UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

Adrian Vinicio Benavides SuarezLuis David Dominguez SalazarElena Valentina Torres CordovaBryan Orlando Zamora Torres

Mayo 19, 2015

APLICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN BIOTECNOLOGIA

TEMA

CONTROL EPIDEMIOLOGICO DE LA FIEBRE TIFOIDEA

OBJETIVOS

Conocer una aplicacion real dirigida hacia la carrera de Biotecnologa de ecuaciones difer-enciales ordinarias de primer orden.

Establecer una ecuacion diferencial de primer orden que permita determinar el controlepidemiologico de la fiebre tifoidea.

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales son aquellas que contienen una o ms variables respecto a una o masvariables independientes, que ayudan a determinar o a entender varios procesos que ocurren ennuestro alrededor a partir del ambito de la ingeniera; involucrando derivadas de una funciondesconocida para posteriormente verificarla.

En Biotecnologa el uso de estas ecuaciones es muy importante ya que permite comprender

el crecimiento o decrecimiento de una poblacion ya sea de bacterias, hongos o virus; en estecaso ser para determinar el control epidemiologico de la fiebre tifoidea. Esto ayudara a crear

medicamentos o procesos para esta fiebre basados en el tiempo o control de esta enfermedadmediante el calculo de ecuaciones diferenciales ordinarias, en este caso de primer orden.

JUSTIFICACION

El trabajo de investigacon consiste en determinar una ecuacin diferencial de primer orden queayude a controlar el crecimiento epidemiologico de la fiebre tifoidea, adems de que la mismapuede ser utilizada para otras enfermedades relacionadas a esta y mejorar medicamentos yaexistentes gracias a este control.

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MARCO TEORICO

ECUACION DIFERENCIAL

Es una ecuacion que contiene derivadas de una o ms variables respecto a una o mas variablesindependientes.1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Es una ecuacion diferencial ordinaria en la que intervienen derivadas de primer orden respectoa una variable independiente y se encuentra expresada de la siguiente manera2:

dydx = f(x, y)

O en su forma implcita:

f(x, y, dydx) = 0

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Es cuando una ecuacion es separable o tiene variables separables como:(Zill & Cullen, 2009)

dydx = g(x)h(y)

FIEBRE TIFOIDEA

Es una infeccion que causa diarrea y una erupcion cutanea, que se debe mas comunmente a untipo de bacteria llamada Salmonella typhi (S. typhi). 3

DETERMINACION DE LA ENFERMEDAD

Conteo sanguneo completo.- el cual indicara un elevado numero de globulos blancos enla sangre.

Hemocultivo.- para demostrar la presencia de la bacteria. Conteo de plaquetas. Coprocultivo.

MODELO DEL CONTROL EPIDEMIOLOGICO DE LA FIEBRETIFOIDEA

Este tipo de enfermedades se propaga a traves de personas que sean portadoras de la bacteriamediante la defecacion o mal aseo, entonces tenemos:

x(t).- Numero de personas que han contrado la enfermedad.1Zill, D., & Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores de frontera. Mexico DF:

CENGAGE Learning.2Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (1991) Boy and Di Prima;pp. 69 y 703Giannella Ra. Infectious enteritis and proctocolitis and bacterial food poisoning. In: Feldman M, Friedman

LS, Brandt LJ, eds.Sleisenger & Fordtrans Gastrointestinal and Liver Disease

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y(t).- Numero de personas que aun no han sido expuestas al contagio. dxdt .- Razon con la que se propaga la enfermedad; proporcional al numero de interacciones

entre los dos grupos de personas.

Suponiendo que el numero de interacciones es proporcional a x(t) y y(t) y proporcional alproducto xy, entonces:

dx

dt= kxy

Donde k es la constante de proporcionalidad.Si a una poblacion finita de n personas; se introduce una persona infectada entonces se podra

argumentar que x(t) y y(t) se encuentran relacionadas por x + y =n + 1, entonces podemosobtener el siguiente modelo:

dxdt = kx(n + 1 x)

Cuya condicion inicial es:

x(0) = 1

Esta es una curva logstica en la que se puede observar que al inicio hay un incremento gradualen el numero de estudiantes infectados, seguido de un incremento un poco pronunciado en elnumero cerca al punto de inflexion y finalmente una disminucion gradual.

EJEMPLO

Suponga que un alumno es portador de la fiebre tifoidea y regresa al apartado campus de suuniversidad de 1000 estudiantes. Determine una ecuacion diferencial para el numero de personasx(t) que contraeran la fiebre si la razon con la que esta enfermedad se propaga es proporcionalal numero de estudiantes que tiene gripe y el numero de estudiantes que aun no se han expuestoa ella.

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Solucion

Como ya conocemos la cantidad de personas que aun no se han infectado aplicamos la segundaecuacion y unicamente se procede a reemplazar en esta el valor ya antes mencionado, de lasiguiente manera.

dx

dt= kx(n + 1 x)

dx

dt= kx(1000 x)

Si se desea determinar el tiempo en el que esta cantidad de personas se contagia se procede dela siguiente manera:

dx

dt= kx1000 kx2

dx

k1000x

dx

kx2=

dt

1

1000kln(x) +

1

kx= t + C

1

k

[ln(x)

1000+

1

x

]= t + c

t =1

k

[ln(x)

1000+

1

x

]+ c

CONCLUSIONES

Las ecuaciones diferenciales son de gran importancia, ya que ayudan a determinar ciertosparametros que en biotecnologa son de vital importancia para la implementacion de nuevastecnicas, metodos y en este caso vacunas. Gracias a este modelo de control epidemiologico selogro determinar el tiempo de contagio en relacion a la cantidad de poblacion afectada.

BIBLIOGRAFIA

Zill, D., & Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores defrontera. Mxico DF: CENGAGE Learning.

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (1991) Boy and Di Prima;pp. 69 y 70

Giannella Ra. Infectious enteritis and proctocolitis and bacterial food poisoning. In:Feldman M, Friedman LS, Brandt LJ, eds.Sleisenger & Fordtrans Gastrointestinal andLiver Disease

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