Análisis Numérico para Ingeniería - fi.mdp.edu. · PDF fileOtra forma de...

Anlisis Numrico para Ingeniera
Clase Nro. 6

Mg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniera - UNMDP - 2017 2
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Normas Vectoriales y Matriciales.
Anlisis de Sensibilidad de Sistemas Lineales.
Nmero de Condicin.
Estimacin del Error Relativo de la solucin.
Mtodo de Jacobi.
Mtodo de Gauss-Seidel.
Anlisis de la Convergencia de Jacobi.
Temas a tratar:

Propiedades de las Normas Vectoriales
1) x0 xRn
2) x=0 x es el vector nulo3) x=x R y xRn
4) x yxy { x , y}Rn
Para que una norma vectorial sea considerada como tal, debe cumplir lo siguiente:

xE=i=1n
xi2
xM=mx1in
xi
Norma Euclidiana Norma E
Norma Infinito Norma M
Algunas Normas Vectoriales

Propiedades de las Normas Matriciales
1) A0 ARnxn
2) A=0 A es la matriz nula3) A=A R y ARnxn
4) ABAB { A ,B}Rnxn
5) ABAB { A ,B}Rnxn
Para que una norma matricial sea considerada como tal, debe cumplir lo siguiente:

AL=mx1 jn
i=1
m
aij
AM=mx1im
j=1
n
aij
Norma L
Norma Infinito Norma M
Algunas Normas Matriciales

Norma de Frobenius
AF=i=1m
j=1
n
ai , j2
Posee una forma muy similar a la norma euclidiana para vectores

Utilizacin de las Normas
El concepto de norma de una matriz o vector es una generalizacin del concepto de valor absoluto o de mdulo de un nmero complejo.
Las normas nos permiten calcular una medida de la magnitud asociada a los vectores y matrices.
Los vectores y matrices, a diferencia de los nmeros escalares, estn constituidos por varios elementos.
Por lo tanto, si bien no es posible comparar directamente dos vectores o dos matrices, si se pueden comparar sus normas.

SensibilidadSe considera que un Sistema de Ecuaciones Lineales es sensible, si al modificar alguno de los coeficientes de la matriz de los trminos independientes, la solucin vara, pero en una proporcin mayor.
[ 3.02 1.05 2.534.33 0.56 1.780.83 0.54 1.47 ][x1x2x3 ]=[1.61
7.233.38 ]
Consideremos el siguiente Sistema:
x=[ 121]Solucin:

[ 3.00 1.05 2.534.33 0.56 1.780.83 0.54 1.47 ][ x1x2x3]=[1.61
7.233.38 ]
Si ahora modificamos levemente uno de los coeficientes de la matriz.
x=[1.127677296.522089100.73326549 ]Solucin:
Sensibilidad (II)

Sensibilidad (III)
[1.127677296.522089100.73326549 ] [ 121] M=4.52208910
[ 3.02 1.05 2.534.33 0.56 1.780.83 0.54 1.47 ] [ 3.00 1.05 2.534.33 0.56 1.780.83 0.54 1.47 ] M=0.02La perturbacin introducida en el sistema es:
La variacin de la solucin es:

Sensibilidad (IV)
AA*MAM
= 0.026.67
= 0.0029985 = 0.29985 %
XX*MXM
= 4.522089102
= 2.26104455 = 226.104455 %
Una modificacin de menos del 0,3 %, en la matriz A
Produjo una variacin del 226 %, en la solucin.

Ejemplo grfico de sensibilidad (I)
Incertidumbrede los datos
Recta
Interseccin
Incertidumbrede la solucin
Ince
rtid
umbr
ede
la s
o luc
in

Ejemplo grfico de sensibilidad (II)
Incertidumbrede los datos
Recta
Interseccin
Ince
rtid
umbr
ede
la s
o luc
in
Incertidumbrede la solucin

Nmero de CondicinCuando un sistema es muy sensible, pequeas perturbaciones en la matriz A, o en el vector de trminos independientes, provocan grandes cambios en la solucin. Este fenmeno est a menudo asociado con un elevado nmero de condicin de la matriz A.
Cond A=AA1
Nmero de Condicin de una Matriz
1=II1Cond A
Y se cumple que:

Anlisis de Sensibilidad
(A+ A)(X+ X )=(b+ b)
Analizaremos la sensibilidad de un sistema en el cul, los coeficientes de A y de b estn levemente perturbados.
A
X
Si las perturbaciones
Se espera que tambin lo sea.
by son pequeas

Caso I - Perturbacin solo en b
A(X+ X )=(b +b)
AX+A X=b+b X=A1b
X A1 bb AX
XbA1A bX
Distribuyendo el producto, obtenemos:
Aplicando propiedades de las normas, tenemos:
Y multiplicando miembro a miembro, obtenemos:

Caso I - Perturbacin solo en b
XbCond (A) bX
XX
Cond (A) bb
Reemplazamos por la definicin de Cond(A):
Y finalmente reordenamos, para obtener:

Caso II - Perturbacin solo en A
(A+ A)(X+ X )=b
XX
Cond (A) AA
Si la perturbacin slo se produce en los elementos de la matriz A:
Mediante un razonamiento similar al anterior, obtenemos:

Caso III - Perturbacin en A y b.
XX
Cond (A)
1Cond (A) AA
[ AA + bb ]
(A+ A)(X+ X )=(b+ b)
Si la perturbacin se produce tanto en los elementos de la matriz A, como en los elementos del vector b :
La cota de error relativo queda dada por la siguiente expresin:

Sensibilidad de Sistemas
Tener en cuenta que para que la expresin anterior sea vlida debe cumplirse que :
XX
Cond (A)
1Cond (A) AA
[ AA + bb ]
A < 1A1
Cota de Error Relativo de la Solucin

Mtodos Iterativos
Un mtodo iterativo es un mtodo que va calculando progresivamente aproximaciones a la solucin de un problema.
Cada aplicacin del mtodo, se denomina iteracin y se espera que la solucin obtenida sea ms aproximada que la de la iteracin anterior.
Este proceso se repite hasta que se satisfaga cierta condicin con respecto a la exactitud del resultado.

Mtodos Iterativos (continuacin)
A diferencia de los mtodos directos, los mtodos iterativos, no finalizan luego de una secuencia finita de pasos, sino que se puede interrumpir el proceso, una vez alcanzada la exactitud deseada en la solucin.
Los mtodos iterativos se utilizan cuando no se conoce un mtodo para obtener la solucin en forma exacta, o su obtencin requiere de mucho esfuerzo de clculo.
Tambin se utilizan cuando una respuesta aproximada es suficiente, y cuando el nmero de iteraciones es relativamente reducido.

Mtodo Iterativo de Jacobi
Ax=b
A=CD CD x=b
CxDx=b
D1CxD1Dx=D1b
Partiendo del Sistema original
Sustituimos A por:
Donde D es una matriz que contiene slo los elementos de la diagonal de A

Mtodo Iterativo de Jacobi (II)
D1CxD1Dx=D1b
D1CxIx=D1b
x=D1CxD1b
Sustituyendo D.D-1, por la matriz identidad, nos queda:
Y finalmente, reordenando

Mtodo Iterativo de Jacobi (III)
x=D1CxD1b
B=D1C y Z=D1b
x=BxZ
Renombrando a los productos obtenidos
Nos queda:

Mtodo Iterativo de Jacobi (IV)
x=Z+Bx
x(k+1)=Z+Bx(k)
Y aplicando un esquema iterativo, de la forma:
Partiendo de la siguiente expresin:
Podremos obtener la solucin del sistema, siempre y cuando dicho esquema resulte convergente.

Mtodo Iterativo de Jacobi
xik1 =
biaii
j=1ji
n aijaiix j
k
xik1 = 1
aii[bi j=1
ji
n
aijx jk ]
Otra forma de escribir el esquema iterativo de Jacobi, es la siguiente:
Y sacando el denominador como factor comn, nos queda:

Algoritmo de Jacobi
Sique en la prxima pgina
SUBROUTINE jaco

Análisis Numérico para Ingeniería - fi.mdp.edu. · PDF fileOtra forma de...

Documents

Transcript of Análisis Numérico para Ingeniería - fi.mdp.edu. · PDF fileOtra forma de...