Antología Física I

_ Antología de Física I .

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

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Antología de Física I


Última revisión: 22-Diciembre-2008



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Índice

Unidad I. Fundamentos de física 3 1.1 Definición de física 4 1.1.1 Breve historia de la física 4 1.1.2 División y relación con otras ciencias 6 1.1.3 Método científico 8 1.1.4 Trascendencia en la tecnología 11 1.2 Definición de magnitud 13 1.2.1 Magnitudes fundamentales y derivadas 13 1.3 Sistema de unidades 14 1.3.1 Cifras significativas 15 1.3.2 Conversión de unidades 16 1.3.3 Métodos directos e indirectos de medición 17 1.3.4 Clases y tipos de error 19 Unidad II. Vectores 24 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales 25 2.1.1 Características de los vectores 26 2.1.2 Composición y descomposición de los vectores 27 2.1.3 Suma de vectores por el método gráfico y analítico 28 Unidad III. Mecánica 31 3.1 Cinemática 32 3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme 32 3.1.1.1 Velocidad 33 3.1.2 Movimiento uniforme acelerado 33 3.1.2.1 Aceleración 34 3.1.2.2 Caída libre y tiro vertical 35 3.1.2.3 Tiro parabólico (tiro horizontal) 36 3.1.3 Movimiento circular uniforme 38 3.1.3.1 Aceleración centrípeta y centrífuga (definición) 39 3.2 Dinámica 39 3.2.1 Leyes de Newton 39 3.2.2 Trabajo, energía (potencial y cinética) y potencia 41 Bibliografía 44



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Unidad I Fundamentos de física



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Unidad I. FUNDAMENTOS DE FÍSICA

1.1 Definición de física. En la literatura se encuentran algunas definiciones de lo que es la física, algunas de ellas es la que a continuación se menciona: La física [griego φύσισ (phisis), realidad o naturaleza] es la ciencia fundamental sistemática que estudia las propiedades de la naturaleza con ayuda del lenguaje matemático. Es también aquel

conocimiento exacto y razonado de alguna cosa o materia, basándose en su estudio por medio del método científico. Estudia las propiedades de la materia, la energía, el tiempo, el espacio y sus interacciones.

1.1.1 Breve historia de la física. Se conoce que la mayoría de civilizaciones de la antigüedad trataron desde un principio de explicar el funcionamiento de su entorno, miraban las estrellas y pensaban como ellas podían regir su mundo. Esto llevó a muchas interpretaciones de carácter más filosófico que físico, no en vano en esos momentos la física se la llamaba filosofía natural. Muchos filósofos se encuentran en el desarrollo primigenio de la física, como Aristóteles, Tales de Mileto o Demócrito, por ser los primeros en tratar de buscar algún tipo de explicación a los fenómenos que los rodeaban. A pesar de que las teorías descriptivas del universo que dejaron estos pensadores eran erradas, éstas tuvieron validez por mucho tiempo, casi dos mil años, en parte por la

aceptación de la iglesia católica de varios de sus preceptos como la teoría geocéntrica o las tesis de Aristóteles. Esta etapa denominada oscurantismo en la ciencia termina cuando Nicolás Copérnico, considerado padre de la astronomía moderna, en 1543 recibe la primera copia de su De Revolutionibus Orbium Coelestium. A pesar de que Copérnico fue el primero en formular teorías plausibles, es otro personaje al cual se le considera el padre de la física como la conocemos ahora. Un catedrático de matemáticas de la Universidad de Pisa a finales del siglo XVI cambiaría la historia de la ciencia empleando por primera vez experimentos para comprobar sus aseveraciones, Galileo Galilei. Con la invención del telescopio y sus trabajos en planos inclinados, Galileo empleó por primera vez el método científico y llegó a conclusiones capaces de ser verificadas. A sus trabajos se le unieron grandes contribuciones por parte de otros científicos como Johannes Kepler, Blaise Pascal, Christian Huygens. Posteriormente, en el siglo XVII, un científico inglés reúne las ideas de Galileo y Kepler en un solo trabajo, unifica las ideas del movimiento celeste y las de los movimientos en la tierra en lo que él llamó gravedad. En 1687, Sir Isaac Newton en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica formuló los tres principios del movimiento y una cuarta Ley de la gravitación



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universal que transformaron por completo el mundo físico, todos los fenómenos podían ser vistos de una manera mecánica. El trabajo de Newton, perdura hasta la actualidad; todos los fenómenos macroscópicos pueden ser descritos de acuerdo a sus tres leyes. De ahí que durante el resto de ese siglo y el posterior siglo XVIII, todas las investigaciones se basaron en sus ideas. De ahí que otras disciplinas se desarrollaron, como la termodinámica, la óptica, la mecánica de fluidos y la mecánica estadística. Los conocidos trabajos de Daniel Bernoulli, Robert Boyle, Robert Hooke entre otros, pertenecen a esta época.

Es en el siglo XIX donde se producen avances fundamentales en la electricidad y el magnetismo principalmente de la mano de Charles-Augustin de Coulomb, Luigi Galvani, Michael Faraday y George Simon Ohm que culminaron en el trabajo de James Clerk Maxwell de 1855 que logró la unificación de ambas ramas en el llamado electromagnetismo. Además se producen los primeros descubrimientos sobre radiactividad y el descubrimiento del electrón por parte de Joseph John Thompson en 1897.

Durante el Siglo XX, la Física se desarrolló plenamente. En 1904 se propuso el primer modelo del átomo. En 1905, Einstein formuló la Teoría de la Relatividad especial, la cual coincide con las Leyes de Newton cuando los fenómenos se desarrollan a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. En 1915 extendió la Teoría de la Relatividad especial, formulando la Teoría de la Relatividad general, la cual sustituye a la Ley de gravitación de Newton y la comprende en los casos de masas pequeñas. Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr y otros, desarrollaron la Teoría cuántica, a fin de explicar resultados experimentales anómalos sobre la radiación de los cuerpos. En 1911, Ernest Rutherford dedujo la existencia de un núcleo atómico cargado positivamente, a partir de experiencias de dispersión de partículas. En 1925 Werner Heisenberg, y en 1926 Erwin Schrödinger y Paul Adrien Maurice Dirac, formularon la Mecánica cuántica, la cual comprende las teorías cuánticas precedentes y suministra las herramientas teóricas para la Física de la materia condensada.

Posteriormente se formuló la Teoría cuántica de campos, para extender la mecánica cuántica de manera consistente con la Teoría de la Relatividad especial, alcanzando su forma moderna a finales de los 40, gracias al trabajo de Richard Feynman, Julian Schwinger, Tomonaga y Freeman Dyson, quienes formularon la teoría de la electrodinámica cuántica. Asimismo, esta teoría suministró las bases para el desarrollo de la física de partículas. En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills desarrollaron las bases del modelo estándar. Este modelo se completó en 1970, y

con él fue posible predecir las propiedades de partículas no observadas previamente, pero que fueron descubiertas sucesivamente, siendo la última de ellas el quark top. Los intentos de unificar las cuatro interacciones fundamentales han llevado a los físicos a nuevos campos impensables. Las dos teorías más aceptadas, la mecánica cuántica y la relatividad general, que son capaces de describir con gran exactitud el macro y el



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micromundo, parecen incompatibles cuando se las quiere ver desde un mismo punto de vista. Es por eso que nuevas teorías han visto la luz, como la supergravedad o la teoría de cuerdas, que es donde se centran las investigaciones a inicios del siglo XXI. La física no es sólo una ciencia teórica, es también una ciencia experimental. Como toda ciencia, busca que sus conclusiones puedan ser verificables mediante experimentos y que la teoría pueda realizar predicciones de experimentos futuros. Dada la amplitud del campo de estudio de la física, así como su desarrollo histórico en relación a otras ciencias, se la puede considerar la ciencia fundamental o central, ya que incluye dentro de su campo de estudio a

la química y a la biología, además de explicar sus fenómenos. La física en su intento de describir los fenómenos naturales con exactitud y veracidad ha llegado a límites impensables, el conocimiento actual abarca desde la descripción de partículas fundamentales microscópicas, el nacimiento de las estrellas en el universo e incluso conocer con una gran probabilidad lo que aconteció los primeros instantes del nacimiento de nuestro universo, por citar unos pocos conocimientos. Esta tarea comenzó hace más de dos mil años con los primeros trabajos de filósofos griegos como Demócrito o Aristóteles, y continuada después por científicos como Galileo Galilei, Isaac Newton, James Clerk Maxwell, Albert Einstein, Niels Bohr, Paul Dirac, Richard Feynman, entre muchos otros.

1.1.2 División y relación con otras ciencias. La Física se divide para su estudio en dos grandes grupos: la Física clásica y la Física moderna. La primera estudia todos aquellos fenómenos de los cuales la velocidad es muy pequeña comparada con la velocidad de propagación de la luz. La segunda se encarga de todos aquellos fenómenos producidos a la velocidad de la luz o con valores cercanos a ella. Esto debido a que la física clásica no describe con precisión los fenómenos que se suceden a la velocidad de la luz. La Física Clásica se compone entonces de:

1) MECÁNICA (fenómenos relacionados con el movimiento de los cuerpos) o Estática (cuerpos en equilibrio) o Dinámica (causas por las que los cuerpos ya no están en equilibrio) o Cinemática (tipos de movimientos sin importar las causas)

2) TERMODINÁMICA (Fenómenos térmicos) 3) ELECTROMAGNETISMO (interacción de los campos eléctricos y magnéticos) 4) ÓPTICA (Fenómenos relacionados con la luz) 5) ACUSTICA (Sonido y fenómeno de la audición)



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La Física Moderna se divide en: A) FISICA CUÁNTICA (energía formada de "cuantos")

B) FISICA RELATIVA (Materia y energía son dos entidades relativas) La relación de la física con otras ciencias se da de muy diferentes formas, como a continuación se describe: Física con astronomía:

Desde el principio del conocimiento, el hombre, siempre ha sentido curiosidad por los fenómenos que ocurren a su alrededor. Esta curiosidad, llevó a que surgiera el llamado método científico, que intentaba explicar de modo racional el porqué o cómo de las cosas. Galileo Galilei, físico y astrónomo italiano nacido en Pisa en 1564 efectuó grandes contribuciones al desarrollo de las ciencias. Como gran experimentador, logró construir el primer telescopio para sus observaciones, logrando con lentes amplificar las imágenes. Eran los pasos fundamentales para unir la astronomía con la rama de la física llamada ÓPTICA. Física con Biología.

Los aportes de la física al estudio de los seres vivos, ha permitido desentrañar los misteriosos antiguos secretos de la unidad fundamental de la vida: La célula. Por medio de los descubrimientos de la posibilidad de amplificar las imágenes de los cuerpos celestes, surgió en la rama de la Óptica un avance que permitió a los biólogos y médicos de la antigüedad, acceder a poder observar el mundo de lo diminuto. Por medio de los microscopios oculares de lentes, fueron posibles los análisis de numerosas muestras de tejidos. Se aislaron y descubrieron organismos que no podían ser vistos de otra manera. Así de esta forma se combatieron numerosas enfermedades que se consideraban pestes incurables. Con los avances de la técnica fue posible poco a poco conseguir mayores aumentos y descubrir nuevos organismos tales como bacterias. Por medio de ondas de radio, la medicina ha logrado importantes avances. Los Rayos X descubiertos por la emisión de electrones en un tubo de vacío, ayudan hoy en día a la obtención de radiografías de nuestro esqueleto. Es importantísimo para los médicos el poder observar a través de esas imágenes, las fracturas de los huesos y malformaciones. También la RADIOTERAPIA y la QUIMIOTERAPIA son importantes aportes de los descubrimientos de los físicos. La radioterapia ayuda mediante ondas electromagnéticas de frecuencias bajas al alivio de las personas que sufren de artritis, o sea la inflamación de los tejidos que rodean las articulaciones.



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Física con Deportes.

Las leyes físicas quedan relacionadas con los deportes y la gimnasia desde el punto de vista que nuestros movimientos están regidos por la gravedad. En efecto, la atracción que ejerce sobre nuestro cuerpo, la atracción gravitatoria de la tierra. La estructura ósea de nuestro organismo, desde nuestros primeros pasos en la infancia, debe luchar por conseguir una posición de equilibrio cuando estamos parados o nos desplazamos. El peso que nos da la balanza es el fiel reflejo de la masa que constituye nuestro organismo y la aceleración de la gravedad 9.81 m/s2. Estudiando dicha fuerza, vemos que dependiendo de este parámetro, si estuviéramos en la Luna "pesaríamos menos" pues allí la aceleración de la gravedad sería menor. Esto lo pudieron comprobar los primeros astronautas que pisaron la Luna, los cuales llevaban zapatos de plomo para evitar que flotaran en el vacío y no se pudieran desplazar.

La principal manifestación de la fuerza de la gravedad es cuando pretendemos saltar hacia arriba. Nuestro impulso nos eleva hasta cierto punto y luego la tierra nos atrae hacia ella. Física con Química

La Química es una de las ciencias que mas afinidad tiene con la Física. En efecto, los fenómenos físicos ocurren generalmente en conjunción con los químicos. Basta ver las manifestaciones de nuestro entorno para poder aplicar esta situación. No olvidemos que química + física = Biología, o sea la manifestación de la vida y los seres vivos. Muchos físicos también contribuyeron a descubrir fenómenos químicos dado que en sus experimentos utilizaban reacciones químicas que originaban reacciones físicas. Un claro ejemplo de ello ha sido la búsqueda de la estructura y funcionalidad del átomo. Recordemos que de una reacción en cadena, cuando un átomo radiactivo inestable es bombardeado por un neutrón se produce un estallido del núcleo del mismo y sus componentes a su vez rompen otros núcleos generando más colisiones. Esto es una reacción química y su manifestación física es la generación de una inmensa cantidad de energía en forma de calor. Llamamos a esto reacción de fusión nuclear.

1.1.3 Método científico. El método científico (del griego: -meta = hacia, a lo largo- -odos = camino-; y del latín scientia = conocimiento; camino hacia el conocimiento) presenta diversas definiciones debido a la complejidad de una exactitud en su conceptualización: "Conjunto de pasos fijados de antemano por una disciplina con el fin de alcanzar conocimientos válidos mediante instrumentos confiables",



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"secuencia estándar para formular y responder a una pregunta", "pauta que permite a los investigadores ir desde el punto A hasta el punto Z con la confianza de obtener un conocimiento válido". Así el método es un conjunto de pasos que trata de protegernos de la subjetividad en

el conocimiento. El método científico está sustentado por dos pilares fundamentales. El primero de ellos es la

reproducibilidad, es decir, la capacidad de repetir un determinado experimento en cualquier lugar y por cualquier persona. Este pilar se basa, esencialmente, en la comunicación y publicidad de los resultados obtenidos. El segundo pilar es la falsabilidad. Es decir, que toda proposición científica tiene que ser susceptible de ser falsada (falsacionismo). Esto implica que se pueden diseñar experimentos que en el caso de dar resultados distintos a los predichos negarían la hipótesis puesta a prueba. La falsabilidad no es otra cosa que el modus tollendo tollens del método hipotético

deductivo experimental. El científico usa métodos definitorios, métodos clasificatorios, métodos estadísticos, métodos hipotético-deductivos, procedimientos de medición, etcétera. Según esto, referirse al método científico es referirse a este conjunto de tácticas empleadas para constituir el conocimiento, sujetas al devenir histórico, y que pueden ser otras en el futuro. Ello nos conduce tratar de sistematizar las distintas ramas dentro del campo del método científico. En definitiva, el método científico podemos sintetizarlo en los siguientes pasos: 1. Observación:

Detectas un problema (enigma, desafío o reto que plantea algún aspecto de la realidad empírica) al observar la naturaleza accidental o intencionadamente. Repites las observaciones para analizarlas y poder separar y desechar los aspectos irrelevantes para el problema. Reúnes todos los datos posibles que incidan en ese problema que te has planteado. Es un proceso de observación sagaz y minuciosa de la naturaleza. Puede ser de forma directa o indirecta usando instrumentos. 2. Hipótesis:

Una vez recogidos todos los datos elaboras una explicación provisional que describa de la forma más simple posible. Puede ser un enunciado breve, una formulación matemática, etc. Esta sería una primera inducción. 3. Predicción:

A partir de la hipótesis realizas predicciones de lo que tendrías que encontrar bajo determinadas condiciones en el caso de que fuera cierta. Las predicciones pueden hacer referencia a un fenómeno o dato que tengas que encontrar y se refieran al futuro (resultado de un experimento, observación del movimiento de un cuerpo celeste) o que haga referencia al pasado (fósiles) y que podemos llamar retrodicciones. Es un proceso de deducción.



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Se formula en un enunciado de la forma "si la hipótesis H es cierta, entonces tendrá que ocurrir el suceso X o tendremos que encontrar el hecho Y". 4. Verificación:

Vemos lo que ocurre en posteriores observaciones. Para ello sometes a prueba (contrastas) tus predicciones en base a posteriores observaciones o experimentos. Nos ponemos a buscar si el hecho Y es efectivamente cierto que se presenta en la realidad o si el proceso X ocurre o puede ser causado. En este proceso las predicciones (X e Y) pueden ser confirmadas (cuando se cumplen) o falsadas (cuando no se cumplen). La llamada falsación (Popper) consiste en proponer predicciones que si se cumplen refutan nuestra hipótesis. Por supuesto, tanto confirmación como falsación son probabilísticas y siempre implican un margen de error. Hay que recordar que en ciencia no se habla de pruebas o refutaciones absolutas y por eso se insiste en la idea de provisionalidad. En este proceso estamos suponiendo que:

-La predicción deducida a partir de la hipótesis ha sido correctamente realizada. -El experimento o las observaciones han sido realizados correctamente. 5. Replicación:

En este momento estamos otra vez en un proceso de inducción porque después de producir más observaciones revisamos nuestra hipótesis inicial. Rechazas, modificas o mantienes tu hipótesis en base a los resultados volviendo al punto 3, las predicciones. Así mismo este proceso es público y se da a conocer para que otros puedan duplicarlo. Si nuestras predicciones se cumplen nuestra hipótesis se refuerza. Tras ser repetidamente contrastada con éxito por diversos grupos de científicos, nuestra hipótesis pasa a ser una TEORÍA científica. A partir de ese momento podemos intentar ampliar nuestra teoría para que pueda abarcar más fenómenos naturales. Es importante destacar lo que se comenta en este último punto del carácter público de la investigación científica. Todo este proceso tiene que implicar a mucha gente, expertos en su área, que cooperen de forma independiente para realizar las contrastaciones o pruebas (experimentos u observaciones) que puedan confirmar progresivamente las hipótesis hasta convertirlas en teorías científicas o rechazarlas definitivamente. Si alguien obtiene resultados positivos es necesario saberlo para que otros expertos puedan replicar o duplicar las pruebas o experimentos durante un tiempo. Otras veces se sugieren pruebas, experimentos o contrastaciones similares o variantes. En el caso de que NO hayamos obtenido resultados positivos con nuestra hipótesis, podemos establecer hipótesis adicionales por las que hayamos fallado siendo verdadera la hipótesis original. Estas hipótesis adicionales pueden ser fallos en la deducción de predicciones o en la realización del experimento. En este caso, estas hipótesis adicionales tendríamos a su vez que



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contrastarlas (probarlas). Como se puede ver, siempre es el mismo método científico repetido una y otra vez a diferentes niveles y de diferentes maneras. Todo el proceso sigue unos pasos ordenados, pero es interactivo. Puedes fallar al contrastar la hipótesis, pero esta te puede dar nuevos datos e información para refinar la hipótesis o para replantear el problema de otra manera y repetir el proceso.Todos estos pasos y estrategias dan lugar a un avance progresivo de la ciencia y, a veces, a saltos bruscos, pero los pasos aproximados siempre son los descritos.

Por supuesto, este proceso es general y se concretará de diferentes maneras en las diversas ciencias y según los problemas concretos que se planteen. Es por esto que muchos afirman que no hay un método científico, sino muchos métodos científicos. En realidad, los pasos que he descrito anteriormente son una versión ideal del método científico. En la práctica no se pasa por todos los pasos como si fueran reglas rígidas. El conocer estos pasos no te convierte en científico. Es necesaria una buena dosis de creatividad o incluso de arte para concretar todo esto. La intuición, sagacidad, suerte, etc. juegan un papel adicional. Hay historias abundantes de científicos con ideas brillantes en base a datos insuficientes o poca o ninguna experimentación. F. A. Kekule descubrió la estructura del benceno mientras soñaba dormido en un autobús. Otto Lewi despertó por la noche con la

solución de la conducción sináptica. Si unimos estos aspectos intuitivos-casuales, con el carácter imaginativo que tienen los modelos y teorías científico, ¿podríamos decir que la ciencia es una pura construcción humana? ¡NO!, Las intuiciones afortunadas se dan en gente muy preparada, formada y que ha profundizado mucho en su área y la ciencia, obtiene su éxito porque somete la enorme capacidad de imaginación y fantasía del ser humano a los hechos observados, las pruebas empíricas y las reglas de la razón y la lógica. Ciertamente la ciencia se basa en la fuerte creencia de que existen unas entidades teóricas que no se pueden observar directamente; pero sólo se creen tras disponer de una extensa

evidencia desde la cual se infieren. Recuerda que la síntesis del método científico es: [observación-hipótesis-predicción-verificación-replicación].

1.1.4 Trascendencia en la tecnología. La Física es una de las ciencias naturales que más ha contribuido al desarrollo y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e investigación ha sido posible encontrar en muchos casos, una explicación clara y útil a los fenómenos que se presentan en nuestra vida diaria. La palabra física proviene del vocablo griego physiké cuyo significado es naturaleza.



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Es la ciencia que se encarga de estudiar los fenómenos naturales, en los cuales no hay cambios en la composición de la materia. Al nacer la filosofía de los griegos, nace propiamente la física. La palabra filosofía (del griego Philos amante y de sophia sabiduría) significa amor a la sabiduría, este término se aplicó por primera vez a la actividad de ciertos pensadores griegos, que en el siglo VI a.C., reflexionaban sobre los fenómenos naturales, el origen y naturaleza de la vida, de los seres y las cosas. La Filosofía nace en Jonia en la costa del Asia Menor, y son Mileto, Efeso y Samos, algunos de

los pueblos donde encontramos a los primeros pensadores, con su filosofía, llamada filosofía de la naturaleza o filosofía de la física, ya que física significa naturaleza. En ésta filosofía de la naturaleza, la observación de la naturaleza, los cuerpos y el ser ocupaban el primer plano de estudios, aunque piensan también en el espíritu y en el ser como un todo. Entre los primeros filósofos naturalistas se tienen a Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Por éste mismo período aparecen Leucipo y Demócrito, quienes exponen la Teoría Atomista, según la cual la materia está formada de pequeñas partículas llamadas átomos. En el siglo IV a.C. aparece Aristóteles quien empieza a estudiar la caída de los cuerpos. En el siglo segundo de nuestra era aparece Ptolomeo que hace estudios sobre la reflexión de la luz. A partir de éste periodo, la física avanza lentamente a través de cientos de años. Casi 1,500 años después aparece Galileo Galilei que estudia el movimiento del péndulo y reafirma la Teoría Planetaria heliocéntrica junto con Nicolás Copérnico. En el siglo XVI aparece William Gilbert que realiza estudios sobre electricidad y magnetismo. En el siguiente siglo aparece Isaac Newton que descubre la Ley de Gravitación Universal, así como las leyes sobre el movimiento de los cuerpos; con éste gran científico nace la Física Clásica. En el siglo XVIII, hay grandes aplicaciones como la electricidad, las máquinas eléctricas, la

invención del pararrayos. En el siglo XIX, Alejandro Volta inventa la pila eléctrica; Avogadro explica la diferencia entre átomos y moléculas, Roentgen los rayos x y Becquerel la radioactividad. En nuestro siglo desde sus inicios hay grandes adelantos científicos, que no sería fácil enumerarlos. Los avances en el campo de los átomos hacen que se inicie la Física Moderna, la cual se divide en Física Cuántica y Relativista. Actualmente se cuentan con numerosos aportes de las ciencias físicas a la vida diaria, un ejemplo de ello son nuestros hornos de microondas, los refrigeradores, los equipos de sonido, el CD, DVD, el laser, las pantallas de plasma, las estructuras como la torre Eiffel en Francia,



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los aviones ultrarápidos, los satélites artificiales, las naves espaciales, los telescopios, el microscopio electrónico, los reguladores, el foco, y un gran etcétera.

1.2 Definición de magnitud. Magnitud: Fís. Propiedad de los fenómenos, cuerpos o sustancias, susceptibles de ser cuantificados. Valor numérico que se le asigna.

1.2.1 Magnitudes fundamentales y derivadas. Magnitud: A los objetos podemos atribuirle cualidades comunes, por ejemplo se puede afirmar que una manzana y una cereza son rojas, o que un tren y un barco son muy grandes, estas cualidades no siempre son conmensurables, es decir, a veces se pueden comparar pero no se podría decir cuánto más roja es la cereza que la manzana, el barco y el tren si se podrían comparar (medir) y decir cuánto es la diferencia, esta sería una cualidad llamada longitud. A este tipo de cualidades que son conmensurables se les denomina magnitud. Cantidad: Es el número que representa la comparación de magnitudes, lo correcto es comparar con una unidad fundamental, por ejemplo podríamos decir que una calle es el doble de ancho de otra, pero lo correcto para esto sería comparar cada calle con una unidad fundamental llamada metro y comparar las dos mediciones o comparaciones. Unidades: Esas cantidades que resultan de comparar o medir pueden variar de acuerdo a la época en que se hubiera hecho la medición o el país donde se efectuó. Entonces se tienen diferentes sistemas de unidades, aunque hoy en día se utilice básicamente uno. Por esta razón cuando medimos, la cantidad resultante lleva un nombre que es la unidad. Por ejemplo podemos medir un lápiz con una regla dividida en centímetros, la medición da 5 cm. Entonces con base en el ejemplo anterior se tiene: Magnitud: Longitud Cantidad: 5 Unidad: cm.

Las magnitudes fundamentales son las siguientes:

Masa (m)

Longitud (l)

Tiempo (t)

Temperatura (T) Intensidad de corriente eléctrica

Cantidad de sustancia (n) Intensidad luminosa



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1.3 Sistema de unidades. Conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades:

Sistema Internacional de Unidades o SI: Es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol.

Sistema Métrico Decimal: Primer sistema unificado de medidas.

Sistema Cegesimal o CGS: Denominado así porque sus unidades básicas son el

centímetro, el gramo y el segundo. Sistema Natural: En el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes

físicas valgan exactamente 1.

Sistema Técnico de Unidades: Derivado del sistema métrico con unidades del anterior,

todavía utilizado en la técnica por ser unidades muy intuitivas. Sistema Inglés: Aún utilizado en los países anglosajones. Muchos de ellos lo están

intentando reemplazar por el Sistema Internacional de Unidades. Además de estos, existen unidades prácticas usadas en diferentes campos y ciencias, de las magnitudes fundamentales dependen las derivadas y estas son miles y las fundamentales solo siete. Las unidades usadas en el SI para las magnitudes fundamentales son las siguientes:

Para la masa se usa el kilogramo (kg)

Para la longitud se usa el metro (m)

Para el tiempo se usa el segundo (s)

Para la temperatura el kelvin (K)

Para la intensidad de corriente eléctrica el Amperio (A)

Para la cantidad de sustancia el Mol (mol)

Para la intensidad luminosa la Candela (cd)

Magnitudes derivadas del SI

Todas las magnitudes físicas restantes se definen como combinación de las magnitudes físicas definidas como fundamentales. Por ejemplo:

v (velocidad) = L/t

V (Volumen) = M³

D (Densidad) = M/L³

A (Aceleración) = L/t²

F (Fuerza) = M • L/t²



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1.3.1 Cifras significativas. Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos. A continuación se dan unas reglas básicas para trabajar con cifras significativas.

Norma Ejemplo

Son significativos todos los dígitos distintos de cero. 8723 tiene cuatro cifras significativas

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos. 105 tiene tres cifras significativas

Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son. 0,005 tiene una cifra significativa

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

8,00 tiene tres cifras significativas

Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última

cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación

científica.

7 · 102 tiene una cifra significativa

7,0 · 102 tiene dos cifras significativas

Para ensayar más acerca de las cifras significativas se dan los siguientes ejemplos: 1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. 1234.56 6 cifras significativas

2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. 1002.5 5 cifras significativas

3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. 000456 3 cifras significativas 0.0056 2 cifras significativas

4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. 457.12 5 cifras significativas 400.00 5 cifras significativas

5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos. 0.01020 4 cifras significativas



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6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a menos que se diga lo contrario. 1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos 0.0010 2 cifras significativas 1.000 4 cifras significativas

1.3.2 Conversión de unidades. La conversión de unidades es un tema fundamental para aquellos que al menos vivan una vida normal, el saber convertir de una determinada unidad a otra implica desenvolverse en un mundo moderno donde el manejo de divisas es común, el saber cuánto equivale un dólar en pesos mexicanos es de utilidad fundamental, además de estas unidades existen conversiones de libras a kilogramos, yardas a metros, centímetros cúbicos a mililitros, grados Fahrenheit a Celsius, esto en unidades básicas, que también son conocidas como fundamentales. Sin embargo al hablar de unidades derivadas la situación se complica mucho ya que convertir 2 libras/pie3 a gramos/mililitro es más difícil que los ejemplos anteriores, sin embargo con ayuda las tablas de factores de conversión y su uso adecuado, podremos resolverlos correctamente. Por ello este tema tratará de dilucidar las técnicas necesarias para poder hacer las conversiones correctamente. Ejemplo 1. Convertir 3 millas a metros.

De nuestra tabla de factores de conversión se sabe que 1milla = 1609 metros, por tanto podemos emplear la técnica de la tablita (que no es otra cosa que la regla de 3 de manera más corta), y procedemos a resolver el ejercicio.

3 millas 1609 metros = 3 x 1609 metros = 4827 metros

1 milla Ejemplo 2. Convertir 3 kilogramos a libras. De los factores de conversión se tiene la información de que 1 libra = 454 gramos, además de que 1 kilogramo = 1000 gramos. Por tanto se procede a realizar los cálculos con la tablita.

3 Kg 1000 g 1 lb = 3 x 1000 x 1 lb = 3000 = 6.607 lb

1 Kg 454 g 1 x 454 454



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Ejemplo 3. Convertir 1.5 libras/pie3 (lb/ft3) a gramos/centímetro3 (g/cm3).

De los factores de conversión se sabe que 1 lb = 454 g y que 1ft = 12 pulgadas (in), a su vez 1 in = 2.54 cm, por tanto se procede a resolver con la tablita.

1.5 𝑙𝑏

𝑓𝑡3 454 𝑔

1 𝑙𝑏

1𝑓𝑡3

12 𝑖𝑛 3

1𝑖𝑛 3

2.54 𝑐𝑚 3 =

1.5 · 454 · 13 · 13 𝑔

1 · 1 · (12)3 · (2.54)3 𝑐𝑚3=

1.5 · 454 · 1 · 1 𝑔

1 · 1 · 1728 · 16.38 𝑐𝑚3=

699.16 𝑔

28304.64 𝑐𝑚3= 0.0247

𝑔

𝑐𝑚3

Ejemplo 4. Convertir 20 millas/h2 (mi/h2) a metros/segundo2 (m/s2)

De las tablas de factores de conversión se sabe que 1 mi = 1609 m y que 1 h = 3600 s, por tanto se procede a resolver el problema mediante la tablita. 20 mi 1609 m (1 h)2 = 20 x 1609 x 12 m = 32180 m = 0.002483 m

h2 1 mi (3600 s)2 12 x 1 x 36002 s2 12960000 s2 s2 Ejemplo 5. Convertir 50 lb ft/h2 a Kg m/s2

Nuevamente de las tablas de factores de conversión se conocen las equivalencias de las siguientes unidades: 1 lb = 0.454 kg, 1 h = 3600 s, 1 ft = 0.3048 m. por tanto procedemos a hacer las operaciones pertinentes. 50 lb ft 0.454 kg 0.3048 m (1 h)2 = 50 x 0.454 x 0.3048 x 12 = 6.918 = 5.337 x 10-7 Kg·m h2 1 lb 1 ft (3600 s)2 1 x 1 x 1 36002 12960000 s2

1.4 Métodos directos e indirectos de medición. Las mediciones directas son aquéllas en las cuales el resultado es obtenido directamente del instrumento que se está utilizando. Por ejemplo, para medir la corriente que circula por un circuito podemos utilizar un amperímetro apropiado.



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Las mediciones indirectas son aquéllas en que el resultado deseado no lo obtenemos directamente de las lecturas realizadas con los instrumentos utilizados, sino que es necesario emplear los datos obtenidos para hallar la cantidad deseada mediante algunos cálculos. Por ejemplo, el valor de una resistencia

lo podemos determinar de la siguiente forma: Con un amperímetro medimos la corriente que circula por ella, y con un voltímetro la caída de voltaje entre sus terminales cuando circula la corriente medida anteriormente. Con estas dos lecturas podemos calcular la resistencia aplicando la ley de Ohm. Métodos de medición.

Tanto las medidas directas como las indirectas podemos realizarlas utilizando dos métodos generales: El método de deflexión y el método de detección de cero. Veamos en qué consiste cada uno de ellos. Método de deflexión

En el primer método, la deflexión que sucede en la aguja del instrumento da directamente la medida. Método de detección de cero

En el método de cero, la indicación nula o cero del instrumento sensor lleva a determinar la incógnita que se busca a partir de otras condiciones conocidas. Sin embargo estos métodos pueden subdividirse, ambos, en los siguientes:

Método de comparación

Lo utilizamos cuando tenemos una incógnita, un parámetro conocido similar a la incógnita que se encuentra conectado al circuito simultáneamente con la anterior, y un instrumento de detección, que no tiene que estar calibrado en las mismas unidades que la incógnita.



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Método de sustitución

Es aquél en que la incógnita se reemplaza por el patrón, el cual se ajusta para que produzca el mismo efecto de la incógnita. El instrumento utilizado puede estar calibrado en unidades diferentes a la incógnita.

Métodos diferenciales

Este método se utiliza cuando se quiere medir la variación de un parámetro con respecto a un valor inicial. En primer lugar este valor inicial se ajusta con respecto a una referencia estable, de forma que el instrumento sensor indique cero. Cualquier variación de la incógnita puede determinarse mediante la indicación del instrumento sensor.

Métodos generales

Son aquéllos que no pueden incluirse en cualquiera de los otros grupos. Entre los métodos directos generales de deflexión se encuentran la medición de corriente mediante un amperímetro, la de voltaje con un voltímetro, la de frecuencia con un frecuencímetro, etc.

Entre los indirectos generales de deflexión están el del voltímetro y amperímetro para medir resistencias y potencia, el del voltímetro y una resistencia patrón para medir corrientes, etc.

1.5 Clases y tipos de error. Todo objeto, equipo o aparato que pueda ser utilizado para efectuar una medición es un instrumento de

medición. Puede ser algo tan sencillo como una regla graduada, que permite medir distancias del orden de 1 milímetro, hasta algo tan complejo como un difractómetro de rayos X, que puede utilizarse para medir distancias del orden de 1 Angstrom (10-10 m). Con independencia de su complejidad y del tipo de magnitud que mida, cualquier instrumento se caracteriza por poseer alguna escala graduada (digital, de aguja, de cursor deslizante) que permite establecer la proporcionalidad entre la magnitud que deseamos medir y el correspondiente patrón. El instrumento será más sensible o preciso en la medida que su escala sea capaz de detectar variaciones cada vez más pequeñas de la magnitud medida. El instrumento será más o menos exacto según sus valores estén en mayor o menor correspondencia con los establecidos por el patrón correspondiente.



20

Un instrumento puede ser muy sensible y a la vez poco exacto, al no estar su escala calibrada correctamente con relación al patrón.

La falta de exactitud en una medición se relaciona a los denominados errores sistemáticos que se analizan más adelante. La precisión de un instrumento usualmente se asocia al valor de la menor división de su escala. Así, una regla graduada en milímetros es más precisa que otra graduada en centímetros, y reduciendo el tamaño de la menor división de la escala tendremos instrumentos cada vez más precisos. Sin embargo, este proceso no puede continuar indefinidamente, y el hecho de que la menor división de la escala tiene que ser necesariamente una magnitud finita, conduce al concepto de error de apreciación. En principio, se entiende por apreciación de un instrumento el valor de la menor división de su escala. Además del error sistemático y del error de apreciación existe otro tipo de error, causado esencialmente por el operador que realiza la medición al interaccionar con el instrumento, el cual es incapaz de controlar todos los factores que pueden afectar el resultado de la medición (variaciones locales de temperatura, corrientes de aire, errores visuales, ubicación imperfecta del instrumento, fluctuaciones de voltaje en la línea, presencia de campos magnéticos). Estos errores se denominan errores accidentales. A continuación mencionamos estos 3 tipos de error.

Error sistemático. Este error se origina esencialmente por una deficiente calibración del instrumento en relación al patrón. Los errores sistemáticos se pueden reducir al mínimo comparando la escala del instrumento con los valores proporcionados por patrones conocidos. (O midiendo la misma magnitud con instrumentos diferentes). Un error sistemático típico es el corrimiento del cero del instrumento, denominado error de entrada: el instrumento no marca cero cuando la magnitud medida es nula. Ese valor ficticio se añadirá o restará posteriormente al de la magnitud medida, introduciendo un error que puede ser significativo. El error de entrada se puede eliminar ajustando correctamente el cero del instrumento antes de efectuar la medición. Otro error sistemático bastante común se relaciona con el uso de los termómetros de mercurio y alcohol. Los termómetros ordinarios de laboratorio vienen calibrados para inmersión total. Para que midan correctamente se deben introducir completamente en el sistema cuya temperatura se desea medir y esperar hasta que se alcance el equilibrio. No obstante, es posible utilizarlos con buena aproximación en inmersión parcial. Otras fuentes comunes de errores sistemáticos son el uso de patrones no adecuados y la omisión de correcciones recomendadas por el fabricante (por ejemplo, cuando la temperatura del laboratorio no es la misma a que fue calibrado el instrumento).



21

Error de apreciación. Mientras mayor apreciación tenga un instrumento (es decir, mientras más

pequeña sea la menor división de su escala), menor será el error de apreciación. Este error es invariable y propio del instrumento, y no puede ser eliminado o reducido en forma alguna. Es una medida del error cometido por el fabricante al comparar las lecturas de su instrumento con los patrones correspondientes. Algunas veces el error que introduce el instrumento no coincide exactamente con la menor división de la escala, por lo que siempre resulta aconsejable consultar el manual proporcionado por el fabricante para conocer el valor real del error introducido. Algunos

autores consideran el error de apreciación como un tipo de error sistemático, establecido por el fabricante en el momento de calibrar el instrumento. Error accidental. Originado por factores accidentales o aleatorios entre los cuales se encuentran las imprecisiones de manipulación del operador que hace la medición. De los tres tipos de errores es el único que se puede reducir a niveles despreciables aplicando criterios estadísticos, después

de repetir la medición un número suficiente de veces. Los errores de medición no son equivocaciones. Son parte inherente del propio proceso de medición. Sin embargo, el error de paralaje, que se comete al leer la escala de un instrumento a causa de la falta de perpendicularidad en la observación, más que un error de medición es una equivocación del operador causada por desconocimiento o mal manejo del instrumento. Este error se origina cuando el operador desconoce que, al leer la escala del instrumento, la línea de visión debe estar perpendicular a la dirección que forman la escala y el cursor

Error absoluto Es un índice del resultado de la contribución de todos los errores de mediciones presentes; sistemáticos, de apreciación y accidentales. Considere la medición de una magnitud M cualquiera. A causa de la presencia de los errores de medición, sólo es posible aseverar que el valor de esa magnitud se encuentra en un cierto intervalo (A1, A2).



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Otra forma de representar esta situación es tomar el valor medio del intervalo (A1,A2) como valor más probable; A = (A1 + A2)/2, y la mitad de ese intervalo como una medida del error cometido en la medición; dA = (A2 - A1)/2 . Entonces, el valor medido de la magnitud M se designa como:

M = A ± dA dA se denomina error absoluto de la medición. Ejemplo 1.5-1: L = 2.54 ± 0.02 m, significa que tenemos certeza de que la longitud medida se encuentra entre 2.52 y 2.56 m (y esto es todo lo que podemos afirmar respecto a la magnitud medida). Cuando una magnitud se mide directamente con un instrumento bien calibrado y sin errores accidentales, se acostumbra asignar al error absoluto el valor de la apreciación del instrumento. Error relativo y porcentual El error relativo se define por la relación ε = dM/M, mientras que el error porcentual es igual al

relativo multiplicado por 100. El error relativo representa la fracción de imprecisión cometida en la medición, y resulta útil para

comparar mediciones llevadas a cabo sobre diferentes magnitudes. Por ejemplo, usualmente un error porcentual del 1% (equivale a medir 100 m con un error de 1 m) es un error aceptable para mediciones que no requieran gran precisión. Si se desea disminuir este valor, será necesario hacer un esfuerzo mayor para lograr el resultado, y el esfuerzo será cada vez mayor mientras menor sea el error deseado. Los valores más comunes del error porcentual en el laboratorio pueden oscilar entre 0.1 y 5%. En resumen podemos decir que las fórmulas para calcular errores quedan de la siguiente manera:

1. Error absoluto EA = Medición – Valor promedio

2. Error relativo ER = EA / Valor Promedio

3. Error porcentual EP = ER x 100



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El valor promedio se obtiene de acuerdo a la siguiente fórmula:

4. Valor promedio = Suma de todas las mediciones / No. de mediciones realizadas

Ejemplo 1.5-2. En una evaluación de motores para aviones durante la segunda guerra mundial, en Alemania, se obtuvieron los siguientes perfiles de velocidad de dichos motores:

Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V

(km/h) 350 376 345 339 356 355 348 360 344 338

De los datos proporcionados obtenga el error absoluto, error relativo y el error porcentual de cada dato. Solución:

Prueba V (Km/h) Error Abs. Error Rel. Error %

1 350 -1.1 -0.003133 -0.31330105

2 376 24.9 0.07092 7.09199658

3 345 -6.1 -0.017374 -1.73739675

4 339 -12.1 -0.034463 -3.44631159

5 356 4.9 0.0139561 1.39561379

6 355 3.9 0.0111079 1.11079465

7 348 -3.1 -0.008829 -0.88293933

8 360 8.9 0.0253489 2.53489034

9 344 -7.1 -0.020222 -2.02221589

10 338 -13.1 -0.037311 -3.73113073

351.1Valor Promedio :



24

Unidad II Vectores



25

Unidad II. VECTORES

2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas magnitudes escalares. Otras precisan de dirección y sentido y las llamamos magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, si decimos que Teófilo tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Anacleto mide 185 cm de altura y su masa es de 45 kg, está claro que es sumamente delgado. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar. Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que un coche corría a 80 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía. Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores.

Por tanto podemos decir que:

Denominamos magnitudes escalares a aquellas que quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un número real acompañado de una unidad. Ejemplos; masa, temperatura, densidad, tiempo, etc.

Denominamos magnitudes vectoriales a aquellas que quedan completamente identificadas dando su módulo, dirección y sentido. Por ejemplo velocidad, aceleración, fuerza, etc. El módulo de una magnitud vectorial siempre es un número real positivo.

Para trabajar con magnitudes vectoriales utilizamos vectores. Un vector es un segmento orientado, la longitud del cual representa su módulo, y donde la dirección y sentido se pueden determinar tanto matemáticamente como geométricamente. Para simbolizar magnitudes vectoriales dibujaremos una flecha sobre el símbolo que representa a la magnitud: 𝒗 (velocidad), 𝒂 (aceleración), etc. En general cuando se escribe una magnitud vectorial sin flecha, se está haciendo referencia a su módulo. Los vectores se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, y numéricamente por 2 números (en el plano) y por tres (en el espacio). Estos números se denominan coordenadas cartesianas del vector.



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Tenemos además dos tipos de magnitudes en función de estar definidas por ellas mismas o poderse descomponer en otras que llamamos fundamentales. Las magnitudes que pueden descomponerse en otras fundamentales las llamamos magnitudes derivadas. La mecánica clásica tiene las magnitudes fundamentales de: Longitud (l) cuya dimensión es [L], Tiempo (t) cuya dimensión es [T], Masa cuya dimensión es [M], y como ejemplo de magnitudes derivadas se tienen entre otras: Velocidad= (l/t), cuya dimensión es: LT-1

Aceleración =(v/t), cuya dimensión es: LT-2 Fuerza= (ma), cuya dimensión es: MLT-2 Las ecuaciones fundamentales de la física son dimensionalmente homogéneas y en consecuencia se puede esperar que la solución correspondiente a un problema práctico también se pueda expresar por medio de una ecuación dimensionalmente homogénea.

2.1.1 Características de los vectores

Como ya se mencionó antes, un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen. O también denominado punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo. Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección. Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido. Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y dos o tres ejes perpendiculares.



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Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

2.1.2 Composición y descomposición de los vectores

La composición de vectores se da de la siguiente manera: supongamos que tenemos un vector denotado por la letra A1 (en rojo) y otro denotado por la letra A2 (en azul), cada vector tiene una magnitud determinada y tiene un ángulo característico. En este caso la composición se refiere a la formación del vector A que sería la suma de los vectores A1 y A2, dando origen a una propia magnitud y ángulo del vector A resultante.

La descomposición de vectores se da de una manera inversa a la composición de vectores, es decir a partir de un vector se obtienen sus componentes. Supongamos que tenemos el vector 𝒂 , que tiene su módulo, dirección y sentido característico, al realizar su descomposición obtenemos sus componentes en los ejes x y y, denotados por 𝒂𝒚

y por 𝒂𝒙 , que son los que originan a dicho vector 𝒂 , ya que si se suman darían como resultado el vector 𝒂 .



28 2.1.3 Suma de vectores por el método gráfico y analítico

Método analítico.

Suma de vectores. En este caso dado que un vector puede expresarse en términos de sus componentes 𝒂 = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐), se pueden llevar a cabo las operaciones de suma de vectores sumando las componentes correspondientes de la siguiente manera: Suponga que tenemos 2

vectores denotados por 𝒃 = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐) y 𝒔 = (𝒔𝟏, 𝒔𝟐), la suma de estos vectores es:

𝒃 + 𝒔 = (𝒃𝟏 + 𝒔𝟏, 𝒃𝟐 + 𝒔𝟐)

Ejemplo 2.1.3-1. Considere los siguientes vectores:

𝒄 = 𝟐, 𝟒 𝒇 = 𝟓, 𝟑 𝒉 = 𝟖, 𝟐 𝒃 = (𝟐, 𝟏)

Sumar: 𝒃 + 𝒄 , 𝒇 + 𝒉 , 𝒉 + 𝒃

𝒃 + 𝒄 = 𝟐 + 𝟐, 𝟏 + 𝟒 = 𝟒, 𝟓

𝒇 + 𝒉 = 𝟓 + 𝟖, 𝟑 + 𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟓

𝒉 + 𝒃 = 𝟖 + 𝟐, 𝟐 + 𝟏 = (𝟏𝟎, 𝟑) Método gráfico.

Método del paralelogramo.

Nos sirve para sumar dos vectores simultáneos. 1.-Consiste en dibujar los dos vectores a escala con sus puntos de aplicación coincidiendo con el origen del plano cartesiano. 2.-Los vectores forman de esta manera los lados adyacentes de un paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas en los vectores de igual magnitud.



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3.-La resultante se obtendrá de la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de los puntos de aplicación de los vectores. El método aplica de la siguiente forma, supongamos que tenemos dos vectores A1 y A2, como vemos en la siguiente figura ambos tiene en común el punto de aplicación y cada cual tiene su ángulo determinado, todo esto se lleva a cabo en un plano cartesiano, si observamos las líneas punteadas corresponden a líneas paralelas a los vectores y que en determinado momento se cruzan, es aquí en este punto de intersección donde ubicaremos el final del vector resultante y será donde pondremos la punta de flecha, posteriormente el origen será el mismo que para

los vectores que se sumaron, cabe mencionar que todo esto es a escala, por lo que al medir el vector resultante se tendrá de igual manera un valor a escala.

Método de suma consecutiva de vectores. Este método es un poco distinto al anterior debido a que los vectores se van colocando uno a uno hasta terminar y a la vez moviendo el eje de coordenadas, a continuación se ilustra en qué consiste el método.



30

A B

C

A B

C

Los ejercicios de este tema se verán y resolverán en clase, es importante llevar juego geométrico, hojas de cuadro o milimétricas y calculadora para la comprensión de este tema

Fórmulas importantes para esta unidad Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ley de los senos. La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ley de los cosenos. En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces el producto de ellos por el coseno del

ángulo que forman.

C2 = A2 + B2 – 2ABcos



31

Unidad III Mecánica



32

Unidad III. MECÁNICA

3.1 CINEMÁTICA. La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo)

que significa mover. El nacimiento de la cinemática moderna se da con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la academia real de las ciencias de París. En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial. En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert y André-Marie Ampère. Con la

Teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz. Cinemática Clásica.

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general, y en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material.

El movimiento trazado por una partícula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa como varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo). El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales.

Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo.

Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la velocidad variará a lo largo del tiempo.

Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el tiempo.

Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tenemos el caso del movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo



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uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, generándose una trayectoria parabólica al componer ambas.

En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

3.1.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme.

Para este caso la aceleración es cero por lo que la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación:

x = V·t + x0

donde x0 es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para t = 0. Si x0 = 0 la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en el sistema de coordenadas x(t). Al estudiar las velocidades de un cuerpo rígido, este tipo de movimiento tiene una propiedad fundamental: Todos los puntos de un sólido en translación rectilínea uniforme tienen el mismo vector velocidad.

3.1.1.1 Velocidad.

La velocidad es una magnitud vectorial, a diferencia de la rapidez que es una cantidad escalar. Si un objeto experimenta un desplazamiento vectorial d en un tiempo t, entonces:

V = d/t y la velocidad media o promedio será:

2

0VVV

f

Donde: Vf = velocidad final Vi = velocidad inicial V0 = Velocidad cuando t=0

3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado

El movimiento uniformemente acelerado (MUA)14 presenta tres características fundamentales:



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1. La aceleración siempre es la misma es decir es constante 2. La velocidad siempre va aumentando y la distancia recorrida es proporcional al

cuadrado del tiempo. 3. El tiempo siempre va a continuar, y no retrocederá debido a que es la variable

independiente. Esto significa que a un tiempo doble, la distancia sera 4 veces mayor. (2s)2 = 4 veces mayor. A un tiempo triple la distancia sera 9 veces mayor. (3s)2 = 9 veces mayor.

En un movimiento uniformemente acelerado podemos calcular: Velocidad Aceleración Tiempo Distancia

3.1.2.1 Aceleración.

En mecánica, se define como aceleración a la magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con la que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².

Cuando la aceleración instantánea se mantiene constante tanto en magnitud como en dirección y sentido durante todo el intervalo en que analizamos el movimiento de una partícula, tenemos el caso particular conocido por movimiento uniformemente acelerado. La figura 3.1.2-1 demuestra que dicho movimiento también es una línea recta, pues la dirección de la aceleración se mantiene constante, sólo que difiere del rectilíneo uniforme en que la que

se mantiene constante es la aceleración y no la velocidad instantánea2.

Fig. 3.1.2-1 Representación gráfica del movimiento uniformemente acelerado.



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En éste la aceleración es constante, por lo que la velocidad de un móvil varía de forma lineal. Algunas fórmulas para el MUA son:

Aceleración media am = 0tt

VV

f

of

La velocidad que lleva un cuerpo que sale con una velocidad inicial V0, y que se mueve sobre una recta con una aceleración constante a, puede expresarse en función del tiempo mediante

las siguientes fórmulas:

3.1.2.2 Caída libre y tiro vertical.

Casi todos sabemos que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante. Al respecto existe una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrió tal hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo.3 Entonces si un elefante y una hormiga se dejan caer desde un edificio, ¿estos caen al mismo tiempo?; si no hay resistencia por parte del aire, esto sería posible, pero como si existe, el elefante tiene que esperar un poco de tiempo para que llegue la hormiga.3 La aceleración de la caída libre se denotará con el símbolo de g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta la altitud. También, existen ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de la caída libre está dirigida hacia el centro de la Tierra. En la superficie, el valor de la gravedad es de aproximadamente 9.80 m/s2.3 Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo experimentarán la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo, igual a la aceleración de caída libre.3 Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante. Por tanto, se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.3

http://es.wikipedia.org/wiki/Lineal



36

Para poder aplicar tales ecuaciones se tomará la dirección vertical del eje y y se indicará

positiva hacia arriba. Además, como es positiva hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. Con estas sustituciones se obtiene las siguientes ecuaciones:

Ecuación Información brindada por la ecuación

Vf = Vo - gt Velocidad como función del tiempo.

h = ½(Vf + Vo)t Desplazamiento como una función de la velocidad y el tiempo.

h = Vot - ½gt2 Desplazamiento como una función del tiempo.

Vf2 = Vo2 - 2gh Velocidad como una función del desplazamiento.

El tiro vertical, al igual que la caída libre, es un movimiento sujeto a la aceleración de la gravedad, sólo que ahora la aceleración se opone al movimiento inicial del objeto. El tiro vertical comprende subida, bajada de los cuerpos u objetos considerando lo siguiente:

a) Nunca la velocidad inicial es igual a 0.

b) Cuando el objeto alcanza su altura máxima, su velocidad en este punto es 0. Mientras que el objeto se encuentra de subida el signo de la V es positivo; la V es 0 a su altura máxima, y cuando comienza a descender su velocidad será negativa.

c) Si el objeto tarda por ejemplo 2 s en alcanzar su altura máxima tardará 2 s en regresar a

la posición original, por lo tanto el tiempo que permaneció en el aire el objeto es de 4 s.

d) Para la misma posición del lanzamiento la velocidad de subida es igual a la velocidad de bajada

Lo que diferencia a la caída libre del tiro vertical es que el segundo comprende subida y bajada, mientras que la caída libre únicamente contempla la bajada de los cuerpos.

TIPS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAIDA LIBRE:4

1.-Un objeto se deja caer......... Vo=0 2.-Se lanza............................... Vo diferente a 0

3.1.2.3 Tiro parabólico (tiro horizontal)

La trayectoria descrita por un proyectil es una curva específica llamada parábola. El tiro parabólico se puede estudiar como resultado de la composición de dos movimientos:



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Uniforme a lo largo del eje X (ax =0) Uniformemente acelerado ( g = - 9.8 ) a lo largo del eje vertical Y.

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, que forma un ángulo q con la horizontal. Las componentes de la velocidad inicial son :

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que es el movimiento resultante de la composición de dos movimientos:

uniforme a lo largo del eje X. uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y.=.ax2 + bx + c, lo que representa una parábola. La expresión del alcance horizontal en función de la velocidad inicial y del ángulo es:

Obtenemos la altura máxima cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero, el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y=0. Y se obtiene la expresión:

http://usuarios.lycos.es/pefeco/movcomb/rectilineo.htm#uniforme

http://usuarios.lycos.es/pefeco/movcomb/rectilineo.htm#acelerado



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La envolvente de todas las posibles parábolas con que puede disparar un cañón se llama parábola de seguridad. La fórmula para calcular el tiempo de vuelo es:

g

senVt subir

2

0

3.1.3 Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un cuerpo se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal manera que en tiempos iguales recorra espacios iguales. No se puede decir que la velocidad es constante ya que, al ser una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: el módulo de la velocidad permanece constante durante todo el movimiento pero la dirección está constantemente cambiando, siendo en todo momento tangente a la trayectoria circular. Esto implica la presencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección. A todo esto, cabría destacar que el movimiento circular uniforme posee dos velocidades:

1. Desplazamiento angular, y 2. Velocidad angular

El desplazamiento angular es la longitud del arco de circunferencia por unidad de radio

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular



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Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo cinemático.

3.1.3.1 Aceleración centrípeta y centrífuga (definición)

La aceleración centrípeta, es la aceleración con la razón de cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento, es decir, con la fuerza centrípeta. La fuerza que provoca el movimiento circular se denomina fuerza centrípeta. Un objeto sobre el cual no actúa ninguna fuerza se mueve en línea recta con velocidad constante. Para hacer que el objeto se desvíe de un camino recto a uno circular, debe ejercerse una fuerza centrípeta en ángulo recto a la velocidad del objeto, dirigida hacia el centro del círculo. Dado que esto provoca un cambio en la dirección de la velocidad del objeto, aparece una aceleración centrípeta, dirigida hacia el centro, que provoca (por la ley de Newton) una fuerza centrípeta. La aceleración centrífuga es aquella que adquieren los cuerpos por causa del "efecto fuerza centrifuga". La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.

3.2 Dinámica La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema.

3.2.1 Leyes de Newton

Primera ley de Newton:

La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).



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Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cuál sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia

desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. Segunda ley de Newton:

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la

fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:

F = ma Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2 , o sea, 1 N = 1 Kg · 1 m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a . Tercera ley de Newton:

La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros. Hay que



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destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre sí, puesto que actúan sobre cuerpos distintos.

3.2.2 Trabajo, Energía (potencial y cinética) y potencia.

TRABAJO: Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento. Se deben de cumplir tres requisitos:

1.- Debe haber una fuerza aplicada 2.- La fuerza debe ser aplicada a través de cierta distancia (desplazamiento) 3.- La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

Figura 3.2.2-1 El trabajo realizado por una fuerza F provoca un desplazamiento S.

Trabajo = fuerza por desplazamiento.

T = F · S La magnitud del trabajo puede expresarse en términos del ángulo θ formado entre F y S.

Trabajo =(F cos θ)S La fuerza que realiza el trabajo está dirigida íntegramente a lo largo del desplazamiento. Por ejemplo cuando se eleva un cuerpo en forma vertical o cuando una fuerza horizontal arrastra un objeto por el piso en este caso:

Trabajo = F·S En unidades del SI el trabajo se mide en N·m (Newtons por metro) esta unidad se llama joule

(J). Un joule es igual al trabajo realizado por una fuerza de un newton al mover un objeto a través de una distancia paralela de un metro.



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ENERGÍA: es todo aquello que puede realizar un trabajo. Si un objeto tiene energía quiere decir que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él y si realizáramos un trabajo sobre un objeto, le proporcionamos a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado. En este curso estudiaremos dos tipos de energía: ENERGÍA CINÉTICA: es aquella que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

Cuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética ya que al chocar contra otro puede moverlo y, por lo tanto, producir un trabajo. Para que un cuerpo adquiera energía cinética o de movimiento, es decir, para ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza. Cuanto mayor sea el tiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad del cuerpo y, por lo tanto, su energía cinética será también mayor. Otro factor que influye en la energía cinética es la masa del cuerpo. Por ejemplo, si una bolita de vidrio de 5 gramos de masa avanza hacia nosotros a una velocidad de 2 km/h no se hará ningún esfuerzo por esquivarla. Sin embargo, si con esa misma velocidad avanza hacia nosotros un camión, no se podrá evitar la colisión. La fórmula que representa la Energía Cinética es la siguiente: E c = Energía cinética m = masa V = velocidad Cuando un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad v posee una energía cinética que está dada por la fórmula escrita arriba. En esta ecuación, debe haber concordancia entre

las unidades empleadas. Todas ellas deben pertenecer al mismo sistema. En el Sistema Internacional (SI), la masa m se mide en kilogramo (kg) y la velocidad v en metros por

segundo (m/s), con lo cual la energía cinética resulta medida en Joule ( J ). ENERGÍA POTENCIAL: Es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición. La energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar un trabajo. La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser igual al peso w y el trabajo realizado esta dado por:

Trabajo = Wh= mgh

E c = 1 / 2 · m · v 2



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Este trabajo puede ser realizado por el cuerpo después de haber caído una distancia h por lo tanto el cuerpo tiene una energía potencial igual al trabajo externo necesario para elevarlo, a partir de estos datos se puede calcular la energía potencial.

Ep= mgh POTENCIA: es la rapidez con que se realiza un trabajo.

P = T /tiempo

La unidad de potencia en el SI es el joule por segundo y se denomina watt, 1watt = 1 J/s, y para propósitos industriales:

1hp = 550 ft lb/s 1hp = 746 W = 0.746 kW

1kW = 1.34 hp



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Bibliografía.

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Edition; 2004. 2. R. Resnik, D. Halliday, K. S. Krane; FÍSICA VOL. 1; 4a. edición; 2001. 3. A. Beiser; APPLIED PHYSICS; Mc Graw Hill; Schaum´s Easy Outlines. 4. F. García; FÍSICA CON ORDENADOR, CURSO INTERACTIVO DE FÍSICA EN

INTERNET; Escuela universitaria de ingeniería técnica industrial de Eibar. 5. Crowell; NEWTONIAN PHYSICS; Ed. 2.1; 1998-2001; ISBN 0-9704670-1-X.

6. K. J. Laidler, J. H. Meiser; FISICOQUÍMICA; Editorial Cecsa; 1ª edición; 1997. 7. F. J. Bueche; FÍSICA GENERAL; Mc Graw Hill-Serie Schaum; Segunda edición; 1982.

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