VECTORES

FACULTAD DE INGENIERIA

VECTORES2.1. DEFINICION:

Un vector es un segmento de recta orientado.Un vector se caracteriza por:1) su mdulo, que es la longitud del segmento.2) su direccin, que viene dada por la recta que pasa por l o cualquier recta paralela.3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por l.

FIG. 01 UN VECTOR, SEGMENTO DE RECTA DIRIGIDO

Un vector no tiene una ubicacin definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su mdulo, ni su orientacin (direccin y sentido). Por esta razn se dice que los vectores son libres. Los vectores se expresan con una letra minscula o con dos letras maysculas, su origen y su extremo respectivos. Por ejemplo, indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q. Siempre que sea posible, pondremos una flecha encima para indicar que se trata de un vector.Los vectores sirven para representar magnitudes geomtricas y fsicas que tienen mdulo, direccin y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.

FIG. O2. VECTOR DIRIGIDO2.1.2. VECTOR NULO:

Si y , entonces .Es decir: Si sumamos un vector con su opuesto obtenemos un vector reducido a un punto (su origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo o vector cero que se expresa:+ (-) =

FIG. 03, VECTOR NULO2.2. OPERACION CON VECTORES:

2.2.1. SUMA DE VECTORES:

La suma de dos vectores y es otro vector obtenido de esta forma:

1) Ponemos a continuacin de , haciendo coincidir el origen de con el extremo de .2) El origen de la suma es el origen de .

3) El extremo de la suma es el extremo de .

Es decir, es el vector que va desde el origen de hasta el extremo de cuando hemos puesto a continuacin de .

FIG. 04 SUMA DE DOS VECTORES, 2.2.2. REGLA DEL PARALELOGRAMO

Si para sumar dos vectores, y , en lugar de colocar a continuacin de colocamos a continuacin de , tal como est hecho en la parte inferior de la figura de la derecha, observamos que el resultado es el mismo vector.

Esta construccin muestra que la suma de dos vectores es conmutativa: + = +Esta propiedad conmutativa permite realizar la suma de dos vectores utilizando la llamada REGLA DEL PARALELOGRAMO:

1) Dibujamos los dos vectores y con el mismo origen

2) Completamos un paralelogramo trazando: - por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector .- por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector .

3) La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido i que tiene su origen en el origen comn de los dos vectores y .

FIG. 05 SUMA DE VECTORES

FIG. 06 REGLA DEL PARALELOGRAMO

2.2.3. PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES:

2.2.3.1. ASOCIATIVAD DE LA SUMA EN VECTORESSi pretendemos sumar tres vectores,, y , tenemos dos posibilidades:1) Sumary, y al resultado sumarle. Esta operacin se expresa(+) +.2) Sumarcon el resultado de sumar y. Esta operacin se expresa:+ (+).La figura de la derecha muestra que el resultado es el mismo, es decir (+) + = + (+)Esta es la propiedad ASOCIATIVA de la suma de vectores. Gracias a esta propiedad podemos escribir ++ en lugar de (+) +, o de+ (+).

FIG. 07 PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA EN VECTORES2.2.3.2. CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA EN VECTORES:En la seccin anterior vimos que podemos escribir ++ en lugar de (+) + o de + (+). Combinando la asociatividad con la conmutatividad, podemos escribir:++ = ++ = ++ = ++ = ++= ...Es decir, podemos sumar tres vectores colocndolos en el orden que queramos; siempre obtendremos el mismo resultado.Tambin podemos aplicar la conmutatividad a la suma de ms de tres vectores:++++ = ++++ = ++++ = ...

FIG. 08. SUMA DE VARIOS VECTORES

2.2.3.3. DISTRIBUTIVIDAD DE LA SUMA EN VECTORES:

Cuando se multiplica un escalar m por la suma de dos vectoresy se obtiene el mismo resultado que si se multiplicanypor m, y luego se suma el resultado. Es decir, m (+) = m+ m Esta propiedad recibe el nombre de distributividad del producto respecto de la suma. Por ejemplo, las dos figuras de la derecha muestran que

2(+) = 2+ 2-1,5(+) = -1,5 - 1,5Otras distributividades que se verifican son:

m (-) = m- m (m + n)= m+ n (m - n)= m - n

FIG. 09. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA SUMA DE VECTORES2.3. RESTA DE VECTORES

La resta o diferencia entre dos vectores y se expresa - y se define como la suma del primero ellos con el opuesto del segundo:-= + ( -)

Para dibujar la diferencia - podemos colocar - a continuacin de y unir el origen de con el extremo de -.

FIG. 10 RESTA DE VECTORES

Tambin podemos utilizar la regla del paralelogramo para dibujar la diferencia -. Adems, esta regla permite obtener fcilmente toda la suma y restas posibles de los dos vectores y : +, -, -+ y --Observa que -+= - (-) y que --= - (+).

FIG. 11 REGLA DEL PARALELOGRAMO EN LA RESTA DE VECTORES2.4. MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:

Se define el producto de un nmero m por un vector como el vector que tiene:

1) Direccin: la misma que 2) Sentido: el mismo quesi m es positivo opuesto al desi m es negativo3) Mdulo: el mdulo demultiplicado por el valor absoluto de m

Si m = 0 el vector es el vector nulo, un vector que tiene mdulo 0 y que se indica por . Es decir, 0=.Resumiendo, multiplicar un vector por un nmero m equivale a alargar (o encoger) su mdulo tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su sentido si m es negativo.El nmero m por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.En las figuras de la derecha tienes tres ejemplos de un producto de un escalar por un vector.

FIG. 12 MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR2.4. COMBINACION LINEAL DE DOS VECTORES:Si dados dos vectores, y , construimos otros vectores combinando productos por escalares con sumas y restas de la siguiente forma:3+ 22+- 4-1,52- 3Diremos que hemos formado combinaciones lineales de los dos vectores y . En la figura 13 se tiene estas cuatro combinaciones lineales obtenidas por aplicacin de la regla del paralelogramo.

Es decir, una combinacin lineal de dos vectores y es cualquier otro vector obtenido as: = m+ n, siendo m y n escalares.

FIG. 13. COMBINACION LINEAL DE VECTORES2.5. COMBINACION LINEAL DE TRES VECTORES:

Dados tres dos vectores, , y , y tres escalares, r, s y t (es decir, tres nmeros), el vector: r+ s+ tDiremos que es una combinacin lineal de los vectores , y .En la figura tienes dos combinaciones lineales de , y :el vector , que es = 1,5+ 2+ 1,75el vector , que es = 3 - 1,5+ 3,25El concepto de combinacin lineal se puede extender a cualquier nmero de vectores, por ejemplo: 5- 3 + 4- 2+Es una combinacin lineal de 5 vectores.

FIG. 14 COMBINACION LINEAL DE TRES VECTORES2.6. COMPONENTES DE UN VECTOR:

Definamos en el plano un sistema de coordenadas, es decir, un punto origen, y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos corresponder un par de nmeros que son sus coordenadas (x, y); se escribe P(x, y). Por ejemplo, A (1,2) y B (4,6).

Un vector queda identificado por los dos nmeros siguientes: su primera componente, que es el nmero que hay que sumar a la primera coordenada de A para obtener la primera coordenada de B; en nuestro caso, un 3. su segunda componente, que es el nmero que hay que sumar a la segunda coordenada de A para obtener la segunda coordenada de B; en nuestro caso, un 4.Se identifica el vector con sus componentes y se escribe = (3,4). Adems, dos vectores son iguales si y slo si tienen las mismas componentes.Podemos escribir A + = B, o bien = B - A, que es una forma muy cmoda de obtener las componentes de un vector conocidos su origen A y su extremo B.

FIG. 16. VECTORES EN FUNCION DE SUS COMPONENTES2.6.1. SUMA DE VECTORES EN FUNCION DE SUS COMPONENTES:

La suma de vectores es una operacin muy fcil de hacer cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1 con la 1 y la 2 con la 2.

As, en la figura tienes las sumas siguientes:+ = (1, 3) + (4, 2) = (1+ 4, 3+3) = (5, 5)+ = (-1,-3) + (5 2) = (-1+ 5,-3+2) = (4, -1)En general, si = (u1, u2) y = (v1, v2), entonces:+ = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1, u2+ v2)

FIG. 17. SUMA DE VECTORES EN FUNCION DE SUS COMPONENTES2.6.2. REGLA DEL PARALELOGRAMO:

Si aplicamos la regla del paralelogramo para realizar una suma de dos vectores dados por sus componentes, tambin llegamos a la conclusin de que se han de sumar las respectivas componentes de cada vector sumando.As en la figura tenemos la suma de los mismos vectores de la actividad anterior

+ = (1, 3) + (4, 2) = (1+ 4, 3+3) = (5, 5)+ = (-1,-3) + (5, 2) = (-1+ 5,-3+2) = (4, -1)

Realizadas ahora, utilizando la regla del paralelogramo.

Tambin se comprueba que si = (u1, u2) y = (v1, v2), entonces:+ = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1, u2+ v2)

FIG. 18. APLICACION DEL METODO DEL PARALELOGRAMOS EN FUNCION DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR2.6.3. MODULO DE UN VECTOR:

Recordemos que el mdulo de un vector es la longitud del segmento orientado correspondiente. El mdulo de un vector es un nmero siempre positivo y solamente el vector nulo tiene mdulo cero.El mdulo del vector se expresa ||. As, por ejemplo, podemos escribir ||= 3,

||= 4 y ||= 5 para indicar que , y , tienen mdulo 3, 4 y 5 respectivamente. Conociendo las componentes de un vector= (v1, v2), podemos calcular su mdulo || aplicando el teorema de Pitgoras: ||2 = v12 + v2 2Este procedimiento para calcular el mdulo se puede aplicar tanto si las componentes de son positivas, caso de la figura, como si son negativas.

FIG. 19. MODULO DE VARIOS VECTORES2.6.4. ARGUMENTO O ANGULO DE UN VECTOR:

Se define el argumento de un vector , que podemos considerar con origen en el origen de coordenadas, como el ngulo que forma con el semieje de las abscisas positivas OX. En la figura tienes cuatro vectores con argumentos respectivos y

Los argumentos se suelen expresar en grados o en radianes; nosotros lo haremos en grados. Observa que, dado un vector: si su argumento est entre 0 y 90, el vector est en el 1r cuadrante si su argumento est entre 90 y 180, el vector est en el 2 cuadrante si su argumento est entre 180 y 270, el vector est en el 3r cuadrante si su argumento est entre 270 y 360, el vector est en el 4 cuadrante

Se consideran positivos los ngulos recorridos a partir de OX en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativos los recorridos en el mismo sentido. Multiplicidad de argumentos. Un mismo vector tiene infinidad de argumentos: si es el argumento comprendido entre 0 y 360, los dems difieren de l en una o varias vueltas de circunferencia, es decir, en 360 o en un mltiplo, positivo o negativo, de 360. As pues, 30, 390, 750, -330,... pueden ser argumentos de un mismo vector.

FIG. 20 UBICACION DE LOS VECTORES SEGUN SU ARGUMENTO O ANGULO2.7. NGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO:Se llaman ngulos directores de un vector a cada uno de los ngulos que forma con los ejes coordenados x,y,z, segn muestra en la figura siguiente . Los cosenos directores se pueden obtener sin ms que observar que:

Siendo el mdulo del vector. Adems se cumple que la relacin entre los ngulos directores es: 2.8. VECTORES EN FORMA POLAR:

Un vector queda perfectamente determinado si conocemos su mdulo y su argumento. Su mdulo es un nmero positivo y su argumento un ngulo.Indicaremos un vector de mdulo M y argumento con la notacin M; esta es la llamada forma polar de un vector (o forma mdulo-argumento).Por ejemplo, el vector de mdulo 4 y argumento 60 lo indicaremos en forma polar como 460. En la figura de la derecha tienes dibujados los vectores M, N , R y Tque tienen por mdulos M, N, R y S, y por argumentos, los ngulos , , y respectivamente.Teniendo en cuenta lo que hemos dicho en la actividad anterior respecto de la multiplicidad de argumentos de un mismo vector, puede escribirse460 = 4420 = 4780 = 4-300

FIG. 21. VECTORES EN FORMA POLAR

2.9. VECTOR UNITARIO:A continuacin explicaremos una forma muy sencilla de obtener un vector que tenga la misma direccin y el mismo sentido que otro vector, pero que tenga mdulo 1.

Si nos dan un vector y lo dividimos por su mdulo (es decir, lo multiplicamos por ), obtenemos el vector

= Que tiene igual direccin y sentido que , pero tiene mdulo 1:Por ejemplo, si = (3,4), entonces ||=5 y el vector = = ( 3/5,4/5) tiene mdulo 1, como se puede comprobar fcilmente.

Si nos interesara un vector de mdulo 1, con la misma direccin que , pero con sentido contrario al de , bastara con calcular el opuesto a = , es decir, el vector = - .Los vectores de mdulo 1 se denominan vectores unitarios o versores.

FIG. 22. VECTOR UNITARIO2.10. INTRODUCCION A LA BASE CANONICA:

Hasta ahora que se puede expresar un vector como combinacin lineal de dos vectores y : encontrar dos escalares x e y que verifiquen = x+ y.En esta seccin estudiaremos qu sucede si como vectores y escogemos los vectores (1,0) y (0,1). Estos dos vectores se acostumbran identificar con dos letras concretas, que son y , por lo tanto pondremos (1,0)= y (0,1)=.Poner un vector =(u1,u2) como combinacin lineal de los dos vectores y querr decir encontrar dos escalares x e y que verifiquen = x+ y. Ahora bien, esto equivale a (u1, u2) = x (1,0)+ y (0,1) y es bien fcil obtener x e y, basta con hacer x = u1 e y = u2. Es decir, cualquier vector =(u1,u2) se puede poner como combinacin lineal de y escribiendo (u1,u2) = u1 + u2.Los vectores = (1,0) y = (0,1) reciben el nombre de base cannica de los vectores del plano, y los escalares u1 y u2, componentes de =(u1,u2) en la base cannica.

FIG, 23 VECTORES EN FUNCION DE LOS UNITARIOS i, j2.11. PRODUCTO ESCALAR:

El producto escalar de dos vectores y es un escalar que se define como el producto de sus dos mdulos por el coseno del ngulo que forman.El producto escalar de y se expresa . Si convenimos en que ^ exprese el ngulo que forman y , podemos escribir:

= ||||cos (^)Observa que el producto escalar de dos vectores no es otro vector. Tal como su nombre indica, es un escalar. Seguramente, en el futuro, te explicarn otro tipo de producto de vectores, el llamado producto vectorial, en el que el resultado es otro vector.Tal como se ve en la figura, dos vectores del plano y forman dos ngulos. Si uno de estos ngulos es , el otro es 360 - . Mediante ^ indicaremos el ms pequeo de los dos ngulos posibles ( o 360 - ). De hecho, esta eleccin no tendr importancia cuando calculemos el producto escalar de y ya que cos = cos (360 - ).

FIG. 24. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES2.11.1. INTREPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR:

Recordemos la definicin de producto escalar de dos vectores y := ||||cos (^)

Observemos que ||cos(^) es la proyeccin ortogonal del vector sobre el vector . Si expresamos esta proyeccin as |a , podemos escribir= || |aDeforma similar, ||cos(^) =|b es la proyeccin ortogonal del vector sobre el vector , y tambin podemos escribir= || |bTenemos por lo tanto una interpretacin geomtrica de producto escalar de dos vectores (y otra forma de calcularlo): es el producto del mdulo de uno de ellos por la proyeccin ortogonal del otro sobre l.

Esta proyeccin lleva signo. Es decir, si el sentido de esta proyeccin es opuesto al del primer vector, esta proyeccin es negativa.

FIG.25. INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR2.11.2. PRODUCTO ESCALAR A PARTIR DE LOS COMPONENTES:

Recordemos que los dos vectores = (1,0) y = (0,1) forman una base de los vectores del plano y que cualquier vector =(u1,u2) se puede escribir= (u1, u2) =u1+ u 2Tratemos ahora de calcular el producto escalar de dos vectores y conocidas sus componentes (en lugar de sus mdulos y el ngulo que forman):

= (a1, a2) = a1+ a2

= (b1, b2) = b1+ b2Utilizando las propiedades vistas en las actividades anteriores, podemos escribir:= (a1+ a2)(b1+ b2) = a1b1+ a1b2+ a2b1+ a2b2 Ahora bien, cuando se multiplican escalarmente los vectores y se verifica

= = 1

= = 0

Substituyendo en la expresin del producto escalar de y , obtenemos un resultado muy importante que nos permite calcular directamente un producto escalar de dos vectores conociendo sus componentes:= (a1, a2)(b1, b2) = a1b1+ a2b2

FIG. 26 PRODUCTO ESCALR EN FUNCION DE SUS COMPONENTE:

2.11.3. PERPENDICULARIDAD DE LOS VECTORES:

Segn la definicin que hemos dado de producto escalar = ||||cos(^)Tenemos que si dos vectores y no nulos son perpendiculares, su producto escalar es cero (ya que forman un ngulo de 90 y cos90 = 0).Recprocamente, si el producto escalar de vectores no nulos i es cero, el coseno del ngulo que forman ha de ser cero (pues no son cero ni || ni ||), el ngulo que forman es de 90 y los vectores son perpendiculares.

Este hecho nos permite dar la siguiente definicin:dos vectores son perpendiculares (u ortogonales)si su producto escalar es ceroSimblicamente, si indicamos la perpendicularidad con : = 0Es interesante observar dos cosas:1) Recordando cmo se calcula el producto escalar a partir de las componentes, la condicin de perpendicularidad de dos vectores dados por sus componentes es= (a1,a2) = (b1,b2) = a1b1+ a2b2 = 0

2) Hemos extendido la definicin de perpendicularidad a vectores nulos, y segn esta nueva definicin, el vector nulo es perpendicular a cualquier otro vector.

FIG. 27. DOS VECTORES PERPENDICULARES2.11.4. COSENO DEL ANGULO QUE FORMAN VECTORES:

Tenemos dos formas de calcular el producto escalar de dos vectores y :- a partir de sus mdulos || y || y del ngulo^que forman: =||||cos (^) - a partir de sus componentes =(u1, u2) y=(v1, v2)= u1v1+ u2v2Igualando, tenemos: ||||cos(^) = u1v1+ u2v2de donde podemos aislar cos(^) Esta frmula proporciona el coseno del ngulo que forman dos vectores dados por sus componentes y, conocido el coseno, obtener el ngulo que forman.Recuerda que los dos mdulos ||y || se pueden calcular a partir de las componentes:

FIG. 28. DETERMINACION DEL ANGULO DE DOS VECTORES

2.11.5. PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO:

Recordemos que geomtricamente el producto escalar de dos vectores es el producto del mdulo de uno de ellos por la proyeccin del otro sobre l (proyeccin con signo, es decir, negativa si su sentido es opuesto al del primer vector):

=|||aPor otro lado, podemos calcular el producto escalar a partir de las componentes: = (a1,a2)(b1,b2) = a1b1+ a2b2 Igualando obtenemos || |a = a1b1+ a2b2

de donde podemos despejar la proyeccin desobre:De forma similar obtendramos la proyeccin desobre:

FIG. 29. PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO2.12. PRODUCTO VECTORIAL:

El producto vectorial de dos vectores y , es un vector que se define como el producto de sus dos mdulos por el seno del ngulo ( que forman, cuya direccin es perpendicular al plano formado por los vectores y El producto vectorial de y se expresa x. Podemos escribir:

FIG. 30 PRODUCTO VECTORIAL

2.12.1. REGLA DE LA MANO DERECHA:

Si pones el dedo ndice de tu mano derecha apuntando en el mismo sentido que el vector y el dedo mayor en el mismo sentido que , entonces, el sentido del producto vectorial x, de los vectores y, lo da el pulgar de la misma mano derecha cuando se estira de manera que este perpendicular a los otros dos dedos.

FIG. 31 REGLA DE LA MANO DERECHA

En la fig. 32 se observa lo que se conoce como la regla del saca corcho, una variante de la regla de la mano derecha, en la parte (a) se observa el sentido positivo u antihorario que denota el producto vectorial x, y en la parte (b) corresponde al sentido opuesto o negativo correspondiente al horario representado por x

FIG. 32 REGLA DEL SACA CORCHO O TORNLLO

2.12.2. PRODUCTO VECTORIAL A PARTIR DE SUS COMPONENTES:Muchas veces es necesaria efectuar operaciones de producto vectorial en funcin de sus componentes vectoriales. Para ello se realiza lo siguiente:

Luego se tiene en cuenta las operaciones de los vectores cannicos o unitarios i, j, k de manera que si aplicamos el producto vectorial, tendremos lo siguiente:

La ecuacin anterior quedara de la siguiente manera:

Siendo la expresin vectorial final expresada mediante el siguiente determinante:

PROBLEMAS DE ANALISIS VECTORIAL

1. Considere los vectores u = (1, 0, 1) y v = (2, 1, 3,) Calcular las siguientes combinaciones de vectores.

u + v, u v, u + 2u, 2u + v, 2(u 2v), -3v + u, -3(u 2v)

2. Para cada una de las siguientes parejas de vectores determinar las combinaciones del ejercicio (2):

u = (-1, 2, 3) u = (1, 2, -3) u = (2, 2, 3) u = (3, 2, 3)

v = (1, 0, -3 v = (-1, 0, 3) v = (-2, 0, -3) v = (-3, 0, -3)3. Obtener el grfico de las parejas de vectores que se dan en el ejercicio (2) as como su resultante.

4. Determinar cules de las siguientes parejas de vectores son paralelos (s u = v)

u = (2, -1, 3) u = (-8, 1, 0) u = (2, 0, 0) u = (-9, -7, 2)

v = (1, 0, -3) v = (1, 0, 3) v = (0, 0, 0) v = (27, 21, -6)

5. Calcular las magnitudes de las combinaciones que se obtuvieron en el ejercicio (2)

6. Obtener el producto escalar de las parejas de vectores del ejercicio (2)

7. Calcular el producto escalar de todas las parejas de vectores que se pueden formar de las combinaciones del ejercicio (4)

8. Determinar el coseno del ngulo, as como el ngulo que forman las parejas de vectores del ejercicio (2) y (4).

9. De las parejas de vectores de los ejercicios (2) y (4), diga cules son ortogonales y cules no.

10. Obtener el producto vectorial de todas parejas de vectores del ejercicio (4).11. Determinar el producto vectorial de todas las parejas de vectores que se pueden formar del ejercicio (2)

12. Considere dos desplazamientos A y B de magnitud 3m y 4m respectivamente. Dibuje el grfico de los desplazamientos para que al combinarlos la resultante tenga magnitud de: a) 7m, b) 1m y c) 5m

13. Si A = 13i + 27j y B = 4i 14j Obtenga los vectores A + B y A B. En trminos de los vectores unitarios

14. Dos estaciones de rastreo A y B detectan un satlite. La estacin A reporta la posicin del satlite de 451 al Este sobre la lnea que une A con B. La estacin B, que se encuentra a 600 km al Oeste de A, detecta al satlite a 20 sobre la lnea que une A con B. Cul ser la altura a la que se encuentra el satlite, sobre la lnea que une las estaciones?

15. Calcule el ngulo entre los vectores A = (1, -2, -2) y B = (3, -4, 0)

16. Obtenga el producto punto, el producto cruz y el ngulo entre los vectores A = 3i + 4j y B = 4i + 3k17. Si una cierta esquina de un cuarto es seleccionada como el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, una mosca esta avanzando lentamente sobre una pared adyacente a uno de los ejes. Si la mosca se localiza en un punto con coordenadas (2m, 1m)

Qu tan lejos se encuentra de la esquina del cuarto?

Cul es su localizacin en coordenadas polares?

R: a) tan-1(1/2) = 26.6, b) 2.24m

18. Un inspector estima la distancia a travs de un ro con ayuda del siguiente mtodo: Permanecer frente a un rbol en la orilla opuesta, l camina 100m a lo largo de la orilla del ro, luego mira hacia el rbol. El ngulo desde su lnea hacia el rbol va a ser 35 Qu tan ancho es el ro?

R: 70m

19. Una persona camina a lo largo de una ruta circular con radio de 5m, alrededor de un medio crculo.

Encuentra la magnitud del vector desplazamiento

Qu tanto camin la persona?

Cul es la magnitud del desplazamiento si la persona camina alrededor del crculo?

R: a) 10m, b) 15.7m c) 0

20. Un objeto se mueve 200 m horizontalmente y luego sube 135 m en un ngulo de 30 sobre la horizontal. Luego viaja 135 m en un ngulo de 40 debajo de la horizontal. Cul es su desplazamiento desde su punto de inicio? NOTA: Use el mtodo grfico 21. Suponga que camina 350 m a lo largo de una avenida y luego gira 65 al norte del este y contina caminando 280 m. Cul es el desplazamiento resultante?22. Un automvil se ha desplazado una distancia desconocida desde A hasta B. Sabemos que luego se desplazo 50 m hasta C, formando un ngulo de 15 con el vector del primer desplazamiento. Si el vector resultante de los dos vectores forma un ngulo de 20 con el primer desplazamiento. A cunto equivale el desplazamiento de A hasta B y la resultante?23. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo den tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota 25 m hacia el norte, el segundo 6 m hacia el sureste y el tercero 2 m hacia el suroeste. Que desplazamiento ser necesario para meter la bola de un solo golpe?24. Un auto recorre 20 Km. al norte y despus 35 km en una direccin 60 al oeste del norte. Determine la magnitud y direccin de la resultante del desplazamiento del auto.25. Un vector A en el plano x-y se encuentra a 225 del eje positivo de las x, medidos en contra del sentido de las manecillas del reloj, y su magnitud es de 8 unidades. Un segundo vector B de 3 unidades de magnitud, esta dirigido paralelo al eje z. Calcular: (a) El producto escalar A. B y ( b) el producto vectorial A x B.26. Hallar el producto escalar de A con B, en donde A = 4 i +7 j + 6 k y B = 3i + 4j + 2k. Determinar, adems el ngulo entre A y B.27. Determine si el ngulo que relaciona a los siguientes vectores es de 90. C = 2i + 3j - 5k y F = 7i -8 j-2k28. Dado los vectores u = 3i + 2j, v = i - 4j, w = -4i +2j, calcular:a) Mdulo de la suma u + v + w

b) Producto escalar uv; uw

c) Producto vectorial uxv; wxv29. Si el mdulo de la suma de dos vectores de igual mdulo es el triple del mdulo de su diferencia. Hallar el ngulo comprendido entre dichos vectores.

a) 30b) 37c) 45d) 53

e) 60

30. Dado los vectores A = 2 i + 3 j, B = 3 i + j, calcular el producto escalar y el ngulo entre los vectores.

31. Hallar el rea del paralelogramo dado por los vectores A = 3 i + 2 j , B = 4 i + 5 j

32. Hallar el rea del paralelogramo dado por los vectores A = (2 i + 3 j + 4 k) m , B = ( 5 i + 2 j - 6k )m, y el ngulo comprendido entre A y B.

33. Calcular la resultante de las fuerzas coplanares, cuyos mdulos son las siguientes: F1= 100N con 1= 45, F2 = 50 N con 2= 315, F3= 150N con 3= 217, F4= 200N con 4= 120. Y determinar el sentido de la fuerza resultante.34. Dado los vectores C = 3 i +4 j + 5 k; D = 4i - 2 j +3 k, calcular el producto escalar y el ngulo entre los vectores.

35. Las expresiones de tres vectores coplanares respecto a un cierto sistema de coordenadas rectangulares, son: A = 2i - 4j; B = -5i + j; C = -7j. Donde las componentes estn dadas en unidades arbitrarias. Encontrar el vector r que representa la suma de estos tres vectores.36. Dados los vectores A = (2,4,-2); B = (-1,3,2), determina:a) Expresa dichos vectores en funcin de sus componentes rectangulares.b) Determina el vector suma y su mdulo. c) Calcula el vector V = 2A 3B37. Suma grfica analticamente y los siguientes vectores: A de mdulo 5 y argumento 37, B de mdulo 10 y argumento 127 y C de valor 2 y argumento 270.38. Dados los vectores: A= (2,-1,2);B =(4, 0,-2);C = (0, 0, 1)a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.

b) Determina el vector D = A +1/2 B C.c) Efecta el producto escalar de A y B.39. Si la resultante mxima de dos vectores es 8u y la resultante mnima es 2u, determinar el mdulo de la resultante cuando los vectores formen entre s 60.

a) 4ub) 5uc) 6ud) 7u

e) 8u

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