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http://www.youtube.com/watch?v=Ji0sVMQttzU
https://www.youtube.com/watch?v=_Fo6pdz6tQ
https://www.youtube.com/watch?v=_h!"#F$%&'o
https://www.youtube.com/watch?v=(t)*ba+0,-#
https://www.youtube.com/watch?v=hetw)$Fc
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1)2,$3U4415).
Las figuras geométricas que conocemos desde las primeras clases de matemáticas desde el preescolar son el triángulo, el cuadrado, el circulo, el rectángulo, conforme avanza uno en nivel
educativo conocemos los nombres de las personas que los estudiaron por primera vez, nos platican
como ellos determinaron sus características, elementos y sus fórmulas, todo para determinar su
área, el perímetro, midiendo sus lados, bases y alturas, incluso aprendemos teoremas como el de
Pitágoras y Tales, propiedades de algunas figuras, formulas enlazadas a dichas propiedades y
llegamos a la parte donde nos dicen que las figuras geométricas de cuatro lados se llaman
cuadriláteros, que hay diferencia entre circulo y circunferencia, entonces llegamos a un punto
donde nos indican que las formulas eran solo una parte de esas figuras, que también eistenecuaciones asociadas con ellas, volvemos a preguntarnos, eso para qué sirve!, este articulo trata de
describir esas aplicaciones que tanto buscamos entender en la escuela y de esta manera obtener esa
formación integral, relacionando los contenidos temáticos con la vida real"
La #lumna"
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GEOMETRÍA ANALÍTICA.
La geometría analítica estudia las figuras geométricas por medio de un análisis matemático que utiliza el
álgebra y un sistema de coordenadas cartesiano, esta parte de las ciencias matemáticas representa la mayor
cantidad de aplicaciones que podamos encontrar"
LAS CONICAS Y SUS APLICACIONES
1. OBJETIVOS
. $J&21V$ 8&)&,9$studiar algunas aplicaciones de la parábola, elipse e hipérbola y a partir de procesos de
modelación conceptualizar las curvas como lugares geométricos y obtener la %epresentación
analítica".! $J&21V$; &;<&4F14$;
%evisar aplicaciones de la parábola, la elipse e hipérbola en contetos reales como la medicina,
ingeniería, navegación y astronomía, entre otros"$studiar documentos sobre el proceso de modelización matemática"$studiar desde la geometría analítica las cónicas y profundizar en la correspondencia entre las
propiedades geométricas de las curvas y las propiedades algebraicas de la ecuación
correspondiente"2. DEFINICIÓN DE CÓNICA
&ada una recta fi'a L y un punto fi'o ( no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar
geométrico de un punto P que se mueve en el plano, de tal manera que la razón de su distancia de
( a su distancia de L es siempre igual a una constante positiva"La recta L se llama directriz, $l punto ( foco y la constante positiva, ecentricidad de la cónica
)e*+
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uando e - ., la definición anterior corresponde a una /%01($%$1/#"
uando e - ., la definición anterior corresponde a una P#%234L#
uando e 5., la definición anterior corresponde a una $L/P6$
uando e 7 ., la definición anterior corresponde a una 8/P9%34L#
2.1 ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADOLa ecuación general de segundo grado en dos variables se define como+
A x2+Bxy+C y
2+ Dx+ Ey+ F =0
y puede representar una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, seg:n el
indicador+
I =B2−4 AC
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
A x2+Bxy+C y
2+ Dx+ Ey+ F =0
CIRCUNFERENCIA PARABOLA ELIPSE HIPERBOLAINDICADOR
I =B2−4 AC
/ - ; / 5 ; / 7 ;
EXCENTRICIDAD(e)
e - ; e - . e 5 . e 7 .
!.! 2,9;9415) ,$29415) 3& &J&; 4$$,3&)939;
Los e'es coordenados fueron concebidos como una herramienta que sirve para poder
representar puntos y curvas en un plano" 6in embargo, eisten lugares geométricos cuya
naturaleza requiere de cambios en los e'es y se necesitan representar mediante una traslación, de
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una rotación o de una combinación de ambas"
$n la ecuación general de segundo grado A x2+Bxy+C y
2+ Dx+ Ey+ F =0 los
términos & y $ determinan si está o no trasladada la cónica"
0natraslación
implica que el lugar geométrico conserva su misma forma pero de forma paralela a los e'escoordenados, es decir, produce un nuevo con'unto de e'es paralelos a los originales" $n ese sentido se
cumple que+
6i & ≠ ; y $ ≠ ; significa que está en cualquier punto del plano
6i & - ; significa que está sobre el e'e
6i $ - ; significa que está sobre el e'e 6i & - $ - ; significa que está en el origen"
$n una rotación , la forma del lugar geométrico no se altera, sin embargo, su posición respecto a los e'es
coordenados no es paralela" 6i en la ecuación general de segundo grado, se cumple que 3 ≠ ; , se tiene
una rotación de los e'es y y en donde su origen permanece fi'o y ambos giran alrededor de éste un cierto
ángulo"
$n este sentido, el término 3y implica que la cónica está rotada con respecto a los e'es
coordenados"onsiderando lo anterior, 3 ¿
; , la cónica es paralela o coincidente a los e'es y y
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S T!"!# $!# %&#!# '!#$e# #e &*+'&, e, $& #+e,-e -&$&
&4U9415) 8&)&,9 3& ;&8U)3$ 8,93$
A x2+Bxy+C y
2+ Dx+ Ey+ F =0
;i> ,otaci>: = 04o> ,otaci?>:
≠ 0
4o> 2+as"aci> ;i> 2+as"aci> 4o> 2+as"aci> ;i> 2+as"aci>
&≠ ;
$ ≠ ;
&¿ ;
$ ≠ ;
&≠ ;
$ ¿ ;
&¿ ;
$ ¿ ;
&≠ ;
$ ≠ ;
&¿ ;
$ ≠ ;
$ ≠ ; &¿
$ ¿
A ¿
C
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfere
ncia
,ircunfe
ncia
A ≠
C
(/#/!#
#,!#)
$lipse en
cualquier
punto
$lipse
sobre el e'e
y
$lipse
sobre el e'e
"
$lipse en
el origen
$lipse en
cualquier
punto
$lipse
sobre el e'e
y
$lipse
sobre el e'e
"
$lipse e
el orige
A ≠
C
(#,!#
%!,-*&*
!#)
8ipérbola
en
cualquier
punto
8ipérbola
sobre el e'e
y
8ipérbola
sobre el e'e
"
8ipérbola
en el
origen
8ipérbola
en
cualquier
punto
8ipérbola
sobre el e'e
y
8ipérbola
sobre el e'e
"
8ipérbo
en el
origen
A ¿
0
C ≠
0
Parábola
en
cualquier
punto
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
sobre el e'e
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
en
cualquier
punto
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
sobre el e'e
Parábo
sobre el
y
A≠
0
C ¿
0
Parábola
en
cualquier
punto
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
sobre el e'e
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
en
cualquier
punto
Parábola
sobre el e'e
y
Parábola
sobre el e'e
Parábo
sobre el
y
AC0 %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta %ecta
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. CÓNICAS EN LA VIDA REAL
3. Las formas de las secciones cónicas están ocultas en la estructura de muchas cosas, en las estructurasde dise<os arquitectónicos, fabricación de ob'etos peque<os, en el funcionamiento de instrumentos
tecnológicos :tiles en medicina, ingeniería, navegación y astronomía entre otros, en la descripción
del movimiento de ob'etos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre otras"4. # continuación se relacionan algunos eventos que involucran el uso de las cónicas"
@. 9 41,4U)F&,&)419:$s también uno de los elementos más importantes para la geometría" 6e define como unLugar geométrico determinado por el movimiento de un punto en el plano, siempre y cuando
permanezca a una misma distancia llamada radio, de un punto central" 6e considera+
&) F!*/& e,e*&$ "e $& %*%+,5e*e,%& x
2+ y2+ Dx+ Ey+ F =0
) E, e$ !*e,
x2+ y2=r
2
%) F+e*& "e$ !*e, y−k ¿¿
( x−h)2
+¿
ANEXO F+*& N6 1
@.. 9<14941$)&;.C*%+,5e*e,%& e, $& M7#%&
6e utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas" Por e'emplo= Los ds, piezas
ordinarias en la m:sica actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una
circunferencia" #l centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el d y para
que la radio lo reproduzca" $stas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para
su correcto funcionamiento" Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio yel diámetro
C*%+,5e*e,%& e, $&# A*/&#omo ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia
pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el tama<o de agu'eros como
lo es en las armas" 6e habla normalmente de pistolas calibre de >"?@ mm, A">@ mm, B mm,
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etc" $sto no es solo un CnombreD, sino que esto se refiere al tama<o del agu'ero )ca<ón* por
donde salen los proyectiles )balas* del arma, usando el tama<o del diámetro y usando una
medida milimétrica para lograrlo
C*%+,5e*e,%& e, e$ T*&,#'!*-e
$n el transporte también podemos apreciar la presencia de la ircunferencia, de hecho,donde se puede notar y e'emplificar me'or es en la 3icicleta, un con'unto de tubos metálicos
con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente+ Las ruedas están hechas de un
CarcoD " La me'or parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen
un montón de alambres delgados llamados CrayosD y estos son radios que mantienen la
forma circunferencial de la rueda perfectamente" 4tra cosa es que el tama<o de la rueda es
medido en #ro EF, E>, etc" G esto se hace usando el diámetro"
C*%+,5e*e,%& e, $!# De'!*-e#Huizás parezca que en la :nica parte en donde podría aplicarse la ircunferencia en los
deportes sería en los balonesI Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos
daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen
marcas geométricas y ircunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc" Los
campos de (utbol, las canchas de 3asquetbol, los campos de (utbol #mericano y en muchas
más"
L& C*%+,5e*e,%&8 -&/9, '*e#e,-e e, $& N&-+*&$e:&Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los a<os" Primero crecen
peque<as ramificaciones desde el suelo" Luego crecen más y con esto va aumentando el
grosor de su Tronco La circunferencia se aplica entonces debido a que las personasrelacionadas con la 1aturaleza como los /ngenieros (orestales, saben perfectamente que al
cortar un árbol, se pueden apreciar muchos CanillosD que están en el tronco" G con el
Ctama<oD de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol" Lo que
nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo
A,e;! F+*& N6 2
@.! 9 <9,9$9:6e define como lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta
llamada directriz y un punto eterno llamado foco, su forma se relaciona con la ecuación
cuadrática y aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas" También debemos aclarar
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que la ecentricidad siempre es igual a ., esta unicidad nos permite observar parábolas
seme'antes pero a diferentes escalas, ya que al hacer un análisis de la parábola cometemos elerror de indicar que sus parámetros, son los que cambian la forma de la parábola" Las
representaciones algebraicas tienen que considerar como su e'e focal tiene una relación con
los e'es coordenados y serían las siguientes+aA Fo+ma Be>e+a" de "a pa+Cbo"a:
x2+ Dx+ Ey+ F =0
y2+ Dx+ Ey+ F =0
bA 4o> vD+tice e> e" o+iBe>:
x2=4 py
y2=4 px
cA Fue+a de" $+iBe>:
( y−k )2+¿ 4 p ( x−h)
( x−k )2+¿4 p ( y−h)
A,e;! F+*& N6
.2.1 APLICACIONES.#lgunas de sus aplicaciones son+
LAS ANTENAS PARABÓLICAS0na consecuencia de gran importancia es que la tangente refle'a los rayos paralelos al e'e de la
parábola en dirección al foco" Las aplicaciones prácticas son muchas+ las antenas satelitales y
radiotelescopios aprovechan el principio concentrando se<ales recibidas desde un emisor le'ano en
un receptor colocado en la posición del foco"La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su
aplicación en peque<as cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar"#nálogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al e'e+
diversas lámparas y faros tienen espe'os con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal" Los rayos convergen o divergen si
el emisor se desplaza de la posición focal"
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• Los radiotelescopios como+• $l radar para recibir y enviar haces de se<ales"• (aros de vehículos o lámparas de casas para concentrar y enviar energía como haces de luz,
concentradores parabólicos solares para la concentración de energía solar y su
almacenamiento" #lgunas construcciones en puentes o dise<os arquitectónicos para
edificios o casas"• Las trayectorias ideales de cuerpos que se mueven ba'o la influencia de la gravedad como+
lanzamientos de algunas pelotas, lanzamientos de flechas, una trayectoria balística,
lanzamiento de ob'etos" $n algunos 'uegos mecánicos e infantiles" /ncluso se hacen dise<oseclusivos de ob'etos por su estética"
9>eEo: FiBu+a ) %
?"? LA ELIPSE.?"F 6e define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se
cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fi'o que se denomina foco y a una
recta dada llamada directriz, permanece constante y es igual a la ecentricidad de la misma"
Presenta una ecentricidad que puede tomar valores entre cero y uno, ella indicara la forma
que tendrá esa elipse, cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero
se aseme'a a una circunferencia" Las representaciones algebraicas tienen que considerar
como su e'e focal tiene una relación con los e'es coordenados de manera paralela y donde se
encuentra el vértice, son las siguientes+
&) F!*/& e,e*&$ "e $& e$'#e
Ax2+Cy
2+ Dx+ Ey+ F =0
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) C!, V9*-%e e, e$ !*e,
x2
a2+ y
2
b2 =1
%) C!, V9*-%e 5+e*& "e$ O*e,( x−h)2
a2 +
( y−k )2
b2 =1
A,e;! F+*& N6 4
..1 APLICACIONESA'$%&%<, I/'!*-&,-e Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al
6ol" También le corresponde esta figura a los cometas y satélites" #demás se cree
que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos"&ebido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando
hacen via'es circulares se vuelven elípticas
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$n a
#rquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica Las propiedades de la elipse son similares a las de la parábola" $n medicina un aparato llamado litotripto para desintegrar cálculos renales
por medio de ondas intraJacuáticas de choque" $structuras en la
construcción como en capillas, galerías de los murmullos o de los secretos,
foros, que tienen formas elipsoidales en los techos para me'or transmisión
del sonido"
#lgunos estadios deportivos tienen forma elíptica, para atletismo, bicicletas" velocidad en el hielo" La criptografía de curva elíptica, también utiliza esta forma" $n el deporte para el acondicionamiento físico o cardio, la bicicleta elíptica"
Las aplicaciones de la elipse también se relacionan con las de la parábola
ANEXO F+*& N6 =
.4 LA HIPERBOLA6e define como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fi'os, llamados focos, es igual a la distancia entre los
vértices, la cual es una constante positiva" La ecentricidad, al igual que en la elipse, es la relación
entre las distancias de foco a foco y de vértice a vértice, entonces la ecentricidad en la hipérbola
siempre es mayor que la unidad, sus representaciones algebraicas son+&) F!*/& e,e*&$ "e $& >'9*!$&
Ax2+By2+Cx+ Dy+ E=0
) C!, ?9*-%e e, e$ !*e,
x2
a2+ y
2
b2 =1
%) F+e*& "e$ O*e,
( x−h)2
a2 −
( y−k )2
b2 =1
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ANEXO F+*& N6 @
.3.1 APLICACIONES
A'$%&%<, I/'!*-&,-e
P*!'e"&" Ó'-%&
onsideremos un espe'o que tenga forma de hipérbola" 6i un rayo de luz que parta de uno de los
focos choca contra el espe'o, se refle'ará ale'ándose directamente del otro foco
T*&e%-!*&# "e %!/e-&#
0n cuerpo celeste que provenga del eterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una
órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar" $sto sucede con
algunos cometas
E$ *e$! "e #!$
ada día el 6ol, desde que sale por el $ste y se pone por el 4este, describe sobre el cielo un arco de
circunferencia" $ste movimiento es aparente, porque, en realidad, es consecuencia del movimiento diario de
rotación de la Tierra" &esde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el 6ol recorre el cielo a lo largo de un
día, la sombra que proyecta un ob'eto fi'o describe una curva cónica" $sto se puede comprobar
eperimentalmente si se va marcando, por e'emplo, cada media hora, sobre una superficie plana el límite de
la sombra que proyecta un ob'eto cualquiera" Los relo'es de sol se fundamentan en este hecho" $stán
provistos de un marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre una superficie plana
donde están se<alizadas las horas" $l etremo de la sombra indica la hora solar correspondiente" $l sol, por lo
le'ano que está, se considera como un foco puntual de luz" La línea imaginaria que le une con el etremo del
gnomon recorre a lo largo del día parte de la superficie de un cono, también imaginario" La superficie de este
cono se corta por el plano del relo' donde se observa la sombra del etremo del gnomon" Por eso, la
trayectoria que sigue esa sombra es la de una cónica" $n las latitudes de la Península /bérica )de ?K a FE*
esa cónica es siempre una hipérbola, tanto más curvada cuanto más próimo esté el día E. de Munio )solsticio
de verano* o al E. de &iciembre )solsticio de invierno*" $n dos días del a<o, la trayectoria de la sombra que
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proyecta el gnomon es una recta en todos los lugares de la Tierra" $sto ocurre en los días E. de marzo
)equinoccio de primavera* y E? de septiembre )equinoccio de oto<o*" La razón es que, en esos días, la
trayectoria del 6ol y el etremo del gnomon están en un mismo plano que corta al plano de observación en
una recta
E, &#-*!,!/&+Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas, estos cometas sólo se acercan una vez al sol,
que es uno de los focos de su trayectoria, después se ale'arán perdiéndose en los confines del
sistema solar" 0n avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la
tierra, de'a una huella ac:stica hiperbólica sobre la superficie" La intersección de una pared y
el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una
hipérbola" $n mecánica, se usan en el dise<o de estructuras hay algunas veces que los
resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola" $s bastante com:n verla
en edificios y construcciones arquitectónicas" 6i tienes una construcción de sección cuadrada
o rectangular con un remate o c:pula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas"
Las aplicaciones de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse,$ntre otras aplicaciones tenemos+
• " 0n avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra,
de'a una huella ac:stica hiperbólica sobre la superficie"• La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con
pantalla troncocónica, es una hipérbola"• $n mecánica, se usan en el dise<o de estructuras hay algunas veces que los resultados de
las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola"• Es bastante común verla en edificios y construcciones arquitectónicas.
• 6i tienes una construcción de sección cuadrada o rectangular con un remate o c:pula
cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas" Las aplicaciones de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse,
A,e;! F+*& N6
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#1$N46
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ANEXO F+*& N6 1
ANEXO F+*& N6 2
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ANEXO F+*& N6
ANEXO F+*& N6 3
ANEXO F+*& N6 4
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ANEXO F+*& N6 =
ANEXO F+*& N6 @
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ANEXO F+*& N6
41L06/41$6+
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onocer la aplicación de las conicas tomadas de casos practicos, implica eplorar ideas, la
utilización de recursos, b:squeda de soluciones para integrar lo práctico y lo formal y sobre
todo tener la disposición y actitud necesarias para querer hacerlo $ste contribuye a dar soluciones eficaces ante cualquier problema q se pueda presentar en el
transcurso de nuestro proceso de aprendiza'e
3/3L/4O%#(/#+
http+QQE"educarchile"cl0ser(ilesP;;;.(ile41/#6"&4"pdf
http+QQQ"ehu"esRmtpalezpmatescharlaconicas"pdf
http+QQQ"bdigital"unal"edu"coA;BK.;..K>>;B"E;.E"pdf
http+QQQ"eduteSa"orggestorprec0pK?KKAA>Ee?cKbcBabeeFK;Ff;bbF>.F."pdf
http+QQQ"fca"unam"mdocsapuntesmatematicasE;"UE;onicas"pdf