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Aplicaciones del analisis combinatorio

Laura Eslava

25 de noviembre de 2010

Laura Eslava Analisis Combinatorio

Plan de la platica

Plantear problemas

Especificacion de clases combinatorias

Traduccion a funciones generadoras

Comportamiento asintotico

Analisis Combinatorio

Problemas

1 El numero de palabras binarias que no tienen mas de 4 cerosconsecutivos, ni 2 unos seguidos.

2 ¿Cual es la probabilidad de que el texto de Hamlet tenga unmensaje escondido?

3 ¿Cuantos mapeos de [1...n] a [1...n] no tienen puntos fijos?

4 ¿Cual es la probabilidad de que estos tengan r orbitas?

Clase Combinatoria

Definicion

Una clase combinatoria A es un conjunto a lo mas numerable endonde se define una funcion Tamano que cumple

El tamano de todos los elementos es un entero no negativo.

El conjunto An de todos los elementos de tamano n de laclase es finito.

Ejemplo:

Clase Combinatoria

Definicion

Ejemplo:

Clase:Arboles binarios planosTamano: Nodos con grado 2.

Clase Combinatoria

Definicion

Ejemplo:

W ={E , a, b, aa, ab, ba, bb,

aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb,

aaaa, aaab, aaba, aabb, abaa, . . .}

Clase: Palabras binariasTamano: Longitud de la palabra.

Clase Combinatoria

Ejemplo:

Clase: TriangulacionesTamano: Numero de triangulos.

Funciones generadoras

La sucesion |An| = an, n ∈ N forma la cuenta sucesiva osucesion de conteo de la clase combinatoria.

Se codifica en una serie de potencias formales, que puede ser

FGO-Ordinaria:

A(z) =∑i≥1

FGE-Exponencial:

A(z) =∑i≥1

Esta eleccion depende del modelo de la clase combinatoria.

Diccionario de operaciones

Para especificar cualquier clase combinatoria tenemos:

Clase Neutra E : tiene un solo elemento de tamano cero,

E (z) = 1.

Clase Atomica Z: tiene un solo elemento de tamano 1,

Z (z) = z .

Utilizaremos que operaciones entre clases se traducen aoperaciones entre sus FG’s.

Operaciones: Uniones, producto, secuencias, ciclos, conjuntos.

Diccionario de operaciones

Para especificar cualquier clase combinatoria tenemos:

Clase Neutra E : tiene un solo elemento de tamano cero,

E (z) = 1.

Clase Atomica Z: tiene un solo elemento de tamano 1,

Z (z) = z .

Utilizaremos que operaciones entre clases se traducen aoperaciones entre sus FG’s.

Operaciones: Uniones, producto, secuencias, ciclos, conjuntos.

Operaciones basicas

Suma: Se considera que las clases son ajenas,

A =B ∪ CA(z) =B(z) + C (z)

Producto:A =B × C

A(z) =B(z) · C (z)

Secuencia: Es necesario que B0 = ∅,

A = Seq(B) =⋃k≥0Bk

A(z) =1

1− B(z)

Operaciones basicas

A =B ∪ CA(z) =B(z) + C (z)

Producto:A =B × C

A(z) =B(z) · C (z)

A(z) =1

1− B(z)

Operaciones basicas

A =B ∪ CA(z) =B(z) + C (z)

Producto:A =B × C

A(z) =B(z) · C (z)

A(z) =1

1− B(z)

Lenguajes

Teniendo un alfabeto A con m letras:

Especificacion:L = Seq(A),

L(z) =1

1−mz,

Cuenta sucesiva:Ln = mn.

Para m = 2 tenemos otra especificacion de L:

L = Seq(a)Seq(bSeq(a)),

Lenguajes

L(z) =1

1−mz,

Lenguajes

L(z) =1

1−mz,

Lenguajes restringidos

Esta nos permite encontrar la clase de palabras en donde b aparecesolo k veces:

Especificacion:

L(k) = Seq(a)(bSeq(a))k

L(k)(z) =zk

(1− z)k+1,

Cuenta sucesiva:

L(k)n =

Lenguajes restringidos

Esta nos permite encontrar la clase de palabras en donde b aparecesolo k veces:

Especificacion:

L(k) = Seq(a)(bSeq(a))k

L(k)(z) =zk

(1− z)k+1,

Cuenta sucesiva:

L(k)n =

Patrones escondidos en texto

Patrones

Un patron escondido p es una sucesion de letras que aparecen enuna palabra:

p = p1p2 · · · pk ,

en el orden correcto pero no necesariamente contiguas.

El patron combinatoric en el texto de Hamlet.

La clase de palabras que contienen al patron escondido:

L = Seq(A \ p1)p1Seq(A \ p2)p2 · · ·Seq(A \ pk)pkSeq(A).

La clase que distingue cada uno de los patrones escondidos:

L = Seq(A)p1Seq(A)p2 · · ·Seq(A)pkSeq(A).

Patrones

p = p1p2 · · · pk ,

Patrones

p = p1p2 · · · pk ,

Mensajes subliminales

Para saber si en Hamlet hay un mensaje subliminal para estudiarcombinatorics:

Buscamos la probabilidad de que un texto de longitudn = 120057, con alfabeto de 26 letras...

tenga en total 1,63× 1039 patrones escondidos de longitudk = 13...

Finalmente, el texto de Hamlet tiene 23 veces mas patronesde lo esperado!!!

Haciendo un analisis mas refinado de la distribucion de la letras, elerror se reduce al 5 %.

Factores

Un factor p es una sucesion de letras que aparecen en una palabra:

p = p1p2 · · · pk ,

en el orden correcto y necesariamente contiguas.

Teorema (de Borges)

Toma cualquier conjunto finito de patrones y un texto aleatorio delongitud n.La probabilidad de que el texto contenga todos los patrones tiendeexponencialmente rapido a 1, conforme n→∞.

La biblioteca de Babel

La biblioteca era tan grande que contenıa...

Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografıas de losarcangeles, el catalogo fiel de la Biblioteca, miles y miles decatalogos falsos, la demostracion de la falacia de esos catalogos, lademostracion de la falacia del catalogo verdadero, el evangeliognostico de Basilides, el comentario de ese evangelio, el comentariodel comentario de ese evangelio, la relacion verıdica de tu muerte,la version de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones decada libro en todos los libros,...

La biblioteca de Babel, (fragmento.)

Permutaciones

Esta clase se define en el universo etiquetado

Las permutaciones estan completamente determinadas por suciclos.

P = Seq(Z) = Set(Cyc(Z))

P(z) =1

1− z

Mapeos de [1 . . . n]→ [1 . . . n]

Dado un mapeo f , se construye una grafica donde

i → jsi y solo sif (i) = j

G es la clase dearboles no planos.

F = Set(Cyc(G)).

Un marcador µ se usa para contar nuevos parametros, como elnumero de orbitas,

F = Set(µCyc(G)).

Mapeos de [1 . . . n]→ [1 . . . n]

Dado un mapeo f , se construye una grafica donde

i → jsi y solo sif (i) = j

G es la clase dearboles no planos.

F = Set(Cyc(G)).

Un marcador µ se usa para contar nuevos parametros, como elnumero de orbitas,

F = Set(µCyc(G)).

Comportamiento Asintotico

La singularidaddominante z0 de unafuncion es la de menornorma.

El creciemiento asintotico de una cuenta sucesiva se expresa con

un factor exponencial An,determinado por la posicion de la singularidad dominante.

un factor subexponencial Θ(n),determinado por la naturaleza de la singularidad.

Comportamiento Asıntotico: Triangulaciones

Especificacion Recursiva

T (z) = 1−√1−4z2 ,

Factor Exponencial(1

Factor Subexponencial

O(n3/2).

Tn ∼4n−1√π√

Conclusiones

El metodo simbolico:

Ofrece un lenguaje universal para modelar clasescombinatorias,

Distintos modelos de una clase permiten estudiar distintascaracterısticas de ella.

Las funciones generadoras:

guardan la informacion de la cuenta sucesiva y

simplifican el calculo de probabilidades en modelos discretos.

Se puede utilizar herramienta de analisis complejo,

para estudiar el comportamiento asintotico de la cuentasucesiva.

Conclusiones

El metodo simbolico:

Ofrece un lenguaje universal para modelar clasescombinatorias,

Distintos modelos de una clase permiten estudiar distintascaracterısticas de ella.

Las funciones generadoras:

guardan la informacion de la cuenta sucesiva y

simplifican el calculo de probabilidades en modelos discretos.

Se puede utilizar herramienta de analisis complejo,

para estudiar el comportamiento asintotico de la cuentasucesiva.

GRACIAS!

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