà amb el vèrtex de
l’angle recte. Si tots els
angles son aguts
l’ortocentre es trobarà
sempre a l’interior del
triangle. Si hi ha algún
angle obtús l’ortocentre
sempre es trobarà a
l’exterior del triangle.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: Para cada tipo de
triángulo el ortocentro tiene
distinta situación.
PA: Verificación gráfica y
generalización.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
c)
Que depenen del angles del
triangle.
Que sempre han de formar
un angle recte respecte al
costat contrari a l’angle
d’on partin.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
Si, a la primera
pregunta (justificar)
Identifica.
Per què quan hi ha
un angle obtús
l’ortocentre es troba
a l’exterior?
Requiere
argumentación pues
exige dar razones
que validen el
hecho.
Perquè si hi ha un
angle obtús vol dir
que n’hi ha dos
d’aguts, i per
aquests l’altura
sempre passa per
fora ( al formar
l’angle recte)
Argumenta.
P: Datos iniciales.
C: Es el enunciado
de la pregunta.
LP: Para los ángulos
agudos la altura
siempre pasa por
fuera.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No
explicita que es la
altura para un
ángulo. La razón
está en el ángulo
obtuso.
Per què no es pot formar
un triangle equilàter que
sigui obtusangle?
Requiere necesariamente
argumentación pues es
necesario dar una razón
que lo valide.
Perquè si el triangle ès
equilàter tots els seus
costats mesuren igual, i
per tant tots els seus
angles també. I com que
la suma dels angles d’un
triangle és sempre 180º,
els angles d’un equilàter
sempre mesuraran 60º
cadascun. Per tant, no
pot ser obtusangle (que
seria més gran de 90º)
Argumenta.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede formar un
equilátero obtusángulo.
LP: La suma de los
ángulos de un triángulo es
180º.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 3
No.
Identifica.
32
Tabla 1.3: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 3.
Alumno 3
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No sempre es troba a l’interior,
ja que l’altura és la
perpendicular del vertex
respecte al costat oposat i en
aquest cas, moltes vegades
algunes altures es troben fora
dels triangles.
Argumenta.
P: Datos del enunciado.
C: El ortocentro no siempre se
encuentra en el interior.
LP: verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)
Es poden trobar les altures a
dins o fora depenent de si hi ha
un angle obtús, recte o agut.
També dependrá de quin costat
s’afagi com a base.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: La posición del ortocentro
varía según los tipos de ángulos.
PA: Descripción de la relación
alturas-ángulos.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No, no hay relación
entre tipos de ángulos y
longitudes de alturas. Los
ángulos son o no son de un tipo,
no hay niveles.
c)
Les altures poden ser molt
diferents depenent del costat
que es trii i poden ser útils per
poder solucionar dubtes a la
vida cotidiana, tals com per
exemple construccions
d’edificis.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
Si, en les tres
preguntes, ja que
per explicar les
deduccions, he
hagut
d’argumentar
perquè és així.
a. Identifica.
b. Confunde
argumentación con
explicación.
c. No Identifica.
Es poden construir
triangles tenint la
mateixa altura?
No requiere
argumentación pues se
puede responder si/no.
Sí que es pot perqué es
fixa un costat com a
base, es fa una linia
paral-lela a la base
que hi ha de distància
l’altura, i tota aquesta
recta son posibles
punts d’altura. Es a
dir que es poden
construir infinits
triangles amb la
mateixa altura.
Argumenta.
P: Datos iniciales.
C: Se pueden construir
triángulos de la misma
altura.
LP: Da un proceso de
construcción.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. Los
triángulos tienen tres
alturas.
Per què no es poden
construir triangles
equilàters rectangle i
obtusangle?
Requiere
necesariamente
argumentación pues es
necesario dar una
razón que lo valide.
No es poden construir
perquè un equilàter té
els 3 costats iguals i
tant si es rectangle
com obtusangle els dos
costats que forman
l’angle poden ser
iguals però llavors el
tercer costat no seria
igual, ya que ha d’unir
el altres dos i serà més
gran.
Argumenta.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede formar
un equilátero
obtusángulo.
LP: Definición de
triángulo equilátero.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 3
Sí, fent els
dibuixos dels
triangles, per tal
de demostrar que
poden existir.
Afirma que
argumenta.
33
Tabla 1.4: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 4.
Alumno 4
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No sempre es troba a l’interior
del triangle, ja que sabent que
l’altura va d’un vertex al costat
oposat a aquest, però sempre
formant un angle de 90º amb la
base a la que es troba.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: No siempre se encuentra en el
interior.
PA: Describe cuál es la altura de
un triángulo.
Pertinencia: No. No habla del
ortocentro.
Fuerza: No. No se manifiesta la
necesidad de producirse la
conclusión en base a las razones
expuestas.
b)
Segons el tipus de triangle que
tinguem, fora que les altues es
trobin en un punt interior o be en
un punt lateral. Si es troba en un
punt lateral també pot ser que en
formin por els mateixos costats, es
a dir, que siguin altures o bé que
les altures no siguin cap dels
costats. Com es veu en l’exercici
a.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: Las alturas varían según el tipo
de ángulos.
PA: Descripción de la posición de
las alturas según los tipos de
triángulo.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No.
c)
Tota altura surt d’un vèrtex, fins
al costat oposat a aquest vèrtex.
H a de formar un angle de 90º
amb el costat oposat al vèrtex.
Es trobaran sempre en un punt
que pot ser al centre del triangle o
al seu lateral.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí. Redefine la altura.
Si, sempre que he
volgut demostrar
el meu punt de
vista per tal de
convèncer a la
persona que
llegeix.
a. Identifica.
b. Confunde
argumentación con
explicación.
Creus que hi ha
algún triangle el
qual les seves
altures no es
creuin?
La pregunta no
requiere
argumentación
pues admite
cualquier tipo de
respuesta al ser
una creencia.
No hi pot haver
cap, ja que sabem
que totes les
altures van d’un
vertex fins al
costat oposat a
aquest vertex per
tant sempre s’han
de trobar en un
punt, ja sigui al
centre o bé a un
costat del triangle.
Argumenta.
P: Datos iniciales.
C: Se pueden
construir
triángulos de la
misma altura.
LP: Como las
alturas van de un
vértice al lado
contrario entonces
se tienen que
cruzar en un
punto.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No se
deduce que se
crucen en un
punto.
Que condicions han de
seguir els triangles per
ser equilàter, isosceles i
escalé? Pot ser
acutangle, rectangle o
escalé?
No requiere
necesariamente
argumentación pues pide
una enumeración de
condiciones y una
pregunta directa sin
demandar justificación o
razonamiento.
Un triangle equilàter ha
de tenir tots els costats
iguals això farà que tots
els angles siguin iguals i
per tant no pugui ser ni
acutangle, obtusangle o
rectangle. L’isoscel-les
han de tenir dos costats
iguals i un de diferent,
per tant si que pot ser
acutangle, rectangle i
escalé. Escalé ha de
tenir tots els costats
diferents i per tant també
es pot formar acutangle,
rectangle i escalé.
Explica.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede formar
un equilátero
obtusángulo, rectángulo
o acutángulo.
PA: Definición de
triángulo equilátero.
Pertinencia: No. Mezcla
las clasificaciones por
ángulos y por lados.
Fuerza: No. El equilátero
queda sin clasificación.
CUESTIÓN 3
No he hagut
d’argumentar ja
que simplement em
demanaba que
posés si era
posible o no, però
en cap cas em
demanaba que
posesi el perquè
pensava una cosa
o una altra.
Identifica.
34
Tabla 1.5: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 5.
Alumno 5
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No sempre es troba a l’interior
del triangle, fent la
comprobació amb un triangle
que no ès equilater es pot
veure. El resultat l’he obtingut
per inducció, aixi que no se
justificar-le matemàticament.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se encuentra en
el interior.
LP: En cualquier triángulo no
equilátero se verifica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No todo triángulo
no equilátero tiene el ortocentro
fuera.
b)
Les altures dels triangles varien
en funció del angles, com més
proxim a 90º és un angle més
alt pot ser el triangle.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: Las alturas varían en función
de lo ángulos.
PA: Descripción de la altura del
triángulo en función de “un
ángulo”.
Pertinencia: No. No especifica
que ángulo es el que condiciona
la altura.
Fuerza: No. A mismos ángulos
hay triángulos de cualquier
tamaño, luego cualquier altura.
c)
Depen dels angles (com mès
proxims a 90º més altura) i
depenen de la longitud dels
seus costats (com més logitud
tingui el costat de la base i mès
longitud els altres dos costats,
mès altura tindrà el triangle.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No da una razón
para lo que afirma.
Sí, en la primera
pregunta referent
a l’otocentre.
a. Identifica.
Per què depenen dels
costats les altures de
qualsevol trangle?
Requiere
argumentación pues
hay que dar una razón
que justifique la
dependencia.
Perque els costats que
no formen part de la
base, son els que
poden donar altura al
triangle si els
allergem. El costat
que forma part de la
base pot donar mès
altura al trangle si el
reduim.
Explica.
P: Datos iniciales.
C: Las alturas
dependen de los lados.
PA: Descripción de la
variación de alturas
según los lados.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. Son tres
las alturas y no varían
necesariamente de la
forma que se describe.
Per què no existeix cap
triangle que alhora sigui
equilàter i obtusangle?
Requiere argumentación
pues hay que dar razones
que justifiquen la
imposibilidad.
Perquè per a obtenir un
triangle equilàter tots els
costats han de ser iguals
i per tants els respectius
angles també. En el cas
d’un triangle obtusangle,
haurien de complir que
tots els angles fòssin
obtusos per que alhora
fos equilàter i això es
imposible ja que la suma
dels angles d’un triangle
ès sempre igual a 180º.
Demuestra.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede formar
un equilátero
obtusángulo.
LP: Reducción al
absurdo.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 3
Sí, ho he
argumentat tot
mitjançant el
dibuix dels
resultat
obtinguts.
Afirma que
argumenta.
35
Tabla 1.6: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 6.
Alumno 6
ACTIVIDAD 1 ACTIVIDAD 2 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No, ho crec especialment
perquè provant-t’ho veig
que no sempre està a
l’interior del triangle.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)
En un triangle acutangle
l’ortocentre estarà a
l’interior del triangle, en
un triangle obtusangle
serà en el vèrtex que
forma l’angle obtús i en
un triangle rectangle
serà en el vèrtex que
forma l’angle recte.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: Para cada tipo de
triángulo el ortocentro
tiene distinta posición.
PA: Descripción de la
altura del triángulo en
función de sus ángulos.
Pertinencia: Si.
Fuerza: No. Confunde la
definición de altura.
c)
Sempre tenen un punt
d’intersecció.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
He pensat en el
teorema de
Pitàgores per dir
que no puc tenir
un triangle
equilàter
rectangle, perquè
s’ha de cumplir
que h2=C2+c2.
També he pensat
que per tenir un
triangle equilàter
he de tenir tres
costats i tres
angles iguals. Per
això, sabent també
que la suma dels
tres angles ha de
ser de 180º, puc
saber que no puc
tenir cap triangle
equilàter rectangle
ni obtusangle
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No se pueden
construir
triángulos
equiláteros que
sean rectángulos o
obtusángulos.
LP: Teorema de
Pitágoras y suma
de los ángulos
igual a 180.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
Sí, per poder
contestar la
pregunta he
hagut de fer
alguns dibuixos
i intentar
recordar el que
se suposaba
que havia de
saber.
a.
Identifica.
Em sembla que
els meus
conexeiments de
geometria estan
massa oblidats
com perquè
pugui fer la
pregunta i
respondre-la.
Però aquí va la
pregunta:
De que depèn el
lloc on està
situat
l’ortocentre?
No requiere
argumentación
pues se puede
responder sólo
enumerando.
Per què no es
possible tenir un
triangle equilàter
rectangle?
Requiere
argumentación
pues hay que dar
razones que
justifiquen la
imposibilidad.
Perquè els
triangles
equilàters han de
tenir els tres
costats i els tres
angles iguals. Si
tinc un triangle
rectangle un dels
angles valdrà 90º
i, per tant els
altres dos no
poden valer igual
perquè la suma de
tots tres no pot ser
més de 180º.
Argumenta
(Demuestra)
P: Clasificación de
los triángulos en
base a sus lados y
ángulos.
C: No se puede
formar un
equilátero
rectángulo.
LP: La suma de
los ángulos de un
triángulo son 180º.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
Demostración
correcta.
CUESTIÓN 3
Sí, cuan he
hagut de
pensar perquè
algunes
construccions
eran posibles i
altres no.
Identifica.
36
Tabla 1.7: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 7.
Alumno 7
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No, quan el trangle té un
angle de 90º l’ortocentre
es troba al vèrtex.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación gráfica
de un caso particular.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)
Serà màxima quan hi hagi
un angle de 90º perquè és
quan dos de les altures
corresponen a dos
costats.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: Si hay un ángulo de
90º la altura es máxima.
PA: Descripción de la
altura del triángulo en
función de sus ángulos.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. Un triángulo
rectángulo puede tener
cualquier altura
conservando los mismos
ángulos.
c)
L’ortocentre sempre està
situat sobre el trangle i la
suma de totes elles serà
màxima quan hi hagi un
angle de 90º.
Pertinencia: No, no dice
qué es lo que suma.
Fuerza: No, el ortocentro
no está situado sobre el
triángulo.
L’argument ha
estat mitjançant el
dibuix de diversos
triangles.
a. Identifica.
Poden coincidir 2 de
les altures amb 2 dels
3 costats del triangle?
No requiere
argumentación pues se
puede responder si/no.
Si, quan el triangle és
rectangle perquè
l’altura és
perpendicular a la
base, és a dir, formen
un angle de 90º i dos
costats d’un triangle
rectangle també.
Argumenta.
P: Definiciones de
triángulo, lado y
altura.
C: Pueden coincidir
dos alturas con sus
lados.
LP: Remite a un caso
particular.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
Es pot donar el cas que un
triangle isòsceles sigui
acutangle, rectangle i
obtusangle a la vegada?
No requiere argumentación
pues se puede responder
si/no.
Pot ser acutangle i
obtusangle pero rectangle
no perquè al ser rectangle ,
necessariament hauria de
ser equilàter tal i com es pot
veure en els dibuixos.
Argumenta.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede dar el caso
del enunciado.
LP: Todo rectángulo es
equilátero.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. La clasificación
de triángulos respecto a sus
ángulos es disjunta y los
triángulos rectángulos no
son equiláteros en ningún
caso.
CUESTIÓN 3
De igual manera
que en la activitat
1, ha estat
mitjançant el dibuix
de diversos
triangles.
Afirma que
argumenta.
37
Tabla 1.8: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 8.
Alumno 8
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No sempre es troba a
l’interior del triangle, el
podem trobar a l’exterior
en els triangles obtusangles
que tinguin un angle obtús,
encara que no vol dir que
tot obtusangle tingui
l’ortocentre exterior.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se encuentra
en el interior.
LP: Verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)
En un triangle equilàter el
ortocentre estarà al mig del
triangle i a la mateixa
distància de tots els costats.
En l’isosceles sempre será
interior però no serà fix al
centre del triangle.
Explica.
P: Datos del enunciado.
C: El ortocentro varía de
posición en los isósceles y
es fijo en el equilátero.
PA: Descripción de la
posición del ortocentro en
los casos equilátero e
isósceles.
Pertinencia: No, los
clasifica según los lados.
Fuerza: Sí. Se remite a un
caso particular.
c)
Depenent del triangle que
tinguem les altures fan que
siguin d’una manera o
altre, i que el seu
ortocentre sigui en un lloc
o altre.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí. Se remite a los
resultados anteriores.
Si que he hagut
d’argumentar, ja
que pensar sobre
les qüestions que
s’en plantegen el
raonament i
l’argumentació
del perquè passa o
no el problema
que en planteja.
a. Identifica
b. Confunde
argumentación y
explicación.
POT PASSAR EL
MATEIX AMB LES
BISECTRIUS D’UN
TRIANGLE?
No requiere
argumentación pues se
puede responder si/no.
No podrà passar el
mateix, és a dir, totes
elles es creuaran en un
punt interior al triangle
sempre, ja que no han
de complir cap
especificació com la
perpendicularitat a un
costat com en el cas de
les altures.
Argumenta.
P: Definiciones de
triángulo, lado y altura.
C: Las bisectrices
siempre se cortan
dentro.
LP: Si no hay
especificaciones se
cruzarán dentro.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No se da
ninguna razón que de
fuerza a la conclusión.
A QUE POT SER DEGUT
QUE NO SIGUIN
POSSIBLE DOS
TRIANGLES?
No requiere
argumentación pues no es
necesario hacer un
razonamiento para
responder.
En un triangle rectangle
es compleix la regla
pitagòrica, per tant els
tres costats mai podran
ser iguals. I en el segon
cas, el tenir l’angle obtús
provoca que sigui
imposible un tercer costat
igual.
Argumenta.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus
lados y ángulos.
C: No se puede dar
rectángulo equilátero.
LP: Teorema de Pitágoras.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 3
No he hagut
d’argumentar, en
tot cas he raonat
sobre les
posibilitats que
podien existir i
posteriorment les
he representat.
Identifica.
38
Tabla 1.9: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo en el caso del alumno 9.
Alumno 9
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 4
a)
No, l’ortocentre pot
trobar-se en diferents
zones del triangle segons
el triangle del que parlem.
Si es tracta d’un triangle
acutangle l’ortocentre es
trobarà a l’interior del
triangle, en un triangle
rectangle es trobarà a un
dels vèrtexs i, en un
obtusangle es trobarà fora
del triangle. (Dibuix full
apart): Justificació.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
L.P: Verificación gráfica.
Pertinencia: Sí
Fuerza: Sí
b)
Les altures dels triangles
variaran segons l’angle
com he dit en la quëstió
anterior.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
c)Podem concloure que les
altures es tallen en un punt
anomenat ortocentre.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí. Repite la
definición del enunciado.
Si, en el moment
en que havia
d’explicar què
creia que
passaria amb les
altures dels
triangles segons
el tipues de
triangle.
b. No Identifica
Quan l’ortocentre es
troba al punt
central?
No requiere
argumentación pues
se puede responder
simplemente
nombrando la
situación.
L’ortocentre es troba
al centre quan el
triangle és equilater,
ja que els tres costats
i els 3 angles són
iguals.
Explica.
P: Definiciones de
triángulo, lado y
altura.
C: En los triángulos
equiláteros el
ortocentro se
encuentra en el
centro del triángulo.
PA. Describe el
triángulo.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No se
define el punto
central ni se razona
una ley de paso.
Per què no pot haver un
triangle obtusangle equilàter?
Requiere argumentación es
necesario dar alguna razón
para justificarlo.
Perquè a l’equilàter hauria
d’haver els tres angles amb el
mateix valor, i a l’obtusangle
ha d’haver un angle major a
90º per tant la resta haurien
de ser menors i, no podrien
ser iguals, és a dir els costats
tampoc serien iguals, ja que la
suma de tots els angles del
triangle sempre suman 180º.
Argumenta.
P: Clasificación de los
triángulos en base a sus lados
y ángulos.
C: No se puede dar
obtusángulo equilátero.
LP: Los ángulos de un
triángulo suman 180º.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
CUESTIÓN 2
No, ja que he vist
la solució
mitjançant un
dibuix clar (si es
podia fer).
Identifica.
39
Tabla 1.10: Resultados y primera fase de análisis para el primer objetivo el alumno 10.
Alumno 10
ACTIVIDAD 1 CUESTIÓN 1 CUESTIÓN 2 CUESTIÓN 2
a) No, probant
diferents casos trobes
com en alguns
l’ortocentre es troba a
l’exterior del triangle.
Argumenta.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación
gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí.
b)Jo crec que:
-Amb triangles
acutangles i rectangles
l’ortocentre es troba
dins del triangle.
-Amb triangles
obtusangles
l’ortocentre es troba a
l’exterior del triangle.
Plantea hipótesis.
P: Enunciado.
C: No siempre se
encuentra en el interior.
LP: Verificación
gráfica.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. En el caso
equilátero no se
encuentra en el interior
del triángulo.
c)
Les altures dels costats
que formen un triangle
es tallen en un mateix
punt.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: Sí. Repite la
definición del
enunciado.
Si, has
d’argumentar
perquè dones una
resposta o bé una
altra. Els aspectes
que t’han fet
decantar-te a
aquella solució.
a. Identifica.
Quan l’ortocentre es
troba al centre del
triangle?
No requiere
argumentación pues se
puede responder
simplemente diciendo la
situación.
Quan el triangle és
equilàter, es a dir, quan
el triangle té els tres
costats iguals i, per tant
els tres angles iguals.
Explica.
P: Definiciones de
triángulo, lado y altura.
C: En los triángulos
equiláteros el ortocentro
se encuentra en el centro
del triángulo.
PA. Describe el
triángulo.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. No se
define el punto central ni
se razona una ley de
paso.
Comenta els casos en els
que no es pugui formar un
triangle de les
característiques indicadas.
No requiere argumentación
en un comentario no es
necesario argumentar nada.
- equlàter rectangle:
podriem fer dos costats
iguals per formar l’angle
recte però el tercer ja seria
diferent.
- equilater obtusangle: fer
un triangle amb un angle
obtús implica poder tenir 2
costats iguals però un de
diferent.
- escalè acutangle: un
triangle amb tres costats
diferents implica haver de
tenir un angle o bé recte o
bé obtús.
Explica.
P: Definiciones de triángulo,
lado y altura.
C: Hay tres combinaciones
de tipos de triángulo
imposibles.
PA. Describe las
características de los
triángulos imposibles.
Pertinencia: Sí.
Fuerza: No. Sí se puede
construir un escaleno
obtusángulo.
CUESTIÓN 3
No perquè ho he
resol mitjançant
probes, sense
necessitat
d’argumentar.
a. Identifica.
40
Alumno 1
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En las respuestas a las cuestiones 1 y 3
identifica parcialmente la argumentación en la respuesta a la pregunta 1, pues confunde
argumentación con explicación y afirma que dibujar es una manera de argumentar. En la
cuestión 2 propone una pregunta que requiere argumentación, mientras que en la 4 la pregunta
no requiere argumentación; al responderlas preguntas argumenta.
El alumno confunde argumentación con explicación, y aunque argumenta cuando se le pide,
considera que explicaciones o dibujos son argumentaciones. Al proponer la pregunta de la
cuestión 4, la cual debería requerir argumentación, pide explícitamente una explicación.
Alumno 2
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En las respuestas a las cuestiones 1 y 3
identifica la práctica de la misma forma en que nosotros la clasificamos. En las cuestiones 2 y 4,
propone preguntas que requieren argumentación para responderse; al responderlas argumenta.
Se puede decir que el alumno realiza satisfactoriamente el ciclo argumentar-identificar-
proponer-argumentar en base a los criterios de la investigación.
Alumno 3
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En las respuestas a las cuestiones 1 y 3
identifica parcialmente la práctica para la pregunta 1, pues confunde argumentación y
explicación y considera que dibujar es una forma de argumentar. En las cuestiones 2 y 4,
propone preguntas que requieren de argumentación; al responderlas argumenta.
Aunque realiza la práctica en la actividad 1 y plantea preguntas que requieren argumentación y
argumenta al responderlas, confunde explicación y argumentación.
Alumno 4
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno explica y en la pregunta 2 en la
que se pide una explicación el alumno explica. En las respuestas a las cuestiones 1 y 3 no
identifica la práctica para la pregunta 1 y para la actividad 2. Confunde argumentación con
explicación. En las cuestiones 2 y 4, propone preguntas que se pueden responder sin necesidad
de argumentar, es decir, que no requieren argumentación; al responderlas argumenta en la
cuestión 2 y explica en la cuestión 4.
Confunde reiteradamente explicación y argumentación y plantea preguntas que no requieren de
argumentación para ser respondidas.
Alumno 5
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En la respuesta a la cuestión 1 identifica la
práctica de la misma forma en que nosotros la clasificamos. En la respuesta a la cuestión 3 no
identifica pues considera que mediante los dibujos ha argumentado. En las cuestiones 2 y 4,
propone preguntas que requieren argumentación; al responderlas explica en la cuestión 2 y
argumenta en la cuestión 4.
Aunque realiza la práctica en la actividad 1, la identifica posteriormente y plantea preguntas que
requieren argumentación, al responder una de ellas explica en lugar de argumentar.
Alumno 6
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En la actividad 2 además de realizar la
clasificación argumenta las razones por las cuáles algunos triángulos no son posibles. En la
respuesta a la cuestión 1 identifica la práctica de la misma forma en que nosotros la
clasificamos. En la respuesta a la cuestión 3 no la identifica. En la cuestión 2 propone una
pregunta que no requiere argumentación, mientras que en la cuestión 4 la pregunta sí requiere
argumentación; al responder la pregunta de la cuestión 4 argumenta.
Se puede decir que el alumno realiza satisfactoriamente el ciclo argumentar-identificar-
proponer-argumentar en base a los criterios marcados en la investigación, salvo para las
cuestiones 2 y 3.
41
Alumno 7
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En las respuesta a la cuestión 1 identifica la
práctica de la pregunta 1, en la cuestión 3 afirma que ha argumentado sólo con los dibujos. En
las cuestiones 2 y 4, propone preguntas que se pueden responder sin necesidad de argumentar,
es decir, que no requieren argumentación, aunque al responderlas sí argumenta.
Realiza las prácticas que se le demandan, aunque considera argumentaciones los dibujos de la
actividad 2 y no propone preguntas que requieran argumentación.
Alumno 8
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno explica. En la respuesta a la cuestión 1 identifica
parcialmente la práctica para la pregunta 1 ya que confunde argumentación y explicación; en la
cuestión 3 identifica la práctica de la misma forma en que nosotros la clasificamos. En las
cuestiones 2 y 4, propone preguntas que se pueden responder sin necesidad de argumentar, es
decir, que no requieren argumentación, aunque al responderlas sí argumenta.
Confunde explicación y argumentación. Además no propone preguntas que requieran
argumentación.
Alumno 9
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno no explica, sino que argumenta. En las respuestas a las
cuestiones 1 y 3 identifica la práctica de la misma forma en que nosotros la clasificamos. En las
cuestión 2 propone una pregunta que no requiere argumentación aunque en la cuestión 4 sí
requiere; al responderlas explica y argumenta respectivamente.
Confunde reiteradamente explicación y argumentación. Además propone una pregunta que no
requiere argumentación.
Alumno 10
En la pregunta 1, en la que se pide una justificación, el alumno argumenta y en la pregunta 2 en
la que se pide una explicación el alumno no explica, sino que plantea una hipótesis. En las
respuestas a las cuestiones 1 y 3 identifica la práctica de la misma forma en que nosotros la
clasificamos. En las cuestiones 2 y 4, propone preguntas que se pueden responder sin necesidad
de argumentar, es decir, que no requieren argumentación, y al responderlas no argumenta, sino
que explica.
Aunque realiza la práctica en la pregunta 1 de la actividad 1 y la identifica posteriormente, no
plantea preguntas que requieran argumentación y al responderlas tampoco argumenta. Confunde
explicación y argumentación.
Tabla 1.11. Segunda fase de análisis para el objetivo 1
A continuación presentamos una tabla en la que se relacionan características relevantes
de las respuestas con cada uno de los alumnos. Las entradas de la tabla serán colores en
cada celda. El color verde significa que la respuesta del alumno es satisfactoria de
acuerdo con los criterios de la investigación expresados anteriormente, por el contrario
el color rojo significa que la respuesta no es satisfactoria de acuerdo a los mismos
criterios. En casos especiales en los que se considere que la respuesta es satisfactoria
parcialmente se utilizará el color gris. Se utilizará asimismo el color negro para la
ausencia de respuesta. Las notaciones para la primera fila y las primeras columnas son
las que siguen:
A1a: Actividad 1, apartado a
A1b: Actividad 1, apartado b
Q1: Cuestión 1 de la segunda parte del cuestionario
42
Q3: Cuestión 3 de la segunda parte del cuestionario
Q2: Cuestión 2 de la segunda parte del cuestionario
Q4: Cuestión 4 de la segunda parte del cuestionario
E1, E2,....: Estudiante o alumno 1, Estudiante o alumno 2...
Tabla 2: Resumen de los tipos de respuesta por pregunta y alumno para el objetivo 1.
En cuanto a la realización de la práctica que se propone en la actividad 1 podemos
afirmar que, en general, los alumnos realizan satisfactoriamente la práctica que se les
propone. En el primer apartado de la actividad, en el que se les pedía que justificaran la
respuesta, nueve de ellos argumentan, siendo un único alumno el que realiza una
explicación. En el segundo apartado de la actividad, en el que se pedía una explicación,
son ocho los alumnos que al responder realizan una explicación, mientras que uno repite
la conclusión de la argumentación hecha en el apartado „a‟ y otro se limita a plantear
una hipótesis acerca del comportamiento del ortocentro según cada tipo de triángulo..
En las preguntas 1 y 3 del cuestionario en las que se busca estudiar la identificación que
realizan los alumnos de sus propias prácticas aparecen además otros dos aspectos de
interés tal y como señalamos en la tabla anterior: la confusión entre argumentación y
explicación así como el hecho de considerar el estudio gráfico del problema como una
forma de argumentación. En la cuestión 1 en la que se pretende que identifiquen la
propia práctica realizada en la actividad 1, la identificación que realizan responde a
criterios variados. La mitad de los alumnos identifican la práctica coincidiendo con los
criterios de la investigación, mientras que tres de ellos la identifican de forma parcial
dando valor de argumentación a una explicación, y en algún caso incluso a una
conclusión. En tal caso decimos que los alumnos entran en una confusión entre
argumentación y explicación en el sentido en el que se usan dichos conceptos en la
investigación. Cabe señalar que no todos los alumnos que manifiestan la confusión entre
argumentación y explicación, lo hacen dando a la explicación el valor de
argumentación, ya que en un caso el proceso es inverso, considerando como explicación
una argumentación. En la cuestión tres, en la que se pide identificar la argumentación en
la actividad 2 (de carácter clasificatorio) consideramos relevante el hecho de que cuatro
alumnos consideren que el hecho de hacer dibujos y reflexionar acerca de las distintas
posibilidades de construcción de triángulos cumpliendo distintas propiedades constituya
en sí mismo una argumentación.
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10
A1a: Argumentación
A1b: Explicación
Q1: Identifica en A1
Q3: Identifica en A2
Confusión argumentación-explicación
Argumentación gráfica
Q2: Requiere argumentación
Q2: Argumenta
Q4:Requiere argumentación
Q4: Argumenta
43
En las cuestiones 2 y 4, en las que se pedía a los alumnos que añadieran a cada actividad
una pregunta que requiriera argumentación y que además la respondieran, fue donde se
detectaron mayores dificultades. Solamente un alumno del grupo propuso preguntas que
requirieran argumentación y las respondió argumentando. En el resto de los casos las
dificultades son de distinto tipo. De las preguntas que proponen en la cuestión 2 sólo en
tres de los casos las preguntas requerían argumentación para responderse y en el caso de
las propuestas en la cuestión 4 son cinco las que requieren argumentación. Se manifiesta
entonces una dificultad especial en plantear preguntas que requieran argumentación.
Dentro de las doce preguntas propuestas que no requieren argumentación hay distintos
tipos. En cinco de los casos el alumno pide una enumeración de casos o señalar una
situación en particular; otras cuatro preguntas admitían respuestas directas de tipo sí/no
y no se pedía explícitamente que se razonara la respuesta; en otros dos casos se pide una
opinión o una creencia, lo que no implica que se tenga que argumentar, mientras que en
otro casos se pide explícitamente una explicación, lo que señala una vez más la
confusión entre argumentación y explicación.
Al analizar las respuestas que dan a sus propias preguntas, resulta que seis alumnos
argumentan en sus respuestas a la pregunta propuesta en la cuestión 2, mientras que son
ocho los que lo hacen al responder a las preguntas propuestas en la cuestión 4. Cabe
señalar que en un único caso un alumno propone una pregunta que requiere
argumentación y responde sin argumentar. En seis casos el alumno responde
argumentando a una pregunta propuesta por él que no requiere argumentación, lo que
remarca la dificultad para proponer preguntas escritas que requieran argumentación. Las
cinco respuestas que no consideramos argumentaciones son explicaciones.
Finalmente nos parece importante señalar que cinco alumnos argumentan en la primera
actividad, posteriormente identifican bien o parcialmente su propia práctica y
finalmente no proponen actividades que requieran argumentación, ya que si realizan e
identifican la práctica, la dificultad para plantear preguntas que requieran
argumentación puede llevar consigo alguna otra carencia.
RESULTADOS EN RELACIÓN AL SEGUNDO OBJETIVO
Los resultados relativos al segundo objetivo se presentan en dos partes. La primera es
una tabla, dividida en diez partes principales, una para cada alumno. Cada parte se
subdivide así mismo en otras cuatro, tres para cada cuestión y una cuarta en la que se
presenta la etapa final del análisis como se indica en la sección de análisis.
Análogamente a las tablas anteriores, las entradas correspondientes a cada cuestión
contienen la respuesta literal de cada alumno, en rojo y cursiva, una reducción narrativa
en negro y por último la clasificación señalada en la sección anterior que se presenta en
color verde. La celda inferior para cada alumno corresponde al análisis global
correspondiente al segundo objetivo. La segunda parte de los resultados es una tabla
comentada que relaciona cada tipo de respuesta con cada alumno.
44
Alumno 1
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
L’argumentació és el que fa
prendre conciència dels
processos que s’han utilitzat per
resoldre un problema.
Conciencia de los procesos en un
problema.
Soporte para entender.
L’argumentació matemàtica és
una demostració del resultat al
qual s’ha arribat. En canvi
l’argumentació és una defensa
d’allò que un opina.
Defensa de una
opinión/Demostración de un
resultado
Diferencia en funcionamiento.
Consisteix en mostrar el
procediment que s’ha seguit i
demostrar la conclusió a què
s’ha arribat.
Mostrar el procedimiento y
demostrar la conclusión.
Explicar el procedimiento y
demostrar la conclusión.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender los procedimientos que se
siguen en matemáticas y cuyo objetivo es demostrar los resultados obtenidos, por lo que la
argumentación matemática se vincula a la demostración, mientras que la argumentación general se ve
ligada a la defensa de opiniones.
Alumno 2
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí perquè l’argumentació és la
forma d’explicar el raonament
matemàtic, ja que permet veure
si aquest es correcte o no. El fet
d’argumentar també ajuda a
consolidar els coneixements
matemátics.
Explicar el razonamiento
/Criterio de aceptabilidad
/Consolidar conocimientos
Soporte para entender/Soporte
para validar/Soporte para
consolidar
L’argumentació matemàtica es
basa en regles i procediments
comprovables i objectius, és a
dir, no es pot “divagar”.
Divagar /Reglas y
procedimientos objetivos.
Diferencia en funcionamiento.
Es explicar el procediment i les
causes del raonament que s’ha
seguit.
Explicar el procedimiento y las
causas del razonamiento.
Explicar procedimiento y
razonamiento.
Caracteriza la argumentación matemática como la explicación del razonamiento matemático. Señala
que sirve para consolidar el conocimiento y se basa en reglas y procedimientos objetivos.
Alumno 3
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, perquè ajuda a pensar en
com funcionen i s’estructuren les
coses i a poder resoldre més
fàcilment els problemes.
Conciencia sobre
funcionamiento y estructura en
un problema.
Soporte para entender/Soporte
para manejar.
Argumentar serveix per explicar
els teus punts de vista sobre un
tema i poder-los defensar, en
canvi, l’argumentació
matemática serveix per
demostrar teories o problemes.
Explicar y defender un punto de
vista /Demostrar teorías y
problemas
Diferencia en funcionamiento.
L’argumetació matemàtica
consisteix en la demostració de
problemes i teories. Serveix per
ajudar a explicar i resoldre
problemes plantejats i facilitar-
ne la resolució.
Demostración de problemas y
teorías.
Demostración de problemas y
teorías.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender y explicar el funcionamiento
y estructura de un problema, que consiste en demostrar teorías y problemas. Se diferencia de la
argumentación en general en que se relaciona con la demostración frente a la defensa de un punto de
vista.
Alumno 4
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Jo crec que sí, ja que si tens unes
operacions matemàtiques al
davant però ningú ha
Jo crec que no hi ha cap tipus de
diferència, ja que totes dues
serveixen per fer més entenedora
Com ja he dit abans crec que
serveix perquè qualsevol
persona pugui comprendre el
45
argumentat que volen dir, per
moltes matemàtiques que
sàpigues et costarà entendre-ho,
en canvi si hi tens una
argumentació, tot i no entendre
matemàteques, podràs saber
com resoldre’l.
Dar significado a operaciones y
lenguaje matemático.
Soporte para entender
una cosa, ja sigui matemàtica o
no.
No diferencia
procediment que ha dut a terme
per resoldre aquell problema o
questió matemàtica.
Hace comprensible el
procedimiento de resolución.
Explica el procedimiento de
resolución.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender procedimientos matemáticos
y no la diferencia de la argumentación en general.
Alumno 5
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, sense argumentació la gent
pot desconfiar del descobriment
que algú ha realitzat. A més, si
en el seu moment se’t dóna una
argumentació del resultat
obtingut en un futur tindràs més
possibilitats de recordar-te’n.
Justificar/Mecanismo de
memoria
Soporte para entender/Soporte
para consolidar conocimiento.
L’argumentació matemàtica mai
és subjectiva, en matemàtiques
2+2 sempre seran 4. No hi ha
matissos, tot és blanc o negre, a
diferència de l’argumentació.
Subjetiva/Objetiva
Diferencia en funcionamiento.
En argumentar mitjançant l’ajut
de demostracions tots els passos
seguits en el desenvolupament
d’un càlcul matemàtic.
Argumentar con la ayuda de la
demostración los pasos seguidos
en el desarrollo de un cálculo
matemático.
Demostrar los pasos seguidos en
la resolución de un problema.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender procedimientos matemáticos
y consolidar conocimientos, que se caracteriza por ser objetivo y consiste en argumentar en base a la
demostración los pasos seguidos en la resolución de un problema.
Alumno 6
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, per què és el que ens permet
seguir un procés lògic per
resoldre un problema segons la
informació que tenim.
Seguir un proceso lógico en un
problema.
Soporte para manejar.
No sé ben bé què entenem per
l’una i per l’altra però jo crec
que la argumentació es el mateix
en tots els camps i es un procés
de raonament on els nostres
coneixements previs, els fets
demostrats i la nostra lògica ens
permeten construir pensament.
En tot cas, una caraterística
pròpia de l’argumentació
matemàtica és que, perquè sigui
correcta, s’hauria de poder
demostrar, ja que és una ciència
objectiva.
No diferencia
En demostrar seguint un procés
lògic que determinada cosa és
certa o falsa.
Demostrar certeza.
Demostrar certeza.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para manejar la información de la que
dispongamos con objeto de resolver un problema, que consiste en demostrar si una determinada
afirmación es cierta o falsa.
Alumno 7
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, perquè sense una
argumentació no es pot apreciar
com esdevé el resultat.
En què en l’agumentació
matemàtica hi intervenen
nocions abstractes.
L’explicació mitjançant
paraules, dibuixos o expressions
de problemes abstractes.
46
Interpretar operaciones y
resultados.
Soporte para entender
Concreto/Abstracto
Diferencia en contenidos.
Explicación de problemas
abstractos.
Explicación de problemas
abstractos.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender los procedimientos en la
resolución de problemas abstractos.
Alumno 8
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, perque dóna una explicació
al raonament i ajuda a
desenvolupar temes amb més
facilitat i potser més accesibles
en algunes coses.
Da sentido a los razonamientos.
Soporte para entender
La diferència entre
argumentació i argumentació
matemàtica potser recau en la
manera de realitzar-lo, la
segona ha de tenir molt més
rigor matemàtic i basar-se en els
raonaments que puguem fer
matemàticament.
Diferencia en funcionamiento,
rigor y razonamiento
matemático.
Diferencia en funcionamiento.
Crec que consisteix en donar
una explicació a un raonament o
pensament a partir de les
matemàtiques i de tots les seves
possibles deduccions.
Explicación a un razonamiento a
partir de las matemáticas.
Explicación de un razonamiento.
Caracteriza la argumentación matemática como un soporte para entender los razonamientos y
procedimientos en la actividad matemática con rigor y utilizando el procedimiento matemático.
Alumno 9
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, ja que ajuda a veure els
problemes amb una visió
diferent,, a generar possibles
hipòtesis.
Ayuda a generar hipótesis.
Generar hipótesis.
L’argumentació matemàtica està
relacionada amb el pensament i
raonament matemàtic, és a dir,
està lligada a termes
matemátics. En canvi
l’argumentació és comparar i
contrastar idees amb el suport
d’altres coneixements o
evidències.
Contraste de ideas/ Relacionada
con términos matemáticos.
Diferencia en contenidos y
funcionamiento.
L’argumentació matemàtica
consisteix en contrastar
possibles raonaments del
problema, mirar quina solució és
la correcta (raonament) i quina
s’ha de rebutjar.
Contrastar posibles
razonamientos de un problema y
decidir.
Contrastar posibles
razonamientos.
Caracteriza la argumentación matemática como un proceso que consiste en contrastar posibles
razonamientos para decidir los pasos a seguir y generar hipótesis. Se diferencia de la argumentación en
general en que se da en términos matemáticos y en base a razonamientos matemáticos.
Alumno 10
CUESTIÓN 5 CUESTIÓN 6 CUESTIÓN 7
Sí, perquè cal demostrar això
que s’ha fet mitjançant passos,
qüestions...
Dar sentido a los pasos dados en
un problema.
Soporte para entender.
Jo penso que la frontera entre
l’argumentació i l’argumentació
matemàtica és molt fina ja que
contraposar dues qüestions en
un àmbit més de llengües i
contraposar dos fets matemàtics
tenen petites diferències però
són molt similars.
Relacionada con el lenguaje
/Contraposición de hechos
matemáticos.
L’argumentació matemàtica
podríem dir que consisteix a
demostrar una solució i refutar
una altra. Tot aixó, és clar,
donant demostracions de pas,
demostracions matemàtiques,
demostracions científiques.
Demostrar una solución y refutar
otra.
Demostrar la validez de una
solución.
47
Diferencia en contenido.
Caracteriza la argumentación matemática como un proceso que consiste en demostrar la validez de los
pasos seguidos y de los resultados obtenidos. Se diferencia de la argumentación en general en que está
ligado a hechos matemáticos enunciados con lenguaje matemático.
Tabla 3. Resultados relativos al segundo objetivo.
A continuación presentamos una tabla en la que se relacionan características relevantes
de las respuestas con cada uno de los alumnos. Las entradas de la tabla serán colores en
cada celda. El color naranja significa que el alumno ha manifestado algunos de los tipos
de respuesta que se exponen para cada cuestión., por el contrario el color azul significa
que el alumno no ha manifestado los tipos de respuesta que se exponen para cada
cuestión. Las notaciones para la primera fila y las primeras columnas son las que
siguen:
Q1: Cuestión 1 de la segunda parte del cuestionario
Q3: Cuestión 3 de la segunda parte del cuestionario
Q2: Cuestión 2 de la segunda parte del cuestionario
Q4: Cuestión 4 de la segunda parte del cuestionario
Q5 Cuestión 5de la segunda parte del cuestionario
Q6 Cuestión 6de la segunda parte del cuestionario
Q7 Cuestión 7de la segunda parte del cuestionario
E1, E2,....: Estudiante o alumno 1, Estudiante o alumno 2...
Tabla 4: Resumen de tipos de respuestas para cada alumno relativo al objetivo 2.
Las respuestas a la cuestión 5 del cuestionario, en la que se les preguntaba a los alumnos
acerca de la importancia de la argumentación en el pensamiento matemático, existe una
tendencia mayoritaria. Ocho de los diez alumnos consideran en sus respuestas que la
argumentación es importante en el razonamiento matemático como soporte para
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 Q5: Soporte para entender Q5: Soporte para validar Q5: Soporte para consolidar Q5: Soporte para manejar Q5: Generar hipótesis Q6: Diferencia en funcionamiento Q6: Diferencia en contenido Q6: No diferencia Q7: Explicar procedimiento Q7: Explicar razonamiento Q7: Demostrar certeza de una conclusión Q7: Demostrar pasos de resolución de problemas Q7: Demostrar teorías Q7: Contrastar razonamientos
48
entender algún aspecto de la actividad matemática, ya sea en el proceso de resolución de
un problema o al enfrentarse a problemas resueltos o a razonamientos matemáticos
expresados por alguien más.
Aparecen también en las respuestas a la cuestión 5 del cuestionario otros aspectos
importantes de la argumentación en matemáticas. Dos alumnos señalan también la
importancia de la argumentación matemática como herramienta para validar si un
razonamiento matemático o un resultado de un determinado problema es cierto o válido,
señalando los motivos de tal decisión. Dos alumnos señalan su importancia para
consolidar conocimientos, en tanto que un conocimiento que se ha construido de manera
argumentada estará mejor consolidado. También son dos los alumnos que señalan la
importancia y utilidad de la argumentación en matemáticas como herramienta para
manejar conocimientos matemáticos, es decir como herramienta para avanzar en
procesos matemáticos como la resolución de problemas. Un único alumno señala la
importancia que tiene para generar hipótesis en el planteamiento y resolución de
problemas. Cabe señalar además que un único alumno señala más de dos de estas
características en su respuesta.
En las respuestas a la cuestión 6, que pedía características que diferenciaran la
argumentación matemática y la argumentación en general, ocho de los diez alumnos
exponen diferencias. Seis alumnos plantean diferencias de funcionamiento, señalando
mayoritariamente que en la argumentación matemática, intervienen el razonamiento
matemático y los mecanismos de prueba propios de las matemáticas (demostración), es
decir que el paso de premisa a conclusión se hace apoyándose en el entramado teórico
propio de las matemáticas.
Por otro lado tres de los alumnos afirman que existe una diferencia de contenido.
Plantean así, que existe una diferencia en cuanto a la temática de las argumentaciones.
Señalan que en la argumentación matemática intervienen conceptos matemáticos y
abstractos que la diferencian de la argumentación en general. En un único caso se
plantean diferencias de contenido y de funcionamiento.
En la cuestión 7, en la que caracterizan la argumentación matemática, aparecen aspectos
variados. Seis alumnos señalan como una característica de la argumentación matemática
la explicación de procedimientos de resolución de problemas y actividades matemáticas.
Afirman que la argumentación matemática consiste en hacer compresible el
procedimiento de resolución de un problema argumentando el por qué de cada paso en
la resolución. Dos de estos seis alumnos señalan además la explicación de
razonamientos matemáticos, es decir exponer argumentadamente los razonamientos
matemáticos tanto en su estudio teórico como en su aplicación a problemas.
Otro aspecto importante que señalan como característica de la argumentación
matemática es la demostración. Un total de cinco alumnos plantean dicha característica.
Cuatro alumnos señalan que la argumentación matemática consiste en demostrar la
certeza de un resultado o de una conclusión. Dos de ellos afirman que consiste en
demostrar los pasos de resolución de un problema mientras que otro señala que consiste
en la demostración de teorías. Resaltamos que dos alumnos plantean que la
argumentación matemática consiste en explicar procedimientos para demostrar la
conclusión. Por último señalamos que un único alumno señala que la argumentación
matemática consiste en contrastar razonamientos.
49
Mayoritariamente se relaciona la argumentación matemática con la explicación, ya sea
en el proceso de resolución de un problema o en la exposición de un razonamiento
matemático. Asimismo es importante, en cuanto a su presencia, la relación que
establecen con la demostración, ya sea como característica propia de la argumentación
matemática, como su finalidad o como una herramienta para realizar las
argumentaciones.
50
5. CONCLUSIONES
5.1 Relevancia del marco teórico
El marco teórico que se adoptó en este trabajo resultó adecuado para los objetivos de la
investigación, ya que permitió hacer un acercamiento al concepto de argumentación en
un contexto genérico de aula, caracterizar la argumentación desde una perspectiva
formal, particularizar dicha caracterización a la argumentación matemática y señalar su
importancia en el caso de la educación matemática.
Los artículos de Custodio y Sonsola (2003), Ribas (2003) y Sardà (2003) fueron útiles
para situar la investigación en un contexto de aula, que es donde desarrollarán su
actividad docente los alumnos objeto del estudio. Aunque desde una perspectiva de
Ciencias, estos autores tratan distintas habilidades relacionadas con la comunicación de
ideas en el proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que muchos conceptos y
postulados se pueden extrapolar a cualquier otra disciplina escolar.
Los tres artículos anteriores tratan en concreto sobre las actividades de justificar,
argumentar, exponer y explicar, por lo que permitieron hacer una primera aproximación
a la argumentación en relación con la explicación y la justificación, conceptos que a
priori consideramos muy relacionados. Más tarde, los datos de nuestro estudio acerca de
las percepciones de los futuros maestros confirmaron este supuesto inicial, obteniéndose
incluso relaciones confusas entre argumentación, explicación y justificación.
En el estudio particular de las relaciones entre argumentación, explicación y
justificación, la obra de Duval (1999) permitió establecer criterios para diferenciar los
anteriores conceptos, dándonos las herramientas adecuadas para estudiar los textos
escritos producidos por los alumnos diferenciando, en base a criterios bien establecidos,
entre argumentaciones y explicaciones. Además la obra de Duval está dirigida a la
educación matemática, lo que fue especialmente útil para definir la argumentación
matemática, introduciendo el esquema básico de razonamiento deductivo, así como
relacionando la argumentación con la demostración. Por otro lado, el examen de
aceptabilidad de los resultados que se implemento en la primera fase del análisis tuvo
un alcance limitado en el trabajo debido a que el estudio se centró en la presencia de la
argumentación más que del análisis de su aceptabilidad.
En el amplio estudio de la argumentación realizado por Toulmin (2007), encontramos
un potente esquema que permite analizar formalmente los discursos y decidir si se trata
o no de una argumentación. El esquema argumentativo de Toulmin nos sirvió de criterio
para analizar las prácticas argumentativas de los alumnos, definición que tomamos del
trabajo de Homero (2007). Destacamos también el trabajo de Plantin (1998), que
incluye la distinción entre monólogo y diálogo argumentativo, proponiendo para el
primero el esquema argumentativo mínimo, que utilizamos como herramienta básica en
el análisis.
Para situar la argumentación en el contexto de la educación matemática escolar
tomamos el marco de evaluación PISA (OCDE, 2003) y los principios y estándares del
NCTM (2003) como referente teórico. Ambos trabajos proporcionan un marco de
referencia para la argumentación en educación matemática, estableciendo los objetivos
a alcanzar durante la educación escolar en relación con la argumentación. Asimismo nos
51
sirven como justificación de la importancia que se da en este trabajo a la argumentación
en la educación matemática, haciendo patente la necesidad de tener maestros
debidamente preparados en el tema.
5.2 Conveniencia de la metodología
Una vez obtenidos los resultados del análisis de los datos, nueva información arroja luz
sobre la conveniencia de la utilización de la metodología seguida. Para cada objetivo, tal
y como era predecible, hemos podido comprobar que algunas preguntas del instrumento
diseñado aportan información más útil que otras.
Las preguntas relacionadas con el objetivo 1, por ejemplo, que son las dos actividades y
las primeras cuatro preguntas del cuestionario, no proporcionan información igualmente
relevante atendiendo a los objetivos de la investigación. Las actividades 1 y 2 son un
buen ejemplo de ello.
En la actividad 1, las dos primeras preguntas obtienen buenos resultados según los
planteamientos de la investigación (un 90 % en la primera y un 80 % en la segunda), lo
que podría llevar a pensar que los alumnos realizan correctamente las prácticas
argumentativas según los criterios de la investigación. Pero al contrastar los resultados
con las preguntas 2 y 4 del cuestionario nos damos cuenta que hay muchas más
dificultades dentro de las prácticas argumentativas.
Creemos que los buenos resultados de los dos primeros apartados de la actividad 1 son
debidos en parte al carácter de la actividad, puesto que aunque se haya suprimido la
parte manipulativa sigue teniendo asociado un proceso gráfico de prueba en el cuál se
hace evidente la conclusión y la garantía de la ley de paso; es decir, se hace evidente
que no siempre el punto correspondiente al ortocentro estará dentro ya que los
estudiantes hacen pruebas y verifican que en algunos casos se encuentra fuera.
Asimismo, esta misma característica de la actividad hace que también se obtenga un
porcentaje similar de prácticas satisfactorias en el segundo apartado, donde basta con
señalar el proceso anterior para elaborar una explicación apropiada.
En el tercer apartado se obtiene una información pobre en relación a los objetivos de la
investigación, ya que la mitad de los alumnos concluye con información del enunciado,
tres concluyen mal y solo dos dan una conclusión que aporte más información que la
que daba el resultado. Aunque vemos también dificultades en el hecho de elaborar
conclusiones, no consideramos útil la información obtenida para los objetivos de esta
investigación. Por este motivo, creemos que para posteriores estudios convendría tomar
una actividad que no disponga de la facilidad de una presentación gráfica, para así
obtener información presumiblemente más rica acerca de las dificultades de los futuros
maestros en relación a la argumentación matemática y que la información aportada por
las conclusiones sólo tenían interés en cuanto al examen de aceptabilidad y no al estudio
de la argumentación que se llevó a cabo.
La segunda actividad cumplió su cometido, en tanto que facilitó la práctica de
argumentación en términos únicamente gráficos y mentales, en ausencia de elementos
del discurso oral o escrito. Buscábamos con esta actividad obtener respuestas ricas en
conjunto con las de la actividad 1, y aunque lo conseguimos la información obtenida no
52
es aprovechable en su totalidad en el marco de este estudio, como se profundiza más
adelante en las conclusiones respecto a los objetivos y a la cuestión de investigación.
Las preguntas 1, 2, 3 y 4 del cuestionario cumplieron su objetivo, tal como se había
planificado durante la elaboración del instrumento. Aportaron la información que
buscábamos en cuanto a la terna identificación-propuesta-argumentación, que además
de ser la información más rica, da algunas luces hacia la respuesta a la cuestión de
investigación, como se comenta en el siguiente apartado.
Las últimas tres preguntas del cuestionario, relacionadas con el objetivo 2, cumplen en
general su cometido. Aún así, consideramos que las cuestiones 5 y 7 se deberían
plantear de una forma menos ambigua, ya que la información obtenida en los dos casos
es una mezcla de características propias de la argumentación matemática (lo que
buscábamos preguntando en qué consiste) y características de su utilidad (lo que le daría
importancia dentro de las matemáticas). Aunque no hemos pretendido en ningún
momento que los alumnos proporcionaran una definición exacta de lo que consideran
argumentación matemática, un planteamiento distinto en estas preguntas podría aportar
información más clara y ordenada.
5.3 Aproximación a la respuesta de la cuestión de investigación
La cuestión de investigación -¿Cuáles son las prácticas e interpretaciones en torno a la
argumentación matemática de un grupo de futuros maestros de educación primaria?-,
está dirigida a conocer mejor dos aspectos de la argumentación matemática, que son la
práctica de la argumentación y las interpretaciones en torno a ella. Presentaremos
entonces las conclusiones de nuestro trabajo siguiendo estas dos líneas, que no son otras
que los objetivos de la investigación: 1) Identificar prácticas de argumentación en la
resolución escrita de actividades matemáticas; y 2) Explorar la diversidad de
interpretaciones de los maestros sobre la noción de argumentación matemática.
Tal y como se constató en el apartado de resultados, la información obtenida con
respecto a la práctica de la argumentación muestra aproximaciones muy variadas.
Veamos entonces la parte de estos resultados que más resalta, en tanto que es más
frecuente en las respuestas de los estudiantes, y que abre caminos para comprender
rasgos de la práctica de la argumentación en el caso de maestros en formación inicial.
Es llamativo que en la respuesta a los dos primeros apartados de la actividad una gran
mayoría de los alumnos realicen la práctica satisfactoriamente según los criterios de la
investigación, es decir, argumentan en el primer apartado y explican en el segundo.
Como ya se comentó, conviene no dejarse llevar por este resultado, ya que al estudiar
las respuestas a las preguntas 2 y 4 del cuestionario, el porcentaje de resultados
satisfactorios se reduce considerablemente, sobre todo cuando se pide a los estudiantes
que propongan preguntas que requieran argumentación. De acuerdo con esto,
entendemos que los buenos resultados en las primeras preguntas de la actividad 1 tienen
mucho que ver con el carácter gráfico que subyace en la resolución de la actividad.
Cuando se pide a los estudiantes que identifiquen la práctica empiezan a aparecer las
dificultades más llamativas en relación a dos aspectos principales. Por un lado, la mitad
de los alumnos (5) hace un reconocimiento confuso de la propia práctica. La confusión
53
la establecemos en base al marco teórico en el que nos apoyamos, siguiendo las
definiciones que hemos construido de argumentación y explicación. Afirmamos
entonces que existe tal confusión cuando el alumno identifica una explicación como una
argumentación o viceversa. La importancia de este hecho es relativa. Aunque nuestra
opinión no sea que los maestros en formación sepan el desarrollo teórico de los dos
conceptos, un futuro maestro debe tener el conocimiento suficiente que le permita
distinguir en el discurso y en la práctica entre argumentación y explicación, ya que será
uno de los encargados de reconstruir este conocimiento con sus alumnos.
Por otro lado, en la identificación que los estudiantes realizan respecto a la segunda
actividad, cuatro de ellos afirman que han argumentado al realizar dibujos para ver si
eran posibles las construcciones geométricas que se les proponía. Nos llama la atención
este hecho al margen de que nuestro trabajo no toque, ni en su marco sustentador ni en
sus objetivos, razonamientos gráficos, ya que el mismo diseño de la investigación ha
dado pie a que se produzca. Nos parece en este caso especialmente relevante que los
estudiantes consideren que argumentan al dibujar. Afirman que argumentaron al hacer
los dibujos y pensar si eran o no posibles los distintos triángulos. En relación a estos
datos, apreciamos también una cierta confusión en el concepto de argumentación, ya
que la mera prueba de situaciones mediante dibujos no constituye una forma de
argumentación en los términos del actual trabajo de investigación.
El resultado que consideramos más relevante es la constatación de una dificultad
importante de los estudiantes al plantear preguntas que requieran argumentación. Más
de la mitad de las preguntas propuestas por los estudiantes no requieren de
argumentación para ser respondidas. Estamos ante futuros maestros que creen que están
planteando preguntas que facilitan la práctica de la argumentación cuando en realidad
elaboran preguntas que piden enumeraciones, explicaciones, preguntas directas o
creencias. Cabe señalar que en seis casos, al responder a la pregunta propuesta por ellos
mismos, sí que argumentan, lo que nos podría hacer pensar que al realizar la pregunta
ya tenían pensada una respuesta argumentada y que no contemplaron la posibilidad de
otro tipo de respuestas. No tenemos datos, sin embargo, que validen esta interpretación.
De cualquier forma los maestros en formación deben ser capaces de plantear preguntas
de distintos tipos y controlar que dichas preguntas requieran uno u otro tipo de
respuesta.
Verificamos entonces, en el caso de las prácticas de argumentación en matemáticas,
dificultades que deben dar luz a futuros trabajos, de investigación y de innovación, con
el objeto de identificar puntos clave en el proceso de enseñanza y aprendizaje de
capacidades relacionadas con la argumentación. Es importante que se establezcan
criterios básicos de distinción entre procesos de argumentación, explicación, conclusión
verificación o demostración, que se reconozca cuándo hay y cuándo no hay una
argumentación, así como que sean capaces de proponer preguntas que requieran el
desarrollo de unos y otros procesos.
Las interpretaciones de los estudiantes en torno a la argumentación matemática son
también muy variadas, aunque de la misma manera que en el caso de las prácticas
argumentativas, se detectaron puntos importantes a tener en cuenta en posteriores
estudios sobre las percepciones en torno a la argumentación en alumnos de
matemáticas.
54
Las preguntas 5 y 7 del cuestionario arrojan información complementaria y similar a lo
comentado hasta ahora. A pesar de que los estudiantes mezclan en qué consiste la
argumentación matemática y para qué sirve, se puede concluir que existen ciertos rasgos
mayoritarios en el conjunto de las respuestas, relacionando la argumentación en
matemáticas con la explicación, la demostración y como soporte para entender
conceptos o procedimientos matemáticos.
En cuanto a la importancia que tenía la argumentación en matemáticas, aparece una
respuesta mayoritaria. El 80% de los alumnos considera que la argumentación es
importante en matemáticas porque ayuda a entender problemas, razonamientos o
demostraciones, es decir, es un soporte o herramienta que sirve para que se entienda la
actividad matemática y, en este sentido, tiene un carácter instrumental. En casos
individuales, aparecieron también otras características tales como que la argumentación
ayuda a manejar objetos matemáticos, a consolidar conocimientos, a validar resultados
o a generar hipótesis.
Consideramos fundamental que los alumnos reconozcan la importancia de la
argumentación para hacer entender objetos, conceptos y situaciones matemáticas, pero
también es fundamental tener en cuenta las utilidades que puntualmente señalan los
alumnos. Un futuro maestro las ha de tener en cuenta para poder ser un guía y modelo
apropiado en los primeros pasos del pensamiento matemático y en su avance.
Cuando se preguntaba acerca de las diferencias entre la argumentación en matemáticas
y la argumentación en general, la mayoría de estudiantes consideró que la diferencia era
de tipo funcional. En general afirman que la diferencia reside en que en la
argumentación matemática interviene el rigor matemático y, de ahí, la relacionan con la
prueba o demostración. Aunque no consideremos que esté mal encaminada esta
diferenciación se nota de nuevo una confusión de conceptos, que algún alumno
manifiesta explícitamente diciendo que no sabe a qué nos estamos refiriendo
exactamente con cada tipo de argumentación (argumentación en general y
argumentación matemática). En los casos en los que no aprecian una diferencia o en la
que proponen una diferencia en contenidos, se puede decir que en líneas generales se
dirigen de forma intuitiva hacia la diferencia que establecemos en el marco teórico,
aunque de maneras diversas y a menudo confusas.
En la última pregunta del cuestionario, las caracterizaciones que los estudiantes hacen
de la argumentación matemática vuelven a ser variadas aunque como en los casos
anteriores podamos extraer significativos rasgos comunes. Las respuestas presentan la
confusión antes comentada entre rasgos propios de la argumentación matemática y su
utilidad en la práctica matemática en general. Apartándonos de dicha confusión y
fijándonos en los aspectos principales que aparecen en las respuestas, podemos afirmar
que los estudiantes caracterizan la argumentación matemática alrededor de dos
conceptos, la explicación y la demostración. Relacionan la argumentación matemática
con la explicación de razonamientos, problemas o teorías al tiempo que con la
demostración de teorías, conclusiones y procedimientos de resolución de problemas.
Se puede afirmar que en términos generales los estudiantes relacionan la argumentación
matemática con la demostración y con la explicación, situando la práctica argumentativa
como herramienta para hacer entender razonamientos y para validar o decidir acerca de
una tesis o idea. Sin embargo, estas relaciones son generales y en cada caso individual
55
se presentan de forma distinta y con confusión. Se establecen relaciones de distintos
tipos, a veces partiendo de la finalidad de la argumentación, a veces de su función de
apoyo y otras de la naturaleza misma de esta actividad.
5.4 Implicaciones para la formación inicial de maestros
Los criterios en los que se basa este trabajo para definir una práctica argumentativa
correcta, o una determinada conceptualización de la argumentación matemática, no
constituyen en ningún momento un objetivo o un ideal de respuestas en los alumnos del
estudio, sino que buscan establecer criterios que permitan estudiar características de la
argumentación que den luz en el intento de entender y solventar dificultades en torno a
la noción seleccionada. Los resultados obtenidos en este trabajo, tienen por tanto
relación directa con la formación de maestros, señalando puntos de interés que conviene
tomar en cuenta si se busca mejorar las capacidades argumentativas de maestros y
alumnos.
Consideramos que es importante que los futuros maestros sean capaces de determinar si
un enunciado se corresponde con una argumentación o con una explicación. No
queremos con esto decir que todo maestro tenga que seguir nuestra construcción teórica
de argumentación matemática, sino que al empezar la actividad profesional deben
contar ya con estas herramientas conceptuales y prácticas, para poder trabajarlas con los
alumnos, decidiendo cuando se argumenta, cuando se explica, concluye, enumera, etc.
Consideramos también importante el hecho de plantear preguntas que requieran de
argumentación o de otro tipo de discurso razonado, puesto que la actividad docente que
desarrollará el futuro maestro tendrá un fuerte componente de preguntas. Se espera que
las preguntas en el aula estén bien planteadas según las intenciones educativas y
didácticas de quien las formula. Si un maestro quiere que sus alumnos argumenten tiene
que saber plantear preguntas que requieran argumentación, especialmente en ejercicios
escritos en los que no existe un diálogo con el profesor que guíe el proceso de
razonamiento. Se debería, pues, durante la formación inicial de maestros, trabajar en el
requerimiento oral y escrito de tipos de respuestas y razonamientos, junto con el de
tipos de preguntas.
Ante la confusión vista en las respuestas al segundo objetivo de la investigación,
creemos que es importante, especialmente en matemáticas, que el maestro en formación
adquiera los conocimientos necesarios para distinguir entre los principales tipos de
razonamiento con los que se trabaja en matemáticas, distinguiendo entre explicaciones,
argumentaciones, proposiciones, hipótesis o demostraciones, y siendo capaz de
reconocer cuando estas prácticas son propiamente matemáticas. Los futuros maestros
deberían entender con claridad cómo funcionan las cadenas de razonamiento en
matemáticas y distinguir los pasos argumentados que se dan en esos razonamientos. No
se puede enseñar con claridad algo que no se entiende con claridad.
En relación con el tema de nuestro estudio, la argumentación matemática, sostenemos
que hay aspectos a trabajar en la etapa de formación inicial de los maestros, y que no se
debería esperar a que en el transcurso de la práctica profesional se adquiera los
conocimientos necesarios en base al ensayo y error, puesto que esto no garantiza que se
llegue a una comprensión clara del concepto de argumentación matemática ni de sus
demandas didácticas en las distintas etapas educativas.
56
Por todo lo anterior consideramos que los resultados obtenidos en el presente trabajo
señalan aspectos a tener en cuenta en la actual formación inicial de maestros, con objeto
de contribuir a mejorar esta formación en el futuro. Son puntos a incluir en la formación
inicial en matemáticas, en algunos casos extrapolables a la formación en otras materias.
Reconocer razonamientos bien estructurados y aprender a plantear preguntas que
faciliten la argumentación son capacidades de gran relevancia, por su importancia
epistemológica dentro del desarrollo del pensamiento matemático y por la complejidad
que supone su adquisición, incluso cuando ya se ha llegado al aula universitaria.
57
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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II: Triángulos (2ª parte). En C. Tomás, M. Casas (coords.) Educación Primaria.
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58
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and Problem Solving knowledge and skills. París: OCDE.
OCDE (2006). Assessing Scientific, Reading and Mathematical Literacy: A framework
for PISA 2006. París: OCDE.
i
ANEXO
En este anexo se presentan las distintas versiones de las actividades que forman parte
del instrumento de recogida de datos. Las actividades escogidas en para el instrumento
son partes de la Actividad 6: Clasificación de los triángulos: según sus lados y sus
ángulos del Taller de arte y geometría en el ciclo superior de primaria II: Triángulos,
Badillo y Edo (2007).
Actividad 1-Versión 1: Adaptación de la tercera parte de la Actividad 6. Clasificación
de los triángulos: según sus lados y sus ángulos.
Actividad 1
Recorta en papel blanco o de color un triángulo de cada tipo según sus ángulos. Con la
ayuda de una escuadra o regla dobla y traza las alturas en cada uno de los triángulos y
analiza dónde se encuentran ubicadas y dónde se cortan. A continuación mostramos el
caso de triángulos acutángulos, reprodúcelo y comprueba lo que pasa con los otros
tipos.
d. Si el punto de corte o intersección de las alturas de un triángulo se conoce como
<<ortocentro>>. ¿Crees que el ortocentro siempre se encuentra en el interior del
triángulo? Justifica tu respuesta.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
e. Analiza la secuencia de fotos anterior y explica qué crees que pasará con las alturas de
triángulos obtusángulos y rectángulos.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
ii
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
f. ¿Qué podemos concluir sobre el número de alturas de cualquier triángulo?
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Actividad 1-Versión 2
Universitat Autònoma de Barcelona
Màster en Iniciació a la Recerca en Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències
Resol la següent activitat.
ACTIVITAT 1
a. El punt de tall o intersecció de les altures d‟un triangle es coneix com ortocentre. Creus que
l‟ortocentre sempre es troba a l‟interior del triangle? Justifica la teva resposta.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
b. Explica què creus que passarà amb les altures dels triangles obtusangles i rectangles.
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
c. Què podem concloure sobre el nombre de altures de qualsevol triangle?
..............................................................................................................
..............................................................................................................
………………………………………………………………………..
………………………..........................................................................
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
iii
Actividad 1-Versión 3
Universitat Autònoma de Barcelona
Màster en Iniciació a la Recerca en Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències
Tot el que feu i suposeu per a resoldre les activitats cal adjuntar-ho.
Resol la següent activitat.
ACTIVITAT 1
a. El punt de tall o intersecció de les altures d‟un triangle es coneix com ortocentre. Creus que
l‟ortocentre sempre es troba a l‟interior del triangle? Justifica la teva resposta.
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b. Explica què creus que passarà amb les altures dels diferents triangles d‟acord amb el tipus
d‟angles.
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c. Què podem concloure sobre les altures de qualsevol triangle?
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iv
Actividad 2-Versión 1
Adaptación de la primera parte de la Actividad 6. Clasificación de los triángulos: según
sus lados y sus ángulos.
ACTIVIDAD 2
A partir de la actividad anterior clasifica los triángulos según sus lados y según sus
ángulos. Verifica y justifica cuáles de las siguientes relaciones entre triángulos son
posibles y cuáles no.
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
Equilátero
Isósceles
Escaleno
v
Actividad 2-Versión 2
ACTIVITAT 2
Posa a cada requadre si és possible, o no, construir un triangle que compleixi les
condicions de fila i columna. En cas que sigui possible, dibuixa‟l.
Acutangle Rectangle Obtusangle
Equilàter
Isòsceles
Escalè
