Carlos Rojas Suarez

ÁNGULOS

Tomado de Hemmerling, (1983), pp.32-47.

Ángulo

Definición: un ángulos es la unión de dos rayosque tienen el mismo punto extremo.

A

C

Nomenclatura

ABC<ABC< B<β

B

Lado

Vértice

β

Interior y exterior de un ángulo

Definición: considérese <ABC situado en elplano U. El interior del ángulo es el conjunto detodos los puntos del plano en el mismo lado deAB que C y en el mismo lado de BC que A.

Semiplano

Semiplano Arista

H1 ∩ l = Ø; H2 ∩ l = Ø; U = H1 U H2 U lH1 U l semiplano cerrado H2 U l

Medir un ángulo

Definición: a cada ángulo le correspondeexactamente un numero real r entre 0 y 180. Elnumero r se llama medida o bien medida engrados del ángulo.

A

C

Nomenclatura

m<ABC = r º<ABC es un ángulo de r gradosLa medida de <ABC es r grados

B β

Clases de ángulos

Definición: un ángulo es agudo si, y solo si tieneuna medida menor que 90º, recto igual a 90º,obtuso mayor de 90º y menor de 180º, de ladoscolineales (llano), igual a 180º.

A

C<ABC agudom<ABC <90º

B

A

C

<ABC rectom<ABC =90º

B

A

C

<ABC obtuso90º < m<ABC <180º

B

AC

<ABC llanom<ABC =180ºB

Ángulos adyacentes

Definición: dos ángulos son adyacentes si, ysolo si, tienen el mismo vértice, un lado común ylos otros dos están contenidos en lossemiplanos cerrados opuestos determinadospor la recta que contiene el lado común.

A

C<ABD ^ <DBC

Adyacentes

B

A

B

C

D D

Ángulos opuestos por el vértice

Definición: los pares de ángulos no adyacentesformados cuando dos rectas se interceptan sedenominan opuestos por el vértice.

<AMC ^ <BMD Opuestos por el vértice

<AMD ^ <BMC Opuestos por el vérticeA B

C

D

M

Congruencia

Definición: dos ángulos (o dos segmentos) soncongruentes si, y solo si, tiene la misma medida.

Misma forma y tamaño

A

C<ABC

B

E

G<EFG

Fm<ABC = m<EFG

<ABC Ξ <EFG

ABA

B

ET

E

TmAB = mET

AB Ξ ET

Rayo bisector

Definición: es el rayo cuyo punto extremo es elvértice del ángulo y el cual lo divide en dosángulos congruentes.

Bisectriz de un ángulo

BD es bisectriz de <ABC:

• D esta en el interior de <ABC• <ABC Ξ <DCB

A

C

B

D

Rectas perpendiculares

Definición: dos rectas son perpendiculares si, ysolo si, se interceptan para formar un ángulorecto.

BC ⊥ BABC ⊥ BA

BC ⊥ BABC ⊥ BA

Distancia de un punto a una recta

Definición: la distancia de un punto a una rectaes la medida del segmento perpendicular delpunto la recta.

mMT es la distancia de M a AB

A B

M

T

Ángulos complementarios y ángulos suplementarios

Definición: dos ángulos son complementarios si,y solo si, la suma de sus medidas es 90º.Suplementarios si dicha suma es 180º.

A B

M

T A

B

PR

<ATM ^ <MTBsuplementarios

<PAR ^ <RABcomplementarios

Triángulo

Definición: la unión de los tres segmentos AB,BC y CA se llama triangulo si, y solo si, A, B y Cson tres puntos no colineales.

A

BM

∆ABC

Para continuar

Insumos:

1. Lectura de las paginas 88 a 111 del documento Geometría Elemental de Hemmerling.

2. Lectura del documento que está en fotocopiadora (cod. 272 A) sobre lo que es una demostración.

Gracias por su atención