Antologia de Metodos Numericos

CREADOR Y ENCARGADO: EDWIN DE LA O LOBERA

CONTENIDO 1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN 1.3. CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y ERROR 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE 2.1 BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES. TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN 2.2 MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (BISECCIÓN Y REGLA

FALSA) 2.3 MÉTODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS ASÍ COMO SUS

CRITERIOS DE CONVERGENCIA (NEWTON-RAPHSON, SECANTE) 2.4 APLICACIONES DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 2.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES 3. INTERPOLACIÓN 3.1 INTERPOLACIÓN LINEAL 3.2 FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON PARA

PUNTOS EQUIDISTANTES 3.4 APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN 3.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LA INTERPOLACIÓN 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4.1 FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES 4.2 REGLA TRAPECIAL 4.3 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4.4 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1 ELIMINACIÓN GAUSSIANA 5.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN 5.3 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL 5.4 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES

LINEALES 6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 6.1 MÉTODO DE JACOBI 6.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 6.3 MÉTODOS DE NEWTON-RAPHSON 6.4 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

1. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EXPOSITOR 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE 1.3. CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y ERROR YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE EXPOSITOR 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES. TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN. SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (BISECCIÓN Y REGLA FALSA) GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO 2.3. MÉTODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS (NEWTON-RAPHSON, SECANTE) DANIEL HERNANDEZ GARCIA 2.4. APLICACIONES DE LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES BRENDA LÓPEZ AGUILAR

CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES. 3. INTERPOLACIÓN EXPOSITOR 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA 3.2. FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE JULIA IXCHEL DÍAZ ROSALES 3.3. MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON JHONATHAN MANUEL CORDOVA PEREZ 3.4. APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN. EDWIN DE LA O LOBERA 3.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES JUAN PABLO JIMÉNEZ CUPIL

FRANCISCO ALEJANDRO MADRIGAL DGUEZ. 4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA EXPOSITOR 4.1. FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES JONATHAN GÓMEZ DOMÍNGUEZ 4.2. REGLA TRAPECIAL ROBERTO DE LA O DE LA CRUZ 4.3. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN NUMÉRICA. ESDRAS GARDUZA GARCÍA. 4.4. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES LUIS ARTURO DE LA CRUZ CRUZ 5. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EXPOSITOR 5.1. ELIMINACIÓN GAUSSIANA JAVIER ANTONIO ESQUIVEL GONZALES 5.2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN ARACELI PÉREZ CRUZ 5.3. MÉTODO DE GAUSS SEIDEL ROXANA HERNÁNDEZ ORAMAS 5.4. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. EDGAR ESTEBAN GARCÍA SANTANA 5.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES JULIA IXCHEL DÍAZ ROSALES 6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EXPOSITOR 6.1. MÉTODO DE JACOBI SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ 6.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL. GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO 6.3. MÉTODOS DE NEWTON-RAPHSON. DANIEL HERNANDEZ GARCIA 6.4. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

INTRODUCCIÓN A medida que avanzamos a un nivel profesional encontramos las matemáticas más complejas desde una perspectiva real, es decir, los problemas que se plantean en la vida cotidiana, sobre todo en ingeniería, que abarcan como plano inicial el contenido matemático y aritmético para la solución de los problemas planteados. Como ingenieros no solo encontramos una solución a los problemas sino también una eficiente, aplicable teórica y prácticamente que indiscutiblemente se verá afectada por medios ajenos a la práctica, valores que tenemos en cuenta para concluir con éxito una situación, optimizándola gracias a métodos numéricos obteniendo una solución exacta y precisa del problema. En el trabajo a continuación, se plantea de manera sencilla los conceptos básicos para tener en cuenta y arrancar exitosamente el curso de métodos numéricos, avanzando a situaciones complejas para valernos por medios computacionales y desarrollando pequeños software para grandes soluciones. En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

NOMBRES: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ

LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE

ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 1: 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ

HORARIO:

LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1. HISTORIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

ALUMNO: MARBEL HERNÁNDEZ CRUZ LUIS ALBERTO ESTRADA AGUIRRE

1.2. RAZONES DE SU APLICACIÓN

“INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA”

UNIDAD 1: 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD

1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO

MATERIA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

CATEDRÁTICO: ING. JOSE ROMAN ISLAS

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA

TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

CARRERA: ING. CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.3. CONCEPTO DE ERROR Y EXACTITUD 1.4. ERRORES INHERENTES, DE REDONDEO Y POR TRUNCAMIENTO

ALUMNAS: YULIANA SOFÍA VALENCIA GARCÍA TERESA JANETH LÓPEZ PÉREZ

INTRODUCCIÓN

A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

•Cálculo de derivadas •Integrales •Ecuaciones diferenciales

•Operaciones con matrices •Interpolaciones •Ajuste de curvas •Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices Interpolaciones, Ajuste de curvas Polinomios, entre otros.



Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: EXACTITUD Y PRECISION • Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero. Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor verdadero • Precisión.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Considerando que los métodos numéricos son técnicas iterativas, expresa qué tan cercana es una aproximación o una estimación a un valor, respecto a las aproximaciones o iteraciones anteriores del mismo. Por ejemplo: si leemos la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de 5 km/h. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. La exactitud de una medición hace referencia a su cercanía al valor que pretende medir. La precisión está asociada al número de cifras decimales utilizados para expresar lo medido. Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, “desplazados”; uno impreciso, resultados “ambiguos”, “difusos”.

Por ejemplo: una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle. Asimismo, es más precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias de peso más pequeñas. La exactitud y precisión exigibles a una medición, dependerán de los objetivos del estudio que la utiliza. La precisión de un resultado estadístico debe estar de acuerdo con la precisión de los datos originales y con las exigencias propias del proyecto que los usa. Es fácil cometer el error de responder usando más decimales que los contenidos en las mediciones iníciales, aumentando artificialmente la precisión por la propia capacidad de cálculo de los computadores.



Por otra parte, es de suma importancia cuidar que, durante el proceso de cálculo intermedio, no se pierda precisión innecesariamente. Es importante mantener el máximo posible de decimales, pues esto ayuda a controlar la aparición y propagación de errores numéricos que invaliden los resultados. Estos son errores de precisión y exactitud ajenos al proceso de medición inicial y son introducidos típicamente por los métodos numéricos usados y por la aritmética del computador que tiene una precisión finita para representar interiormente a los números. TIPOS DE ERRORES En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación.

SE DEFINE COMO:

Error = Valor real -valor estimado. En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor: Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero. Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: Si remplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es= (0.5x 102–2) %=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado.



LOS ERRORES Es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud obtenida. • Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula)

existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

ERROR ABSOLUTO. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

EA = / Vv – Va ERROR RELATIVO.

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

E R = E A = / Vv – Va/ Vv Vv

ERROR RELATIVO PORCENTUAL

ERP = EA x 100 % Vv ERROR POR REDONDEO. Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decima. Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5.



Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor. ERROR POR TRUNCAMIENTO Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos. Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415.

ERROR INHERENTE. Es el que se ocasiona debido a la imperfección de los instrumentos de medición o de cálculo utilizados. Cuando se mide una longitud con una cinta métrica con divisiones hasta el centímetro, el error por la apreciación del instrumento es un centímetro o medio centímetro (5 mm). Es decir, si mide 145,01 m, en realidad, se está diciendo que el valores 145, 01 ± 0, 01 o 145, 010 ± 0, 005. ERROR NUMÉRICO TOTAL Es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas. El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.



CALCULO DE ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

EJEMPLO DE APLICACION: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9999 y 9cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10cm, calcular: a) Error Absoluto b) Error Relativo

El error en la medición del puente es e= 10000 – 9999= 1cm Y para el remache es de e= 10-9= 1cm El error relativo porcentual es de €= 1/10000 * 100% = 0.1 % Y para el remache es de €= 1/10 * 100% = 10% Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen 1 error de 1cm el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho una buena medida para el puente. Ejemplo: Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual: EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102 EA = 2 = 0.2 x 101 ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20% 0.10 x 102

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL

NOMBRE: ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO


ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 1: 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO


HORARIO: LUNES A JUEVES

15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

ALUMNO: ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO

ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. ERROR RELATIVO. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. EJEMPLOS 1. Se dice que las medidas de un block son de (10)(20)(40). Y se le da a 3 personas a medir

el block, la primera persona toma su medida y son de (11)(19)(41). La segunda persona toma sus medidas (9)(20)(39). La tercera persona toma la ultima medida (10.5)(21)(41). Calcular el valor absoluto y el valor relativo.

2. Las medidas de el muro según un arquitecto son de 30 m. se le mando a un albañil a

tomar las medidas y son de 29.65. Calcular los errores absolutos y relativos. 3. Por ejemplo, si en una cinta métrica se lee 99.9 centímetros al medir una longitud de 100

centímetros, entonces el error relativo es |99.9-100|/100 = 0.001, ó 0.1%.

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.5. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

ALUMNO: ÁNGEL ALBERTO PAYRÓ JARAMILLO

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Son todos menos los ceros a la izquierda:

• 537 (Tres cifras significativas) • 6,000 (Cuatro cifras significativas) • 00027 (Dos cifras significativas)

Cifras significativas son todas las que se conocen con seguridad más una última que ya presenta incertidumbre.

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO ¿Es importante un error de ± 1cm al medir una longitud? No es lo mismo cometer este error al medir la estatura de alguien que al medir la distancia Tierra-Luna.

Como se simplifican las unidades, se dice que es adimensional (sin unidades).

Normalmente, el error relativo se presenta como un porcentaje (%). La medida es aceptable si el error relativo es menor o igual a 5%.

Este error es el que indica la calidad de una medida.

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA

CARRETERA A FRONTERA KM. 3.5 CD. INDUSTRIAL

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1. BÚSQUEDA DE VALORES INICIALES, TABULACIÓN Y GRAFICACIÓN

ALUMNO: SAID ARMANDO ESCALANTE DE LA CRUZ


NOMBRE:

GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO


ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 2: 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS

(BISECCIÓN Y REGLA FALSA).


HORARIO:


MÉTODOS NUMÉRICOS 2.2. MÉTODOS CERRADOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS

ALUMNO: GUSTAVO ENRIQUE FERNÁNDEZ POZO

MÉTODO DE BISECCIÓN Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). ALGORITMO Para aplicar el método consideremos tres sucesiones definidas por las siguientes relaciones:

EJEMPLO NUMÉRICO



MÉTODO DE REGLA FALSA En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

EL « MÉTODO » Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de

bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz.

El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

NOMBRE: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 2:

2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES ASI COMO SUS CRITERIOS DE CONVERGENCIA (NEWTON - RAPHSON, SECANTE)

CATEDRÁTICO:

ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ


15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3. METODOS ABIERTOS Y SUS INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS

ALUMNO: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

¿QUÉ ES EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON? El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. ¿POR QUÉ SE LLAMA MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON? El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro aequationum universalis Análisis que publico en 1690 y el cual contenía este método para aproximar raíces. Mientras que Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método escrito en 1671, pero publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le reconoció posteriormente. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca. Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método FÓRMULA Debido a que el método de la secante se basa en el método de Newton-Raphson, pero evitando el usar la derivada de la función. Lo anterior lo logra haciendo uso de la siguiente aproximación:

http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphson

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada



Si se sustituye dicha aproximación en el lugar de la derivada en la formula de newton-Raphson, se obtiene lo siguiente:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA



EJEMPLO # 1 Utilice el método newton- raphson de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinomial: F(x)=x3+2x2+10x-20=0. Utilizando la ecuación:

Utilice el método de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinomial: F(x)=x3+2x2+10x-20=0. Utilizando la ecuación:

EJEMPLO # 2 Mediante 𝑥0 = 0 y 𝑥1 = 1 se calcula 𝑥2

Los valores posteriores son los siguientes:



EJEMPLO Use el método de la secante para determinar la raíz de la siguiente función:

𝑖 = 1;𝑥𝑖−1 = 0;𝑥𝑖 = 1;𝐸 = 0.001

Ea = Error Aproximado

𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 2𝑥² + 10𝑥 − 20

𝑥𝑖−1 = 𝑥𝑖 −(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑓(𝑥𝑖)𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)


NOMBRE: CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ.



UNIDAD 2: 2.4. APLICACIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4. APLICACIÓN A LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

ALUMNA: CLAUDIA OJEDA SÁNCHEZ

INTRODUCCIÓN Uno de los problemas que se presentan con frecuencia en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x)=0, donde f(x) es una función real de una variable x, con un polinomio en x.

1. f(x)= 4x ⁵ +x ³-8x+2 o una función trascendente* 2. f(x)=senx+ln3x+x³ FUNCIONES TRANSCENDENTES. Las funciones trascendentes contienen términos trigonométricos, exponenciales o logarítmicos o ambos de la variable independiente.

MÉTODO DE BISECCIÓN. Formula: XM = (XI + XD)/2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Formula: Xi+1=Xi-[f(xi)/f’(x)]=g(xi)

EJERCICIOS 1. Se desea calcular la resistencia de dos zapatas,

la primera es el cubo de la segunda, y la resistencia total de ambas debe ser de 6 toneladas. Calcular la resistencia de las dos zapatas.

2. Se nos piden calcular las fuerzas de dos

columnas, el cuadrado de la primera columna mas la segunda columna debe alcanzar una resistencia de 11 toneladas

NOMBRES: BRENDA LÓPEZ AGUILAR

CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES


ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 2: 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

PARA SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES


HORARIO:


MÉTODOS NUMÉRICOS 2.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

ALUMNO (A): BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

ECUACIÓN NO LINEAL

Una ecuación lineal es cualquier ecuación que tenga alguna variable elevada al cuadrado, cubo, etc. Al graficar estas ecuaciones, se forman figuras de tipo parábola, hipérbola, etc. pero nunca una recta. MATLAB Es uno de los programas matemáticos más populares y completos. Esta aplicación te permite realizar cálculos complejos, la implementación de algoritmos, la comunicación con programas en otros lenguajes, o la creación de interfaces de usuario. Se trata de un lenguaje de alto nivel utilizado de forma matricial, empleado en universidades, centros de investigación y desarrollo, o en los entornos de ingeniería industria, electrónica y matemáticas.

CARACTERISTICAS DEL MATLAB Entre las características que podemos encontrar en MATLAB destacan: Diversas herramientas para la exploración, diseño y resolución de problemas interactivos. Funciones matemáticas para álgebra lineal, estadística, optimización e integración

numérica. Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico. Dispone de un gran número de librerías y funciones matemáticas. Herramientas para la creación de interfaces gráficas de usuario personalizadas. Facilidad en la obtención de gráficos en 2D y 3D.


ALUMNO (A): BRENDA LÓPEZ AGUILAR CARLOS OMAR BERMÚDEZ MORALES

MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional. EXCEL Microsoft Excel es una aplicación para manejar hojas de cálculo. Este programa es desarrollado y distribuido por Microsoft, y es utilizado normalmente en tareas financieras y contables. Es un software que permite crear tablas, calcular y analizar datos. Este tipo de software se denomina software de hoja de cálculo. Excel permite crear tablas que calculan de forma automática los totales de los valores numéricos que especifica, imprimir tablas con diseños cuidados, y crear gráficos simples. Excel trabaja con hojas de cálculo que están encuadernadas en libros de trabajo. Un libro de trabajo es un conjunto de hojas de cálculo y otros elementos, el cual contiene 16 hojas de trabajo implícitamente. Esta cantidad puede ser disminuida o incrementada según sea necesario. La hoja de trabajo cuenta con un tamaño máximo de 256 columnas y 16 384 filas. Se pueden insertar y eliminar hojas de cálculo, moverlas, copiarlas y cambiarles el nombre simplemente pulsando el botón derecho del ratón cuando esté colocado encima de una etiqueta de hoja de cálculo. De esta forma, un libro de trabajo puede tener tantas hojas como queramos y podremos llamarlas con el nombre que decidamos.


NOMBRE: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA



UNIDAD 3: 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.1. INTERPOLACIÓN LINEAL

ALUMNO: LUIS DOMÍNGUEZ MENDOZA

INTERPOLACIÓN LINEAL La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1.

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla.

Tenemos dos puntos en el plano y queremos encontrar la recta que pasa por ellos dos. Eso es la interpolación lineal. Supongamos que tenemos dos puntos caracterizados por (x,y):

(x1,y1) (x2,y2)

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Interpolaci%C3%B3n_lineal.svg



Y queremos una ecuación lineal del tipo: y = a x + b Buscamos los valores de "a" y "b" para que pasen por los puntos: y1 = a x1 + b y2 = a x2 + b (Recordemos que x1, x2, y1, y2 son datos, las incógnitas ahora son "a" y "b") Restando ambas ecuaciones se llega a qué:

a = (y1 - y2) (x1 - x2)

Y remplazando esto en la primera ecuación se despeja:

b = (x1 * y2 - x2 * y1)

(x1 - x2) Es decir, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

y = [ (y1 - y2) / (x1 - x2) ] x + (x1 * y2 - x2 * y1) (x1 - x2)

Tenemos una tabla doblada recargada en la pared y deseamos saber la altura de esta es determinadas partes de la tabla. Tenemos los puntos (3,4) y (-2,9) y queremos la recta que pasa por ellos.

La formula para la pendiente es:

a = (y1 - y2) (x1 - x2)

a = (4 - 9) = - 5 / 5 = -1

(3 - (-2))



Y ahora la ordenada al origen "b":

b = (x1 * y2 - x2 * y1)

(x1 - x2)

b = (3 * 9 - (-2) * 4) = 35 / 5 = 7 (3 - (-2)

Así obtenemos que la recta es:

y = - x + 7

¿ESTARÁ ESTO CORRECTO?

Para x=3 y = - 3 + 7 = 4 Para x= -2 y = - (-2) + 7 = 9 Otros valores X= -(-1) +7 = 8

ING. CIVIL Carrera

METODOS NUMERICOS

Materia:

3.2 FORMULA DE INTERPOLACION DE LAGRANGE Temas de la unidad:

Julia Ixchel Díaz Rosales 10300438

Alumno: # control

ENERO JUNIO 2012 Periodo:

JUAN ROMAN ISLAS

Asesor:

VILLAHERMOSA TABASCO

“Fórmula de interpolación de

Lagrange”

Existen situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, predecir la existencia de otros valores con aproximación adecuada. La fórmula de interpolación permite calcular de manera aproximada los valores de la función f(x). Y consiste en sustituir la función g(x) que pudiera convenir.

𝑦 =(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛)

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4) … (𝑥1 − 𝑥𝑛) 𝑦1

+(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛)

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4) … (𝑥2 − 𝑥𝑛) 𝑦2

+(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4) … (𝑥 − 𝑥𝑛)

(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4) … (𝑥3 − 𝑥𝑛)𝑦3 + ⋯

+(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) … (𝑥 − 𝑥𝑛 − 1)

(𝑥𝑛 − 𝑥1)(𝑥𝑛 − 𝑥2)(𝑥𝑛 − 𝑥3) … (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 1)𝑦𝑛

Estas son las coordenadas de los puntos que definen la función tabular y Y es el valor de esta función para un valor dado de x. Puede demostrarse que si los valores de x están igualmente espaciados, la fórmula coincide con la de Newton.

Julia Ixchel Díaz Rosales

Ejemplo. En un levantamiento topográfico se tomaron los siguientes puntos de la poligonal de apoyo, los cuales se encuentran ubicados en la siguiente tabla, encontrar el valor de Y para x=2.

x y o 2 1 3 4 18 6 38

Teniendo 4 puntos en este ejemplo, la fórmula de interpolación de Lagrange se reduce a:

𝑦 =(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)

(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)𝑦1 +(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)

(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4)𝑦2

+(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4)

(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4)𝑦3 +(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)

(𝑥4 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥3)𝑦4

Sustituyendo los valores de la Tabla, se obtiene:

𝑦 =(2 − 1)(2 − 4)(2 − 6)(0 − 1)(0 − 4)(0 − 6) 2 +

(2 − 0)(2 − 4)(2 − 6)(1 − 0)(1 − 4)(1 − 6) 3

+(2 − 0)(2 − 1)(2 − 6)(4 − 0)(4 − 1)(4 − 6) 18 +

(2 − 0)(2 − 1)(2 − 4)(6 − 0)(6 − 1)(6 − 4) 38 = 6

Entonces, para x=2, y=6


NOMBRE: JHONATHAN MANUEL CORDOVA PEREZ

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 3:

3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS DE NEWTON PARA PUNTOS EQUIDISTANTE

CATEDRÁTICO:



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.3 MÉTODO DE INTERPOLACIÓN HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS

ALUMNO: JHONATHAN MANUEL CORDOVA PEREZ

DEFINICION La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. El problema de la interpolación consiste en encontrar el valor de la función f(x) para un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla, xk<x<xk+1. Un primer intento para resolver este problema, consiste en admitir que la función f(x) se aproxima a un polinomio Pn(x) de grado n que pasa por todos los puntos que definen a la función, como se muestra.

De acuerdo a lo anterior, en la tabla de diferencias, se tendrá que la diferencia de orden n es aproximadamente constante y por definición de diferencias hacia adelante se tendrá que:



De las expresiones puede verse que ellas aparecen las primeras de las distintas diferencias de órdenes sucesivas, a partir de y₀, afectadas de los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Suponiendo que esto es verdadero para cualquier valor de y, puede establecerse que:

Y como



Proporciona valores aproximados al valor real de la función f(x) para x=xk, y esta aproximación será mayor mientras mas se acerque el polinomio Pn(x) a la función f(x). Si la función f(x) es un polinomio proporcionara resultado exactos. La expresión recibe el nombre de formula de interpolación de Newton, y es aplicable para cualquier valor de xk correspondiente o no ala tabla.

Yk es un valor aproximado (interpolado) de la función obtenida para x=xk; y₀ es el valor inicial de y en la tabla, el cual se considera inmediato al valor que se trata de interpolar; ∆y₀, ∆²y₀, ∆³y₀,……, son las diferencias hacia delante de orden sucesivas correspondientes a y₀; k puede determinarse de la siguiente forma:



EJEMPLO: • Para la función definida en la tabla del ejemplo determinar: y=x³-x+2. • El valor de y para x=3.2 (interpolación)

Sustituyendo

Donde f(3.2)=31.568. • Este valor debe ser el exacto de la función para x= 3.2, ya que, al ser constantes las

terceras diferencias, la tabla corresponde a un polinomio.

• El valor de y para x=9 (interpolación). La interpolación no puede hacerse directamente, y a que faltarían las segundas y terceras diferencias para y₀=8. Estas pueden determinarse ya que las terceras diferencias son constantes e iguales a 48.



La interpolación si puede realizarse directamente si la tabla se invierte, que es lo que se hará para resolver el ejemplo.



Obsérvese que al intervenir la tabla de las diferencias lo único que ha cambiado es el signo de las diferencias de orden impar (primera y tercera diferencia). Teniendo en cuenta esto, la interpolación puede hacerse directamente de la tabal original, considerando que en la formula de Interpolación de Newton los signos se van alterando de mas, a menos, a mas, etc.; es decir que seria.

En donde yn seria el valor inmediatamente después de yk, y las diferencias correspondientes ∆yn, ∆²yn, ∆³yn,…..,, se localizan sobre la diagonal ascendente que parte de yn; k se determina en la forma.

De donde f(7.8)=468.752



El valor de y para x=-1 (extrapolación). En los incisos anteriores se ha calculado el valor de y para una x dada entre los valores xk de la tabla. A estos problemas se le llama de interpolación. Ahora se trata de calcular el valor y para una x fuera del rango de valores de xk en la tabla. A este se le llama un problema de extrapolación. Como para x=-2 no se tiene definida las diferencias de la función, se determina aceptando que las terceras son constantes e iguales a 48. Teniendo la tercera diferencia, se puede determinar la segunda; con esta la primera y con la primera diferencia, el valor de la función para x=-2. en la siguiente tabla se han marcado con un asterisco los valores encontrados con este procedimiento.



NOMBRE: EDWIN DE LA O LOBERA MATRICULA: 10300435 INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE ASIGNATURA: MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD 3: 3.4. APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN CATEDRÁTICO: ING. JOSÉ ROMAN ISLAS RODRÍGUEZ HORARIO: LUNES A JUEVES 15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.4. APLICACIONES DE LA INTERPOLACIÓN

ALUMNO: EDWIN DE LA O LOBERA

FORMULA DESARROLLADA DE LA INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Cuando se trata de “m” puntos el polinomio es de grado “m-1”

El polinomio anterior se puede escribir de la forma siguiente:

Para encontrar los valores de los coeficientes A1, A2, A3 hasta Am, se hace lo siguiente: Considerando que:

Tenemos:



De donde se obtiene:

Sustituyendo en A en lo Anterior:

Al final quedara la formula general:



EJEMPLO DE LA INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Determinar el valor de y para x = 2 dado el siguiente conjunto de puntos. (Determinar la expresión analítica o modelo matemático que se ajusta al siguiente conjunto de puntos).



MODELO MATEMATICO DE LA GRAFICA:



EL POLINOMIO DE LAGRANGE ¿Para que nos sirve? Para encontrar el polinomio que describe el comportamiento de una muestra. Como nos muestra la grafica es una serie de puntos, el cual no conocemos una función que nos permita unirlos. FORMULA DE LAGRANGE Una sumatoria de las interacciones que van de k hasta n, donde involucran la función en k y la línea que marca esta función con respecto a x.

Si despejamos lk que es la línea que queremos encontrar entre los puntos, nos indica que es una sumatoria desde j; donde x va hacer el factor para sustituir el valor de k.

Encontrar el polinomio de la siguiente muestra: El valor de la interacción 1 es 2/3



=

=

=

=

MODELO MATEMATICO DE LA GRAFICA:

APLICACIONES DEL METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE EN LA INGENIERÍA CIVIL

LEVANTAMIENTOS DE CONFIGURACIÓN A continuación se explica un ejemplo de cómo realizar la interpolación aritmética y gráfica, y el trazo de las curvas de nivel.

En el gráfico se indican los puntos que se van a interpolar con sus respectivas cotas, la interpolación se realiza entre los puntos que se encuentran más cerca.



INTERPOLACIÓN ARITMÉTICA: El primer paso es determinar las distancias a las que deben ir ubicadas las cotas redondas utilizando la siguiente fórmula:

En este caso las cotas redondas son 2039, 2040 y 2041, la distancia entre los puntos se puede medir con una regla y luego ubicar las distancias a las que irán las cotas redondas con la misma regla.



Nota: Las distancias entre los puntos fueron medidas en AutoCAD. Una vez calculadas las distancias se las mide en el plano y se ubica las cotas redondas:

INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA

NOMBRES: JUAN PABLO JIMÉNEZ CUPIL

FRANCISCO ALEJANDRO MADRIGAL DOMÍNGUEZ



UNIDAD 3: 3.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LA INTERPOLACIÓN

CATEDRÁTICO:



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 3.5. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LA INTERPOLACIÓN

ALUMNO: JUAN PABLO JIMÉNEZ CUPIL FRANCISCO ALEJANDRO MADRIGAL DOMÍNGUEZ



INTRODUCCIÓN MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

http://es.wikipedia.org/wiki/Entorno_de_desarrollo_integrado

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/GUI

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Hardware

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA


NOMBRE: JONATHAN GÓMEZ DOMÍNGUEZ

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 4:

4.1. FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES


HORARIO:


MÉTODOS NUMÉRICOS 4.1. FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

ALUMNO: JONATHAN GÓMEZ DOMÍNGUEZ

DIFERENCIACIÓN: DATOS CONTINUOS Un repaso de formulas q vimos anteriormente:

DIFERENCIACIÓN: PROBLEMAS • ¿Qué sucede si h no es suficientemente pequeño? • ¿Y los errores numéricos para cuando elegimos un h muy pequeño? • ¡¡¿¿Entonces??!! INTEGRACIÓN NUMÉRICA Al igual que antes... 1. Interpolamos mediante un polinomio 2. Calculamos la integral sobre el polinomio INTRODUCCIÓN Una interpretación física de la integración numérica es la determinación del área bajo la curva. Tiene muchas aplicaciones en ingeniería, tales como, determinar centroides de formas extravagantes, calcular cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas, en la solución de ecuaciones diferenciales. En la mayoría de los cálculos de Ingeniería no es necesario obtener el resultado exacto de las integrales definidas, es suficiente una buena aproximación de ellas. Esto se puede conseguir por medio de la suma de los productos de los valores que toma la función a integrar en ciertos puntos predeterminados, y de unos coeficientes. Hay dos clases de métodos que deben distinguirse: I. Los métodos de tipo interpolatorio, que nos conducirán a las Fórmulas de Newton-CotesII. Los métodos basados en la cuadratura gaussiana. La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos motivos fundamentalmente:

• La dificultad o imposibilidad en el calculo de una primitiva, • La función a integrar solo se conoce por una tabla de valores.



De acuerdo a la definición de un diccionario, integrar significa –unir todas las partes en un todo; unificar, indicar la cantidad total…- matemáticamente una integral se representa por:

𝐼 = � 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥

La cual representa la integración de f(x) con respecto ala variable x, evaluada entre los limites x=a y x=b. Esta es una representación de manifestación grafica de este concepto.

FORMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES Son los sistemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de remplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar:

∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥≃ ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑏

𝑎 𝑑𝑥 En donde fn(x) es un polígono de la forma:

fn (x) = a0+a1+……+an-1xn-1+anxn

En donde n es el orden del polinomio. La integral puede aproximarse usando una serie de polinomios aplicados por partes ala función o a los datos sobre intervalos de longitud constantes.



Se denominan fórmulas de Newton-Cotes a todas las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio construidas sobre soportes equidistantes centrados en el intervalo de integración. Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en: • Fórmulas de Newton-Cotes cerradas: El soporte incluye a los dos extremos del intervalo

de integración. • Fórmulas de Newton-Cotes abiertas: los extremos del intervalo de integración no se

incluyen entre las abscisas que forman el soporte. En este sentido, se parece ala extrapolación; y estas no se usan en la integración definida

INTEGRACIÓN: NEWTON-COTES

Con polinomios de orden 1: Método Trapezoidal Con polinomios de orden 2 y 3: Regla de Simpson

REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio o trapezoidal es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes. Correspondiente al caso en donde el polinomio sea de primer orden.

I = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥 ≃ ∫ 𝑓1(𝑥)𝑏

𝑎 𝑑𝑥 Sin olvidar que una línea recta se puede representar como

f1(x) = f(a) + 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎(x − a)

El área bajo la línea recta es un aproximación de la integral de f(x) entre los limites a y b

I ≃ � �𝑓(𝑎) +𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎)� 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

El resultado de la integración es:

I ≃ (b − a) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

2

Al que se le llama regla trapezoidal.



Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une a f(a) y f(b). Para esto hay que recordar la formula para calcular el área de un trapecio que es la altura por el promedio de las bases. En este caso seria lo mismo pero tomando en cuenta que el trapecio se encuentra sobre uno de sus lados, es decir su formula seria: I ≃ (b-a) x su altura promedio. ERROR DE LA REGLA TRAPEZOIDAL Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximarse la integral bajo una curva, obviamente q se incurre en un error q puede ser sustancial. Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es:

Donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a hasta b. Esta ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal es exacta. Para funciones con curvatura puede ocurrir un error. LA REGLA DEL TRAPECIO USANDO SEGMENTOS MÚLTIPLES Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es de dividir el intervalo de integración ay b en un conjunto de segmentos y aplicar el método de cada uno de los segmentos en seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integración sobre el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce como formula de integración de segmentos múltiples o compuestos.

ERROR PARA LA REGLA TRAPEZOIDAL El error de truncamiento como:

( )( ) ( ) ( )

n

xfxfxfabI

n

n

ii

2

21

10 ++

−=∑−

=

( )( )3''121 abfEt −−= ξ

( ) ''12 2

3

fnabEa

−−=



Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto de su valor.

REGLA DE SIMPSON Otra manera de obtener una estimación mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio entre f(a) y f(b), entonces se pueden conectar los tres puntos con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces los cuatro puntos se puede conectar con un polígono de tercer orden. Alas resultantes de calcular la integración bajo estos polígonos se les llama regla de Simpson. REGLA DE SIMPSON 1/3 La regla de Simpson 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en nuestra primera ecuación: Después de integrar un polinomio de Lagrange de segundo orden queda donde, en este caso, h = (b-a)/2. Esta es la segunda formula de integración de newton-cotes.

( ) ( )∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI 2

( ) ( ) ( )[ ]210 43

xfxfxfhI ++≅



La etiqueta 1/3 viene de que h se divide en 3 la ecuación. La regla de Simpson se puede expresar: En donde es el punto medio entre a y b dado por (b + a)/2. Nótese que la ecuación anterior el punto medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto. ERROR DE LA REGLA SIMPSON La regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de y a que h= (b-a)/2

• En donde ξ cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. • La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. • El error es proporcional a la cuarta derivada. • El término del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la integración de la

interpolación polinomial. • En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una precisión de tercer orden aun cuando

se basa en sólo tres puntos. • Da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se deriva de una parábola. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 DE SEGMENTOS MÚLTIPLES

Al igual que la regla trapezoidal, la regla Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura: h = (b-a)/n Es decir la formula es: Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar en este método.

( ) ( ) ( ) ( )6

4 210 xfxfxfabI ++−≅

( )( ) ( ) ( ) ( )

n

xfxfxfxfabI

n

n

jj

n

ii

3

242

6,4,2

1

5,3,10 +++

−≅∑∑−

=

−

=



ERROR DE SIMPSON DE SEGMENTOS MÚLTIPLES La regla de Simpson 1/3 está limitada a casos en donde hay un número par de segmentos y un número impar de puntos. Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson 1/3 se obtiene sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada:

En donde es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo. Muestra que la regla de segmentos múltiples proporciona resultados más exactos. REGLA SIMPSON DE 3/8 Se ajusta un polinomio de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos y se integra: Para obtener: Y como h = (b-a)/3 a esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3 (porque h es el múltiplo de 3/8 esta es la tercera regla cerrada de newton-cotes y se expresa: A lo tanto a los dos puntos interiores se les da un peso de tres octavos, mientras que a los puntos extremos se les da un peso de un octavo. EL ERROR DE LA REGLA DE SIMPSON DE 3/8 La regla de Simpson tiene un error de: O ya que h = (b-a)/3: Esta regla es más exacta que la de 1/3.

( ) ( )44

5

180f

nabEa

−−=

( ) ( )∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI 3

( ) ( ) ( ) ( )[ ]3210 338

3 xfxfxfxfhI +++≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]8

33 3210 xfxfxfxfabI +++−≅

( )( )ξ45

803 fhEt −=

( ) ( )( )ξ45

6480fabEt

−−=



• La regla de Simpson 1/3 es a menudo el método de preferencia, ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos más que los cuatro puntos requeridos para la versión 3/8.

• Sin embargo, la regla 3/8 tiene la utilidad cuando el número de segmentos es impar.

• Una estrategia para mantener precisión de 3er orden a través de todo el intervalo de

integración es usar la regla de Simpson 1/3 en los primeros segmentos y la regla de Simpson 3/8 en los últimos tres

FORMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES Las reglas de Simpson y la trapezoidal son conocidas como formulas cerradas de integración de newton-cotes: Aquí nos muestra como las formulas de 5 y 6 tienen el mismo orden de error. Esta característica se cumple para las formulas con mas puntos y trae como consecuencia q las formulas de segmentos pares puntos impares sean los métodos de preferencia.

INTEGRACIÓN USANDO INTERVALOS DESIGUALES Para los casos donde los datos están separados por segmentos desiguales un método para la integración es aplicar la regla trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

1212

101

nnn

xfxfhxfxfhxfxfhI +++

++

+= −



hi = ancho del segmento i

Si alguno de los segmentos adyacentes son de igual anchura, se puede evaluar la integral aplicando las reglas de Simpson a estos segmentos. FORMULAS DE INTEGRACIONES ABIERTAS Las formulas de integración abiertas tienen limites q se extienden mas allá del rango de los datos. Las formulas se expresan en la forma de I ≃ (b-a) x su altura promedio. De tal manera q resultan evidentes los factores de peso. Como con las versiones cerradas, los pares sucesivos de las formulas tienen el mismo orden de error. Las formulas de segmentos pares-puntos impares-puntos pares. Las formulas de integración abiertas rara ves se utilizan. Sin embargo tiene aplicación directa con los métodos de paso múltiple en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

ROBERTO DE LA O DE LA CRUZ 10300434 METODOS NUMERICOS


NOMBRE: ROBERTO DE LA O DE LA CRUZ

NUMERO DE CONTROL: 10300434



UNIDAD 4: 4.2 REGLA DEL TRAPECIO




La regla del trapecio es la primera formula cerradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado.

O bien es una forma de aproximar una integral definida utilizando “n” trapecios.

I=∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎 𝑑𝑥≃ ∫ 𝑓1(𝑥)𝑏

𝑎 𝑑𝑥

Sin olvidar que una línea recta se puede representar como

f1(x) = f(a) + 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

(𝑥 − 𝑎)

El área bajo la línea recta es un aproximación de la integral de 𝑓(𝑥)entre los limites a y b

I ≃ ∫ �𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎

(𝑥 − 𝑎)� 𝑑𝑥𝑏𝑎

El resultado de la integración es:

I ≃ (b-a) 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)2

Al que se le llama regla trapezoidal.

• Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une a f(a) y f (b). Para esto hay que recordar la formula para calcular el área de un trapecio que es la altura por el promedio de las bases.

• En este caso seria lo mismo pero

• tomando en cuenta que el trapecio

Se encuentra sobre uno de sus lados

Es decir su formula seria:

I ≃ (b-a) x su altura promedio.

f f


Error dE la rEgla trapEzoidal

Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para aproximarse la integral bajo una curva, obviamente que se incurre en un error que puede ser sustancial. Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a hasta b.

Esta ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla trapezoidal es exacta

Para funciones con curvatura puede ocurrir un error.

rEgla dEl trapEcio dE aplicación múltiplE

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de integración de 𝑎 a 𝑏 en varios segmentos, y aplicar el método a cada unos de ellos. Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman formulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas.

ℎ =𝑏 − 𝑎𝑛

Si a y b se designan como 𝑥0 y 𝑥𝑛 respectivamente, la integral completa se representara como:

𝐼 = � 𝑓(𝑥)𝑥1

𝑥0𝑑𝑥 + � 𝑓(𝑥)

𝑥2

𝑥1𝑑𝑥 + ⋯+ � 𝑓(𝑥)

𝑥𝑛

𝑥𝑛−1𝑑𝑥

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene.

Hay n + 1 puntos iguales espaciados (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). En consecuencia, existe n segmentos del mismo ancho:


� 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =ℎ2

[𝑓(𝑎) + 2𝑓(𝑎 + ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 3ℎ) … , +𝑓(𝑏)] 𝑏

𝑎

O agrupando términos,

𝐼 = ℎ2�𝑓(𝑥0) + 2∑ 𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥𝑛)𝑛−1

𝑖=1 �

EJEmplo

Encontrar el área de una excavación donde se piensa construir un cimiento para

una bodega, con la siguiente ecuación ∫ 𝑑𝑥1+𝑥2

12�

0 , dada con un numero de trapecios donde “n=4”.

� 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =ℎ2

[𝑓(𝑎) + 2𝑓(𝑎 + ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 3ℎ) … , +𝑓(𝑏)] 𝑏

𝑎

∫ 𝑑𝑥1+𝑥2

12�

0

𝑛 = 4

ℎ =12� −04

= 18

𝑎 = 0

𝑎 + ℎ = 18

𝑎 + 2ℎ = 28

= 14

𝑎 + 3ℎ = 38

𝑎 + 4ℎ = 𝑏 = 48

= 12

n 𝐟(𝒙𝒏)

0 0 1 1

8

2 14

3 38

4 12


• ∫ 𝑑𝑥

1+𝑥212�

0

• 𝑓(𝑥𝑛) = 1(1 + 𝑥2)

• 𝑓(0) = 11� = 1

• 𝑓�1

8� � = 1�1 + 1

64� �� = 1�65

64� �� = 6465

• 𝑓�14� � = 1

�1 + 116� �� = 16

17

• 𝑓�38� � = 64

73

• 𝑓�1

2� � = 45

• Ya sustituyendo en la formula los valores: • ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ

2 [𝑓(𝑎) + 2𝑓(𝑎 + ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 2𝑓(𝑎 + 3ℎ) + 𝑓(𝑏)] 𝑏

𝑎

• ∫ 𝑑𝑥1+𝑥2

12�

0 =18�2�1 + 2 64

65+ 2 16

17+ 2 64

73+ 4

5� =

• ∫ 𝑑𝑥1+𝑥2

12�

0 =18�2�1 + 128

65+ 32

17+ 128

73+ 4

5� =

• 1

16[1 + 1.9692 + 1.8823 + 1.7534 + 0.8] = 1

16[7.4049] = 0.4628𝑢2

graFica


NOMBRE: ESDRAS GARDUZA GARCÍA.

NUMERO DE CONTROL:

10300459


ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD 4: 4.3 APLICACIONES DE LA INTEGRACION NUMERICA

METODO DE SIMPSON 1/3


HORARIO:


MÉTODOS NUMÉRICOS 4.3 APLICACIONES DE LA INTEGRACION NUMERICA

ALUMNO: ESDRAS GARDUZA GARCÍA.

Una manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio entre f(a) y f(b), entonces se pueden conectar los tres puntos con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces los cuatro puntos se puede conectar con un polígono de tercer orden. A las resultantes de calcular la integración bajo estos polígonos se les llama regla de Simpson. REGLA DE SIMPSON 1/3 La regla de Simpson 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en nuestra primera ecuación:

Después de integrar un polinomio de LaGrange de segundo orden queda donde, en este caso, h = (b-a)/2

. Esta es la segunda fórmula de integración de newton-cotes. La etiqueta 1/3 viene de q h se divide en 3 la ecuación.

La regla de Simpson se puede expresar: En donde a= y b= y es el

Punto medio entre a y b dado por (b + a)/2. Nótese q la ecuación anterior el punto medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto.

SIMPSON 1/3



ERROR DE LA REGLA SIMPSON La regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de O ya q h= (b-a)/2

• En donde ξ cae en algún lugar dentro del intervalo de “a” a “b”. • La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. • El error es proporcional a la cuarta derivada. • El término del coeficiente de tercer orden se hace cero durante la integración de

la interpolación polinomial. En consecuencia la regla de Simpson 1/3 tiene una precisión de tercer orden aun cuando se basa en sólo tres puntos, da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se deriva de una parábola. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 DE SEGMENTOS MÚLTIPLES Al igual que la regla trapezoidal, la regla Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura. h = (b-a)/n



FORMULA DE SIMPSON 1/3

Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar en este método.

ERROR DE SIMPSON DE SEGMENTOS MÚLTIPLES La regla de Simpson 1/3 está limitada a casos en donde hay un número par de segmentos y un número impar de puntos. Un error estimado para la aplicación de la regla de Simpson 1/3 se obtiene sumando los errores individuales de los segmentos y sacando el promedio de la derivada,

En donde es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo Muestra que la regla de segmentos múltiples proporciona resultados más exactos.



NOMBRE: LUIS ARTURO DE LA CRUZ CRUZ

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 4:

4.4. USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA INTEGRACIÓN NUMÉRICA

CATEDRÁTICO:



15:00 A 16:00 HRS


ALUMNO: LUIS ARTURO DE LA CRUZ CRUZ

USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA INTEGRACIÓN NUMÉRICA

En la actualidad las Matemáticas están presentes en casi todas nuestras actividades ya sea de forma explícita o encubierta en alguna medida. Conforme pasa el tiempo la tecnología avanza cada día más y hay una gama más amplia de aplicaciones de estas tecnologías. Me enfocare a aplicarla en la resolución de integraciones numéricas y para esto nos podemos apoyar de distintos tipos de software (programas), los cuales han sido creados o diseñados para la resolución de problemas matemáticos.

Algunos ejemplos de estos programas son: Hoja de Calculo (Excel) Maple Matlab

En este caso trabajaremos con el programa maple. INSTRUCCIONES PARA HACER USO DEL PROGRAMA MAPLE En el paquete Student[Calculus1] de Maple está el comando ApproximateInt que permite obtener las fórmulas de cuadratura compuestas que acabamos de estudiar. La sintaxis de este comando es muy parecido al de RiemannSum que vimos en la primera sección. En la hoja de trabajo siguiente aparece la instrucción ApproximateInt ( ln(x), x = 1..3, method = trapezoid);cuya salida es la fórmula compuesta del trapecio (desarrollada) en la que se han utilizado 10 subintervalos. Para obtener una expresión más compacta de esta fórmula utilizamos la opción output con valor sum. Si se quiere el valor numérico de la fórmula basta dar los extremos de integración en coma flotante y finalmente con la opción partition se puede cambiar el número de subintervalos utilizados.



La opción method admite otros valores: midpoint y simpson generan las fórmulas de cuadratura compuesta del punto medio y de Simpson, respectivamente. De forma más genérica se puede utilizar el valor newtoncotes[n] donde n+1 es el número de nodos de la fórmula base de Newton-Cotes (que tiene entre sus nodos a los extremos del subintervalo) que se utiliza para generar la fórmula compuesta que usa el comando. En la imagen vemos como la fórmula de Simpson se puede generar indistintamente con los valores simpson o newtoncotes[2] para la opción method.

En la figura siguiente aparece el comando ApproximateInt en el que hemos dado el valor plot a la opción output. Esto nos permite ver gráficamente como se aproxima la función integrando, en este caso tg(x)-2x, en la regla de Simpson compuesta. La función aproximante, que en el dibujo aparece en rojo, es en cada subintervalo de integración un polinomio de grado dos que coincide con tg(x)-2x en tres puntos: los extremos y el punto medio del subintervalo correspondiente.



Investigamos a continuación el efecto que tiene, en la fórmula de Simpson compuesta, el aumento del número de subintervalos. Como se puede observar en la salida se produce una mejora en la aproximación. Así, el último valor obtenido (con 10 subintervalos) consigue las cuatro primeras cifras decimales significativas exactas.

Comparamos ahora distintos métodos con el mismo número de subintervalos: 10. Como vemos la regla de Simpson es superior a las del punto medio y el trapecio, consiguiendo seis cifras decimales exactas.


NOMBRE: JAVIER ANTONIO ESQUIVEL GONZALES

NUMERO DE CONTROL: 10300442



UNIDAD 5: 5.1. ELIMINACIÓN GAUSSIANA



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 5.1. ELIMINACIÓN GAUSSIANA

ALUMNO: JAVIER ANTONIO ESQUIVEL GONZALES

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

POR EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA Las ecuaciones algebraicas lineales son de la forma general:

• Donde las a son coeficientes constantes, las b son constantes y n es el número de ecuaciones. Todas las otras ecuaciones son no lineales.

• Para pocas ecuaciones (n≤3), las ecuaciones lineales (y algunas veces no lineales) pueden resolverse con rapidez mediante técnicas simples. Sin embargo, para 4 o mas ecuaciones, las soluciones se vuelven laboriosas y se debe usar computadora.

• El surgimiento de las computadoras hizo posible resolver grandes conjuntos de ecuaciones algebraicas lineales. Así, se puede enfrentar ejemplos y problemas más reales y complejos. Además se cuenta con más tiempo para probar las propias habilidades creativas, ya que se puede poner más énfasis en la formulación del problema y en su interpretación de la solución.



ELIMINACIÓN GAUSSIANA



EJEMPLO. Se quiere determinar que cantidad de material acarrean 3 diferentes tipos de maquinaria pesada en una obra civil que se esta realizando. Se registraron los volúmenes totales de material durante 3 días: 1. 7770 m3s 2. 6325 m3s 3. 9075 m3s La 1er. máquina acarrea el doble de la 2da. y la 3ra. acarrea la suma de la 1ra Y la 2da el primer día, el segundo día la 3er. máquina acarreo el doble de la segunda y la 1ra. la suma de la 2da y la 3ra. y el tercer día la segunda acarreo el triple de la primera y la tercera la diferencia de la 2da. Y la 3ra. Nota: Los datos no son reales el problema esta idealizado.

a) No hay solución. b) Hay una infinidad de soluciones. c) El sistema esta mal condicionado, las pendientes son tan cercanas que el punto de

intersección es difícil de detectar visualmente.



NOMBRE: ARACELI PÉREZ CRUZ

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 5:

5.2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN


HORARIO:


MÉTODOS NUMÉRICOS 5.2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

ALUMNA: ARACELI PÉREZ CRUZ

JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855)

¿PARA QUE SIRVE EL MÉTODO DE GAUUS-JORDAN?



SOLUCIÓN

MÉTODOS NUMÉRICOS 5.3. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

ALUMNA: ROXANA HERNÁNDEZ ORAMAS


NOMBRE: EDGAR ESTEBAN GARCÍA SANTANA



UNIDAD 5: 5.4. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 5.4. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

ALUMNO: EDGAR ESTEBAN GARCÍA SANTANA

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

TIPOS DE SISTEMAS Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse

entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

METODO DE SUSTITUCIÓN: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

. Ejemplo: Despejando y



Sustituir y, encontrar el valor de x

Sustituir x en la ecuación para encontrar su valor

METODO DE IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

OTROS MÉTODOS

1. Método reducción. 2. Método grafico 3. Método de gauss 4. Algoritmos numéricos.

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Se vera algunas de aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de las resoluciones de sistemas lineales son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir todas las aplicaciones, van desde problemas matemáticos como Determinación de curvas, balanceo de reacciones químicas, así como cuestiones de la vida diaria y profesional.



EJEMPLO: Una constructora fabrica tres modelos de casa habitación: de lujo, media, y económica. Para construir una casa modelo de lujo necesita 12 días para construir. 2.5 para instalaciones, y 2 más para pintarla. Para una mediana requiere 10 días para construir, 2 para instalaciones, y 2 para instalar pintarla. Y por último, para una económica requiere 6 para construir, 1.5 para instalaciones, y 1.5 para pintarla. Si la constructora dispone en de 556 días para construcción, 120 para instalaciones, y 103 horas para pintura. ¿Cuántas casas habitación se pueden construir? En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de casas a construir: x = numero de casa habitación de lujo. y = numero de casa habitación media. z = numero de casa habitación económica Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos antes vistos: Construcción 556(total) = 12 x + 10 y+ 6 z Instalaciones 120(total) = 2.5 x+ 2 y+ 1.5 z Pintura 103(total) = 2 x+ 2 y+ 1.5 z

�12 𝑥 + 10 𝑦 + 6 𝑧 = 556

2.5 𝑥 + 2 𝑦 + 1.5 𝑧 = 120 2 𝑥 + 2 𝑦 + 1.5 𝑧 = 103

𝐴 = �12 10 62.5 2 1.52 2 1.5

�

|∆| = �12 10 62.5 2 1.52 2 1.5

� = �𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

�

|∆| = (𝟏𝟐)(𝒂𝟏𝟏) + (𝟏𝟎)(𝒂𝟏𝟐) + (𝟔)(𝒂𝟏𝟑)

𝒂𝟏𝟏 = (−𝟏)𝟐 �𝟐 𝟏.𝟓𝟐 𝟏.𝟓� = 𝟎



𝒂𝟏𝟐 = (−𝟏)𝟑 �𝟐.𝟓 𝟏.𝟓

𝟐 𝟏.𝟓� = −𝟕.𝟓

𝒂𝟏𝟑 = (−𝟏)𝟒 �𝟐.𝟓 𝟐

𝟐 𝟐� = 𝟏

|∆| = (𝟏𝟐)(𝟎) + (𝟏𝟎)(−.𝟕𝟓) + (𝟔)(𝟏) = −1.5

𝒂𝟐𝟏 = (−𝟏)𝟑 �𝟏𝟎 𝟔

𝟐 𝟏.𝟓� = −𝟑

𝒂𝟐𝟐 = (−𝟏)𝟒 �𝟏𝟐 𝟔𝟐 𝟏.𝟓� = 𝟔

𝒂𝟐𝟑 = (−𝟏)𝟓 �𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟐 � = −𝟒

𝒂𝟑𝟏 = (−𝟏)𝟒 �𝟏𝟎 𝟔𝟐 𝟏.𝟓� = 𝟑

𝒂𝟑𝟐 = (−𝟏)𝟓 � 𝟏𝟐 𝟔𝟐.𝟓 𝟏.𝟓� = −𝟑

𝒂𝟑𝟑 = (−𝟏)𝟔 � 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟐.𝟓 𝟐 � = −𝟏

|∆𝟏| = �556 10 6120 2 1.5103 2 1.5

� = −51 |∆𝟐| = �12 556 62.5 120 1.52 103 1.5

� = −6

|∆𝟑| = �12 10 5562.5 2 1202 2 103

� = −27

𝒙 = ∆𝟏|∆| = −𝟓𝟏−𝟏.𝟓

= 𝟑𝟒

𝒚 = ∆𝟐|∆| =

−𝟔−𝟏.𝟓

= 𝟒

𝒛 = ∆𝟑|∆| =

−𝟐𝟕−𝟏.𝟓

= 𝟏𝟖

ING. CIVIL

Carrera

METODOS NUMERICOS Materia:

5.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

PARA SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Temas de la unidad:

Julia Ixchel Díaz Rosales 10300438

Alumno: # control

ENERO JUNIO 2012 Periodo:

JUAN RAMON ISLAS

Asesor:

VILLAHERMOSA TABASCO

“Uso de herramientas computacionales para ecuaciones Lineales”

¿Qué es una ecuación lineal? Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Existe un programa computacional,

el cual nos ayuda a desarrollar fácilmente ecuaciones lineales y se conoce por MAPLE.

¿Qué es Maple?

Es un programa matemático de propósito general capaz de realizar cálculos simbólicos, algebraicos y de álgebra computacional, Maple es un lenguaje de programación interpretado. Las expresiones simbólicas son almacenadas en memoria como grafos dirigidos sin ciclos

¿Cómo usar MAPLE para realizar eliminación Gaussiana? 1. Abrir en el programa la barra de herramientas. 2. Entrar a la función de tutoriales 3. Dar click en algebra Lineal 4. Click en eliminación de Gauss 5. El programa nos da una matriz, la cual nosotros debemos editar para proponer los

datos que usted requiera. 6. Editamos nuestra matriz dependiendo el número de filas y columnas que se deseé. 7. Damos cerrar. 8. El programa nos da la matriz con los valores que metimos y es cuando nosotros

empezamos a jugar con los números para hacer que la línea principal quede en unos y todos los símbolos que estén por debajo.

9. Existen dos modos, multiplicando por algún valor o agregando una fila a otra es decir sumar o restar.

10. Cuando nos quede la línea principal en 1, podemos hacer la solución de ecuaciones 11. Oprimimos el botón de resolver el sistema. 12. y allí damos click a la ecuación que se requiera saber. 13. Damos click a la ventana de solución, para dar por finalizada la acción.


http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_computacional

MÉTODOS NUMÉRICOS 6.1. MÉTODO DE ITERACIÓN DE JACOBI PARA ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES




1RA ITERACIÓN X1=.50 X2=1.50, X3=.50



PROBLEMA PRÁCTICO ENUNCIADO DEL PROBLEMA

NOMBRE: DANIEL HERNANDEZ GARCIA

INGENIERÍA CIVIL

CUARTO SEMESTRE


UNIDAD 6:

6.3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SOLUCIONES DE ECUACIONES DE SISTEMAS NO LINEALES

CATEDRÁTICO:



15:00 A 16:00 HRS

MÉTODOS NUMÉRICOS 6.3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON


CONSIDERACIONES ESPECIALES DEL MÉTODO DE NEWTON El método de Newton-Raphson no siempre trabaja. Se encuentra con problemas en varias partes. Cuando se escoge un valor x inicial donde se tendría una "división por cero" lo cual es un

error, y no podría proceder. Cuando usando un valor X inicial de los valores X convergen y Hace el delta-x la

disminución hacia el cero (0). Dependiendo de las condiciones bajo las que esté intentando resolver la ecuación,

algunas de las variables pueden estar cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales. DESVENTAJAS Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades: 1. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. 2. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta

convergencia. Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f `(x). Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ó sea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x).



MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON



EJEMPLO

CONCLUSIONES El estudio de los métodos numéricos, de la manera se ve, es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo no esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. El hecho de que se tomen tan en cuenta los errores, no nos deja cerca de la perfección pero al considerarlos, al menos nos da una idea de con que contamos y con que no, así podemos tomar decisiones informadas y por lo tanto mejores. Además pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algún tipo de software que los maneje, esto resulta de mucha ventaja para el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con más provecho y optimización. En pocas palabras las aplicaciones de los métodos numéricos son muy variadas y necesarias, especialmente parta las ingenierías como se expreso anteriormente, con esto, puedo concluir que nos interesa su estudio, y sobre todo aprenderos y manejarlos bien, porque en un futuro no muy lejano es muy probable que los necesitemos aplicar en nuestra carrera.

Antologia de Metodos Numericos

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