ANALISIS VECTORIAL

Es un campo de las matemticas referidas al anlisis real multivariable de vectores en 2 o ms

dimensiones. Es un enfoque de la geometra diferencial como conjunto de frmulas y tcnicas

para solucionar problemas muy tiles para la ingeniera y la fsica. Consideramos los campos

vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian

un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo

escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma

piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Y as podemos

citar muchos ejemplos en el mbito de nuestra vida cotidiana donde las matemticas estn

siempre presentes para poder relacionar, estudiar, entender los diversos fenmenos que ocurren

y los mismos que nos facilitan nuestros que actividades diarias, y en el mbito de nuestra

carrera aun mas ser muy importante los conocimientos bsicos para nuestro futuro es las

matemticas, los diferentes teoremas, conceptos que nos facilitaran nuestro estudio, asi de

importante como en este caso los operadores gradiente, divergencia y rotor profundizar en su

estudio y conocer las aplicaciones de estos operadores vectoriales en la carrera de ingeniera

electrnica en control y redes industriales a continuacin detallamos dichos operadores:

Gradiente: mide la tasa y la direccin del cambio en un campo escalar; el gradiente de un

campo escalar es un campo vectorial.

De forma geomtrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva

en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llmese , ,

etctera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitacin en la cual la temperatura se define a travs de un campo

escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es .

Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto as, para

cada punto de la habitacin, el gradiente en ese punto nos dar la direccin en la cual se

calienta ms rpido. La magnitud del gradiente nos dir cun rpido se calienta en esa

direccin.

Considere una montaa en la cual su altura en el punto se define como .

El gradiente de H en ese punto estar en la direccin para la que hay un mayor grado de

inclinacin. La magnitud del gradiente nos mostrar cun empinada se encuentra la

pendiente.

Teorema Fundamental Del Gradiente El teorema del gradiente establece que si existe una funcin escalar, y de ella obtenemos dos

puntos y los unimos por medio de una curva C, la integral de lnea que describe el incremento

entre dichos puntos es siempre el mismo. sin importar la trayectoria que se escoja entre los

puntos.

\int_{(L)}{\nabla{f}}.(ds)}=f(b)-f(a)

En donde

f.(ds) es el incremento infinitesimal. Adems, cuando hacemos

la integral estamos sumando todos los incrementos de la

funcin en todas las direcciones.

A continuacin se muestra una grfica que ilustra mejor

el concepto.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el

rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial. A continuacin dos ejemplos.

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendr un valor constante en todas las

partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos lmites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sera

diferente de cero.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos

puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

El ejemplo ms caracterstico lo dan las cargas elctricas, que dan la divergencia del campo

elctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo elctrico.

SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS

En las coordenadas cilndricas la localizacin de un punto P se especifica por medio de tres

cantidades, r, , z. Las definiciones de estas cantidades se especifican claramente en la grfica, donde tambin se ilustran los vectores unitarios y el vector de posicin del punto. Se puede

observar que cuando el vector de posicin se proyecta sobre el plano xy, r es la longitud de esta

proyeccin, mientras que es el ngulo que dicha proyeccin forma con el eje x positivo, z es la misma que en el sistema de coordenadas rectangulares.

Las relaciones entre coordenadas cartesianas y cilndricas se describen a continuacin:

COORDENADAS ESFERICAS

la figura muestra las coordenadas esfricas (, , ) del punto P en el espacio. La primera coordenada esfrica es simplemente la distancia del origen a P. la segunda coordenada es y es el ngulo 0P y el eje z positivo, siempre puede ser elegido entre el intervalo [0, ]. por ultimo, es el ngulo familiar de las coordenadas cilndricas y siempre vamos a poder elegirlo en el intervalo [0, 2].

La relacin de las coordenadas esfricas con las cartesianas se ilustra a continuacin: