ANÁLISE COMBINATÓRIA

2

ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da

matemática que estuda os agrupamentos de

elementos sem precisar enumerá-los.

A origem desse assunto está ligada ao

estudo dos jogos de azar, tais como:

lançamento de dados, jogos de cartas, etc.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Diagrama da Árvore

4

1. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o

número de sequências possíveis de cara

e coroa?

Indicaremos por C o resultado cara e K o

resultado coroa.

Queremos o número de triplas

ordenadas(a,b,c) onde a {C,K},b {C,K}

e c {C,K}.

5

K

C

K

C

C

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C – C – C

C – C – K

C – K – C

C – K – K

K – C – C

K – C – K

K – K – C

K – K - K

Pelo Diagrama da Árvore

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Princípio Multiplicativo

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.

Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que:E1 é o número de possibilidades da 1ª EtapaE2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa

::

En é o número de possibilidades da n-ésima EtapaEntão E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer.

Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

2626 26 1010 10 10 = 175. 760. 000

Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podemser formados ?

Alguns números possíveis

244 3215244 5138244 0008244 2344244 0000:::

Usando o princípio fundamental da contagem:

2441010 1010

= 10 000 números

fixo

Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios?

99100= 9900 maneiras

ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL

5! = 5.4.3.2.1 = 120

4! = 4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 6

2! = 2.1 = 2

1! = 1

0! = 1 CONVENÇÃO

Exemplo: Calcular o valor de:

a) 4! + 3! b) 7!

24 + 6

30

7.6.5.4.3.2.1

5040

Observe que:

4!+3! 7!

c)

!8

!10

n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1

=

8!

10.9.8! 90=

d)

!49

!49!50

– 49!

49!

50.49!

49!(50 – 1)

49!

49

O conjunto solução de:

210)!1(

)!1(

n

n é:

(n – 1)!= 210

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n = 210

n2 + n – 210 = 0

n’ = 14 n’’ = - 15(não convém)

Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação(m – 3)! = 1

(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!

m – 3 = 1

m = 4

m – 3 = 0

m = 3

Logo a soma dos valores de m é 7

210)!1(

)!1(

n

n

USA TODOS ELEMENTOS

NÃO USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

ARRANJO

COMBINAÇÃO

IMPORTA ORDEM

NÃO IMPORTA ORDEM

Pn = n!p)!(n

! np

nA

p!p)!(n

! np

nC

FORMULÁRIO

01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se doisquaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assimformadas é:

n = 8 “total”

p = 2 “usa”

AC

Corda AC = CA

COMBINAÇÃO

p!p)!(n

! np

nC

28

2)!2!(8

! 828

C

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine:

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

a) Total de Anagramas

Pn = n!

P6 = 6!

P6 = 720

b)O número de anagramasque começam em “N” eterminam em “O”

N O

{U, M, E, R}

P3 . P4

3!.4!

6 . 24 = 144

c)O número de anagramas que possuem “N, U, M”juntas.

N U M E R O X E R O

d)O número de anagramas que possuem “N, U, M”juntas e nessa ordem.

P4 = 4! = 24

Pn = n!

P4 = 4!

P4 = 24

04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere oacento)

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

210!2!2!3

!73,2,27

P

06) As pessoas presentes a uma determinada reunião, ao final da mesma,cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram emnúmero de 28. O número de pessoas presentes à reunião é:

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

n = x “total”

p = 2 “usa”

COMBINAÇÃO

p!p)!(n

! npn

C

2)!2!(x

!x 28

José – Carlos Carlos – José

2)!2.1(x

2)-1)(x-x(x28

56 = x2 - x

x2 – x – 56 = 0

x = 8

07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal.Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, etodos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez,havendo no total 43cumprimentos. O número de colorados é:

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

432x

C26

C

432)!2!(x

!x

2)!2!(6

! 6

432)!2.1(x

2)-1)(x-x(x15

x2 – x =56

x2 – x – 56 = 0

x = 8

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO

ARRANJO

NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO

Importa ordem

Não Importa ordem

08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

2

xA01. A equação = 12 não possui solução.

12!2)(x

!2)1)(xx(x

12!2)(x

!x

12A2

x

x(x – 1) = 12x2 – x – 12 = 0x1 = 4 ou x2 = – 3 (não serve).

F

02. Com a palavra CAJU podemos formar24 anagramas

Pn = n!

P4 = 4! = 24V

04. Numa sala estão 5 professores e 6alunos. O número de grupos quepodemos formar, tendo 2professores e 3 alunos, é 30.

20020.10

36

C.25

C

Fou +e x

08. Na final do revezamento 4 x 100 mlivre masculino, no Mundial de Natação,em Roma 2009, participaram: EstadosUnidos, Rússia, França, Brasil, Itália,África do Sul, Reino Unido e Austrália. Osdistintos modos pelos quais poderiam tersido distribuídas as medalhas de ouro,prata e bronze são em número de 56.

78=336

ARRANJO P.F.C

6

F

09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com essenúmero de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cadauma de um médico e quatro enfermeiros.

02. Entre os anagramas da palavra ÁGUA, 6 começam por consoante. (nãoconsidere o acento)

04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem serfeitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos.

08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2,5, 5, 5 e 6 é 180.

1050.2105!4!.6

!10.

!!.14

!5C.C 4

10

1

5 F

3!2

!3P2

3 F

220!3.!9

!12C3

12 F

Terminados em 2

Terminados em 6

120!3

!6P3

6

60!.2!3

!6P3,2

6

TOTAL: 180 V