Aplicaciones Del Teorema de La Cantidad de Movimiento
28
Din Din Din Diná á ámica de los Fluidos mica de los Fluidos mica de los Fluidos mica de los Fluidos Aplicaci Aplicaci Aplicaci Aplicació ó ón de la Segunda Ley de Newton n de la Segunda Ley de Newton n de la Segunda Ley de Newton n de la Segunda Ley de Newton al Movimiento de los Fluidos: al Movimiento de los Fluidos: al Movimiento de los Fluidos: al Movimiento de los Fluidos: Teorema de la Cantidad de Movimiento Teorema de la Cantidad de Movimiento Teorema de la Cantidad de Movimiento Teorema de la Cantidad de Movimiento CI31A CI31A CI31A CI31A – – – Mec Mec Mec Mecá á ánica de Fluidos nica de Fluidos nica de Fluidos nica de Fluidos Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis
Transcript of Aplicaciones Del Teorema de La Cantidad de Movimiento
DinDinDinDináááámica de los Fluidosmica de los Fluidosmica de los Fluidosmica de los Fluidos
AplicaciAplicaciAplicaciAplicacióóóón de la Segunda Ley de Newtonn de la Segunda Ley de Newtonn de la Segunda Ley de Newtonn de la Segunda Ley de Newton
al Movimiento de los Fluidos:al Movimiento de los Fluidos:al Movimiento de los Fluidos:al Movimiento de los Fluidos:
Teorema de la Cantidad de MovimientoTeorema de la Cantidad de MovimientoTeorema de la Cantidad de MovimientoTeorema de la Cantidad de Movimiento
CI31A CI31A CI31A CI31A –––– MecMecMecMecáááánica de Fluidosnica de Fluidosnica de Fluidosnica de Fluidos
Prof. Aldo Tamburrino TavantzisProf. Aldo Tamburrino TavantzisProf. Aldo Tamburrino TavantzisProf. Aldo Tamburrino Tavantzis
SEGUNDA LEY DE NEWTON
En forma general, la segunda ley de Newton se escribe:
En dos dimensiones, tiene componentes según x e y:
amFrr
=
yy
xx
maF
maF
=
=
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Al aplicar la segunda ley de Newton a un fluido, debemos considerar la masa por unidad de tiempo, o sea el gasto másico:
Cuando trabajamos con fluidos,
aplicamos la segunda ley de Newton
a un volumen de control.
Podemos considerar como volumen
de control a un tubo de flujo:
QGt
mρ==
SECCION 1
SECCION 2
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El volumen de control de la figura tiene una entrada (sección 1) y una salida (sección 2). Sobre el volumen de control actúan fuerzas superficiales y másicas: F1, F2, F3, ……..
En la sección 1 se tiene el flujo tiene
velocidad V1 y en la sección 2, V2.
Para el flujo permanente de un fluido
Incompresible, la segunda ley de
Newton se escribe como:
SECCION 1
SECCION 2
V1 , ρ1
V2 , ρ2
F1
F2F4
F3
( )entrasale321 VVQ...FFFrrrrr
−ρ=+++
TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
En un sistema de coordenadas (x, y):
según x:
según y:
( )entrasale321 VVQ...FFFrrrrr
−ρ=+++
( )
( )entrasaley3y2y1
entrasalex3x2x1
vvQ...FFF
uuQ...FFF
−ρ=+++
−ρ=+++
x, u
y,
v
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Determinar la fuerza que resisten los pernos de la boquilla
de una tubería que descarga a la atmósfera un caudal Q.
Lo primero que debemos hacer es definir el volumen de
control.
QD1 D2
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Volumen de control:
Analicemos las fuerzas y flujos actuando sobre el volumen de control. Para determinar la fuerza que están resistiendo
los pernos, nos interesa la componente según x:
x
y
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
TCM según x: FP1 – FP2 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
FP1 = Fuerza de presión en la sección 1 = p1A1
FP2 = Fuerza de presión en la sección 2 = p2A2
Trabajando con presiones relativas: p2 = 0
FP1 FP2
u1 u2
FPernos
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FP1 – FP2 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
p1A1 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
Debemos determinar u1, u2, p1:
Continuidad: Q = u1A1 = u2A2 → u1 = Q/A1 , u2 = Q/A2
Las áreas de escurrimiento están dadas por: A1 = πD12/4 , A2 = πD2
2/4
Luego, las velocidades son:
FP1 FP2
u1 u2
FPernos
2
2
22
1
1D
Q4u,
D
Q4u
π=
π=
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Nos falta determinar la presión p1.
Para ello, apliquemos el Bernoulli entre las secciones 1 y 2:
( )
( )2
1
2
21
2
2
2
2
2
1
2
21
2
22
2
11
21
uu2
p
uug2
g
g2
u
g2
up
g2
up
g2
up
BB
−ρ
=
−ρ
=
−γ=
+γ
=+γ
=
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Reemplazando la presión p1 en la ecuación del TCM: p1A1 – FPernos = ρQ(u2 – u1)
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )2121
Pernos
2
121
2
21
Pernos
2
121
2
1
2
21
Pernos
121
2
1
2
21
Pernos
12111
2
1
2
2Pernos
121111Pernos
121PPernos
uu2
AF
uuu2u2
AF
u2uu2uu2
AF
uuu2uu2
AF
uuAuAuu2
F
uuAuApF
uuQFF
−ρ
=
+−ρ
=
+−−ρ
=
−−−ρ
=
−ρ−−ρ
=
−ρ−=
−ρ−=
4
DA,
D
Q4u,
D
Q4u
2
112
2
22
1
1
π=
π=
π=
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Un estanque de diámetro D que contiene un líquido de densidad ρ cuelga de un cable. Determinar la tensión del cable cuando en el fondo del estanque existe un orificio por el que sale un chorro de diámetro d.
h h
dD
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Tensión del cable para el estanque sin orificio:
Para el volumen de control de la figura,
analicemos las fuerzas verticales (dirección y):
T
P
x
y
hD4
gT
hD4
gP
hD4
V
VgmgP
PT0PT
2
2
2
πρ=
πρ=
π=
ρ==
=⇒=−
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Tensión del cable para el estanque con orificio:
Para el volumen de control de la figura, apliquemos
el TCM en la dirección vertical (dirección y):
x
y
( )
22
2
entra
sale
2
entrasale
vd4
PT
d4
vQ
0v
vv
hD4
gmgP
vvQPT
πρ−=
π=
=
−=
πρ==
−ρ=−
T
P
v
Dirección
opuesta a y
Area del
chorro
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Debemos determinar la velocidad con que sale el chorro (v).
Apliquemos Bernoulli entre (1) y (2) y trabajemos con presiones relativas;
22vd4
PTπ
ρ−=
gh2v
g2
vh
BB
2
21
=
=
=
(1)
(2)
h
v
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
22vd4
PTπ
ρ−=
(1)
(2)
( ) ( )
( )22
22222
222
d2Dgh4
T
gh2dhgD4
vdhgD4
T
vd4
hD4
gT
−π
ρ=
−π
ρ=−π
ρ=
πρ−
πρ=
La tensión es menor que
cuando no sale líquido
APLICACIONES DEL TEOREMA
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
1943
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Cómo cambia la tensión si el estanque está cerrado y el aire está a una presión relativa p0?
El TCM no cambia.
x
y
( )
2
0
2
entrasale
vd4
PT
vvQPT
πρ−=
−ρ=−
T
P
v0
p0
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cambia la velocidad con que sale el chorro (v).
Apliquemos Bernoulli entre (1) y (2) y trabajemos con presiones relativas;
2
0
2vd4
PTπ
ρ−=
ρ+=
=ρ
+
=
00
2
00
21
p2gh2v
g2
v
g
ph
BB
(1)
(2)
h
v
p0
La velocidad v0 es mayor que en el caso anterior,
por lo que la tensión del cable es menor.
Incluso, el cable podría no estar tenso si p0 es lo
suficientemente grande.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
COHETE DE AGUA
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
¿Por qué usar agua y no sólo aire a presión?
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Consideremos un chorro de velocidad v0,
ancho “e” y profundidad (perpendicular a
la hoja) igual a 1.
Determinar la fuerza que está resistiendo
el deflector debibo al impacto del chorro.
Es fácil ver que en este caso nos interesa
las dos componentes (x, y) del TCM.
Despreciar el peso del líquido.
x
yv0
e
e
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Lo primero que debemos hacer es definir el volumen de control
x
yv0
e
eFx
Fyvo
vo
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Apliquemos el TCM según x al volumen de control elegido:
x
y
Fx
Fyvo
vo
( )
( )
2
0x
2
000x
00
0entra
sale
entrasalex
eVF
eVV0eVF
eV1eVQ
Vu
0u
uuQF
ρ=
ρ−=−ρ=−
=⋅⋅=
=
=
−ρ=−
APLICACIONES DEL TEOREMA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
FUERZA EN UN DEFLECTOR DE CHORRO
Apliquemos el TCM según y al volumen de control elegido:
x
y
Fx
Fyvo
vo
( )
( )
2
0y
00y
entra
0sale
entrasaley
eVF
0VeVF
0v
Vv
vvQF
ρ=
−ρ=
=
=
−ρ=
