1

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE CHIMALHUACAN

Organismo Público Descentralizado del Gobierno del Estado de México

4ISC11

MARTINEZ RODRIGUEZ ANGELICA

METODOS NUMERICOS

PROFA: M.R.I ALVAREZ HERNANDEZ ROSALIA

2

METODOS NUMERICOS

UNIDAD I:

INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS

IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOSCONCEPTOS BASICOS: CIFRA SIGNIFICATIVA,PRECISION,EXACTITUD, INCERTITUMBRE Y SESGOTIPOS DE ERRORESSOFTWARE DE COMPUTO NUMERICOMETODO ITERACTIVO

IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas básicos, escribir programas y resolver en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y la comprensión de los principios científicos basados.

3

CONCEPTOS BASICOS

TIPOS DE ERROR

Error: se utiliza para representar la inexactitud y la imprecisión de las predicciones. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

CIFRA O DIGITOS

SIGNIFICATIVOS

se ha desarrollado

para desisgnar formalmente

la confiabilidad de un valor numerico.

PRECISIONse refiere a que tan cercano

esta un valor individual medido o

calculado con respecto a los

otros

EXACTITUDse refiere a que tan cercano esta el valor calculado o

medio con el valor

verdadero.

SESGO O INEXACTITUDse conoce

como un alejamiento

sistematico de la verdad

IMPRECISION O

INCERTIDUMBREse refiere a la

magnitud del espaciamiento de los disparos

4

ERROR

ERROR ABSOLUTO

Es la difderencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.puede ser positivo o negativo, segun si la medida es superior al valor real o inferior(la resta sale positiva o negativa).

ERROR RELATIVO

Es el cociente(la division) entre el error absoluto y el valor exacto.Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento(%) de error.

Error aproximadoEa= ______________ 100%

Valor aproximado

ERROR PORCENTUAL

es el error relativo multiplicado por

cien(100).

ESTA DADO POR LA SIGUIENTE FORMULA:E%=Er(100)

ERROR DE REDONDEO

se presenta cuando cortamos el numero a partir de cierta cifra,pero sumamos uno a la ultima cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5.

REPRESENTA LA EXACTITUD Y LA

IMPRECISION DE LAS PREDICCIONES.

5

UNIDAD II:

METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

METODOS DE INTERVALOMETODO DE BISECCIONMETODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVASAPLICACIONES

METODOS ITERACTIVOS

METODOS NUMERICOS

CERRADOS

GRAFICOS

BISECCION

FALSA POSICION

ABIERTOS

ITERACCION DE PUNTO FIJO

NEWTON RAPHON

DE LA SECANTE

6

En general los métodos iterativos consisten en

Obtener una aproximación inicial x0 Refinar la aproximación inicial mediante un formula iterativa que genera

nuevos valores x1,x2,…., que , idealmente, convengan a la solución buscada x.

Establece un criterio de parada o test de finalización, satisfecho el cual, se detiene el proceso de obtención de iterado

METODOS CERRADOS

GRAFICO

para obtener una aproximacion a la raiz de una ecuacion f(x),consiste en graficar la funcion y observar en donde cruza el eje x.

las tecnicas graficas tienen un valor practico limitado, ya que no son precisas.

BISECCION

se utiliza para resolver ecuaciones no lineales f(x)=0

conocido como corte binario, de particion de

intervalos o de Bolzano,es un metodo de busqueda incremental en el que el

intervalo se divide siempre en dos.

teorema:una funcion f(x)monotona y continua tiene el unico cero en el intevalo [a,b]si y solo si ella tiene signos diferentes en los extremos de este intervalo.

FALSA POSICION O INTERPOLACION LINEAL

es una tecnica perfectamente valida para determinar raices.

es una alternativa basada en una visualizacion grafica

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EJERCICIOS:

METODO GRAFICO

f ( x )=2x3−11.7 x2+17.7 x−5

f ( x )=−0.4 x2+2.2x+4.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-6-5-4-3-2-101234

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x f ( x )=2x3−11.7 x2+17.7 x−5 Y

0 0-0+0-5 -51 2-11.7+17.7-5 32 2¿ -.43 2¿ -3.2

f ( x )=−0.4 x2+2.2x+4.7 Y

0 −0.4 (0)2+2.2(0)+4.7 4.71 −0.4 (1)2+2.2(1)+4.7 6.52 −0.4 (2 )2+2.2(2)+4.7 7.53 −0.4 (3 )2+2.2(3)+4.7 7.74 −0.4 ( 4 )2+2.2(4)+4.7 7.15 −0.4 (5 )2+2.2(5)+4.7 5.76 −0.4 (6 )2+2.2(6)+4.7 3.57 −0.4 (7 )2+2.2(7)+4.7 .57.5 −0.4 (7.5 )2+2.2(7.5)+4.7 -1.3

8

f ( x )=−2+7 x−5x2+6 x3

f ( x )=−11−22 x+17 x2−2.5x3

f ( x )=(0.9−0.4)/ x

EJERCICIOS:

METODO DE BISECCION

ALGORITMO PARA REALIZAR EL METODO DE LA

BISECCION

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-20

-10

0

10

20

30

40

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f ( x )=−2+7 x−5 x2+6 x3 y

0 −2+7(0)−5(0)2+6(0)3 -21 −2+7(1)−5 (1)2+6 (1)3 62 −2+7(2)−5(2)2+6 (2)3 403 −2+7(3)−5(3)2+6(3)3 136

f ( x )=−11−22 x+17 x2−2.5x3 y

0 −11−22(0)+17 (0)2−2.5(0)3 -111 −11−22(1)+17 (1)2−2.5(1)3 -162 −11−22(2)+17 (2)2−2.5(2)3 333 −11−22(3)+17(3)2−2.5(3)3 8.54 −11−22(4 )+17(4 )2−2.5(4)3 -13.5

x f ( x )=(0.9−0.4)/ x y

-1 (0.9−0.4)/−1 -.5-.5 (0.9−0.4)/−.5 -10 (0.9−0.4)/0 0.5 (0.9−0.4)/−1 11 (0.9−0.4)/1 .52 (0.9−0.4)/2 .253 (0.9−0.4)/3 .16

9

1. Elija valores iniciales inferiores x, y y superior xu que encierra la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x)f(xu)<0.

2. Una aproximación dela raíz x se determina mediante:

xr= x1+xu2

3. Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué sub intervalo esta la raíz.

a) Si f(x1)f(xr)<0 entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo inferior.

b) Si f(x1)f(xr)>0, entonces la raíz se encuentra dentro del sub intervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga x1=xr y vuelva la paso 2.

c) Si f(x1)f(xr)=0 la raíz es igual a xr termina el cálculo.

Encontrar el valor de la raíz entre x = 0 y 1.3de la siguiente función:

f ( x )=x10−1

It xl xu xu abs(a)1 0 1.3 0.65 100.02 0.65 1.3 0.975 33.33 0.975 1.3 1.1375 14.34 0.975 1.1375 1.05625 7.75 0.975 1.0562

51.015625 4.0

Encontrar el valor de la raíz entre 0 y 1 de la siguiente función:

10

f ( x )=e−x−x

It xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)*f(xr)

abs(a)

1 0 1 0,5 1 0,106531

0,106531

2 0,5 1 0,75 0,106531

-0,27763

-0,02958

33,333%

3 0,5 0,75 0,625 0,106531

-0,08974

-0,00956

20,000%

4 0,5 0,625 0,5625 0,106531

0,007283

0,000776

11,111%

5 0,5625 0,625 0,59375 0,007283

-0,0415 -0,0003 5,263%

6 0,5625 0,59375 0,578125

0,007283

-0,01718

-0,00013

2,703%

7 0,5625 0,578125

0,570313

0,007283

-0,00496

-3,605 1,370%

8 0,5625 0,570313

0,566406

0,007283

0,001155

8,4106 0,690%

9 0,566406

0,570313

0,568359

0,001155

-0,00191

-2,206 0,344%

10 0,566406

0,568359

0,567383

0,001155

-0,00038

-4,3 0,172%

11 0,566406

0,567383

0,566895

0,001155

0,00039 4,507 0,086%

12 0,566895

0,567383

0,567139

0,00039 7,24E-06

2,8209 0,043%

Encontrar el valor de la raíz entre 0 y 1 de la siguiente función con un error de 0.01:

f ( x )=x3−7x2+14 x−6

It

xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)*f(xr) abs(a)

1 1 3.2 2.1 1.791 2 3.5822 2.1 3.2 2.65 0.552125 1.791 0.988856 0.553 2.65 3.2 2.925 0.085828

10.552125 0.047387

90.275

4 2.925 3.2 3.0625 -0.0544434

0.0858281

-0.00467277

0.1375

5 2.925 3.065 2.99375

0.00632788

0.0858281

0.00054311

0.06875

6 2.99375

3.065 3.02813

-0.0265207

0.00632788

-0.00016782

0.034375

7 2.9937 3.0281 3.0109 - 0.006327 -6.76889 0.017187

11

5 3 4 0.0106969

88 5

8 2.99375

3.01094

3.00234

-0.00233275

0.00632788

-1.47614 0.00859375

Una artesa de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es:

V=L [0.5 π r2−r2arcsen( hr )−h(r2−h2)1 /2]Supongamos que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4pies3

Encuentre la profundidad (D) del agua en la artesa dentro de 0.01 pie.

Se obtiene la profundidad (D)=r-Pi. Con un error de 0.01

It

xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)*f(xr) abs(a)

1 0 1 .05 -0.626611

0.33 -0.206782

2 0 0.5 0.25 -0.164742

0.33 -0.0543648 0.25

3 0 0.25 0.125 0.0806526

0.33 0.0266154 0.125

4 0.125 0.25 0.1875 -0.042791

0.0806526

-0.0034512 0.0625

5 0.125 0.1875 0.15625 0.0187763

0.0806526

0.00151435

0.03125

6 0.15625

0.1875 0.171875

-0.01205 0.0187763

-0.000226253

0.015625

7 0.15625

0.171875

0.164063

0.003353 0.0187763

6.29568 0.0078125

12

It7=0.164063;

D=1-0.1641=0.8359

EJERCICIOS:

METODO DE LA FALSA POSICION

Determine la raíz real de x3.3=79 con Es=0.1% use un valor inicial de 3.0 a 4.0

It xr Ea(%)

1 3.697204

-

2 3.754321

1.5

3 3.758398

.11

4 3.758686

.007

La velocidad v de caída de un paracaidista está dada por

v=gmc (1−e

−( cm )1)

Donde g=9.8.para el paracaidista con un coeficiente de razonamiento c=14 kg/s, calcule la masa m de este de tal forma que la velocidad sea de v=35 m/s en t=7s.use el método de la falsa posición para determinar m en el nivel de ᵋs =0.1%.

f (m)=9.814

(1−e−( 14

m )7)−35

It xr Ea(%)

1 63.85343

-

2 63.65618

0.3

3 63.6499 .01

13

Determine la raíz cuadrada positiva del 15 usando el método de la falsa posición, con Ea y el error verdadero Es=0.5%. Emplee los valores iniciales de x1=3 y xu=4.

f ( x )=x2−15=0

Determine la raíz real de la función usando tres iteraciones con el método de la falsa posición

con valores iniciales de 1 a 3 .calcule el error aproximado Ea y el error verdadero Et en cada iteración.

f ( x )=(0.9−0.4)/ x

Determine la raíz positiva más pequeña de la función(x esta en radianes) f ( x )=x2 sen√x =5 usando el método de la falsa posición localice la región en donde se encuentra la raíz y grafique primero esta función para valores de x entre 0 y 5. Realice el cálculo hasta que Ea sea menor que Es=1 % .Revise la respuesta final al sustituirla en la función original.

It xr Ea(%)

1 3.857143

-

2 3.872727

0.4

3 3.872979

.006

It xr Ea(%)

Et(%)

1 2.6666 - -18.52 2.481481 7.46 -10.33 2.378601 4.32 -5.7

14

x1=2,xu=3

UNIDAD III:

METODO DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

METODOS ITERACTIVOSSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESITERACCION Y CONVERGENCIA DE SISTEMAS DE ECUACIONESAPLICACIONES

EJERCICIOS:

METODOS ABIERTOS

ITERACCION DE PUNTO FIJO

Emplean una formula que predice la raiz.tal formula puede ser dessarrollada para una simple iteracion de punto fijo al re arreglar la ecuacion f(x)=0 de tal modo que x que de del lado izquierdo de la ecuacion.

Considera la descomposicion de la funcion f(x) en un a diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcion x:f(x)= g(x)-x.La raiz de la funcion f(x) se da cuando f(x)=0, es decir, cuando g(x)-x=0, cuando g(x)=x.

La formula de recurrencia para el metodo de punto fijo se obtiene de considerar una funcion que el resultado de sumar la funcion f con la funcion identidad:g(x)=f(x)+xg(x)=g(x)-xf(x)=0 ----g(x)-x=0g(x)=xel error aproximado se puede calcular :Ea=\xi+1-xi/xi+1\

NEWTON RAPHSON

consiste en elejir un punto inicial x1 como aproximacion de la raiz y obtener el valor de la funcion por ese punto.

traza una recta tangente a la funcion por ese punto.

el punto de interseccion de esta recta con el eje de las absisas(x2,0) constituye una segunda aproximacion de la raiz.

el proceso se repite n veces hasta que el punto de interseccion xn coinciden practicamente con el valor exacto de la raiz

DE LA SECANTE

-Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera xor x1 para los cuales se evaluan los valores de la funcion: f(x0)_=f(x1)-Se traza una recta secante a la funcion poer esos dos puntos.-El punto de interseccion de esta recta con el eje de la s abscisas (x2r,0) constituye una segunda aproximacion de la raiz.-Se reemplazan los subindices:Xi=Xi+1, de manera que X1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser X2.-Se traza una segunda secante por los nuevos puntos X0,X1, obteniendo una segunda aproximacion con X2.-El proceso se repite n veces hasta que le punto de interseccion X2 coinciden practicamente con el valor exacto de la raiz.

It xr Ea(%)

1 2.212672

-

2 2.236474

1.06

3 2.238897

.11

15

ITERACCION DE PUNTO FIJO

Determine las raíces de las siguientes ecuaciones no lineales simultáneas usando el método de iteración de punto fijo.

x= y+x2−0.5

y=x2−5 xy

It Xi+1 yi+11 1.5 -42 -2.25 32.503 36.21 367.8754 1722.535 -

66356.83

f ( x )=x2−5 x+3

x2−5 x+3=0

x= x2+32

It x Ea(%)0 0 --1 1.5 1002 2.625 42.863 4.945 46.924 13.728 63.985 95.730 85.66

ε a=|1 . 5−01 .5

|×100=100 %ε a=|x i+1−x i

xi+1|×100

16

Iterar por punto fijo Xi=0.5 y Ea≤0.01%

f ( x )=sen (√ x )−x

sen (√x )−x=0

x=sen (√ x )

Iterar x=0

It x a% t%

0 0 - 100

1 1 100.0 36.34

2 1.54030 35.08 1.941

3 1.57079 1.941 0.000301

4 (½)·π 0.0003 0

It x Ea%0 0.51 0.64963693

923.0339333

2 0.721523797

9.96319987

3 0.750901166

3.91228175

4 0.762096851

1.46906324

5 0.766248143

0.54176864

6 0.767771654

0.19843287

7 0.76832866 0.072495758 0.76853202

20.02646108

9 0.768606231

0.00965506

f ( x )=cos ( x )cos ( x )=0x=cos (x )+x

x0+1=cos (x0)+ x0=cos (0 )+0=1+0=1xi+1=cos ( xi )+x i

17

EJERCICIOS:

NEWTON RAPHSON

Determine las raíces de las siguientes ecuaciones no lineales simultáneas usando el método de Newton Raphson.

x= y+x2−0.5

x '=−2 x+1

x '=−1

y=x2−5 xy

y '=2 x−5 y

y '=−5 x−1

ItXi+1 yi+1

1 1.22222 0.611112 1.234179 0.25408073 1.233073 0.20153254 1.233395 0.2157011

x=x2+1

x '=2x

x '=−1

y=3 cosx

y '=−3 senx

y '=−1

ItXi+1 yi+1

1 0.9418962 1.8837922 0.9221337 1.848913

18

3 0.9158931 1.83839

Determine la raíz real máxima de la función utilizando el método de Newton Raphson

f ( x )=x3−6 x2+11 x

f ' ( x )=3x2−12 x+11

ItXi+1

1 8.1913042 3.0686993 3.047318

Determina la raíz de la siguiente función con los siguientes valores x0=5 y Ea=0.05%

f ( x )=−x2+1.8 x+2.5

f ' ( x )=−2x+1.8

It xi Ea%1 52 3.35365

8.1862

3 2.8013 .164 2.71934 .1

Determina la raíz de la siguiente función con los siguientes valores x0=4.2 y Ea=0.05%

f ( x )=−2+6 x−4 x2+0.5 x3

f ' ( x )=6−8 x+1.5 x2

It xi Ea%1 4.22 -

4.8491221.86

3 - .114

19

5.474002

EJERCICIOS:

METODO DE LA SECANTE

Usa el método de la secante para calcular la raíz aproximada de la función

f ( x )=x2−4

Comenzando con x0=4, x1=3 hasta que el Er≤1%

x2=x1− x1−x 0f (xi )−f ( x0 )

f (x1)

It

xi Xi+1 Xi+2 Ea Er%

0 4 3 2.2857 0.7143 31.251 3 2.2857 2.0541 0.2316 11.282 2.2057 2.0541 2.0036 0.0505 2.523 2.0541 2.0036 2.0000 0.0036 0.18

Usa el método de la secante para aproximar la raíz de

f ( x )=ex−2

−x

Comenzando con x0=0, x1=1 y hasta que Er≤1%

it xi Ea %1 02 1 1003 0.61269937 63.24 0.65344213

36.23

5 0.652917265

0.08

Usar el método de la secante para aproximar la raíz de f ( x )=arctan(x−2 x+1)

20

Comenzando con x0=0, x1=1, hasta que el error relativo Er≤1%.

Se tiene los valores f(x0)=1 y f(x1)=-0.214601836, que se sustituyen en la fórmula del método de la secante para obtener la aproximación x2:

xn=xn−1[ −xn−1−xn−2f ( xn−1 )−f ( xn−2 ) ] f ( xn−1 )=0.823315073

Con un error aproximado de:

Er = x2−x1x1 100% =21.46

it xi Ea %1 02 1 1003 0.82331507 21.44 0.85233020

83.40

5 0.853169121

0.09

Use el método dela secante para encontrar una raíz de la ecuación poli nominal

f ( x )=x3+2 x2+10 x−20

Con la ecuación se obtiene:

xi+1=xi− ( xi−xi−1 ) f ( xi )f ( xi )−f (xi−1 )

=g(xi)

xi+1=xi−(xi−xi−1 ) (xi3+2 x2+10xi−20 )

(xi3+2x2+10 xi−20 )−(xi3−1+2 xi2−1+10 xi−1−20 )

Mediante x0=0 y x1=1, se calcula x2

x2=1−(1−0 ) (13+2 (1 )2+10 (1 )−20 )

(13+2 (1 )2+10 (1 )−20 )−(03+2 (0 )2+10 (0 )−20 )=1.53846

Mediante x1=1,x2=1.53846 se calcula x3

21

x3=1.53846−(1.53846−1 ) (1.538463+2 (1.53846 )2+10 (1.53846 )−20)

(1.538463+2 (1.53846 )2+10 (11.53846 )−20 )−(13+2 (1 )2+10 (1.53846 )−20)=1.3503 1

Mediante x2=1.53846 y x3=1.35031, se calcula x4

x 4=1.35031−(1.35031−0 ) (1.35031+2 (1.35031 )2+10 (1.35031 )−20 )

(1.350313+2 (1.35031 )2+10 (1.35031 )−20 )−(1.538463+2 (1.53846 )2+10 (1.35031 )−20 )

x 4=1.36792

Mediante x3=1.35031 y x4=1.36792 se calcula x5

x5=1.36792−(1.36792−0 ) ( (1.36792 )+2 (1.36792 )2+10 (1.36792 )−20 )

(1.367923+2 (1.36792 )2+10 (1.36792 )−20 )−(1.35031+2 (1.35031 )2+10 (1.3503 1 )−20 )

x5=1.36881

It

xi xi+1-x1 0 0.000001 1.00000 1.00002 1.53846 0.538463 1.35031 .0188154 1.36792 0.017615 1.36881 0.00090

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

Para pocas ecuaciones (n≤3¿las ecuaciones lineales (y algunas veces no lineales) pueden resolverse con rapidez mediante técnicas simples. Algunos de estos métodos se revisaran a continuación.

22

Se denomina ecuación lineal a aquellas que tienen la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni el denominador.

Por ejemplo, 3x+2y+6z es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es, bien sabido las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.

23

Resolucion de ecuaciones

METODO GRAFICO

Se obtiene una solucion grafica de sos ecuaciones al graficarlas en corrdenadas cartesianas con un eje correspondiente a xI y el otro a x2.

Debido a que se trabaja con sistemas lineales , cada ecuacion es una linea recta.esto puede ilustrarase con las ecuaciones generales.a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

formula para resolucion de ecuacionesx2=-

x2=-

DETERMINANETS Y REGLADE CRAMER

Es una tecnica de solucion que funciona bien para un grupo pequeño de ecuaciones.

Determinante se forma a partir de los coeficientes de la ecuacion de las sigiente manera

el determinante es un simple numero

La regla de cramer establece que cada incognita en un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede ser expresada como un a fraccion de dos determinantes con denominador D y con el numeror obtenido a partir al reeplazar la columna de coeficientes de la incognita en cuestion por las constantes b1,b2,...bn.

ELIMINACION DEINCOGNITAS

Es mediante la combinacion de ecuaciones,esto se puede representar para un conjunto de dos ecuaciones:

x1=

los metodos de eliminacion son:adicion o sustraccionigualacionsustitucion

METODO DE GAUSSConocido tambien como de triangulacion o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier numero de ecuaciones y de incognitas.

METODO DE GAUSS-JORDAN

se contituye una variacion del metodo de eliminacion de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 digitos significativos en las operaciones aritmeticas de la computadora.

24

EJERCICIOS:

METODO GRAFICO

Use el método grafico para resolver

3 x1+2 x2=18

−x1+2 x2=2

Sea x1 la abscisa. Despejando x2 de la ecuación

x2=−32

x1+9

La cual cuando se grafica es una línea recta con una intersección en 9 y pendiente de -3/2

La ecuación también se puede resolver para x2:

x2=−12

x1+1

La cual también se gráfica. La solución es la intersección de las dos líneas en x1=4 y x2=3. Este resultado se puede verificar al sustituir estos valores en las ecuaciones para obtener

3(4)+2(3)=18

−(4)+2(3)=2

De esta manera los resultados son equivalentes a los valores de la derecha de las ecuaciones originales.

25

Resolver por método grafico el siguiente sistema de ecuaciones.

x+ y=5

2 x+ y=9

Para la primera ecuación se tiene que x=5-y

X 1 2 3 4y 4 3 2 1

Para la segunda ecuación se tiene que: x=9-y/2

X 1 2 3 4y 7 5 3 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Solución (4,1)

26

EJERCICOS:

REGLA DE CRAMER

Resuelva mediante la regla de Cramer

x+ y+z=1

x−2 y+3 z=2

x+z=5

1 1 11 −2 31 0 1

=2 1 1 12 −2 35 0 1

=21 1 1 11 2 31 5 1

=−8

1 1 11 −2 21 0 5

=−11

x=212 y=

−82

=−¿4

x=−112

Utilice la regla de Cramer para resolver

0.3 x1+0.52 x2+x 3=−0.01

0.5 x1−x2+1.9 x3=0.67

0.1 x1+0.3 x2+0.5 x3=−0.44

El determinante D se puede escribir como:

D= 0.3 0.52 10.5 1 1.90.1 0.3 0.5

Los menores son:

27

A1= | 1 1.90.3 0.5|= 1(0.5)-1.9 (0.3)=-0.07

A2= |0.5 1.90.1 0.5|=¿0.5 (0.5)-1.9 (0.1)=0.06

A1= |0.5 10.1 0.3|=0.5 (0.3)-1(0.1)=0.05

Estos se pueden usar para evaluar el determinante, como en la:

D=0.3 (-0.07)-0.52 (0.06)+1(0.05)=-0.0022

Aplicando la ecuación, la solución es:

X1=

−0.01 0.52 10.67 1 1.9

−0.44 0.3 0.5−0.0022

= 0.03278−0.0022

=−14.9

X2=

0.3 −0.01 10.5 0.67 1.90.1 −0.44 0.5

−0.0022

= 0.0649−0.0022

=−29.5

X3=

0.3 0.52 −0.010.5 1 0.670.1 0.3 −0.44

−0.0022

=−0.04356−0.0022

=19.8

0.3(−14.9)+0.52(−29.5)+(19.8)=−0.01

0.5(−14.9)−(−29.5)+1.9(19.8)=0.67

00 .1(−14.9)+0.3(−29.5)+0.5 (19.5)=−0.44

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de cramer

3 x−2 y=1

x+5 y=3

28

D=|3 −21 5 | =15+2=17

X=|1 −23 −5|

17 =5+6

17 =1117

Y=|3 11 3|17

=9−117 = 8

17

Solución:

3( 817

)−2( 817

)=1

1117

+5 ( 817

)=3

Resolver mediante la regla de Cramer

X+Y +Z=1

X−Y +Z=1

−X+Y +Z=1

El determinante D se puede escribir como:

D= 1 1 11 −1 11 1 1

=-4

X=|1 1 11 −1 11 1 1|

−4

= 0−4 =0

29

y=| 1 1 11 1 1

−1 1 1|−4

= 0−4 =0

z=| 1 1 11 −1 1

−1 1 1|−4

=−4−4 =1

Solución:

0+0+1=1

0−0+1=1

−0+0+1=1

Resolver utilizando la regla de Cramer

2 x− y+z=3

2 y−z=1

−x+ y=1

El determinante D se puede escribir como:

D= 2 −1 10 2 −1

−1 1 0 =3

X=|3 −1 11 2 −11 1 0 |

3

=33=1

y=| 2 3 10 1 −1

−1 1 0 |3

=63=2

30

z=| 2 −1 30 2 1

−1 1 1|3

=93 =3

Solución:

2(1)−2+3=3

2(2)−3=1

−(1 )+2=1

EJERCICIOS:

ELIMINACION DE INCOGNITAS

Eliminación por adición o sustracción

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase.

Resolver el sistema

x−2 y=9 __________1

2 x+8 y=−12_______2

Multiplique ambos miembros de 1 por 2 se obtiene:

2 x−4 y=18_______3

Réstese 2 de 3 desaparecen los términos “x”

12 y=−30

Se obtiene y=-5/2

Remplaza “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despeje “x”.

31

x−2 y=9

x−2(−52

)=9

x=9−5

x=4

ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN

a) Despeje en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita

eliminada.c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la

incógnita no eliminada.d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representan

el valor de la otra incógnita y resuélvase.

Resolver el sistema

x−2 y=9_____________1

2 x+8 y=−12__________2

Despeje “x” de 1 y 2, se tiene:

x=9+2 y__________3

x=−6−4 y__________4

Iguálense las dos ecuaciones que representan el valor “x”

9+2 y=−6−4 y

Resuélvase

9+2 y=−6−4 y

2 y+4 y=−6−4

6 y=−15

32

y=−5/2

Sustituyendo en 3 el valor de “y”, tenemos que:

X=4 por tanto: x=4; y=-5/2

ELIMINACION POR SUSTITUCION

a) Despeje una incógnita en una de las dos ecuaciones.b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la

incógnita no eliminada.d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor

de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Resolver el sistema

x−2 y=9_____________1

2 x+8 y=−12__________2

Se va a eliminar “x”. Despeje el valor de “x” en 1:

x=9+2 y__________3

Sustitúyase 3 en 2

2(9+2y)+8y=-12

33

EJERCICIOS:

MÉTODO DE GAUSS SIMPLE

RI

R2 a b cd e fg h i

jkl R2 =R2-(d/a)*R1

R3 R3=R3-(g/a)*R1

RI

R2 a b c0 e f0 h i

jkl R3=R3-(h/e)*R2

R3

RI

R2 a b c0 e f0 0 i

jkl

R3

OBTENIENDO EL VALOR DE

X3=l/i

X2= (k-f*x3)/e

X1= (j-c*x3-b*x2)/a

34

Encontrar los valores de x1, x2, x3 para los siguientes sistemas de ecuaciones:

3 x1−2x 2−6 x3=10

8 x1+4 x2−x3=6

x1+4 x2−2x 3=20

Solución:

A=3 −2 −68 4 −11 2 −2

B= 106

22

3 −2 −68 4 −11 2 −2

10622

3 −2 60 9.333333 150 2.66666667 0

10

−20.666666718.6666667

3 −2 −60 9.333333 150 2.66666667 −4.28571429

10

−20.666666724.5714286

35

Solución:

X1=-3.46666667

X2=7

X3=-5.73333333

Encontrar los valores de x1, x2, x3 para los siguientes sistemas de ecuaciones:

x1+2 x2+3 x 3=6

2 x1−3 x 2+ x3=14

3 x1+x 2−x3=−2

Realizaremos operaciones de fila

1 2 32 −1 23 1 −1

614−2

R3← R3-3R1

R2←R2-2R1

1 2 30 −7 −40 −5 −10

62

−20R3← (-1/5) R3

1 2 30 −7 −40 1 2

624 R3↔R2

1 2 30 1 20 −7 −4

642 R3← R3+7R1

36

1 2 30 1 20 0 10

64

30 R3← (1/10) R3

1 2 30 1 20 0 1

643

La ultima matriz esta en forma escalonada por filas,(método de gauss), lo cual significa que:

X3=3; x2=4; x1=-2

Encontrar la solución por medio de Gauss

3 x1+6 x 2−9 x3=3

2 x1+4 x2−8x 3=0

−2 x1−3 x 2+4 x 3=−1

Realizaremos operaciones de fila

3 6 −92 4 −8

−2 −3 4

30

−1

R2← R2-(2/3) R1

R3←R3-(-2/3) R1

3 6 90 0 −20 1 −2

3

−21

R2↔R3

3 6 −90 1 −20 0 −2

31

−2 R3↔R2

3 6 −90 1 −20 0 1

311 R3← 1/ (-2) R3

R1←R1-(-9) R3

37

R2←R2-(-2) R3

3 6 00 1 00 0 1

1231

R1←R1-6R2

3 0 00 1 00 0 1

−631

R1←1/3R1

1 0 00 1 00 0 1

−231

SOLUCION: X1=-2; X2=3; X3=1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de Gauss:

−3 x+ y+ z=1

x−2 y+2 z=4

−x+ y−3 z=−7

Solución:

Realizaremos operaciones de fila

−3 1 11 −2 1

−1 1 −3

14

−7

1 −2 1−3 1 1−1 1 −3

41

−7

3*R1-R2

R3+R1

1 −2 10 −5 40 −1 −2

4

13−3

-R3

38

1 −2 10 1 20 −5 4

43

13

R3+5*R2

1 −2 10 1 20 0 14

43

28

Solución:

Z=2814

=2

Y=3-2z=3-4=-1

X=2y-z+4=-2-2+4=0

EJERCICIOS:

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Para resolver un sistema de ecuaciones por Gauss Jordán debemos de tener en cuenta que es una continuación del método de Gauss Simple:

RI

R2 a b c0 e f0 0 i

jkl

R3

Esta es la matriz que obtenemos con Gauss simple según lo expuesto anteriormente, luego se debe:

RI

R2 a b c0 e f0 0 i

jkl R1 =R1-(c/ i)*R3

R3 R2=R2-(f/i)*R3

39

RI

R2 a b 00 e 00 0 i

jkl R1 =R1-(b/e)*R2

R3

RI

R2 a 0 00 e 00 0 i

jkl

R3

Con el método de Gauss Jordan se pretende llegar a esta matriz de manera que se puedan obtener los valores de x1, x2,x3 de una manera más sencilla.

Encontrar los valores de x1, x2, x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

10 x1−5 x 2−2 x3=19

5 x1+4 x2−2x 3=9

4 x1−3 x 2+5x 3=24

Solución:

1 0 −5 −25 4 −24 −3 5

199

24

10 −5 −20 6.5 −10 −1 5.8

19−0.516.4

10 −5 −20 6.5 −10 0 5.64615385

19−0.5

16.3230769

40

10 −5 00 6.5 00 0 5.64615385

24,78201632,39100811716,3230769

10 0 00 6.5 00 0 5.64615385

26,62125342,3910081716,3230769

Solución:

X1=2,66212534

X2=0.36784741

X3=2.8910081

GAUSS- JORDAN CON PIVOTEO

El sistema consiste en tomar de un sistema de ecuaciones dado una ecuación como pivote con el objetivo de darle forma de matriz idéntica al sistema de ecuaciones. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss-Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones.

El elemento delantero de cada fila de cero, es llamado pivote estos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto se supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Se comienza resolviendo la matriz de la misma forma que se ha venido trabajando en el método anterior, y luego continuamos dividiendo cada fila en su respectivo pivote como se muestra a continuación:

RI

R2 a 0 00 e 00 0 i

jkl R1/a, R2/e, R3/i

R3

RI

Pivote

Pivote

Pivote

41

R2 1 0 00 1 00 0 1

jkl

R3

De modo que: la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Observe que no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la solución.

jkl

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

−11 x1−4 x 2+5x 3=25

3 x1+10 x2−15x 3=12

−7 x1+3 x 2+24 x3=8

Solución:

−11 −4 53 10 −15

−7 3 24

25128

−11 −4 50 8.90909091 −13.6363636

−7 5.54545455 20.8181818

2518.8181818

−7.90909091

−11 −4 50 8.90909091 −13.63636360 0 29.3061224

2518.8181818−19.622449

−11 −4 00 8.90909091 00 0 29.30612224

28.34784129.68770575−19.622449

−11 0 00 8.90909091 00 0 29.30612224

32.69742349.68770575−19.622449

42

Divídase cada ecuación en su respectivo pivote para obtener1 0 00 1 00 0 1

−2.972493041.08739554

−0.66956825

De modo que la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Observe que no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la solución.

X1=-2.97249304

X2=1.08739554

X3=-0.66956825

Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan:

3.0 x1−0.1x 2−0.2 x3=7.8500

0.1 x1+7.0 x2−0.3x 3=−19.3

0.3 x1−0.2x 2+10x 3=71.4000

Primero expresamos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

3.000 −0.100 −0.2000.100 7.000 −0.3000.300 −0.200 10.000

7.850−19.30071.400

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

1.000 −0.033 −0.0660.100 7.000 −0.3000.300 −0.200 10.000

2.616−19.30071.400

Pivote

Pivote

43

El termino x1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina con x1 del tercer renglón.

1 −0.033 −0.0660 7.003 −0.2930 −0.190 10.018

2.616−19.30070.615

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

1 −0.033 −0.0660 1.000 −0.0420 −0.190 10.018

2.616−2.79370.615

Reduciendo los términos en x2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

1 0 −0.0680 1 −0.0420 0 1.010

2.524−2.79370.084

El tercer renglón se normaliza dividiendo entre 10.010:

1 1 −0.0680 1 −0.0420 0 1.000

2.524−2.7937.001

Finalmente, los términos con x3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

44

1 0 00 1 00 0 1

3.000−2.4997.001

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss Jordan.

2 x+3 y+z=1

3 x−2 y−4 z=−3

5 x− y−z=4

Escribimos la matriz aumentada del sistema.2 3 13 −2 −45 −1 −1

1−34

Solución:

2 3 13 −2 −45 −1 −1

1−34

1/2R1

45

1 32

12

3 −2 −45 −1 −1

12

−34

-3R1+R2;-5R1+R3

1 32

12

0 −132

−112

0 −172

−72

12

−9232

-2/13R2:2R3

1 32

12

0 1 1113

0 −17 −7

129

133

17R2+R3

1 32

12

0 1 1113

0 0 9613

129

1319213

13/96R3

1 32

12

0 1 1113

0 0 1

129132

-11/13R3+R2;-1/2R3+R1

1 32

0

0 1 −10 0 1

−12

−12

-3/2R2+R1

46

1 0 00 1 00 0 1

1−12

Solución:

X=1

Y=-1

Z=2

UNIDAD IV:

DIFERENCIACION E INTEGRACION

DIFERENCIACION NUMERICAINTEGRACION NUMERICAINTEGRACION MULTIPLEAPLICACIONES

La diferenciación es algo común en ingeniería debido a que mucho de nuestro trabajo involucra caracterizar los cambios de las variables tanto en tiempo como en espacio. Muchas de las leyes y otras generalizaciones que figuran de manera prominente en nuestro trabajo se basan en predecibles en las cuales

47

el cambio mismo se manifiesta en el mundo físico. El ejemplo principal es la segunda Ley de Newton, que no está dirigida los términos de la posición de un objeto, si no en su cambio de posición con respecto al tiempo.

Diferenciar: significa marcar por diferencias, distinguir, percibir la diferencia en o entre.

Derivada: Es la que sirve como vehículo fundamental para la diferenciación, representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una independiente como se muestra a continuación:

Δ yΔ x=

f ( xi+Δ y )−f (xi)Δ x

Donde y y f(x) son representaciones alternativas de la variable dependiente y x es la variable independiente. Si se permite que Δ x se aproxime a cero, la diferencia es ahora una derivada.

El proceso inverso de diferenciación es la integración.

Integrar: significa llevar junto, como partes, en un todo; unir, indicar la cantidad total. Matemáticamente, a integración se representa por:

I=∫a

b

f ( x )dx

Que se tiene para la integral de la función f ( x )con respecto a la variable independiente x, evaluada entre los limites x= a a x=b. la función f ( x )en la ecuación es llamado integrando. El significado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f ( x )dxsobre el rango de x= a a b. el símbolo ∫❑es ahora una letra S estilizada que intenta representar la conexión cercana entre integración y sumatoria.

La función que será diferenciada o integrada estará usualmente en una de las siguientes tres formas:

1. Una función simple continua tal como un polinomio, una exponencial o una función trigonométrica.

2. Una función continua complicada que es difícil o imposible de diferenciar o integrar de manera directa.

3. Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados en un número de puntos discretos, como es frecuente el caso en datos experimentales o de campo.

En el primer caso, la derivada o integral de una simple función se puede evaluar en forma analítica mediante cálculo. Para el segundo caso, las

48

soluciones analíticas son a menudo imprácticas y algunas veces imposibles de obtener, en el tercer caso de datos discretos, se debe de emplear métodos de aproximación.

FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES

Son los tipos de integración numérica más comunes.se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada p datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar.

REGLA DEL TRAPECIO

Es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:

I=∫a

b

f ( x )dx ≅∫a

b

f 1 ( x )dx

El resultado de la integración es:

I=(b−a)f (a )+ f (b)

2

formulas de integracion de newton-cortes

Regla del trapecio

Regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 3/8

Regla de boole

49

Geométricamente la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área bajo la línea recta que une f(a) y f (b).

Utiliza la regla del trapecio para aproximar la integral:

∫0

1

ex2

dx

Solución:

Usamos la formula directamente con los siguientes datos:

a=0

b=1

F(x)=ex2

Por lo tanto tenemos que:

∫0

1

ex2

dx=(1−0)[ f (0 )+ f (1)2 ]=1+e

2=1.85914

EJERCICIOS

REGLA DEL TRAPECIO

Calcule la integral usando la regla del trapecio con n=6

∫0

3 dxx2+16

50

Solución:

Δ x=b−an

=3−06

=12, luego b−a

2n=1

4

Sustituyendo en la fórmula:

∫0

3 dxx2+16

¿ 14 [ f ( x 0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x 3 )+2 f ( x 4 )+2 f ( x5 )+ f ( x6 ) ]

=14 [ f (0 )+2 f ( 1

2 )+2 f (1 )+2 f ( 32 )+2 f (2 )+2 f ( 5

2 )+ f (3 )]¿ 1

4[0.0625+0.1230+0.1176+0.1096+0.1+0.09+0.04 ]= 1

4[ 0.6427 ]=0.1607

Calcule el valor aproximado de

∫0

2 1√2x

e−x 2/2

dx

Solución:

Δ x=b−an

=2−04

=12, luego b−a

2n=1

4

∫0

2 1√2x

e−x2/2

dx

=14 [ f (0 )+2 f ( 1

2 )+2 f (1 )+2 f ( 32 )+ f (2 )]

51

¿ 14

[e0+2e−1 /8+2e−1 /2+2e−9/8+2e−2 ]=1.1907

Luego:

1√2 π∫0

2

e− x2 /2

dx=0.47501❑

Con la ecuación:

I=(b−a)f (a )+ f (b)

2

Integre numéricamente

f ( x )=0.2+25x−200 x2+675 x3−900 x4+400 x5

Desde a=o hasta b=0.8, el valor exacto de la integral se puede determinar analíticamente en forma analítica y es de 1.640533.

Solución:

Al evaluar la función:

f (0 )=0.2

f (0.8 )=0.232

Sustituyendo en la ecuación se tiene

I=0 .8 0.2+0.2322

=0.1728

El cual representa un error de

Et=1.640533−0.1728=1.467733

Regla del trapecio de integración múltiple

Use la regla del trapecio de dos segmentos para estimar la integral de

f ( x )=0.2+25x−200 x2+675 x3−900 x4+400 x5

Donde a=0 hasta b=0.8

52

Solución:

f (0 )=0.2 f (0.4 )=2.456 f (0.8 )=0.232

I=0 .8 0.2+2 (2.456)4

=1.0688

Et=1.640533−1.0688=0.57173=34.9 %

REGLA DE SIMPSON 1/3

La regla de Simpson 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la cueva, por ejemplo el área contenida en dos

53

fajas, bajo la curva f(x), se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:

(xi, yi)(xi+1,yi+1)(xi+2,yi+2)

Resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:

I=∫a

b

f ( x )dx ≅∫a

b

f 1 ( x )dx

Si se designa a y b como x0 y x2, y f(x), se representa por un polinomio de LaGrange de Segundo grado la integral se transforma en:

I=

∫X 0

X 2

[ (X−X1 ) (X−X 2 )(X 0−X1 ) (X 0−X 2 )

F ( x0 )+ ( x−x0 ) ( x−x 2 )( x 1−x0 ) ( x 1−x2 )

f ( x1 )+ (x−x0 ) ( x−x1 )( x2−x0 ) ( x2−x1 )

f (x2)]dxDespués de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula:

I ≅ h3[ f (x0)+4 f (x 1)+ f (x 2)]

En donde h= (b-a)/2, esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de la integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación. Una alternativa para obtenerla se muestra a continuación en donde se integra el polinomio de Newton-Gregory para llegar a la misma fórmula.

La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato de la ecuación:

54

I ≅ (b−a) [ f (x 0)+4 f (x1)+f (x2)]6

Donde a=x0, b=x2 y x1= el punto a la mitad entre a y b, que está dado por (b-a)/2.Observe que de acuerdo con la ecuación, el punto medio esta ponderado por dos tercios y los dos puntos extremos, por un sexto.

Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de:

Et=−190

h5 f ( 4 )(ᶓ)

O como h= (b-a)/2.

Et=−(b−a)5

2880f (4 )(ᶓ )

Donde ᶓ está en algún lugar en el intervalo de a a b. Formula con error de truncamiento

I ≅ h3 [ f ( x0 )+4 f ( x1 )+f (x2)] −1

90h5 f (4 )(ᶓ )

El error de truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos resultados que se obtienen mediante la regla de un tercio de Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos valores suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables9 y valuando. La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos funciones. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben de utilizar de dos valores menores.

EJERCICIOS:

55

REGLA DE SIMPSON 1/3

Estime, mediante el método de Simpson, el valor de la siguiente integral definida:

∫−3

3

ln ( 4 x2+4 )dx

Con una partición de siete (7) elementos, y estime el error cometido .Para aplicar el método de Simpson, la partición debe ser regular y el número de sus intervalos debe ser par, como la partición debe tener siete elementos se cumple está condición y determinamos, entonces, la longitud de los sub intervalos:

Construyendo la partición correspondiente, 

p=x 0 , x1 , x 2 , x 3 , x 4. x5. x6=−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3∈ [−3,3 ]

Empleando la fórmula del método de Simpson, se obtiene una estimación de la integral definida

∫a

b

f ( x )dx= [ f ( x0 )+4 f (x 1 )+2 f ( x2 )+4 f ( x3 )+2 f (x 4 )+4 f ( x5 )+ f (x 6)] ∆ x3

∫−3

3

f ( x ) dx=[ f (x 0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x 2 )+4 f ( x3 )+2 f ( x 4 )+4 f (x 5 )+ f (x6) ] ∆ x3

∫−3

3

ln ( 4 x2+4 )dx=[ ln (40 )+4 ln (20 )+2 ln (8 )+4 ln ( 4 )+2 ln (8 )+4 ln (20 )+ ln(20)] 13

 ∫−3

3

ln ( 4 x2+4 )dx=150688537

Para estimar el error cometido, empleamos la fórmula

correspondiente  , con  ,   , es decir que   es el máximo en valor absoluto de la cuarta derivada de la función Determinamos entonces el valor de  .

56

Para f ( x )=ln (4 x2+4)obtenemos

f ' ( x )= 2 xx2+1

; f ' ' (x )=2(1−x2)(x2+1)2

f ' ' ' (x )= 4 (x3−3 x)(x¿¿2+1)3 ¿

f 4 ( x )=12(−x4+6 x2−1)(x2+1)4

f 5 ( x )=48 x (−x4+10 x2+5)(x2+1)5

Con la quinta derivada de la función, determinamos los números críticos de la cuarta derivada en el intervalo de integración , y calculamos los extremos relativos que en ese intervalo se pueda alcanzar.Números críticos de la cuarta derivada:

x1=−√5+2√5 x2=−√5−2√5x3=0x 4=−√5−2√5x5=−√5+2√5

Se evalúan estos números críticos, y los extremos del intervalo de integración en la cuarta derivada de la función, para obtener el máximo en valor absoluto de f 4 ( x )f 4 (−3 )=0.0058f 4 ( x1 )=0.0338f 4 ( x2 )=4.1588f 4 ( x3 )=12f 4 ( x 4 )=4.1588f 4 ( x5 )=−0.0338f 4 (3 )=0.0058

Por tanto,  .

Al sustituir en la fórmula de error, se obtiene 

Use la regla de Simpson, con el valor de n indicado para estimar las integrales definidas.

57

∫1

4 1xdx ,n=6

Δx=b−an

=4−16

=36=1

2=0.5

∫1

4 1xdx=4−1

3 (6)[ f (1 )+4 f (1.5 )+2 f (2 )+4 f (2.5 )+2 f (3 )+4 f (3.5 )+ f (4 )](1)

f (1 )=11=1 f (1.5 )= 1

3 /2=2

3

f (2 )=12

f (2.5 )= 15 /2

=25

f (3 )= 13

f (3.5 )= 17 /2

=27

f ( 4 )=14=1

∫1

4 1xdx= 3

18 [1+4(23 )+2( 1

2 )+4 ( 25 )+2( 1

3 )+4( 27 )+ 1

4 ]=16 [1+( 8

3 )+1+( 85 )+(2

3 )+( 87 )+ 1

4 ]

∫1

4 1xdx=¿ 1

6 [ 420+1120+420+672+280+480+105420 ]= 1

6 [2361420 ]= 3497

2520=1.39 ¿

Use la regla de Simpson de 1/3 para aproximare la siguiente integral:

∫0

1

ex2

dx

Solución:

Aplicamos la formula directamente, con los siguientes datos:

58

A=0

B=1

X=0.5

F(x)=ex2

Por lo tanto tenemos que:

∫1

4

ex2

dx=¿(1−0)[ f (0 )+4 f ( .05 )+ f (1)6 ]=1+4e(0.5 )2

+e6

=1.4757 ¿

Use la regla de Simpson de 1/3, para aproximar la siguiente integral:

∫2

4 ex

xdx

Solución:

Igual que en el ejercicio anterior datos adecuadamente:

∫2

4 ex

xdx=(4−2 )[ f (2 )+4 f (3 )+ f (4 )

6 ]=13 [ e2

2+4 e3

3+ e4

4 ]=14.7082

Al igual que con la regla de trapecio, podemos extender la regla de Simpson de 1/3, si subdividimos el intervalo [a,b] en n sub intervalos de la misma longitud

h=b−an

Sea p={x0,x1,x2………..xn} la partición que se forma al hacer la subdivisión, y denotemos por xM ∈[xi-1,xi] el punto medio de cada sub intervalo.

Aplicamos primero propiedades básicas de la integral definida:

∫a

b

f ( x )dx=∫x 0

x 1

f ( x ) dx+∫x 1

x 2

f ( x ) dx+…..+ ∫xu−1

xn

f (x )dx

Ahora aplicamos la regla de Simpson de 1/3, en cada una de las siguientes integrales de arriba:

∫a

b

f ( x )dx=(x1−x0)[ f (0 )+4 f ( xM 1 )+ f (x 1)6 ]+….+(xn−xn−1)[ f ( xn−1 )+4 f ( xMn)+ f (xn)

6 ]Sustituimos h=

b−an y usamos la notación sigma:

59

∫a

b

f ( x )dx=(x1−x0)¿¿

REGLA DE SIMPSON 3/8

La derivación de la Regla de los tres octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecte 4 puntos sobre una cueva dada. La fórmula general de la parábola de tercer grado es:

Este caso corresponde a x=3, es decir,

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

f 3 (x )dx

60

Donde f3(x) es un polinomio de interpolación para los siguientes datos

xo X1 X2 X3F(x0) F(x1) F(x2) F(x3)

Y donde a =x0, b=x3,y x1,x2 son los puntos que dividen entre partes iguales al intervalo [a,b].

Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de LaGrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente formula:

∫a

b

f ( x )dx= 38h [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f (x 3)]

Donde h=(b−a)

3debido al factor

38hes que se le dio el nombre de la Regla de

Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener:

∫a

b

f ( x )dx=(b−a)[ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f (x 3)8 ]

EJERCICIOS

REGLA DE SIMPSON 3/8

Aproximar la siguiente integral, usando la regla de Simpson de 3/8

61

∫1

4

ex lnxdx=(4−1)[ f (1 )+3 f (2 )+3 f (3 )+ f (4)8 ]

¿ 38

[eln 1+3e2 ln 2+3e3 ln 3+e4 ln 4 ]=589698

Al igual que en los casos anteriores, la regla de Simpson de 3/8 se puede extender si subdividimos el intervalo [a,b] en n intervalos de la misma longitud

h=b−an

Sea xo, x1, x2….xn, la partición de terminada de esta forma. Cada sub intervalo [xi-1, x2] lo dividimos en tres partes iguales, y sean y1 y z1 los puntos determinados.

Use la regla de Simpson 3/8 para estimar:

I=∫0

π3

sen2 x dx

I=∫0

π3

sen2 x dx=

3(b−a)24 [ f (a )+3 f (2a+b

2 )+ f (b)]= π24 [sen2 (0 )+3 sen2( π9 )+3 sen2( 2π

9 )+sen2( π3)]=.3063656

Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque tabulado obtenido en una fábrica de jugos medidos por un sensor cada cierto tiempo.

Datos tabulados

62

I 1= (0.6 )∗4.593+3 (6.050 )+3 (7.389 )+9.0258

=4.045125

I 2=(0.6 )∗9.025+3 (11.023 )+3 (13.464 )+16.445

8=7.4198

I 3=(0.6 )∗16.445+3 (20.086 )+3 (24.533 )+29.964

8=13.1419

Usando la regla de 3/8 de Simpson, calcular la integral:

∫1

2.2

x3lnx dx

t F(t)1.6

4.593

1.8

6.050

2 7.3892.2

9.025

2.4

11.023

2.6

13.464

2.8

16.445

3 20.0663.2

24.533

3.4

29.964

63

Solución:

Buscar el valor de h,

h=b−a3 a

=1.23

=0.4

Construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.4 hallado.

X0 X1 X2 X3X 1 1.4 1.8 2.2x3 1 2.744 5.832 10.648Ln x 0 0.33647 0.58779 0.78846x3ln x 0 0.92327 3.42799 8.39552

Ahora se aplica la fórmula de Simpson

∫x 0

x3n

f ( x )dx=3∗0.48

[0+3∗0.92327+3∗3.42799+8.39552 ]

∫x 0

x3n

f ( x )dx=3∗0.48

[0+2.7698110 .28397+8.39552 ]=3∗0.48

∗21.4493=3.217395

Utilice en conjunción las reglas de Simpson 3/8 para integrar la función

f ( x )=0.2+25x−200 x2+675 x3−900 x4+400 x5

X=0.8−0.03

=0.2667

X F(X)0.000 0.20000.2667 1.432863660.5333 3.487065210.8000 0.2320000

I=3(0.2667)8 [0.2+0.232+3 (1.432864 )+3.4870065¿ ]=1.51917037

ET=1.64053334-1.62346667=0.121164

ESTADÍSTICA SIMPLE

MEDIA

64

MEDIANAMODA DESVIACIÓN ESTÁNDARVARIANZACOEFICIENTE DE VARIACIÓNREGRESIÓN LINEAL

65

ESTADISTICA SIMPLE

MEDIA ARITMETICA

Suma de los datos individuales(yi) dividida entre

el numero de puntos(n),o

donde la sumatoria va de i=n

DESVIACION ESTANDAR

Medida mas comun de espaciamiento para una

muestra alrededor de la media (sy)

VARIANZA Espaciamiento representado

por el cuadrado de la desviacion estandar

COEFICIENTE DE VARIACION

Una estadistica final que tiene utilidad en cuantificar la dispersion de datos,tal

estadistica es la desviacion estandar a la media,como tal

proporciona una medicion normalizada de la dispersion con frecuencia de multiplicar

por 100 para que se pueda expresar en la forma de

porcentaje.100%

66

EJERCICIOS

ESTADÍSTICA SIMPLE

Calcule la media, la varianza, desviación estándar y coeficiente de variación para los datos de la tabla.

6.495 6.595 6.615 6.635 6.485 6.5556.665 6.505 6.435 6.625 6.175 6.6556.755 6.625 6.715 6.575 6.655 6.6056.565 6.515 6.555 6.395 6.775 6.685

y=158.424

=6.6

Sy=√ 0.21700024−1

=0.097133

S2 y=0.09435

C .V=0.0971336.6

100 %=1.47 %

Calcule la media, varianza, desviación estándar y el coeficiente de variación de la siguiente tabla:

N yi ( yi− y)2

1 10.0 3.45962 11.5 .12963 9.7 4.66564 13.8 3.76365 14.3 5.95366 11.9 .00167 12.3 .19368 13.0 1.29969 11.3 .313610 10.8 1.1236

∑ 118.6 ∑ 20.904

y=118.610

=11.86

67

Sy=√ 20.90410−1

=1.5240

S2 y=20.90410−1

=436.97729

=48.5530

C .V=1.524011.86

100 %=12.8499 %

Ajuste a una línea recta los valores x y y en las dos primeras columnas

xi yi ( yi− y)2 ( yi−a0+a ixi)2 Xi yi xi2

1 .5 8.52 .1687 .5 12 2.5 .8464 .5625 5 43 2.0 2.0164 .3473 6 94 4.0 .3266 .3265 16 165 3.5 .006 .5896 17.5 256 6.0 6.6564 .7972 36 367 5.5 4.3264 .1993 38.5 49∑ 28 ∑ 24 ∑ 22.69 ∑ 2.9911 ∑ 119.5 ∑ 140

y=247

=3.4285

Sy=√ 22.7142857−1

=1.945691

S2 y=3.785714

C .V= 1.945693.428571

100 %=56.749335 %

Calcule:

N=7

∑xi=28

∑yi=124

∑xiyi=119.5

∑xi2=140

68

y=4

x=3.4285

ai= n∑ xiyi−∑xi∑ yin∑ x2−(∑ xi)2 =

7 (119)−28(24)7 (140 )−(28)2 =

164.5196 =.8392

a0= y−ai x

a0=3.4285−.8392 (4 )=.0717

Ajuste una línea recta a los valores x y y en las primeras columnas de la tabla

xi yi ( yi− y)2 ( yi−a0−aixi−a2xi)2

0 2.1 544.44 0.143321 7.7 314.47 1.002862 13.6 140.03 1.081583 27.2 3.12 0.804914 40.9 239.22 0.619515 61.1 1272.11 0.09439∑ 156.6 2513.39 3.74657

En donde:

m=2

n=6

∑xi=15

∑yi=1526

∑xi2=55

∑xi3=255

∑xi4=979

∑xiyi=585.6

∑xi2 yi=24888

y=2.5

69

x=25.433

Entonces, las ecuaciones lineales simultáneas son:

6ª0+15ª1+55ª3=152.6

15ª0+55ª1+225ª3=585.6

55ª0+225ª1+979ª3=2488.8

Resolviendo por eliminación de Gauss tenemos:

a0=2.47857

a1=2.35929

a2=1.86071

y por lo tanto tenemos la ecuación de la forma:

y=2.47857+2.35929+1.86071x2

el error estándar es:

Syx

=√ 3.746576−3

=1.12

El coeficiente de determinación es:

r2=2513.39−3.746572513.39

=0.99851

r=0.99925

EJERCICIOS

70

REGRESIÓN POLINOMIAL

Ajustar a la recta de x y y con los siguientes datos

xi yi xi2 yi2 xiyi0.2 8 0.04 64 1.60.5 10 0.25 100 51 18 1 324 182 35 4 1225 703 60 9 3600 180∑ 6.7 ∑ 131 ∑ 14.29 ∑ 5313 ∑ 274.6

x= 6.75

=1.34

y=1315

=26.2

Sxy=274.65

−35.108=19.812

S2 x=14.295

−1.342=1.0624

S2 y=53135

−26.22=376.18

Calculamos el coeficiente a y b de la recta de regresión y=a+bx:

b=SxySx2 =

19.8121.0624

=18.648343

a= y−bX=26.2−18.648343∗1.34=1.2112204

Calcular el coeficiente de relación

r= SxySxSy

= 19.812√1.0624√376.18

=0.9910555

71

Ajuste por una función exponencial:

Como la función buscada es y=aebx, tomando logaritmos tenemos que log y=log a + bx .Llamamos a la nueva variable y’=log y también hacemos a’=log a. tenemos entonces que calcular la recta de regresión y’=a’+bx para las nuevas variables y’ y x.

xi yi yi’=log yi xi2 ( y i ')2 xiyi’-6 2 0.693 36 0.480249 -4.158-3 2.8 1.03 9 1.0609 -3.090 3.9 1.361 0 1.852321 03 4.2 1.435 9 2.059225 4.3056 5.8 1.758 6 3.090564 10.5489 6.2 1.825 81 3.330625 16.42512 7.5 2.015 144 4.060225 24.1815 8.2 2.104 225 4.426816 31.5620 9.3 2.23 400 4.426816 44.625 10.9 2.389 625 5.707321 59.725∑ 81 ∑ 60.8 ∑ 16.85 ∑ 1535 ∑ 31.041146 ∑ 184.095

x=8110

=8.1

y=16.8410

=1.684

Sxy=184.110

−8.1∗1.684=4.7696

S2 x=90.89

Calculamos el coeficiente a y b de la recta de regresión y=a+bx:

b=Sxy 'Sx2 =4.7696

90.89=18.648343

a '= y−bX=1.684−0.0525∗8.1=1.259

72

UNIDAD V

INTERPOLACION

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONPOLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGEINTERPOLACIÓN SEGMENTADAPROBLEMAS DE APLICACION

INTERPOLACION POLINOMIAL

INTERPOLACION LINEAL

Modo mas simple de interpolacion es

conectar dos puntos con una linea recta

INTERPOLACION CUADRATICA

Si tres puntos de lo s datos estan

disponibles, esto puede realizarse con

un polinomio de segundo orden.

FORMA GENERAL DE LA INTERPOLACION DE POLINOMIOS DE

NEWTON

Esta diferencia puede usarse para evaluar

los coeficientes es la ecuaciones hasta las cuales entonces se

sustituiran en la ecuacion para obtener

el polinomio de interpolacion.

INTERPOLACION INVERSA

Puede ser utilizado para encontra las

raices de una funcion tabular

INTERPOLACION DE POLINOMIOS DE

LAGRANGE

Es solo un a reformulacion del

polinomio de Newton que evita el calculo de diferencias divididas.

consiste en determinar el unico polinomio de n-enesimo orden que

ajuste n+1 puntos.

73

FORMULAINTERPOLACIÓN LINEAL

f 1 ( x )=f ( x 0 )+f ( x1 )−f (x 0)

x 1−x 0 −(x−x 0)

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA f 2 ( x )=bo+b1 ( x−x 0 )+b2 ( x−x 0 ) ( x−x 1 )b0=f (x0)

b1=f ( xi )−f (x 0)

x1−x0

b2=

f ( x2)−f (x1)x 2−x1 −

f (x 1 )−f (x 0)x1−x0

x 2−x 0FORMA GENERAL DE LA INTERPOLACIÓN DE POLINOMIOS DE NEWTON

f 3 ( x )=b 0+b1 (x− x0 )+b2 ( x−x 0 )+b3(x−x 0)(x−x1)(x−x 2)

INTERPOLACIÓN INVERSAINTERPOLACIÓN DE POLINOMIOS DE LAGRANGE f 1 ( x )= x−x1

x0−x1f ( x0 )+ x−x0

x1−x0f (x 1)

f 2 ( x )= ( x−x1 ) ( x−x2 )( x0−x1 ) ( x0−x2 )

f ( x0 )+ ( x−x0 ) ( x−x 2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f ( x1 )+ ( x−x 0 ) ( x−x1 )( x2−x 0 ) ( x2− x1 )

f ( x 2 )

74

EJERCICIOS

INTERPOLACIÓN LINEAL

Hallar la recta de interpolación lineal correspondiente a los datos (10,45) y (20,57).

Determinar con ella el valor correspondiente a estos valores.

a) x=13 b) x=16 c)x=22

y=45+ 57−4520−10

−( x−10 )=45+ 1210

(x−10)

a¿ y=45+ 1210

(13−10 )=48.6

b¿ y=45+ 1210

(16−10 )=52.2

c ¿ y=45+ 1210

(22−10 )=59.4

75

En el gráfico de un puerto de montaña, que tiene una pendiente aproximadamente constante, aparece que el kilómetro 5 la altura sobre el nivel del mar es de 1.200m, y en el kilómetro 13, de 2.100m.calcula por interpolación lineal la altura en el kilómetro 10.

y=1.200+ 2.100−1.20013−5

( x−5 )=1.200+ 9008

( x−5)

y=1.200+ 9008

(10−5)=1.7625 m

La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España en el periodo 1995-2005.

Año 1995 2000 2005turista

54.4 74.6 92.6

a) Hallar los valores para 1998,2002 y 2008.b) ¿En qué año se superan los 80 millones?

54.4=1.9952a+1.995b+c

74.6=2.0002a+2.000b+c

96.2=2.0052a+2.005b+c

54.4=3.98025a+1.998b+c

20.2=19.975a+5b

38.2=40.000a+10b

54.4=3.98025a+1.998b+c

20.2=19.975a+5b

−2.2=50 a

a=−0.0444

b=179.82

c=−183.5654

La función de interpolación cuadrática es y=-0.044x2+179.82x-183.5654

*Para 1998: y=66.784 millones

Para 2002: y=82.064 millones

76

Para 2008: y=102.344 millones

*-0.044x2+179.82x-183.5654=80

-0.044x2+179.82x-183.5654=0

X=2.001,4

X=2.085,4

Los 80 millones se superan desde el 2002 hasta el 2085

A partir de los puntos (0,0),(1,1) y (2,3):

a) Determinar la función de interpolación lineal para los puntos (0,0) y (1,1).

b) Si utilizamos los tres puntos, ¿Cuál será la función de interpolación cuadrática?

c) ¿Qué valor toma para x=15, en cada uno de los casos? ¿y para x=4?

a)

y=0+1−01−0

( x−0 )→ y=x

b)

0=+c

1=a+b+c

3=4 a+2 b+c

1=a+b

3=4 a +2 b

A=0.5

B=0.5

La función de interpolación cuadrática es: y=0.5x2+0.5x

c)

x=1.5 y=1.5 y=0.5*1.5+0.5*1.5=1.875

x=4 y=4

y=0.5*42+0.5*4=10

77

EJERCICIOS

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Una empresa presenta el balance de algunos de sus últimos ejercicios en los que se han producido las siguientes ganancias en miles de millones:

Año x 1992

1994 1996

Ganancia y 20 27 40

Obtener por interpolación cuadrática las ganancias de los años 1993 y 1995.

Se puede tomar 1992 como 0,1994 como 2 y así sucesivamente.

xi fi DD1 DD2

0 20 3.52 27 0.754 40 6.5

P2 ( x )=20+3.5 (x )+0.75 (x)(x−2)

Así para estimar el valor en 1993 hacemos x=1

P2 (1 )=20+3.5 (1 )+0.75 (1 ) (1−2 )=22.75

Para estimar el valor en 1995 hacemos x=3

P 2 (1 )=20+3.5 (1 )+0.75 (1 ) (1−2 )=32.75

Un banco ha registrado los siguientes depósitos en los años que se indican en distintos años (los depósitos están en millones de euros).

Año 1990 1992 1994Depósitos

25 32 45

78

Hallar por interpolación cuadrática los depósitos estimados en los años 1991 y 1993(se puede trabajar sustituyendo 1990 por x=0, así 1992 será x2, etc.).

Xi fi F(xo,x1)1990 0 25 32−25

2−0=3.5

1992 2 321994 4 45 45−32

4−2=6.5

Para estimar los depósitos en 1991, con x=1, interpolamos entre x0=0 y x1=2 usando el polinomio

P1(x)=25+3.5(x-0)

Luego para x=1

P1 (1)=25+3.5 (1-0)=28.5

Para estimar los depósitos de 1993, con x=3, interpolamos entre x1=2 y x2=4 usando el polinomio

P1(x)=32+6.5(x-2)

Luego para x3=

P1 (3)=25+6.5 (3-2)=38.5

El polinomio cuadrático es

En una fábrica de automóviles, un modelo de coche X da a distintas velocidades los niveles de ruido que se registran en la tabla:

Velocidad(km/h) 60 90 120 140decibelios 62.7 70.

275.5 77.5

Estimar por interpolación cuadrática los decibelios producidos cuando la velocidad es de 130 km/h.

xi fi F(x0,x1)60 62.7 70.2−62.7

30=0.25

79

90 70.2 75.5−70.230

=0.1767

120 75.5140 77.7 77.7−75.5

20=0.11

Para estimar los decibelios con x=75km/h, interpolamos entre x0=60 y x1=90 usando el polinomio

P1(x)=62.7+0.25(x-60)

Luego para x=75

P1 (75)=62.7+0.25 (75-60)=66.45 decibelios

Para estimar los decibelios con x=130km/h, interpolamos entre x2=120 y x3=140 usando el polinomio

P1(x)=75.5+0.11(x-120)

Luego para x=130

P1 (130)=75.5+0.11 (130-120)=76.6 decibelios

El número de turistas entre 1975-1990 en millones se registra en la tabla

Años 1995 1980 1985

1990

turistas

24.1 30.1 38.1 43.2

Estimar por interpolación cuadrática los millones de turistas de los años 1987 y 1993. Con x=12 y x=18, usamos el polinomio cuadrático determinado por los puntos 5,10 y 15 que a partir de la tabla corresponde a

xi fi F(x0,x1)1975

0 24.1 30.1−24.15

=1.2

1980

5 30.1 1.6−1.210−0

=0.04

1985

10 38.1 38.1−30.15

=1.6 1.02−1.615−5

=−0.058

1990

15 43.2 43.1−38.15

=1.02

P2(x)=30.1+1.6(x-5)-0.058(x-5)(x-10)

80

Sustituyendo por x=12 y x=18

P2 (12)=40.48 turistas

P2 (18)=44.87 turistas

EJERCICIOS

INTERPOLACION DE NEWTON

Calcule el polinomio de interpolación de Newton para los datos

Xi -2 -1

2 3

yi 4 1 4 9

El polinomio que se nos pide se puede escribir

f 3 ( x )=b 0+b1 (x− x0 )+b2 ( x−x 0 )+b3(x−x 0)(x−x1)(x−x 2)

Formamos la tabla de diferencias divididas para obtener los coeficientes

Xi yi F(xi,xi+1) F(xi,xi+1,xi+2) F(x0,x1,x2,x3)-2 4-1 1 f (xo , x1)= 1−4

−1−(−2 )=−3

2 4 f (x1 , x2)= 4−12−(−1 )

=1 f (xo , x1 , x 2)=1−(−3)2− (−2 )

=1

3 9 f (x2 , x3)=9−43−2

=5 f (x1 , x2 , x 3)= 5−13−(−1 )

=1 f (xo , x1 , x 2 , x 3)= 1−13−(−1 )

=0

f 3 ( x )=4+3 ( x+2 )+( x+2 )+0 ( x+2 ) ( x+1 ) ( x−2 )=x2

Calcule el polinomio de interpolación para la tabla dada usando el sistema y la formula de Newton.

Xi

0 2 4 6

yi 0.25 0.6 0.9 1

Por medio del sistema

p ( x )=a0+a1 x+a2x2+a3 x3

81

Imponemos las condiciones de interpolación

p (0 )=0.25

p (2 )=a0+2a1+4a2+8a3=0.6

p (4 )=a0+4 a1+16 a2+64 a3=0.9

p (6 )=a0+6a1+36a2+216a3=1

p ( x )=0.25+0.162 x+0.0125 x2−3.125 x10−3x3

Por el método de Newton

p ( x )=b0+b1 x+b2x ( x−2 )+b3 x (x−2)(x−4)

xi

yi F(xi,xi+1) F(xi,xi+1,xi+2) F(x0,x1,x2,x3)

0 0.252 0.6 0.6−0.25

2−0=0.175

4 0.9 0.9−0.64−2

=0.15 0.15−0.1754−0

=−0.00625

6 1 1−0.96−4

=0.05 0.05−0.156−2

=−0.025 −0.025−(−0.00625)6−0

=−3.125 x10−3

p ( x )=0.25+0.175 x−0.00625 x ( x−2 )−3.125 x10−3 ( x−2 ) ( x−4 )=¿0.1625x+0.0125

x2−3.125 x10−3 x3+0.25

Construye el polinomio de interpolación de Newton de tercer grado para la función f(x)=ln(x) en los puntos x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, y obtén una aproximación de ln 1.4.calcule el error relativo cometido.

Calculemos las diferencias divididas:

x F(x) F(x,x) F(x,x,x) F(x,x,x,x)1 0

0.892561.25

0.22314 -0.32648

0.134721.5 0.40547 -

0.22544

82

0.616601.75

0.55962

Con el polinomio de Newton será:

P(x)=0.89256(x-1)-0.32648(x-1)(x-1.25)+0.13472(x-1)(x-1.25)(x-1.5)

In 1.4=p (1.4)=0.33662

Estime ln2 con un polinomio de interpolación de Newton entreln1=0 y ln6=1.791759

Utilizando la ecuación, con n=3, el polinomio de tercer grado es:

f 3 ( x )=b 0+b1 (x− x0 )+b2 ( x−x 0 )+b3(x−x 0)(x−x1)(x−x 2)

Las primeras diferencias divididas del problema son:

F (X 1 , X 0 )=1.386294−04−0

=0.4620981

F (X 2 , X 1 )=1.791759−1.3862946−4

=0.2027326

F (X 3 , X 2 )=1.609438−1.7917595−6

=0.1823216

Las segundas diferencias divididas son

F ( x 2, x1 , x0 )=0.2027326−0.46209814−0

=−0.05187311

F ( x 3 , x 2, x1 )=0.1823216−0.20273265−4

=−0.02041100

La tercera diferencia dividida es con n=3

F ( x 3 , x 2, x1 , x0 )=−0.2027326−(−0.05187311)5−1

=0.007865529

Estimación del error para el polinomio de Newton

R2=F (x 3 , x 2 , x 1, x 0 )(x−x 0)( x−x1)(x−x2)

83

R2=0.007865529(x−1)(x−4)(x−6)

R2=0.007865529 (2−1 ) (2−4 ) (2−6 )=0.0629242

EJERCICIOS

INTERPOLACIÓN INVERSA

Supongamos que f es una función monótona en un intervalo I alrededor de dos ceros x¿.si tenemos dos aproximaciones x0 y x1 de este cero en I entonces, si x 0=f−1 ( y0 ) y x1=f −1( y 1), podemos construir la siguiente tabla de diferencias divididas.

y xY0 X0Y1 X1 f−1( y 0 , y1)Como queremos aproximar x¿=f −1(0)entonces

La aproximación x2 la podemos obtener por interpolación lineal

x2=x0+(0− y 2) f −1( y0 , y 1)

La aproximación x3 la podemos obtener por interpolación cuadrática

Si y2=f(x2) entonces (formalmente) x2=f −1( y2)

y XY0

X0

Y1

X1 f−1( y 0 , y1)

Y2

X2 f−1( y 1, y 2) f−1( y 0 , y1 , y2)

Por lo que podemos calcular x3

84

x3=x2+(0− y0)(0− y 1) f−1¿

Y entonces y3=f(x3) y formalmente x3=f−1 ( y 3 ) .

Suponiendo que yo y1 son pequeños, entonces yoy1 es todavía más pequeño, haciendo que la corrección que se le está sumando a x2 sea pequeña.

y XY0 X0Y1 X1 f−1( y 0 , y1)Y2 X2 f−1( y 1, y 2) f−1( y 0 , y1 , y2)Y3 X3 f−1( y 2, y 3) f−1( y 1, y 2 , y 3) f−1( y 0 , y1 , y2 , y3)

Y calcular

x 4=x3− y 0 y1 y2 f −1 ( y 0 , y1 , y2 , y 3 ) , y 4=f ( x4 ) , x4= f−1(x 4)

Ejercicios

INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:

Escribir el polinomio de LaGrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidad para T=251º C.

OBSERVACION I TEMPERATURA Ti ºC DENSIDAD pikg/m3

0 94 9291 205 9022 371 860

y (t )= ( t−205 ) (t−371 )( 94−205 ) ( 94−371 )

(929 )+ (t−94 ) ( t−371 )(205−94 ) (205−371 )

(902 )+ (t−94 ) ( t−205 )(371−94 ) (371−205 )

(860 )

=890.5 kg/cm3

Del siguiente conjunto ajuste un polinomio con n=3 puntos para el valor de t=251 con la interpolación de LaGrange

x Y94 929205 808

85

371 860

y ( x )= (x−250)(x−371)(94−205)(94−371)

929+(x−94 )( x−371)

(205−94 )(205−371)902+

(x−94)(x−205)(371−94)(371−205)

860=890.5

Interpole mediante el polinomio de LaGrange el conjunto de valores

y ( x )= (x−0.3)(x−0.4)(x−0.5)(0.2−0.3)(0.2−0.4)(0.2−0.5)

0.32+(x−0.2)(x−0.4)(x−0.5)

(0.3−0.2)(0.3−0.4)(0.3−0.5)0.33+

(x−0.2)(x−0.3)(x−0.5)(0.4−0.2)(0.4−0.3)(0.4−0.5)

0.34+(x−0.2)(x−0.3)(x−0.4)

(0.5−0.2)(0.5−0.3)(0.5−0.4 )0.45=0.32875

En la tabla que sigue aparecen las estadísticas de un curso con la cantidad de estudiantes en cada rango de notas

Rango de notas 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80N. de estudiantes 35 48 70 40 22

Estime la cantidad de estudiantes con nota menor o igual a 55.

Para hacer la estimación necesitamos una tabla con las frecuencias acumuladas.

F 0.2 0.3 0.4 0.5F(x) 0.3

20.33 0.34 0.45

86

x≤ 40 50

60 70 80

y 35 83

153 193 215

Ahora calculamos el polinomio interpolante

y ( x )=7 (x−80)(x−70)(x−60)(x−50)48000

+83 (80− x)(x−70)(x−60)(x−40)

60000+

153(x−80)(x−70)(x−60)(x−40)40000

+193(x−80)(x−60)(x−50)(x−40)

48000+

43(x−70)(x−60)(x−50)(x−40)48000

=120

Usando un polinomio de interpolación de LaGrange de segundo orden, evaluar x=0.2 con base en los datos:

x F(x)0.1

2.31

0.4

3.36

0.7

4.59

1 6

y ( x )= (x− x1 ) (x−x2 )(x 0− x1 ) (x 0−x2 )

f (x 0)+ (x−x0 ) ( x−x 2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f (x1)+( x−x 0 ) ( x−x1 )

( x2−x 0 ) ( x2−x 1 )f (x2)

Sustituyendo los valores de la tabla, el polinomio de segundo grado queda como:

y ( x )= (x− x1 ) (x−x2 )(x 0− x1 ) (x 0−x2 )

f (x 0)+ (x−x0 ) ( x−x 2 )( x1−x0 ) ( x1−x2 )

f (x1)+ ( x−x 0 ) ( x−x1 )( x2−x 0 ) ( x2−x 1 )

f (x2)

y ( x )= ( x−0.4 ) ( x−x 2 )(0.1−0.4 ) (0.1−0.7 )

(2.31 )+ ( x−0.1 ) ( x−0.4 )(0.4−0.1 ) (0.4−0.7 )

(3.36)+ (x−0.1 ) ( x−0.4 )(0.7−0.1 ) (0.7−0.4 )

(4.59)

y ( x )= (0.2−0.4 ) (0.2−x2 )(0.1−0.4 ) (0.1−0.7 )

(2.31 )+ (0.2−0.1 ) (0.2−0.4 )(0.4−0.1 ) (0.4−0.7 )

(3.36 )+ (0.2−0.1 ) (0.2−0.4 )(0.7−0.1 ) (0.7−0.4 )

(4.59 )=2.64

87

UNIDAD VI

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

METODOS DE UN PASOMETODOS DE PASOS MULTIPLESSISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS APLICACIONES

METODOS DE UN PASO

METODO DE EULER

CONSISTE EN APROXIMAR LA DERIVADA DE

y(y0)=y0por diferencias finitas.

sirve como modelo para investigar las dificultades que se

presentan en cualquier metodo numerico y analizar los distintos

tipos de errores

METODO DE RUNGE-KUTTA

UTILIZADOPARA RESOLVER

NUMERICAMENTE PROBLEMAS DE

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS CON CONDICIONES

INICIALES,

PROPORCIONA UN PEQUEÑO MARGEN DE ERROR CON RESPECTO

A LA SOLUCION REAL DEL PROBLEMA.

88

METODO DE EULER

Se denomina método de Euler al método numérico de expresión:

Zn+1=Zn+h∗f (Xn ,Zn)

Se pueden utilizar cuatro puntos de vista distintos para explicar el método de Euler.

Un punto de vista geométrico, utilizando al idea de recta tangente de pendiente y’(x)=f(x, y(x)).

Utilizando un desarrollo de Taylor, lo que permite además de valorar el orden del error numérico cometido:

y ( x+h )= y ( x )+h∗y ' ( x )+(h2

2 )∗ y ' ' (x )+…+( h p

p! )∗y p ( x )+¿…

Pudiendo considerar el método de Euler como el método de Taylor de orden uno.

89

Ejercicios:

Método de Euler

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial aproximar y(0.5).

Y’=2xy

Y (0)=1

Aquí aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre x0= 0 y x1=0.5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de h=0.1 y por lo tanto se obtiene la aproximación deseada en cinco pasos.

De esta forma tenemos los siguientes datos:

X0=0

Y0=1

H=0.1

F(x,y)=2xy

Sustituyendo estos datos en la fórmula de Euler, tenemos, en un primer paso:

X1=x0+h=0.1

Y1=y0+hf(x0, y0)=1+0.1[2(0.1)(1)]=1

Aplicando nuevamente la fórmula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

X2=x2+h=0.2

Y2=y1+hf(x1, y1)=1+0.1 [2(0.1) (1)=1.02

Para ello se muestra la tabla hasta que n sea igual a 5

n x y0 0 11 0.1 12 0.2 1.023 0.3 1.06084 0.4 1.124455 0.5 1.2144

90

Use el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación

dydx

=−2 x3+12 x2−20 x+8.5

Desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso 0.5 .la condición en x=0 y=1.

Recuerde que la solución exacta de la ecuación es:

y=−0.5x 4+4 x3−10 x2+8.5 x+1

y (0.5 )= y (0 )+ f (0,1 ) 0.5

Donde y (0)=1 y la pendiente estimada en x=0 es

y (0,1 )=−2 (0 )3+12 (0 )2−20 (0 )+8.5=8.5

Por lo tanto,

Y (0.5)=1.0+8.5 (0.5)=5.25

La solución real en x=0.5 es

y=−0.5 (0.5 )4+4 (0.5 )3−10 (0.5 )2+8.5 ( 0.5 )+1=3.21875

Aplicar el método de Euler para aproximar y (1.3), dada la ecuación diferencial.

y '=x2+0.5 y2

Y(1)=2

Vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así elegimos h=0.1 para obtener el resultado final en tres pasos, por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

X0=1

Y0=2

h=0.1

F(x, y)=x2+0.5 y2

91

En un primer paso, tenemos que:

X1=x0+h=1.1

Y1=y0+hf(x0, y0)=2+0.1 [12+0.5(2)2]=2.3

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n X n

Y n

0 1 21 1.1 2.32 1.2 2.68553 1.3 3.1901

Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos:

y '=x− y+5

Y(1)=2

Tenemos los siguientes datos:

X0=1

Y0=2

h=0.1

F(x, y)=x− y+5

En la primera iteración tenemos lo siguiente:

X1=x0+h=1.1

Y1=y0+h*f (xo, y0)=2.4

Y1=2+0.1 (4+(1.1−2.4+5)

2¿=2.385

n X n Y n0 1 21 1.1 2.3852 1.2 2.7429253 1.3 3.07635

92

La aproximación buscada es:

Y (1.3)=3.07635

Dado el problema de valor inicial

y '+ y−x−1=0

y (0 )=1 , x∈[0,0.5]

Aproximar la solución usando el método de Euler de 5 pasos

Calcular la solución exacta

En primer lugar, escribimos la ecuación diferencial en forma normal

y '=f (x , y )

y '=x− y+1

A partir de la forma normal identificamos f(x,y)

f ( x , y )=x− y+1

Para n=5, el tamaño de paso es

h=0.5−05 =0.1

Los nodos son

x0=0,x1=0.1,x2=0.2,x3=0.3,x4=0.5.x5=0.5

El método de Euler es

y=1

y+1= y j+0.1 ( xj− y j+1 ) , j=0.1….. ,4.

Iteraciones

Fase 0

x 0=0 , y= y ( x 0 )=1

Fase 1

x 0=0

y=1

y 1= y 0+h ( x 0− y 0+1 )=1+0.1(0−1+1)=1

93

Fase 2

x1=0.1

y 1=1

y 2= y 0+h ( x 0− y 0+1 )=1+0.1(0.1−1+1)=1.01

Fase 3

x2=0.2

y 2=1.01

y 3= y 0+h ( x 0− y0+1 )=1.01+0.1(0.2−1.01+1)=1.029

Fase 4

x3=0.3

y 3=1.029

y 4= y 0+h ( x 0− y 0+1 )=1.029+0.1(0.3−1.029+1)=1.0561

Fase 5

x 4=0.3

y 4=1.029

y 5= y 0+h ( x 0− y0+1 )=1.0561+0.1(0.4−1.0561+1)=1.09049

Resumimos los resultados en una tabla

j xj y j0 0 11 0.1 12 0.2 1.013 0.3 1.0294 0.4 1.05615 0.5 1.09049

94

METODOS DE RUNGE-KUTTA

METODOS DE RUGEN-KUTTA

METODO DE HEUN

ES UN METODO PARA MEJORAR LA ESTIMACION DE LA PENDIENTE EMPLEA LA DETERMINACION DE DOS DERIVADAS EN EL INTERVALO(UNA EN EL PUNTO INICIAL Y EL OTRO EN EL PUNTO FINAL).

METODO DEL PUNTO MEDIO

ES UNA MODIFICACION SIMPLE DEL METODO DE EULER,PREDICE UN VALOR Y EL PUNTO MEDIO DEL INTEVALO

METODO DE RUNGE-KUTTA

LOGRAN LA EXACTITUD DEL PROCEDIMIENTO DE LA SERIE DE TAYLOR SIN NECESITAR EL CALCULO DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

METODO ADAPTATIVO DE RK O DE MITAD DE PASO

CONSISTE EN REALIZAR DOS VECES CADA PASO,UNA VEZ

COMO UN SOLO PASO E , INDEPENDIENTEMENTE,COMO

DOS MEDIOS PASOS.

LA DIFERENCIA ENTRE LOS DOS RESULTADOS REPRESENTA UN

ESTIMADO DEL ERROR DEL TRUNCAMIENTO LOCAL

METODO DE RUNGE-KUTTA FEHLBERG O RK ENCAPSULADO

95

BIBLIOGRAFIA:

STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. Canale, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit.  McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987. 

NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit.  Prentice Hall, México, 1992.  PREFACIO.

ANÁLISIS NUMÉRICO Richard L. Burden / J. Douglas Faires