NIVELACIN ENMATEMTICA

GUIA DE ESTUDIO

2015 00B

APLICACIN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

Modelacin de problemas

En los problemas de aplicacin o de modelacin, nunca alguna sugerencia est de ms. Sera bueno que organice el desarrollo de la solucin usando las siguientes pautas para que no olviden ningn detalle:

Comprensin del problema y eleccin de la variable. Lea todo el enunciado atentamente. Trace un esquema que ilustre el enunciado, si esto es posible. Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema. Elija una variable para la cantidad desconocida, y escriba exactamente lo que representa, sin olvidar mencionar las unidades en caso de tratarse de problemas de la vida real. Para esto, es muy til fijarse en la pregunta del enunciado.

Comprensin del problema y planteamiento.Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichas relaciones provienen de: Traduzca el enunciado a una o varias ecuaciones (interpretacin de textos). Reglas externas al problema.

Resolucin. La parte operativa debe ser sencilla despus de todo lo trabajado. No debera fallar en sta, el trabajo debe hacerse cuidadosamente. Recuerde que siempre es bueno asegurarnos que el proceso de clculo est correcto: verifique!

Anlisis de respuesta y respuesta completa.Esta parte es muy importante. Uno debe reflexionar sobre el sentido de los nmeros obtenidos con respecto al contexto de problema y escribir una respuesta completa como solucin a la pregunta propuesta. No olvide colocar unidades.

Ejemplo 1. Dos hermanos guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un ao tienen en total S/. 8 000,00 pero al mayor de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor. Determine la cantidad que posee el hermano menor.Solucin:Sea la cantidad de dinero que posee el hermano menor en soles.Con ello, el hermano mayor tiene .Del enunciado al mayor de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor, se construye:

Al resolverlo

Por tanto, el hermano menor tiene S/. 2 000,00

Actividades de aprendizaje

1. Un automvil tiene km/h de velocidad y otro las tres cuartas partes de la velocidad anterior. Modele la expresinque permita obtener la diferencia de dichas velocidades

2. Si a los cuatro quintos de lo multiplico por 0,25 y al resultado le restamos la mitad de multiplicado por 0,2. Modele la expresin que se obtiene.

3. El doble de un nmero es igual a la quinta parte de otro nmero ; si los dos quintos de es igual a . Exprese en trminos de .

4. Un hombre recorre metros en minutos. Modele la velocidad en kilmetros por hora?

5. Si despus de un descuento del 10%, un producto cuesta soles. Modele la expresin que describa el precio original.

6. En un teatro de asientos, estn ocupados. Modele la expresin que represente el porcentaje de asientos que estn desocupados.

7. En un saln de clase hay chicos y chicas. Modele la expresin que represente el porcentaje de chicas.

8. Se tiene una cinta de 30 metros de largo con la cual se forma un rectngulo de metros de ancho. Modele la superficie del rectngulo en funcin de

9. Los primeros cinco minutos de una llamada internacional cuestan dlares y cada minuto adicional cuesta centavos de dlar, si Mara habl durante 8 minutos. Modele la expresin que indique cunto tiene que pagar Mara.

10. Mi auto rinde kilmetros por galn, si el galn cuesta 3 soles y se le echa soles. Modele la expresin matemtica que indique los kilmetros que se pueden recorrer.

11. A un alambre se le da dos cortes y cada trozo resultante es igual a la longitud del anterior aumentado en su cuarta parte. Modele la longitud del lado mayor, si la longitud del lado menor es metros.

12. Siendo el permetro de un rectngulo y 12,5m uno de sus lados. Modele es la longitud del otro lado.

13. Jos naci 2 aos despus que Pablo y 3 aos antes que Csar. Modele la expresin que determine la edad que tiene cada uno si la suma de sus edades es .

14. Un comerciante compr 2 500 botellas a $20 el ciento; en el camino se le rompieron 190 botellas y despus regala 5 botellas por cada 100 que venda. Determine a cmo vendi el ciento si en total gan $116.

15. La compaa Prescott fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 por unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12 000 al mes. a) Determina el punto de equilibrio de la empresa. b) Calcule la prdida de la empresa si slo se producen y venden 1500 unidades por semana. c) Calcule la ganancia si se producen y venden 3 000 unidades por semana.d) Determine la cantidad de unidades que debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mensual mnima de $ 9 000.

16. Para que una empresa obtenga beneficios, es evidente que el ingreso debe ser mayor que el costo ; en sntesis habr utilidad slo si . Si una compaa fabrica discos y su ecuacin de costos para una semana es y su ecuacin de ingresos es , donde es el nmero de discos vendidos a la semana. Calcule la cantidad de discos que se debe vender para que la compaa no pierda ni gane.

17. Una tienda de descuento de computadoras realiza una barata de fin de ao de dos tipos de computadoras. Se obtienen $41 800 por la venta de 58 computadoras; si uno de los dos tipos se vendi a $600 y el otro a $850. Calcule la cantidad de computadoras de cada tipo que se vendieron.

18. El Estadio Nacional est negociando un contrato con una compaa ambulante de patinaje sobre hielo. Esta compaa cobra $60 000 por noche ms 40% de la recaudacin de la taquilla. El Estadio Nacional planea cobrar $12,5 por boleto para cualquier asiento.e) Determina el nmero de boletos que debe venderse cada noche a fin de alcanzar el equilibrio. f) Si el Estadio Nacional tiene la meta de recaudar $15 000 cada noche. Calcule la cantidad de boletos que necesita vender.g) Determine la utilidad por noche, si la asistencia promedio por noche es de 7 500 espectadores

19. El jardinero A planta rosas ms rpidamente que el jardinero B en la proporcin de 4 a 3 cuando B planta x rosas en una hora. A planta x + 2 rosas. Determine cuntas rosas planta B en 4 horas.

20. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvi al juego y perdi 1/2 de lo que le quedaba, repiti lo mismo por tercera vez y cuarta vez despus de lo cual le quedaron 6 soles. Calcule el dinero que tenia al comenzar el juego.

21. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan ms 2 aos. Hace 3 aos la relacin de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 aos la suma de sus edades de Juan y Pedro ser:

22. Una de las dimensiones de un rectngulo excede a la otra en 2m; pero si cada dimensin se incrementa en 3m, entonces el rea se incrementa en 51 m2. Encuentre las dimensiones originales.

23. Una compaa fabrica un producto cuyo costo variable por unidad es 6 dlares y el costo fijo 80 000 dlares. Si el precio de venta de cada producto es 10 dlares. Determine el nmero de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de 60 000 dlares.

24. Una fbrica produce ropa para damas y est planeando vender su nueva lnea de ropa deportiva de 33 dlares por unidad. Calcule la cantidad que debe ser marcada en las etiquetas de modo que aun realizando un descuento del 20% durante la liquidacin, genere una ganancia del 15% sobre el costo.

25. Una persona tiene S/.120 y otra tan slo S/.50, despus que cada una de ellas gast la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le sobra a la segunda, Calcule cuanto les queda en conjunto a ambas personas.

26. En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25, si al vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500 soles, Calcule la cantidad de entradas de S/.65 que se vendieron.

27. Al preguntar un padre a su hijo qu cantidad haba gastado de los 350 soles que le dio, este le contesta: las tres cuartas de lo que no gast. Calcule cuanto gast.

28. La razn del nmero de varones al de nias, en un grupo era de 3 a 5. Despus se fueron 24 nias y llegaron 24 varones, con lo que la nueva razn de varones a nias es de 5 a 3. Determine la cantidad de varones que haba en el grupo.

29. Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolucin de ocho problemas diarios. El padre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto. Al cabo de 20 das el hijo gan S/.540. Calcule la cantidad de problemas que el estudiante resolvi correctamente.

30. Los capitales de dos individuos expresados en millones de soles son 1000 y 50. el primero aporta 2 mil soles diariamente, y el segundo 2.2 mil soles. Calcule el tiempo que habr que transcurrir para que el capital del primero sea 10 veces el del segundo.

31. El nmero de monedas que tengo en ambas manos es 52; si el nmero de monedas que tengo en la mano derecha es 7 ms que el doble de lo que tengo en la mano izquierda. Determine las monedas que tengo en cada mano.

32. Dos propiedades han costado $ 33 000. Calcula el valor de cada una, sabiendo que el tercio y el cuarto de la primera es igual a los 7/10 del precio de la segunda.

33. Un comerciante regala lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobran 15, si regala 11 a cada uno le faltan 3. Determine la cantidad de lapiceros que tena.

Actividades colaborativas

1. El lado de un cuadrado es dos veces mayor que el de otro cuadrado; si la suma de sus reas es A m2. Modele la expresin matemtica que exprese el permetro de los cuadrados.

2. Se tiene un cubo de arista 2x. Determine:a) rea total.b) rea lateral.c) volumen. 3. Se saca de una caja x soles y despus ingresa en la misma z soles, resultando entonces la caja con triple cantidad que la existente antes de esta doble operacin. Modele la expresin que represente lo que haba al comienzo en la caja.

4. Se desea repartir una cantidad x entre Pedro, Juan y Pablo. Pedro recibe la cuarta parte del total y Juan recibe la tercera parte de lo que queda. Modele la cantidad que recibe Pablo.

5. Si la edad de Alberto es 3 veces la edad de Julio y juntos suman 52 aos, Calcule cuntos aos le llevar Alberto a Julio dentro de 5 aos.

Actividades de extensin

1. Un nmero es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 5 da tres nmeros cuyo producto es 15 360. Determine de qu nmero se trata.

2. Se reparte dlares entre tres personas de tal manera que al primero le toque $30 ms que al segundo y a ste la cuarta parte de lo que le toca al tercero. Modele cuanto le toca al segundo. (Dar la respuesta en trminos de D).

3. Un regalo que vale soles quieren comprarlo n alumnos, si 8 de ellos se retractan de participar. Modele la expresin que represente cuntos soles ms tendr que pagar cada uno de los restantes que mantienen el acuerdo.

4. Un cao puede llenar un estanque en a horas y otro lo puede llenar en b horas. Si el estanque est vaco y se hace funcionar los dos caos simultneamente. Cunto demora el estanque en llenarse?

5. Un depsito cuya capacidad es a litros tiene b litros de agua. Se vierte agua al depsito por medio de un cao que llena x litros por minuto y sale mediante un grifo de desage que arroja y litros por minuto (x es mayor que y). Cuntos minutos se tardar en llenar el depsito?

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuacin lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incgnitas no estn elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s, ni el denominador.Por ejemplo, es una ecuacin lineal con tres incgnitas.

1. DEFINICIN. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

En este caso tenemos ecuaciones y incgnitas.

Los nmeros reales se denominan coeficientes y los se denominan incgnitas (o nmeros a determinar) y se denominan trminos independientes.

En el caso de que las incgnitas sean 2 se suele designar simplemente por e en vez de y , y en el caso de tres, , , en lugar de , y pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.

Resolver el sistema consiste en calcular las incgnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema simultneamente.

Cuando un sistema de ecuaciones tiene al menos una solucin, es consistente; en caso contrario es inconsistente.

Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Dos ecuaciones lineales con dos variables.

Podemos enfocar el problema de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables como un problema de geometra. La grfica de cada ecuacin de tal sistema es una lnea recta. As, un sistema de dos ecuaciones con dos variables representa un par de rectas. Las rectas (1) se pueden cortar, (2) pueden ser paralelas o (3) pueden ser coincidentes (es decir, idnticas).

1. Si las rectas se cortan, el sistema de ecuaciones tiene una solucin dada por el punto de interseccin. El sistema es consistente y las ecuaciones son independientes.2. Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solucin, ya que las rectas nunca se cortan. El sistema es inconsistente.3. Si las rectas son coincidentes, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta. El sistema es consistente y las ecuaciones son dependientes.

Rectas que se corta; el sistema tiene una solucin.Rectas paralelas; el sistema no tiene solucin.Rectas coincidentes; el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2. MTODOS DE RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:

2.1. Mtodo de sustitucin

Ilustraremos el mtodo de sustitucin mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. Resuelve

Resolucin.

Primero despejamos en la primera ecuacin, con lo cual obtenemos

Sustituimos este resultado en la segunda ecuacin y nos quedamos con una ecuacin que slo contiene a la variable , la cual tambin podemos despejar.

Una vez que sabemos que , podemos determinar con facilidad el valor de mediante sustitucin regresiva, es decir, sustituyendo en vez de en una de las ecuaciones originales. Utilizaremos la primera:

La solucin del sistema es ,.

El mtodo utilizado para resolver el sistema del ejemplo 1 es el de sustitucin. Bosquejamos a continuacin los pasos de este mtodo.

Paso 1: Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las variables en trminos de las otras. Paso 2: Sustituir el resultado en las dems ecuaciones. Paso 3: Si se obtiene una ecuacin con una variable hay que resolverla. En caso contrario se repite el paso 1 hasta que quede una ecuacin con una variable. Paso 4: Determinar los valores de las dems variables por sustitucin regresiva. Paso 5: Verificar la solucin determinada.

2.2. Mtodo de eliminacin

Un segundo procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el mtodo de eliminacin. Por lo general, este mtodo es preferible sobre el de sustitucin cuando este ltimo conduce al uso de fracciones o si el sistema contiene ms de dos variables. La eliminacin tambin proporciona la motivacin necesaria para la solucin de sistemas mediante matrices.La idea subyacente tras el mtodo de eliminacin es la de reemplazar las ecuaciones originales del sistema con ecuaciones equivalentes, hasta llegar a un sistema de ecuaciones con una solucin obvia. Al proceder de esta forma obtenemos sistemas equivalentes de ecuaciones.

Reglas para obtener un sistema de equivalentes de ecuaciones

(1) Intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema.(2) Multiplicar (o dividir) cada lado de una ecuacin por la misma constante distinta de cero.(3) Reemplazar cualquier ecuacin del sistema por la suma (o resta) de esa ecuacin y cualquier otra del sistema.

Un ejemplo le aclarar lo anterior. Al estudiar el ejemplo, preste particular atencin al patrn seguido.

Ejemplo 2. Resuelve

ResolucinMultiplicamos cada lado de la ecuacin (2) por 2, de modo que los coeficientes de en las dos ecuaciones sean el negativo uno del otro. El resultado es el sistema equivalente

Ahora sustituimos en forma regresiva utilizando este valor de en la ecuacin (1) y simplificamos para obtener

As, la solucin del sistema original es , . Dejaremos para usted la verificacin correspondiente.

Observemos el patrn del mtodo de eliminacin aplicado en el ejemplo 2. Primero eliminamos la variable de la segunda ecuacin; despus sustituimos en forma regresiva, es decir, sustituimos el valor determinado para de nuevo en la primera ecuacin para encontrar .

Actividades de aprendizaje

1. Resuelve los siguientes sistemas:a)

Nivelacin en Matemtica B1

b)

c) d) e)

e)

f)

g)

h)

i)

2. Define un sistema que tenga como conjunto solucin: e .

3. Completa el sistema mostrado: de manera que admita como solucin los valores e

4. Del SEL

Admite como soluciones e .Calcule .

5. Los lados paralelos de un paralelogramo miden:

; ; a // c ; ;

Calcula el permetro de dicho paralelogramo.

6. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

b)

Actividades colaborativas

1. Resolver los siguientes sistemas:

a)

b)

c)

e)

2. Se tiene:

Si: es solucin del sistema.Calcule el valor de:

3. Los lados de un tringulo equiltero miden: cm, cm y cm. Calcule el permetro de dicho tringulo.

4. Resuelve el siguiente sistema:

Actividades de Extensin

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5. Resolver el sistema:

Calcule

6. Resuelve el siguiente sistema

a)

b)

c)

APLICACIN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLE

Actividades de Aprendizaje

1.

CAROLA SAC es fabricante de blusas y faldas. En un determinado mes produce 65 de estas prendas. Cada falda se vende a S/. 100 y cada blusa se vende a S/. 120. Considere que e representan el nmero faldas y blusas que fabrica la empresa. Modele el sistema de ecuaciones que permita calculara el nmero de blusas y el numero de faldas que deben confeccionarse para obtener S/. 7100 con dicha venta.

2.

Jos tiene en su billetera, billetes de S/.20 y de S/.10, en total tiene 15 billetes con un valor de S/.200. Considere que e representan el nmero de billetes de S/.20 y S/.10 respectivamente. Modele un sistema de ecuaciones que permita calcular el nmero de billetes de cada denominacin que tiene Jos.

3. Carlitos viendo que se acerca el da de la madre, compra una lavadora y una refrigeradora, por un valor total de $ 3 500. Si por la lavadora le hubieran hecho un descuento del 10% y por la refrigeradora un descuento del 8%, hubiera pagado $ 3 170.Modele el sistema de ecuaciones que me permita encontrar el precio de cada artculo.

4. La edad en aos de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un nmero N; y menor que 5 que el cuadrado del nmero siguiente a N. Modele la expresin matemtica que permita determinar la edad que tiene la tortuga.

5. El 40% de los estudiantes de un aula A son varones, y la cuarta parte de los de otra aula B son mujeres. Si en total son 33 chicos y 25 chicas. Determine cuntos alumnos tiene cada grupo.

6. En una nevera hay 22 latas de refresco, unas de 1/3 de litro y otras de 1/5 de litro de capacidad. Si en total contienen 6 litros. Calcule la cantidad de latas que hay de cada tipo.

7. En un grupo de conejos y gallinas el nmero de patas excede en 14 al doble, del nmero de cabeza. Calcule el nmero de conejos.

8. Una familia consta de varios hijos entre nios y nias, alguien pregunt cuntos eran, y la nia mayor respondi que tena tantas hermanas como hermanos a lo que el nio mayor aadi que tena el doble de hermanas que hermanos. a) Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el nmero de nios y nias de dicha familia.b) Calcule el nmero de nias que hay en dicha familia.

9. Una de las salas de un cine de la ciudad de Lima tiene 900 asientos y cobra $2 por nio, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierta funcin, con dicha sala llena, haba la mitad de adultos con respecto del nmero de nios y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de $2 800. Cuntos nios fueron a la funcin?Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el nmero de nios, estudiantes y adultos que asistieron a la funcin en dicha sala.

a) Calcule el nmero de nios que asistieron a la funcin del cine en dicha sala.

10. La profesora de Matemtica le propone a John 30 problemas, para que lo resuelva todos, por cada problema bien resuelto le da S/. 4 y por cada problema mal resuelto John tendr que entregar a la profesora S/. 2 Calcule cuntos problemas resolvi correctamente, si resulta que al final tenia en total S/. 30. Considere los problemas bien resueltos.

Actividades Colaborativas

1. Modele lo que se indica en la columna 2 segn los enunciados de la columna 1.

Columna 1 (Enunciados) Columna 2 (Modelamiento)

a) Un regalo que cuesta x soles quieren comprarlo n alumnos, si 8 de ellos se retractan de participar de la compra. Modele cuntos soles ms, tendr que pagar cada uno de los restantes (que mantienen el acuerdo) en funcin de y .

b) Un depsito cuya capacidad es a litros tiene b litros de agua. Se vierte agua al depsito por medio de un cao que llena x litros por minuto y sale mediante un grifo de desage que arroja y litros por minuto (x > y).Modele la expresin matemtica que permite determinar los minutos que se tardar en llenar el depsito

c) La empresa AUDIO-LINE produce cintas de audio de calidad para conciertos en vivo. Si dicha empresa al producir una cinta gasta 20 dlares y presenta ademas otros gastos por concepto de publicidad de 100 dlares. Considerando que x representa el nmero de cintas producidas. Modele el costo total en dlares , como una funcin de x.

d) FASHION-SAC es fabricante de vestidos y faldas. En un determinado mes produce 112 de estas prendas. Cada falda se vende a S/. 150 y cada vestido se vende a S/. 210. Cuntos vestidos y faldas deben confeccionarse para obtener S/. 4500 con dicha venta.

Considere que se producen x vestidos e y faldas. Modele las ecuaciones que representan la situacin.

2. Para la compra de tiles de escritorio, Sonia ha guardado S/.550 en billetes de S/.10 y S/.20, si hay 40 billetes en total.

a) Calcule la cantidad de billetes de cada denominacin.b) Si Sonia realiza las compras y paga con 13 billetes de s/.20 y 8 de s/10. Diga Ud. Cuantos billetes de cada denominacin an le queda.

3. A una conferencia asistieron 33 profesionales entre psiclogos clnicos y psiclogos educativos. Se recaud S/.116 000 para ayudar al tratamiento de los nios con enuresis de un hospital de solidaridad. Si cada psiclogo clnico colabor con S/.4 000 y cada psiclogo educativo con S/. 3 000, Se pide: a) Modele un sistema de ecuaciones lineales que permita Calcular cuntos psiclogos clnicos y cuntos psiclogos educativos asistieron a la conferencia.b) Determinar la cantidad de psiclogos clnicos y educativos asistieron a la conferencia.

4. La edad de A excede en 22 aos a la edad de B y si la edad de A se divide entre el triple de la de B el cociente es 1 y el resto 12. Determinar ambas edades.

5. Un cierto Capital se desea reunir entre personas. Si cada uno aporta $240 faltan $100 para completar el Capital y si aportan $250 sobran $50. Calcule el Capital a reunir Determine el nmero de personas

Actividades de extensin

1. La suma, diferencia y producto de 2 nmeros, estn en la misma relacin que los nmeros 5, 3 y 16. Calcule los nmeros.

2. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantos compr de S/.48 ni cuantos de S/.42, solamente recuerda que gast S/.1542 y que el nmero de objetos de S/.48 no lleg a diez. Determine la cantidad de objetos de S/.48 que compr.

3. Una granja tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre. El dueo dispone de $18 600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente. Calcula la cantidad de acres debe plantar de cada cultivo.

4. En La cantidad total de pasajeros que utilizan cierta ruta durante el turno matutinos es de 1 000. Si el pasaje de cada nio cuesta 25 centavos, el de adulto 75 centavos y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de $650. Calcule cuntos nios y cuntos adultos utilizaron el autobs en la maana.

5. En unas rebajas he comprado un pantaln, con el 20% de descuento, y una camisa con el 40% de descuento, pagando en total $ 54. Antes de las rebajas habra tenido que pagar $ 75. Calcule el precio inicial de cada artculo.

6. Un cine tiene 900 asientos y cobra $2 por nio, $3 por estudiante y $4 por adulto. En cierta funcin, con el cine lleno, haba la mitad de adultos con respecto del nmero de nios y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de $2 800. Determine cuntos nios fueron a la funcin.

Nivelacin en Matemtica B15