Cantera lógica de Acatlán 2011-2

Analytic Tableaux

En la última sesión revisamos un método conocido comoTableaux semánticos o analíticos, y

nos basamos en la presentación que de estos hay en el texto First-Order Logic de Raymond

Smullyan. Este método nos sirve para comprobar la validez de una fórmula. Es decir, si

tomamos una fórmula que sea una verdad lógica este método nos dirá que lo es.

Sin embargo el método tiene sus límites, aunque estos límites existen por la naturaleza

intrínseca de la lógica de primer orden (cuantificacional), veamos por qué. En lógica

proposicional tenemos métodos que nos dicen claramente cuando una fórmula es válida

(tautología). Pero si la fórmula no es válida nuestros métodos (tablas de verdad o análisis de

Quine) también nos lo informan. Esto es así porque en lógica proposicional siempre nos

ocupamos de un número finito de interpretaciones posibles.

En la lógica de primer orden sucede algo distinto. La fórmula xPx (“todos son P”) es

verdadera o falsa dependiendo de a qué dominio de objetos se refiera el cuantificados

universal y dependiendo de cómo interpretemos allí el predicado P.

Anteriormente habíamos visto que podíamos “crear mundos” (que llamamos modelos) en los

que podían ser verdaderos o falsos los enunciados (fórmulas de la lógica cuantificacional sin

variables libres) que formemos o donde podían ser satisfacibles o no satisfacibles ciertas

fórmulas con variables libres. Hay muchas posibilidades. Crear modelos es especialmente útil

cuando queremos refutar mediante un ejemplo un enunciado dado. Por ejemplo. Supongamos

que interpretamos la fórmula xPx como diciendo “todos son verdes”. Para ver que este

enunciado puede ser verdadero podemos plantear un mundo, digamos con tres objetos,

donde todos sean de color verde. Pero también podríamos pensar en un universo de dos

objetos verdes y uno rojo. Allí nuestro enunciado sería falso. Por ello este método de construir

modelos o contraejemplos nos puede ayudar a visualizar si una fórmula es satisfacible o

verdadera en alguna interpretación o si puede refutarse en alguna otra interpretación.

Pero como puede apreciarse, este método es muy limitado, aunque útil. Visualizar cosas tiene

gran valor, pero poder visualizar algunos modelos no siempre ayuda mucho teniendo en

cuenta que algunos enunciados nos hablarán de cosas que suceden en dominios de objetos

demasiado grandes.

El método de los tableaux analíticos o semánticos, es un método intermedio entre la

construcción de modelos y el uso de reglas precisas para la manipulación de formulas. De

hecho podrán apreciar que las reglas para los tableaux semánticos en lógica de primer orden

son muy parecidos a las reglas para los cuantificadores en deducción natural (instanciación

universal e instanciación existencial).

Veamos cómo funciona. Primero formularemos un conjunto de reglas para construir los

tableaux en lógica proposicional.

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Para cada conectiva lógica (, , , , ) contamos con dos reglas, una para cuando la

fórmula está precedida por una T (de true, verdadero) y una para cuando están precedidas

por una F (de false, falso):

I) T F

F T

II) T ( ) T T

F ( ) F | F

III) T ( ) T | T

F ( ) F F

IV) T () F | T

F () T F

V) (Jeza´s rule) T () T F T F

F () T F F T

Las reglas de construcción funcionan como sigue: por ejemplo, si tenemos una fórmula con la

forma , y suponemos que es verdadera, por ejemplo (r t), podemos inferir

inmediatamente la falsedad de (rt) por la regla I. Si tenemos una fórmula con la forma

() y suponemos que es falsa, podemos inferir que sucede una de dos cosas, o que es falsa

o que es falsa , por la regla II, ello en nuestro tableaux, que es como un árbol, producirá una

bifurcación simultánea, es decir al mismo nivel. Se verá mejor con un ejemplo:

Tenemos la fórmula: (p (qr))((pq)(pr))

Nuestra suposición inicial será que la fórmula es falsa (adelanté diremos el porqué de esta

suposición inicial):

(1) F (p (qr))((pq) (pr))

(2) T (p (qr)) aplicando IV a (1)

(3) F ((pq) (pr)) aplicando IV a (1)1

(4) T p (2) (5) T (qr) (2)

(6) T q (5)

(7) T r (5)

Continua en la siguiente página…

1 En los siguientes pasos omitiremos la alusión a la regla usada y sólo indicaremos entre paréntesis el renglón del tableaux al que le estamos aplicando la regla.

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(4) T p (2) (5) T (qr) (2)

(6) T q (5)

(7) T r (5)

(8) F (pq) (3) (9) F (pr) (3)

(12) F p (8) (14) F p (9)

(13) F q (8) (15) F r (9) (10) F (pq) (3) (11) F (pr) (3)

X X (16) F p (10) (18) F p (11)

(17) F q (10) (19) F r (11)

X X

Como se puede observer, en la construcción del tableaux las reglas nos permiten hacer dos

tipos de inferencias. Algunas veces la verdad o falsedad de una fórmula nos hacen inferir

forzosamente la verdad o falsedad de otras fórmulas. Como en el caso de (1), al aplicarle la

regla IV, sabemos que de su falsedad se sigue necesariamente la verdad del antecedente (2) y

la falsedad del consecuente (3). Cuando inferimos que dos cosas deben ocurrir, las ponemos

una debajo de la otra. El otro tipo de inferencia la tenemos, por ejemplo en (2) que es una

disyunción verdadera, puede que sea verdad porque es verdadero p o porque es verdadero

(qr), como es una o la otra o ambas verdaderas, abrimos las dos posibilidades (no es

necesario abrir una tercera en la que ambas son verdaderas, sería redundante). El tableaux

está completo cuando terminamos de analizar cada etapa u “hoja” hasta quedar con letras

simples sin negación.

Ahora que sabemos cómo construir los tableaux pasaremos el porqué de nuestra suposición

inicial. Supusimos, aparentemente de manera arbitraria, que nuestra fórmula era falsa. Esto lo

hicimos porque usaremos el método de los tableaux como una forma de comprobar que una

fórmula dada es una verdad lógica por refutación. Es decir, suponiendo que la fórmula puede

ser falsa, ya que una verdad lógica nunca es falsa.

Las cruces (X) al final de cada rama de nuestro tableaux indican que hay una contradicción en

esa rama. Por ejemplo, la primera rama en su penúltima “hoja” (12) indica Fp, mientras que en

la misma rama pero más arriba (4) se indica Tp, es decir, una contradicción.

Si todas las ramas contienen cuando menos alguna contradicción el tableaux nos dice que

todas las posibilidades que derivan de suponer la fórmula inicial falsa son absurdas, es decir,

que no es posible que la fórmula sea falsa. Es decir, nuestra fórmula era una verdad lógica.

Cuando todas las ramas pueden ser marcadas con una X decimos que el tableaux ha sido

cerrado, y entonces nuestra fórmula era verdad lógica. Si no podemos cerrar el tableaux (es

decir, cuando menos una rama no contiene contradicción), nuestra fórmula no era una verdad

lógica.

Es claro que este método se ve un poco más laborioso que el de las reglas de Quine si de lo que

se trata es de comprobar la validez, consistencia o inconsistencia de fórmulas proposicionales;

aunque son análogos. Sin embargo hemos introducido esté método para examinar la cuestión

de la validez en fórmulas cuantificadas. Para ello requerimos saber cómo operar con las partes

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proposicionales de las fórmulas (lo que acabamos de explicar) y sólo resta introducir las

reglas pertinentes para tratar con los cuantificadores.

Reglas para cuantificadores.

Primero introduciremos notación. Usaremos la letra A para designar una fórmula bien

formada cualquiera en el lenguaje de primer orden2. Si A es una fórmula cualquiera del

lenguaje de primer orden y a es una constante, denota el resultado de sustituir todas las

apariciones libres de la variable x en la fórmula A por la constante a. Por ejemplo:

Si A es la fórmula y Fxy; es la fórmula yFay.

Si A es la fórmula xy (FxyQyz); es la fórmula xy (FxyQyb).

Si B es la fórmula x (Px z Fxz); es la fórmula x (Px z Fxz).

Si A es la fórmula Fza Qzb; es la fórmula Faa Qab.

A continuación dividiremos las fórmulas cuantificadas en dos tipos: primero, con

denotaremos una fórmula de la forma xA o xA. Con (a) denotamos respectivamente a

o Con denotamos una fórmula de tipo xA o xA; y con (a) denotamos

respectivamente a o

Ahora introducimos dos nuevas reglas para construir los tableaux en lógica cuantificacional:

Regla U __ (a)

Donde a es cualquier constante

Regla E __ (a)

Donde a es una constante nueva

Estas aparentemente sencillas reglas nos dicen que de una fórmula de tipo o de tipo

podemos inferir la fórmula resultante de quitar el cuantificador principal y sustituir las

apariciones libres (es decir, ya sin cuantificar) de la variable que estaba al lado del

cuantificador por una constante.

A continuación damos detalladamente las reglas como debe aplicarse para cada caso especial

de fórmula o , y como en el caso de las reglas para fórmulas proposicionales, cada regla

incluye el caso cuando la fórmula es tomada como verdadera y cuando es tomada por una

falsedad.

2 Véanse las notas “Nuevas notas sobre cuantificación”: http://www.mediafire.com/?qov0ga6zgv5yxmv .

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Regla U

T xA T

F xA F

Regla E

T xA T

con la condición de que a sea una constante nueva

F xA F

con la condición de que a sea una constante nueva

Ahora haremos uso de una convención que se puede aplicar también a las fórmulas

proposicionales: en lugar de especificar con una T que la fórmula es verdadera en el tableaux,

simplemente la escribimos tal y como es. Y si la consideramos falsa, la escribimos antecedida

de una negación. Así, podemos formulas las mismas reglas U y E, de la siguiente forma para

que sea claro que la regla U se aplica a fórmulas tipo y la regla E a fórmulas de tipo .

Regla U xA

xA

Regla E xA

Con la condición anterior

xA

Con la misma condición

Sólo resta dar una explicación del porqué de las restricciones o la ausencia de ellas. En la regla

U, tenemos que podemos sustituir las variables que quedan libres al retirar el cuantificador

principal por cualquier constante. Esto es claro, porque las fórmulas a las que se aplica la regla

U son fórmulas universales (xA y xA), si algo vale para todos los objetos de nuestro

dominio, no importa cual elijamos para decir “a tiene la propiedad (expresada en la fórmula)”.

Es muy distinto el caso de la regla E. Las fórmulas son existenciales, nos dicen que algo tiene

la propiedad, pero no especifican qué objeto es el que la tiene. Así, si en el transcurso de una

argumentación hemos demostrado que existe algún objeto con la propiedad P, podemos

argumentar “sea b uno de esos tales objetos”, pero si no respetamos la regla de cada vez que

hacemos uso de la regla E introducir una constante nueva podemos incurrir en el siguiente

error: supongamos que ya probamos que había algún o algunos objetos P, después

demostramos que también hay objetos con la propiedad Q, si al hacer un nuevo uso de la regla

E introducimos al mismo objeto b que mencionamos antes, habríamos cometido el error de

asumir que hay cuando menos un objeto con ambas propiedades P y Q, lo cual no

forzosamente es cierto.

Por el momento omitiré la inclusión de un ejemplo de la aplicación de estas reglas en las

presentes notas, pero en la sesión ya trabajamos algunos y pueden preguntar sus dudas

cuando nos veamos. Es muy importante sin embargo que hagan o intenten hacer los

siguientes ejercicios. Las reglas U y E funcionan en la construcción de tableaux tal y cómo

funcionaron las reglas en el caso proposicional.

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Ejercicios:

Demuestre las siguientes fórmulas (es decir, pruebe que no pueden ser falsas):

a) y ((xPx) Py)

b) y (Py(xPx))

c) (xPx) (y((xPx)Py))

d) x(Px Qx) (xPx zQz)

Demuestre que (H K)L, donde:

H: xy(RxyRyx)

K: xyz ((Rxy Ryz)Rxz)

L: xy (RxyRxx)

Demuestre que (AB)C, donde

A: x((Fx Gx)Hx) x(Fx Gx)

B: x(FxGx) x(FxHx)

C: x((Fx Hx)Gx) y(Fy Gy Hy)

Elaboró: Larry F. Jagüey Camarena