θ

Lic: Evaristo Huamaní Velásquez Lic: Evaristo Huamaní Velásquez

HOLA CHICAS

ÁNGULO

Vértice

θ

Es la figura geométrica formada por dos rayos que forman una amplitud o abertura y tienen un mismo origen llamado vértice.

Es la figura geométrica formada por dos rayos que forman una amplitud o abertura y tienen un mismo origen llamado vértice.

ELMENTOS DE UN ÁNGULO

O A

B

Lado OA

Lad

o O

B

Amplitud

Vértice

Son:•Lados OA y OB•Amplitud o ángulo•Vértice

SISTEMA DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos se miden con un instrumento llamado TRANSPORTADOR y utilizan el sistema sexagesimal. Cuyas notaciones es el siguiente

SISTEMA DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos se miden con un instrumento llamado TRANSPORTADOR y utilizan el sistema sexagesimal. Cuyas notaciones es el siguiente

TRANPORTADOR

110

1º Se llama grado sexagesimal 1` Se llama minuto sexagesimal

1``Se llama segundo sexagesimal

EQUIVALENCIAS

1º = 60` 1`= 60`` 1º = 3600``

Los ángulos en los murales y construcciones Los ángulos en los murales y construcciones

MURAL DENTRO DE LA HUACA DE LA LUNA

Trujillo

MURAL DENTRO DE LA HUACA DE LA LUNA

TrujilloCONSTRUCCIÓN EN SACSAYHUAMAN

CONSTRUCCIÓN EN SACSAYHUAMAN

CLASIFICACIÓN

DE LOS

ÁNGULOS

ÁNGULO AGUDO

Son aquellos ángulos que miden más de 0º y menos de 90º

EjemplosEjemplos

θθ θ

0º 0º 0º

ÁNGULO RECTOSon aquellos ángulos que mide 90º. Se simboliza en la figura, con un pequeño cuadrado lo que indica un ángulo recto.

Se dice que las líneas o rectas son perpendiculares entre si.

θ

θ

Forman ángulos de 90º

ÁNGULO OBTUSO

Son aquellos ángulos que mide más de 90º y menor de 180º

θ

θ

θ

θ

ÁNGULO EXTENDIDO O LLANO

Son aquellos ángulos que mide 180º y son dos rayos opuestos

θ

180º 180º

θ

180º

180º 180º

ÁNGULO CÓNCAVO

Son aquellos que miden más de 180º y menos de 360º

180º 360º

180º 360º

180º 360º

ÁNGULO COMPLETO

Es aquel ángulo que mide 360º. Es decir una vuelta completa

180º

180º

360º

La tierra vista del espacio

360º

Los tres ángulos forman un ángulo completo en las piedras

RELACIONES

ENTRE

ÁNGULOS

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son los ángulos consecutivos que suma 90º

ab

a + b = 90º

90

90

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSSon aquellos ángulos consecutivo que suma 180º

ab

a + b = 180º

180º

El candelabro de pisco

ÁNGULOS ADYACENTES O CONSECUTIVOS

Son aquellos ángulos que tiene un lado común

cSon conse utivos

secSon con utivos

Lado

com

ún Lad

o co

mún

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

a

b

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida

a = b

Estos ángulos son opuestos por

el vértice

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es aquel rayo que divide a un ángulo en dos ángulos iguales

BisectrizBisectrices

EJERCICIOS RESUELTOS

1.En la figura hallar x, si OM es bisectriz

O

M

A

B

x +10º

2x

Solución

Observando la figura, si OM es bisectriz, entonces los ángulos BOM = MOA

Luego: x +10º = 2x

Pasamos x al 2do Miembro

10º = 2x – x

10º = x

2. En los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se cumple que AOB = 20º, BOC = 50º y COD = 30º .Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

Solución Según el enunciado se tiene la siguiente figura

D

C

B

O A

N

M

Observando la figura y hallando el ángulo pedido se tiene:

20º

50º30º

Bisectriz del ángulo AOB

Bisectriz del

ángulo COD

10º

15º

x

10º

15º

15º 50º 10ºx 75ºx

x es el ángulo formado por las bisectrices

3. En la figura hallar el valor de “x”

65

2 75x

652 75x

SoluciónObservando la figura se tiene dos ángulos suplementarios

2 75 65 180

2 10 180

x

x

2 180 10

1902 190

2

x

x x

95x

Los ángulos forman una

semicircunferenciaLo cual mide 180°

4. En la figura hallar el valor de “x”

x5x

2 19x

x5x

2 19x

Analizando el gráfico se tiene 3 ángulo que forman un ángulo recto de 90°

Solución

90

2 19 5 90

4 14 90

x x x

x

Sumando los ángulos se tiene:

El cuadrado rojo nos indica que se trata de un ángulo de 90°

4 90 14

4 104

x

x

104

4x

26x

5.Se tiene dos ángulos consecutivos AOB=30° y BOC=110° de modo que se traza una bisectriz OM del ángulo AOC, hallar el ángulo formado por OMB

Analizando la lectura y graficando se tiene:

C

B

O A

M

x55º

30º55º

Bisectriz

30 55x

55 30x

25x

Observando el grafico se tiene:

6.Se tiene tres ángulos consecutivos en una recta AOB,BOC y COD cuyas medidas son x+8°, 2x+4° y 3x-24° hallar el ángulo BOC

SoluciónHaciendo la gráfica según el enunciado se tiene:

A

BC

D O8x

2 4x 3 24x

Observando la gráfica se formo un ángulo llano 3 24 2 4 8 180

3 2 24 4 8 180

x x x

x x x

6 24 12 180

6 12 180

x

x

6 180 12

6 192

x

x

192

6x

32x

:

2 4

2 32 4

64 4

68

Luego

BOC x

BOC