Análisis tridimensional por elementos finitos de la ...

Revista Madeira Arquitetura & Engenharia, n.20, ano 8, Janeiro-Junho, 2007 – ISSN 1806-6097

Análisis tridimensional por elementos finitos de la distribución de desplazamientos y tensiones en un tablero

tensado de madera Patricio Cendoya, Peter Dechent y Fernando Cerda, Universidad de Concepción, Departamento de Ingeniería Civil, Concepción, Chile. e-mail: [email protected], [email protected] y [email protected] Resumen: El presente trabajo tiene como objetivos; analizar la distribución de los campos de desplazamientos y tensiones en un tablero tensado de madera y estudiar el efecto local de la fuerza de pretensado en la distribución de tensiones transversales. Para ello se construye un código computacional que utiliza elementos hexaédricos de ocho nodos y considera un modelo constitutivo elástico ortótropo. Un tablero tensado de 4.5 m x 5.0 m construido con piezas de madera de Lenga de sección transversal de 2'' x 10'' se simula numéricamente con un modelo de 9000 elementos finitos. Los resultados del análisis se comparan con los obtenidos al utilizar las ecuaciones simplificadas de la guía de especificaciones AASHTO SLWD-1 )1( y se analiza la distribución de la tensión transversal en el borde libre. Finalmente se concluye acerca de ambas aproximaciones (numérica vs. simplificada) y se destaca el hecho que ambos procedimientos entregan valores similares. Palabras clave: tablero tensado de madera, ortotropía, elementos finitos. Abstract: Displacements and stresses distribution pattern are analyzed numerical model of a stress-laminated bridge in order to study the local effect of the prestress force on the transverse stress distribution. A finite element computational code is developed and presented for solution of governing equations representing an elastic orthotropic constitutive model. Therefor hexahedrical finite elements with eight nodes are considered. Utilizing 9000 finite elements numerical simulation of a stressed laminated timber deck with a surface of 4.5 m x 5.0 m, which is made by Lenga wood pieces having a section of 2” x 10” is presented. Numerical results are compared with the results obtained using empirical equations of the AASHTO SLWD-1 )1( specifications and an analysis of the stresses distribution on the free border of the deck is performed. Finally, it is concluded that both approximations (numerical v/s empirical) provide similar values. Keywords: post-tensioned wood deck, orthotropic, finite elements.


1. Introducción Los tableros tensados de madera son estructuras formadas en base a piezas de madera aserrada colocadas de canto en la dirección longitudinal y postensadas transversalmente por medio de barras de acero de alta resistencia. El postensado transversal sobre los cables de acero genera que el sistema estructural se comporte como una placa ortótropa con capacidad para resistir los esfuerzos de flexión y corte producidos por las cargas aplicadas, ver fig. 1.

Figura 1 – Descripción de las partes de un tablero tensado de madera. Fuente: Zamorano (2006). Para la estimación de las tensiones y deformaciones de diseño sobre un tablero tensado de madera se utiliza la guía de especificaciones AASHTO SLWD-1 )1( adaptada al caso de maderas Chilenas por MUÑOZ (2002) )4( . AASHTO SLWD-1 )1( propone que el tablero puede ser representado como una viga de un ancho equivalente función del espesor del tablero, del ancho de las ruedas del camión HS20-44 y del factor de modificación por uniones de tope. Sobre dicha viga considerando las cargas de diseño se estima el momento flector longitudinal máximo y la deflexión vertical utilizando las ecuaciones de la elasticidad lineal como si se tratase de una viga con las respectivas condiciones de apoyo asociadas al tablero real. Conocido el momento flector longitudinal máximo, mediante ecuaciones empíricas se evalúa el momento flector transversal y el esfuerzo de corte. Se verifica que los esfuerzos de flexión, deflexiones y esfuerzos de compresión en los apoyos sean menores a sus valores límites y se procede a evaluar el nivel de tensado en las barras de acero. RITTER (1992) )9( demuestra que la fuerza de compresión transversal sobre las laminaciones debe ser la necesaria para evitar tanto la tendencia a separación de las láminas por el efecto del momento flector transversal, como el deslizamiento provocado por los esfuerzos cortantes. El presente trabajo busca comparar la magnitud de los esfuerzos de diseño y desplazamientos obtenidos con la metodología AASHTO SLWD-1 )1( , con los resultados obtenidos de un modelo de elementos finitos de sólido tridimensional. Esto permitirá cuantificar si existen diferencias entre la simulación numérica con elementos finitos y procedimiento de calculo propuesto por las ecuaciones simplificadas de la guía de especificaciones AASHTO SLWD-1 )1( .


2. Material y métodos 2.1. Modelo constitutivo del tablero Dadas las características de ortotropía que presentan las piezas de madera, en donde es posible definir en la dirección longitudinal ( L ), radial ( R ) y transversal (T ) propiedades mecánicas diferentes puesto que tanto piezas de madera floreada como cuarteada pueden ir dispuestas dentro del tablero se hace necesario definir a efectos de evaluación de la matriz constitutiva que los ejes de ortotropía L , R ,T coincidan con los ejes coordenados globales X ,Y , Z de fig. 1 cuando se trata de piezas de madera floreada y con los ejes L ,T , R cuando se trata de piezas de madera cuarteada, ver fig. 2:

Figura 2 – Piezas de madera (a) floreada, (b) cuarteada. Fuente: Suárez (2002). La especificación de la matriz constitutiva en un material ortotropo, necesita de la definición de 12 constantes elásticas: tres módulos de elasticidad, tres módulos de corte y seis coeficientes de Poisson. Sin embargo, dada la simetría de la matriz constitutiva basta con conocer solamente 9 de las 12 constantes elásticas para poder caracterizar numéricamente la relación entre las deformaciones y tensiones que se desarrollan en el tablero. 2.2 Formulación de elementos finitos El elemento finito de sólido tridimensional hexaédrico de ocho nodos tiene asociado tres grados de libertad del tipo traslacional en cada nodo, uno por cada dirección del sistema de referencia adoptado. OÑATE (1992) )8( demostró que este elemento requiere de una cuadratura de Gauss Legendre de 222 ×× para su integración exacta y que sus funciones de forma permiten una aproximación completa de primer grado con 4 términos parásitos. En su implementación computacional ZAMORANO (2006) )11( adopto una formulación isoparamétrica de forma de poder utilizar las mismas funciones de forma en la interpolación de la geometría del elemento. El orden de la matriz de rigidez elemental resultante es de

2424× y el vector de fuerzas elementales de 124× .

2.3 Descripción del tablero estudiado El tablero tensado de madera a estudiar corresponde al analizado por SUAREZ (2002) )10( el cual se caracteriza por tener una luz de 5 m, un de ancho 4.5 m y un de espesor de 0.25 m (10”) con un patrón de uniones de tope de 1 en 4 (fig. 3). Transversalmente se disponen cables de acero 5/8'' de acuerdo a ASTM A 722 separados a 0.50 m (fig. 4). Las piezas de madera que constituyen el tablero corresponden a la especie forestal Lenga (Nothafagus pumilio) aserrada grado estructural Nº 1 de acuerdo a clasificación NCH1989.OF1986 )5( de 2'' x 10'' con un tratamiento químico de impregnación con creosota. El lugar de construcción corresponde a la ciudad de Coyhaique ubicada al sur de Chile


( 045 ´32 latitud sur), en donde de acuerdo con NCH1198.OF2006 )6( se considera una humedad del equilibrio del 14%, una humedad de construcción y servicio del 14% y una temperatura media de servicio de 9 0 C.

Figura 3 – Vista en planta del tablero de 4.5 m x 5.0 m. Fuente: Suárez (2002).

Figura 4 – Vista en elevación del tablero, disposición de placas de apoyo. Fuente: Suárez (2002).

2.4 Modelación con elementos finitos Para el análisis tridimensional con elementos finitos se implementa en el código computacional CALFEM (2004) )2( el elemento de solidó tridimensional hexaédrico de ocho nodos y tres grados de libertad por nodo. Una malla compuesta de 9000 elementos, 11322 nodos y 33966 grados de libertad (fig. 5) se utiliza para modelar el tablero. Las condiciones de contorno corresponden a apoyo fijo en un extremo del tablero y apoyo móvil en el otro.


Figura 5 – Malla de 9000 elementos hexaédricos utilizada en la modelación del tablero. Fuente: Zamorano (2006).

2.5 Parámetros elásticos Estudios realizados por RITTER (1992) )9( en especies Douglas Fir-Larch, Hem-Fir (North), Red Pine y Eastern White afirman que las constantes elásticas TE y LTG son proporcionales al modulo de elasticidad longitudinal LE . Para el caso especie forestal Lenga (Nothafagus pumilio) MUÑOZ (2002) )4( propone utilizar las mismas relaciones para calcular

TE y LTG .

12590EL = (1)

164E013.0E LT =⋅= (2)

378E03.0G LLT =⋅= (3) Donde:

=LE módulo de elasticidad en la dirección longitudinal en MPa ; =TE módulo de elasticidad en la dirección transversal en MPa ; =LTG módulo de corte o modulo de elasticidad a torsión en MPa

El valor del modulo de elasticidad longitudinal de eq. 1, considera las respectivas correcciones por contenido de humedad, por temperatura y por tratamiento químico de acuerdo a NCH1198.OF2006 )6( . En la dirección perpendicular al plano LT el módulo de elasticidad ZE se estima considerando que el tablero está compuesto en un 80% de piezas de madera cuarteada y de un 20% de madera floreada, de acuerdo a lo anterior su valor se estima por:

RTZ E20.0E80.0E ⋅+⋅= (4)Donde:

=TE módulo de elasticidad en la dirección tangencial en MPa proporcional a LE05.0 ⋅≈ de acuerdo con NCH1198.OF2006 )6( ;


=RE módulo de elasticidad en la dirección radial en MPa proporcional a LE07.0 ⋅≈ de acuerdo con NCH1198.OF2006 )6( .

680EZ = (4) OLIVA et al. (1990) )7( demuestra que los módulos de Poisson del tablero pueden ser considerados nulos dado que su influencia en los resultados en insignificante. Con respecto al valor de los módulos de corte LZG y TZG estudios realizados por CAYUMIL (2003) )3( consideran que estos varían entre LL E065.0E013.0 ⋅−⋅ . De esta forma para definir los valores de los desplazamientos y tensiones, se realiza un análisis de sensibilidad de la respuesta del tablero considerando ambos valores extremos LL E065.0E013.0 ⋅−⋅ , para luego seleccionar los valores máximos como los de diseño. 2.6 Cargas aplicadas Para tableros tensados de madera de 10'' (≈0.25 m.) que utilizan una capa asfáltica de 3” de espesor ZAMORANO (2006) )11( siguiendo las recomendaciones de RITTER (1992) )9( considera una carga muerta de 3.79 kN/m2. Como carga viva se considera la producida por el camión HS 20-44, ubicado en la mitad de la luz del tablero y a 0.50 m. del borde libre del tablero, ver fig. 6.

Figura 6 – Ubicación carga viva: (a) sentido longitudinal (eje X), (b) sentido transversal (eje Y). Fuente: Suárez (2002).

3. Presentación y discusión de resultados En la tab. 1, se presenta una comparación entre los valores numéricos obtenidos por ZAMORANO (2006) )11( versus los resultados obtenidos por SUAREZ (2002) )10( que utiliza el procedimiento indicado por RITTER (1992) )9( y AASHTO SLWD-1 )1( :


Tabla 1 – Comparación entre resultados numéricos y AASHTO SLWD-1(1). SUAREZ (2002) )10( ZAMORANO(2006) )11(

máxLσ (MPa ) 7.12 6.9

DLw ( m ) 002.0 003.0

LLw ( m ) 013.0 016.0 máxTσ (MPa ) 26.0 28.0 máxTZτ ( MPa ) 17.0 16.0

En la fig. 7, se presenta la deformada del tablero para la carga viva definida por el camión HS 20-44 y en la fig. 8 la respectiva distribución de la tensión longitudinal Lσ .

Figura 7 – Distribución de desplazamientos verticales LLw en m. Fuente: Zamorano (2006).


Figura 8 – Distribución de la tensión longitudinal Lσ en MPa. Fuente: Zamorano (2006).

Para estudiar el campo de tensiones transversales generado por la fuerza de compresión se procede a evaluar el nivel de tensado transversal requerido. De acuerdo a AASHTO SLWD-1 )1( considerando la tensión transversal y de cortante definidas en tab. 1, el valor de la tensión para los cables de acero se obtiene a partir de:

( )21 p,pmáx5.2p ⋅= (5) Con:

28.0p máxT1 =σ= (6)

36.045.016.0p

máxTz

2 ==µ

τ= (7)

Donde: =1p es la tensión de compresión en la dirección transversal en MPa requerida para evitar tensiones de tracción en la fibra extrema inferior del tablero debido al momento flector transversal máximo máx

TM ;

=2p es la tensión de compresión en MPa necesaria para evitar el deslizamiento producido por el esfuerzo de corte. Un coeficiente de roce entre laminaciones de 45.0=µ se utiliza en el caso de madera aserrada. Gráficamente 1p y 2p se presentan en fig. 9.


Figura 9 –Representación grafica de tensiones de compresión. Fuente: Suárez (2002). Para compensar la pérdida de compresión interlaminar inicial dentro del tablero debido a fenómenos de creep, el tensado inicial calculado según eq. 6 o 7 de acuerdo con AASHTO SLWD-1 )1( deberá ser modificado por un factor de seguridad de 2.5: Es decir:

89.0p5.2p 2 =⋅= (8) Si se considera que los cables de acero de 5/8'' están espaciados a 0.50 m entre ejes y la altura del tablero es de 10” tal como se indica en la fig. 5, la fuerza de tracción a aplicar a cada barra es de:

111)25.050.0(pFps =⋅⋅= (9) A efectos de la modelación numérica, la fuerza de postensado psF en kN se aplica como una carga uniformemente distribuida de compresión sobre un área equivalente a la superficie de la placa de apoyo. Finalmente en las fig. 10 y 11 se presentan la distribución de tensiones transversales Tσ obtenidas del análisis numérico. Queda de manifiesto que a una distancia aproximada de 0.40 m. desde el borde libre del tablero se logra una distribución uniforme de tensiones alcanzando el valor definido por eq. 8.


Figura 10 – Distribución de la tensión transversal Tσ en MPa. Fuente: Zamorano (2006).

Figura 11 – Distribución local de la tensión transversal en MPa. Fuente: Zamorano (2006). 3. Conclusiones Al comparar los resultados numéricos con los obtenidos a través del empleo de la norma AASHTO SLWD-1 )1( adaptada al caso de maderas Chilenas por Muñoz (2002) )4( , se puede señalar que los resultados son del orden y las diferencias están dentro de los márgenes esperados y se justifican debido a que existe incertidumbre con respecto al valor numérico de las constantes elásticas que componen la matriz constitutiva en el modelo de elementos


finitos. Por otra parte se debe tener presente que las ecuaciones definidas por la norma AASHTO SLWD-1 )1( corresponden a estimaciones simplificadas de los esfuerzos reales. Se demuestra que a una distancia aproximada de 0.40 m. del borde libre del tablero, se logra prácticamente una distribución uniforme de tensiones transversales de compresión del orden de lo requerido por diseño (eq. (8)) lo que asegura que se cumplan los criterios que evitan que las piezas de madera se separen producto de la flexión transversal y se deslicen producto del cortante transversal. Desde el punto de vista constructivo la existencia de un guardarruedas de 0.20 m. de longitud y que la carga viva se aplique a una distancia de 0.30 m. con respecto al borde interno del guardarruedas, asegura que el camión de diseño se desplaza sobre una zona segura del tablero puesto que a partir de los 0.40 m. del borde libre se esta con una distribución prácticamente uniforme de tensiones de compresión del orden de lo requerido por diseño (eq. (8)). Finalmente una de las principales ventajas que presenta la modelación mediante la utilización de elementos finitos de sólido tridimensional es el hecho que se puede lograr una mejor comprensión de la distribución espacial de los campos de desplazamientos y tensiones en el tablero tensado. 5. Referencias bibliográficas (1) American Association of State Highway and Transportation Officials (1991). AASHTO SLWD-1 – Guide Specifications for the Design of Stress-Laminated Wood Bridges. Washington, DC. 18 p. (2) CALFEM (2004). A Finite element toolbox version 3.4. Division of Structural Mechanics at Lund University. http://www.byggmek.lth.se/Calfem (3) Cayumil, M. (2003). Investigación teórica de módulo de elasticidad transversal en tableros postensados de puentes de madera. Concepción. 100 p. Tesis (Ingeniero Civil)- Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Concepción. Chile. (4) Muñoz, J. (2002). Tableros de puentes de madera postensados. Concepción. 156 p. Tesis (Ingeniero Civil)- Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Concepción. Chile. (5) Instituto Nacional de Normalización (1986). NCH1989.OF1986– Maderas-Agrupamiento de especies madereras según su resistencia-Procedimiento. Santiago, Chile. 18 p. (6) Instituto Nacional de Normalización (2006). NCH1198.OF2006– Madera-Construcciones en madera-Cálculo. Santiago, Chile. 18 p. (7) Oliva, M. G., Dimakis, A. G., Ritter, M. A., Tuomi, R. L. (1990). Stress-Laminated Wood Bridge Decks, Experimental and Analytical Evaluations. United Sates Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory. Research Paper FPL-RP-495. 26 p. (8) Oñate, E. (1992). Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Analisis Estático Lineal. 2 ed. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Universidad Politécnica de Cataluña. Barcelona. España. 850 p. (9) Ritter, M. A. (1992). Timber Bridges: Design, Construction, Inspection, and Maintenance. Chapter 9: Design of longitudinal stress-laminated deck superstructures. Madison, Wisconsin, USA-FS-FPL, Engineering Staff, EM-7700-8. (10) Suárez, P. (2002). Modelación numérica de puentes postensados de madera.


Concepción. 164 p. Tesis (Ingeniero Civil)- Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Concepción. Chile. (11) Zamorano, P. (2006). Modelación estructural mediante elementos finitos hexaédricos. Concepción. 211 p. Tesis (Ingeniero Civil)- Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Concepción. Chile.

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