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Análisis Vectorial 

Separatas para el curso De Física 

1

A n á l i s i s

V e c t o r i a l

El análisis vectorial, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, ingenieros y demás científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual; el análisis vectorial no solo constituye una notación concisa y clara para 

 presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, sinoque, además, proporciona una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos.

En resumen, el análisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y  forma del pensamiento de las ciencias físicas.

 M. R. Spiegel 

1.  SISTEMAS DE COORDENADAS

1.1.  INTRODUCCIÓN: 

Muchos aspectos en física se relacionan de una u otra forma con posiciones en el espacio. P.e. para describir elmovimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del objeto en diferentes tiempos. Esta

descripción se hace mediante el uso de coordenadas.

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y

puntos que permiten definir unívocamente la posición de

cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente

variedad diferenciable. 

En física se usan normalmente sistemas de coordenadas

ortogonales. Un sistema de referencia  viene dado por un

punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal, 

quedando así definidos los ejes coordenados.* 

Los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posiciónde un punto en el espacio.

 

Un sistema de coordenadas consiste en:•  Un punto de referencia que llamaremos origen•  Ejes específicos con escalas y etiquetas•  Instrucciones de cómo designar un punto relativo al origen y a los ejes

* http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas  

 

Capítulo

2

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1.2.  SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

La coordenadas más utilizadas como sistema de referencia en física es el sistema de coordenadas cartesianas ocoordenadas rectangulares.

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales 

igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en sepueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (P) es igual a laproyección ortogonal de la recta OP de dicho punto sobre un eje determinado: P(X,Y,Z).

En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada,respectivamente.† 

1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES

En ocasiones es más conveniente representar un punto en el planopor medio de sus coordenadas polares planas (r,θ) como se muestraen la figura.

De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r , θ) donde r es la distancia del punto al origen opolo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde eleje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distanciase conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras

que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero elvalor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención derepresentar el origen por (0,0º).‡ 

† http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas  

‡ http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares  

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1.3.1.  Representación de puntos con coordenadas polares 

En la figura se representa un sistema de coordenadas polaresen el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto

se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulosobre el ejeOL.

•  El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3unidades desde O, medidas con un ángulo de 60ºsobreOL.

•  El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de4 unidades desdeO y un ángulo de 210º sobreOL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema decoordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito

de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hayuna función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

 

•  Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por esemismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, elpunto (r , θ) se puede representar como (r , θ ± n×360°) o (−r , θ ± (2n + 1)180°), donde n es unnúmero entero cualquiera.[4] 

 

•  El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulosque se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar elpolo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 seencuentra siempre en el polo.[5]  Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar 

 

confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto,

se suele limitar  r a números no negativos  r  ≥ 0 y θ al  intervalo  [0, 360°) o (−180°, 180°] (en

 

radianes, [0, 2π) o (−π, π]).[6] 

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en  grados  o en  radianes, dependiendo delcontexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientrasque algunas aplicaciones físicas  (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del  cálculomatemático expresan las medidas en radianes.[7 

1.3.2.  Conversión de coordenadas 

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema decoordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y elángulo θ del vector de posición sobre el ejex.

A.  Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, setiene:

B.  Conversión de coordenadas rectangulares a polares  Definido un punto del plano por sus coordenadasrectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(aplicando el Teorema de Pitágoras) 

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos: 

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•  Para r  = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier  valor real. •  Para r  ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π.

Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π]. Para obtener θ  en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota lainversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas: 

Ejemplo: 1) Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son ( x,y)=(-3.50; -2.50)m como se muestraen la figura. Encuentre las coordenadas polares de este punto:SOLUCION: debe usar los signos para determinar que el punto se encuentra en el tercer cuadrante. Es decir queθ=216º y no 35,5º (se debe sumar 180º más), y r=4,30m.

 

En el mundo de las abejas . Cuando una abeja sale a explorar y encuentra alimento en una flor, esta deinmediato regresa a su panal para informarle a las demás cómo llegar a la comida que acaba de encontrar. Esto

lo hace moviéndose mediante un patrón especial, definido con mucha precisión. Este lenguaje debe ser de tipovectorial ¿Qué debe decir la abeja a sus compañeras para especificar dónde se encuentra la flor en relación conel panal?.

¿emplearía coordenadas cartesianas o polares?¿porqué?¿qué usaría la abeja como origen de sus coordenadas?- La abeja debe comunicar a sus compañeras cuán lejos está la flor y en qué dirección deben volar. Ésta esexactamente la clase de información que proporcionan las coordenadas polares, siempre que el origen de lascoordenadas sea el panal.

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y deldenominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para elnumerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puederecibir como parámetro la coordenadax (como ocurre en Lisp).

1.4. COORDENADAS CILÍNDRICAS§ 

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas  paradefinir la posición de un punto  del espacio mediante un ángulo, unadistancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquelloscasos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico oacimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de lascoordenadas polares de la geometría analítica plana. Un puntoP en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

•  ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al

ejez, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el planoXY § http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas  

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•  φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el planoXY.

•  z: Coordenadavertical oaltura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS** 

El sistema de coordenadas esféricas se basa en lamisma idea que las coordenadas polares y se utilizapara determinar la posición espacial de un puntomediante una distancia y dos ángulos.En consecuencia, un punto P queda representadopor un conjunto de tres magnitudes: el  radio  r , elángulo polar  o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar decolatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º(de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY.También puede variar la medida del acimut, según semida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0ºa 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π aπ). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza unautor determinado.

2.  VECTORES.2.1. DEFINICIONES.†† 

El términovector tiene distintos significados de acuerdo al contexto:

 2.1.1. 

 En matemática•  Vector , en álgebra lineal, es todo segmento de recta dirigido en un espacio vectorial. •  Vector (espacio euclídeo) un conjunto ordenado de números reales, o

elementosdeun cuerpo. 2.1.2.   En física

‡‡ 

En física, unvector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y unadirección (u orientación) para quedar definido.[1] [2] [3] [4] Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos

o ; es decir, bidimensional o tridimensional.Ejemplos

•  La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tansólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiereindicar la dirección hacia la que se dirige.

•  La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además desu intensidad o módulo, de la dirección en la que opera.

•  El desplazamiento de un objeto.

** http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas  

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/coordenadas-rectangulares/coordenadas-rectangulares.pdf  ††

 http://es.wikipedia.org/wiki/Vector ‡‡

 http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_%28f%C3%ADsica%29 

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2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR .Punto de aplicación.- está dado por el origen del vector.Intensidad, módulo o magnitud.- es el valor del vector ygeneralmente, está dado en escala. Pe. 5 unidades de longitudequivale a 5n (si se tratase de fuerza).

Sentido.- es la orientación del vector.Dirección.- está dada por la línea de acción del vector o por todas laslíneas rectas paralelas a él. La dirección del vector se puedeidentificar con un ángulo (α) antihorario medido desde el eje positivo xhasta la ubicación del vector. 

Todo vector queda bien definido conociendo su módulo y su dirección(y sentido) siendo éstos sus elementos.

2.3. NotaciónLas magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de lasmagnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales serepresentan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar ). Ejemplos:

•  ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... Elmódulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación

correspondiente al vector: ...

•  En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o

... para los módulos.Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmentoorientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la

forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan eldesplazamiento.Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan

frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

2.4. CLASES Y RELACIONES ENTRE VECTORES:a)  Vectores colineales.- son

aquellos vectores que estáncontenidos en una misma líneade acción. 

b)  Vectores concurrentes.- sonaquellos vectores cuya líneas deacción, se cortan en un solo punto.Los vectores concurrentes tienen elmismo origen.  sus rectas de acciónconcurren en un punto propio o impropio(paralelos).

c)  Vectores coplanares.- son aquellos vectoresque están contenidos en un mismo plano. 

d)  Vectores iguales.- son aquellos vectores que

tienen la misma intensidad, dirección y sentido. e)  Vectores equipolentes.- Dos vectores son

equipolentes cuandotienen igual módulo,dirección y sentido. 

f)  Vectores libres.- Elconjunto de todos los vectores equipolentes entresí se llama vector libre. Es decir los vectoreslibres tienen el mismo módulo, dirección y

sentido.  no están aplicados en ningún puntoen particular.

y

α 

A  

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g)  Vectores opuestos (-A ).- se llama vector 

opuesto (-A ) de un vector cuando tienen elmismo módulo, la misma dirección, pero sentidocontrario.

h)  Vector de posición.- El vector  que une elorigen de coordenadas O con un punto  P sellamavector de posición del punto P.

i)  Vectores linealmente dependientes.- Variosvectores libres del plano son linealmente

dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin quesean cero todos los coeficientes de lacombinación lineal:

 

 j)  Vectores linealmente independientes.- Variosvectores libres son linealmenteindependientes si ninguno de ellos se puedeexpresar como combinación lineal de los otros

 

a1 = a2 = ··· = an =0

k)  Vectores ortogonales.- Dos vectores sonortogonales o perpendiculares si su producto

escalar es cero

l)  Vectores ortonormales.- Dos vectores sonortonormales si: 

•  Su producto escalar es cero.•  Los dos vectores son unitarios.

2.5. MÓDULO DE UN VECTOR EN EL PLANO

El módulo del vector  es la longitud del segmento AB, se representa por 

.El módulo de un vector es unnúmero siempre positivo ocero.Módulo de un vector a partir de sus componentes :

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Módulo a partir de las coordenadas de los puntos 

Propiedades del módulo:1. El módulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el único vector cuyo módulo es cero.

2. Donde K es un número cualquiera y u es un vector cualquiera.

3. . Para cualquier pareja de vectores.

2.6. VECTOR UNITARIO:Un vector unitario es un vector cuya magnitud es uno y es útil para indicar el sentido yla dirección de un determinado vector. Matemáticamente el vector unitario se halla

dividiendo el vector entre su respectivo módulo.V V 

=µ  .

2.7. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO:En cualquier dirección es posible determinar el respectivo vector unitario (También se llama versor), en el planocartesiano, en las direcciones “x” y “y”, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y jrespectivamente. Cualquier vector puede ser expresado en el plano cartesiano en función de los vectoresunitarios principales i y j.

2.8. NOTACIÓN A TRAVÉS DE SUS COMPONENTESUn vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores

perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes decoordenadasx, y, z positivos.

Las siguientes notaciones son las mas típicas para representar a los vectores:

Ejemplo 1)  );(ˆˆ y x y x A A j Ai A A =+=

 Las componentes del vector en una base vectorial predeterminadapueden escribirse también entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitariosdefinidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadascartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay,az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones  matrices  (tales como el cambio de base), del modosiguiente:

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Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

2.9. METODOS DE ADICIÓN DE VECTORES COPLANARESi.  METODO DEL PARALELOGRAMO

ii .  METODO DEL TRIÁNGULO Y DEL POLÍGONO

iii.  RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres y se suma

con el opuesto de .

iv .  PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNVECTOR

El producto de un número k por un vector esotro vector:

•  De igual dirección que el vector .

•  Del mismo sentido que el vector  si k espositivo. 

•  De sentido contrario del vector  si k esnegativo 

•  Demódulo •  Las componentes del vector resultante se

obtienen multiplicando por K las

componentes del vector.

 

v.  COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Dados dos vectores: y , y dos números: a y

b, el vector  se dice que es una

combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores esel vector  que se obtiene al sumar  esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier  vector  se puede poner comocombinación lineal de otros dos que tengandistinta dirección

Por ejemplo:Esta combinación lineal es única

EJEMPLO:Dados los vectores:

, hallar el vector 

combinación lineal 

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El vector , ¿se puede expresar comocombinación lineal de los vectores

2.10. MÉTODO ANALITICO PARA LA ADICIÓN DE VECTORES . Para comprender la reglade adición de vectoresconsideremos primero elcaso de losdesplazamientos. Si una partícula sedesplaza primero de A a B,y se representa por elvector  d 1 , y de la mismaforma de de B a C,

representada por  d 2  , elresultado será equivalentea un desplazamiento único de A a C, representado por  d  , de modo que escribiremos simbólicamente d=d 1+ d  2 .

Esto no es lo mismo que d=d 1+d 2, que se refieresolamente a las magnitudes y no valen para estecaso.Ahora generalicemos el procedimiento para cualquier clase de vectores.Decimos entonces que: V   =V 1+V  2  si se obtienecomo en la figura, además se observa que la suma

vectorial es conmutativa, consecuencia directa de lageometría del método.

Paracalcular la magnitud del vector resultante V  vamos a deducir laconocida ley de los cosenos:La figura muestra la operación de adición donde se cumpleV=V 1+V  2 ,para calcular su magnitud utilizamos el teorema de pitágoras.

(AC)2=(AD)2+(DC)2.

Pero AD=AB+BD=V 1+V 2 cosθ y DC= V 2 senθ,por consiguiente: V 2=(V 1+V 2 cosθ)2 + (V 2 senθ)2= = V 1

2 +V 2

2+2 V 1V 2 cosθ . (I.1)

Para conocer la dirección del vector necesitamos hallar un ángulo medido de un punto de referenciacualquiera, si por el contrario deseamos conocer su sentido debemos hacerlo desde un sistema decoordenadas que es un marco referencial general. Deduciremos entonces la ley de Senos:

De la figura vemos en el triángulo ACD, que CD=AC senα , y que en el triánguloBCD, que CD=BC senθ.

Por consiguiente : V senα =V 2 senθ. óα θ  sen

V 

sen

V  2= .

Análogamente, en el triángulo ABE, que  BE=V 1senα , y que en el triánguloBCE, que  BE=V 2 senβ.Por consiguiente : V 1senα=V 2 senβ.Y combinando ambos resultados, obtenemos.

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α  β θ  sen

V 

sen

V 

sen

V  21 == . (I.2) 

Nótese que en el caso particular cuando V 1 y V 2  sonperpendiculares que se cumple nuevamente el teorema dePitágoras.

Se puede demostrar también que para la diferencia de vectoresse cumple que:V 

2=(V 1+V 2 cosθ)

2- (V 2 senθ)

2= V 1

2 +V 2

2-2 V 1V 2 cosθ . 

y además esta diferencia es anticonmutativa:

EJEMPLO I.1.(P.36-37)(Alonso – Finn)

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EJEMPLO I.2.(P.64)(Serway): UN VIAJE DE VACACIONES

•  A partir de esta generalización se han deducido los métodos gráficos para la adición y sustracción devectores que comúnmente conocemos.

•  Si le resulta complicado al alumno entender el proceso realizado, la respuesta la encontraremos en el

hecho de que hasta ahora se han trabajado los problemas mecánicamente sin caer en la cuenta de losprincipios matemáticos que determinan su comportamiento.

2.11. APLICACIONES EN EL PLANOEjemplo 2.6.1 (FISICA I-LUIS RODRIGUEZVALENCIA-U.SANTIAGO)Para la situación indicada en la figura, determine la

altura del puntoPen términos de los ángulo α,β y

la distanciad.

Solución. Podemos escribir

de donde

y restando

de donde sigue el resultado

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2.12. VECTORES EN EL ESPACIOUn sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen decoordenadas a los ejes X e Y.Cada punto viene determinado por  tres coordenadas P(x, y,z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados:XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio enocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las trescoordenadas son positivasUn vector en el espacio es cualquier  segmento orientado que tiene suorigen en un punto y su extremo en el otro

2.13. COMPONENTES DE UN VECTORCualquier vector V puede expresarse como la suma de otrosdos (o más) vectores, el número de posibilidades es infinito.Entonces, a cualquier conjunto de vectores que al sumarse denV  se les llamará componentes de V . Las componentes más

usadas son las rectangulares, es decir expresado en la sumade vectores mutuamente perpendiculares, del mismo modo quese definió para las coordenadas polares.

 jV iV V   y xˆˆ +=

o también  y y x x V V V  uu +=

, en términos de sus vectores unitarios. Además se puede

demostrar que: α α  sen yuuux

+= cos .

Nótese que las componentes de un vector en una dirección son iguales a las proyecciones del vector en esamisma dirección ( una paralela al eje de referencia y otra perpendicular).Hasta ahora hemos hablado de dos componentes, correspondientes al plano xy, sin embargo en el espaciolas componentes respectivas serán: V  x , V  y , y V  z. se puede verificar que sus componentes se calculan así:V  x=V sen θ cos φ,

V  y=V sen θ sen φ, ..........................................................I.3) 

V  z=V cos θ,Donde θ es el ángulo que hace el vector con el eje Z, y donde φ es el ángulo que hace la proyección delvector en el plano XY con el eje X

De modo que vectorialmente k V  jV iV V   z y xˆˆˆ ++=

o también  z z y y x x V V V V  uuu ++=

; además :

V  x=V  cos α, V  y=V  cos β, .....................................................................(I.4) V  z=V cos θ,

Donde α es el ángulo que hace el vector con el eje -X, y donde β es el ángulo que hace el vector con el eje -Y. aclaremos que en este caso especial los valores X y Y será positivos en las direcciones de la figura.

Se cumple, por cálculo directo: V 2

=V  x2+V  y

2+V  z

2, ........ (I.5)

y de esta relación se obtienen los cosenos directores.1coscoscos

222=++ θ  β α  ................................................................................................. (I.6)

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EJEMPLO I.3.(P.40)(Alonso – Finn)

EJEMPLO I.4.(P.40-41)(Alonso – Finn)

EJEMPLO ADICIONAL(P.41)(Alonso – Finn): expresar la ecuación de una línea recta paralela al vector V=uxA+uyB+uzC y que pasa por el punto P0. Es una de las formas usadas en geometría analítica paraexpresar una línea recta.

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2.14. ADICION DE VARIOS VECTORES

Para la adición de varios vectores, sean estos1

V 

,2V 

,3

V 

, …, no hay más que extender el procedimiento

anterior de la figura 3.18, de modo que, conocidas los vectores en sus componentes rectangulares, seprocede a sumar los módulos correspondientes:

( ) ( ) ( ) ...

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ333222111 +++++++++= k V  jV iV k V  jV iV k V  jV iV V   z y x z y x z y x

 ( ) ( ) ( )k V V V  jV V V iV V V V   z z z y y y x x x

ˆ...ˆ...ˆ...321321321

+++++++++++=

............................ (I.7)

De modo que:

( ) ∑=+++=i iix x x x x V V V V V  α cos...

321 

( ) ∑=+++=i iiy y y y y senV V V V V  α ...

321.................................................................................. (I.8)

Dondeiα   es el águlo que hace con el semieje positivo X .

EJEMPLO I.5.(P.42)(Alonso – Finn)

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EJEMPLOS I.6.(P.22-23)(Sears-Zemansky)

EJEMPLOS I.7.(P.23)(Sears-Zemansky)

2.15. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores  A

y  B

se denota con  B A

⋅ . Por esta

notación, el producto escalar se denomina también producto punto.Para definir en producto escalar   B A

⋅ dibujamos  A

y  B

, nos valemos de lasgraficas, representando a los vectores unidos por su origen:

Definimos  B A

⋅ como la magnitud de  A

multiplicada por la componente de

 B

paralela a  A

, expresado de la siguiente manera:

θ cos B A B A ⋅=⋅

  θ cos B A

⋅= ............................................................................................. (I.9)

dondeθ , el ángulo entre éstos vectores, está entre 0º y 180º.También funciona a la inversa (conmutativa), es decir, como la magnitud de  B

 multiplicada por la componente de  A

paralela a  B

. 

El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo(si está entre 0º y 90º, menos 90º), negativo (si está entre 90º y 180), o cero (Elproducto escalar de dos vectores perpendiculares es cero).Obviamente  A

· A

= A2 , ya que el ángulo en este caso es cero. (alonso finn).

Usaremos el producto escalar para definir el trabajo realizado por una fuerza,(el cual es una cantidad escalar).Podemos calcular el producto escalar de forma directa, conociendo lascomponentes rectangulares de cada vector, para lo cual es importante saber que:

1º0cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ ==•=•=• k k  j jii y que, 0º90cos)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ ==•=•=• k ik  j ji ....... (I.10)De modo que:

( ) ( )k  B j Bi Bk  A j Ai A B A

 z y x z y x

ˆˆˆˆˆˆ ++•++=•  

( )( )( )k  Bk  A j Bk  Ai Bk  A

k  B j A j B j Ai B j A

k  Bi A j Bi Ai Bi A

 z z y z x z

 z y y y x y

 z x y x x x

ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

ˆ.̂ˆ.̂ˆ.̂

+++

+++

++=

y por las relaciones de las ecuaciones (I.9):

 z z y y x x B A B A B A B A ... ++=• ................................................................................................. (I.11)

Por lo tanto el producto escalar de dos vectores, es la suma de los productos de sus respectivascomponentes. Este producto permite calcular directamente el ángulo θ entre dos vectores cuyas componentes

conocemos, empleando las ecuaciones (I.11) y (I.9).

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17 

Propiedades del producto escalar 

Conmutativa

Asociativa

DistributivaEl producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

EJEMPLOS I.9.(P.26)(Sears-Zemansky)

EJEMPLOS I.10.(P.27)(Sears-Zemansky) CALCULO DE ÁNGULOS CON EL PRODUCTO ESCALAR

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18 

2.16. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores  A

y  B

, también llamado producto cruz se denota con  B A

× .(Usaremos este producto para describir el par o torque y la cantidad de movimiento angular, camposmagnéticos).Definimos el producto vectorial de dos vectores como un vector perpendicular al plano formado por   A

y  B

,con una magnitud igual a θ  Bsen A⋅ .

Es decir si C  B A

=× ,entonces:

θ  ABsen B AC  =×=

, ..................................................................... (I.12) que es la magnitud del producto vectorial. Y θ es un vector entre 0 y 180º(0 ≤θ≤180º), de modo que el módulo siempre es positivo como toda magnitud de vector. Si los vectores son paralelos (o antiparalelos) el producto

vectorial será cero (θ=0  ó θ=180º). Obviamente el

producto vectorial de un vector consigo mismo es cero.Puesto que el producto vectorial C  B A

=× es un vector perpendicular, es decir un vector en el espacionecesitamos encontrar su dirección (y sentido)§§ Siemprehay dos direcciones perpendiculares a un plano dado.Pare determinar la dirección del producto vectorial B A

×

imagine que gira el vector   A

hasta alinearlo con  B

,enroscando los dedos de su mano derecha con laperpendicular al plano en ese sentido, la dirección la dará

el pulgar de su mano (figura).El producto vectorial no es conmutativo así:

 A B B A

×−=× , ..................................................................................................................................... (I.13)Su dirección se puede determinar por la regla de la mano derecha, o la regla del tornillo.Nótese que la magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los dosvectores, o es igual al doble del área del triángulo formado con su resultante (figura):

§§ IMPORTANTE: una línea orientada define una dirección. Las líneas paralelas orientadas en el mismo sentido definen

la misma dirección, pero si tienen orientaciones distintas definen direcciones opuestas (o antiparalelos). Sentido define por

tanto una orientación arbitraria designada para distinguir una de otra, puede ser positiva o negativa; y no es tan importanteal resolver un problema vectorial.

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19

El valor de su magnitud es igual a θ  Bsen A⋅ ; pero θ  Bsen = h queviene a ser la altura del paralelogramo de modo que

 Ah ABsen B AC  ==×= θ 

= área del paralelogramo.

Si conocemos las componentes de  A

y  B

, podemos calcular las

componentes del producto vectorial similarmente al procedimiento usadopara el producto escalar. Deducimos entones la tabla de multiplicaciónde los vectores unitarios.

0º0)1)(1(ˆˆˆˆˆˆ ==×=×=× senk k  j jii ; el cero en negritas nosrecuerda que cada producto es un vector cero, es decir uno con todassus componentes igual a cero y dirección indefinida.Usando las ecuaciones anteriores (I.12) y (I.13) y la regla de la mano derecha:

 jk iik 

i jk k  j

k i j ji

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

=×−=×

=×−=×

=×−=×

................................................................................................................. (I.14)

De modo que:

( ) ( )k  B j Bi Bk  A j Ai A B A  z y x z y xˆˆˆˆˆˆ ++×++=×  

( )( )( )k  Bk  A j Bk  Ai Bk  A

k  B j A j B j Ai B j A

k  Bi A j Bi Ai Bi A

 z z y z x z

 z y y y x y

 z x y x x x

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

×+×+×+

×+×+×+

×+×+×=

y por las relaciones de las ecuaciones (I.14):

( ) ( ) ( )k  B A B A j B A B Ai B A B A B A  x y y x z x x z y z z yˆˆˆ. −+−+−=× ............................... (I.15)

También puede determinarse utilizando matrices y determinantes.

 z y x

 z y x

 B B B

 A A A

k  ji

 B A

ˆˆˆ

=× ; si no ha estudiado matrices mejor no utilice ésta forma.

Nota: si decidiésemos escoger un sistema coordenado cuyos ejes tienen una representación distinta a lasconvencionales, entonces los valores de la tabla (I.10) cambiarían de signo.Cabe notar que el producto vectorial nos puede representar la orientación de una superficie (y sucorrespondiente valor) en el espacio.

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EJEMPLOS I.11-12.(P.50)(Alonso-Finn)

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EJEMPLOS I.12.(P.30)(Sears-Zemansky) CÁLCULO DE UN PRODUCTO VECTORIAL

2.17. PRODUCTO MIXTOEl producto mixto de los vectores, es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial

de los otros dos. El producto mixto se representa por :El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichosvectores respecto a una base ortonormal.

EjemplosCalcular el producto mixto de los vectores:

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDOEl valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectoresque concurren en un mismo vértice.Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores

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Volumen de un tetraedroEl volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTOEl producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos setrasponen.

Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0

LINKS:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0543-04/Distancia.html#1.1%20M%C3%B3dulo%20de%20un%20vector  http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Vectores  http://www.monografias.com/trabajos64/vector/vector2.shtml