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UNIVERSIDADE DO ALGARVE – ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

APONTAMENTOS DE

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

(IV. Espaços vectoriais)

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Espaços vectoriais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Índice

4. Espaços vectoriais..........................................................................................................1

4.1 Definição e exemplos ......................................................................................................1

4.2 Subespaços......................................................................................................................4

4.3 Conjuntos geradores ........................................................................................................7

4.4 Dependência e independência linear ..............................................................................11

4.5 Base e dimensão ............................................................................................................18


Espaços vectoriais


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4. Espaço vectoriais 4.1 Definição e exemplos

As operações de soma e multiplicação por um escalar são usadas em diversos contextos na

matemática, independentemente destes, essas operações obedecem, em geral, ao mesmo conjunto

de regras aritméticas. Assim, uma teoria geral de sistemas matemáticos envolvendo estas duas

operações vai ter aplicação em diversas áreas da matemática. Sistemas matemáticos deste tipo são

chamados espaços vectoriais ou espaços lineares. Neste capítulo, vamos definir espaços vectoriais e

desenvolver parte da sua teoria geral.

Definição1: Seja E um conjunto arbitrário não vazio onde estão definidas duas operações, a adição

e a multiplicação por escalares. Se os seguintes axiomas se verificam para todos os elementos u, v e

w de E e todos os escalares λ e γ , então E é um espaço vectorial e os seus elementos são

chamados vectores.

I. Adição é uma regra que associa a cada par de elementos u e v de E um único elemento +u v de

E, de maneira a que se verifiquem os seguintes axiomas:

I.1 – Comutatividade da adição: + = +u v v u ;

I.2 – Associatividade da adição: ( ) ( )+ + = + +u v w u v w ;

I.3 – Elemento neutro: E∃ ∈0 , chamado vector nulo de E : E∀ ∈u , + = + =0 0u u u ;

I.4 – Elemento simétrico: E∀ ∈u , ( ) E∃ − ∈u , chamado simétrico de u: ( ) ( )+ − = − + = 0u u u u .

II. Multiplicação por escalares é uma regra que associa a cada escalar λ e cada elemento u de E

um único elemento λu de E, chamado escalar múltiplo de u , que verifica os seguinte axiomas:

II.1 – Distributividade em relação à adição em E: ( )λ λ λ+ = +u v u v ;

II.2 – Distributividade em relação à adição de escalares: ( )λ γ λ γ+ = +u u u ;

II.3 – Associatividade da multiplicação por escalares: ( ) ( )λ γ λγ=u u ;

II.4 – Elemento identidade: 1 =u u , E∀ ∈u , sendo 1 o elemento unidade dos escalares.

Repare-se que:

I. Significa que, se u e v pertencem a E, então +u v pertence a E (fechado para a adição);

II. Significa que, se λ é um escalar arbitrário e u um qualquer elemento de E , então λu

pertence a E (fechado para a multiplicação por escalares).


Espaços vectoriais


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Obs.1: • Deve ter-se em conta que a definição de espaço vectorial não especifica quer a natureza dos

elementos (vectores) que formam o conjunto E quer as operações entre estes vectores. Qualquer

tipo de objecto pode ser um vector, e as operações de adição e multiplicação por escalares

podem não ter qualquer relação ou semelhança com as operações standard dos vectores em n� .

O que é exigido é que os axiomas do espaço vectorial sejam satisfeitos (os axiomas não se

provam, eles são simplesmente as “regras do jogo”). Alguns autores utilizam a notação ⊕ e �

para adição de vectores e multiplicação por escalares para se distinguir estas operações da

adição e multiplicação de números reais; não se utilizará esta convenção.

• De um modo geral, dependendo da aplicação, os escalares podem ser tomados de qualquer

sistema numérico no qual, falando informalmente, se possa somar, subtrair, multiplicar e dividir

de acordo com as leis habituais da aritmética. Em álgebra abstracta, um sistema desses é

conhecido como um corpo.

• Portanto, existem uma infinidade de espaços vectoriais. Apenas estudaremos os espaços

vectoriais sobre os números reais, ou seja, quando os “escalares” são números reais. Assim,

omitimos a palavra real, quando nos referimos a espaços vectoriais, assumiremos que estamos a

trabalhar com o sistema dos números reais.

Exemplo1 (espaços vectoriais): Em cada caso, devemos especificar um conjunto não vazio E , bem

como as operações de adição e multiplicação por escalares, e devem verificar-se os respectivos

axiomas. Só assim E, com as operações especificadas, pode ser chamado um espaço vectorial.

i) O conjunto nE = � representa o espaço de todos os n-uplos ordenados de números reais,

{ }1 2( , ,..., ) : , 1,2,...,nn ix x x x i n= ∈ =� � .

Onde, � representa o conjunto dos números reais e n ∈� , o conjunto dos números naturais.

Para cada 1,2,...n = , o conjunto nE = � , munido das operações usuais de adição

1 1 2 2( , ,..., ) nn nx y x y x y+ = + + + ∈�x y e multiplicação escalar 1 2( , ,..., ) n

nx x xλ λ λ λ= ∈�x , com

1 2 1 2( , ,..., ), ( , ,..., ) nn nx x x y y y= = ∈�x y e λ ∈� , é um espaço vectorial real com n dimensões.

De um modo geral, os elementos 1( ,..., )nx x de n� , têm duas interpretações geométricas. Podem

ser interpretados como pontos, neste caso, 1,..., nx x ∈� são as coordenadas do ponto, ou podem ser

interpretados como vectores, neste caso, 1,..., nx x ∈� são as componentes escalares do vector. Esta


Espaços vectoriais


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distinção é pouco importante em termos matemáticos, chamaremos aos elementos de n� pontos ou

vectores dependendo da situação. Por exemplo, em 3� :

Figura1 – Coordenadas 0 0 0( , , )x y z Figura2 – Componentes 0 0 0( , , )x y z

Na bibliografia, por se tratar de uma convenção comum, os pontos aparecem representados por

letras minúsculas a “negrito” ou por letras maiúsculas, enquanto os vectores, também, por letras

minúsculas a “negrito” ou com uma seta por cima. Neste texto, para n� , representam-se os pontos

por letra maiúscula, a origem por (0,0,..., 0)O = =0 , e os vectores com uma seta por cima.

ii) O conjunto E de todas matrizes reais ( m n× ) é um espaço vectorial ( m n×

� ou ( ) ( )m nM × � ) se a

adição de vectores é definida como sendo a adição de matrizes e a multiplicação escalar de vectores

é definida como sendo a multiplicação de matrizes por escalares.

Seja

11 12 1

21 22 2

1 2 ( )

........

........

........

n

n

m m nn n n

a a a

a a aA

a a a×

� �� =� ��

� � � �uma matriz ( n n× ) de elementos de � , as várias linhas de A

podem considerar-se vectores de n� , da forma

1i ij j

j

a a e=

=��

, sendo os vectores, je�

, representados

pelas linhas da matriz identidade.

• m n×� é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( m n× ), portanto, a matriz ( )m nA × pode ser

considerada um vector de m n×� ;


Espaços vectoriais


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• 1 n×� é o espaço vectorial de todas as matrizes reais (1 n× ) (as matrizes linha), portanto, a

matriz (1 ) 11 12 1[ ... ]n nA a a a× = pode ser considerada um vector de 1 n×� ;

• 1m×� é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( 1m × ) (as matrizes colunas) portanto,

a matriz ( 1) 11 21 1[ ... ]Tm mA a a a× = pode ser considerada um vector de 1m×

� .

Exemplo2 (um conjunto que não é um espaço vectorial): Seja 2E = � , para 1 2( , )u u u=� e

1 2( , )v v v=� , define-se a adição e multiplicação escalar do seguinte modo: 1 1 2 2( , )u v u v u v+ = + +� �

(adição standard de 2� ) e 1( ,0)ku ku=� , k ∈� (não é a multiplicação escalar standard de 2

� ).

Assim, há valores de u�

para os quais não se verifica o axioma II4 da definição de espaço vectorial.

Por exemplo, seja 1 2( , )u u u=� tal que 2 0u ≠ , então 1 2 1 11 1( , ) (1 ,0) ( ,0)u u u u u u= = × = ≠� �. Assim,

E não é um espaço vectorial com as operações definidas.

4.2 Subespaços

Dado um espaço vectorial E , é muitas vezes possível formar um outro espaço vectorial usando um

subconjunto S de E e as operações de E . Como E é um espaço vectorial, as operações de soma e

multiplicação por um escalar produzem sempre um outro vector em E . Para um novo sistema,

usando um subconjunto S de E , ser um espaço vectorial, o conjunto S tem que ser fechado em

relação às operações de soma e multiplicação por um escalar. Por outras palavras, a soma de dois

elementos de S tem que ser sempre um elemento de S e a multiplicação de um elemento de S por

um escalar tem que pertencer sempre a S .

Definição2: Um subconjunto não vazio S de um espaço vectorial E, é um subespaço vectorial de E

se ele próprio formar um espaço vectorial relativamente às duas operações adição e multiplicação

escalar definidas para os elementos de E.

Desta definição resulta que, operando elementos de S com operações de E obtemos elementos de S.

Assim, um subespaço de E, é um subconjunto S que é fechado em relação às operações de E.

Donde, para verificarmos se um subconjunto de um espaço vectorial é subespaço não é necessário a

verificação dos oito axiomas, além dos dois que definem a soma e a multiplicação por escalares.

Teorema1: Seja E um espaço vectorial. Um subconjunto S ≠ ∅ , de E é um subespaço vectorial de

E se, e só se, satisfaz as seguintes condições:

(a) Se u , S∈v ( ) S� + ∈u v (fechado para a adição);

(b) Se λ ∈� é um escalar arbitrário e S∈u , então Sλ ∈u (fechado para a multiplicação escalar);


Espaços vectoriais


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Obs.2: • Como os axiomas do espaço vectorial são válidos para o novo sistema matemático formado pelo

subespaço vectorial, todo o subespaço de um espaço vectorial é ele mesmo um espaço vectorial.

• Se S é um subespaço de um espaço vectorial E, então S contém o vector nulo de E.

Exemplo3: Mostre que o conjunto 2 212 21{ : }S A a a×= ∈ = −� , forma um subespaço de 2 2×

� .

Resolução: O conjunto S ≠ ∅ e 2 2S ×⊂ � (S é um subconjunto não vazio de 2 2×� ) . Sejam as

matrizes ,A B S∈ , então a b

Ab c

� �= � �−� �

e d e

Be f

� �= � �−� �

.

i) ( )

a d b e a d b eA B S

b e c f b e c f+ + + +� � � �

+ = = ∈� � � �− − + − + +� � � �;

ii) Para α ∈� , vem a b

A Sb c

α αα

α α� �

= ∈� �−� �, porque 12 21a b aα= = − .�

Exemplo4: Verifique se o conjunto 2{( , ) : 0 0}W x y x y= ∈ ≥ ≥� � é um subespaço de 2� .

Resolução: Os pontos de W estão no primeiro quadrante,

logo, W é um subconjunto de 2� . O conjunto W não é um

subespaço de 2� , uma vez, que não é fechado relativamente

à multiplicação escalar. Por exemplo, (1,1)u =� está em W,

( 1) ( 1, 1)u− × = − −� não está (pertence ao terceiro quadrante).�

Figura3 - 2W ⊂ � não é subespaço de 2�

Obs.3: Se E é um espaço vectorial, então E é um subespaço dele mesmo. O conjunto formado

apenas pelo vector nulo é também um subespaço de E. Assim, qualquer espaço vectorial não nulo E

tem pelo menos dois subespaços. O próprio E e o conjunto {0} constituído apenas pelo vector nulo

em E chamado o subespaço nulo (os chamados subespaços triviais).

Obs.4: O conjunto 2� não é um subespaço de 3

� , pois 2� não é um subconjunto de 3

�

• Os subespaços de 3� são:

i) {0} (subespaço trivial);

ii) as rectas que passam na origem;

iii) os planos que passam na origem;

iv) 3� .

• Os subespaços de 2� são:

i) {0} (subespaço trivial);

ii) as rectas que passam na origem;

iii) 2� .


Espaços vectoriais


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Alguns subespaços de n n×� , são:

i) O conjunto das matrizes ( n n× ) simétricas, { : }n n TE A M A A×= ∈ = ;

ii) O conjunto das matrizes ( n n× ) anti-simétricas, { : }n n TE A M A A×= ∈ = − ;

iii) O conjunto das matrizes ( n n× ) triangulares (superiores, inferiores e diagonais).

Uma vez que estes conjuntos são fechados relativamente à soma e à multiplicação escalar.

Teorema2: Seja E um espaço vectorial.

(i) A intersecção de dois (ou mais) subespaços de E é ainda um subespaço de E;

(ii) A reunião de dois subespaços de E só é um subespaço de E, se um deles contiver o outro.

Exemplo5: Prove que conjunto definido por 1 2 1 1 2 2{( , ,..., ) : ... 0}n

n n nS x x x a x a x a x= ∈ + + + =� ,

onde 1 2( , ,..., ) nna a a ∈� é um subespaço de n

� .

Resolução: Vamos provar que S é fechado para a adição e para a multiplicação por escalares.

i) Se 1 2( , ,..., )nX x x x= e 1 2( , ,..., )nY y y y= pertencem a S, então 1 1 2 2 ... 0n na x a x a x+ + + = e

1 1 2 2 ... 0n na y a y a y+ + + = , donde 1 1 2 2( , ,..., )n nX Y x y x y x y+ = + + + também pertence a S, pois

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ... ) ( ... ) 0 0 0.n n n n n n na x y a x y a x y a x a x a x a y a y a y+ + + + + + = + + + + + + + = + =

ii) Se 1 2( , ,..., )nX x x x S= ∈ e α ∈� , então 1 2( , ,..., )nX x x x Sα α= ∈ , pois

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) ( ... ) 0 0n n n na x a x a x a x a x a xα α α α α+ + = + + + = × = .

Por i) e ii) prova-se que S é um subespaço de n� .

Por outro lado, suponha que o conjunto 1 2 1 1 2 2{( , ,..., ) : ... }nn n nS x x x a x a x a x c= ∈ + + + =� , é um

subespaço de n� , onde c é um número real fixo.

Se S é um subespaço e X S∈ , então 0X O= também pertence a S, ou seja, o subespaço tem que

conter a origem. Substituindo (0,0,..., 0)O = na equação que define o conjunto, obtemos

1 20 0 ... 0 0na a a c c× + × + + × = ⇔ = . Se 1 2( , ,..., ) (0,0,...,0)na a a ≠ então S é chamado um

hiperplano de n� . Para 3n = os hiperplanos são planos, e para 2n = os hiperplanos são rectas.�

Definição3: Se AX B= é um sistema de equações lineares, então o vector X que satisfaz esta

equação é chamado um vector solução do sistema.

Teorema3: Seja 0AX = um sistema linear homogéneo com m equações e n incógnitas, então o

conjunto dos vectores solução de 0AX = forma um espaço vectorial, chamado o espaço solução do

sistema homogéneo, que é um subespaço de n� .


Espaços vectoriais


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Obs.5: O conjunto solução (espaço solução) de um sistema linear homogéneo com m equações e n

incógnitas pode ser visto como a intersecção de m subespaços de n� , que são hiperplanos que

passam pela origem.

Exemplo6: Considere os seguintes sistemas lineares

a)1 2 3 02 4 6 03 6 9 0

x

y

z

−� � � � � �� − =� �� −� ��

b)1 2 3 03 7 8 02 4 6 0

x

y

z

−� � � � � �� − − =� �� − −� ��

c)1 2 3 03 7 8 0

4 1 2 0

x

y

z

−� � � � � �� − − =� ��

d)0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

x

y

z

� � � � � �� =� ��

Como cada um destes sistemas homogéneo tem três incógnitas, pelo teorema anterior os conjuntos

solução formam subespaços de 3� . Geometricamente, isto significa que cada espaço solução

deverá ser, a origem, uma recta que passa na origem, um plano que passa na origem, ou todo o 3�

Resolução:

a) As soluções deste sistema são, 2 3x s t= − , y s= e z t= , donde 2 3 2 3 0x y z x y z= − ⇔ − − = .

Esta é a equação de um plano que passa na origem, tendo como vector normal (1, 2, 3)n = − −�.

b) As soluções são, 5x t= − , y t= − e z t= , as equações paramétricas de uma recta que passa na

origem, paralela ao vector ( 5, 1,1)v = − −�.

c) A solução é 0x y z= = = , portanto, o espaço solução é a origem, ou seja, { }O .

d) As soluções são, x r= , y s= e z t= , onde r, s e t tomam valores arbitrários, portanto o espaço

solução é todo o 3� .�

4.3 Conjunto geradores Nesta secção, vamos mostrar que um conjunto de vectores 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

gera um determinado

espaço vectorial E se cada vector de E pode ser expresso como uma combinação linear dos vectores

de V. De um modo geral, pode existir mais de uma maneira de escrever um vector de E como

combinação linear dos vectores do conjunto gerador.

Definição4: Seja 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � um conjunto de n vectores de um espaço vectorial E, todo o

vector u�

que se possa exprimir na forma 1 1 2 2 ... n nu v v vλ λ λ= + + +� � � � com iλ ∈� (não todos nulos)

diz-se uma combinação linear dos vectores 1 2, ,..., nv v v� � �

.

Obs5: Caso 1n = , a equação anterior reduz-se a 1 1u vλ=� �

, ou seja, u�

é uma combinação linear de

um único vector 1v se for um escalar múltiplo de 1v .


Espaços vectoriais


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Exemplo7: Mostre que qualquer vector de n� pode ser escrito como combinação linear dos

vectores na forma 1 2(1,...,0), (0,1,...,0)e e= =� �, ..., (0,...,1)ne =� .

Resolução: Os vectores de n� são do tipo 1( ,..., )nu u u=� , para serem combinação linear dos

vectores 1 2, ,..., ne e e� � �

devem ser escrito na forma.

1 1 2 2 3 3 1 2 1(1,...,0) (0,1,...,0) ... (0,...,1) ( ,..., )n nu u e u e u e u u u u u= + + = + + + =� � � �,

o que 1( ,..., )nu u é uma combinação linear dos vectores 1 2, ,..., ne e e� � �

.�

Definição5: Seja 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � um conjunto de vectores do espaço vectorial E, então o conjunto

W de todas as combinações lineares dos vectores de V é chamado conjunto gerado por 1 2, ,..., nv v v� � �

ou por V , diz-se que os vectores 1 2, ,..., nv v v� � �

geram W ou que V é o conjunto de geradores de W.

Para indicar que W é o conjunto gerado pelos vectores de V escrevemos ger( )W V= ou W V=< > .

Exemplo8: Verifique se os vectores 1 (1,1,2)v =� , 2 (1,0,1)v =� e 3 (2,1,3)v =� geram 3

� .

Resolução: Queremos verificar ger( )W V= , com 1 2 3{ , , }V v v v= � � � , ou seja, devemos determinar se

um vector arbitrário 1 2 3( , , )u u u u=� de 3� pode ser expresso como uma combinação linear dos

vectores 1 2,v v� �

e 3v�

, isto é, 1 1 2 2 3 3u v v vλ λ λ= + +� � � �. Escrevendo esta equação em termos das suas

componentes vem

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3

1 2 3 1

1 3 2

1 2 3 3

( , , ) (1,1,2) (1,0,1) (2,1,3) ( , , ) ( 2 , , 2 3 )

2

2 3

u u u u u u

u

u

u

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λλ λ

λ λ λ

= + + ⇔ = + + + + + ⇔+ + =

⇔ + =� + + =�

Como o sistema tem três equações para três incógnitas, o problema reduz-se então a determinar se

este sistema é possível e determinado para todos os valores de 1 2,u u e 3u , isto acontece se, e só se,

o determinante da matriz A, dos coeficientes do sistema, for diferente de zero. Como | | 0A = , os

vectores 1 2,v v� �

e 3v�

não geram 3� .�

Exercício1: Resolva o sistema do exemplo anterior.

Se 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

é um conjunto de vectores do espaço vectorial E, então alguns vectores de E

podem escrever-se como combinação linear de 1 2, ,..., nv v v� � �

e outros não. O seguinte teorema mostra

que um conjunto ger( )W V= forma um subespaço de E.


Espaços vectoriais


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Teorema4: Se 1 2, ,..., nv v v

� � � são vectores de um espaço vectorial E, e W é o conjunto de todas as

combinações lineares de 1 2, ,..., nv v v� � �

, ou seja, 1 2ger{ , ,..., }nW v v v= � � �, então:

(a) W é um subespaço de E;

(b) W é o menor subespaço de E que contém 1 2, ,..., nv v v� � �

no sentido de qualquer outro subespaço de

E que contenha 1 2, ,..., nv v v� � �

deve conter W.

Obs.6: Este teorema diz que, como o subespaço ger( )W V= é o menor subespaço de E que contém

V, se G for um subespaço de E que contém V, então necessariamente ger( )V G⊆ .

Tendo em conta o teorema4 e a definição5, podemos dizer que sendo 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � um

subconjunto não vazio de um espaço vectorial E, o conjunto ger( )W V= é um subespaço de E

chamado espaço gerado por V. Quando W E= diz-se que V é o conjunto de geradores de E (os

vectores 1 2, ,..., nv v v� � �

geram E ou constituem um sistema de geradores do espaço).

Obs.7: Se o conjunto de geradores de um espaço vectorial E tem um número finito de elementos

dizemos que o espaço vectorial é finitamente gerado. O conceito de subespaço gerado por um

conjunto pode apresentar-se para conjuntos não necessariamente finitos.

Teorema5: Se 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

e 1 2{ , ,..., }kW w w w= � � � são dois conjuntos de vectores de um espaço

vectorial E, então ger( ) ger( )V W= se, e só se, cada vector de V for uma combinação linear dos

vectores de W e se cada vector de W for uma combinação linear dos vectores de V.

Exemplo9: Considere o sistema linear homogéneo 0AX = , onde

1 1 0 22 2 1 5

1 1 1 3A

� �� = − − −� �� −� �

.

Encontre um conjunto de vectores que gere o subespaço solução do sistema homogéneo.

Resolução: A matriz do sistema é equivalente

1 1 0 2 1 1 0 22 2 1 5 0 0 1 1

1 1 1 3 0 0 0 0

� � � �� − − − ↔ −� � � �� −� � � �

, donde

1 2 3

2

3

4 3

2

0

x x x

xAX

x

x x

= − − ∈= ⇔ � ∈ =�

�

�,

ou seja, o conjunto solução de 0AX = é 1 2 3 4 2 3 2 3 3 2 3{( , , , } ( 2 , , , ) : , }S x x x x x x x x x x x= = − − ∈� .


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Qualquer elemento de S pode ser escrito como uma soma de vectores, sendo um vector para cada

parâmetro e cada vector depende apenas de um parâmetro, obtendo-se

2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3( 2 , , , ) ( , ,0,0) ( 2 ,0, , ) ( 1,1,0,0) ( 2,0,1,1)x x x x x x x x x x x x− − = − + − = − + − .

Portanto, 1 ( 1,1,0,0)X = − e 2 ( 2,0,1,1)X = − geram S, isto é, 1 2ger( , )S X X= .�

Exemplo10: Encontre um conjunto constituído pelos vectores 1 (1,1,0)v =� , 2 (0,1,1)v =� ,

3 (1,0,1)v =� ou 4 (1,2,1)v =� que gere 3� .

Resolução: Comecemos por verificar se 3 ger( )V=� com 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � . Para isso, devemos

mostrar que 3� é o conjunto de todas as combinações lineares de 1 2 3, ,v v v

� � � e 4v�

. Os elementos de

3� são do tipo ( , , )a b c , queremos verificar se estes se podem escrever como combinação linear dos

vectores de V, ou seja, temos que resolver o sistema

1 3 4

1 2 3 4 1 2 4

2 3 4

(1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (1,2,1) ( , , ) 2

a

a b c b

c

λ λ λλ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

+ + =+ + + = ⇔ + + =� + + =�

.

A matriz ampliada do sistema é

2

2

2

1 0 1 1 1 0 0 11 1 0 2 0 1 0 10 1 1 1 0 0 1 0

a b c

a b c

a b c

a

bc

+ −

− + +

− +

� � � �� ↔� � � ��

, donde

1 4

1 3 42 4

1 2 4

2 3 43

4

2

2 2

2

a b c

a a b cb

a b cc

λ λ

λ λ λλ λ

λ λ λλ λ λ λ

λ

+ − = −+ + = − + + = − + + = ⇔� �

− ++ + =� = ∈� �

,

portanto, 1 2 3, ,v v v� � �

e 4v�

geram 3� , ou seja, qualquer vector de 3

� pode ser escrito como

combinação linear destes vectores. Repare-se que o sistema é possível e indeterminado (porquê?).

Vamos agora verificar se o conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � gera 3� . Por um lado, verifica-se que o

determinante cujas colunas são 1 2,v v� �

e 3v�

é diferente de zero, por outro,

1 21 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 2 2

2 3 3 2

( , , ) (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) ( , , )

a b c

a b c

a b c

a

v v v a b c a b c b

c

λλ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

+ −

− + +

− +

=+ = + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ =� � + = =� �

� � �

conclui-se que V gera 3� . Por exemplo, se

1 1 21 2

1 1 22 2

1 1 23 2

1

( , , ) ( 1,1, 2) 2

0

a b c

λλλ

− + −

+ +

− − +

= = −= − � = =� = =�

,


Espaços vectoriais


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donde

1 1 2 2 3 3 ( , , ) 1 (1,1,0) 2 (0,1,1) 0 (1,0,1) ( 1,1,2)v v v a b cλ λ λ+ + = ⇔ − × + × + × = −� � �.

Prova-se que o conjunto 1 2{ , }V v v= � � não gera 3� . O mesmo acontecendo com qualquer conjunto

formado por dois destes vectores (exercício!).

Conclusão: Verificámos que dois conjuntos finitos de vectores geram o espaço vectorial 3

� , ou

seja, 3� é finitamente gerado. Em particular, vimos que os conjuntos 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � e

1 2 3{ , , }V v v v= � � � geram 3� , mas que o conjunto 1 2{ , }V v v= � � não gera 3

� . �

Teorema6: Se os vectores 1 2, ,..., nv v v� � �

geram o espaço vectorial E e se um desses vectores pode ser

escrito como uma combinação linear dos outros 1n − vectores, então esses 1n − vectores geram E.

Exercício2: No exemplo10, vimos que 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � e 1 2 3{ , , }V v v v= � � � geram 3� . Verifique se

algum vector de 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � se pode escrever como combinação linear dos restantes vectores.

De facto, dado um espaço vectorial E, é desejável encontrar um conjunto gerador de E com tão

poucos elementos quanto possível, a que chamamos conjunto gerador mínimo. Por mínimo,

queremos dizer um conjunto gerador sem elementos desnecessários, isto é, todos os elementos no

conjunto são necessários para se gerar o espaço vectorial. Para se ver como encontrar um conjunto

gerador mínimo, é preciso considerar como os vectores no conjunto “dependem” uns dos outros.

Vamos então introduzir os conceitos de dependência e independência linear. Esses conceitos

simples vão dar-nos a chave para entender a estrutura dos espaços vectoriais.

4.4 Dependência e independência linear

Na secção anterior, vimos que um conjunto de vectores 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � gera um determinado

espaço vectorial E se todos os vectores de E se podem exprimir como combinação linear dos

vectores de V. De um modo geral, podem existir várias maneiras de exprimir um vector de E como

combinação dos vectores do espaço gerador. Nesta secção, olhamos mais de perto a estrutura de um

espaço vectorial, estudamos condições sob as quais cada vector de E pode ser expresso como

combinação linear dos vectores do espaço gerador de uma única maneira. Conjuntos geradores com

esta propriedade desempenham um papel fundamental no estudo dos espaços vectoriais.


Espaços vectoriais


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Definição6: Um conjunto 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

não vazio de um espaço vectorial E, diz-se linearmente

independente (L.I.) se 1 21

0 ... 0n

i i ni

vλ λ λ λ=

= ⇔ = = = =� ( iλ ∈� ). Caso contrário, ou seja, se

existe pelo menos um 0iλ ≠ tal que 1

0n

i ii

vλ=

=� , o conjunto diz-se linearmente dependente (L.D.).

Exemplo11: Estude a dependência linear do conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � com 1 (2, 1,0,3)v = −�,

2 (1,2,5, 1)v = −� e 3 (7, 1,5,8)v = −�

Resolução: Tendo em conta a definição anterior,

1 2 3

1 2 31 1 2 2 3 3 1 2 3

2 3

1 2 3

2 7 0

2 00 (2, 1,0,3) (1,2,5, 1) (7, 1,5,8) (0,0,0)

5 5 0

3 8 0

v v v

λ λ λλ λ λ

λ λ λ λ λ λλ λλ λ λ

+ + =− + − =+ + = ⇔ − + − + − = ⇔ � + = − + =�

� � �.

Temos que resolver um sistema homogéneo, da definição resulta que conjunto V é L.I. se o sistema

homogéneo associado for possível e determinado, ou seja, tiver apenas a solução trivial,

0 0AX X= ⇔ = . Este estudo pode ser feito através da condensação da matriz A do sistema. Prova-

se que ( ) 2 3r A n= < = (exercício!) logo o sistema é possível e indeterminado. Portanto, existem

escalares 0iλ ≠ tais que 1 1 2 2 3 3 0v v vλ λ λ+ + =� � � (combinação linear), o conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � é

linearmente dependente.�

Teorema7: Um conjunto de vectores 1 2{ , ,..., }mV v v v= � � �de n� é linearmente independente se, e só

se, o sistema de equações lineares representado por 0AX = , onde A é a matriz ( n m× ) cujas

colunas são os vectores 1 2, ,..., mv v v� � �

, tem unicamente a solução 0X = .

Obs.8: Caso a matriz A seja ( n n× ) o teorema anterior diz que o conjunto 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

de n� é

linearmente independente se, e só se, | | 0A ≠ .

Como vimos, para verificar se um conjunto de vectores é ou não L.I. em n� , precisamos resolver

um sistema homogéneo de n equações lineares. Assim, um conjunto de 2� com mais do que dois

vectores, um conjunto de 3� como mais do que três vectores, e um conjunto de n

� com mais de n

vectores, são sempre L.D.. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles são ou não L.I. leva a

um sistema homogéneo com mais incógnitas do que equações, que tem sempre solução não trivial.


Espaços vectoriais


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O próximo teorema mostra que um conjunto L.I. em n� contém quanto muito n vectores.

Teorema8: Seja 1 2{ , ,..., }rV v v v= � � � um conjunto de vectores de n

� . Se r n> , então V é L.D..

Do exemplo11, verificamos que o termo linearmente dependente sugere que os vectores dependem

uns dos outros de alguma maneira. O teorema seguinte mostra que esse é de facto o caso.

Teorema9: Um conjunto 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

, ( 2n ≥ ), pertencente a um espaço vectorial E, diz-se:

(i) Linearmente independente se, e só se, qualquer vector de V não se puder exprimir como

combinação linear dos restantes 1n − vectores de V. O vector 1v�

é L.I. se 1 0v ≠� ;

(ii) Linearmente dependente se, e só se, pelo menos um dos vectores de V puder ser expresso como

combinação linear dos restantes 1n − vectores.

Obs.9: Também se diz que no primeiro caso os vectores formam um sistema livre ou independente

e no segundo um sistema ligado ou dependente.

Exemplo12: Verifique se os vectores do conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � com 1 (2, 1,0,3)v = −�

,

2 (1,2,5, 1)v = −� e 3 (7, 1,5,8)v = −�

se podem escrever como combinação linear uns dos outros.

Resolução: Como vimos no exemplo11, o conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � com 1 (2, 1,0,3)v = −�,

2 (1,2,5, 1)v = −� e 3 (7, 1,5,8)v = −�

é linearmente dependente. Assim, tendo em conta este último

teorema pelo menos um destes vectores pode exprimir-se como combinação linear dos restantes

dois. Para além disso, dados n vectores 1 2, ,..., nv v v� � �

, é possível escrever um dos vectores como

combinação linear dos outros 1n − vectores se, e só se, existirem 1 2, ,..., nλ λ λ , nem todos nulos, tais

que 1 1 2 2 ... 0n nv v vλ λ λ+ + + =� � �(se o conjunto dos vectores 1 2, ,..., nv v v

� � � for L.D).

Condensando a matriz do sistema homogéneo indicado no exemplo11, vem

2 1 7 1 2 11 2 1 0 5 5

0 5 5 0 0 03 -1 8 0 0 0

− −� � � �� − −� � � �↔� � � ��

, donde

1 2 31 2 3 1 3

1 2 32 3 2 3

2 33

1 2 3

2 7 02 0 3

2 05 5 0

5 5 00 0

3 8 0

λ λ λλ λ λ λ λ

λ λ λλ λ λ λ

λ λλ

λ λ λ

+ + =− + − = = − − + − = ⇔ + = ⇔ = −� � �+ = = ∈� � − + =�

�

.

Assim, 1 1 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 1 2 30 3 0 ( 3 ) 0v v v v v v v v vλ λ λ λ λ λ λ+ + = ⇔ − − + = ⇔ − − + =� � � � � � � � � e, se 3 1λ = obtemos

1 2 33 0v v v+ − =� � �. Aqui, cada um dos três vectores pode exprimir-se como combinação linear dos

restantes dois, pois, de 1 2 33 0v v v+ − =��

vem, 1 11 2 33 3v v v= − +� � �

, 2 1 33v v v= − +� � � e 3 1 23v v v= +� � �

.�


Espaços vectoriais


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Obs.10:

1) A dependência linear é uma propriedade do conjunto e não de cada vector individualmente.

Contudo, por um abuso de linguagem, é usual dizer-se que os vectores são L.D. ou L.I;

2) Subconjuntos de conjuntos L.I. são L.I., e, portanto, um conjunto que contenha um

subconjunto L.D. é também L.D;

3) Um subconjunto V não vazio de um espaço vectorial é L.I. se, e só se, qualquer subconjunto

de V finito é L.I.;

4) Qualquer conjunto finito de vectores que contenha o vector nulo é L.D.;

5) Um conjunto com exactamente dois vectores é L.I. se, e só se, qualquer um dos vectores não

for um escalar múltiplo do outro.

Exemplo13: Verifique se o conjunto das matrizes 1

1 11 0

M� �

= � ��

, 2

0 11 1

M� �

= � ��

e 3

1 00 1

M� �

= � ��

é

linearmente independente no espaço das matrizes 2 2×� .

Resolução: A equação matricial 1 1 2 2 3 3

0 00 0

M M Mλ λ λ � �+ + = � �

� � é equivalente ao sistema de

equações lineares

1 31

1 22

1 23

2 3

00

00

00

0

λ λλ

λ λλ

λ λλ

λ λ

+ == + = ⇔ =� �+ = =� + =�

, como este sistema tem apenas solução trivial, 1 2,M M e

3M são linearmente independentes. �

Os conceitos de dependência e independência linear dão-nos a chave para entender a estrutura dos

espaços vectoriais. Vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo14: Estude a dependência linear do conjunto 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � de 3� , com 1 (1,1,0)v =� ,

2 (0,1,1)v =� , 3 (1,0,1)v =� e 4 (1,2,1)v =� .

Resolução: Para estudar a dependência linear do conjunto 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � de 3� , basta ter em

atenção o teorema8; seja 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � um conjunto de vectores de 3� , como 4 3r n= > = ,

então V é L.D.. Vimos, no exemplo10, que este conjunto gera 3� .

Se resolvesse-mos a equação 1 1 2 2 3 3 4 4 (0,0,0,0)v v v vλ λ λ λ+ + + =� � � �, bastava verificar que a matriz

associada ao sistema homogéneo é (3 4)× , logo o sistema é possível e indeterminado ( ( ) 3r A = ) e

assim, o conjunto 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � é linearmente dependente.


Espaços vectoriais


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Estudemos, agora, a dependência linear do conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � de 3� . Aqui não podemos

utilizar o teorema8 (porquê?) ,

1 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2

2 3

0

(0,0,0) (1,1,0) (0,1,1) (1,0,1) (0,0,0) 0

0

v v v

λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

+ =+ + = ⇔ + + = ⇔ + =� + =�

� � �.

A matriz do sistema é 1 0 11 1 00 1 1

A� �� = � ��

, como | | 2 0A = ≠ , o sistema é possível e determinado,

admitindo como solução única a solução trivial, 1 2 3 0λ λ λ= = = , logo 1 2 3{ , , }V v v v= � � � é L.I.. Como

vimos no exemplo10 este conjunto gera 3� , sendo L.I. diz-se um conjunto gerador mínimo. O

conjunto 1 2{ , }V v v= � � não gera 3� mas é L.I. (exercício!).�

Teorema10: Sejam 1 2, ,..., mu u u� � �

vectores que geram um espaço vectorial E e 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � um

conjunto L.I. Então tem-se, necessariamente, m n≥ . Por outras palavras, num espaço vectorial, um

conjunto gerador nunca pode ter menos elementos do que um conjunto L.I..

Obs.11: Pelo que foi dito, se 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � é um conjunto gerador mínimo, então, V é L.I.. Em

contrapartida, se V é L.I. e gera E, então V é um conjunto gerador mínimo para E. Com veremos

na próxima secção, um conjunto gerador mínimo diz-se uma base do espaço vectorial.

Interpretação geométrica de dependência linear em 2� e 3

� .

• Um conjunto formado por dois vectores { , }u v� �

, com 1 2( , )u u u=� e 1 2( , )v v v=� , é L.D. em 2� se,

e só se, a equação 1 2 1 1 2 2 1 20 ( , ) ( , ) (0,0)u v u u v vλ λ λ λ+ = ⇔ + =��

possui solução não trivial. Se isto

acontece, então os escalares 1 2,λ λ ∈� não são ambos nulos. Se, por exemplo, 1 0λ ≠ , temos

2

1

u vλλ

= −� �, se 2 0λ ≠ , 1

2

v uλλ

= −� �. Ou seja, se { , }u v

� � é L.D., então um dos vectores é escalar

múltiplo do outro. Reciprocamente, se um vector é escalar múltiplo do outro, digamos u vλ=� �,

então 0u vλ− =��

e assim eles são L.D.. Portanto, podemos dizer que um conjunto de dois vectores é

L.D. em 2� se, e só se, um dos vectores é escalar múltiplo do outro. Logo, se os dois vectores

forem colocados na origem vão estar contidos sobre a mesma recta.


Espaços vectoriais


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Figura4 – Dois vectores L.D. em 2

� Figura5 – Dois vectores L.I. em 2�

Analogamente, o conjunto { , }u v� �

, com 1 2 3( , , )u u u u=� e 1 2 3( , , )v v v v=� , é L.I em 3� se, e só se, os

vectores u�

e v�

não pertencem à mesma recta que contém a origem no espaço tridimensional. Como

a origem e esses dois vectores não são colineares, determinam um plano. Se outro vector w�

pertence a esse plano, então pode ser escrito como combinação linear de u�

e v�

e, portanto, o

conjunto de vectores { , , }u v w� � �

é L.D.. Se w�

não pertence a esse plano, o conjunto é L.I..

• Por outro lado, um conjunto formado por três vectores não nulos 1 2 3{ , , }v v v

� � � é L.D. em 3

� se, e só

se, a equação 1 1 2 2 3 3 0v v vλ λ λ+ + =��

, 1 2 3, ,λ λ λ ∈� , possui solução não trivial. Se isso acontece um

dos escalares 1 2,λ λ ou 3λ , é diferente de zero. Se 1 0λ ≠ , temos 321 2 3

1 1

v v vλλ

λ λ= − −� � �

, ou seja, o

vector 1v�

é combinação linear de 2v�

e 3v�

. De forma semelhante, se 2 0λ ≠ , o vector 2v�

é

combinação linear de 1v�

e 3v�

, e se 3 0λ ≠ o vector 3v�

é combinação linear de 1v�

e 2v�

. Assim, se o

conjunto 1 2 3{ , , }v v v� � �

é L.D., então um dos vectores é combinação linear dos outros dois, ou seja, um

deles é uma soma de escalares múltiplos dos outros dois. Reciprocamente, se um vector é

combinação linear dos outros dois então 1 2 3{ , , }v v v� � �

é L.D.. Portanto, podemos dizer que 1 2 3{ , , }v v v� � �

é L.D. se, e só se, um deles se pode escrever como combinação linear dos outros dois.

Logo se os três vectores forem colocados na origem vão estar contidos no mesmo plano.

Consequentemente, em 3� se um conjunto de três vectores não nulos 1 2 3{ , , }v v v

� � � é L.D., então, ou

os três vectores são paralelos, ou dois deles são paralelos, ou os três são complanares (são paralelos

a um mesmo plano).


Espaços vectoriais


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Resumindo:

• Em 2� ou 3

� , um conjunto de dois vectores é L.I. se, e só se, os vectores não pertencem a

uma mesma recta contendo a origem (nenhum dos vectores é escalar múltiplo do outro);

• Em 3� , um conjunto de três vectores é L.I. se, e só se, os vectores não pertencerem ao mesmo

plano que contém a origem (nenhum dos vectores é combinação linear dos outros dois).

Exemplo15: Estude a dependência linear do conjunto { , }V u v= � � , em que (1,0,1)u =� e (0,1,1)v =� .

Resolução: O conjunto { , }V u v= � � é L.I., pois um vector não é escalar múltiplo do outro.

Exemplo16: Estude a dependência linear do conjunto constituído pelos vectores 1 (1,2,5)v =� ,

2 (3,6, 3)v = −� e 3 (1, 1, 1)v = − −�

de 3� .

Resolução: Como o conjunto V de 3� tem três vectores, pode ser L.D. ou L.I.. Desenvolvendo a

equação vectorial obtemos o sistema linear

1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

3 0

(0,0,0) (1,2,5) (3,6, 3) (1, 1, 1) (0,0,0) 2 6 0

5 3 0

v v v

λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

+ + =+ + = ⇔ + − + − − = ⇔ + − =� − − =�

� � �

O conjunto V é linearmente independente se o sistema homogéneo tiver solução trivial, caso

contrário é linearmente dependente. A matriz do sistema é

1 3 1 1 3 12 6 1 0 18 65 3 1 0 0 3

A� � � �� = − ↔ − −� � � �� − − −� � � �

,

assim, o sistema é possível e determinado, têm solução trivial, o conjunto dos vectores

1 2 3{ , , }V v v v= � � � é L.I. Obviamente, | | 0A ≠ (porquê?). Significa que, nenhum dos vectores se pode

escrever como combinação linear dos outros dois.

Geometricamente, como o conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � é L.I., um dos vectores não pertence ao mesmo

plano formado pelos outros dois, ou, os três vectores quando posicionados com os seus pontos

iniciais na origem não pertencem ao mesmo plano. �


Espaços vectoriais


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4.5 Base e dimensão Usualmente pensamos numa recta como tendo uma dimensão, num plano como sendo bi-

dimensional e no espaço, que nos envolve, como sendo tri-dimensional. Vamos, tentar nesta secção,

tornar esta noção intuitiva de “dimensão” mais precisa.

Vimos que, num espaço vectorial E, um conjunto de geradores pode ser L.I. ou L.D.. Se o conjunto

de geradores for L.D., então existe um vector no conjunto que se pode escrever como combinação

linear de outros elementos do conjunto. Assim, esse elemento não é necessário para gerar o espaço

E. Portanto, um conjunto de geradores L.D. contém vectores que não são necessários para gerar E.

Por outro lado, mostrámos que um conjunto gerador para um espaço vectorial é mínimo se for L.I..

Os elementos de um conjunto gerador mínimo formam peças básicas para a construção de todo o

espaço vectorial e, por causa disso dizemos que formam uma base para o espaço vectorial.

Vimos, no exemplo14, que o conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � , com 1 (1,1,0)v =� , 2 (0,1,1)v =� e 3 (1,0,1)v =� é

um conjunto gerador mínimo de 3� . Uma vez que, V gera 3

� e é linearmente independente.

Definição7: Um conjunto de vectores 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

de um espaço vectorial E , é uma base

1 2{ , ,..., }nv v v� � �

de E sse:

i) V gera o espaço E;

ii) V é linearmente independente.

Exemplo17: Verifique que o conjunto 11 12 21 22{ , , , }A A A A forma uma base para 2 2×� , onde

11

1 00 0

A� �

= � ��

, 12

0 10 0

A� �

= � ��

, 21

0 01 0

A� �

= � ��

e 22

0 00 1

A� �

= � ��

.

Resolução: Devemos provar que 11 12 21 22{ , , , }A A A A é L.I. e gera o espaço 2 2×� .

i) O conjunto 11 12 21 22{ , , , }A A A A de 2 2×� é linearmente independentes, pois

1 21 11 2 12 3 21 4 22 1 2

3 4

0 00 ... 0

0 0 nA A A Aλ λ

λ λ λ λ λ λ λλ λ� � � �

+ + + = ⇔ = ⇔ = = = =� � � ��

;

ii) Se 2 2A ×∈� , como 11 12

21 22

a aA

a a� �

= � ��

vem 11 11 12 12 21 21 22 22A a A a A a A a A= + + + , ou seja, toda a

matriz (2 2)A × pode escrever-se como combinação linear destas matrizes, logo 11 12 21 22{ , , , }A A A A ,

gera 2 2×� .

Por i) e ii), 11 12 21 22, , ,A A A A formam uma base para 2 2×� , a base canónica.�


Espaços vectoriais


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Exemplo18: Verifique que os vectores 1 2(1,...,0), (0,1,...,0)e e= =� �, ..., (0,...,1)ne =� , constituem

uma base para o espaço vectorial n� .

Resolução:

i) Qualquer vector de n� , pode ser escrito como combinação linear de 1 2, ,..., ne e e

� � �

1 1 1 1( ,..., ) (1,...,0) ... (0,...,1) ...n n n nu u u u u u e u e= = + + = + +� � �. Portanto, 1 2, ,..., ne e e

� � � geram o espaço.

ii) O conjunto dos vectores 1 2(1,...,0), (0,1,...,0)e e= =� �, ..., (0,...,1)ne =� é L.I..

Por i) e ii), 1 2{ , ,..., }nV e e e= � � � constitui um base para n

� , designada por base canónica de n� . �

O conceito de base de um espaço vectorial é de extrema importância. Os vectores de uma base

constituem um espaço vectorial que generaliza o conceito de sistema de coordenadas em 2� e 3

� .

O teorema seguinte ajuda-nos a perceber porquê.

Teorema11: Seja E um espaço vectorial, e 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

uma base para E. Então qualquer

vector de E pode exprimir-se de um só modo como combinação linear dos vectores iv�

’s de V.

De facto, qualquer vector de um espaço vectorial finitamente gerado pode ser representado como

uma combinação única dos elementos de uma base 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �do espaço (a combinação linear

não é única sse V for L.D.). Por outras palavras, as bases são bons sistemas de coordenadas para

representar vectores de um espaço vectorial.

Componentes de um vector relativamente a uma determinada base: Seja 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

uma

base de um espaço vectorial E, cada u E∈� , pode ser escrito como combinação linear de

1 2, ,..., nv v v� � �

, ou seja, 1 1 2 2 ... n nu v v vλ λ λ= + + +� � � � (exprime u

� em termos da base V), então os escalares

1 2, ,..., nλ λ λ ∈� chamam-se componentes ou coordenadas de v�

relativamente à base 1 2{ , ,..., }nv v v� � �

.

Dado um espaço vectorial E, se conhecermos uma base de E, qualquer vector de E fica conhecido

se conhecermos as suas componentes relativamente a essa base.

Exemplo19: Em 2� os vectores da base canónica são 1 (1,0)e =� e 2 (0,1)e =� . Note-se que,

1 2(1, 3) 3u e e= − = −� � �, uma vez que 1 23 (1,0) 3(0,1) (1,0) (0, 3) (1, 3)u e e= − = − = + − = −� � �

. Aos

números 1u e 2u dá-se o nome de componentes do vector em relação à base canónica 1 2{ , }e e� �

.

Generalizando, as componentes de 1( ,..., )nv v v=� em relação à base canónica de n� são 1 ,..., nv v .�


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Obs.12: Note-se que as componentes de um vector, relativamente a uma base de um espaço

vectorial, dependem não só da base mas também da ordem como os vectores da base são escritos;

uma mudança na ordem dos vectores da base resulta numa mudança correspondente na ordem das

entradas das componentes do vector. Para não sobrecarregar a exposição, não estaremos sempre a

repetir isso, e falaremos de uma base simplesmente como um conjunto.

Mudança de base: Uma base de um espaço vectorial, E , é chamada canónica por ser a mais

natural para se representar vectores de E . Embora essas bases canónicas pareçam ser as mais

simples e naturais para se usar, em muitas aplicações, elas não são as bases mais apropriadas. De

facto, a chave na resolução de muitos problemas aplicados é mudar da base canónica para uma base

que é de alguma forma, mais natural para a aplicação em questão. Uma vez resolvido o problema na

nova base, é fácil voltar a representar a solução e, termos da base canónica.

Por exemplo: Pelo teorema11, qualquer vector 1 2( , )v v v=� de 2

� pode ser representado de

maneira única como uma combinação linear dos vectores de qualquer base de 2� . Por um lado,

1 2 1 1 2 2( , )v v v v e v e= = +� � �, onde os escalares 1v e 2v são as componentes de v

� em relação à base

canónica 1 2{ , } {(1,0), (0,1)}e e =� �. Por outro lado, 1 1 2 2v u uλ λ= +� � �

, onde os escalares 1λ e 2λ são as

componentes de v�

em relação à base 1 2{ , }u u� �

(ordenamos os elementos da base de modo que 1u�

seja o primeiro vector da base e 2u�

seja o segundo).

Uma vez decididos a trabalhar com uma nova base temos o problema de encontrar as coordenadas

em relação a essa nova base. Suponhamos, por exemplo, que, em vez, de usarmos a base canónica

1 2{ , }e e� �

para 2� , queríamos usar uma base diferente, por exemplo, 1 2{ , }u u

� � com 1 (3,2)u =� e

2 (1,1)u =� . Isto equivale a querer obter as componentes de um vector de 2� em relação aos dois

sistemas de coordenadas, para isso, vamos considerar os dois problemas seguintes:

i) Encontrar componentes do vector 1 1 2 2u uλ λ+� � em relação à base 1 2{ , }e e

� �.

ii) Encontrar as componentes do vector 1 1 2 2v v e v e= +� � � em relação à base 1 2{ , }u u

� �;

Comecemos por resolver o problema i), para mudar a base 1 2{ , }u u� �

para a base 1 2{ , }e e� �

, precisamos

exprimir os elementos da base antiga 1u�

e 2u�

, em termos dos elementos da nova base, 1e�

e 2e�

. De

1 1 23 2u e e= +� � � e 2 1 2u e e= +� � �

, vem

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 23 2 (3 ) (2 )u u e e e e e eλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ+ = + + + = + + +� � � � � � � �,

o vector de componentes 1 1 2 2u uλ λ+� � em relação a 1 2{ , }e e

� � é


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1 2 1 2 1 2(3 , 2 ) (3, 2) (1,1)v λ λ λ λ λ λ= + + = +�,

que em notação matricial pode ser escrita na forma

1 2 1

1 2 2

3 3 12 2 1

vλ λ λλ λ λ

+� � � �� = =� � � �� + � ��

�.

Definindo 1 2

3 1( , )

2 1U u u

� �= = � �

� �

� � e [ ]1 2 1 2( , )λ λ λ λ λ= =�

temos que, para qualquer vector de

componentes λ�

em relação a 1 2{ , }u u� �

, para encontrar o vector de componentes correspondentes v�

em relação a 1 2{ , }e e� �

, basta multiplicar U por λ�

, ou seja, v Uλ=��

. A matriz U é chamada matriz

mudança de base de 1 2{ , }u u� �

para 1 2{ , }e e� �

.

Para resolver o problema ii), precisamos encontrar a matriz mudança de base de 1 2{ , }e e

� � para

1 2{ , }u u� �

. A matriz U admite inversa, uma vez que as suas colunas são constituídas por vectores

L.I.. Temos então 1 1 1v U U v U U U vλ λ λ− − −= ⇔ = ⇔ =� � ��

. Assim, dado um vector

1 2 1 1 2 2( , )v v v v e v e= = +� � �, basta multiplicá-lo por 1U − para se encontrar o seu vector de componentes

relativamente a 1 2{ , }u u� �

. A matriz 1U − é a matriz mudança de base de 1 2{ , }e e� �

para 1 2{ , }u u� �

.

Exemplo20: Considerando os vectores (1, 4)u =� , (2,1)v =� e (7,7)w =� encontre as coordenadas de

w�

relativamente à base { , }u v� �

.

Resolução: Os vectores (1, 4)u =� e (2,1)v =� formam um conjunto linearmente independente,

assim, { , }u v� �

é uma base de 2� . Pelo que foi dito, a matriz mudança de base de 1 2{ , }e e

� � para { , }u v

� �

é a inversa de 1 2

1 2( , )

4 1U u u

� �= = � �

� �

� �, ou seja, 1 1 2 7 11

4 1 7 37U vλ − −� � � � � �

= = − =� �� −� ��

� �, donde o vector

pedido é 3w u v= +� � �.

Figura6 – Soma de vectores em 2

�


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O vector (7,7)w =� pode ser escrito como combinação linear 3w u v= +� � �

. Assim, o vector de

componentes de w�

em relação a { , }u v� �

é (1,3) . Geometricamente, esse vector diz-nos como sair da

origem e chegar a (7,7)w =� movendo-nos primeiro na direcção de u�

e depois na direcção de v�

.

O vector de componentes de w�

em relação à base ordenada { , }v u� �

é (3,1) . Geometricamente, esse

vector diz-nos como sair da origem e chegar a (7,7)w =� movendo-nos primeiro na direcção de v�

e

depois na direcção de u�

.�

A definição de dimensão de um espaço vectorial está relacionada com o número de vectores de

uma base do espaço. Como um espaço vectorial pode ter mais do que uma base é preciso

estabelecer que bases diferentes de um mesmo espaço vectorial contêm o mesmo número de

vectores. O próximo teorema providencia a chave para o conceito de dimensão.

Teorema12: Seja E um espaço vectorial e 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

qualquer base para E:

(i) Qualquer subconjunto de E com mais do que n vectores é linearmente dependente;

(ii) Qualquer subconjunto de E com menos do que n vectores não pode gerar E.

Resulta deste último teorema que, se 1 2{ , ,..., }nV v v v= � � �

for uma base para um espaço vectorial E,

então todos os subconjuntos de E que simultaneamente geram E e são L.I. deverão ter precisamente

n vectores. Assim, todas as bases de E deverão ter o mesmo número de vectores que a base

arbitrária V . Isto motiva o seguinte resultado, um dos mais importantes em álgebra linear.

Teorema13: Se um espaço vectorial E tem uma base com n vectores, então todas as bases para E

tem exactamente n vectores.

Obs.13. Resulta que, se 1 1{ ,..., }mV u u= � �

e 2 1{ ,..., }nV v v= � � são duas bases de um espaço vectorial E,

então m n= . Todas as bases de um espaço vectorial têm o mesmo número de vectores.

Para se ver como este teorema esta relacionado com o conceito de dimensão, recorde-se que a base

canónica de n� tem n vectores. Então o teorema13 implica que as infinitas bases de n

� têm n

vectores. Em particular, todas as bases de 3� têm três vectores, todas as bases de 2

� têm dois

vectores, e todas as bases de � têm um vector. Intuitivamente, 3� é tridimensional, 2

� (um plano)

é bidimensional, e � (uma linha) é unidimensional. Assim, para espaços vectoriais usuais, o

número de vectores que constituem uma base coincide com a dimensão do espaço vectorial. O que

sugere a seguinte definição.


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Definição8: Um espaço vectorial E é chamado de dimensão finita se tem uma base que contém um

número finito de vectores. A dimensão de E, representada por dim( )E , é o número de vectores de

uma base de E. A dimensão do espaço vectorial nulo, {0}E = , é definida como sendodim( ) 0E = .

Um espaço vectorial que não tem uma base finita é chamado de dimensão infinita.

Obs.14: Se uma base de E tiver n elementos, dizemos que E tem dimensão n, e escrevemos

dim( )E n= (quando E contém um conjunto com n vectores L.I. nos quais se possa expressar

linearmente qualquer outro vector de E).

Obs.15: Como convenção, considera-se o conjunto vazio como sendo uma base do espaço vectorial

nulo. Esta convenção é consistente com a definição anterior, uma vez que o conjunto vazio não tem

vectores e o espaço vectorial nulo tem dimensão zero.

Exemplo21:

1) Se uma base de E é constituída por infinitos vectores, diz-se que E tem dimensão infinita. Por

exemplo, dim( )∞ = ∞� .

2) dim( )n n=� (porquê?). Em particular, � é um espaço vectorial de dimensão 1 e 3dim( ) 3=� .

3) No plano, os vectores OA��

e OB��

não colineares formam um conjunto L.I. e não há três vectores

nestas condições, logo OA��

, OB��

formam uma base e 2dim( ) 2=� .

4) Mais geralmente, tem-se ( )dim( ( ))m nM m n× = ×� .

5) A dimensão do espaço das matrizes ( n n× ) triangulares superiores é ( 1)

2n n +

(exercício!).

A dimensão de um espaço vectorial é o seu “número mágico”. Conhecer a dimensão de um espaço

vectorial E dá muita informação sobre E e pode simplificar enormemente o trabalho necessário em

certos tipos de cálculo. De um modo geral, para se provar que um conjunto de vectores

1 2{ , ,..., }nV v v v= � � � é uma base de um espaço vectorial E, devemos mostrar que V é linearmente

independente e que gera E. Contudo, se soubemos que dim( )E n= (ou seja, 1 2{ , ,..., }nv v v� � �

contém o

número certo de vectores para uma base), então é suficiente provar que V é L.I. ou que gera o

espaço – a outra condição verificar-se-á automaticamente. Isto motiva o seguinte teorema.

Teorema14: Seja E um espaço vectorial com dimensão finita, dim( )E n= , e S um subconjunto de

E com exactamente n vectores, então S é uma base de E se S gerar E ou for linearmente

independente.


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Obs.16: Pelo que foi dito, seja E um espaço vectorial com dimensão finita, dim( )E n= . Então:

(i) Qualquer subconjunto L.I. de E contém no máximo n vectores.

(ii) Todo o subconjunto L.I. de E , com exactamente n vectores, gera E, logo, é uma base para E .

(iii) Todo conjunto gerador de E contém no mínimo n vectores (nenhum conjunto com menos de n

vectores pode gerar E);

(iv) Qualquer conjunto gerador de E , com exactamente n vectores, é L.I., logo, é uma base para E .

Exemplo22: Mostre que:

(a) os vectores 1 ( 3,7)v = −� e 2 (5,5)v =� forma uma base de 2

� ;

(b) os vectores 1 2(2,0, 1), (4,0,7)v v= − =� � e 3 ( 1,1,4)v = −�

forma uma base de 3� .

Resolução:

(a) Pelo teorema14, uma base de um espaço vectorial de dimensão n é qualquer subconjunto de n

vectores L.I. desse espaço. Como, qualquer um dos vectores não é escalar múltiplo do outro, os dois

vectores formam um subconjunto L.I. do espaço bidimensional 2� , ou seja, uma base para 2

� ;

(b) Os vectores 1v�

e 2v�

formam um conjunto L.I. no plano XOZ (porquê?). O vector 3v�

não

pertence ao plano XOZ , portanto, o conjunto 1 2 3{ , , }v v v� � �

é L.I.. Uma vez que 3dim( ) 3=� , o

teorema14 garante que o conjunto 1 2 3{ , , }v v v� � �

forma um base de 3� .�

O teorema seguinte mostra que para um espaço vectorial E de dimensão finita, qualquer conjunto

que gera E contém uma base de E , e que qualquer conjunto linearmente independente de E faz

parte de alguma base de E .

Teorema15: Seja V um subconjunto finito de vectores de um espaço vectorial E de dimensão finita.

i) Se V gera E mas não for uma base (por conter mais de n vectores) de E, então V pode ser reduzido

a uma base de E removendo-se apropriadamente vectores de V;

iii) Se V for um conjunto linearmente independente que não seja uma base de E, então V pode ser

transformado numa base de E incluindo apropriadamente vectores em V.

Exemplo23: Para explorarmos a informação do teorema anterior, vamos considerar o exemplo14

onde se considerou os vectores 1 (1,1,0)v =� , 2 (0,1,1)v =� , 3 (1,0,1)v =� e 4 (1,2,1)v =� . Vimos que:

i) O conjunto 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � de 3� , apesar de gerar 3

� não é L.I. (não é uma base para 3� );

ii) O conjunto 1 2 3{ , , }V v v v= � � � gera 3� e é L.I. (é uma base para 3

� );

iii) O conjunto 1 2{ , }V v v= � � apesar de L.I. não gera 3� (não é uma base para 3

� ).


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Tendo em conta os pontos i) ii) e iii), concluímos que: Por exemplo, de 1 2 3 4{ , , , }V v v v v= � � � � retira-se

o vector 4v�

, obtendo-se 1 2 3{ , , }V v v v= � � � uma base para 3� (de todo o conjunto de geradores de 3

�

pode ser extraída uma base de 3� ); Por exemplo, de 1 2{ , }V v v= � � inserindo o vector 3v

�, obtém-se

1 2 3{ , , }V v v v= � � � uma base para 3� . �

De facto, sendo E um espaço vectorial de dimensão finita, dim( )E n= , o teorema15, garante que:

i) Podemos retirar vectores apropriados de qualquer conjunto gerador contendo mais de n vectores

(que não seja uma base para E ) de modo a se obter uma base para E (qualquer conjunto gerador de

E pode ser reduzido a uma base para E ).

ii) Qualquer subconjunto V de E L.I. com menos de n elementos (que não seja uma base para E )

pode ser estendido para formar uma base para E , inserindo vectores apropriados em V.

Prova-se que qualquer subespaço de um espaço vectorial de dimensão finita tem dimensão finita.

Conclui-se esta secção com um teorema que mostra que a dimensão de um subespaço de um espaço

vectorial de dimensão finita E não pode exceder a dimensão de E e que a única maneira desse

subespaço ter a mesma dimensão de E é no caso em que o subespaço coincide com E. A figura7

ilustra esta ideia em 3� .

Figura7 –Dimensão dos subespaços de 3�

A figura anterior, ilustra que quanto “maior” for o subespaço, maior é a sua dimensão, ou seja:

• A origem é 0-dimensional;

• A recta que passa pela origem, r, é unidimensional;

• O plano que passa pela origem, π , é bidimensional;

• 3� é tridimensional.

Teorema16: Seja W um subespaço de um espaço vectorial de dimensão finita E , então

dim( ) dim( )W E≤ (W tem dimensão finita); para além disso se dim( ) dim( )W E= , então W E= .


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Exemplo24: Determine a dimensão do subespaço S de 3

� gerado pelos vectores 1 (1, 1,2)v = −�,

2 ( 2,3,1)v = −� e 3 ( 1,3,8)v = −�

.

Resolução: Os subespaços de 3� são; a origem, uma recta que passa pela origem, um plano que

passa pela origem e 3� .

Como 1 1 2 2 3 3 ( , , )v v v a b cλ λ λ+ + =� � � é um sistema impossível (porquê?), concluímos que os vectores

1 2,v v� �

e 3v�

não geram 3� , dim( ) 3S ≠ .

Vamos agora estudar dependência linear do conjunto { }1 2 3, ,V v v v= � � � . Como a matriz A do sistema

1 1 2 2 3 3 (0,0,0)v v vλ λ λ+ + =� � � é (3 3)× , basta estudar o valor de | |A . Sendo | | 0A = , o sistema é

possível e indeterminado, donde o conjunto V é linearmente dependente. Por este motivo, existem

vectores de V que se podem escrever como combinação linear dos restantes,

1 2 3 1 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3

1 2 3 3

2 0 3

(0,0,0) 3 3 0 2

2 8 0

v v v

λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

− − = = − + + = ⇔ − + + = ⇔ = −� � + + = ∈� �

� � �

�

.

Assim,

1 1 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 1 2 3(0,0,0) 3 2 ( 3 2 ) (0,0,0)v v v v v v v v vλ λ λ λ λ λ λ+ + = ⇔ − − + = − − + =� � � � � � � � �,

fazendo, 3 1λ = , vem 3 1 23 2v v v= +� � �. Ou seja, 3v

� pertence ao espaço gerado por 1v

� e 2v�

, donde, o

subespaço S de 3� gerado por 1 2,v v

� � e 3v�

pode ser representado pelos vectores 1v�

e 2v�

. Como,

qualquer combinação linear de 1 2,v v� �

e 3v�

pode ser reduzida a uma combinação linear de 1v�

e 2v�

,

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2(3 2 ) ( 3 ) ( 2 )v v v v v v v v vλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ+ + = + + + = + + +� � � � � � � � �, o espaço gerado por

1 2 3{ , , }V v v v= � � � é { }1 2( ) ,S ger V v v= = � � .

Por outro lado, como 3 1 2 1 2 33 2 3 2 0v v v v v v= + ⇔ + − =� � � � � �

, e sendo os três coeficientes diferentes de

zero, podemos exprimir cada um dos vectores em função dos outros dois 2 11 2 33 3v v v= − +� � �

e

3 12 1 32 2v v v= − +� � �

. Temos então que, { } { }1 2 1 3ger , , ger ,S v v S v v= =� � � � ou { }2 3ger ,S v v= � �

, ou seja, o

subespaço S pode ser gerado por quaisquer dois dos vectores dados.

Prova-se que os conjuntos { }1 2,v v

� �, { }2 3,v v� �

e { }1 3,v v� �

são L.I., ou seja, formam uma base para S.

Concluí-se que, 3dim( ) 2 dim( )S = < � .

Os vectores destes conjuntos definem planos que passam pela origem.�

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