APLICACIÓN DE LA DERIVADA

1. Dada una hoja cuadriculada de lado a, se desea construir con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas cuadradas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible.

Solución:

El lado del Cuadrado cortado =X entonces el volumen dela caja es:

V (X )=X (a+2 X )2 ,0<X< a2

V ' (X )=(a+2 X )2−4 X (a−2 X)

V ' (X )=(a−2X ) (a−6 X )=0⇒X=a2,X=a

6

V' ' (X )=−8 A+24 X⇒V ' ' ( a6 )=−8a+4 a=−4a<0

⇒ ∃ máximo en = a6

Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para obtener volumen máximo es X = a6

2. Un rectángulo a de tener un área de 64 pulgadas cuadradas, hallar sus dimensiones, deforma que la distancia desde una de sus esquinas al punto medio de un lado no adyacente sea mínima.

Solución:

Datos del problema:

A=XY=64⇒Y=64X,d=√Y 2+ X ²

4

❑

f ( x )=√ 4096X ²

❑

+ X ²4

❑❑

=√16384+X42 X

Entonces

f ( x )=x= X4−163842 X ²√16384+X4

=0 ⇒ X4−16384=0 ,de donde X=±8 4√2

Como Y =64X

⇒Y=4 4√2√2

Luego las dimensiones son 4 4√2√2 y 8√2 pulgadas.

3. Si un recipiente cilíndrico de lámina (cerrado en ambos extremos) ha de tener como volumen, encuéntrese las dimensiones que requieren la mínima cantidad de material.

Solución:

Datos del problema: V¿ π r2hde dondeh= v

π r2

At=π r2+¿ 2πrh entonces At=2π r2 + 2vr

At (r )=2π r2+ 2v

r

A 't (r )=4 π r2−2v

r 2=0 ⇒ r=3√ V

2 π

❑

A ' 't (r)=4 π+−4vr3

⇒A ' 't ¿)=12π>0⇒existeminimoenr=3√ V2 π

, h=3√ 4Vπ4. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados

paralelos a los ejes de la elipse.

Solución:

La Ecuación dela elipse es: Xa2

2

+ Yb2

2

=1

De donde: y =ba

√a2−x2

Condición del problema: A=xy = bxa

√a2−x2 ⇒ A ( x )=bxa

√a2−x2, derivando dAdx

=ba

√a2−x2− bx2

a√a2−x2❑ = 0 ⇒ x= a

√2 como y =

ba

√a2−x2 ⇒ y= b

√2

Luego las dimensiones del rectángulo son:2 x=a

√2=√2a , 2 y=

2b

√2 = √2b

5. Una estatua de 6 mts. De altura tiene su base a 2 mts. Arriba del nivel del ojo de un observador. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ángulo subtendido desde su ojo por la estatua sea máxima.

Solución:

Sea x la incógnita correspondiente a θmáximo sea β=θ+α ,de dondeθ=β−α

tgθ= tg(¿ β−α )= tg β−tgα1+ t gα .tgβ

¿

Además tgα=2x, tgβ=6

x

⇒ tg θ= tg β−tgα1+ t gα . tgβ

=

6x−2x

1+12

x2

=4 x

x2+12

tgθ= 4 x

x2+12⇒ θ=arc .tg( 4 x

x2+12 ) , derivando:

dθdx

=

Dx ( 4 xx2+12 )

1+ 16 x2

(x2+12) ²

=¿❑

4 (x2+12 )−4 x (2 x)( x2+12) ²

(x2+12 ) ²+16 x ²( x2+12) ²

¿= 48−4 x ²x4+40 x ²+144

dθdx

= 48−4 x ²x4+40 x ²+144

=0⇒ x=¿ ¿±2√3Por lo tanto analizando para x=2√3 se obtiene que sea máximo.